DAFTAR PUSTAKA Atay FM, Balancing the inverted pendulum using position feedback, App. Math. Lett., vol. 12, pp. 51–56;1999. Chen J, Hara S, and Chen G , ”Best tracking and regulation performance under control energy constraint,” IEEE T. Automat. Contr., vol. 48, no. 8, pp. 1320– 1336; 2003. Hara S dan Kogure C , ”Relationship between H 2 control performance limits and RHP pole/zero locations,” Proc. 2003 SICE Annual Conference, Fukui, Japan, pp. 12421246; 2003 Kittel C. Introduction to Solid State Physics. Eighth Edition. John Wiley & Sons, Inc; 2005. Lewis AD. A Mathematical Approach to Classical Control, Canada: Departement of Mathematics and Statistics Queen’s University Kingston; 2004. Loram ID dan Lakie M , ”Human balancing of an inverted pendulum: position control by small, ballistic-like, throw and catch movements,”J. Physiol., 540.3, pp. 1111-1124; 2002. Loram ID, Gawthrop PJ, dan Lakie M , ”The frequency of human, manual adjustments in balancing an inverted pendulum is constrained by intrinsic physiological factors,” J. Physiol., 577.1, pp. 417-432; 2006. Loram ID, Kelly SM, dan Lakie M , ”Human balancing of an inverted pendulum: is sway size controlled by ankle impedance?” J. Physiol., 532.3, pp. 879-891; 2001. Microrobot Co.L.td,” MP-2000 ( MR-010 )Inverted Pendulum System Manual”, , http//www.active-robots.com/produck/inverted-pendulum/ip-manual.pdf, [21 Des 2007] Ogata K. Modern Control Engineering, Second Edition. Minnesota: University of Minnesota; 1990. Ogata K. Teknik Kontrol Automatik. Jilid 1,2. Edi Laksono, penerjemah; Bandung: ITB; 1985. Terjemahan dari:” Modern Control Engineering”. Taurasi I, Inverted Pendulum Studies for Seismic Attenuation, SURF Final Report LIGO T060048-00-R, California Institute of Technology, USA; 2005. Woodyatt AR, Middleton RH, and Freudenberg JS, Fundamental Constraints for the Inverted Pendulum Problem, Technical Report EE9716, Department of Electrical and Computer Engineering, the University of Newcastle, Australia; 1997
35 Lampiran 1 Bukti Sifat-sifat Transformasi Laplace Sifat – sifat transformasi Laplace : Misalkan £ f t
F s dan £ g t
G s , maka:
1. Sifat penjumlahan £ f (t ) g (t )
F (s) G (s)
Bukti: £ f t
g t
0
0
e
st
f t
e
st
f t dt
g t dt 0
e st g t dt
£ f(t) + £ g(t) F(s) + G(s) 2. Sifat perkalian Jika a
R , maka:
£ af(t)
a F(s)
Bukti: £ af(t)
0
a
e st af t dt
0
e
st
f t dt
a £ f(t) a F(s) 3. Sifat turunan pertama £
df t dt
sF s
f 0
Bukti: £
df (t ) dt
0
e
st
df (t ) dt dt
lim
b
b 0
e
st
df (t ) dt dt
Misalkan fungsi f t dan turunannya adalah kontinu di dalam selang terbatas, maka : Misal u
e
st
du
se st dt
36
df t
dv
v
dt
f t
maka dengan integral parsial diperoleh: b 0
e
st
df (t ) dt dt
st
e s
0
f (t) st
e
Akan ditunjukkan lim e
s e
sb
st
0
f b
f ( t) dt
f 0
f t dt
b
Karena f t
b
b 0
sb
e
f b
0
eksponensial berorder e t , maka ada konstanta M dan T yang
memenuhi:
Me
t
f t
Me
t
atau st
e
t
Me
Me
s
t
e e
st
st
e
st
Me
Me
s
t
f t
f t
Karena T cukup besar t T , fungsi e untuk s
mendekati 0 ketika t
ketika t
, jadi lim e
sb
£
df t dt
untuk t T
f t terbatas diantara dua fungsi
. Sehingga e
f b
0
sF s
f 0
0
sF ( s )
f (0)
b
st
4. Sifat turunan kedua £
d 2 f (t ) dt
s2 F ( s )
f (0) sf (0)
Bukti:
d 2 f (t ) £ dt
e
0
e
st
st
d 2 f (t ) dt dt
