DETEKSI GANGGUAN KONDUKSI PANAS PADA BATANG LOGAM MENGGUNAKAN METODE ENSEMBLE KALMAN FILTER Oleh : Wiwid Sofiyanti Budiono 1206 100 027 Dosen Pembimbing : Dr. Erna Apriliani, M.Si Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2010 Abstrak Salah satu masalah utama yang ada pada metode Kalman Filter adalah mengestimasi suatu masalah dalam skala besar adalah beban komputasi yang dibutuhkan juga sangat besar. Sehingga diperlukan pendekatan lain yang merupakan modifikasi dari metode Kalman Filter yaitu metode Ensemble Kalman Filter (EnKF). Pada Tugas Akhir ini dilakukan pendeteksian konduksi panas pada batang yang terbuat dari bahan logam. Berdasarkan pengukuran aliran panas yaitu pada posisi tertentu pada batang logam dikarenakan keterbatasan alat ukur atau tidak memungkinkan untuk memasang alat ukur sepanjang batang yang ada, selanjutnya karena ada pengaruh dari luar akibat adanya kebocoran yang disebut dengan gangguan yang berupa aliran panas yang diberikan secara terusmenerus maka digunakan metode Ensemble Kalman Filter untuk memprediksi adanya gangguan tersebut dengan cara membangkitkan sejumlah ensemble secara random. Hasil yang diperoleh adalah diketahui adanya gangguan serta letak posisi dari gangguan tersebut. Serta mengetahui tingkat sensitivitas metode Ensemble Kalman Filter yang diketahui dari besar gangguan dan banyaknya alat ukur yang berbeda. Kata Kunci : Kalman Filter, Ensemble Kalman Filter, konduksi panas. 1. Pendahuluan Hubungan antara fisika dan matematika tidak dapat dipisahkan. Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita jumpai permasalahanpermasalahan fisis yang banyak menggunakan hukum-hukum fisika dan penerapan ilmu matematika salah satunya adalah memodelkan suatu kasus fisis, kasus-kasus itu diantaranya osilasi pada gelombang, fluida bergerak, aliran panas dan lain sebagainya. Filter Kalman merupakan salah satu metode untuk mengestimasi suatu masalah menggunakan sistem keadaan dan model pengukuran yang diperkenalkan pertama kali oleh Rudolph E. Kalman (1960). Algoritma pada filter kalman hanya dapat diimplementasikan pada model dinamik linier saja, akan tetapi banyak permasalahan tidak hanya berupa sistem yang linier melainkan juga sistem yang nonlinier, sehingga perlu dikembangkan algoritma yang dapat diimplementasikan pada model sistem dinamik nonlinier. Salah satu algoritma yang telah
dikembangkan adalah Ensemble Kalman Filter (EnKF) yang berasal dari modifikasi algoritma filter Kalman. Ensemble Kalman Filter dapat digunakan untuk mengestimasi model dinamik linear maupun nonlinear dengan membangkitkan sejumlah ensemble sebagai inisialisasi untuk menghitung nilai mean dan kovarian error variabel sistem kadaan yang digunakan dalam algoritma Kalman Filter. Dalam Tugas Akhir ini diambil suatu kasus yaitu tentang deteksi gangguan konduksi panas pada suatu batang logam dengan metode Ensemble Kalman Filter. Sehingga dari hasil simulasi dengan Matlab dapat diketahui seberapa sensitif metode tersebut dalam mendeteksi gangguan konduksi panas pada batang logam.
