MATEMATIKA II
DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)
sugengpb.lecture.ub.ac.id ananda.lecture.ub.ac.id
BARISAN ¡ Barisan merupakan kumpulan suatu bilangan (atau bentuk aljabar) yang disusun sehingga membentuk suku-suku yang dipisahkan dengan tanda koma dan memiliki pola tertentu. ¡ Bentuknya disusun sebagai berikut :
u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,.... ¡ Keterangan : u 1 artinya suku ke-1 (suku pertama) u 2 artinya suku ke-2 (suku kedua) dan seterusnya....
CONTOH BARISAN ¡ 1). Barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, .... Keterangan : - suku ke-1 (suku pertama) adalah 1 (u 1 =1), - suku ke-2 (suku kedua) adalah 3 (u 2 =3), - suku ke-3 (suku ketiga) adalah 5 (u 3 =5), - dan seterusnya .... 2). Barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8, .... 3). Barisan sebarang : 1, 5, 3, -2, 5, 7, ...
BARISAN
BARISAN ARITMETIKA Beda “b”
BARISAN GEOMETRI Rasio “r”
1. BARISAN ARITMETIKA ¡ Barisan Aritmetika merupakan suatu barisan yang memiliki selisih yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan.
¡ Nilai selisih yang sama itu dinamakan “bedanya” yang disimbulkan dengan huruf b .
¡ Misal barisannya : u 1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 ,u 5 ,u 6 ,u 7 ,.... Cara menghitung bedanya (b) adalah b=u 2 −u 1 =u 3 −u 2 =u 4 −u 3 =.....=u n −u n − 1
BARISAN ARITMETIKA (2) ¡ Adapun rumus suku ke-n nya adalah u n =a+(n−1)b ¡ Dengan: a = suku pertamanya (u 1 ), b = bedanya u n = suku ke-n
CONTOH BARISAN ARITMETIKA ¡ 1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan aritmetika? a). 1, 3, 5, 7, ..... b). 2, 5, 8, 11, 14, .... c). 1, 2, 5, 7, 8, .... d). 3, 5, 6, 2, 12, .... e). 4, 2, 0, -2, -4, ....
BARISAN DAN DERET Ø Deret dibentuk oleh jumlah dari suku-suku suatu barisan. Ø Contoh: ¡ (a) 1, 3, 5, 7, …… (barisan) ¡ (b) 1 + 3 + 5 + 7 + …… (deret) Ø Suku-suku suatu deret sbb: § u 1 (suku pertama), u 2 (suku kedua), u 3 (suku ketiga), dst. §
u r (suku ke-r), u r + 1 (suku ke-(r+1)), dst.
§ S n : jumlah dari n suku pertama. Ø Deret Aritmetik dan Deret Geometrik ….???
1A.DERET ARITMETIKA ¡ D eret aritmetika merupakan jumlahan dari suku-suku pada barisan aritmetika. ¡ J umlahan yang dimaksud adalah penjumlahan untuk beberapa suku berhingga (n suku pertama). ¡ S imbol yang digunakan adalah s n yang artinya jumlah n suku pertama.
1A.DERET ARITMETIKA ¡ Rumus Umum:
∞
∑a
n
= a + (a + b ) + (a + 2b ) + (a + 3b ) + .....
n =1
Ø Dimana: § a = suku pertama § b = beda § Suku ke-n : a + (n-1) b § Jumlah dari n suku pertama : 𝑆↓𝑛 =𝑛/2 (2𝑎+(𝑛−1)𝑏)
DERET ARITMETIKA (2)
¡ Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya langsung.
