Course Note Numerical Method Akar Persamaan Tak Liniear.
Dalam matematika terapan seringkali harus mencari selesaian persamaan yang berbentuk
f(x) = 0 yakni bilangan xo sedemikian sehingga f(xo) = 0. Dalam hal ini f adalah persamaan/fungsi tak liniear. Nilai nilai x yang memenuhi persamaan tersebut disebut dengan akar atau titik nol dari persamaan. Persamaan f(x) dapat berbentuk sebagai berikut : 1. Persamaan Aljabar Contoh : persamaan polinom berordo lebih dari 2.
an x n a( n 1) x ( n 1) ... a2 x 2 a1 x a0 0 , dengan an 0, n 2
2. Persamaan Transenden Persamaan yang memuat fungsi-fungsi trigonometri, logaritma atau eksponen. Contoh :
e x sin x 0 3. Persamaan campuran : memuat baik persamaan polinom maupun persamaan transenden. Contoh : x 2 sin x 3 0 x 2 ln x 0 Dari contoh-contoh di atas terlihat bahwa rumus-rumus yang memberikan nilai eksak dari penyelesaian eksplisit hanya akan ada untuk kasus-kasus yang sederhana. Dalam banyak kasus, harus menggunaan metode hampiran, khususnya pada kasus dimana secara aljabar solusin eksaknya sulit ditemukan. Metode iterasi numeris adalah metode dimana kita memilih sebarang xo sebagai tebakan awal dan secara beruntun menghitung barisan x0, x1, x2, ... secara rekrusif dari relasi berbentuk xn 1 g ( x n )
(n = 0, 1, 2, 3, ...)
Dengan g didefinisikan dalam selang yang memuat x0 dan rentang g terletak dalam selang tersebut. Metode yang demikian khusunya cocok untuk komputer karena metode tersebut melibatkan pengulangan satu proses komputasi g(x).
Course Note Numerical Method
Halaman : 1
Metode Bagi Dua Metode ini adalah metode untuk menentukan titik nol (akar) dari f bila f kontinu di suatu selang. Metode ini sangat sederhana tetapi kekonvergenannya lambat. Metode bagi dua didasarkan pada teorema nilai antara untuk fungsi kontinu, yaitu suatu selang [a, b] harus memuat suatu titik nol bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda, misalnya f(a) < 0 dan f(b) > 0. Hal ini menyarankan metode pengulangan pembagiduaan selang dan dalam setiap langkah mengambil setengah selang yang juga memenuhi persyarata f(a). f(b) < 0. Metode bagi dua memerlukan dua nilai sebagai tebakan awal. Sebut a dan b dengan a < b dan harus memenuhi syarat f(a). f(b) < 0. Selang [a, b] memuat satu akar. Mula-mula ditentukan titik tengah selang [a,b], misal titik T dengan T=
a+b . Dua selang baru diperoleh, yakni [a, T] dan [T, b]. 2
Salah satu dari selang ini diantaranya pasti memuat akar. Berikutnya yang ditinjau adalah selang yang memuat akar tersebut. Proses diulangi dengan membagi dua selang tersebut dan memeriksa setengah selang yang memuat akar. Pembagi-duaan selang ini dilanjutkan sampai lebar selang yang ditinjau cukup kecil.
Gambar 1. Metode Bagi Dua Dari gambar di atas titik p merupakan akar dari f(x). Titik p1 merupakan titik tengan selang [a,b]. Oleh karena f(a). f(p1) < 0, maka akar f(x) terletak di selang [a,p1]. Titik p2 merupakan titik
Course Note Numerical Method
Halaman : 2
tengah [a, p1]. Oleh karena f(p2). f(p1) < 0, maka selang [p2, p1] memuat akar f(x). Proses ini berlangsung secara terus menerus dan berhenti apabila mencapai eror yang telah ditentukan. Dari uraian di atas, penentuan setengah selang yang memuat akar dilakukan dengan memeriksa tanda dari hasil kali f(a).f(T) atau f(b).f(T). 0, berarti akar pada (a,T ) f ( a ). f (T ) 0, berarti akar : T 0, berarti akar pada (T , b)
Dalam algoritma digunakan variabel-variabel sebagai berikut: a sebagai ujung kiri selang b sebagai ujung kanan selang T sebagai titik tengah Berikut algoritma Metode Bagi Dua Algoritma Metode Bagi Dua Input : f(x), a, b dan epsilon Output : hampiran akar Langkah-langkah: 1. T
a b 2
2. Jika f(a).f(T) < 0, maka b : = T. Jika tidak a : = T 3. Jika b – a epsilon, maka hampiran akar : = T. Selesai 4. Ulangi kembali ke langkah 1.
