CREATION OF THE STABLE ELASTIC LOOP

National Conference with International Participation

ENGINEERING MECHANICS 2006 Svratka, Czech Republic, May 15 – 18, 2006

paper no.

122

CREATION OF THE STABLE ELASTIC LOOP

P. Frantı´k 1 Summary: Paper deals with conditions of creation of the loop from a slender prismatic elastic beam loaded by torsional moments at its free ends. The loop occurs by achieving postcritical state of the beam. For this purpose very large displacements have to be considered. The problem is solved by dynamical simulation of discrete nonlinear model obtained by the physical discretization of the continuous beam. There are four qualitative different steady states, which can be obtained by the simulation. 1.

´ vod U

Modelova´nı´ pruzˇny´ch konstrukcı´ je oborem, jehozˇ aplikace vykazujı´ vy´bornou shodu s experimenty i za na´rocˇny´ch podmı´nek, jaky´mi jsou velka´ prˇemı´steˇnı´. Je-li rea´lna´ konstrukce dostatecˇneˇ sˇtı´hla´, pak mu˚zˇe dosahovat velmi velky´ch prˇemı´steˇnı´, prˇi zachova´nı´ pruzˇne´ho pu˚sobenı´ materia´lu (mala´ prˇetvorˇenı´). Protozˇe matematicky´ popis konstrukce podrobene´ velky´m prˇemı´steˇnı´m vyzˇaduje uzˇitı´ nelinea´rnı´ch vztahu˚, jsou tyto u´lohy spolu s prˇedpokladem pruzˇne´ho pu˚sobenı´ vy´borny´m prostrˇedkem ke studiu nelinea´rnı´ch jevu˚. Tyto vy´hody jsou vsˇeobecneˇ zna´me´ a cˇasto vyuzˇ´ıvane´. Stacˇ´ı vzpomenout u´lohu vzpeˇru prutu vyrˇesˇenou Leonhardem Eulerem jizˇ v roce 1744, ktera´ je dodnes studova´na a prˇedkla´da´na jako na´zorny´ prˇ´ıklad tzv. meˇkke´ ztra´ty stability prˇi rozdvojenı´ rovnova´zˇne´ho stavu – dosazˇenı´ bifurkacˇnı´ho bodu. Zpu˚sobu˚, jaky´m mu˚zˇe pruzˇna´ konstrukce ztra´cet stabilitu je vı´ce, ovsˇem je doka´za´no, zˇe jejich pocˇet je omezeny´. Nejlepsˇ´ı vhled do te´to problematiky nabı´zı´ v soucˇasnosti zrˇejmeˇ teorie katastrof, ktera´ studuje singularity hladky´ch zobrazenı´, viz [Arnold 1983]. Ukazuje se, zˇe na analy´zu stability konstrukcı´ lze nahlı´zˇet jako na hleda´nı´ singularit hladky´ch zobrazenı´. Vy´zkum doprova´zejı´cı´ vznik teorie katastrof uka´zal, zˇe studovane´ syste´my lze rozdeˇlit do dvou skupin na tzv. typicke´, ktere´ nejsou citlive´ na malou zmeˇnu svy´ch parametru˚ a na syste´my netypicke´, jejichzˇ mala´ zmeˇna zpu˚sobı´, zˇe se z nich stanou syste´my typicke´. Netypicke´ syste´my, jako je naprˇ. vzpeˇr dokonale symetricke´ho prutu, se rea´lneˇ nevyskytujı´ a nazy´vajı´ se rovneˇzˇ degenerovane´. Jejich prˇechod na syste´m typicky´ je cˇasto doprova´zen ztra´tou symetrie, jako je tomu pra´veˇ prˇi vzpeˇru prutu. Jizˇ Henri Poincare´ pouka´zal, zˇe prˇi studiu syste´mu˚ s promeˇnlivy´mi parametry se nelze vyhnout degenerovany´m syste´mu˚m, jelikozˇ tyto rozdeˇlujı´ oblasti parametru˚ odpovı´dajı´cı´ch syste´mu˚m typicky´m (te´zˇ regula´rnı´m). ´ stav stavebnı´ mechaniky, Fakulta stavebnı´, Vysoke´ ucˇenı´ technicke´ v Brneˇ, Veverˇ´ı Ing. Petr Frantı´k, Ph.D., U 331/95, 602 00 Brno, e-mail: [email protected] 1

