Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki kar Műszaki Mechanikai Tanszék
ÖT SZABADSÁGFOKÚ MODELL ALKALMAZÁSA FERDE HATÁSVONALÚ CSAPÁGY MEREVSÉGÉNEK SZÁMÍTÁSÁHOZ
Készítette: Krajnyák Gábor Témavezető: Dr. Takács Dénes, tudományos munkatárs
2015
Tartalomjegyzék Jelmagyarázat
III
Ábrák jegyzéke
VI
1. Bevezetés
1
2. 5 DoF csapágymodell 2.1. Acél és kerámia gördülőelemes csapágyak összehasonlítása 2.2. Terheletlen csapágy geometriája . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Hertz feszültség elmélete és következményei . . . . . . . . . 2.4. Csapágygolyó erő és geometriai viszonyai . . . . . . . . . . 2.5. Külső és belső gyűrű görbületi középpontok köre . . . . . .
. . . . .
3 3 6 9 13 19
3. Merevségi mátrix 3.1. Számítás algoritmusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Karakterisztikák szemléltetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23 23 29
4. Konklúzió
38
5. Összefoglalás
39
6. Abstract
40
7. Irodalomjegyzék Könyv . . . . . . . PhD Tézis . . . . . Cikk . . . . . . . . Katalógus . . . . .
41 41 41 42 43
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
A. Tórusz felület és annak főgörbületei
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
44
II
Jelmagyarázat (ξ, η, ζ)
gördülőelem tömegközéppontjával együtt forgó koordináta-rendszer
13
(x, y, z)
álló koordináta-rendszer
13
αo
terheletlen kontaktszög
8
αi,j
j-edik gördülőelemnek a belső kontakt pontjában ébredő erő hatásszögének nagysága 17
αo,j
j-edik gördülőelemnek a külső kontakt pontjában ébredő erő hatásszögének nagysága 17
ab
gördülőelem gyorsulása
16
ωb
gördülőelem szögsebessége
16
ωi
belső gyűrű szögsebessége
13
Θb
gördülőelem súlypontjára számított tehetetlenségi nyomaték mátrixa 16
εb
gördülőelem szöggyorsulása
16
∆ψ
gördülőelemek szögosztása
6
δi,j
j-edik gördülőelemnek a külső kontakt pontjában lévő deformáció nagysága 17
δo,j
j-edik gördülőelemnek a külső kontakt pontjában lévő deformáció nagysága 17
elliptikus kis- és nagytengely hányadosa
10
κ
Hertz-féle kontaktmerevség
12
κi,j
j-edik gördülőelem és a belső gyűrű Hertz-féle kontaktmerevsége
18
κo,j
j-edik gördülőelem és a külső gyűrű Hertz-féle kontaktmerevsége
18
III
Fa
belső gyűrűre ható külső erő vektora
21
Ma
belső gyűrűre ható külső koncentrált erőpár vektora
22
Tψ,j
(ξ, η, ζ) koordináta-rendszerből az (x, y, z) koordináta-rendszerbe való transzformációs mátrix (forgatási mátrix) 19
Tθy
y tengely körüli forgatási mátrix
19
Tθz
z tengely körüli forgatási mátrix
19
Tv,j
j-edik gördülőelemhez tartozó vetítési mátrix
20
E()
másodfajú elliptikus integrál
10
K()
elsőfajú elliptikus integrál
10
Di
belső gyűrű belső átmérője
7
Do
külső gyűrű külső átmérője
7
Ri
belső gyűrű görbületi középponti körének sugara
7
Ro
külső gyűrű görbületi középponti körének sugara
7
ν1
kontaktban résztvevő egyik test poisson tényezője
10
ν2
kontaktban résztvevő másik test poisson tényezője
10
ψj
j-edik gördülőelem szöghelyzete
ρb
gördülőelem sűrűsége
ρi
belső gyűrű gördülőfelületének generáló- vagy meridiánkör sugara
7
ρo
külső gyűrű gördülőfelületének generáló- vagy meridiánkör sugara
7
D
gördülőelem átmérő
7
di
belső gyűrű gördülőfelületének legkisebb átmérője
7
do
külső gyűrű gördülőfelületének legnagyobb átmérője
7
e
kontakt felület numerikus excentricitása
11
E0
egyenértékű rugalmassági modulus
10
E1
kontaktban résztvevő egyik test rugalmassági modulusa
10
E2
kontaktban résztvevő másik test rugalmassági modulusa
10
fi
belső gördülőfelület dimenziótlan görbülete
7 16
6
IV
fo
külső gördülőfelület dimenziótlan görbülete
6
K(e)
elsőfajú elliptikus integrál
11
L(e)
másodfajú elliptikus integrál
11
mb
gördülőelem tömege
16
n
másodpercenkénti fordulatok száma
15
Pd
radiális hézag
7
Pe
axiális hézag
7
R
redukált görbületi sugár
10
Rx
x tengely irányú egyenértékű görbületi sugár
10
Ry
y tengely irányú egyenértékű görbületi sugár
10
eη
η tengely irányú egységvektor
16
eζ
ζ tengely irányú egységvektor
16
Ffi,j
j-edik gördülőelemre ható belső kontakt pontban ébredő felületi normális irányú erő 17
Ffo,j
j-edik gördülőelemre ható külső kontakt pontban ébredő felületi érintő irányú erő 17
Qi,j
j-edik gördülőelemre ható belső kontakt pontban ébredő felületi normális irányú erő 17
Qo,j
j-edik gördülőelemre ható külső kontakt pontban ébredő felületi normális irányú erő 17
rb,j
j-edik gördülőelem tömegközéppontja
17
ri,j
j-edik belső gyűrű görbületi középpontja (generáló kör középpontja)
17
ro,j
j-edik külső gyűrű görbületi középpontja (generáló kör középpontja)
17
V
Ábrák jegyzéke 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.
csapágy merevsége fordulatszám függvényében . . . . . . . . . . . . . . csapágy geometriájának paraméterezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . terhelésmentes esetben a csapágy hatásszögének szemléltetése . . . . . Általános Hertz kontakt paraméterezése. . . . . . . . . . . . . . . . . . szállító koordináta rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fc szállító (centrifugális) erő és Mg koncentrált erőpár meghatározása. Belső gyűrű görbületi középpontjának körének pozíciója . . . . . . . . . Tv,j mátrix levezetése. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 7 8 9 13 17 20 21
3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9.
algoritmus ismertetése . ∆x -Fx karakterisztika . . ∆x -S∆x∆x karakterisztika ∆x -S∆y∆y karakterisztika ∆y -S∆y∆y karakterisztika θy -My karakterisztika . . n-S∆x∆x karakterisztika n-S∆y∆y karakterisztika . n-Sθyθy karakterisztika .
. . . . . . . . .
