DAERAH KEPERCAYAAN ASIMTOTIK UNTUK PARAMETER REGRESI LINIER UMUM
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Mencapai Derajat Sarjana S-1
OLEH: RIDAYANI F1A1 11 049
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI 2016
ii
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah S.W.T atas segala rahmat, taufik, karunia dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “Daerah Kepercayaan Asimtotik Untuk Parameter Regresi Linear Umum ”. serta salawat dan salam penulis haturkan atas Nabi Muhammad Shallallahu Alaihi Wasallam, keluarga, sahabat dan para pengikutnya. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak dapat terselesaikan tanpa bimbingan dan arahan dari Bapak Dr.rer.nat. Wayan Somayasa, S.Si., M.Si selaku pembimbing I dan Bapak Rasas Raya, S.Si., M.Si selaku pembimbing II yang telah banyak meluangkan waktunya untuk membimbing dan mengarahkan penulis sejak dari perencanaan hingga terselesaikannya skripsi ini serta memberikan dorongan dan motivasi kepada penulis. Oleh karena itu penulis mengucapkan banyak terima kasih. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada yang tersayang ayahanda La Mahajumu (Alm) dan ibunda Wa Matambe.N yang telah mendukung dan memberikan doa yang tulus ikhlas serta kasih sayangnya kepada penulis hingga skripsi ini selesai, Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada bapak Tua saya yang tercinta Drs.H.Sawidin Landau Bre yang tak henti-hentinya memberikan saya dukungan baik berupa moral maupun materil. Saudara-saudaraku tercinta Henny Rachmawati, S.Sos., Jerry Azhar, S.Si, Elmiati, ST, Eulisa ST.,M.Si, Eva Angelia, ST,Surfianti Alimasri, SH.,M.Si ,Surfiani Alimasri, SE, Tiarni,
iii
SE, Dena Dewi dan Nurani yang selalu memberikan doa dan semangat, semua itu penulis mendoakan menjadi pahala serta catatan amal kebaikan disisi Allah Subhanahu Wa Ta’ala. Suatu hal yang tidak terlupakan atas dorongan dan bimbingannya, serta arahan dan bantuan kepada penulis, maka patutlah kiranya penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan kepada semua pihak khususnya: 1.
Rektor Universitas Halu Oleo, Bapak Prof. Dr. Ir. H. Usman Rianse, M.S.
2.
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo, Bapak Dr. Muh. Zamrun F., S.Si., M.Si., M.Sc.
3.
Kepala Laboratorium Komputasi Matematika F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Norma Muhtar, S.Si., M.Si.
4.
Kepala Perpustakaan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Dra. Hj. Indrawati, M.Si.
5.
Segenap Staf Administrasi dan Tata Usaha di Lingkungan F-MIPA Universitas Halu Oleo atas segala bentuk bantuan yang diberikan kepada penulis selama studi.
6.
Ketua Jurusan Matematika F-MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak La Gubu, S.Si., M.Si. dan sekretaris jurusan Matematika, Bapak Rasas Raya, S.Si., M.Si.
7.
Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Matematika serta seluruh staf pengajar di lingkungan F-MIPA Universitas Halu Oleo.
8.
Norma Muhtar, S.Si., M.Si. selaku penasehat akademik yang telah memberikan pengarahan dan bimbingan dalam memprogramkan mata kuliah.
iv
9.
La Gubu, S.Si., M.Si., Dr. Makkulau, S.Si., M.Si. dan Rahmalia Sahupala, S.Si., M.Si selaku dewan penguji.
10. Sahabat pajokka yang selalu menemaniku dalam suka maupun duka: Sitti sardianti, S.Mat ,Andi nurul musahida, Mega puspita Sari, Riska Juliani, dan Halma. 11. Teman-teman Matematika Angkatan 2011:Hijrawati, Cakra Purnawati,,Nini Karlis Kartini S.Mat, Kasliono, S.Mat, Kalfin, S.Mat, Wayan Eka, S.Mat, Edicun BJ S.Mat, Rahmat Budianto S.Mat , Raful, S.Mat, Sartika, Samsir, S.Mat, Gafur, S.Mat, Takim S.Mat, Arif, Usman S.Mat, Rina A.S, S.Mat, Citrawan Fitri, S.Mat, Ully Hidayati, S.Mat, Mayan, S.Mat, Eka Rahmi, S.Mat, Halma, Risna, Bibi, Silfi, dan lain-lain yang telah memberikan dorongan moral dan spiritual serta kebersamaan yang tidak terlupakan selama mengikuti perkuliahan. 12. Senior-senior Matematika: Kak Yudi’08, Kak Ansar’08, Kak Alip’08, Kak Gusti’09, Kak Agusman’09, Kak Uthy’09, Kak Aim’09, Kak Kiki’09, Kak Fadly’06, Kak Diana’10, Kak Harma’10, Kak Abi’10, Kak Derma’10, Kak Uju’10, Kak Ardy Arr’10, Kak Ulfa’10, Kak Rendi’10 dan semuanya yang tidak dapat disebutkan satu persatu. 13. Junior Matematika Angkatan 2012 dan 2013: Rahmadin La Oga, Syech Muh. Syam, Ilham, Nela, Yacobus, Fadil, Selfiana, Mail, Guslan, Tesa, Yeni, Irfan dan semuanya yang tidak dapat disebutkan satu persatu.Selanjutnya penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Sehingga dengan senang hati dan segala- kerendahan hati penulis
v
menerima segala saran yang sifatnya membangun demi penyempurnaannya. Akhir kata penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan. Kendari,
Februari 2016
Penulis
vi
DAFTAR ISI
Halaman HALAMAN JUDUL...............................................................................
i
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................
ii
KATA PENGANTAR ............................................................................
iii
DAFTAR ISI ...........................................................................................
vii
DAFTAR GAMBAR ..............................................................................
ix
DAFTAR LAMPIRAN ...........................................................................
x
ABSTRAK .............................................................................................
xi
ABSTRACT ...........................................................................................
xii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang................................................................. 1.2 Rumusan Masalah ........................................................... 1.3 Tujuan Penelitian ............................................................. 1.4 Manfaat Penelitian ...........................................................
