Diferenci´al a Taylor˚ uv polynom Z´aklady vyˇsˇs´ı matematiky – lesnictv´ı
LDF MENDELU
c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
ZVMT lesnictv´ı
1 / 11
Aproximace funkce v okol´ı bodu
Danou funkci chceme v okol´ı dan´eho bodu nahradit (aproximovat) jednoduˇsˇs´ı funkc´ı. Line´ arn´ı aproximace: Funkci nahrad´ıme line´arn´ı funkc´ı – teˇcnou v dan´em bodˇe. Aproximace pomoc´ı Taylorova polynomu: Funkci nahrad´ıme polynomem stupnˇe n, kter´y m´a v dan´em bodˇe stejnou funkˇcn´ı hodnotu i hodnotu derivac´ı aˇz do ˇr´adu n.
c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
ZVMT lesnictv´ı
2 / 11
Line´arn´ı aproximace
Necht’ f m´a v bodˇe x0 vlastn´ı derivaci. Pak nejlepˇs´ı line´arn´ı aproximac´ı funkce f v okol´ı bodu x0 je teˇ cna ke grafu funkce f v bodˇe x0 , tj. f (x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) pro x dostateˇcnˇe bl´ızk´a k x0 .
c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
ZVMT lesnictv´ı
3 / 11
Geometrick´y v´yznam – diferenci´al Pro funkˇcn´ı hodnotu v bodˇe x0 + h plat´ı: y
f (x0 + h) = f (x0 ) + ∆f (x0 ).
f (x0 + h)
τ (h) df (x0 )
f (x0 )
Pˇr´ır˚ ustek funkce ∆f (x0 ) lze vyj´adˇrit: ∆f (x0 ) = df (x0 ) + τ (h), kde df (x0 ) je tzv. diferenci´al funkce f v bodˇe x0 (= pˇr´ır˚ ustek na teˇcnˇe), tedy
x0
x0 + h
x
df (x0 ) = f 0 (x0 )h.
Je-li h dostateˇcnˇe mal´e (bod x0 + h je bl´ızko bodu x0 ), pak τ (h) je mnohem menˇs´ı neˇz diferenci´al. Hodnotu τ (h) tedy zanedb´ame a skuteˇcn´y pˇr´ır˚ ustek funkce vyj´adˇr´ıme pˇribliˇznˇe pomoc´ı diferenci´alu: . f (x0 + h) = f (x0 ) + f 0 (x0 )h. c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
ZVMT lesnictv´ı
4 / 11
Taylor˚ uv polynom
Necht’ f m´a v bodˇe x0 derivace aˇz do ˇr´adu n. Chceme naj´ıt polynom stupnˇe n, kter´y aproximuje co nejl´epe funkci f v okol´ı bodu x0 . Poˇzadujeme, aby hledan´y polynom mˇel v bodˇe x0 stejnou funkˇcn´ı hodnotu a hodnotu derivac´ı aˇz do ˇr´adu n jako funkce f .
c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
ZVMT lesnictv´ı
5 / 11
Pˇr´ıklad (Motivace) Necht’ f (x) = x1 , x0 = −2. Najdˇete polynom druh´eho stupnˇe, kter´y m´a v bodˇe x0 stejnou funkˇcn´ı hodnotu a stejnou hodnotu prvn´ı a druh´e derivace jako funkce f .
c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
ZVMT lesnictv´ı
6 / 11
Pˇr´ıklad (Motivace) Necht’ f (x) = x1 , x0 = −2. Najdˇete polynom druh´eho stupnˇe, kter´y m´a v bodˇe x0 stejnou funkˇcn´ı hodnotu a stejnou hodnotu prvn´ı a druh´e derivace jako funkce f . Hledan´y polynom je tvaru: P (x) = a + b(x + 2) + c(x + 2)2 .
