Hutahaean
ISSN 0853-2982
Jurnal Teoretis dan Terapan Bidang Rekayasa Sipil
Catatan Teknik (Technical Notes)
Penyelesaian Persamaan Vibrasi dengan Integrasi Newton-Cote Syawaluddin Hutahaean Kelompok Keahlian Teknik Kelautan, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha No. 10 Bandung 40132, E-mail:
[email protected] Abstrak Paper ini mempresentasikan penyelesaian pesamaan vibrasi secara numeris dengan menggunakan integrasi numeris metoda Newton-Cote. Eksekusi model selama sepuluh kali period gelombang memberikan solusi yang sangat stabil. Kata-kata Kunci: Polinomial lagrange, integrasi numeris. Abstract This paper presents a numerical method for solving vibration equation using Newton-Cote’s numerical integration. Model execution during ten times of vibration period gives a very stabile solution. Keywords: Lagrangian polynomial, numerical integration.
1. Pendahuluan
Li (x) =
Penyelesaian persamaan vibrasi dengan metoda integrasi telah lama dikenal, yaitu antara lain metoda Wilson-q dan Newmark-b, (Bathe, 1982). Penyelesaian diferensial waktu orde satu dengan metoda integrasi juga telah banyak digunakan, yaitu dikerjakan pada penyelesaian persamaan gelombang nonlinier dari Boussinesq, Liu (1999), (Meftah, 2004). (Hutahaean, 2005, 2007a, 2007b, 2008) menyelesaikan persamaan gelombang panjang Airy dengan metoda integrasi dengan menggunakan integrasi numeris dari Newton-Cote.
(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )............................(x − xn ) (xi − x1 )(xi − x2 )(xi − x3 )........................(xi − xn )
atau: n
Li ( x) = ∏ j =1
Pendekatan fungsi f(x) dengan polinomial Lagrange adalah, Arden (1970),
L1 ( x) =
n
∑ L (x) f i =1
i
i
(1)
dimana Li(x) = polinomial Lagrange pada titik i fi = harga fungsi pada titik i n = jumlah titik polinomial Bentuk umum polinomial Lagrange adalah, Arden (1970),
j
2
3
f ( x) = L1 ( x) f1 + L2 ( x) f 2 + L3 ( x) f 3 dimana:
i
Gambar 1. Pendekatan dengan 3 titik polinomial
2. Polinomial Lagrange
f (x) =
j
Apabila pada suatu domain 0 < x < L didekati dengan 3 titik polinomial Gambar 1, maka bentuk pendekatannya adalah
1 Pada penelitian ini dikerjakan integrasi numeris dari Newton-Cote pada persamaan vibrasi yang merupakan diferensial waktu orde 2.
(x − x ) , (x − x ) j ≠ i
(x - x2 )(x - x3 ) (x1 - x2 )(x1 - x3 ) (x - x1 )(x - x3 ) L2 ( x ) = (x2 - x1 )(x2 - x3 ) (x - x1 )(x - x2 ) L3 ( x) = (x3 - x1 )(x3 - x2 ) pada x = x1, L1 (x1) = 1, L2 (x1) = 0, L3 (x1) = 0, maka f(x1) = L1 (x1) f1 + L2 (x1) f2 + L3 (x1) f3 = f1 Vol. 17 No. 1 April 2010
73
Penyelesaian Persamaan Vibrasi dengan Integrasi Newton-Cote
pada x = x2, L1 (x2) = 1, L2 (x2) = 0, L3 (x2) = 0, maka
L2(x) =
f(x2) = L1 (x2) f1 + L2 (x2) f2 + L3 (x2) f3 = f2 pada x = x3, L1 (x3) = 1, L2 (x3) = 0, L3 (x3) = 0, maka
L3(x) =
f(x3) = L1 (x3) f1 + L2 (x3) f2 + L3 (x3) f3 = f3
(x - x3 )(x - x5 ) (x4 - x3 )(x4 - x5 ) (x - x3 )(x - x4 ) (x5 - x3 )(x5 - x4 )
Jadi pendekatan fungsi dengan polinomial Lagrange adalah exact pada titik-titik polinomial dimana
Pada sub-domain
f(x1) = f1, f(x2) = f2, f(x3) = f3
(x - x6 )(x - x7 ) (x5 - x6 )(x5 - x7 ) (x - x5 )(x - x7 ) L2 ( x) = (x6 - x5 )(x6 - x7) (x - x5 )(x - x6 ) L3 ( x) = (x7 - x5 )(x7 - x6 )
Pendekatan fungsi f(x) dengan polinomial Lagrange dapat saja dilakukan pendekatan langsung yaitu pada seluruh domain langsung digunakan n titik polinomial. Tetapi pendekatan seperti ini akan terbentuk polinomial dengan pangkat tinggi pada x yaitu xn-1, dimana semakin besar n, akan semakin besar derajat polinomialnya dan sering terjadi malah mengurangi ketelitian. Metoda pendekatan yang termudah adalah dengan membagi-bagi daerah perhitungan dalam sejumlah sub -domain, selanjutnya pendekatan polinomial dilakukan pada masing-masing sub-domain.