1 2 2 2
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Matriks............................................................................. 2.2 Vektor Acak..................................................................... 2.3 Distribusi Sampling dari Populasi Normal ...................... 2.4 Fungsi Pembangkit Momen (MGF) ................................ 2.5 Penduga dengan Likelihood Terbesar ............................. 2.6 Regresi Linear Umum ..................................................... 2.8 Teorema Limit Pusat .......................................................
3 6 8 11 11 12 15
BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ......................................... 3.2 Metode Penelitian ............................................................ 3.3 Prosedur Penelitian ..........................................................
18 18 18
BAB IV PEMBAHASAN 4.1 Model Linear Asimtotik .................................................. 4.2 Sifat-Sifat Penting Dari Penduga ̂ , dan .............. 4.3 Normal Asimtotik Untuk Penduga Kuadrat Terkecil ...... 4.4 Aplikasi Numerik ............................................................
19 20 23 26
vii
4.5
Analisis Data ...................................................................
27
BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan ...................................................................... 5.2 Saran ................................................................................
30 30
Daftar Pustaka ......................................................................................... Lampiran
viii
31
DAFTAR GAMBAR
Gambar 4.1. Desain Pengeboran Pada Daerah Eksplorasi PT. Antam ...
31
Gambar 4.2. Pola Kandungan Nikel .......................................................
32
Gambar 4.3.grafik asimtotik parameter regresi linear umum .................
34
ix
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Data Persentase Kandungan Nikel di PT.ANTAM, Pomalaa.........33 Lampiran 2. Program untuk menentukan nilai vektor
x
dan D( )................... 34
Daerah Kepercayaan Asimtotik Untuk Parameter Regresi Linear Umum
Oleh
Ridayani F1A1 11 049
Abstrak
Metode asimtotik merupakan salah satu pendekatan dalam ilmu statistika untuk menduga parameter regresi linear umum dimana pada pengaplikasiannya sampel tidak diasumsikan berdistribusi normal. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan daerah kepercayaan pada regresi linear umum dengan menggunakan metode asimtotik. Dengan mengaplikasikan asumsi-asumsi pada teorema 4.3 maka diperoleh daerah kepercayaan asimtotik untuk yaitu D( )≔ ) X∈ℝ −X ( − X ≤ (1 − ) . Kemudian daerah kepercayaan asimtotik untuk diaplikasikan pada data persentasi kandungan nikel (Ni) di pomalaa diperoleh daerah kepercayaan untuk parameter kurang dari 0,12 yang berarti bahwa persentase kandungan nikel di daerah Pomalaa berkisaran kurang dari 0,12. Kata kunci : Model regresi linier umum, Daerah kepercayaan, Metode asimtotik, Penduga kuadrat terkecil
xi
Asymptotic Confidence Region For The vector of Parameter in General Linear Regression
By
Ridayani F1A1 11 049
Abstract
Asymptotic methods is one of the approach in statistic used to estimate the parameters of linear regression model, where in its application the sample is not assumed to be normally distributed. The purpose of the present research is to determine the confidence region of in the general linear regression using asymptotic method. By applying the assumptions in a theorem 4.3 asymptotic confidence regions obtained for namely ) D( ) ≔ X∈ℝ −X ( − X ≤ (1 − ) . Then asymptotic confidence regions for applied on data percentage content of nickel (Ni) in pomalaa obtained confidence region for the parameter less than 0,12 which means that the percentage content of nickel in the area Pomalaa this less than 0,12. Key Words: General Linear Regression Model, Confidence Region, Asymptotic Method, Least Squares Estimator.
xii
BAB I PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang Analisis regresi merupakan suatu metode statistika yang dapat digunakan
untuk mengetahui hubungan antara suatu variabel terikat (dependen) Y terhadap satu atau lebih variabel bebas (independen) X sehingga memperoleh persamaan dan menggunakan persamaan tersebut untuk membuat perkiraan atau prediksi. Untuk sebuah sampel berukuran n data pengamatan (X1, Y1), (X2, Y2), ... , (Xn, Yn), hubungan antara variabel-variabel tersebut dapat dinyatakan dengan model regresi =
( ), dimana f adalah fungsi matematik yang disebut sebagai fungsi
regresi yang belum diketahui. Variabel acak yang diamati pada suatu percobaan sering ditemukan berhubungan dengan variabel lain yang dapat berupa variabel acak atau variabel deterministi. Bentuk hubungan fungsional tersebut dapat dianalisa dengan menggunakan metode statistika. Kombinasi dari variabel-variabel tersebut dapat dibentuk ke dalam model linier. Dalam model linier terdapat variable respon (variabel tak bebas ),variabel bebas (prediktor yang dapat dikontrol),variabel kesalahan,serta parameter-parameter yang tak diketahui. Salah satu model linear yang biasa digunakan adalah model linier asimtotik, dimana prosedur inferensi secara asimptotik tidak membutuhkan asumsi distribusi normal dari observasinya. Di dalam penaksiran suatu parameter, hal yang sangat diharapkan adalah suatu hasil taksiran yang tak bias (unbiased) atau konsisten
1
Berdasarkan uraian di atas, maka penulis tertarik untuk mempelajari dan mengkaji maka selanjutnya menuangkannya dalam bentuk tulisan yang berjudul “Daerah Kepercayaan Asimtotik Untuk Parameter Regresi Linear Umum ”. 1.2
Rumusan Masalah Dari latar belakang yang telah di jelaskan sebelumnya, maka permasalahan
yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1.
Bagaimana mengkonstruksikan daerah kepercayaan asimtotik untuk parameter regresi linear umum?
2.