df (t ) dt
f (0) s £
0
df (t ) dt
s
0
t
e
st
df (t ) dt dt
st
f t juga mendekati 0
37
s 2 F ( s)
f (0) sf (0)
5. Sifat eksponensial £
eat
1 s a
Bukti: £
e at
0
0
e st eat dt e 1
s a
( s a )t
e
1
s a 1
s a 1 s a
dt
( s a )t
0
e 0 1
e0
LAMPIRAN
35 Lampiran 1 Bukti Sifat-sifat Transformasi Laplace Sifat – sifat transformasi Laplace : Misalkan £ f t
F s dan £ g t
G s , maka:
1. Sifat penjumlahan £ f (t ) g (t )
F (s) G (s)
Bukti: £ f t
g t
0
0
e
st
f t
e
st
f t dt
g t dt 0
e st g t dt
£ f(t) + £ g(t) F(s) + G(s) 2. Sifat perkalian Jika a
R , maka:
£ af(t)
a F(s)
Bukti: £ af(t)
0
a
e st af t dt
0
e
st
f t dt
a £ f(t) a F(s) 3. Sifat turunan pertama £
df t dt
sF s
f 0
Bukti: £
df (t ) dt
0
e
st
df (t ) dt dt
lim
b
b 0
e
st
df (t ) dt dt
Misalkan fungsi f t dan turunannya adalah kontinu di dalam selang terbatas, maka : Misal u
e
st
du
se st dt
36
df t
dv
v
dt
f t
maka dengan integral parsial diperoleh: b 0
e
st
df (t ) dt dt
st
e s
0
f (t) st
e
Akan ditunjukkan lim e
s e
sb
st
0
f b
f ( t) dt
f 0
f t dt
b
Karena f t
b
b 0
sb
e
f b
0
eksponensial berorder e t , maka ada konstanta M dan T yang
memenuhi:
Me
t
f t
Me
t
atau st
e
t
Me
Me
s
t
e e
st
st
e
st
Me
Me
s
t
f t
f t
Karena T cukup besar t T , fungsi e untuk s
mendekati 0 ketika t
ketika t
, jadi lim e
sb
£
df t dt
untuk t T
f t terbatas diantara dua fungsi
. Sehingga e
f b
0
sF s
f 0
0
sF ( s )
f (0)
b
st
4. Sifat turunan kedua £
d 2 f (t ) dt
s2 F ( s )
f (0) sf (0)
Bukti:
d 2 f (t ) £ dt
e
0
e
st
st
d 2 f (t ) dt dt
df (t ) dt
f (0) s £
0
df (t ) dt
s
0
t
e
st
df (t ) dt dt
st
f t juga mendekati 0
37
s 2 F ( s)
f (0) sf (0)
5. Sifat eksponensial £
eat
1 s a
Bukti: £
e at
0
0
e st eat dt e 1
s a
( s a )t
e
1
s a 1
s a 1 s a
dt
( s a )t
0
e 0 1
e0
38 Lampiran 2 Pole dan Zero Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar Persamaan gerak sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar diberikan oleh persamaan (3.3) dan (3.4), yaitu: ( M m) x ml x u, 4 2 ml mlx mgl 0. 3
(3.9) (3.10)
Karena persamaan (3.9) dan (3.10) merupakan bentuk persamaan differensial, maka untuk mempermudah penyelesaian persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk persamaan aljabar dengan menggunakan transformasi Laplace. Transformasi Laplace dari persamaan (3.9) dan (3.10) adalah: (3.11) ( M m) s 2 X ( s ) mls 2 ( s ) sX ( s) U ( s ) 4 2 2 ml s ( s ) s ( s ) mls 2 X ( s ) mgl ( s ) 0 (3.12) 3 Persamaan (3.11) dan (3.12) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: (M
m) s 2 mls 2
X ( s)
m ) s2
(M
( s) X ( s) ( s)
mls 2 4 ml 2s 2 s mgl 3
s
mls 1
4 3
ml 2 s 2
4 3
2 2
ml s
mls
(M
s (a3 s 3 a2 s 2 a1s a 0 ) ,
dengan di mana a3
4 3
(M
a2
4 3
ml 2
m)ml 2 m 2l 2 (M
a1
(M
a0
mgl ,
m)
m)mgl
selanjutnya diperoleh: X ( s) ( s)
1
4 3
ml 2 s 2
0 1
s mgl U (s) . mls 2
m) s
2
U (s) 0
s mgl mls 2
s mgl 2
U (s)
(s )
mls 2
s
2
X (s)
s
U ( s) 0
39 Dengan demikian, Px ( s ) :
X (s) U (s)
P (s) :
(s) U (s)
ml 2 s 2 s mgl , 3 2 s (a3 s a2 s a1s a 0 ) 4 3
a3 s
3
mls . a2 s 2 a1s a 0
Diasumsikan tidak ada friksi antara motor dan pendulum serta tidak ada friksi antara motor dan lintasan, yaitu
0 , maka Px(s) dan P?(s) memiliki pole
takstabil di ml 2 s 2 mgl m)ml 2 m 2l 2 ]s 2 [( M 4 3
Px ( s)
s2 [ 43 ( M
P ( s)
4 3
[ (M
m)ml
2
ml m l ]s 2 [( M 2 2
m)mgl ]
m)mgl ]
,
.
