Sab VI Variabel Acak
KAT A KUNCI Harapan adalah nilai rata-rata yang akan muncul bila anda meneliti variabel acak (random) berkali-kali; disebut juga nilai yang diharapkan atau mean dan simbolnya adalah u. fungsi kepekatan probabilitas digunakan untuk variabel acak diskrit, fungsi kepekatan probabilitas pada nilai tertentu adalah probabilitas bahwa variabel acak mempunyai nilai. variabel acak adalah variabel yang nilainya tergantung pada hasil percobaan acak (random). varian adalah ukuran dari simpangan (dispersi) untuk variabel acak Seringkali terjadi dalam probabilitas, bahwa suatu kejadian yang ktia amati melibatkan pengukuran atau perhitungan tentang sesuatu. Sebagai contoh, kita tertarik untuk mengamati berapa kali munculnya sisi H pada pelemparan sebuah mata uang atau jumlah mata dadu yang akan muncul pada pelemparan sepasang dadu. Dalam kasus ini lebih mudah untuk membicarakan tentang variabel acak daripada tentang ruang probabilitas atau ruang kejadian. Jika X adalah jumlah munculnya sisi H pada pelemparan mata uang sebanyak tiga kali, maka X adalah variabel acak (random). Jika W mewakili jumlah kata tenis yang muncul pada siara berita pk. 11.00, maka W adalah variabel acak. Kita dapat menggunakan huruf besar untuk mewakili variabel acak. Misalnya kita melempar sebuah dadu dan kemudian mencatat jumlah Y yang terjadi. Proses ini disebut observasi (pengukuran) nilai Y. Jika kita melemparkan dadu sebanyak 10 kali, kita mempunyai 10 hasil observasi dari variabel acak Y. Kita dapat melihat bahwa kejadian acak adalah sesuatu yang tidak dapat diketahui dengan pasti, tetapi kita dapat menghitung probabilitas terjadinya. Meskipun kita sering tidak mengetahui secara pasti nilai dari varfiabel acak, kita sering dapat menentukan nilai yang tidak akan terjadi. Sebagai contoh, variabel tenis (W) tidak akan mungkin bemilai 31/2atau 1tatau nilai-nilai lain yang tidak biasa, tetapi nilai kemungkinannya hanya ada enam yaitu 1,2,3,4,5 atau 6. Variabel acak yang terjadinya sang at jarang itu disebut variabel acak diskrit. Variabel acak diskrit tidak harns terdiri dari seluruh nilai kemungkinan yang mungkin terjadi. Misalnya dalam pelemparan 2 buah dadu, dan T adalah rata-rata dari dua nilai mata dadu yang terjadi. Dalam kasus ini kemungkinannya adalah 1,11/2,2,21/2,3,31/2,4,41/2,5,51/2 dan 6.
68
= CONTOH : DUA TIPE UMUM DARI VARIA BEL RANDOM DENGAN APLIKASI PRAKTIS YANG SERING TERJADI. SOAL Anggaplah anda ingin mengamati suatu populasi dari N orang atau obyek tertentu, sejumlah M memiliki sifat tertentu dan sejumlah N-M memiliki sifat yang lain. Jika anda tidak mengetahui nilai M, bagaimana anda dapat mengestimasi? PENYELESAIAN Amati sampel acak dari obyek sejumlah n, dan X adalah jumlah orang yang memiliki sifat khusus. Dengan demikian X adalah variabel acak,karena nilainya tergantung pada orang mana yang akan dipilih sebagai sarnpel. SOAL Misalnya anda tertarik untuk mengarnatipopulasi dari orang-orang (atau obyek-obyek). Tiap orang mempunyai ukuran-ukuran tertentu misalnya tinggi, pendapatan, umur waktu menonton televisi perminggu dimana dalam hal-hal inilah anda tertarik. Berapa nilai dari ukuran-ukuran itu untuk satu orang dalarn populasi itu? PENYELESAIAN Pilih satu orang secara random (acak), dan X mewakili nilai dari ukuran-ukuran yang dimiliki oleh orang tersebut. Dengan demikian X adalah variabel acak yang nilainya tergantung pada distribusi dari ukuran-ukuran keseluruhan populasi sebagai identitas dari orang yang telah terpilih. FUNGSI KEPEKATAN PROBABILITAS Mula-mula kita ingin mengetahui nilai dari variabel acak mungkin terjadi dan yang tidak mungkin terjadi. Sebagai contoh jika variabel acak X tidak pemah bemilai 3/2, maka kita dapat menulis: Probabilitas dari X
= 3/2 adalah
0
Secara lebih singkat dapat ditulis: Pr(X
= 3/2) = 0
Dalam pelemparan dadu ada 6 kemungkinan nilai yang akan terjadi. Probabilitas masing-masing kemungkinan itu terjadi adalah sarna, dan kita dapat menuliskannya sebagai berikut: Pr(Y =1) Pr(Y =2) Pr(Y=3) Pr(Y =4) Pr(Y=5) Pr(Y =6)
= 1/6 = = = = =
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
69 - - --
-----.--.........