Bagaimana tingkat akurasi daerah asimtotik terhadap daerah eksak?
1.3
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1.
Untuk mengetahui daerah kepercayaan asimtotik untuk parameter regresi linear umum
2.
Untuk mengetahui tingkat akurasi daerah asimtotik terhadap daerah eksak.
1.4
Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian iniadalah: 1.
Bagi peneliti, yaitu dapat menambah pengetahuan tentang daerah kepercayaan asimtotik untuk parameter regresi linear umum
2.
Bagi pembaca,yaitu dapat sebagai referensi tambahan tentang daerah kepercayaan asimtotik untuk parameter regresi linear umum.
2
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1
Matriks
Definisi 2.1.1 (Anton, 1987. Hal: 22) Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri. Matriks dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan huruf kecil. Secara umum sebuah matriks dapat ditulis:
= penulisan yang lebih singkat :
⋮
⋮ =
⋯ ⋯ ⋱ ⋯ dengan
⋮ = 1, … ,
dan
= 1, … ,
.
Indeks pertama ( ) menyatakan baris ke- dan indeks kedua ( ) menyatakan kolom ke- . 2.1.1
Jenis-jenis Matriks
Definisi 2.1.2 (Nugroho, 2009. Hal: 2) Vektor Euclidean (Euclidean vector) adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom. Karena itu terdapat dua jenis vektor yaitu vektor baris dan vektor kolom. Definisi 2.1.3 (Nugroho, 2009. Hal: 2) Jika banyaknya baris dari suatu matriks sama dengan banyaknya kolom, maka matriksnya disebut matriks persegi (square matrix) dengan elemen-elemen
,
,…,
elemen diagonal utama. Selanjunya, matriks persegi dituliskan dengan notasi
dinamakan elemenberukuran
×
cukup
.
3
Definisi 2.1.4 (Nugroho, 2009. Hal: 2) Matriks persegi
dengan semua elemen =0
yang tidak terletak pada diagonal utamanya adalah sama dengan nol, untuk
≠ , disebut matriks diagonal (diagonal matrix), dituliskan dengan (
=
,
). Jika
,…,
= 1 untuk = , disebut matriks identitas
(identity matrix) berukuran , dan dituliskan 1 = 0 ⋮ 0
0 ⋯ 1 ⋯ ⋮ ⋱ 0 ⋯
0 0 = ⋮ 1
(1,1, … ,1)
Definisi 2.1.5 (Nugroho, 2009. Hal:3) Matriks
dengan semua unsurnya sama
dengan nol, disebut matriks nol (zero matrix), dan dinotasikan dengan 2.1.2
×
.
Sifat-sifat Matriks
Definisi 2.1.6 (Anton, 1981. Hal: 34) Jika dapat mencari matriks (invertible) dan
=
sehingga
adalah matriks persegi, dan jika kita = , maka
dikatakan dapat dibalik
dinamakan invers (inverse) dari .
Teorema 2.1.7 (Anton, 1981. Hal 35) Jika
dan
adalah matriks-matriks yang
dapat dibalik dan ukurannya sama, maka: a)
dapat dibalik
b) (
)
=
Teorema 2.1.8 (Anton, 1981. Hal: 36) Jika
adalah sebuah matriks yang dapat
dibalik, maka: dapat dibalik dan (
a)
dapat dibalik dan (
b) c)
Untuk setiap skalar (
)
=
) )
= =(
) untuk
= 0,1,2, …
yang tak sama dengan nol, maka
dapat dibalik dan
. 4
Teorema 2.1.9 (Anton, 1981. Hal: 37) Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat dilakukan, maka a)
(
) = .
b) ( + ) = (
) =
d) (
) =
c)
2.1.3
+
.
, dimana
adalah sebarang skalar.
.
Diferensial Fungsi Terhadap Vektor
Definisi 2.1.9 (Rao, 2008. Hal: 520) Misalkan : ℝ → ℝ adalah fungsi dari =(
matriks
), maka turunan parsial dari
sebagai matriks
dari turunan parsial
⎡ ⎢ ( ) ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
terhadap
×
didefinisikan
:
( )
( )
( )
( )
⋮ ( )
⋮ ( )
⋯ ⋯ ⋱ ⋯
( )
⎤ ⎥ ( )⎥ ⎥ ⎥ ⋮ ⎥ ( ) ⎥ ⎦
Definisi 2.1.10 (Graybill, 1976) Misalkan ( ) adalah fungsi dari bebas
,
,…,
. Turunan dari ( ) terhadap vector
=
variabel
dimana
⋮
Didefinisikan sebagai
5
⎡ ⎢ ( ) ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
( )
⎤ ⎥ ( )⎥ ⎥ ⎥ ⋮ ⎥ ( )⎥ ⎦
Teorema 2.1.4 (Graybill, 1976) Misalkan ( ) adalah bentuk linear dari didefinisikan
sebagai
( )=∑
sembarang vector konstan berukuran
=
=
,
dimana
yang adalah
1, maka: =
= Teorema 2.1.5 (Graybill, 1976) Misalkan ( ) adalah bentuk kuadrat dari yang didefinisikan sebagai ( ) = berukuran
, dimana
merupakan matriks simetris
maka: =
= 2.2
Vektor Acak Suatu vektor dikatakan vektor acak jika komponen-komponennya adalah
variable-variabel acak. Vektor acak akan dinotasikan dengan huruf kapital yang dicetak tebal seperti
dan
dan lain-lain. Jika
vector acak, maka untuk 1 ≤ ≤ ,
≔
,…,
merupakan
adalah variable acak.
