V´aclav Bezdˇek
2 N´ahodn´y jev, Pravdˇepodobnost
2. cviˇcen´ı - STATISTIKA N´ahodn´y jev, Pravdˇepodobnost jevu, Podm´ınˇen´a ´ a pravdˇepodobnost, Bayesova vˇeta pravdˇepodbnost, Upln´ 1. V cele pˇredbˇezˇ n´eho zadrˇzen´ı sed´ı vedle sebe 10 podezˇrel´ych, z toho 3 zˇ eny. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e vˇsechny tˇri zˇ eny sed´ı vedle sebe ? [= 0, 0666] 2. Stanovte pravdˇepodobnost jevu, zˇ e z 10 n´ahodnˇe vytaˇzen´ych bridˇzov´ych karet budou alespoˇn 3 esa. (bridˇzov´e karty : 52 karet celkem, z toho 4 esa) [= 0, 0194] 3. Pˇri losov´an´ı sportky je z osud´ı postupnˇe vylosov´ano 6 cˇ´ısel ze 49. Po vylosov´an´ı tˇechto cˇ´ısel je ze zb´yvaj´ıc´ıch cˇ tyˇriceti tˇr´ı cˇ´ısle vylosov´ano dodatkov´e cˇ´ıslo. S´azej´ıc´ı si tipnul 6 cˇ´ısel. Urˇcete pravdˇepodobnost v´yhry : (a) 1. poˇrad´ı - uhodnut´ı vˇsech 6 cˇ´ısel (b) 2. poˇrad´ı - uhodnut´ı 5 cˇ´ısel + dodatkov´e cˇ´ıslo (c) 3. poˇrad´ı - uhodnut´ı 5 cˇ´ısel (d) 4. poˇrad´ı - uhodnut´ı 4 cˇ´ısel (e) 5. poˇrad´ı - uhodnut´ı 3 cˇ´ısel
= 7, 15 ∗ 10−8 = 4, 12 ∗ 10−7 = 1, 84 ∗ 10−5 = 9, 69 ∗ 10−4 = 1, 77 ∗ 10−2
4. V obchodˇe jsou tˇri pokladny na nichˇz dojde k chybˇe v u´ cˇ tov´an´ı s pravdˇepodobnost´ı: 0,1; 0,05 a 0,2 pˇriˇcemˇz z hlediska um´ıstˇen´ı pokladen v obchodˇe jsou pravdˇepodobnosti odbaven´ı pokladnami 0,3; 0,25 a 0,45. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e osoba opouˇstˇej´ıc´ı obchod m´a chybn´y u´ cˇ et ? [= 0, 1325] 5. V obchodˇe jsou tˇri pokladny na nichˇz dojde k chybˇe v u´ cˇ tov´an´ı s pravdˇepodobnost´ı: 0,1; 0,05 a 0,2 pˇriˇcemˇz z hlediska um´ıstˇen´ı pokladen v obchodˇe jsou pravdˇepodobnosti odbaven´ı pokladnami 0,3; 0,25 a 0,45. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e zˇ e jsme byli u druh´e pokladny, m´ame-li chybn´y u´ cˇ et ? [= 0, 0943] 6. V osud´ı jsou 2 b´ıl´e a 3 cˇ ern´e koule. Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost toho, zˇ e : (a) vyt´ahneme 3 koule a budou 2 cˇ ern´e a 1 b´ıl´a ?
[= 0, 6000]
(b) vyt´ahneme bez vracen´ı jako prvn´ı cˇ ernou kouli, pak b´ılou a nakonec cˇ ernou ?
[= 0, 2000]
7. Mezi 15 v´yrobky je 5 zmetk˚u. Vybereme 3 v´yrobky. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e jeden z nich je vadn´y, jestliˇze : (a) vybereme vˇsechny 3 najednou ?
[= 0, 4945]
(b) vyb´ır´ame po jednom bez vracen´ı ?
[= 0, 4945]
8. Mˇejme pˇet vstupenek po 100 Kˇc, tˇri vstupenky po 300 Kˇc a dvˇe vstupenky po 500 Kˇc. Vyberme n´ahodnˇe tˇri vstupenky. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, zˇ e : (a) alespoˇn dvˇe z tˇechto vstupenek maj´ı stejnou hodnotu ?
[= 0, 2500]
(b) vˇsechny tˇri vstupenky stoj´ı dohromady 700 Kˇc ?