3
f ( x) = L1 ( x) f 5 + L2 ( x) f 6 + L3 ( x) f 7
L1 ( x) =
Untuk selanjutnya, yang dimaksudkan dengan pendekatan polinomial Lagrange adalah pendekatan pada sub-domain.
3. Integrasi Numeris Newton-Cote
a. domain perhitungan
dengan
Metoda
b. pembagian domain dalam sejumlah sub-domain
Untuk
Dengan menggunakan polinomial Lagrange dapat dengan mudah dilakukan integrasi suatu fungsi, yaitu
domain c. pendekatan dilakukan pada sub-domain dengan sejumlah titikpolinomial
n
f (x) = ∑ Li (x) f i i =1
Gambar 2. Pendekatan polinomial dengan subdomain
b
yang dibagi dalam 3 sub domain dan pada sub domain digunakan 3 titik polinomial,
2
1
1
2
Pada sub-domain
3
4
6
i =1
a
∫ L (x) f i
i
dx
(2)
Untuk pendekatan 3 titik polinomial
3
5
∫
n
f(x) dx = ∑
b
7
∫ a
b
b
b
a
a
a
f(x)dx = ∫ L1 (x) dx f 1 + ∫ L2 (x) dx f 2 + ∫ L3 (x) dx f 3 (3)
1
f(x) = L1(x) f1 + L2(x) f2 + L3(x) f3
mengingat Li (x) adalah suatu polinomial, maka integrasi dapat dengan mudah dilakukan.
(x1 - x 2 )(x1 - x3 ) ( x - x1 )( x - x3 ) L2(x) = (x2 - x1 )(x2 - x3 ) (x - x1 )( x - x 2 ) L3(x) = (x3 - x1 )(x3 - x 2 )
3.1 Koefisien integrasi
L1(x) =
( x - x 2 )(x - x3 )
Pada sub-domain
2
f(x) = L1(x) f3 + L2(x) f4 + L3(x) f5 L1(x) =
74
(x - x4 )(x - x5 )
(x3 - x4 )(x3 - x5 )
Jurnal Teknik Sipil
Pada Persamaan (3) terlihat bahwa dengan interval integrasi yang konstan, maka didapat hasil integrasi Li (x) yang konstan juga. Jadi untuk harga a dan b yang tetap, maka bila b
∫
L1(x)dx = c1 ,
a
b
b
a
a
∫ L2 (x) dx = c2 dan ∫ L3(x)dx= c3
maka b
∫ L (x) dx = c 1
a
1
f 1 + c 2 f 2 + c3 f 3
Hutahaean
c1, c2 dan c3 disebut dengan koefisien integrasi. Telah diketahui bahwa suatu fungsi f(x) pada domain a ≤ x ≤ b untuk setiap harga a dan b, dapat ditransformasikan menjadi suatu fungsi g(ξ) pada domain -1 ≤ ξ ≤ 1. Jadi bila didapatkan harga-harga koefisien integrasi pada domain ξ, maka integrasi akan dapat dilakukan dengan menggunakan koefisien integrasi tersebut tanpa harus melakukan integrasi polinomial Lagrange lagi, dimana metoda integrasi ini disebut dengan.metoda Newton-Cote. Untuk x yang konstan, fungsi transformasi dari x ke ξ dapat digunakan persamaan transformasi yang sederhana, yaitu x=p +q Pada = -1, x = a ; dan pada = 1, x = b, sehingga diperoleh dua persamaan yaitu a=-p+q b=p+q