6
2.2.1
Ekspektasi dan Kovariansi dari Vektor Acak ≔
Definisi 2.2.1 Untuk sembarang vector acak
,…,
, nilai ekspektasi
(mean) dari adalah suatu vector acak yang komponen-komponennya terdiri dari nilai ekspektasi dari komponen-komponen yang bersesuaian dari vector Jadi, ( ) ≔ (
,…,
)
Teorema 2.2.1(Seber, 1977) Misalkan ×
berukuran
dan
adalah sembarang matriks real
dan adalah vector acak
dan
(
)≔
+
× 1,
( )+
,
∈ ℕ, maka berlaku:
( )
Definisi 2.2.2 (Seber, 1977. Hal: 6) untuk sembarang vector acak ,…,
dan ≔ ×
berukursan
dimana
( (
,…,
− ( )
, ,
) )
( (
,
)
(
⋮ (
, covariansi antara
adalah suatu matriks
, , ⋮
,
=
, (
− ( ) ⋯ ⋯ ⋱ ) ⋯
( (
) )
− (
, , ⋮
( ))
,
) ⎤ )⎥ ⎥ )⎦
− ( ) , 1≤ ≤
Teorema 2.2.2 (Seber, 1977. Hal:7) Misalkan masing-masing berukuran masing-masing berukuran Σ≔
dan
≔
yang didefinisikan sebagai,
( , )≔ ⎡ =⎢ ⎢ ⎣
.
× 1 dan ×
× 1 , dan ×
dan
dan dan
dan 1 ≤ ≤ .
merupakan vector acak adalah matriks real
untuk sembarang ,
, ,
∈ ℕ. Jika
( , ), maka (
,
)=
7
Definisi 2.2.3 (Graybill, 1976) Trace dari suatu matriks
berukuran
×
didefinisikan sebagai jumlah elemen-elemen pada diagonal utama dari yaitu ( )=
≔
Teorema 2.2.3 (Seber 1977) Misalkan
acak dalam ℝ . Jika tidak ada komponen dari
,…,
adalah suatu vector
yang merupakan kombinasi linear
dari komponen-komponen yang lainnya, dengan kata lain tidak ada vector konstan ∈ℝ
dengan bilangan real
, maka Ɗ( ) adalah matriks
yang bersifat
definit positif. Teorema 2.2.4 (Garybill, 1976) Jika ( )=
=(
,…,
) dan Ɗ( ) = (
2.3
merupakan bentuk dari =
)=
, ,
, maka
( Σ)+
Distribusi Sampling dari Populasi Normal
Teorema 2.3.1(Somayasa, 2013. Hal:6) Misalkan ( ,
dan berdistribusi untuk
dengan
) maka
≔∑
,…,
~ (∑
saling independen ,∑
),
∈ ℝ, = 1, … , .
Bukti: E(Σ
=Σ =Σ Var (Σ
)
) = Σ E( ( ) .
) = Σ var( =Σ
)
( )
8
=Σ
.
2.3.1
Distribusi Chi-kuadrat
2.3.2
Definisi 2.3.1(Somayasa, 2013. Hal:8) Suatu variable acak
berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas ~
2
~
dikatakan
( ) jika dan hanya jika
.
Remark 2.3.1 (Somayasa, 2013) Sifat-sifat distribusi chi-kuadrat dapat diturunkan langsung dari sifat-sifat distribusi Gamma. Jika ~
( ), maka:
( ) = (1 − 2 )
1. 2.
(
)=2
3.
( )=
(
) ( )
, ∈ℤ ( )=2
dan
Teorema 2.3.2(Somayasa, 2013. Hal:8) jika ~
(2 )
Teorema 2.3.3(Somayasa, 2013. Hal:9) Misalkan dan
( , ) , maka
~
~
=∑
( ), maka
~
(∑
,…,
saling independen
).
Teorema 2.3.4(Somayasa, 2013. Hal:9) Jika ~ (0,1), maka Teorema 2.3.5 (Somayasa, 2013. Hal:10-11) Jika acak dari
( ,
,…,
~
(1).
menyatakan sampel
), maka:
1.
Antara
dan (
− ), = 1, … ,
2.
Antara
dan
saling independen
3.
( − 1)
/
~
saling independen
( − 1)
9
2.3.3
Distribusi student
Teorema 2.3.5(Somayasa, 2013. Hal:13) Misalkan ~ (0,1) dan ~ Jika
dan
≔
saling independen, maka
( ).
dikatakan berdistribusi t student
/
dengan derajat bebas . selanjutnya dituliskan sebagai ~ ( ). Fungsi densitas dari
adalah: ( ; )=
(
) 1 ( ) √
(
1+ ,…,
Teorema 2.3.6 (Somayasa, 2013. Hal:14) Jika dari
( ,
/√
2.3.4
merupakan sampel acak
), maka: −
dimana
)/
=
∑
(
~ ( − 1)
− )
Distribusi F
Teorema 2.3.7 (Somayasa, 2013. Hal:15) Misalkan ~ Jika bebas
dan
saling independen, maka
≔
/ /
( ) dan ~
berdistribusi
( ).
dengan derajat
dan .Selanjutnya distribusi ini kita tuliskan sebagai ( , ).Persentil
( , ) adalah konstanta yang memenuhi persamaan ℙ Fungsi densitas dari
≤
( , ) =
.
adalah:
=( ; , )=
10
Teorema 2.3.8 (Somayasa, 2013. Hal:16) Jika ~ ( , ), maka:
(
)=
,
( )=
,
>2
2 ( + − 2) , ( − 2) ( − 4)
( )= 2.4
−2
>2
>4
Fungsi Pembangkit Momen
Teorema 2.4.1 (Somayasa, 2013. Hal:102) Misalkan ( )
dan (
( ))
masing-masing merupakan barisan variable acak dan barisan MGF-nya yaitu ( )= ( →
),
( )=
≥1 .
Misalkan
mempunyai
( ) untuk setiap →
bilangan real, maka
untukn
adalah suatu fungsi
( )≔ ( Untuk setiap ≔ 2.5
{
}) =
,…,
Jika
→ ∞. =
:ℝ → ℝ
,…,
, fungsi pembangkit
yang didefinisikan sebagai
…
(
,…,
)
…
∈ℝ .