1
2. Konduksi Panas Pada Batang Logam Apabila diberikan suatu batang logam homogen yang seluruh penampangnya telah diisolasi sempurna sehingga tidak ada panas yang dapat menembus sisi-sisi batang tersebut dan dianggap pula bahwa temperatur yang mengalir sepanjang batang hanya dipengaruhi oleh posisi dan waktu. Untuk selanjutnya temperatur dinotasikan dengan u dan waktu dinotasikan dengan t . Jadi u adalah fungsi dari x dan t atau dapat ditulis dengan u ( x, t ) . Semua posisi sepanjang batang dinotasikan sebagai x , dan panjang batang dinotasikan dengan l sehingga 0 < x < l.
pendiskritan U t karena untuk mengetahui prediksi kedepannyan dan Metode Beda Hingga Pusat untuk pendiskritan U xx karena memiliki error paling minimum diantara metode Beda Hingga yang lain, maka dari persamaan 2.1 didapat:
U it,+j1 = pU it+1, j + (1 − 2 p )U it, j + pU it−1, j
p=
dengan
x=0
x=l
Variasi pada batang dapat dinyatakan dalam suatu persamaan yang disebut dengan persamaan konduksi panas, yaitu:
∂U ∂ 2U = k 2 , (0 < x < L, t > 0 ). ∂t ∂x
(2.1)
dengan: ⎡ u1 ⎤ ⎢u ⎥ ⎢ 2⎥ U = ⎢u3 ⎥, ⎢ ⎥ ⎢M⎥ ⎢⎣uN ⎥⎦
t+1
⎡u1 ⎤ ⎡1−2p ⎢u ⎥ ⎢p ⎢ 2⎥ ⎢ ⎢u3⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢u4⎥ ⎢M ⎢u5⎥ ⎢M ⎢ ⎥ =⎢ ⎢u6⎥ ⎢M ⎢u ⎥ ⎢M ⎢ 7⎥ ⎢ ⎢M ⎥ ⎢M ⎢M ⎥ ⎢M ⎢ ⎥ ⎢ ⎣⎢ul ⎦⎥ ⎣⎢0
⎤ 1−2p p 0 L L L L L M ⎥⎥ 1−2p p 0 LLLLM ⎥ p ⎥ 0 1−2p p 0 L L L M ⎥ p 0 M OOOLLM ⎥ p ⎥ 0 M M OOOOLM ⎥ 0 OOOOM ⎥ M M M ⎥ M M M M 0 OOO0 ⎥ M M M M M 0 OO p ⎥ ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 p 1−2p⎦⎥ p
0
L
LLLLL0
t
dengan
3. Diskritisasi Model Model persamaan konduksi panas pada persamaan (2.1) harus didiskritkan terlebih dahulu agar dapat diterapkan pada algoritma EnKF dengan menggunakan metode Numerik yaitu metode Beda Hingga. Pada Tugas Akhir ini digunaka metode Beda Hingga Maju untuk
untuk ujung batang logam
⎡ u1 ⎤ ⎡ pu 0 ⎤ ⎢u ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢u 3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢u 4 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢u 5 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ +⎢ ⎥ ⎢u 6 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢u ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 7⎥ ⎢ ⎥ ⎢M ⎥ ⎢M ⎥ ⎢M ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ u1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
k = thermal diffusivity (koefisien sebaran panas) dari bahan logam. (W/moC) U xx
awal
sebelah kanan. Sehingga diperoleh bentuk umum dalam bentuk matriks hasil diskritisasi yaitu:
u t = u ( xt , t ) , panas pada posisi x = t pada saat t dengan t = 1,2,...., N , (oC)
∂ 2U ∂U = 2 , dan U t = ∂t ∂x
kondisi