1

2

Engineering Mechanics, Svratka 2006, #122

Tento prˇ´ıspeˇvek se veˇnuje modelova´nı´ dokonale symetricke´ho pruzˇne´ho prutu (tj. netypic´ cˇelem je modelovat ztra´tu stability ke´ho syste´mu), zatı´zˇene´ho dvojicı´ kroutı´cı´ch momentu˚. U prˇi kroucenı´ a zı´skat tak pokriticky´ stabilnı´ stav prutu ve tvaru smycˇky. Smycˇka vznika´ i u jednodusˇsˇ´ıch syste´mu˚ jako je vzpeˇr prutu, viz obr. 1, nebo ohyb konzolove´ho nosnı´ku, ovsˇem jak bylo uka´za´no v prˇ´ıspeˇvcı´ch [Frantı´k 2002, Frantı´k 2004], vznikem smycˇky se staticky´ stav sta´va´ nestabilnı´m. Jedna´ se o prˇ´ıpad tzv. tvrde´, poprˇ. take´ katastroficke´ ztra´ty stability.

Obra´zek 1: Vznik smycˇky prˇi pokriticke´m vzpeˇru prˇ´ıme´ho prutu Po proka´za´nı´ nestability takto vznikle´ smycˇky se nabı´zela ota´zka, zdali existuje podobny´ syste´m, prˇi ktere´m vznika´ smycˇka stabilnı´. Inspiracı´ prˇi hleda´nı´ takove´ho syste´mu byl jev, ke ktere´mu docha´zı´ prˇi kroucenı´ sˇtı´hle´ho „prutu“ jaky´m je naprˇ. vla´kno letecke´ gumy. Lze snadno vyzkousˇet, zˇe prˇi kroucenı´ vla´kna, potazˇmo velmi sˇtı´hle´ho prutu, vznika´ v urcˇite´m okamzˇiku smycˇka, ktera´ se jevı´ jako stabilnı´. 2.

Kroucenı´ sˇtı´hle´ho prutu

Meˇjme prizmaticky´ prut zatı´zˇeny´ na svy´ch koncı´ch proti sobeˇ pu˚sobı´cı´mi, stejneˇ velky´mi kroutı´cı´mi momenty, viz obr. 2. Prˇi na´ru˚stu velikosti kroutı´cı´ch momentu˚ M nad urcˇitou kritickou hodnotu Mcr docha´zı´ ke ztra´teˇ stability prˇ´ıme´ho tvaru prutu, prut se zakrˇivuje a strˇednice prutu se sta´va´ prostorovou krˇivkou (prˇehled viz [Bazˇant & Cedolin 1991]).

Obra´zek 2: Sche´ma kroucenı´ prˇ´ıme´ho prutu Pro dynamickou simulaci te´to u´lohy byl vytvorˇen model pomocı´ fyzika´lnı´ diskretizace. Fyzika´lnı´ diskretizacı´ je mysˇleno nahrazenı´ spojite´ho prutu soustavou pruzˇin a tuhy´ch dı´lcu˚. Takova´ soustava pak je popsa´na diskre´tnı´ mnozˇinou stavovy´ch promeˇnny´ch, cˇ´ımzˇ je umozˇneˇno efektivneˇ rˇesˇit dany´ proble´m. Prˇehled a zarˇazenı´ modelu do vy´pocˇetnı´ch metod mechaniky lze nale´zt v [Henrych 1985]. Prut je po de´lce rozdeˇlen na obde´lnı´kove´ dı´lce s vnitrˇnı´mi pruzˇinami, nahrazujı´cı´mi norma´love´ a smykove´ prˇetvorˇenı´. Dı´lce jsou vza´jemneˇ spojeny klouby s rotacˇnı´mi pruzˇinami nahrazujı´cı´mi „ohybove´“ prˇetvorˇenı´, viz obr. 3.