28 30 31 32 33 34 35 36 37
A.1. Tórusz felület paraméterezése. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
VI
1. fejezet Bevezetés A csapágy a gépészeti berendezéseink egyik alap építőeleme. Legtöbb forgó alkatrész ezen berendezéssel rögzítik. Mai napig erősen kutatott területnek számít, sok modellt tartalmaz a szakirodalom. Legkritikusabb területet a főorsó-csapágyazás jelenti, mivel ott nagy fordulatszám mellett kell jó pontosságot elérni. Sok esetben ilyenkor hibrid csapágyakat alkalmaznak, ami acél helyett kerámia gördülőelemeket tartalmaz. Dolgozat első felében a modellezés kerül bemutatásra, második felében a bemutatott modell alkalmazását tartalmazza egy hibrid ferde hatásvonalú golyóscsapágyon. A vizsgált csapágyat a gyártó cég kifejezetten nagy sebességű főorsókhoz tervezte. Mérési adatokból ezen csapágy geometriai méreteit meghatároztam, továbbá katalógus által tartalmazott anyagparaméterek segítségével létrehoztam a csapágy merevségi mátrixát. A dolgozat első fejezete ismerteti az acél és kerámia mechanikai tulajdonságai közötti jelentős különbségeket. Ezen különbségek indokolják a hibrid csapágyak jelenlétét a főorsók csapágyazásánál. Ezt követően bemutatásra kerül terhelésmentes esetben a csapágy jelentősebb paramétereinek számítása. Ezen paraméterek ismeretében lehet következtetni a gördülőelemek merevségére. A gördülőelemek merevnek tekinthetőek, kivéve a külső és belsőgyűrűn lévő kontakt helyen. A kontakt modellezésére Hertz elméletet alkalmazzák. Kiszámítva a Hertz-féle karakterisztikát, modellezhető a gördülőelem üzemszerű állandósult mozgása. A ferde hatásvonal miatt a gördülőelemnek szöggyorsulása lesz. Továbbá normális gyorsulása, mivel kör pályán mozog. A szakirodalomban ezen szöggyorsulás és normál gyorsulás helyett egy a gördülőelem súlypontjával együtt forgó koordináta-rendszerben értelmezett pszeudó terhelést alkalmaznak. Ezen pszeudó terhelések jó közelítéssel függetlenek a belső gyűrű térbeli orientációjától. A belső gyűrű térbeli orientációja adja meg az egyes gördülőelemekre ható külső terhelés mértékét. Kiszámítva a gördülőelemek egyenleteit, majd összegezve, megadható
1
a belső gyűrűre ható terhelések nagysága. A dolgozat második fejezetében az első fejezetében ismertetett elméletet alkalmazom egy kiválasztott csapágy karakterisztikájának bemutatására. Létrehoztam egy algoritmust, amellyel a vizsgálandó térbeli orientációnál merevséget lehet számítani, amennyiben minden gördülőelem terhelt. Algoritmus segítségével sikeresen kiszámítottam a vizsgált csapágy fontosabb merevségeit, jellegzetes karakterisztikait.
2
2. fejezet 5 DoF csapágymodell A következő fejezetek egy a szakirodalomban elterjedt 5 szabadságfokú csapágy modellt mutatnak be. A szabadságfokok a belső gyűrű térbeli elhelyezkedését adják meg. A modellben a belső gyűrű forgástengelye körüli elfordulása geometriai kényszer által megadott.
2.1. Acél és kerámia gördülőelemes csapágyak összehasonlítása A főorsók csapágyazásánál fontos, hogy szuper precíz csapágyakat alkalmazzanak. A szuper precíz csapágyak között található acél és kerámia (leginkább használt kerámiaanyag a csapágyaknál a Si3 N4 azaz szilícium-nitrit) gördülőelemes csapágy egyaránt. A 2.1. táblázat foglalja össze ezen anyagok azon főbb tulajdonságait, amelyek befolyásolhatják a csapágy működését. sűrűség young-mudulus hőtágulási együttható poisson tényező
acél Si3 N4 7,9 3,2 210 310 12 3 0,3 0,26
mértékegység h i g cm3
[GPa]i
h
10−6 ◦C
[−]
2.1. táblázat. anyagparaméterek A 2.1. táblázatban szereplő adatok önmagukban nem beszédesek, de mögéjük téve az anyagi tulajdonságokból következő mechanikai tulajdonságokat, már igen. Legyen két megegyező geometriájú csapágy, de az egyikben a gördülőelemek acél, míg a másikban 3
szilícium-nitrit. Feltételezve, hogy azonos szögsebességgel forognak, egyértelmű, hogy jó közelítéssel azonos a normális gyorsulásuk. Mivel a szilícium-nitrit sűrűsége 40% -a az acélénak, emiatt kisebb a gördülőelemre ható centrifugális erő. A kisebb centrifugális erő továbbá másfélszer nagyobb young-modulus miatt a gördülőelem kisebb rugalmas alakváltozást szenved, azaz sokkal kisebb lesz a kontakt felület továbbá sokkal kevésbé fog melegedni. A főorsó csapágyaknál rendkívül fontos az előfeszítés. A szilícium-nitritnek a hőtágulási együtthatója negyede az acélénak, azaz pontosabban lehet beállítani az előfeszítését, hiszen forgás közben a rugalmas alakváltozás miatt melegszik a csapágy, ami miatt nő az előfeszítés nagysága. Túl nagy előfeszítés beállítása esetén a további melegedés miatt még nagyobb lesz az előfeszítés nagysága, ami a csapágy befeszülését okozza. A 2.1. ábra mutatja az eredő rugómerevséget kitérítetlen helyzetben, azaz a belső gyűrű középpontja egybe esik a külső gyűrű középpontjával. Az ábrán egy olyan csapágy eredő radiális merevségét mutatja, amelynek külső átmérője 62 [mm], belső átmérője 35 [mm]. Ezen átmérőkből képezhető egy középátmérő, amely felhasználásával kiszámítható az úgy nevezett „speed factor A” az alábbi módon: mm 35 + 62 ωb ≈ 3000n , A= 2 2π min
(2.1)
ahol n a tengely másodpercenkénti fordulatszáma. (2.1) egyenlet alapján a 2.1. ábrán által ábrázolt kerámia gördülőelemes csapágy eredő rugómerevségének a görbéje h i h i 1 N körülbelül 24000 min fordulatszámnál 150 µm rugómerevségnél ér véget. Az ábrán bemutatott csapágy 18 gördülőelemet tartalmaz.
4
2.1. ábra. Kerámia és acél gördülőelemes csapágy merevsége kitérítetlen állapotban [9] szakirodalom alapján.
5
2.2. Terheletlen csapágy geometriája
Legegyszerűbb esetben a csapágy külső és a belső gyűrűinek gördülőpályái egy-egy tórusz felületnek felelnek meg. Ezen felületek generáló köreinek középpontjai egyegy körvonalon helyezkednek el, amelyeket a továbbiakban külső illetve belső gyűrű görbületi középponti körként hivatkozunk. bemutatja a csapágy geometriájának araméterezését. Pd jelöli a belső gyűrű relatív radiális, míg Pe az axiális játékát a külső gyűrűhöz képest. Ezen játékok számíthatóak a csapágy külső, belső gyűrűk és a gördülőelem geometriájának ismeretében. Jelölje ρ a generáló, R a görbületi középponti kör sugarát, amely paraméterek eltérő értékűek a külső és belső gyűrű esetén. A külső gyűrűhöz tartozó mennyiségek alsó indexben o, a belő gyűrűhöz tartozó mennyiségek pedig alsó indexben i jelölést tartalmaznak. A golyó átmérőjét D jelöli. Ezen geometriai méreteket szemléleti 2.2. ábra. A szakirodalomnak megfelelően vezessük be a következő dimenziótlan görbületeket: fi =
ρi , D
(2.2)
fo =
ρo . D
(2.3)
Ideális esetben a gördülőelemek egyenletesen elosztásban helyezkednek el a csapágyban. Az első gördülőelem szögpozícióját jelölje ψ1 , a gördülőelemek közötti szögosztást pedig ∆ψ: ∆ψ =
2π , Z
(2.4)
ahol Z a gördülőelemek száma, így a j-edik gördülőelem szögpozíciója: ψj = ψ1 + (j − 1)∆ψ.
(2.5)
6
x
D
Do do di Di
ri y
z ro
1 4 Pd
Ro Ri 2.2. ábra. csapágy geometriájának paraméterezése
A csapágygyűrűk és a gördülőelemek közötti érintkezések leírásához bevezethető az úgynevezett terheletlen kontaktszög (free contact angle), ld. 2.3 ábra, amely alapján: cos αo = 1 −
Pd . 2A
(2.6)
Ezen geometriai összefüggés meghatározható 2.2 és a 2.3 ábrák segítségével az alábbi geometriai egyenletek alapján: 1 Pd + D = ρi + ρo − A cos αo , 2
(2.7)
1 1 Pd + D = (do − di ) , 2 2
(2.8)
D = ρi + ρo − A.