a+b Dari ke 2 persamaan tersebut diperoleh q = 2
b−a sehingga persamaan transformasi menjadi dan p= 2 x=
b − a
dx
dξ dx =
2 =
a + b
+
∫ a
a
1
dimana ci =
Pada bagian berikut akan dihitung koefisien integrasi untuk sejumlah konfigurasi titik integrasi dengan mengintegrasikan polynomial Lagrange. Integrasi dengan 3 titik polinomial Pada skema ini interval garis a-b dibagi dalam 2 interval, yaitu seperti terlihat pada Gambar (3). Untuk pendekatan dengan 3 titik polinomial, maka
f(x) dx =
a
d
2
a−b 2
b
‐1
0
1
ξ1
ξ2
ξ3
a
b-a f(x) dx = ∫ g( ξ ) dξ 2 -1 n
∑ i =1
Integrasi menjadi,
ξ
Li ( ξ ) g i , dimana g i = f i
b
∫
Gambar 3. Integrasi dengan 3 titik polinomial
f(x) dx =
a
b - a
2
1
n
∫ ∑ L (ξ )g dξ = i
-1 i =1
i
⎞ b−a ⎛ ⎜ ∫ Li (ξ ) f i dξ ⎟ ∑ ⎜ ⎟ 2 i =1 ⎝ −1 ⎠ n
1
b
∫ f(x) dx
1 ⎛1 ⎜ ∫ L1 ( ξ ) dξ f 1 + ∫ L2 ( ξ ) dξ f 2 ⎜ -1 ⎝ -1 1 ⎞ + ∫ L3 ( ξ ) dξ f 3 ⎟⎟ -1 ⎠
b-a 2
x
1
i
yang berharga konstan mengingat integrasi selalu dilakukan pada domain -1 ≤ ξ ≤ 1. Jadi bila diperoleh harga-harga ci, integrasi akan dapat dilakukan setiap saat dengan menggunakan Persamaan (4) tanpa harus mengintegrasikan polynomial Lagrange lagi.
∫
2
∫ L (ξ )dξ
−1
2
b − a
b- a b−a n (c1 f1 +c2 f2.......... .....+cn fn ) = ∑ci fi 2 2 i=1 (4)
b − a
dengan g( ξ ) =
=
a
1 ⎛1 ⎞ ⎞ ⎞ ⎞ ⎛1 b- a ⎛⎜⎛ ⎜∫Ln(ξ)dξ⎟ fn ⎟ ⎜∫L1(ξ)dξ⎟ f1 +⎜∫L2(ξ)dξ⎟ f2.......... .. + ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎜⎝⎜⎝−1 ⎝−1 ⎠ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝−1
∫ f(x)dx=
b
Dengan persamaan transformasi tersebut, maka
b
b
Dengan 3 titik polinomial atau titik integrasi tersebut dimana ξ1 = -1, ξ2 = 0, ξ3 = 1, polinomial Lagrange akan berbentuk
(ξ − ξ 2 )(ξ − ξ 3 ) 1 = − ξ (ξ − 1) (ξ1 − ξ 2 )(ξ1 − ξ 3 ) 2 (ξ − ξ1 )(ξ − ξ 3 ) L2 (ξ ) = = (1 − ξ 2 ) (ξ 2 − ξ1 )(ξ 2 − ξ 3 ) (ξ − ξ1 )(ξ − ξ 2 ) 1 ( ) L3 (ξ ) = = ξ ξ +1 (ξ 3 − ξ1 )(ξ 3 − ξ 2 ) 2 L1 (ξ ) =
Vol. 17 No. 1 April 2010
75
Penyelesaian Persamaan Vibrasi dengan Integrasi Newton-Cote
Dengan demikian diperoleh koefisien integrasi yaitu
Tabel 1. Koefisien integrasi ci pada persamaan
1 1 1 c1 = ∫ L1 ( ξ ) dξ = ∫ − ξ (ξ − 1)dξ = 2 3 −1 -1
