Bojtár Imre. Elektronikusan letölthető előadásvázlat építőmérnök hallgatók számára

Bojtár Imre

MECHANIKA - MSc Elektronikusan letölthető előadásvázlat építőmérnök hallgatók számára. http://www.epito.bme.hu/me/htdocs/oktatas/oktatas.php

Kiadó: BME Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék Budapest, 2010

ISBN 978-963-313-009-4

Bojtár: Mechanika MSc

Előadásvázlat

BEVEZETÉS

Ez az előadásvázlat a BME Építőmérnöki Karán az MSc képzésben oktatott Mechanika-MSc című tantárgy előadásainak anyagát tartalmazza, követve a 14 hetes képzésben elhangzott legfontosabb tudnivalókat. Célja, hogy a hallgatók számára vezérfonalat nyújtson a tárgy alapjainak elsajátításához. Az anyag összeállításánál a szakmai tárgyak igényeit tekintettem a legfontosabbnak. A modern szerkezettervezési eljárásoknak az építőmérnöki gyakorlatban is egyre inkább szükségük van a nemlineáris viselkedés leírására alkalmas numerikus módszerekre, ezek használatához pedig a mechanikai háttér ismerete szükséges. Ebben a jegyzetben a nemlineáris feladatok vizsgálatához szükséges elméleti alapok összefoglalása található. Ismertetem a nagy alakváltozások követéséhez szükséges alakváltozási- és feszültségtenzorokat, bemutatok néhány fontos anyagmodellt, részletesen tárgyalom az alapvető mechanikai egyenletek erős- és gyenge alakját és a kétféle felírási mód közötti kapcsolatot. Az erő- és elmozdulásmódszer alapelveinek bemutatása után a feszültségfüggvények használatán alapuló számítási mód segítségével a pontosan megoldható alapfeladatok családját tárgyalom, majd ezt követően részletesen bemutatom a hajlított gerendák, lemezek és héjak különböző változatainak alapvető egyenleteit. Köszönöm a Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék minden dolgozójának szíves tanácsát és megjegyzését. Külön köszönet illeti dr. Tarnai Tibort, dr. Gáspár Zsoltot, dr. Bagi Katalint, dr. Kovács Flóriánt és Bibó Andrást fontos és hasznos észrevételeikért. Fontos megemlíteni azt is, hogy a rajzokat Vilmos Zoltán építőmérnök hallgató készítette.

Mottó: Wir müssen wissen. Wir werden wissen. /Tudnunk kell, tehát tudni fogunk./

David Hilbert

10.06.20.

2


Előadásvázlat

1. Előadás: Matematikai és mechanikai alapok A jegyzet anyagának megértését segíti, ha az egyes mechanikai tartalmú részek tanulmányozása előtt áttekintjük, hogy milyen matematikai eszköztárra lesz szükségünk. Az előadásvázlat anyagának tanulása előtt nyomatékosan javasoljuk a jegyzet Függelékének tanulmányozását. Fontosságuk miatt külön is felhívjuk a figyelmet három olyan matematikai műveletre illetve tételre, amelyekre az egész anyagban gyakran lesz szükségünk Ezek a következők: alapműveletek tenzorokkal, gradiensképzés, Gauss integráltétele.

Mechanikai alapfogalmak A legfontosabb matematikai alapfogalmakra történt hivatkozás után a nemlineáris mechanikai feladatok vizsgálatához szükséges fogalmak tárgyalását kezdjük el. Mivel általános esetben tetszőleges jellegű mozgások leírását kell majd megoldanunk, ezért a mechanikai alapfeltételek rögzítése után először a mechanikai mozgások követésére alkalmas leírási módokat kell majd megismernünk.

Alapfeltevések Egy mérnöki szerkezet vizsgálatának módját alapvetően befolyásolja anyagának modellezése. A valóságban minden anyag atomok (molekulák) halmazából áll, és szilárdsági tulajdonságait végső soron az dönti el, hogy ezek az elemi részecskék milyen erősen és milyen térbeli rendezettséggel kapcsolódnak egymáshoz. Egy harmadik alapvető tényező a mikroszerkezetben lévő hibák száma és eloszlása. Ez azt jelenti, hogy igazán pontos információink csak akkor lesznek egy anyag mechanikai viselkedéséről, ha a külső hatásokra adott választ az anyag elemi részecskéinek szintjén keressük. Tudásunk – és numerikus lehetőségeink - mai szintjén azonban ezt a módszert nem tudjuk alkalmazni gyakorlati feladatok megoldására. Éppen ezért olyan egyszerűsítést kell alkalmaznunk, ami a lehetőségek szerint megpróbálja legalább közelítőleg figyelembe venni az elemi struktúra jellegzetességeit. Ma a leggyakrabban alkalmazott ilyen közelítés a „kontinuum-modell”, éppen ezért a következőkben mi is ezt fogjuk alkalmazni. Ennek a modellezésnek az a célja, hogy az anyag (szilárd test vagy folyadék) makroszintű viselkedéséről adjon a lehetőségek szerint pontos leírást. A kontinuummechanika legfontosabb alapfeltevése az, hogy a mechanikai vizsgálat tárgyát képező testet (akár szilárd anyag, akár folyadék) kontinuum-számosságú pontok („anyagi részecskék”, „anyagi pontok”) halmaza alkotja. A test minden mechanikai jellemzője (tömeg, fizikai jellemzők, stb.) leírható a kontinuumot alkotó ponthalmaz térben és időben folytonos függvényeivel. A kontinuumnak tekintett test belsejében vagy peremén csak véges számú geometriai vagy szilárdságtani diszkontinuitást (repedés, lyuk, zárvány, stb.) engedünk meg, ezek a kontinuummechanika szokásos eljárásaival még kezelhetők. A kontinuummechanika időbeli változásokat vizsgál. A jellegzetes állapotok definiálásához példaként tekintsünk egy olyan (tetszőleges dimenziójú) testet1, amelyet a t = 0 1

Ez lehet egy valóban szilárd test, de lehet egy adott térfogatú folyadék is.

10.06.20.

3


Előadásvázlat

időpillanatban Ω 0 állapotú belső tartománnyal és Γ 0 peremmel jellemezhetünk (lásd az 1.1. ábrát):

1.1. ábra: Kiindulási és pillanatnyi állapot A test Ω 0 -lal jellemzett (t = 0 időhöz tartozó) helyzetét a továbbiakban kezdeti állapotnak (vagy „kiindulási konfiguráció”-nak) fogjuk nevezni. A mechanikai egyenletek megfogalmazásához feltétlenül szükségünk lesz egy olyan helyzetre is, amihez viszonyítva fel tudjuk írni azokat. Ezt hívják a mechanikában hivatkozási állapotnak (vagy más néven „referencia konfiguráció”-nak). Ebben a jegyzetben – hacsak külön fel nem hívjuk a figyelmet az ettől való eltérésre – az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy a kezdeti (kiindulási) és a hivatkozási (referencia) állapot mindig megegyezik! Egy harmadik rendszert alkothatunk annak feltételezésével, hogy általános esetben a vizsgált anyagi test deformálatlan2 állapota különbözik mind az időbeli folyamatokat jellemző kezdeti, mind az alapegyenletekhez szükséges hivatkozási állapottól. A vizsgálatok egyszerűsítése miatt most ettől a különbségtételtől is eltekintünk, a deformálatlan állapotot szintén azonosnak tekintjük a kezdeti konfigurációval. A test mechanikai állapotának a külső hatások miatt bekövetkező változása az időben lejátszódó folyamat. Egy tetszőleges t időpontbeli állapothoz tartozó helyzetet jellemeztünk a fenti ábrán Ω jellel. Természetesen a hozzá tartozó perem is változott, ezt jelöltük most Γ val. Ezt a helyzetet hívják a mechanikában pillanatnyi állapotnak (egyes szerzők deformált állapotként említik). 2

A deformálatlan állapot létének feltételezése természetesen erős egyszerűsítés, hiszen egy testnek soha nincs ilyen helyzete a valóságban. Ennek ellenére mechanikai modelljeinkben elfogadjuk ezt, mert a vizsgálni kívánt külső hatások okozta változásokat mindig jelentősebbnek gondoljuk az eredetileg is meglévő deformációkhoz képest. 10.06.20.

4


Előadásvázlat

A kezdeti és a pillanatnyi konfigurációhoz tartozó anyagi pontok koordinátáit az ábrán jelképesen X és x koordinátákkal jelöltük. A két állapot közötti változást (magának a testnek az u elmozdulás-függvénnyel leírható időbeli mozgását) az x = Φ ( X ,t ) függvény jellemzi. A továbbiakban ezeknek a változóknak az értelmezésével foglalkozunk.

Euler3- és Lagrange4-koordináták Mechanikai feladatok jellemzésére a kezdeti és pillanatnyi konfigurációkban kétféle koordináta-rendszert használunk. Az egyiket a kezdeti, a másikat a pillanatnyi állapothoz rögzítjük, úgy ahogy az előbbi pontban láttuk. a./ Az X = Xi ei rendszer a továbbiakban az anyagi pont helyzetét jelöli a kezdeti (hivatkozási) állapotban, értéke nem változik az időben. A mechanikában ezt anyagi vagy más néven Lagrange-koordinátáknak nevezik. b./ Az x = xi ei rendszer jelzi az anyagi pont helyzetét a pillanatnyi állapotban. Ennek térbeli vagy más néven Euler-koordináta a neve. A mozgás jellemzésére a két bázis közötti kapcsolatot leíró függvényt kell megadnunk. Erre a célra szolgál az (1.1) x = Φ ( X,t ) összefüggés, amely a test (a test pontjainak) transzformálását végzi a hivatkozási állapotból a pillanatnyi állapotba. A kétféle koordináta-rendszer és a közöttük felírható transzformáció illusztrálására bemutatunk egy egyszerű példát. Legyen egy deformált 3D test metszetének alakja az ábrán látható paralelogramma. A kezdeti alak egy L1 ×L 2 ×1 oldalhosszúságú téglatest volt, ennek 2D metszetét vékony vonallal ábrázoltuk.

1.2. ábra: Koordinátatranszformáció 3

Leonhard Euler (1707 – 1783) svájci származású matematikus, a legnagyobb tudósok egyike. Életéről lásd a tanszéki honlapon levő életrajzot: „Euler és a kihajlás vizsgálata”. 4 Joseph Louis Lagrange (eredeti nevén Giuseppe Lodovico Lagrangia, 1736 - 1813) olasz származású, de élete nagy részében Franciaországban élő kiváló matematikus. 10.06.20.

5


Előadásvázlat

A (síkbeli) változást az időfüggő θ (t ) = ω t szögváltozás okozza, itt ω az ismertnek (és konstansnak) feltételezett szögsebesség, t pedig az idő. Az eredetileg vízszintes szálak az elmozdulás során is vízszintesek és változatlan hosszúságúak maradnak. A harmadik irányban a méret változatlan marad. Határozzuk meg egy X∈ Ω 0 pont időfüggő helyzetét t = π / 4 és ω = 1 esetén. Legyenek a vizsgált pont koordinátái t = 0-nál a következők: [ L1 / 2 L2 / 2 1] . A keresett térbeli (Euler) koordináták: x 1 P = X 1 P + tg θ X 2 P = ( L1 + L 2 ) / 2, x 2 P = X 2 P = L 2 / 2,

(1.2)

x 3 P = X 3 P =1. A mechanikai folyamatok modellezésének különböző lehetőségei A nemlineáris mechanikai jelenségek matematikai leírására alapvetően két különböző lehetőségünk van. Ha egyenleteinkben a független változók az anyagi koordináták és az idő függvényei, akkor anyagi vagy más néven Lagrange-féle leírási módról beszélünk, ha pedig a független változók a térbeli koordináták és az idő, akkor térbeli vagy más néven Euler-féle leírási módot használunk. A kétféle leírási mód elméletileg teljesen egyenértékű, a gyakorlati számításoknál (például a végeselemes modellezésnél) azonban jelentős különbségek adódhatnak a kétféle technika között. Bár éles határt megszabni nem lehet, mert sokféle szempontot kell figyelembe venni a választásnál, de a szilárd testek nemlineáris feladatainál többnyire a Lagrange-, míg áramlástani problémáknál legtöbbször az Euler-féle leírásmódot használják5. Elmozdulás, sebesség és gyorsulás A következőkben megadjuk azokat az alapvető összefüggéseket, amelyek segítségével a testek mozgásának mechanikai jellemzői számíthatók. Elsőként az elmozdulás függvényének számítását mutatjuk be. Az elmozdulásokat az egyes anyagi pontoknál a kétféle bázis koordinátáinak a különbsége fogja megadni (megadjuk indexes alakban is): u = x - X = Φ( X, t ) − Φ( X, 0), u ( X, t )= u i e i , u i =φi ( X j , t ) − X i . (1.3) Az elmozdulások ismeretében a sebesség függvénye is számítható. Anyagi (Lagrange) leírásmód esetén a transzformáló függvény idő szerinti deriválása egyszerűen végrehajtható, mivel a Lagrange-koordináták nem függnek az időtől. Ezt a műveletet az anyagi változók idő szerinti deriválásának, vagy rövidebben anyagi idő szerinti deriválásnak (vagy más néven anyagi deriválásnak) nevezzük. ∂ Φ ( X, t ) ∂u ( X, t ) (1.4) v ( X, t ) = uɺ = = . ∂t ∂t

5

Létezik olyan numerikus technika is, amely mindkettőt egyszerre használja, mi azonban az MSc képzésben ezzel nem foglalkozunk, ez a későbbi PhD-tanfolyamok témája. 10.06.20.

6


Előadásvázlat

A következő mozgásjellemző a gyorsulás függvénye. Ha itt is az anyagi idő szerinti deriváltat használjuk, akkor az eredmény a következő: ∂v( X, t ) ∂2u(X, t ) ɺ a( X, t ) = v = = . (1.5) ∂t ∂t 2 A gyorsulás-függvény számítását megadjuk arra az esetre is, amikor a sebességfüggvényt térbeli koordinátákkal fejezték ki. Ilyen esetben a térbeli koordinátákkal felírt v ( x ,t ) sebességfüggvényt először a Lagrangekoordináták segítségével kell megadni, ehhez pedig az x = Φ ( X ,t ) transzformáló függvényt használjuk. Így az új alak: v ( Φ ( X , t ) , t ) , és most már alkalmazhatjuk az anyagi idő szerinti deriválást, figyelembe véve a láncszabály szerinti deriválást: Dv i ( x , t ) ∂v i ( x , t ) ∂v i ( x , t ) ∂Φ j ( X , t ) ∂v i ∂v i = + = + vj, Dt ∂t ∂x j ∂t ∂t ∂x j

(1.6)

A ∂v i / ∂t tagot hívják térbeli idő szerinti deriváltnak. Tenzor alakban is felírjuk ugyanezt a deriválást: Dv ( x,t ) ∂v ( x,t ) ∂v T = + v ⋅∇v = + v ⋅ ( grad v ) . (1.7) Dt ∂t ∂t Példaként megadjuk a sebességfüggvény (bal) gradiensének tenzorát kétdimenziós esetre részletesen is (háromdimenziós esetre ugyanilyen módon számítható):  vx , x v y , x  T ∇v = ( grad v ) =  (1.8) . vx, y v y , y  Megjegyezzük, hogy ez a számítási módszer általánosítható: ha például egy térbeli koordinátákkal felírt f ( x, t ) skalár, vagy egy (ugyancsak Euler-változókat használó)

σ i j (x , t ) tenzor deriválását kell elvégezni, az anyagi idő szerinti deriváltak a következők lesznek: Df ∂f ∂f ∂f ∂f = + vi = + v ⋅∇f = + v ⋅ grad f , (1.9) Dt ∂t ∂x i ∂t ∂t Dσ i j Dt

=

∂σ i j ∂t

+ vk

∂σ i j ∂x k

=

∂σ ∂σ + v ⋅ ∇σ = + v ⋅ grad σ . ∂t ∂t

(1.10)

Deformációgradiens6-tenzor: A nemlineáris mechanika alakváltozás- és feszültségtenzorainak előállításához szükségünk lesz a Lagrange- és az Euler-koordináták közötti differenciális kapcsolatra. Ezt az összefüggést ∂ Φ ∂x (1.11) = = (∇ 0 Φ )T = grad Φ F= ∂X ∂X alakban szokták megadni, ahol a nabla operátor „nulla” indexe az anyagi koordináták szerinti deriválásra utal7. Az F tenzort deformációgradiens-tenzornak hívják, matematikailag ez a

6

Egyes könyvekben alakváltozás-gradiensnek is nevezik.

10.06.20.

7


Előadásvázlat

8 Φ ( X, t ) mozgásfüggvény Jacobi -mátrixa. Ez a nemlineáris mechanika egyik legfontosabb

tenzora. Megjegyezzük, hogy igen gyakori alkalmazása miatt a továbbiakban sokszor röviden csak „gradiens-tenzor” néven említjük. Ez az elnevezés matematikailag természetesen nem pontos, de eléggé elterjedt. Ha egy hivatkozási állapotot leíró rendszerben a dX hosszúságú elemi vonaldarab új hosszát a pillanatnyi koordináta-rendszerben kívánjuk meghatározni, akkor erre a célra a gradienstenzort használva az alábbi összefüggést kapjuk: (1.12) dx = F ⋅ dX . Fontossága miatt a deformáció-gradiens tenzort részletesen is felírjuk. Derékszögű koordináta-rendszerben elemei a következők:  ∂x ∂x ∂x   ∂X ∂Y ∂Z   ∂y ∂y ∂y  . F= (1.13)  ∂X ∂Y ∂Z   ∂z ∂z ∂z   ∂X ∂Y ∂Z  Ugyanez hengerkoordináta-rendszerben: 1 ∂r ∂r   ∂r  ∂R R ∂Θ ∂Z    ∂β r ∂β ∂β   F = r r . (1.14)  ∂R R ∂Θ ∂Z    1 ∂z ∂z   ∂z  ∂R R ∂Θ ∂Z  A gradiens-tenzor determinánsát J-vel jelöljük a továbbiakban, mechanikai számításokban többnyire Jacobi-determináns néven fogunk rá hivatkozni: J = det(F) . (1.15) Erre a determinánsra például akkor is szükség lesz, amikor a kétféle rendszerben számított (például térfogati, területi) integrálok közötti kapcsolatot kell megteremtenünk: (1.16) ∫ f d Ω = ∫ f J d Ω0 . Ω

Ω0

Megjegyezzük, hogy a Jacobi-determináns anyagi idő szerinti deriváltját is használni fogjuk a mechanikai alapegyenletek átalakításakor. A láncszabályt alkalmazva: DJ & ∂J & (1.17) =J= :F Dt ∂F A determináns gradiens-tenzor szerinti deriválásánál felhasználjuk a Függelék (F.53) alatti ∂J képletét: = J F − T . Ezt behelyettesítve és felhasználva a Függelék (F.24)-es képletét: ∂F

7

Megjegyezzük, hogy ebben az előadásvázlatban a bal gradienst fogjuk használni, de tudnunk kell, hogy a szakirodalom ebben nem egységes. 8 Carl Gustav Jacob Jacobi (1804 – 1851) német matematikus. Elsősorban lineáris algebrával és függvénytannal foglalkozott. 10.06.20.

8


Előadásvázlat

DJ & & J F −T : LF = JF −T FT : L = J I :grad v= = J = J F −T : F= Dt (1.18) ∂  ∂Φ ( X , t )  −1 & −1 = J tr ( grad v ) = J div v , ahol L =   F = FF . ∂t  ∂X  Megjegyezzük, hogy az 1.3 alatti képlet felhasználásával a deformáció-gradiens tenzor számítása kicsit másképpen is felírható: u = x - X ⇒ x = u + X = Φ ( X, t ) (1.19) Ezt figyelembe véve: ∂x (1.20) F= = grad ( X + u ( X, t ) ) = I + grad u = I + H . ∂X Az ebben az egyenletben szereplő H tenzort elmozdulás-gradiens tenzornak szokás nevezni (I az egységtenzort jelenti). A deformáció-gradiens tenzor használatára bemutatunk egy egyszerű kétdimenziós példát. Legyen a kétfajta bázis közötti kapcsolat (a transzformációs függvény) a következő: 3 1 x1 = 4 − 2 X 1 − X 2 , x 2 = 2 + X 1 − X 2 . 2 2 Az Ω 0 tartományt a következő ábrán látható, egységoldalú négyzet jelenti. A vázlaton feltüntettük az Ω tartományt is. A kezdeti konfigurációban egy egységnyi hosszúságú a 0 , a pillanatnyi konfigurációban pedig egy ugyancsak egységnyi hosszúságú b vektort vettünk 1   1 fel: (a0 =  , b = [1 0] ). 2  2

1.3. ábra: Gradiens-tenzor alkalmazása 10.06.20.

9


Előadásvázlat

Határozzuk meg a gradiens-mátrixot és inverzét, valamint a pillanatnyi konfigurációban a, a kezdeti konfigurációban pedig b 0 vektorának értékét. Mátrixjelöléseket fogunk használni. Az (1.13) képlet felhasználásával a következőt kapjuk:  1 2   −2 −1  − 5 5  −1   F= 3 . 1 , F =  −  − 3 − 4  2 2  5 5  Az egyes vektorok:  −2 −1     1/ 2  = 1  −3 , a = 51/ 2 . a = F a0 =  3 1    −  1/ 2  2 1 2 2  1 2  1/ 2  − 5 5  1  1 1  2 −1 b 0 =F b =     = −  , b 0 =  . 5 3  5  − 3 − 4  0  5 5 

Nanson9-képlet A későbbiekben a feszültségtenzorok számításánál lesz szükségünk az anyagi és a pillanatnyi rendszerben vizsgált elemi területhez tartozó normálisok közötti kapcsolat felírására. Ezt az összefüggést hívják Nanson-képletnek: n dA = J n 0 ⋅ F −1 dA0 . (1.21) Bizonyításához rendeljünk vektorokat az elemi tartományokhoz: dA = n dA, dA 0 = n 0 dA 0 . (1.22) Egy elemi térfogat a két különböző bázisban: dV = dA ⋅ dx = J dV0 = J dA 0 ⋅ dX. (1.23) Mivel d x = F ⋅ d X , így

n dA F dX= J n0 dA0 dX.

(1.24)

Innen rendezés után adódik a Nanson-képlet.

A mechanikai mozgás vizsgálatához szükséges feltételek: A mozgások vizsgálatához kapcsolódó legfontosabb alapfogalmak bemutatása után összefoglaljuk a transzformáló függvény lényeges tulajdonságait: - A Φ ( X, t ) függvény minden esetben folytonosan differenciálható kell, hogy legyen, így a függvény egyértelmű kapcsolatot teremt a referencia és a pillanatnyi állapot között (fizikai jelentés: nincsenek szakadások), - A Jacobi-determinánsnak mindig pozitív ( J > 0 ) értékűnek kell lennie (fizikai jelentés: véges térfogat nem tűnik el).

Merevtestszerű forgás és eltolódás 9

Edward John Nanson (1850 – 1936) angol matematikus.

10.06.20.

10


Előadásvázlat

Egy test mozgásának különleges esete az az állapot, amikor a testben a mozgás során semmilyen megnyúlás vagy szögtorzulás nem keletkezik. Ezt a mozgásváltozatot hívjuk merevtestszerű helyváltoztatásnak. A mechanikai modellezésben mindig két hatás kombinációjaként vizsgáljuk, egy merevtestszerű eltolódás és egy hasonló fizikai tartalmú elfordulás összegeként: x(X, t ) = R (t ) ⋅ X + x T (t ) (1.25) ahol az x T vektor a merevtestszerű eltolódást, míg az R (t ) ⋅ X tag a merevtestszerű elfordulást jelzi. Az ortogonális R tenzort RTR=I (1.26) a nagy mozgásokhoz tartozó forgató (vagy rotációs) tenzornak nevezik. A forgató tenzorok segítségével írható le két – egymáshoz képest elforgatott – bázis közötti transzformáció. Például egy tenzor oda-vissza történő transzformálása a következőképpen hajtható végre: ˆ R T , D= ˆ R T DR D=R D (1.27)

Szögsebesség A forgó mozgás hatásának leírásához szükségünk lesz a szögsebesség definiálására is. Ehhez a szögsebességtenzort fogjuk használni, azt pedig az alábbi módon definiáljuk. A merevtestszerű mozgás idő szerinti deriválását felírva: & ( t ) ⋅ X+x& (t ) , (1.28) x& ( X, t ) = R T és ebbe a képletbe behelyettesítve a Lagrange-koordináták helyébe az Euler-változókat, az alábbi egyenlethez jutunk: & ⋅ R T ⋅ ( x − x ) + x& = Ω ⋅ ( x − x ) + x& (1.29) v=x& = R T T T T , ahol Ω a – ferdén szimmetrikus – szögsebességtenzor.

1.1 Példa Egy háromszög három sarokpontjának mozgásegyenletei a következők („a” és „b” ismert állandók):

1.4. ábra: Háromszög elforgatása Az első ábra a t = 0, a második a t = 1 időponthoz tartozó állapotot mutatja. πt πt x1 (t ) = y1 (t ) = 0, x2 (t ) = 2(1 + at ) cos , y2 (t ) = 2(1 + at ) sin , 2 2 10.06.20.

11

Bojtár: Mechanika MSc x3 (t ) = − (1 + bt ) sin

Előadásvázlat

πt

, y3 (t ) = (1 + bt ) cos

πt

; 2 2 Számítsuk ki a deformáció-gradiens tenzort, és vizsgáljuk meg, hogy milyen „a” és „b” mellett lesz pozitív a Jacobi-determináns: Írjuk fel először az elem egy belső pontjának pillanatnyi koordinátáit a háromszög A területkoordinátáinak10 segítségével ( ξi = i ): A

x = x1 (t ) ξ1 + x2 (t ) ξ 2 + x3 (t ) ξ3 , y = y1 (t ) ξ1 + y2 (t ) ξ 2 + y3 (t ) ξ3 . A kezdeti konfigurációnál (t = 0 pillanatban): X = X1 ξ1 + X 2 ξ2 + X 3 ξ3 , Y = Y1 ξ1 + Y2 ξ2 + Y3 ξ3 . Helyettesítsük be ide a deformálatlan konfiguráció koordinátáit: X1 = X 3 = 0, X 2 = 2, Y1 = Y2 = 0, Y3 =1 . A két kifejezésből azt kapjuk, hogy: 1 X = 2ξ 2 , Y = ξ 3 → ξ 2 = X , ξ 3 = Y . 2 Helyettesítsük be ezeket (és a mozgásegyenleteket is) az általános pont koordinátáit meghatározó kifejezésekbe: πt πt x ( X, t ) = X (1 + at ) cos − Y (1 + bt ) sin , 2 2 πt πt y ( X, t ) = X (1 + at ) sin + Y (1 + bt ) cos . 2 2 A deformációgradiens-tenzor mátrixa innen már számítható: πt π t  ∂x ∂x    ∂X ∂Y   (1 + at ) cos 2 −(1 + bt ) sin 2  F = = .  ∂y ∂y   (1 + at ) sin π t (1 + bt ) cos π t   ∂X ∂Y   2 2  A determináns: J = det( F ) = (1 + at )(1 + bt ) . Ha a>0 és b>0, akkor a determináns mindig pozitív. Ha a=b=0, akkor J = 1, ez a deformáció nélküli forgás esete. Ha b = − a /(1 + at ) , akkor J szintén konstans marad (ekkor a mechanikai változást izochor11-nak nevezik).

1.2 Példa Vizsgáljunk meg az origó körül állandó ω szögsebességgel forgó elemet. Határozzuk meg a gyorsulásvektort anyagi és térbeli leírásmóddal, valamint számítsuk ki a deformációgradiens mátrixát!  x  cos ω t − sin ω t   X  x(t ) = R(t ) X ⇒   =    .  y   sin ω t cos ω t   Y   vx   x&   − sin ω t − cos ω t   X  A sebességvektor:   =   = ω   Y . v & y cos t − sin t ω ω y        A gyorsulásvektor anyagi koordinátákkal:

10 11

Lásd például a végeselemes technikában használt lokális koordinátarendszereket. Állandó térfogatú.

10.06.20.

12


Előadásvázlat

 ax   v&x  sin ω t   X  2  − cos ω t  a  =  v&  = ω    .  − sin ω t − cos ω t   Y   y  y Ha a sebességet térbeli koordinátákkal kívánjuk megadni, akkor először az X és Y anyagi koordinátákat ki kell fejeznünk x és y térbeli koordináták segítségével:  vx   − sin ω t − cos ω t   cos ω t sin ωt   x  − y  =ω   . v  = ω       − sin ω t   − sin ω t cos ω t   y   cos ω t  x  y

Az idő szerinti derivált a gyorsuláshoz:  ∂vx / ∂t  Dv ∂v = + v ⋅ ∇v =   +  vx Dt ∂t  ∂v y / ∂t 

= [ 0 0] + vx

 ∂vx / ∂x ∂v y / ∂x  v y   =  ∂vx / ∂y ∂v y / ∂y   0 ω v y    = ω −vy vx  . ω − 0  

Ha a sebességekre előbb kapott összefüggést ide behelyettesítjük, akkor az  ax  2  x  a  = − ω   eredményt kapjuk, ami a centripetális gyorsulás vektora.  y  y A deformáció-gradiens:

F=

∂x cos ω t − sin ω t  = . ∂X  sin ω t cos ω t 

Felhasznált irodalom:

1./ Holzapfel, G. A.: Nonlinear Solid Mechanics, Wiley 2001. 2./ Fung, Y. C.: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994, 2007. 3./ Mang, H. – Hofstetter, G. : Festigkeitslehre, Springer, 2000. 4./ Belytschko, T. – Liu, W.K. – Moran, B. : Nonlinear finite elements for continua and structures, John Wiley, 2000. 5./ Wriggers, P. : Nonlinear Finite Element Methods, Springer, 2008. 6./ Ibrahimbegovic, A. : Nonlinear Solid Mechanics, Springer, 2009.

10.06.20.

13


Előadásvázlat

2. Előadás: Az alakváltozás fogalma, kis és nagy alakváltozások, alakváltozás-tenzorok Az alakváltozás fogalmának definiálása Az alakváltozások a mérnöki munka legfontosabb paraméterei közé tartoznak. Kiemelkedő jelentőségüket elsősorban az okozza, hogy az összes mérnöki változó közül ezeket lehet a legkönnyebben és legpontosabban laboratóriumi mérésekkel ellenőrizni, hiszen nagyságukat a próbatesteken vagy akár valós mérnöki szerkezeten hosszmérések segítségével meg lehet állapítani. Laboratóriumi 1D húzókísérletek segítségével egyszerűen lehet mérni például a próbatest adott irányban történő megnyúlását12. A méretváltozás segítségével definiálható alakváltozást az l 0 eredeti (x irányú) hossz segítségével a következőképpen számítjuk: l (2.1) , l0 ahol l = l0 + ∆l , ∆l pedig a mért x irányú hosszváltozás. A λ x -et az „x” irányú nyúlásnak nevezzük (angol neve „stretch”), és főleg a polimerek, kompozitok és bioanyagok mechanikájában használatos mérőszám olyan esetek vizsgálatánál, amikor a létrejövő nyúlások jelentősek, összevethetők akár a szerkezet eredeti méreteivel is. A λ x

λx =

nyúlásparaméter abszolút értéke mindig egynél nagyobb, dimenziója – lévén egyszerű arány – nincs.

Másféle 1D alakváltozások A klasszikus építő- és gépészmérnöki gyakorlatban az előző pontban használt nyúlás helyett inkább annak eggyel csökkentett értékével szokás dolgozni. Jelölésére szintén görög kisbetűt, az ε -t használják a mérnökök: ∆l ε x = λ x −1 = . (2.2) l Ennek a paraméternek a neve: mérnöki alakváltozás. Olyankor használják, amikor értéke egynél kisebb, a ∆l > l esetben inkább az előbb bemutatott λ x nyúlással dolgoznak a mérnökök. Megjegyezzük, hogy néha szükség lehet az úgynevezett logaritmikus13 (vagy más néven valódi, vagy természetes) alakváltozás használatára is. Ezt az elemien kicsiny szálak 12

Megjegyezzük, hogy nagy alakváltozásoknál a felhasznált és/vagy vizsgált anyagok fizikai természete miatt többnyire valóban csak megnyúlást vizsgálnak, összenyomódást nagyon ritkán, és ezért a mi szóhasználatunk is ehhez alkalmazkodik. 13 Fogalmát Paul Ludwik német gépészmérnök (1838 – 1934) vezette be 1909-ben (lásd: Ludwik, P.: „Elemente der Technologischen Mechanik”, Springer, Berlin, 1909). Később a magyar származású amerikai tudós, Nádai Árpád (1883 – 1963) is sokat foglalkozott alkalmazásának különböző lehetőségeivel, ő nevezte el „természetes” alakváltozásnak (Nadai, A.: „Plastic Behavior of Metals in the Strain-Hardening Range”. Part I. J. Appl. Phys., Vol. 8, pp. 205-213, 1937). A német Heinrich Hencky (1885 – 1951) háromdimenziós változatát is kidolgozta („Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen”. Zeit. Tech. Phys., Vol. 9, pp. 215-220, 1928), ez azonban nem terjedt el a mérnöki gyakorlatban. 10.06.20.

14


Előadásvázlat

hosszváltozására alkalmazott „mérnöki” alakváltozás hossznövekményre vett integrálja segítségével számítják: l dl dl l dex = ⇒ e x = ∫ = ln = ln λ x . (2.3) l l l0 l0 A logaritmikus alakváltozást elsősorban a nagy méretváltozások, illetve az anyagok határteherbíráshoz közeli állapotainak leírására használják. Megjegyezzük, hogy ha az alakváltozások kicsik (a határ körülbelül: ε < 0, 02 ), akkor a mérnöki és a valódi alakváltozás jó közelítéssel egyenlőnek tekinthető14: ε 2x ε 3x l l − l0 (2.4) e x = ln = ln(1 + + −.... , ) = ln(1 + ε x ) = ε x − l0 l0 2 ! 3 ! vagyis ha ε x → 0 , akkor e x → ε x .

2.1 Példa Az egyetlen irányban mért alakváltozások önmagukban sokszor nem elegendőek többdimenziós feladatok helyes modellezésére. Ezt illusztrálja a következő feladat. Az ábrán látható 1∗1 –es méretű, négyzet alakú 2D próbatestet x irányban húzzuk, y irányban nyomjuk, a terhelés hatására létrejött új mérete így: 2 ∗ 0, 5 . A megváltozott alak szintén az ábrán látható. Vizsgáljuk meg az átló x′ tengely irányú alakváltozását különböző típusú 1D alakváltozás paraméterekkel!

2.1. ábra: 2D alakváltozás vizsgálata a./ Mérnöki alakváltozás használatával: ε x′ =

2, 062 − 1 = 0, 4577 ; 1, 414

2 A koordinátatengelyek irányában a mérnöki alakváltozások: ε x = − 1 = 1, 0 , 1 0,5 εy = −1 = − 0,5; Ha ezt a két nyúlást egy 2 x 2-es mátrixba helyezzük és a 1 Függelék (F.45)-ös képletében megadott transzformáció segítségével kiszámítjuk az átló nyúlását ( l x′ x és a többi hasonló paraméter az iránykoszinuszokat jelöli), akkor a következőt kapjuk (most csak egyetlen elem fontos számunkra):

14

Ez tulajdonképpen a természetes alakváltozás függvényének érintő egyenessel való közelítését jelenti. 10.06.20.

15


Előadásvázlat

0 lx′x lx′y  ε x 0  lx′x lxy′  = T l   ⇒ ε y   xy′ l y′y   0 ε y  lx′y l y′y  1 1 ε%x′ = lx2′ x ε x + lx2′ y ε y = 1 + (−0,5) = 0, 25 (eredeti szögekkel számítva), 2 2 ε% x′ ∗ T  ∗ ∗ = T  

ε x 0 

2

2

 2   0,5  εˆx′ =  1+    (−0,5) = 0,91137 (pillanatnyi konfiguráció  2, 062   2, 062  szögeivel számítva). Ezek a transzformációk nem adtak jó eredményt. 2, 062 = 0,377 . 1, 414 A tengelyirányú logaritmikus nyúlások segítségével kiszámított transzformált alakváltozások: 1 1 e%x′ = ln(2) + ln(0,5) = 0 , (eredeti szögekkel), 2 2 b./ Logaritmikus alakváltozás használatával: ex′ = ln

2

2

 2, 0   0,5  eˆx′ =  ln(2) +    ln(0,5) = 0, 61116 (megváltozott szögekkel).  2, 062   2, 062  Ezekkel a transzformációkkal sem kaptunk helyes eredményt. c./ Az eltérések oka az, hogy nagy alakváltozásoknál az eddig bemutatott változók már nem használhatók transzformációra (nem tenzormennyiségek). Ha az eredetileg négyzet alakú tárcsa oldalainak elmozdulása kicsiny lenne, akkor az átló közelítő ε x 0  alakváltozása transzformációval is számítható, az   tenzor jól jellemezné a  0 εy  tárcsa deformációit.

3D alakváltozás-tenzorok Az 1D alakváltozások bevezetésénél a logaritmikus jellemző kivételével véges méretű kezdeti l hosszak változását vizsgáltuk. Két- illetve három dimenzióban ettől eltérően az elemi hosszak ( dx, dX ,... ) megváltozása segítségével definiálják az alakváltozásokat. Kicsiny alakváltozások esetén egyféle, nagy alakváltozások esetén többféle alakváltozás-tenzor használatos. Az alakváltozás-tenzorokkal szemben támasztott legfontosabb követelmény, hogy ha a test csak merevtestszerű eltolódást és/vagy elfordulást végez, akkor az alakváltozás-tenzor valamennyi elemének zérusnak kell lennie! A továbbiakban először a tetszőlegesen nagy alakváltozások esetén használható tenzorokat mutatjuk be.

Green-Lagrange-féle15 alakváltozás-tenzor (E) A nagy alakváltozások vizsgálatára numerikus számításokban talán leggyakrabban használt tenzor egy elemi hosszúságú anyagi vektor ( dX ) hossznégyzetének megváltozását méri. 15

Egyes – főleg francia – munkákban néha Green-Saint Venant-féle tenzorként is említik. Adhémar Jean Claude Barre de Saint-Venant (1797 – 1886) kiváló francia tudós volt, ő foglalta össze először a szilárdságtan különböző tételeit összefüggő rendszerré. 10.06.20.

16


Előadásvázlat

Legyen definíció szerint E az a tenzor, amely bármely dX-re megadja a hossznégyzet változását a következő módon: ds 2 − dS 2 = 2 dX ⋅ E ⋅ dX . (2.5) A képletben dS az eredeti, ds pedig a pillanatnyi állapotban számított hosszat jelenti. Meghatározása a gradiens-tenzor segítségével történik (a (2.6/a képletben a negyedik és ötödik tagot mátrix alakban írtuk fel): ds 2 = dx ⋅ dx = (F ⋅ dX) ⋅ (F ⋅ dX) = (F d X)T (F d X) = d XT FT F d X = dX ⋅ (FT ⋅ F) ⋅ dX , (2.6/a) dS 2 = dX ⋅ dX = dX ⋅ I ⋅ dX → dX ⋅ (FT ⋅ F - I) ⋅ dX= 2dX ⋅ E ⋅ dX , így az alakváltozás-tenzor definíciója: 1 E = (FT ⋅ F - I) . 2

(2.6/b) (2.7)

A Green-Lagrange-tenzor mindig szimmetrikus. A fentiekben elmondott transzformációk megértését segíti a következő ábra vázlata:

2.2. ábra: Transzformáció az anyagi rendszerből a pillanatnyi állapotba

A Green-Lagrange-tenzor számítása közvetlenül az elmozdulásokból Az u eltolódásfüggvény segítségével kapott összefüggések a nagy alakváltozásokra érvényes geometriai egyenleteket szolgáltatják. A gradiens-tenzor és az elmozdulásfüggvény közötti összefüggést felhasználva E és u kapcsolata (a második felírási módnál felhasználjuk az első fejezet 1.20-as képletében megadott elmozdulás-gradiens tenzort): 1 1 E = (∇0u)T + ∇ 0u + ∇0u ⋅ (∇0u)T = H + HT + HT ⋅ H . (2.8/a) 2 2 Gyakorlásul megadjuk a tenzor számításának indexes felírási módját is:

(

10.06.20.

)

(

)

17


Előadásvázlat

∂u j ∂u k ∂u k  1  ∂u i  . E i j =  + + (2.8/b) 2 ∂  X j ∂X i ∂X i ∂X j  A másodrendű tenzor hat darab független skalár eleme a definíció figyelembevételével: 2 2 2 2 2 2 ∂u 1  ∂u   ∂v   ∂w   ∂v 1  ∂u   ∂v   ∂w   E11 = +  +  (2.9)  +  +   , E22 =  +  +  , ∂X 2  ∂X   ∂X   ∂X   ∂Y 2  ∂Y   ∂Y   ∂Y   2 2 2 ∂w 1  ∂u   ∂v   ∂w   1  ∂u ∂ v ∂ u ∂ u ∂ v ∂ v ∂ w ∂ w  E33 = +  + + + +  +  +   , E12 =  , ∂Z 2  ∂Z   ∂Z   ∂Z   2  ∂Y ∂ X ∂ X ∂ Y ∂ X ∂ Y ∂ X ∂ Y  1  ∂ u ∂w ∂ u ∂ u ∂ v ∂ v ∂ w ∂ w  1  ∂v ∂w ∂u ∂ u ∂ v ∂ v ∂ w ∂ w  E13 =  + + + + + + + +  , E23 =  . 2  ∂Z ∂X ∂X ∂Z ∂X ∂Z ∂X ∂Z  2  ∂Z ∂ Y ∂ Y ∂ Z ∂ Y ∂Z ∂ Y ∂Z 

A Green-Lagrange-tenzor teljesíti az alakváltozás-tenzorokra a bevezetőben előírt feltételt, hiszen elemei zérussá válnak az x = R ⋅ X + xT (2.10) merevtestszerű mozgás esetén. Mivel ilyenkor F = R , az alakváltozás tenzor zérus lesz: 1 1 E = ( R T ⋅ R - I ) = (I - I ) = 0 . (2.11) 2 2 Megjegyezzük, hogy egydimenziós esetben a Green-Lagrange-tenzor E11 eleme kifejezhető az 1D elemhosszakkal, illetve a korábban már bemutatott egydimenziós alakváltozás jellemzőivel: l 2 − l02 1 1 E11 = = ε x (1+ ε x ) = (λx2 −1). (2.12) 2 2 l0 2 2

Az Almansi16-Hamel17-féle alakváltozási tenzor Ha az elemi szál hossznégyzetének változását a pillanatnyi (euleri) rendszer segítségével fejezzük ki, akkor a Green-Lagrange-tenzor „párjaként” az Almansi-Hamel-féle alakváltozás-tenzort definiáljuk (Euler-Almansi-féle alakváltozás-tenzornak is nevezik): 1 ds 2 − dS 2 = 2dx ⋅ e ⋅ dx → e =  I - F −T ⋅ F −1  . 2 (2.13) Látható, hogy itt is a gradiens-tenzort használjuk alapvető változóként, csak most az inverzére van szükségünk. Az elmozdulások segítségével felírható geometriai egyenletek: 1 T T e = ( ∇u ) + ∇u - ( ∇u ) ⋅ ( ∇u )  . (2.14)  2 Ez a tenzor is szimmetrikus. Egydimenziós állapotban az Almansi-Hamel-tenzor eleme is kifejezhető a klasszikus 1D jellemzőkkel:

16

Emilio Almansi (1869 – 1948) olasz matematikus és mechanikus, elsősorban a nemlineáris rugalmasságtan különböző feladataival foglalkozott. 17 Georg Karl Wilhelm Hamel (1877 – 1954) német matematikus és mechanikus, főleg az elméleti mechanika és az áramlástan különböző kérdéseinek vizsgálatáról ismert. 10.06.20.

18


Előadásvázlat 1

ε x (1 + ε x ) 1 l −l 2 e11 = = = (1 − λx−2 ) . 2 2 2 2l (1 + ε x ) 2 2

2 0

(2.15)

Ennek az „inverz” transzformációval előállított tenzornak a megértéséhez nyújt segítséget a következő ábra:

2.3. ábra: Transzformáció a pillanatnyi bázisból az anyagi rendszerbe

2.2. Példa Egy a − b − h méretekkel rendelkező tárcsát ( h〈〈 ( a és b) ) az alábbi mozgásegyenletekkel deformálunk ( e 0 adott paraméter):

e0 e Y , y = Y + 0X , z = Z ; b a a e b e0 ab ab 0 X= x − y , Y = − x+ y , Z=z ; 2 2 2 a b − e0 a b − e0 a b − e0 a b − e02

x = X + Az inverz alak:

Határozzuk meg a Green-Lagrange- és az Almansi-Hamel-féle alakváltozástenzor zérustól különböző elemeit!

10.06.20.

19


Előadásvázlat

2.4. ábra: Deformációs tenzor elemeinek számítása A három, egymásra merőleges irányú eltolódás: e e u = x − X = 0 Y , v = y −Y = 0 X , w = z − Z = 0; b a A zérustól különböző alakváltozás-komponensek a két tenzor esetén: 2

2

e e 1e  1e  Green-Lagrange: E11 =  0  , E 22 =  0  , E12 = 0 + 0 ; 2 a  2 b  2b 2a e02 e02 1  e02 (e02 + b 2 )  1  e02 (e02 + a 2 )  − ; e = − −   22  , ab − e02 2  (ab − e02 ) 2  ab − e02 2  (ab − e02 ) 2  e0 (a + b) e03 (a + b) e12 = + ; ab − e02 (ab − e02 ) 2

Almansi-Hamel: e11 = −

További alakváltozás-tenzorok Az eddig említett – és az építőmérnöki nemlineáris feladatoknál is gyakran használt – alakváltozás-tenzorok mellett másféle változatokat is alkalmaznak a mechanikában. Ilyen például az úgynevezett jobb Cauchy18-Green-féle alakváltozás-tenzor: (2.16) C = FT ⋅ F . Az elnevezés onnan származik, hogy a képletben itt az F tenzor a szorzat jobb oldalán szerepel. Az „alakváltozás-tenzor” helyett találóbb elnevezés a „deformációs” (vagy „nyúlási”) tenzor név, hiszen a tenzor elemei többnyire egynél nagyobb számok. Egyes művekben szokás jobb Cauchy-tenzorként, vagy Green-tenzorként is említeni. C inverzét Piola19-féle alakváltozási tenzornak hívják és B-vel jelölik: B=C −1 = (FT F)

−1

= F−1F −T

(2.17)

Megjegyezzük, hogy C használatával is felírható az E Green-Lagrange-féle alakváltozástenzor: 1 E = ( C- I ) . (2.18) 2 Az E és C tenzorok közös neve a mechanikában: anyagi alakváltozás-tenzorok. Egy másik változat a bal Cauchy-Green-féle (vagy Finger20-féle) alakváltozás-tenzor21: b = F ⋅ FT . (2.19) 18

Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) világhírű francia matematikus, a mechanika nagyon sokat köszönhet tudományos eredményeinek. Az ő életéről is olvasható életrajz („Cauchy és az egyensúlyi egyenletek”) a tanszéki honlapon. 19 Gabrio Piola (1794 – 1850) olasz fizikus. Elsősorban szilárdságtani kutatásairól ismert. 20 Josef Finger (1841 – 1925) kiváló osztrák matematikus. 21 Megjegyezzük, hogy egyes szerzők b helyett B-vel jelölik, ez sajnos gyakran okoz zavart a Piolatenzorral való összecserélhetősége miatt. 10.06.20.

20


Előadásvázlat

A képletben az F tenzor a szorzat bal oldalán szerepel. Itt is pontosabb név a „deformációs” tenzor. A b tenzor használatával az e Almansi-Hamel-tenzor az alábbi formát ölti: 1 e = I -b−1 . (2.20) 2 Az e és b közös neve: térbeli alakváltozás-tenzorok. Megjegyezzük, hogy az itt bemutatott változatokat elsősorban a polimerek mechanikájában és a biomechanikában alkalmazzák.

(

)

Kis alakváltozások Kis alakváltozások esetén az alakváltozások másodrendű tenzorát ε -nal jelölik. Ez a tenzor az eddigiekből a legegyszerűbben a Green-Lagrange-tenzor másodrendű elemeinek elhanyagolásával állítható elő. Mivel kis alakváltozások esetén a Lagrange-koordináták megegyeznek az Euler-koordinátákkal, az egyszerűség kedvéért ebben az esetben nagy X helyett általában kis x szimbólumot használunk. A tenzor főátlóbeli elemei a fajlagos mérnöki nyúlásokat, az alsó- és felső háromszög elemei pedig a mérnöki szögtorzulásokat jelölik. A 2.21 alatti egyenletnél a második mátrixban minden egyes elemet a hozzá rendelhető geometriai egyenlettel adtunk meg (összevetve ezeket a korábban hasonló módon bemutatott Green-Lagrange-tenzor elemeivel, azonnal észrevehető a másodrendű hatások elhanyagolása):  ∂u 1  ∂u ∂v  1  ∂u ∂w   1 1     +   +  γxy γ xz  ∂ ∂ ∂ x 2 y x 2  εx  ∂z ∂x      2 2    ∂v 1 1 1  ∂v ∂u  1  ∂v ∂w    (2.21/a) ε = γ yx εy γ yz  =   +   +  . 2   2  ∂x ∂y  2 2  ∂z ∂y   ∂y     1 γ zx 1 γ zy ∂w ε z   1  ∂w + ∂u  1  ∂w + ∂v   2  2   2  ∂x ∂z  2  ∂y ∂z   ∂z    Ugyanez az összefüggés az elmozdulások (illetve az elmozdulás-gradiens tenzor) segítségével tömörebb alakban: 1 1 ε = (∇u)T + ∇u = H + HT . (2.21/b) 2 2 Megjegyezzük, hogy az építőmérnöki feladatok nagy részében a kis alakváltozások megfelelő közelítést jelentenek, ezért ezt a tenzort sokszor használjuk különféle mechanikai számításokban. Néhány (részben emlékeztető jellegű) megjegyzés:

(

10.06.20.

)

(

)

-

A tenzor egyes elemeinek mechanikai jelentésével már a BSc Szilárdságtanban foglalkoztunk (lásd a [ 4] alatt említett tankönyv vonatkozó részeit).

-

Az ε tenzor komponenseit gyakran másféleképpen jelölik. A szakirodalomban szokásos, és egyes fejezetekben általunk is használt egyéb felírási módok:  ε xx ε x y ε x z   ε 11 ε 12 ε 13      ε = ε y x ε y ε y z  = ε 21 ε 22 ε 23  . ε z x ε z y ε z   ε 31 ε 32 ε 33      A különböző jelölési módok egymás közötti cseréjekor a szögtorzulásoknál mindig ügyelnünk kell az ½-es szorzó figyelembevételére, a Voigt-féle kinematikus szabály (lásd a Függeléket) pontosan ennek betartására születetett.

21


Előadásvázlat

2.3. Példa Vizsgáljunk meg néhány elemi mechanikai változást és számítsunk ki néhány alapvető alakváltozás-tenzort. a./ Tiszta nyúlás: x = λ 1 X , y = λ 2 Y , z = λ 3 Z , ahol λ i a tengelyirányú nyúlásokat jelenti. Számítsuk ki a jellemző alakváltozási tenzorokat! A feladathoz tartozó gradiens-tenzor:  λ1 0 0  F =  0 λ2 0  .  0 0 λ3  A Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor és az Almansi-Hamel-féle alakváltozástenzor: 1 2  1  −2 0 0 0 0  2 ( λ1 − 1)   2 (1 − λ1 )      1 2 1 −2    . ,e = E= 0 0 0 0 ( λ2 − 1) (1 − λ2 )     2 2     1 1 2 −2     0 0 1 − λ 0 0 − 1 λ ( ) ( 3 )  3   2 2 b./ Tiszta nyírás egy egységnyi oldalélű kockán (lásd a 2.5. ábrát): x = X + k Y , y =Y , z = Z .

2.5. ábra: Tiszta nyírás vizsgálata A deformáció-gradiens tenzor: 1 k  F= 0 1   0 0

tenzor, a jobb Cauchy-tenzor és az Almansi-Hamel-féle 0 k 1   0 , C = k 1+ k 2   1  0  0

1 + k 2 0  0 , b =  k   0 1  

k 0  1 0 . 0 1 

2.4. Példa 10.06.20.

22


Előadásvázlat

Vizsgáljuk meg, hogy a 2.1 példában szereplő, négyzet alakú tárcsánál hogyan használható fel a Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor az átló alakváltozásának számítására! Legyenek a mozgásegyenletek az alábbi alakúak: x = X (1 + t ) , y = Y (1 − t / 2) . Vizsgáljuk a pillanatnyi konfigurációt a t = 1 pillanatban. A gradiens tenzor most 2 ∗ 2 -es méretű lesz: 2 0  F= . 0 0,5 Az alakváltozás-tenzor: 0  1  4 0  1 0  1,5 = E =   − .    2  0 0,25 0 1   0 − 0,375 Ellenőrizzük, mit ad eredményül E használata a két koordináta-tengely, illetve az átló irányában, ha a hossznégyzetek különbségeit számoljuk (mindig az eredeti bázisban adott vektor-koordinátákkal dolgozunk!): 0  1 1,5 x irány: 2 2 −12 = 3 ⇔ 2 [1 0]     =3 ;  0 − 0,375 0

0  0 1,5 y irány: 0,5 2 −12 = − 0,75 ⇔ 2 [0 1]     = − 0,75 ;  0 − 0,375 1 ) x irány (átló): 2 0  1 1,5 (2 2 + 0,5 2 ) − 2 = 2,25 ⇔ 2 [1 1]     = 2,25 ;  0 − 0,375 1 A tenzor mindhárom esetben pontosan követi a változásokat.

( )

Vizsgáljuk meg most, hogy a főátló irányába transzformált tenzor használata milyen eredményt ad (itt is fontos megjegyzés, hogy a szögeknél mindig az eredeti konfigurációt kell használni, hiszen a Green-Lagrange-tenzor ehhez az állapothoz kapcsolt!!). Csak az 1,1 indexű elemet számoljuk ki, mert a többi elemre most nincsen szükség.  2  2  1,5 2  2,25 0  22 ∗  2 − 2  2 = 4 ;    2 2   0 − 0,375 − 2 2   ∗ ∗  2  2  2 2  Az „x’ „ irányt most bázisiránynak tekintjük, és ennek megfelelően írjuk fel a dX vektort: 2,25 ∗  2  4 4,25 − 2 = 2,25 ⇔ 2 2 0     = 2,25 ; ∗  0   ∗

[

]

Alakváltozás-sebesség tenzor (D) Az alakváltozások megváltozásának jellemzésére használják. Számításához először az L betűvel jelölt másodrendű sebességgradiens-tenzort kell meghatározni: ∂v T L= = ( ∇v ) = grad v, dv = L ⋅ dx , (2.22) ∂x 10.06.20.

23


Előadásvázlat

vagy ugyanez indexes jelöléssel:

Li j =

∂v i ∂x j

, dv i = L i j dx j .

(2.23)

A sebesség gradiens tenzor szimmetrikus és ferdén szimmetrikus részre osztható: 1 1 1 1 L = (L + LT ) + (L − LT ) , L i j = ( L i j + L j i ) + ( L i j − L j i ) . 2 2 2 2 Az alakváltozás-sebesség tenzor az L tenzor szimmetrikus része: 1 1  ∂v i ∂v j  D = (L + LT ) , D i j =  +  . 2 2 ∂  x j ∂x i  A ferdén szimmetrikus tag neve spin22 tenzor: 1 1  ∂v i ∂v j  W = (L - LT ) , W i j =  − . ∂x  2 2 ∂  x j

(2.24)

(2.25)

(2.26)

i

Az alakváltozás-sebesség tenzor egy elemi anyagi szakasz hossznégyzetének változási sebességét méri23: ∂ ∂ (ds 2 ) = (dx( X, t ) ⋅ dx( X, t )) = (2.27) ∂t ∂t ∂v = 2dx ⋅ dv = 2dx ⋅ ⋅ dx = 2dx ⋅ L ⋅ dx = dx ⋅ L + LT + L- LT ⋅ dx = dx ⋅ L + LT ⋅ dx = ∂x = 2 dx ⋅ D ⋅ d x . Merevtestszerű mozgás esetén természetesen: D = 0, W = Ω .

(

Az alakváltozás-sebesség növekményének kapcsolata

tenzor

)

és

a

(

)

Green-Lagrange-tenzor

A tenzor eredeti definícióját felhasználva: ∂v ∂v ∂X L= = ⋅ . ∂x ∂X ∂x Ezt a képletet átalakíthatjuk, mivel: ∂  ∂Φ ( X , t )  ∂v F& =  , = ∂t  ∂ X  ∂X és így végül: L = F& ⋅ F −1 . Az alakváltozás-sebesség tenzor a sebesség-gradiens tenzor szimmetrikus része, behelyettesíthetjük ezt a képletet, hogy megkapjuk a D és F közötti kapcsolatot: 1 1 D = L + LT = F& ⋅ F −1 + F −T ⋅ F& T . 2 2 A Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor idő szerinti deriváltja pedig: & = 1 D F T ⋅ F - I = 1 F T ⋅ F& + F& T ⋅ F . E 2 Dt 2 Ugyanez az alak kapható D jobbról-balról történő beszorzásával:

(

) (

(

22 23

) (

)

)

(2.28)

(2.29) (2.30) így ide (2.31)

(2.32)

Impulzus-momentum. A levezetésnél felhasználtuk, hogy L − LT = 2W és dx ⋅ W ⋅ dx = 0 .

10.06.20.

24


Előadásvázlat

FT ⋅ D ⋅ F =

(

)

1 T & &T F ⋅F + F ⋅F . 2

(2.33)

Így végül: & = F T ⋅ D ⋅ F , Eɺ = F T D F . E ij ki kl l j

(2.34)

−T −1 D = F −T ⋅ Eɺ ⋅ F − 1 , D i j = Fi k Eɺ k l Fl j .

(2.35)

az inverz forma pedig:

2.5.Példa Számítsuk ki E és D tenzorát egy kombinált nyújtás-elforgatás hatására! A mozgásegyenletek („a” és „b” ismert konstansok, mindkettő pozitív szám): πt πt x( X,t ) = (1 + at ) X cos − (1 + bt )Y sin , 2 2 πt πt y ( X,t ) = (1 + at ) X sin + (1 + bt )Y cos . 2 2 Egyszerűsítsük a jelöléseket, majd vizsgáljuk meg a t=0 és a t=1 időpillanatokat: πt πt A(t ) = A =1 + at , B(t ) = B =1 + bt , c = cos , s = sin ; 2 2 A deformáció-gradiens tenzor:  ∂x ∂x   ∂X ∂Y   Ac − B s  F= = .  ∂y ∂y   A s B c   ∂X ∂Y  A Green-Lagrange-tenzor:  0 1   Ac As   Ac − Bs  1 0  1 2at + a 2t 2 1 T − E= F ⋅F-I =   =  .     2  − Bs Bc   As Bc  0 1   2  2 0 2bt + b2t 2 

(

)

A t = 0 pillanatban E = 0, t=1-nél pedig: a + a 2 / 2 0  E=  . b + b2 / 2  0 A deformáció-sebesség tenzor számításához először határozzuk meg a sebességeket, mint anyagi idő szerinti deriváltakat: π π π π       vx =  ac − As  X −  bs + Bc  Y , v y = ( as + Ac ) X +  bc − Bs  Y . 2 2 2 2       A t =0 pillanatban x=X, y=Y, c=1, s=0, A = B = 1 és így D értéke: π  a − 2 a 0 π  0 −1 T , W=  . L = ( ∇v ) =   → D=   0 b 2  1 0   π  b  2  A t = 1 pillanathoz használjuk a deformáció-gradiens tenzort:

10.06.20.

25


Előadásvázlat

π π   ac − As − b s − Bc 1  Bc Bs  &  2 2  −1 F = , F= , AB  − As Ac   a s + π Ac b c − π Bs    2 2 1  Bac 2 + Abs 2 cs( Ba − Ab)  π 0 −1 . L = F& ⋅ F −1 = =  + AB  cs( Ba − Ab) Bas 2 + Abc 2  2 1 0  A két mátrixból az első (szimmetrikus) tag lesz a deformáció-sebesség tenzor, míg a második (ferdén szimmetrikus) mátrix az úgynevezett spin tenzor. A keresett pillanatban D értéke: 0   a + ab 1 D= .  b + ab  1 + a + b + ab  0

2.6. Példa Egy rögzített pont körül Θ szöggel elforgatunk egy kétdimenziós testet. Vizsgáljuk meg, mi történik, ha meghatározzuk meg a kicsiny (lineáris) alakváltozások értékét az anyagi koordináta-rendszer segítségével és elemezzük a számítás hibájának értékét! A mozgás egyenlete:

 x  cos Θ − sin Θ  X  x= R⋅X→  =    ,  y   sin Θ cos Θ   Y 

ux  cos Θ − 1 − sin Θ   X  u  =   Y  . sin Θ cos Θ − 1 y     

Az alakváltozások jelen esetben: ∂u ∂u 1  ∂u ∂u ε x = x = cos Θ − 1, ε y = y = cos Θ −1 , γ x y =  x + y ∂X ∂Y 2  ∂Y ∂X

 =0 .  Ha Θ értéke nagy, akkor ennél a modellnél a nyúlások zérustól jelentősen különbözők lesznek annak ellenére, hogy most csak merevtestszerű elfordulást végez a test24! Numerikus számításoknál egyébként gyakori kérdés, mekkora lehet maximum az elfordulás, hogy a mérnöknek még ne kelljen áttérnie nemlineáris analízisre (nagy alakváltozásokra)? Vizsgáljuk ε x − et Taylor-sorba fejtve: Θ2 Θ2 + O (Θ 4 ) − 1 ≈ − . 2 2 A hiba az elfordulások négyzetével arányos. Ha pl. 10−2 nagyságrendű alakváltozásokkal dolgozunk és 1%-os a hibahatárunk (ez gyakori mérnöki alaphelyzet), akkor az elfordulásoknak szintén max. 10−2 rendűeknek kell lenniük.

ε x = cos Θ −1 =1 −

2.7. Példa 24

Természetesen a nagy alakváltozások Green-Lagrange-tenzora zérus

(

)

(például: E 11 = cos Θ−1 + 0, 5 (cos Θ−1) + sin 2 Θ = 0, stb.). 10.06.20.

2

26


Előadásvázlat

Egy 2D tárcsaelem az ábrán látható változás-sorozaton megy keresztül. Határozzuk meg D értékét az egységnyi időlépcsőkkel eltérő különböző fázisokban! a./ Az első fázisból a másodikba (nyírás):

1 at  & 0 a  −1 1 −at  F=  , F = 0 0  , F = 0 1  ; x ( X, t ) = X + atY , y ( X, t ) = Y 0 ≤ t ≤ 1 . 0 1     

2.6. ábra: Összetett alakváltozási folyamat vizsgálata

0 a  1 0 a L = F& ⋅ F -1 =  →D=  .  2  a 0  0 0  Számítsuk ki most a Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzort is: 1 1  0 at  E = ( FT ⋅ F - I ) =  . 2 2  at a 2t 2  Ennek időbeli változása: a  & = 1 0 E .  2 a 2a 2t  Megjegyzendő, hogy E& nem zérus, jóllehet D értéke nulla. 22

22

b./ Második fázisból a harmadikba: x ( X, t ) = X + aY , y ( X, t ) = (1 + bt )Y , 1 ≤ t ≤ 2 , t = t − 1 .

Határozzuk meg itt is D mellett a Green-Lagrange-féle tenzort és változását. a  & 0 0 −1 1 1 1 + bt −a  F= , F= ,F =    0 , 0 1 + bt 0 b 1 1 + bt      

1 0 0  1 0 0 , D= . 1 + bt 0 b  1 + bt 0 b  a 0  & 1 0  1 1 0 E= ( FT ⋅ F-I ) =  , E=  .  2 2 2  a a + bt (bt + 2)  2 0 2b(bt + 1) 

L =F& ⋅ F −1 =

c./ Harmadik fázisból a negyedikbe:

10.06.20.

27


Előadásvázlat

x ( X, t ) = X + a (1 − t )Y , y ( X, t ) = (1 + b)Y , 2 ≤ t ≤ 3 , t = t − 2 . 1 a(1 − t )  & 0 −a  −1 1 1 + b a(t − 1)  1 0 − a  , F= ,F = , L= , F=     1  1 + b 0 0  1+ b  0 0 1 + b  0 0  1  0 −a  D= , 2(1 + b)  −a 0 

0 a  & 1 0  1 0 , E=  E=   2 2  a a + bt (bt + 2)  2 0 2b(bt + 1)  d./ Negyedik fázisból az ötödikbe: x ( X, t ) = X , y ( X, t ) = (1 + b − bt )Y , 3 ≤ t ≤ 4 , t = t − 3 . 0  & 0 0  −1 1 1 + b − bt 0 0 0  1 1 F= , F= ,F = , L=     1 1 + b − bt  0 1 + b − bt 0 −b  0 1 + b − bt  0 −b 

D=L . A Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor az ötödik konfigurációban zérus lesz, mivel itt ( t = 4 − nél ) F = I . Érdekes kiszámítani a deformáció-sebesség tenzor idő szerinti integrálját a teljes sorozatot figyelembe véve: 4 0  0  1  0 a  0 1  0 −a  0 ∫0 D( t ) dt = 2  a 0  + 0 ln(1 + b)  + 2(1 + b)  −a 0  + 0 − ln(1 + b)  =

ab 0 1  . 2(1 + b) 1 0 Az integrál zérustól különböző, pedig az ötödik fázis az eredeti állapottal megegyező, vagyis D nem pontos jellemzője a teljes deformációnak. =

Az F gradienstenzor szorzat alakú (poláris) felbontása Nagy alakváltozásokkal járó egyes folyamatokban – különösen akkor, ha jelentős forgási hatások is vannak – sokszor célszerű a gradiens tenzort szorzat alakban felbontani. Ezt a következőképpen hajtják végre: (2.36) F = R ⋅U , ahol R -1 = RT és U = UT . (2.37) Amikor az euleri bázisban óhajtjuk kiszámítani egy vonaldarab hosszát, akkor ezzel a felbontással az alábbi módon adhatjuk meg egy elemi szakasz hosszát: (2.38) dx = R ⋅ U ⋅ dX , ahol a szimmetrikus U a nyúlási alakváltozásokat jellemzi (megjegyezzük, hogy az U – I másodrendű tenzort Biot25-féle alakváltozási tenzornak nevezik), R pedig a merevtestszerű elfordulásokat jellemzi. A két vonalelem, dx és dX kapcsolatának leírásához a pillanatnyi és

25

Maurice Anthony Biot (1905 – 1985) belga-amerikai fizikus. A pórusokkal lazított, de egyébként rugalmas (poroelasztikus) anyagokban lezajló folyamatok modellezésének kiváló kutatója volt, továbbá viszkoelasztikus anyagokkal és irreverzibilis termodinamikával is sokat foglalkozott. Magyarul is megjelent Kármán Tódorral együtt írt kiváló könyve: Matematikai módszerek, Műszaki Könyvkiadó, 1967. 10.06.20.

28


Előadásvázlat

referencia konfigurációkban nem szükséges a merevtestszerű eltolódás ismerete (ha csak ilyen hatásunk lenne, akkor F=I és dx=dX). A szorzat alakú felbontás egyes komponenseinek számítása (mátrix jelöléseket is felhasználva):

F ⋅ F = ( RU ) T

T

(R U) = U R T

T

1 2

R U = U U = UU → U = ( F ⋅ F ) , R = F ⋅ U-1 . T

T

(2.39) Megjegyezzük, hogy U segítségével például a jobb Cauchy-Green-, vagy a Green-Lagrangeféle tenzorok is egyszerűen megadhatók: 1 C = U 2 , E = (U 2 − I)) . (2.40) 2

2.8. Példa A poláris felbontásra mutatunk példát. Vizsgáljuk meg az előző előadás 1.1-es feladatában már látott háromszögelemet, ahol az egyes csomópontok mozgásai a következő függvényekkel írhatók le: x1 (t ) = a + 2 at , y1 (t ) = 2 at , x2 (t ) = 2 at , y2 (t ) = 2 a − 2 at , x3 (t ) = 3at , y3 (t ) = 0 . Számítsuk ki U és R elemeit a t=1 és a t=0,5 pillanatban! Használjuk fel ismét a ξi területkoordinátákat:

x (ξ , t ) = x1 (t ) ξ1 + x2 (t )ξ 2 + x3 (t )ξ3, y (ξ , t ) = y1 (t )ξ1 + y2 (t )ξ2 + y3 (t )ξ3 . A t = 0 pillanatban ezek megegyeznek a Lagrange-koordinátákkal: x (ξ , t ) = X = X 1ξ1 + X 2ξ2 + X 3ξ3 = aξ1 , y (ξ , t ) = Y = Y1ξ1 + Y2ξ 2 + Y3ξ3 =2aξ 2 . A t = 1 időpillanatban: X Y  Y  x ( X,1) = 3aξ1 + 2aξ 2 + 3aξ 3 = 3 X + Y + 3a  1 − −  = 3a − a 2a  2  y ( X,1) = 2aξ1 + 0ξ2 + 0ξ3 = 2 X .

