2015.05.05.
Six Sigma
Minőségmenedzsment Statisztikai folyamatszabályozási (SPC) rendszer Erdei János
• Egy fegyelmezett és erősen mennyiségi szemléletű folyamatfejlesztési megközelítés, amely a gyártási, szolgáltatási vagy pénzügyi folyamatokban meghatározott mérőszámokon alapul. • A projektek rendre egy öt fő lépésből álló folyamatot követnek : – – – – –
Define Measure Analyze Improve Control
Forrás: Donald Baker, Statistical Thinking előadás, BME MBA Intenzív kurzus, 2011
Mintavételi alapelvek
Normális (Gauss-) eloszlás EMLÉKEZTETŐ
f ( x) =
1 σ 2π
M(ξ) = µ
x0
∫e
−
( x−µ ) 2σ 2
EMLÉKEZTETŐ
f(x)
Következtetés
Sokaság
Fn(x), Me, s*
2
µ
dx
−∞
F(x)
D(ξ) = σ
Minta F(x), M(ξ), D(ξ) ….
0,5
Mintavétel
µ
Következtetés hibái
Folyamatra ható zavarok
EMLÉKEZTETŐ
Véletlen: állandóan jelenlevő, nagyszámú, a folyamatot
Sokaság
„jó”
A minta minősítése a sokaságról
„jó”
Nincs hiba ε
„rossz”
Másodfajú hiba, β
csak kissé befolyásoló zavarok
Veszélyes: időszakosan jelentkező, kis számban előforduló, a folyamatra nagy hatással lévő zavarok
„Kiugró érték”: egyetlen, a többi értéktől jelentősen különböző adat
„rossz”
F ( x0 ) =
1 e σ 2π
( x−µ )2 − 2σ 2
Elsőfajú hiba, α
Nincs hiba e
1
2015.05.05.
Képesség értelmezése
Szabályozottság fogalma Szabályozatlan a rendszer
Nem képes kielégíteni a vevő igényeit
Szabályozott a rendszer
Képes kielégíteni a vevő igényeit
SPC rendszer felépítése SPC Ellenőrzőkártyák Képesség és szabályozottság elemzés
Képességelemzések - Folyamatképesség elemzés - Gépképesség elemzés - Mérőeszköz-képesség elemzés
Hibaelemzések Adat és információs bázis
Képességelemzés módszerei
Gép- v. folyamatképesség Folyamat
- Grafikus ábrázolással - Minőségképesség-indexek segítségével - Gauss - papíros ábrázolással Gép- vagy folyamatképesség?
Ember, gép, anyag, módszer, környezet
Gép Cm
idő
n=5-10 n=5-10 n=5-10 n=5-10 n=5-10 n=5-10
Cmk
Különbség a mintavételben van.
n=50-100
Cp, Cpk
2
2015.05.05.
Grafikus képességelemzés
Minőségképesség-indexek
Cp =
FTH− ATH 6⋅ σ
Cp = 1
± 3σ
α = 0,27 %
Elvárás a Cp-vel szemben
1,00
σ-ás határ ±3
Hibaarány [ppm] 2 700
1,33
±4
63,5
1,67
±5
0,57
2,00
±6
0,002
Cp
Cpk index µ − ATH FTH− µ Cpk = ; 3⋅ σ min 3⋅ σ FTH-µ µ-ATH
Minőségképesség-indexek Cp =
FTH− ATH 6⋅ σ
Cp = 1
Cp = 1
Cp, Cpk indexek kapcsolata 0 < Cp < +∞ Példa:
- ∞ < Cpk ≤ Cp
Cp = 1,36 Cpk = 0,92 Értékeljük a folyamat minőségképességét.
3
2015.05.05.
Folyamatteljesítmény
Six Sigma program célkitűzése
Pp, Ppk rövid távú vizsgálatok (Cp, Cpk)
• A Föld kerületének mérése kb. 100m-es pontossággal • 30 000 000 Ft-os beruházás kb. 100 Ft-os pontossággal • „99,73% jó” jelentése: – 5 400 elveszett levél óránként (USA) – Naponta 4 percig szennyezett ivóvíz – Havonta 2 óra áramszünet
hosszú távú vizsgálat
6σ mérőszám
Folyamatok teljesítménye
Hibaarány [ppm] 100 000
Egyedi teljesítmény: minden lépés vagy komponens
10 000
Cpk
Szigma
1 000
hibaszám [ppm]
Folyamat teljesítménye: hibák a lépések vagy komponensek számának függvényében
4
8 16 [ppm]
32
4
0,85
6200
10
5
1,17
23
92
184
368
736
1
6
1,50
3,4
14
27
54
109
100
24600 48500 95000 180000
0,1 1
2
3
4
5
6
Folyamatok szabályozása Beavatkozás a folyamatba
Információ a teljesítményről
SPC rendszer
Folyamat - emberek - eszközök - anyagok - módszerek
Beavatkozás a kimenetbe
Ellenőrzőkártyás szabályozás Döntés a beavatkozásról
A szabályozott jellemzô és a beavatkozási határok egybevetése
Beavatkozás a technológiai folyamat belsô törvényszeruségeinek ismeretében
Ember
Anyag
Módszer
Gép
Eszköz
Környezet
Szabályozott jellemzô képzése
Technológiai- és termékjellemzô mérése
Folyamat kimenete
4
2015.05.05.