Bila X adalah jumlah munculnya sisi H pada tiga kali pelemparan mata uang, maka probabilitas masing-masing kemungkinan hasil dapat kita tuliskan sebagai berikut: Pr(X=O) Pr(X=I) Pr(X=2) Pr(X=3)
= = = =
1/8 3/8 3/8 1/8
dalam dua kasus di atas kita tahu proses yang menghasilkan variabel acak, sehingga dengan mudah menghitung probabilitas masing-masing kemungkinan nilai. Dalam situasi lain seperticontohtenis,kita tidakdapat menghitungprobabilitaskarena kita tidakmengetahui dengan baik proses yang menghasilkan variabel acak itu. Untuk lebih baiknya, kita akan mendefmisikan fungsi kepekatan probabilitas untuk variabel acak. Nilai fungsi bahwa variabel random akan sama dengan angka tersebut. Kita akan menggunakan hurufkecil f untuk menyatakan fungsi kepekatan probabilitas. Kemudian kita dapat menyatakan definisi tersebut sebagai berikut: f(a)
= Pr(X=a)
Densitas probabilitas sering disebut probability mass function. Gambar 6.1 f(x) 1/2 113
1/6 I
o I
I
5678x
I
.
Kita akan menyatakan fungsi densitas probabilitas sebagai fx(a) untuk memperjleas bahwa f adalah fungsi densitas untuk variabel acak X. Berikut ini adalah fungsi kepekatan untuk pelemparan sebuah dadu: f(1) = 1/6 f(2) = 1/6 f(3) = 1/6 f(4) = 1/6 f(5) = 1/6 f(6) = 1/6 70
Fungsi ini digambarkan pada gambar 6.1 Berikut ini adalah fungsi kepekatan dari pelemparan sebuah mata uang sebanyak tiga kali: f(O) = 1/8
f(1) = 3/8 f(2) = 3/8 f(3) = 1/8 (Gambar 6.2 menggambarkan fungsi ini). Gambar 6.2 f(x 3/8 1/4
118 I
I
1
2
I
I
I
3
4
5
x
Ada hubungan yang erat antara fungsi kepekatan dari variab~l aeak dengan diagram frekuensi untuk angka-angka dalam sebuah sampel. Sebagai eontoh, anggaplah kita melemparkan sebuah dadu sebanyak 6000 kali dan kemudian membuat diagram frekuensi untuk menggambarkan angka-angka yang mungkin muneul (lihat gambar 6.3). Diagram frekuensi mempunyai bentuk mendekati bentuk fungsi kepekatan. Gambar 6.3
1,000
500
.
.
-
.
Dua hal penting yang hams diperhatikan dalam fungsi densitas, yaitu: f(a) < 1 untuk semua nilai kemungkinan a f(a) < 0 untuk semua nilai kemungkinan a
71
/}"'~
,~
pemyataan ini menyatakan bahwa probabilitas masing-masing kemungkinan hasil tidak akan melebihi 1 atau kurang dari o. Anggaplah kita ingin mengetahui probabilitas bahwa variabel acak akan mempunyai nilai satu atau dua. Misalnya, berapa probabilitas bahwa X akan sarna dengan 2 atau 3? Kita dapat menyatakannya sebagai berikut: Pr [ (X
= 2) U (X = 3)
Kejadian (X
]
= 2) dan kejadian
(X = 3) adalah dua kejadian yang saling asing (disjoint).
Dengan demikian kita dapat menulis kembali probablitas tersebut: Pr [ (X
= 2) atau
(x
= 3)
]
= Pr (X = 2) + Pr (X=3) = f(2) + f(3)
Jadi secara umum, bila kita ingin mengetahui probabilitas bahwa X akan sarna dengan a atau b, kita dapat menjuml~an f(a) + f(b). Sekarang anggaplah kita membuat daftar untuk semua nilai kemungkinan dan menjumlahkan semua probabilitasnya. Jika hasil penjumlahan probababilitas kurang dari 1 atau lebih dari 1, kita akan mengetahui bahwa ada sesuatu yang salah. Probabilitas bahwa salah satu dari kemungkinan hasil tersebut adalah nilai yang dimaksud hams sarna dengan 1. Dengan demikian fungsi f sebagai fungsi kepekatan dari variabel acak hams dapat dipercaya (valid) dan hasil penjumlahan probabilitas semua nilai kemungkinan hams sarna dengan 1: Jika nilai yang mungkin adalah: ai' az' a3,..., an'maka:
Sebagai contoh, bila X mewakili jumlah sisi H yang muncul pada pelemparan tiga buah mata uang, kita dapat menjumlahkan semua probabilitas: 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8
= 8/8 = 1
Kadang-kadang kita ingin mengetahui berapa probabilitas bahwa X kurang atau sarna dengan nilai tertentu a*. Misalnya anda sedang bennain blackjack dan anda telah mengarnbil 7 dan 8, kemudian anda ingin mengetahui probabilitas bahwa nilai kartu berikutnya yang anda arnbil adalah kurang atau sarna dengan 6. Untuk menemukan probabilitas.bahwa variabel acak Y dalarn pelemparan sebuah dadu adalah kurang atau sarna dengan 3, kita hams menjumlahkan
Pr(Y
= 1) +
Pr(Y
= 2)
+ Pr(Y
= 3) = 1/2. Secara umum, jika al,~,23,..,a* adalah semua kemungkinan nilai dari Z dimana Z kurang atau sarna dengan a*, maka:
Kita menarnakan fungsi yang menyatakan probabilitas bahwa Z akan kurang atau sarnadengan nilai tertentu sebagai fungsi distributif kumulatif dan kita melarnbangkannya dengan menggunakan huruf besar F: 72
F(a)
= Pr(Z
/
< a)
Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalarn fungsi distribusi kumulatif: 1. F(a) hams berada diantara 0 dan 1, karena F(a) itu sendiri adalah probabilitas dari suatu kejadian (kejadian bahwa X < a). 2. Jika kita membiarkan a semakin larna semakin kecil, tidak mengherankan bila kita mendapatkan F(a) =O.Cepat atau lambat nilai a akan kurang dari nilai kemungkinan X yang terkecil dan probabilitas bahwa X dapat kurang dari angka tertentu yaitu nilai kemungkinanX yang terkecil, sarnadenganDOl.Jika acukup besar, kita akan mempunyak F(a) = 1. Secara formal kita dapat menyatakan sebagai berikut: lim F(a)
= 1 dan
limit F(a) a~-x
a~x
=0
3.