Innen a deformáció-gradiens tenzor: 1

1 0  2 2 0   0 −0,5 4 T 2 F= → U = (F ⋅ F) =   =  0 0,5 . Az R rotációs tenzor: 0  2  0 0, 25   0 − 0,5 0,5 0 0 − 1      R = F ⋅ U −1 =  = .    0   0 2 1 0  2

Vizsgáljuk meg most a t = 0,5 pillanatot: X Y X Y x ( X, t ) = 2aξ1 + aξ 2 + 1,5aξ3 = 2a + a + 1,5a(1 − − ) = 1,5a + 0,5 X − 0, 25Y , a 2a a 2a X Y y ( X, 0,5 ) = aξ1 + aξ 2 + 0ξ3 = a + a = X + 0,5 Y . a 2a A deformáció –gradiens tenzor: 1  0, 5 −0, 25  1, 25 0,375  T 2 F= → U = F ⋅ F = ( )   0,5   1 0,375 0,3125

10.06.20.

1

2

1, 0932 0, 2343 = . 0, 2343 0,5076 

29


Előadásvázlat

Megjegyezzük, hogy egy mátrix négyzetgyökének kiszámításához az alábbi lépések szükségesek: a./ Határozzuk meg az F T ⋅ F mátrix sajátértékeit és sajátvektorait. b./ A λ i sajátértékeknek vegyük a négyzetgyökét s helyezzük el őket egy %= λ , λ . diagonál mátrixba: H 1

2

c./ A sajátvektorokat oszloponként helyezzük el egy A mátrixba. % ⋅ AT . d./ A nyúlási tenzor ezek segítségével: U = A ⋅ H

Ennél a feladatnál:

0   −0,9436 0,3310  % 1,1754 A = , H= .  0, 42539  −0,3310 −0,9436  0 Végül a szintén meghatározandó rotációs mátrix: −1 0,5 −0, 25 1,0932 0, 2343 0,6247 −0, 7809  −1 R = FU =  =    . 0,5  0, 2343 0,5076   1  0, 7809 0, 6247 

2.9. Példa:  c − as ac − s  Legyen egy mechanikai feladatnál a gradiens-tenzor mátrixa adott: F =  ,  s + ac as + c  ahol c = cos Θ , s = sin Θ és a konstans. Határozzuk meg a nyúlási és rotációs tenzort, ha a= 0,5 és Θ = π

2

.

−0,5 −1  1, 25 1  . Legyen most C = FT ⋅ F =  Az adott értékekkel: F =   . 0,5  1  1 1, 25 1 A C mátrix sajátértékei és sajátvektorai: λ1 = 0, 25 , y1T = [1 −1] , λ 2 = 2, 25 , 2 0,5 0  1 y T2 = [1 1] . Innen: H% =   . A nyúlási tenzor értéke: 2  0 1,5 % ⋅ AT = 1  1 1 0,5 0  U = A⋅H    2  −1 1  0 1,5  −0,5 A rotációs mátrix: R = F ⋅ U −1 =   1

1 1 −1 1 2 1   =  . 2 1 1  2 1 2  −1  2  2 −1 0 −1 = . 0,5 3  −1 2  1 0 

Felhasznált irodalom: 1./ Holzapfel, G. A.: Nonlinear Solid Mechanics, Wiley 2001. 2./ Fung, Y.: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994. 3./ Thomas, G. B. – Weir, M. D. – Hass, J. – Giordano, F. R. : Thomas-féle kalkulus I-III. Typotex, 2006. 4./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000. 10.06.20.

30


Előadásvázlat

5./ Belytschko, T. – Liu, W.K. – Moran, B. : Nonlinear finite elements for continua and structures, John Wiley, 2000.

3. Előadás: Az alakváltozások főértékei, az alakváltozások felbontása fizikai tartalmuk alapján. A kis alakváltozásokhoz kapcsolódó alapvető tételek Főnyúlások, fajlagos főalakváltozások: A test minden egyes pontjában található három olyan (egymásra merőleges) tengely, amely tengelyekhez nem tartoznak nyírási alakváltozások. Ezeket a tengelyeket alakváltozási főirányoknak, a velük megegyező irányú nyúlásokat pedig deformációs tenzorok esetében főnyúlásoknak, alakváltozás tenzoroknál pedig fajlagos főalakváltozásnak nevezzük26. Vizsgáljunk meg például egy-egy vonalelemet a kezdeti és a pillanatnyi bázisban, jelölje ezek irányvektorát n 0 és n . Legyen t 0 és t ezekre merőleges, de egyébként tetszőleges irányú vektor. A két eredeti irányvektor akkor esik egybe a főirányokkal, ha (most E tenzort használva példaként): n 0 ⋅ E ⋅ n 0 ≠ 0 és n 0 ⋅ E ⋅ t 0 = 0 , (3.1) illetve n ⋅ e ⋅ n ≠ 0 és n ⋅ e ⋅ t = 0 . Az alakváltozás-tenzorokra felírt egyenletekből következik, hogy E és C, valamint e és b −1 főirányai megegyeznek. Ha például a deformációs tenzorokat a főtengelyek irányába vetítjük, akkor ugyanazt az értéket kell kapnunk, mintha a főnyúlások négyzetét szoroznánk az adott normálvektorral: n 0 ⋅ C = λ02n 0 és n ⋅ b −1 = λ −2n . (3.2) Innen kapjuk a főnyúlások meghatározására szolgáló sajátérték-feladatokat: (3.3) ( C - λ02 I ) ⋅ n0 = 0 és ( b - λ 2I ) ⋅ n = 0. A sajátérték-feladatokhoz tartozó karakterisztikus egyenletek általános alakja: −λˆ 3 + I1λˆ 2 − I 2λˆ + I 3 = 0 ,

(3.4)

ahol az Ii együtthatók a feladat invariánsai. Például a deformációs tenzorok esetében: 1 1 2 2 I1 = tr C vagy I1 = tr b , I 2 = ( tr C ) − tr C2  vagy I 2 = ( tr b ) − tr b 2  ,     2 2 I 3 = det(C) vagy I 3 = det(b) . (3.5) Ugyanezek az invariánsok természetesen a sajátértékek segítségével is számíthatók. Például a Green-Lagrange-tenzor főértékeivel27: I1 = 3 + 2 ( E1 + E2 + E3 ) , I 2 = 3 + 4 ( E1 + E2 + E3 ) + 4 ( E1 E2 + E2 E3 + E3 E1 ) , (3.6) I 3 = (1 + 2 E1 )(1 + 2 E2 )(1 + 2 E3 ) .

26

A mérnöki gyakorlatban az egyszerűség kedvéért gyakran mindkét esetben ugyanazt a „főnyúlás” elnevezést használják. 27 Az átalakításnál a C = I + 2E kapcsolati összefüggést vettük figyelembe. 10.06.20.

31


Előadásvázlat

A 3.4 alatti karakterisztikus egyenletben szereplő " λˆ " jelölés arra utal, hogy az egyenlet általános alakú, alkalmas bármelyik sajátérték számítására. Megjegyezzük, hogy ha a (3.4)-es egyenlettel nem a deformációs tenzorok, hanem valamelyik alakváltozás-tenzor főértékeit kívánjuk meghatározni, akkor nem a főnyúlások négyzeteit, hanem a fajlagos főalakváltozásokat kapjuk eredményként. A 3.2 alatti sajátérték-feladatok karakterisztikus egyenleteinek megoldásából adódik a 3-3 darab főnyúlás (vagy fajlagos főalakváltozás), majd ezek segítségével a 3-3 darab főirány vektor. Megjegyezzük, hogy a főnyúlások segítségével a Green-Lagrange- és az AlmansiHamel-féle tenzorok főértékei (fajlagos főalakváltozásai) is számíthatók ( λ i a b tenzor, λ 0 i pedig a C tenzor sajátértékeinek négyzetgyökét jelöli): 1 1 Ei = λ 20 i −1 és ei = 1− λ −i 2 . (3.7) 2 2

(

)

(

)

A főértékek és főirány vektorok felhasználásával felépíthetők az alakváltozás tenzorok is (emlékezzünk a Függelékben a spektrál-felbontásról leírtakra): 2 C = λ012 n 01 ⊗ n01 + λ02 n02 ⊗ n02 + λ032 n03 ⊗ n03 , b = λ12 n1 ⊗ n1 + λ22 n 2 ⊗ n 2 + λ32 n3 ⊗ n3 , (3.8)

E = E1 n01 ⊗ n01 + E2 n02 ⊗ n02 + E3 n03 ⊗ n0 3 , e = e1 n1 ⊗ n1 + e2 n2 ⊗ n2 + e3 n3 ⊗ n3 . Abban az esetben, ha az alakváltozások kicsik, a „főalakváltozások” elnevezés helyett elfogadottabb a „főnyúlás” név használata. Az ε tenzor sajátértékei ebben az esetben ezeket a főnyúlásokat jelentik, értéküket pedig (elsősorban más mechanikai számításokhoz való kapcsolódásuk miatt) szokás matematikai nagyságuk szerinti sorrendbe rendezni: ε1 ≥ ε 2 ≥ ε3 (3.9)

3.1 Példa Határozzuk meg a második előadás 2.3/b példájában szereplő nyírási feladatnál a deformációs tenzorokhoz tartozó főnyúlásokat és a főirányokat! A gradiens-tenzort, valamint a C és b tenzorokat már a 2.3-as példában kiszámítottuk: 1 + k 2 k 0  k 0 1 k 0  1   F = 0 1 0 , C = k 1 + k 2 0 , b =  k 1 0 .      0  0 0 1   0 0 1  0 1   A sajátérték-feladatokhoz tartozó determinánsok a C és b tenzor esetében: 1 − λ 02 k 0 1 + k 2 − λ2 k 0 2 2 2 k 1 + k − λ0 0 = 0, k 1− λ 0 =0 . 0

0

1 − λ 02

0

0

1 − λ2

A karakterisztikus egyenlet felírásából azonnal észrevehető, hogy a két sajátértékfeladat ugyanazokat a sajátértékeket szolgáltatja, mivel az invariánsok értéke megegyezik: I 0,1 = I1 = 3 + k 2 , I 0,2 = I 2 = 3 + k 2 , I 0,3 = I 3 = 1 . Ennek figyelembevételével: 2 λ 0,i = λi2 . A főnyúlások (most már csak egyféle módon jelölve őket):

10.06.20.

32


Előadásvázlat

1 1 2 λ1,2 = 1 + k 2 ± k 1 + k 2 , λ3 = 1 . 2 4 A főirányok már különbözőek lesznek. A sajátértékfeladat felhasználásával adódó koordináták a kezdeti és a pillanatnyi állapotban: 1 1  e1 +  k ± 1 + k 2  e 2 4  2 n = , n =e , 0,(1,2)

1 1 2 + k 2 ± k 1+ k 2 2 4

0,(3)

3

 1 1  e1 +  − k ± 1 + k 2  e 2 4   2 n(1,2) = , n(3) = e3 . 1 1 2 + k 2 m k 1+ k 2 2 4 Az eltérés nagyságrendjének érzékeltetésére k=0,5-nél megadjuk a behelyettesítés után kapott numerikus értékeket: λ1 = 1, 28 , λ 2 = 0, 781 ,

n0,(1) = 0, 615e1 + 0, 788e 2 , n0,(2) = 0, 788e1 − 0, 615e 2 , n(1) = 0, 788e1 + 0, 615e2 , n(2) = 0, 615e1 − 0, 788e 2 .

3.2 Példa Egy egységnyi oldalú kocka pontjai az x tengellyel párhuzamosan tolódnak el: u = k y e1 . Határozzuk meg az ε és E tenzorokat, a lineáris rotációs tenzort, a „z” tengely körül 45 fokkal elforgatott rendszerben számított E tenzort, valamint a lineáris alakváltozás-tenzor főértékeit és főirányait!

3.4. ábra: Nyírási hatások a./ A kis alakváltozások tenzorai:  0  0 0 0  k   ∇ 0u = k e 2 ⊗ e1 =  k 0 0  → ε =  2  0 0 0  0  

10.06.20.

k 2

0 0

  0  0   −k  0 , R=   2   0 0   

k 2

0 0

 0  0 .  0  

33


Előadásvázlat

b./ A Green-Lagrange-féle alakváltozás tenzor (a (∇ 0 u) ⋅ (∇ 0 u)T taggal kell bővíteni): k    0 2 0 k k 2  E= 0 . 2 2   0 0 0     Az elforgatáshoz szükséges vektorok az új bázisban: 1 e1 = [1 1 0]T , e2 = 1 [− 1 1 0]T , e3 = [0 0 1]T . 2 2 Az elforgatás elemenként:  0 k 0 1  2 1 1 1  [1 1 0] k k 2 0 1 = k + k , E11 = e1 ⋅ E ⋅ e1 = 2 2 4 2 2 0 0 0 0 E 2 2 = e 2 ⋅ E ⋅ e2 = −

k k2 k2 + , E1 2 = e1 ⋅ E ⋅ e 2 = , stb. 2 4 4

c./ A lineáris alakváltozás-tenzorhoz tartozó sajátérték-feladat determinánsa: k 0 −ε 2 k k2 −ε 0 = 0 → − ε (−ε 2 + ) = 0 . 2 4 0 0 −ε Innen:

ε1 =

k k , ε3 = − , ε 2 = 0 . 2 2

A főirányok: 1 1 n0 1 = [1 1 0] , n0 3 = 2 2

[ −1

1 0] , n 0 2 = [ 0 0 1] .

Alakváltozás-tenzorok felbontása fizikai hatások alapján A Függelékben a matematikai összefoglalónál már említettük, hogy minden másodrendű tenzor felbontható két speciális tenzor összegére: (3.10) A = α I + dev A, 1 ahol α = tr A . Az első tag neve: gömbi tenzor, a másodiké deviátor tenzor. 3 Alakváltozás-tenzorokra alkalmazva a fentieket: E = E g + Ed , ε = ε g + ε d , D = D g + Dd , stb. (3.11) A gömbi tag a test adott pontjában létrejövő bázisirányú átlagos nyúlásokat, a deviátoros rész pedig a pontban létrejövő nyírási alakváltozásokat (szögtorzulásokat) jellemzi. A gömbi tagot mechanikai tartalma alapján hidrosztatikus alakváltozás tenzornak is nevezik. 10.06.20.

34


Előadásvázlat

Fontos tudnunk, hogy egyes esetekben (pl. rugalmasan összenyomhatatlan vagy képlékeny anyagoknál) az alakváltozás-tenzorok ilyen típusú felbontása nem alkalmas különleges állapotok (pl. az izochor – magyarul térfogatállandó – mozgás) leírására (a változást leíró növekmény tenzoroké ( E& , D ) azonban igen!), ezért ilyenkor szorzatalakú felbontást használnak28. Például (itt J a gradiens-tenzor determinánsa):

F = Fg ⋅ Fd , ahol Fg = J

Alakváltozás-tenzorok közelítések esetén

és

1

3

I , Fd = J

geometriai

−1

3

F.

(3.12)

egyenletek

különböző

típusú

a./ Nagy alakváltozások (most csak a Lagrange-leírásmódot használjuk a továbbiakban): 1 E = (∇0u)T + ∇0u + ∇0u ⋅ (∇0u)T . (3.13) 2

(

)

b./ Kis elmozdulások és kis alakváltozások: Szokásos feltétel a „kicsi” jelzőre az alakváltozásoknál és elmozdulásoknál: E = (E : E ) 2 ≤ 0,01 , R = (R : R ) 2 ≤ 0,01 , ∇ 0 u << 1 . 1

1

(3.14)

Ilyenkor ∇ 0 ≅ ∇ , a Lagrange- és az Euler-féle leírásmód jó közelítéssel megegyezik ( x ≅ X ). A szimmetrikus (kis- vagy más néven linearizált mechanikai állapothoz tartozó) alakváltozási tenzor (egyúttal a geometriai egyenlet) és az ugyanehhez az állapothoz rendelt ferdén szimmetrikus rotációs tenzor29 : 1 1 T T E ∗ ≅ e ∗ ≅ ε = (∇u ) + ∇u , R = (∇u ) − ∇u . 2 2 (3.15) Kapcsolat más tenzorokkal ebben az esetben (H az (1.20)-as képletből): (3.16) F = I + H = I +ε + R , U ≅I +ε . A nagy alakváltozások forgatási tenzora és a kis alakváltozású rotációs tenzor közötti kapcsolat: R nagy = F ⋅ U -1 ≅ (I + ε + R)(I - ε ) → R nagy ≅ I + R (3.17)

[

]

[

]

Az ε tenzor elemeit (illetve a geometriai egyenleteket) most újból felírjuk:  ∂u 1  ∂u ∂v  1  ∂u ∂w  1 1   +   +   ε  γxy γxz  x ∂ x 2 ∂ y ∂ x 2 ∂ z ∂ x        2 2   1  ∂v ∂u  ∂v 1  ∂v ∂w    1 1  +   =  γ y x ε =   +  εy γyz . ∂y 2  ∂z ∂y    2 2   2  ∂x ∂y  1 1     1  ∂w ∂u  1 ∂w ∂v  ∂w γ γ εz   2 z x 2 z y   2  ∂x + ∂z  2  ∂y + ∂z   ∂z      

(3.18)

28

Ezt a fajta felbontást John P. Flory amerikai kutató javasolta („Thermodynamic relations for high elastic materials”, Transactions of the Faraday Society, Vol. 57, pp. 829-838, 1961). 29 Emlékeztetőül megjegyezzük, hogy a lineáris rotációs tenzor antimetrikus, de nem szükségszerűen ortogonális. 10.06.20.

35


Előadásvázlat

c./ Kis alakváltozások, tetszőleges elmozdulások Az a.) és b.) pontban említett változatok határeseteket jelentenek, a kettő között azonban más gyakorlati változatok is előfordulhatnak. Ha például az alakváltozások kicsik, de az eltolódások és elfordulások tetszőlegesek, az alakváltozás tenzorra és így a geometriai egyenletekre különböző típusú közelítések adhatók. Például kiindulva a „pontos” GreenLagrange-tenzorból, írjuk fel azt a következőképpen (lásd még az (1.20)-as képletet): 1 1 E = ε + HT H= ε + (ε − R )⋅(ε + R ) , (3.19) 2 2 ahol R a „b” pontban felírt lineáris rotációs tenzor. Figyelembe véve az ε ⋅ ε << ε feltételt, az új tenzorra egy lehetséges approximáció: 1 ~ E ≅ ε + [ε ⋅ R - R ⋅ ε - R ⋅ R ] . (3.20) 2 Megjegyezzük, hogy építőmérnöki feladatoknál főleg a különböző rúd- és kábelszerkezetek vizsgálatakor fordul elő gyakran ennek a modellnek a használata, de ide sorolható például egy tengely irányban viszonylag merev, elfordulási hatásokkal szemben azonban csekély ellenállással rendelkező rúdszerű test (például egy horgászbot) vizsgálata. d./ Kis alakváltozások, viszonylag nem nagy ( 0, 01 ≤ R ≤ 0, 02 ) elfordulások: Ennél a közelítési változatnál az ε ⋅ R tag elhanyagolásával élnek: ⌢ 1 E ≅ ε - R⋅R. 2

(3.21)

e./ Kis elfordulások, tetszőleges deformáció: Az R ⋅ R tagot most elhanyagoljuk (mivel R ⋅ R << ε ): ( 1 E ≅ ε + (ε ⋅ ε + ε ⋅ R - R ⋅ ε ). 2

(3.22)

Kompatibilitási egyenletek kis alakváltozásoknál A geometriai egyenletekből az elmozduláskomponensek kiküszöbölésével jutunk a kompatibilitási egyenletekhez30: T ∇ × (∇ × ε ) = 0 . (3.23) 31 Indexes jelölési móddal : ε i j, k l + ε k l,i j − ε i k , j l − ε j l, i k = 0 . (3.24) Skalár változókkal:

30

Megjegyezzük, hogy ezeket az egyenleteket először a nagy francia tudós, Saint Venant fogalmazta meg 1860-ban. 31 Az indexes számítási mód alapján adódó 81 egyenletből az alakváltozás-tenzor szimmetriája miatt redukálódik az egyenletek száma összesen az itt bemutatott hatra. 10.06.20.

36


Előadásvázlat

∂2γ x y

2 2 2 2 ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ x z ∂ 2ε x ∂ 2ε z ∂ γ y z ∂ ε y ∂ 2ε z (3.25) = + = + 2 , = + , . ∂x ∂y ∂y 2 ∂x ∂z ∂z 2 ∂y ∂z ∂z 2 ∂x 2 ∂x ∂y 2 ∂ 2ε x ∂  ∂γ y z ∂γ z x ∂γ x y  ∂ 2ε z ∂  ∂γ z x ∂γ x y ∂γ y z  + − =2 + − =2 , , ∂z  ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂x  ∂y ∂z ∂x  ∂y ∂z ∂ 2ε y ∂  ∂γ x y ∂γ y z ∂γ z x  + − =2 . ∂y  ∂z ∂x ∂y  ∂z ∂x Ezek az egyenletek azt fejezik ki, hogy az alakváltozások függvényei között szigorú matematikai kapcsolat létezik. Ha például egy háromdimenziós testnél az alakváltozások meghatározása során a gondolatban végtelen sok kis elemi hasábra felosztott tartománynál a hat alakváltozási komponenst egymástól függetlenül határozzuk meg, akkor az egyes (ezen alakváltozások hatására deformálódott) hasábokból nem tudunk „összerakni” egy folytonosan deformálódott tömör testet, számtalan „hézag” vagy éppen „átfedés” fog jelentkezni a csatlakozó felületek között. A kompatibilitási egyenletek éppen ennek az ellentmondásnak a kiküszöbölésére születtek.

Megjegyezzük, hogy a gyakorlatban ezeket az egyenleteket elsősorban a különböző mechanikai megoldási technikák (erőmódszer, feszültségfüggvényes eljárások) bemutatásakor fogjuk majd használni.

Alakváltozás-tenzorok előállítása hengerkoordináta-rendszerben Írjuk fel először a Green-Lagrange-féle változatot, majd utána a kicsiny alakváltozásokhoz tartozó tenzort. A számításhoz használt hengerkoordináta-rendszert láthatjuk a 3.1-es ábrán. Az egyes változók közötti kapcsolat: (3.26) r = R + u , ϑ = θ + α, z = Z + w , ahol u az R irányban, w pedig a Z irányban létrejövő eltolódás, α pedig a szög változása.

10.06.20.

37


Előadásvázlat

3.1. ábra: A hengerkoordináta-rendszer alapvető paraméterei Az anyagi rendszerben levő P pont környezetének elemien kicsiny távolságban levő bármely tetszőleges Q pontjánál az elemi szál hossznégyzete az alábbi módon számítható: dS 2 = dR 2 + R 2 d θ2 + dZ 2 . (3.27) Ugyanezt a számítást megismételhetjük a pillanatnyi konfigurációban is p környezetét figyelembe véve: ds 2 = dr 2 + r 2 d ϑ2 + dz 2 . (3.28) Figyelembe véve, hogy (most indexes jelöléssel):  ∂u i ∂u i  dx i = dX i + dX j =  δ i j + (3.29)  dX j ,  ∂X j ∂ X j   az egyes növekmények az Euler-féle rendszerben a következőképpen írhatók fel: ∂u ∂u  ∂u  dr = 1 + dZ ,  dR + d θ + ∂θ ∂Z  ∂R 

dϑ =

∂α ∂α  ∂α  dR + 1 + dZ ,  dθ + ∂R ∂Z  ∂θ 

(3.30)

∂w ∂w  ∂w  dR + d θ + 1 +  dZ . ∂R ∂θ  ∂Z  Helyettesítsük be ezeket a tagokat az előző egyenletbe, ahol az elemi hossz távolságát az euleri rendszerben számítottuk, és határozzuk meg a két rendszerben kapott értékek különbségét, rögtön egyenlővé téve ezt a kifejezést a Green-Lagrange-tenzor komponenseivel: ds 2 − dS 2 = 2 Ei j dX i dX j = 2( E R R dR 2 + E θ θ R 2 d θ2 + E Z Z dZ 2 + (3.31) + 2( E R θ dR R d θ + E θ Z Rd θ dZ + E Z R dZ dR )). A Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor egyes elemei ennek megfelelően: 2 2 2 ∂u 1  ∂u  2  ∂α   ∂w   ERR = +   + (R + u)   +  , ∂R 2  ∂R   ∂R   ∂R   (3.32)

dz =

2

E θθ

u  u  ∂α = + 1 +  + R  R  ∂θ

2 2 2 2 1  u 2 1  ∂u   ∂w    u   ∂α   +  2 + 2   +    + 1 +    , 2  R R  ∂θ   ∂θ    R   ∂θ  

10.06.20.

EZ Z =

2 2 ∂w 1  ∂u  2  ∂α   ∂w   +  + R + u + )     ,  ( ∂Z 2  ∂Z   ∂Z   ∂Z  

E Rθ =

1  ∂u ∂w ∂w   2 ∂α 2 ∂α ∂α  ∂u ∂u + + ( R + u) +  + ( R + u) , 2 R  ∂θ ∂R  ∂R ∂θ ∂R ∂θ ∂R ∂θ  

EθZ =

1  ∂w  ∂u ∂u ∂w ∂w   2 ∂α 2 ∂α ∂α + + + (R + u) + ( R + u ) , 2R  ∂Z ∂θ  ∂θ ∂Z ∂θ ∂Z ∂θ ∂Z  

EZ R =

1  ∂u ∂w  ∂u ∂u ∂w ∂w   2 ∂α ∂α + + (R + u) +  + . 2 R  ∂Z ∂R  ∂Z ∂R ∂Z ∂R ∂Z ∂R  

38


Előadásvázlat

Ha most is végrehajtjuk azt a linearizálást, amit a derékszögű koordinátarendszerben felírt ε tenzornál már elvégeztünk, vagyis (3.33) R → r , θ → ϑ, Z → z , tovább tekintetbe vesszük, hogy a ϑ irányú v eltolódásfüggvény segítségével v α= , (3.34) r akkor a kis alakváltozások tenzorának elemei a hengerkoordináta-rendszerben a következők lesznek: ∂u u 1 ∂v ∂w εr = , εϑ = + , εz = , (3.35) ∂r r r ∂ϑ ∂z 1  1 ∂u ∂v v  1  ∂v 1 ∂w  1  ∂w ∂u  ε rϑ =  + − , εϑ z =  + + . , ε zr =  2  r ∂ϑ ∂r r  2  ∂z r ∂ϑ  2  ∂r ∂z  Abban a különleges esetben, amikor – kis alakváltozásokat feltételezve – az alábbi feltételek is fennállnak: ∂u ∂v w = 0, = 0, = 0, (3.36) ∂z ∂z az egyszerű sík alakváltozási állapothoz jutunk. Ilyenkor a kis alakváltozások tenzorának független elemei a következők lesznek: ∂u u 1 ∂v εr = , εϑ = + , ε z = 0, (3.37) ∂r r r ∂ϑ 1  1 ∂u ∂v v  ε rϑ =  + −  , ε ϑ z = 0, ε z r = 0. 2  r ∂ϑ ∂r r  Egy másik speciális változathoz jutunk forgásszimmetrikus mechanikai feladatok esetében. Ilyenkor a feltételek: ∂u ∂w v = 0, = 0, =0. (3.38) ∂ϑ ∂ϑ Ezt figyelembe véve az alakváltozás-komponensek: ∂u u ∂w εr = , εϑ = , εz = , (3.39) ∂r r ∂z 1  ∂w ∂u  ε r ϑ = 0, ε ϑ z = 0, ε z r =  + . 2  ∂r ∂z  A gyakorlás kedvéért megadjuk a hengerkoordináta rendszerben számítható kis alakváltozások tenzorának egy másik számítási módját is: Számítsuk ki először a sugár-és érintő irányú egységvektorokat transzformálás segítségével: e r (ϑ ) = e1 cos ϑ + e2 sin ϑ , eϑ = −e1 sin ϑ + e 2 cos ϑ , e z = e3 . (3.40) A szükséges deriváltak: ∂er ∂eϑ = −e1 sin ϑ + e2 cos ϑ = eϑ , = −e1 cos ϑ −e2 sin ϑ = −er . (3.41) ∂ϑ ∂ϑ Hengerkoordináta-rendszerben az elmozdulásvektor és a ∇ operátor az egységvektorok segítségével: ∂ 1 ∂ ∂ u = ur er + uϑ eϑ + u z e z , ∇ = er + eϑ + ez . (3.42) ∂r r ∂ϑ ∂z 10.06.20.

39


Előadásvázlat

Innen (a deriválásoknál a tömörség kedvéért az indexes jelölésmódot használjuk):  ur , r uϑ , r uz, r    1  1 1 ∇u =  (ur , ϑ − uϑ ) (uϑ , ϑ + ur ) uz , ϑ  . (3.43) r r r   ur , z uϑ , z u z , z    Ennek felhasználásával az  εr εr ϑ εr z    1 ε = (∇u + (∇u) T ) = εϑ r εϑ εϑ z  (3.44) 2    ε z r ε z ϑ ε z  alakváltozás-tenzor egyes elemei: 1 1 1  ε r = ur , r ; εϑ = (ur + uϑ , ϑ ); ε z = u z , z ; ε r ϑ = εϑ r =  (ur ,ϑ − uϑ ) + uϑ , r  ; r 2 r   1 1 1 (3.45) ε ϑ z = ε z ϑ =  u z , ϑ + u ϑ , z  ; ε r z = ε z r = (u r , z + u z , r ) .  2  r 2

A kis alakváltozások rendszerben

tenzorának

előállítása

2D

polárkoordináta-

Hengerkoordináták esetében matematikailag általánosabb előállítási módot alkalmaztunk, most azonban – a két dimenzió adta egyszerűsítések miatt – az elemi hasábok elmozdulási képét felhasználva állítjuk elő a tenzor elemeit.

10.06.20.

40


Előadásvázlat

3.2. ábra: Alakváltozások polárkoordináta-rendszerben Megjegyezzük, hogy az alakváltozás-tenzorra itt kapott elemeket természetesen az előző pontban felírt eredmények további egyszerűsítésével is számíthatjuk, de most inkább a grafikus alapú „szemléletesebb” módszert választottuk. Az ábrák vázlatait felhasználva: εr =

εr Θ

∂v ∂u ( r + u ) dΘ − rdΘ ( ∂Θ) dΘ u 1 ∂v , ε Θ = ε uΘ + ε vΘ = + = + , ∂r rdΘ rdΘ r r ∂Θ (∂u ) d Θ ∂v v 1 ∂u ∂v v u v ∂Θ = γ r Θ = γ rΘ + γ r Θ = + − = + − . r dΘ ∂r r r ∂Θ ∂r r

(3.46)

Mivel most nincs z irányú változás, az összes többi tenzorkomponens zérus.

A kis alakváltozások tenzorának előállítása gömbkoordináta-rendszerben Tartályok, héjak és más különleges szerkezetek vizsgálatánál szükség lehet ilyen típusú leírásmódra. Csak a kis alakváltozások tenzorának számítását mutatjuk be az ábrán látható r , α, θ bázisban32 a levezetés részleteinek mellőzésével (u, v, és w a három bázisiránynak megfelelő eltolódásfüggvényeket jelentik):

3.3. ábra: Gömbkoordináta-rendszer

32

Egy elemi szál hossznégyzete ebben a rendszerben: dS 2 = dr 2 + r 2 sin 2 θ ( d α ) + r 2 ( d θ ) .

10.06.20.

2

2

41


Előadásvázlat

∂u 1 ∂v u 1 ∂v u cotg θ , εθ = + , εα = + +w , ∂r r ∂θ r r sin θ ∂α r r 1  1 ∂u v ∂v  1  1 ∂u w ∂w  εrα =  − + , εrθ =  − + , 2  r sin θ ∂α r ∂r  2  r ∂θ r ∂r  1  1 ∂v v cotg θ 1 ∂w  ε αθ =  − + . 2  r ∂θ r r sin θ ∂α  εr =

Kis alakváltozások rendszerben

számítása

általános

görbevonalú

(3.47)

koordináta-

Az ábrán látható teljesen általános, görbevonalú (de ortogonális) koordinátarendszerben felvett s1 , s2 , s3 tengelyeknek megfelelő i i egységvektorokra is igaz az alábbi állítás:

3.4. ábra: Görbevonalú koordinátarendszer

i j ⋅ ik = δ j k . (3.48) Ha ezt a kifejezést deriváljuk, akkor a következő azonosságokat kapjuk: ∂i j ∂i j ∂i ⋅ i j = 0, ⋅ ik = − k ⋅ i j . (3.49) ∂sm ∂sm ∂sm Részletesen felírva az egyes egységvektorok s1 , s2 , s3 irányú deriváltjait, a következőt kapjuk:  i1   i1   i1   i1   i1   i1  ∂   ∂   ∂       i 2  = K 1 i 2  , i 2  = K 2 i 2  , i 2  = K 3 i 2  . (3.50)    ∂s1 ∂s2 ∂s3  i 3   i 3   i 3   i 3   i 3   i 3  Az egyes mátrixok a következő elemeket tartalmazzák (az indexekben a vesszők utáni tagok az adott változók szerinti parciális deriválásokra utalnak):

10.06.20.

42


Előadásvázlat

 i1, s1 ⋅ i1 i1, s1 ⋅ i 2 i1, s1 ⋅ i 3   i1, s2 ⋅ i1 i1, s2 ⋅ i 2 i1, s2 ⋅ i 3      K 1 = i 2, s1 ⋅ i1 i 2, s1 ⋅ i 2 i 2, s1 ⋅ i 3  , K 2 = i 2, s2 ⋅ i1 i 2, s2 ⋅ i 2 i 2, s2 ⋅ i 3  ,      i 3, s1 ⋅ i1 i 3, s1 ⋅ i 2 i 3, s1 ⋅ i 3   i 3, s2 ⋅ i1 i 3, s2 ⋅ i 2 i 3, s2 ⋅ i 3  (3.51/a)  i1, s3 ⋅ i1 i1, s3 ⋅ i 2 i1, s3 ⋅ i 3    K 3 = i 2, s3 ⋅ i1 i 2, s3 ⋅ i 2 i 2, s3 ⋅ i 3  ,    i 3, s3 ⋅ i1 i 3, s3 ⋅ i 2 i 3, s3 ⋅ i 3  vagy tömörebb jelöléssel (a mátrix sorszámára és a „kimaradó” indexre utaló számozással): k13 −k12  k23 −k22  k33 −k32   0  0  0 K 1 =  −k13 0 k11  , K 2 =  −k23 0 k21  , K3 =  −k33 0 k31  . (3.51/b)  k12 −k11  k22 −k21  k32 −k31 0  0  0  Ezeket a tenzorokat hívják az adott bázis görbületi tenzorainak. Segítségükkel végezhető el minden – az adott bázishoz tartozó – fontos mechanikai művelet, így például az alakváltozások számítása az eltolódásokból. Mielőtt tovább folytatnánk ezek meghatározását, gyakorlásul megadjuk a korábbiakban már vizsgált hengerkoordináták esetén ezen görbületi tenzorok értékét: ∂s1 = ∂r , ∂s2 = r ∂ϑ, ∂s3 = ∂z i1 = sin ϑi x + cos ϑi y , i 2 = cos ϑi x − sin ϑi y , i 3 = i z .

1/ r  0  K 1 = K 3 = 0, K 2 =  −1/ r 0  0 0 Természetesen a számítás gömbkoordináta-rendszer de ennek részleteire most nem térünk ki.

0 0  . (3.52) 0  esetén is hasonló módon végezhető el,

Folytassuk az alakváltozás-komponensek számítását. Deriváljuk most az u = u1i1 + u2 i 2 + u3i 3 alakban megadható elmozdulásvektort az egyes koordináták szerint: ∂u ∂u ∂u1 ∂u = i1 + 2 i 2 + 3 i 3 + i1 ( u3 k12 − u2 k13 ) + i 2 ( u1k13 − u3 k11 ) + i 3 ( u2 k11 − u1k12 ) , ∂s1 ∂s1 ∂s1 ∂s1

(3.53)

∂u ∂u ∂u1 ∂u = i1 + 2 i 2 + 3 i 3 + i1 ( u3 k22 − u2 k23 ) + i 2 ( u1k23 − u3 k21 ) + i 3 ( u2 k21 − u1k22 ) , (3.54) ∂s2 ∂s2 ∂s2 ∂s2 ∂u ∂u ∂u1 ∂u = i1 + 2 i 2 + 3 i 3 + i1 ( u3 k32 − u2 k33 ) + i 2 ( u1k33 − u3 k31 ) + i 3 ( u2 k31 − u1k32 ) . ∂s3 ∂s3 ∂s3 ∂s3 Az alakváltozások most már egyszerűen számolhatók:

10.06.20.

43


ε11 =

Előadásvázlat

∂u ∂u ⋅ i1 = 1 + u3k12 − u2 k13 , ∂s1 ∂s1

 1  ∂u ∂u  1  ∂u2 ∂u1 ε12 =  ⋅ i2 + ⋅ i1  =  + + u1k13 − u3 k11 + u3 k22 − u2 k23  , 2  ∂s1 ∂s2  2  ∂s1 ∂s2   1  ∂u ∂u  1  ∂u3 ∂u1 ε13 =  ⋅ i3 + ⋅ i1  =  + + u2 k11 − u1k12 + u3 k32 − u2 k33  , 2  ∂s1 ∂s3  2  ∂s1 ∂s3  ∂u ∂u ε22 = ⋅ i 2 = 2 + u1k23 − u3k21 , ∂s2 ∂s2

(3.55)

 1  ∂u ∂u  1  ∂u3 ∂u2 ε23 =  ⋅ i3 + ⋅ i2  =  + + u2 k21 − u1k22 + u1k33 − u3 k31  , 2  ∂s2 ∂s3  2  ∂s2 ∂s3  ∂u ∂u ε33 = ⋅ i 3 = 3 + u2 k31 − u1k32 . ∂s3 ∂s3

Felhasznált irodalom: 1./ Sokolnikoff, I. S. : Mathematical Theory of Elasticity, McGraw Hill, New York, 1956. 2./ Mang, H. – Hofstetter, G.: Festigkeitslehre, Springer, Wien, 2000. 3./ Taber, L. A. : Nonlinear Theory of Elasticity, World Scientific, New Jersey, 2004. 4./ Bezuhov, N. I. : Bevezetés a rugalmasságtanba és képlékenységtanba, Tankönyvkiadó, Budapest, 1952. 5./ Nayfeh, A. H. – Pai, P. F. : Linear and Nonlinear Structural Mechanics, Wiley, 2004.

10.06.20.

44


Előadásvázlat

4. Előadás:: A különböző feszültségtíp feszültségtípusok usok definíciói, főfeszültségek A leggyakrabban használt feszültségtípusok definíciói Az alakváltozások mellett a mechanikai számítások másik fontos paramétere a feszültség. Fogalmát Cauchy francia matematikus vezette be 1822 1822-ben, ben, majd őt követően Piola, Kirchhoff33 és sokan mások is definiáltak feszültség feszültség-tenzorokat tenzorokat (megjegyezzük, hogy a sokféleség kféleség itt is csak a nagy változások tartományát jellemzi, kis alakváltozású testeknél csak egyetlen tenzortípust használunk). A feszültség fogalmát a fontosabb feszültségtípusoknál az anyag belsejében keletkező megoszló erőrendszerhez kapcsolják valami valamilyen lyen határátmenet segítségével. A kapcsolat felírásakor felhasználják a Cauchy által bevezetett összefüggést: Emlékeztetőül34: az egyensúlyban lévő test tetszőleges metszeténél az egyensúlyt biztosító megoszló erőrendszernek egy elemi területre vonatkozó határátmenetéből h ∆f df = definiáltuk az n normálishoz tartozó t feszültségvektor fogalmát: t = lim . ∆A→0 ∆A dA Ennek felhasználásával javasolta bevezetni Cauchy a feszültségtenzor fogalmát, amely tenzor a test terhelési folyamatának egy pillanatnyi állapotában állapotá egy tetszőleges, n normálisú dA elemi síkon működő df elemi erővektor és a pont környezetének feszültségállapotát leíró feszültségtenzor között teremt összefüggést : (4.1) n ⋅ σ = σ ⋅ n = σ n = σi j n j ⇒ n ⋅ σ dA = df = t dA A (4.1) egyenletben megismételt kifejezést felhasználva tekintsük át a műszaki számításokban használt fontosabb feszültség feszültség-változatokat:

4.1. ábra. Feszültségek definíciójának értelmezése 33

Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887). Kiváló német fizikus. Sokat foglalkozott mechanikai kérdésekkel, például a vékony lemezek elméletével. Piola olasz matematikus (lásd a 2. hét előadását) munkáját folytatva születettek meg a kettőjük nevéhez kapcsolódó feszültségtenzorfeszültségtenzor definíciók. 34 További részletekről lásd a [ 7 ] -ben tanult alapvető összefüggéseket. 10.06.20.

45


Előadásvázlat

a./ Cauchy-féle (vagy más néven „igazi” vagy „fizikai”) feszültségtenzor: Jelölése: σ . Definíciója a feszültségvektor és a feszültségtenzor közötti kapcsolatot leíró klasszikus Cauchy-összefüggés segítségével történik (lásd a fenti ábrát): (4.2) n ⋅ σ dA = df = t dA . A tenzor szimmetrikus, a számításához szükséges változókat mindig a pillanatnyi konfigurációban írjuk fel. A tenzor szimmetriája a pillanatnyi állapotban a pont körül felvett elemi hasáb nyomatéki egyensúlyából következik, a tenzor elemeinek valós fizikai tartalmuk van. b./ Nominális (vagy más néven „első Piola-Kirchhoff-”) feszültségtenzor: Jelölése: P. Definíciója:

n0 ⋅ P dA0 = df = t 0 dA0 . (4.3) A P tenzor meghatározása szintén a pillanatnyi állapothoz tartozó df erővektort veszi alapul, azonban a kiindulási állapothoz tartozó felületet és normálvektort alkalmazza, ezért a tenzor nem szimmetrikus, és általában elemeinek nincs valós fizikai jelentése. Ezt a tenzort mindig a Lagrange-bázis változóinak segítségével értelmezzük35. Megjegyezzük, hogy egyes könyvek a transzponáltját hívják első Piola-Kirchhofftenzornak, sajnos a rá vonatkozó jelölésrendszer nem egységes. Ebben a vázlatban az egyszerűség kedvéért vegyesen fogjuk használni mindkét elnevezést. c./ Második Piola-Kirchhoff-feszültségtenzor: Jelölése: S. Ennek a tenzornak sincs fizikai tartalma. Definiálására többféle változat is található a szakirodalomban. Egyes szerzők szerint (lásd például a [5] alatti irodalmat) a Jacobi-determinánssal megszorzott Cauchy-féle feszültségtenzor (lásd az ún. Kirchhoff-féle tenzort néhány sorral lejjebb) segítségével állítható elő, ilyenkor a gradienstenzor inverzének segítségével végrehajtott transzformáció megtartja az eredeti feszültségtenzor szimmetrikus jellegét, de az új feszültségtenzor most már a kezdeti konfigurációhoz köthető: S= J F −1σF −T . (4.4/a) Más szerzők szerint (lásd például [ 6] -ot) a második Piola-Kirchhoff-féle tenzor azért jött létre, mert a mérnökök az első Piola-Kirchhoff-féle tenzor nemszimmetrikus jellegének módosítását akarták elérni. Megtartották az a és b pontokban alkalmazott Cauchy-féle feszültségi összefüggést, csak az erővektort módosították a gradienstenzor inverzével, így érve el az eredeti konfigurációhoz való kapcsolódást: n 0 ⋅ S dA0 = F -1 ⋅ df = F-1 ⋅ t 0 dA0 (4.4/b) Még egyszer hangsúlyozzuk azt a fontos különbséget a nominális tenzorhoz képest, hogy ez a tenzor szimmetrikus.

35

A matematikusok P-t (a deformációgradiens-tenzorhoz hasonlóan) az úgynevezett kétponttenzorok csoportjába sorolják, mivel két különböző állapot (a pillanatnyi és a kiindulási konfiguráció) változóit kapcsolja össze.

10.06.20.

46


Előadásvázlat

Kis alakváltozások esetén a fenti feszültségtenzorok jó közelítéssel azonosnak tekinthetők. Ilyenkor (külön jelzős név nélkül) a feszültségtenzor elnevezést és a σ szimbólumot szokás használni: (4.5) σ ≅ P≅S. A feszültségtenzor egyes elemeinek mechanikai jelentése (a fizikai tartalommal bíró változatokra (a Cauchy-tenzorra, vagy a kis alakváltozásoknál használt feszültségtenzorra használják) az alábbi módon fogalmazható meg:

4.2. ábra. Feszültségvektor felbontása

A feszültségtenzor segítségével egy n normálisú felületelemhez rendelt elemi t n feszültségvektort gyakorlati okokból két komponensre szokás bontani. A normális irányú összetevőt normálfeszültségnek: (4.6) σ = n ⋅ t n = n ⋅ σ ⋅ n ⇒ normálfeszültség, míg a felület síkjába eső másik komponenst nyírófeszültségnek nevezzük: (4.7) τ = m ⋅ t n = m ⋅ σ ⋅ n ⇒ nyírófeszültség. A (4.7)-es képletben szereplő m vektor valamilyen előre rögzített irányt jelöl. Az egyes – fizikai tartalmú – tenzoroknál ennek megfelelően a főátlóban lévő elemeket normálfeszültségi, míg a többit nyírófeszültségi komponensnek tekintjük. Szokásos jelöléseik ennek megfelelően:  σ x τ xy τ xz  σ xx σ xy σ xz   σ11 σ12 σ13      (4.8) σ =  τ yx σ y τ yz  =  σ yx σ yy σ yz  = σ 21 σ 22 σ 23  .  τ zx τ zy σ z   σ zx σ zy σ zz   σ 31 σ 32 σ 33      Az itt szereplő elemek fizikai tartalma ugyanaz, csupán többféle – egyaránt szokásos – jelölési móddal tüntettük fel őket.

A feszültségek közötti transzformáció A korábban ismertetett Nanson-képlet segítségével adhatjuk meg a szükséges transzformációkat. Például a Cauchy-, illetve a nominális feszültségek közötti kapcsolatot a df vektor felírásával adhatjuk meg: df = n ⋅ σ dA = n0 ⋅ P dA 0 . (4.9) Írjuk be ide n értékét a Nanson-képlet segítségével: J n0 ⋅ F−1 ⋅ σ dA0 = n 0⋅PdA0 → P = J F−1 ⋅ σ , illetve: 1 σ = F⋅P . J

(4.10) (4.11)

A nominális feszültségtenzor és a második Piola-Kirchhoff-tenzor közötti kapcsolat: 10.06.20.

47


Előadásvázlat

df = F ⋅ (n 0 ⋅ S ) dA0 = F ⋅ ( S T ⋅ n 0 ) dA0 = F ⋅ S T ⋅ n 0 dA0 , df = n 0 ⋅ P dA0 = P ⋅ n 0 dA0 = F ⋅ S ⋅ n 0 dA0 . Ezek felhasználásával a többi összefüggés: 1 P = S ⋅ FT , σ = F ⋅ S ⋅ FT , S = J F−1 ⋅ σ ⋅ F−T . (4.13) J T

T

(4.12/a) (4.12/b)

Mechanikai számításokban használt egyéb feszültségtenzorok Nemlineáris feladatok vizsgálatánál néha találkozhatunk másféle feszültségtenzor-típusokkal is: a./ Korotációs tenzor Úgynevezett „együttforgó” feszültségtenzor (nagy elfordulásokat végző rendszereknél használatos szimmetrikus tenzor, amit a Cauchy-tenzor elforgatásával állítanak elő: σˆ = RT ⋅ σ ⋅ R . (4.14) b./ Kirchhoff-feszültségtenzor Igen nagy rugalmas vagy képlékeny alakváltozások esetén használatos, szimmetrikus tenzor. Szintén a Cauchy-tenzorból származtatják, azt szorozzák a gradiens-tenzor determinánsával: (4.15) τ=J σ . c./ Mandel36-feszültségtenzor Képlékeny anyagoknál használatos, nem szimmetrikus: Σ = C⋅S , ahol C a jobb Cauchy-Green alakváltozás-tenzor.

(4.16)

d./ Biot-feszültségtenzor: TB = R T ⋅ P = U ⋅ S , (4.17) ahol U és R az F gradiens-tenzor poláris felbontásából kapott tenzorok. A Biot-tenzor nem szimmetrikus. A fontosabb feszültségtenzorok közötti transzformációk összefoglaló táblázata (U és R a gradiens-tenzor poláris felbontásából származtatott tenzorok):

36

Leonard Mandel (1927 – 2001) német származású amerikai fizikus.

10.06.20.

48


Előadásvázlat

4.1 Példa Vizsgáljuk meg a (4.3) (4.3)-as as ábrán látható 2D elemi hasábot, ahol adottak egy pillanatnyi állapothoz tartozó Cauchy Cauchy-feszültségtenzor értékei. Forgassuk a hasábot adott ω szögsebességgel, és tegyük fel, hogy a feszültségek „befagyasztott” állapotban vannak, fizikailag mindig ugyanazt a hatást fejtik ki az elemi hasábra. Ezek után vizsgáljuk meg a különböző feszültségtenzo feszültségtenzorokat rokat a t =0 helyzetből π kiindulva a t = pillanatban (itt ω a forgatás szögsebessége): 2ω

4.3. ábra. Elforgatott testen működő feszültségek. feszültségek Legyen a kezdeti állapot tenzora: σ 0 σt = 0 =  x  0 A kiindulási állapotban F= I, így

0 . σ 0y 

σ 0x S = P = σˆ = σ =   0

0 . σ 0y 

A deformált állapotban először számítsuk ki a t = π

2ω

pillanathoz tartozó

deformációs gradienst:

cos π / 2 − sin π / 2 0 − 1 F= = .  sin π / 2 cos π / 2  1 0  A determináns: J = det (F ) = 1 . Mivel a feszültség értéke fizikailag nem változott, az új állapotban a Cauchy Cauchy-féle feszültség: σ 0y 0  σ =  . 0  0 σx  A többi (gyakorlati szempontból fontos) feszültségtenzor: σ 0x   0 1 σ 0y 0   0 −1 P = J F σ =  = 0 ,  0 − 1 0  0 σ x  − σ y 0   0 σ 0x  0 − 1 σ 0x S = P ⋅ F −T =  T  = − σ y 0  1 0   0 illetve (mivel R= =F): σˆ = S.

10.06.20.

0 , σ 0y 

49


Előadásvázlat

4.2 Példa Vizsgáljuk az ábrán látható húzott rúdelem feszültségállapotát leíró tenzorokat! Legyenek a koordináták közötti kapcsolatok a következők: l a b x= X , y= Y , z= Z . l0 a0 b0

4.4. ábra. Húzott oszlop vizsgálata

l 0 0   l0   a 0  . A gradiens-tenzor: F =  0 a0  b  0  0 b0  A determináns és az inverz tenzor: l 0 0  l abl a0  J= , F −1 =  0 a a0 b0 l0  0  0

0   0  . b0  b  σ x 0 0    Az egyes feszültségtenzorok: σ =  0 0 0 ,  0 0 0  abσ x  l 0 0 0  σ 0 0  0 0  l  x  ab  0 0  abl  a0    P= 0 0   0 0 0 =  0 0 0 .  a a 0 b0 l 0  b0   0 0 0  0 0 0 0    0 b    Az egyetlen nemzérus elem kapcsolata a Cauchy-tenzor első elemével: ab A P11 = σ x = σ x . A második Piola-Kirchhoff-tenzorból csak az első ((1,1) a0 b0 A0 lA indexű) elemet adjuk meg: S11 = 0 σ x . lA0

10.06.20.

50


Előadásvázlat

A feszültségtenzorok felbontása deviátoros és hidrosztatikus (gömbi) komponensekre Ez a művelet elsősorban a fizikai tartalommal bíró változatoknál hasznos (lásd a matematikai alapokat a Függelékben a másodrendű tenzorok felbontásáról). Például a Cauchy-tenzornál: σ = σ hid + σ dev , ahol σhid

σ átl =  0  0

0 σátl 0

0  0  , σ átl = (σ x + σ y + σ z ) / 3 σátl 

(4.18/a)

 S x τ xy τ xz    σ = S =  τ yx S y τ yz  , S x = σ x − σ átl , S y = σ y − σ átl , S z = σ z − σ átl . (4.18/b) dev    τ zx τ zy S z  A felbontás első komponensét hidrosztatikus, vagy gömbi (vagy pedig néha átlagos) feszültségtenzornak nevezik. Ez a tenzor a vizsgált pont környezetének átlagos normálfeszültségét adja meg. A második komponens neve deviátor (vagy deviátoros) tenzor (számítási módja: eredeti feszültségtenzor mínusz hidrosztatikus feszültségtenzor), egy térbeli pont átlagos nyírófeszültségi viszonyairól ad információt. Megjegyezzük, hogy kis alakváltozású testeknél a deviátoros tenzort s szimbólummal jelöljük.

A feszültségtenzor sajátértékei és sajátvektorai: főnormálfeszültségek, főirányok. Az alakváltozástenzor vizsgálatánál elmondottakhoz hasonlóan számíthatók a feszültségtenzorok sajátértékei (lásd még: matematikai alapok, Függelék). Az általánosított sajátérték-feladat a Cauchy-tenzorra felírva: (4.19) (σ − σ I ) ⋅ n = 0. Karakterisztikus egyenlete: σ 3 − I1 σ 2 + I 2 σ − I 3 = 0 . (4.20) Az egyenlet 3 gyöke a három sajátérték, amelyeket mechanikai tartalmuk alapján főnormálfeszültségnek, vagy rövidebben főfeszültségnek nevezünk: σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 . (4.21) A karakterisztikus egyenlet együtthatói a feszültségtenzor invariánsai: I 1 = σ1 + σ 2 + σ 3 = tr σ , I 2 = 1 ((tr σ ) 2 − tr(σ 2 )) = σ1σ 2 + σ1σ 3 + σ 2 σ 3 , (4.22) 2 I 3 = σ1σ 2 σ 3 = det σ . A főirányokat a sajátvektorok adják, számításuk a szokásos matematikai lépésekkel oldható meg. A sajátvektorok – a főirányok – homogén izotrop anyagnál megegyeznek a megfelelő alakváltozás-tenzor főirányaival. Megjegyezzük, hogy mechanikai szempontból a főfeszültségek olyan síkokhoz tartozó normálfeszültségek, mely síkoknál nincs nyírófeszültségi komponens.

10.06.20.

51


Előadásvázlat

Maximális nyírófeszültségek A normálfeszültségek szélsőértékeinek kiszámítása mellett ugyanilyen fontos az anyagban keletkező maximális nyírófeszültségek meghatározása is, hiszen egyes esetekben – például képlékeny vizsgálatoknál – ezek szerepe alapvető fontosságú. A nyírófeszültségek szélsőértékének meghatározásához írjuk fel a főfeszültségek terében egy adott „n” normálisnál a nyírófeszültségek négyzetét az „n” normálisú síkhoz tartozó teljes feszültség illetve a normálfeszültség segítségével. Legyen most mindhárom főfeszültség egymástól különböző: t n2 = σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 , (4.23) és mivel σn = σ1n12 + σ 2 n 22 + σ3n 32 és τ2n = tn2 − σ2n , (4.24) továbbá felhasználva az iránykoszinuszokra ismert n12 + n 22 + n 32 = 1 (4.25) összefüggést, a nyírófeszültségekre az alábbi képletet kapjuk: τ 2n = ( σ12 − σ 32 ) n12 + ( σ 22 − σ 32 ) n 22 + σ32 − ( σ1 − σ 3 ) n12 + ( σ 2 − σ 3 ) n 22 + σ 3  . 2

(4.26)

Ez a képlet azt mutatja, hogy a nyírófeszültség csak két koordináta ( n1, n 2 ) értékétől függ. A szélsőérték feltételei: ∂τ 2n a) = 2 σ12 − σ32 n1 − ( σ1 − σ3 ) n12 + ( σ2 − σ3 ) n 22 + σ3  2n1 ( σ1 − σ3 ) = (4.27) ∂n1

{(

}

)

{

}

= 2 ( σ1 − σ 3 ) n1 ( σ1 − σ 3 ) − 2 ( ( σ1 − σ 3 ) n12 + ( σ 2 − σ 3 ) n 22 )  = 0 .

Hasonlóan:

{

}

∂τ 2n = 2 ( σ 2 − σ3 ) n 2 ( σ 2 − σ3 ) − 2 ( ( σ1 − σ3 ) n12 + ( σ2 − σ3 ) n 22 )  = 0 . ∂n 2 Keressük a nyírófeszültségeket az egyes koordinátasíkokban. b)

Legyen n1 = 0, n2 ≠ 0, ekkor "b" alapján ⇒ ( σ 2 − σ 3 ) (1 − 2n22 ) = 0. 1424 3 2

(4.28)

(4.29)

ha ≠ 0

Innen:

n2 =±

1 2

n3 =±

1 2

és így egy lehetséges szélsőérték: 1 2 τ 2n = ( σ 2 − σ 3 ) ⇒ 4

,

(4.30)

τn =

1 σ 2 − σ3 . 2

Legyen n2 = 0, n1 ≠ 0, akkor "a" alapján ⇒ ( σ1 − σ 3 ) (1 − 2n12 ) = 0 . 1424 3 2

(4.31) (4.32)

ha ≠ 0

Innen:

n1 =±

1 2

n3 =±

1 2

,

és így egy másik lehetséges szélsőérték: 1 1 2 τ 2n = ( σ1 − σ 3 ) ⇒ τ n = σ1 − σ 3 . 4 2 Hasonlóan a harmadik változat:

10.06.20.

(4.33)

(4.34)

52


Előadásvázlat n1 = n2 = ±

1 2

n3 = 0 ⇒

τn =

1 σ1 − σ 2 . 2

(4.35) Mindezek alapján a nyírófeszültség maximuma (figyelembe véve a főfeszültségek között szokásos matematikai sorrendet): 1 τ max = σ1 − σ 3 . (4.36) 2

A feszültségdeviátor-tenzor invariánsai Nemlineáris feladatoknál (különösen a képlékenységtanban) gyakran van szükség a torzulási hatásokat mérő deviátoros tenzor egyes invariánsaira is. Ezeket elvileg a feszültségdeviátortenzor sajátérték-feladatának karakterisztikus egyenletéből származtatjuk37: s 3 − J1s 2 − J 2 s − J 3 = 0 , (4.37) ahol az egyes invariánsok: J1 = 0 , J 3 = det s . (4.38) A mechanikai szerepe miatt fontos J 2 invariáns részletesen: 1 J 2 = (σ x −σ y )2 + (σ y −σ z ) 2 + (σ z −σx ) 2  + τ 2x y + τ2y z + τ 2z x =  6 1 = ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 + ( σ 3 − σ1 ) 2 . 6 Ez a változó a képlékenységtan egyik legfontosabb paramétere.

[

(4.39)

]

Az oktaéderes feszültségek

4.5. ábra. Oktaéder lapjain működő feszültségek.

Ha a főfeszültségek terében felveszünk egy oktaédert (lásd a 4.5. ábrát), akkor annak lapjain működő normál- és nyírófeszültségeket az alábbi módon lehet meghatározni: 1 1 σ okt = σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 n32 = (σ1 + σ 2 + σ 3 ) = I 1 , (4.40) 3 3 37

Fontos tudnunk, hogy a második deviátoros invariáns a karakterisztikus egyenletben alkalmazott előjelváltás miatt mindig pozitív

10.06.20.

53


Előadásvázlat

1 1 2 τokt = (σ12 + σ22 + σ32 ) − (σ1 + σ2 + σ3 ) 2 = (4.41) 3 9 1 = (σ1 − σ2 ) 2 + (σ2 − σ3 ) 2 + (σ3 − σ1 )2  , 9 1 2 2 2 τ okt = J2 = ( I 1 − 3I 2 ) 2 . (4.42) 3 3 Ezeket a változókat főleg a képlékenységtanban használják, de más nemlineáris feladatoknál is gyakran találkozunk velük.

Haigh38-Westergaard39-tér Nemlineáris feladatok megoldásánál sokszor kell olyan számításokat végeznünk, ahol egyes függvények a főfeszültségeket mint alapváltozókat használják. Haigh és Westergaard azt javasolta, hogy ilyen feladatoknál sokszor előnyös a (σ 1, σ 2 , σ 3 ) értékek helyett fizikai tartalmú koordinátákkal dolgoznunk, ezért a

P (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) pontot célszerűbb egy

hidrosztatikus és egy deviátoros összetevő kombinációjaként előállítani. Az alábbiakban bemutatjuk ennek a számításnak a részleteit40.

4.6. ábra. A Haigh-Westergaard-tér

38

Bernard Parker Haigh (1884-1940) angol mérnök, rugalmasságtannal és törésmechanikával foglalkozott. 39 Harald Malcolm Westergaard (1888 – 1950), dán származású, de élete nagy részében Amerikában élő mechanikus. Jelentős műveket alkotott a törésmechanikában és az elméleti rugalmasságtanban. 40 Megjegyezzük, hogy az origón átmenő deviátoros síkot π -síknak hívják. 10.06.20.

54


Előadásvázlat

Az ábrán látható módon először felveszünk két alapvető geometria jellemzőt. Ezek közül az egyik az úgynevezett h hidrosztatikus tengely, a másik pedig a deviátoros sík lesz. A hidrosztatikus tengely azon pontok mértani helye, ahol: σ1 = σ 2 = σ 3 , (4.43) a deviátoros sík pedig az alábbi módon írható fel fel: σ1 + σ 2 + σ 3 = 3 c , (4.44) ahol „c”” az origótól mért távolság, futó paraméterként kezelve az egyenletben. Egy P (σ1 , σ 2 , σ 3 ) pont új koordinátái (ξ , ρ , Θ ) ennek a két geometriai helynek a segítségével az alábbi módon adhatók meg: 1 1 1 ξ = ON = OP ⋅ n = (σ1 , σ 2 , σ3 ) ⋅ ( , , )= (4.45) 3 3 3 1 I = (σ1 + σ2 + σ3 ) = 1 = 3 σátl . 3 3 Ez a koordináta a hidrosztatikus hatást jellemzi. A másik koordinátához először elősz meghatározzuk az NP vektort: NP = OP - ON = (σ1 , σ 2 , σ 3 ) − (σ átl , σ átl , σ átl ) = ( s1 , s 2 , s3 ) . (4.46) Ennek segítségével a nyírási (deviátoros) hatásokat jellemző másik koordináta: ρ = NP = ( s12 + s 22 + s 32 )

1

2

= 2 J 2 = 3 τ okt .

(4.47)

A harmadik koordinátát ( θ − t ) tartalmazó tag a deviátoros síkra a hidrosztatikus tengely irányában vetített főfeszültségi koordináta koordináta-tengelyek képe alapján: 1 1 3 ρ cos θ = ( s1 , s2 , s3 ) ⋅ (2, − 1, − 1) = (2s1 − s2 − s3 ) = s1 . (4.48) 2 6 6

4.7. ábra: A koordinátatengelyek képe a deviátoros síkon. Innen:

10.06.20.

55


Előadásvázlat

cos θ =

3 s1 . 2 J2

(4.49)

Trigonometriai átalakítással:

π 3 3 J3 , 0≤ θ ≤ . (4.50) 3 3 2 J 2 2 Az új koordináta-hármassal jellemezhető teret hívják alkotói neve után Haigh-Westergaardtérnek. Ezt az új koordináta-változatot sokszor előnyösen használják a numerikus képlékenységtani számításokban. cos 3θ =

Objektív mértékek megadása a feszültségtenzoroknál Nagy elfordulásokat végző rendszerek nemlineáris vizsgálatánál néha szükség van különleges feszültségfogalmak alkalmazására. Ilyen változatok bevezetésének indoklásához vizsgáljuk meg az alábbi kis feladatot. Tételezzük fel, hogy egy olyan anyagmodellt41 kívánunk használni, ahol a feszültségek időbeli változása lineáris függvénye az alakváltozás-sebességeknek (gyakorlásul feltüntetjük az indexes alakot is): Dσ i j Dσ = C σ D : D, = C iσjDk l D k l . (4.51) Dt Dt A képletben szereplő C σ D tenzor a feszültségek időbeli változását és az alakváltozássebességeket összekötő, ismertnek feltételezett anyagmodell képleteit tartalmazza. Vizsgáljuk meg, hogy ez az összefüggés valóban betölti-e az anyagmodell szerepét, vagyis mindig egyértelműen megadja-e a két tenzor kapcsolatát. A következő ábra bal oldali képén egy kezdeti konfigurációban σ x = σ 0 feszültséggel rendelkező rúdelem látható (minden más feszültségkomponens zérus).

4.8. ábra. Forgó rúd állandó belső feszültséggel Tételezzük fel, hogy a külső hatások következtében a rúd 90 fokkal elfordul, de a hossza nem változik meg (D = 0), benne ugyanaz a feszültség van, mint a kezdeti állapotban. Ez a feszültség (most σ y = σ 0 ) azonban egy rögzített koordináta-rendszerben megadott feszültség-tenzornál már változást jelent, így a tenzor anyagi idő szerinti deriváltja nem lesz 41

Az anyagmodellekkel részletesen majd csak később foglalkozunk, most elegendő annyit tudni róluk, amit a BSc-Szilárdságtanban tanultunk: a mechanikai anyagmodellek az energiaértelemben megfelelően párt alkotó feszültség és alakváltozástenzorok összekapcsolását biztosítják. 10.06.20.

56


Előadásvázlat

zérus. Az előbbi anyagmodellnél tehát a jobb oldalon szereplő alakváltozás-sebesség tenzora nulla, de Dσ / Dt nem az, vagyis így az egyenlet nem megfelelő, mindenképpen korrigálni kell. Az előbb bemutatott σ ε kapcsolattal tehát az az alapvető gond, hogy valamilyen módon figyelembe kell vennünk benne a nagy elfordulások hatását. A nemlineáris mechanikában ezt a feladatot a feszültségtenzor objektív sebességének (vagy más, tömörebb elnevezéssel egy objektív feszültség-tenzornak) a bevezetésével oldják meg. Sokféle ilyen objektív változat létezik, mi csak néhányat mutatunk be közülük. a./ Jaumann42-sebességtenzor Jaumann a következő objektív modellt javasolta (indexes jelöléssel is megadjuk): Dσi j Dσ σ ∇J = − W ⋅ σ − σ ⋅ W T , σ i∇jJ = − W i k σ k j − σi kW kTj , (4.52) Dt Dt ahol W a (2.26) egyenletben definiált ferdén szimmetrikus spin tenzor. A bal oldalon szereplő tenzor felső indexében a ∇ jel az objektív sebességre utal, a J betű pedig Jaumann nevének szimbóluma. Ezt az objektív tenzort kell ezek után az anyagmodell egyenletébe helyettesíteni: σ ∇ J = C σ J : D, σ i∇jJ = C iσjDk l D k l . (4.53) A két egyenlet összevetéséből: Dσ = σ ∇ J +W ⋅ σ + σ ⋅ W T =C σ J : D+W ⋅ σ+σ ⋅ W T . (4.54) Dt A második egyenlőség utáni első tag a tényleges anyagi viselkedést, a második és harmadik pedig együttesen az elfordulás hatását modellezi. b./ Truesdell43-sebességtenzor Truesdell javaslata a következő: D σ i j ∂v k ∂v i ∂v j Dσ . + div( v ) σ − L ⋅ σ − σ ⋅ LT , σ ∇i jT = + σi j − σ k j − σi k σ ∇T = Dt Dt ∂x k ∂x k ∂x k (4.55) A képletben szereplő L tenzor a sebességgradiens-tenzor, korábban a (2.22) képlettel definiáltuk, v pedig a sebességek vektora. c./ Green-Naghdi44-féle sebességtenzor Dσi j Dσ − Ω ⋅ σ − σ ⋅ Ω T , σ i∇jG = − Ω i k σ k j − σi k Ω Tk j , (4.56) Dt Dt ahol az Ω tenzort a rotációs tenzor segítségével számíthatjuk (a jobb oldal első tagjánál idő szerinti deriváltat kell figyelembe vennünk): & ⋅RT . Ω=R (4.57) σ ∇G =

42

Gustav Jaumann (1863 – 1924) magyarországi születésű osztrák fizikus. Sokat foglalkozott kontinuummechanikai vizsgálatokkal és a tenzorszámítás különböző kérdéseivel. 43 Clifford Ambrose Truesdell (1919 – 2000) amerikai matematikus. Sokat tett a modern termodinamikai elméletek mechanikai alkalmazásának bevezetéséért. 44 Paul M. Naghdi (1924 – 1994) amerikai gépészmérnök, élete nagy részében a Berkeley Egyetem tanára. Főleg áramlástannal és anyagmodellezéssel foglalkozott. 10.06.20.