(2.9)
7
x
ro o
A ri ro
y
ri
z
a
2.3. ábra. terhelésmentes esetben a csapágy hatásszögének szemléltetése
8
2.3. Hertz feszültség elmélete és következményei
z y x
R1x
R1y
R2x
R2y
2.4. ábra. Általános Hertz kontakt paraméterezése. Az általános Hertz elmélet paraméterezését szemlélteti a 2.4. ábra. Amennyiben a csapágygyűrű görbületi körének sugara R a horony görbülete pedig ρ akkor a általános Hertz kontakt paraméterei a következőek: R1x =
D , 2
(2.10)
R2x =
D , 2
(2.11)
R − ρ, cos α
(2.12)
R2x =
R2y = −ρ,
(2.13)
amely paraméterek, az adott pontban értelmezhető érintkező felületek főgörbületei. A csapágygolyó főgörbületei egyértelműek, viszont a tóruszfelület esetén e főgörbületek meghatározása nem egyértelmű. Függelék tartalmazza ezen paraméterek kiszámítását. Ha a belső gyűrűre számítjuk a kontakt merevséget, akkor (2.12) egyenletbe α = αi , 9
míg a külső gyűrű esetén α = αo + π kell írni. Továbbá létre kell hozni egy egyenértékű rugalmassági modulust is: 2 1 − ν12 1 − ν22 + , = E0 E1 E2
(2.14)
ahol E a érintkezésben részvevő testek young-modulusa ν pedig a poisson tényezője. [14] szakirodalom alapján az alábbi módon lehet számítani a Hertz-féle kontakt erőt: (2.15)
Fe = κδ 2 , 3
ahol πE 0 κ= 3K
s
2ER , K
(2.16)
ahol K és E egy-egy elliptikus integrálnak felel meg: π
K() =
1 1 − 1 − 2 sin2 φ
Z2 0
π
E() =
Z2 0
− 1
2
1 1 − 1 − 2 sin2 φ
1 2
dφ,
dφ,
(2.17) (2.18)
ahol az ellipszis alakú kontakt felület a nagyobbik féltengelyének és b kisebb féltengelyének hányadosa: b = . a
(2.19)
A (2.16) egyenlet tartalmaz továbbá egy R redukált görbületi sugara, ami: 1 1 1 = + , R Rx Ry
(2.20)
ahol Rx és Ry az indexben jelzett irányokhoz tartozó egyenértékű görbületi sugarak: 1 1 1 = + , Rx R1x R2x
(2.21)
1 1 1 = + , Ry R1y R2y
(2.22)
amely egyenértékű görbületeket behelyettesítve a következő egyenletbe: Rx K−E = 2 , Ry E − 2 K
(2.23)
10
adódik egy egyenletrendszer. Az egyenletrendszer a (2.17), (2.18) és (2.23) egyenletekből áll, amelyekben E, K, az ismeretlenek. Ezen nemlineáris egyenletrendszert kell megoldani a κ meghatározásához. Hertz elméletnek létezik más paraméterezése is, például [12] szakirodalomban szakirodalomban a kontakt ellipszis excentricitása a paraméter: e=
v u u t
b 1− a
!2
(2.24)
,
amelyet a kontakt ellipszis numerikus excentricitása, illetve a és b továbbra is nagy és kis féltengelye a kontakt ellipszisnek. Ezen definiált paraméter az alábbi intervallumon értelmezett: e ∈ [0, 1] .
(2.25)
Amennyiben e értéke zérus, azt jelenti, hogy a kis és nagy féltengely hosszúsága megegyezik, azaz a kontakt ellipszis speciális alakú, amely alak a kör. Továbbá ha ezen paraméter értéke egy, akkor vonali érintkezés szerepel az adott feladatban. Ezen e paraméter függvényében az elliptikus integrálok az alábbi alakban írhatóak fel: π
K(e) =
Z2
− 1
1 − e2 sin2 φ
2
dφ,
(2.26)
0 π
L(e) =
Z2
1
1 − e2 sin2 φ
2
dφ,
(2.27)
0
D(e) =
K(e) − L(e) , e2
(2.28)
amely elliptikus integrálok felhasználásával az alábbi egyenletet kell megoldani az e excentricitás kiszámításához: Rx D(e) = (1 − e2 ) . Ry K(e) − D(e)
(2.29)
Függvény illesztés segítségével a nemlineáris egyenletrendszer megoldható az alábbi módszer segítségével is: Rx = 1.0017(0.997087 − e2.00854 )0.750905 , Ry
(2.30)
amely függvény illesztés hibájának maximuma 0.4% e ∈ [0.5, 0.995] intervallumon, amely intervallumba tartozik az összes gördülőelem-gördülőfelület kontakt. Megállapítva a numerikus excentricitás értékét, a Hertz-féle kontakt merevség meghatározható:
11
√ 1 4 2π D(e) 2 κ= . 9E 0 Rx21 K(e) 23
(2.31)
12
2.4. Csapágygolyó erő és geometriai viszonyai
Jelölje δ a gördülőelem kontakt deformációját, α a kontakt szöget, Q a kontakt felületre merőleges, Ff a felülettel párhuzamos súrlódó erő nagyságát. A d’Alambertelv alapján az Fc szállító (centrifugális) erő a gördülőelem körpályán való mozgásából származtatható. Az Mg koncentrált erőpár hasonló módon a gördülőelem térbeli mozgásából adódó pörgettyűhatást írja le. Szükséges bevezetni az adott golyóval együtt forgó (ξ, η, ζ) koordináta-rendszert. A Fc szállító (centrifugális) erő és Mg koncentrált erőpár előzetesen közelítőleg meghatározható, amennyiben a golyók tömegközéppontja az (y, z) síkkal párhuzamos síkban mozog.