(3.13)
(3.14)
Dimana Px ( s ) merupakan fungsi transfer antara input kendali u dengan posisi motor x dan P ( s ) merupakan fungsi transfer antara input kendali u dengan posisi sudut pendulum
.
Menentukan Zero Pada bagian ini akan ditentukan zero dari fungsi transfer Px ( s ) dan P ( s ) a. Zero dari Px ( s ) 4 2 2 ml s mgl 3 s2
mgl ml 2
4 3
0 g l
s
4 3
3g 4l
Jadi non minimum phase zero dari Px ( s ) adalah:
3g 4l
z
(3.15)
b. Zero dari P ( s )
ml
0
s
0
Jadi P ( s ) tidak mempunyai non minimum phase zero
40 Menentukan Pole Selanjutnya akan ditentukan pole dari fungsi transfer Px ( s ) dan P ( s ) s2 s2
s
s
4 (M 3 4 3
m)ml 2 m 2l 2 s 2
M
m mgl
0
( M m) mgl ( M m) m ml 2
4 3
( M m) g ( M m) m l
3 g ( M m) l (4 M m)
Jadi pole tak stabil dari Px ( s ) dan P ( s ) adalah: p
3 g ( M m) l (4M m)
(3.16)
41 Lampiran 3 Bukti Teorema 1 Misalkan sistem
A, B, C , D diberikan sebagai berikut:
x(t )
Ax(t ) Bu (t )
y (t ) Cx(t ) Du (t ) Adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika setiap akar ciri dari matrik A mempunyai bilangan real negatif. Bukti: Misalkan solusi dari definisi stabil asimtotik, yaitu:
x
e At x0 ; t
e At
£ -1
0,
maka sI
1
A
Q( s ) , sI A
= £ -1 di mana
Q( s ) Q1s n sI
A
1
Q2 s n
s n a1s n
2
1
... Qn 1s Qn ,
... an 1s a n
Qi matriks konstan ai bilangan konstan Diasumsikan bahwa
1
,
2
,...,
m
adalah akar ciri dari matriks A dengan
multiplisitas n1 , n2 ,..., nm , maka: m
sI
A
n
s
i
i 1
dan matriks resolvent sI
A
Q(s )
1 m
s
ni i
i 1
selanjutnya masing-masing elemen di dapat
42 Qvw ( s )
; v, w 1, 2,..., n.
m
ni
s
i
i 1
Perluasan pecahan parsial berlaku Qvw s m
ni
s
Kvw11 s 1
K vw12 2
s
K vw1n1 s 1
...
1
i
K vw 21 s 2
K vw 2 n2
...
s
n2
...
2
i 1
K vw m1 s m
K vw mn
...
nm
s
m
dengan v,w = 1, 2,…, n. Misalkan didefenesikan
K11 matriks n n dengan v,w adalah elemen dari K vw11 , K12 matriks n n dengan v,w adalah elemen dari K vw12 ,
dan seterusnya. Dengan menggunakan notasi matriks, dapat ditulis sI
A
m
1
n1
K ij i 1 j 1
1 j
s
.
i
Selanjutnya diberikan
e At x0
x
m
n1
= £ -1
K ij i 1 j 1
m
n1
=
K ij i 1 j 1
1 s
tj 1 e j 1!
j
x0
i
it
x0 .
Dari persamaan di atas dapat ditunjukkan bahwa jika Re terbatas pada 0,
i
0 maka t j 1e
untuk bilangan integer j.
Selanjutnya dengan menggunakan aturan Hospital, dapat dituliskan:
lim x t t
Misalkan
i
0
tidak mempunyai bilangan real negatife, maka
it
43
lim t ni 1e
it
0 , K ini
t
0
diperoleh x0 sedemikian sehingga
0.
lim x t t
Berdasarkan hasil tersebut, maka kestabilan dapat ditentukan dari letak akar karakteristik polinomial
I
A , sehingga dapat disimpulkan:
1. Sistem adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika Re
i
0 , untuk setiap i =
1, 2, …, n 2. Sistem takstabil jika dan hanya jika Re
i
0 , untuk setiap i = 1, 2, …, n
44 Lampiran 4 Bukti Teorema 2 Misalkan
D s
s n a1s n
D s
0,
1
a2s n
2
... a n
diasumsikan bahwa akar-akar pi dari D s bernilai real atau kompleks, maka fungsi transfer P s dapat ditulis menjadi:
b0 s m b1s m 1 ... bm s n a1s n 1 ... a n
N s
P s
D s m
K
s zi i 1 n
=
n.