menggunakan syarat batas Dirihclet dengan u 0 = 100°C untuk ujung batang logam sebelah kiri dan syarat batas Numann dengan
du ( 20) = 0 dx ݔ
kΔt , Δx 2
x k +1
⎡u1 ⎢u ⎢ 2 ⎢u 3 ⎢ ⎢u 4 ⎢u 5 = ⎢ ⎢u 6 ⎢u ⎢ 7 ⎢ M ⎢ M ⎢ ⎢⎣ u l
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
t +1
2
0 L L L L LL 0 ⎤ ⎡1−2p p ⎢ p 1−2p p 0 L L L L L M ⎥⎥ ⎢ ⎢ 0 0 L L LL M ⎥ p 1−2p p ⎥ ⎢ 0 1 2 0 M L LL M ⎥ p p p − ⎢ ⎢ M 0 0 LL M ⎥ M p 1−2p p A= ⎢ ⎥ 0 M M p 1−2p p 0 L M ⎥ ⎢ M ⎢ M 0 M M M p 1−2p p 0 M ⎥ ⎥ ⎢ 0 M M M M M O OO 0 ⎥ ⎢ ⎢ M M M M M M 0 OO p ⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣ 0 L L L L L 0 p 1−2p⎥⎦ 0
⎡ u1 ⎤ ⎢u ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢u 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢u 4 ⎥ ⎢u ⎥ xk = ⎢ 5 ⎥ ⎢u 6 ⎥ ⎢u ⎥ ⎢ 7⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ u l ⎥⎦
t
⎡ pu 0 ⎤ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ , ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ B=⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 ⎦⎥
wk
adalah
noise
sistem
yang
berdistribusi normal dengan variansi Qk . Pada algoritma EnKF standar, model sistem konduksi panas pada batang logam adalah:
xk +1 = f ( xk , u k ) + wk Dengan f ( xk , uk ) adalah model hasil pendiskritan. Sehingga diperoleh:
xk +1 = Ak xk + Bk u k + Ek d k + wk dan model pengukurannya adalah:
z k = Hxk + vk Ak adalah matriks keadaan berukuran 20 × 20 yang diperoleh dari diskritisasi
dengan matriks A dan matriks B adalah matriks dari hasil diskritisasi. Sehingga setelah didiskritkan persamaan konduksi panas menjadi: u k +1 = Axk + Buk + Ed k dengan E merupakan matriks gangguan yang akan di inputkan. 4. Penerapan Metode EnKF Untuk Konduksi Panas Pada Batang Logam Model pada persamaan 2.1 digunakan untuk sistem yang terisolasi secara sempurna pada sisi-sisi batang kawat. Sedangkan pada kenyataannya, pada umumnya tidak demikian, artinya terdapat perpindahan panas antara batang kawat dan udara, yang disebut dengan noise atau gangguan sistem, yang pada pemodelan semula tidak diperhitungkan. Hal ini dapat ditunjukkan pada gambar berikut: udara perpindahan panas
x
x=0
dengan
persamaan 2.1 dengan menggunakan interval diskritisasi yaitu f = 20 yang menyatakan banyaknya pendiskritan.
Bk adalah matrik hasil pendiskritan persamaan 2.1 berukuran 20× 20 . u k adalah variabel input berdasarkan nilai awal yang diberikan dari syarat batas yang telah ditentukan yaitu dengan suhu 100oC. Pada ujung sebelah kiri batang diberikan suhu awal agar batang tidak dalam keadaan diam karena ketika tidak diberikan suhu awal maka pada saat diberikan inputan yang berupa gangguan, hasil pendeteksian tidak begitu terlihat.