[= 0, 2916]
9. Menza UTB zakoupila 12 chladniˇcek z 1. z´avodu, 20 z 2. z´avodu a 18 z 3. z´avodu. Pravdˇepodobnost, zˇ e chladniˇcka je v´yborn´e jakosti, poch´az´ı-li z 1.z´avodu je 0,9, z 2.z´avodu 0,6 a z 3.z´avodu 0,9. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e n´ahodnˇe vybran´a chladniˇcka bude v´yborn´e jakosti ? [= 0, 7800]
1
V´aclav Bezdˇek
2 N´ahodn´y jev, Pravdˇepodobnost
10. Ve spoleˇcnosti je 45% muˇzu˚ a 55% zˇ en. Vysok´ych nad 190 cm je 5% muˇzu˚ a 1% zˇ en. N´ahodnˇe vybran´a osoba je vyˇssˇ´ı neˇz 190 cm. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e je to zˇ ena ? [= 0, 1946] 11. Dva stˇrelci vystˇrel´ı po jedn´e r´anˇe. Pravdˇepodobnosti z´asahu c´ıle jsou po ˇradˇe 0,5 a 0,9. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, zˇ e alespoˇn jeden stˇrelec zas´ahne c´ıl. [= 0, 9500] 12. Jev A znamen´a, zˇ e z 10-ti automobil˚u byly prod´any : (a) alespoˇn 3 (b) alespoˇn 5 (c) zˇ a´ dn´y (d) pr´avˇe 4 (e) aspoˇn 6 a nejv´ysˇe 8 (f) zˇ a´ dn´y nebo alespoˇn 3 Kolik automobil˚u bylo prod´ano, jestliˇze nastal jev A¯ ? 13. Z tabulky n´ahodn´ych cˇ´ısel (cel´ych) je nam´atkou vybr´ano jedno cˇ´ıslo. Jev A znamen´a, zˇ e zvolen´e cˇ´ıslo je dˇeliteln´e pˇeti. Jev B oznaˇcuje, zˇ e zvolen´e cˇ´ıslo je zakonˇcen´e nulou. Co znamenaj´ı jevy : (a) A ∩ B (b) A ∪ B (c) A ∩ B (d) A ∪ B (e) A ∩ B 14. U prodavaˇce los˚u zakoup´ıte los. Jev A bude znamenat, zˇ e vyhrajete ihned na m´ıstˇe, jev B znamen´a, zˇ e vyhrajete pˇri prvn´ım losov´an´ı a jev C pˇri druh´em losov´an´ı. Vyj´adˇrete pomoc´ı jev˚u A,B a C, zˇ e vyhrajete: (a) pouze na m´ıstˇe (b) vˇsechny tˇri v´yhry (c) aspoˇn jednu v´yhru (d) pr´avˇe jednu v´yhru (e) pr´avˇe jednu v´yhru (f) pr´avˇe dvˇe v´yhry (g) maxim´alnˇe dvˇe v´yhry (h) zˇ a´ dnou v´yhru (i) obˇe v´yhry pˇri losov´an´ı 15. M´ame 230 v´yrobk˚u, mezi nimiˇz je 20 nekvalitn´ıch. Vybereme 15 v´yrobk˚u, pˇriˇcemˇz vybran´e v´yrobky nevrac´ıme zpˇet. Jak je pravdˇepodobn´e, zˇ e mezi 15 vybran´ymi bude 10 dobr´ych ? [= 0, 0045] 16. V osud´ı jsou 4 cˇ ern´e a 6 modr´ych koul´ı. N´ahodnˇe vybereme 4. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e : (a) 3 budou modr´e a jedna cˇ ern´a ?
[= 0, 3809]
(b) Alespoˇn 3 vytaˇzen´e koule budou modr´e?
[= 0, 4523]
(c) Mezi vytaˇzen´ymi koulemi je v´ıce cˇ ern´ych ?