Jika a ~ b, kemudian F(a) ~ F(b). Dengan kata lain anda bergerak dari kiri ke kanan sepanjang deretan angkta, F(a) hams selalu lebih besar atau tetap sarna. (f adalah monotone increasing function). 4. GrafIk fungsi distribusi kumulatif narnpak seperti tangga yang tidak beraturan. F(a) adalah picewise constant. F(a) akan tetap datar sarnpaipada satu kemungkinan nilai dan kemudian akan naik melompat. Kita dapat menghitung fungsi distribusi kumulatif untuk jumlah sisi H, X, yang muncul pada pelemparan tiga buah mata uang:
o jika a < 0 1/8 jika 0 ~ a < 1 1/2 jika 1 ~ a < 2 7/8 jika 2 ~ a < 3 1 jika 3 ~ a F(a) 1 .8 .6 .5 .4 .2 12345678a
YANG HARUS DIINGA T 1.
Variabel random (acak) adalah variabel yang nilainya tergantung pada hasil percobaan random (acak)
73 -- ---
--- -----
2.
fungsi kepekatan
dari variabel acak diskrit adalah fungsi yang memberikan probabilitas
bahwa variabel acak terjadi pada suatu niali tertentu. Misalnya,jika XI' x2'''' xmadalah nilai kemungkinan dari variabel acak X dan f(x) adalah fungsi kepekatan, maka: f(x1) = Pr(X
3.
= XI)'
f(x2)
= Pr(X
- x2), dan seterusnya
Fungsi distriubsi kumulatif F(a) menunjukkan probabilitas bahwa variabel acak akan kurang atau sarna dengan suatu nilai tertentu: F(a)
= Pr(X
~ a)
NILAI HARAPAN
Sekali waktu kita ingin membuat initisari dari informasi variabel acak yang kita miliki. Kita telah menunjukkan bahwa kita dapat menyederhanakan sekelompok angka-angka dengan satu angka yaitu rata-rata. Anggaplah X adalah jumlah sisi H yang muncul dari pelemparan tiga buah mata uang. Kita mengukur X sebanyak delapan juta kali. Berapa kali kita mendapatkan kejadian tidak satu H pun muncul, muncul satu H, muncul dua H, muncul tiga H? kita dapat menerka bahwa kita akan mendapatkan X=Omendekati satujuta kali, nilai X= 1mendekati tiga juta kali, nilai X=2 mendekati tiga juta kali dan nilai X=3 mendekati satujuta kali. Kenyataannya kita tidak mendapatkan secara pasti angka-angka tersebut, tetapi kita mengasumsikan bahwa dalarn kasus ini kita melakukan percobaan sebanyak 9 juta kali dan mendapatkan hasil seperti di atas. (Secara umu, jika anda mengukur variabel acak sebanyak N kali, kemudian anda mengharapkan mendapatkan nilai a, maka jumlah a yang mungkin didapat sarnadengan f(a) Xn). Sekarang kita mempunyai 8 juta angka. Kita ingin menyederhanakan nilai-nilai itu dengan mencari nilai rata-ratanya: (0 + 0 + 0 + ... + 1 + 1 + 1 + ... + 2 + 2 + 2 + ... + 3 + 3 + 3 + ... )/8000000
o sebanyak 1juta 1 sebanyak 3 juta 2 sebanyak 3 juta 3 sebanyak 1 juta
Kita dapat menulis kembali dengan lebih singkat (1000000 X0 + 3000000 X 1 + 3000000 X2 + 1000000 X 1)
&000000 atau 1/8 x 0 + 3/8 x 1 + 3/8 x 2 + 1/8 x 3
= 11/2
Dengan demikian rata-rata dari keseluruhan nilai adalah 11/2,Kita juga dapat menulis dalarn bentuk fungsi kepekatan f:
74
rata-rata = f(O)xO+ f(1)xl + f(2)x2 + f(3)x3 Kita menanamkan angka ini sebagai nilai harapan dari x atau harapan dari X. Nilai harapan dari variabel acak menjelaskan pada kita rata-rata dari seluruh nilai yang kita harapkan untuk didapat bila kita mengukurnya berkali-kali. Kita menggunakan huruf besar E untuk menyatakan harapan, dan menuliskan definisinya sebagai berikut: E(X)
= harapan
dari X