a)
b)
z
z yj
Q
o
a
ro
z
S ri
P
x=x Ri Ro
y h
wi h
x 2.5. ábra. szállító koordináta rendszer
A 2.5 ábra a) részének felhasználásával felírhatóak a következő egyenletek, amennyiben a gördülőelem tisztán gördül a külső és a belsőgyűrűn. Legyen P pont a belső gyűrűn, 13
Q a külső gyűrűn lévő gördülési kontaktpont. Jelölje S a golyó súlypontját, O pedig a koordináta-rendszer origóját, ebben az esetben: rOQ(ξ,η,ζ) = [0, 0, Ro ]T + ρo [sin αo , 0, cos αo ]T
(2.32)
rOP(ξ,η,ζ) = rOQ(ξ,η,ζ) − D [sin αo , 0, cos αo ]T
(2.33)
rOS(ξ,η,ζ) = rOQ(ξ,η,ζ) −
D [sin αo , 0, cos αo ]T , 2
rQP(ξ,η,ζ) = −D [sin αo , 0, cos αo ]T ,
(2.34) (2.35)
A belső gyűrű szögsebességét jelölje ωi(ξ,η,ζ) , a szállító szögsebességet ωsz(ξ,η,ζ) , továbbá a relatív szögsebességet ωsz(ξ,η,ζ) . A szállító szögsebesség értéke nem egyezik meg a belső gyűrű szögsebességével, mert a belső gyűrűn lévő kontakt pont sebessége megegyezik a gördülőelem kontakt pontban lévő sebességével, továbbá a gördülőelem külső gyűrűn lévő kontakt pontjának sebessége minden időpillanatban zérus értékű, így a gördülőelem tömegközéppontjának sebessége a belső gyűrűn levő kontakt pont sebességének a fele. Ezen megállapításokat tartalmazzák a következő egyenletek. A szögsebességek kiszámításához szükséges egy feltételezés, miszerint a gördülőelem a külső és belső kontakt pont által kifeszített tengely körül nem forog. Ezen feltételezés szükséges, mert két pontos kontakt esetén a gördülőelem szögsebességének a meghatározására szolgáló egyenletrendszer alul határozott lenne. Így már kiszámíthatóak a szögsebességek:
ωsz(ξ,η,ζ) = [ωsz , 0, 0]T ,
(2.36)
ω(ξ,η,ζ) = [ωξ , 0, ωζ ]T ,
(2.37)
ωi(ξ,η,ζ) = [ωi , 0, 0]T ,
(2.38)
vP(ξ,η,ζ) = ωi(ξ,η,ζ) × rOS(ξ,η,ζ) ,
(2.39)
vQ(ξ,η,ζ) = 0,
(2.40)
1 vS(ξ,η,ζ) = vP(ξ,η,ζ) = ωsz(ξ,η,ζ) × rQP(ξ,η,ζ) , 2
(2.41)
vP(ξ,η,ζ) = vQ(ξ,η,ζ) + ω(ξ,η,ζ) × rQP(ξ,η,ζ) ,
(2.42)
14
ωξ = − tg αo , ωζ
(2.43)
amely egyenletrendszerből megállapítható ωξ ,ωζ és ωsz értékei, amelyekre a következő összefüggések adódtak: nπ (Ro − (ρo − D) cos αo ) = − , 0, 0 Ro + (ρo − D/2) cos αo
#T
"
ωsz(ξ,η,ζ) ω(ξ,η,ζ) =
,
nπ (Ro + (ρo − D) cos αo ) [− sin αo , 0, cos αo ]T , o D cos α
(2.44) (2.45)
ahol n a másodpercenkénti fordulatok száma. A gördülőelem szöggyorsulása: ε(ξ,η,ζ) = εrel(ξ,η,ζ) + εsz(ξ,η,ζ) + ωsz(ξ,η,ζ) × ω(ξ,η,ζ) ,
(2.46)
ahol állandósult állapotban álló és gördülőelem tömegközéppontjával együtt forgó koordinátarendszer szöggyorsulása: εrel(ξ,η,ζ) = 0,
(2.47)
εsz(ξ,η,ζ) = 0,
(2.48)
ε(ξ,η,ζ) = [0, εη , 0]T ,
(2.49)
így
ahol εη =
2n2 π 2 (Ro + (ρo − D) cos αo )2 . D sin αo (2Ro + (2ρo − D) cos αo )
(2.50)
Ismerve a szögsebességeket és szöggyorsulások értékét, kiszámítható a gördülőelem gyorsulása: aS,sz = aS,rel + aS,sz + aS,Cor ,
(2.51)
aS,sz = aOS + εsz × rO + ωsz × (ωsz × rOS ) ,
(2.52)
aS,rel = 0,
(2.53)
ahol
15
aS,Cor = 0,
(2.54)
mivel a relatív koordináta rendszerben a gördülőelem súlypontjának pozíciója állandó, így sebessége zérus. A relatív koordináta-rendszer és az álló koordináta-rendszer közötti transzformáció egy x tengely körüli forgatás, emiatt szerencsés a koordinátarendszer választása, mert a szállító szögsebességeket így nem kell áttranszformálni a két koordináta-rendszer között. A gördülőelem gyorsulása az abszolút koordinátarendszerben: (2.55)
2 rOSζ eζ . aS = −ωsz(ξ,η,ζ)
ahol eζ a (ξ, η, ζ) koordináta-rendszer ζ koordináta tengelyének egységvektora. Mivel a gördülőelem tömegközéppontja egy körpályán mozog, így várható volt ezen egyenletrendszer eredménye. Alkalmazva a d’Almabert-elvet: 1 Fc = −mb ab ⇒ Fc = πD3 ρb aSζ eζ , 6
(2.56)
1 mb = πD3 ρb , 6
(2.57)
ab = aS ,
(2.58)
ahol
ahol ρb a golyó sűrűsége. A Mg szállító koncentrált erőpár az alábbi egyenlettel határozható meg: Mg = −Θb εb − ωb × (Θb ωb ) ⇒ Mg = −
1 5 D πρb εη eη , 60
(2.59)
ahol eη a (ξ, η, ζ) koordináta-rendszer η koordináta tengelyének egységvektora, εb = ε(ξ,η,ζ) ,
(2.60)
ωb = ωsz(ξ,η,ζ) + ω(ξ,η,ζ) ,
(2.61)
Θb =
1 mg D2 I. 10
(2.62)
A 2.6. ábra alapján felírhatóak az egyensúlyi egyenletek, továbbá a geometriai viszonyok az ábra jobb oldala alapján:
16
a)
b) Qo,j Ffo,j ao,j
ai,j
Fc rb,j Qi,j
ai,j
ro,j
(f i
+ )D -0,5
d i, j
ri,j
rb,j
ri,j ao,j Mg
Ffi,j z x
ro,j
2.6. ábra. Fc szállító (centrifugális) erő és Mg koncentrált erőpár meghatározása. erőegyensúlyi egyenletek: ΣFeξ = 0 :
i,j
Qi,j sin αi,j − Qo,j sin αo,j − Ffi,j cos αi,j + Ffo,j cos αo,j = 0, ΣFeζ = 0 :
r
Qi,j cos αi,j − Qo,j cos αo,j + Ffi,j sin αi,j − Ffo,j sin αo,j + Fc = 0, ΣMrb = 0 : (Ffi,j + Ffo,j )
D − Mg = 0. 2
(2.63)
(2.64)
(2.65)
A 2.6 ábra b) része a külső és belső gyűrű görbületi- és a golyó tömegközéppontját tartalmazza. Felírható ξ és ζ tengely irányú vetületei a tömegközéppont és a görbületi középpontok távolságai a kontaktszög és deformáció függvényében: ξ tengely irányú vetület: ((fo − 0, 5) D + δo,j ) sin αo,j + ((fi − 0, 5) D + δi,j ) sin αi,j = ri,j,ξ − ro,j,ξ ,
(2.66)
17
ζ tengely irányú vetület: ((fo − 0, 5) D + δo,j ) cos αo,j + ((fi − 0, 5) D + δi,j ) cos αi,j = ri,j,ζ − ro,j,ζ ,
(2.67)
ahol ri,j,ζ , ri,j,ξ és ro,j,ξ , ro,j,ζ az ri,j és ro,j az indexben jelzett tengely irányú vetületei. Mivel a golyóra ható erőrendszer határozatlan a felírt egyenlete alapján, így a szakirodalomban gyakran az alábbi feltételezést alkalmazzák a golyókra ható súrlódó erőkre: Ffi,j = Ffo,j .
(2.68)
Felhasználva Hertz-féle karakterisztikát összefüggés írható fel a golyó deformációja és a golyóra ható erő között: 3
(2.69)
3
(2.70)
2 , Qi,j = κi,j δi,j
2 . Qo,j = κo,j δo,j
Adott (2.63)-(2.70) egyenletek, amelyekben Qi,j , Qo,j , αi,j , αo,j , Ffi,j ,Ffo,j , δi,j és δi,j az ismeretlenek. Az egyenletrendszer redukálható 4 ismeretlen és 4 egyenletre, de ahhoz, hogy megoldható legyen szükség van ri,j és ro,j vektorokra.