H adalah matriks pengukuran berukuran b × s dimana b menunjukkan berapa jumlah alat ukur yang akan dipasang dan s munjukkan ukuran matriks keadaan. Misalkan jumlah alat ukur yang akan dipasang adalah 3, maka matrik H berukuran 3× 20 dengan: ⎡0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 L L L L L L L L L 0⎤ H = ⎢⎢0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 L L L L L L L L L 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 L L L L L L L L L 0⎥⎦
x=l
Sehingga persamaan 2.1 dapat ditulis menjadi:
U t = kU xx + wk 3
hal ini dapat ditunjukkan pada gambar berikut:
Posisi yang akan diestimasi
x0 x1
x 2 x3
xN
x=0
x=l
Ek adalah matriks gangguan inputan berukuran 20x20 yang menyatakan besarnya gangguan panas yang diberikan. Pada Tugas Akhir ini terdapat beberapa sumber panas dan yang diberikan karena untuk mengetahui kesensitivan dari metode Ensemble Kalman Filter. Misalkan pada titik (2,12) yang berarti pada baris ke-2 dan kolom ke-12 diberikan inputan panas sebesar 5oC , maka matrik E yang berukuran 20x20 menjadi: ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢M ⎢M ⎢ ⎢M ⎢M ⎢ E = ⎢M ⎢M ⎢ ⎢M ⎢ ⎢M ⎢M ⎢ ⎢M ⎢M ⎢ ⎣⎢ 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
L L
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
L
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
L
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
L
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
L
M M
M M
M M
M M
M M
M M
M M
M M
M M
M M
M M
M M
L L
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
L
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
L
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
L
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
L
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
L
M 0
M 0
M 0
M 0
M 0
M 0
M 0
M 0
M 0
M 0
M 0
M 0
L L
0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ M⎥ M⎥ ⎥ M⎥ M⎥ ⎥ M⎥ M⎥ ⎥ M⎥ ⎥ M⎥ M⎥ ⎥ M⎥ M⎥ ⎥ 0 ⎦⎥
hal ini dapat dilihat pada gambar berikut: Gangguan akibat kurang sempurnanya proses isolasi u
5. Simulasi dan Evaluasi Hasil simulasi akan dievaluasi dengan cara membandingkan keadaan real dengan hasil estimasi EnKF. Setiap hasil simulasi menghasilkan nilai yang berbeda. Pada pembahasan simulasi hanya dibahas untuk gangguan yang sangat kecil yaitu 5oC dan gangguan yang paling besar yaitu 48oC. Hal ini bertujuan untuk menunjukkan bahwa dengan gangguan yang kecil metode EnKF sudah dapat mendeteksi adanya gangguan tersebut. Sehingga kesensitivan metode ini dapat dilihat dari simulasi beberapa besar gangguan tersebut. Selanjutnya disajikan hasil simulasi dengan jumlah ensemble N = 200 ,
dengan iterasi sebanyak T = 50 , kovarian noise pada sistem sebesar Q = 0.01 , dan kovarian noise pada pengukuran sebesar R = 0.01 . Hal ini dilakukan karena dengan N = 200 , T = 50 , Q = 0.01 , dan R = 0.01 hasil simulasi yang diperoleh mencapai hasil yang bagus dengan nilai RMS error yang sangat kecil. 6. Penyebaran Panas Pada Batang Logam Tanpa Gangguan Pada Tugas Akhir ini dicoba beberapa besar gangguan yang telah dijelaskan sebelumnya. Tetapi sebelum mencoba gangguan-gangguan tersebut maka perlu diketehui juga bagaimana bentuk grafik jika pada sistem tidak diberi gangguan. Hasil penyebaran panas tanpa gangguan dapat ditunjukkan pada gambar 4.3:
Gambar 4.3 Penyebaran Panas Pada Batang Logam Tanpa Gangguan Dari gambar 4.3 terlihat bahwa suhu real dan hasil estimasi berada pada satu garis yang menunjukkan bahwa tingkat akurasi hasil estimasi bagus dan suhunya terus menerus turun secara kontinu menuju kesuatu nilai. 7. Deteksi dengan Menggunakan 5 Alat Ukur Pada deteksi yang pertama persamaan konduksi panas pada batang logam dideteksi dengan menggunakan 5 alat ukur, maka matriks H berukuran 5× 20 . Setelah diterapkan metode Ensemble Kalman Filter maka hasilnya dapat dilihat pada gambar berikut ini.