Formula umum untuk menghitung harapan adalah: E(X)
= f(a1)al
+ f(~)a2 + f(a3)a3 + ... f(an)an
n = L.1= I fi(a.I) a.I dimana ai' a2,..., anadalah semua nilai kemungkinan dari variabel acak X. Harapan dari X adalah rata-rata tertimbang dari semua nilai kemungkinan X. Bobot untuk masing-masing nilai adalah sarna dengan probabilitas bahwa X akan tejadi pada nilai tersebut. Harapan dari X juga disebut mean dari x atau mean dari distribusi x dan ini sering
dilarnbangkandenganhurufYunani1t(miu).CatatanE(X) =1tbukanlah variabel acak itu sendiri. Angka tersebut adalah angka yang konstan. Harapan variabel acak bukanlah salah satu dari nilai kemungkinan dari variabel acak. Sebagai contoh, kita mendapatkan bahwa nilai harapan jumlah sisi H yang muncul dari pelemparan tiga mata uang adalah 11/2. Untuk menghitung angka harapan (Y) dari pelemparan sebuah dadu sangat mudah: E(Y)
= f(1)
x 1 + f(2) x 2 + f(3) x 3
+ f(4) x 4 + f(5) x 5 + f(6) x 6
= 1/6 x
1 + 1/6 x 2 + 1/6 x 3
1/6 x 4 + 1/6 x 5 + 1/6 x 6
=31/2 Ada dua hal penting dalam harapan. Jika c adalah angka konstan dengan kata lain bukan variabel acak) maka: E(cX)
= cE(X).
Sebagai contoh: Jika Y2 sarna dengan dua kali angka yang muncul dari pelemparan sebuah dadu, maka E(Y2) = 2E(Y) = 7. Anggaplah kita mempunyai dua variabel acak yaitu X dan Y dan kita membentuk variabel acak yang barn V dimana V =X + Y. Secara umum, penempatan dua variabel acak 75 - - ---
------
,-
~.,
bersama-sama akan menimbulkan banyak kesulitan, dan kita tidak banyak membicarakan hal ini sampai pada bab IX. Tetapi ada satu hal penting yang kita dapat: E(X + Y)
= E(X)
+ E(Y)
Kadang-kadang kita ingin menghitung harapan fungsi dari variabel acak tertentu. Misalnya, anggaplah Z = Z2 dan kita ingin menghitung E(Z) =E(X2). Dari defmisi ini kita harns menggunakan formula: E(Z)
=
n
L z. f(z.) I
I
;=1
Tetapi menghitung dengan cara ini menyulitkan. Kita telah mengetahui fungsi kepekatan X, dengan demikian kita dapat menggunakan formula yang lebih sederhana. n
L x2.I f(x.)I ;=1
Sebagai contoh, bila X adalah jumlah kejadian munculnya sisi H pada pelemparan tiga mata uang, kita dapat menghitung E(X2): E(X2)
= 0 x 1/8 +
1/ x 3/8 + 4 x 3/8 + 9 x 1/8
= 24/8 = 3
Catatan. Bila kita menyatakan E(X2) = [E(X) ]2,tetapi kita tahu Formula tersebut tidak dapat bekerja, jika g(x) adalah sembarang fungsi, maka: n
E [g(x) ]
L g (x.)I f(x.)I ;=1
VARIAN Meskipunnilai harapan dari variabel acak menjelaskan begitu banyak tentang perilakunya, tetapi tidak menjelaskan secara keseluruhan. Sebagai contoh satu variabel acak sederhana tidak merupakan variabel acak yang sesungguhnya. Anggaplah U mewakili jumlah kejadian dimana Hunter dapat menangkap pelari jalanan. Kemudian kita yakin bahwa U =O.Dalam kasus ini dengan mudah kita mengetahui bahwa E(U) = O. Sekarang kita lihat variabel acak lainnya (T), dimana T mewakili bilangan pada pelemparan dadu pertama dikurangi bilangan pada pelemparan dadu ke dua. Mka f(5)=1/36~ f(4) = 2/36, f(3) = 3/36, f(2) = 4/36, f(1) = 5/36, f(O) = 6/36, fe-I) = 5/36, f(-2) = 4/36, f(-3)
= 3/36, f(-4) = 2/36, F(-5) = 1/36. Kita dapat dengan mudah menunjukkan bahwa E(T) = O. Tetapi prilaku variabel acak T lebih tidak dapat diprediksi dibandingkan dengan prilaku variabel acak U.