18
2.5. Külső és belső gyűrű görbületi középpontok köre
A következő mátrix adja meg az átjárást a (ξ, η, ζ) koordináta rendszerből az (x, y, z) koordináta-rendszerbe: 1 0 0 = 0 cos ψj − sin ψj . 0 sin ψj cos ψj
Tψ,j
(2.71)
(2.71) egyenlet segítségével leírható a külső gyűrű j-edik golyóhoz tartozó görbületi középpontjának koordinátái: 0 −1 = Tψ,j 0 . Ro
ro,j,(x,y,z)
(2.72)
Külső terhelés hatására a belső gyűrű elmozdulhat x, y, z tengelyek irányába, továbbá elfordulhat y és z tengely körül. A következő formulák ezen elmozdulásokat írják le:
Tθy
cos θy 0 sin θy = 0 , 1 0 − sin θy 0 cos θy
(2.73)
Tθz
cos θz − sin θz 0 = sin θz cos θz 0 , 0 0 1
(2.74)
∆ x ∆ = ∆y , ∆z
(2.75)
19
ahol θy az y tengely θz az z tengely körüli elfordulást nagyságát, míg ∆x , ∆y , ∆z az adott tengely irányú elmozdulást nagyságát jelöli. (2.73), (2.74) és (2.75) egyenletek segítségével felírható a belső gyűrű j-edik golyóhoz tartozó görbületi középpontjának koordinátái: A sin αo + ∆. = T−1 0 ψ,j Tθy Tθz Ri
ri,j,(x,y,z)
(2.76)
z z’ qy
y’ Dz
Dx
Dy
qz y
x
2.7. ábra. Belső gyűrű görbületi középpontjának körének elmozdulása külső terhelés hatására. A csapágygolyó egyenletei radiális síkban oldhatóak meg 2.1. fejezetben ismertetett egyenletekkel, viszont (2.72) egyenletben leírt ro,j,(x,y,z) , (2.76) egyenletben leírt ri,j,(x,y,z) és az x tengely nem feltétlen fekszenek egy radiális síkban, ezért szükséges bevezetni egy Tv,j vetítési mátrixot, amivel a radiális síkból kimozdult ri,j,(x,y,z) visszatranszformálható a következő mátrix felhasználásával: ri,j,v,(x,y,z) = Iri,j,(x,y,z) − n nT ri,j,(x,y,z) = I − nnT ri,j,(x,y,z) = Tv,j ri,j,(x,y,z) , (2.77)
ahol ri,j,v,(x,y,z) a síkra vetített vektor n pedig a felületre merőleges normálvektor. A csapágymodell esetében a vetítési sík tartalmazza az x tengelyt, továbbá a külső gyűrű görbületi középpontjához mutató r egységvektort. Ezen vektorok ismeretében levezethető a modellhez szükséges normálvektor:
20
a)
b) ri,j
n
z
z
yj y
x
r n
x
y
i 2.8. ábra. Tv,j mátrix levezetése.
0 1 0 n = r × i = sin ψj × 0 = cos ψj . − sin ψj 0 cos ψj
(2.78)
Így a vetítési mátrix: 1 0 0 T 1 2 = I − nn = 0 1 − cos ψj 2 sin 2ψj . 1 2 0 2 sin 2ψj 1 − sin ψj
Tv,j
(2.79)
Alkalmazva a transzformációs mátrixot: ri,j,(ξ,η,ζ) = Tψ,j Tv,j ri,j,(x,y,z) ,
(2.80)
a 2.1 fejezetben (2.67) és (2.68) egyenleteknél ri,j,(ξ,η,ζ) és ro,j,(ξ,η,ζ) vetületei előbbi egyenletek alapján már meghatározhatóak, így kiszámíthatóak a golyó egyensúlyi és geometriai egyenletei is. Kiszámítva a golyóra ható erőket, felírható és meghatározható a belső gyűrűre ható erők és koncentrált erőpárok értékei is: ΣF : Fa −
Z X
Fi,j,(x,y,z) = 0.
(2.81)
j=1
A golyóról a belső gyűrűre átadódó koncentrált erőpár meghatározásához be kell vezetni a belső gyűrű tórusz felületén lévő kontakt pontot leíró vektort: 0 sin αo,j ((fo − 0, 5) D − δo,j ) − sin αi,j (0, 5D − δi,j ) = 0 + + , (2.82) 0 0 Ro cos αo,j ((fo − 0, 5) D − δo,j ) − cos αi,j (0, 5D − δi,j )
ri,k,j,(ξ,η,ζ)
21
ami a 2.6. ábra alapján a (ξ, η, ζ) koordináta-rendszerben értelmezett. Ahhoz, hogy (x, y, z) koordináta-rendszerben értelmezve legyen, el kell forgatni ezen vektort az x tengely körül. Mivel a belső gyűrűre külső terhelés hat, ezért ezen kontakt pontra is érvényes, hogy elfordulhat θy szöggel az y tengely θz szöggel az z tengely körül, továbbá ∆x , ∆y , ∆z elmozfulásokkal eltolódhat, emiatt: ri,k,t,j = T−1 ψ,j Tθ,z Tθ,y ri,k,j + ∆,
(2.83)
ΣMO : Ma −
Z X
ri,k,t,j × Fi,j,(x,y,z) = 0,
(2.84)
j=1
ahol Fi,j,(x,y,z) = T−1 ψ,j Fi,j,(ξ,η,ζ) , Q sin αi,j − Ffi,j cos αi,j i,j = , 0 Qi,j cos αi,j + Ffi,j sin αi,j
Fi,j,(ξ,η,ζ)
(2.85)
(2.86)
belső gyűrűre ható külső erőrendszer pedig:
F x Fa = Fy , Fz
(2.87)
0 Ma = My . Mz
(2.88)
22
3. fejezet Merevségi mátrix A következő fejezetek a merevségi mátrix számítását írják le a 2. fejezetben ismertetett egyenletek felhasználásával. Ebben a fejezetben egy ismert geometriájú csapágyon kerül bemutatásra a merevségi mátrix számítása. A csapágy típusa: Germany HY SM 6007 C TXM P4 DUV/30N: • HY: hibrid csapágyat jelent, azaz a gördülőelemek anyaga kerámia • SM: a belső gyűrű extrém nagy fordulatszámra tervezett, • C: a kontaktszög nagyságát jelöli, C=15◦ , • TXM: csapágykosár anyag PEEK, amely anyagot zsír kenésű csapágyhoz használják, • P4: a csapágy gyártása során milyen tűréseket alkalmaztak (DIN szabványbeli jelölés), • DUV: előfeszítő erő nagysága. Csapágy geometriai adatai a 3.1. táblázat tartalmazza a 2.2. ábra alapján. Csapágyat alkotó elemek anyagainak paraméterei a 2.1. táblázat találhatóak.