4
Gambar 4.4 Deteksi Gangguan Konduksi Panas Pada Batang Logam dengan 5 alat ukur untuk suhu 48oC Gambar 4.4 merupakan hasil simulasi dengan gangguan yang besar yaitu 48o C. Berdasarkan gambar diatas dapat diketahui hasil pendeteksian gangguan konduksi panas pada batang logam menggunakan metode EnKF. Terlihat bahwa pada posisi pertama sampai dengan posisi ke-4 suhu real maupun hasil estimasi menurun secara kontinu. Setelah posisi ke-4 suhu real mulai naik sampai posisi ke-12. Sehingga dari gambar 4.4 terlihat bahwa pada posisi ke-12 terdapat gangguan yaitu adanya panas yang masuk. Setelah melihat hasil simulasi dapat dikatakan bahwa metode Ensemble Kalman Filter dapat mendeteksi adanya gangguan konduksi panas pada batang logam. Tetapi pada hasil estimasi kenaikan suhu terjadi setelah posisi ke-12 tepatnya pada posisi ke-13. Sedangkan setelah posisi ke-13 suhu kembali turun secara kontinu menuju kesuatu nilai sampai posisi ke20. Karena baru setelah posisi ke-12 baru terjadi kenaikan suhu pada hasil estimasi EnKF, maka dicoba ditambahkan satu alat ukur disekitar posisi tersebut, misalkan diposisi ke-11. Hal ini bertujuan untuk melihat perubahan antara real dan hasil estimasi EnKF. Hasilnya dilihat pada hasil simulasi berikut ini.
Berdasarkan Gambar 4.4 dan Gambar 4.5 dengan suhu yang besar yaitu 48oC metode Ensemble Kalman Filter dapat mendeteksi adanya gangguan pada batang logam. Dalam Tugas Akhir ini juga dicoba untuk gangguan yang sangat kecil yaitu 5oC. Hasil simulasinya dapat dilihat pada gambar dibawah ini.
Gambar 4.6 Deteksi Gangguan Konduksi Panas Pada Batang Logam dengan 5 alat ukur untuk suhu 5oC Berdasarkan gambar 4.6 dapat dilihat bahwa dengan gangguan yang sangat kecil masih dapat dideteksi oleh metode Ensemble Kalman Filter. Terlihat bahwa pada posisi pertama sampai dengan posisi ke-9 suhu real maupun hasil estimasi menurun secara kontinu. Tetapi pada posisi ke-12 untuk hasil real suhu naik sehingga dapat dikatakan pada posisi tersebut terdapat gangguan yaitu adanya panas yang masuk. Tetapi pada hasil estimasi kenaikan suhu baru terjadi setelah posisi ke12. Dapat dikatakan sama dengan gambar 4.4 bahwa pada hasil estimasi suhu naik setelah posisi gangguan pada hasil realnya. Sedangkan setelah posisi ke-12 suhu kembali turun secara kontinu menuju kesuatu nilai sampai posisi ke20. Karena baru setelah posisi ke-12 terjadi kenaikan suhu pada hasil estimasi EnKF maka juga dicoba ditambahkan satu alat ukur disekitar posisi tersebut, misalkan diposisi ke11. Hal ini juga bertujuan untuk melihat perubahan antara real dan hasil estimasi EnKF. Hasil simulasinya dilihat pada gambar dibawah ini.
Gambar 4.5 Deteksi Gangguan Konduksi Panas Pada Batang Logam dengan 6 alat ukur untuk suhu 48oC Dari gambar 4.5 terlihat bahwa ketika disisipkan satu alat ukur lagi pada daerah yang menunjukkan bahwa disitu terdeteksi adanya gangguan maka grafik hasil estimasi lebih mendekati hasil realnya.