c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
ZVMT lesnictv´ı
6 / 11
Pˇr´ıklad (Motivace) Necht’ f (x) = x1 , x0 = −2. Najdˇete polynom druh´eho stupnˇe, kter´y m´a v bodˇe x0 stejnou funkˇcn´ı hodnotu a stejnou hodnotu prvn´ı a druh´e derivace jako funkce f . Hledan´y polynom je tvaru: P (x) = a + b(x + 2) + c(x + 2)2 . Spoˇc´ıt´ame derivace: P 0 (x) = b + 2c(x + 2),
f 0 (x) = −
P 00 (x) = 2c
f 00 (x) =
c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
,
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
1 x2 2 x3
ZVMT lesnictv´ı
6 / 11
Pˇr´ıklad (Motivace) Necht’ f (x) = x1 , x0 = −2. Najdˇete polynom druh´eho stupnˇe, kter´y m´a v bodˇe x0 stejnou funkˇcn´ı hodnotu a stejnou hodnotu prvn´ı a druh´e derivace jako funkce f . Hledan´y polynom je tvaru: P (x) = a + b(x + 2) + c(x + 2)2 . Spoˇc´ıt´ame derivace: P 0 (x) = b + 2c(x + 2),
f 0 (x) = −
P 00 (x) = 2c
f 00 (x) =
,
1 x2 2 x3
Porovn´an´ım funkˇcn´ıch hodnot a hodnot derivac´ı polynomu P a funkce f v bodˇe x0 = −2: − 21 = a,
c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
− 14 = b,
− 14 = 2c.
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
ZVMT lesnictv´ı
6 / 11
Pˇr´ıklad (Motivace) Necht’ f (x) = x1 , x0 = −2. Najdˇete polynom druh´eho stupnˇe, kter´y m´a v bodˇe x0 stejnou funkˇcn´ı hodnotu a stejnou hodnotu prvn´ı a druh´e derivace jako funkce f . Hledan´y polynom je tvaru: P (x) = a + b(x + 2) + c(x + 2)2 . Spoˇc´ıt´ame derivace: P 0 (x) = b + 2c(x + 2),
f 0 (x) = −
P 00 (x) = 2c
f 00 (x) =
,
1 x2 2 x3
Porovn´an´ım funkˇcn´ıch hodnot a hodnot derivac´ı polynomu P a funkce f v bodˇe x0 = −2: − 21 = a,
− 14 = b,
− 14 = 2c.
Tedy P (x) = − 12 − 14 (x + 2) − 18 (x + 2)2 . Polynom P (x) je tzv. Taylor˚ uv polynom druh´eho stupnˇe funkce f (x) = stˇredem x0 = −2. c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
1 x
se
ZVMT lesnictv´ı
6 / 11
Stejn´ym zp˚ usobem jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu je moˇzn´e odvodit obecn´y tvar Taylorova polynomu:
Definice (Taylor˚ uv polynom) Necht’ f je funkce, kter´a m´a v bodˇe x0 derivace aˇz do ˇr´adu n. Pak polynom tvaru Tn (x) = f (x0 ) +
f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 1! 2! n!
se naz´yv´a Taylor˚ uv polynom stupnˇe n funkce f se stˇredem x0 . Pˇripomeˇ nme, ˇze n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1. Stˇred x0 je pevnˇe dan´y, promˇenn´a polynomu je x. Pro n = 1, dost´av´ame line´arn´ı polynom T1 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ), tj. teˇcnu ke grafu funkce f v bodˇe x0 .
c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
ZVMT lesnictv´ı
7 / 11
Pozn´amka Polynom Tn a funkce f maj´ı v bodˇe x0 stejnou funkˇcn´ı hodnotu i hodnotu vˇsech derivac´ı aˇz do ˇr´adu n, tj. Tn (x0 )
= f (x0 )
Tn0 (x0 ) Tn00 (x0 )
= f 0 (x0 )
Tn(n) (x0 )
c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
= f 00 (x0 ) .. . = f (n) (x0 )
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
ZVMT lesnictv´ı
8 / 11
Vˇeta (Taylorova) Necht’ f je funkce, kter´a m´a v okol´ı O(x0 ) bodu x0 derivace aˇz do ˇr´adu n + 1. Necht’ Tn (x) je Taylor˚ uv polynom funkce f se stˇredem x0 . Pak (1)
f (x) = Tn (x) + Rn+1 (x)
pro vˇsechna x ∈ O(x0 ), kde Rn+1 (x) je tzv. zbytek, kter´y lze vyj´adˇrit ve tvaru Rn+1 (x) =
f (n+1) (c) (x − x0 )n+1 , (n + 1)!