Penduga dengan Likelihood Terbesar ,…,
Definisi 2.5.1 (Somayasa, 2013. Hal: 26) Misalkan variable acak dengan ,…,
( ) .
∈ (−ℎ, ℎ) dimana ℎ adalah sembarang
Untuk sembarang vector acak momen dari
MGF
~
( ,…,
), ( ,…,
merupakan data atau suatu realisasi dari
sedemikian hingga
( ,…,
)=
,…,
( ,…,
merupakan
) ∈ Ɵ, = 1, … , . Misalkan ,…, ;
. Fungsi : Ɵ → ℝ ,
,…,
) disebut fungsi
11
,…,
likelihood. Sebagai kejadian yang lebih khusus, jika
merupakan suatu
sampel random, maka: ( ,…,
)=
( ;
Selanjutnya, nilai-nilai dari ( , … ,
,…,
)
) ∈ Ɵ yang dinyatakan sebagai
,…,
sedemikian hingga ,…,
=
(
( ,…,
max ,…,
)∈Ɵ
)
Disebut dengan estimasi likelihood terbesar (Maximum Likelihood Estimate) ,…,
untuk
. Karena logaritma adalah fungsi monoton, maka ln
,…,
=
Karena nilai-nilai dari ( , … ,
(
max ,…,
)∈Ɵ
ln ( , … ,
) yang memaksimumkan
memaksimumkan log-likelihood ln ( , … ,
( ,…,
) juga
) , maka untuk memudahkan
perhitungan, kita akan perhatikan fungsi ln ( , … , 2.6
)
) saja.
Regresi Linear Umum
Model Linear umum berbentuk =
+ ⋯+
+ ,
adalah variabel kesalahan (error) yang diasumsikan i.i.d dengan
dimana (
+
) = 0 dan
=
,
,
,…,
berderajat
,…,
(
)=
,
∈ℝ
adalah variabel respon yang teramati,
adalah
prediktor
yang
dapat
dikontrol
dan
adalah parameter yang tidak diketahui. Adapun model polynomial didefinisikan sebagai =
+
+
+ ⋯+
+ ,
12
dapat dipandang sebagai kejadian khusus dari model linear umum, yaitu dengan =
mengambil
, = 0,1, … , .
Misalkan dilakukan ke− , dimana =
,
kali pengamatan terhadap variable
dengan pengamatan
adalah pengamatan yang dilakukan pada
,…,
∈ℝ
=
⋮
, maka
⋮
⋮
⋯ ⋯ ⋱ ⋯
⋮
+
⋮
⋮
⋮
,
atau = ×
=( ,
dimana
,…,
=
×(
+ , (
)
=
⋮
(error),
⋮
⋮
+
⋮
=( ,
=
,
,…,
)
( ) = 0 dan
dimana ⋯ ⋯ ⋱ ⋯
,
×
) adalah vektor respon,
vektor parameter yang tidak diketahui, kesalahan
)×
,…,
adalah
adalah vektor
( )=
adalah matriks konstanta berukuran
dan
×( +
1) disebut matriks regresi yang dikonstruksikan dengan cara sedemikian hingga kolom-kolomnya saling bebas linear, yaitu Untuk mencari penduga
( )=
+ 1 (Seber, 1977).
, dengan menggunakan penduga kuadrat
terkecil. Misalkan; =
=
=( −
) ( −
),
13
−
−
=
−2
+
+
, .
adalah matriks 1 × 1 atau sebuah scalar, dan transpose
Karena (
=
) =
juga merupakan skalar. = −2
+2
=
secara sederhana, dituliskan
sehingga diperoleh
=(
)
Bentuk matriks dari persamaan biasa
.
sama dengan bentuk scalar. Penulisan
umum dari persamaan diatas adalah: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
1
⋯ ⋯ ⋱
⋮
⋮
⋮
⋮ ⋯
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⋮ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⋮
Model regresi tetap adalah = Notasi skalar dari persamaan di atas adalah
= Selisih antara pengamatan
Vektor
dan
+ merupakan sisaan, yaitu
=
−
.
× 1 dari sisaan dinyatakan dengan
14
=
−
(Myers dkk, 2009). 2.7
Teorema Limit Pusat Teorema 2.8.1. (Teorema Limit Pusat ). Teorema ini memberikan
distribusi limit dari barisan jumlah parsial dari sembarang barisal sampel acak yang distribusi dari populasinya tidak diketahui asalkan mean dan variansinya berhingga. Misalkan ( dan variansinya
)
merupakan sampel acak dari populasi dengan mean
dimana 0 <
< ∞ , maka untuk (
√ ∑
)
→
→ ∞,
(0,1).
Bukti : Untuk membuktikan teorema ini akan digunakan metode MGF. Yang harus ditunjukkan adalah barisan MGF yang bersesuaian dengan ( konvergen ke MGF dari distribusi normal standar untuk
(0) +
=1+ Selanjutnya karena ( lim →
) √ ∑
→ ∞. Secara umum
= (
(0)
(0) +
=1+ (
ditunjukkan
− ) ,
≥ 1.
( ) adalah :
Ekspansi deret maclaurin untuk
( )=
( )
(0) = 1,
untuk setiap ≥ 1, berlaku:
)
− )+ +
(
(
)
2 )
(
+
(0)
+
6 )
+ …
+⋯
+⋯
merupakan barisan sampel acak, maka diperoleh (
)
( ) = lim →
(
)
⁄ √
15
= lim 1 +
+
→
= lim 1 +
+
= lim 1 +
+
→
→
(
)
+ …
/
(
)
/
+ …
( )
= Dimana ( ) → 0 untuk
→ ∞. karena
merupakan MGF dari distribusi
N(0,1) maka teorema terbukti Arnold(1981) Teorema 2.8.2.a. (Bhat, 1961, hal. 108) misalkan (
)
merupakan dua barisan variabel acak sedemikian hingga Maka
+
→
+
→
dan
)
→0
→
)
+
→ .