Gambar 4.7 Deteksi Gangguan Konduksi Panas Pada Batang Logam dengan 6 alat ukur untuk suhu 5oC 5
Dari gambar 4.7 terlihat bahwa ketika disisipkan satu alat ukur lagi pada daerah yang menunjukkan bahwa disitu terdeteksi adanya gangguan maka grafik hasil estimasi lebih mendekati hasil realnya. Secara keseluruhan hasil pendeteksian untuk 5 alat ukur dan 6 alat ukur juga dapat dilihat pada tabel 4.3 dan tabel 4.4. Estimasi dilakukan dengan 10 kali simulasi, ini bertujuan untuk menunjukkan bahwa tiap simulasi menghasilkan nilai yang berbeda. Hal ini dikarenakan terdapat parameter random pada model yang terdapat pada noise sistem dan noise alat ukur.Tabel 4.3 RMS Error algoritma EnKF menggunakan 5 alat ukur BESAR Rata-rata EnKF GANGGUAN o 5C 0.00503 10oC 0.01029 o 20 C 0.02016 35oC 0.03642 48oC 0.04289 RMS Error menunjukkan rata-rata kesalahan estimasi dari algoritma yang digunakan. Dari Tabel 4.3 dapat diketahui bahwa RMS Error EnKF paling minimum dari terjadi ketika gangguan terkecil yaitu 5oC . Artinya semakin besar gangguan maka semakin besar pula error yang terjadi.Tabel 4.4 RMS Error algoritma EnKF menggunakan 6 alat ukur. BESAR Rata-rata EnKF GANGGUAN o 5C 0.00206 10oC 0.00575 20oC 0.01104 35oC 0.01810 o 48 C 0.02094 Berdasarkan tabel 4.4 terlihat bahwa error EnKF paling kecil juga terjadi saat suhu terkecil. Sehingga dari Tabel 4.3 dan Tabel 4.4 dapat dikatakan bahwa setelah ditambahkan satu alat ukur maka rata-rata EnKF menurun, artinya hasil estimasi pada 6 alat ukur lebih mendekati real dari pada yang 5 alat ukur. Selain RMS Error, posisi gangguan yang dapat dilihat dari grafik disajikan dalam Tabel 4.5. Tabel 4.5 Posisi Gangguan pada Grafik menggunakan 5 alat ukur
POSISI BESAR GANGGUAN REAL EnKF 5oC 12 13 10oC 12 13 o 20 C 12 13 35oC 12 13 48oC 12 13 Berdasarkan Tabel 4.5 terlihat bahwa posisi gangguan pada estimasi EnKF baru terlihat setelah posisi gangguan pada saat real yaitu setelah posisi ke-12. Sehingga untuk mencari dimana posisi gangguan pada estimasi EnKF haruslah diperhatikan posisi sebelum terdeteksinya gangguan atau naiknya suhu. 8. Deteksi dengan Menggunakan 10 Alat Ukur Deteksi persamaan konduksi panas pada batang logam dilakukan dengan menggunakan 10 alat ukur, maka matriks H berukuran 10× 20 . Perbedaan mendasar dengan deteksi bagian sebelumnya adalah penentuan matriks H dalam hal ini jumlah alat ukur untuk mendeteksi penyebaran panas pada batang logam. Setelah diterapkan metode Ensemble Kalman Filter maka hasilnya dapat dilihat pada gambar berikut ini.
Gambar 4.8 Deteksi Gangguan Konduksi Panas Pada Batang Logam dengan 10 alat ukur untuk suhu 48oC Gambar 4.8 menyajikan grafik penyebaran panas dengan 10 alat ukur. Jika diperhatikan secara langsung, dapat diketahui bahwa sebelum dan sesudah terjadi gangguan kurva estimasi EnKF lebih berhimpit dengan kurva sebenarnya. Hal ini menunjukkan tingkat akurasi EnKF dalam mendeteksi dengan 10 alat ukur lebih baik dari pada hanya menggunakan 5 alat ukur. Seperti ketika menggunakan 5 alat ukur, pada penggunaan 10 alat ukur dicoba juga menambahkan satu alat ukur pada daerah yang 6
terdeteksi adanya gangguan. Hasil pendeteksian dengan 11 alat ukur dapat dilihat pada gambar 4.9.
kenaikan suhu pada hasil estimasi EnKF maka juga dicoba ditambahkan satu alat ukur disekitar posisi tersebut, misalkan diposisi ke11. Hasil simulasinya dilihat pada gambar 4.7.