57


Előadásvázlat

Egyszerű összehasonlítással kimutatható, hogy például a Truesdell- és a Jaumann-sebességek megegyeznek, ha az anyagban nincs deformáció. Alakváltozások jelenlétében azonban a két érték eltérő lehet, így a fizikai alapokon megkövetelhető azonosság csak akkor biztosítható a kétféle modell között, ha különböző anyagmodelleket használunk a kétféle sebességsebesség modellben.

4.3 Példa Vizsgáljunk meg egy testet, amely az x-y síkban az origó körül ω szögsebességgel forog és nézzük meg, hogyan alkalmazható rá például a Jaumann-féle sebességmodell, hogyan lehet kiszámítani a fizikai feszültségek tenzorát. A test kezdeti konfiguráció konfigurációját a következő ábra bal oldali képén láthatjuk:

4.9. ábra. Elforduló test vizsgálata Az elfordulást a következő tenzorok jellemzik (lásd az 1.2 példát):  x  cos ω t − sin ω t   X  x(t ) = R(t ) X ⇒   =    .  y   sin ω t cos ω t   Y 

 vx   x&   − sin ω t − cos ω t   X  A sebességvektor:   =   = ω   Y . v & ω ω y cos t − sin t y        A gyorsulásvektor anyagi koordinátákkal:  ax   v&x  sin ω t   X  2  − cos ω t a  = v&  = ω    .  − sin ω t − cos ω t   Y   y  y A gradiens-tenzor, tenzor, valamint inverze és idő szerint deriváltja a következőképpen adható meg:  c s &  − s −c  ∂x  cos ω t − sin ω t  F= R= = , F −1 =  , F =ω    , ahol ∂X  sin ω t cos ω t  −s c   c −s  c = cos ωt , s = sin ωt. A sebesség-gradiens gradiens tenzor az F tenzor segítségével számítható: − s −c   c s  0 −1 L=F& ⋅ F −1 = ω  =ω    .  c − s  − s c  1 0  Innen a spin-tenzor: tenzor: 0 −1 1 W = L − LT = ω  . 2 1 0 

(

10.06.20.

)

58


Előadásvázlat

A Jaumann-féle modell most a következő lesz (mivel D = 0, az alakváltozásokat jellemző rész hiányzik): Dσ = W ⋅σ + σ ⋅ WT . Dt Helyettesítsük be ide a már kiszámított mátrixokat:  −2 τ x y σ x − σ y   0 −1  σ x τ x y   σ x τ x y   0 −1 Dσ . = ω + ω = ω     σ − σ   2τ x y  Dt y 1 0   τ y x σ y   τ y x σ y   1 0   x A számítás eredményeként három darab közönséges differenciálegyenletet kaptunk σ x − re, σ y − ra és τ x y − ra : dσ x

= −2ωτ x y ,

dσ y

= 2ωτ x y ,

dτ xy

= ω(σ x − σ y ) . dt dt dt A figyelembe veendő kezdeti feltételek: σ x (0) = σ0x , σ y (0) = 0, τ x y (0) = 0 . Ha ezt a három differenciálegyenletet külön-külön megoldjuk, akkor a következő eredményt kapjuk az időfüggő feszültségtenzorra: 2 c s 0 c . σ =σ x  2 c s s  Ellenőrizzük a bal felső elemet: d ( cos 2 ωt ) dσ x 0 =σx = σ0x ω ( −2 cos ωt sin ωt ) = − 2ωτ x y , dt dt vagyis a megoldás helyes volt. Ezt az eredményt egyébként ebben esetben (sokkal egyszerűbben) úgy is megkaphattuk volna, ha egy σ 0 0  σˆ =  x   0 0 korotációs feszültségtenzorból kiindulva a Cauchy-feszültségeket a σ = R ⋅ σˆ ⋅ R T összefüggéssel számoljuk. Megjegyezzük még, hogy ha csak merevtest-szerű elfordulásokat vizsgálunk, akkor a Jaumann-, Truesdell-, Green-Naghdi- és a korotációs feszültségváltozások azonosak lesznek.

4.4 Példa Vizsgáljuk meg az ábrán látható nyírt test viselkedését a háromféle bemutatott sebességmodellel. Használjunk egy egyszerű, rugalmas izotrop anyagmodellt45, az elem mozgásáról pedig tételezzük fel, hogy az alábbi egyenleteknek megfelelően történik: 45

Szilárdságtanból tanultuk, hogy ebben az esetben két anyagállandóra lesz szükségünk. Ezek ebben a példában a nyírási rugalmassági modulus (G) és a Lamé-paraméter ( λ ) lesznek, lásd a KaliszkyKurutzné-Szilágyi-féle „Szilárdságtan” tankönyvet. Maga az anyagmodell a közismert Hookemodell azon változata, amikor az alakváltozásokat a hidrosztatikus és deviátoros hatások összegeként adjuk meg. 10.06.20.

59


Előadásvázlat x = X + tY , y = Y

4.10. ábra. Nyírt test vizsgálata

A gradiens-tenzor:

1 t  &  0 1  1 −t  F= , F= , F −1 =     . 0 1 0 0 0 1  A sebesség-gradiens tenzor illetve szimmetrikus és ferdén szimmetrikus két komponense a következők lesznek: & −1 = 0 1  , D = 1 0 1 , W = 1  0 1  . L = FF 0 0 2 1 0 2 −1 0    A Jaumann-modell egyenlete a rugalmas anyagmodell felhasználásával a következő lesz (a J index a Jaumann-modellhez illesztett anyagi paraméterekre utal): σ& = ( λ J tr D ) I + 2G J D + W ⋅ σ + σ ⋅ W T . Írjuk fel részletesen ezt az egyenletet és vegyük figyelembe véve, hogy tr D = 0:  σ& x τ& x y  0 1  1  0 1   σ x τ x y  1  σ x τ x y   0 1  = GJ   τ&  +   +   . 1 0  2  −1 0   σ y x σ y  2  σ y x σ y   −1 0   y x σ& y  Most is három differenciálegyenletet kaptunk: dσ x dσ y dτ xy 1 = τxy, = −τ x y , = G J (σ x − σ y ) . dt dt dt 2 A Jaumann-modellhez tartozó megoldások: σ x = − σ y = G J (1 − cos t ), τ x y = G J sin t . Vizsgáljuk meg most a Truesdell-modellt. Ebben az esetben: σ& = λ T tr D + 2G J D + L ⋅ σ + σ ⋅ LT − (tr D) σ . Részletesen kifejtve:  σ& x τ& x y  0 1  0 1   σ x τ x y   σ x τ x y  0 0 = GT   τ&  +  +  . 1 0   0 0   σ y x σ y   σ y x σ y   1 0   y x σ& y  A differenciálegyenletek: dσ x dσ y dτ x y = 2τ x y , = 0, = GT −σ y . dt dt dt A Truesdell-modellhez tartozó megoldások (az új indexek új anyagi változókra utalnak): σ x = G T t 2 , σ y = 0, τ x y = G T t . A Green-Naghdi-modellhez először a poláris felbontás segítségével meg kell határoznunk az R forgató tenzort. A 2.8 példában már bemutattuk az ehhez szükséges lépéseket (mátrix diagonizálása, sajátértékek, stb.), most itt csak az eredményeket közöljük ( µ i a sajátértékeket jelöli): 10.06.20.

60


Előadásvázlat

t  1 2 + t 2 ± t 4 + t2 µ = FTF =  , , (i = 1, 2) . i 2 2 t 1 + t  Megadjuk a zárt formában46 felírt megoldást47: σ x = − σ y = 4G G cos 2β ln cos β + β sin 2β − sin 2 β ,

(

)

t τ x y = 2G G cos 2β ( 2β − 2 tg 2β ln cos β − tg β ) , tg β = . 2 A következő ábrán az idő függvényében ábrázoltuk a háromféle modell által szolgáltatott nyírófeszültség változását (a nyírási rugalmassági modulussal normált értéke látható a függőleges tengelyen). Mindhárom esetben ugyanazokat a rugalmas anyagi jellemzőket használtuk. Az eredmény arra hívja fel a figyelmet, hogy ilyen esetekben az anyagi paramétereket mindig a modellhez illesztve kell meghatározni, mert különben élesen eltérő eredményeket kapunk ugyanannak a feladatnak a vizsgálatakor.

4.11. ábra: Azonos anyagállandók hatása a különböző objektív modelleknél Befejezésül megjegyezzük, hogy ma már léteznek olyan törekvések is, amelyek megkísérlik másféle modellalkotással, objektív sebességek bevezetése nélkül kiküszöbölni a rotációs hatások okozta nehézségeket (lásd például Matolcsi és Ván munkáját48), de ezekre most nem térünk ki, csak az említett szakirodalmat ajánljuk az olvasónak.

46

Ennél a modellváltozatnál meglehetősen nehézkes a megoldás, célszerűbb numerikus eljárást használni, vagy esetleg valamilyen matematikai programot segítségül hívni. 47 Dienes 1979-es munkája alapján: „On the analysis of rotation and stress rate in deforming bodies”, Acta Mechanica, Vol. 32, pp. 217-232. 48 Matolcsi, T. – Ván, P.: Can material time derivative be objective?, Physics Letters, A 353, pp. 109 – 112, 2006. 10.06.20.

61


Előadásvázlat

Felhasznált irodalom: 1./ Sokolnikoff, I. S.: Mathematical Theory of Elasticity, McGraw Hill, 1956. 2./ Mang, H. – Hofstetter, G.: Festigkeitslehre, Springer, 2000. 3./ Taber, L.: A.: Nonlinear Theory of Elasticity, World Scientific, 2004. 4./ Fung, Y. C.: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994. 5./ Holzapfel, G. A.: Nonlinear Solid Mechanics, Wiley 2001. 6./ Belytschko, T. – Liu, W. K. – Moran, B.: Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures, John Wiley, 2000. 7./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000.

10.06.20.

62


Előadásvázlat

5. Előadás: A mechanikai anyagmodell A nemlineáris mechanika alapvető változóinak (elmozdulásoknak, alakváltozásoknak, feszültségeknek) bemutatása után elkezdjük a legfontosabb mechanikai egyenletek tárgyalását. Először a gyakorló mérnök számára legismertebb egyenlettípussal, nevezetesen az anyagmodellekkel foglalkozunk ezen és a következő előadáson49. Az anyagmodell az anyag válasza az őt érő külső hatásokra. Ennek megfelelően a mérnöki gyakorlatban többféle anyagmodellt is használhatunk, például: - optikai anyagmodellt (pl. fényelnyelési és fény-visszaverődési tulajdonságok), -elektromosságtani anyagmodellt (szigetelő vagy vezető képesség, mágnesezhetőség), - hőtani anyagmodellt (hővezetési és hőszigetelési képesség), - stb. A mechanikai anyagmodell az anyag mechanikai hatásokra adott válasza. Az anyagmodellek származtatása kétféle megközelítés alapján lehetséges: - makromechanikai (fenomenológiai50) modellek: a modell megalkotása makroszintű laboratóriumi vizsgálatok (1D, 2D és 3D mérések) eredményeként adódik, a mért fizikai jelenségeket matematikai formában összegző egyenletek szolgáltatják az anyagmodellt. A mérések alapvetően az anyag adott irányú megnyúlására/összenyomódására irányulnak és az elmozdulásokból származtatott alakváltozásokat kívánják összekapcsolni az anyagban keletkező feszültségekkel. - mikromechanikai51 modellek: az anyag atomi (molekuláris, mono- vagy polikristály szintű, esetleg mikroszintű, mint pl. szemcsés közegek független szemcséi, stb.) viselkedésének megértéséből kíván következtetni a makroszintű viselkedésre. A mikroszintű modelleket a mikrofizikai mérések, numerikus szimulációk és elméleti hipotézisek együttese segítségével alkotják meg, majd ún. homogenizációs eljárások segítségével transzformálják makroszintre. Ebben a jegyzetben kizárólag makromechanikai modellekkel foglalkozunk.

49

Megjegyezzük, hogy ezzel a témakörrel később még külön tárgy keretében is foglalkozhatnak az érdeklődők, lásd a „Mechanikai anyagmodellek” című előadássorozatot. 50 A mérnöki gyakorlatban ma a makroszintű laboratóriumi mérések tapasztalataira épülő matematikai modelleket nevezik így. Maga a fenomenológia kifejezés a phainomenon („fenomén”, szó szerint a „megmutatkozó”, „a jelenség”) és a logosz („tan”) görög szavak összetételéből származik. Először Kant (1724 – 1804), a híres német filozófus használta, aki szerint „az igazi ismeretet a jelenség megismerése adja”. 51 Megjegyezzük, hogy tudományfilozófiai szempontból természetesen egy valódi mikrofizikai mérésre alapuló mikromechanikai anyagmodell is fenomenológiai modellnek számít, hiszen Kant definíciója erre az esetre is érvényes, azonban a ma elterjedt elnevezési gyakorlat pillanatnyilag ettől eltér. 10.06.20.

63


Előadásvázlat

Az anyagmodellekben szereplő változók A klasszikus fenomenológiai modellek az alakváltozások és a feszültségek kapcsolatát írják le. A megfelelő párok kiválasztásához a termodinamika első főtörvényét kell felhasználnunk, amely az energia-megmaradás általános elvét fejezi ki: környezetétől elszigetelt rendszerben – bármilyen folyamatok is mennek végbe a rendszeren belül – az energiák összege állandó52. Az első főtörvény többféle matematikai alakban is felírható, mi most az alábbi tömör formában adjuk meg: K& + U& = P + Q , (5.1) ahol K a kinetikus energia, U a belső energia, P a külső erők teljesítménye, Q pedig a külső hőhatás. Az egyenlet bal oldala a szerkezet teljes belső energiájának időbeli megváltozását, a jobb oldal pedig a külső energia megváltozását jelenti. Az egyes komponensek Lagrange- és Euler-rendszerben is felírhatók. A továbbiakban a nullával indexelt tagok a Lagrange-, a nulla nélküliek pedig az Euler-rendszerben adott változók. 1 1 K = ∫ ρ 0 v ⋅ v dV0 = ∫ ρ v ⋅ v dV , U = ∫ ρ 0 u dV0 = ∫ ρ u dV , (5.2) 2 V0 2V V0 V

P = ∫ T0 ⋅ v dA0 + ∫ f 0 ⋅ v dV0 = ∫ T ⋅ v dA + ∫ f ⋅ v dV ,

(5.3)

Q = − ∫ q 0 ⋅ n 0 dA0 + ∫ ρ 0 r dV0 = − ∫ q ⋅ n dA + ∫ ρ r dV .

(5.4)

A0

V0

A

A0

V0

V

A

V

Ezekben a képletekben v a sebesség vektora, ρ a sűrűség, u (most nem elmozdulást jelöl!) az egységnyi tömeghez tartozó belső energia, T és f a felületi és térfogati erőket jelentik, q a szerkezetből kifelé irányítottnak felvett (egységnyi felülethez tartozó) hőáram-vektor, n egy elemi felület normálvektora, az r függvény pedig a szerkezet belsejében levő, egységnyi tömegre vonatkozó hőforrás-változás (a hőforrás jelen esetben energia dimenziójú, a rendszer belsejében levő belső hőtermelő eszköz (pl. elektromos melegítő, kazán, stb.). Az időbeli változást leíró tagok: 1 d d  1 K& = ∫  ( ρ dV ) v ⋅ v + ( v ⋅ v)ρ dV  = ∫ ( v& ⋅ v + v ⋅ v& ) ρ dV = ∫ v ⋅ v& ρ dV = 2 V  dt dt  2V V

=

(5.5)

∫ v ⋅ (σ ⋅∇ + f) dV . V

52

Ha a rendszer nem zárt, akkor a rendszer energiája pontosan annyival nő, amennyivel a környezeté csökken (a változás természetesen fordított irányban is érvényes). Megjegyezzük, hogy ennek az alapvető elvnek a megformálása sok tudós nevéhez fűződik: első nyomai már milétoszi Thalész munkáiban felbukkantak, Galilei is említi egy változatát egyik publikációjában. Első – matematikailag is megformált – leírását Gottfried Wilhelm Leibnitznél találjuk, majd Antoine Lavoisier, Pierre-Simon Laplace, Benjamin Thompson (ismertebb nevén Sir Rumford) és Thomas Young is sokat foglalkozott vele. Young volt egyébként az első, aki az „energia” kifejezést a ma szokásos értelemben használta a főtörvénnyel kapcsolatban. A XIX. század második felében is sok tudós (Gaspard-Gustave Coriolis, Jean-Victor Poncelet, Julius Robert von Mayer, stb.) végzett ezzel kapcsolatos kutatásokat. 10.06.20.

64


Előadásvázlat

A növekményi alak felírásakor felhasználtuk a d (ρ dV ) / dt = 0 összefüggést (ez a fizika tömeg-megmaradási tétele, a 7. előadásban részletesen foglalkozunk vele), és a ρv& = ρ a=σ ⋅∇ +f egyenletet. Az 5.5 alatti kifejezés Lagrange-rendszerben is felírható, a gyorsulás függvényét ennél a változatnál a nominális feszültségtenzor divergenciájának (és a térfogati erők vektorának) segítségével fejezhetjük ki: K& = ∫ v ⋅ (P ⋅∇ 0 + f0 ) dV0 . (5.6) V0

A két operátor (∇ és ∇ 0 ) az Euler- és Lagrange-koordináták alkalmazásában tér el egymástól (lásd a második előadás összefoglalóját). A képletekben szereplő matematikai műveletek (lásd a Függelék (F.76), az első előadás (1.11), (1.20), a második előadás (2.22), (2.25), (2.26) és (2.29) alatti képleteit, illetve részben a harmadik előadás hivatkozásait): (5.7) v ⋅ (σ ⋅∇) = ∇⋅ (σ ⋅v) −σ :∇v , v ⋅ (P ⋅∇0 ) = ∇0 ⋅ (P ⋅ v) − P:∇0 v , (5.8) σ:∇v = σ: (D + W) = σ : D, P:∇ v = P:∇ uɺ = P:Fɺ T . (5.9) 0

0

Ezek felhasználásával K idő szerinti deriváltja: Kɺ = ∫ [∇⋅ (σ ⋅v) − σ:D + f ⋅ v ] dV =

(5.10)

V

= ∫ ∇0 ⋅ (P ⋅v) − P:Fɺ T + f0 ⋅ v dV0 .   V0

A belső energia idő szerinti deriváltja mindkét bázisban (most is felhasználtuk a tömegmegmaradás tételét az első derivált zérus értékűvé tételében): d  (5.11) U& = ∫  (ρdV ) u + u&ρ dV  = ∫ u& ρ dV = ∫ u& ρ 0 dV0 . dt  V V  V0 A külső hatásoknál a felületi integrálokat alakítsuk át térfogati integrálokká a Gauss-tétel (vagy más néven divergencia-tétel, lásd a Függelék (F.80)-as képletét) segítségével: P = ∫ n ⋅ σ ⋅ v dA + ∫ f ⋅ v dV = ∫ [∇ ⋅ (σ ⋅ v) + f ⋅ v ] dV . (5.12) A

V

V

Ugyanez Lagrange-változókkal: P = ∫ n 0 ⋅ P ⋅ v dA0 + ∫ f 0 ⋅ v dV0 = A0

V0

∫ [∇

0

⋅ (P ⋅ v) + f 0 ⋅ v ] dV0 .

A hőhatások is átalakíthatók ugyanígy: Q = ∫ (ρ r − ∇ ⋅ q) dV = ∫ (ρ 0 r − ∇ 0 ⋅ q 0 ) dV0 . V

(5.13)

V0

(5.14)

V0

Minden tagot behelyettesítve az első főtörvény eredeti képletébe, az egyszerűsítések után a következő alakra jutunk a kétféle bázisban: T (5.15) ∫ (ρ u& − ρ r −σ : D + ∇⋅ q) dV = 0 = ∫ (ρ 0 u& − ρ 0 r − P : F& + ∇ 0 ⋅ q 0 )dV0 . V0

V

Mivel tetszőleges térfogatra érvényesek a fenti összefüggések, lokális alakjuk is felírható (az energia változását a bal oldalra tettük át): (5.16) ρ u& = σ : D + ρ r − ∇ ⋅ q , T ρ u& = P : F& + ρ r − ∇ ⋅ q . (5.17) 0

0

0

0

Az anyagmodellek szempontjából a legfontosabb következtetés a fenti egyenletekből az, hogy az energia megváltozásának számításakor a Cauchy-feszültség az alakváltozás-sebesség tenzorral, a nominális (első Piola-Kirchhoff) feszültségtenzor pedig a gradiens-tenzor idő szerinti deriváltjával kapcsolható össze. További átalakításokkal (lásd a Függelék (F.23)-as és (F.24)-es képleteit): 10.06.20.

65


σ : D = σ : (D + W) = σ : L = σ : (Fɺ ⋅F-1 ) = = Fɺ : (σ⋅ F-T ) = (σ ⋅ F -T ) :Fɺ = (σ ⋅F-T )T :Fɺ T = = (F-1 ⋅ σT ):Fɺ T = (F-1 ⋅ σ) :Fɺ T = J −1P:Fɺ T .

Előadásvázlat (5.18)

A második Piola-Kirchhoff feszültségtenzornak is megkereshető az alakváltozástenzor párja: P:Fɺ T = Jσ:D = Jσ:(F−T ⋅ Eɺ ⋅ F-1 ) = (5.19) -T ɺ T -1 T -1 T T -1 = J (F ⋅ E) :(F ⋅ σ ) = J (F ⋅ σ ):(Eɺ ⋅ F ) =

ɺ -1 ⋅ σ ⋅ F-T ) = E:S ɺ = J (F-1 ⋅ σ):(Eɺ ⋅ F-1 ) = JE:(F = S:Eɺ . Ezekkel a változókkal például most már felírható az első főtörvény egy alternatív változata Lagrange-rendszerben: & +ρ r −∇ ⋅q . ρ 0 u& = S : E (5.20) 0 0 0 Összefoglalva az energiaelvben kapcsolt fontosabb alakváltozás-feszültség párokat: Jσ:D = P:F& T = S:E& . (5.21)

Az anyagmodellekben szereplő folyamatok irányítottsága Az irányítottságot a termodinamika második főtörvényének53 segítségével lehet jellemezni. Ez a törvény többféle módon is felírható, mi most a számunkra legcélszerűbb változatát, az úgynevezett Clausius54-Duhem55 egyenlőtlenséget fogjuk használni. Ez a matematikai alak az entrópia56 változása segítségével jellemzi a mechanikai folyamatokat. Hétköznapi mérnöki jelenségekre alkalmazva az alábbi egyenlőtlenség azt jelenti, hogy reverzibilis („megfordítható”, például rugalmas tulajdonságú) anyagok terhelési folyamata esetében a belső rendezetlenség57 (vagyis az entrópia) állandó értékű, irreverzibilis (meg nem fordítható, pl. képlékeny, morzsolódó) jelenségeket tartalmazó anyagoknál pedig az entrópia nő: 2 dQ , ∆ η = η 2 − η1 ≥ ∫ T 1

(5.22)

53

Eredeti formájában a második főtörvényt Nicolas Leonard Sadi Carnot (1796 – 1832), a kiváló francia fizikus és hadmérnök publikálta 1824-ben (arcképe látható ezen az oldalon). Gyakran nevezik őt a „termodinamika atyjának”. 54 Rudolf Julius Emanuel Clausius (1822 – 1888) német fizikus és matematikus, a termodinamika egyik legjelentősebb kutatója. Az entrópia fogalmát is ő javasolta használni. 55 Pierre Maurice Marie Duhem (1861 – 1916) francia fizikus és matematikus. Termodinamikai vizsgálatok mellett sokat foglalkozott rugalmasságtannal és hidrodinamikával. 56 Az entrópia az anyag belsejében létrejövő rendezetlenség mértékére jellemző változó. Maga a szó görög eredetű, a „valami felé fordulást”, vagyis lényegében az „irányítottságot” jelzi. Többféle változatát használják, a Clausius kidolgozta klasszikus termodinamikai entrópia mellett a statisztikus termodinamika (Ludwig Boltzmann, Josiah Willard Gibbs, James Clark Maxwell) és az információelmélet (Claude E. Shannon, 1948) is alkalmazza jelenségei leírására. 57 Az általunk vizsgált mechanikai feladatoknál a mikroszerkezet épen maradásához, vagy tönkremeneteléhez (és tönkremeneteli módjához) köthető a rendezetlenség jellemzése. 10.06.20.

66


Előadásvázlat

ahol η az egységnyi tömegre jutó (termodinamikai) entrópiát jelöli, Q az egységnyi tömegre vonatkoztatott hőváltozás, T pedig a hőmérséklet Kelvin-fokban, „1” és „2” pedig két egymást követő állapotot jelölnek. A képletben az egyenlőség a reverzibilis (vagyis megfordítható), a nagyobb jel pedig az irreverzibilis (vissza nem fordítható) folyamatokra vonatkozik. Az első főtörvénynél alkalmazott paraméterekkel időbeli változásként kifejezve a fenti egyenlőtlenséget a következő kifejezéseket kapjuk (mindkét bázist használva): q ρ r q d ρr d ρ η dV ≥ − ∫ ⋅ n dA + ∫ dV , ρ 0 η dV0 ≥ − ∫ 0 ⋅ n 0 dA0 + ∫ 0 dV0 . (5.23) ∫ ∫ dt V T T dt V0 T T A V A0 V0 A felületi integrálok Gauss-tétel segítségével történő átalakításával: q0  ρ0r q  ρr   ∫V ρ η& − T + ∇ ⋅ ( T ) dV ≥ 0 , V∫ ρ 0 η& − T + ∇ 0 ⋅ ( T ) dV0 ≥ 0 . 0

(5.24)

A tetszőleges térfogatra értelmezett lokális alakok a kétféle bázisban: q r 1 r 1 q η& − + ∇ 0 ⋅ ( 0 ) ≥ 0 . η& − + ∇ ⋅ ( ) ≥ 0 , T ρ T T ρ0 T (5.25) A divergencia-művelet kifejtésével (csak az Euler-bázisra írjuk fel, a Lagrange-változókra csak alkalmazzuk az eredményét) a baloldal második tagja átírható: q 1 1 ∇ ⋅ ( ) = ∇ ⋅ q − 2 q ⋅∇T (5.26) T T T Ezek figyelembevételével (5.25) új alakja: r 1 1 r 1 1 & & η− + ∇ ⋅ q − 2 q ⋅∇T ≥ 0, η− + ∇0 ⋅ q0 − q 0 ⋅∇0T ≥ 0, (5.27) ρT ρ0T 2 T ρT T ρ0T Mivel a hő sohasem fog a hidegebb helyről a melegebb felé áramlani, ezért mindig igaz az alábbi két feltétel58: q ⋅∇T ≤ 0, q 0 ⋅∇ 0T ≤ 0 . (5.28) Ennek a fizikai megfigyelésnek és az eredeti ((5.23) alatti) feltételnek a figyelembevételével (5.27) módosítható: r 1 r 1 & & η− + ∇ ⋅ q ≥ 0, η− + ∇0 ⋅ q 0 ≥ 0 . (5.29) T ρT T ρ0T További egyenleteinkben a második főtörvény ezen alakját fogjuk használni.

Az anyagmodellek előállításánál figyelembe veendő további alapelvek a./ Koordináta invariancia: Az anyagi viselkedést leíró modelleknek függetleneknek kell lenniük az alkalmazott koordinátarendszerektől, ezért az egyenleteket tenzor formában kell megadni. b./ Történetfüggés: Általános esetben egy adott időpontban az anyagban keletkező feszültségek nem csak a deformáció, a hőmérséklet és az esetleges disszipációs hatások pillanatnyi értékeitől 58

Az (5.28)-as egyenlet lényegében azt fejezi ki, hogy a hőmérséklet-gradiens és a hőáram előjele mindig különböző.

10.06.20.

67


Előadásvázlat

függenek, hanem ezen változók adott időpillanatig tartó teljes történetétől. Ezt az elvet hívják a mechanikában történetfüggésnek59. Egyszerűsített esetekben ez a történetfüggés elhanyagolható: pl. ideálisan rugalmas anyagnál csak a pillanatnyi deformációtól, termoelasztikus anyagnál pedig a deformációk mellett csak a pillanatnyi hőmérséklettől függ a feszültség. c./ Lokális hatás60: Az anyag egy tetszőleges pontjában számított anyagi változók (pl. feszültségek) nem függnek jelentős mértékben a pont egy meghatározott környezetén kívül levő független változóktól (pl. jelen esetben a környezeten kívül levő alakváltozásoktól). Matematikai formában: ha egy adott P pont mozgását és hőmérsékletét r(X,t) és T(X,t) függvények határozzák meg és a pont egy kicsiny környezetében levő mozgást és hőmérsékletet r ( X, t ) és T ( X, t ) függvényekkel jelöljük61, akkor: ∂r ∂T r(X, t ) = r(X, t ) + ( X - X) ⋅ + .... , T ( X,t ) = T ( X, t ) + ( X - X) ⋅ + .... (5.30) ∂X ∂X A lokális hatások elvének figyelembevételével a vizsgált pont mozgási és hőmérsékleti állapotát a pont elemien kicsiny (lokális) környezetének figyelembevételével lehet meghatározni. Jelenlegi tárgyalási módunkban csupán az első deriváltat fogjuk számításba venni az anyagi hatásoknál, a magasabb rendűeket elhanyagoljuk. Megjegyezzük, hogy a mechanikában néha az „egyszerű anyagok” jelzőt kapcsolják ehhez a leírási módhoz. A lokális hatások és az előbb említett történetfüggés elvét figyelembe véve például a termoelasztikus anyag legáltalánosabb anyagmodelljeire az alábbi összefüggések írhatók fel: σ = σ ( X, F,T , ∇T ), q = q(X,F,T , ∇T ), u = u ( X,F,T , ∇T ),

η = η( X, F, T , ∇T ) (5.31)

A feszültségek, a hőáram, az energia és az entrópia függvényeit alapvetően az itt felsorolt változók meghatározzák. Megjegyezzük, hogy az egyenletekben szereplő X paraméter lehetővé teszi az inhomogenitás hatásának figyelembevételét. Ugyancsak fontos megjegyzés, hogy néha a hőmérséklet helyett a rendezetlenséget választják független változónak az alapegyenletekben, ilyenkor az (5.31) alatti képletek a következő alakúak lesznek: σ = σ ( X, F,η, ∇η), q = q(X,F,η, ∇η), u = u ( X,F,η, ∇η), T = T ( X,F,η, ∇η)

(5.32)

d./ Egyidejűség: Ha egy változó szerepel az anyagot jellemző egyenletek valamelyikében, szerepelnie kell a többi egyenletben is, hacsak jelenléte nem sért valamilyen alapvető fizikai törvényt (a „c” pont végén megadott állapotjellemző függvények jól illusztrálják ezt az elvet). Ha például új 59

Szokás néha „útfüggő”, vagy „terheléstörténet-függő” anyagúnak is nevezni az erre különösen érzékeny szerkezeteket. 60 Megjegyezzük, hogy a mechanikai jelenségek leírása egyes esetekben célszerűbb lehet úgynevezett „nemlokális” kontinuummechanikai modellek alapján, lásd erre vonatkozólag a Függelékben olvasható megjegyzéseket. 61 Itt X és X a deformálatlan test két egymáshoz elemien közeli két pontját jelölik. 10.06.20.

68


Előadásvázlat

hatást akarunk beépíteni a modellekbe (pl. valamilyen kémiai vagy elektromos paramétert), akkor azt mind a négy kapcsolati függvényben szerepeltetni kell. e./ Anyagi objektivitás:: Az anyagmodellnek invariáns invariánsnak62 kell lennie a térbeli referencia rendszer merevtestszerű mozgásával szemben. Az elv fontossága miatt matematikai jellemzésével részletesebben foglalkozunk. Vizsgáljuk meg például az 5.1 5.1-es ábrán látható (A-val és A∗ -gal jelölt) hivatkozási rendszereket.

5.1. ábra: Különböző mozgó megfigyelő rendszerek Helyezzünk el mindegyik bázis ((O-val és O∗ -gal gal jelölt) kezdőpontjában egy rögzített helyzetű megfigyelőt. Az A rendszerben rögzített p pont az O-ban ban levő megfigyelő számára helyben marad, de természetesen ez már nem így lesz a másik megfigyelő esetében, számára p elmozdul, ha a két bázis relatív helyzete változik. Alapvető kérdés, hogyan kapcsolhatók össze a p pont helyzetét a két rendszerben leíró r és r∗ helyzetvektorok. Jelöljük a két bázis egymáshoz képesti eltolódását b(t) időfüggő eltolódásvektorral, relatív elfordulását pedig egy Q(t)) (ugyancsak időfüggő) ortogonális rotációs tenzorral. ral. Mivel az r vektor állandó az A-ban ban levő megfigyelő számára, az A∗ -ban levő elfordulni látja Q (t ) ⋅ r értékkel. Így a p pont helyzetét megadó két vektor kapcsolata: kapcsolata ∗ r = Q ⋅ r + b . Fontos megjegyeznünk, hogy az ábra alapján látszólag adódó r ∗ = r + b összefüggés most téves (lásd a következő magyarázó példákat)!

5.1 Példa

5.2. ábra: Kilencven fokos elfordítás

62

Természetesen jelenlegi vizsgálatainkban elhanyagolunk minden relativisztikus hatást.

10.06.20.

69


Előadásvázlat

0 −1 1  4   4 r∗ =    +   =   ; 1 0   0   0  1 

5.3. ábra: 180 fokos elfordítás  −1 0  1   4  3 r∗ =   + = .  0 −1 0 0  0  A vektorok objektivitási vizsgálata a következőt mutatja: Az A∗ -ben levő megfigyelő számára egy a vektort csak az elfordulás hatása változtat meg, a két rendszer eltolódásának nincs hatása: a∗ = Q ⋅ a . (5.33) Az ábra vázlatainak felhasználásával:

5.4. ábra: Vektorok objektivitásának vizsgálata

a = r2 − r1 , a∗ = r2∗ − r1∗ , r1∗ = Q ⋅ r1 + b , r2∗ = Q ⋅ r2 + b , a∗ = r2∗ − r1∗ = Q ⋅ (r2 − r1 ) = Q ⋅ a (5.34)

5.2 Példa Mutassuk ki, hogy a két rendszerben ugyanazt kapjuk az a vektor hosszára és egy másik b vektorral bezárt szögére! (ds∗ )2 = a∗ ⋅ a∗ = (Q ⋅ a) ⋅ (Q ⋅ a) = (a ⋅ Q T ) ⋅ (Q ⋅ a) = a ⋅ (Q T ⋅ Q) ⋅ a = a ⋅ a = ds 2 a∗ = Q ⋅ a , b∗ = Q ⋅ b , a∗b∗ = (Q ⋅ a) ⋅ (Q ⋅ b) = (a ⋅ Q T ) ⋅ (Q ⋅ b) = a ⋅ (Q T ⋅ Q) ⋅ b = a ⋅ b .

5.3 Példa Vizsgáljuk meg, hogy a sebesség objektív mennyiség-e? & ⋅ r + b& = Q ⋅ v + Q & ⋅ r + b& ⇒ v∗ ≠ v . v ∗ = r& ∗ = Q ⋅ r& + Q 10.06.20.

70


Előadásvázlat

A sebesség nem objektív mennyiség. A tenzorok vizsgálata a vektorokéhoz hasonlóan végezhető el: Egy tetszőleges másodrendű T tenzor objektív jellegének eldöntésére alkalmazzuk az A rendszerben a T tenzort az alábbi transzformációra: b = T ⋅ a . Az objektivitás azt igényli, hogy az A∗ bázisban ez b∗ = T∗ ⋅ a∗ módon legyen felírható. A két vektorra az előzőekben bemutatott transzformáció alkalmazható: b∗ = Q ⋅ b = Q ⋅ (T ⋅ a) = Q ⋅ T ⋅ (Q T ⋅ a∗ ) = (Q ⋅ T ⋅ Q T ) ⋅ a∗ ⇒ T∗ = Q ⋅ T ⋅ Q T . (5.35) Ez a másodrendű tenzor objektivitásának feltétele. Kivételek: Vannak olyan másodrendű tenzorok, amelyekre nem érvényes a fenti összefüggés. Ilyen például a deformáció-gradiens tenzor (F) is. Legyen például az ábrán látható A és A∗ rendszerek t=0 időpillanatban azonosak, és tételezzük fel, hogy ekkor a test még deformálatlan állapotban van (dR vektor jellemzi a testet). t > 0 pillanatban a két rendszer már szétválik egymástól, legyen az A jelűé a test megváltozott alakja, itt dr vektor az új jellemző. A másik rendszerben: dr ∗ = Q ⋅ dr .

5.5. ábra: Tenzorok vizsgálata Mindkét rendszerben igaz, hogy a t = 0 helyzetből kiindulva: dr = F ⋅ dR , dr ∗ = F ∗ ⋅ dR . (5.36) Behelyettesítve az előbbi egyenletbe: dr ∗ = Q ⋅ (F ⋅ dR) = (Q ⋅ F) ⋅ dR ⇒ F∗ = Q ⋅ F , (5.33) vagyis a deformáció-gradiens tenzor vektorként transzformálódik. Hasonló a nominális feszültségtenzor viselkedése is, ez is vektorként transzformálódik: P∗ = Q ⋅ P . (5.37) Megjegyezzük, hogy ezeket a tenzorokat (F-et és P-t) a matematikusok az úgynevezett kétpont tenzorok csoportjába szokták sorolni, mert az a sajátosságuk, hogy elemeiket (más tenzorok szokásos felírási módjától eltérően) két különböző bázis (jelenleg ezek a Lagrangeés Euler-rendszerek) összekapcsolásával származtattuk. Minden két-pont tenzor vektor módjára transzformálódik.

5.4 Példa Igazoljuk, hogy a D alakváltozás-sebesség tenzor objektív mennyiség! 10.06.20.

71


Előadásvázlat

[

]

1 1 D = (L + LT ) = ∇v + (∇v) T . 2 2 Ha D objektív, akkor

1 D∗ = ∇∗ v ∗ + (∇∗ v ∗ )T  , 2 és a két tenzor közötti kapcsolat: D∗ = Q ⋅ D ⋅ QT módon adható meg. A bizonyításnál vizsgáljuk először a gradiens operátor transzformálását: dr ∗ = Q ⋅ dr és dr = QT ⋅ dr ∗ = dr ∗ ⋅ Q . Az elemi dr vektor másképp is felírható: ∂r dr = dr ∗ ⋅ ∗ = dr ∗ ⋅ ∇ ∗r , ∂r ∂ ahol ∇∗ = ∗ . ∂r Az előző egyenletek felhasználásával63: Q = ∇ ∗r , illetve ∇ ∗ = Q ⋅ ∇ Megjegyzendő, hogy a gradiens-operátor vektorként transzformálódik. Térjünk vissza ezek után az alakváltozás-sebesség tenzor vizsgálatához: & ⋅ r + Q ⋅ r& + b& = r ⋅ Q & T + r& ⋅ QT + b& , v∗ = r& ∗ = Q illetve & T + (∇∗ v) ⋅ QT = Q ⋅ Q & T + Q ⋅ (∇v) ⋅ QT . ∇∗ v∗ = (∇∗r) ⋅ Q Ennek transzponáltja: & ⋅ QT + Q ⋅ (∇v)T ⋅ QT . (∇∗ v∗ )T = Q Helyettesítsük be ezt a két utolsó egyenletet D∗ elsőként felírt képletébe: 1 & T +Q & ⋅ QT + Q ⋅ (∇v +(∇v)T ) ⋅ QT  = Q ⋅ D ⋅ QT , D∗ = Q ⋅ Q  2 hiszen & T +Q & ⋅ QT = d (Q ⋅ QT ) = 0 . Q ⋅Q dt Ezzel igazoltuk az alakváltozás-sebesség tenzor objektív voltát. Megjegyezzük, hogy az alakváltozás-sebesség tenzortól eltérően a sebesség-gradiens tenzor viszont nem objektív: & + QF& ( F −1QT ) = Ω + QLQT ⇐ Ω = QQ & T, & −1 )∗ = F& ∗ ( F ∗ )−1 = QF L∗ = ( FF

(

)

(5.38) vagyis

L∗ ≠ QLQT . Az eddigi vizsgálatok összefoglalása: Helyzetvektor: Skalár: Vektor:

63

Ellenőrzésként: ∇ ∗r = Q ⋅ ∇r = Q ⋅

10.06.20.

r ∗ = Q ⋅ r +b ∗

c =c a∗ = Q ⋅ a

(5.39)

(5.40/a) (5.40/b) (5.40/c)

∂r =Q . ∂r 72


Előadásvázlat Másodrendű tenzor: T∗ = Q ⋅ T ⋅ QT Deformáció-gradiens: F∗ = Q ⋅ F

(5.40/d) (5.40/e)

A bemutatott matematikai hátteret már fel lehet használni az anyagmodellek objektivitásának elemzésére. Az eddigi bevezetés figyelembevételével ugyanis megállapítható, hogy egy testen belül a Cauchy-feszültségtenzor is objektív mennyiség64, így a „c” pontban megadott kapcsolati egyenletek szintén objektívek! Vizsgáljunk meg például az alábbi egyszerű anyagmodellt: σ = g(σ ) (F) .

(5.41)

Megjegyezzük, hogy szokás – az A rendszerben kísérletekből meghatározandó - g(σ ) -t „válaszfüggvény”-nek is nevezni. Az anyagmodellnek teljesíteni kell az objektivitási feltételt, az A∗ rendszerben felírt: σ∗ = g (σ ) (F∗ ) , (5.42) kapcsolatnak, és az egyes paramétereknek ( σ és σ∗ , valamint F és F∗ ) az előírt transzformációkkal kell kapcsolatban állniuk: Q ⋅ σ ⋅ QT = g(σ ) (Q ⋅ F) . (5.43) Teljesen hasonló összefüggést kapunk, ha a Q elfordulás tenzort az F tenzor poláris felbontásából kapott R rotációs tenzor transzponáltjával helyettesítjük: RT ⋅ σ ⋅ R = g(σ) (RT ⋅ F) . (5.44) Megjegyezzük, hogy ha a poláris felbontás másik tenzor-komponensénél figyelembe vesszük az alábbi felbontást: U = R -1 ⋅ F = RT ⋅ F , (5.45) akkor az előző egyenlet átalakítható σ = R ⋅ g(σ) (U) ⋅ RT (5.46) alakba. U tenzornak a jobb Cauchy-, vagy a Green-Lagrange alakváltozás tenzorral való kapcsolatát felhasználva innen még további kapcsolati egyenletek kaphatók: σ = R ⋅ f(σ ) (C) ⋅ RT vagy σ = R ⋅ h(σ ) (E) ⋅ RT . (5.47) Az első és második Piola-Kirchhoff feszültségtenzor is bevonható ebbe a körbe, hiszen: σ = J −1F ⋅ P = J −1F ⋅ S ⋅ FT . (5.48) Például az első Piola-Kirchhoff tenzort felhasználva J −1F ⋅ P = R ⋅ g(σ) (U) ⋅ RT ⇒ J −1(RT ⋅ F) ⋅ P = g(σ) (U) ⋅ RT (5.49) alakot kapjuk, és ha itt felhasználjuk az RT ⋅ F = U (5.50) illetve a (5.51) J = det F = det( R ⋅ U) = det( R) det( U) = det( U ) kifejezéseket, akkor az első Piola-tenzorra az alábbi eredményt kapjuk: P = g(P) (U) ⋅ RT , ahol g(P) (U) = det(U)U-1g(σ) (U) . (5.52) Megfelelő átalakításokkal itt is bevonható a C és E alakváltozástenzor: P = f(P) (C) ⋅ RT vagy P = h(P) (E) ⋅ RT . (5.53)

64

Hiszen mind a metszeterők, mind az elemi felületek azok, így a felhasználásukkal definiált feszültségtenzor is az. 10.06.20.

73


Előadásvázlat

A második Piola-Kirchhoff feszültségtenzor is hasonló módon kapcsolható a különböző alakváltozástenzorokhoz: S = P ⋅ F -T = g (P) (U) ⋅ RT ⋅ F -T . (5.54) Felhasználva az S tenzor szimmetriatulajdonságait: S = ST = (RT ⋅ F -T )T ⋅ (g (P) (U))T = (F -1 ⋅ R) ⋅ (g(P) (U))T = U -1 ⋅ (g (P) (U))T = g (S) (U) . (5.55) Az S tenzor C vagy E segítségével is felírható: S = f (S) (C) = h (S) (E) . (5.56) Nagy alakváltozások esetére valamennyi fontosabb feszültség és alakváltozástenzor kapcsolati változatát megadtuk. Természetesen kis alakváltozások esetén az összes fenti változat azonos alakra redukálódik. f./ Összeférhetőség az alapvető fizikai egyenletekkel: Az anyagmodelleknek nem szabad megsérteniük az alapvető fizikai egyenleteket. Vizsgáljuk meg például a termodinamika első és második főtörvényének hatását a termoelasztikus anyag modelljeinek létrehozására. Alkalmazzunk most Lagrangeleírásmódot a Green-Lagrange alakváltozás tenzor és a második Piola-Kirchhoff feszültségtenzor felhasználásával. Az anyagmodell egyenletek (5.31) és (5.32) felhasználásával: S = S(X, E, T , ∇T ) , q 0 = q 0 (X, E, T , ∇T ) , u = u ( X, E, T , ∇T ) , η = η( X, E, T , ∇T ) , vagy ha az entrópiát független változónak használjuk a hőmérséklet helyett, akkor S = S(X, E, η, ∇η) , q 0 = q(X, E, η, ∇η) , u = u ( X, E, η, ∇η) , T = T ( X, E, η, ∇η) alakban írhatók fel.

(5.57) (5.58)

Egy általános termoelasztikus anyagban a feszültségek csak az alakváltozások és a hőmérséklet (vagy az entrópia) függvényei lehetnek. Mivel a terhelés során nincs disszipált – vagyis elnyelt – energia, az alapegyenletek (a két termodinamikai főtétel lokális változatban, lásd az (5.17) és (5.21) alatti egyenleteket) a következő alakúak lesznek: r 1 ρ 0 u& − S : E& - ρ 0 r + ∇ ⋅ q 0 = 0 , η& − + ∇ ⋅ q0 = 0 . (5.59) T ρ 0T Ha innen elimináljuk az r hőforrásokat és a hőáramvektort, akkor a következő egyenlethez jutunk: & =0 . ρ 0 (T η& − u& ) + S : E (5.60) Helyettesítsük be ide az előbb felvett anyagmodelleket, először azt az alakot, amikor a hőmérsékletet használtuk független változónak, majd vezessük be az úgynevezett Helmholtz65-féle szabad energia66 függvényét

65

Hermann von Helmholtz (1821 – 1894). Német tudós, élettannal, fizikával és tudományfilozófiával foglalkozott. Tőle származik a „biomechanika” elnevezés. 66 A mechanikában szabad energiának nevezik az alakváltozási energia módosított változatát. Kétféle alakban használják, az 1882-ben publikált Helmholtz-féle az entrópia és a hőmérséklet szorzatából kapott energiahatással módosít, míg a Josiah Willard Gibbs (1839 – 1903) amerikai tudós (vegyész, fizikus, matematikus) által 1873-ban javasolt változat ψ% = u + pV − T η alakú (itt p a 10.06.20.

74


Előadásvázlat

(5.61) ψ = u − Tη alakban, és módosítsuk az energiára használt harmadik függvényt (5.62) ψ = ψ ( X, E, T , ∇T ) új függvénnyel. Az alapegyenletek összevont (r és q függvényét nem tartalmazó) alakjába helyettesítsük be a szabad energiát: & =0 . & + ηT& ) + S : E − ρ 0 (ψ (5.63) Írjuk be most a szabad energia változását leíró komponenseket: ∂ψ  & ∂ψ  & ∂ψ   ⋅ ∇T& = 0 . (5.64)  S − ρ0 : E - ρ0  η +  T − ρ0 ∂ E ∂ T ∂∇ T     Ha az alakváltozásokat és a hőmérsékletet független változóknak tételezzük fel, akkor ez az egyenlet három további egyenletet eredményez: ∂ψ ∂ψ ∂ψ S = ρ0 , η= − , = 0. (5.65) ∂E ∂T ∂∇T Az első két egyenlet a termoelasztikus anyag komplex modellje, az utolsó pedig azt fejezi ki, hogy a szabad energia független a hőmérséklet-gradienstől. Ha az anyagban lezajló folyamatok izotermálisak ( T& = 0 , ψ = ψ ( X, E) ), akkor szokás a szabad energiától függő alakváltozási energiasűrűség függvény bevezetése: W (X,E) = ρ0 ψ . (5.66) Mivel a deformálatlan test ρ 0 sűrűsége nem függ az alakváltozásoktól, a feszültségekre vonatkozó anyagmodell: ∂W S= . (5.67) ∂E Ha az entrópiát választjuk független változónak a hőmérséklet helyett, akkor az összevont alapegyenlet alakja:  ∂u  & ∂u  ∂u  ⋅ ∇η& = 0 . (5.68)  : E + ρ 0  T −  η& − ρ 0  S - ρ0 ∂E  ∂η  ∂∇η   Egymástól független entrópia és alakváltozás esetén ismét három egyenletet kapunk: ∂u ∂u ∂u S = ρ0 ,T= , =0. (5.69) ∂E ∂η ∂∇η Az első két egyenlet ismét a termoelasztikus anyag komplex modelljét szolgáltatja, harmadik pedig az u függvény entrópia-gradienstől való függetlenségére utal. Ha az anyag viselkedése izentróp (η& = 0 , u = u ( X, E)) , akkor újból bevezethető az alakváltozási energiasűrűség, és ismét az előbb már bemutatott modellhez jutunk: ∂W W ( X, E) = ρ 0 u ⇒ S = . (5.70) ∂E Azokat az anyagokat, amelyek kapcsolati egyenletei így származtathatók, a mechanikában hiperelasztikus (vagy Green-féle) anyagoknak nevezzük. A második Piola-Kirchhoff feszültség tenzorra levezett anyagmodell a megfelelő átalakításokkal a Cauchy-féle és az első Piola-Kirchhoff tenzorra is felírható: rendszerben lévő átlagos nyomás, V pedig a térfogat). Helmholtz modelljét főleg a fizikai, Gibbsét pedig főleg kémiai folyamatoknál használják. 10.06.20.

75


Előadásvázlat

σ = J −1F ⋅

∂W T ∂W T ⋅F , P = ⋅F . ∂E ∂E

(5.71)

Megjegyezzük, hogy másféle alakok is előállíthatók. Például az első Piola-Kirchhoff tenzort is használhatjuk annak figyelembevételével, hogy az S : E& feszültségteljesítmény helyettesíthető P : F& T szorzattal (lásd a korábbi levezetéseket). Így a tenzor a ∂W P= T (5.72) ∂F anyagmodellből származtatható.

Kis alakváltozások hatása A termodinamikai főtörvények ebben az esetben az alábbi alakúak: ρ u& = σ : εɺ + ρ r − ∇ ⋅ q , ρ T η& = ρ r − ∇ ⋅ q . A két egyenlet összevonásából: σ : εɺ = ρ (u& − T η& ) . Speciális esetek:

(5.73) (5.74)

a./ Izentróp deformáció ( η& = 0 ): Most is bevezethető a (5.75) W =ρu módon definiált (egységnyi térfogatra eső) alakváltozási energia függvény, amely segítségével (állandó sűrűséget feltételezve) : σ : ε& = W& . (5.76) Ha ezen túlmenően még a hőmérséklet hatását is elhagyjuk, akkor W csak az alakváltozástenzor függvénye lesz, s így: ∂W ∂W σ : ε& = : ε& ⇒ σ = . (5.77) ∂ε ∂ε Ez a kis alakváltozású rugalmas anyagok hiperelasztikus anyagmodellje. A W függvényt laboratóriumi kísérletek eredményei alapján lehet megalkotni. b./ Izotermális deformáció ( T& = 0 ): Vezessük be a szabad energia függvényét: ψ = u − T η ⇒ ψ& = u& − T η& . Innen a: σ : ε& = ρψ& egyenlethez jutunk, és ha most is felhasználjuk a W = ρψ alakváltozási energia függvényt, akkor az „a” pontban már ismert σ : ε& = W& összefüggéshez jutunk.

(5.78) (5.79) (5.80) (5.81)

Ha W most sem függ a hőmérséklettől, akkor az anyagmodell egyenlete formailag is megegyezik a hiperelasztikus modellre levezetett változattal.

10.06.20.

76


Előadásvázlat

67

A Drucker -féle stabilitási posztulátumok kis alakváltozású rendszereknél

5.6. ábra: A Drucker-posztulátumok illusztrálása Vizsgáljuk meg a bal oldali ábrán látható, V térfogatú és A felülettel rendelkező, nyugalomban levő tetszőleges anyagú testet. Az alkalmazott felületi és térfogati erőket jelölje p és q. Az adott állapothoz tartozó elmozdulásokat, feszültségeket és alakváltozásokat jelölje u, σ és ε , egy tetszőleges külső hatásra létrejövő változásokat (jobb oldali ábra) pedig jelölje p& , q& , u& , σ& és ε& . Drucker posztulátuma a következőt állítja egy anyag viselkedéséről: egy anyag akkor tekinthető stabilnak, ha a külső hatásokra bekövetkező változások során teljesülnek az alábbi feltételek: a./ ∫ p& ⋅ u& dA + ∫ q& ⋅ u& dV > 0 b./ ∫ p& ⋅ u& dA + ∫ q& ⋅ u& dV ≥ 0 . (5.82) A

A „b” feltételben szereplő

V

∫

A

V

most egy terhelési-tehermentesítési ciklusra utal. Az első

feltételt a „kis változás”, a másodikat pedig a „ciklikus terhelés” anyagi stabilitási feltételének hívják. Mindkét feltétel felírható az alakváltozások és feszültségek függvényeinek deriváltjaira is (ebben az esetben nem kell térfogati integrált alkalmaznunk, mert bármely térfogatrészre igaznak kell lennie az állításnak). A továbbiakban lineáris algebrai jelölésekkel: T a./ σ& ε& > 0,

b./ σ& ( ε& − ε& rug . ) ≥ 0

(5.83)

T

A második egyenletben szereplő zárójeles tag a nemrugalmas alakváltozásokat jelenti. Rugalmas anyagok néhány változatát mutatja az alábbi ábra. Az első három vázlaton Drucker-értelemben stabil, a másik kettőn nem-stabil anyagi viselkedés látható:

67

Daniel C. Drucker (1918 – 2001) amerikai gépészmérnök, képlékenységtani kutatásairól ismert.

10.06.20.

77


Előadásvázlat

5.7. ábra: Stabil és instabil anyagi viselkedés Ha figyelembe vesszük a hiperelasztikus anyagok definíciójára a korábbiakban bevezetett összefüggést, akkor a Drucker-féle stabilitási posztulátum alkalmazásával az alábbi kifejezéshez jutunk: T

T  ∂ 2W  ∂σ ∂ 2W &ε = &ε ⇒  &σ = (5.84) ε&  ε& > 0 ⇒ ( H ε& ) ε& > 0 . ∂ε ∂ε ∂ε  ∂ε ∂ε  Az utolsó tagban szereplő H az energia-függvény függvény alakváltozások szerinti második parciális deriváltjait it tartalmazó negyedrendű tenzor. A mechanikában Hesse68-mátrix néven ismerik, pozitív definit volta biztosíték az energiafüggvényből származtatott anyagmodell stabilitására:

 ∂ 2W  ∂ε 2  x       H =         

68

∂ 2W ∂ε x ∂ε y

∂ 2W ∂ε x ∂ε z

∂ 2W ∂ε x ∂γ xy

∂ 2W ∂ε x ∂γ yz

∂ 2W ∂ε 2y

∂ 2W ∂ε y ∂ε z

∂ 2W ∂ε y ∂γ xy

∂ 2W ∂ε y ∂γ yz

∂ 2W ∂ε 2z

∂ 2W ∂ε z ∂γ xy

∂ 2W ∂ε z ∂γ yz

∂ 2W ∂γ 2xy

∂ 2W ∂γ xy ∂γ yz

szimm.

∂ 2W ∂γ 2yz

∂ 2W  ∂ε x ∂γ zx  ∂ 2W   ∂ε y ∂γ zx   ∂ 2W  ∂ε z ∂γ zx   . ∂ 2W  ∂γ xy ∂γ zx  ∂ 2W   ∂γ yz ∂γ zx   ∂ 2W  ∂γ 2zx 

(5.85)

Ludwig Otto Hesse (1811 – 1874) német matematikus.

10.06.20.

78


Előadásvázlat

Kis alakváltozású, lineárisan rugalmas, hőmérséklettől nem függő anyagok modelljei A W alakváltozási energiasűrűség ilyenkor kvadratikus függvénye az alakváltozás tenzornak, és így a deriváltjaként származtatott σ = D:ε, σi j = Di j k l εk l , σ = D ε (5.86) anyagmodell általános esetben egy negyedrendű (81 elemet tartalmazó) tenzorral adható meg. (Megjegyezzük, hogy a mechanikában sajnos ugyanazt a D jelölést használják az anyagmodell kapcsolati egyenletének és az alakváltozás-sebesség tenzornak a megadására, csak egy adott szövegkörnyezet alapján azonosítható a pontos jelentés!). A most megadott anyagmodellt általánosított Hooke69-modellnek hívják a mechanikában. Mivel σ és ε is szimmetrikus tenzorok, így 81 helyett elegendő 36 független elem. Ha a termodinamikai alapelveket (rugalmas viselkedés esetén zárt terhelési ciklusban nem generálhat vagy nyelhet el energiát a modell) is figyelembe vesszük, a független elemek száma 21-re csökken. Ha az anyagmodellt tenzorok helyett - Voigt70-jelölésrendszerre áttérve - vektor-mátrix kapcsolattal adjuk meg, akkor a feszültség- és alakváltozástenzor hat független elemét tartalmazó σ és ε vektorokat egy 6 x 6-os szimmetrikus anyagi merevségi mátrix kapcsolja össze, amely a szimmetria miatt pontosan 21 elemmel adható meg. Az ilyen anyagot anizotrop viselkedésűnek nevezzük. Ha az anyagban található 3 olyan egymásra merőleges irány, amely irányokban az anyagi viselkedés azonosnak tekinthető, akkor az anyagot ortotropnak hívják (tipikus példája az élő fa szerkezete). Ebben az esetben 9 darab állandóra van szükség a kapcsolati egyenletek felírásához. Voigt-jelölésrendszerrel: ν y x + ν z xν y z ν z x + ν y xν z y  1− ν y zνz y  0 0 0   E y Ez C E y Ez C  E y Ez C  ε  σx    x  1 − ν z xν x z ν z y + ν z xνx y  σ   ν x y + ν x zν z y 0 0 0   εy   y  EEC E E C E E C   z x z x z x  σz     ε z  , (5.87) 1− νx yν y x   =  ν x z + ν x y ν y z ν y z + ν x z ν yx   0 0 0  γ y z  τ y z   E E C  Ex E y C Ex E y C x y τx z    γxz     0 0 0 Gy z 0 0    τ x y    γ x y  0 0 0 0 Gz x 0    0 0 0 0 0 Gx y   1 − ν x y ν y x − ν y z ν z y − ν z x ν x z − 2ν x y ν y z ν z x ahol C = . Ex E y Ez 69

Robert Hooke (1635 – 1703) kiváló angol fizikus, csillagász és biológus. Nevéhez fűződik a rugalmas viselkedés első pontos kísérleti modellezése. Életrajza a tanszéki honlapon olvasható „Hooke és a rugalmas anyagmodell” címen, arcképe látható ezen az oldalon. 70 Woldemar Voigt (1850 – 1919) német fizikus, sokat foglalkozott kristályok mechanikai vizsgálatával. Ő használta először a „tenzor” elnevezést a fizikában. 10.06.20.

79


Előadásvázlat

A szimmetria-feltételek miatt teljesülni kell az alábbi egyenlőségeknek: (5.88) ν y x + ν z xν y z E y EzC

=

νx y + νx zνz x Ez ExC

,

ν z y + ν z xν x y Ez ExC

=

νz y + νx zν y z Ex E yC

,

ν z x + ν y xν z y E y EzC

=

νx z + νx yν y z Ex EyC

.

Természetesen inverz alakban is felírható az ortotrop anyagmodell: νyx νz x  1  − − 0 0 0   Ey Ez  Ex   ν  ν 1 zy − x y − 0 0 0  Ey Ez   σx   ε x   Ex   ε   σy 1   y  − νx z − ν y z 0 0 0     σz   ε z   Ex Ey Ez (5.89)  .  = 1  τ y z  γ y z   0 0 0 0   γxz   0 τ Gy z   xz       τ x y   γ x y   1 0 0 0 0   0 Gz x    1  0 0 0 0  0  Gx y   A szimmetria-feltételekből most az alábbi egyenlőségeket kapjuk: νyz νz y νzx νxz νxy νyx . (5.90) = , = , = Ey Ez Ez Ex Ex E y A kettős indexű Poisson71-tényező értelmezése: ε j = − ν i j εi . Megjegyezzük, hogy (főleg numerikus alkalmazásoknál) a D tenzort (mátrixot) anyagi merevségi, inverzét pedig anyagi hajlékonysági mátrixnak is nevezik. Ha az anyagi viselkedésnek egyáltalán nincs kitüntetett iránya, akkor izotrop anyagról beszélünk. Ebben az esetben a kapcsolati egyenletek két anyagállandó segítségével adhatók meg: ν ν 0 0 0  1 − ν  ν 1− ν ν 0 0 0   ε x   σx   σ   ν ν 1− ν 0 0 0   εy   y    1 − 2ν  σz   0 E 0 0 0 0   ε z  , C = , (5.91)   =C   2 γyz  (1 + ν)(1 − 2ν) τ y z     1 − 2ν τx z   0 0 0 0 0  γxz    2   γ   τ x y    1 − 2ν  x y  0 0 0 0  0   2  illetve az inverz alak:

71

Siméon Denis Poisson (1781 – 1840) kiváló francia matematikus, életrajza „Poisson és a Poissontényező” címen olvasható a tanszéki honlapon.

10.06.20.

80


Előadásvázlat

 εx  0 0 0   1 −ν −ν ε   −ν 1 −ν 0 0 0   y   ε z  1  −ν −ν 1 0 0 0   =   0 0 2(1 + ν ) 0 0  γ y z  E  0 γxz  0 0 0 0 2(1 + ν ) 0      0 0 0 0 2(1 + ν )   γ x y  0

 σx  σ   y  σz    . τ y z  τx z     τ x y 

(5.92)

A gyakorlati mérnöki munkának nagyon sokszor van szüksége ezen általános térbeli változatok speciális eseteire. Ilyen például a a./ sík feszültségi állapot:   1 ν  σx  0   εx    E    0   εy   σ y  = 1 − ν 2 ν 1    1 − ν   γ x y  τ x y  0 0  2  

 εx  0   σx   1 −ν   1   ,  εy  = 0  σy  , −ν 1   E    0 0 2(1 + ν )   τ xy  γ x y 

(5.93) illetve a b./ sík alakváltozási állapot:   1 − ν  σx  ν 0   εx   εx  1 − ν −ν 0   σ x        1+ ν  E     0   εy  ,  εy  = −ν 1 − ν 0   σ y  . (5.94)  σ y  = (1 + ν)(1 − 2ν )  ν 1 − ν   E  τ x y   0 1 − 2ν   γ x y   γ x y  0 2   τ x y    0  0   2  Megjegyezzük, hogy sík feszültségi állapot esetén az alakváltozási állapot térbeli, de a merőleges alakváltozási komponens nem független: −ν −ν ε z = (σ x + σ y ) = (ε x + ε y ) , (5.95) E 1− ν a másik két szögtorzulás ( γ y z és γ z x ) értéke pedig zérus. Sík alakváltozási állapot esetén pedig a feszültségi állapot térbeli: σz = ν(σ x + σ y ) , τ y z = τ z x = 0 . (5.96) Egy másik gyakori eset a hengerkoordináta-rendszerben felírt, forgásszimmetrikus viselkedést követő anyagmodell (a komponensek értelmezését lásd az ábrán):

5.8. ábra: Feszültségek hengerkoordinátarendszerben forgásszimmetria esetén.

10.06.20.

81


Előadásvázlat

ν ν 0  1 − ν ε  σr   ν 1− ν  r  ν 0 σ     εz  E  z =  ν 1− ν 0    ,  σθ  (1 + ν)(1 − 2ν)  ν  εθ   1 − 2 ν  0   γ r z  0 0  τr z     2  illetve az inverz alak: 0   σr   εr   1 −ν −ν ε     0   σ z   z  = 1 − ν 1 − ν .  ε θ  E − ν − ν 1 0   σθ       0 0 2(1 + ν) τ r z   γ r z   0

(5.97)

(5.98)

Felhasznált irodalom: 1./ Taber, L.: A.: Nonlinear Theory of Elasticity, World Scientific, New Jersey, 2004. 2./ Fung, Y.C: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994. 3./ Bojtár I.: Mechanikai anyagmodellek, BME, 2007. 4./ Fung, Y. C. – Pin Tong: Classical and computational solid mechanics, World Scientific, 2001.

10.06.20.

82


Előadásvázlat

6. Előadás: Mechanikai anyagmodellek: képlékeny illetve időfüggő anyag modellezése Irreverzibilis hatások modellezése A – minden anyagra jellemző – kezdeti rugalmas viselkedést a külső terhek növekedése miatt egy bizonyos teherszint felett alapvetően irreverzibilis jelenségek váltják fel. Az anyag - belső szerkezeti felépítési módjától függő módon – elveszti teherbíró képességét, tönkremegy. Az anyagi struktúra felbomlása alapvetően kétféle különböző módon következhet be: a./ a mikroszerkezetben (kristályos területek határán, polikristályok között, amorf anyagi részekben egyes sávjaiban keletkező feszültségkoncentrációknál, stb.) létrejövő belső csúszások, torzulások miatt –az anyag képlékennyé válik. Ilyenkor az anyag megőrzi belső folytonosságát, de szerkezetében visszafordíthatatlan torzulások jönnek létre. b./ a mikroszerkezetben levő elemi (atomi vagy molekulaszintű) kötések szakadnak. Először mikrorepedések jönnek létre, majd ezek összefűződve makrorepedéseket alkotnak. Az anyag elveszti folytonosságát, különálló részek halmazává válik. A tönkremenetelnek ezt a módját fellazuló-morzsolódó viselkedésnek hívjuk. A kétféle alaptípus jellegzetes egytengelyű feszültség-alakváltozás diagramjai láthatók az ábrán:

6.1. ábra: Képlékeny és fellazuló anyagok Az anyagi viselkedés a valóságban nagyon sokszor ezen két alapeset kombinációja, mert a külső körülmények (hőmérséklet, feszültségi állapot típusa, stb.) az anyag mechanikai állapotát át tudják formálni. Jelen előadás keretében azonban csak a képlékeny viselkedés modellezésének alapvető kérdéseire térünk ki, a fellazuló-morzsolódó anyagok tulajdonságainak leírásával, illetve a kétféle alapeset kombinációjával a „Mechanikai anyagmodellek” c. tárgy foglalkozik a későbbiekben. Az anyag belső szerkezete az őt érő külső hatások következtében még akkor is alakváltozást végez (és általában veszít eredeti teherbíró képességéből), ha a külső aktív terhelések (erők, hőmérséklet) egyébként állandó értékűek. Az anyagnak ezt az időtől függő minőségváltozását viszkozitásnak hívják a mechanikában. Ez a fejezet bemutatja a legegyszerűbb viszkózus anyagmodellek különböző változatait is.

10.06.20.

83


Előadásvázlat

A./ Képlékeny anyagmodellek: A képlékeny anyagi tulajdonságok legfontosabb jellemzője az irreverzibilitás és a terhelési úttól függő anyagi viselkedés. - Irreverzibilitás: képlékeny állapotban az anyagban vissza nem fordítható fizikai változások következnek be a belső mikroszerkezet deformációi miatt. A vissza nem fordítható jelenségek az anyagmodelleknél a ciklikus terhelések során halmozódó maradó képlékeny alakváltozásokban tükröződnek elsősorban. - Terhelési úttól való függés: A képlékeny anyagok modellezésénél feltétlenül figyelembe kell vennünk a terhek változásának sorrendjét, mert a létrejövő képlékeny alakváltozások kialakulásának egymásutánisága befolyásolja az alakváltozások és feszültségek létrejöttének módját és a tenzorok elemeinek tényleges értékét. A képlékeny anyagmodellek alapvető osztályai: - Deformációs (vagy más néven Hencky72-Nádai73) elmélet: σ = Fˆ (σ ): ε . (6.1) A modell a teljes alakváltozás- és feszültségtenzort kapcsolja össze egy feszültségfüggő anyagi merevségi tenzor. Alapvetően egyparaméteres, monoton növekvő terhelések esetén történő határteherbírás vizsgálatra kidolgozott változat. - Növekmény (vagy más néven Prandtl74-Reuss75) elmélet: d σ = F% (σ ): d ε . (6.2) A modell az alakváltozás- és feszültségtenzorok növekményeit kapcsolja össze egy feszültségfüggő tenzor segítségével. A kapcsolati egyenletek csak növekményi alakban alkalmazhatók, és általános terhelési viselkedés (többparaméteres teher, ciklikus terhelés, stb.) leírására is alkalmasak.