,m s
pi
i 1
Jika D s
memiliki pole-pole yang berlainan, maka P s
dapat diuraikan
menurut pecahan parsialnya, yaitu: P s
N s D s
K1 s p1
K2 s p2
Kn s pn
...
dengan K i adalah konstanta dan selanjutnya K i disebut residu dari pole s Dengan mengalikan kedua ruas dengan s
pi .
pi dan mensubstitusikan s
pi ,
diperoleh N s D s
s
pi s pi
K1 s s p1
K2 s s p2
pi
pi
...
Ki s s pi
pi
...
Kn s s pn
= Ki Terlihat bahwa semua suku yang diuraikan bernilai nol, kecuali K i . Sehingga residu K i dapat diperoleh dari: Ki
N s D s
s
pi
. s pi
pi s pi
45 Karena y
f x merupakan fungsi bernilai real, maka p1 , p2 dan K1 , K 2 saling
konjugat. Untuk kasus ini kita kita hanya perlu menghitung K1 atau K 2 , karena yang lainnya dapat diketahui. Berdasarkan definisi invers transformasi Laplace dan dengan memperlihatkan bahwa: £ -1
Ki s pi
K i e pi t
maka diperoleh
y
K i e pit
dengan pi adalah akar-akar dari D s dan nilai dari K1 tergantung pada syarat awal dan letak zero atau akar persamaan dari N s . Terlihat bahwa jika Re pi
0, maka berlaku y
0 ketika t
.
Jadi fungsi transfer P s berlaku: 1. Stabil jika dan hanya jika Re pi
0 , untuk semua i 1,..., n
2. Stabil asimtotik jika dan hanya jika Re pi 3. Takstabil jika dan hanya jika Re pi
0 , untuk semua i 1,..., n
0 , untuk semua i 1,..., n
46 Lampiran 5 Contoh Penggunaan Deret Taylor 1. Hampiri fungsi f( ) = sin ( ) ke dalam deret Taylor di sekitar
sin
sin 0
sin
0
(
0)
1!
0
=0
0
=0
cos 0 ...
...
sin 2. Hampiri fungsi f( ) = cos ( ) ke dalam deret Taylor di sekitar (
cos
cos 0
cos
1 0 ...
cos
1
0)
1!
2
3. Hampiri fungsi f( ) = 2
2 0
(
0)
1!
2
0 0 ...
2
0
2
( sin 0) ...
ke dalam deret Taylor di sekitar
0
0
=0
...
4. Hampiri fungsi f ( x, ) x ke dalam deret Taylor di sekitar x0 x
f ( x0 , 0 )
x
0
x
0 0 0 ...
x
0
0
x x0
f x
( x x0 ) x x0 ,
...
0
f
( x x0 ,
0
) ...
0
0 dan
0
=0
47 Lampiran 6
Pelinearan Model Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring
(M
m) x ml cos(
4 2 ml 3
) ml
mxl cos(
2
sin(
x u (M
)
m) g sin
, (3.5)
) 0.
) mgl sin(
(3.6)
Karena model persamaan (3.5) dan (3.6) tersebut taklinear maka dilinearkan terlebih dahulu. Diasumsikan bahwa sudut yang dibentuk oleh pendulum 2
adalah cukup kecil, dengan demikian maka sin
0 dan x
x 0
0,
0
, cos
1,
0 (lihat lampiran 3). Diasumsikan juga bahwa x 0 0,
0,
0 yang artinya bahwa posisi motor dan kecepatan motor
di awal tidak bergerak. Begitu juga posisi sudut pendulum dan kecepatan sudut pendulum diawal adalah nol.