3.1. Számítás algoritmusa A merevség számításához a 2. fejezetben ismertetett egyenletek felhasználása szükséges. A 3.1. ábra segíti a következő algoritmusban való tájékozódást. A merevségi mátrix számításához először is szükséges 2.1. és 3.1. táblázat által tartalmazott anyagi
23
név jel belső csapágy átmérő Di külső csapágy átmérő Do belső gördülőfelület legkisebb átmérője di külső gördülőfelület legnagyobb átmérője do gördülőelem átmérő D belső generálókör sugara ρi külső generálókör sugara ρo gördülőelemek száma Z
méret dimenzió 35 [mm] 62 [mm] 40,56 [mm] 56,47 [mm] 7,938 [mm] 4,388 [mm] 4,133 [mm] 16 [db]
3.1. táblázat. geometriai paraméterek és geometriai paraméterek ismerete. Ha ezen adatok nem állnak rendelkezésre katalógusból lehet kikeresni a következő értékeket. Amennyiben katalógus sem tartalmazza végső megoldásként a következő közelítő számításokat lehet elvégezni: dm =
d1 + D 1 , 2
(3.1)
ahol dm a középátmérő. Ferde hatásvonalú csapágyak esetén a katalógus tartalmazza a terheletlen kontaktszög értékét, a Pd radiális vagy Pe axiális játék mérhető mennyiségek. Amennyiben feltételezzük, hogy: ρi = ρo ,
(3.2)
akkor (2.7) és (2.9) egyenletek felhasználásával: ρi =
Pd D + . o 4 cos α 2
(3.3)
Az axiális hézag mért értékéből kiindulva pedig az alábbi összefüggés alkalmazható: ρi =
Pe D + . o 4 sin α 2
(3.4)
A külső és belső görbületi sugár ismeretében már kiszámítható a belső gördülőfelület legkisebb átmérője: D di = dm + 2 ρo − cos αo − 2ρi , 2
(3.5)
illetve a külső gördülőfelület legnagyobb átmérője:
do = dm − 2 ρi −
D cos αo + 2ρo . 2
(3.6)
24
Utóbbi két egyenlet általános érvényű, azaz alkalmazható nem csak a közelítő számítás esetén. Például a szakirodalomban sokszor a tóruszfelületek paramétereiként ρi , ρo és dm értékeit adják meg. A csapágy anyagi és geometriai adatain kívül, a számításokhoz szükséges még az üzemelési fordulatszám, a csapágy szögpozíciója, belső gyűrű térbeli orientációja. A csapágy szögpozícióját egyértelműen megadja az első gördülőelem pozíciójának megadása, amennyiben feltételezzük a golyók között az egyenletes szögosztást. Így a bemeneti adatok: • Geometria: – di : belső gördülőfelület legkisebb átmérője – do : külső gördülőfelület legnagyobb átmérője – D: gördülőelem átmérő – ρi : belső generálókör sugara – ρo : külső generálókör sugara – Z: gördülőelemek száma • Csapágygolyó és a belső gyűrű térbeli orientációja, a merevségi mátrix számítása helyén: – ∆x0 : x tengely irányú elmozdulása a belső gyűrűnek – ∆y0 : y tengely irányú elmozdulása a belső gyűrűnek – ∆z0 : z tengely irányú elmozdulása a belső gyűrűnek – θy0 : y tengely körüli elfordulása a belső gyűrűnek – θz0 : z tengely körüli elfordulása a belső gyűrűnek – n: belsőgyűrű fordulatszáma – ψ1 : első gördülőelem szögpozíciója • Anyagparaméterek: – E1 : young modulusza a belső és külső gyűrűnek – ν1 : poisson tényezője a belső és külső gyűrűnek – E2 : young modulusza a gördülőelemnek – ν2 : poisson tényezője a gördülőelemnek – ρg : sűrűsége a gördülőelemnek 25
Ezen adatok megadása után, számítható a terheletlen kontaktszög illetve a terheletlen kontaktszög helyzetében a Hertz kontaktmerevség. A merevségi mátrix kiszámításához a vizsgált pozíció körül a belső gyűrű térbeli orientációját változtatni kell, így közelíthető az változtatott érték irányába a merevség. A változtatás az alábbi módon definiáltam: I ∆ ∆ 1,ι x0 x I2,ι ∆y0 ∆y ∆z = ∆z0 + (−1)υ I3,ι δ, I4,ι θy0 θy I5,ι θ z0 θz
(3.7)
ahol I az 5x5-ös egységmátrixot jelenti, alsó index pedig a mátrix elemének a sor- és oszlopszáma szerepel. Az merevségi mátrix számítása során először egy értékből vonok ki vagy egy értékhez adok hozzá δ mennyiséget. Az így kapott belső gyűrű orientációra kell kiszámolni minden egyes golyó esetén αi és δi . A nemlineáris egyenletrendszer megoldásához szükséges bemeneti adatként ri,j,(ξ,η,ζ) , a szállító koncentrál erőpár Mg , szállítóerő Fc . Elvégezve minden golyóra ezt a számítást, a golyóról a belsőgyűrűre átadódó kontakt erők iránya, nagysága és helyzete is ismert, így ezen erők összegezhetőek, így kiadódnak a belső gyűrűre ható terhelések az alábbi módon: Fa,ι,υ =
Z X
Fi,j,(x,y,z) ,
(3.8)
ri,k,t,j × Fi,j,(x,y,z) .
(3.9)
j=1
Ma,ι,υ =
Z X j=1
Kiszámítva minden ι és υ értékhez a Fa,ι,υ és Ma,ι,υ vektorokat, meghatározható a merevségi mátrix is az alábbi módon: Sι,1 =
Fa,ι,2,1 − Fa,ι,1,1 , 2δ
(3.10)
Sι,2 =
Fa,ι,2,2 − Fa,ι,1,2 , 2δ
(3.11)
Sι,3 =
Fa,ι,2,3 − Fa,ι,1,3 , 2δ
(3.12)
Sι,4 =
Ma,ι,2,2 − Ma,ι,1,2 , 2δ
(3.13)
Sι,5 =
Ma,ι,2,3 − Ma,ι,1,3 , 2δ
(3.14)
ahol
26
S 1,1 S2,1 S = S3,1 S4,1 S5,1
S1,2 S2,2 S3,2 S4,2 S5,2
S1,3 S2,3 S3,3 S4,3 S5,3
S1,4 S2,4 S3,4 S4,4 S5,4
S1,5 S2,5 . S3,5 S4,5 S5,5
(3.15)
Ezen merevségi mátrix egy adott belső gyűrű helyzethez tartozik, a csapágy nemlinearitásának szemléltetésére az erőkarakterisztikák bővebb vizsgálata szükséges. Mivel a húrmódszerrel való számítás egyfajta linearizálás a vizsgált orientáció körül, emiatt a merevségi mátrix szimmetrikus lesz, amennyiben nincsenek numerikus hibák. A csapágymodellünk általános koordináta vektora: q = [∆x , ∆y , ∆z , θy , θz ]T ,
(3.16)
tehát a merevségi mátrixban található elemek a következő indexeléssel láthatóak el a könnyebb érthetőség kedvéért:
S S∆x∆y S∆x∆z S∆xθy S∆xθz ∆x∆x S∆y∆x S∆y∆y S∆y∆z S∆yθy S∆yθz S = S∆z∆x S∆z∆y S∆z∆z S∆zθy S∆zθz . Sθy∆x Sθy∆y Sθy∆z Sθyθy Sθyθz Sθz∆x Sθz∆y Sθz∆z Sθzθy Sθzθz
(3.17)
27
Bemeneti adatok megadása Szükséges adatok kiszámítása
do
D
di
ro ri
a ,k o
i=1,u=1 Belső gyűrű pozíciójának beolvasása
Dx,Dy,Dz,qy,qz
ri,j j=1
j-edik golyó adatainak kiszámítása
Fc,Mg,ri,j j=j+1
ai,j,di,j igen j
Belső gyűrűre ható erők összegzése
Merevségi mátrix kiszámítása
Z
Fa,i,u=S Fi, j,(x,y,z) j=1 Ma,i,u=S ri,k,t,j Fi,j,(x,y,z) Z
j=1
igen u<2 nem igen i<5 nem Si,1=(Fa,i,2,1-Fa,i,1,1)/2d Si,2=(Fa,i,2,2-Fa,i,1,2)/2d Si,3=(Fa,i,2,3-Fa,i,1,3)/2d Si,4=(Ma,i,2,2-Ma,i,1,2)/2d Si,5=(Ma,i,2,3-Ma,i,1,3)/2d
u=u+1 i=i+1
u=1
3.1. ábra. algoritmus ismertetése
28
3.2. Karakterisztikák szemléltetése
A következő fejezetben az algoritmus által kiszámított legjellegzetesebb karakterisztikákat mutatom be a 3.1 táblázat adatai segítségével: • ∆x -Fx (különböző n-ek esetén) • ∆x -S∆x∆x (különböző n-ek esetén) • ∆x -S∆y∆y (különböző n-ek esetén) • ∆y -Fy (különböző n-nek esetén) • ∆y -S∆y∆y (különböző n-ek esetén) • θy -My (különböző n-nek esetén) • n-S∆x∆x (különböző ∆x -ek esetén) • n-S∆y∆y (különböző ∆x -ek esetén) • n-Sθyθy (különböző ∆x -ek esetén) Jelmagyarázat segítségével reprodukálhatóak a grafikonok, mert ismert a geometria, anyag paraméterek, továbbá a belső gyűrű és a gördülőelemek térbeli orientációja. Jelmagyarázatban mindig az egyik térbeli orientáció értéke üres mező lesz, mert azon paraméter függvényében ábrázolom a függvény értékét. Így a jelmagyarázat mindenhol azonos struktúrájú, amely könnyíti az orientáció értelmezését. Fontos megjegyezni, hogy ezen karakteriszták erősen függnek a geometriától, leginkább a terheletlen kontaktszögtől (αo ). A karakterisztikák csak addig a pontig lesznek megjelenítve, amíg minden gördülőelem terhelt állapotú, mivel a modell ilyen gördülőelem egyenleteit tartalmazza.