1
1
1
(
b
∫ a
)
n 2 3 4 5 6 7
4 c 2 = ∫ L 2 ( ξ ) dξ = ∫ 1 − ξ dξ = 3 -1 −1
1
c3 = ∫ L3 ( ξ ) dξ = -1
1
2
∫ 2 ξ (ξ + 1)dξ = 3 1
1
b-a n ∑ ci f i 2 i =1
f(x) dx =
c1 1.000000 1/3 0.250000 0.155556 0.131944 0.097619
c2 c3 1.000000 4/3 1/3 0.750000 0.750000 0.711111 0.266667 0.520833 0.347222 0.514286 0.064286
c4
π
−1
Integrasi dengan 4 titik polinomial
ξ
−
1 2
1
1 2
x2 =
(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 3 )(ξ - ξ 4 ) (ξ 1 - ξ 2 )(ξ 1 - ξ 3 )(ξ 1 - ξ 4 ) (ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 3 )(ξ - ξ 4 ) L2 (ξ ) = (ξ 2 - ξ 1 )(ξ 2 - ξ 3 )(ξ 2 - ξ 4 ) (ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 4 ) L3 (ξ ) = (ξ 3 - ξ 1 )(ξ 3 - ξ 2 )(ξ 3 - ξ 4 ) (ξ - ξ 1 )(ξ - ξ 2 )(ξ - ξ 3 ) L4 (ξ ) = (ξ 4 - ξ 1 )(ξ 4 - ξ 2 )(ξ 4 - ξ 3 ) L1 (ξ ) =
x3 =
π
1
4
π 2
-1
-1
Koefisien integrasi, untuk berbagai titik integrasi dengan persamaan integrasi
∫ a
2
∑ ci f i , adalah seperti pada tabel
berikut.
76
n
Jurnal Teknik Sipil
i =1
−0
π 2
2
4 1 1 ⎞ ⎛1 2 + x1⎟ = 1.00228 ⎜ x0 + x 3 2 3 ⎠ ⎝3 π
Dimana hasil eksak
2
∫ sin xdx = 1 0
b. dengan 4 titik integrasi
x1 = 0 ;
x2 = x3 = x4 =
1
c3 = ∫ L3 ( ξ ) dξ = 0.75 ; c4 = ∫ L4 ( ξ ) dξ = 0.25
f3 = 1
0
-1
1
;
2 ∫ sin xdx =
1
-1
f2 =
2
c1 = ∫ L1( ξ ) dξ = 0.25 ; c 2 = ∫ L2 ( ξ ) dξ = 0.75
b - a
b=
1 2 2
;
π
π
Dengan memasukkan harga-harga ξ1 s/d ξ4 seperti pada Gambar (4) dan dengan mengintegrasikan dari –1 dan ke 1, maka diperoleh
f(x) dx =
x1 = 0 ; f 1 = 0
b
∫ sin xdx
dalam hal ini f ( x ) = sin x , a = 0 dan
Dengan 4 titik polinomial ini, maka polinomial Lagrange berbentuk
2
a. dengan 3 titik integrasi
Gambar 4. Integrasi dengan 4 titik polinomial
c7
0
Pada skema ini interval garis a - b dibagi dalam 3 interval, yaitu
‐1
c6
0.250000 0.711111 0.155556 0.347222 0.520833 0.131944 0.647619 0.064286 0.514286 0.097619
Contoh : akan dihitung
c5
π
π
3
π 2
f 2 = 0. 5
;
6
π
f1 = 0
;
f 3 = 0.866025
; f 4 = 1 .0
π 2
2 ∫ sin xdx = 0
−0 2
(0.25 x0 + 0.75 x0.5
+ 0.75 x0.866025 + 0.25 x1) = 1.001005 Dari kedua hasil perhitungan tersebut terlihat bahwa semakin banyak titik integrasi, semakin baik ketelitian. Hal ini dikarenakan semakin banyak titik integrasi semakin kecil dx.