[= 0, 1190]
2
V´aclav Bezdˇek
2 N´ahodn´y jev, Pravdˇepodobnost
17. Z celkov´e produkce z´avodu jsou 4% zmetk˚u a z dobr´ych je 75% standardn´ıch. Urˇcete pravdˇepodobnost, zˇ e n´ahodnˇe vybran´y v´yrobek je standardn´ı. [= 0, 7200] 18. Tˇri z´avody vyr´ab´ı zˇ a´ rovky. Prvn´ı 45% celkov´e produkce, druh´y 40% a tˇret´ı 15%. Z produkce prvn´ıho z´avodu je standardn´ıch 70%, druh´eho 80% a tˇret´ıho 81%. Urˇcete pravdˇepodobnost, zˇ e si z´akazn´ık koup´ı standardn´ı zˇ a´ rovku? [= 0, 7565] 19. Souˇca´ stky, ze kter´ych se montuj´ı stroje, dod´avaj´ı tˇri z´avody. Je zn´amo, zˇ e prvn´ı m´a 0,3% zmetk˚u, druh´y 0,2% zmetk˚u a tˇret´ı 0,4%. Pˇritom prvn´ı z´avod dodal 1000, druh´y 2000 a tˇret´ı 2500 souˇca´ stek. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e n´ahodnˇe vybran´a souˇca´ stka bude zmetek ? [= 0, 0031] 20. M´ame 4 krabice. V prvn´ı jsou 3 b´ıl´e a 2 cˇ ern´e koule, ve druh´e jsou 2 b´ıl´e a 2 cˇ ern´e koule, ve tˇret´ı je 1 b´ıl´a a 4 cˇ ern´e koule, ve cˇ tvrt´e 5 b´ıl´ych a 1 cˇ ern´a koule. N´ahodnˇe vybereme jednu krabici a vyt´ahneme 1 kuliˇcku. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e kuliˇcka je b´ıl´a ? [= 0, 5333] 21. V d´ılnˇe pracuje 10 dˇeln´ık˚u, kteˇr´ı vyrob´ı za smˇenu stejn´y poˇcet v´yrobk˚u. Pˇet z nich vyrob´ı 96% standardn´ıch, tˇri z nich 90% standardn´ıch a dva 85% standardn´ıch. Vˇsechny v´yrobky jdou do skladu. N´ahodnˇe jsme vybrali jeden v´yrobek a zjistili, zˇ e je standardn´ı. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e ho vyrobil nˇekdo z prvn´ıch pˇeti dˇeln´ık˚u? [= 0, 5217] 22. Ke kontrole je pˇripravena skupina 200 v´yrobk˚u, z nichˇz jsou 4% vadn´ych. Ostatn´ı maj´ı poˇzadovanou kvalitu. Nam´atkou z nich vybereme 20 kus˚u. Pˇri kontrole zjiˇst’ujeme, zˇ e prvn´ıch 5 z 20 vybran´ych je kvalitn´ıch. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e sˇest´y v´yrobek je t´ezˇ kvalitn´ı? [= 0, 9589] 23. V´yrobek proch´az´ı v pr˚ubˇehu zpracov´an´ı postupnˇe cˇ tyˇrmi operacemi. Pravdˇepodobnost vyroben´ı zmetku je u jednotliv´ych operac´ı postupnˇe rovna 2% 3% 0,5%; 1,5%. Urˇcete pˇribliˇznˇe pravdˇepodobnost toho, zˇ e v´ysledkem v´yrobn´ıho procesu v dan´em pˇr´ıpadˇe bude zmetek. [= 0, 0684] 24. H´az´ıme cˇ tyˇrikr´at hrac´ı kostkou. Jak´a bude pravdˇepodobnost, zˇ e pˇri kaˇzd´em hodu dostaneme jin´y poˇcet oˇcek ? [= 0, 2778] 25. Dva kamar´adi hraj´ı sˇachy. Jev A oznaˇcuje v´ıtˇezstv´ı prvn´ıho, jev B druh´eho. Co oznaˇcuje jev A ∩ B ? 26. Necht’ A, B, C jsou tˇri libovoln´e n´ahodn´e jevy. Zapiˇste n´asleduj´ıc´ı jevy : (a) nastal pouze jev A; (b) nastal pr´avˇe jeden jev; (c) nastaly pr´avˇe dva jevy; (d) nastaly vˇsechny jevy; (e) nastal alespoˇn jeden jev; (f) nastaly v´ıce jak dva jevy. 27. Jev A znamen´a, zˇ e alespoˇn jeden ze tˇr´ı kontrolovan´ych pˇr´ıstroj˚u je zmetek, jev B znamen´a, zˇ e vˇsechny tˇri pˇr´ıstroje jsou kvalitn´ı. Co znamenaj´ı jevy : (a) A ∩ B (b) A ∪ B 28. Necht’ jev A znamen´a, zˇ e n´ahodnˇe zvolen´y v´yrobek je prvn´ı jakosti, B, zˇ e druh´e jakosti a C, zˇ e je zmetek. Co znamenaj´ı jevy : (a) A ∪ C 3