cos
cos cos 1 cos cos
sin
sin sin sin sin
sin cos
cos sin
cos
1 sin
cos
sin
Sehingga persamaan (3.5) menjadi:
(M
m) x ml (cos
(M
m) x ml cos
(M
m) x ml cos
2
sin ) ml ml
sin
ml
2
x u (M
( cos
sin )
cos
2
ml
x u (M
sin
x u (M
m) g sin
Jadi bentuk linear persamaan (3.5) adalah:
(M
m) x ml cos
x u (M
m) g sin
Persamaan (3.6) menjadi: 4 2 ml 3
mlx (cos
4 2 ml 3
mlx cos
sin ) mlg ( cos mlx sin
mlg cos
sin ) 0 mlg sin
0
m) g sin m) g sin
48 4 2 ml 3
mlx cos
mlg cos
mlg sin
0
mlg sin
0
Jadi bentuk linear persamaan (3.6) adalah: 4 2 ml 3
mlx cos
mlg cos
49 Lampiran 7 Karakterisasi parameter sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar Teorema 3 Misalkan sistem P(s) memiliki pole takstabil p k (k = 1, ... , np) dan zero takstabil zi (i = 1, ... , nz). Ekspresi analitik bagi
J*
inf
e(t ) 2 dt
0
K
diberikan oleh nz
J
np
2 Re zi
*
2
zi
i 1
k ,l
4 Re pk Re p l pl ) p k pl b k bl 1 ( pk
k
l
di mana bk : l k
1; n p
1
pl pk
; np
p l pk
nz k
2
zi p k zi pk
: 1 i 1
Akibat Px ( s ) pada kasus ini hanya memiliki satu pole takstabil p dan satu non minimum phase zero z, maka : J
2 z
4 p2 2 pp 2
J
2 z
2 p
dengan
z z
1
2
2
2
2
2
(4.1)
p p
z 1 z z
2
p p
2
p z p z p
2p z p 4 p2 ( z p)2
2
2
50 2
Sehingga dengan menyubstitusi
kedalam persamaan (4.1) didapat
2 4 p2 p z 2 2 zp p 2
J
2 z
J
2 z
J
2( z 2 2 zp p 2 ) 8 zp z ( z 2 2 zp p 2 )
J
2 z 2 4 zp 2 p 2 z ( z 2 2 zp p 2 )
J
2( z z( z
z
2
8p 2 zp
p2
p)2 p)2
(4.2)
Dengan menyubstitusi persamaan (3.15) dan (3.16) ke dalam persamaan (4.2) didapat 2
3g 4l
2 J
3 g ( M m) l (4 M m)
(4.3)
2
3g 4l
3g 4l
3 g ( M m) l (4 M m)
Dari persamaan (4.3) dapat disederhanakan menjadi 2
J
2 3g 4l
3g 1 4l 3g 1 4l 1 4
M J
M (M
M
3g
1 4
M
M 1 4
m
J
Selanjutnya dan
m l
m
m m)
1 4
1 4
m
m
M
M l 4 3g
m 1 4m
2
m
2 2 l
M M
m
m 2
M
1 4
m
M
m
M
1 4
m
M
m
(4.4)
l dengan m massa pendulum, l panjang pendulum
”massa jenis pendulum” disubstitusi ke persamaan (4.4) maka di dapat:
51
l 4 3g
J
2
M
1 4
l
M
l
M
1 4
l
M
l
(4.5)
Bentuk berikut:
M
1 4
l
M
l
M
1 4
l
M
l
dapat dirasionalkan penyebutnya sehingga menjadi:
M
1 4
M
1 4
l l l
l
M
M
1 4
l
M
l
M
1 4
l
M
l
l
l M
l 2
1 4
M
M
1 4
M
l
2
1 4
M
M
l
M 3 4
l .
l
Sehingga persamaan (4.5) menjadi
J
4
l 3g
2
2
1 4
M
l
M
l ,
3 4
l
1 4
l
dan dapat disederhanakan menjadi l 3g
4
J
9 2 16
M
2
l
4
M
l
3
J
64l 2 9 3g
Selanjutnya akan dicari
1 4
M
2
dJ dl
4
l
M
(4.6)
l
0
Misalkan 3
u
v
64l 2 9 3g
M
2
1 4
32
maka u '
3 3g
2
5
l2
4
l
M
l
maka
52
v'
32
dJ dl
dJ dl
4
l
M
l
l
M 2
3 3g
1 4
8 M
4
1 4
M
3
1 4
M
l
256
5
l2
l
3
1 4
M
2 M
l
l
M 2
9 3g
l
3
1 4
8 M
l2
2 M
l
l
0 , maka 32
4
1 4
M
l
M 2
3 3g 32
l
1 4
M
5
2
l
l
l
5 2
2
l
1 4
4 l M
l 3M l 3M 2 2
l
2 2
3 16
1 4
2 2
l
1 4
l
3M
M
1 4
l
l
15 16
Ml
45 4
2 2
l
1 4
9M
9 4
M2
M2
0
l
1 4
3M
l
6M 2
1 4
3M
3
9 4
lM
M
9M 2
2
6 4
1 4
M
8 1 4
l M
l
5 Ml 60M 2
l M
l
3M
l
M 3 4
l
1 4