Gambar 4.9 Deteksi Gangguan Konduksi Panas Pada Batang Logam dengan 11 alat ukur untuk suhu 48oC
Gambar 4.10 Deteksi Gangguan Konduksi Panas Pada Batang Logam dengan 11 alat ukur untuk suhu 5oC
Dari gambar 4.9 terlihat bahwa ketika disisipkan satu alat ukur lagi pada daerah yang menunjukkan bahwa disitu terdeteksi adanya gangguan maka grafik hasil estimasi lebih mendekati hasil realnya.
Dari gambar 4.7 terlihat bahwa ketika disisipkan satu alat ukur lagi pada daerah yang menunjukkan bahwa disitu terdeteksi adanya gangguan maka grafik hasil estimasi lebih mendekati hasil realnya.
Berdasarkan Gambar 4.8 dan Gambar 4.9 dengan suhu yang besar yaitu 48oC metode Ensemble Kalman Filter dapat mendeteksi adanya gangguan pada batang logam. Sehingga dicoba juga untuk suhu yang kecil yaitu 5oC. Hasil simulasinya dapat dilihat pada gambar dibawah ini.
Secara keseluruhan hasil pendeteksian untuk 10 alat ukur dan 11 alat ukur juga dapat dilihat pada tabel 4.6 dan tabel 4.7. Dimana simulasi dilakukan sebanyak 10 kali.
Gambar 4.9 Deteksi Gangguan Konduksi Panas Pada Batang Logam dengan 10 alat ukur untuk suhu 5oC Berdasarkan gambar 4.6 dapat dilihat bahwa dengan gangguan yang sangat kecil masih dapat dideteksi oleh metode Ensemble Kalman Filter. Terlihat bahwa pada posisi pertama sampai dengan posisi ke-11 suhu real maupun hasil estimasi menurun secara kontinu. Tetapi pada posisi ke-12 untuk hasil real suhu naik sehingga dapat dikatakan pada posisi tersebut terdapat gangguan yaitu adanya panas yang masuk. Tetapi pada hasil estimasi kenaikan suhu baru terjadi setelah posisi ke12. Sedangkan setelah posisi ke-12 suhu kembali turun secara kontinu menuju kesuatu nilai sampai posisi ke- 20. Sama seperti langkah sebelumnya karena baru setelah posisi ke-12 terjadi
Tabel 4.6 RMS Error algoritma EnKF menggunakan 10 alat ukur BESAR Rata-rata EnKF GANGGUAN o 5C 0.00247 10oC 0.00483 20oC 0.00866 35oC 0.01841 48oC 0.02343 Pada Tabel 4.6 diketahui nilai RMS Error algoritma EnKF semakin besar karena gangguan yang diberikan semakin besar pula. Tetapi jika dibandingkan dengan RMS Error pada Tabel 4.3, RMS Error pada Tabel 4.6 jauh lebih kecil karena semakin banyak alat ukur maka semakin kecil pula errornya. Tabel 4.7 RMS Error algoritma EnKF menggunakan 11 alat ukur BESAR Rata-rata EnKF GANGGUAN 5oC 0.00107 0.00243 10oC 0.00651 20oC 35oC 0.00846 0.01185 48oC Pada Tabel 4.7 diketahui nilai RMS Error EnKF pada 11 alat ukur juga menurun 7
dibandingkan dengan pemasangan 10 alat ukur. Begitu juga bila dibandingkan degan RMS Error EnKF pada 5alat ukur dan 6 alat ukur. Sehingga dengan semakin banyaknya alat ukur yang dipasang maka hasil estimasi EnKF akan lebih bagus yang artinya hasil estimasi akan lebih mendekati hasil realnya. Selain RMS Error, posisi gangguan yang dapat diperoleh dari grafik juga disajikan dalam Tabel 4.8. Tabel 4.8 Posisi Gangguan pada Grafik menggunakan 10 alat ukur POSISI BESAR GANGGUAN REAL EnKF 5oC 12 13 10oC 12 13 20oC 12 13 o 35 C 12 13 48oC 12 13 Berdasarkan Tabel 4.8 terlihat bahwa posisi gangguan pada estimasi EnKF juga baru terlihat setelah posisi gangguan pada saat real yaitu setelah posisi ke-12. Sehingga untuk mencari dimana posisi gangguan pada estimasi EnKF haruslah diperhatikan posisi sebelum terdeteksinya gangguan atau naiknya suhu. 9. Kesimpulan dan Saran Kesimpulan yang diperoleh berdasarkan hasil analisis dan pembahasan adalah sebagai berikut: 1.