76
.
0'-
0
._00__
- 0---
0 0 _0
-..
!11!1
Perhatikanlah contoh ekstrim ini, misalnya S adalah variabel acak yang mewakili keuntungan anda pada transaksi pasar saham berikut; anda membayar satujuta dolar untuk saham dimana anda mempunyai kesempatan menggandakan nilai sebesar 50% dan kemungkinan untuk turnn nilainya sebesar 50%. Dengan demikian S = 1juta mempunyai
probabilitas 1/2 dan S =-1juta probabilitas1/2.E(S)=O,tetapikita mengertibahwanilai S sesungguhnya tidak pemah mendekati E(S). Jadi dalam harapan kita memerlukan sesuatu yang menjelaskan kepada kita sejauh mana variabel acak tidak dapat diprediksi, dengan kata lain kita menginginkan sesuatu yang menjelaskan pada kita apakah variabel acak mendekati nilai harapannya. Anda dapat menerka seberapajauh jarak nilai kemungkinan X dari mean (rata-ratanya), dan kemudian menemukan nilai harapan jarak dari E(X) seperti berikut ini: Ukuranyangtidak =E[a-E(X)] dapat diprediksi
= f(al)
[al-E(X)] + f(a2) [a2-E(x)]
+ ... + f(a) [an-E(X)] Tetapi masalah dari pengukuran ini adalah ada beberapa nilai kemungkinan dari X lebih kecil dari E(X) dan ada yang lebih besar. Sehingga kita akan mendapatkan banyak bilangan positif dan negatif dimana hal ini dapat saling menghilangkan. Dengan demikian kita harns memberi nilai absolut pada [ai-E(X)] (bila ai adalah bilangan negatif maka akan menjadi positif), dan kemudian menghitung nilai rata-rata nilai absolut darijrak selurnh nilai kemungkinan X ke harapan X. Ini adalah prosedur yang masuk akal, tetapi ada prosedur yang lebih baik yaitu dengan mengkuadratkanjarak masing-masing nilai a k~ E(X) dan kemudian mendapatkan harapan dari kuantitas ini. Hasil ini disebut varian dari variabel acak X.
Varian(X)
=f(at)
[al-E(X)F + f(a2) [a2-E(X)]2 +
= E [(X-E(X))2 ]
.. + f(an) [an-E(X)F
Varian dari X biasa ditulis sebagai Var(X). Varian juga dilambangkan dengan simbol
cr2
(lihat Bab II). a adalah akar kuadrat dari varian dan ini disebut deviasi standar. deviasi standar
= cr= var
(x)
Untuk perhitungan, lebih mudah menurunkan formula varian:
Var(X)
= E [(X - E(X))2] = E [X2 - 2X E(X) + (E(X))2 ] = E (X2) - E (2X E(X) ] + E [ (E (X) )2 ] = E (X2) - 2 E (X) E(X) = E(X2) - (E(X)f
+ (E(X))2
77 - - ---
Sekarang kita dapat menghitung varian dari D, T dan S. Jelaslah bahwa E(D2) =O. Secara umumjika c adalah sembarang konstanta, maka var(c)=O.
Kita dapat menemukan E(T2): = 25 x 1/36 + 16 x 2/36 + 9 x 3/36 + 4 x 4/36 E(T2) + 1 x 5/36 + 0 x 6/36 + 1 x 5/36 + 4 x 4/36 + 9 x 3/36 + 16 x 2/36 + 25 x 1/36 = 210/36 Karena E(T) = 0, mka Var(T) = 210/36. Varian dari variabel pasar saham S adalah: Var(S) = E(S2)
= 1/2X 10000002+ 1/2(-1000000)2 = 1012
Seperti yang kita duga bahwa harian S lebih besar dari varian dua variabel acak lainnya. Kitadapat menghitung varian X, yaitu jumlah kejadian munculnya sisi H pada pelemparan 3 mata uang, karena kita mendapatkan bahwa E(X2) = 3, maka: Var (X) = 3 - (11/2)2
= 3/4 Varianjumlah mata dadu yang muncul akan sarna dengan 35/12 = 2.9167. YANG HARUS DIINGAT 1. Harapan dari variabel acak adalah nilai rata-rata yang terjadi bila anda mengamati variabel acak berkali-kali. Formula untuk mendapatkannya adalah:
2.
Harapan dari variabel acak juga disebut mean dari distribusinya, dan dilambangkan dengan ~ (miu). Formula untuk mendapatkan dari variabel acak adalah:
Nilai yang lebih dari varian berarti kemungkinan besar variabel acak jauh dari mean-nya. Varian dilambangkan dengan a2 (sigma kuadrat). PERCOBAAN BERNOULLI Sekarang kita akan mendiskusikan variabel acak sederhana yang lain yang menggambarkan semua konsep-konsep ini. Marilah kita menganggap bahwa ada ilmuwan gila yang mengulangi
78
..- - -..
"
- ----....-.
....
.. ..--...----
-:-.-.-
-.:':-'
-.:- ,.- .-::-
-
..