A képlékeny anyagmodellek létrehozásához szükséges fizikai hatások modellezése - folyási feltétel: annak a fizikai jelenségnek matematikai leírása, amely megmutatja, hogy az anyag különböző feszültségkombinációk esetén mikor kerül rugalmasból képlékeny állapotba, - keményedési feltétel: a már képlékeny állapotba került anyag viselkedésének modellezése a külső teher további növekedése esetén.

72

Heinrich Hencky (1885 – 1951) német gépészmérnök, elsősorban a képlékenységtanban alkotott maradandót. Életrajza (Mises és Huber életének leírásával együtt) a tanszéki honlapon olvasható „Huber, Mises, Hencky és a fémek képlékenységtana” címen. 73 Nádai Árpád (1883 – 1963) magyar gépészmérnök, a fémek képlékeny viselkedésének kutatója. 74 Ludwig Prandtl (1875 – 1953) német fizikus, az aerodinamika és a képlékenységtan kiváló tudósa. 75 Reuss Endre (1900 – 1968) magyar gépészmérnök, a BME professzora és hosszú ideig a Gépészmérnöki Kar dékánja. Elsősorban képlékenységtani vizsgálatairól ismert. 10.06.20.

84


Előadásvázlat

Folyási feltételek A rugalmas-képlékeny állapotváltozást általában a feszültségtenzor és az anyagra jellemző állandók ( H k ) segítségével adják meg: F (σ , H k ) = 0 . (6.3) Most csak az izotróp anyagok esetén használt változatokkal foglalkozunk, ortotróp folyási feltételeket a „Mechanikai anyagmodellek” c. tárgy mutat be. Izotróp anyagoknál a folyási feltételt a teljes feszültségtenzor helyett a feszültségi invariánsok segítségével adják meg. Ha az anyag képlékeny tulajdonságai érzékenyek a hidrosztatikus hatásokra, akkor az első invariánst ( I 1 ) is figyelembe veszik, egyébként csak a deviátoros hatásokat építik be a folyási feltételbe. Jellemző változatok: F ( J 2 , J 3 , H k ) = 0 , → fémes anyagokra jellemző függvény, (6.4/a) F ( I1 , J 2 , J 3 , H k ) = 0 , → nemfémes anyagokra jellemző függvény. (6.4/b)

Fémes anyagok alapvető folyási feltételei: a./ Huber76- Mises77 - Hencky-féle feltétel: Az anyag akkor kerül képlékeny állapotba, ha a deviátoros feszültségtenzor második invariánsa elér egy kísérletileg meghatározott állandót. 1 F = J 2 − k 2 = (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ1 − σ 3 ) 2  − k 2 = 0 . (6.5) 6 A főfeszültségek terében a folyási felület a hidrosztatikus tengely körül felvett, két irányban nyitott, a deviátoros síkon kör vezérgörbéjű henger. Egy tetszőleges főfeszültségi síkkal való metszete ellipszis, lásd az alábbi ábrákat.

6.2.ábra: HMH folyási feltétel 76

Makszimillian Titusz Huber (1872 – 1950) kiváló lengyel tudós, elsősorban képlékenységtannal illetve ortotrop lemezek viselkedésének vizsgálatával foglalkozott. 77 Richard Edler von Mises (1883 – 1953) osztrák tudós, a képlékenységtan mellett a mechanika számos más területén is jelentőset alkotott. 10.06.20.

85


Előadásvázlat

A képletben szereplő k állandó kapcsolata a σ 0 egytengelyű folyási határfeszültséggel: σ k= 0 . (6.6) 3 A folyási feltétel egyébként a teljes feszültségtenzor illetve a Haigh-Westergaard-tér komponenseivel is kifejezhető: 1  (σ x − σ y ) 2 + (σ x − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6τ x2 y + 6τ y2 z + 6τ z2x  − k 2 = 0 . (6.7)  6 ρ − 2 k =0. (6.8) 78 b./ Tresca -féle feltétel: Az anyag akkor kerül képlékeny állapotba, ha a főnyíró-feszültség elér egy kísérletileg meghatározott állandót. σ0 1  2 (σ 1 − σ 2 ) ± 2 = 0  σ 1 (6.9) F = τ max − k =  (σ 2 − σ 3 ) ± 0 = 0 . 2 2  σ0 1  2 (σ 3 − σ 1 ) ± 2 = 0  A Haigh-Westergaard-koordinátákkal: π π  F = ρ sin(Θ + ) − 2 k = 0 ,  0 ≤ Θ ≤  . (6.10) 3 3  A folyási felület ebben az esetben is két irányban nyitott, a deviátoros síkon szabályos hatszög metszetű hasáb palástjával jellemezhető alakzat.

6.3. ábra: Tresca folyási feltétele A főfeszültségi síkokkal való metszet is hatszög. Megjegyezzük, hogy a Huber-MisesHencky-feltétel külső burkolófelülete (görbéje) a Tresca-feltétel függvényének.

78

Henri Edouard Tresca (1814 – 1884) kiváló francia gépészmérnök, a „méter” etalonjának tervezője.

10.06.20.

86


Előadásvázlat

Nemfémes anyagok alapvető folyási feltételei: a./ Mohr-feltétel: Az anyag akkor kerül képlékeny állapotba, amikor a nyírófeszültség értéke egy adott pontban eléri az ugyanott lévő normálfeszültségtől függő határértéket: τ = h (σ ) . (6.11) A jobb oldalon szereplő függvényt a kísérletekből kell meghatározni. A függvényt Mohr79 grafikus ábrázolásában (a feszültségi Mohr-körökkel együtt) az alábbi vázlat ábrázolja:

6.4. ábra: Mohr folyási feltétele Az ábra szerint a képlékeny állapot akkor következik be, amikor a legnagyobb kör érinti a burkoló görbét. A legegyszerűbb burkoló görbét egy egyenes felvételével kapjuk, ez a mechanikában Mohr-Coulomb80-feltételnek ismert folyási korlát: F = τ − c +σ t g Φ = 0 , F = σ1

1 + sin Φ 1 − sin Φ −σ 3 −1 = 0 . 2 c cos Φ 2 c cos Φ

(6.11)

π π π  F = 2 ξ sin Φ + 3 ρ sin(Θ + ) + cos(Θ + ) sin Φ − 6 c cos Φ = 0 ,  0 ≤ Θ ≤  . (6.12) 3 3 3  A képletekben szereplő c és Φ az anyag belső kohéziója és súrlódási szöge (ezt a modellt alapvetően a talajmechanikában használják).

79

Christian Otto Mohr (1835 – 1918) német építőmérnök, a szilárdságtan kiváló tudósa. Életrajza „Mohr és az anyag szilárdsági feltétele” címen olvasható a tanszéki honlapon. 80 Charles-Augustin de Coulomb (1736 – 1806) francia fizikus. Elsősorban elektromosságtannal foglalkozott, de sok kiváló munkát publikált mechanikai kutatásokból is. 10.06.20.

87


Előadásvázlat

σ

6.5. ábra: Mohr és Coulomb folyási feltétele A bal oldali ábra a normál- és nyírófeszültségek közötti kapcsolatot ábrázolja a két anyagi paraméter függvényében, a másik pedig a főfeszültségek terében mutatja be a folyási felületet. A függvény a hidrosztatikus tengely pozitív iránya felé zárul, a nyomófeszültségek irányában nyitott. Deviátoros metszete harmadrendűen szimmetrikus hatszög. b./ Prager81-Drucker-feltétel: Az anyag akkor kerül képlékeny állapotba, amikor a deviátoros feszültségek és a hidrosztatikus hatás együttese elér egy kritikus értéket: F = α I1 + J 2 − k = 0, . (6.13) 2sin Φ 6c cos Φ ; k= . α= 3 (3 − sin Φ ) 3 (3 − sin Φ ) A képlet a Mohr-Coulomb-feltételhez hasonlóan a kohéziót és a belső súrlódási szöget tartalmazza anyagállandóként. A deviátoros metszet kör, a felület a húzási főfeszültségi térrészben itt is záródik.

81

William Prager (1903 -1980) német származású, élete nagy részében Amerikában élő matematikus.

10.06.20.

88


Előadásvázlat

6.6. ábra: Prager-Drucker feltétel A Haigh-Westergaard-térben felírt alak: F = 6 αξ+ρ− 2 k =0.

(6.14)

Keményedési feltételek: - Izotróp keményedés: a folyási felület a teher növekedésének hatására izotróp módon növekszik egy alakváltozási korláttal megadott határig.

6.7. ábra: Izotróp keményedés - Kinematikus keményedés: a folyási felület a terhelés növekedésének hatására a terhelés „irányába” elmozdul egy ugyancsak alakváltozási korláttal megadott határig:

6.8. ábra: Kinematikus keményedés 10.06.20.

89


Előadásvázlat

- Vegyes keményedés: az izotróp és a kinematikus keményedés kombinációja:

6.9. ábra: Vegyes keményedés - A folyási felület alapvető tulajdonságai: a./ A folyási felület mindig konvex (a felülethez húzott egyetlen érintősík sem metszi a felületet). b./ A képlékeny alakváltozás növekmények merőlegesek a folyási felületre (normalitási törvény): ∂F pl dε =λ . (6.15) ∂σ A képletben szereplő λ a hosszat befolyásoló, a terhelés történetétől függő paraméter82. Értékét mindig az aktuális anyagmodellben kell meghatározni.

A deformációs elmélet anyagmodelljei: - Útfüggetlen modellek, egyparaméteres, monoton növekvő terhelés esetén határteherbírás számítására alkalmasak. - Alapelv: rug −1 ε = ε rug + ε képl , ahol ε = D σ , ε képl = f ( I1 , J 2 , J 3 ) .

(6.16)

A növekmény elmélet anyagmodelljei: - Útfüggő modellek, többparaméteres, ciklikusan változó terhelés követésére is alkalmasak. - Alapelv:

dε = dε + dε . (6.17) A növekményi forma felhasználásával egy x,y,z rendszerben az alábbi módon építhető fel az anyagmodell. Írjuk fel az általános folyási feltételt mátrixos alakban: F (σ , H k ) = f (σ ) − k ( H k ) = 0 . (6.18) rug

82

képl

Megjegyezzük, hogy sok munkában növekményi alakját használják ( d λ jelöléssel).

10.06.20.

90


Előadásvázlat

Ezt differenciálva megkapjuk a képlékeny állapot feltételét jelző (dF = 0) egyenletet: ∂F ∂F T dσ + dH k = 0 ⇒ a d σ − Aλ = 0, ∂σ ∂H k

(6.19) ∂F  ∂F ∂F ∂F  1 ∂F ahol a = =  , , ....., dH k .  és A = − ∂σ  ∂σ x ∂σ y ∂τ xy  λ ∂H k Az a vektor neve a képlékenységtanban: folyási vektor. Írjuk fel most az alakváltozások növekményeire vonatkozó feltételt: rug képl -1 d ε = d ε + d ε = D ⋅ dσ + λ a . (6.20) Itt a képlékeny alakváltozás növekmény számításánál az előzőekben bevezetett normalitási T törvény segítségével helyettesítettük be. Szorozzuk be balról az egyenletet a D − vel , majd T

a d σ helyére írjuk be az A λ tagot. Így az egyenletből kifejezhető λ : T

T

λ=

a D

(6.21) dε . T A + a Da Helyettesítsük be ezt az alakváltozás növekményeket kifejező előző egyenletbe és rendezzük a kifejezést a feszültségnövekményekre83: T  Daa D  ep dσ =  D − (6.22)  d ε = D dε . T A + a Da   Ez a képlet a (kis alakváltozásokra vonatkozó) általános rugalmas-képlékeny anyagmodell, D ep pedig a rugalmas-képlékeny anyagi merevségi mátrix. Értéke a rugalmas anyagi viselkedés modellezésétől (D), a folyási felület típusától (a) és a keményedés modellezésétől (A) függ.

A Haigh-Westergaard-tér koordinátáinak felhasználása a folyási vektor számítására Ebben az esetben a folyási feltételt

F = f ( I1 , J 2 , Θ) alakban kell megadni. A folyási vektor: ∂F ∂I1 ∂F ∂ J 2 ∂F ∂Θ T a = + + = C1 a1 + C2 a 2 + C3 a 3 . ∂I1 ∂σ ∂ J 2 ∂σ ∂Θ ∂σ Ha figyelembe vesszük, hogy ∂Θ 3  1 ∂I 3 3I 3 ∂ J 2    , =− − ∂σ 2 cos 3Θ  J 23 ∂σ J 22 ∂σ    akkor a folyási vektor komponensei: ∂ J2 ∂I 1 T T  sx s y s z 2τ yz 2τ xz 2τ xy  , a1 = 1 = [1 1 1 0 0 0] , a 2 = = ∂σ ∂σ 2 J2  a3 = T

83

∂I 3  J J J =  s y sz − τ yz2 + 2 , sx sz − τ xz2 + 2 , sx s y − τ xy2 + 2 , ∂σ  3 3 3

(6.23)

(6.24)

(6.25)

(6.26) (6.27)

T

Felhívjuk az olvasó figyelmét, hogy a (6.21) és (6.22)-es egyenletekben szereplő a Da szorzat eredménye természetesen skalár. 10.06.20.

91


Előadásvázlat

2(τ xzτ xy − s xτ yz ), 2(τ xyτ yz − s yτ xz ), 2(τ yzτ xz − szτ xy )  .

A konstansok: ∂F ∂F tg 3Θ ∂F 3 1 ∂F . , C2 = − , C3 = ∂I1 ∂J 2 2 cos 3Θ J 23 ∂Θ J 2 ∂Θ A négy bemutatott folyási feltétel esetére: 3 sin Θ Tresca → C1 = 0, C2 = 2 cos Θ(1 + tg Θtg 3Θ), C3 = ; J 2 cos 3Θ

C1 =

(6.28)

HMH → C1 = C3 = 0, C2 = 3; MC → C1 = C3 =

sin Φ , C2 = cos Θ(1 + tg Θtg 3Θ) + sin Φ(tg 3Θ − tg Θ) 3 , 3

(6.29)

3 sin Θ + cos Θ sin Φ ; 2 J 2 cos 3Θ

PD → C1 = α , C2 = 1, C3 = 0 .

A folyási vektorok ezzel a módosítással egyszerűbben számíthatók, és így nem okoz nehézséget egy numerikus modellnél a gyors váltás sem az egyes anyagmodellek között.

B./ Viszkózus modellek84. Minden anyag viselkedésére hatással van az idő, legfeljebb az időlépték változik, vannak anyagok (pl. a kőzetek), ahol ez évszázadokban vagy évezredekben mérhető, egy lágy polimernél azonban órák is elegendők jelentős szerkezeti változások bekövetkeztéhez. Ennek a különbségnek az oka a mikroszerke mikroszerkezet zet átalakításához szükséges idő különböző léptéke.

Viszkózus jelenségek alapvető jellemzői 1D húzókísérletek tapasztalatai alapján: A jelenségek leírásához használnunk kell az alakváltozások és feszültségek időbeli változását is:

6.10. ábra: Viszkózus hatások különböző típusai

A viszkózus hatásokat leíró elemi modelleknél felhasználtuk a [ 2] alatti tankönyv vonatkozó fejezetét. A további részletek után éérdeklődőknek javasoljuk a könyv részletes tanulmányozását. 84

10.06.20.

92


Előadásvázlat

ε& =

dε dσ , σ& = . dt dt

(6.30)

Vizsgáljuk meg (6.30) figyelembevételével a (6.10) ábra függvényeit: a./ σ = állandó, σ& = 0 feltétel mellett („a” ábra) a próbatest alakváltozásai tovább nőnek (ez a jelenség a kúszás). A kúszás – ellentétben a képlékeny tulajdonságok vizsgálatánál tapasztaltakkal – bármilyen feszültségszinten felléphet. Az alakváltozás egy része a feszültség felléptekor azonnal létrejön (ezt tekintjük rugalmas alakváltozásnak: ε rug ), másik része késve alakul ki (ez a viszkózus alakváltozás: ε v ). Maga a függvény két jellegzetes szakaszból áll, az első része magasabb fokú görbével jellemezhető és viszonylag kevés időt igényel (ez az úgynevezett elsődleges kúszás), a másik szakasz jó közelítéssel egyenes és jóval hosszabb idejű a folyamat (másodlagos kúszás). A másodlagos kúszás során ε& állandónak tekinthető. b./ ε = állandó , ε& = 0 feltétel („b” ábra) a próbatest rögzítését jelenti egy bizonyos teherszint után. Ilyenkor az anyagban egy idő után a feszültségek értéke csökken (ez a jelenség az ernyedés vagy más néven relaxáció). c./ Ha a kísérleteket ε& = állandó vagy σ& = állandó feltételek mellett hajtjuk végre („c” és „d” ábrák), akkor azt tapasztaljuk, hogy az anyagmodell függvénye változik, vagyis a viszkózus anyagnál az alakváltozás vagy a feszültség sebességét növelve az anyag belső ellenállása nő. d./ A tehermentesítés hatása szintén megvizsgálható, lásd a következő ábrát. Az alakváltozás egy része azonnal megszűnik (rugalmas rész), másik része csak fokozatosan csökken, egy része pedig végleg megmarad.

6.11. ábra: Tehermentesítés hatása

Viszkoelasztikus anyagmodellek: 10.06.20.

93


Előadásvázlat

Az anyagot rugalmas és viszkózus hatások együttese építi fel, képlékeny jelenségek nincsenek. - Maxwell85-féle modell:

6.12. ábra: Maxwell modell

σ = σ rug = σ v ; ε = ε rug + ε v ⇒ ε rug =

σ

, ε& v =

σ . µ

(6.31) E A viszkózus alakváltozásra felírt képletet Newton javasolta. A nevezőben szereplő µ paraméter neve viszkozitási állandó, dimenziója  Ns / m 2  . A teljes és a rugalmas alakváltozásokat idő szerint deriválva kapjuk a végleges Maxwell-modellt: σ& σ ε& = + . (6.32) E µ Relaxáció vizsgálata esetén ε = ε 0 és ε& = 0 , így a modell : dσ E + σ =0 . (6.33) dt µ A sorba kapcsolt modellnél t = 0 pillanatban σ = σ 0 = E ε 0 . Ennek a kezdeti feltételnek a figyelembe vételével a feszültség értéke (lásd az ábrát):

σ =σ 0 e

−

E

µ

t

.

(6.34)

6.13. ábra: Relaxáció hatása Kúszásnál t = 0 pillanatban σ = σ 0 kezdeti feszültséget alkalmazunk és feltételezzük, hogy ez a továbbiakban nem változik: σ& = 0 . Így az egyenlet: dε σ 0 = . (6.35) dt µ

85

James Clerk Maxwell (1831 – 1879) világhírű skót matematikus és fizikus.

10.06.20.

94


Figyelembe véve a

Előadásvázlat

t = 0, σ = σ 0 , ε = ε 0 =

σ0 E

kezdeti feltételt, a differenciálegyenlet

megoldása (lásd ezt is az előző ábrán):

ε =ε0 +

σ0  E  t = ε 0 1 + t  . µ  µ 

Tehermentesítéskor a fajlagos nyúlás értéke ε 0 -lal csökken, a

(6.36)

σ0 t tag viszont visz változatlanul µ 0

megmarad. - Kelvin86-Voigt-féle modell modell: Ennél a modellnél a rugalmas viselkedést jellemző rugót és a viszkózus hatást modellező dugattyút nem sorban, hanem párhuzamosan kapcsoljuk:

Ennek megfelelően természetesen az anyagmodell viselkedése is változik:

6.14. ábra: Kelvin-Voigt-modell

ε = ε rug = ε v , σ = σ rug + σ v ⇒ σ rug = E ε , σ v = µ ε& ,

(6.37)

így maga a modell:

σ = E ε + µ ε& .

(6.38)

86

William Thomson, ismertebb nevén Lord Kelvin (1824 – 1907) kiváló ír matematikus, fizikus és mérnök. 10.06.20.

95


Előadásvázlat

σ dε E + ε= 0 dt µ µ alakban) figyelembe véve a

Kúszás esetén ( t = 0, σ = σ 0 , σ& = 0 , lásd az „a” ábrát) a differenciálegyenlet

alakú lesz. A kezdeti feltételeket ( t = 0, ε = ε v = 0 differenciálegyenlet megoldása: E − t  σ0  (6.39) ε = 1 − e µ  .  E   Ha t0 idő után a σ 0 állandó feszültséget megszüntetjük, akkor a t > t0 időhöz tartozó dε E differenciálegyenlet: + ε = 0 . Ennek megoldása: dt µ −

E

t

(6.40) ε = Ke µ . A K állandót abból a feltételből lehet meghatározni, hogy az alakváltozás kétféle képletből számított értéke a t = t0 pillanatban megegyezik. A tehermentesítés után ε értéke exponenciálisan csökken. Relaxáció vizsgálatánál t = t1 ideig működtessünk σ = σ 0 állandó feszültséget. Ennek hatására E − t  σ0  (6.41) ε1 = 1 − e µ   E   alakváltozás jön létre. Rögzítsük ennek értékét és vizsgáljuk a feszültség változását. Mivel t > t 1 esetben ε& = 0 , a feszültség hirtelen csökken, majd megőrzi E − t1   (6.42) σ 1 = E ε1 = σ 0 1 − e µ      értékét. Összegezve: a két alapmodell közül a Maxwell-féle a relaxáció, a Kelvin-Voigt-féle pedig a kúszás leírására alkalmas elsősorban. Bonyolultabb modellek a kétféle alapváltozat különböző típusú kombinációiból hozhatók létre.

Viszkoplasztikus modellek Az anyagot tökéletesen képlékeny és tökéletesen viszkózus hatások együtteseként modellezik. Egyszerű változatokra példákat mutat az alábbi ábra:

6.15. ábra: Viszkoplasztikus modellek 10.06.20.

96


Előadásvázlat

A „b” ábra változatát mutatjuk be részletesen. - Bingham87 modell:

6.16. ábra: Bingham modellje Alapelv: σ < σ f ⇒ ε = 0 illetve σ ≥ σ f ⇒ σ = σ f + µ ε& , vagyis az anyag alakváltozásai a folyási határnál kisebb feszültségek esetén zérus értékűek, képlékeny állapotban pedig az anyag folyási határa az anyag viszkozitása következtében megnő. A dinamikus folyási határ értékére többféle modell használható. Például két különböző (az ábrán is látható) változat:   ε&  1 n   ε&  (6.43) σ f d = σ f s 1 +  vagy σ f d = σ f s 1 +    ,   ε&0    γ&0    & & ahol γ 0 , ε 0 és n kísérletekből meghatározandó anyagállandók.

Felhasznált irodalom: 1./ Taber, L.: A.: Nonlinear Theory of Elasticity, World Scientific, New Jersey, 2004. 2./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000. 3./ Bojtár I.: Mechanikai anyagmodellek, Egyetemi jegyzet, 2007. 4./ Kaliszky S.: Képlékenységtan, Akadémiai Kiadó, 1975.

87

Eugene Cook Bingham, (1878 – 1945) amerikai fizikus és vegyész, a reológia kiváló szakértője. Magát a „reológia” szót is ő alkotta az 1920-as években.

10.06.20.

97


Előadásvázlat

7. Előadás: A mechanika alapvető egyenletei A mechanikai anyagmodellek bemutatása után ez az előadás a nemlineáris mechanikai számításokhoz szükséges további alapvető összefüggéseket mutatja be. Elsőként a nagy alakváltozások számítását lehetővé tevő változatokat tárgyaljuk, majd bemutatjuk ezek szűkített halmazát, ahol kizárólag kis alakváltozások és rugalmas viselkedés létrejöttét fogadjuk el.

A Reynolds88-féle transzport egyenlet Az alapegyenletek bemutatásakor szükségünk van adott tartományok felett értelmezett integrálok anyagi idő szerinti deriváltjára. Ebben a számításban jelent segítséget a Reynolds által bevezetett összefüggés. Egy időtől függő f függvényt tartalmazó integrál-kifejezés anyagi idő szerinti deriváltját a következőképpen definiálhatjuk:  D 1   , f d Ω = lim f ( x , t + ∆ t ) d Ω − f ( x , t ) d Ω (7.1) ∫ ∆ t →0 ∆ t  ∫  Dt Ω∫ Ωt  Ω t +∆t  ahol Ωt egy t időpillanatban az adott helyzetű térbeli tartományt (anyagi pontok összességét) jelenti, Ωt +∆ t pedig ugyanezen tartomány t + ∆t időpontbeli helyzetére utal. Alakítsuk át a jobb oldalon szereplő tagokat az eredeti hivatkozási tartományra való áttéréssel:  D 1  f d lim f ( X , t + t ) J ( X , t + t ) d f ( X , t ) J ( X , t ) d Ω = ∆ ∆ Ω − Ω (7.2)  0 0. ∫ ∆ t →0 ∆ t  ∫  Dt Ω∫ Ω Ω  0 0  Mivel ezzel a változtatással a tartomány független lett az időtől, tovább alakítható az egyenlet: D ∂ ∂J   ∂f (7.3) f d Ω = ∫ ( f ( X, t ) J ( X, t ) ) d Ω 0 = ∫  J + f  d Ω0 . ∫ Dt Ω ∂ t ∂ t ∂ t   Ω0 Ω0 Figyelembe véve az első előadáson a gradienstenzor determinánsának idő szerinti deriválásával kapcsolatban elhangzottakat, az egyenlet tovább módosítható: D  ∂f  (7.4) f d Ω = ∫  J + f J div v  d Ω 0 . ∫ Dt Ω ∂ t   Ω0 Ha visszatérünk a pillanatnyi konfigurációhoz, akkor megkapjuk a Reynolds-féle transzport egyenletet: D  Df (x, t )  f dΩ = ∫  + f div v  d Ω . (7.5) ∫ Dt Ω Dt  Ω

A tömegmegmaradás egyenlete

88

Osborne Reynolds (1842 – 1912) ír származású matematikus és mechanikus. A folyadékok dinamikájának tanulmányozásában alkotott jelentőset. 10.06.20.

98


Előadásvázlat

Az Ω tartományon (ez most egyaránt lehet térfogat, vagy felület) számítandó m(Ω) tömeget a ρ( x, t ) sűrűségfüggvény segítségével definiáljuk:

m(Ω) = ∫ ρ ( x, t ) d Ω .

(7.6)

Ω

A tömegmegmaradás törvénye azt mondja ki, hogy a tömeg értéke nem változik a vizsgált tartományon belül (nincs semmilyen tömegáramlás a szomszédos tartományok felé)89: Dm D = ρ dΩ = 0 . (7.7) Dt Dt Ω∫ A Reynolds-féle átalakítást felhasználva és emellett figyelembe véve azt a tényt, hogy a tömegmegmaradás független a tartománytól, a következőt kapjuk: Dm  Dρ Dρ  =∫ + ρ div v  d Ω ⇒ + ρ div v = 0 . (7.8) Dt Ω  Dt Dt  Az utolsó változatot nevezzük a tömegmegmaradás egyenletének90. Lagrangekoordinátákkal való leírás esetén az egyenletet más formában szokták megadni: ∫ ρ d Ω = ∫ ρ0 d Ω0 ⇒ ∫ (ρ J − ρ0 ) d Ω0 = 0 ⇒ ρ(Φ(X, t ), t ) J (X, t ) = ρ0 (X) . (7.9) Ω

Ω0

Ω0

Megjegyezzük, hogy ha az anyag összenyomhatatlan, akkor a sűrűség anyagi idő szerinti deriváltja zérus, és a tömegmegmaradás egyenlete a következő alakú lesz: (7.10) div v = 0 .

A mozgásmennyiség (impulzus) egyenlete Definiáljuk a rendszerre ható külső erők vektorát a ρb tömegerők (például egységnyi térfogatra jutó gravitációs erők) és az egységnyi felületre jutó t felületi erők segítségével az alábbi módon: f (t ) = ∫ ρ b(x, t ) d Ω + ∫ t(x, t ) dS . (7.11) Ω

Γ

A mozgásmennyiség definíciója: p(t ) = ∫ ρv(x, t ) d Ω .

(7.12)

Ω

A mozgásmennyiség tétele szerint a mozgásmennyiség anyagi idő szerinti deriváltja egyenlő a rendszerre ható erővel91: Dp D = f ⇒ ρv dΩ = ∫ ρb dΩ + ∫ t dS . (7.13) Dt Dt ∫Ω Ω Γ Alkalmazzuk Reynolds képletét az egyenlet bal oldalára: 89

Első (filozófiai) megfogalmazása a görög Epikurosztól (341 – 270) származik. Nasir al-Din alTusi (1201 – 1274) perzsa tudós műveiben bukkan fel újból, majd a XVIII. században egymástól függetlenül több tudós is (Antoine-Laurent de Lavoisier (1743 – 1794) 1789-ben, Mihail Vasziljevics Lomonoszov (1711 – 1765) pedig 1748-ban) megfogalmazta ma használatos alakját. 90 Megjegyezzük, hogy a tömegmegmaradás elvének figyelembevételével a Reynolds-tétel speciális D Df ρf d Ω = ∫ ρ d Ω . Ezt az alakot mi is használni fogjuk egyes változatához jutunk: ∫ Dt Ω Dt Ω átalakításoknál (például (7.14)-ben). 91 Abu Ali Sina Balkhi (980 – 1037) perzsa tudós (Európában ismertebb nevén Avicenna) 1000 körül kelt írásaiban található a törvény első változata. Bár René Descartes (1596 – 1650) és Galileo Galilei (1564 – 1642) munkái is hivatkoznak rá, mai formája a XVII. század végén jött létre John Wallis (1616 – 1703) és Isaac Newton (1643 – 1727) munkássága nyomán. 10.06.20.

99


Előadásvázlat

D  Dv Dv D   Dρ  ρ v d Ω = ∫  (ρv) + div( v) ρv  d Ω = ∫ ρ + v + ρ div v  d Ω = ∫ ρ d Ω .(7.14) ∫ Dt Ω Dt Dt Dt   Dt  Ω Ω Ω Az utolsó előtti integrálban szereplő (sebességvektorral szorzott) tag értéke zérus, hiszen ez nem más, mint a tömegmegmaradás törvényének megfogalmazása. Az erők vektorát a Gauss-integráltétel segítségével alakítjuk át (most Ω-t térfogatként értelmezzük): (7.15) ∫ t dS = ∫ n ⋅ σ dS = ∫ σ ⋅∇ dV . S

S

V

Behelyettesítve valamennyi átalakítást a (7.13)-as egyenletbe, megkapjuk a mozgásmennyiség változását kifejező egyenletet: Dv Dv ∫V (ρ Dt − ρb − σ ⋅∇ )dV = 0 ⇒ ρ Dt = σ ⋅ ∇ + ρb . (7.16) Ez az egyenlet is felírható Lagrange-változók segítségével. Ha a Cauchy-féle feszültségtenzort használjuk: ∂v(X,t ) ρ( X, t ) = div σ (Φ −1 ( x, t ), t ) + ρ( X, t ) b( X, t ) , (7.17) ∂t míg az első Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor alkalmazásával: ∂v(X, t ) ρ0 = P ⋅∇0 + ρ0b . (7.18) ∂t

Az impulzusmomentum egyenlete Ezt a tételt a mechanikában az impulzus-tétel párjaként szokás alkalmazni. Ha a mozgásmennyiség tételében szereplő tagok mindegyikét vektoriálisan szorozzuk egy tetszőleges x vektorral, akkor a mechanika impulzusmomentum-tételének92 matematikai alakjához jutunk: D x ×ρv d Ω = ∫ x ×ρb d Ω + ∫ x × t d Γ . (7.19) Dt Ω∫ Ω Γ A tétel azt mondja ki, hogy egy zárt rendszerben az x × p összefüggéssel definiált impulzusmomentum változása a terhek hatásától függ. A kontinuummechanikában ezt az összefüggést a feszültség-tenzorok szimmetriájának vizsgálatára használják. Alakítsuk át például a impulzusmomentum tétel jobb oldalán szereplő utolsó tagot Euler-bázisban a Cauchy-féle feszültségtenzor segítségével: T (7.20) ∫ x × t dS = ∫ x × (σ ⋅ n) dS = ∫ ( x × (σ ⋅∇) + ε% LC : σ ) dV . S

S

V

A vizsgálat során a Γ peremet S határfelületként értelmezzük, továbbá felhasználjuk a matematika – integráltétel segítségével előállítható – azon összefüggését, amely egy vektor és vektor-tenzor-szorzat vektoriális szorzatára alkalmazott felületi integrál átalakítására vonatkozik: T (7.21) ∫ a × (A ⋅ n) dS = ∫ ( a × ( A ⋅∇) + ε% LC : A ) dV . S

V

92

A tételt a mechanikában az úgynevezett Noether-tétel egy változataként értelmezik. A Noethertétel azt mondja ki, hogy a térben minden irány egyenértékű bármely másikkal. (Amalie „Emmy” Noether (1882 – 1935) német matematikus volt.) 10.06.20.

100


Előadásvázlat

A képletben a vektor, A másodrendű tenzor, ε% LC pedig a harmadrendű tenzorként definiált Levi-Civita-féle permutációs tenzort jelöli (lásd a Függelék vonatkozó részét). Ha ezt az átalakítást felhasználva beírjuk a módosított alakot az impulzusmomentum-tétel képletébe, akkor a következőt kapjuk: T (7.22) ∫ x × ( ρv& − ρb − σ ⋅∇ ) dV = ∫ ε% LC : σ dV = 0 . V

V

Az első integrál zárójelben lévő része éppen az impulzus-tétel nullára rendezett alakját fejezi ki, ezért az egész kifejezésnek zérusnak kell lennie. Mivel a Levi-Civita-tenzor Cauchyfeszültségekkel való kétpont-szorzata nem függ a tartománytól93, ezért az alábbi alakban is felírható a kapott összefüggés: ε% LC : σT = 0 ⇒ εi j k σk j = 0 . (7.23) A második tag ugyanazt a kifejezést jelenti, csak indexes változatban. Ha elvégezzük a kijelölt műveleteket és figyelembe vesszük a Levi-Civita tenzor elemeinek jelentését, akkor a következő három egyenlethez jutunk: σ 32 − σ 23 = 0, σ 13 − σ 31 = 0, σ 21 − σ 12 = 0 . (7.24) Az eredmény azt jelenti, hogy az impulzusmomentum tétel értelmében a feszültségtenzor vegyes indexű elemei páronként megegyeznek, vagyis a Cauchy-feszültségtenzor szimmetrikus. Megjegyezzük, hogy ennek segítségével azonnal belátható a második Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor szimmetrikus volta is, hiszen ez mindig S = J F−1 ⋅ σ ⋅ F−T (7.25) módon állítható elő a Cauchy-tenzorból, és a gradienstenzor inverzével mindkét oldalról történő szorzás ezt a szimmetriát nem rontja el. Más a helyzet az első Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzorral, hiszen ennek származtatási egyenlete P = J F−1 ⋅ σ (7.26) azonnal nyilvánvalóvá teszi, hogy a nem szimmetrikus gradienstenzorral való módosítás „tönkreteszi” a szimmetrikus jelleget. Ha például a Cauchy-tenzor szimmetriafeltételébe behelyettesítjük az első Piola-Kirchhoff-tenzort, akkor a következőt kapjuk eredményül: σ = σT ⇒ J −1 F ⋅ P = ( J −1 F ⋅ P ) ⇒ F ⋅ P = PT ⋅ FT . T

(7.27)

Az utolsó egyenlet olyan összefüggést ír le, amely kétdimenziós esetben egy, háromdimenziós feladatnál pedig három nem-triviális feltételi egyenletet szolgáltat a mátrixok elemei közötti összefüggésekre (mindig a Cauchy-mátrix szimmetria-feltételeivel azonos számút). Például kétdimenziós feladatnál ez az egyenlet a következő lesz: F11 P12 + F12 P22 = F21 P11 + F22 P21 . (7.28) Az impulzusmomentum-tételből adódó feltétel tehát erre a mátrixra a nem-szimmetrikus jelleg mellett egy olyan feltételt is megfogalmaz, amit akkor kell figyelembe vennünk, ha a P tenzort anyagmodellekbe kívánjuk beépíteni.

Az energiamérleg egyenlete

93

Emlékeztetőül: egy harmadrendű tenzor másodrendű tenzorral való kétpont-szorzata egy vektor lesz. Az itt vizsgált esetben az eredményül kapott vektor mindhárom eleme zérus. 10.06.20.

101


Előadásvázlat

Az energiamérleg elve azt jelenti, hogy a vizsgált rendszerben a teljes energia megváltozása (a teljesítmény) egyenlő a tömeg- és felületi erők munkaváltozásának (teljesítményének) illetve a rendszerben figyelembe vehető hő (hőforrás, hőáram) hatásának összegével94: P teljes = P belső + P kin = P külső + P hő . (7.29) Az egyes tagok részletesen: D D 1 P belső = ρW belső dV , P kin = ρ v ⋅ v dV , (7.30) ∫ Dt V Dt V∫ 2 P külső = ∫ v ⋅ ρb dV + ∫ v ⋅ t dS , P hő = ∫ ρ r dΩ − ∫ n ⋅ qdS . V

S

V

(7.31)

S

A képletekben q az egységnyi felületen kiáramló hőt, r pedig az egységnyi térfogatra vonatkozó hőforrást jelenti. Ez a mérlegegyenlet már szerepelt az anyagmodellek egyes tulajdonságainak bemutatásakor, mint a termodinamika első főtétele. A teljes egyenlet részletesen (a korábban alkalmazott u jelölés helyett most (az ötödik előadáson bevezetett) W belső jelölést használjuk): D  1  belső + ρ v ⋅ v dV = ∫ v ⋅ ρ b dV + ∫ v ⋅ t dS + ∫ ρ r dV − ∫ n ⋅ q dS . (7.32)  ρW ∫ Dt V  2  V S V S Az egyes tagok tovább módosíthatók a Reynolds-képlet 3. lábjegyzetben említett speciális változatának illetve a Gauss-féle integráltételnek a segítségével (az anyagmodelleknél már bemutatottakhoz hasonlóan végezve az átalakításokat): belső   belső  D 1 1 D( v ⋅ v )  ρ DW    dV = ρ + ρ ⋅ = + ρ (7.33) W v v dV   ∫  Dt  Dt ∫  2 2 Dt  V

V

 DW belső Dv   dV , = ∫ ρ + ρv ⋅ Dt Dt   V

∫ v ⋅ t dS = ∫ n ⋅ σ ⋅ v dS = ∫ ( D:σ + (σ ⋅∇) ⋅ v ) dV . S

S

(7.34)

V

Itt D most az alakváltozás-sebesség tenzort jelenti (megjegyezzük, hogy az átalakítás során felhasználtuk a Függelékben megadott div( AT u) = div A ⋅ u + A : grad u összefüggést). Behelyettesítve ezeket az előbbi összevont alakba, és a hőhatásoknál is alkalmazva a Gausstételt, majd az egészet nullára rendezve a következőt kapjuk: Dv DW belső − σ ⋅ ∇ − ρb) ) dV = 0 . (7.35) ( ρ − D : σ + ∇ ⋅ q − ρ r + v ⋅ (ρ ∫V Dt Dt A zárójelbe tett utolsó három tag a mozgásmennyiség tételét írja le, ezért ez zérus lesz a kifejezésben. Ezek után – figyelembe véve, hogy a kifejezésnek bármilyen tartomány esetén igaznak kell lennie – az integrál elhagyásával kapjuk az energiamérleg végső alakját: DW belső ρ = D: σ − ∇ ⋅ q + ρ r . (7.36) Dt Ha a hőhatásoktól eltekintünk, akkor az egyszerűsített változat: DW belső ρ = D: σ . (7.37) Dt Az általános alak Lagrange-rendszerben is megadható: 94

Milétoszi Thálész (624 – 546) görög filozófusnál olvashatunk első változatáról, majd Galilei munkáiban fordult elő. Első matematikai megfogalmazása Gottfried Wilhelm Leibnitztől (1646 – 1716) származik (lásd az ötödik fejezet negyedik lábjegyzetét). 10.06.20.

102


Előadásvázlat

∂W belső ( X, t ) & T = F : P − ∇ 0 ⋅ q% + ρ0 r , ahol q% = J −1F T ⋅ q . (7.38) ∂t Ebben a képletben a q% = J −1F T ⋅ q hőáram az eredeti rendszer egységnyi felületére vonatkozik, ezért volt szükséges az átalakítás a korábban már használt Nanson-formula (lásd az első és negyedik előadást) segítségével. Megjegyezzük, hogy az anyagmodelleknél tanultak szerint az F& T : P tag a Green-Lagrange alakváltozástenzor időbeli változást kifejező alakjának és a második Piola-Kirchhoff feszültségtenzornak a szorzatával is helyettesíthető, vagyis ilyenkor a jobb oldal első tagjának & -t kell írnunk. E:S ρ0

Az alapegyenletek „gyenge” változata Lagrange-féle leírásmódban Gyakorlati feladatok megoldásánál az előbb bemutatott, úgynevezett „erős” egyenleteket sokszor „gyenge” (vagy másféle elnevezéssel: „variációs”) változatukkal helyettesítik. A gyenge változat diszkretizált alakját nagyon sokszor használják különböző közelítő megoldásokban (lásd például a „végeselemes modellezés” numerikus technikáit). A gyenge változatot először a Lagrange-leírásmód esetére mutatjuk be. Írjuk fel újból a mozgásmennyiség egyenletét, a sebesség deriváltjának helyébe most a gyorsulásvektort írva ( && = a ): u P ⋅∇ 0 + ρ 0b − ρ 0a = 0 . (7.39) Szorozzuk meg ezt a kifejezést egy elmozdulásmező variációjával és integráljuk az egész (kezdeti) tartományon: (7.40) ∫ δu ⋅ ( P ⋅∇0 + ρ0b − ρ0a) dΩ0 = 0 , Ω0

Az Ω 0 tartomány Γ 0 határán az alábbi perem-, kezdeti- és folytonossági feltételeket vesszük figyelembe (ha a tartománynál két indexet kell használnunk, a kezdeti állapotra utaló „nulla” felső indexbe kerül): a./ peremfeltételek: t előírt terhek a határ Γt0 részén ( Γt0 = Γ0 − Γu0 ),

(7.41/a)

(7.41/b) u előírt elmozdulások a határ Γ részén. b./ kezdeti feltételek (nulla időpillanatban az egész tartományra vonatkoznak, továbbá kielégítik a peremfeltételeket): P( X, 0) = P0 ( X) , u& ( X, 0) = v 0 ( X) , (7.42) 95 c./ folytonossági (szakadásmentességi) feltétel : (7.43) n 0 ⋅ P = 0 a határ Γb0 részén. 0 u

A mozgásmennyiség egyenletében szereplő első tag átalakítása96 (megadjuk indexes alakban is a jobb ellenőrizhetőség kedvéért): ∂(δu) (7.44/a) ∫Ω δ u ⋅ P ⋅∇0 dΩ0 = Ω∫ ∇0 ⋅ (δu ⋅ P) dΩ0 − Ω∫ ∂X : P dΩ0 . 0 0 0

95

Az f ( X ) szimbólum jelentése a következő: f ( X ) = lim ( f ( X + ε ) − f ( X − ε )) .

96

Újból emlékeztetünk a Függelékre: div( A u) = div A ⋅ u + A : grad u

ε→ 0

10.06.20.

T

103


Előadásvázlat ∂Pj i

∫ δu

i

∂X j

Ω0

d Ω0 =

∂

∫ ∂X

Ω0

(δui Pj i ) d Ω 0 − j

∂ (δui ) Pj i d Ω 0 ∂ X j Ω0

∫

(7.44/b)

Ebben a kifejezésben a jobb oldal második tagja átalakítható T ∫ δ F : P d Ω0

(7.45)

Ω0

alakra, az első tagot pedig a Gauss-tétel és a peremekre előírt feltételek segítségével módosítjuk97: 0 0 (7.46) ∫ δu ⋅ n ⋅ P d Γ0 + ∫ δu ⋅ n ⋅ P d Γ0 . Γ0

Γb0

Itt a második tag a folytonossági feltétel miatt zérus ( n 0 ⋅ P = 0 ), az elsőt pedig tovább finomíthatjuk, ha a virtuális elmozdulásmező egyes peremrészeken való zérus értékét is figyelembe vesszük: ndim .

0 ∫ δ u ⋅ n ⋅ P d Γ0 = ∑

∫ (δu ⋅ e )(e ⋅ t i

i

0

i

)d Γ 0 .

(7.47)

i =1 Γ0 ti

Γ0

(7.47)-ben a peremfeltételeket részekre osztottuk: ndim. a feladat dimenziószámát jelenti, térbeli esetben például 3. Figyelembe véve az átalakításokat – és rendezve az egyes tagokat – a tétel (előjelváltással) az alábbi formában adható meg: T ∫ δ F : P d Ω0 − ∫ ρ0δ u ⋅ b d Ω0 −

Ω0

Ω0

3

∑ ∫ (δu ⋅ e )(e i

i =1

Γ0 ti

i

⋅ t i0 )dΓ0 + ∫ δu ⋅ ρ 0 a dΩ 0 = 0 . (7.48) Ω0

Ez az egyenlet az előbb bemutatott mechanikai egyenletek úgynevezett gyenge alakja, a mechanikában a virtuális munkák tétele néven ismert. Az első tagot belső-, a második és harmadik tagot külső-, az utolsó (negyedik) tagot pedig kinetikus virtuális munkának nevezik.

Az alapegyenletek „gyenge” változata Euler-féle leírásmódban A variációs alak előállítása nagyon hasonló az előzőhöz, a különbség alapvetően az, hogy a variálandó próbafüggvényt most nem az elmozdulások, hanem a sebességek szolgáltatják. A kiindulási egyenlet most is az impulzus- tétel, ezt szorozzuk a virtuális sebességekkel és integráljuk az egész (pillanatnyi helyzethez tartozó) tartományon:  ∂σ j i  (7.49) ∫Ω δvi  ∂x j + ρbi − ρv&i  d Ω = 0 .   Alakítsuk át az első tagot:  ∂ ∂σ j i ∂ ( δvi )  (7.50) δ v d Ω = δ v σ − σ ji  dΩ . ( )  i i j i ∫ ∂x j ∫  ∂x j ∂x j Ω Ω  A jobb oldali integrálban szereplő első tagot tovább alakítjuk a Gauss-tétel, valamint a perem- illetve folytonossági feltételek segítségével: ∂ (7.51) ∫Ω ∂x j δviσ j i d Ω = Γ∫ δvi n j σ j i d Γ + ∫Γ δvi n j σ j i d Γ . b

(

97

)

Emlékeztetőül a (folytonossági feltétellel bővített) Gauss-tétel:

∫g Ω

10.06.20.

i ,i

d Ω = ∫ ni g i d Γ + ∫ ni g i d Γ . Γ

Γb

104


Előadásvázlat

A jobb oldal első tagja a folytonossági feltétel miatt zérus. A második integrálnál kihasználjuk az előírt terheléseket, így: ndim . ∂ (7.52) δ v σ d Ω = ∑ ∫Ω ∂x j ( i j i ) ∫ δvi ti d Γ . i =1 Γt i

Ha ezt most visszahelyettesítjük az átalakítás első lépésébe, akkor a következő eredményre jutunk: ndim . ∂σ j i ∂ ( δvi ) (7.53) δ v d Ω = δvi ti d Γ − ∫ σ ji dΩ . ∑ ∫Ω i ∂x j ∫ ∂x j i= Γt Ω i

Visszaírva ezt is az impulzus-tételre épülő integrálba, az eredmény: ndim . ∂ ( δvi ) ∫Ω ∂x j σ j i d Ω − Ω∫ δvi ρbi d Ω − ∑ ∫ δvi ti d Γ + Ω∫ δvi ρv&i d Ω = 0 . i =1 Γt

(7.54)

i

Ezt az egyenletet hívják a mechanikában a virtuális teljesítmények elvének. Hangsúlyozzuk, hogy az előbb bemutatott, virtuális munkát leíró egyenlettel együtt ez a kifejezés is nélkülözhetetlen lesz a nemlineáris feladatok végeselemes vizsgálatánál! Az integrál első tagját belső-, második és harmadik tagját külső-, utolsó tagját pedig kinetikus teljesítménynek nevezik a mechanikában.

7.1 Példa A gyenge alak Lagrange-rendszerbeli felvételének illusztráló példájaként vizsgáljunk meg egy 1D feladatot és vezessük le ott a variációs változatot. Ebben az esetben a mozgásmennyiség skalár változókkal felírt egyenlete a következő kifejezés lesz (a képletben A0 a kezdeti állapothoz tartozó keresztmetszeti felület):

( A0 P ), X + ρ0 A0b − ρ0 A0u&& = 0 . Perem-, kezdeti és folytonossági feltételek: a./ peremfeltételek: u ( X , t ) = u ( X , t ) , X ∈Γu , n0 P = tx0 , X ∈Γt , b./ kezdeti feltételek (az egész tartományra vonatkoznak): u0 ( X ), v0 ( X ) , vagy v0 ( X ) , P0 ( X ) . Megjegyezzük, hogy a kezdeti feltételekhez tartozó függvények Γt − n illetve Γu − n kielégítik a peremfeltételeket. c./ folytonossági feltétel: A0 P = 0 , X ∈ ( X a , X b ) , ahol „a” és „b” az 1D feladat perempontjai. A variációs feladat: Xb

∫ δu ( ( A P) 0

,X

+ ρ0 A0b − ρ0 A0u&&) dX = 0 .

Xa

Xb

Xb

X

b ∂ Az első tag átalakítása: ∫ δu ( A0 P), X dX = ∫ ( δu A0 P ) dX − ∫ δu, X A0 P dX . ∂X Xa Xa Xa

A jobb oldalon szereplő két tagból az első tovább alakítható: ( δu A0 P ) X − ( δu A0 P ) X . b

10.06.20.

a

105


Előadásvázlat

Itt a második tagban szereplő δu a Γu határon zérus. Az első tag átalakítva:

( δu A0 P ) X

b

= ( δu A0 tx 0 ) . Γt

Végül a gyenge alak a behelyettesítések elvégzése után: Xb

∫ (δ u

,X

A0 P + δu ρ0 A0u&& − δu ρ0 A0 b ) dX − ( δu A0 tx 0 ) = 0 .

Xa

Γt

Az alapegyenletek szilárd testek, kis alakváltozások, rugalmas anyagok és kvázi-statikus terhelés esetén Ez a fajta speciális csoportosítás jelentős egyszerűsítés az előző teljesen általános változatokhoz képest, gyakorlati fontossága miatt azonban kiemelt figyelmet érdemel. a./ A tömegmaradás egyenlete: A Lagrange-koordinátákkal kifejezett változat ebben az esetben a ρ = ρ0 alakra redukálódik, s így a továbbiakban nincs kitüntetett szerepe a számításokban. b./ A mozgásmennyiség egyenlete: A terhek kvázistatikus jellege és a tehetetlenségi erők elhanyagolhatósága miatt az egyenlet a σ ⋅∇ + ρ b =0 (7.55) formában adható meg. Ezt az egyenletet a mechanikában egyensúlyi, vagy más néven Cauchy-egyenletnek nevezik. Skalár alakban három parciális differenciálegyenlettel adható meg. Fontossága miatt megadjuk ezek részletes értékét:  ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + + ρ bx = 0  ∂x ∂y ∂z   ∂τ yx ∂σ y ∂τ yz (7.56) + + + ρ by = 0  ⇒ Sσ + g = 0 . ∂x ∂y ∂z   ∂τ zx ∂τ zy ∂σ z + + + ρ bz = 0  ∂x ∂y ∂z  A skalár egyenletek után a numerikus számítások céljára hasznos lineáris algebrai alakban is megfogalmaztuk az egyenleteket. Itt S egy 3 × 6 méretű, differenciálási utasításokat tartalmazó operátor-mátrix, σ a feszültségtenzor 6 független elemét Voigt szerinti rendben tartalmazó vektor, g pedig a tömegerők vektora, elemeit a sűrűség és a fajlagos tömegerők szorzatából számítjuk. Azokat a feszültségmezőket, melyek kielégítik ezeket az egyenleteket - továbbá megfelelnek az adott feladathoz tartozó statikai peremfeltételeknek -, a mechanikában statikailag lehetséges feszültségeknek nevezzük. Megjegyezzük, hogy ezeket az egyenleteket egy elemi hasáb egyensúlyának vizsgálatából is levezethetjük, lásd az alábbi ábra vázlatát: 10.06.20.

106


Előadásvázlat

7.1. ábra: 3D egyensúly vizsgálata az elemi hasábon Az „x”” irányú vetületösszegből az első, az „„y”” irányúból a második, a „z” „ irányúból pedig a harmadik egyenlet adódik a megfelelő egyszerűsítések után. Illusztrálásul bemutatjuk egy vetületi egyenlet számítását: ∂τ ∂σ ∂τ ∑ Fix = 0 ⇒ ∂xx dx dy dz + ∂yxy dy dx dz + ∂zxz dz dx dy + g x dx dy dz = 0, ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz ⇒ + + + g x = 0. ∂x ∂y ∂z Megjegyezzük, hogy a feszültségtenzor szimmetrikus jellegét igazoló számítás most egyszerű nyomatéki egyensúly felhasználásával is ellenőrizhető. Ismét bemutatunk egy példát az egyik nyírófeszültségi pár vizsgálatára vizsgálatára:

10.06.20.

107


Előadásvázlat

∑ M ix = 0 = ∂σ y  ∂τ yz  dz dy  dz  dy − g z dxdydz +  σ y + dy  dxdz −  τ yz + dy  dxdz 2 2  ∂y 2  ∂y 2   ∂τ zy  dz  ∂σ dy  dz dy  −σ y dxdz −  σ z + z dz  dxdy +  τ zy + dz  dxdy + σ z dxdy + 2  2  2 2 ∂z ∂z   ∂τ xy  ∂τ dz dy dz  dy   dx  dxdy − τ xz dzdy − τ xy dzdy −  τ xz + xz dx  dzdy +  τ xy + 2 2  ∂x 2  2 ∂x   −τ yz dxdydz + τ zy dxdydz = 0 ⇒ τ yz = τ zy . = g y dxdydz

c./ Az energiamérleg egyenlete: Amint azt az ötödik előadásban láttuk, a jelenlegi feltételek esetén (ez megfelel az izentróp deformációnak és a hőmérsékleti hatások elhanyagolásának) az energiamérleg egyenletéből a ∂W ∂W σ : ε& = ⋅ε& ⇒ σ = (7.57) ∂ε ∂ε hiperelasztikus anyagmodell következik. Ez adja meg jelen esetben a feszültségek és alakváltozások kapcsolatát leíró kapcsolati (vagy más néven fizikai) egyenleteket. d./ Geometriai egyenletek: Ezek az egyenletek az alakváltozások és az elmozdulások kapcsolatát írják le. Az előzőekben azért nem említettük őket külön, mert a különböző alakváltozás tenzorok bevezetésekor (második hét, illetve a henger- és polárkoordinátás változat a harmadik hét előadásában,) ezt már megtettük. Most megismételjük a kis alakváltozások definíciójára derékszögű koordinátarendszerben már egyszer megadott összefüggéseket:  ∂u 1  ∂u ∂v  1  ∂u ∂w   1 1     +   +  γxy γ xz  ∂ x 2 ∂ y ∂ x 2  εx  ∂z ∂x      2 2    ∂v 1 1 1  ∂v ∂u  1  ∂v ∂w    εy γ yz  =   +  ε = γ yx  +   . (7.58) 2   2  ∂x ∂y  2 2  ∂z ∂y   ∂y     1 γ zx 1 γ z y ∂w ε z   1  ∂w + ∂u  1  ∂w + ∂v   2  2   2  ∂x ∂z  2  ∂y ∂z   ∂z    A geometria egyenletek ebben az esetben tehát a hat darab független alakváltozáskomponenst kapcsolják össze a három elmozdulás-függvénnyel a differenciálási utasítások segítségével. Szokás a geometriai egyenleteket is mátrix-egyenlet segítségével megadni: ε =Lu ,

(7.59)

ahol az ε vektor az alakváltozástenzor hat független elemét tartalmazza (Voigt előírásainak megfelelően rendezve), u az elmozdulások vektora, L pedig egy 6 × 3 -

10.06.20.

108


Előadásvázlat

as, differenciálási utasításokat tartalmazó mátrix. Elemei közvetlen kapcsolatban vannak a Cauchy-egyenletnél megadott S mátrixszal:

ST = L . (7.60) Azokat az (általánosított) alakváltozás-mezőket, amelyek megfelelnek a geometriai egyenletekben megadott kapcsolati előírásoknak - és emellett kielégítik az adott feladat elmozdulási peremfeltételeit -, geometriailag lehetséges alakváltozásoknak nevezzük.

Egyensúlyi egyenletek polárkoordináta-rendszerben Az x,y,z rendszerben felírt egyensúlyi egyenleteket transzformációs összefüggésekkel is átalakíthatjuk polárkoordinátás változattá. Egyszerűen felírhatjuk azonban őket vetületi egyenletek felhasználásával is. Például az ábra jelöléseit felhasználva (kétdimenziós esetben) egyszerűen megadható a sugárirányú vetületi egyenlet:

7.2. ábra: Az egyensúly vizsgálata poláris koordináta-rendszerben

∂σ ∂σ dΘ dΘ     − σ Θ dr sin +  σ r + r dr (r + dr )dΘ − σ r r dΘ −  σ Θ + Θ dΘ dr sin ∂r ∂Θ 2 2     ∂τr Θ   dΘ dΘ +  τr Θ + d Θ  dr cos − τr Θ dr cos + Fr r dr d Θ = 0 . ∂Θ 2 2  

(7.61)

dΘ dΘ dΘ ⇒ , cos ⇒1 , továbbá elhanyagolva a 2 2 2 magasabbrendűen kicsiny tagokat, az egyenlet egyszerűsíthető. Ugyanígy felírható a sugárra merőleges vetületi egyenlet is, és így végül a két egyensúlyi feltétel az alábbi formában adható meg: ∂σ r 1 ∂τ r Θ σ r − σ Θ + + + Fr = 0 , (7.62) ∂r r ∂Θ r 1 ∂σ Θ ∂τ r Θ 2τ r Θ + + + FΘ = 0 . (7.63) r ∂Θ ∂r r Figyelembe véve, hogy kis szögeknél: sin

10.06.20.

109


Előadásvázlat

Egyensúlyi egyenletek hengerkoordináta-rendszerben A kétdimenziós polárkoordináta-rendszerhez hasonlóan írható fel mindhárom egyensúlyi egyenlet (a hengerkoordináta-rendszer megegyezik a harmadik előadáson bemutatottal): ∂σ r 1 ∂τ r Θ ∂τ z r σ r − σ Θ + + + + Fr = 0 , r ∂r r ∂Θ ∂z ∂τ r Θ 1 ∂σ Θ ∂τ z Θ 2τ r Θ + + + + FΘ = 0 , ∂r r ∂Θ ∂z r ∂τ r z 1 ∂τ Θ z ∂σ z τ r z + + + + Fz = 0 . ∂r r ∂Θ ∂z r

(7.64) (7.65) (7.66)

Kompatibilitási egyenletek A kompatibilitási egyenleteket is bemutattuk már az alakváltozásoknál (a geometriai egyenletekből származtatjuk őket az elmozdulás-komponensek kiküszöbölésével). Ismétlésül a hat kompatibilitási egyenlet: ∂ 2 εxy ∂ 2 ε y ∂ 2 ε x 2 = 2 + 2 ∂x∂y ∂x ∂y

∂ 2 ε yz

2 ∂ 2 εz ∂ ε y = + 2 2 ∂y∂z ∂y 2 ∂z

.

(7.67)

∂ 2 εzx ∂ 2 εx ∂ 2 ε z 2 = + 2 ∂z∂x ∂z 2 ∂x 2   ∂  ∂ε y z ∂ε z x ∂ε x y  ∂ ε z ∂  ∂ε z x ∂ε z y ∂ε y z  ∂ 2ε x + − = , + − = , ∂z  ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂x  ∂y ∂z ∂x  ∂y ∂z 2 ∂  ∂ε x y ∂ε y z ∂ε z x  ∂ ε y + − = . ∂y  ∂z ∂x ∂y  ∂z ∂x Megjegyezzük, hogy a most bemutatott alak nem pontosan ugyanaz, mint amit az alakváltozások tárgyalásakor felírtunk. Gyakorlásul most az alakváltozástenzor jelöléseit használtuk, és ebben az esetben a szögtorzulásoknál egy kettes szorzót kell mindig figyelembe venni! A mechanika különböző megoldási technikáinál (lásd a következő előadások anyagát) ezek az összefüggések fontos kiindulási eszközül szolgálnak. A kompatibilitási egyenletek hengerkoordináta-rendszerben is felírhatók: 2 ∂ 2 γ r z ∂ 2ε r ∂ 2ε z 1 ∂ γ z Θ 1 ∂ 2 ε z ∂ 2 ε Θ 1 ∂γ r z 1 ∂ε z − − + − = 0, − − =0 , r ∂ z ∂Θ r 2 ∂Θ 2 r ∂z r ∂r ∂ r ∂ z ∂ z2 ∂ r2 ∂ z2

(7.68)

2 1 ∂ γ Θ r ∂ 2 ε Θ 1 ∂ 2 ε r 1 ∂ε r 1 ∂γ r Θ 2 ∂ε Θ − − 2 + + 2 − =0 , 2 2 r ∂Θ ∂ r ∂ r r ∂ r r ∂Θ r ∂r r ∂Θ

10.06.20.

110


Előadásvázlat

1 ∂ 2 ε z 1 ∂  1 ∂γ z r ∂γ Θ z ∂γ Θ r  − + − r ∂ r∂Θ 2 ∂ z  r ∂Θ ∂r ∂z

 1 ∂γ Θ z 1 ∂ε z +  2r ∂z − r 2 ∂Θ = 0 ,  2 1 ∂ ε r 1 ∂  ∂γ Θ r 1 ∂γ z r ∂γ z Θ  1 ∂γ rΘ 1 ∂γ zΘ 1  − − + − + − 2 γzΘ =0 ,   r ∂Θ∂ z 2 ∂r  ∂ z r ∂Θ ∂r  r ∂z 2r ∂r 2r 2 ∂ εΘ 1 ∂  ∂γ Θ z ∂γ r Θ 1 ∂γ r z  1 ∂γ Θ z 1 ∂  − − + − − (ε r − ε Θ ) = 0 . r ∂Θ  2r 2 ∂Θ r ∂z ∂ z ∂r 2r ∂Θ  ∂r ∂z

A polárkoordinátás (síkbeli) változat lényegesen egyszerűbb (lásd az előző egyenletcsoport harmadik egyenletét): 2 ∂ 2 ε Θ 1 ∂ 2 ε r 2 ∂ε Θ 1 ∂ε r 1 ∂ γ r Θ 1 ∂γ r Θ . (7.69) + + − = + ∂r 2 r 2 ∂Θ 2 r ∂r r ∂r r ∂r ∂Θ r 2 ∂Θ


1./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000. 2./ Fung: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994. 3./ Belytschko, T. – Liu, W.K. – Moran, B. : Nonlinear finite elements for continua and structures, John Wiley, 2000. 4./ Bezuhov, N. I. : Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba, Tankönyvkiadó,1952.

10.06.20.

111


Előadásvázlat

8. Előadás: Munkatételek98, felcserélhetőségi tételek Ismétlés A különböző típusú munkafogalmak definiálását illetve a hozzájuk kapcsolódó munkatételek (virtuális99 erők és elmozdulások tétele) megfogalmazását a BSc Szilárdságtan tárgy már megtette. Emlékeztetőül a (kis alakváltozású rendszerekre) már korábban felírt két tétel (a koncentrált dinámok hatását a továbbiakban az egyszerűség kedvéért elhagyjuk): a./ Virtuális elmozdulások tétele: Egy erőrendszer akkor és csakis akkor statikailag lehetséges, ha bármely virtuális elmozdulás-rendszeren végzett munkája zérus. Más megfogalmazásban: egyensúlyban levő erőrendszer által végzett virtuális munkák összege zérus: δW = δWk + δWb = 0 , ahol δWk = ∫ t ⋅ δu dA + ∫ g ⋅ δu dV , g = ρb (külső virtuális munka), St

δWb = −

(8.1) (8.2)

V

∫ σ : δ ε dV (belső virtuális munka).

(8.3)

V

A virtuális elmozdulások tétele az erőrendszerek egyensúlyának szükséges és elégséges feltétele. A tétel bármilyen anyagú szilárd testre érvényes. Az egyenletekben t a felületi, g pedig a térfogati erőket jelenti. b./ Virtuális erők tétele: Egy elmozdulás-rendszer akkor és csakis akkor geometriailag lehetséges, ha bármely virtuális erőrendszeren végzett kiegészítő munkája zérus. Más megfogalmazásban: 98

A „mechanikai munka” elnevezést először Gaspard-Gustave de Coriolis (1792 – 1843) francia matematikus és gépészmérnök használta (Coriolis: „Calcul de l'Effet des Machines”, Párizs, 1829). 99 A „Függelék”-ben rövid összefoglaló olvasható a variációszámítás alapvető definícióiról illetve a virtuális elmozduláshoz kapcsolódó kommentárokról. Javasoljuk ennek tanulmányozását. 10.06.20.

112


Előadásvázlat

kompatibilis elmozdulásrendszer által végzett virtuális kiegészítő munkák összege zérus:

δW% = δW%k + δW%b = 0 , (8.4) ahol δW%k = ∫ u ⋅ δ t dA + ∫ u ⋅δ g dV , g = ρb (külső virtuális kiegészítő munka), (8.5) St

V

δW%b = − ∫ ε : δ σ dV (belső virtuális kiegészítő munka).

(8.6)

V

A virtuális erők tétele az elmozdulások és alakváltozások kompatibilitásának szükséges és elégséges feltétele. Bármilyen anyagú szilárd testre érvényes, amely kis elmozdulást végez. Nagy alakváltozások esetén a virtuális elmozdulások tétele mechanikai jelentését tekintve nem, de egyes változóit tekintve formálisan módosul. A módosítás attól függ, hogy Lagrange-, vagy Euler-rendszerben írjuk fel az alapvető egyenleteket.

A virtuális elmozdulások tétele100 Euler-bázisban Az előző előadásban az alapvető egyenletek erős és gyenge alakjának elemzésekor bemutattuk, hogy az Euler-bázisban a megmaradási egyenletekből a virtuális teljesítmények elvének nevezett variációs elvhez jutunk. Ez az elv a nemlineáris végeselemes számításoknál kiválóan megfelel az igen gyors változásokkal járó áramlástani feladatok (folyadékok, gázok) vizsgálatánál. Olyan – szilárd testeket vizsgáló – mechanikai feladatoknál azonban, ahol mindenképpen szükséges az Euler-féle leírásmód (például nagyon nagy alakváltozásokkal – gyűrődésekkel – járó terhelések vizsgálatakor), előnyösebb az impulzus-megmaradási feltételből kiinduló átalakítást nem a sebességmező, hanem az elmozdulásmező variálásával végrehajtani, és így a – Lagrange-leírásmódnál is felhasznált – virtuális munkák tételét létrehozni ebben a bázisban. Ennek az átalakítás-variációnak nincs elvi akadálya, hiszen a variációs feladat létrehozásánál nincs semmilyen megkötés a tesztfüggvény típusára. Bár a virtuális elmozdulások elméleti alapjaival már a BSc Szilárdságtanban részletesen foglalkoztunk, most tekintsük át újból a fontosabb jellemzőket, illetve azokat a sajátosságokat, amelyek a nagy változások leírásmódjához kapcsolódnak.

100

A virtuális elmozdulások tételét elsőként a kiváló svájci matematikusok, Johann Bernoulli (1667 – 1748) és fia, Daniel Bernoulli (1700 – 1782) fogalmazták meg. Johann Bernoulli a francia Pierre Varignon-nak írt, 1715. február 26-i keltezésű levelében írt először virtuális elmozdulásrendszerekről és azok mechanikai alkalmazásairól (Varignon: „Nouvelle Mécanique”, Vol. 2, pp. 174, Párizs,1725). Fia főleg a variációs elv alkalmazásaival járult hozzá a módszer népszerűsítéséhez. Ő hívta fel egyébként Euler figyelmét erre a mechanikai modellezési lehetőségre. Megjegyezzük, hogy magát a „virtuális elmozdulás” elnevezést először Lagrange (róla lásd az első előadás 4. lábjegyzetét) használta (Lagrange: „Mecanique Analytique”, 1788, Párizs). 10.06.20.

