COURSE NOTE : Sistem Persamaan Liniear
PERSAMAAN LINIEAR Secara umum kita mendefinisikan persamaan liniear dalam n variable x1, x2, …, xn sebagai berikut : a1 x1 a2 x2 a3 x3 ... an xn b
dengan a1 , a2 ,..., an , b adalah konstanta real.
SISTEM PERSAMAAN LINIEAR Himpunan hingga dari persamaan liniear dalam variable x1 , x2 ,..., xn disebut system persamaan liniear. Secara formal sistem persamaan liniear dengan n variabel didefinisikan sebagai berikut:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ... a2 n xn b2 :
:
:
: : : an1 x1 an 2 x2 an3 x3 ... ann xn bn Bentuk tersebut dapat disajikan dengan matriks sebagai berikut :
a11 a 21 a31 : an1
a12 a22 a32 an 2
a13 ... a1n x1 b1 a23 ... a2 n x2 b2 a33 ... a3n x3 b3 : : : : an 3 ... ann xn bn
yang secara sederhana disajikan dalam bentuk Ax = b Setiap sistem persamaan liniear bisa tidak mempunyai solusi, mempunyai tepat satu solusi atau mempunyai tak hingga banyaknya solusi.
MATRIKS LENGKAP Misal diberikan sistem persamaan sebagai berikut :
a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ... a2 n xn b2 :
:
:
: : : an1 x1 an 2 x2 an3 x3 ... ann xn bn Matriks lengkap dari sistem persamaan di atas adalah : a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ... ... : a n1 an 2 an 3
... a1n ... a2 n ... a3n ... : ... ann
b1 b2 b3 : bn
Contoh : diberikan sistem persamaan liniear sebagai berikut : x1 2 x2 3 x3 9
1 2 3 4 x1 x2 2 x3 8 bentuk matriks lengkapnya adalah 4 1 2 1 6 2 x1 6 x2 2 x3 3
9 8 3
OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) Ada tiga operasi baris elementer pada matriks. No. Operasi
Notasi
1.
Mengalikan baris-i dengan konstanta tidak nol k
kRi
2.
Menukar baris-i dengan baris-j
Ri ↔ Rj
3.
Mengganti baris-j dengan barik-j + baris -i
Rj + kRi
Operasi baris elementer tidak merubah himpunan selesaian dari sistem persamaan liniear. Artinya sistem persamaan liniear baru yang diperoleh dari sistem persamaan liniear lama dengan menggunakan OBE, mempunyai selesaian yang sama.
MATRIKS ESELON BARIS DAN MATRIKS ESELON BARIS TEREDUKSI Diberikan sifat matriks sebagai berikut : 1.
Jika suatu baris yang didalamnya tidak memuat nol, maka bilangan pertama yang bukan nol haruslah 1. Kita sebut ini sebagai 1 utama
2.
Jika ada dua baris yang didalamnya memuat nol, maka kedua baris tersebut dikelompokkan secara bersama di baris bawah.
3.
Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang didalamnya tidak memuat nol, maka 1 utama baris bawah, muncul disebelah kanan dari 1 utama baris atasnya.
4.
Masing-masing kolom yang memuat 1 utama mempunyai nol sebagai elemen di kolom itu.