29
A 3.2. ábrán látható ∆x -Fx karakterisztika szemlélteti, hogyan függ az axiális erő a belső gyűrű axiális elmozdításától. Talán a legfontosabb görbeként lehet nevezni, mert csapágyak esetén ez a legközkedveltebb előfeszítés. Természetes léteznek radiálisan előfeszíthető csapágyak, de főorsó-csapágyazás esetében nem alkalmazzák. Fordulatszám függvényében minimálisan, de változik az axiális erő nagysága, amely a külső és belső kontakt szögek értékének megváltozása okozza. A három karakterisztika görbe nagyjából megegyező jellegű, így az előfeszítés okozta axiális elmozdulás fordulatszám függvényében könnyen és jól becsülhető ezen karakterisztika ismeretében. A progresszív karakterisztika a Hertz-féle kontakt alkalmazásával hozható összefüggésbe.
3.2. ábra. ∆x -Fx karakterisztika
30
3.3. ábra ∆x -S∆x∆x karakterisztikát szemlélteti, azaz hogyan függ belső gyűrű axiális pozíciójától az axiális merevséget. Ezen karakterisztika segítséget nyújt megfelelő axiális merevség beállításához, amennyiben ∆x -Fx karakterisztika ismert. A különböző fordulatszámokhoz tartozó karakterisztikák egymásra simulását, a kontakt erők és a szállító koncentrál erő arányával magyarázható. Mivel növeljük az előfeszítés nagyságát, így a gördülőelemre ható kontakt erők szintén nőnek, míg a szállító koncentrál erő állandó értékű marad, azaz a szállító koncentrál erők és kontakt erők nagyságának hányadosa zérus értékhez konvergál, ha az előfeszítés nő. Azaz elhanyagolható mértékűvé válik a kontakt erők nagyságához képest.
3.3. ábra. ∆x -S∆x∆x karakterisztika
31
Főorsók mozgásánál az egyik legfontosabb paraméter a járáspontosság. Ezen értéket legjobban a radiális merevség befolyásolja. Ezen merevség könnyen beállítható 3.4. ábrán látható ∆x -S∆y∆y karakterisztika ismeretében. A pontsorozatok 2 × 10−6 [m] nagy mértékben eltérnek egymástól. Ennek oka szintén a szállító koncentrált erő jelenléte, hiszen egyfajta radiális lelazító erőként értelmezhető 1 × 10−6 [m] és 2 × 10−6 [m] intervallumon, míg 1 × 10−6 [m] a kontakt erők módosítása merevíti összességében a csapágyat. Javasolt ezen görbe alkalmazása az axiális előfeszítés meghatározásához.
3.4. ábra. ∆x -S∆y∆y karakterisztika
32
Természetesen a radiális merevség függ a radiális elmozdulás nagyságától is. Ezen függést ábrázolja a ∆y -S∆y∆y karakterisztika. Jellegre a görbék megegyeznek. Fontos kiemelni, hogy a 300 [1/s] fordulatszámnál megfigyelhető, hogy az a kitérítéssel ellentétes irányban található gördülőelem 2, 6 × 10−7 [m] radiális kitérítés esetén lelazul, míg kisebb fordulatszámnál ezen jelenség csak később következik be, ami szintén a szállító koncentrált erő hatása. 300 [1/s] fordulatszámnál jelentősen csökken a radiális merevség radiálisan nem kitérített esetben is, amely hatás már a 3.4. ábra alapján várható volt. Radiális merevség jelentős mértékben nem változik, így a radiális kitérítés és radiális erő karakterisztikája jó közelítéssel lineárisnak vehető.
3.5. ábra. ∆y -S∆y∆y karakterisztika
33
A 3.6. ábrán a θy -My karakterisztika látható. Kis szögelfordulás miatt ez a görbe jó közelítéssel lineárisnak tekinthető. A megengedhető szögelfordulás nagysága kicsi, mert a gyűrűkön lévő deformáció méretei is mikron nagyságrendűek. A 0 [1/s] és 150 [1/s] jelleggörbe meredeksége közel megegyezik, míg 300 [1/s] görbe meredeksége kisebb, amely a szállító koncentrál erő hatásával indokolható.
3.6. ábra. θy -My karakterisztika
34
A következő jelleggörbék szakirodalomban sokszor megjelennek. Megjelenésük oka, a furcsa karakterisztika. Fordulatszám négyzetével arányos a szállító koncentrált erő és erőpár hatásával. Ezen hatás figyelmen kívülhagyása esetén a karakterisztikák egyenesek lennének. 3.7., 3.8., 3.9. ábrákon a karakterisztikák a szállító koncentrált erő és erőpár hatását elhanyagolva vízszintes egyenes pontjai lennének. A karakterisztika kezdete jó közelítéssel vízszintesnek tekinthető, mert azon a szakaszon az előbb említett hatások elhanyagolhatóak lennének. Ezen megállapítást támasztja alá az egyenes szakasz hosszának az előfeszítéstől való függése.
3.7. ábra. n-S∆x∆x karakterisztika
35
3.8. ábra. n-S∆y∆y karakterisztika
36
3.9. ábra. n-Sθyθy karakterisztika
37
4. fejezet Konklúzió A dolgozatban bemutattam egy a szakirodalomban fellelhető ferde hatásvonalú csapágymodellt. Algoritmust készítettem a merevségi mátrix különböző terhelési viszonyokhoz való számításához. Az algoritmusban több szakirodalomban használt elhanyagolást is mellőztem. Mindemellett egy adott csapágy esetére reprodukálható eredményeket közöltem. Vizsgálataim alapján megállapítható, a csapágyak karakterisztikája jelentős mértékben függ a fordulatszámtól és az előfeszítés mértékétől. A dolgozatban bemutatott modell általánosan alkalmazható bármely mély hornyú vagy ferde hatásvonalú csapágy esetén.
38
5. fejezet Összefoglalás A csapágy a gépészeti berendezéseink egyik alap építőeleme. Előfordul minden forgó alkatrészt tartalmazó szerkezetünkben, így bátran állíthatjuk, hogy az egyik leggyakrabban alkalmazott gépelemünk. A gépgyártástudományban legkritikusabb szerepet a megmunkáló központok főorsójánál tölti be [1]. A főorsókban alkalmazott csapágyak jelentősen befolyásolják a megmunkálás pontosságát és a felületi minőségét, ezért számos csapágyazási típust alkalmaznak. Ezek közül a gördülőelemes főorsók dinamikus viselkedése különösen kutatott terület, mivel a gördülőelemek dinamikus kontaktja kihatással van a teljes megmunkáló központ rezgéseire. Dolgozatomban a gördülő csapágy általánosan használt mechanikai modelljét vizsgáltam, hogy képet kapjak a csapágyakban lezajló dinamikus folyamatokról. A dolgozatban egy térbeli modell hoztam létre, amiben a külső és a belső csapágy gyűrű merevnek, míg a gördülő elemek rugalmasnak feltételezettek. A gördülő elemek merevségénél figyelembe vettem a csapágygyűrűk és a gördülőelemek közötti kapcsolatok nemlinearitását. Ehhez a szakirodalomban elterjedt Hertz-féle karakterisztikát vettem figyelembe [5]. Modellemben a gördülőelemek csúszás és lelazulás mentesen gördülnek a külső és a belső csapágygyűrűkön egyaránt. Mivel a dolgozat végső célja a főorsóban elhelyezett csapágyak megismerése, melyekben a gördülőelemek axiálisan előfeszítettek a megfelelő pontosság érdekében, ezért vizsgálataim során figyelembe vettem az előfeszítés hatását is. A megépített modell és a hozzá tartozós algoritmus segítségével kiszámítható a ferde hatásvonalú csapágy merevségi mátrixa különböző előfeszítés és fordulatszám esetére [8].