2.
3.
Berdasarkan hasil simulasi menunjukkan bahwa Metode Ensemble Kalman Filter mampu mendeteksi adanya gangguan panas yang masuk. Tidak hanya gangguan yang besar tetapi gangguan yang sangat kecilpun mampu terdeteksi. Tingkat sensitivitas metode Ensemble Kalman Filter terlihat dari terdeteksinya gangguan, mulai dari suhu yang kecil sampai yang besar serta banyaknya alat ukur yang dipasang. Hasil simulasi pendeteksian yang telah dilakukan menggunakan algoritma EnKF standar menunjukkan bahwa nilai estimasi EnKF mempunyai nilai RMS Error yang semakin menurun akibat semakin banyaknya alat ukur yang dipasang.
4.
5.
Semakin banyak alat ukur yang dipasang maka hasil estimasi EnKF lebih mendekati hasil realnya. Posisi gangguan pada estimasi EnKF baru terlihat setelah posisi gangguan pada saat real. Sehingga untuk mencari dimana posisi gangguan pada estimasi EnKF haruslah diperhatikan juga posisi sebelum terdeteksinya gangguan atau naiknya suhu.
Adapun saran dari penulis untuk penelitian selanjutnya adalah: Pada penelitian ini, permasalahan yang dikaji masih jauh dari sempurna. Sehingga sangat memungkinkan untuk lebih dikembangkan bidang kajiannya lebih luas dan lebih lanjut lagi. Oleh karena itu, penulis menyarankan untuk mengkaji lebih jauh tentang sensitivitas yang diperhitungkan lebih detail dengan perhitungan analisis sensitivitas. 10. DAFTAR PUSTAKA 1. Evensen, G. 2003. The Ensemble Kalman Filter: Theoretical formulation and practical implementation. Springer-Verlag. 2. Gerald, C F. 1994. Applied Numerical Analysis. Polytechnic State University, California. 3. Holman, J. P. 2002. Heat Transfer 9th ed. McGraw-Hill Companies. Avenue of the Americas, New York. 4. Jasmir. 2008. Penerapan Akar Kuadrat Pada Ensemble Kalman Filter. Tesis Magister, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. 5. Kristanti, F, dkk. 2008. Persamaan Differensial Panas Suatu Batang Homogen. URL:http://www.google.com (diakses tanggal 15 Maret 2010) 6. Lewis, F. L. 2008. Optimal Estimation with an Introduction to Stochastic Control Theory. John Wiley and Sons, Inc, USA 7. Lewis, M. J, dkk. 2006. Dynamic Data Assimilation: A Least Squares Approach. University Press, Cambridge. 8. Purnomo Kosala Dwija. 2008. Aplikasi Metode Ensemble Kalman Filter Pada Model Populasi Plankton. Tesis Magister, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. 9. Soehardjo. 2004. Persamaan Diferensial Parsial. Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. 8
9