Hutahaean
)
4. Penyelesaian Persamaan Vibrasi
+ 0.25 u t +δt = k
Persamaan vibrasi untuk satu derajad kebebasan, Bathe (1982), adalah,
d 2u
m
dt
2
+c
du + k u = f(t) dt
(5)
dimana u m c k f(t)
= = = = =
simpangan (Gambar 5) masa koefisien redaman (damping) koefisien kekakuan gaya luar yang bekerja pada system
∫
f(t) dt
(6)
t − 2δt
⎛ du ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠
t +δt
⎛ du ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠
t +δt
diselesaikan dengan metoda selisih hingga dengan skema diferensial ke belakang, yaitu
u t −δt - 4 u t + 3 u t +δt 2 δt
=
Substitusi persamaan untuk
du t +δt ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠
du ⎞ ke Persamaan (6) dan ⎛⎜ ⎟
u
f(t)
t +δt
t − 2δt
⎝ dt ⎠
dipindahkan ke ruas kanan
⎛ u t −δt - 4ut + 3 u t +δt m⎜⎜ 2 δt ⎝
(0.25 u
t −2δt
+ 0.25 u Gambar 5. Sistem SDOF
Persamaan tersebut akan diselesaikan dengan metoda integrasi dari Newton-Cote, dengan 4 titik integrasi. Persamaan (5) dapat ditulis dalam bentuk lain, yaitu
Persamaan terakhir, dikalikan diintegrasikan dari t-2 t ke t+ t,
dengan
dt
dan
t +δt
2
b − a
2
=
(t + δt ) − (t − 2δt ) = 3δt 2
t +δt t − 2δt ⎛ ⎞ ⎛ du ⎞ ⎟ ⎜ ⎛ du ⎞
m ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ dt ⎠ ⎝
(
-⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠
⎟ ⎠
)
⎛ du ⎞ =m⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠
(
)
+ c u t +δt - u t −2δt +
0.25u t −2δt + 0.75u t −δt + 0.75u t
t − 2δt
t +δt
+
∫
f(t) dt
t − 2δt
⎛ 2.25δt 2 k ⎞ t ⎜ ⎟⎟ u + ⎜ - 2m+ 2 ⎝ ⎠
⎛ m 2.25δt 2 k ⎞ t −δt ⎟⎟ u + ⎜⎜ + 2 2 ⎝ ⎠
t
⎛ 0.75δt 2 k ⎞ t −2δt = tm ⎟⎟ u + ⎜⎜ - δt c + 2 ⎝ ⎠ t −2δt
+ δt
t +δt
∫δ f(t) dt
t −2 t
2
Dalam hal ini a = t − 2δt , b = t + δt ,
)
+ 0.75 u t −δt + 0.75 u t
⎛3m 0.75δt 2 k ⎞ t +δt ⎜⎜ ⎟⎟ u + δt c + 2 2 ⎝ ⎠
⎛ du ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ 2
(
Persamaan dikalikan dengan t dan dikelompokkan suku-suku yang mengandung u dengan referens waktu yang sama.
Suku ke 1 dan ke 2 ruas kiri persamaan diselesaikan secara analitik, sedangkan suku ke 3 diselesaikan secara numeris.