→ 0 dan
)
dan
→ ,
→ .
Teorema 2.8.3. (Teorema Pemetaan Kontinu ). Misalkan ( barisan vektor acak berdimensi
→ .
dan
dan (
merupakan barisan variabel acak sedemikian hingga → 1. Maka
)
.
Teorema 2.8.2.b. (Bhat, 1961, hal. 109) Misalkan ( (
dan (
)
merupakan
dan X adalah suatu vektor acak berdimensi
.
Misalkan g : ℝ → ℝ merupakan fungsi kontinu, sehingga berlaku : 1.
Jika
→ , maka (
)→ ( )
2.
Jika
→ , maka (
)→ ( )
16
Teorema 2.8.4. (Bain, 1992) (cramer-Wold Technique). Misalkan ( merupakan barisan vektor acak berdimensi
)
dan X adalah suatu vektor acak
berdimensi . Maka berlaku: →
⟺
→
,∀
ℝ .
Teorema 2.8.5. ( Teorema Limit Pusat Lindeberg-Feller). Misalkan (
)
, 1 ≤ ≤ , merupakan array segitiga yang bersifat (
(
)=
lim
→
lim
→
. Misalkan ∑
max
Maka ∑
∑
= ,
= 0 dan untuk setiap ∫{
;
(
)}
) = 0 dan Var
( )ℙ(
>0
) = 0,
→ (0, ).
17
BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1
Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada bulan Agustus 2015 sampai ditemukannya hasil penelitian ini dan bertempat di Laboratorium Komputasi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo. 3.2
Metode Penelitian
Adapun metode penelitian yang digunaskan dalam penulisan ini adalah metode penelitian kepustakaan (Library Research) yaitu suatu metode yang dilakukan untuk mendapatkan pengetahuan dan landasan teoritis dalam menganalisis data dan permasalahan melalui karya tulis dan sumber-sumber lainnya sebagai bahan pertibangan dalam penulisan proposal ini. 3.3
Prosedur Penelitian
Adapun prosedur yang dijalankan untuk mencapai tujuan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1.
Merumuskan metode asimtotik untuk daerah kepercayaan (1 − ) × 100% untuk parameter
. Untuk tujuan ini akan dilakukan investigasi
terhadap teorema-teorema limit barisan variabel acak.. 2.
Memberikan contoh aplikasi
3.
Menarik kesimpulan
18
BAB IV PEMBAHASAN 4.1.
Model Linear Asimtotik Yn = (Y , … ,
Misalkan
) ,
≥1
merupakan
barisan
vektor
terobservasi, dimana untuk setiap n ≥ 1, Yn :=(Yn1, Yn2,…, Ynn)T adalah vektor di dalam ℝ yang terdekomposit sebagai berikut: Yn=
+
, n≥ 1
dimana (
(1)
)=
ℝ , dan
∈
, dengan
merupakan ruang bagian berdimensi p dari
adalah barisan vektor kesalahan,dimana
=(
,
,…
) yang
komponen-komponennya diasumsikan saling bebas dan berdistribusi identik dengan
(
) = 0 dan terdiri dari komponen yang diasumsikan
,0 <
< ∞. Lebih lanjut, untuk setiap n ≥ 1,dimensi dari
( )= adalah tetap
yaitu p. Selanjutnya Model (1) disebut model linier asimtotik. Misalkan matriks berukuran n × =(
vektor konstan =
yang merupakan matriks basis untuk ,
,…
)
adalah
. Maka terdapat
∈ ℝ yang tidak diketahui,sedemikian hingga
. Maka persamaan (1) menjadi: =
+
(2)
Selanjutnya untuk setiap n untuk = Dan karena
tertentu penduga kuadrat terkecil masing-masing
adalah = =
(
)
(3)
, maka =
⇒
(
)
=
19
⇒ Jadi baik
= (
)
(4)
bergantung pada n, sehingga pada dasarnya kita
maupun
mempunyai barisan penduga kuadrat terkecil yaitu ( dan
, dan (
)
dimana
masing-masing diberikan masing-masing oleh (3) dan (4) . Selanjutnya
penduga untuk parameter
dinyatakan dengan
(n − p) (
= (
) (
Sifat-Sifat Penting Dari Penduga ,
) (
=
Sifat-sifat penting dari penduga
dan diberikan oleh
⊥
≔
4.2
)
)
)
,
dan
dirangkum dalam teorema-teorema
sebagai berikut. Teorema 4.1. Berdasarkan asumsi-asumsi pada model linier asimptotik maka berlaku: (
a.
)= (
b.
)= =
c.
∀
(
e.
)=
≥1
(
)
∀
≥1
≥1 (
=
d.
∀
∀
)
∀
≥1
≥1
Bukti Teorema 4.1. (a): E(
) = E( =
( (
) )
) (
+
) 20
=
(
)
=
(
)
=
(
) (
(
)
)
= = Bukti Teorema 4.1. (b): Var(
) = Var( =
(
(
)
)
)
=
(
) (
=
(
)
(
)
)(
)
(
)
Bukti Teorema 4.1. (c): E(
)=E(
)
=( ) = Bukti Teorema 4.1. (d): Var
= Var( =(
) )
(
=
)
Bukti Teorema 4.1. (e): E(
)=E
=
=
‖ ‖ −‖ n−p
‖
.
(n − p) n−p
=
21
Teorema 4.2 Untuk n→ ∞,
→
. Dengan kata lain (
penduga yang konsisten terhadap
)
merupakan barisan
.
Bukti: Misalkan diberikan suatu proyeksi berbentuk :
v ⊥ v
v
Maka dapat diperoleh persamaan berbentuk: ‖ε ‖2 =
2
+
⊥
2
.