113


Előadásvázlat

8.1. ábra: Kezdeti és pillanatnyi konfiguráció Magának a virtuális elmozdulásnak a definíciója nem változik a nemlineáris feldatok esetében sem. A (8.1) ábrán látható kezdeti és pillanatnyi (de időben rögzített!) konfigurációt felhasználva a pillanatnyi konfiguráció kicsiny megváltoztatásával állítjuk elő a virtuális elmozdulásrendszert: ) (8.7) δu = u − u = εw , ahol ε kicsiny, nullához tartó paraméter. Írjuk fel most az elmozdulás-variáció gradiensszámításához szükséges alapvető képleteket: ) ) ∇ ( δu ) = ∇u − ∇u, δ ( ∇u ) = ∇u − ∇u ⇒ δ ( ∇u ) = ∇ ( δu ) . (8.8) 101 Ha figyelembe vesszük , hogy ∂ui ∂ui −1 ∇u = ∇ 0uF −1 ⇔ = Fk j , (8.9) ∂x j ∂X k

∂δui ∂δui −1 = Fk j . (8.10) ∂x j ∂X k A mechanikai feladatoknál szükség lehet a deformációgradiens-tenzor, illetve az adott bázis jellemzőjének tartott alakváltozás-tenzor (jelen esetben az Almansi-Hamel-féle tenzor) variációjának ismeretére is. Írjuk fel most ezeket102: ∂ ( δu j ) ∂ ( δui ) δF = ∇ 0 ( δu ) , δF -1 = −F −1∇ ( δu ) ⇔ δFi k = , δFk−i1 = − Fk−j1 . (8.11) ∂X k ∂xi Az Almansi-Hamel-tenzor variációjának számítását megkönnyíti a Green-Lagrange-féle alakváltozástenzor variációjának ismerete. Számítsuk ki először ezt103: T 1 1 δE = δ ( FT ) F + FT δF  = ( FT ∇0 (δu) ) + FT ∇0 (δu)  , (8.12)  2 2 majd ennek felhasználásával az Almansi-Hamel-tenzort: akkor

∇ ( δu ) = ∇ 0 ( δu ) F −1 ⇔

101

A fontosabb képleteket indexes alakban is megadjuk. Emlékeztetőül a vektormezőkre – általunk T használt – gradiens definíció: grad u = ( ∇ ⊗ u ) (lásd a Függelék vonatkozó részét). 102

103

A második képlethez: δ ( F −1F − I ) ⇒ δF −1 = −F −1δFF −1 = −F −1∇ 0 ( δu ) F −1 = −F −1∇ ( δu ) . ∂u ∂u 1 Ezt is felírjuk indexes változatban: δEi j =  Fk j k + Fk i k 2  ∂X i ∂X j

10.06.20.

  . 

114


Előadásvázlat

(

T 1 = ( ∇ ( δu ) ) 2

(

)

1 −T T F ( ∇ 0 (δu) ) + ∇ 0 (δu)F −1 = 2 1  ∂δu j ∂δui + ∇ ( δu ) ⇔ δei j =  + 2  ∂xi ∂x j

δe = F −T δE F −1 =

)

  

.

(8.13)

Az alapvető variációs változatok megadása után a gyenge alak felírásához ugyanazokat a lépéseket hajtjuk végre, mint az előző előadásban a virtuális teljesítmény elvének megfogalmazásakor, de ahogy a bevezetőben említettük, most nem sebesség, hanem elmozdulás-variációt alkalmazunk. Megjegyezzük, hogy a vizsgált pillanatnyi konfigurációhoz tartozó perem- és kezdeti feltételek104 ugyanazok, mint amiket a korábbiakban alkalmaztunk: Peremfeltételek: u = u az Su tartományon, t = t az St tartományon. Kezdeti feltételek (nulla időpontban a tartomány egészére vonatkoznak): u ( x, t ) t =0 = u 0 ( X ) , u& ( x, t ) t =0 = u& 0 ( X ) . Nem ismételjük meg harmadszor is a mozgásmennyiség megmaradási tételére épülő átalakítás-sorozatot, csak a végeredményt adjuk meg ( g = ρb ):

∫ σ : ∇ ( δu ) − ( g − ρu&& ) ⋅ δu  dV − ∫ t ⋅δu dS = 0 .

V

(8.14)

St

Ez az egyenlet tovább finomítható, ha az elmozdulás-variáció gradiense helyett az AlmansiHamel-féle alakváltozás-tenzor variációjának értékét írjuk be a képletbe105: (8.15) ∫ σ : δe − ( g − ρu&& ) ⋅ δu  dV − ∫ t ⋅δu dS = 0 . V

St

Ez a kifejezés az Euler-bázisban megfogalmazott virtuális munkatétel, vagy más néven a nagy változásokat leíró pillanatnyi konfigurációra vonatkozó virtuális elmozdulások tétele. A kis elmozdulásoknál felírt változathoz hasonlóan ez a megfogalmazás is független az anyagi viselkedéstől, tehát bármilyen anyag esetében alkalmazható.

A virtuális elmozdulások tétele Lagrange-rendszerben Lagrange-rendszerben már az előző fejezetben megadtunk egy lehetséges felírási módot. Most az előírt felületi erők alakját kicsit egyszerűsítjük egyetlen formális integrállá, és a néhány sorral korábban az Euler-rendszerre jellemző alakot használjuk a könnyebb összehasonlíthatóság végett: T (8.16) ∫  P : δF − ( g 0 − ρ0u&& ) ⋅ δu  dV0 − ∫ t0 ⋅δu dS0 = 0 . V0

St0

Ugyanez az egyenlet a második Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor segítségével is megadható106: (8.17) ∫ S : δE − ( g 0 − ρ0u&& ) ⋅ δu  dV0 − ∫ t0 ⋅δu dS0 = 0 V0

St0

104

Kezdeti feltételeknek most elmozdulási és sebesség-értékeket választottunk. A (8.14)-es egyenlet átalakításánál figyelembe vettük az elmozdulásgradiens-tenzor szimmetrikus és antimetrikus tenzorok összegére való felbonthatóságát, továbbá azt a tényt, hogy a szimmetrikus Cauchy-féle feszültségtenzornak az antimetrikus tenzorral való kétpont-szorzata zérus. 106 A transzformáció az első Piola-Kirchoff-tenzor átalakításából is kiindulhat, de felhasználhatjuk a σ : δ e dV = S : δE dV0 összefüggést is, közvetlenül az Euler-féle alakból kiindulva. 105

10.06.20.

115


Előadásvázlat

ahol S a második Piola-Kirchhoff-féle feszültség-, E pedig a Green-Lagrangealakváltozástenzor.

8. 1 Példa Vizsgáljuk meg a virtuális elmozdulások tételének segítségével egy tehermentes állapotában L oldalhosszúságú (homogén, izotrop, lineárisan rugalmas anyagú) kocka triaxiális terhelés hatására kialakuló mechanikai állapotát. A felületi terhelés intenzitása a három tengely irányában p1 , p 2 és p3 , az új (egyelőre ismeretlen) oldalhosszakat jelöljük η1 L, η 2 L és η3 L -lel. A változások tetszőlegesen nagyok lehetnek. A tömeg- és tehetetlenségi erőket elhanyagoljuk, az anyagállandókat (E, G, ν ) ismerjük. A tételt most Lagrange-rendszerben írjuk fel. A mozgásokat leíró alapegyenletek és a kezdeti feltételek: x1 = η1 X 1 , x 2 = η 2 X 2 , x3 = η3 X 3 ⇒ u1 = x1 − X 1 , u 2 = x 2 − X 2 , u 3 = x3 − X 3 ⇒ u1 = (η1 − 1) X 1 , u 2 = (η 2 − 1) X 2 , u 3 = (η3 − 1) X 3 .

8.2. ábra: A kocka térfogatváltozása

u1 ( X 1 = 0) = 0, u 2 ( X 2 = 0) = 0, u 3 ( X 3 = 0) = 0. Számítsuk ki először a mozgásegyenletek segítségével a Green-Lagrange alakváltozás tenzor elemeit (megjegyezzük, hogy a főértékek most megegyeznek a nemzérus komponensekkel) : 1 1 1 E11 = E1 = (η12 − 1) , E 22 = E 2 = (η 22 − 1) , E33 = E3 = (η32 − 1) , 2 2 2 E12 = E 23 = E31 = 0 . A virtuális elmozdulások tételének Lagrange-rendszerben való felírásához a GreenLagrange-tenzor mellett még szükségünk van a második Piola-Kirchhoff-tenzor elemeire. Ezeket a – fizikai tartalmú – Cauchy-feszültségtenzor segítségével írjuk fel: A gradiens-tenzor és inverze:

10.06.20.

116


Előadásvázlat

η1 0 F =  0 η2  0 0

0 0  , η3 

1   η1  −1 F =0   0 

0 1 η2 0

 0   0  , J = η1η2η3 .  1  η3 

Innen:

η2 η3 ηη ηη σ1 , S22 = S2 = 3 1 σ2 , S33 = S3 = 1 2 σ3 , η1 η2 η3 ahol felhasználtuk a korábban levezetett (lásd a negyedik előadást) −1 −T S = J F σF összefüggést. Megjegyezzük, hogy most a feladat sajátossága miatt kicsit tömörebben is kiszámíthatók a második Piola-Kirchhoff-tenzor elemei. Először megadjuk a jelenlegi helyzetnek megfelelő determináns-számítás másféle változatát: dV ρ0 J= = , dV0 ρ majd ezt felhasználva indexes alakban írjuk fel az átváltást: ρ ∂X i ∂X j S ji = 0 σl k . ρ ∂xk ∂xl A feladat eredménye (elemekre bontva a számításból adódó értékeket): S11 = S1 =

S 22

2

 dX 1  ηη η η η dV 1   σ1 = = 1 22 3 σ1 = 2 3 σ1 , 2 dV0 η1 η1 η1  dx1  ηη ηη = S 2 = 3 1 σ 2 , S 33 = S 3 = 1 2 σ 3 . η2 η3

ρ S11 = S1 = 0 ρ

Következő lépésként magukat a Cauchy-feszültségeket kell meghatároznunk. Ehhez a számításához szükségünk lesz az Almansi-Hamel-féle alakváltozás tenzorra is, ez azonban kifejezhető a Green-Lagrange-féle alakváltozás tenzor segítségével. A kétféle alakváltozás-tenzor kapcsolatát a gradiens-tenzor felhasználásával lehet megadni: 1 1 1 E = (F T ⋅ F - I) és e = (I - F -T ⋅ F -1 ) ⇒ e = (F T ⋅ F - F -T ⋅ F -1 ) − E . 2 2 2 A deformáció-gradiens tenzort már az előbb felírtuk, így az Almansi-Hamel-tenzor három nemzérus eleme egyszerűen számítható: 1 1 1 1 e11 = e1 = 2 (η12 − 1) = 2 E1 , e22 = e2 = 2 (η22 − 1) = 2 E2 , 2η1 η1 2η2 η2 1 1 e33 = e3 = 2 (η32 − 1) = 2 E3 . 2η3 η3 A Cauchy-tenzor elemeit ezek után a Hooke-féle anyagmodell segítségével kapjuk, mivel lineárisan rugalmas anyagi viselkedést tételeztünk fel a modellről. A Hookemodell egyenletei itt is érvényesek, hiszen most az anyagi linearitást a nagy alakváltozásokra is kiterjesztettük: E  ν E  ν   σ1 = e1 + (e1 + e2 + e3 ) , σ 2 = e2 + (e1 + e2 + e3 ) ,   1+ ν  1 − 2ν 1+ ν  1 − 2ν   10.06.20.

117


σ3 =

Előadásvázlat

E  ν  e + (e1 + e2 + e3 ) . 3  1+ ν  1 − 2ν 

Helyettesítsük be a Cauchy-feszültségekre kapott értékeket a (második) PiolaKirchhoff-feszültségek számítására levezetett összefüggésekbe és írjuk be ide az Almansi-Hamel-féle alakváltozásokra kapott eredményeket is:  ηη E 1 ν  1 1 1 S1 = 2 3  2 E1 +  2 E1 + 2 E2 + 2 E3   , η1 1 + ν  η1 1 − 2ν  η1 η2 η3    η1η3 E  1 1 1 ν  1  2 E2 +  2 E1 + 2 E2 + 2 E3   , 1 − 2ν  η1 η2 1 + ν  η2 η2 η3    ηη E 1 ν  1 1 1 S3 = 2 2  2 E3 +  2 E1 + 2 E2 + 2 E3   . η3 1 + ν  η3 1 − 2ν  η1 η2 η3  

S2 =

Írjuk be most E helyére a nyírási rugalmassági modulust, a Green-Lagrangealakváltozások helyére pedig azok részletes értékét:  1 ηη G  1− ν 1  S1 = 2 3 1 + ν − 2 − ν  2 + 2   , η1 1 − 2ν  η1  η2 η3   S2 =

 1 η1η3 G  1− ν 1  1 + ν − 2 − ν  2 + 2   , η2 1 − 2ν  η2  η1 η3  

S3 =

 1 η2 η1 G  1− ν 1  1 + ν − 2 − ν  2 + 2   . η3 1 − 2ν  η3  η2 η1  

A belső virtuális munka számításához szükséges kifejezés: S ⋅δE = S1δE1 + S2 δE2 + S3δE3 , ahol δE1 =η1 δη1 , δE2 = η2 δη2 , δE3 = η3 δη3 . A teljes térfogati integrál ezek után: − ∫ S ⋅ δE dV0 = − ( S1δE1 + S2δE2 + S3δE3 ) L3 . V0

A külső virtuális munka integráljának számításához az alábbi egyenleteket kell figyelembe venni: δu1 = X 1δη1 , δu2 = X 2 δη2 , δu3 = X 3 δη3 ,

q (1) = − p1 , q (2) = − p2 , q (3) = − p3 , A q0(1) = q (1) = − η2 η3 p1 , q0(2) = − η3η1 p2 , q0(3) = − η1η2 p3 . A0 A külső virtuális munka ezeknek megfelelően: (1) (1) (2) (2) (3) (3) 3 (1) (2) (3) ∫ q0 δu1dA0 + ∫ q0 δu1dA0 + ∫ q0 δu1dA0 = L ( q0 δη1 + q0 δη2 + q0 δη3 ) A(1) 0

A(02)

A(03)

A belső és külső virtuális munka összegének zérus voltát felhasználva: ( − S1η1 + q0(1) ) δη1 + ( −S2η2 + q0(2) ) δη2 + ( −S3η3 + q0(3) ) δη3 = 0 . Ennek a kifejezésnek bármilyen δη1 , δη2 , δη3 variációra teljesülnie kell, így a három zárójeles tag zérus voltát felhasználva három független nemlineáris egyenlethez 10.06.20.

118


Előadásvázlat

jutunk. Ezekbe helyettesítsük be a II. Piola-Kirchhoff-feszültségekre illetve a felületi terhekre korábban kapott értékeket:  1 G  1− ν 1  1 + ν − 2 − ν  2 + 2   = − p1 , 1 − 2ν  η1  η2 η3    1 G  1− ν 1  1 + ν − 2 − ν  2 + 2   = − p2 , 1 − 2ν  η2  η1 η3    1 G  1− ν 1  1 + ν − 2 − ν  2 + 2   = − p3 . 1 − 2ν  η3  η2 η1   Ebből a három ismeretlenes nemlineáris egyenletrendszerből határozható meg a 1 1 1 , 2 és 2 keresett η1 , η2 és η3 . Megjegyezzük, hogy az egyenletrendszer 2 η1 η 2 η3 ismeretlenjeit x,y és z paraméterekkel helyettesítve ez a feladat lineáris egyenletrendszerre vezethető vissza. A paraméteres megoldás zárt alakban is felírható, de nehézkes volta miatt előnyben részesítik a numerikus esetekre alkalmazott számításokat. Ha a p1 = p2 = p3 = p hidrosztatikus állapotot vizsgáljuk, akkor η1 = η2 = η3 = η és így az egyenletrendszer helyett egyetlen kifejezéssel van dolgunk: 1+ ν  1  G 1 − 2  = − p , 1 − 2ν  η  amelynek megoldása: 1 η= . p 1 + 2(1 − 2ν) E Ha a nyírási rugalmassági modulus helyett a K térfogatváltozási modulust107 használjuk anyagállandónak, akkor az alábbi összefüggéshez jutunk (lásd az alatta levő 8.3-as ábrát):  p 1 1 =  2 − 1 . 3K 2  η 

8.3. ábra: A lineáris és a nemlineáris térfogatváltozás összehasonlítása 107

A térfogatváltozási modulus a hidrosztatikus feszültség és térfogatváltozás közötti kapcsolatot fejezi ki. A rugalmassági modulus és a Poisson-tényező ismeretében a következőképpen számítható: K = E /(3 − 6ν ) .

10.06.20.

119


Előadásvázlat

Az ábrán látható lineáris közelítés úgy értelmezhető, mint az η − ra kapott képlet sorba fejtett kifejezése szerinti, a magasabb rendű tagokat elhanyagoló vizsgálat: p 3 p  1 − η= (1 − 2ν) 1 − (1 − 2ν) + ... . E 2 E  Megjegyezzük, hogy az η = 1 értékhez végtelen nagy térfogatváltozási-modulus és ν = 0,5 értékű Poisson-tényező tartozik.

8.2. Példa Vizsgáljuk meg, hogy hogyan lehet egy 1D nemlineáris feladat végeselemes modellezéséhez szükséges alapegyenleteket megadni a Lagrange-féle leírásmód alapján Az 1D szerkezet végeselemes számítását a Lagrange-féle leírásmódnál felírt virtuális munkák tétele segítségével végezzük el. Az [ X a , X b ] tartományban elhelyezkedő szerkezetet a végeselemes technikában szokásos módon e = 1,..., ne elemre osztjuk. Egy elemen m darab csomópontot veszünk fel, így összesen nN csomópontunk lesz. Az I-edik csomópont koordinátáját jelöljük X I -vel, az egy elemen belüli  X 1e , X me  tartományt pedig Ωe -vel.

8.4. ábra. Az 1D szerkezet elemekre osztása Az egyszerűség kedvéért az „1”-es csomópont lesz az előírt elmozdulás perempontja és az nN jelű pont pedig az előírt feszültségeké (megjegyezzük, hogy a végeselemes technikában szokásos módon ezeket a peremfeltételeket majd csak a modellezés utolsó fázisában vesszük figyelembe). Az elmozdulásfüggvény és variációjának szokásos végeselemes közelítése: nN

nN

I =1

I =1

u ( X , t ) = ∑ N I ( X ) uI (t ), δ u ( X ) =∑ N I ( X ) δ uI , 0

ahol N I ( X ) a C -folytonos bázisfüggvényeket, uI (t ) pedig a csomóponti elmozdulásokat jelöli. A bázisfüggvényeknek most is ki kell elégíteniük az N I ( X J ) = δ I J feltételt. Fontos tudnunk, hogy a csomóponti változók mindig a t paraméter függvényei, még a kvázi-statikus feladatoknál is (t jelentheti a „valódi” időt, de lehet egy egyszerű monoton növekvő változó, például teherparaméter). Ettől csak a csomóponti virtuális elmozdulások esetében van eltérés, δ uI értékei nem függnek az időtől. A most bevezetett közelítések segítségével írjuk fel a virtuális munka egyes komponenseit (az 1D esetre itt felhasznált, nemlineáris hatásokat tartalmazó virtuális munkatételt korábban már részletesen levezettük!): 10.06.20.

120


δ Wb =

Előadásvázlat Xb

∫ δu

,X

nN

A0 P dX = ∑ δ uI I =1

Xa

δ Wk =

∫ δ u ρ A b dX + (δ u A t ) 0 x

0

Γt

Xb

I,X

A0 P dX = ∑ δ uI f Ib = δ u f T

b

,

I =1

 Xb  T k = ∑ δ uI  ∫ N I ρ0 A0 dX + ( N I A0 tx 0 )  = δ u f , Γt  X I =1  a  nN

0

0

∫N

nN

Xa

Xb

Xa

Xb

nN

Xb

I =1

Xa

nN

δWkin = ∫ δu ρ 0 A0uɺɺ dX = ∑ δu I ∫ N I ρ0 A0 ∑ uɺɺJ (t ) N J dX = δu M a =δu f Xa

T

T

kin

.

J =1

A kinetikus virtuális munka képletében szereplő tömegmátrix képlete: Xb

Xb

Xa

Xa

T M I J = ∫ ρ0 A0 N I N J dX vagy M = ∫ ρ 0 A0 N N dX .

Az a vektor a gyorsulási jellemzőket tartalmazza ( a = uɺɺ ). A virtuális munkatétel képletébe behelyettesítve ezeket az összefüggéseket, a következő egyenletrendszert kapjuk: nN

∑ δuI ( f Ib − f Ik + f Ikin ) = 0,

∀δu − ra .

I =1

Ez az egyenlet valóban mindig zérus, hiszen I=1-nél δu1 zérus a peremfeltételek miatt, míg a többi csomópontnál a zárójeles kifejezés lesz nulla. Elhagyva a tetszőleges virtuális elmozdulásfüggvényt, mátrix alakban a következő szemidiszkrét (a térben diszkrét, az időben azonban folytonos) egyenletrendszert írhatjuk fel: k b f = f − f = Ma. Ezt a kifejezést a mozgás egyenletének hívják a mechanikában, és alapvető fontosságú a nemlineáris feladat végeselemes vizsgálatában. Az egyenletrendszerben az előírt elmozdulási peremfeltételt már figyelembe vettük. Matematikai jellegét tekintve nN −1 darab másodrendű közönséges differenciálegyenletből áll, amelyeknek független változója a t idő- (vagy teher-) paraméter. Megjegyezzük, hogy a számításokban az M tömegmátrix gyakran nem diagonál (ezt hívják a mechanikában konzisztens tömegmátrixnak), így a mozgásegyenlet nem egyezik meg pontosan az f = M a alakú II. Newton-törvénnyel, mivel az I-edik csomópontnál levő erő is okozhat gyorsulást a J-edik csomópontnál. Fontos tudnunk, hogy ha a konzisztens tömegmátrix helyett diagonál felépítésű tömegmátrixot kívánunk használni, akkor a szakirodalomban ajánlott többféle lehetőség valamelyikét kell választanunk (lásd részletesebben a „Nemlineáris végeselemmódszer” című MSc tárgy vonatkozó fejezeteit). A fenti mozgásegyenlethez előírt kezdeti feltételeket legtöbbször a csomóponti elmozdulás-és sebességváltozók figyelembevételével adjuk meg: uI (0) = u0 ( X I ), ∀I − re, uɺ I (0) = uɺ0 ( X I ), ∀I − re . Megjegyezzük, hogy egy t = 0 pillanatban nyugalomban lévő és deformálatlan testnél ezek a kezdeti feltételek az uI (0) = 0 és uɺ I (0) = 0 ( ∀I − re) alakot öltik. Ha a kezdeti feltételek sokkal bonyolultabbak (például időben változó értékeket írunk elő), akkor a csomóponti elmozdulások és sebességek értékeinek a kezdeti adatokhoz történő illesztését a legkisebb négyzetek módszere segítségével külön ki kell 10.06.20.

121


Előadásvázlat

számítanunk. Ilyenkor az u ( X ) kezdeti adathalmaz és a végeselemes interpolációból adódó

∑ N I ( X ) uI (0) értékek különbségének négyzetét minimalizáljuk: X 2 1 b  M (u (0)) = ∫ ∑ u I (0)N I ( X ) − u0 ( X ) ρ0 A0 dX = min !  2 X  I a

A sűrűséget hagyományosan azért szokták beépíteni a fenti kifejezésbe, hogy a tömegmátrixot felhasználhassák a számításban. A minimumfeltételt alkalmazva a hibára a következőt kapjuk: Xb   ∂M = ∫ N K ( X )  ∑ u I (0) N I ( X ) − u0 ( X ) ρ 0 A0 dX = 0 .  I  ∂u K (0) Xa

Ha itt felhasználjuk a tömegmátrix korábbi definícióját, akkor az egyenlet az alábbi alakra hozható: Xb

M u (0) = g , ahol g K = ∫ N K ( X )u0 ( X )ρ 0 A0 dX . Xa

A kezdeti sebességek csomóponti értékeinek illesztését teljesen hasonló módon kell számítani. Mivel ennél a példánál az alapvető cél az volt, hogy a virtuális munkatétel segítségével illusztráljuk a végeselemes módszer használatát, nem térünk ki a gyakorlati számításoknál gyakrabban alkalmazott technikára, azaz az egy elem szintjén végzett műveletek végrehajtásának elemzésére. Erre vonatkozóan újból az előbb említett „Nemlineáris végeselemmódszer” című tárgyra hívjuk fel a figyelmet.

8.3 Példa Vizsgáljuk meg, hogy egy általános nemlineáris mechanikai feladatnál hogyan lehet a számítás iterációs algoritmusát megadni a virtuális elmozdulások tételével. Tételezzük fel, hogy az egyszerűség kedvéért most is kizárjuk a dinamikus hatásokat, de egyébként az alakváltozások jelen esetben is tetszőlegesek lehetnek (második Piola-Kirchhoff feszültségtenzort, Green-Lagrange alakváltozástenzort és Lagrange leírásmódot használunk).

10.06.20.

122


Előadásvázlat

8.5. ábra:Iterációs algoritmus A terheket fokozatosan rakjuk rá a szerkezetre a fenti ábrán látható módon. Az ábrán látható P általános teherszimbólum, t pedig jelenthet időváltozót, de képviselhet valamilyen általános teherparamétert is. A példa további részében időparaméterként hivatkozunk rá. Az első időlépésben ∆ t1 = t1 − t 0 , ∆P1 = P1 − P0 ( a”0” indexű tagok általában zérus értékűek), egy általános lépésnél pedig ∆ t n = t n +1 − t n , ∆Pn = Pn +1 − Pn . A számítás első lépése a t = t1 = ∆ t1 időértékhez tartozó elmozdulás, alakváltozás és feszültség kiszámítása: u 1 = ∆u 1 , E 1 = ∆E1 , S 1 = ∆S 1 . Egy általános lépésnél ezeknek a tagoknak a számítási módja az előzőekben említett változókéhoz hasonló módon történik: u n +1 = u n + ∆u n +1 , En +1 = En + ∆E n +1 , S n +1 = S n + ∆S n +1 . Az ismeretlen ∆u n +1 , ∆E n +1 , ∆S n +1 véges növekmények számítására a virtuális elmozdulások tételét hívjuk segítségül108: − ∫ S n+1 : δEn+1 dV0 + ∫ g∗0n+1 ⋅ δu dV0 + ∫ t0(nn+1) ⋅ δu dS0 = 0 . V0

S0t

V0

Itt δE n +1 = δE n + ∆ (δEn +1 ) . Behelyettesítve a növekményi alakokat a tételbe és rendezve az egyenletet: ∫ [ ∆Sn+1 :δEn + Sn :∆(δEn+1 ) + ∆Sn+1:∆(δEn+1 )] dV0 = V0

= ∫ g∗0,n +1 ⋅ δu dV0 + ∫ t 0(nn+)1 ⋅ δu dS0 − ∫ S n :δEn dV0 V0

S0t

V0

Feltételezve, hogy ismerjük a t = t n időponthoz tartozó megoldásokat, ez az egyenlet csak két ismeretlent ( ∆S n+1 és ∆(δE n +1 ) ) tartalmaz (megjegyezzük, hogy esetleges dinamikus hatások esetén egy harmadik ismeretlent is figyelembe kell venni, hiszen g∗0n+1 elemei ilyenkor b0n + ∆b0n+1 -től függnek, ahol a növekményi tag ismeretlen). A második Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor növekménye az anyagmodellek által meghatározott (általában nemlineáris) módon függ az alakváltozásoktól (D az anyagi merevség tenzora, most a nemlinearitás miatt az alakváltozás-tenzor függvénye): E n+1

∆S n +1 =

∫

D(E): dE ,

En

ahol ∆S n +1 a ∆En +1 = E n +1 − En nemlineáris függvénye.

108

A g vektor feletti csillag arra utal, hogy szükség esetén az esetleges dinamikai terhet ennél az elemnél kell figyelembe venni. 10.06.20.

123


Előadásvázlat

Felhívjuk a figyelmet, hogy itt természetesen még csak En az ismert mennyiség, ∆E n +1 az ismeretlen ∆u n +1 nemlineáris függvénye (emlékeztetőül hivatkozunk a Green-Lagrange-tenzor definíciójára, lásd a második előadást). Így ∆S n +1 maga is ∆u n +1 nemlineáris függvény lesz (még akkor is, ha D maga nem függne esetleg Etől). Mindezeket figyelembe véve végeredményben a virtuális elmozdulások tételének előbb felírt egyenlete az ismeretlen ∆u n +1 elmozdulás-növekmény nemlineáris függvénye lesz. Ennek a változónak iterációs meghatározására például alkalmazható Newton eljárása. A módszer elvét a következő ábra szemlélteti egyváltozós függvény esetére (a mechanikai modell lehet például egy nemlineáris viselkedésű húzott rúd). Az iteráció alapelve: m +1

u n( m+1+1) = u n( 0+)1 + ∑ ∆ u n(i+)1 i =1

8.6. ábra: Az algoritmus részletei

Megjegyezzük, hogy az ábrán R-rel jelölt tagokat reziduum-nak (maradékvektor, hibavektor) nevezzük. Többváltozós rendszerre alkalmazva a Newton-eljárást: m +1

u (nm+1+1) = u (n0+)1 + ∑ ∆u (ni+)1 , illetve u (nm+1+1) = u (nm+1) + ∆u (nm+1+1) . i =1

Az ismeretlen ∆u

( m +1) n +1

számítására ismét felhasználjuk a virtuális elmozdulások

tételét. Az előző alkalmazásban szereplő ∆S n+1 : ∆(δEn+1 ) tagot a linearizálás érdekében elhagyjuk, így az új egyenlet az új változókkal:

10.06.20.

124


∫ ∆S

Előadásvázlat ( m +1) n +1

V0

: δE(nm+1+1) + S(nm+1) : ∆(δE(nm+1+1) )  dV0 = ∫ g∗0, n+1 ⋅ δu dV0 + V0

+∫ t

(n) 0n+1

St

⋅ δu dS − ∫ S

(m) n +1

: δE

(m) n +1

dV0 .

V0

E(nm+1+1)

Az itteni ∆S

( m +1) n +1

tag az

∫

D(E) : dE kifejezés u (nm+1) -hez tartozó linearizált

E(nm+1)

változatából számítható (itt E (nm+1) = E(u (nm+1) ) és E (nm+1+1) = E(u (nm+1+1) ) ):

∆S(nm++1 1) = D(nm+)1 : ∆E(nm++1 1) , ahol D(nm+)1 = D(E(nm+)1 ) , és ∆E (nm+1+1) = E(u (nm+1+1) ) − E(u (nm+1) ) = E(u (nm+1) + ∆u (nm+1+1) ) − E(u (nm+1) ) . A Green-Lagrange-tenzor definíciós képletével kifejezhetjük a fenti egyenletekben szereplő ∆(δE (nm+1+1) ) alakváltozást. ∆u (nm+1+1) -nek a virtuális elmozdulások tétele segítségével történő meghatározása után u (nm+1+1) is számítható, majd ezt követően

E (nm+1+1) számítása következik, végül a feszültségtenzort módosítjuk: E(nm+1+1)

S(nm++1 1) = S (0) n+1 +

∫

( Sn ) ( Sn ) D(E) : dE , ahol E(0) , S(0) n+1 = E n n+1 = S n

E(n0) +1

Megjegyezzük, hogy a trapézszabállyal közelíteni: E(nm+1+1)

∫

E(n0+)1

D(E) : dE ≈

feszültségmódosítás

integrál-kifejezését

szokás

1 (0) ( 0) ( 0) ( m +1) Dn+1 + D(nm++1 1) ):(E(nm++1 1) − E(0) = D(E (nm+1+1) ) . ( n+1 ) , D n +1 = D(E n +1 ) , D n +1 2

A virtuális erők tétele109 Fontos különbség az előző tételhez képest, hogy a virtuális erők tétele csak kis elmozdulások esetén alkalmazható (az anyagmodellek természetesen tetszőlegesek lehetnek). Ezért most nem írjuk fel újból az előadás elején az „ismétlés” pontban megadott tételt, de egy példában kitérünk egy lehetséges alkalmazására.

8.3 Példa Vizsgáljuk meg az ábrán látható, belső nyomással terhelt vastag falú hengert, és határozzuk meg annak a belső nyomásnak az értékét, amelynek hatására ismert értékű sugárirányú eltolódás jön létre. Az ábra egy teljesen általános terhelést mutat, jelen példában azonban csak a belső nyomás hatását vizsgáljuk.

109

A virtuális erők tételét először a kiváló francia mérnök és fizikus, Benoit Paul Emile Clapeyron (1799 – 1864) fogalmazta meg. Clapeyron évtizedeken keresztül volt Gabriel Lamé barátja és munkatársa, nagyon sok mérnöki feladaton dolgoztak közösen. Lamé híres szilárdságtani könyvében („Lecons sur la Théorie Mathámatique de l’Élasticité des Corps Solides, Párizs, 1852”) közli Clapeyron levezetéseit, megjegyezve, hogy a módszert Clapeyron jóval korábban dolgozta ki, de ez a tétel első publikációja. 10.06.20.

125


Előadásvázlat

8.7. ábra: Belső-külső nyomással terhelt vastagfalú cső Írjuk fel hengerkoordináta-rendszerben a virtuális erők tételét: − ∫ (δσ r ε r + δσ ϑ ε ϑ + δσ z ε z + δτ r ϑ γ r ϑ + δτ ϑ z γ ϑ z + δτ z r γ z r )dV + V

+ ∫ (δ g r ur + δ gϑuϑ + δ g z u z )dV + ∫ (δ pr ur + δ pϑuϑ + δ pz u z ) dA = 0 . V

Ae

Jelen esetben uϑ = 0, γ r ϑ = 2ε r ϑ = 0, γ ϑ z = 2εϑ z = 0, γ z r = 2ε z r = 0, illetve σ r ϑ = 0, σ ϑ z = 0 és σ z r = 0 . Mivel a példában σ 0 = 0, így σ z = 0 , vagyis síkbeli, szimmetrikus feszültségállapotot kell vizsgálnunk. Jelöljük ur - t u -val, és írjuk fel újból a virtuális erők tételének egyszerűsödött alakját: − ∫ (δσr ε r + δσϑεϑ ) dV + ∫ δp u dA = 0 . V

Ae

Az alakváltozások és feszültségek kapcsolata: 1 1 ε r = (σ r − νσ ϑ ) , ε ϑ = (−νσ r + σ ϑ ) . E E Behelyettesítve ezeket a virtuális erők tételébe: 1 1   − ∫ δσr (σr − νσϑ ) + δσϑ (−νσr + σϑ )  dV + ∫ δp u dA = 0 . E E  V  Ae Az utolsó tagban u a megoszló teher irányában létrejövő elmozdulást jelenti. A feszültségek és a belső nyomás kapcsolatát rugalmasságtani megoldások alapján (lásd pl. Bezuhov: Bevezetés a rugalmasságtanba és képlékenységtanba c. könyvét vagy Handbook of the solutions of elasticity c. munkát) írhatjuk fel:  ra  2   ra  2    − 1 p b   + 1 pb  r      r   σr = , σ = . ϑ 2 2  ra   ra    − 1   − 1  ri   ri  A virtuális feszültségek és a virtuális terhelés ennek megfelelően:

10.06.20.

126


Előadásvázlat  ra 2   ra 2    − 1 δpb   + 1 δpb  r    r   δσr = δσ = , , δp = δpb . ϑ 2 2  ra   ra    −1   −1  ri   ri 

Figyelembe véve, hogy dV = 2rπh dr és Ae = 2ri πh , majd minden egyes tagot behelyettesítve a virtuális erők tételébe, eredményül kapjuk az alábbi egyenletet: 2   ra   ri 1 (1 − ν) + (1 + ν)    pb δpb + u δpb = 0 . − E  r 2   ri   a    −1  ri  Elosztva δpb -vel kifejezhetjük a keresett belső nyomást az előírt elmozdulás függvényében: 2

 ra    −1 r pb =  i  ri

E r  1 − ν + (1 + ν)  a   ri 

2

u.

Az idegen munkák tétele Vizsgáljunk meg két különböző, nem összetartozó („idegen”) valódi erőrendszert, kis elmozdulásokkal és alakváltozásokkal, valamint lineárisan rugalmas anyagi viselkedéssel. Az egyes munkák számításánál most koncentrált dinámok hatását is figyelembe vesszük. Az első rendszer elemeit „egyes”, a másikét „kettes” indexszel jelöljük. f 1 , g 1 , q 1 ⇒ σ 1 ⇒ ε 1 = D -1 ⋅ σ 1 ⇒ u 1 , e 1 ,

(8.18)

f 2 , g 2 , q 2 ⇒ σ 2 ⇒ ε 2 = D -1 ⋅ σ 2 ⇒ u 2 , e 2 .

(8.19)

Számítsuk ki először az „első” halmaz általánosított erőinek a „második” halmaz általánosított elmozdulás rendszerén végzett idegen munkáját, majd ugyanezt végezzük el fordítva: a „második” rendszer adja az általánosított erőket, az „első” pedig az általánosított elmozdulásokat: W1 2, K = f 1 ⋅ e 2 + ∫ q 1 ⋅ u 2 dA + ∫ g 1 ⋅ u 2 dV , W1 2, B = −∫ σ 1 ⋅ ε 2 dV , (8.20) A

V

W21, K = f 2 ⋅ e 1 + ∫ q 2 ⋅ u 1 dA + ∫ g 2 ⋅ u 1 dV , W21, B = −∫ σ 2 ⋅ ε 1 dV . A

(8.21)

V

A virtuális elmozdulások tételét mindkét esetben figyelembe véve: W12, K + W12, B = 0 , W21,K + W21, B = 0 .

(8.22)

Írjuk fel most részletesen W12, B értékét: W12, B = − ∫ σ 1 ⋅ ε 2 dV = − ∫ ε 2 ⋅ σ 1 dV = − ∫ (D -1 ⋅ σ 2 ) ⋅ σ 1 dV = − ∫ σ 2 ⋅ D -1 ⋅ σ 1 dV = V

V

= − ∫ σ 2 ⋅ ε 1 dV = W21, B

V

V

(8.23)

V

Ebből az egyenletből és az előző munkatételekből újabb kapcsolati összefüggést írhatunk fel: W12, K = W21, K (8.24) 10.06.20.

127


Előadásvázlat

A mechanikában ezt az egyenlőséget Betti110-tételnek, vagy más néven külső idegen munkák egyenlőségének hívják. Az itt használt gondolatmenettel összesen 10 tétel fogalmazható meg: a./ Virtuális munkatétel alapján: W12, K = − W12, B , W12,B = W21,B , W12, K = W21, K .

(8.25)

b./ Virtuális kiegészítő munkatétel alapján: % % % % % % W 12,K = -W12,B , W12, B = W21, B , W12, K = W21, K .

(8.26)

c./ Vegyes tételek alapján: % W = W% , W = -W

, W12, K = − W%21, K , W%12, K = W21, K . (8.27) Mindhárom csoportban vastaggal kiemeltünk egy tételt („a”/2, „b”/1, „c”/2), ezekkel gyakorlati fontosságuk miatt külön foglalkozunk. 12, B

21, B

12,K

21,B

Felcserélhetőségi tételek Az alábbi három tételnél feltételezzük, hogy g és q zérus. a./ Külső elmozdulások felcserélhetősége (Maxwell111-féle felcserélhetőségi tétel): Az alkalmazott két erőrendszer mindegyikét alkossa egyetlen egy egységdinám (erő vagy nyomaték): F1 =1 és F2 = 1 . Felhasználva a „b/1” alatti tételt és behelyettesítve ezt az erőrendszert: W%12, K = - W%12, B ⇒ e1 F2 = e2 F1 ⇒ e12 = e21 . (8.28) A tételben szereplő változónál az első index a helyet, a második index az okot jelöli, lásd az alábbi ábrát:

8.8. ábra: Maxwell tétele A tételt elsősorban elmozdulási hatásábrák készítésére használják. b./ Belső erők felcserélhetősége (Kossalka112-féle első felcserélhetőségi tétel): A tételt statikailag határozatlan tartóknál alkalmazzák igénybevételek számítására. Az alkalmazott elmozdulások legyenek egységnyi értékűek. W12, B = W21, B ⇒ − M1ϑ2 = − S2u1 ⇒ S12 = M 21 . (8.29) A tétel magyarázatához ad segítséget az alábbi ábra: 110

Enrico Betti (1823 -1892) kiváló olasz matematikus. James Clerk Maxwell (1831 – 1879) skót matematikus és fizikus, a legnagyobb tudósok egyike. Sokat foglalkozott mechanikai témájú feladatokkal is. 112 Kossalka János (1871–1944) kiváló magyar hídépítő mérnök. Ő tervezte például az Árpád-hidat is. 111

10.06.20.

128


Előadásvázlat

8.9.ábra: Kossalka első tétele c./ Belső erő és külső elmozdulás felcserélhetősége (Kossalka-féle második felcserélhetőségi tétel): Az első rendszerben az alkalmazott elmozdulás, a másodikban pedig az alkalmazott erő legyen egységnyi: W%12, K = − W21, B ⇒ S2u1 = e1 f 2 ⇒ S12 = e21 . (8.30) A tétel magyarázatához lásd az alábbi ábrát:

8.10. ábra: Kossalka második tétele A tételt igénybevételi hatásábra kinematikus módon történő készítéséhez használják, hiszen ilyenkor az igénybevételi hatásábra egy adott keresztmetszetben az igénybevételnek megfelelő egységnyi relatív elmozdulásból származó lehajlási ábra lesz.

Elmozdulási hatásábrák Egy tartószerkezet valamely K pontjának ηK (C ) elmozdulási hatásábráját a tartón végigmenő függőleges egységerő hatásából úgy számítjuk, hogy a K ponton a C elmozdulásnak megfelelő Q =1 terhet (erőt, erő-párt, nyomatékot, nyomaték-párt) működtetünk, és meghatározzuk a tartón végigmenő egységerő támadáspontjainak függőleges eltolódási ábráját (lásd a Maxwell-féle felcserélhetőségi tételt). Ez a függőleges eltolódási ábra megadja a keresett elmozdulási hatásábrát.

10.06.20.

129


Előadásvázlat

8.11. ábra: Virtuális dinámok felvétele elmozdulási hatásábrákhoz

8.4 Példa Határozzuk meg a tartó „C” csuklóba befutó rudak végeinek „nagyított” relatív elfordulási hatásábráját: Megoldás: A relatív elfordulási hatásábra számításához a C csuklóban elhelyezett egységnyi nyomatékpárból keletkező függőleges eltolódási ábrát kell kiszámítanunk. Ezt a nyomatékábrát és a ingarudakban keletkező rúderőket a lenti ábrán már megrajzoltuk. A hajlítási merevség az egész tartón állandó, az inerciasugár négyzete 1,6.

8.12. ábra: Elfordulási hatásábra számításának első lépése A függőleges eltolódási ábrát úgy fogjuk meghatározni, hogy először kiszámítjuk a „3” jelű pont abszolút mozgásait (függőleges eltolódását és abszolút elfordulását), ezt követően meghatározzuk a C csuklónál keletkező relatív elfordulást és végül ezek ismeretében az összes többi pont függőleges eltolódását.

10.06.20.

130


Előadásvázlat

A ϑC relatív elfordulás meghatározásához az egységnyi nyomaték-párból kapott igénybevételeket kell „önmagukkal” integrálni, hiszen ilyenkor a virtuális hatást ugyancsak egy egységnyi nyomaték-párral kell megadnunk. Megjegyezzük, hogy az inerciasugár négyzetére azért van szükségünk, hogy az ingarudakban keletkező normálerők hatását is ugyanúgy EI x nagyítással tudjuk figyelembe venni (mivel a rugalmassági modulus ugyanakkora a gerendánál és az ingarudaknál, annak hatása a I nagyításnál kiejthető, az x hányados pedig nem más, mint az inerciasugár A négyzete). 6 ⋅1 2 3 ⋅1 2 2 2 2 2 11 ϑC = + 12 ⋅ 1⋅1 + + 1,6 ⋅ 2 ⋅ 3 ( + ) + 1,6 ⋅ 3 ⋅ = 16,288 kNm 2 2 3 2 3 6 6 6 6 33 A „3”-as pont nagyított függőleges eltolódásának számításához a pontba függőleges egységerőt iktatunk, majd az ebből kapott igénybevételeket integráljuk az egységnyi nyomaték-párból kapott hatásokkal:

8.13. ábra: Függőleges eltolódás számítása 6⋅ 3 1 2 2 2 2 e3 y = + 1,6 ⋅ 3 ⋅ 2 ( − ) = 2,25 kNm 3 2⋅2 2 6 2 6 2 A „3”-as pont nagyított abszolút elfordulásának meghatározásához a pontba egységnyi nyomatékot helyezünk:

8.14. ábra: Elfordulás számítása

ϕ3 = −

3 ⋅ 1 2 3 1 2 3 1 3 ⋅ 1 2 3 1 + 3 ⋅ ( + ) + ( + ) − 2 ⋅ 2 3 8 2 8 8 2 2⋅ 2 8 8 3

1 3 ⋅1 ⋅1 ⋅2 2 3 ⋅ 2 2 −6 ⋅ 1 ⋅ − − 1, 6 ⋅3 ⋅ 2( + 4 2 ⋅4 ⋅ 3 6 24 6

2 1 1 . ) − 1, 6 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 24 3 12

ϕ3 = −1,5105 kNm2 . 10.06.20.

131


Előadásvázlat

A többi pont eltolódásának meghatározása: 3 ⋅1 e1 y = 2, 25 + 1,51⋅ 6 − ⋅ 5 = 7,56(↓) 2⋅2 3 ⋅1 e2 y = 2, 25 + 1,51⋅ 3 − ⋅ 2 = 5, 28(↓) 2⋅2 1 3 ⋅1 e4 y = 2, 25 − 1,51⋅ 3 − 3 ⋅ ⋅1,5 − ⋅1 = −5, 28(↑) 2 2⋅2 1 3 e5 y = 2, 25 − 1,51⋅ 6 − 3 ⋅ ⋅ 4,5 − ⋅ 4 − 3 ⋅1⋅1,5 = −21, 06(↑) 2 4 3 3 e6 y = 2, 25 − 1,51⋅ 9 − ⋅ 7,5 − ⋅ 7 − 3 ⋅ 4,5 + 16, 288 ⋅ 3 − 3 ⋅1,5 = 3, 024(↓) 2 4 3 3 e7 y = 2, 25 − 1,51⋅12 − ⋅10,5 − ⋅10 − 9 ⋅ 4,5 + 16, 288 ⋅ 6 = 18,1(↓) 2 4 3 3 e8 y = 2, 25 − 1,51⋅15 − ⋅1,5 − ⋅13 − 12 ⋅ 6 + 16, 288 ⋅ 9 = 24,192(↓) . 2 4 A relatív elfordulási hatásábra alakja:

8.15. Az elfordulási hatásábra

Felhasznált irodalom: 1./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy. : Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000. 2./ Fung: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994. 3./ Bezuhov, N. I. : Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba, Tankönyvkiadó, 1952. 4./ Mang, H. – Hofstetter, G. : Festigkeitslehre, Springer, 2000. 5./ Holzapfel, G. A. : Nonlinear solid mechanics, Wiley, 2000.

10.06.20.

132


Előadásvázlat

9. Előadás: Energiatételek A különböző mechanikai feladatok vizsgálatánál a mérleg- illetve egyenlőtlenség formájában megfogalmazott alapvető egyenletek (tömeg-, energia-, impulzus- és impulzusmomentummegmaradás, entrópia-változási feltétel) mellett a megoldáshoz nagyon gyakran használnak variációs elveket. Ezeket vagy ortogonalitási113, vagy stacionaritási114 feltételként fogalmazzák meg. Ebben az előadásban a stacionaritási feltételek körébe sorolható energiatételekkel foglalkozunk. Megjegyezzük, hogy a mechanika ismer a most bemutatott változatoknál lényegesen általánosabb variációs elveket is (ilyen pl. az Onsager115-elv, ami a statisztikus mechanikában, a Gyarmati116-elv, amely az irreverzibilis folyamatok termodinamikájában használatos), de ezeket mi itt nem tárgyaljuk. A témakör átfogó ismertetése illetve az egyes részletek mélyebb megismerése után érdeklődőknek magyar nyelven Verhás [ 2] alatti könyvét illetve Kurutzné [3] alatti jegyzetét ajánljuk, angol nyelven pedig az [5] , illetve a [8] sorszámmal hivatkozott művek hasznosak ebből a szempontból. A továbbiakban elsősorban a rugalmas anyagú rendszerek (szerkezetek, közegek) viselkedését leíró klasszikus variációs elvekkel foglalkozunk, a nem rugalmas (képlékeny) anyagú szerkezetek modellezésének kérdését csak az előadás végén érintjük nagyon röviden.

113

Az általunk vizsgált feladatok körében az ortogonalitási feltétel két függvénytér adott tartományon számított szorzatintegráljának zérusértékűségét jelenti. Ezt a feltételt használtuk az előző fejezet virtuális munkatételeinek levezetésekor. Megjegyezzük, hogy szokás az ortogonalitási feltételrendszert „direkt” variációs módszernek is nevezni. 114 A stacionaritási feltétel a vizsgált fizikai rendszer lokális vagy globális szélsőértékének meghatározására vonatkozó matematikai összefüggéseket szolgáltatja. A mi feladatainknál ezek általában függvények szorzatának integráljaira vonatkozó megállapításokat jelentenek. A stacionaritási feltételeket szokás „inverz” variációs módszernek is nevezni. 115 Lars Onsager ( 1903 – 1976) norvég származású amerikai vegyész illetve fizikus. 116 Gyarmati István (1929 – 2002) kiváló magyar fizikus, a termodinamika nemzetközileg elismert kutatója. 10.06.20.

133


Előadásvázlat

A mechanikában használatos feltételrendszernek megfelelően a legáltalánosabb, úgynevezett vegyes variációs elvek körében három mezőváltozó függvény117 alkalmazható: az elmozdulások ( u i , u, u ), az alakváltozások ( ε i j , ε , ε ) és a feszültségek ( σ i j , σ , σ ). Ha ezeket a variációs elvek funkcionáljában egymással variáljuk, akkor a következő változatokhoz jutunk: Típus

Mezőváltozók

A variációs elv neve

1./ 2./ 3./

Egyváltozós Egyváltozós Egyváltozós

Elmozdulások Feszültségek Alakváltozások

Teljes potenciális energia Teljes kiegészítő potenciális energia Nincs elfogadott elnevezése

4./

Kétváltozós

Hellinger-Reissner-elv118

5./

Kétváltozós

6./

Kétváltozós

Elmozdulások és feszültségek Elmozdulások és alakváltozások Alakváltozások és feszültségek

7./

Háromváltozós

Elmozdulások, feszültségek és alakváltozások

Veubeke-Hu-Washizu-elv119

Nincs elfogadott elnevezése Nincs elfogadott elnevezése

Megjegyezzük, hogy a fenti táblázatban felsorolt hétféle elv közül numerikus számítások céljára az elmúlt mintegy hatvan évben összesen négy vált be, azok közül is kiemelkedik gyakorlati használhatóságával a potenciális energia minimumtétele. Nem véletlen, hogy az eddig tanult numerikus technikáink jelentős része erre épült.

117

Az egyszerűség kedvéért itt a kis geometriai változásoknál szokásos feszültség- és alakváltozásszimbólumokat használjuk, de a későbbiekben bemutatunk nagy alakváltozások esetén használatos variációs elvet is. 118 Az elv alapvető ötlete Ernst David Hellinger (1883 – 1950) német matematikustól származik. Kapcsolódó publikációja: „Die allgemeine Ansätze der Mechanik der Kontinua”, Encyklopedia der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 4, ed. F. Klein – C. Müller, Teubner Verlag, Leipzig, 1914. Mérnöki feladatokra történő első alkalmazása Georg Prange (1885 – 1941) német matematikusnál olvasható: „Der Variations- und Minimalprinzipe der Statik der Baukonstruktionen”, Habilitationsschrift, Techn. Univ. Hanover, 1916. Az elv általánosítását és a mechanikai peremfeltételekkel való pontos kapcsolatrendszer tisztázását Eric Reissner (1913 - 1996) német származású amerikai kutató végezte el: „On variational theorem in elasticity”, Journal of Mathematics and Physics”, Vol. 29, pp. 90-95, 1950. 119 A kínai Hu Haichang (1928 – ) munkája: „On some variational principles in the theory of elasticity and the theory of plasticity”, Sci. Sinica, Vol. 4, pp. 33-54, Peking, 1954. A japán Kyuichiro Washizu (1921 – 1981) cikke: „On the variational principles of elasticity and plasticity”, Aeroelastic and Structures Research Laboratory, Technical Report 25-18, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, March, 1955. Kevésbé ismert, hogy Baudouin M. Fraeijs de Veubeke (1917-1976) belga kutató négy évvel korábban már bemutatta ugyanezt az elvet. Cikke: „Diffusion des inconnues hyperstatiques dans les voilures à longeron couplés”, Bull. Serv. Technique de L'Aéronautique No. 24, Imprimeríe Marcel Hayez, Bruxelles, pp. 1-56, 1951. 10.06.20.

134


Előadásvázlat

A továbbiakban a mechanikai alapegyenletekhez kapcsolódó energiaelvek bemutatásakor - először azt vizsgáljuk, hogy hogyan lehet az alapegyenletek segítségével egy általános variációs elvet „előállítani” (ennek technikáját a BSc tanulmányokból már ismert potenciális energia függvényen illusztráljuk), - ezt követően a többféle lehetséges elv közül a legáltalánosabb, a Veubeke-HuWashizu-funkcionált mutatjuk be (megjegyezzük, hogy a másik - gyakorlatilag fontos – többváltozós elvet, a Hellinger-Reissner-funkcionált a numerikus technikáknál elemezzük részletesen, lásd a Bojtár-Gáspár: „A végeselemmódszer matematikai alapjai” című jegyzetet), majd - harmadik lépésként a gyakorlati feladatok vizsgálatához leginkább szükséges „egyszerűsített” változatokat (potenciális energia, kiegészítő potenciális energia) tárgyaljuk.

Különböző variációs elvekhez tartozó funkcionálok felépítésének általános és alapvető lépései120 Ebben a pontban a variációs elvek felépítésének általános szempontjait foglaljuk össze. Az általános algoritmushoz illusztrációként azt a variációs elvet fogjuk használni, amelyet (másféle felépítési technikával létrehozva) már ismerünk: a teljes potenciális energia függvényének felépítése segítségével magyarázzuk el a többváltozós elvek létrehozásának módját. A rugalmasságtan – a jelen esetben használt feltételrendszerrel egyező módon felírt – alapvető összefüggéseit a 9.1 ábrán vázoltuk. Az ismert tömegerők valamint az előírt elmozdulások és terhek b, uˆ , tˆ függvényeiből121 kell az öt darab mezőegyenlet felhasználásával az elmozdulások, alakváltozások és feszültségek u, ε, σ függvényeit meghatároznunk.

120

Megjegyezzük, hogy az ebben a pontban bemutatott elemzést a „Végeselemmódszer matematikai alapjai” c. tárgy 11-ik fejezetében is ismertetjük, mivel a vegyes variációs elvek technikájának bemutatásakor ismétlését szükségesnek tartottuk. 121 Az egyszerűség kedvéért itt és a továbbiakban a korábban használatos ρb jelölés helyett a b szimbólumot fogjuk használni, vagyis a sűrűségfüggvény és az egységnyi tömegre vonatkozó tömegerő helyett azok szorzataként az egységnyi térfogatra vonatkozó erőt alkalmazzuk. Dimenzió: ( kg / m3 ) ⋅ ( kN / kg ) = ( kN / m3 ) . 10.06.20.

135


Előadásvázlat

9.1.ábra. A rugalmasságtan alapegyenletei kis alakváltozások esetén 1./ Első lépésként az ismeretlen mechanikai mezőváltozók ui → elmozdulás, εi j → alakváltozás, σi j → feszültség közül kell kiválasztani annyit, amennyit alapvető variálandó paraméterként használni kívánunk (szokás a kiválasztottakat néha – főleg az elméleti végeselemes irodalomban – „alap”-változóknak122 is hívni, ellentétben a többi, „másodlagos” („segéd”, „származtatott”, stb.) függvénnyel). A kiválasztott alap-változók számától függően lesz egy-, két- vagy hárommezős a variációs elv. Fontos megjegyeznünk, hogy az ismert adatnak tekintett függvények (tömeg-, felületi-, vonalmenti- és koncentrált terhek, valamint peremfeltételi adatok) soha nem lehetnek variálandó mennyiségek (ezeket egyszerűen „adat”-mezőknek nevezik). 2./ Lépés: Az alapváltozó(k)ból az ún. „erős” kapcsolati egyenletekkel előállítjuk a másodlagos változókat. Ha egy alapváltozóra peremfeltételt is előírtunk, akkor azt a feltételt tekinthetjük „erősnek” vagy „gyengének”. Az „erős peremfeltétel” elnevezést akkor használjuk, amikor az alapváltozót csak azon függvények halmazából választjuk, amelyek teljesítik ezeket a peremfeltételeket. Ha egy másodlagos változót két alapváltozóból is előállítunk (vagy két összekapcsolódó alapváltozó esetén az egyikből számíthatjuk a másikat, azt másodlagosnak tekintve), akkor azoknak elvileg meg kellene egyezniük. Az ezt kimondó egyenletet, valamint az eddig ki nem elégített egyenleteket „gyenge” egyenleteknek tekintjük, és ezeket csak „átlagos értelemben” teljesítjük. Az „átlagos értelemben való teljesülés” egyébként azt jelenti, hogy minden, a tartományon felvett – legalább szakaszonként differenciálható – függvényre (az ún. Lagrange-szorzók függvényeire) legyenek ezek a kifejezések ortogonálisak. 3./ Lépés: A Lagrange-szorzók123 célszerű megválasztásával és megfelelő átalakítások után megkapjuk a keresett funkcionál első variációjának zérus voltát (vagyis a keresett funkcionál stacionaritását) előíró δΠ = 0 egyenletet (többváltozós esetben egyenleteket). Ebből előállítható maga a funkcionál is.

122

Néha használatos a „mesterváltozó” elnevezés is, egyes ábrákon mi is ezt alkalmaztuk. Emlékeztetőül: A Lagrange-szorzók alkalmazásának módszere része a BSc-mérnökhallgatók matematikai alapképzésének, lásd a Thomas-féle „Kalkulus” III. kötetének 321-330. oldalakon található tananyagot. Megjegyezzük, hogy a Lagrange-szorzós technikát variációs elvek kidolgozására elsőként Kurt Otto Friedrichs német matematikus (1901-1982) alkalmazta, ő egyébként két másik kiváló német matematikus, David Hilbert (1862-1943) és Richard Courant (1888-1972) tanítványa volt. 123

10.06.20.

136


Előadásvázlat

4./ Lépés: A „kész” variációs elv numerikus eredményeket adó közelítő (például végeselemes) számítási technikájának kidolgozása a megfelelő bázisfüggvények, elemek, stb. felvételével. Ez már a számítások technikai részéhez tartozó feladat. A fenti lépéseket alkalmazzuk illusztrálásul a teljes potenciális energia funkcionáljának előállítására. Ebben az esetben az egyes változók közötti – korábbi tanulmányaink alapján minden részletében ismertnek tekinthető – kapcsolati hálózatot mutatja be a következő ábra:

9.2. ábra. A potenciális energia függvényének származtatása kis alakváltozások esetén A kiválasztott alapváltozó most az ui elmozdulásmező. Megjegyezzük, hogy az egész S felület két tartomány összege: az Su részen előírt elmozdulásokat, az St felületen pedig előírt erőket veszünk figyelembe. A „második lépésben” az elmozdulási peremfeltételek alapján a megengedett elmozdulásmezők tartományát szűkítjük, majd az „erős” geometriai és anyagegyenletekkel a alapváltozóból számítjuk az alakváltozásokat és feszültségeket (ebben az illusztráló bemutatásban kizárólag indexes jelölésekkel dolgozunk): 1 εuij = ui , j + u j , i (V − n), σuij = Di j k l εukl (V − n) . (9.1) 2 Most „gyenge” kapcsolati egyenlet lesz az egyensúlyi egyenlet és a statikai peremfeltétel (ezeket jelöltük az előbbi ábrán szaggatott kapcsolati vonallal). Ezek Lagrange-szorzós alakja (az első egyenlet az egyensúly, a másik a peremfeltétel megfogalmazása): (9.2) ( σui j , j + bi ) λi dV = 0 , (σuij n j − tî )λi dS = 0 .

(

∫

V

10.06.20.

)

∫ St

137


Előadásvázlat

A „harmadik lépésben” alkalmazzuk először a Gauss-tételt a térfogati integrál átalakítására a 9.2 alatti első egyenlet bal oldalának első tagjánál (a képletben szereplő n j a felületi normálisvektort jelöli), továbbá felhasználjuk a Függelék (F.76) alatti harmadik egyenletét: u u u (9.3) ∫ σi j , j λi dV = −∫ σi j λi , j dV + ∫ σi j n j λi dS V

V

S

A feszültségtenzor szimmetrikus jellegét felhasználva ez az egyenlőség tovább módosítható: u u 1 u (9.4) ∫V σi j , j λi dV = −V∫ σi j 2 λi , j + λ j , i dV + ∫S σi j n j λi dS A kifejezés további átalakításához, a variálás bevezetéséhez a jobb oldal első tagjának a geometriai egyenletekhez való hasonlóságát kell felhasználni124, vagyis legyen a továbbiakban λ i → δui , (9.5) Ez a lépés azt jelenti, hogy a Lagrange-szorzót az elmozdulásmező (első) variációjának tekintjük. Helyettesítsük be ezt a (9.4) alatti egyenletbe125: u u u u (9.6) ∫ σi j , j δui dV = − ∫ σi j δεi j dV + ∫ σi j n j δui dS .

(

V

)

V

S

A 9.6 alatti egyenlet utolsó tagjában a felületi integrált bontsuk két részre ( Su és St ). Az Su részen azonban az elmozdulás-függvény variációja részen integrált tagra szűkíthető: u u ∫ σi j n j δui dS = ∫ σi j n j δui dS . S

( δui )

zérus, így ez a tag csak az St (9.7)

St

Ez a kifejezés azonban a (9.2) alatti második egyenlet két tagra bontása segítségével a következőképpen is felírható: u (9.8) ∫ σi j n j δui dS = ∫ tî δui dS . St

St

Követve a (9.8) → (9.7) → (9.6) → (9.3) → (9.2a) visszahelyettesítéseket, megkapjuk a teljes potenciális energia első varációjának zérus voltát előíró egyenlet126: δΠTPE ( u ) = ∫ σui j δεui j dV − ∫ bi δui dV − ∫ tî δui dS = 0 . (9.9) V

V

St

Megjegyezzük, hogy itt az első integrál alatt a felső indexek azt mutatják, hogy a feszültség és az alakváltozás is az elmozdulás-függvénytől függ. Az első variációs alakból most már egyszerűen előállítható maga a teljes potenciális energia funkcionálja: 1 ΠTPE ( u ) = ∫ σui j εui j dV − ∫ bi ui dv − ∫ tî ui dS (9.10) 2V V St Az első tagnál részletezzük a variációs, illetve a teljes alak közötti kapcsolatot:

124

Hasonló „a posteriori” módosítás nélkül általában csak jóval nehézkesebben lehet gyakorlatilag használható variációs alakhoz jutni. Ezt maga Fraeijs de Veubeke, ennek a levezetéstípusnak első mechanikai alkalmazója is így vélte. 125 Az új alaknál kihasználtuk az alakváltozások és elmozdulások közötti erős kapcsolati egyenletet, ennek variációjaként született a jobb oldal első tagjánál feltüntetett alakváltozás-komponens 1 1 variáció: εui j = ui , j + u j , i ⇒ δεui j = δui , j + δu j , i . 2 2 126 Megemlítjük (9.9)-nek a nyolcadik fejezetben lévő (8.15)-ös képlettel való hasonlóságát.

(

10.06.20.

)

(

)

138


Előadásvázlat

1  1 1 δ  ∫ σui j εui j dV  = ∫ δσui j εui j dV + ∫ σui j δεui j dV = 2V 2V  2V 1 1 1 1 δεukl Dklij εui j dV + ∫ σui j δεui j dV = ∫ δεukl σukl dV + ∫ σui j δεui j dV = ∫ σui j δεui j dV . ∫ 2V 2V 2V 2V V Az átalakításnál felhasználtuk a Dijkl = Dklij szimmetriafeltételt.

(9.11)

A variációs alak megfogalmazása után következhet a negyedik lépés, a numerikus vizsgálatok technikájának kidolgozása. Erre most az illusztráló példa esetében természetesen nem térünk ki, hiszen ez már a végeselemes technika feladata.

Veubeke-Hu-Washizu-funkcionál nagy alakváltozások esetén A munkatételekhez hasonlóan az energiaelvű variációs megfogalmazásokat is fel lehet írni nagy alakváltozások segítségével. Nem részletezzük az előállítás előbb bemutatott lépéseit, csak a végeredményt közöljük. Megjegyezzük, hogy az itt bemutatott összefüggéseket is természetesen elsősorban a numerikus számításoknál (a többmezős jellegre való tekintettel az úgynevezett „vegyes” („mixed”) végeselemes technikában) használják. A Veubeke-Hu-Washizu-funkcionál (továbbiakban VHW-funkcionál) variációs alakja (Eulerrendszerhez tartozó változókat használva) a következő: _

δΠVH W ( v, D, σ) = ∫ δD : σ(D) dV + ∫ δ( σ : (D( v) − D)) dV − V

V

− ∫ δv ⋅ b dV − ∫ δv ⋅ tˆ dS + ∫ δv ⋅ρv& dV = 0. V

St

(9.12)

V

A második sor első két tagja a külső, az utolsó (harmadik) tag pedig a kinetikus teljesítményt jelöli. A VHW-funkcionál három mezőváltozót használ: a sebességet ( v ( X, t ) ), a deformációsebesség-tenzort ( D( X, t ) ) és a nagy alakváltozásokhoz tartozó Cauchyfeszültségtenzort ( σ ( X, t ) ). A két utóbbi komponensnél a felülvonás azt jelzi, hogy ezeket a sebességmezőtől független approximációként kezeljük. Ennek megfelelően tehát a felülvonás nélküli D a kinematikai egyenletekből számítható deformációsebesség-tenzort jelöli, (megkülönböztetésül D -től), a felülvonás nélküli feszültségtenzor ( σ (D ) ) pedig az anyagmodell egyenleteken keresztül az approximált alakváltozás-sebességektől függ. A funkcionált gyakran használják másféle feszültség- és alakváltozás-tenzorokkal, továbbá a virtuális teljesítmények helyett a virtuális munkákra vonatkozó alakot is alkalmazhatjuk (Lagrange-bázist használunk a következő képletnél, az eltolódásfüggvény mellett a felülvonással jelölt első Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzort, illetve az ugyancsak felülvonással jelölt deformációgradiens-tenzort használva független változónak): δΠVH W = (u,F,P) = ∫ δF : P(F) dV0 + ∫ δ  P : (F(u) − F)  dV0 − δWK + δWKin = 0. (9.13) V0

V0

A funkcionálban a deformáció-gradiens tenzort valamint az első Piola-Kirchhoff feszültségtenzort használtuk az elmozdulásmező mellett független változóként (a felülvonás szimbólumok jelentése hasonló az előbb említettekéhez). A külső és a kinetikus virtuális munkát most csak tömör alakban, szimbolikusan jelöltünk.

10.06.20.

139


Előadásvázlat

Az alakváltozás- és feszültségjellemzők megváltoztatásával bemutatunk egy harmadik használatos alakot is (csak a belső virtuális energiára vonatkozó tagot írjuk fel): δΠ B =∫ δE:S(E) dV0 + ∫ δ S:(E(u) − E)  dV0 . (9.14) V0

V0

Ebben a változatban a Green-Lagrange alakváltozástenzort és a második Piola-Kirchhoff feszültségtenzort használtuk (az elmozdulásmező mellett) független változónak. Az általános elvek illusztráló jellegű bemutatása után szűkítsük az alkalmazási területeket statikai feladatokra és konzervatív rendszerekre (egyelőre a nagy alakváltozások körében). Ilyenkor a Green-Lagrange-alakváltozástenzort egy potenciálfüggvénybe beépítve szerepeltethetjük a belső hatásoknál127: ΠVH W (u,S,E) = ∫ W (E) dV0 + ∫ S : (E − E) dV0 − WK . (9.15) V0

V0

A következő (harmadik) lépésben további egyszerűsítések után eljutunk a gyakorlatban sűrűbben használt, kis alakváltozásokkal operáló energiaelvekhez.