M 1 4
l M
3 l
l
l M
l
l 1 4
M
l
l M
l
l
9M
M2
6 4 3
9 lM 1 16
2 2
1 16
lM 2
lM
6 4
l
lM 1 16
2
M 6 4
l2 2M
l 1 16
2 l2 M
2 2
l
0
Untuk mencari panjang pendulum minimal dicari akar-akar dari persamaan terakhir sebagai berikut :
l
l
selanjutnya dapat disederhanakan menjadi 2 2
l
l
9M 2
l
M
l
3M M
M 2
l
1 4
l
M
6 lM 2
2 2
1 4
l M
6 4
lM
M
l
16 M
l M
3 4
3 3
l
1 4
M
l
l 2
M
3
4 M
l
9M 2 M
1 4
M
l
1 4
8 M 2
3M M
6 lM
l M
3
3
l
48
l
l
l2
l
l
1 4
M
2
1 4
1 4
M 2
1 4
4 M
3 l
l
M
l2
M 16
4 l M
l
1 4
M
256
l
2
9 3g
M
M
l M
l
9 3g
8l 16 l
3
1 4
M
l2 M
3 3g
3
256
4
1 4
M
l
1 16
l3
3
53
l1,2 l1,2 l1,2
5 M
2 5 M
5M
M 2 240
2
M2
2
M 265
2
2
265M 2
5 l1
2
25
265 M
5 l2
2
265 M
2
Jadi panjang pendulum optimal adalah: 265 5 M l
2
m M
265 5 2
(4.7)
54 Lampiran 8 Karakterisasi parameter sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring Teorema 3 Misalkan sistem P(s) memiliki pole takstabil p k (k = 1, ... , np) dan zero takstabil zi (i = 1, ... , nz). Ekspresi analitik bagi
J*
inf
e(t ) 2 dt
0
K
diberikan oleh nz
J
np
2 Re zi
* i 1
zi
2 k ,l
4 Re pk Re p l pl ) p k pl b k bl 1 ( pk
k
l
di mana bk : l k
1; n p
1
pl pk
; np
p l pk
nz k
2
zi p k zi pk
: 1 i 1
Akibat Px ( s ) pada kasus ini hanya memiliki satu pole takstabil p dan satu non minimum phase zero z, maka : J
2 z
4 p2 2 pp 2
J
2 z
2 p
dengan
1
2
2
2
2
z z
2
(4.1)
p p
z 1 z z
2
p p
2
p z p z p
2p z p 4 p2 ( z p)2
2
2
55 Sehingga dengan menyubstitusi
2
kedalam persamaan (4.1) didapat:
2 4 p2 p z 2 2 zp p 2
J
2 z
J
2 z
J
2( z 2 2 zp p 2 ) 8 zp z ( z 2 2 zp p 2 )
J
2 z 2 4 zp 2 p 2 z ( z 2 2 zp p 2 )
J
2( z z( z
z
2
8p 2 zp
p2
p)2 p)2
(4.2)
Dengan menyubstitusi persamaan (3.23) dan (3.24) ke dalam persamaan (4.2) di dapat 2
2
3 g cos 4l
3 g ( M m) cos l 4( M m) 3m cos 2
J
(4.8)
2
3 g cos 4l
3 g cos 4l
3 g ( M m) cos l 4( M m) 3m cos 2
Dari persamaan (4.8) dapat disederhanakan menjadi: 2
J
2 3 g cos 4l
3 g cos 4l
1
3 g cos 4l
1
(M J
2 3g cos
J
3 4
(M
(M
2 l 4 l 3 g cos
m) m) (M
3 4
m) m cos 2
(M
(M m)
3 4
m) m cos 2 2
m cos 2 m)
3 4
(M
(M m)
3 4
3 4
m)
(M
m)
m cos 2
m cos 2 m)
(M
m cos 2 2
(M
m)
3 4
m cos 2
(M
m)
(M
m)
3 4
m cos 2
(M
m)
56
4
J
Selanjutnya dan
m l
l 3g cos
2
M
m
3 4
m cos 2
M
m
M
m
3 4
m cos 2
M
m
(4.9)
l dengan m massa pendulum, l panjang pendulum
m
”massa jenis pendulum” disubstitusi ke persamaan (4.9) maka di dapat: l 4 3g cos
J
2
M
l
3 4
l cos 2
M
l
M
l
3 4
l cos 2
M
l
(4.10)
Bentuk berikut:
M
l
3 4
l cos 2
M
l
M
l
3 4
l cos 2
M
l
dapat dirasionalkan penyebutnya sehingga menjadi:
M
l
3 4
l cos 2
M
l
M
l
3 4
l cos 2
M
l
M
l
3 4
l cos 2
M
l
M
l
3 4
l cos 2
M
l
M
l
M
l
3 4
l cos 2
3 4
l cos 2
2
M
l
M
l
dan dapat disederhanakan menjadi:
M
2
l cos 2
3 4
l
M
l
l cos 2
3 4
Sehingga persamaan (4.10) menjadi
J
4
M
l 3 g cos
3 4
l
l cos
2
2
2
M
l
l cos2
3 4
dan dapat disederhanakan menjadi
J
J