Selanjutnya, (
σ =
=
=
⟹
(
)
=
) (
(
)
)
‖ε ‖ − n−p (
) (
)
= ‖ε ‖ − = ∑
ϵ -
=
∑
ϵ −
22
Berdasarkan asumsi diperoleh ∑
= ∑
∑
)=
(
=
Sehingga dengan menerapkan weak law of large number, maka diperoleh ‖ ‖ →
→ ∞.
untuk
Dengan ketaksamaan Makrov, untuk setiap
P
1 n
≥
> 1,berlaku
1 ≤ k
=
Maka 1
lim
≥
→
→ 0, untuk
Ini berarti, =
→
⎯⎯ 1, maka diperoleh
≤ lim →
=0
→ ∞. Secara keseluruhan karena →
,untuk → ∞ ,atau (
barisan penduga yang konsisten terhadap 4.3.
1
)
=
merupakan
, (Serber,1976).
Normal Asimtotik untuk Penduga Kuadrat Terkecil Pernyataan asumsi dibawah akan menentukan teori asimtotik untuk regresi
linear. Asumsi 4.1 [I. I. D. ]: { ,
}
adalah sampel acak yang bersifat saling bebas dan
berdistribusi sama Asumsi 4.2 [lineraritas] Untuk beberapa parameter
=
+
yang berukuran
= ,…, , × 1 dan beberapa variabel acak
yang tidak dapat diketahui.
23
Asumsi 4.3 [spesifikasi kebenaran model]: ( | ) = 0 dengan (
)=
<
∞. Asumsi 4.4 [nonsingular]matriks
×
adalah nonsingular dan terbatas
)=
Asumsi 4.5 matriks V ≡ var(
berukuran
×
adalah matriks
terbatas dan bersifat matriks positif definit. Teorema 4.3. Dibawah asumsi 4.1- 4.5 berlaku −
√ E
→ (0,
) untuk semua
→ ∞, dimana ≡ var( | ) =
.
Bukti: √
–
=
.
Pertama, pertimbangkan bentuk kedua
(
) = 0 dengan asumsi 4.3 dan var (
)=E
= , dimana
terbatas dan positif definit dengan asumsi 4.5 maka, dengan teorema limit pusat untuk barisan acak {
=
},maka =√
=√
Diberikan Q non singular maka
→
̅ →
~
(0, )
fungsi invers adalah kontinu dan dapat
didefinisikan mengikuti teorema Slutsky bahwa
24
√
–
=
~ (0,
→
).
Akibat 4.4. Dibawah asumsi pada Teorema 4.3. berlaku: (
)
−
√
→
(0, )
Bukti: Dari Teorema 4.3 berlaku: –
√
⇒ cov (√
→ (0, –
)→
⇒ cov (
⇒ (
)
)
→√
)
–
.(
)
=
Akibat 4.5. Dibawah asumsi Teorema 4.3. berlaku:
–
Dimana
(
)
–
→
adalah variabel acak berdistribusi chi square dengan derajat kebebasan
. Dari Akibat 4.5. dapat dikonstruksikan daerah kepercayaan (1- )100% untuk vektor
yang dinotasikan dengan D ( ) dimana D ( ) di definisikan sebagai:
D ( )≔ X ∈ ℝ
−X (
)
−X ≤
(1 − )
25
4.4.
Aplikasi Numerik. Data yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah data kandungan nikel
(Ni) di Pomalaa (Lampiran 1). Kandungan pada setiap koordinat ( , ) diukur dalam satuan persen % dimana
dan
dinyatakan dalam meter. Data terdiri
dari 62 titik pengeboran dengan jarak antar titik pengeboran yaitu 25 meter. Rancangan atau desain pengeboran yang dilakukan berbentuk grid teratur seperti terlihat pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1. Desain Pengeboran Pada Daerah Eksplorasi PT. Antam. Gambar 4.1. mempresentasikan suatu plot posisi dari persentase kandungan nikel yang diperoleh dari hasil pengeboran oleh PT. Antam pada daerah ekplorasinya. Pola keadaan kandungan nikel pada tiap titik pengeboron dapat dilihat pada Gambar 4.2. Pada Gambar 4.2 sumbu
dan
menyatakan posisi dari titik pengeboran
pada daerah eksplorasi. Sedangkan sumbu vertikal menyatakan persentase kandungan nikel. Gambar 4.2 menunjukkan bahwa persentase kandungan nikel
26
berubah-ubah seiring dengan perubahan posisi (koordinat) titik pengeboran ( , ) pada daerah ekplorasi tersebut.
Gambar 4.2. Pola Kandungan Nikel
4.5.
Analisis Data Berdasarkan penelitian yang dilakukan sebelumnya, data persentase
kandungan nikel bersifat stasioner order dua yang berarti memiliki distribusi yang sama. Berdasarkan uji Kolmogorov-Smirnov yaitu untuk mengecek data berdistribusi normal, maka pada tingkat signifikansi 5% data persentase kandungan nikel berdistribusi normal (Murtiawan, 2015). Sehingga model regresi linear umum yang dapat digunakan pada data persentase kandungan nikel yaitu terdapat dua variabel prediktor yang ,
memandang hasil pengamatan
,…,
sebagai realisasi (nilai) dari suatu
peubah acak =
+
+
+
, i=1,...,62
(5)
27
Maka Persamaan 4 dapat digunakan untuk menetukan model regresi linear umum pada data persentase kandungan nikel. Langkah awal dalam menentukan model regresi linier umum adalah menetukan nilai parameter untuk model regresi linear umum. Berdasarkan hasil perhitungan dengan bantuan MatLab2007 (Lampiran 2) diperoleh nilai paremeter regresi adalah:
0 12,1125 1 -0,0014 2 -0,0006 Sehingga diperoleh model regresi linear umum Y 12,1125 0,0014 x1 0,0006 x2
Selanjutnya daerah kepercayaan 95% yang diimplementasikan dalam program yang ditulis dalam software Matlab-2007 (Lampiran 2) untuk vektor
0 12,1125 2 1 -0,0014 berkisaran kurang dari nilai 0.05 ;59 7,81 . 2 -0,0006
Gambar 4.3. grafik Asimtotik parameter regresi linear umum
28
Jadi daerah kepercayaan asimtotik 95% untuk vektor D( )= X ∈ ℝ 62
−X (
)
adalah
−X ≤
,
= X∈ℝ
−X (
)
−X ≤
= X∈ℝ
−X (
)
− X ≤ 0,12
Maka diperoleh daerah asimtotik untuk nilai
=[
(3)
7,81
] pada data persentase
kandungan nikel di daerah Pomalaa berkisaran kurang dari 0,12.