A VHW-funkcionál egyszerűsített változatai kvázistatikus, konzervatív terhelésű szerkezeteknél

kis

alakváltozású,

Ebben az esetben a (9.12)-nek illetve(9.13)-nak megfelelő szokásos alak ( Su ∪ St = S figyelembevételével)128: ΠVHW (u,σ,ε ) = ∫ W ( ε ) dV + ∫ σ : (ε-ε ) dV − ∫ g ⋅ u dV − ∫ tˆ ⋅ u dS . (9.16) V

V

V

St

A (9.5) alatti ΠVHW -ben a független változó – így szabadon variálható – u , σ , ε . A stacionaritási feltétellel meghatározott – úgynevezett „gyenge” – megoldásnál a funkcionálnak nyeregpontja van. Tényleges számítási célokra a VHW-funkcionált viszonylag ritkán, inkább csak kutatási feladatokban alkalmazzák. Numerikus alkalmazására a „Végeselemmódszer matematikai alapjai” c. tárgyban mutatunk be példákat. Megjegyezzük, hogy ugyanott tárgyaljuk a többmezős funkcionálok egy másik – jelen előadás bevezetésében már említett, de terjedelmi okokból most nem részletezett – kétváltozós modelljét, a Hellinger-Reissner-funkcionált is. A mindennapi mérnöki munkában a VHW-funkcionál eredeti változatánál fontosabb és gyakorlati feladatok megoldására is kiválóan használható a belőle származtatható két speciális változat, a teljes potenciális energia, illetve a kiegészítő potenciális energia funkcionálja. A kompatibilitási és az elmozdulási peremfeltételi egyenleteket kielégítő folytonos elmozdulásmezők halmazán a (9.17) ∫ W (ε) dV − ∫ tˆ ⋅ u dS − ∫ g ⋅ u dV V

St

V

teljes potenciális energiának minimuma, az (előírt elmozdulásokkal kiegészített)

127

A W szimbólum itt a belső alakváltozási energiát jelöli az ötös és hetes fejezetekben használt szimbólumokhoz illeszkedve. Mivel a BSc Szilárdságtanban W-t alapvetően a munka definícióra használtuk, ennek a változónak a pontos értelmezése is csak a szövegkörnyezet alapján dönthető el. 128 Ezekben az energiafüggvényekben a tömegerők vektoránál – mint ahogy azt a hetedik fejezet második felében is tettük– b helyett áttérünk a BSc Szilárdságtanban szokásosan használt g szimbólumra, továbbá az ott megszokott módon a munkát jelöljük W-vel. D az anyagi merevségi mátrixot jelenti. 10.06.20.

140


Előadásvázlat

− ∫ W% (σ) dV + ∫ u% ⋅ t dS + ∫ u% ⋅ g dV V

Su

(9.18)

V

negatív kiegészítő potenciális energiának – az egyensúlyi és reakció-eloszlási egyenleteket kielégítő egyensúlyi mezők felett – pedig maximuma van. A fentieket jól szemlélteti a nyeregpont geometriai formája is. W% (σ ) a fajlagos belső kiegészítő potenciális energiát jelöli. Természetesen mindkét esetben feltétel a fizikai egyenletek teljesülése. A továbbiakban:

- az anyagot lineárisan rugalmasnak tekintjük (a kivételeket külön jelezzük), és - nem foglalkozunk dinamikai hatásokkal. A BSc Szilárdságtanban tanultakra hivatkozva ismételjük át a számunkra fontos energiafüggvényeket:

A./ A potenciális energia Külső potenciál: a vizsgált testre ható külső erők potenciális energiája. Csak konzervatív (kizárólag a helytől függő energiafüggvénnyel rendelkező) erőknek lehet külső potenciális energiája. A külső potenciális energia a külső munka ellentettje: Π K = − WK = − f ⋅ e − ∫ tˆ ⋅ u dS − ∫ g ⋅ u dV . (9.19) St

V

Belső potenciál: a testben keletkező alakváltozások potenciális energiája. A feszültségeknek az alakváltozásokon végzett belső munkája ellentettjeként számítjuk. 1 Π B = − WB = ∫ ε : D :ε dV . (9.20) 2V Teljes potenciál: a külső és a belső potenciál összege. Π =ΠK +ΠB . (9.21) B./ A potenciális energia állandóértékűségének tétele A potenciális energia állandóértékűségének tétele azt mondja ki, hogy egy lineárisan rugalmas test geometriailag lehetséges általánosított elmozdulás-alakváltozás-rendszerei közül az a tényleges, vagyis a test egyensúlyi helyzetének megfelelő rendszer, amelynél a teljes potenciális energiája állandó értékű, más szóval stacionárius. A tétel a rugalmas test egyensúlyát fejezi ki. 1 Π = − f ⋅ e − ∫ tˆ ⋅ u dS − ∫ g ⋅ u dV + ∫ ε : D :ε dV = stacionárius ! (9.22) 2V St V Stabilis egyensúlyi állapotban lévő szerkezetek esetén a potenciális energiára vonatkozó fenti tételt a potenciális energia minimumtétele néven használjuk: Lineárisan rugalmas anyagú testek esetén az összes geometriailag lehetséges elmozdulás/alakváltozás-rendszer közül az a tényleges, vagyis a test stabilis egyensúlyi helyzetének is megfelelő rendszer, amelynél a teljes potenciális energiának minimuma van. C./ A potenciális energia és állandóértékűségi tételének alkalmazásai 10.06.20.

141


Előadásvázlat

A potenciális energiát mindig a geometriailag lehetséges elmozdulás-rendszerek függvényében írjuk fel, tehát mindig annyi változós függvény, mint amennyi a test elmozdulási szabadságfoka. Rugalmas testekből álló szerkezetnél a megoldás közelítő függvényekkel történik. A tételt elsősorban statikailag határozatlan szerkezetek vizsgálatára használjuk. Mivel a függvényben az általánosított elmozdulások az ismeretlenek, ezt az eljárást az elmozdulás-módszer típusú megoldási technikákhoz soroljuk. D./ A kiegészítő potenciális energia Külső kiegészítő potenciál: a testre ható külső elmozdulások kiegészítő potenciális energiája, a külső kiegészítő munka ellentettje. Csak elmozdulás jellegű terhekből származhat: % = − W% = − e% ⋅ f − u% ⋅ t dS − u% ⋅ g dV . Π (9.23) K K ∫ ∫ Su

V

Belső kiegészítő potenciál: a testben keletkező feszültségek kiegészítő potenciális energiája, a belső kiegészítő munka ellentettje. A belső kiegészítő potenciál felírásánál felhasználjuk a lineárisan rugalmas anyag viselkedését leíró általános Hooke-modellt ( ε = D−1 : σ ): % = − W% = 1 σ : D−1 :σ dV . Π (9.24) B B 2 V∫ A teljes kiegészítő potenciál a külső és belső kiegészítő potenciálok összege: ~ ~ ~ Π =ΠK +ΠB . (9.25) E./ A kiegészítő potenciális energia minimumának tétele A kiegészítő potenciális energia minimumának tétele szerint egy lineárisan rugalmas anyagú test statikailag lehetséges erő-feszültség-rendszerei közül az a tényleges, vagyis a test geometriailag lehetséges helyzetének megfelelő rendszer, amelynél a teljes kiegészítő potenciális energia minimális. A tétel a rugalmas test kompatibilitási feltételét fejezi ki. % = − e% ⋅ f - u% ⋅ q dS − u% ⋅ g dV + 1 σ : D-1 : σ dV = min! Π (9.26) ∫ ∫ 2 V∫ Su V Rugalmas testek kiegészítő potenciális energiafüggvénye véges számú feszültség (igénybevétel) függvénnyel írható le. A megoldás során ezek a függvények általában ismeretlen együtthatójú polinomokkal közelíthetők. A tételt a statikailag határozatlan szerkezetek vizsgálatára használjuk. A kiegészítő potenciális energiát a statikailag lehetséges erőrendszerek függvényében kell felírni, így a kiegészítő potenciális energia mindig annyi változós függvény, mint ahányszorosan statikailag határozatlan a szerkezet.

Kiegészítő megjegyzések a munka és energiatételekhez: A továbbiakban bemutatunk néhány olyan tételt, amelyek az energiatételek további egyszerűsítési lehetőségeit, a mechanikai feladatoknál végrehajtandó számítások sajátos körülményeit figyelembe vevő modelljeit illusztrálják. A./ Clapeyron129-munkatétel (saját munkák tétele):

129

Benoit Paul Emile Clapeyron (1799 – 1864) francia mérnök és fizikus, a termodinamika tudománya megalapítóinak egyike. 10.06.20.

142


Előadásvázlat

A virtuális elmozdulások- és erők tételei az egyensúlyi és kompatibilitási állapotot vizsgálják. Az energiaminimum-tételek is ezeket a helyzeteket elemzik, azzal a különbséggel, hogy míg a munkatételek virtuális (illetve virtuális kiegészítő) munkákra vonatkoznak, addig az energiatételek a szerkezet tényleges állapotának energiaszintjét adják meg a deformálatlan, terheletlen állapothoz képest. A Clapeyron-féle munkatétel kis elmozdulásokat végző, lineárisan rugalmas testek statikus terhelési folyamat közben létrejövő állapotváltozását vizsgálja. Tételezzük fel például, hogy a terhek nagysága zérus értékről kiindulva fokozatosan éri el végleges értékét. Az alábbi ábrán bal oldalán egy p tehervektor i-edik elemének ( Pi ) és a hozzá tartozó ei elmozdulás-komponensnek a kapcsolatát ábrázoltuk, míg jobb oldalon a belső saját munkával egyenlővé tehető belső energia - fajlagos – értéke látható. Természetesen mindegyik erő-elmozdulás (illetve feszültség-alakváltozás) kapcsolat lineáris a kiindulási feltétel miatt. A külső és belső saját munka értéke ebben az esetben az alábbi módon számítható: 1 1 1 WK , S = f ⋅ e + ∫ tˆ ⋅ u dS , WB , S = ∫ σ : ε dV . (9.27) 2 2 St 2V

9.3. ábra: Clapeyron-féle munkatétel

Statikus terhelési folyamat esetén a kinetikus energia elhanyagolható. A Clapeyron-féle munkatétel szerint ilyen esetben az energiamegmaradás elvének megfelelően a külső erők által végzett munka teljes egészében rugalmas energiává alakul, vagyis kis elmozdulásokat végző lineárisan rugalmas anyagú test statikus terhelési folyamatai során a külső saját munka egyenlő a belső saját munkával: 1 1 1 f ⋅ e + ∫ tˆ ⋅ u dS = ∫ σ : ε dV . (9.28) 2 2 St 2V A virtuális erők tétele a fenti tétellel formailag azonos (az anyagmodellre alkalmazott szigorító kitételtől eltekintve), de ott a virtuális erők nem a saját maguk, hanem „idegen” elmozdulásokon végeznek munkát, ezért megkülönböztetésül a mechanikában gyakran használják a „saját munkák” illetve „idegen munkák” tétele elnevezést is. Két további megjegyzés a tételhez: a./ A Clapeyron-tételt kis elmozdulásokat végző rugalmas testre mutattuk be, de elvileg a tétel bármilyen statikus terhelésű szilárd testre alkalmazható. b./ Fontos tudnunk, hogy a külső potenciál nem egyenlő a külső saját munkával! A sajátmunka-tételben a tényleges erők és elmozdulások értéke szerepel, míg a potenciális energia kifejezésében minden tag ismeretlen elmozdulások függvényében kerül felírásra. 10.06.20.

143


Előadásvázlat

B./ Castigliano130 első tétele Ez a tétel a potenciális energia minimumtételének speciális változata. Véges szabadságfokú rendszereknél a teljes potenciális energia felírható n darab elmozdulás-komponens ( e1 , e2 , ...., en ) segítségével, így a minimumfeltétel ∂Π ∂Π ∂Π =0 , = 0 , .... .... , =0 (9.29) ∂ e1 ∂ e2 ∂ en alakú lesz. Ha a testre csak az e1 , e2 , ... ...., en ismeretlen elmozdulások helyén működnek adott f1 , f 2 , ... ..., f n külső erők, akkor a külső erők potenciálja: Π K = − ( f1e1 + f 2 e2 + .... .... f n en ) . Ennek az i-edik elmozdulás szerinti deriváltja: ∂ΠK ∂ΠB ∂Π = − f i , így = − fi + = 0. ∂ ei ∂ ei ∂ ei

(9.30) (9.31)

Ennek alapján adódik a Castigliano első tétele néven ismert összefüggés: ∂ΠB = f i , i =1,2,... ..., n . (9.32) ∂ ei A tétel pontos megfogalmazása: lineárisan rugalmas anyagú testek esetén a belső alakváltozási energiának egy elmozdulás szerinti deriváltja egyenlő az elmozdulás helyén ható külső erő elmozdulás irányú vetületével. C./ Castigliano második tétele Ez a tétel a kiegészítő potenciális energia minimumtételének egy speciális változataként szokták definiálni, de lényegében a virtuális erők tételével azonosítható. Ha a teljes kiegészítő potenciált n darab külső dinám függvényeként írjuk fel, akkor a minimumfeltétel az alábbi alakú lesz: ~ ~ ~ ∂Π ∂Π ∂Π =0, = 0 , ... ..., =0. (9.33) ∂ f1 ∂ f2 ∂ fn Ebből levezethető Castigliano második tétele: ~ ∂ΠB = ei , i = 1,2,... ..., n . (9.36) ∂ fi A tétel megfogalmazása: Lineárisan rugalmas anyagú testek esetén a belső kiegészítő energiának egy külső dinám szerinti deriváltja egyenlő a dinám helyén keletkező elmozdulás erő irányú vetületével. Alkalmazhatóságának két feltétele van: a./ Az összes külső és belső erő ismert legyen (például egy statikailag határozott tartón az adott terhek figyelembevételével meghatároztuk a reakciókat is, stb.) b./ A támaszoknál az elmozdulások zérus értékűek.

130

Carlo Alberto Castigliano (1847 – 1884) olasz vasútépítő mérnök. Sokat foglalkozott matematikai és fizikai kérdések – többek között a rugalmas mechanikai rendszerek energiaviszonyainak – elemzésével.

10.06.20.

144


Előadásvázlat

Ennek a tételnek és a virtuális erőkre vonatkozó munkatételnek a kapcsolata viszonylag egyszerűen belátható. Az általánosság megsértése nélkül ezt most egy egyszerű feladaton illusztráljuk. Vizsgáljuk meg például az ábrán látható szerkezetet, ahol a Pi erő alatti ei eltolódást kívánjuk meghatározni:

9.4. ábra. Elmozdulás számítása Az elmozdulás számításához a virtuális erők tételének alkalmazásánál a vizsgált metszetbe egy virtuális erőt helyezünk el (legyen ez most maga a Pi erő!), és felírjuk a virtuális kiegészítő munkák azonosságát (az indexismétlés nem jelent összegzést, most csak a változók sorszámát jelzi): 1 1 Pe M tényleges M virtuális dl ⇒ ei = i i = ∫ ∫l M tényleges M virtuális dl . (9.37) EI l PEI i Ha Castigliano második tételét alkalmazzuk ugyanerre a feladatra, akkor a következőt kell tennünk az elmozdulás számításához: a külső erők függvényében felírjuk a belső komplementer energiát, majd deriváljuk azt Pi szerint. % ∂M tényleges ∂Π 1 ∂ 1 2 (9.38) ei = = M tényleges dl = M tényleges dl . ∫ ∫ ∂Pi 2 EI ∂Pi l EI l ∂Pi Mivel azonban a tartón működő egyetlen darab Pi erő hatására keletkező virtuális nyomatékábra Pi -vel elosztott értéke mindig megegyezik a teljes erőrendszerből kapott nyomatéki ábra Pi szerinti deriváltjával, vagyis:

∂M tényleges

M virtuális , ∂Pi Pi így a kétféle számítási mód formálisan is azonos matematikai kifejezésre vezet. =

(9.39)

Megjegyzés: Castigliano II. tételének azt a változatát, amelynél a kiegészítő belső energiát nemlineárisan rugalmas anyagmodell segítségével számítják, a mechanika szakirodalma Crotti131Engesser132 tételnek nevezi (lásd a későbbi kommentárt az energiatételek nemlineáris anyagmodellek esetére történő alkalmazásáról). D./ Castigliano harmadik tétele

131

Crotti (? – 1886) olasz matematikus és mérnök, először ő publikálta az említett elvet 1879-ben. Friedrich Engesser (1848 – 1931) kiváló német tervezőmérnök, sokat foglalkozott rudak képlékeny kihajlásával. Néhány évvel Crotti után – tőle függetlenül – fogalmazta meg a róluk elnevezett tételt. 132

10.06.20.

145


Előadásvázlat

Ez a tétel szintén a kiegészítő potenciális energia minimumtételének sajátos változata. Ha a kiegészítő energiát olyan külső erők függvényében írjuk fel, amelyeknek helyén sehol nem keletkezik elmozdulás, akkor a II. tétel az alábbi alakú lesz: ~ ∂ΠB = 0 , i = 1,2,... ..., n . (9.40) ∂ fi Ilyen gyakorlati eset például a statikailag határozatlan szerkezetek számításánál fordulhat elő, akkor a zérus elmozdulásokkal rendelkező erők éppen a szerkezetek X i fölös kapcsolati erői (vagy esetleg igénybevételei) lesznek: ~ ∂ΠB = 0 , i = 1,2,... ..., n . (9.41) ∂ Xi

Az eddigiekben leírt kiegészítő tételeket táblázatban foglaltuk össze.

9.1 Példa

10.06.20.

146


Előadásvázlat

Vizsgáljuk meg [ 7 ] alapján az ábrán látható szerkezetet és Castigliano első tételének segítségével határozzuk meg a rúderőket.

9.4. ábra: Rúdszerkezet vizsgálata

A belső energia számításánál az egyszerűsítés kedvéért használjuk ki a szimmetriát, így elegendő 1, 2 és 3 jelű rudakról beszélnünk: E A u2 E A u2 E A u2 ΠB = 1 1 1 + 2 2 2 2 + 2 3 3 3 . l3 2 l1 2 l2 2 A „B” pont függőleges elmozdulása megegyezik u1 -gyel. Castigliano első tételét alkalmazva: E A ∂u ∂ Π B E1 A1 E A ∂ u2 PB = = u1 + 2 2 2 u 2 + 2 3 3 u3 3 . ∂ u1 l1 l2 ∂ u1 l3 ∂ u1 Az egyes elmozdulások közötti összefüggések: ∂ u3 ∂ u2 u 2 = u1 cos α 2 , u 3 = u1 cos α 3 , = cos α 2 , = cos α 3 . ∂ u1 ∂ u1 Ezeket behelyettesítve: E A  E A E A PB = u1  1 1 + 2 2 2 cos 2 α 2 + 2 3 3 cos 2 α 3  . l2 l3  l1  Innen: E A P E A E A u1 = B , C = 1 1 + 2 2 2 cos 2 α 2 + 2 3 3 cos 2 α 3 . C l1 l2 l3 A keresett rúderők: E A P E A P E A P S1 = 1 1 B , S 2 = 2 2 B cos α 2 , S 3 = 3 3 B cos α 3 l1 C l2 C l3 C

9.2 Példa Határozzuk meg Castigliano II. tételének felhasználásával az ábrán látható szerkezet B pontjának függőleges és vízszintes eltolódását a függőleges P erő hatásából! A két rúd normálmerevsége azonos.

10.06.20.

147


Előadásvázlat

9.5. ábra: A „B” csomópont eltolódásainak számítása Számítsuk ki először a függőleges eltolódást. A komplementer belső energia: 2 2 lBC 1 S BD 1 S BC lBD % Πb = + . 2 EA 2 EA A rúderők a függőleges P erőből: S BC = 0, 732 P, S BD = 0,518 P . Behelyettesítés után: 2 2 % = 0.535P lBC + 0, 268P lBD . Π b 2 EA 2 EA A függőleges eltolódás: % ∂Π 0,536 PlBC 0, 268PlBD P b eBy = = + = ( 0,536lBC + 0, 268lBD ) . ∂P EA EA EA A vízszintes eltolódás meghatározásához a B pontra egy fiktív vízszintes H erőt iktatunk be, majd meghatározzuk a rúderőket a két erő együttes hatásából: S BC = 0, 732 P + 0, 732 H , S BD = 0,518P − 0,897 H . A kiegészítő potenciális energia ebben az esetben: 2 2 % = (0,732 P + 0, 732 H ) lBC + (0,518P − 0,897 H ) lBD . Π b 2 EA 2 EA A keresett eltolódás: % ∂Π 0, 732(0, 732 P + 0, 732 H )lBC 0,897(0,518 P − 0,897 H )lBD b eBx = . = − ∂H EA EA A következő lépésben a fiktív segéderő értékére nullát helyettesítünk, így a végeredmény: P 0, 7322 lBC − 0,897 ⋅ 0,518lBD  . eBx = EA Megjegyezzük, hogy a második feladatnál alkalmazott technika általános: ha olyan eltolódást keresünk a II. Castigliano-tétel segítségével, ahol nincs erő (vagy nem olyan irányú, mint a keresett eltolódás), akkor mindig egy fiktív erővel kell kiegészíteni a terhelést, így kell számítani a módosított komplementer belső energiát és végrehajtani a deriválást. Az utolsó lépésként133 az eredményben zérusra választjuk a kiegészítő erőt.

9.3 Példa

133

Megjegyezzük, hogy a számítás egyszerűsíthető, ha a deriválást az integrálást (vagy összegzést) megelőzően elvégezzük, és már behelyettesítjük a zérus értéket a fiktív erőnél.

10.06.20.

148


Előadásvázlat

Castigliano II. tételének segítségével [ 7 ] alapján számítsuk ki az ábrán látható szerkezetnél az erő irányú eltolódást. Az anyagi paraméterek ( E , ν ) adottak, a rúd keresztmetszete kör, a d átmérő állandó.

9.6. ábra: Elmozdulás számítása A BC szakaszon a belső kiegészítő energia változása: ~ ∂ Π B , BC 1 a Pa 3 . ( Py ) ( y ) dy = − − = EI ∫0 3EI ∂P A CD szakaszon már a csavarás hatását is figyelembe kell venni: ~ b ∂ Π B ,CD 2(1 + ν ) 1 2(1 + ν ) Pa 2 b Pb 3 . = ( Pa )ab + (− Px)(− x) dx = + ∂P EI 0 EI ∫0 EI 0 3EI Az utolsó (DG) szakaszon: ~ b ∂Π B , DG Pc 1 c 1 Pc Pc(b 2 + a 2 ) . = + ( Pb ) b dz + ( Pa ) a dz = + ∂P EA EI ∫0 EI ∫0 EA EI Az egész szerkezetre: ~ ~ ~ ∂ Π B ∂ Π B , BC ∂ Π B , DG ∂ Π B , DG . = + + ∂P ∂P ∂P ∂P Behelyettesítve a hajlítási és csavarási inerciát, az eredmény: ∂ΠB 4P = eB z = 16(a 3 + b 3 ) + 48c(a 2 + b 2 ) + 48(1 + ν)a 2 b + 3cd 2 . 4 ∂P 3πEd

[

]

9.4 Példa: A Crotti-Engesser-tétel segítségével határozzuk meg az ábrán látható szerkezetnél az erő alatti függőleges eltolódást. A rúd anyaga nemlineárisan rugalmas: σ = K ε rúd keresztmetszete A.

10.06.20.

1

2

, ahol K ismert anyagállandó. Valamennyi

149


Előadásvázlat

9.7. ábra: Eltolódás számítása A szerkezet teljes belső kiegészítő energiája: σ2 2  σ1 σ 2  Ab 3 σ ~  Π B = Ab ∫ 2 dσ + 2 ∫ 2 dσ  = σ1 + 2 σ 32 . 2  K  3K 0 K 0 

(

)

Az egyes rudak közötti statikai egyensúlyból következik, hogy 2P P 5P 3b ~ σ1 = , σ 2 = ⇒ ΠB = 2 2 . A A 3A K A keresett eltolódás: ~ ∂ Π B 5P 2b . eV = = ∂ P A2 K 2 Megjegyezzük, hogy ez a feladat is megoldható a virtuális erők tételének alkalmazásával, hiszen a munkatétel is alkalmas bármilyen anyagi viselkedés követésére. Ha ezt akarjuk használni, akkor először ki kell számítanunk a valódi teherből a rudakban keletkező alakváltozásokat: σ2 σ2 " AB " rúd : Ab 12 , " CB " rúd : 2 Ab 22 . K K Írjuk fel most a virtuális kiegészítő belső munkát (figyelembe véve a virtuális erőből keletkező virtuális feszültségeket): σ2 σ2 δW%b = Ab 12 δσ1 + 2 Ab 22 δσ 2 . K K Helyettesítsük be ide a feszültségeknek a külső erőktől való függését, azzal az egyszerűsítéssel élve, hogy a virtuális erő legyen maga a függőleges P teher: b 5 P 3b δW%b = 2 2 P 3 + 22 2 P 3 = 2 2 . AK AK A külső virtuális kiegészítő munka: δW%k = δPeV = PeV . A kétféle munka egyenlőségét felírva már ki tudjuk számítani – az előzővel azonos – végeredményt.

(

)

9.5 Példa: Castigliano III. tételének segítségével [ 7 ] alapján határozzuk meg az ábrán látható tartó „A” pontbeli nyomatékát.

10.06.20.

150


Előadásvázlat

9.8. ábra: Nyomaték számítása

Használjuk fel a szimmetriát az ábrán látható módon. Mivel az „A” pontban nincs elfordulás, alkalmazhatjuk Castigliano III. tételét: ~ ∂ΠB ϕA = =0 . ∂MA PR (1 − cos Θ) . Írjuk fel a nyomaték függvényét M A segítségével: M z = − M A + 2 π ~ ∂Mz ∂ΠB 1 2  PR  Mivel = − 1 , így = −MA + (1 − cos Θ) (−1) R dΘ . ∫  ∂MA ∂ M A EI 0  2  Innen a keresett eredmény: 2 PR PR 2 ( − cos Θ) . M A = (1 − ) , illetve M z = 2 π 2 π

Energiatételek nemlineárisan rugalmas, illetve rugalmas képlékeny anyagú szerkezetek vizsgálatára A potenciális energia illetve a kiegészítő potenciális energia minimumtételeinél hangsúlyoztuk, hogy lineárisan rugalmas anyagú szerkezetek vizsgálatára érvényesek. Greenberg134 azonban már 1949-ben kimutatta, hogy bizonyos korlátozásokkal a tételek kiterjeszthetők nemlineárisan rugalmas anyagú, sőt képlékeny szerkezetek vizsgálatára is. Ilyen esetekben az energiafüggvények konvexitását kell megkövetelnünk (lásd a Druckerféle stabilitási posztulátumokat az anyagmodelleknél). Ennek alapján nemlineárisan rugalmas anyagú szerkezeteknél gyakorlati feladatokra alkalmas változatot pl. Crotti és Engesser dolgozott ki a róluk elnevezett tétel formájában (lásd a korábbi példát). Megjegyezzük, hogy lineárisan rugalmas anyagoknál a belső alakváltozási energiafüggvények kvadratikus jellege automatikusan biztosította a konvexitást. Rugalmas-képlékeny anyagú szerkezetek vizsgálatára az energiatételeknek két változata használatos: A./ Greenberg minimumtétele: & (u& ) = Ψ (ε& ) dV − g& ⋅ u& dV − t&ˆ ⋅ u& dS . Π ∫ ∫ ∫ V

V

(9.42)

St

Az u& kompatibilis sebességmezők közül az a valódi, mely minimalizálja a fenti funkcionált, amely a potenciális energia változását jellemzi. A jobb oldal első tagja a rugalmas-képlékeny anyagú szerkezet belső energiáját jelöli. 134

Herbert Greenberg (1921 – 2007) amerikai matematikus, a variációs elvek képlékenységtani alkalmazásáról ismert.

10.06.20.

151


Előadásvázlat

B./ Hodge135 – Prager minimumtétele: &% (σ& ) = Ψ Π ∫ % (σ& ) dV − ∫ u%& ⋅ q& dS . V

(9.43)

Su

A statikai feltételeket és a képlékenységtani előírásokat kielégítő feszültség-sebesség mezők közül az az igazi, amely minimalizálja a kiegészítő potenciális energia változását leíró funkcionált. Jelen változatban a tömegerők változását nem vettük figyelembe.

A belső kiegészítő potenciális energia származtatása a potenciális energia függvényéből A komplementer energia függvényét a virtuális erők tételének felhasználása nélkül, közvetlenül a potenciális energiára építve is előállíthatjuk, ha alkalmazzuk a konjugált függvények számítására alkalmas ún. Legendre136-Fenchel137 transzformációt. Maga a transzformáció a következőképpen definiálható: minden tetszőleges ϕ konvex függvénynek előállítható az úgynevezett konjugált ϕ∗ függvénye: dϕ ϕ∗ ( p ) = max [ px − ϕ( x) ] , ahol p = . dx

(9.44)

~ Ha a belső kiegészítő potenciális energia előállítására alkalmazzuk a tételt, akkor Π B mint konjugált függvény a következő egyszerű számítással adódik (lásd a 9.9-es ábrát), hiszen ∂Π(ε) σ= : ∂ε % = σ :ε - Π (ε) . Π (9.45) B 9.9. ábra: Kiegészítő potenciális energia

Felhasznált irodalom: 135

Philip Gibson Hodge (1920 - ) amerikai gépészmérnök, a képlékenységtan kiváló kutatója. Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833) kiváló francia matematikus, főleg számelmélettel, függvénytannal és matematikai statisztikával foglalkozott. 137 Werner Fenchel (1905 – 1988) német matematikus, elsősorban geometriai feladatok vizsgálatát tárgyaló munkáiról ismert. 136

10.06.20.

152


Előadásvázlat

1./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000. 2./ Verhás J.: Termodinamika és reológia, Műszaki Könyvkiadó, 1985. 3./ Kurutzné K. M.: Klasszikus és módosított variációs elvek, Egyetemi Jegyzet, 2005. 5./ Felippa, A. C.: A survey of parametrized variational principles and applications to computational mechanics, Comp. Methods Appl. Mech. Eng., Vol. 113, pp. 109 – 139, 1994. 6./ Fung: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994. 7./ Ugural, A.C. – Fenster, S.K.: Advanced Strength and Applied Elasticity, Edward Arnold Publ., 1984. 8./ Reddy, J. N.: Energy Principles and Variational Methods in Applied Mechanics, John Wiley, 2002. 9./ Richards, T. H.: Energy Methods in Stress Analyis, John Wiley 1977. 10./ Belytschko, T. – Liu, W.K. – Moran, B.: Nonlinear finite elements for continua and structures, John Wiley, 2000. 11./ Budynas, R. G. : Advanced Strength and Applied Stress Analysis, McGraw-Hill, 1999.

10. Előadás: Szilárdságtani feladatok megoldási módszerei A feladatok osztályozásának megfogalmazásának alapján

matematikai

szempontjai

a

feladat

A következőkben áttekintjük azokat a matematikai megfogalmazási és megoldási típusokat, amelyeket a mechanika szilárdságtani feladatainak elemzésénél használni szoktunk. A mostani témakör alapvetően időfüggetlen (kvázistatikus terhelésű) és rugalmas anyagú szilárd testek mechanikai vizsgálatával foglalkozik, így alkalmazási köre is értelemszerűen szűkebb, mint a korábban vizsgált feladatoké (a korábbi változatokkal való kapcsolatra természetesen utalunk). Az építőmérnöki mechanikában nagyon fontos ennek a speciális témakörnek a szerepe, ezért kell külön is foglalkoznunk vele. A./ Peremérték típusú feladatmegfogalmazás138 („erős” alak):

Lu = f , u ∈ DL , f ∈ H ⇒ u0 ∈ DL , Lu0 = f . (10.1) Ebben a feladatmegfogalmazásban az ismert L operátor az ismeretlen u függvények készletét leképezi az ismert f függvények halmazára. Az L operátor általános esetben nemlineáris. Mechanikai feladatoknál ez a feladatmegfogalmazás általában differenciálegyenletek vagy differenciálegyenlet-rendszerek felírását jelenti. Megjegyezzük, hogy a (10.1) alatti egyenletben u0 a feladat megoldását jelöli.. B./ Variációs típusú feladatmegfogalmazás („gyenge” alak): F(u) =

∫ I (u) d Ω ⇒ u ∈ D 0

L

.

(10.2)

Ω

A funkcionál nemlineáris operátorú peremértékfeladat esetén is megfogalmazható, de végleges alakja alapvetően függ az operátor típusától. Mechanikai feladatoknál ez a változat szerepelt korábban a virtuális teljesítmények (munkák) integrálegyenleténél, mint az erős változatból létrehozott alak, és már azt is bemutattuk, hogy a variációs megfogalmazásokhoz tartoznak az energiaelvű mechanikai feladatok is (lásd a 9. hét anyagát). 138

Megjegyezzük, hogy az ebben a fejezetben használt lineáris algebrai fogalmak definícióiról rövid összefoglaló található a „Függelék”-ben.

10.06.20.

153


Előadásvázlat

A különböző matematikai megfogalmazású feladatok megoldásainak egyenértékűsége A matematikailag különböző módon megfogalmazott mechanikai feladatok megoldásai egymásnak megfeleltethetők. A 7. előadásban („A mechanika alapvető egyenletei”) általános esetre már ismertettük az alapképletek egymást helyettesítő „erős” és „gyenge” változatát. Ez a kapcsolat természetesen a most tárgyalt „egyszerűbb” változatok esetén is igaz, például az egyensúlyi feladatoknál felírható Lu = f peremértékfeladat az L operátor pozitív volta miatt mindig megfeleltethető az 1 F (u ) = Lu, u − f , u (10.3) 2 funkcionálnak (a peremérték-feladat u0 megoldása ebben az esetben a funkcionál minimumát adja és megfordítva: a funkcionál minimumát biztosító függvény megoldása a peremértékfeladatnak). A példaként említett kapcsolat bizonyítása (lineáris operátorok esetére): Legyen u0 ∈ DL egy rögzített, η∈ DL pedig egy tetszőleges függvény és t egy tetszőleges paraméter. Vegyük fel a keresett ismeretlen u függvényt most az alábbi módon: u = u0 + η t , (10.4) majd vizsgáljuk az F(u) fukcionál változását a t paraméter szerint: 1 F (u ) = F (u0 + η t ) = L(u0 + ηt ), u0 + η t − f , u0 + η t = (10.5) 2 1 1 1 1 = Lu0 , u0 + t Lu0 , η + t Lη, u0 + t 2 Lη, η − f , u0 − t f , η . 2 2 2 2 Vizsgáljuk meg az első deriváltat, felhasználva az L operátor szimmetrikus jellegét: dF = Lu0 , η + t Lη, η − f , η . (10.6) dt a.) Legyen u0 megoldása az L u = f feladatnak, azaz Lu0 = f . (10.7) Ekkor t = 0 esetén: dF = 0, η + t Lη, η = 0 , Lu0 − f = 0 ⇒ (10.8) dt azaz u = u0 esetén az F funkcionál stacionárius és d 2F = Lη, η > 0 . dt 2 Mivel L pozitív operátor, az F funkcionálnak valóban minimuma van.

(10.9)

b.) „Fordított” gondolatmenettel: legyen F-nek minimuma t = 0-nál: dF = Lu0 , η − f , η = Lu0 − f , η = 0, ∀η∈ DL . (10.10) dt t =0 Mivel az utolsó tag a minimum miatt zérus, az ortogonalitási tételből az következik, hogy u0 megoldása a peremérték-feladatnak. 10.06.20.

154


Előadásvázlat

Mechanikai illusztráló példák: a.) Axiálisan terhelt állandó normálmerevségű rúd modelljei: d 2u − EA 2 = p( x) , - peremértékfeladat: dx

(10.11)

2

-

variációs feladat:

EA  du    dx − ∫ p u dx → min . 2 ∫l  dx  l

(10.12)

b.) Tengelyére merőlegesen terhelt állandó hajlítómerevségű hajlított gerenda modelljei: d 4 w p ( x) - peremértékfeladat: = , (10.13) dx 4 EI 2

EI  d 2 w  - variációs feladat: (10.14)   dx − ∫ p w dx → min . 2 ∫l  dx 2  l A feladatokhoz tartozó peremfeltételeket természetesen mindegyik feladattípusnál ki kell elégíteni. Megjegyezzük, hogy az egyes feladatokban használt deriválások eltérő fokszáma miatt a keresett függvények általában különböző folytonossági osztályhoz tartoznak.

A feladatok osztályozásának megoldásának alapján:

matematikai

szempontjai

a

feladat

A./ Pontos megoldások A peremérték-feladatok legegyszerűbb változatainál lehet csak őket alkalmazni. A differenciálegyenletek közvetlen integrálhatóságára és a peremfeltételek pontos figyelembevételére építő megoldásokat alkalmaznak. Mechanikai példák: - hajlított gerenda, egyszerű terhek, merevségi viszonyok illetve peremfeltételek esetén, - húzott-nyomott rúd, egyszerű terhek, merevségi viszonyok illetve peremfeltételek esetén, - központosan nyomott rúd stabilitásvizsgálata, stb. A gyakorlati feladatok nagy részében a „pontos” megoldások nem használhatók a geometriai, anyagtulajdonsági, terhelési és peremfeltételi adatok változékonysága miatt. B./ Közelítő megoldások A közelítő megoldások nagyon jelentősek a mechanikában, a problémák döntő többsége csak így vizsgálható. Mechanikai feladatoknál használt fontosabb csoportjaik: B1./ A peremértékfeladatok fordított/félfordított megoldásai 10.06.20.

155


Előadásvázlat

A feladat feltételezett megoldását vesszük fel egy „Ansatz” (egy matematikai „sejtés”) és a peremfeltételek segítségével, majd pedig fokozatos módosítással-próbálgatással közelítjük a „pontos” eredményt. Tipikus mechanikai példák az ilyen vizsgálati technikára a 2D és 3D rugalmasságtani és törésmechanikai feladatok feszültségfüggvényes megoldásai. B2./ A peremértékfeladat diszkretizált megoldása („differenciamódszer”) A módszer a differenciálegyenleteket differenciaegyenletekké alakítja át. A peremértékfeladathoz tartozó (1, 2D vagy 3D) tartományt jellegének megfelelő ráccsal lefedve az egyes rácspontokban (illetve környezetükben) keressük a feladat ismeretlen függvényeinek diszkrét értékeit. Tranziens illetve egyensúlyi feladatok vizsgálatára egyaránt alkalmas, de bonyolult geometria és peremfeltételrendszer illetve jelentős mértékben változó szilárdsági viszonyok esetén alkalmazása nehézkessé válik. B3./ Hibavektor típusú feladatmegfogalmazás Ez tekinthető ma a leghatékonyabb numerikus technikának mind nemlineáris, mind lineáris operátorú feladatok vizsgálatára. Tárgyalása túllép a „Mechanika MSc” témakörén, ezért részletes elemzését a „Végeselemmódszer matematikai alapjai” c. tárgy keretében adjuk meg, most csak egy tömör, egyszerűsített összefoglalót adunk róluk. A hibafeltételt többnyire kétféle különböző kritérium alapján szokás felvenni: a./ Vetületi, vagy más néven ortogonalitási feltétel: A kiszemelt hibavektor egy altérre legyen ortogonális. u0 ∈ DL , L u = f ⇒ L u0 − f , v = 0 . (10.15) Az L operátor általános esetben nemlineáris. Ezt a megoldási módot nemlineáris operátorú vagy stacionaritási feltétellel nem rendelkező lineáris operátorú peremértékfeladatoknál alkalmazzák elsősorban (lásd Galjorkin139-módszer). b./ Hossz- vagy más néven stacionaritási feltétel: A hibavektor kiválasztása után felírt bilineáris alak értéke legyen minimális. Egy lehetséges felírási módja: 1 u0 ∈ DL , Lu = f ⇒ F (u ) = Lu, u − f , u = stac. (10.16) 2 Itt L lineáris és pozitív operátor. Ez a vizsgálati módszer főleg lineáris egyensúlyi feladatok elemzésénél hatékony (lásd a Ritz140-módszer technikáját). Akár az „a”, akár a „b” módszert alkalmazzuk, a hibafeltételek alapján történő számítás végső soron egy inhomogén (vagy homogén), lineáris (vagy nemlineáris) egyenletrendszer megoldásához vezet. 139

Borisz Grigorjevics Galjorkin (1871 – 1945) kiváló fehérorosz mérnök. Walter Ritz (1878 – 1909) tragikusan fiatalon elhunyt híres svájci fizikus. Ritz és Galjorkin életrajza a tanszéki honlapon megtalálható. 140

10.06.20.

156


Előadásvázlat

Megjegyezzük, hogy a mechanikai feladatokhoz kapcsolódó nemlineáris egyenletrendszerek megoldási technikáiról a 8. előadásban egyensúlyi feladatok esetére már ismertettünk egy algoritmust. Kifejezetten részletesen ezeket a matematikai eljárásokat csak a végeselemek technikájával foglalkozó tárgyaknál, ott is elsősorban a nemlineáris feladatok körében mutatjuk majd be (Newton-Raphson141 módszer, feltételes szélsőértékek módszere: Lagrange-szorzók és büntetőfüggvények használata, explicit-implicit időintegrálási technikák, stb). A „Nemlineáris végeselemmódszer” c. tárgyban foglalkozunk azokkal a speciális iterációs technikákkal is, amelyek az egyes tranziens jelenségek leírásához (elsősorban az időintegrálási lépésekhez) szükségesek (Runge142-Kutta143-, Euler-, Newmark144módszerek, stb).

A feladatok osztályozása mechanikai szempontok alapján A mechanikai szempontok szerinti osztályozás alapvetően a feladatban szereplő elsődleges ismeretlen változó jellegétől függ (maguk a feladatok matematikai formájukat tekintve természetesen lehetnek peremérték vagy pedig variációs feladatok). Három nagy csoportot különböztetünk meg: A./ Elmozdulás típusú ismeretlen változókat tartalmazó feladatok Az ismeretlen változók mozgás jellegűek: elmozdulás-, sebesség- vagy gyorsulásmezők, esetleg (ritkábban) alakváltozásmezők. Az egyensúlyi feladatok vizsgálatának körén belül (itt a sebességmező a kvázistatikus terhelési folyamatok miatt zérus) ezt a változatot elmozdulásmódszernek nevezik. A peremfeltételeknek az extenzív változókra kell vonatkozniuk. B./ Erő típusú ismeretlen változókat tartalmazó feladatok Az ismeretlen változók kapcsolati erő-, igénybevétel- vagy feszültségmező jellegűek. Az egyensúlyi feladatoknál ezt a változatát erőmódszernek nevezzük. A peremfeltételeknek az intenzív változókkal kell kapcsolatot teremteniük. C./ Vegyes módszerek Az ismeretlen függvények extenzív és intenzív típusú komponenseket egyaránt tartalmaznak. Az egyensúlyi feladatoknál ezt a technikát vegyes módszernek nevezik. A peremfeltételeket mindkét változótípus esetében ki kell elégíteni. Ezt az eljárást a „Végeselemmódszer matematikai alapjai” című jegyzetben tárgyaljuk.

141

Joseph Raphson (1648 – 1715) angol matematikus. Newtontól függetlenül dolgozta ki iterációs eljárását nemlineáris feladatok vizsgálatára. 142 Carl David Tolme Runge (1856 – 1927) német matematikus és fizikus. Elsősorban numerikus analízissel foglalkozott. 143 Martin Wilhelm Kutta (1867 – 1944) német matematikus, differenciálegyenletekkel illetve aerodinamikai vizsgálatokkal kapcsolatos munkáiról ismert. 144 Nathan Mortimore Newmark (1910 – 1981) amerikai építőmérnök. Sokat tett a modern numerikus módszerek statikai és szilárdságtani számításokba történő bevezetéséért. 10.06.20.

157


Előadásvázlat

Az elmozdulásmódszer alapegyenletei kis rugalmas anyagú egyensúlyi feladatoknál

alakváltozású, lineárisan

Az adott feltételek esetén 15 darab ismeretlen háromváltozós függvényt (6 feszültség-, 6 alakváltozás- és 3 eltolódásfüggvényt) 15 egyenlet (Cauchy-egyenletek, geometriai egyenletek és az anyagmodellek összefüggései) valamint a peremfeltételek kapcsolnak össze. Az elmozdulásmódszer feladatmegfogalmazási használva az illusztráláshoz) a következő:

gondolatmenete

(skalár

egyenleteket

Első lépésként helyettesesítsük be az anyagmodellek feszültségekre kifejezett alakjába a geometriai egyenletekkel felírt elmozduláskomponenseket: ∂u ∂v ∂w σ x = λe + 2G , σ y = λe + 2G , σ z = λe + 2G , (10.17) ∂x ∂y ∂z

 ∂v ∂u   ∂w ∂v   ∂u ∂w  τ xy = G  +  , τ yz = G  +  , τ zx = G  + (10.18) .  ∂z ∂x   ∂x ∂y   ∂y ∂z  A képletekben G a nyírási rugalmassági modulus, λ a Lamé-állandónak nevezett anyagi 2Gν paraméter (G-vel és a Poisson-tényezővel kifejezve: λ = ), e pedig most az alakváltozás1 − 2ν tenzor első skalár invariánsát jelöli, ezt kivételesen ebben a fejezetben az eredeti levezetés iránti tiszteletből hagytuk meg ilyen alakban: ∂u ∂v ∂w e = I1′ = ε x + ε y + ε z = + + . (10.19) ∂x ∂y ∂z Alakítsuk most át az egyensúlyi egyenletrendszer első egyenletét. Ehhez deriváljuk x szerint σ x , majd y szerint τ x y , és z szerint τ x z képletét:

∂σ x ∂ 2u ∂e ∂τ x y ∂ 2v ∂ 2u ∂τ x z ∂2 w ∂ 2u = 2G 2 + λ , =G +G 2 , =G +G 2 . ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x∂y ∂y ∂z ∂x∂z ∂z Helyettesítsük be ezeket a képleteket az első Cauchy-egyenletbe:  ∂ 2u ∂ 2 v ∂ 2 w   ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2u  ∂e λ +G 2 + +  + G  2 + 2 + 2  + gx = 0 . ∂x ∂x∂y ∂x∂z  ∂y ∂z   ∂x  ∂x Az első zárójelben szereplő kifejezés átalakítható: ∂ 2u ∂ 2v ∂ 2 w ∂  ∂u ∂v ∂w  ∂e + + =  + + = , ∂x 2 ∂x∂y ∂x∂z ∂x  ∂x ∂y ∂z  ∂x a második zárójeles tag pedig a Laplace-operátorral írható fel tömören: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + = ∆u . ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

(10.20)

(10.21)

(10.22)

(10.23)

Hasonlóan átalakítva a második és a harmadik egyenletet, végül a következő egyenletrendszerhez jutunk:

10.06.20.

158


Előadásvázlat ∂e + G∆u + g x = 0, ∂x ∂e (λ + G ) + G∆v + g y = 0, ∂y ∂e (λ + G ) + G∆w + g z = 0. ∂z

(λ + G )

(10.24)

Ezeket az egyenleteket a mechanikában Navier145-Lamé146-egyenleteknek hívják. Ez a rendszer (a feladathoz tartozó peremfeltételekkel együtt) az elmozdulásmódszer alapvető peremértékfeladati alakja. Navier-t ábrázolja a bal oldalon, Lamé-t pedig a jobb oldalon látható kép.

Megjegyzés: Ha kvázistatikus folyamatok helyett dinamikai vizsgálatokra van szükségünk, a fenti egyenletrendszernek csak a jobb oldala lesz más, az egyes gyorsulásfüggvényeknek a tömeg (sűrűség) függvénnyel való szorzatát kell az egyensúlyt kifejező zérus helyére írni: ∂e ∂ 2u (λ + G ) + G∆u + g x = ρ 2 , ∂x ∂t ∂e ∂ 2v (10.25) (λ + G ) + G∆v + g y = ρ 2 , ∂y ∂t

(λ + G )

∂e ∂2 w + G∆w + g z = ρ 2 . ∂z ∂t

A Navier-Lamé-egyenletek felírása a potenciális energia minimumfeltétele felhasználásával Az egyszerűség kedvéért csak egységnyi vastagságú tárcsán síkbeli feszültségállapot esetére mutatjuk be a levezetést, de ez nem csorbítja az általánosság érvényét. A felhasznált változók és a geometriai egyenlet mátrix alakban:   ∂ 0   σx   εx  ∂ x        gx  u        ∂   (10.26) g= , u =   , σ=  σ y  , ε =  ε y  ,: ε = L ⋅ u , L =  0 , gy  ∂y    v  τ  γ       x y   x y  ∂  ∂ ∂x   ∂y A potenciális energia minimumfeltétele jelen esetben: 145

Claude Louis Marie Henri Navier (1785 – 1836) híres francia építőmérnök, a modern gerendaelmélet létrehozója, az első színvonalas építőmérnök-képzés megszervezője. 146 Gabriel Lamé (1795 – 1870) francia matematikus, sokat foglalkozott mechanikai feladatokkal is. Lamé és Navier részletes életrajza a tanszéki honlapon megtalálható. 10.06.20.

159


Előadásvázlat

1 T T σ ε dA − ∫ g u dA = min . (10.27) ∫ 2 A A Helyettesítsük be az alakváltozások helyére a geometriai egyenleteket, a feszültségeket pedig írjuk fel a sík feszültségi állapot 3x3-as D anyagi merevségi mátrixának és az alakváltozásoknak segítségével (lásd az „Anyagmodellek”-ről szóló előadást!): 1 T 1 T T  T  Π = ∫  σ L u − g u dA = ∫  ε D L u − g u dA = (10.28)  2   2  A A Π=

1 T T T = ∫ ( u L D L u − g u ) dA = min . 2 A Az állandóértékűség feltétele (a kvadratikus alak pozitív definit): 1 T T T T T T δΠ(u ) = δ ∫ u L D L u dA −δ ∫ g u dA = ∫ u L D L δu dA − ∫ g δu dA = 0 .(10.29) 2 A A A A Az egyensúlyi feltételnek az egész A tartományon belül teljesülni kell, ezért:  u T LT D L − g T  δ u = 0 . (10.30)   Mivel δ u tetszőleges (de nem zérus) variáció, így:

L D Lu = g . (10.31) Behelyettesítve L és D megfelelő értékeit, az előbbiekben bemutatott egyenletekhez jutunk. Megjegyezzük, hogy az LT D L mátrixot merevségi mátrixnak nevezik a mechanikában. T

A Navier-Lamé-egyenletek hengerkoordináta rendszerben Az egyenleteket tranziens feladatok esetére írjuk fel, egyensúlyi problémák esetén valamennyi egyenlet jobb oldala zérussal egyenlő. ∂ ωβ ∂e 2G ∂ ωr ∂ 2ur + 2G + g r =ρ 2 , (λ + 2G) − ∂r ∂z r ∂β ∂t ∂ 2 uβ ∂ ωr ∂ ωz 1 ∂e (λ + 2G ) − 2G + 2G + gβ = ρ 2 , r ∂β ∂z ∂r ∂t (10.32) ∂ 2u ∂ 2G ∂ ω r ( r ωβ ) + + g z = ρ 2z . ∂z r ∂r r ∂β ∂t A képletekben szereplő ω paraméterek elfordulásokat jelölnek: ∂ uz  1  1 ∂ u z ∂u β  1  ∂u 1  ∂ uβ uβ 1 ∂ u r  , ωβ =  r −  , ω z =  ω r =  − + − 2  r ∂β ∂z  2 ∂z ∂r  2 ∂r r r ∂β

(λ + 2G ) ∂ e − 2G

A Navier-Lamé-egyenletek egyenletekké:

átalakítása

biharmonikus

  . 

(10.33)

differenciál-

Műszaki számítások során a feladatok numerikus megoldásánál gyakran előnyösebb az előbbiekben bemutatott egyenletek átírása biharmonikus változattá. Ezt abban az esetben lehet egyszerűen megtenni, ha eltekintünk a tömegerőktől. Bevezetve a k = λ jelölést, a G következő kiindulási egyenleteket kapjuk:

10.06.20.

160


Előadásvázlat

(k + 1) ∂ e + ∆u = 0 , (k + 1) ∂ e + ∆v = 0 , (k + 1) ∂ e + ∆w = 0 .

(10.34) ∂x ∂y ∂z Deriváljuk az első összefüggést x, a másodikat y, a harmadikat z szerint, majd az egyenleteket adjuk össze és most már az alakváltozás-invariánsra alkalmazott Laplace-operátor segítségével írjuk fel az új egyenletet. A következőt kapjuk (felhasználva az úgynevezett ∂ ∂ ∆=∆ Young-féle tételt): ∂x ∂x ∂ 2e ∂u ∂ 2e ∂v ∂ 2e ∂w k k k + 1 + ∆ + + 1 + ∆ + + 1 (10.35/a) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 + ∆ = 0. ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z (10.35/b) ( k + 1) ∆e + ∆e = 0 ⇒ ∆e (k + 2) = 0 . Mivel k ≠ −2 , így ∆e = 0 , vagyis e harmonikus függvény. Alkalmazzuk ennek ismeretében most a Laplace-operátort újból az első differenciálegyenletre:   ∂e ∂e ∂ ∂e ∆ (k + 1)  = ( k + 1)∆ = ( k + 1) ∆ e = 0 ⇒ ∆ (k + 1)  +∆∆ u = 0. (10.36)   ∂ x  ∂x ∂x ∂ x    Így végül: ∂ 4u ∂ 4u ∂ 4u (10.37/a) ∆∆ u = 0 = 4 + 2 2 2 + =0 , ∂x ∂x ∂y ∂ y4 illetve teljesen hasonlóan a másik két eltolódásfüggvényre: (10.37/b) ∆∆v = 0 , ∆∆w = 0 .

A Navier-Lamé-egyenletek alkalmazása mechanikai feladatok megoldására Az elmozdulásmódszerre alapuló megoldási technikát már a XIX. században sikerrel alkalmazták sok fontos feladat vizsgálatára. Az első jelentős eredményt Kelvin (adataira vonatkozóan lásd a VI. fejezet lábjegyzetét) publikálta147. Végtelen kiterjedésű, lineárisan rugalmas közegben elhelyezkedő koncentrált erő hatására keletkező elmozdulások (illetve feszültségek) függvényét határozta meg. A javasolt (sok lépését tekintve erősen heurisztikus) levezetés részletei iránt érdeklődőknek Todhunter és Pearson [8] alatti kiváló művét ajánljuk tanulmányozásra (II. kötet, XIV. fejezet, „Sir William Thomson munkássága” címmel), most csak cikkének végeredményét közöljük. A vizsgált kontinuum x,y,z tengelyekkel jelölt koordinátarendszerének kezdőpontjában elhelyezkedő F erővektor hatására az x koordinátájú pontban keletkező u eltolódásvektor és az ugyanott létrejövő σ feszültségtenzor értéke az alábbi módon számítható: T  3 − 4ν 1 F x  u= F + x ,  16πG (1 − ν )  R R3  (10.38) T   1 3 F x T T T T σ= xx  , (1 − 2ν) I F x − F x − xF − 8π(1 − ν ) R 3  R2 

(

)

147

Sir William Thomson (Lord Kelvin): „Note on the Integration of the Equations of Equilibrium of an Elastic Solid”, Cambridge and Dublin Mathematical Journal – Math. and Phys. Papers, Vol. 1. pp. 97-99, 1848. 10.06.20.

161


Előadásvázlat

ahol R az origó és a vizsgált pont között távolság, I egy egységmátrix, G a nyírási rugalmasságii modulus és ν a Poisson-tényező. Kelvin után egy olasz mérnök, Cerutti148 foglalkozott a elmozdulásokat felhasználó potenciálelmélet alkalmazásával. Ő is rugalmas végtelen félteret vizsgált, a féltér szabad felszínén működő nyírási hatásra. A gyakorló mérnökök érnökök körében mindkettőjüknél ismertebb a francia Joseph Valentine Boussinesq149 neve, aki 1885-ben ben publikált hatalmas terjedelmű (több mint 700 oldalas) tanulmányában150 számos más feladat között részletesen kitért a rugalmas féltérre ható koncentrált erőkből keletkező eltolódások és feszültségek számítására. Az origóban elhelyezkedő X, Y és Z erők vizsgálatához két potenciálfüggvényt ((U-t és V-t) t) vett fel, ezek alakja a következő: xX + yY (10.39) U= , V = Z log( r + z ), r = ( x 2 + y 2 + z 2 )1 / 2 . r+z Bevezetve a κ = 1 − 22ν paramétert ( ν a Poisson-tényező),, Boussinesq az alábbi eredményeket kapta az eltolód eltolódások függvényeire: 2 ∂  ∂U  ∂  ∂V  4π G u = X +  κ − 1 + z  − κ + z  , (10.40/a) r ∂z  ∂x  ∂z  ∂x  2 ∂  ∂U  ∂  ∂V  4π G v = Y +  κ − 1 + z  − κ + z  , (10.40/b) r ∂z  ∂y  ∂z  ∂y  2 ∂  ∂U  ∂  ∂V  4π G w = Z +  −κ + z  − 1 − κ + z  . (10.40/c) r ∂z  ∂z  ∂z  ∂z  Viszonylag egyszerűen kimutat kimutatható, ható, hogy ezek a függvények kielégítik az elméleti rugalmasságtan elmozdulásokra vonatkozó differenciálegyenleteit: 1 ∂e 1 ∂e 1 ∂e ∆u + = 0, ∆v + = 0, ∆w + = 0. (10.41) κ ∂x κ ∂y κ ∂z A (10.40) alatti kifejezésekből deriválással a következőt kapjuk: κ xX + yY + zZ e=− . (10.42) 2πµ r3 Az eltolódásfüggvények és a lineárisan rugalmas anyagmodell segítségével Boussienesq levezette,, hogy minden x-y síkban elhelyezkedő pontnál az elemi feszültségvektor az origó irányába nyába mutat és nagysága az alábbi módon számítható: 3z xX + yY + zZ . (10.43) 2π r4 A megoldásból kapott feszültség a féltér felső síkjára vonatkozó feszültségi peremfeltételt peremfelt 2 2 kielégíti, vagyis értéke zérus minden z = 0, x + y ≠ 0 pontban.

148

V.. Cerutti: „Ricerche intorno all’ equilibrio dde’ e’ corpi elastici isotropi”, Reale Accademia dei Lincei, Serie 3a, Memorie della Classe di scienze fisiche, Vol.XIII, pp. 81 81-122 122, Róma, 1882. 149 Kiváló francia mérnök és matematikus (1842 – 1929), Saint-Venant tanítványa, az ő fényképe látható ezen az oldalon. 150 Joseph Valentine Boussinesq: Application des potentiels á l’étude de l’équilibre et du mouvement des solides élastiques, principalement au calcul des déformations et des pressions que produisent, dans ces es solides, des effort quelconques exercés sur une petite partie de leur surface ou de leur interieur, Gaitiers-Villars, Villars, Párizs, 1885 1885. A hivatkozott munka a 276-295. 295. oldalakon található. 10.06.20.

162


Előadásvázlat

Az átlagos normálfeszültség: 1 3 −κ κ − 3 xX + yY + zZ . (10.44) σ átl . = (σ x + σ y + σ z ) = Ge = 3 3κ 6π r3 Ha az erők számát növeljük, vagyis egy X ν ,Yν ,Z ν módon jelölt erőhármast alkalmazunk több pontban a felszínen (az erőcsoportok koordinátái rendre ξν ,ην ,0 (ν = 1,2,3,...) értékűek), akkor ebben az esetben például az átlagos normálfeszültség az alábbi módon számítható: 6π r 3 σ = x ∑ Xν + y ∑ Yν + z ∑ Zν + κ − 3 átl 1 + 2 ( 3x 2 − r 2 ∑ ξν Xν + 3xy ∑ ξν Yν +3xz ∑ ξν Zν + 3xy ∑ην Xν + (10.45) r +( 3 y 2 − r 2 )∑ην Yν + 3 yz ∑ην Zν ) + .... Hasonló kifejezésekhez jutunk más feszültségértékek esetén is.

(

)

Megjegyezzük, hogy Cerutti és Boussinesq levezetéseire építve sok másféle – elsősorban talajmechanikai alkalmazású - megoldás is született az elmúlt évtizedekben. Kiváló összefoglalás olvasható ezekről Kézdi [7] alatti munkájában151. Az itt felsoroltak mellett külön felhívjuk a figyelmet az amerikai Mindlin (életrajzi adatait lásd később a 13. fejezetben) 1936-ban illetve 1953-ban publikált munkájára, ahol ő a féltér belsejében elhelyezkedő erők hatására oldott meg a fentiekhez hasonló problémát, vagy a modernebb munkák közül megemlítjük még Pan-Chou 1976-ban közölt eredményeit, amelyben rétegesen izotrop közegre vizsgálták ugyanezt a kérdést. Kacsanov és szerzőtársai [9] alatti példatára részletesen ismerteti mindkét szerző eredményeit. Végezetül megjegyezzük, hogy Cserhalmi munkája (lásd a [6] -os művet) a Lamé-egyenletek további speciális alkalmazási lehetőségeire is közöl példákat.

Az erőmódszer alapegyenletei kis alakváltozású, lineárisan rugalmas anyagú egyensúlyi feladatoknál Az erőmódszer alapegyenleteinek felírásánál a kompatibilitási egyenletekből indulnak ki. Írjuk fel például az elsőt, ∂ 2ε y ∂ 2 ε z ∂ 2ε yz ∂ 2 γ yz , (10.46) + 2 =2 = ∂z 2 ∂y ∂y ∂z ∂y∂z és helyettesítsük be ide az anyagmodell egyenleteit:  ∂ 2 σ y ∂ 2 σ   ∂ 2 S ∂ 2 S  ∂ 2 τ yz   z  . (10.47) (1 + ν) 2 + 2  − ν  2 + 2  = 2 (1 + ν) ∂y   ∂z ∂y  ∂y∂z  ∂z Ebben az egyenletben (ismételten hagyománytiszteletből) S a feszültségtenzor első skalár invariánsát jelenti: S = I1 = σ x + σ y + σ z . Fejezzük ki most a második és harmadik Cauchyegyenletből τ y z derivált függvényét, majd deriváljuk a második Cauchy-egyenletet y, a harmadikat pedig z szerint: 151

Felhívjuk a figyelmet, hogy Kézdi könyvében a Boussinesq-féle feladat ismertetésekor egy későbbi – feszültségfüggvényes megoldáson alapuló – számítást említ, ez azonban – bár végeredménye azonos az itt ismertetettel – nem az eredeti elmozdulásmódszerre épülő levezetés. 10.06.20.

163


Előadásvázlat

∂τ yz ∂z

=−

∂σ y ∂y

−

∂τ xy ∂x

− gy ,

∂τ yz ∂y

=−

∂σ z ∂τ xz − − gz , ∂z ∂x

(10.48)

∂ 2 τ yz

∂ 2σ y

∂ 2 τ xy

∂g y

∂ 2 τ yz

∂ 2 σ z ∂ 2 τ xz ∂g z − − . (10.49) ∂y∂z ∂y 2 ∂x∂y ∂y ∂y∂z ∂z 2 ∂x∂z ∂z Adjuk össze azt a két egyenletet és – a későbbi átalakítások kedvéért – kicsit rendezzük át őket: ∂ 2 τ yz ∂ 2σ y ∂  ∂τ xz ∂τ xy  ∂g z ∂g y ∂ 2σ − = − 2z − −  + − 2 , ∂z∂y ∂y  ∂z ∂y ∂z ∂y 2 ∂x  ∂z ∂σ − x −g x (10.50) ∂x =−

−

−

,

=−

2 ∂ 2σ x ∂ σ y ∂ 2 σ z  ∂g x ∂g y ∂g z  ∂g  + 2 x . − − 2 − + + 2 2 ∂y∂z ∂y ∂z  ∂x ∂x ∂y ∂z  ∂x Behelyettesítve ezt az alakot a kompatibilitási egyenlet anyagmodellekkel átalakított formájába: 2 2 ν  ∂ 2S ∂ 2S  ∂ ( σ y + σ z ) ∂ ( σ y + σ z ) ∂ 2 σ x − + + − 2 =  + ∂z 2 ∂y 2 ∂x 1 + ν  ∂y 2 ∂z 2  (10.51)  ∂g x ∂g y ∂g z  ∂g x = − + + +2 ∂y ∂z  ∂x  ∂x

2

∂ 2 τ yz

=

Helyettesítsük itt σ y +σz értékét S − σ x -szel:  ∂g ∂g y ∂g z  ∂g 1 1 ∂ 2S  + 2 x . (10.52) ∆S − ∆σ x − = − x + +  2  ∂x 1+ ν 1 + ν ∂x ∂y ∂z  ∂x A másik két kompatibilitási egyenletből teljesen hasonló módon állítható elő két újabb, ehhez kapcsolódó egyenlet: ∂g y  ∂g x ∂g y ∂g z  1 1 ∂ 2S ∆S − ∆σ y − = − + + + 2 ,   1+ ν 1 + ν ∂y 2 ∂y ∂z  ∂y  ∂x (10.53)  ∂g x ∂g y ∂g z  1 1 ∂ 2S ∂g z ∆S − ∆σ z − = − + + . +2 1+ ν 1 + ν ∂z 2 ∂y ∂z  ∂z  ∂x Adjuk össze ezt a három egyenletet és fejezzük ki belőlük ∆S -t: ∂g y ∂g z   ∂g x ∂g y ∂g z   ∂g 1 1 3∆S − ∆S − ∆S = −3  x + + + +  + 2 , 1+ ν 1+ ν ∂y ∂z   ∂x ∂y ∂z   ∂x (10.54) 1 + υ  ∂g x ∂g y ∂g z  ∆S = − + +  . 1 − υ  ∂x ∂y ∂z  Ha ezt visszahelyettesítjük például a három közül az első egyenletbe, némi átalakítás után a következő egyenletet kapjuk: ∂g  ∂g ∂g  ∂g 1 + ν 1  ∂g x ∂g y ∂g z  1 ∂ 2S − ⋅ + + − ∆σ − = − x + y + z  + 2 x ,   x 2 1 − ν 1 + ν  ∂x ∂y ∂z  1 + ν ∂x ∂y ∂z  ∂x  ∂x

 ∂g x ∂g y ∂g z   1  ∂g x 1 ∂ 2S + + 1 − − 2 = ∆σ + ,   x  ∂y ∂z   1 − ν  ∂x 1 + ν ∂x 2  ∂x ν  ∂g x ∂g y ∂g z  ∂g x 1 ∂ 2S − + + − 2 = ∆σ + .   x 1 − ν  ∂x ∂y ∂z  ∂x 1 + ν ∂x 2 10.06.20.

(10.55)

164


Előadásvázlat

Hasonló módon megismételhetjük ∆S behelyettesítését a második és harmadik egyenletbe, és így végül újabb két egyenlethez jutunk a normálfeszültségek és a tömegerők közötti kapcsolat leírására. A nyírófeszültségekre vonatkozó egyenleteket hasonló módon kapjuk. Deriváljuk például a második Cauchy-egyenletet z, a harmadikat pedig y szerint (éppen fordítva, mint az előbb), majd adjuk össze őket:  ∂g z ∂g y  ∂ 2 τ y x ∂ 2σ y ∂ 2 τ y z ∂ 2 τ z x ∂ 2 τ z y ∂ 2σ z  . (10.56) + + + + + =− +  ∂y ∂x ∂z ∂ y ∂ z ∂z 2 ∂ x ∂y ∂y 2 ∂ y ∂z ∂z  Helyettesítsük be most az anyagmodellek egyenleteit az ötödik kompatibilitási egyenletbe (lásd a kilencedik előadást), majd ebbe az egyenletbe írjuk be az előzőleg a Cauchyegyenletek átalakításával kapott alakot: ∂ 2σ x ν ∂2 S ∂  ∂τ y z ∂τ z x ∂τ x y  (10.57) − = − + + , ∂y ∂z 1 + ν ∂y ∂z ∂x  ∂x ∂y ∂z  2 2 2 ∂ 2σ x ∂ τ y z ∂ τ z x ∂ τ x y ν ∂2S + 2 − − − = 0. ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂x ∂z 1 + ν ∂y ∂z

(10.58)

Innen:  ∂g ∂g  1 ∂2S (10.59) ∆τ y z + = −  z + y .  ∂y 1 + υ ∂y ∂ z ∂z  A másik két (még föl nem használt) kompatibilitási egyenlet segítségével újabb két képlethez jutunk. Összefoglalva a hat egyenletet:

∂g x 1 ∂ 2S ν  ∂g x ∂g y ∂g z  =− + + ,  −2 2 1 + ν ∂x 1 − ν  ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂g y 1 ∂ 2S ν  ∂g x ∂g y ∂g z  ∆σ y + =− + + ,  −2 2 ∂y ∂z  ∂y 1 + ν ∂y 1 − ν  ∂x ∆σ x +

1 ∂ 2S ν  ∂g x ∂g y ∂g z  ∂g z = − + + ∆σ z + ,  −2 2 ∂y ∂z  ∂z 1 + ν ∂z 1 − ν  ∂x  ∂g ∂g  1 ∂2S ∆τ x y + =− y+ x, 1 + υ ∂x ∂y  ∂x ∂y 

(10.60)

1 ∂2S  ∂g ∂g  ∆τ x z + =− z+ x, 1 + υ ∂x ∂z  ∂x ∂z   ∂g ∂g  1 ∂2S ∆τ y z + =− z + y. 1 + υ ∂y ∂z ∂z   ∂y Ezeket az összefüggéseket Beltrami152-Michell153-egyenleteknek hívjuk, a peremfeltételekkel kiegészítve ezek alkotják az erőmódszer peremértékfeladatát. Megjegyezzük, hogy a tömegerők nélküli alakot szokás Beltrami-egyenleteknek nevezni. Eugenio Beltrami arcképe. 152

Eugenio Beltrami (1835 – 1899) olasz matematikus, elsősorban geometriával foglalkozott. John Henry Michell (1863 – 1940) kiváló ausztrál matematikus. Beltrami és Michell részletes életrajza a tanszéki honlapról letölthető.