kde c je nˇejak´e ˇc´ıslo mezi x a x0 . Zbytek Rn+1 (x) lze vyj´adˇrit i v jin´ych tvarech. Tvar zbytku uveden´y v pˇredchoz´ı vˇetˇe je tzv. Lagrange˚ uv tvar zbytku. Vzorec (1) se naz´yv´a Taylor˚ uv vzorec.
c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
ZVMT lesnictv´ı
9 / 11
Polynom Tn (x) aproximuje funkci f (x) v okol´ı bodu x0 s chybou Rn+1 (x). Pokud je x dostateˇcnˇe bl´ızko k x0 , p´ıˇseme f (x) ≈ Tn (x). Pokud n = 1, pak f (x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ), tj. funkci f aproximujeme jej´ı teˇcnou v bodˇe x0 . ˇ ım menˇs´ı je okol´ı bodu x0 a ˇc´ım vˇetˇs´ı je n, t´ım je aproximace lepˇs´ı. C´
c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
ZVMT lesnictv´ı
10 / 11
Pˇr´ıklad
f (x) =
1 , x0 = −2 x
c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
ZVMT lesnictv´ı
11 / 11
Pˇr´ıklad
f (x) =
1 , x0 = −2 x
1 2 1 1 0 0 f (x) =− 2 , f (−2) =− x 4 2 1 00 00 f (x) = 3 , f (−2) =− x 4 6 3 000 000 f (x) =− 4 , f (−2) =− x 8 f (−2) =−
c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
ZVMT lesnictv´ı
11 / 11
Pˇr´ıklad T1 (x) = − 12 − 14 (x + 2) f (x) =
1 , x0 = −2 x
y −2 0
x
1 f (−2) =− 2 1 1 0 0 f (x) =− 2 , f (−2) =− x 4 2 1 00 00 f (x) = 3 , f (−2) =− x 4 6 3 000 000 f (x) =− 4 , f (−2) =− x 8
S rostouc´ım stupnˇem Taylorova polynomu dost´av´ame lepˇs´ı aproximaci ve vˇetˇs´ım okol´ı bodu. c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
ZVMT lesnictv´ı
11 / 11
Pˇr´ıklad T2 (x) = − 12 − 14 (x + 2) − 18 (x + 2)2 f (x) =
1 , x0 = −2 x
y −2 0
x
1 f (−2) =− 2 1 1 0 0 f (x) =− 2 , f (−2) =− x 4 2 1 00 00 f (x) = 3 , f (−2) =− x 4 6 3 000 000 f (x) =− 4 , f (−2) =− x 8
S rostouc´ım stupnˇem Taylorova polynomu dost´av´ame lepˇs´ı aproximaci ve vˇetˇs´ım okol´ı bodu. c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
ZVMT lesnictv´ı
11 / 11
Pˇr´ıklad 1 (x + 2)3 T3 (x) = − 12 − 14 (x + 2) − 81 (x + 2)2 − 16
f (x) =
1 , x0 = −2 x
y −2 0
x
1 f (−2) =− 2 1 1 0 0 f (x) =− 2 , f (−2) =− x 4 2 1 00 00 f (x) = 3 , f (−2) =− x 4 6 3 000 000 f (x) =− 4 , f (−2) =− x 8
S rostouc´ım stupnˇem Taylorova polynomu dost´av´ame lepˇs´ı aproximaci ve vˇetˇs´ım okol´ı bodu. c
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Diferenci´ al a Taylor˚ uv polynom
ZVMT lesnictv´ı
11 / 11