Karena metode ini selalu menghasilkan akar, maka dikatakan bahwa metode ini selalu konvergen. Besarnya epsilon tergantung pada ketelitian yang diinginkan. Semakin kecil epsilon semakin teliti hampiran akan yang diperoleh. Bila proses dilakukan sebanyak n iterasi, maka toleransi eror (Tol) yang diberikan adalah ba Tol 2n
Contoh 1 : Dengan menggunakan metode bagi dua, tentukan salah satu hampiran akan dari persamaan f ( x ) e x 4 x di selang [0, 1]
Course Note Numerical Method
Halaman : 3
Jawab : Iterasi
a
b
T
f(a)
f(T)
f(a).f(T)
a baru
b baru
1
0,000000
1,000000
0,500000
1,000000
-0,351279
-0,351279
0,000000
0,500000
2
0,000000
0,500000
0,250000
1,000000
0,284025
0,284025
0,250000
0,500000
3
0,250000
0,500000
0,375000
0,284025
-0,045009
-0,012784
0,250000
0,375000
4
0,250000
0,375000
0,312500
0,284025
0,116838
0,033185
0,312500
0,375000
5
0,312500
0,375000
0,343750
0,116838
0,035226
0,004116
0,343750
0,375000
6
0,343750
0,375000
0,359375
0,035226
-0,005066
-0,000178
0,343750
0,359375
7
0,343750
0,359375
0,351563
0,035226
0,015037
0,000530
0,351563
0,359375
8
0,351563
0,359375
0,355469
0,015037
0,004974
0,000075
0,355469
0,359375
9
0,355469
0,359375
0,357422
0,004974
-0,000049
0,000000
0,355469
0,357422
10
0,355469
0,357422
0,356445
0,004974
0,002462
0,000012
0,356445
0,357422
11
0,356445
0,357422
0,356934
0,002462
0,001207
0,000003
0,356934
0,357422
12
0,356934
0,357422
0,357178
0,001207
0,000579
0,000001
0,357178
0,357422
13
0,357178
0,357422
0,357300
0,000579
0,000265
0,000000
0,357300
0,357422
14
0,357300
0,357422
0,357361
0,000265
0,000108
0,000000
0,357361
0,357422
15
0,357361
0,357422
0,357391
0,000108
0,000030
0,000000
0,357391
0,357422
16
0,357391
0,357422
0,357407
0,000030
-0,000009
0,000000
0,357391
0,357407
17
0,357391
0,357407
0,357399
0,000030
0,000010
0,000000
0,357399
0,357407
Dengan ketelitian 0,00001, maka proses perhitungan berhenti di n = 17 dengan T = 0,357399 Contoh 2 : Persamaan f(x) = x3 + 4x2 – 10 = 0 memiliki akar di selang [1, 2], carilah hampiran akar sampai 5 iterasi. Kemudian tentukan nilai hampiran akar dan errornya.
Metode Posisi Palsu Dalam metode bagi dua nilai fungsi belum digunakan untuk menghitung hampiran akar. Perbandingan antara nilai f(a) dan f(b) yang mana yang lebih dekat ke nol akan ikut menentukan posisi akar, apakah lebih dekat ke ujung kiri a atau ke ujung kanan b. Metode posisi palsu memanfaatkan wawasan grafis ini dengan cara menetapkan hampiran akan sebagai perpotongan antara garis yang melalui titik-titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) dengan sumbu x. Andaikan titik potong tersebut adalah c, maka akar akan terletak pada selang [a, c] atau [c, b]. selanjutnya penentuan selang mana yang memuat akar menggunakan cara yang sama seperti pada metode bagi dua. Secara geometri, metode posisi palsu diilustrasikan pada gambar 2 di bawah. Persamaan garis yag melalui (a, f(a)) dan (b, f(b)) adalah sebagi berikut: y f (b) x b f ( a ) f (b) a b
Course Note Numerical Method
Halaman : 4
Titik potong dengan sumbu x adalah : c b f (b)
ba f (b) f ( a )
Untuk menghentikan iterasi, ketentuan bahwa lebar selang yang ditinjau sudah cukup kecil ternyata tidak dapat digunakan lagi. Iterasi akan dihentikan bilamana dua hampiran akar yang beruntun sudah hampir sama nilainya. Algoritma untuk metode posisi palsu diberikan dalam tabel berikut. Algoritma Metode Posisi Palsu Input : f(x), a, b dan epsilon Output : hampiran akar Langkah-langkah: 1. Clama := 2b – a 2. c : b f (b) 3. Jika
ba f (b) f ( a )
c clama epsilon , maka akar : = c. Selesai c
4. Jika f(a).f(c) < 0 maka b:= c, jika tidak a := c 5. Clama : = c, kembali ke langkah 2
Contoh 3. Gunakan metode posisi palsu untuk menentukan hampiran salah satu akar dari persamaan f(x) = ex – 4x di selang [0,1] Course Note Numerical Method
Halaman : 5
Soal Latihan Gunakan metode bagi dua untuk menyelesaikan persamaan berikut ini : 1. x3 – 2x2 + 6x = 10
a = 1,7
b = 1,8
2. x2 = ln x + 3
a=1
b=2
selesaikan dengan 5 iterasi Gunakan metode posisi palsu untuk menyelesaikan persamaan berikut ini : 3. x2 – 10x +23 = 0
[a0, b0] = [6, 6.8]
4. ln x – 5 + x = 0
[a0, b0] = [3.2 , 4]
selesaikan dengan 5 iterasi
Course Note Numerical Method
Halaman : 6