153

10.06.20.

165


Előadásvázlat

John Henry Michell fényképe.

Dinamikai feladatoknál az egyenleteket át kell rendezni, minden eddig használt változó az egyenletek bal oldalára írandó, a jobb oldalon szerepelnek a gyorsulási hatások:  ∂g x 1 ∂2S ν  ∂g x ∂g y ∂g z  ρ ∂ 2  ν σ −  = ∆σ x + + 2 + + + S  , 2 2  x 2   1 + ν ∂x ∂x 1 − ν  ∂x ∂y ∂z  G ∂t  2(1 − ν )  ∂g y  1 ∂2S ν  ∂g x ∂g y ∂g z  ρ ∂ 2  ν σ −  = ∆σ y + + 2 + + + S  , 2 2  y 2   1 + ν ∂y ∂y 1 − ν  ∂x ∂y ∂z  G ∂t  2(1 − ν )  2 2  ∂g z 1 ∂ S ν  ∂g x ∂g y ∂g z  ρ ∂  ν σz − ,  = ∆σ z + + 2 + + + S 1 + ν ∂z 2 ∂z 1 − ν  ∂x ∂y ∂z  G ∂t 2  2(1 − ν 2 )  ∆τ x y +

2 1 ∂ 2 S ∂g x ∂g y ρ ∂ τ x y , + + = 1 + ν ∂x ∂y ∂y ∂x G ∂ t 2

∆τ y z +

2 1 ∂ 2 S ∂g y ∂g z ρ ∂ τ y z + + = , 1 + ν ∂y ∂z ∂z ∂y G ∂ t 2

∆τ z x +

2 1 ∂ 2 S ∂g z ∂g x ρ ∂ τ z x + + = . 1 + ν ∂z ∂x ∂x ∂z G ∂ t 2

(10.61)

A Beltrami-Michell-egyenletek hengerkoordináta-rendszerben A képleteket újból a dinamikai vizsgálatoknak megfelelően írjuk fel. Abban az esetben, ha egyensúlyi feladatokat kívánunk vizsgálni, akkor az egyenletek jobb oldala zérus. ∂g r 3 ∂2S 2 4 ∂ τrβ ν  ∂g r 1 ∂g β g r ∂g z   = ( ) ∆σ r + − σ − σ − + 2 + + + + r β 1+ ν ∂ r2 r2 ∂ r 1 − ν  ∂ r r ∂β r ∂z  r 2 ∂β  3ν ρ ∂2  σ − = S  , 2  r 2 G ∂t  2(1 − ν )  2  1 ∂g β g r  3 1  ∂S 1 ∂ S  2 4 ∂ τr β   + (σ r − σ β ) +   + ∆σ β + + + 2 + 1 + ν r  ∂r r ∂β 2  r 2 r ∂ β r r2 ∂β   2  ν  ∂g r 1 ∂g β g r ∂g z  ρ ∂  3ν σ −   = (10.62) + + + + S  , 2  β 2 1 − ν  ∂ r r ∂β r ∂z  G ∂ t  2(1 − ν )   ∂g z 3 ∂2S ν  ∂g r 1 ∂g β g r ∂g z  ρ ∂ 2  3ν σz − ,   ∆σ z + + 2 + + + + = S 1+ ν ∂ z2 ∂ z 1 − ν  ∂ r r ∂β r ∂z  G ∂ t 2  2(1 − ν 2 ) 

∆τ r β

2 3 ∂  1 ∂S  2 ∂ 4 1 ∂g r ∂g β g β ρ ∂ τ r β  + (σ r − σβ ) − 2 τ r β + r ∂β + ∂r − r = G 2 , + 1 + ν ∂ r  r ∂β  r 2 ∂β r ∂t

∆τ β z

2 3 1 ∂2S 2 ∂τ z r τ β z ∂g β 1 ∂g z ρ ∂ τ β z + + − 2 + + = , 1 + ν r ∂β ∂ z r 2 ∂β ∂ z r ∂β G ∂t2 r

10.06.20.

166


∆τ r z

Előadásvázlat

2 3 ∂2S 2 ∂τ β z τ r z ∂g r ∂g z ρ ∂ τ r z + − − 2 + + = . 1+ ν ∂ r ∂ z r2 ∂β ∂z ∂r G ∂ t 2 r

Megjegyezzük, hogy a fenti egyenletek előállításánál természetesen a Laplace-operátort is polárkoordinátás változatban kell használnunk (lásd az első előadást, illetve a Függeléket). -----------------------------------------Az erőmódszer mechanikai feladatokra történő alkalmazására majd a következő fejezetben mutatunk példákat a módszer egy speciális, de a gyakorlat számára igen előnyösen használható változatának, az úgynevezett feszültségfüggvényes technikának segítségével.


1./ Bezuhov, N. I. : Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba, Tankönyvkiadó, 1952. 2./ Muszhelisvili, N. : Some basic problems of mathematical theory of elasticity. P. Nordhoff. 1953. 3./ Sokolnikoff, I. S.: Mathematical theory of elasticity. McGraw Hill, 1956. 4./ Bojtár I. – Gáspár Zs.: Végeselemmódszer építőmérnököknek, Terc, 2003. 5./ Roller B.: A statika művelődéstörténete, BME, 1992. 6./ Cserhalmi I. : Makroelemek alkalmazása rugalmasságtani feladatok megoldásánál, BME, 1986. 7./ Kézdi Á. : Talajmechanika-II., Tankönyvkiadó, 1970. 8./ Todhunter, I – Pearson, K. : A history of the theory of elasticity and of the strength of materials, Cambridge, 1892-93. 9./ Kachanov, M. – Shafiro, B. – Tsukrov, I. : Handbook of Elasticity Solutions, Kluwer Academic Publishers, 2003.

10.06.20.

167


Előadásvázlat

11. Előadás: Feszültségfüggvények alkalmazása rugalmas anyagú szerkezetek vizsgálatára Feszültségfüggvényes megoldások A Beltrami-Michell-egyenletek megoldása speciális változatának, de az erőmódszeres vizsgálati technika önálló alkalmazásának is tekinthetők a feszültségfüggvényes vizsgálatok. Ezt a számítási változatot a továbbiakban kizárólag kis alakváltozású egyensúlyi feladatok vizsgálatára alkalmazzuk, ebben a fejezetben csak ezzel foglalkozunk. Elsőként a gyakorlatban legsűrűbben használt 2D eljárást mutatjuk be. Írjuk fel újból kétdimenziós esetre a mechanikai alapegyenleteket (egyensúlyi-, geometriaiés anyagmodell-egyenletek láthatók a következő sorokban). A tömegerőket az egyszerűség kedvéért hanyagoljuk el a megoldásban. ∂τ y x ∂σ y ∂σ x ∂τ x y + = 0, + =0 , ∂x ∂y ∂x ∂y (11.1) ∂u ∂v ∂u ∂ v εx = , εy = , γx y = + , ∂x ∂y ∂y ∂x 1 1 2(1 + ν ) ε x = (σ x − νσ y ) , ε y = (σ y − νσ x ) , γ x y = τx y. E E E A 2D esethez tartozó kompatibilitási egyenletet is használni fogjuk: ∂ 2 γ x y ∂ 2ε x ∂ 2ε y = + . (11.2) ∂x ∂y ∂y 2 ∂x 2 Helyettesítsük be ide az anyagegyenleteket: ∂ 2τ x y ∂2 ∂2 (σ x − νσ y ) + 2 (σ y − νσ x ) = 2(1 + ν) . (11.3) ∂x ∂y ∂y 2 ∂x Deriváljuk az első statikai egyenletet x, a másodikat y szerint, majd ezek után adjuk össze és vonjuk ki őket egymásból: 2 2 2 ∂ 2τ x y ∂ 2σ y ∂ 2τ x y ∂2 σx ∂ τx y ∂ 2σ x ∂ σ y ∂ 2σ x ∂ σ y + =0 , + = 0, 2 =− − , − = 0 . (11.4) ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 A harmadik egyenletet helyettesítsük be az anyagegyenleteket is figyelembe vevő kompatibilitási egyenletbe:  ∂ 2σ x ∂ 2σ y  ∂ 2σ y ∂ 2σ y ∂ 2σ x ∂ 2σ x (11.5) − ν + − ν = − (1 + ν ) .  2 + 2   ∂y 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂ x ∂ y   Egyszerűsítések után innen a következő egyenletet kapjuk: ∆ σx + σ y = 0 . (11.6) A korábbi egyenletekből ehhez társíthatjuk a

(

10.06.20.

)

168


Előadásvázlat ∂ 2σ x

∂ 2σ y

(11.7) − =0 ∂x 2 ∂y 2 egyenletet, így a normálfeszültségekre most egy kétismeretlenes egyenletrendszer áll rendelkezésünkre. Vezessünk most be egy olyan F(x,y) függvényt, melyet a továbbiakban feszültségfüggvénynek nevezünk, és a feszültségekkel való kapcsolatát az alábbi módon definiáljuk: ∂2F ∂2F ∂2F (11.8) , , . σx = σ = τ = − y xy ∂x ∂y ∂ y2 ∂ x2 Ha a feszültségfüggvényt behelyettesítjük mindkét előbb kapott normálfeszültségi egyenletbe, akkor a második egyenlet automatikusan teljesül, míg az első egy homogén biharmonikus differenciálegyenletté alakul: ∂4F ∂4F ∂4F (11.9) ∆∆ F = 0 = + 2 + =0. ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 Ez az egyenlet egyesíti magában az egyensúlyi, geometriai és anyagegyenleteket, és az eddigi 8 ismeretlen (2D) helyett egyetlen egy meghatározására vezeti vissza a feladat megoldását. Az itt bemutatott feszültségfüggvényt a mechanikában Airy154függvénynek nevezik. Megjegyezzük, hogy a segítségével kapott megoldásnak természetesen a statikai peremfeltételeket is ki kell elégítenie.

Feszültségfüggvény rendszerben

és

differenciálegyenlete

síkbeli

polárkoordináta-

Valamennyi alapvető mechanikai egyenletet a korábbi előadásokon már felírtunk polárkoordináta-rendszerben is. Az előbb bemutatott levezetést (kompatibilitási egyenletbe helyettesített anyagmodellek valamint a statikai egyenletek derivált változatainak felhasználása a tömegerők elhanyagolása mellett) megismételve jutunk a feszültségfüggvény és differenciálegyenlete polárkoordinátás változatához. Megjegyezzük, hogy a levezetés megismétlése helyett a derékszögű koordináta-rendszerben kapott eredmények egyszerű transzformálásával is előállíthatók a szükséges összefüggések:  ∂F   ∂F   ∂x ∂y   ∂F   ∂F       ∂r   ∂r ∂r  ∂x 1 r cos β − sin β  ∂r  ∂x (11.10)  ∂F  =  ∂x ∂y   ∂F  ⇒  ∂F  =    ∂F  ,   r  r sin β cos β          ∂β   ∂β   ∂β ∂β   ∂y   ∂y  hiszen x = r cos β és y = r sin β . A második deriváltak az elsők felhasználásával állíthatók elő:   ∂ 2 F ∂  ∂F 1 ∂F 1 ∂  ∂F 1 ∂F = cos β − sin β cos β − cos β − sin β     sin β = (11.11) r ∂β r ∂β  ∂r r ∂β ∂x 2 ∂r  ∂r   154

George Biddell Airy (1801 – 1892) angol csillagász és matematikus, aki mechanikai számításokkal is foglalkozott. Életéről lásd bővebben a tanszéki honlapon található életrajzot, fényképe ezen az oldalon látható. 10.06.20.

169


Előadásvázlat

∂2F 2 ∂2F 1 ∂2F 1 ∂F 2 ∂F 2 cos β − sin β cos β + sin 2 β + sin 2 β + 2 sin β cos β . 2 2 2 r ∂r∂β r ∂β r ∂r r ∂β ∂r Hasonlóan az y szerinti második derivált: (11.12) 2 2 2 2 ∂ F ∂ F 2 ∂ F 1 ∂ F 1 ∂F 2 ∂F = 2 sin 2 β + sin β cos β + 2 cos 2 β + cos 2 β − 2 sin β cos β. 2 2 ∂y ∂r r ∂r∂β r ∂β r ∂r r ∂β A vegyes második derivált szintén az elsőkből számítható: ∂2F ∂2F 1 ∂2F 1 ∂2F 1 ∂F = 2 sin β cos β − 2 (sin 2 β − cos 2 β) − 2 sin β cos β − sin β cos β + 2 ∂x ∂y ∂r r ∂r r ∂r ∂β r ∂β 1 ∂F + 2 (sin 2 β − cos 2 β) . (11.13) r ∂β =

A másodrendű deriváltat meghatározó tagok összeadásából a következőt kapjuk: ∂ 2 F ∂ 2 F ∂ 2 F 1 ∂F 1 ∂ 2 F ∆F = 2 + 2 = + + . ∂x ∂y ∂r 2 r ∂r r 2 ∂β 2 Ennek segítségével már előállíthatjuk a differenciálegyenletet:  ∂2 1 ∂ 1 ∂ 2   ∂ 2 F 1 ∂F 1 ∂ 2 F  ∆∆ F =  2 + + 2 + + 2 =0. 2  2 2  r ∂ r r ∂ r ∂ β ∂ ∂ β ∂ r r r r   

(11.14)

(11.15)

A feszültségek transzformációs képlettel számíthatók (emlékeztetőül lásd a Függelék (F.45) alatti képletét): σ r = σ x cos2 β + σ y sin 2 β + τ x y sin 2β , σβ = σ x sin 2 β + σ y cos2 β − τ x y sin 2β , (11.16) 1 τ r β = − (σ x − σ y ) sin 2β + τ x y cos 2β . 2 Behelyettesítve ide a feszültségeknek a feszültségfüggvénnyel való egyszerűsítések után a végső képletek: 1 ∂F 1 ∂ 2 F ∂2F ∂  1 ∂F  , σr = + 2 , σ = , τ r β = −  β 2 2 r ∂r r ∂β ∂r  r ∂β  ∂r

kapcsolatát, (11.17)

Megjegyezzük, hogy tengelyszimmetria esetén a feszültségek számítása és maga a differenciálegyenlet még tovább egyszerűsödik, a feszültségfüggvény csak r-től függ: 1 dF d 2F σr = , σβ = 2 , τ r β = 0 , (11.18) r dr dr d 4 F 2 d 3 F 1 d 2 F 1 dF + − + =0. (11.19) dr 4 r dr 3 r 2 dr 2 r 3 dr Ez az egyenlet egyébként nem más, mint az úgynevezett Euler-féle differenciálegyenlet polárkoordinátás alakja (a mechanikai feladathoz most már egy közönséges differenciálegyenlet tartozik parciális helyett!). Az Euler-egyenlet általános megoldásának felírásához az egyenletet r 4 -nel megszorozzák: d 4F d 3F d 2F dF r 4 4 + 2r 3 3 − r 2 2 + r =0 , (11.20) dr dr dr dr majd a megoldást F = cr m alakban keresik. Ezt behelyettesítve az m 4 − 4m 3 + 4m 2 = 0 (11.21)

10.06.20.

170


Előadásvázlat

egyenlethez jutunk, melynek két darab kétszeres gyöke van: m = 0,0,2,2. Ilyen esetben a megoldást c r m ln r alakkal kiegészítik, és így a végeredmény:

F = c1 + c2 ln r + c3 r 2 + c4 r 2 ln r . (11.22) Az ismeretlen ci együtthatókat a vizsgált feladat peremfeltételeiből kell meghatározni.

Feszültségfüggvény és differenciálegyenlete rendszerben, tengelyszimmetrikus esetben

hengerkoordináta-

Az általános esettel most nem foglalkozunk, csak a gyakorlati feladatok számára fontos tengelyszimmetrikus változatot mutatjuk be, levezetés nélkül, csak a végeredményre koncentrálva. A differenciálegyenlet:  ∂2 1 ∂ ∂ 2   ∂ 2 F 1 ∂F ∂ 2 F  (11.23) ∆∆ F =  2 + + 2 2 + + 2 =0 .  ∂r   ∂r  r ∂ r r ∂ r ∂ z ∂ z    Az egyes feszültségkomponensek: ∂  1 ∂F  ∂  ∂2F  ∂  ∂2F  σ r =  ν ∆F − 2  , σ β =  ν ∆F − , σ = ( 2 − ν ) ∆ F −   , (11.24) z ∂z  ∂z  r ∂r  ∂z  ∂r  ∂z 2  ∂  ∂2F  τ r z = (1 − ν)∆F − 2  . ∂r  ∂z  Megjegyezzük, hogy a Laplace-operátor hengerkoordináta-rendszerben használatos általános alakját már korábban is használtuk (a Függelékben is megtalálható), most annak tengelyszimmetrikus ( β -tól független) alakját alkalmaztuk:

∆=

∂2 1 ∂ ∂2 + + . ∂r 2 r ∂r ∂z 2

(11.25)

A feszültségfüggvény definiálásának általános módja Az Airy-féle feszültségfüggvényt Maxwell illetve (tőle függetlenül) Morera155 általánosította a következő módon (a tömegerőktől most is eltekintünk): Egyszerű számítással ellenőrizhető, hogy a kis alakváltozások esetén használatos szimmetrikus σ feszültségtenzor divergenciája (lásd az egyensúlyi egyenleteket) zérus : div σ = 0 . (11.26) Ez a feltétel statikailag nem más, mint a Cauchy-egyenletek tömör matematikai kifejezése, tehát a statikailag lehetséges feszültségmező definiálása. Maxwell kimutatta, hogy egy tetszőleges, de szimmetrikus F tenzorból (11.27) rot (rot F )T = σ 156 módon képezett feszültségtenzor kielégíti ezt a divergencia-feltételt , tehát statikailag lehetséges feszültségeket eredményez. Ezt az F tenzort tekinthetjük a legáltalánosabb 3D

155

Giacinto Morera (1856 – 1907) olasz mérnök és matematikus. Sokat foglalkozott dinamikus rendszerek matematikai vizsgálatával és nem-folytonos mechanikai rendszerek elemzésével. 156 Megjegyezzük, hogy hasonló elemzés található Tarnai „Kompatibilitási egyenletek” című, honlapon található segédletében is. 10.06.20.

171


Előadásvázlat

feszültségfüggvénynek (a matematikusok által használt nevén „vektorpotenciálnak” is nevezik). A belőle számítható egyes térbeli feszültségkomponensek részletes alakja az eredeti definícióból levezetve (a képletekben a rotáció számításából adódó sorrendben tüntettük fel az egyes tagokat, továbbá nem használtuk ki az F tenzor szimmetriáját): 2 2 ∂ 2 Fy ∂ 2 Fz y ∂ 2 Fy z ∂ 2 Fz ∂ 2 Fx ∂ Fz x ∂ Fx z ∂ 2 Fz , , σx = − − + σ = − − + y ∂z 2 ∂y ∂z ∂z ∂y ∂y 2 ∂z 2 ∂x ∂z ∂z ∂x ∂x 2 2 2 2 ∂ 2 Fx ∂ Fy x ∂ Fx y ∂ Fy σz = − − + , ∂y 2 ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x 2

τx y = −

∂ 2 Fx y ∂ z2

∂ 2 Fz y

∂ 2 Fx z

∂ 2 Fx y ∂ 2 Fy ∂ 2 Fx z ∂ 2 Fy z ∂ 2 Fz + + − , τx z = − − + , ∂x ∂ z ∂z ∂ y ∂x ∂y ∂ y ∂z ∂x ∂ z ∂ y 2 ∂x ∂y

∂ 2 Fy x ∂ 2 Fx z ∂ 2 Fy z ∂ 2 Fx . (11.28) + + − ∂y ∂ z ∂ x ∂ z ∂y ∂ x ∂x 2 Ha ez az F feszültségfüggvény-tenzor diagonálmátrixú, akkor az úgynevezett Maxwell-féle 3D feszültségfüggvényekhez jutunk: ∂ 2 Fy ∂ 2 Fz ∂ 2 Fy ∂ 2 Fx ∂ 2 Fz ∂ 2 Fx σx = 2 + 2 , σ y = 2 + 2 , σz = 2 + 2 , (11.29) ∂z ∂y ∂x ∂z ∂x ∂y τ y z =−

∂2F ∂2F ∂2F ,τz y = − , τx z = − . ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x ∂z Ha az F feszültségfüggvény-tenzornak a főátlóbeli elemi zérus értékűek, akkor Morera feszültségfüggvényeit kapjuk: ∂ 2 Fy z ∂ 2 Fx z ∂ 2 Fx y (11.30) σ x =− 2 , σ y =− 2 , σ z =− 2 , ∂y ∂z ∂ x ∂z ∂y ∂x ∂F ∂F  ∂  ∂Fx y ∂Fz y ∂Fx z  ∂  ∂F  , τ x z =  x y − x z + y z  , τ x y = − + + ∂z  ∂z ∂x ∂y  ∂y  ∂z ∂y ∂x  τx y = −

∂  ∂Fy x ∂Fx z ∂Fy z  . + −  ∂x  ∂z ∂y ∂x  Ha az F tenzor gömbtenzor (diagonálmátrix azonos értékű elemekkel), akkor kapjuk a „klasszikus” Airy-féle feszültségfüggvényeket: ∂2F ∂2F ∂2F ∂2F ∂2F ∂2F (11.31) σx = 2 + 2 , σ y = 2 + 2 , σz = 2 + 2 , ∂z ∂y ∂x ∂z ∂x ∂y τy z =

∂2F ∂2F ∂2F , τz y = − , τx z = − . ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x ∂z Ennek a feszültségfüggvény-tenzornak síkbeli változatát vezettük le a 2D mechanikai alapegyenletek segítségével. Ha a most bemutatott Maxwell-féle általános összefüggést akarjuk használni az Airy-féle modell előállítására, akkor a következőképpen kell eljárnunk: τx y = −

Először kiszámítjuk az F gömbtenzor rotációját (ennek a műveletnek a végrehajtására lásd a „Függelék” vonatkozó képletét), majd vesszük az így kapott mátrixnak a transzponáltját (az egyszerűség kedvéért jelöljük ezt most B-vel):

10.06.20.

172


 ∂         ∂  ∂y   0  −       ∂z   ∂  ∂    rot F =   [ F 0 0] +  0  [0 F 0] + −  [0 0 F ] =  ∂x   ∂z         ∂   0   ∂     −   ∂x     ∂y    ∂F ∂F  ∂F ∂F   0   0  − −   ∂z ∂y  ∂z ∂y       ∂F  ∂F ∂F  ∂F  T  ⇒ (rot F ) = B = −  = 0 − 0  ∂z  ∂z ∂x  ∂x       ∂F   ∂F  ∂F ∂F − 0  0  −   ∂y   ∂y  ∂x ∂x

Előadásvázlat

(11.32)

A következő lépésben ennek a B tenzornak határozzuk meg a rotációját. Az egyes elemek azonnal megadják a megfelelő feszültségkomponens meghatározásának képletét (természetesen mi csak a kétdimenziós változatot vizsgáltuk, ennek figyelembevételével kell értelmezni az összefüggéseket):  ∂2 F ∂2 F ∂2 F ∂ 2 F   2 + 2 − −  ∂z ∂y ∂x∂y ∂x∂z    σ x τ xy τ xz  2 2 2     ∂ F ∂ F ∂ F ∂ F  = σ = τ  (11.33) rot B =  − + − σ τ y yz  2 2   yx ∂ y ∂ x ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z   τ   zx τ zy σ z    ∂2 F ∂F ∂2F ∂2 F   − + 2  − ∂z∂x ∂z∂y ∂y 2 ∂x  

Komplex függvények használata feszültségfüggvények céljára Komplex változók157 segítségével az Airy-féle feszültségfüggvények olyan típusú feladatok megoldására is alkalmassá tehetők, amelyeket a „hagyományos” algebrai polinomok segítségével nem, vagy csak nehézkesen lehet kezelni. Ilyen alkalmazási terület például a törésmechanika különböző feszültség-szingularitási problémáinak kezelése. Most csak az alapegyenletek megfogalmazásával foglalkozunk, a további részletek tárgyalása a „Törésmechanika” c. tárgy feladata. Vegyünk fel egy tetszőleges 1 1 ϕ ( z ) = p ( x, y ) + iq ( x, y ) → p = Re(ϕ ) = (ϕ + ϕ ) , q = Im(ϕ ) = (ϕ −ϕ ) (11.34) 2 2i analitikus158 komplex függvényt a fenti alakban. A parciális deriváltak: ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂p ∂q ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂p ∂q = = ϕ ′( z ) = + i , = = i ϕ ′( z ) = + i . (11.35) ∂x ∂z ∂x ∂x ∂x ∂y ∂z ∂y ∂y ∂y Az egyes komponensek a Cauchy-Riemann159-feltételeket is teljesítik, hiszen:

Emlékeztetőül: z = x + iy = r exp(iΘ), z = x − iy = r exp(−iΘ), illetve 1 1 x = Re( z ) = ( z + z ), y = Im( z ) = ( z − z ) . 2 2i 158 Egy függvény analitikus, ha a vizsgált tartomány bármely pontjában Taylor-sorba fejthető. 157

10.06.20.

173


Előadásvázlat

∂p ∂q ∂p ∂q = , =− . (11.36) ∂x ∂y ∂y ∂x További deriválással, valamint a kapott tagok összeadásával-kivonásával bizonyítható, hogy ∆p = 0 , ∆q = 0 , (11.37) azaz minden analitikus ϕ( z ) függvény valós (p) és képzetes (q) része harmonikus160 függvény. Goursat161, majd őt követően Muszhelisvili162 bizonyították be, hogy az alábbi függvényre teljesül a biharmonikus jelző: 1 (11.38) Φ = Re ( z ϕ ( z ) + Ψ ( z )) = ( z ϕ ( z ) + z ϕ ( z ) + Ψ ( z ) + Ψ ( z )) . 2 Az egyes parciális deriváltak: ∂Φ 1 ∂ 2Φ 1 = ϕ + z ϕ ′ + ϕ + z ϕ ′ + Ψ ′ + Ψ ′ , 2 = 2ϕ ′ + z ϕ ′′ + Ψ ′′ + 2ϕ ′ + z ϕ ′′ + Ψ ′′ , (11.39) ∂x 2 ∂x 2 2 ∂Φ i ∂Φ 1 = −ϕ + z ϕ ′ + ϕ − z ϕ ′ + Ψ ′ − Ψ ′ , =− −2ϕ ′ + z ϕ ′′ + Ψ ′′ − 2ϕ ′ + z ϕ ′′ + Ψ ′′ . 2 ∂y 2 ∂y 2 A második deriváltakat felhasználva: ∂ 2Φ ∂ 2 F ∆Φ= 2 + 2 = 2 ϕ ′ + ϕ ′ = 4 Re(ϕ ′) ⇒ ∆ Re(ϕ ′) = 0 ⇒ ∆∆Φ= 0 . ∂x ∂y (11.40) A feszültségkomponensek számításához szükség lesz a vegyes második deriváltra is: ∂ 2Φ i = z ϕ ′′ + z ϕ ′′ + Ψ ′′ − Ψ ′′ . (11.41) ∂x∂y 2 A feszültségek és a feszültségfüggvények közötti kapcsolatot komplex függvények alkalmazása esetén az alábbi formában szokták megadni (ezeket hívják a mechanikában Koloszov163-Muszhelisvili-egyenleteknek): σ x + σ y = ∆Φ = 4 Re(ϕ′) , σ y − σ x + 2i τ x y = Φ, xx − Φ, yy − 2i Φ, x y = 2( z ϕ′′ + Ψ′′), (11.42) Bár itt nem részleteztük előállításuk módját, de a teljesség kedvéért megadjuk az elmozdulások számítására alkalmas harmadik Koloszov-egyenletet is: 2G(ux + i u y ) = κ ϕ − zϕ′ − ψ′ , (11.43)

(

)

(

(

)

(

(

)

)

(

ahol κ =

)

)

3− ν (sík feszültségi állapot) vagy κ = 3 − 4ν (sík alakváltozási állapot) . 1+ ν

Emlékeztetőül megjegyezzük, hogy a fenti egyenletekben az egyes tagok jobb alsó indexei után

159

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866) német matematikus, az analízis és a differenciálgeometria kiváló tudósa. 160 Egy függvény akkor harmonikus, ha a Laplace-operátort a függvényre alkalmazva zérust kapunk. 161 Edouard Jean-Baptiste Goursat (1858 – 1936) francia matematikus, az analízis és a komplex függvénytan jeles tudósa. 162 Nikoloz Muszhelisvili (1891 – 1976) híres grúz matematikus, Koloszov tanítványa. Elsősorban a komplex függvénytan törésmechanikai alkalmazásáról és az ehhez kapcsolódó vizsgálatokról ismert (keresztnevének orosz változata különböző művekben: Nyikolaj Ivanovics). Koloszov és Muszhelisvili fényképe látható a (11.44) képlet felett (Koloszov képe a bal oldalon). 163 Jurij Vasziljevics Koloszov (1867 – 1936) orosz matematikus és mérnök. Ő oldotta meg először komplex feszültségfüggvények segítségével a törésmechanika alapfeladatát: a berepedt tárcsában keletkező szinguláris feszültségmezők számítását. 10.06.20.

174


Előadásvázlat

elhelyezett vessző a változó deriválására utal, vagyis ∂ 2Φ például Φ, xx = 2 . ∂x Sokszor a számításokban előnyösebb ezek polárkoordináta-rendszerben felírt változatait használni:

σr + σβ = 4 Re(ϕ′),

σβ − σr + 2 i τr β = 2( z ϕ′′ + Ψ′′) exp(2 i β),

2G (ur + i uβ ) = ( κϕ − zϕ′ − Ψ′) exp(−i β) .

(11.44) (11.45)

Megjegyezzük, hogy van olyan komplex feszültségfüggvény is, amely bizonyos körülmények (például a mechanikailag teljesen szimmetrikus feladatoknál előforduló feszültség eloszlási előírások) megléte esetén egymaga teljesíti a szükséges feltételeket (ilyen például a Westergaard (lásd a 4. előadás lábjegyzetét) által vizsgált feladatcsoport is, ezeket szintén a „Törésmechanika” c. tárgy előadássorozatában ismertetjük.

A különböző mechanikai tartalmú biharmonikus differenciálegyenletek vizsgálatának kapcsolata Főleg a laboratóriumi vizsgálatok iránt érdeklődőknek hasznos tudni arról, hogy a különböző fizikai tartalmú, de matematikai formájukat tekintve hasonló feladatok megoldásának vizsgálatára igen érdekes „kapcsolt” kísérletek születtek a mechanikai kutatóközpontokban. A három legtöbbet vizsgált kapcsolt mechanikai feladatpár a következő feladatokat vonta össze: a./ Tárcsa biharmonikus differenciálegyenlete: ∆∆F = 0 ⇒ σ x =

∂2 F ,... ∂y 2

p ( x, y ) ⇒ w( x, y ) , D c./ Lassú áramlású viszkózus folyadék biharmonikus differenciálegyenlete: ∂ψ ∆∆ψ = 0 ⇒ u = ,... ∂y ahol u a folyadék részecskéinek eltolódásfüggvénye

b./ Lemez164 biharmonikus differenciálegyenlete: ∆∆w =

Wieghardt165 volt az első kutató, aki lemez- és tárcsafeladatok laboratóriumi vizsgálatával hasonlította össze az „a” és a „b” alatti feladatok egyes paramétereit (elsősorban a tárcsák feszültségeloszlásának elemzésére törekedett). Southwell166 mintegy ötven évvel később ugyancsak lemezeket vizsgált laboratóriumi körülmények között, de ő a folyadék mozgásának jellemzőit számította, vagyis a „b” és „c” egyenletek összehasonlításával dolgozott. 164

Ennek a feladatnak itt bemutatott matematikai egyenletét a BSc „Tartók statikája” c. tárgy keretében ismertettük. Az egyenletben p(x,y) a terhelés-, w(x,y) pedig a lemezsíkra merőleges eltolódás függvénye. D az izotróp lemez skalár merevségi paramétere. 165 Karl Wieghard német mérnök (1874 – 1924). Kapcsolódó publikációja: „Über ein Verfahren, verwickelte theoretische Spannungsverteilungen in elastischen Körpen auf experimentellem Wege zu finden”, Teubner, Berlin, 1908. 10.06.20.

175


Előadásvázlat

Harmadikként egy ugyancsak angol kutató, T. Richards167 neve érdemel említést, ő tárcsák feszültségkoncentrációs jelenségeit vizsgálta folyadékok mozgásának elemzésére építve, vagyis az „a” és „c” egyenletek összehasonlításával dolgozott.

11.1 Példa Vizsgáljuk meg az ábrán látható, egyik végén befogott faltartó feszültségeloszlását az Airyféle feszültségfüggvények segítségével. Első lépésként a feszültségfüggvényben levő ismeretlen együtthatókat határozzuk meg a tárcsa peremén általunk kiválasztott feszültségi feltételekből:

11.1. ábra: Faltartó vizsgálata Vegyük fel a feszültségfüggvényt az alábbi polinom formájában: F ( x, y) = c1 x 2 + c2 x 2 y + c3 x 2 y 3 + c4 y 5 . Felhasználva a biharmonikus differenciálegyenlet adta feltételt: 1 ∂4F ∂4F ∂4F 0 , 120 , 2 = = c y = 24c3 y ⇒ ∆∆F = 0 ⇒ c 4 = − c3 , 4 4 4 2 2 5 ∂x ∂y ∂x ∂y így a feszültségfüggvény módosított kiindulási alakja: y5 F ( x, y) =c1 x 2 + c2 x 2 y + c3 ( x 2 y 3 − ) . 5 Az egyes feszültségek: ∂2F ∂2F 2 3 σx = = c ( 6 x y − 4 y ) , σ = = 2c1 + 2c 2 y + 2c3 y 3 , 3 y 2 2 ∂y ∂x

∂2F τx y = − = −2c2 x − 6c3 xy 2 . ∂x∂y A felső és alsó él menti statikai peremfeltételek a következők: 3 3 τx y = − 2c 2 x − c3 xh 2 = 0 , τ x y = −2c 2 x − c3 xh 2 = 0 , y= h / 2 y = −h / 2 2 2

166

Southwell, R. V. : „Use of an analogue to resolve Stokes’s paradox”, Nature, Vol. 181, pp. 12571258, 1958. 167 Richards, T. H.: „Analogy between the slow motion of a viscous fluid and the extension and flexure of plates: geometric demonstration by means of Moire-fringes, British J. of Appl. Physics, Vol. 11, pp. 244-253, 1960. 10.06.20.

176


Előadásvázlat

1 1 c3 h 3 = − q , σ y = 2c1 − c2 h − c3 h 3 = 0 . y= h / 2 y = −h / 2 4 4 Három független egyenletet felhasználva kiszámíthatók az eegyütthatók: gyütthatók: q 3q q c1 = − , c 2 = − , c3 = 3 . 4 4h h A feszültségek végleges alakja: q q 3q 2q 3q 6q σ x = 3 (6 x 2 y − 4 y 3 ), σ y = − − y + 3 y3 , τx y = x − 3 xy 2 . 2 2h 2h h h h A feszültségfüggvényes megoldásnál mindig célszerű további ellenőrzéssel megvizsgálni a megoldás pontosságát. Például most a bal oldali véglapon a nyírófeszültségek értékére x = 0 helyettesítéssel valóban zérust kapunk, de a q vízszintes normálfeszültség már nem lesz zérus: σ x x = 0 = − 4 3 y 3 , bár h h/2 h/2 4q vetületösszege nullával egyenlő: ∫ σ x x = 0 dy = − 3 ∫ y 3 dy = 0 . Szükség esetén h −h / 2 −h / 2 részletes elemzéssel kell eldöntenünk, elfogadható elfogadható-ee ez a hiba, vagy a feszültségfüggvény további finomításával (például újabb peremfeltételek bevonásával) kell pontosítanunk a megoldást.

σy

= 2c1 + c 2 h +

11.2 Példa Vizsgáljuk meg az ábrán látható, sík feszültségi állapotban lévő, egységnyi vastagságú, végtelen kiterjedésű, középen lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlását. Ezt a feladatot G. Kirsch168 oldotta meg először 1898-ban.

11.2. ábra: Húzott tárcsa vizsgálata

168

Gustav Kirsch (1841 – 1901) német mérnök. A lyukkal gyengített tárcsa feszültségeinek vizsgálata tette ismertté nevét. Vonatkozó publikációja: „Die Die Theorie der Elastizität und die Bedürfnisse edürfnisse der Festigkeitslehre”, Zeitschr. Ver. Deutschen Ing., Vol. 42, pp. 797-807, 797 1898 10.06.20.

177


Előadásvázlat

Nagyméretű tárcsánál r → ∞ esetén elvárható, hogy a megoldás a külső terhelő feszültséghez tartson, vagyis σ x = p és σ y = τ x y = 0 . Fejezzük ki a feladatban használt – és polárkoordináta-rendszerben felírt – feszültségkomponenseket a vízszintes terhelő komponens segítségével: 1 1 σ r = σ x cos 2 ϑ = p (1 + cos 2ϑ) , σ ϑ = σ x sin 2 ϑ = p (1 − cos 2ϑ), 2 2 1 τ r ϑ = − σ x sin ϑ cos ϑ = − p sin 2ϑ . 2 A lyuktól távoli tartományokban uralkodó tiszta húzás jól jellemezhető egy egyszerű feszültségfüggvénnyel: 1 1 1 F0 = σ x y 2 = σ x r 2 sin 2 ϑ = σ x r 2 (1 − cos 2ϑ) . 2 2 4 A lyuk környezetének vizsgálatára alkalmas feszültségfüggvényt ennek mintájára célszerű felépíteni. Kirsch szerint egy lehetséges ajánlás erre a függvényre: F ( r , ϑ) =F1 ( r ) − F2 (r ) cos 2ϑ . Helyettesítsük be ezt a biharmonikus differenciálegyenlet polárkoordinátás alakjába: 2

2

 d2 1 d   d2 1 d 4   F1 (r ) +  ∆∆ F =  2 + + − 2  F2 (r ) cos 2ϑ = 0 2   r dr  r dr r   dr  dr Mivel ennek minden ϑ szögre teljesülnie kell, a feltételből két egyenlet adódik: 2

2

 d2 1 d   d2 1 d 4      + F ( r ) = 0 , + − 1  dr 2 r dr r 2  F2 (r ) = 0 .  dr 2 r dr      Az első egyenlet ugyanaz, mint a polárkoordinátákkal felírt, szimmetrikus esetre vonatkozó biharmonikus alak (Euler-féle differenciálegyenlet), így megoldása is megegyezik az előzőekben levezetettel: F1 (r ) = c1 + c2 ln r + c3 r 2 + c4 r 2 ln r . A második egyenletet részletesen kifejtve a következőt kapjuk: d 4 F2 2 d 3 F2 9 d 2 F2 9 dF2 + − 2 + 3 =0. r dr 3 dr 4 r dr 2 r dr Ez az egyenlet is nagyon hasonlít az Euler-féle egyenletre, megoldását szintén cr m alakban keressük. Behelyettesítve a differenciálegyenletbe, az m 4 − 4m 3 − 4m 2 + 16m = 0 egyenlethez jutunk, melynek megoldásai: m = 0,-2,2 és 4. Így 1 F2 (r ) = c5 + c6 2 + c7 r 2 + c8 r 4 . r Behelyettesítve a feszültségfüggvény végleges alakját az egyes feszültségkomponensekre kapott korábbi polárkoordinátás összefüggésekbe: 6c c  4c  σ r = 22 + 2c3 + c4 (1 + 2 ln r ) −  25 + 46 + 2c7  cos 2ϑ , r r r  Ezeknek a feszültségeknek esetén a bevezetőben megadott r→∞ feszültségkomponensekhez kell tartaniuk, azok értékét és képlettel kifejezett alakját is felvéve. A feszültségeknek emellett ki kell elégíteniük a lyuk szabad peremén figyelembeveendő peremfeltételt is, nevezetesen: σ r = τ r ϑ = 0 , ϑ bármilyen értékére. Mindezeket figyelembe véve a paraméterek:

10.06.20.

178


Előadásvázlat

− pa 2 p pa 2 pa 4 p , c3 = , c5 = , c6 = − , c7 = − . 2 4 2 4 4 A keresett feszültségek függvényei tehát:   p  a2  a2 a4  p  a2  a4  σ r = 1 − + 1 − 4 2 + 3 4  cos 2ϑ , σ ϑ = 1 + − 1 + 3 4  cos 2ϑ , 2  2  2  2  r r  r    c 4 = c8 = 0 , c 2 =

p a2 a4  τ r ϑ = − 1 + 2 2 − 3 4  sin 2ϑ . 2 r r  Az eredmények értékelésénél felhívjuk a figyelmet a ϑ = 0 -nál keletkező nyomófeszültségre (tisztán húzott szerkezetünk van!), illetve a ϑ = ±π / 2 -nél fellépő feszültségkoncentrációra! zültségkoncentrációra! Megjegyezzük, hogy minél inkább eltér a körtől az ellipszis irányába a kivágás alakja (az ellipszis hosszabbik tengelye legyen merőleges a húzás irányára), annál inkább nő a feszültség koncentrációja koncentrációja!! Ugyancsak fontos megjegyzés, hogy ho fenti levezetés elvileg végtelen kiterjedésű tárcsára vonatkozik, hiszen a tárcsa méreteit sehol nem vettük figyelembe. Véges méretű tárcsáknál a koncentráció értéke csökken. Fenti kérdések részleteit lásd a „„Törésmechanika”” c. tárgy keretein belül.

gemlítjük, hogy az előbb bemutatott Koloszov-Muszhelisvili-egyenletek egyenletek felhasználásával a Megemlítjük, fenti feladat általánosítható, vagyis kör alakú lyuk helyett vizsgálható egy ellipszis alakú nyílás környezete. Még összetettebbé válhat a feladat, ha a tárcsára a vvégtelenben égtelenben tetszőleges normálnormál és nyírófeszültségek működhetnek (lásd a 11.3 11.3-as ábrát):

11.3. ábra: Ellipszis alakú lyuk környezetének vizsgálata Ilyen esetekben az ellipszis hosszabbik főtengelyénél a feszültségek lényegesen nagyobb koncentrációja mutatható ki, mint a kör esetében. Ha az ellipszis végtelenül vékony repedéssé fajulna el, akkor a lokális feszültségcsúcs nagysága a végtelenhez tart. A feszültségcsúcsok körhöz képesti gyors növekedését jól érzékeltetik a következő ábra trajektóriahálózatai:

10.06.20.

179


Előadásvázlat

11.4. ábra: Kör és ellipszis alakú lyuk környezetének trajektóriahálózata

Azz ilyen típusú bemetszések, lyukak és repedések környezetének vizsgálatával szintén a „Törésmechanika”” c. tárgy foglalkozik.

11.3 Példa Számítsuk ki az ábrán látható, körgyűrű-szelet alakú, tisztán hajlított tárcsa feszültségeit.

11.5. ábra: Körgyűrű-szelet alakú tárcsa hajlításának vizsgálata A szimmetria miatt ismét alkalmazhatjuk az Euler-egyenletnél Euler használt 2 2 négyparaméteres megoldást (emlékeztetőül: F (r ) = c1 + c2 ln r + c3r + c4 r ln r ). A feszültségek: 1 dF c2 d 2F c σr = = 2 + 2c3 + 2c4 ln r + c4 , σβ = 2 = − 22 + 2c3 + 2c4 ln r + 3c4 , τr β = 0. r dr r dr r A peremfeltételek: σ r = 0 r = ri − nél és r = r0 − nál , illetve ro

ro

∫ σ b dr = 0 és ∫ rσ b dr = M . β

β

ri

ri

ro r02 (1 + 2 ln ro ) − ri2 (1 + 2 ln ri ) c , c = − c4 . 4 3 ro2 − ri2 ri 2( ro2 − ri2 ) A harmadik feltétel automatikusan teljesül, mivel a feszültségfüggvény teljesíti ezt az egyensúlyi feltételt. A negyedik feltétel:

Az első két feltételből: c 2 =

ro

2ri2 ro2

ln

 c2  + 2c 4 r ln r + (2c3 + 3c 4 )r  b dr = M . r 

∫ −

ri

Integrálás és egyszerűsítés után: r M − c 2 ln o + c 4 ro2 ln ro − ri2 ln ri + (c3 + c 4 )(ro2 − ri2 ) = . ri b Behelyettesítve a c 2 − re és c3 − ra az előzőekben kapott két feltételt:

(

c4 = 10.06.20.

)

r 2M 2 (ro − ri2 ), ahol K = (ro2 − ri2 ) 2 − 4ri2 ro2 (ln o ) 2 . bK ri 180


Előadásvázlat

A másik két paraméter ezek figyelembev figyelembevételével: 4M 2 2 ro M 2 c2 = ri ro ln , c3 = − ro (1 + 2 ln ro ) − ri2 (1 + 2 ln ri ) . bK ri bK A feszültségek képletei mindezek figyelembevételével: ro 4 M  ri 2 ro2 ro r 2 2 σr =  2 ln − ro ln − ri ln  , bK  r ri r ri 

[

]

ro 4 M  ri 2 ro2 ro r 2 2 2 2   2 ln + ro ln + ri ln − (ro − ri )  , bK  r ri r ri  τr β = 0 .

σβ = −

A feszültségek függvényét tünteti fel egy metszetben az alábbi ábra169:

11.6. ábra: Sugár- és érintő irányú feszültségek változása

11.4 Példa Számítsuk ki a sík feszültségi állapotban lévő, vastag falú, kör alakú tárcsa feszültségeit az ábrán látható külső és belső terhelés hatásából!

11.7. ábra: Kör alakú tárcsa sugár irányú külső és belső terheléssel

A feladat megoldásához az alábbi feszültségfüggvény javasolható: F = A ln r + Cr 2 + B .

169

Megjegyezzük, hogy erősen görbült tartók (főleg gerendák) hajlításával először a német Emil Winkler (lásd a 12/9-es lábjegyzetet lábjegyzetet), majd őt követően az ugyancsak német émet Julius Carl von Bach (1847-1931) foglalkozott. 10.06.20.

181


Előadásvázlat

A három ismeretlen állandót a feszültségek, illetve a rájuk felírható peremfeltételek segítségével határozzuk meg. A feszültségek polárkoordinátás alakban (a szimmetria figyelembevételével): 1 ∂F A σr = = 2 + 2C , τ r β = 0 , r ∂r r 2 ∂ F A σβ = 2 = − 2 + 2C . ∂r r A feszültségi peremfeltételek és a figyelembevételükkel kapott egyenletek: σr r =a = − pa , σr r =b = − pb , A A + 2C = − pa , 2 + 2C = − pb . 2 a b Az együtthatók értékei: −a 2b2 ( pa − pb ) 1 pa a 2 − pbb2 A= , C = . 2 b2 − a 2 b2 − a 2 A keresett érintő- és sugár irányú feszültségek: 2 2 2 2 p a 2 − p b2 ( p − p ) a b p a2 − p b2 ( p − p ) a b σ β = a 2 2b + a2 2 b 2 , σ r = a 2 2b − a2 2 b 2 . b −a b −a r (b − a ) r (b − a ) Három megjegyzés: a./ A két feszültségérték összege a tárcsa bármelyik pontjában állandó. b./ Ha nincs belső lyuk (a = 0), akkor mindegyik pontban σr = σ β = −pb . c./ Ha van egy akármilyen pici belső lyuk ( a b, de a ≠ 0 ), akkor az érintő irányú feszültség azonnal kétszeresére nő ( σ β = −2pb )!

Csavarási feladatok vizsgálata feszültségfüggvények segítségével. Vizsgáljuk meg az ábrán látható, végein T csavaró-nyomatékokkal terhelt rúd csavarási feladatát.

11.8. ábra: Csavarás vizsgálata feszültségfüggvényekkel A keresztmetszet tömör és tetszőleges alakú. A számításnál a csavart rudak Saint-Venant modelljét használjuk, nevezetesen: 10.06.20.

182


Előadásvázlat

-

a csavart keresztmetszetek síkjukban merev lapok, merőlegesen azonban szabadon deformálódhatnak („szabad csavarás”), - a csavarónyomatékok a rúd véglapjaira nyírófeszültségek formájában adódnak át, ezek eloszlása megegyezik a többi keresztmetszetben keletkező nyírófeszültségével. A keresztmetszetek z tengely körüli állandó fajlagos relatív elfordulását jelöljük κ z -vel. Vegyük fel a koordináta-rendszer kezdőpontját az egyik (rögzített) véglap súlypontjában, így egy tetszőleges helyen levő lap elfordulása a z tengely körül: ϕ z = κ z z . Egy metszeten belül levő P pont elmozdulásai: u = −ϕ z y = −κ z z y , v = ϕ z x =κ z z x , w = w( x, y, κ z ) . (11.46) Az elmozdulások között szereplő w( x, y, κ z ) a keresztmetszet saját síkjára merőleges eltolódásának ismeretlen függvényét jelöli („öblösödési” függvény). Az eltolódások felhasználásával a geometriai egyenletek: ∂u ∂v ∂w ∂u ∂v εx = = 0, ε y = = 0, ε z = = 0, γ x y = + = 0, (11.47) ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x ∂w ∂u ∂w ∂w ∂v ∂w γz x = + = −κ z y, γ z y = + = + κz x . (11.48) ∂x ∂z ∂x ∂y ∂z ∂y A kompatibilitási egyenlet a két utolsó geometriai egyenlet segítségével kapható: az elsőt y, a második x szerint deriváljuk, majd kivonjuk őket egymásból. ∂γ z x ∂γ z y − =− 2κ z . (11.49) ∂y ∂x Helyettesítsük be most az alakváltozásokat az anyagmodell egyenleteibe. Csak két nyírófeszültségi komponens lesz zérustól különböző:  ∂w   ∂w  τ z x = G γ z x = G  −κ z y , τ z y = Gγ z y = G  +κ z x . (11.50)   ∂x   ∂y Az egyensúlyi egyenletek ennek figyelembevételével: ∂τ z x ∂τ z y ∂τ z x ∂τ z y = 0, =0 , + =0 . (11.51) ∂z ∂z ∂x ∂y Az első két egyenlet automatikusan teljesül, mivel a feszültségek nem változnak a z tengely mentén, a harmadik pedig úgy elégíthető ki, ha feltételezünk egy speciális F(x,y) feszültségfüggvényt, amelyből az egyes nemzérus nyírófeszültség-komponensek az alábbi módon számíthatók: ∂F ∂F τz x = , τz y = − . (11.52) ∂y ∂x Megjegyezzük, hogy bár magát az eredeti csavarási feladat megoldását Saint-Venant vezette le még a XIX. században, gyakran nevezik ezt az F függvényt Prandtl-féle feszültségfüggvénynek is, utalva arra a széleskörű laboratóriumi munkára, amit Ludwig Prandtl (adatait lásd korábban az ötödik fejezetben) végzett csavarási feladatok modellezése terén. Az anyagmodellek segítségével a nyírófeszültségekből kapott szögtorzulásokat beírva a kompatibilitási egyenletekbe, a következő egyenletet kapjuk: ∂2 F ∂2 F + 2 = − 2 G κz . (11.53) ∂x 2 ∂y

10.06.20.

183


Előadásvázlat

Ezt az egyenletet Poisson-féle differenciálegyenletnek hívják. Megjegyezzük, hogy a keresztmetszet egy tetszőleges pontjában keletkező eredő nyírófeszültség értéke mindig az F feszültségfüggvény gradienséből számítható, hiszen: 1/ 2  ∂F 2  ∂F 2  1/ 2  τ z =(τ 2z x + τ 2z y ) =  +    = grad F . (11.54)  ∂x   ∂y   A számítások során statikai kerületi feltételként kell figyelembe vennünk, hogy a terheletlen felületű keresztmetszet határvonalán az eredő nyírófeszültségnek egybe kell esniük a határvonal adott pontbeli érintőjével, vagyis a feszültségfüggvénynek a kontúrvonal mentén konstansnak kell lennie. Mivel ez a konstans érték a feszültségszámításoknál szükséges deriválások során eltűnik, az egyszerűség kedvéért zérusnak vehető (kivéve olyan speciális – de most nem tárgyalt – eseteket, mint például a belül üregekkel rendelkező keresztmetszetek!), vagyis a határvonalon: F = 0. (11.55) A rúd véglapjára vonatkozó Saint-Venant-feltétel szerint itt a nyírófeszültségek eredője a csavarónyomatékkal egyenlő. Felírva két vetületi és nyomatéki egyenletet: ∂F ∫ τ z x dA = ∫∫ ∂y dx dy = ∫ F ( x, y) dx = 0 , ∫ τ z y dA =− ∫ F ( x, y) dy = 0 , (11.56) A A  ∂F ∂F   (11.57) ( τ x − τ y ) dA =− x +  z y z x ∫ ∫  ∂x ∂y y dA = T . A

A

Az első két egyenlet a feszültségfüggvény határpontokon felvett zérus értékei miatt teljesül ( F ( x, y ) az F függvénynek a határvonal megfelelő pontjaiban felvett értékeit jelöli), a harmadiknál pedig figyelembe véve a ∂ ∂F (11.58) ( Fx) = x +F ∂x ∂x azonosságot, az első tagot átírhatjuk ∂F ∂ (11.59) x= ( Fx) − F ∂x ∂x alakba, így integrálja: ∂  ∂F (11.60) ∫ ∂x x dA = ∫  ∂x ( Fx) − F  dA =− ∫ F dA A A A értékű lesz (az első tag a vetületi egyenleteknél említettek miatt zérus). A második tag integrálása ugyanígy végrehajtható, így végül az egyensúlyi egyenlet: (11.61) 2 ∫ F ( x, y ) dA = T . A

Megjegyezzük még, hogy szükség esetén a w öblösödési függvényt a 11.48. alatti kompatibilitási feltételből lehet meghatározni. Érdekes megoldási változat található egyébként erről a csavarási feladatról Filonyenko-Borodics [ 7 ] alatti könyvében, ő az öblösödési függvény meghatározásából indul ki, és csak utána vizsgálja a fajlagos elfordulás illetve a nyírófeszültségek értékeit.

11.4 Példa: Határozzuk meg az ábrán látható egyenlő oldalú háromszögben keletkező nyírófeszültségek értékét.

10.06.20.

184


Előadásvázlat

11.9. ábra: Háromszög keresztmetszet csavarása

Írjuk fel az oldalélek egyenleteit: 2h 2h h y = (3 z + a ) ( jobb él ) , y = − (3 z − a ) (bal él ) , y = − (alsó él ). 3a 3a 3 Vegyük fel a feszültségfüggvényt ezek segítségével („c” ismeretlen állandó):  2h 2h h    F ( z, y) = c  y − (3z + a)   y + (3z − a)   y +   . 3a 3a 3     Összeszorozva és rendezve:  4h 2 4h 3 4 3 F ( z , y ) = c  y 3 − 2 z 2 y − hy 2 − 2 z 2 + h  . 27 a a 3   Figyelembe véve, hogy a = 2h / 3 , a feszültségfüggvényben már csak h szerepel. Behelyettesítve a második deriváltakat a Poisson-féle differenciálegyenletbe, c-re a következő értéket kapjuk: E c= κx . 4h(1 + ν) Vegyük most figyelembe az egyensúlyt kifejező egyenletet. Ehhez fel kell írnunk az a integrálási határokat is. A jobb oldali élen: z j = (3 y − 2h) , a bal oldali élen: 6h a z b = − (3 y − 2h) . Így: 6h h / 3  zb  h2  h   ah 4 4    T = 2c ∫  ∫  y 3 − hy 2 + h 3  − 4 2  y +  z 2  dz  dy = c . 27 3 15 a       −h / 3  z j  Felhasználva az a és h közötti összefüggést: 80T 160 (1 + ν)T c = 5 ⇒ κx = . 3a 3 E a4 A nyírófeszültségek képletei: 160 T  ∂F 3  3y + τx y = =− a z , 5  ∂z 2  3a  80 T τ z x = − 5 (3 y 2 − 3 ay − 3 z 2 ) . 3a T τ max = 20 3 . a A legnagyobb nyírófeszültség az oldalélek középpontjaiban keletkezik, lásd az ábra vázlatát:

10.06.20.

185


Előadásvázlat

11. 11.10. ábra: Nyírófeszültség változása

11.5 Példa Határozzuk meg az ábrán látható négyszög alakú keresztmetszet csavarásból keletkező nyírófeszültségeit!

11.11. ábra: Csavart négyszög keresztmetszet geometriai adatai A feladatot először Sir George Gabriel Stokes170, a hidrodinamika kiváló tudósa oldotta meg 1843 1843-ban, ban, részben saját kísérleteire hivatkozva. Az általa ajánlott – meglehetősen bonyolult – feszültségfüggvény a következő:  4 Eκx ∞ 1 ch(nπy / b)   nπz  F= 3 (−1)( n−1) / 2 1 − cos  ∑ .  3 π 1 + ν n =1,3,5 n  b   ch(nπh / 2b)  Felhasználva az egyensúlyra vonatkozó (11.61) alatti feltételt, meghatározható a fajlagos elfordulás: 2T (1 + ν) 2 ∫ F ( x, y ) dA = T ⇒ κ x = , 3 k Ehb 1 A ahol 1  192 b ∞ 1  nπh   k1 = 1 − 5 ∑ th    . 3 π h n =1,3,5,.. n5  2b   A feszültségek képletének vizsgálatából kiszámítható, hogy a legnagyobb nyírófeszültségek ültségek az „„A” és „B” pontban (lásd a 11.11-es es ábrát) keletkeznek. Ezek értéke: T τmax = , k2 hb2 170

Stokes: „Cambridge Phil. Soc. Trans. Trans.”, Vol. 8, 1843.

10.06.20.

186


Előadásvázlat

ahol

k2 = k1 / k ⇐ k = 1 −

8 π2

∞

1 . n =1,3,5... n ch( nπh /(2b))

∑

2

Ennek a feladatnak ettől eltérő felépítésű, de végeredményét tekintve ezzel megegyező érdekes megoldását találja az olvasó Rekacs [8] alatti művében. Megjegyezzük, hogy ha h >> b , akkor 1/ k2 = 1/ k1 → 3 , és így a maximális nyírófeszültség: 3T Tb τmax ≈ 2 = . 1 3 hb hb 3 Ezt a képletet használtuk a BSc Szilárdságtanban a nyitott vékonyfalú szelvényekből álló keresztmetszet csavarásának elemzésekor.


1./ Bezuhov, N. I.: Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba, Tankönyvkiadó, 1952. 2./ Muszhelisvili, N.: Some basic problems of mathematical theory of elasticity. P. Nordhoff., 1953. 3./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000. 4./ Roller B.: A statika művelődéstörténete, Műegyetemi Kiadó, 2000. 5./ Meleshko, V. V. : Selected topics in the history of the two-dimensional biharmonic problem, ASME, Appl. Mech. Rev., Vol. 56, pp. 33- 85, 2003. 6./ Love, A. E. H.: A treatise on the mathematical theory of elasticity, New York, 1944. 7./ Filonyenko-Borodics, M. M.: Theory of elasticity, Dover Publ., 1965. 8./ Rekacs, V. G. : Manual of the theory of elasticity, Mir Publ., 1979.

10.06.20.

187


Előadásvázlat

12. Előadás: Hajlított gerendák 2D modelljei kis elmozdulások és dinamikus hatások esetén. Rugalmasan ágyazott gerendák A gerendák minden lehetséges mechanikai részletre kiterjedő viselkedésének modellezése a szerkezet látszólagos „egyszerűsége” ellenére még ma sem teljesen megoldott, vizsgálatuk az aktívan kutatott területek közé tartozik. Mérnöki szempontokat és igényeket figyelembe vevő számításuk ma lényegében háromféle modell segítségével történik: -

Bernoulli-Navier-féle „klasszikus” modell171: a számítás alapvetően a hajlítás hatásának figyelembevételére épül. Elsősorban homogén és izotrop anyagú, tömör keresztmetszetű gerendák vizsgálatára alkalmas.

-

Nyírási modellek: a hajlítás mellett a nyírási torzulások hatását is figyelembe veszik az alapvető egyenletek megformálásánál. Első változatukat már SaintVenant megfogalmazta a XIX. század második felében, legismertebb képviselőjüket, az úgynevezett Timoshenko-féle (lásd a négyes számú lábjegyzetet) lineáris változatot172 1921-ben publikálták. Ez a modell jól használható réteges felépítésű gerendák mechanikai jellemzőinek számítására.

-

Kontinuummechanikai modellek: 2D vagy 3D szilárdságtani elméletek alapján felépített változatok tartoznak ebbe a családba. Elsősorban bonyolult geometria, erősen változó és/vagy szabálytalan belső üregrendszerrel terhelt keresztmetszet, jelentős geometriai és anyagi nemlinearitás esetén használják. Különösen előnyös akkor, amikor az anyagi nemlinearitást különböző minőségű rétegekben kell követnünk.

Megjegyezzük, hogy mindhárom leírásmód végeselemes modellezésére láthatunk példát a párhuzamosan futó MSc tárgyakban. Az első kettővel a „Végeselemes modellezés matematikai alapjai”, a harmadikkal a „Végeselemes modellezés – nemlineáris feladatok vizsgálata” c. tárgy foglalkozik. A továbbiakban kizárólag kétdimenziós, homogén, izotrop és lineárisan rugalmas anyagú gerendák alapvető egyenleteinek erős alakjaival foglalkozunk. A figyelembe veendő mozgások kicsik, de az egyenleteknél figyelembe vesszük a dinamikai hatásokra létrejövő eltolódásokat (kis rezgéseket) is. Megjegyezzük, hogy a kezdeti feltételeket (t =0 pillanathoz tartozó sebesség és igénybevétel-függvényeket) mindegyik modellnél ismertnek tételezzük fel.

2D hajlított gerenda Bernoulli173-Navier-féle („klasszikus”) modellje 171

Érdemes elolvasni a modell létrehozásának mintegy 400 éves történetét bemutató összefoglalót. „Bernoulli, Navier és a klasszikus gerendaelmélet” címmel megtalálható a Tanszék honlapján. 172 Timoshenko, S. P. : „On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars”, Philosophical Magazine, Vol. 41, pp. 744-746, 1921. 173 Jacob Bernoulli (1654 – 1705) svájci matematikus, a híres matematikus-dinasztia első képviselője, életéről az 1. sz. lábjegyzetben említett összefoglalóban olvashatunk. 10.06.20.

188


Előadásvázlat

A 12.1 ábra változatai a gerendamodellnél használt koordinátarendszert, a létrejövő elmozdulásokat és a belső igénybevételeket ábrázolják (z tengely az ábra síkjára merőleges). A vizsgált rúd teljes hosszát L-lel jelöljük, u1 , u2 és u3 a gerenda egy tetszőleges pontjánál az x, y és z – jobbkezes rendszert alkotó – tengelyeknek174 megfelelő eltolódások, s belső lokális koordináta pedig a tengelyvonal mentén értelmezett ívhossz. A modell alapfeltételezése szerint azok a keresztmetszetek, melyek a deformáció mentes állapotban merőlegesek a rúd súlyponti tengelyére, a deformálódott állapotban is síkok maradnak és továbbra is merőlegesek lesznek a tengelyre, vagyis ebben a modellben nincs nyírási szögtorzulás ( ε12 = 0 ). A gerenda keresztmetszeti súlypontjának tengelyirányú u eltolódását szintén elhanyagoljuk, így egyetlen változó (v(s,t), az y tengely irányú eltolódás) jellemzi a rúd elmozdulásait.

12.1. ábra: A Bernoulli-Navier-modell alapvető változói A dinamikus állapot y irányban felírt egyensúlyi egyenlete (Newton második törvénye):

F2′ ds cos Θ3 + q2 ds = m ds vɺɺ ,

(12.1)

174

A x,y és z tengelyek jelölésére a továbbiakban gyakran használjuk az 1,2 és 3 sorszámozást. Megjegyezzük, hogy az erők és nyomatékok vektorai a tengelyek irányában pozitívak. Ennek megfelelően F1 normálerőt, F2 nyíróerőt, M 3 pedig hajlítónyomatékot jelent, stb. 10.06.20.

189


Előadásvázlat

ahol Θ3 a keresztmetszet elfordulási szöge, q2 az y tengellyel párhuzamos külső megoszló terhelés függvénye, a „vessző” szimbólum az s változó szerinti parciális deriválást helyettesíti ( ∂ ), az eltolódásfüggvény feletti pont pedig az idő szerinti deriváltra utal. Az ∂s F2 nyíróerő és az m fajlagos tömeg a nyírófeszültség és a sűrűségfüggvény segítségével számítható175:

F2 = ∫ σ12 dA , m = ∫ ρ dA . A

(12.2)

A

A két nyíróerő közötti felezőponton átmenő, a síkra merőleges z tengellyel párhuzamos tengelyre felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet176: 1 1 ɺɺ . M 3′ ds + F2 ds + F2 + F2′ ds ds = J 3 ds Θ (12.3/a) 3 2 2 M 3 =− ∫ yσ11dA , J 3 = ∫ ρy 2 dA ( forgási inercia), ρ ⇒ sűrűség. ahol: (12.3/b)

(

A

)

A

Kis mozgások feltételezése esetén: sin Θ3 =Θ3 , cos Θ3 =1 , Θ3 = v ′ . (12.4) Ezeket a közelítéseket alkalmazva az egyensúlyi egyenletekben és elhanyagolva a magasabb 1 rendű F2′ ds 2 tagot, az összevont egyensúlyi egyenlet: 2 (12.5) F ′ + q = mvɺɺ , M ′ + F = J vɺɺ′ ⇒ − M ′′ + q = mvɺɺ −( J vɺɺ′)′ . 2

2

3

2

3

3

2

3

A következő lépés a nyomaték és az eltolódás összekapcsolására szolgáló egyenlet felírása. Ehhez először a keresztmetszet egy tetszőleges pontjának eltolódásait adjuk meg: u1 =− y sin θ3 = − yv ′ , u2 = v − y (1− cos θ 3 ) = v , u3 = 0 . (12.6) Az alakváltozások a geometriai egyenletekből számíthatók: ∂u ∂u ∂u ε11 = 1 =− y v ′′, ε12 = 1 + 2 = 0, ε 22 = ε33 =ε13 = ε 23 = 0 . (12.7) ∂s ∂y ∂s Fontos tudnunk, hogy az itt kapott alakváltozások nem pontosak, hiszen a fizikai realitásként létező Poisson-hatás miatt ε 22 és ε 33 nem lehet zérus értékű! A Bernoulli-Navier-modell így csak olyan gerendáknál alkalmazható, ahol ez a hiba még nem jelentős. A hiba természetesen jelentkezik a E (1 − ν) σ11 = ε11 (12.8) 1− ν − 2ν2 módon számítható (lásd az 5. előadás anyagmodelljeit) normálfeszültségben is. A (12.8) képlet helyett – elfogadva a σ 22 = σ 33 = 0 közelítő feltételt – a σ11 = E ε11 = − E y v ′′ , σ12 = 0 (12.9) feszültség-komponenseket használja a Bernoulli-Navier-modell. Ha az itt kapott normálfeszültséget beírjuk M 3 korábbi képletébe, akkor a nyomaték és az eltolódásfüggvény kapcsolatára adódó egyenlet: M 3 = ∫ E v ′′ y 2 dA = EI v ′′ ⇐ I = ∫ y 2 dA . (12.10) A

A

Helyettesítsük be végül ezt az egyenletet a dinamikai egyensúly összevont képletébe: − ( EI v ′′)′′ + q 2 = mv&& − ( J 3 v&&′)′ . (12.11) 175 176

Az előbb említett ε12 = 0 állításból adódó ellentmondásra még visszatérünk. A külső terhek nyomatékát jó közelítessel zérusnak tekinthetjük erre a pontra.