P. Frantı´k

3

Obra´zek 3: Sche´ma modelu prutu

Oba druhy pruzˇin jsou linea´rnı´. Norma´love´ a smykove´ pruzˇiny pu˚sobı´ silou prˇ´ımo u´meˇrnou prodlouzˇenı´ pruzˇiny, rotacˇnı´ pruzˇiny pu˚sobı´ momentem prˇ´ımo u´meˇrny´m vza´jemne´mu natocˇenı´ dı´lcu˚ v mı´steˇ prˇipojenı´ (kloub). Tyto za´vislosti mu˚zˇeme popsat vztahy: Fl = kl dl, Mf = kf dϕ,

(1)

kde Fl je sı´la, kterou liniova´ pruzˇina (norma´lova´ resp. smykova´) pu˚sobı´ na prˇ´ıpojne´ klouby, kl je tuhost liniove´ pruzˇiny, dl je protazˇenı´ liniove´ pruzˇiny; Mf je moment, ktery´m rotacˇnı´ pruzˇina pu˚sobı´ na prˇipojene´ dı´lce, kf je tuhost rotacˇnı´ pruzˇiny a dϕ je natocˇenı´ dı´lcu˚ v mı´steˇ prˇipojenı´ pruzˇiny. Pro prˇetvorˇenı´ liniove´ pruzˇiny dlij spojujı´cı´ klouby i a j lze uzˇ´ıt geometricky prˇesne´ho popisu: 0 dlij = lij − lij , lij =

q

(xj − xi )2 + (yj − yi )2 + (zj − zi )2 ,

(2)

kde xi , yi , zi jsou aktua´lnı´ sourˇadnice kloubu˚, lij je aktua´lnı´ de´lka pruzˇiny, pu˚vodnı´ de´lka 0 . Podobneˇ pro prˇetvorˇenı´ rotacˇnı´ pruzˇiny dϕijk lezˇ´ıcı´ na kloubu j a va´zane´ nenapjate´ pruzˇiny je lij na klouby i a k (viz obr. 3) lze psa´t geometricky prˇesneˇ: cos(dϕijk ) =

~uij ~ujk , ~uij = (xj − xi , yj − yi , zj − zi ), lij ljk

(3)

kde ~uij je pomocny´ vektor dany´ polohou kloubu˚ i a j. Prˇedpokla´dejme, zˇe hmotnost prutu lze soustrˇedit do kloubu˚ na hrana´ch prutu. Za tohoto prˇedpokladu vznika´ n hmotny´ch kloubu˚, na ktere´ pu˚sobı´ prˇipojene´ pruzˇiny vy´slednou interakcˇnı´ ~ i slozˇenou z u´cˇinku˚ pruzˇin dany´ch vztahy (1). Potom lze psa´t pohybove´ rovnice ve tvaru: silou R 1 dvxi dxi (Rxi − ci mi vxi (1 + cai |vxi |)), = = vxi , mi dt dt 1 dvyi dyi (Ryi − ci mi vyi (1 + cai |vyi |)), = = vyi , mi dt dt 1 dvzi dzi (Rzi − ci mi vzi (1 + cai |vzi |)), = = vzi , mi dt dt

(4)