,;.-- ...
percobaantertentu setiaphari. p adalahprobabilitas bahwapercobaanitu berhasil padasetiap kali percobaan. Anggaplah percobaan itu berhasil pada setiap kali percobaan. Anggaplah p = 1/5 (percobaan seperti ini hanya mempunyai dua hasil yaitu berhasil atau gagal, dan disebut percobaan Bernoulli). Misalnya Z adalah variabel acak yang sarna dengan jumlah keberhasilan pada hari tertentu. Dengan demikian Z hanya mempunyai dua nilai yaitu 0 dan 1. Kita dapat dengan mudah menghitung fungsi kepekatan secara lengkap:
f(1)
= Pr = Pr
f(a)
= 0 untuk
f(1)
(Z
= 0) = 1 - P
(Z
= I) = p semua nilai a yang lain
Gambar 6.5 menunjukkan fungsi kepekatan untuk p = 1/5 Garnbar 6.5 F(z) 1 .8 .6 .4 .2
o
2
z
Selanjutnya kita dapat menghitung fungsi distribusi kumulatif:
=0 jika a < 0 f(a) = 1 - P jika a::; a < 1 jika a ~ I f(a) = 1 f(a)
Gambar 6.6 menggambarkan fungsi untuk p
= 1/5.
Gambar 6.6 F(z) 1 .8 .6 .4 .2
o
2
z
Harapan dapat dicari dari:
E(Z) = 0 x (1 - p) + I x p = p 79 - - - ---
Kita dapat menghitung varian dengan 2 eara. Pertama kita dapat menggunakan definisi: Var(t) f(O)(0 - p)2 + f(1) (1 - pf = (1 - p) p2 + p (1 - p)2
=
= p2 - p2 - P - 2p2 +
p3
= P - p2
=p (1 - p)
= 0.16 (bila p = 1/5) Kita juga dapat menghitung varian dengan formula yang lebih singkat: var (Z) =E(X2) - [E(x) F
= 02 (1 - p)
+ }2 P
- p2
= P (1 -p) Catatan, jika p = 0 kita yakin bahwa Z = 0, dan jika p = 1 kita yakin bahwa
Z=1.
YANG HARUS DIINGA T Bila anda mengadakan pereobaan yang mempunyai probabilitas p untuk keberhasilan pereobaan, dan X adalah variabel aeak, maka akan bernilai 1 bila pereobaan berhasil dan 0 bila gagal. X adalah variabel aeak Bernoulli:
E(X)= P
Var(X) = (1 - p)
VARIAN PENJUMLAHAN
Dalam bagian ini kita akan membangun dua hal yang penting dala varian. Pertarna e adalah konstanta, kita dapat melihat bahwa: var (eX)
= C2 var(X)
Kedua, kita akan membuat formula untuk varian penjumlahan. Jika kita mempunyai dua variabel aeak X dan Y, penjumlahan keduanya akan menghasilkan variabel aeak barn V =X + Y. Kita tidak dapat menyatakan seeara umum nilai varian V. Kita perlu mengetahui beberapa hal tentang bagaimana dua variabel aeak dihubu"ngkansatudengan yang lainnya. Sebagai eontoh, anggaplah X adalahjumlah tertinggi dari dadu pada waktu dadu tersebut dilemparkan, dan Y adalah jumlah terendah dari mata dadu. Kemudian: Var (X) = Var (Y)
= 2.9167
Tetapi V = X + Y = 7 sepanjang waktu. Sehingga Var (V) = O.Oleh krena itu kita tidak mempunyai formula yang sederhana seperti Var (X) + Var (Y). Tetapi anggaplah kita mempunyai dua variabel aeak X dan Y dimana keduanya tidak mempunyai hubungan satu dengan yang lainnya. Kemudian mendapat Var (X + Y) yang sarna dengan Var (X) + Var (Y). Var (X + Y) =Var (X) + Var (Y) bila X dan Y adalah variabel bebas). 80
SAMPEL ACAK Misalnya kita melemparkan dua buah dadu. Xl adalah jumlah mata dadu yang muncul pada pelemparan dadu pertama dan X2adalah mata dadu yang muncul pada pelemparan dadu yang kedua. Xl dan X2aalah dua variabel acak yang tidak tergantung satu sarna lain (variabel bebas) dan mempunyai distriubsi yang identik. Keduanya merupakan variabel bebas karena kedua dadu tidak saling mempengaruhi. Jadi nilai yang terjadi pada Xl tidak memberikan informasi apapun tentang nilai~. Keduanya mempunyai fungsi kepekatan probabilitas yang sarna: Pr Pr Pr Pr Pr Pr