DERET ARITMETIKA (3) ¡ Berikut rumus jumlah n suku pertama berdasarkan :
¡ Ketiga rumus s n di atas memberikan hasil yang sama
CONTOH
2. BARISAN GEOMETRI ¡ B arisan Geometri merupakan suatu barisan yang memiliki perbandingan yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan. ¡ N ilai perbandingan yang sama itu dinamakan rasionya yang disimbulkan dengan huruf (r) . ¡ M isal barisannya : u 1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 ,u 5 ,u 6 ,u 7 ,.... ¡ C ara menghitung rasio (r) adalah: 𝑟 = 𝑢 ↓ 2 / 𝑢 ↓ 1 = 𝑢 ↓ 3 / 𝑢 ↓ 2 = 𝑢 ↓ 4 / 𝑢 ↓ 3 =… = 𝑢 ↓𝑛 / 𝑢 ↓𝑛 −1
2. BARISAN GEOMETRI ¡ Adapun rumus suku ke-n nya adalah u n = ar n − 1 dengan a = suku pertamanya (u 1 ), r = rasionya, dan u n = suku ke-n ¡ Dari rumus suku ke-n nya, dapat disusun barisan geometrinya:
CONTOH ¡ 1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan Geometri? a). 1, 2, 4, 8, ..... b). 1/3, 1, 3, 9, 27, .... c). 1, 2, 6, 8, 16, .... d). 3, 4, 8, 2, 12, .... e). 16, 8, 4, 2, 1, ....
DERET GEOMETRI ¡ D eret geometri merupakan jumlahan dari suku-suku pada barisan geometri. ¡ J umlahan yang dimaksud adalah penjumlahan untuk beberapa suku berhingga (n suku pertama). ¡ S imbol yang digunakan adalah s n yang artinya jumlah n suku pertama.
DERET GEOMETRI
¡ B agaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya langsung
DERET GEOMETRI ¡ Berikut rumus jumlah n suku pertama deret geometri.
¡ Sebenarnya kedua rumus s n di atas nilainya sama saja untuk semua jenis rasionya, sehingga cukup diingat salah satu saja.
CONTOH
BARISAN TAK HINGGA ¡ Secara umum, rumus eksplisit barisan dapat ditulis:
{a }
∞ n n =1
¡ Contoh:
= a1 , a2 , a3 ,.....
3. DERET ARITMATIKA TAK HINGGA ¡ Deret aritmatika yang penjumlahannya sampai suku ke tak hingga. ∞ ¡ Rumus Umum: a = a + (a + b ) + (a + 2b ) + (a + 3b ) + .....
∑
n
n =1
¡ Contoh: Diketahui suatu deret 1 + 3 + 5 + 7 + ……. §
a = 1, b = 2
n n S n = [2a + (n − 1).b] = [2 + 2n − 2]= n 2 2 2
§ Jika n besar maka nilai Sn akan sangat besar. § Jika n à ∞ maka Sn à ∞ (bukan merupakan nilai numerik yang berhingga.
4. DERET GEOMETRI TAK HINGGA ¡ Deret geometri yang penjumlahannya sampai suku ke tak hingga. ¡ Jumlah deretnya mengikuti deret geometri ¡ Misalkan ada deret u 1 +u 2 +u 3 +u 4 ......... yang dijumlahkan sampai tak hingga yang disimbolkan dengan s ∞ . Hasil jumlah tak hingganya (s ∞ ) tergantung dari nilai rasionya (r).
4. DERET GEOMETRI TAK HINGGA ¡ Rumus Umum:
n
2 3 a = a + ar + ar + ar + ..... ∑ n n =1
Ø Dimana: § r = rasio (memilih salah satu suku dan dibagi dengan suku sebelumnya)
Suku ke n = ar n −1
(
n a 1 − r § Jumlah dari n suku pertama : S = n 1− r
)
4. DERET GEOMETRI TAK HINGGA ¡ Rumus Umum:
∞
2 3 a = a + ar + ar + ar + ..... ∑ n n =1
S ∞ = a + ar + ar 2 + ar 3 + .....