V´aclav Bezdˇek
2 N´ahodn´y jev, Pravdˇepodobnost
(b) (A ∩ C) ∪ B (c) A ∪ B ∪ C 29. Jev A znamen´a, zˇ e alespoˇn jeden ze cˇ tyˇr v´yrobk˚u, kter´e jsou k dispozici, je zmetek. Jev B znamen´a, zˇ e alespoˇn dva v´yrobky jsou zmetky. Co znamenaj´ı jevy : (a) A (b) B 30. Pr˚umyslovˇe vyr´abˇen´y filtr je podroben tˇrem r˚uzn´ym zkouˇsk´am. Jev A spoˇc´ıv´a v tom, zˇ e n´ahodnˇe vybran´y filtr obstoj´ı pˇri prvn´ı zkouˇsce. Jev B v tom, zˇ e obstoj´ı ve druh´e zkouˇsce. Jev C ve tˇret´ı zkouˇsce. Vyj´adˇrete pomoc´ı jev˚u A,B a C zˇ e filtr obstoj´ı : (a) jen v prvn´ı zkouˇsce; (b) v prvn´ı a ve druh´e zkouˇsce, ale neobstoj´ı ve tˇret´ı zkouˇsce; (c) ve vˇsech tˇrech zkouˇsk´ach; (d) alespoˇn v jedn´e zkouˇsce; (e) alespoˇn ve dvou zkouˇsk´ach; (f) pr´avˇe v jedn´e zkouˇsce; (g) pr´avˇe ve dvou zkouˇsk´ach; (h) maxim´alnˇe dvakr´at. 31. Vojenskou kolonu tvoˇr´ı 2 ter´enn´ı vozy UAZ, 3 auta Praga V3S a 4 tatry 138. Jak´a je pravdˇepodobnost, 1 zˇ e pˇri n´ahodn´em seˇrazen´ı kolony pojedou stejn´a vozidla za sebou ? = 210 ˇ 32. M´ame 16 lahv´ı miner´alek : 10 Saratic a 6 ovocn´ych. N´ahodnˇe vybereme 3 lahve. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇ zˇ e jsme vybrali 2 Saratice a 1 ovocnou ? [= 0, 482] 33. Ve tˇr´ıdˇe je 20 chlapc˚u a 12 d´ıvek. Losem jsou urˇceni 2 mluvˇc´ı. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e obˇe pohlav´ 15 ı budou zastoupena ? = 31 34. Na hodiny cviˇcen´ı ze statistiky chod´ı 30 student˚u, z toho 70% je vˇzdy pˇripraveno. Dnes p˚ujde k tabuli 5 student˚u. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e alespoˇn jeden nepˇripraven´y se bude potit u tabule ? [= 0, 85] 35. Mezi 10 v´yrobky vysok´e kvality se omylem zam´ıchalo 5 zmetk˚u. N´ahodnˇe vybereme 3 v´yrobky. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e : (a) vˇsechny budou zmetkov´e ?
[= 0, 022]
(b) Vˇsechny budou dobr´e ?
[= 0, 264]
(c) Pr´avˇe jeden bude zmetek ?
[= 0, 495]
(d) Aspoˇn jeden bude zmetek ?
[= 0, 736]
36. V osud´ı je 200 los˚u, z nichˇz 10 vyhr´av´a. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e z´ısk´ame aspoˇn jednu v´yhru, zakoup´ıme-li : (a) 10 los˚u ?
[= 0, 4085]
(b) 20 los˚u ?
[= 0, 6602]
37. V dod´avce 100 kus˚u kˇriˇst’a´ lov´ych v´az je 5 chybn´ych. Pˇri kontrole se n´ahodnˇe vyberou 4 kusy. Urˇci pravdˇepodobnost toho, zˇ e : 4
V´aclav Bezdˇek
2 N´ahodn´y jev, Pravdˇepodobnost
[= 0, 1765]
(a) jedna vybran´a v´aza je chybn´a ?
[= 0, 188]
(b) Aspoˇn jedna vybran´a je chybn´a ?