4

Engineering Mechanics, Svratka 2006, #122

kde vxi , vyi , vzi jsou slozˇky aktua´lnı´ rychlosti i-te´ho hmotne´ho kloubu, Rxi , Ryi , Rzi jsou slozˇky ~ i = f (F~l , M ~ f ) pu˚sobı´cı´ na hmotny´ kloub i, mi je hmotnost i-te´ho aktua´lnı´ interakcˇnı´ sı´ly R hmotne´ho kloubu, ci je soucˇinitel u´tlumu, cai je soucˇinitel kvadraticke´ho cˇlene u´tlumu a t je cˇas. Dodejme, zˇe popsany´ model je nelinea´rnı´, viz vztahy (2) a (3), a te´meˇrˇ neza´visly´ na velikosti prˇemı´steˇnı´ hmotny´ch kloubu˚. Rˇesˇenı´ pohybovy´ch rovnic je vzhledem k silne´ nelineariteˇ syste´mu prova´deˇno klasickou numerickou metodou Runge-Kutta. Zatı´zˇenı´ kroutı´cı´mi momenty Vzhledem ke zvolene´ diskretizaci u´lohy je zrˇejme´, zˇe nanesenı´ kroutı´cı´ch momentu˚ je trˇeba prove´st pomocı´ dvojic sil (tj. sil stejneˇ velky´ch, opacˇne´ho smeˇru). Uvazˇova´nı´ velky´ch posuvu˚ bodu˚ prutu pak vede k proble´mu se zachova´nı´m podmı´nky dvojice sil i jejı´ho momentove´ho u´cˇinku, viz obr. 4.

Obra´zek 4: Zatı´zˇenı´ kroutı´cı´mi momenty Pro zachova´nı´ momentove´ho u´cˇinku dvojice sil prˇi velky´ch rotacı´ch koncu˚ prutu byl zvolen prˇ´ıstup tzv. sledujı´cı´ho zatı´zˇenı´, kdy kazˇda´ sı´la meˇnı´ svu˚j smeˇr v za´vislosti na natocˇenı´ modelu prutu v mı´steˇ pu˚sobisˇteˇ sil (jedna´ se o tzv. nekonzervativnı´ zatı´zˇenı´). Zachova´nı´ podmı´nky dvojice sil je udrzˇova´no stanovenı´m spolecˇne´ho natocˇenı´ pro obeˇ sı´ly z dvojice. Uzˇitı´ sledujı´cı´ho zatı´zˇenı´ ma´ na u´lohu urcˇite´ negativnı´ u´cˇinky, ktere´ budou uka´za´ny da´le. 3.

Simulace

Model prutu je dokonale symetricky´. Jedina´ nesymetrie, objevujı´cı´ se prˇi reprezentaci modelu v pocˇ´ıtacˇi, bude da´na polohou prutu v sourˇadne´m syste´mu a nesymetriı´ danou zaokrouhlovacı´ chybou, ktery´mi je stav modelu popsa´n. Nesymetrie digitalizovane´ho modelu je natolik mala´, zˇe male´ „pohybove´“ nesymetrie v pocˇa´tecˇnı´ch podmı´nka´ch (rozlozˇenı´ rychlostı´ hmotny´ch kloubu˚) mohou mı´t prˇevazˇujı´cı´ vliv. Smeˇr vybocˇenı´ prutu tak mu˚zˇe probı´hat typicky neprˇedvı´datelneˇ. Vy´znam zavedenı´ nesymetricky´ch pocˇa´tecˇnı´ch podmı´nek lze spatrˇovat kromeˇ vy´sˇe uvedene´ho rovneˇzˇ ve zkra´cenı´ cˇasu, ktere´ho je pro vybocˇenı´ modelu prutu zapotrˇebı´. Prozatı´m jsme se nezmı´nili o okrajovy´ch podmı´nka´ch prutu. Jejich vliv na chova´nı´ prutu je znacˇny´, a proto se zde soustrˇedı´me jen na zcela volny´ prut. Prˇi ztra´teˇ symetrie prutu, v du˚sledku uzˇitı´ sledujı´cı´ho zatı´zˇenı´, mu˚zˇe dojı´t k rotaci modelu prutu jako celku, jelikozˇ dvojice kroutı´cı´ch momentu˚ prˇestane mı´t nulovou vy´slednici. Z tohoto