29
BAB V PENUTUP 5.1
Kesimpulan Berdasarkan pembahasan dan analisis pada bab sebelumnya, maka dapat
diperoleh kesimpulan sebagai berikut: 1.
Metode asimtotik dapat digunakan untuk menentukan parameter regresi dengan asumsi pada teorema 4.3
2.
Metode asimtotik mempunyai kelebihan yaitu tidak menggunakan asumsi distribusi normal pada pengaplikasiannya berbeda dengan metode klasik
3.
Jika diterapkan pada data kandungan nikel (Ni) di pomalaa, maka analisis model regresi linear umum dengan metode asimtotik diperoleh daerah kepercayaan asimtotik 95% untuk vektor ( )= X∈ℝ
5.2
−X (
adalah
)
− X ≤ 0,12
Saran Untuk penelitian selanjutnya dalam melakukan analisis regresi linear umum
sebaiknya menggunakan metode lain untuk kepercayaan untuk
untuk menentukan daerah
pada kandungan nikel di pomalaa.
30
DAFTAR PUSTAKA Anton, H . 1987. Aljabar Linear Elementer edisi kelima . Bandung: Erlangga. Arnold, S.F (1981). The Theory of Linear Models and Miltivariate Analysis. John Wiley & Sons, New York. Bain, L.J.,&Engelhardt,M. 1992. Introduction to Probability and Mathematicals Statistics 2nd edition. United State: Duxbury. Graybill, F.A. 1976. Theory and Application of The Linear Model. Duxbury Press, Belmont, California. I M. Tirta. 2008.Model Statistika Linear (VersiElektronik). PhD thesis, Department of Mathematics Statistics and Computing Sciences.UniversitasJember. Lehman, E.L dan Romano, J.P (2005).Testing Statistical Hypotheses (3rd Edition). Springer, New York Murtiawan, W. E. 2015. Estimasi Data Spasial Menggunakan Metode Ordinary kriging.Universitas Halu Oleo: Kendari. Rao, C.R., dkk. 2008. Linear Models and Generalization (Least Square and Alternative) 3th edition. Berlin: Springer. Rusgiono, A. 2001.Aplikasi Besaran Pivotal Dalam Penentuan Selang Keyakinan Taksiran Parameter Populasi. UNDIP. Serber, G.A.F., & Alan.J.L. 1977.Linear Regression Analysis (Second Edition). New York: John Wiley & Sons Inc. Setiawan, Adi. 2006. Diktat KuliahStatistikaMatematika. Salatiga:Universitas Kristen SatyaWacana. Somayasa, W. 2013. Diktat Kuliah (MAT 5163): STATISTIKA MATEMATIKA II. Kendari: Universitas Halu Oleo. Tahir, M. 2009. Prediksi Jumlah Cadangan Nikel Berdasarkan Hasil Pemboran Di Beberapa Titik (Studi kasus: PT. Antam). Kendari: Universitas Halu Oleo.
31
Lampiran 1. Data Persentase Kandungan Nikel di PT.ANTAM, Pomalaa. No X Y Nikel 1 5825 5925 0,39 2 5800 5925 0,86 3 5775 5925 0,94 4 5750 5925 1,22 5 5725 5925 0,88 6 5700 5925 1,13 7 5675 5925 0,92 8 5650 5925 0,82 9 5825 5900 0,54 10 5800 5900 0,65 11 5775 5900 0,88 12 5750 5900 1,17 13 5725 5900 1,24 14 5700 5900 1,11 15 5675 5900 1,23 16 5650 5900 1,16 17 5825 5875 0,59 18 5800 5875 1,11 19 5775 5875 1,43 20 5750 5875 1,13 21 5725 5875 1,14 22 5700 5875 0,98 23 5675 5875 0,93 24 5650 5875 1,30 25 5825 5850 0,81 26 5800 5850 0,97 27 5775 5850 1,25 28 5750 5850 1,01 29 5725 5850 1,02 30 5700 5850 1,66 31 5675 5850 1,47 Sumber: Skripsi Muh. Tahir. 2010
No 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62
X 5650 5825 5800 5775 5750 5725 5700 5675 5650 5825 5800 5775 5750 5725 5700 5650 5800 5775 5750 5725 5700 5675 5650 5825 5800 5775 5750 5725 5700 5675 5650
Y 5850 5825 5825 5825 5825 5825 5825 5825 5825 5800 5800 5800 5800 5800 5800 5800 5775 5775 5775 5775 5775 5775 5775 5750 5750 5750 5750 5750 5750 5750 5750
Nikel 0,74 0,71 1,03 1,03 1,22 1,08 1,01 1,19 1,14 0,73 0,80 1,48 1,02 1,35 1,15 0,90 1,36 1,23 1,06 1,27 1,14 1,04 1,10 0,96 0,82 0,90 1,14 1,05 1,10 0,94 0,83
32
Lampiran 2. Program untuk menentukan nilai vektor
dan D( )
clear all; clc; format short t2=xlsread('data X1.xlsx');%perintah untuk membaca file dari excel t4=xlsread('data Y.xlsx'); beta=(inv(t2'*t2))*(t2'*t4) x=[5825 5800 5775]' P=sqrt(3)*beta D_beta=3*(beta-x)'*P*(beta-x)
33