l 3 g cos
4 9 16
2 2
l cos 64l
9 3g
2
M
4
l cos 2
3 4
l
4
M
l
3 2
cos
9 2
M
l
3 4
l cos 2
4
M
l
(4.11)
57 dJ dl
Selanjutnya akan dicari
0
Misalkan 3 2
64l
u
2
9 3g v
M
v' 4
32
dJ dl
M
l
M
M
3 4
l
9 3g
dJ dl 32
2
l cos 2
3 4
l cos2
5
5
9
l 2 cos 2
4
M
maka
l
4 3cos 2
3
M
l 8 M
l
l cos 2
3 4
2 M
4
M
l
9
l 2 cos 2 3
l cos2 3
2
2
3 3g
l cos 2
3 4
l
32
maka u '
3 4
l
3 3g 256
cos
9 2
M
l
4 3cos2
9
l 2 cos2
8 M
l
3 4
l cos2
2 M
l
l cos2
2 M
l
M
l
0 , maka: M
l
2
3 3g 256
4
l cos2
3 4
M
M
5
l
9
l 2 cos 2 3 4
l
9 3g
3
l cos2 2
3
M
l
4 3cos2
9
l 2 cos2
8 M
l
3 4
selanjutnya dapat disederhanakan menjadi 32
M
l
4
l cos 2
3 4
2
3 3g 4 3cos 2
5
M
l
16 M
2
5
9
l 2 cos 2
9
l 2 cos 2 2
9 3g 256
M
l 8 l
3 4
l cos 2
M
M l
M
l 3 4
l
3 4
l cos 2
l cos 2
3
l
58
3
M
l cos 2
3 4
l
M
l
4 3cos 2
2
8l
48
l
16 M
4 3cos 2
16 l
M
M
M
3 M
4 3cos 2
M
l
3 4
l cos 2
l
4 3cos 2
l M 3 4
l
l
4 M
l cos 2
3 4
l
4 3cos 2 3
4 M
4 l M
l cos 2
M
l
4 l M
l
3 l M
3M M
l
3 4
4 3cos 2
4 3cos2
3 4
l 3M
3
9 4
9 4
3 l
cos2
1
3 4
cos 2
l 3M
1
3 4
cos 2
l 3M
M
3 l M
2
M
l
l 3M
M
l
3M
l cos 2
M
l
M
M
l
l cos 2
l l cos 2
3 4
3M
M
2
M
4 l M
l
3 l 4 l
l
l
M
M
l cos2
3 4
l
M
l cos 2
9 4
l
3M
l
l
M
3 4
l
l cos 2
3 4
l
M
l
l
l 3 l M
3M
l
l cos 2
3 4
l
l
l cos 2
l
M
l cos 2
3 4
3 l M
l cos 2
3 4
l cos 2
3 4
l cos 2
l 3M M l cos2
M
l
3 4
l
3 M
9 4
l
l cos2
l M l
l
l
l cos 2
l l
4 M l cos 2
3 4
l
M
3 4
M
3M M
3M M
l
l
l
l cos 2
3 4
l
M
l
l M
4 3cos 2
M
3 4
l cos2
l
l
3 4
3 4
l 3 4
l cos
2 l cos
l cos 2
2
59
3 4
1
2
cos 2
2 2
9M 2 6M l
3 4
1
2
cos 2
9M
3 4
1
3 4
cos 2
l M
1
2
27 4
9M
2
cos 2 27 4
1
2 2
3
3 4
M
3 4
3 4
cos 2
2
2
2
2 2
3 4
9 16
cos 2
2 2
3 3
2
6M
2
1
l
24 9cos2 16
2 2
l
12 9 cos 2
2 2
4 3cos 2
2 2
l
l
2 2
l
3
9 16
2
cos2
6M 2
M
cos 2
M2
18 4
l
3 4
M
2 2
2
l cos
cos2
3 4
cos2
M
2 2
6M
lM cos 2
45 4
M2 0
0
24 9 cos 2
lM 180 M 2 0
8 3cos 2
lM 3 60 M 2 0
8 3cos 2
cos2
9M3
2 2
6M l 1
M l
1
3 4
l 1
l
3 4
6M
18 4
l
3 3
3 4
2 cos
l
lM 60 M 2 0
45 4
9M2 3 4
3 3
l 2 l cos
2 2
2 l cos
2 M cos
M
0
lM
45 4
2 2
6M
2 2
M l cos2
9 16
l
cos2
18 4
cos 2
lM
3 4
6M2 1
3 4
3 2
3 2
l
l 6M
l
M 2 cos 2
l cos 2
l 1
2 2
6M l
2 2
M
l cos2
3 4
6M2
l
cos2
3 4
9M 2
l
l cos
27 4
cos 2
cos 2
M
cos2
cos2
1
9 16
4 3cos 2
l
6M 2
3 4
12 9cos 2 16
2 2
1
M 2 cos2
6M 2 1
3
l
lM
2
3 4
6M l 1
l
M 2 cos 2
0
l
60
8 3cos 2
M
8 3cos 2
l1,2
2
2
M 2 240 4 3cos 2
2 4 3cos 2 8 3cos 2
l1,2
M
2
M
2
1024 768cos 2
9 cos 4
M
8 6 cos 2 8 3cos 2
l1
1024 768cos 2
9 cos 4
M
9 cos 4
M
8 6 cos 2 8 3cos 2
l2
1024 768cos 2 8 6 cos 2
Jadi panjang pendulum optimal adalah 8 3cos 2 l m M
9 cos 4
M
8 6 cos 2
8 3cos 2
1024 768cos 2
9 cos 4
8 6 cos 2
Dapat dilihat bahwa jika m M
1024 768cos 2
0 , maka ekspresi akan tereduksi menjadi:
265 5 , seperti pada lintasan datar. 2
(4.12)
2
61 Lampiran 9 Tabel Panjang Pendulum dan Ekspresi Analitik Panjang Pendulum (meter)