P. Frantı´k

5

du˚vodu nebude zcela zrˇejma´ prˇ´ıpadna´ stabilita zı´skane´ smycˇky ve smyslu stability staticke´ho stavu. Za stabilnı´ stav proto obecneˇji povazˇujme pohybujı´cı´ se prut, ktery´ nemeˇnı´ svu˚j tvar. Simulace jsou prova´deˇny na´sledujı´cı´m zpu˚sobem: Jako pocˇa´tecˇnı´ stav je zvolen neprˇetvorˇeny´ model prutu s malou „pohybovou“ nesymetriı´ v pocˇa´tecˇnı´ch podmı´nka´ch. Dvojice kroutı´cı´ch momentu˚ je nanesena v plne´ velikosti a v pru˚beˇhu simulace nemeˇnı´ velikost. Parametry modelu prutu jsou zvoleny tak, aby odpovı´daly tenke´mu pa´sku oceli s prˇevazˇujı´cı´ de´lkou (obr. 2). Kromeˇ velikosti kroutı´cı´ch momentu˚ je rovneˇzˇ uvazˇova´na promeˇnlivost parametru˚ tlumenı´. Vy´sledkem simulace syste´mu pak mohou by´t na´sledujı´cı´ stavy: • staticky´ prˇ´ımy´ tvar prutu (obecneˇ zkrouceny´) (obr. 5), • rotujı´cı´ vybocˇeny´ prut s usta´leny´m tvarem (obr. 6), • periodicke´ oscilace zmeˇny tvaru prutu (obr. 7), • chaoticky´ pohyb, vznikly´ celkovou ztra´tou symetrie u´lohy. Poznamenejme, zˇe v prˇ´ıpadeˇ poslednı´ch dvou stavu˚ (zejme´na u prvnı´ho z nich) existujı´ dveˇ du˚lezˇite´ mozˇnosti: model prutu prˇi simulaci, resp. prˇi „usta´lene´m pohybu“, zmeˇnı´ svu˚j tvar natolik, zˇe se jeho cˇa´sti protnou cˇi nikoliv. Mozˇnost pronika´nı´ cˇa´stı´ prutu je pochopitelneˇ v rozporu s realitou.

Obra´zek 5: Staticky´ prˇ´ımy´ tvar prutu

Obra´zek 6: Rotujı´cı´ vybocˇeny´ prut s usta´leny´m tvarem (dva vza´jemneˇ kolme´ pru˚meˇty) Du˚lezˇitou roli zde hraje tlumenı´. Vy´sledkem ztra´ty stability je rotace, prˇi ktere´ majı´ hmotne´ body na konci prutu velkou obvodovou rychlost. Je-li kvadraticky´ cˇlen u´tlumu vy´razny´, viz rovnice (4), pak majı´ konce prutu tendenci se prˇimknout k ose rotace, k cˇemuzˇ prˇi uzˇitı´ linea´rnı´ho u´tlumu nedocha´zı´.

6

Engineering Mechanics, Svratka 2006, #122

Obra´zek 7: Kinogram poloviny periody oscilujı´cı´ho prutu (dva vza´jemneˇ kolme´ pru˚meˇty)

4.