(XI=I) (XI=2) (XI=3) (XI=4) (XI=5) (XI=6)
= = = = = =
Pr Pr Pr Pr Pr Pr
(X2=1) (X2=2) (X2=3) (X2=4) (X2=5) (X2=6)
= = = = = =
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Kita akan sering menghadapi variabel acak bebas, dan distribusi variabel acak yang identik. Anggaplah X adalah variabel acak yang kita amati sebanyak n kali, katakanlah hasil pengamatan pertama XI' kedua X2dan seterusnya sampai hasil pengamatan teakhir Xn.X dapat merupakan hasil dari pelemparan dadu-dadu atau X mewakili tinggi dari individuindividu yang dipilih secara acak dalam suatu populasi, dalam hal ini kita mengukur X sebanyak n kali dengan memilih sebanyak n cara; atau X mungkin mewakili sembarang variabel acak yang mungkin kita miliki. Rangkaian berikut:
disebut sampel acak dari distribusi X. Kasus kita adalah pelemparan dua buah dadu sehingga (Xl' X2) adalah bentuk sam pel acak. Kita tabu bahwa E(Xl) E(X2) 3.5 dan Var(Xt) = Var (X2) 2.9167. Sekarang kita akan membuat variabel baru T 2:
=
=
=
Dengan kata lain T2 dapat didefinisikan sebagai berikut: pelemparan dua buah dadu dan T2 adalah jumlah mata dadu yang dihasilkan dari pelemparan ini. Kita dapat menghitung dengan mudah fungsi kepekatan T2: f(8) = 5/36 f(9) =4/36 f(4) = 1/36 f(10) = 3/36 f(5) = 1/36 f(11) = 2/36 f(6) = 1/36 f(12) = 1/36 f(7) = 1/36 f(2) f(3)
= 1/36 = 1/36
81 --------
- --
- --
Kita dapat menghitung harapan dan varian dari T2 dengan menggunakan fungsi kepekatan: =2 x 1/36 + 3 x 2/36 + 4 x 3/36 + 5 x 4/36 + 6 x 5/36 E(T) + 7 x 6/36 + 8 x 5/36 + 9 x 4/36 + lOx 3/36 + 11 x 2/36 + 12 + 1/36 =252/36 =7 E(T22)
Var(T)
=4 x 1/36+ 9 x 2/36 + 16x 3/36 + 25 x 4/36
+ 36 x 5/36 + 49 x 6/36 + 81 x 64 x 5/36 + 81 x 4/36 + 100 x 3/36 + 121 x 2/36 + 144 x 1/36 = 1974/36 =54.8333 =54.8333 - 72 + 5.8333
Ada Carayang lebih mudah untuk mendapatkan harapan penjumalahan dua variabel acak dan variannya, yaitu: = E(XI + X2) = E(I) + E (X2) = 3.5 + 3.5 = 7 = Var (XI + X2) = Var (Xl) + Var (Xz) = 2.9167 + 2.9167
= 5.833
Ingatlah bahwa fonnula E (Xl + X2) + E (Xz) dapat bekerja untuk sembarang variabel
acak, tetapi untuk fonnula Var (Xl + Xz) =Var (Xl) + Var (X2) hanya bekerja karena Xl dan X2 adalah variabel bebas (independent variable). Varian Xl + X2 lebih besar daripada varian Xl atau varian X2 itu sendiri.
Sekarang anggaplah kita melemparkan sebuah dadu dan Y2 adalah variabel acak yang sarna dengan dua kali angka yang muncul (Y 2 = 2X). Kita dapat menggunakan fonnula:
E(cA) = c2 Var (A) untuk mendapatkan Var (Y2) = Var(2X)
= 22 Var
(X)
= 4 Var(X) = 11.667
Catatan, varian Y2lebih besar dari varian T2. Jika kita membuat grafIk dari dua fungsi kepekatan ini, kita dapat mengerti bahwa: Pr (Y = 2) = 1/6 Pr (Y = 4) = 1/6 Pr (Y = 6) = 1/6 Pr (Y = 8) = 1/6 Pr (Y = 10) = 1/6 Pr (Y = 12) = 1/6
82
' ~':,.,-
:
-
. _:::"",,:;.,...;-.,"" _.-
(lihat gambar 6.7) F(y') .2
y, =2 ..