38. V obvodu zapojen´em A s´eriovˇe (B paralelnˇe C) (viz. obr´azek) nast´avaj´ı poruchy u jednotliv´ych prvk˚u nez´avisle s pravdˇepodobnostmi 0,03, 0,2, 0,2. Jak´a je pravdˇepodobnost pˇreruˇsen´ı obvodu ? [= 0, 0688]
39. V kancel´aˇri pracuj´ı 3 sekret´aˇrky pˇrich´azej´ıc´ı do pr´ace pozdˇe s pravdˇepodobnostmi 0,1 0,2 0,3. Jak´a je pravdˇepodobnost zˇ e : (a) aspoˇn jedna pˇrijde vˇcas ?
[= 0, 994]
(b) Aspoˇn jedna se opozd´ı ?
[= 0, 0496]
40. V obvodu zapojen´em A paralelnˇe (B s´eriovˇe C) (viz. obr´azek) funguj´ı jednotliv´e prvky s pravdˇepodobnostmi 0,95; 0,9; 0,85. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e zaˇr´ızen´ı funguje ? [= 0, 988]
41. Automat A vyrob´ı za smˇenu dvakr´at v´ıce v´yrobk˚u neˇz automat B. Pravdˇepodobnost vzniku zmetku je u automatu A 0,02; u B 0,05. Po skonˇcen´ı smˇeny se v´yrobky ukl´adaj´ı do jedn´e bedny. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e v´yrobek n´ahodnˇe vybran´y z t´eto bedny nen´ı zmetek ? [= 0, 97] 42. Pˇri vyˇsetˇrov´an´ı pacienta je podezˇren´ı na tˇri navz´ajem se vyluˇcuj´ıc´ı onemocnˇen´ı. Pravdˇepodobnost v´yskytu prvn´ı choroby je 30%; druh´e 50% a tˇret´ı 20%. Laboratorn´ı zkouˇska je pozitivn´ı u 15% nemocn´ych s prvn´ı nemoc´ı, 30% nemocn´ych s druhou a 30% nemocn´ych s tˇret´ı nemoc´ı. Jak´a je pravdˇepodobnost druh´e nemoci, je-li po laboratorn´ım vyˇsetˇren´ı v´ysledek pozitivn´ı? ? [= 0, 588] 43. V d´ılnˇe pracuje 20 dˇeln´ık˚u, kteˇr´ı vyr´abˇej´ı stejn´e souˇca´ stky. Kaˇzd´y z nich vyrob´ı za smˇenu stejn´e mnoˇzstv´ı. Deset z nich vyrob´ı 94% v´yrobk˚u l.tˇr´ıdy, sˇest 90% a cˇ tyˇri 85%. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e n´ahodnˇe vybran´y v´yrobek bude l.tˇr´ıdy. ? [= 0, 915] 44. Ocelov´e odlitky jsou kontrolovan´e rentgenov´ym pˇr´ıstrojem. Ten odhal´ı chybu v odlitku s pravdˇepodobnost´ı 98% a dobr´y odlitek oznaˇc´ı jako vadn´y s pravdˇepodobnost´ı 0,1%. Je zn´amo, zˇ e se chyba vyskytuje ve 3% odlitku. Vypoˇc´ıtejte pravdˇepodobnost toho, zˇ e v´yrobek oznaˇcen´y pˇr´ıstrojem za chybn´y je skuteˇcnˇe vadn´y. [= 0, 747] 45. Na skladˇe je 70% pˇr´ıstroj˚u prvn´ı jakosti a 30% druh´e jakosti. Pravdˇepodobnost, zˇ e pˇr´ıstroj 1. jakosti pracuje bez poruchy je 95% a pˇr´ıstroj 2. jakosti 70%. Organizace koupila jeden pˇr´ıstroj a ten pracoval bez poruchy. Urˇcete, jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e pˇr´ıstroj byl 1. jakosti. [= 0, 76] 46. Tˇri z´avody vyr´ab´ı elektrick´e zˇ a´ rovky. Prvn´ı vyr´ab´ı 45%, druh´y 40% a tˇret´ı 15% z celkov´e produkce. Z produkce prv´eho z´avodu je 70% v´yrobk˚u standardn´ıch, z druh´eho 80% a ze tˇret´ıho 81%. Urˇcete pravdˇepodobnost zakoupen´ı standardn´ı zˇ a´ rovky. [= 0, 7565]
5