Za´veˇr

V prˇ´ıspeˇvku byla prezentova´na simulace kroucenı´ dokonale symetricke´ho prutu, umı´steˇne´ho volneˇ v prostoru. Pro reprezentaci prutu bylo uzˇito silneˇ nelinea´rnı´ho modelu, vznikle´ho fyzika´lnı´ diskretizacı´. Vneˇjsˇ´ı kroutı´cı´ momenty se uvazˇovaly jako sledujı´cı´ (nekonzervativnı´) zatı´zˇenı´. Simulace uka´zaly, zˇe je takto vznikly´ syste´m bohaty´ na ru˚zne´ druhy usta´leny´ch stavu˚: Lze dosa´hnout klidu, periodicke´ho i chaoticke´ho pohybu. Kvalitativneˇ ru˚zne´ druhy pohybu bude mozˇne´ odlisˇit naprˇ´ıklad sledova´nı´m hodnoty vzepeˇtı´ prutu. Pu˚vodnı´ cı´l – vznik stabilnı´ smycˇky – lze povazˇovat za cˇa´stecˇneˇ splneˇny´. K tomu, aby byla smycˇka stabilnı´m staticky´m stavem bude postacˇovat uzˇitı´ vhodny´ch okrajovy´ch podmı´nek, aby se zamezilo rotaci prutu vznikle´ kvu˚li ztra´teˇ souososti kroutı´cı´ch momentu˚ po vybocˇenı´ prutu. Vy´sledek simulace je obecneˇ znacˇneˇ ovlivneˇn nemozˇnostı´ kontaktu mezi cˇa´stmi prutu. Snadno se lze prˇesveˇdcˇit experimentem, naprˇ. s leteckou gumou, zˇe „zavinutı´ “ smycˇky ma´ na syste´m stabilizujı´cı´ efekt. Nekonzervativnı´ zatı´zˇenı´ je pomeˇrneˇ na´rocˇny´m prvkem u´lohy, jak je patrne´ naprˇ. z publikace [Elishakoff 2005], ktera´ prˇina´sˇ´ı rozsa´hly´ kriticky´ prˇehled te´to problematiky. Poznamenejme pouze, zˇe zde bylo uzˇito sledujı´cı´ho zatı´zˇenı´ zejme´na z du˚vodu snadnosti jeho definice a nanesenı´ na volny´ prut. Vhodne´ okrajove´ podmı´nky umozˇnı´ pouzˇitı´ „realisticˇteˇjsˇ´ıho“ konzervativnı´ho zatı´zˇenı´.

P. Frantı´k

7

Zvla´sˇtnı´ roli hraje v simulaci tlumenı´. Ukazuje se, zˇe prˇi rotaci prutu je znacˇny´ rozdı´l mezi u´tlumem linea´rnı´m a nelinea´rnı´m (nelinea´rnı´ u´tlum odpovı´da´ naprˇ. zvy´sˇene´mu odporu vzduchu). Nelinea´rnı´ u´tlum zpu˚sobil prˇimknutı´ koncu˚ prutu k ose rotace. 5.

Podeˇkova´nı´

Tento vy´sledek byl zı´ska´n za financˇnı´ho prˇispeˇnı´ MSˇMT, projekt 1M6840770001, v ra´mci cˇinnosti vy´zkumne´ho centra CIDEAS. Prˇi rˇesˇenı´ byly cˇa´stecˇneˇ vyuzˇity teoreticke´ vy´sledky dosazˇene´ v projektu GA CˇR 103/03/1350. 6.

Literatura

[Arnold 1983] Arnold, V. I., 1983: Teo´ria katastrof (orig. Teorija katastrof, vydavatelstvo Moskevske´ univerzity 1983), vydavatel’stvo Alfa, Bratislava [Bazˇant & Cedolin 1991] Bazˇant Z. P., Cedolin L., 1991: Stability of Structures, Elastic, Inelastic, Fracture, and Damage Theories, Oxford University Press, New York [Elishakoff 2005] Elishakoff I., 2005: Controversy Associated With the So-Called ”Follower Forces”, Applied Mechanics Rewiev, vol. 58, p. 117-142 [Frantı´k 2002] Frantı´k, P., 2002: Nestability vybrany´ch syste´mu˚, CD sbornı´k konference Inzˇeny´rska´ mechanika 2002, Svratka [Frantı´k 2004] Frantı´k, P., 2004: Stability study of the elastic loop, 5th International PhD Symposium in Civil Engineering, vol. 2, p. 1083-1088, Delft, Netherlands [Henrych 1985] Henrych, J., 1985: U´plna´ soustava finitnı´ch metod mechaniky a mozˇnosti dalsˇ´ıho rozvoje, studie CˇSAV 6.85, nakladatelstvı´ Akademia, Praha