2
⎞ 3 δt k ⎟⎟ + c u t +δt - u t −2δt + 2 ⎠
Persamaan terakhir dapat ditulis ringkas kef ut+ t = fef
3m 0.75δt 2 k + δt c + 2 2
2
kef =
3 δt k 2
f ef = −a1u − a2u t
t −δt
⎛ du ⎞ + δtm⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠
(7) t −2δt
+ δt
t +δt
∫ f (t )dt
t −2δt
(8)
Vol. 17 No. 1 April 2010
77
Penyelesaian Persamaan Vibrasi dengan Integrasi Newton-Cote
2.25δt 2 k 2 m 2.25δt 2 k a2 = + 2 2 ⎛ 0.75δt 2 k ⎞ ⎟⎟ a3 = ⎜⎜ - δt c + 2 ⎝ ⎠
a1 = − 2m +
du t − 2δt ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠
=
5. Kesimpulan
(9)
1. Seperti terlihat pada Gambar 6, eksekusi model pada jangka waktu 10x perioda eksitasi solusi model adalah stabil.
(10)
2. Adapun ketelitian dari metoda ini adalah ditentukan oleh ketelitian dari metoda integrasi dari Newton-Cote, dimana pada contoh integrasi fungsi sinusoidal metoda memberikan hasil yang baik. Hutahaean, (2005, 2007a, 2007b, 2008), menggunakan metoda integrasi dari Newton-Cote pada pemodelan transformasi gelombang, yang juga memberikan hasil yang baik.
(11)
u t −δt - u t −3δt
2 δt
t +δt
∫
f(t) dt
t − 2δt
3. Ketelitian berikutnya adalah ditentukan oleh metoda selisih hingga yang digunakan, dimana pada penelitian ini digunakan ketelitian metoda selisih hingga dengan tingkat ketelitian O(d)2 baik pada skema central-difference maupun pada backward-difference.
tergantung dari bentuknya. Dalam hal f(t) merupakan fungsi yang diketahui bentuknya, maka misal f(t) = Asin ωt, maka dapat diselesaikan secara analitik. Sedangkan bila f(t) berupa data series, maka integrasi dilakukan secara numerik.
4. Secara umum metoda yang dikembangkan cukup mempunyai prospek yang baik, baik untuk diteliti lebih lanjut maupun untuk diaplikasikan pada suatu analisis vibrasi.
Contoh : Model dieksekusi dengan data : m = 2.0, c = 11.5, k = 30.0, f (t )
⎛ 2π ⎞ = 2.0 sin⎜ t⎟ ⎝ 2.1 ⎠
Daftar Pustaka Arden, B.W. and Astill, K.N., 1970, Numerical Algorithm: Origins and Applications. AddisonWesley Publishing Company, Inc.
Perhitungan dilakukan dengan δt = 0.07 dt. Hasil eksekusi adalah disajikan pada gambar grafik simpangan u terhadap waktu t, seperti pada Gambar (4.2).
Li, Y. S., Liu, S.-X., Yu, Y.-X., and Lai, G.-Z., 1999, Numerical modeling of Boussinesq equations by finite element method Journal Coastal Engineering, Elsevier.
0.1 0.08
simpangan u (m)
0.06 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.1 1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
13.00
15.00
17.00
19.00
waktu t (detik)
Gambar 6. Grafik simpangan (u) terhadap waktu (t), hasil model
78
Jurnal Teknik Sipil
21.00
Hutahaean
Meftah, Sorgent, P., and Gami P., 2004, Linear analysis of a new type of extended Boussinesq model. Coastal Engineering. Hutahaean, S., 2005, Model Difraksi dengan Persamaan Gelombang Airy yang Disempurnakan, Thesis S3, Departemen Teknik Sipil, ITB. Hutahaean, S., 2007a, Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi, Jurnal Teknik Sipil, Volume 14, No. 1, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB. Hutahaean, S., 2007b, Model Refraksi Gelombang dengan Menggunakan Persamaan Gelombang Nonlinier, Jurnal Infrastruktur dan Lingkungan Binaan, Volume III, No. 2, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB. Hutahaean, S., 2008, Momentum Equilibrium Application in Airy’s Long Wave Equation, Jurnal Infratsruktur dan Lingkungan Binaan, Volume IV, No.1, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB, Volume 15 No.1, 2008..
Vol. 17 No. 1 April 2010
79
Penyelesaian Persamaan Vibrasi dengan Integrasi Newton-Cote
80
Jurnal Teknik Sipil