Apabila ada matriks yang memenuhi sifat 1 – 3, maka matriks tersebut dikatakan matriks eselon baris. Dan apabila ada matriks yang memenuhi sifat 1 – 4, maka matriks tersebut dikatakan matriks eselon baris tereduksi. Contoh : Matriks-matriks berikut memiliki bentuk matriks eselon baris
1 0 0 0
* * * 1 1 * * 0 , 0 1 * 0 0 0 1 0
* * * 1 * * , 0 1 * 0 0 0
1 0 0 0
* * * 1 * * , 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 * * * * * * * * 0 0 1 * * * * * * 0 0 0 1 * * * * * 0 0 0 0 1 * * * * 0 0 0 0 0 0 0 1 *
Matriks-matriks berikut memiliki bentuk matriks eselon baris tereduksi
1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 , 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 * 1 1 0 * 0 , 0 1 * 0 0 0 0 0
0 0 * * 0 1 * * , 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 * 0 0 0 * * 0 * 0 0 1 0 0 * * 0 * 0 0 0 1 0 * * 0 * 0 0 0 0 1 * * 0 * 0 0 0 0 0 0 0 1 *
BENTUK MATRIKS TERKAIT DENGAN SOLUSI SPL Telah disebutkan bahwa setiap sistem persamaan liniear bisa tidak mempunyai solusi, mempunyai tepat satu solusi atau mempunyai tak hingga banyaknya solusi. Berikut bentuk matriks yang terkait dengan solusi sistem persamaan liniear. 1. Solusi unik Sistem persamaan linier mempunyai solusi yang unik apabila setelah dilakukan OBE, sistem persamaan liniear tersebut memiliki bentuk :
a11 0 0 0 0
a12 a22
a13 ... a1n a23 ... a2 n
0 0 0
a33 ... a3n 0 ... ... 0 0 ann
b1 b2 1 1 1 b3 contoh : 0 1 2 0 0 3 ... bn
7 8 9
2. Solusi Tak Hingga Banyaknya Sistem persamaan liniear mempunyai solusi yang tidak terhingga banyaknya apabila setelah dilakukan OBE sistem persamaan liniear tersebut memiliki bentuk :
a11 a12 0 a22 0 0 0 0 0 0
a13
... a1n
a23 ... a2 n a33 ... a3n 0 0
... ... 0 0
b1 b2 b3 contoh : ... 0
1 0 0 0
3 4 5 2 4 5 0 0 1 0 0 0
6 7 8 0
3. Tidak Mempunyai Solusi Sistem persamaan liniear tidak mempunyai solusi apabila setelah dilakukan OBE sistem persamaan liniear tersebut memiliki bentuk :
a11 0 0 0 0
a12 a22
a13 ... a1n a23 ... a2 n
0 0 0
a33 ... a3n 0 ... ... 0 0 0
b1 1 b2 0 b3 contoh : 0 ... 0 bn
3 4 5 2 4 5 0 0 1 0 0 0
6 7 8 6
Soal Latihan. 1. Dari sistem persamaan berikut, buatlah matriks lengkapnya. Kemudian gunakan OBE untuk menghasilkan matriks eselon baris dan matriks eselon baris tereduksi. a. Diketahui sistem persamaan liniear
b. Diketahui sistem persamaan liniear
x1 x2 2 x3 8
2 x1 2 x2 2 x3 0
x1 2 x2 3x3 1
2 x1 5 x2 2 x3 1
3x1 7 x2 4 x3 10
8 x1 x2 4 x3 1
c. Diketahui sistem persamaan liniear
x y 2 z w 1 2 x y 2 z 2w 2 x 2 y 4z w 1 3x 3w 3
d. Diketahui sistem persamaan liniear 2b 3c 1 3a 6b 3c 2 6a 6b 3c 5
2. Selesaikan sistem persamaan liniear berikut dengan sebarang metode a. Diketahui Sistem Persamaan Liniaer
b. Diketahui Sistem Persamaan Liniear
2 x1 x2 3x3 4 x4 9
z3 z4 z5 0
x1 2 x3 7 x4 11
z1 z2 2 z3 3z4 z5 0
3x1 3x2 x3 5 x4 8
z1 z2 2 z3 z5 0
2 x1 x2 4 x3 4 x4 10
2 z1 2 z2 z3 z5 0
3. Carilah nilai a agar sistem persamaan berikut tidak mempunyai solusi, memiliki tepat satu solusi dan memiliki solusi yang tak hingga banyaknya. x 2 y 3z 4 3x y 5 z 2 4 x y (a 2 14) z a 2