Ekspresi Analitik Lintasan Datar
Miring 45
Miring 30
Miring 15
Miring 10
0.1
85.1931581 450.5548991 228.376886 144.123003 91.8772853
0.2
41.0759755 234.6300671 136.368077 87.4125609 44.52856417
0.3
29.1376845 176.5297468 112.323522 72.6822393 31.71902519
0.4
23.8570002 151.4347382 102.775607 66.9256968 26.06046468
0.5
20.9770878 138.2999543 98.5095988 64.439198 22.98149942
0.6
19.216535
0.7
18.0630465 126.2101141 96.193862 63.3074738 19.88155694
0.8
17.2734023 123.4734078 96.4552634 63.614975 19.04855033
0.9
16.717875 121.8845649 97.1904523 64.2119416 18.46690688
1
16.3211809 121.0659273 98.2317737 64.9946193 18.05569183
1.1
16.0367419 120.7842586 99.4765715 65.8995865 17.76483445
1.2
15.8342544 120.8882707 100.85903 66.8862712 17.56176341
1.3
15.6931873 121.2758884 102.335393 67.9277725 17.42441634
1.4
15.5991596 121.8759842 103.875709 69.0057371 17.33734381
1.5
15.5418131 122.6376474 105.458988 70.1073529 17.28942204
1.6
15.5135088 123.5236041 107.070236 71.2235097 17.27245069
1.7
15.5084974 124.5060335 108.698574 72.3476345 17.28026101
1.8
15.5223754 125.5638236 110.336014 73.4749308 17.30813048
1.9
15.5517175 126.680722 111.976631 74.6018697 17.35238798
2
15.5938231 127.8440605 113.616005 75.7258408 17.41014096
2.1
15.6465373 129.0438559 115.250817 76.844909 17.47908294
2.2
15.7081223 130.2721658 116.87858 77.9576408 17.55735508
2.3
15.7771627 131.5226179 118.497424 79.0629802 17.64344499
2.4
15.8524963 132.7900622 120.105955 80.1601566 17.73611154
2.5
15.9331607 134.0703094 121.703144 81.2486176 17.8343283
2.6
16.0183539 135.3599326 123.28824 82.3279779 17.93724045
2.7
16.1074029 136.6561151 124.86071 83.3979816 18.04413153
2.8
16.1997397 137.9565318 126.420192 84.4584726 18.15439759
2.9
16.2948823 139.2592573 127.966457 85.5093722 18.26752677
3
16.3924198 140.5626921 129.499378 86.5506622 18.38308321
130.745779 96.6968503 63.4694974 21.10539043
62 Lampiran 10 Tabel Panjang Pendulum dan Kemiringan Lintasan Panjang Pendulum ( meter) 1.673734312 1.669851402 1.658391898 1.639898977 1.615202345 1.585323746 1.551375124 1.514466793 1.475636632 1.435804171 1.395747812 1.356100336 1.31735688 1.279890142 1.243968727 1.209775865 1.177426844 1.146984334 1.1184713 1.091881593 1.067188407 1.044350925 1.023319462 1.004039373 0.986453999 0.970506854 0.956143227 0.943311333 0.931963133 0.922054903 0.913547619 0.906407203 0.90060469 0.896116313 0.892923563 0.891013207 0.890377304
Sudut Kemiringan Lintasan Dalam Derajat Dalam Radian 0 0.00 2.5 0.04 5 0.09 7.5 0.13 10 0.17 12.5 0.22 15 0.26 17.5 0.31 20 0.35 22.5 0.39 25 0.44 27.5 0.48 30 0.52 32.5 0.57 35 0.61 37.5 0.65 40 0.70 42.5 0.74 45 0.79 47.5 0.83 50 0.87 52.5 0.92 55 0.96 57.5 1.00 60 1.05 62.5 1.09 65 1.13 67.5 1.18 70 1.22 72.5 1.27 75 1.31 77.5 1.35 80 1.40 82.5 1.44 85 1.48 87.5 1.53 90 1.57