(
)
a 1− r n ⎛ a ⎞ n = lim =⎜ ⎟ lim 1 − r 1− r ⎝ 1 − r ⎠ n →∞ n →∞ ⎛ a ⎞⎛ n⎞ =⎜ 1 − r ⎟ ⎜ lim ⎟ 1 − r ⎝ ⎠⎝ n →∞ ⎠ ⎛ a ⎞ =⎜ ⎟ (1 − 0 ), jika r < 1 ⎝1− r ⎠ ⎛ a ⎞ =⎜ ⎟ , jika r < 1 ⎝1− r ⎠
(
) a).Jika r < 1 maka konvergen b).Jika r > 1 maka divergen
KONVERGEN DAN DIVERGEN ¡ Pada penjumlahan deret geometri tak hingga, ada dua istilah yaitu : § 1 ). Konvergen (deret konvergen) syaratnya −1
1, artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil +∞ atau −∞
CONTOH (1) ¡ Tentukan hasil penjumlahan dari deret geometri tak hingga: PENYELESAIAN: ¡ R asio deretnya : 𝑟 = 𝑢 ↓ 2 / 𝑢 ↓ 1 = 4 / 2 =2 ¡ K arena nilai rasionya = 2 (r>1), maka deret ini termasuk divergen dan hasilnya +∞ ¡ J adi, nilai 2+4+8+16+.....=∞
CONTOH (2) ¡ Tentukan hasil penjumlahan dari deret geometri tak hingga: PENYELESAIAN: ¡ R asio deretnya : 𝑟 = 𝑢 ↓ 2 / 𝑢 ↓ 1 = 1 / 2 ¡ K arena nilai rasionya = 1 / 2 (−1< 𝑟 <1), maka deret ini termasuk konvergen ¡ H asilnya :
CONTOH (3) ¡ Tentukan hasil penjumlahan dari deret geometri tak hingga: PENYELESAIAN: ¡ R asio deretnya : 𝑟 = 𝑢 ↓ 2 / 𝑢 ↓ 1 = 1 / 2 ¡ K arena nilai rasionya = 1 / 2 (−1< 𝑟 <1), maka deret ini termasuk konvergen ¡ H asilnya :
CONTOH (2) ¡ Carilah jumlah sampai dengan tak berhingga dari deret berikut ini: 20 + 4 + 0,8 + 0,16 + …………. ¡ Jawab: § a = 20 § r = 0,8/4 = 0,2 = 1/5 § S ∞ = 20 / (1 – 0,2) = 25
TUGAS KELOMPOK 1. Diketahui sebuah Setiap titik tengah titik tengah sisi terbentuk persegi terus.
persegi berukuran 4x4 cm 2 . suatu sisi dihubungkan dengan yang berdekatan sehingga baru. Proses ini dilanjutkan
a. Apabila proses dilanjutkan 9 kali, berapakah jumlah semua persegi yang terbentuk? b. Apabila proses dilanjutkan tanpa berhenti, berapakah jumlah semua persegi yang terbentuk?
MATEMATIKA II
UJI KONVERGENSI DERET TAK HINGGA
sugengpb.lecture.ub.ac.id ananda.lecture.ub.ac.id
UJI KONVERGENSI ¡ KONVERGEN: Jika barisan {a n } memenuhi persamaan:
lim{a } = L n
n→∞
L adalah bilangan berhingga. Jika TIDAK
DIVERGEN
SIFAT LIMIT Ø SIFAT LIMIT BARISAN
§ {an} dan {bn} adalah barisan konvergen. § K adalah konstanta.
CONTOH (1) ¡ Contoh 1: Cari
n lim n →∞ 2n + 3
¡ Jawab: ¡ Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat terbesar dari n, maka:
n n n = lim lim n →∞ 2n + 3 n →∞ (2n n ) + (3 n ) 1 1 = lim = = 0.5 2+0 n →∞ 2 + 3 n
CONTOH (2) Contoh 2: Diketahui sebuah barisan sebagai berikut. 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … Ditanyakan: a). Nyatakan barisan tsb dalam rumus eksplisit b). Ujilah konvergensi dari barisan di atas Jawab: a). Rumus eksplisit: a n =
n n +1
nn n 1 b). Uji konvergensi: lim {a n } = lim n + 1 = lim n n + 1 n = lim 1 + 0 = 1 n →∞ n →∞ n →∞ n →∞
Karena hasilnya merupakan bilangan berhingga, maka {a n } konvergen menuju 1.
CONTOH (3) 1. Tentukan konvergensi jumlah deret berikut: Jawab:
4 4 4 4 + + + + ..... 3 9 27 81
LATIHAN SOAL ¡ Tu l i s ka n l i m a s u ku p e r t a m a b a r i s a n b e r i ku t , s e r t a tentukan apakah barisan tersebut konvergen atau divergen.
¡ Carilah rumus eksplisit a n untuk setiap barisan dan tentukan apakah barisan tersebut konvergen atau divergen.
CONTOH KASUS
