Metode Numerik
Differensiasi Numerik Yuliana Setiowati Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2007
PENS-ITS
1
Metode Numerik
Topik • DIFFERENSIASI NUMERIK • Mengapa perlu Metode Numerik ? • Diferensiasi dg MetNum – Metode Selisih Maju – Metode Selisih Tengahan – Metode Selisih Mundur
• Differensiasi tingkat tinggi • Rumus Turunan Kedua dg – Metode Selisih Maju – Metode Selisih Tengahan – Metode Selisih Mundur
PENS-ITS
2
Metode Numerik
DIFFERENSIASI NUMERIK • Perhitungan kalkulus banyak digunakan untuk keperluan perhitungan geometrik, yang berhubungan dengan perubahan nilai per-satuan waktu atau jarak. • Secara kalkulus, didefinisikan sebagai perbandingan perubahan tinggi (selisih tinggi) dan perubahan jarak
dy lim y ax0 dx x
• penentuan titik puncak kurva y = f(x) dy/dx = 0
PENS-ITS
3
Metode Numerik
Mengapa perlu Metode Numerik ? • Terkadang terdapat suatu fungsi yang sulit dihitung secara manual • Untuk mengotomatiskan, tanpa harus menghitung manualnya
PENS-ITS
4
Metode Numerik
Diferensiasi dg MetNum • Metode Selisih Maju • Metode Selisih Tengahan • Metode Selisih Mundur
PENS-ITS
5
Metode Numerik
Metode Selisih Maju • Metode selisih maju merupakan metode yang mengadopsi secara langsung definisi differensial
f ( x h) f ( x ) f ' ( x) h
PENS-ITS
6
Metode Numerik
Metode Selisih Maju • Rumus-rumus turunan numerik diperoleh dari deret Taylor • Misalkan diberikan titik-titik (xi,fi) i=0,1,2,…,n yang dalam hal ini • dan
xi x0 ih f i f ( xi )
PENS-ITS
7
Metode Numerik
Metode Selisih Maju • Uraikan f(xi+1) disekitar xi
PENS-ITS
8
Metode Numerik
Metode Selisih Maju • Pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil • Error yang dihasilkan
1 11 E(f) hf x 2
PENS-ITS
9
Metode Numerik
Contoh : • Hitung differensial • f(x)=e-xsin(2x) • +1 dari range x=[0,1] dengan h=0.05
PENS-ITS
10
Metode Numerik
Metode Selisih Mundur • Rumus Differensiasi Numerik f x f x h f ' x h
PENS-ITS
11
Metode Numerik
Metode Selisih Mundur
PENS-ITS
12
Metode Numerik
Metode Selisih Mundur
PENS-ITS
13
Metode Numerik
Metode Selisih Mundur • Untuk nilai-nilai f di x0 dan x-1 persamaan rumusnya menjadi:
PENS-ITS
14
Metode Numerik
Metode Selisih Tengahan • Metode selisih tengahan merupakan metode pengambilan perubahan dari dua titik sekitar dari titik yang diukur. f x h f x h f ' ( x) 2h
PENS-ITS
15
Metode Numerik
Metode Selisih Tengahan
PENS-ITS
16
Metode Numerik
Metode Selisih Tengahan • Kesalahan pada metode ini
h 2 111 E(f) f 6
• Perhatikan bahwa pendekatan metode selisih tengahan lebih baik daripada dua pendekatan sebelumnya, sebab orde errornya adalah O(h2)
PENS-ITS
17
Metode Numerik
Contoh • Hitung differensial f(x)=e-xsin(2x)+1 dari range x=[0,1] dengan h=0.05
PENS-ITS
18
Metode Numerik
Differensiasi tingkat tinggi • Differensiasi tingkat tinggi merupakan proses pendifferensialan secara terus-menerus, hingga tingkatan yang ditentukan. • Differensial tingkat 2 f " x f ' f ' x • Differensial tingkat 3
f (3) x f ' f " x
• Differensial tingkat n
f n x f 1 f n1 x
dn f d d n1 f n1 n dx dx dx PENS-ITS
19
Metode Numerik
Differensiasi tingkat tinggi • Differensiasi tingkat 2 untuk M. Selisih Maju f ' x h f ' ( x) f " x h f ( x 2h) f ( x h) f ( x h) f ( x ) h h f " x h f ( x 2h) 2 f ( x h) f ( x ) f " x h2
PENS-ITS
20
Metode Numerik
Differensiasi tingkat tinggi • Differensiasi tingkat 2 untuk M. Selisih Tengahan f ' x h f ' ( x h) f " x 2h f ( x 2h) f ( x ) f ( x ) f ( x 2h) 2h 2h f " x 2h f ( x 2h) 2 f ( x ) f ( x 2h) f " x 4h 2 PENS-ITS
21
Metode Numerik
Rumus Turunan Kedua Metode Selisih Tengahan
PENS-ITS
22
Metode Numerik
Rumus Turunan Kedua Metode Selisih Mundur
PENS-ITS
23
Metode Numerik
Rumus Turunan Kedua Metode Selisih Maju • Dengan cara yang sama diperoleh
PENS-ITS
24
Metode Numerik
Contoh : • Hitung differensial kedua dari f(x)=e-xsin(2x)+1 dari range x=[0,1] dengan h=0.05
PENS-ITS
25
Metode Numerik
Contoh
PENS-ITS
26
Metode Numerik
Contoh
PENS-ITS
27
Metode Numerik
Contoh
PENS-ITS
28
Metode Numerik
Contoh
PENS-ITS
29
Metode Numerik
Pemakaian Differensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva
Kurva tersebut mempunyai 7 titik puncak, yaitu dan .Titik puncak dan dinamakan titik puncak maksimum.Titik puncak dan dinamakan titik puncak minimum. PENS-ITS
30
Metode Numerik
Pemakaian Differensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva • Definisi 1. Suatu titik a pada kurva y = f(x) dinamakan titik puncak bila dan hanya bila : f1(a) = 0.
• Definisi 2. Sebuah titik puncak a dikatakan titik maksimum pada kurva y = f(x) bila : f11(a) < 0. • Definisi 3. Sebuah titik puncak a dikatakan titik minimum pada kurva y = F(x) bila : f11(a) > 0. PENS-ITS
31
Metode Numerik
Contoh : • Tentukan titik-titik puncak dari kurva y = x3-2x2-x dengan mengambil range
Terlihat bahwa nilai puncak terjadi antara 0.75 dan 0.8, karena nilai f’(x) mendekati nol. Pada nilai tersebut terlihat nilai f”(x)<0 maka nilai puncak tersebut adalah nilai puncak maksimum.
PENS-ITS
32