39
6. fejezet Abstract One of the main elements of the engineering equipment is the bearing. Bearing appears every mechanism that includes revolving element, so it is one of the mostly used machine element. This component is the most critical part at main spindle of machine tools in the science of manufacturing [1]. The bearing of the main spindle greatly influences the quality of the surface and accuracy of the shaping, so several type of bearing systems are used. And, bearing preload is generally used in main spindles to reach suitable accuracy. The dynamical behaviour of the rolling bearings of main spindles is a highly researched area, because machine tool vibrations are influenced by the dynamical contact of the rolling elements. Mostly used mechanical model of the rolling bearing is analysed in this study in order to obtain a picture of occurring dynamical processes in the bearing. A spatial non-linear bearing model is analysed in this study. The inner, the outer bearing rings and the rolling elements are considered as rigid elements. But elastic contacts are taken into account between them by means of the Hertz contact model [5]. The pure rolling of the elements is supposed without slip and clearance in the model. The final aim of this study is the construction of an appropriate mechanical model for the bearings of a main spindle, in which bearing preload is applied. The stiffness matrix of angular bearing can be assigned at several preload and rotational speed by the constructed model and the developed algorithm [8].
40
7. fejezet Irodalomjegyzék Könyv [5] T. A. Harris. Rolling Bearing Analysis, 4th Edition. A Wiley-Interscience Publication, 2000. isbn: 0471354570. [11] Brian Stone. Chatter and Machine Tools. Springer, 2014. isbn: 9783319052359. [12] K. K. Liharjev V. M. Makusin N. N. Malinyin V. I. Feodoszjev Sz. D. Ponomarjov V. L. Bidermann. Szilárdsági számítások a gépészetben, Lemezek, héjak, vastagfalú csövek, érintkezési feszültség, 3. kötet. Műszaki könyvkiadó, 1965. [13] Frank Wardle. Ultra-Precision Bearings. 2015, pp. 1–35. isbn: 9780857092182. doi: 10.1533/9780857092182.1. url: http://linkinghub.elsevier.com/ retrieve/pii/B9780857091628500019. [16] Yuzhong and Cao. Modeling of high-speed machine-tool spindle systems. 2006.
PhD Tézis [14] Wensing. “On the dynamics of ball bearings”. 1998. isbn: 9036512298. doi: 10. 1016/0043-1648(72)90165-2. [15] Y H Wijnant. “Contact Dynamics in the field of Elastohydrodynamic Lubrication”. 1998. isbn: 9036512239.
41
Cikk [1] E. Abele, Y. Altintas, and C. Brecher. “Machine tool spindle units”. In: CIRP Annals - Manufacturing Technology 59 (2010), pp. 781–802. issn: 00078506. doi: 10.1016/j.cirp.2010.05.002. [2] Hongrui Cao, Tomas Holkup, and Yusuf Altintas. “A comparative study on the dynamics of high speed spindles with respect to different preload mechanisms”. In: International Journal of Advanced Manufacturing Technology (2011). issn: 02683768. doi: 10.1007/s00170-011-3356-9. [4] G.D. Hagiu and M.D. Gafitanu. “Dynamic characteristics of high speed angular contact ball bearings”. In: Wear (1997). issn: 00431648. doi: 10.1016/S00431648(97)00076-8. [6] S.P. Harsha, K. Sandeep, and R. Prakash. “Non-linear dynamic behaviors of rolling element bearings due to surface waviness”. In: Journal of Sound and Vibration 272.3-5 (2004), pp. 557–580. issn: 0022460X. doi: 10.1016/S0022460X(03)00384-5. [7] H. Ohta and K. Kobayashi. “Vibrations of Hybrid Ceramic Ball Bearings”. In: Journal of Sound and Vibration 192.2 (1996), pp. 481–493. issn: 0022460X. doi: 10.1006/jsvi.1996.0199. url: http://linkinghub.elsevier.com/ retrieve/pii/S0022460X96901996. [8] Xia Sheng et al. “Calculation of ball bearing speed-varying stiffness”. In: Mechanism and Machine Theory 81 (2014), pp. 166–180. issn: 0094114X. doi: 10.1016/j.mechmachtheory.2014.07.003. url: http://www.sciencedirect. com/science/article/pii/S0094114X14001797. [10] B.J. Stone. “The State of the Art in the Measurement of the Stiffness and Damping of Rolling Element Bearings”. In: CIRP Annals - Manufacturing Technology (1982), pp. 529–538. issn: 00078506. doi: 10.1016/S0007-8506(07)60175-9. [17] Xuening Zhang et al. “A new nonlinear dynamic model of the rotor-bearing system considering preload and varying contact angle of the bearing”. In: Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 22.1-3 (2015), pp. 821– 841. issn: 10075704. doi: 10 . 1016 / j . cnsns . 2014 . 07 . 024. url: http : / / linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S1007570414003578.
42
Katalógus [3] GERMANY. High Precision Ball Bearings. 2014. [9] SKF. Super-precision bearings. 2014.
43
A. függelék Tórusz felület és annak főgörbületei
ri
ro
z Ri
y
a
Ro a
x y A.1. ábra. Tórusz felület paraméterezése. Tórusz felület az alábbi kétparaméteres egyenlettel írható le: ρ sin α r (α, ψ) = (R − ρ cos α) sin ψ . (R − ρ cos α) cos ψ
(A.1)
A görbület számításához az első- és másodrendű Gauss-féle főmennyiségek és a felületi normális kiszámítása szükséges: E = (∂α r (α, ψ))2 = ρ2 ,
(A.2)
F = (∂α r (α, ψ)) (∂ψ r (α, ψ)) = 0,
(A.3)
G = (∂ψ r (α, ψ))2 = (R − ρ cos α)2 ,
(A.4)
44
n = (∂α r (α, ψ)) × (∂ψ r (α, ψ)) ,
(A.5)
− sin α n o = cos α sin ψ , n = |n| cos α cos ψ
(A.6)
L = ∂α,α r (α, ψ) no = ρ,
(A.7)
M = ∂α,ψ r (α, ψ) no = 0,
(A.8)
N = ∂ψ,ψ r (α, ψ) no = cos α (ρ cos α − R) ,
(A.9)
ahol E, F , G az elsőrendű Gauss-féle főmennyiségek, L, M , N , az másodrendű Gaussféle főmennyiségek,n a felületi normális, no pedig a felületi normális egységvektor. A főgörbületek az alábbi két egyenlet megoldásával számíthatóak: ρ11 ρ12 = ρ11 + ρ12 =
LN − M 2 , EG − F 2
GL − 2F M + EN . EG − F 2
(A.10) (A.11)
Kiszámítva az alábbi összefüggések adódnak a főgörbületekre: 1 ρ11 = − , ρ ρ12 =
cos α . R − ρ cos α
(A.12) (A.13)
A főgörbületek reciproka a görbületi sugár: R11 = −ρ, R12 =
R − ρ. cos α
(A.14) (A.15)
45