.1
I
2
I
I
I
I
I
3
4
5
6
7
8
9
F(I,}
10 II
I,
12
=x I +x ,
.2
.1
I
2
3
4
5
6
7
8
9
10 II
12 I,
Jarak nilai kemungkinan masing-masing kasus adalah dari 2 ke 12. Tetapi anda dapat melihat bahwa Yz lebih disukai dari Tz apabila kita mempunyai nilai ekstrim 2 atau 12. Berikut ini adalah contoh hal penting yang ada dalam stastistik: Jika anda menjumlahkan dua variabel acak bebas, maka penjumlahannya akan menghasilkan nilai lebih mendekati ke bagian tengah dari distribusinya daripada ke nilai ekstrimnya. Nilai ekstrim akan tejadi jika kedua variabel acak mempunyai nilai ekstrim dengan arah yang sama. Sebagai contoh, variabel acak Tz akan mempunyai nilai 2 hanyajika XI dan Xzmenghasilkan nilai 1. Anda melemparkan 100 buah dadu, XI adalah nilai yang muncul pada pelemparan dadu pertama dan seterusnya sampai XlOO.Kemudian Xl' Xz' ... , XlOOsemuanya merupakan variabel bebas dan distribusinya identik, jadi semuanya membentuk sampel acak yang berukuran 100 dari distribusi X. T,ooadalah penjumlahan seluruh angka-angka itu
Kita dapat menghitung E(T,oo)dan Var (TIOO>: E(Tloo)
= E(XI + Xz) + ... +
XlOO)
= E (X,)
... +
+ E (Xz) +
= 3.5 + 3.5 + ... + 3.5
E (XlOO)
=350
83 - - - - ---
----
- -
--
-
- -
-
-' (Sangat membosankan bila harns menghitung fungsi kepekatan sesungguhnya dari T 100' tetapi dalam bab VIII akan ada cara yang baik untuk menghitung fungsi kepekatan yang mendekati kenyataan) PERHITUNGAN
NILAI RATA-RATA
Sekarang kita akan menghitung angka rata-rata hasil pelemparan beberapa dadu. Anggaplah A2mewakili rata-rata dari dua angka yang muncul pada waktu kita melemparkan dua buah dadu, dan A100adalah rata-rata dari angka yagn muncul pada waktu kita melemparkan 100 dadu, maka: T2 A2= -
T100 danA100=
2
100
Kita dapat menghitung harapan dan varian: T2 E(A2)
=E (
)
2
= 1/2 E (T2) = 1/2 X 7 =3.5
T100
= E (-
1 )
100
=
1
=
E (T100)
100
100
X 350 = 3.5
T2 Var (A2)
= Var (
Var (A100)
=Var (-
2
)
=e/y Var (T2) =
T100
100
1/4
Var (T2) = 1.4584
1
) = ( _)2
100
Var (T100)
= 0.029167 Catatan bahwa nilai harapan masing-masing rata-rata adalah 3.5 yang juga samadengan E(X). Inilah yang sesungguhnya kita harapkan. Dari semula telah dikatakan bahwa nilai harapan dari X adalah nilai rata-rata yang ingin kita dapatkan bilakita melakukan pengamatan X berkali-kali. Tetapi kita dapat melihat bahwa varian dari A2 lebih kecil dari varian X dan varian A100lebih kecillagi dari varian X. Ini berarti bahwa, jika kita melemparkan 100 dadu, nilai rata-rata akan semakin mendekati 3.5. Jika kita melemparkan 1atau 2 dadu, maka masuk akal bila nilai rata-rata akan sebesar I atau sebesar 6, hasil ini dapat dinyatakan dalam suatu hukium: 84
Varian dari nilai rata-rata sejumlah besar data yang masing-masing merupakan variabel bebas dan distribusi variabel aeaknya identik akan lebih keeil daripada varian dari variabel aeak manapun yang terjadi secara individual. Untuk menunjukkan bahwa itu adalah kebenaran umum, kita akan menganggap bahwa XI' X2' ... , Xuadalah variabel acak sebanyak n yang diambil dari distribusi variabel acak X yang mempunyai mean J..ldan varian (32.Dengan kata lain:
J..l=E (XI) = E (~) = ... = E (X) (32= Var (XI) = Var (X2)= ... = Var (X)
dan
X mewakili rata-rata sampel (sample everage) untuk sampel ini:
-
x= n
x
Karena dibentuk dari penjumlahan sekumpulan variabel acak, variabel acak. Nilai harapan dan variannya adalah:
E(X)=E(
xitu sendiri merupakan
)
n 1
=-
E(X}+ X2+
n 1
.. + X)
n
= 1/n [J..l+
= l/n
J..l+ ... + J..l]
(nJ..l)
=
J..l
Dengan kata lain, nlai harapan dari rata-rata sampel samadenganmean dari distriubsi X. Variannya adalah:
=Var (
Var(X)
)
n 1
= (_)2 n
[Var(Xi) + Var (X2)+... Var (X)]
85 -
- -
-
-
1
=( _)2
(S2+ S2+
...+ S2)
n a2 Var (X)
n
PERATURAN UNTUK DATA DALAM JUMLAH BESAR Varian dari rata-rata sampellebih keeil daripada varian dari masing-masing variabel aeak yang diambil secara individual. Bila ukuran sampel (n)menjadi lebih besar, maka varian dari x menjadi lebih kecil. Dengan kata lain, peningkatan ukuran sampel akan menyebabkan anda semakin yakin bahwa nilai dari x makin lama akan mendekati nilai u. Hasil ini disebut "Law or large number". Kita akan melihat bahwa ini mempunyai peranan penting dalam statistik inferensia. YANG HARUS DIINGAT Jika anda mempunyai n variabel acak bebas dan distribusi identik (XI' X2' ..., XU>' semuanya dipilih dari distribusi dengan mean Jldan varian a2,maka variabel acak ini disebut sampel accikyang berukuran n dan diambil dari distribusi X. Bila
x adalah
rata-rata
dari keseluruhan
nilai, maka:
dE(X) = Jl Var (X) = n ISTILAH-ISTILAH
YANG HARUS DIPELAJARI
percobaan Bernoulli fungsi distribusi kumulatif variabel aeak diskrit harapan hukum jumlah data yang besar
86
fungsi kepekatan probabilitas sampel acak variabelacak deviasi standar varian