Kártyák működésének elvi alapjai
Beavatkozási határok tervezése
FTH
FTH
FBH
FBH
ABH
ABH
ATH
ATH
Ellenőrzőkártyák fajtái • Minősítéses kártyák – np-kártya (selejtszám) – c-kártya (hibaszám) – p-kártya (selejtarány) – u-kártya (fajlagos hibaszám)
• Méréses kártyák – egyedi érték kártya – átlag, medián kártya – szórás, terjedelem kártya
• Egyéb speciális kártyák
Beavatkozási határok számolása A számítás gyakorlati menete
3σ-ás modell ABH = középérték - 3·szórás FBH = középérték + 3·szórás „Kényelmes”, de vigyázzunk a β -ra!!!
Beavatkozási határok számolása A számítás gyakorlati menete
Szükséges alapadatok: - a célállapot statisztikai jellemzői F0(x), M0(ξ), D0(ξ) …. - elsőfajú hiba, α - mintaszám, n - a β-hoz kapcsolódó alternatív (zavar) állapot statisztikai jellemzői F1(x), M1(ξ), D1(ξ) ….
Számolandó: - ABH, FBH beavatkozási határok - β, másodfajú hiba
Példa Műanyag padló 1 m2-re eső felületi hibáinak átlagos száma 2 db. A folyamatot szabályozni szeretnénk α=10%-os elsőfajú hiba mellett. 1. Tervezze meg a beavatkozási határt! 2. Mekkora a másodfajú hiba mértéke, ha a hibaszám 4-re nő? 3. Tervezze meg a beavatkozási határt 3σ-ás modellel! A fenti zavarhatás fellépésekor, mekkora a másodfajú hiba?
5
2015.05.05.
Példa – 1. részPoisson-eloszlás k 0 1 2 3 4 5 6
λ0=2
p
k pk 0,1353 0,2 0,2707 0,1 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120 0,8571
α
0
1
2
3
4
5
FBH = 5
0,9473
k
Példa – 2. rész k 0 1 2 3 4 5 6 7
pk 0,0183 0,0733 0,1465 0,1954 0,1954 0,1563 0,1042 0,0595
pk 0,2 0,1
0
1
2
3
4
5
k
β = 0, 6289
Példa – 3. rész
Határok számolása
3σ-ás modell ABH = 2 − 3 ⋅ 2 = −2,24
ABH = 0
FBH = 2 + 3 ⋅ 2 = 6, 24
FBH = 7
β=?
λ1=4
λ0=2
β
FBH ( UCL ) = x +
3R = x + A2R d2 n
ABH ( LCL ) = x −
3R = x − A2R d2 n
6
∑
k=0
p k = 0,8894
Nem véletlen hatások
Kártyák használata • A mérendő változó meghatározása • Mintaelemszám meghatározása • Előzetes mintavétel a paraméterek becslésére • Határok számolása, ábrázolás • Kártya alkalmazása
• • • • • •
Kiugró érték Eltolódás, elállítódás Folyamatos eltolódás, trend Ciklusok Keverék eloszlás Túl kis ingadozás
6
2015.05.05.
„Mintázatok”
„Mintázatok” folyt. • 5 egymás utáni pont közül 4 a B zónába vagy azon kívülre esik • 15 egymást követő pont a C zónában van. • 8 egymást követő pont a C zónán kívül.
• 9 egymás utáni pont a középső vonal egyik oldalán helyezkedik el. • 6 egymás utáni pont egyirányú menetet mutat. • 14 egymás utáni pont le-föl ingadozik. • 3 egymás utáni pont közül 2 az A zónában vagy azon kívül van.
Mintavétel
ARL meghatározása
Általános szabály:
ARL = Average Run Length, várható sorozathossz
az alcsoport homogén legyen
ARL =
ne legyen benne középértéket befolyásoló hatás.
P(határon
1 kívülre
esés )
Szabályozott állapotban: ARL= 1/α Adott eltolódásnál: ARL= 1/(1-β)
ARL számolása α = 0,0527 Szabályozott állapotban: ARL= 1/α = 18,97 β = 0,6289 Adott eltolódásnál: ARL= 1/(1-β) = 2,69 3σ-ás modell α = 0,0046 Szabályozott állapotban: ARL= 1/α = 217,39
Átlag-kártya használata • • • • •
Több elemű mintát tudunk venni. Ha viszonylag nagyobb eltérések várhatók. Kis eltérések nem okoznak nagy gondot. Mintavételi költség viszonylag alacsony. A folyamat nem trend v. ciklikus jellegű.
β = 0,8894 Adott eltolódásnál: ARL= 1/(1-β) = 9,04
7
2015.05.05.
Egyedi érték kártya
Egyedi érték kártya
(Mozgó terjedelem kártya) • • • • •
Szakaszos technológia „Lassú” gyártás Automatikus (100%-os) ellenőrzés Drága a mérés Termékjellemző
Ingadozás mérése a mozgó terjedelmekkel történik.
MR i = xi − xi −1
n=2
Sávos ellenőrzőkártya
Egyéb méréses kártyák • Mozgóátlag kártya (MA) • Exponenciálisan súlyozott mozgóátlag kártya (EWMA) • Kumulált összegek kártya (CUSUM) • Regressziós ellenőrző kártya • stb.
MR d2
σˆ =
Zone Chart of C1 8 +3 StDev=509 4 +2 StDev=506 2
2
0
4
+1 StDev=503 _ _ X=500
2
0
0
-1 StDev=497 2
2
8
-2 StDev=494 4
6
-3 StDev=491 8 1
2
3
4 Sample
5
6
7
Minősítéses kártyák • Minősítéses kártyák – np-kártya (selejtszám) – c-kártya (hibaszám) – p-kártya (selejtarány) – u-kártya (fajlagos hibaszám)
Köszönöm a figyelmüket.
8