10.06.20.

190


Előadásvázlat

A megoldás során (az alkalmazott megoldási módszer mechanikai típusától függően) peremfeltételi előírásokat adhatunk meg v − re és v ′ − re vagy pedig F2 − re és M 3 − ra . Itt jegyezzük meg, hogy az F2 nyíróerő a bevezetésben felírt nyírófeszültségi integrál ε12 (és így σ12 ) zérus volta miatt nullára adódna. Ezt az ellentmondást úgy kerüljük el, hogy a nyíróerő számítására az egyensúlyi egyenletet használjuk fel: F2 = − ( EI v ′′)′ + J 3 v&&′ . (12.12) Ebben a pontban az alapvető (”erős”) differenciálegyenleteket az egyensúlyi-, geometriai- és anyagegyenletek felhasználásával fogalmaztuk meg. A következő pontban másféle technikát alkalmazunk, bemutatjuk a „fordított” eljárást, vagyis először a feladat variációs („gyenge”) alakját adjuk meg, és abból vezetjük le az alapegyenleteket.

2D gerenda modellek a nyírási alakváltozás hatásának figyelembevételével A nyírási modellek a „klasszikus” gerendaelmélet előzőekben leírt ellentmondásait kívánják feloldani. Az alapvető változókat ismét az ábrán tüntettük fel: a tengely eltolódásait most is zérusnak tekintjük, viszont bevezetünk egy új változót, amely a rúdtengelynél keletkező nyírási elfordulásokat fogja jellemezni177: γ 6 ( s, t ) , továbbá egy g 3 ( y ) 178-nal jelölt nyírási öblösödési függvényt, amely a keresztmetszet nyírás hatására létrejövő torzulását írja le: Az egyes eltolódások: u1 = − y sin Θ 3 + γ 6 g 3 cos Θ 3 , u 2 = v − y (1 − cos Θ 3 ) + γ 6 g 3 sin Θ 3 , u 3 = 0 .

(12.13)

177

A nyírási szögelfordulás indexében szereplő „6”-os szám a Voigt-féle, vektorba történő átrendezés esetén a vektor hatodik elemének helyére utal: γ 6 → ε12 . 178 A hármas index a hármas számú koordináta-tengelyre utal. 10.06.20.

191


Előadásvázlat

12.2. ábra: Nyírási hatások figyelembevétele A kis elmozdulásokra alkalmazott közelítéseket itt is alkalmazva és a nemlineáris tagokat elhanyagolva a következő összefüggéseket kapjuk: u1 = − y v ′ + g 3 γ 6 , u 2 = v , u 3 = 0 . (12.14) Megjegyezzük, hogy a nyírási elfordulás tulajdonképpen az u1 eltolódási függvény y = 0 helyén előírt deriváltját jelenti. A geometriai egyenletek: dg ∂u ∂u ∂u ε11 = 1 =− y v ′′ + g3 γ 6′ , ε12 = 1 + 2 = 3 γ 6 , ε 22 = ε33 = ε13 = ε 23 = 0 . (12.15) ∂s ∂y ∂s dy A mozgásegyenletek megadásához most variációs elvre térünk át. Írjuk fel a kinetikus energia és a teljes potenciális energia különbsége variációjának179 időintegrálját (ezt a mechanikában a Hamilton180-elv egyenletének hívják): t

∫ (δK −δΠ

b

+δΠk ) dt = 0 ,

(12.16)

0

ahol L

L

δΠk =∫ q2 δv ds , δΠb = ∫ 0

0

L

∫ (σ

δε11 +σ12δε12 ) dAds , δK = −∫

11

A

0

∫ ρuɺɺ ⋅δu dAds .

(12.17)

A

A képletben szereplő u a teljes eltolódásvektort jelöli: ɺɺ = (− y vɺɺ′ + g 3 ɺɺ u = u1e x + u 2 e y + u3e z = (− y v ′ + g 3 γ 6 ) e x + v e y ⇒ u γ 6 ) e x + vɺɺ e y . δu = (− y δ v ′ + g 3δγ 6 ) e x + δ v e y .

(12.18) (12.19)

Behelyettesítve a kinetikai energia variációjának képletébe: L

δK =− ∫ 0

∫ ρ vɺɺδv +( y vɺɺ′ − yg γɺɺ ) δv′ +( g γɺɺ 2

2 3

3 6

A

6

− yg3vɺɺ′) δγ 6  dAds = 

(12.20)

L

= − ∫  mvɺɺ δv +( J 3vɺɺ′ − I13 ɺɺγ6 ) δv′ + ( I 33 ɺɺγ6 − I13vɺɺ′) δγ6  ds , 0

ahol

m = ∫ ρ dA , J 3 = ∫ ρ y 2 dA , I13 = ∫ ρyg3dA , I 33 = ∫ ρg32 dA . A

A

A

(12.21)

A

Tovább alakítva a kinetikai energia integrálját (parciálisan integrálva a (12.20)-as egyenlet utolsó kifejezésében szereplő második tagot):

179

Az energiafüggvények átalakítását a hetedik fejezetben tárgyaltuk, de a „Függelék” is ismerteti őket, éppen a Hamilton-elvvel kapcsolatban. 180 William Rowan Hamilton (1805 – 1865) ír matematikus, fizikus és csillagász. Fontos felfedezései voltak az optikában, dinamikában és az algebrában. Az 1834-ben megfogalmazott Hamilton-elv („On a General Method in Dynamics”,Phil. Trans. of Royal Society, Part I, pp. 247-308, 1834, Part II, pp. 95-144, 1835) mechanikai változata (az elvet a fizika más területein is használják) kifejezetten mozgások vizsgálatára alkalmas, állítása szerint egy testnek az erők hatására létrejöhető (geometriailag lehetséges) pályái közül az valósul meg, melynek befutásakor a mozgási és a potenciális energia különbsége variációjának idő szerinti integrálja állandó értékű. A tétel a virtuális munkák elvéből is megfogalmazható. További részleteket lásd a „Függelék”-ben. 10.06.20.

192


Előadásvázlat

L

L

0

0

ɺɺ 6 )′ δv + ( I 33 γ ɺɺ 6 − I13vɺɺ′) δγ 6 } ds − ( J 3vɺɺ′ − I13 γ ɺɺ 6 ) δv  . (12.22) δK =− ∫ { mvɺɺ − ( J 3vɺɺ′)′ + ( I13 γ

Helyettesítsük most be az alakváltozások képleteit a belső energia variációjába: L

δΠb = ∫ 0

∫ (−σ

11

L

y δv′′ +σ11 g3 δγ′6 +σ12 g3, y δγ6 ) dAds = ∫ ( M 3δv ′′ + m3δγ ′6 + f 2δγ 6 ) ds ,(12.23)

A

0

ahol

dg3 , M 3 =− ∫ σ11 y dA , m3 = ∫ σ11 g3 dA , f 2 = ∫ σ12 g3, y dA . (12.24) dy A A A Az előzőekben már alkalmazott parciális integrálási technika ismétlésével az energia variációja tovább módosítható: g3, y =

L

L

δΠb = ∫  M 3′′δv + ( f 2 − m3′ ) δγ 6  ds +  M 3δv ′ − M 3′ δv + m3 δγ 6  . 0

(12.25)

0

Helyettesítsünk most be minden részletesen kiszámított komponenst az energia-variáció idő szerinti integráljába (a stacionaritási feltétel miatt ennek értéke zérus). Megjegyezzük, hogy a végső integrálban a teljes potenciális energia variációját írtuk fel elsőként, majd ebből vonjuk ki a kinetikus energia variációját. L

∫ {mvɺɺ− ( J vɺɺ′)′ + ( I 3

ɺɺγ )′ + M 3′′− q2  δv +  I 33γ ɺɺ 6 − I13vɺɺ′ − m3′ + f 2  δγ 6 } ds +

13 6

0

(12.26) ɺɺ 6 ) δv + m3 δγ 6  0 = 0 . +  M 3δv ′ − ( M 3′ − J 3vɺɺ′ + I13 γ L

Ebből az integrálból adódik végül a két mozgásegyenlet: ɺɺ 6 )′ , m3′ − f 2 = I 33 γ ɺɺ 6 − I13vɺɺ′ . −M 3′′+ q2 = mvɺɺ − ( J 3vɺɺ′)′ + ( I13 γ

(12.27)

A gerendavégeken ( s = 0, s = L ) alkalmazható peremfeltételek a (12.26)-os egyenletnek megfelelően: v , vagy − M 3′ + J 3vɺɺ′ − I13 γɺɺ 6 , . (12.28) v ′, vagy M 3 , γ 6 , vagy m3 . Ha összehasonlítjuk a (12.27)-ben felírt első mozgásegyenletet a Bernoulli-Navier-modellnél felírt hasonló változattal, akkor azt látjuk, hogy a nyírási hatásokat is figyelembe vevő modellnél a forgási hatás J 3vɺɺ′ − I13 ɺɺγ 6 módon számítható. Ezt felhasználva – egy z tengely irányú nyomatéki egyensúlyi egyenletben – a következőt kapjuk (lásd még a (12.2) ábra alsó vázlatát): ɺɺ 6 . M 3′ + F2 = J 3vɺɺ′ − I13 γ (12.29) Ebből az egyenletből következik, hogy a (12.28)-as képletben elsőként említett peremfeltétel hogyan használható fel a nyíróerő meghatározására.

Vizsgáljuk meg most a feszültségek értékeit: σ11 = E ε11 = − E ( yv ′′ − g 3 γ ′6 ) , σ12 = G ε12 = Gg 3, y γ 6 .

(12.30) Behelyettesítve ezeket a nyomatékokra korábban felírt, (12.24) alatti összefüggésekbe a következőket kapjuk: M 3 = EIv ′′ − F13 γ ′6 , m3 = −F13v ′′ + F33 γ ′6 , f 2 = F44 γ 6 , (12.31) ahol 10.06.20.

193


Előadásvázlat

I = ∫ y 2 dA , F13 = ∫ Eyg3 dA , F33 = ∫ Eg32 dA , F44 = ∫ Gg3,3 y dA . A

A

A

(12.32)

A

Beírva ezeket a tagokat a mozgásegyenletekbe, a végső egyenletrendszer v − re és γ 6 − ra : ɺɺ 6 )′ − mvɺɺ , ( EIv ′′)′′ − ( F13 γ ′6 )′′ − q2 = ( J 3vɺɺ′)′ − ( I13 γ (12.33) ɺɺ . ( F13v ′′)′ − ( F33 γ ′6 )′ + F44 γ 6 = I13vɺɺ′ − I 33 γ (12.34) Az egyenletek tényleges megoldásai természetesen g 3 felvételétől függenek.

12.1 Példa: Harmadfokú nyírási modell Vegyük fel g 3 függvényét egy harmadfokú polinom formájában (itt ci -k ismeretlen állandók): (12.35) g 3 = c1 y + c2 y 2 + c3 y 3 . Az egyszerűség kedvéért tételezzünk fel izotróp, prizmatikus gerendát négyszög keresztmetszettel és h magassággal. Fogadjuk el továbbá, hogy a felső és alsó élen nincsenek megoszló nyíróerők, így (12.36) σ 12 = τ12 y =± h / 2 = 0 . Ebből az következik, hogy (figyelembe véve az előző pontban σ12 -re felírt képletet): g3, y

y =± h / 2

=0 .

A γ 6 nyírási szögelfordulás definíciójából adódik, hogy ε12 adódik, hogy: g3, y

y =0

(12.37) y =0

= γ 6 , ebből pedig az

= 1.

Ezeket a feltételeket felhasználva a polinom együtthatóinak számítására, azt kapjuk, hogy: −4 4 c1 =1, c2 = 0, c3 = 2 ⇒ g3 = y − 2 y 3 . 3h 3h (12.38) A függvényt most már be lehet írni az előzőekben megadott egyenletekbe az eltolódás és a nyírási szögelfordulás meghatározásához.

2D Timoshenko181-modell („lineáris nyírási modell”). A Timoshenko-modell a nyírási alakváltozásokat konstansnak tételezi fel, így egy metszetben az eredő nyíróerő:

F2 = ∫ σ12 dA = k γ 6GA , ε12 =γ 6 .

(12.39)

A

Itt k egy korrekciós tényező, γ 6 pedig egy (Timoshenko javasolta) átlagos, jellemző nyírási alakváltozás. A nyírási alakváltozási energia ebben az esetben: 1 1 Enyírás = F2 γ 6 = k γ62GA . (12.40) 2 2 Vizsgáljuk meg most részletesebben k és γ 6 jelentését. Számítsuk ki először a nyíróerő és az alakváltozási energia értékét másféleképpen, a geometriai egyenletek szolgáltatta összefüggések segítségével: 181

Sztyepán Prokofjevics Tyimosenko (angol névváltozatban: Stephen P. Timoshenko) (1878 – 1972) ukrán származású mérnök, a modern mérnöki mechanika megteremtőinek egyike.

10.06.20.

194


Előadásvázlat

F2 = ∫ σ12 dA = ∫ Gg3, y γ 6 dA = ɶγ 6GA , A

Enyírás

(12.41)

A

1 1 1 = ∫ σ12ε12 dA = ∫ Gg3,2 y γ 62 dA = γˆ 62 GA . 2 A 2 A 2

(12.42)

Ezekben az egyenletekben ɶγ 6 az ε12 alakváltozás-komponens geometriai átlaga, γˆ 6 pedig a (12.42) alatti nyírási energiából számítható átlagos érték:

ɶγ 6 =

γ 6 ∫ g3, y dA A

, γˆ 62 =

γ 62 ∫ g3,2 y dA A

. (12.43) A A Ha összehasonlítjuk a nyíróerő és a nyírási energia kétféleképpen kiszámított értékeit, akkor meghatározhatjuk γ 6 és k paramétereket:    g dA  ∫ 3, y  A 

2

γˆ γ6 = = γ6 ɶ γ6 2 6

∫g A

∫ A

2 3, y

dA

ɶ 6 ɶγ 62 γ , k= = 2= . γ 6 γˆ 6 g 3, y dA A∫ g 3,2 y dA

(12.44)

A

Az első képlet azt mutatja, hogy γ 6 az ε12 nyírási alakváltozás energiaértelmű átlaga, a második pedig azt, hogy k a ɶγ 6 nyírási alakváltozásnak geometriai, a γˆ 6 alakváltozásnak pedig energia átlaga. Megjegyezzük, hogy például négyszög keresztmetszetű gerendák esetében k = 5/6. Szintén fontos kommentár, hogy több kutató vizsgálatai kimutatták k fenti képletéről, hogy csak az itt is alkalmazott feltételek megléte esetén elfogadható, jelentős nemlineáris hatások (pl. nagy mozgásokkal járó nagyfrekvenciás rezgések esetén) módosításra szorul. A Timoshenko-modell nyíróerő számítási módjának a geometriai egyenletekkel való összevetéséből következik, hogy ennél a modellnél: g3 = y , (12.45) ezért is szokás lineáris nyírási gerenda-modellnek nevezni ezt a változatot. Ha ezt a g 3 függvényt helyettesítjük be a keresztmetszeti paraméterek eredeti képleteibe, akkor a következőt kapjuk: I13 = I 33 = J 3 , F13 = F33 = EI , F44 = k GA . (12.46) Ha ezekkel a paraméterekkel írjuk fel a két alapvető mozgásegyenletet, akkor az eredmény (állandó keresztmetszetű gerendát feltételezve): EIv ′′′′ − EI γ 6′′′− q2 = J 3 vɺɺ′′ − J 3 ɺɺγ 6′ − mvɺɺ , EI v ′′′ − EI γ ′′6 + k GA γ 6 = J 3 vɺɺ′ − J 3 ɺɺ γ 6 . (12.47) Ha a második egyenletet újból deriváljuk, majd kivonjuk az elsőből, akkor a második mellé egy átalakított első egyenlet társítható: (12.48) EI v ′′′ − EI γ 6′′ + k GAγ 6 = J 3vɺɺ′ − J 3 ɺɺγ 6 , kGAγ ′6 + q2 = mvɺɺ . A két egyenlet össze is vonható. Deriváljuk az elsőt s szerint, majd a második egyenletet használjuk fel γ 6 különböző (s és t szerinti) deriváltjainak kiszámítására. Ezeket rendre az első egyenletbe helyettesítve kiküszöbölhetjük ezt a változót. Az új összevont egyenlet:  J 3  ∂ 4v EI ′′′′ ′′ ′′ ′′ EIv − (12.49) ( mv&& − q2 ) − q2 = J3v&& −  m 4 − q&&2  − mv&& . kGA kGA  ∂t 

10.06.20.

195


Előadásvázlat

A mechanikai szakirodalomban gyakran használják a Ψ = Θ 3 − γ 6 teljes elfordulási szöget. A kis alakváltozások körében maradva a nyírási szögtorzulást ilyenkor így kell kifejezni: γ 6 = v ′ − Ψ. (12.50) Ha ezt helyettesítjük be a két mozgásegyenletből álló rendszer utolsó változatába, akkor az új alak: && , EI Ψ′′ + k GA ( v′ − Ψ ) = J 3 Ψ (12.51) k GA ( v′′ − Ψ ′ ) + q2 = m v&& . Ez a variáns csak formailag különbözik az előzőekben levezett változattól.

Réteges keresztmetszetű gerendák vizsgálata a nyírási alakváltozás figyelembevételével A számítás alapelve ugyanaz, mint amit az előzőekben alkalmaztunk, az elemzés az N rétegből álló szendvics-keresztmetszet g 3 függvényének meghatározására irányul.

12.3. Réteges gerenda metszete Tételezzük fel, hogy az i-edik réteg elmozdulásai az előzőekben elmondottaknak megfelelően jellemezhetők: u1( i ) = − yv′ + g3( i ) γ 6 , u2(i ) = v , u3(i ) = 0 . (12.52) Az egyes rétegekben keletkező alakváltozások: ∂u1( i ) ∂u1( i ) ∂u2( i ) (i ) (i ) (i) ′′ ′ ε11 = = − yv + g 3 γ 6 , ε12 = + = g 3( i,y) γ 6 , ∂s ∂y ∂s (12.53) () ε(22) = ε(33) = ε13 = ε(23) = 0 . i

i

i

i

Használjunk minden egyes rétegnél harmadfokú függvényt g 3( i ) megadására:

g3(i ) = y + c2(i ) y 2 + c3( i ) y 3 .

(12.54)

Tételezzük fel, hogy az egyes rétegek között nincs csúszás, így az u1 eltolódás és a σ12 nyírófeszültség megoszlása folytonos: i i +1 u1( ) ( s, yi +1 , t ) − u1( ) ( s, yi +1 , t ) = 0, i = 1, 2,...., N − 1, (i) σ12 ( s, yi +1 , t ) − σ12(i+1) ( s, yi+1 , t ) = 0, i =1, 2,...., N − 1,

(12.55)

(i) (i ) itt σ12 = G ( i ) ε12 .

10.06.20.

196


Előadásvázlat

Azt is az elfogadható feltételek közé soroljuk, hogy az alsó és felső élen nincs nyíróerő, vagyis σ12 = 0 az y = y1 és y = y N +1 síkoknál. Ebből az is következik, hogy () ε12 (12.56) ( s, y1 , t ) = 0, ε12( ) ( s, yN +1 , t ) = 0 . Figyelembe véve valamennyi eddigi feltételt, 2N darab egyenletet tudunk felírni 2N i i ismeretlen ( c2( ) és c3( ) , i =1, 2,..., N ) meghatározására: 1

N

yi2+1c2( ) + yi3+1c3( ) − yi2+1c2( i

i +1)

i

2G( ) yi +1c2( ) + 3G( ) yi2+1c3( ) − 2G( i

i

i

(1)

i

2 (1) 1 3

i +1)

− yi3+1c3(

i +1)

yi +1c2(

i +1)

= 0, i = 1, 2,...., N − 1 ,

− 3G(

i +1)

yi2+1c3(

(N )

(N ) 2 N +1 3

2 y1c2 + 3 y c =− 1 , 2 yN +1c2 + 3 y

i +1)

c

= G(

i +1)

− G( ) , i

=− 1 .

(12.57)

i = 1, 2,...., N − 1 , Az együtthatók meghatározását szolgáló illusztráló példát láthatunk az ábrán:

12.4. ábra: Háromrétegű gerenda metszete A rétegek nyírási rugalmassági modulusai: G( ) = G( ) = 10G( ) . Az egyenletrendszerek felírása és megoldása (a szimmetria miatt az elvileg hat ismeretlenes feladat most csak három ismeretlent tartalmaz) után az egyes rétegekhez tartozó függvények: 3 8 19 3 8 1 2 3 g3( ) = y + y 2 + 2 y 3 , g3( ) = y − 2 y 3 , g3( ) = y − y 2 + 2 y 3 . (12.58) h 3h 3h h 3h Ezek a függvények használhatók a Timoshenko-modell korábban bemutatott egyenleteiben, először k és γ 6 , majd pedig az elmozdulások és elfordulások számítására. 1

3

2

Rugalmasan ágyazott gerenda vizsgálata. A továbbiakban kizárólag a Bernoulli-Navier-modellt fogjuk használni kvázistatikus módon terhelt, és egyszerű Winkler182-ágyazattal megtámasztott gerendák elmozdulásainak és igénybevételeinek vizsgálatára.

182

E. Winkler (1835 -1888) német mérnök, hajlított szerkezetek, főleg többtámaszú gerendák vizsgálatával foglalkozott. Vonatkozó munkája: „ Vorträge über Eisenbahnbau”, Prága, 1875. 10.06.20.

197


Előadásvázlat

12.5. ábra: Rugalmasan ágyazott gerenda Az alapvető differenciálegyenletek a terhelt és terheletlen szakaszokon (k az ágyazási együttható, v az eltolódás függvénye): d 4v d 4v EI 4 + kv = p , EI 4 + kv = 0 . (12.59) dx dx A megoldást v = ea x alakban keresve a homogén változat számára behelyettesítés után a következő egyenletet kapjuk:  4   a + k  v = 0 . (12.60)  EI  Ebből 1/ 4  k  . (12.61) a =± β(1 ± i ) ⇐ i = −1 , ahol β =   4 EI  Az általános megoldás: v = eβ x [ A cos βx + B sin βx ]+ e−β x [C cos βx + D sin βx ] , (12.62) ahol A,B,C és D ismeretlen állandók, meghatározásuk egy adott feladatnál figyelembe vehető peremfeltételektől függ. A./ Koncentrált erővel terhelt végtelen hosszú gerenda

12.6. ábra: Egyetlen erővel terhelt gerenda A szimmetria miatt elegendő a szerkezet egyik felét vizsgálni. A peremfeltétel: (12.63) x → ∞ , v és deriváltjai → 0 . Ezt felhasználva A = B = 0 , és így a megoldás a v = e−β x (C cos βx + D sin βx) (12.64) alakra redukálódik. További feltételek az elfordulásra és a most az egyszerűség kedvéért T-vel jelölt nyíróerőre (utóbbit P-től végtelen közel jobbra értelmezzük): P P Pβ v ′(0) = 0 , T =− EIv ′′′(0) = − ⇒ ezekből C = D = 3 = . (12.65) 2 8β EI 2k A keresett eltolódásfüggvény:  Pβ −β x Pβ −β x π (12.66) v= e (cos βx + sin βx )= e 2 sin βx +  .   2k 2k 4 10.06.20.

198


Előadásvázlat

Az elfordulás, nyomaték és nyíróerő számításához vezessük be az alábbi függvényeket (mindegyiket x > 0 esetre értelmeztük): Pβ f1 (βx) = e−βx (cos βx + sin βx) ⇒ v = f1 , (12.67) 2k 1 Pβ2 f 2 (βx) = e−βx sin βx =− f1′ ⇒ Θ= v ′ = − f2 , (12.68) 2β k f′ f ′′ P (12.69) f 3 (βx ) = e−βx (cos βx − sin βx )= 2 =− 12 ⇒ M = EIv ′′ =− f3 , β 2β 4β f′ f ′′ f ′′′ P f 4 (βx) = e−βx cos βx = − 3 = − 22 = 13 ⇒ T =− EI v ′′′ =− f 4 . (12.70) 2β 3 2β 4β 2 Tájékoztatásul megadjuk táblázatos formában a különböző függvények értékeit:

B./ Fél-végtelen gerenda

12.7. ábra: Fél-végtelen gerenda, bal oldali végén terhelve Most a kezdőpontban koncentrált erőt és egy nyomatékot helyeztünk el. A peremfeltételek és az együtthatók: P + βM A M EIv ′′ = M A , EIv ′′′ =− T = P ⇒ C = , D =− 2 A . (12.71) 3 2β EI 2β EI Az eltolódásfüggvény valamint az elfordulás, nyomaték és nyíróerő: e−βx 2β v = 3 [ P cos βx + βM A (cos βx − sin βx) ]= ( Pf 4 (βx) + βM A f 3 (βx)) ⇒ (12.72) 2β EI k 10.06.20.

199


Előadásvázlat

2β 2β2 P + β M , Θ =− ( [ Pf1 (βx) + 2βM A f 4 (βx) ] , A) k k Pf (βx) M= 2 + M A f (βx)1 , T =− Pf3 (βx) + 2βM A f 2 (βx) . k C./ Véges méretű gerendák v(0) =

(12.73) (12.74)

Vizsgáljuk meg az ábrán látható, középen egy koncentrált erővel terhelt gerendát és hasonlítsuk össze a C és E pontok lehajlásait.

12.8. ábra: Két pont lehajlásának arányai Ilyen feladatoknál is a megoldásfüggvényben szereplő négy állandó meghatározása a cél. Jelen esetben a következő x ≥ 0 esetére négy peremfeltételt tudjuk felhasználni erre a célra: v ′( L / 2) = 0, EIv ′′′( L / 2) = P / 2, EIv ′′(0) = 0, EIv ′′′(0) = 0. (12.75) Az innen adódó négyismeretlenes egyenletrendszer megoldása után a középső és a szélső pontok eltolódásai: P β 2 + cos βL + ch βL 2 Pβ cos(βL / 2) ch(βL / 2) , vE = . (12.76) vC = 2k sin βL + sh βL sin βL + sh βL k A két elmozdulás arányában osztályozni lehet a rugalmas ágyazaton nyugvó gerendákat (lásd az ábrán feltüntetett függvényt): vE 4 cos(βL / 2) ch(βL / 2) . (12.77) = vC 2 + cos βL + ch βL Azokat a gerendákat, amelyeknél: a./ βL <1 , rövid gerendáknak nevezzük (a végpont elmozdulása közel egyenlő a középpontéval, a gerenda viselkedése merev), b./ 1 <βL < 3 , közepes hosszúságú gerendáknak nevezzük, 10.06.20.

200


Előadásvázlat

c./ βL > 3 , hosszú gerendáknak nevezzük (a végkeresztmetszet eltolódására már nincs jelentős hatással a középső erő). Ezt az osztályozást egyébként másféle terhek alkalmazása esetén is használják a mechanikában. Megjegyezzük, hogy egyes szerzők a határt a pontosság növelése érdekében 1 és 3 helyett 0,6-re illetve 5-re javasolják felvenni. D./ Egyenletes távolságokban rugalmasan alátámasztott gerenda

12.9. ábra: Pontonként alátámasztott gerenda Egyszerűsíti a számítást, ha a diszkrét rugórendszert folytonos ágyazással és így a diszkrét rugóerőket ( Ri = Kvi , K a rugóállandó) szakaszonként állandó megoszló ágyazási reakcióval helyettesítjük (lásd a „b” ábrarész szaggatott vonallal megrajzolt szakaszai helyett feltüntetett folytonos görbét). Megjegyezzük, hogy részletesebb elemzéssel kimutatható, hogy ez a helyettesítés csak az a ≤ π /( 4β) korlát betartása esetén ad elfogadható pontosságú eredményeket. A helyettesítő állandó egyszerűen számítható: R K K = v=k v=q ⇒ k = . (12.78) a a a

12.2 Példa: Határozzuk meg az ábrán látható nagyon hosszú gerenda egy tetszőleges pontjának elmozdulás-függvényét, illetve a maximális lehajlást. A gerenda keresztmetszete 10x15 cm méretű téglalap (10 cm a szélesség), anyagának rugalmassági modulusa 200 GPa. A terhelés 4 m hosszan működik, intenzitása 175 kN/m. A rugalmas ágyazás együtthatója k = 14 Mpa.

10.06.20.

201


Előadásvázlat

12.10. ábra: Megoszló teherrel terhelt gerenda vizsgálata Egy tetszőleges A pont Px = p dx terhelés hatására létrejövő ∆v eltolódása183: p dx −β x ∆v = βe ( cos βx + sin βx ) . 2k A teljes eltolódás integrálással számítható: a b p dx −β x p dx −β x vA = ∫ β e ( cos βx + sin β x ) + ∫ β e ( cos β x + sin β x ) = 2k 2k 0 0

=

p p 2 − e−βa cos βa − e −βb cos βb ) =  2 − f 4 ( βa ) − f 4 ( βb )  . ( 2k 2k 1/ 4

1/ 4   14 ⋅10 6 ⋅ 12  k    = 0,888 m −1 . Az egyes paraméterek: β= =  9 3    4 EI   4 ⋅ 200 ⋅ 10 ⋅ 0,1⋅ 0,15  Vizsgáljuk az eltolódás értékét pontosan középen, így a és b értékei megegyeznek: a = b = 2 m, vagyis β L = 3,552, βa = β b = 1,776 . A legnagyobb eltolódás mindezek figyelembevételével: 175 vmax =  2 − ( −0 , 0345 ) − ( −0 , 0345 )  = 0 , 0129 m. 2 ⋅14000  A megoszló reakció legnagyobb értéke: k v max =14 ⋅10 6 ⋅ 0,0129 =180,6 kN / m .

Felhasznált irodalom: 1./ Ugural, A.C. – Fenster, S.K.: Advanced Strength and Applied Elasticity, Edward Arnold, 1984. 2./ Budynas, R.G.: Advanced Strength and Applied Stress Analysis, McGraw-Hill,1999. 3./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000. 4./ Nayfeh, A. H. – Pai, P. F.: Linear and nonlinear structural mechanics, John Wiley, 2004.

183

Megjegyezzük, hogy itt az elemi hosszon ható megoszló terhet koncentrált erővel helyettesítettük és a (12.66)-os képletet alkalmaztuk.

10.06.20.

202


Előadásvázlat

13. Előadás: Felületszerkezetek mechanikai modellezése. Lemezek alapvető egyenletei A következő két előadás felületszerkezetek vizsgálatával foglalkozik. Először egy általános bevezetés segítségével bemutatjuk az ilyenkor használatos koordinátarendszereket184 és mechanikai változókat, majd ezek után a lemezek illetve héjak mechanikai alapegyenleteinek ismertetése következik. Megjegyezzük, hogy a vizsgált téma természetéből adódóan a tenzorjelölések mellett gyakran használunk mátrixokat is az egyenletek felírásánál.

Általános megjegyzések: A./ Kezdeti görbületek185: Az ábrán a felületszerkezetek nemlineáris vizsgálatához szükséges koordinátarendszerek láthatók egy héjszerkezeti elemen illusztrálva. Az x,y,z görbe vonalú ortogonális rendszer a deformálatlan hivatkozási rendszert jelöli (az ábrán például x és y feszíti ki a deformálatlan felületet, z pedig merőleges rá). A vázlaton a ξ, η, ζ bázis tartozik a deformált alakhoz (a megváltozott állapotban ξ és η a terhelt felületelem tengelyei). A harmadik (a,b,c jelzésű) rögzített derékszögű globális koordinátarendszert elsősorban a kezdeti görbületek számítására fogjuk használni.

13.1. ábra: A kezdeti és a pillanatnyi állapothoz tartozó bázisok Az egyes bázisoknál az alábbi egységvektor rendszereket használjuk: 184

Különösen fontosak lesznek ezek az alapfogalmak akkor, amikor a későbbikben nemlineáris hatások elemzésével is kiegészítjük az itt leírtakat. 185 Lásd a [ 4] alatti honlapot és a „Függelék”-et. 10.06.20.

203


Előadásvázlat

x,y,z ⇒ j1 , j 2 , j3 ; ξ, η, ζ ⇒ i 1 , i 2 , i 3 ; a, b, c ⇒ i a , i b , i c .

(13.1)

A következő ábrán egy általános (elemi méretű) héjelem látható, a deformáció előtti és utáni állapotban. Az egyik pontnál berajzoltuk az eltolódások u,v,w értékét is. Megjegyezzük, hogy a „kalappal” jelölt bázisok a deformált rendszer további módosításához tartoznak (például amikor nyírási szögtorzulások hatását is figyelembe vesszük a mechanikai modellnél).

13.2. ábra: Héjelem a kezdeti és a pillanatnyi bázisban Az ábrán kijelölt, a deformálatlan helyzethez tartozó „A” pont P helyzetvektorát ismertnek tételezzük fel, így teremtve kapcsolatot az a,b,c és az x,y,z rendszerek között: P = p1 ( x, y ) i a + p 2 ( x, y ) i b + p 3 ( x, y ) i c , (13.2) ahol ∂P ∂P j1 = = p1,x i a + p2 ,x i b + p3,x i c , j2 = = p1,y i a + p2 ,y i b + p3 ,y i c , ∂x ∂y (13.3) j3 = j1 × j2 = ( p2 ,x p3,y − p3,x p2 ,y ) i a + ( p3,x p1,y − p1,x p3 ,y ) i b + ( p1,x p2 ,y − p2 ,x p1,y ) i c . Megjegyezzük, hogy ebben a fejezetben is használjuk a jobb alsó indexnél a deriválásra utaló vesszős szimbólumot. A bázisvektorok közötti kapcsolat mátrixok segítségével:  i a  p1,x p2 ,x p3 ,x  j1      j= j = T i abc =  j2  =  p1,y p2 ,y p3 ,y   i b  . (13.4)    j3   p2 ,x p3 ,y − p3 ,x p2 ,y p3 ,x p1,y − p1,x p3 ,y p1,x p2 ,y − p2 ,x p1,y   i c  Az ortogonális transzformáló tenzort jelöltük most T-vel (mátrix alakban T ). Az x,y,z rendszer bázisvektorainak deriváltjaira lesz szükségünk, ha az eredeti, deformálatlan szerkezet alakját jellemző, úgynevezett görbületi tenzorok előállításánál, ezért a következő lépésben ezek számítását mutatjuk be. Felhasználva a ∂jm ∂j ∂j ∂j ∂j ∂j ⋅ jm = m ⋅ jm = 0, m ⋅ jn = − n ⋅ jm , m ⋅ jn = − n ⋅ jm (13.5) ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y összefüggéseket (az indexismétlések most nem jelentenek összegzést!), a következőt kapjuk: 10.06.20.

204


Előadásvázlat ∂j ∂j ∂j = K10 ⋅ j , = K 02 ⋅ j , = 0, ahol ∂x ∂y ∂z

(13.6) j1,x ⋅ j3   0 k50 −k10     (13.7) j2 ,x ⋅ j3  =  − k50 0 − k610  , 0 0 j3 ,x ⋅ j2 j3 ,x ⋅ j3   k1 k61 0  j1,y ⋅ j2 j1,y ⋅ j3   0 k40 − k620     (13.8) j2 ,y ⋅ j2 j2 ,y ⋅ j3  =  −k40 0 − k20  . 0 0 j3 ,y ⋅ j2 j3 ,y ⋅ j3   k62 k2 0  A két K 0 tenzort (mátrixot) kezdeti görbületi tenzornak (mátrixnak) nevezik a felületszerkezetek mechanikájában. Az egyes elemek részletesen: 3 ∂T ∂j ∂j 1j k10 = 3 ⋅ j1 = − 1 ⋅ j3 = −∑ T3 j = − p1, xx ( p2, x p3, y − p3, x p2, y ) − ∂x ∂x j =1 ∂x  j1,x ⋅ j1 ∂ T 0 T  ⋅ T =  j2 ,x ⋅ j1 K10 ⇒ K 1 = ∂x  j3 ,x ⋅ j1 j ⋅j ∂T T  1,y 1 0 0 K2 ⇒ K 2 = ⋅ T =  j2 ,y ⋅ j1 ∂y  j3 ,y ⋅ j1 

j1,x ⋅ j2 j2 ,x ⋅ j2

− p2, xx ( p3, x p1, y − p1, x p3, y ) − p3, xx ( p1, x p2, y − p2, x p1, y ) , k20 =

(13.9)

3 ∂T 3 ∂T ∂j3 ∂j ∂j ∂j 2j 2j ⋅ j2 = − 2 ⋅ j3 = −∑ T3 j , k610 = 3 ⋅ j2 = − 2 ⋅ j3 = −∑ T3 j , ∂y ∂y ∂x ∂x j =1 ∂y j =1 ∂x

3 ∂T 3 ∂T ∂j3 ∂j1 ∂j2 ∂j1 1j 1j 0 k = ⋅ j1 = − ⋅ j3 =− ∑ T3 j , k5 = ⋅ j1 = − ⋅ j2 =− ∑ T2 j , ∂y ∂y ∂x ∂x j =1 ∂y j =1 ∂x 0 62

k40 =

3 ∂T ∂j2 ∂j 1j ⋅ j1 = − 1 ⋅ j2 =− ∑ T2 j . ∂y ∂y j =1 ∂y

A görbületi mátrixok elemei közül k610 , k10 és k50 az első az x tengely (pontosabban –x) körüli kezdeti csavarási görbületet, a másik kettő pedig az y illetve z tengelyek körüli kezdeti spirális és hajlítási görbületet jelenti. Hasonlóan: k620 az y tengely körüli csavarási görbületet,

k20 az –x körüli spirális, és k40 pedig a z körüli hajlítási görbületet jelöli. Ha k610 = k620 = k40 = k50 = 0 , akkor x és y tengelyeket főtengelyeknek, k10 -t és k20 -t pedig főgörbületeknek nevezik. Megjegyezzük, hogy héjaknál és lemezeknél ∂j / ∂z mindig zérus, mert az egyenes vonalú z tengely merőleges a hivatkozási felületre. Megjegyezzük, hogy mivel P a deformálatlan állapothoz tartozó „A” referenciapont helyzetvektora, ezért ha a deformálatlan felület elegendően sima, akkor ∂P P, x y = P, y x és mivel j1 = = P, x illetve j 2 = P, y ⇒ k610 = −P, y x ⋅ j3 = −P, x y ⋅ j3 = k620 . (13.10) ∂x B./ Síkbeli alakváltozások és a görbületek megváltozásai. Az előző pontban bemutatott (13.2) számú ábrán a referenciafelület egy elemét ábrázoltuk alakváltozások előtti és utáni állapotban. A rajzon ξˆ és ηˆ jelöli x és y deformálódott tengelyeit, i ˆ és i ˆ pedig ξˆ és ηˆ tengelyek egységvektorait. Ha például γ -tal jelöljük a 1

2

6

síkbeli nyírási deformációt ( γ 6 = γ 61 + γ 62 ), akkor kimondható, hogy ξ és η csak akkor egyezik meg ξˆ és ηˆ tengelypárokkal, ha γ 6 zérus. 10.06.20.

205


Előadásvázlat

Az ábrán feltüntetett „A”, „B” és „C” sarokpontokhoz tartozó eltolódások az alábbi módon írhatók fel: „A” ⇒ u1 = uj1 + vj2 + wj3 , (13.11) ∂u „B” ⇒ u 2 = u1 + 1 dx = u1 + ∂x 0 0  (13.12) + (u, x − vk5 + wk1 ) j1 + (v, x + uk50 + wk610 ) j2 + ( w, x − uk10 − vk610 ) j3  dx , „C” ⇒ u 3 = u1 +

∂u1 dy = u1 + ∂y

+  (u, y − vk40 + wk620 ) j1 + (v, y + uk40 + wk20 ) j2 + ( w, y − uk620 − vk20 ) j3  dy .

(13.13)

Ezekben a képletekben u, v és w az „A” referenciapont x, y és z irányú eltolódásait jelölik. Az ábrán látható élhossz-változások az előbbi képletek bemutatásával:

(13.14) A′ B ′ = dx j1 + u 2 − u1 = =  (1 + u, x − vk50 + wk10 ) j1 + (v, x + uk50 + wk610 ) j2 + ( w, x − uk10 − vk610 ) j3  dx ,

A′ C ′ = dy j2 + u 3 − u1 = =  (u, y − vk40 + wk620 ) j1 + (1 + v, y + uk40 + wk20 ) j2 + ( w, y − uk620 − vk20 ) j3  dy . Jelöljük a ξˆ és ηˆ tengelyek irányába eső fajlagos alakváltozásokat e1 és e2 -vel:

A′ B ′ − dx =−1+ dx + (1 + u, x − vk50 + wk10 ) 2 + (v, x + uk50 + wk610 ) 2 + ( w, x − uk10 − vk610 ) 2 , e1 =

e2 =

(13.15)

(13.16)

A′ C ′ − dy =−1+ dy

(13.17)

+ (u, y − vk40 + wk620 ) 2 + (1 + v, y + uk 40 + wk 20 ) 2 + ( w, y − uk620 − vk20 ) 2 .

Az alakváltozások segítségével most már az i1ˆ és i 2ˆ egységvektorok is számíthatók (a „kalap” szimbólum az elforgatott koordinátarendszerre utal, lásd az előző oldalon levő ábrát): A′ B ′ A′ C ′ (13.18) i1ˆ = = Tˆ11 j1 + Tˆ12 j2 + Tˆ13 j3 , i 2ˆ = = Tˆ21 j1 + Tˆ22 j2 + Tˆ23 j3 , (1 + e1 ) dx (1 + e2 ) dy ahol 0 1 + u, x − vk50 + wk10 ˆ v, x + uk50 + wk61 w, x − uk10 + vk610 ˆ ˆ (13.19) T11 = , T12 = , T13 = , 1 + e1 1 + e1 1 + e1 Tˆ21 =

u, y − vk40 + wk620

, Tˆ22 =

1 + v, y + uk40 + wk20

, Tˆ23 =

w, y − uk620 − vk20

1 + e2 1 + e2 A nyírási deformáció (13.18) segítségével186: γ6 = γ61 + γ62 = sin−1 (i1ˆ ⋅ i 2ˆ ) = sin−1 (Tˆ11Tˆ21 + Tˆ12Tˆ22 + Tˆ13Tˆ23 ) .

1 + e2

.

(13.20)

Megjegyezzük, hogy a képletben szereplő sin−1 szimbólum azonos az arcsin jelöléssel. A két összetevő ( γ 61 és γ 62 ) közötti kapcsolat a síkbeli nyírási alakváltozások dualitása segítségével írható fel ( ε12 = ε 21 ). Mivel A ξ, η bázis ortogonális, de a ξˆ , ηˆ bázis általában nem az, ezért iˆ1 ⋅ iˆ2 = cos ( π / 2 − γ ) . Innen adódik (13.20). 186

10.06.20.

206


Előadásvázlat

ε12 = (1 + e1 )dx sin γ 61 / dx és ε 21 = (1 + e2 )dy sin γ 62 / dy , így a két komponens közötti kapcsolati egyenlet: (1 + e1 ) sin γ 61 = (1 + e2 ) sin γ 62 .

(13.21) (13.22)

A deformált elemre merőleges harmadik egységvektor a másik kettő ismeretében számítható: iˆ ×i ˆ i 3 = î3 = 1 2 = T31 j1 + T32 j2 + T33 j3 , (13.23) i1ˆ × i 2ˆ ahol T31 = (Tˆ12Tˆ23 − Tˆ13Tˆ22 ) / R0 , T32 = (Tˆ13Tˆ21 − Tˆ11Tˆ23 ) / R0 , T33 = (Tˆ11Tˆ22 − Tˆ12Tˆ21 ) / R0 , R0 = (Tˆ12Tˆ23 − Tˆ13Tˆ22 ) 2 + (Tˆ13Tˆ21 − Tˆ11Tˆ23 )2 + (Tˆ11Tˆ22 − Tˆ12Tˆ21 ) 2

(13.24)

= i1ˆ × i 2ˆ = cos γ 6 .

Az i1ˆ és i 2ˆ valamint i 3 egységvektorok felhasználásával felírható az x,y,z illetve ξ , η , ζ rendszerek közötti kapcsolat. Mátrixokkal: Tˆ Tˆ Tˆ   j   iˆ   i1   j1   11 12 13   1  1          i 2  = Γ⋅ i ˆ = T ⋅  j2  =Γ⋅ Tˆ21 Tˆ22 Tˆ23   j2  , (13.25)  2         i   i   j  Tˆ31 Tˆ32 Tˆ33   j3   3  3  3ˆ    ahol −1  cos γ 61 sin γ 61 0  cos γ 62 − sin γ 61 0      1 − sin γ 62 cos γ 61 (13.26) Γ=  sin γ 62 cos γ 62 0 = 0 .     cos γ 6  0  0 0 1 0 cos γ 6    Az irányvektorok változásait (a vektorok előbb megadott képleteit valamint a transzformáló mátrix ortogonalitási tulajdonságát – inverze egyenlő a transzponáltjával – kihasználva) az előző pontban bemutatott módon lehet kiszámítani. Mivel ∂i j ∂i ∂i ∂i ∂i ∂i ⋅ i j = j ⋅ i j = 0 , j ⋅ ik = − k ⋅ i j , j ⋅ ik = − k ⋅ i j , (13.27) ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y így a változásokat megadó deriváltak az alábbi módon számíthatók:  i1,x ⋅ i1 i1,x ⋅ i 2 i1,x ⋅ i 3  ∂i   = K1 ⋅ i , ahol K 1 =  i 2 ,x ⋅ i1 i 2 ,x ⋅ i 2 i 2 ,x ⋅ i 3  = (13.28) ∂x  i 3,x ⋅ i1 i 3 ,x ⋅ i 2 i3,x ⋅ i3 

 0 =  −k5  k1

k5 0 k61

−k1  ∂T T 0 T −k61  = T + T K1 T . ∂x 0 

 i1,y ⋅ i1 i1,y ⋅ i 2 i1,y ⋅ i 3  ∂i   = K 2 ⋅ i , ahol K 2 = i 2 ,y ⋅ i1 i 2 ,y ⋅ i 2 i 2 ,y ⋅ i 3  = ∂y  i 3 ,y ⋅ i1 i 3 ,y ⋅ i 2 i 3 ,y ⋅ i 3     0 k4 −k62  ∂T T 0 T =  −k4 0 −k2  = T + T K 2T . ∂y  k62 k2 0 

(13.29)

A K mátrixok ismét a görbületeket tartalmazzák, de most a deformált állapotban adják meg ezek értékét. Az egyes elemek:

10.06.20.

207


Előadásvázlat

3 ∂i1 ⋅ i 3 = −∑ T1m,xT3m − T21k610 + T22 k10 + T23k50 , (13.30) ∂x m =1 3 ∂i k2 = − 2 ⋅ i3 = −∑ T2 m,yT3m + T11k20 − T12 k620 − T13k40 , ∂y m =1 3 ∂i 2 k61 = − ⋅ i 3 = −∑ T2 m,xT3m + T11k610 − T12 k10 − T13 k50 , ∂x m =1 3 ∂i k62 = − 1 ⋅ i 3 = −∑ T1m,yT3m − T21k20 + T22 k620 + T23k40 , ∂y m =1 3 ∂i k5 = 1 ⋅ i 2 = ∑ T1m,xT2 m − T31k610 + T32 k10 + T33k50 , ∂x m =1 3 ∂i k4 = − 2 ⋅ i1 = −∑ T2 m,yT1m − T31k20 + T32 k620 + T33k40 , ∂x m =1 Megjegyezzük, hogy a fenti görbületek nem jelentenek valódi változásokat, hiszen a deriválást a deformálatlan dx és dy értékek alapján végeztük, és nem a ξ és η tengelyek mentén létrejövő valódi hosszakkal számoltunk.

k1 = −

Ha γ 61 = γ 62 = e1 = e2 = 0, akkor k1 és k 2 az η és − ξ körüli hajlítási görbületeket jelöli, k 61 és k 62 a − ξ és η tengelyek körüli csavarási görbületeket adja meg, k 4 és k 5 pedig az η és ξ tengelyek ζ tengely szerinti „spirális” görbülete. C./ Ortogonális virtuális elfordulások A ξ, η, ζ bázis i j egységvektorainak a δΘ i virtuális merevtestszerű elfordulások következtében létrejövő variációi187: δΘ3 −δΘ2   i1   δ i1   0 δ i  =  −δΘ 0 δΘ1  i 2  , ahol (13.31) 3  2   δ i 3   δΘ 2 −δΘ1 0   i 3 

δ Θ1 = i 3 ⋅ δ i 2 = − i 2 ⋅ δ i 3 = T31δT21 + T32 δT22 + T33δT23 , δ Θ2 = i1 ⋅ δ i 3 = − i 3 ⋅ δ i1 = T11δT31 + T12δT32 + T13δT33 ,

(13.32)

δ Θ3 = i 2 ⋅ δ i1 = − i1 ⋅ δ i 2 = T21δT11 + T22 δT12 + T23δT13 . C/1. Virtuális elfordulások a nyírási alakváltozások elhanyagolása esetén Vékony felületszerkezeteknél (az esetleges normálerők mellett) alapvetően a hajlítási hatások a jelentősek, a nyírási hatások kicsik és így elhanyagolhatók. Ez jelen esetben γ 61 = γ 62 = γ 6 = 0 feltételt jelenti és így: i = i ˆ , i = i ˆ illetve Tˆ = T , Tˆ = T , (13.33) 1

1

2

2

1i

1i

2i

2i

valamint Γ is egységmátrix lesz. Ha figyelembe vesszük, hogy ebben az esetben

187

( )

A virtuális elfordulások számításánál felhasználtuk a δi = Θ i = Θ T j = δ T j

összefüggést,

valamint a kiindulási bázisra érvényes δ j = 0 feltételt. Ennek segítségével (13.32) végül δi =δT T módon számítható. 10.06.20.

T

208


Előadásvázlat

T112 + T122 + T132 = T212 + T222 + T132 =1 (13.34) feltétel is teljesül, akkor az él-alakváltozások variációiból a következőt kapjuk: 0 0 δ e1 = T11 δ (u, x − vk50 + wk10 ) + T12 δ (v, x + uk50 + wk61 ) + T13δ (w, x − uk10 − vk61 ) , (13.35) δ e2 = T21 δ (u, y − vk40 + wk620 ) + T22δ (v, y + uk40 + wk20 ) + T23δ ( w, y − uk620 − vk20 ) Írjuk fel i1 és i 2 variációit a transzformációs képletek variációinak segítségével: δi1 = j1δT11 + j2δT12 + j3δT13 = (13.36) 1 = (δu, x − k50δv + k10δw) j1 + (δv, x + k50δu + k610 δw) j2 + (δw, x − k10δu − k610 δv) j3  − 1 + e1 δe − 1 i1 , 1 + e1 δi 2 = j1δT21 + j2δT22 + j3δT23 = (13.37) 1 = (δu, y − k40δv + k620 δw) j1 + (δv, y + k40δu + k20δw) j2 + (δw, y − k620 δu − k20δv) j3  − 1 + e2 δe − 2 i2 . 1 + e2 Behelyettesítve ezeket a képleteket a virtuális elfordulásokra felírt δΘ1 = i 3 ⋅δi 2 , δΘ2 = −i 3 ⋅δi1 összefüggésekbe és felhasználva az egységvektorokra és variációikra felírt eddigi kapcsolati egyenleteket, a következőt kapjuk eredményül: (1 + e1 ) δΘ2 + T31 (δu, x − k50δv + k10δw) + T32 (δv, x + k50δu + k610 δw) + (13.38)

+T33 (δw, x − k10δu − k610 δv) = 0 , −(1 + e2 ) δΘ1 + T31 (δu, y − k40δv + k620 δw) + T32 (δv, y + k40δu + k20δw) + (13.39)

+T33 (δw, y − k620 δu − k20δv) = 0 . C/2. Virtuális elfordulások a nyírási alakváltozások figyelembevétele esetén Ha γ 6 nem zérus, akkor a Tˆ112 + Tˆ122 + Tˆ132 = Tˆ212 + Tˆ222 + Tˆ132 = 1 (13.40) ˆ elemeinek számítására alkalmazott képletekből kiindulva az egyenlőség, valamint T élek nyúlásainak variációira az alábbi összefüggéseket tudjuk felírni: δ e1 = Tˆ11δ t11 + Tˆ12δ t12 + Tˆ13δ t13 , (13.41) δ e = Tˆ δ t + Tˆ δ t + Tˆ δ t , 2

21

211

22

22

23

23

ahol

δ t11 =δ (1 + u, x − vk50 + wk10 ) =δ u, x − k50δ v + k10δ w ,

(13.42)

δ t12 =δ (v, x + uk50 + wk610 ) =δ v, x + k50δ u + k610 δ w , δ t13 =δ ( w, x − uk10 − vk610 ) =δ w, x − k10δ u − k610 δ v, δ t21 =δ (u, y − vk40 + wk620 ) =δ u, y − k40δ v + k620 δ w, δ t22 =δ (1 + v, y + uk40 + wk20 ) =δ v, y + k40δ u + k20δ w, δ t23 =δ ( w, y − uk620 − vk620 ) =δ w, y − k620 δ u − k20δ v . 10.06.20.

209


Előadásvázlat

Írjuk fel most az i1ˆ és i 2ˆ egységvektorok variációit:

1 ( j1δ t11 + j2δ t12 + j3δ t13 − i1ˆδ e1 ) , 1 + e1 1 δ i 2ˆ = ( j1δ t21 + j2δ t22 + j3δ t23 − i 2ˆ δ e2 ) . 1 + e2 Mivel sin γ6 = i1ˆ ⋅ i 2ˆ , variációja a szükséges helyettesítések után:

δ i1ˆ =

(13.43) (13.44)

δ γ6 = (δ i1ˆ ⋅ i 2ˆ + i1ˆ ⋅δ i 2ˆ ) / cos γ 6= (13.45) (Tˆ − sin γ 6Tˆ11 )δ t11 + (Tˆ22 − sin γ 6Tˆ12 )δ t12 + (Tˆ23 − sin γ 6Tˆ13 )δ t13 = 21 + cos γ 6 (1 + e1 ) (Tˆ − sin γ 6Tˆ21 )δ t21 + (Tˆ12 − sin γ 6Tˆ22 )δ t22 + (Tˆ13 − sin γ 6Tˆ23 )δ t23 . + 11 cos γ 6 (1 + e2 ) Az egyes komponensek variációi: (1 + e2 ) cos γ 62 δ γ 6 − sin γ 61 δ e1 + sin γ 62 δe2 δ γ 61 = , (13.46) (1 + e1 ) cos γ 61 + (1 + e2 ) cos γ 62 (1 + e1 ) cos γ 61 δ γ 6 + sin γ 61 δ e1 − sin γ 62 δe2 δ γ 62 = . (13.47) (1 + e1 ) cos γ 61 + (1 + e2 ) cos γ 62 Az elfordulások variációi végül (felhasználva a i 3 ⋅ i1ˆ =i 3 ⋅ i 2ˆ = 0 értéket): cos γ 61 sin γ 62 δ Θ1 = δ i 2 ⋅ i3 = δ i 2ˆ ⋅ i 3 − δ iˆ ⋅ i3 = (13.48) cos γ 6 cos γ 6 1 cos γ 61 sin γ 62 = (T31δ t21 + T32δ t22 + T33δ t23 ) − (T31δ t11 + T32δ t12 + T33δ t13 ) . cos γ 6 (1 + e2 ) cos γ 6 (1 + e1 ) sin γ 61 cos γ 62 δ Θ2 = −δ i1 ⋅ i3 = δ i 2ˆ ⋅ i 3 − δ iˆ ⋅ i3 = (13.49) cos γ 6 cos γ 6 1 sin γ 61 cos γ 62 = (T31δ t21 + T32δ t22 + T33δ t23 ) − (T31δ t11 + T32δ t12 + T33δ t13 ) . cos γ 6 (1 + e2 ) cos γ 6 (1 + e1 ) 1 1 δ Θ3 = (δ i1 ⋅ i 2 −δ i 2 ⋅ i1 ) = δ γ 62 −δ γ 61 + (δ i ˆ ⋅ i ˆ −δ i 2ˆ ⋅ i1ˆ ) = (13.50) 2 2 cos γ 6 1 2 (Tˆ − sin γ 6Tˆ11 )δ t11 + (Tˆ22 − sin γ 6Tˆ12 )δ t12 + (Tˆ23 − sin γ 6Tˆ13 )δ t13 = 21 − 2 cos γ 6 (1 + e1 ) (Tˆ − sin γ 6Tˆ21 )δ t21 + (Tˆ12 − sin γ 6Tˆ22 )δ t22 + (Tˆ13 − sin γ 6Tˆ23 )δ t23 − 11 +δ γ 62 −δ γ 61 . 2 cos γ 6 (1 + e2 ) D./ A görbületek variációi A (13.48-13.50) alatti variációkat, valamint a (13.28), (13.29) és (13.31) alatti összefüggéseket figyelembe véve integráljuk ezen változók és egy tetszőleges m nyomaték szorzatát a deformálatlan „A” területű elemen (X és Y jelen esetben x és y peremértékeit jelentik)188:

188

Megjegyezzük, hogy mindegyik egyenletben alkalmaztunk parciális integrálást, lásd például (13.51)-ben −mi3 δi1, x tag átalakítását.

10.06.20.

210


Előadásvázlat

∫ mδ k

1

dx dy = ∫ m (−i1, x ⋅δ i 3 − i 3 ⋅δ i1, x ) dx dy =

A

(13.51)

A

  ∂m = ∫ −m i1, x ⋅δ i 3 + i 3 ⋅δ i1 + mi 3, x ⋅δ i1  dx dy − ∫ mi 3 ⋅δ i1   ∂x A y

x= X x=0

  ∂m = ∫  mk5δ Θ1 − δ Θ2 + mk61δ Θ3  dx dy + ∫ mδ Θ2   ∂x A y

∫ mδ k

2

dy =

x= X x=0

dy ,

dx dy = ∫ m (−i 2, y ⋅δ i 3 − i 3 ⋅δ i 2, y ) dx dy =

A

(13.52)

A

  ∂m = ∫ −m i 2, y ⋅δ i 3 + i 3 ⋅δ i 2 + mi 3, y ⋅δ i 2  dx dy − ∫ mi 3 ⋅δ i 2  ∂y  A

y =Y y =0

dx =

x

  ∂m = ∫ mk4δ Θ2 + δ Θ1 − mk62δ Θ3  dx dy + ∫ mδ Θ1   ∂y A

∫ mδ k

61

A

y =Y y =0

x= X  ∂m  dx dy = ∫  δ Θ1 + mk5δ Θ 2 − mk1δΘ3  dx dy − ∫ mδ Θ1 x =0 dy , ∂x  A y

 ∂m  y =Y dx dy = ∫  − δ Θ1 + mk4 δ Θ1 + mk2 δΘ3  dx dy + ∫ mδ Θ 2 y = 0 dx , ∂y  A A x  ∂m  y =Y ∫A mδ k4 dx dy = ∫A  − ∂y δ Θ3 − mk2δ Θ2 − mk62δΘ1  dx dy + ∫x mδ Θ3 y =0 dx ,

∫ mδ k

62

∫ mδ k

5

A

dx ,

x

 ∂m  dx dy = ∫  − δ Θ3 − mk1δ Θ1 − mk61δΘ 2  dx dy − ∫ mδ Θ3 ∂x  A y

x= X x=0

dy .

(13.53) (13.54) (13.55) (13.56)

Ezeket az egyenleteket tömör mátrix formában is megadhatjuk (a képletekben I az egységmátrix): x= X  −δ k61   δ Θ1   δ Θ1   ∂m       (13.57) ∫A m  δ k1  dx dy = − ∫A  ∂x I + mK 1  δ Θ2  dx dy + ∫y m δ Θ2  dy ,  δ k5   δ Θ3   δ Θ3  x = 0 y =Y

 −δ k2   δ Θ1   δ Θ1   ∂m       (13.58) ∫A m  δ k62  dx dy = − ∫A  ∂y I + mK 2  δ Θ2  dx dy + ∫x m δ Θ2  dx .  δ k4   δ Θ3   δ Θ3  y =0 Integrálva a fenti két egyenletet kapjuk a végeredményt:  −δ k61   δ Θ1   δ Θ1   −δ k2   δ Θ1   δ Θ1   δ k  = ∂  δ Θ  − K δ Θ  ,  δ k  = ∂  δ Θ  − K  δ Θ  . (13.59) 1  2 1 2  62  2 2  2  ∂x  ∂y   δ k5   δ Θ3   δ Θ3   δ k4   δ Θ3   δ Θ3  A fenti egyenletek azt mutatják, hogy a görbületek variációi az eltolódásoktól, valamint azok első és második deriváltjaitól függenek: δk j ⇐ δu, δv, δw, δu, x , δv, x , δw, x , δu, y , δv, y , δw, y , δu, xx , δv, xx , δw, xx , δu, yy , δv, yy , δw, yy , δu, xy , δv, xy , δw, xy E./ Lokális elmozdulások és a Jaumann-alakváltozások Az ebben a pontban közölt levezetések a későbbiekben a nemlineáris felületszerkezetei vizsgálatoknál lesznek fontosak, a lineáris elemzéseknél kihagyhatók.

10.06.20.

211


Előadásvázlat

Az ábra az AB deformálatlan szakaszt, majd terhelés utáni új alakját ( A′B′ ) ábrázolja. Az „A” és „B” pontok helyzetvektorai: ∂R A 0 R A = R o + z j3 , R B = R B + dx = R A + (1 + zk10 ) j1 + zk 61 j 2 dx , ∂x ∂R o ahol = j1 . Az ábrán látható d~ x él-hosszt az alábbiak szerint számítjuk: ∂x AB 1 dx% = R A − R B = τ dx , j1% = = (1 + zk10 ) j1 + zk610 j2  dx , dx% τ ahol

[

τ=

(1 + zk ) + ( zk ) 0 2 1

0 2 61

]

.

(13.60)

(13.61)

(13.62)

13.3. ábra: Görbült vonalszakasz kezdeti és deformált állapota 0 kezdeti csavarási görbület Megjegyezzük, hogy j1 = j~1 csak abban az esetben teljesül, ha k 61 értéke zérus. Az „A” pont elmozdulásvektora, illetve x szerinti deriváltja Voigt jelölésekkel: u = [u v w] J + z i3 − z j3 . (13.63)

∂u = u,x v,x w,x  J + [u v w] K10 J + z k1 i1 + k61 i2 + j1 − τ j1% . (13.64) ∂x ɶ A ξ tengely menti lokális alakváltozás (ismét tenzorjelöléssel):   ∂u dx + dxɶ jɶ1 − u⋅ iɶ1 − dxɶ u + 1 ∂u  ∂x ε11 = = ⋅ iɶ + jɶ ⋅ iɶ −1, (13.65) dxɶ τ ∂x 1 1 1 ahol iɶ1 a ɶξ tengely irányába eső egységvektor. Ha a feladatnál elhanyagoljuk a nyírási

(

)

hatásokat, az A′ és B ′ pontok helyzetvektorai: R A ′ = R O ′ + zi 3 , ∂R A′ R B′ = R A′ + dx = R A′ + (1 + e1 + zk1 ) i1 + zk61i 2  dx , ∂x 10.06.20.

(13.66) (13.67) 212


Előadásvázlat

ahol ∂R O ′ / ∂x = (1 + e1 )i1 .

(13.68)

Az előbb említett iɶ1 értékét is ki tudjuk számítani ezeknek a helyzetvektoroknak a segítségével: R -R 1 iɶ1 = B ′ A′ = (1 + e1 + zk1 )i1 + zk61i 2  , (13.69) ɶ τ A′ B′ ahol ɶ τ = (1 + e1 zk1 ) 2 + ( zk61 ) 2 .

(13.70) Megjegyezzük, hogy ha a lokális elmozdulásokból keletkező lokális elfordulások hatása elhanyagolható, akkor az egységvektor képlete egyszerűsödik: 1 0  (13.71) iɶ1 =  1 + e1 + zk10 i1 + zk61 i2  .   τ Ez az egyszerűsítés lényegében a kis alakváltozások hatásának elfogadását jelenti.

(

)

Ha az egységvektorra és elmozdulás-deriváltra kapott képleteket behelyettesítjük az ε11 alakváltozásra felírt összefüggésbe, akkor a következőt kapjuk: 1 + e1 + zk1 0 (13.72) ((u, x − vk50 + wk10 )T11 + (v, x + uk50 + wk61 )T12 + ε11 = ɶ ττ zk 0 0 +( w, x − uk10 − vk61 )T13 + zk1 + T11 ) + 61 ((u, x − vk50 + wk10 )T21 + (v, x + uk50 + wk61 )T22 + ɶ ττ 1 + e1 + zk1 0 0 +( w, x − uk10 − vk61 )T23 + zk61 + T21 ) − i1ɶ ⋅ j1ɶ + j1ɶ ⋅ i1ɶ −1 = [1 + e1 + zk1 ] + ɶ ττ ɶ zk τ + 61 [ (1 + e1 )i1 ⋅ i 2 + zk61 ]−1= −1 . ɶ ττ τ Sorfejtés és elhanyagolások után az alábbi egyszerűsített változatát szokás használni a fenti képletnek: ε11 = e1 + z k1 − (1 + e1 )k10 . (13.73)

[

]

~ 0 Megjegyezzük, hogy ebben az egyszerűsített változatban nem szerepel k 61 , így a ξ és ξ tengelyek menti tengelyirányú alakváltozások megegyeznek ( i ~1 = i 1 ). Az ( 1 + e1 ) tényezőre azért van szükség, mert k1 nem valódi görbület ( k10 viszont igen), és ε11 − t a deformálatlan hosszhoz viszonyítva definiáltuk. Ha e1 kicsiny ( 1 + e1 ≅ 1 ), akkor a most felírt redukált alak még tovább egyszerűsíthető: ε11 = e1 + z (k1 − k10 ) . (13.74) Mivel a merevtestszerű mozgásokból nem keletkezik alakváltozás, a ζ tengelyt rögzíteni lehet, és a hozzá nagyon közeli pontok elmozdulásait az alábbi módon is fel lehet írni: u1 ( x, y,z,t ) = u10 ( x, y,t ) + z  Θ2 ( x, y,t ) − Θ 20 ( x, y )  ,

u2 ( x, y,z,t ) = u20 ( x, y,t ) − z Θ1 ( x, y,t ) − Θ10 ( x, y )  ,

(13.75)

u3 ( x, y,z,t ) = u30 ( x, y,t ) . Ezekben az egyenletekben u i0 (i = 1, 2, 3) azoknak a referenciapontoknak a lokális koordinátarendszerhez viszonyított elmozdulásait jelenti, amelyek a referenciafelületen vannak. Θ1 és Θ 2 a megfigyelt héjelem ξ és η tengelyekhez viszonyított elfordulásait 10.06.20.

213


Előadásvázlat

jelenti, Θ10 és Θ 20 pedig ugyanezekhez a tengelyekhez viszonyított kezdeti elfordulás értéke. Mivel a ξ, η, ζ lokális koordinátarendszer a megfigyelt héjelemhez illesztett rendszer és a ξ, η sík érintősíkja a deformálódott referenciafelületnek, akkor erre a lineáris változatra felírhatók az alábbi összefüggések: u10 = u20 = u30 = Θ1 = Θ2 = Θ10 = Θ20 = ∂u30 / ∂x = ∂u30 / ∂y = 0 , (13.76)

∂u10 ∂u20 ∂u10 ∂u20 + e1 = , e2 = , γ6 = , ∂x ∂y ∂y ∂x ∂Θ2 ∂Θ ∂Θ ∂Θ2 k1 = , k2 = − 1 , k61 = − 1 , k62 = , k6 = k610 + k620 , ∂x ∂y ∂x ∂y ∂Θ 20 0 ∂Θ ∂Θ ∂Θ20 0 k10 = , k2 = − 10 , k610 = − 10 , k620 = , k6 = k610 + k620 . ∂x ∂y ∂x ∂y A felületszerkezetek vizsgálatánál használatos, úgynevezett Jaumann-féle alakváltozás a deformált rendszerhez tartozó lokális elmozdulásvektor segítségével az alábbi formában adható meg: ∂u u l = u1i1 + u 2 i 2 + u 3 i 3 ⇒ ε J = l ⋅ i 1 = e1 + z (k1 − k10 ) ≡ ε11 , (13.77) ∂x vagyis a Jaumann-féle alakváltozás megegyezik ε11 alakváltozás korábban számított értékével.

Lemezek189 vizsgálata A továbbiakban bemutatjuk a lemezek kis geometriai változásokhoz tartozó, statikus és dinamikus hatásokat egyaránt figyelembe venni képes alapegyenleteit. Először azzal a modelltípussal foglalkozunk, amikor a nyírás hatását (a Bernoulli-Navier-gerendamodellhez hasonlóan) nem vesszük figyelembe, majd áttekintjük a nyírási hatások modellezési technikáját is.

A./ Kirchhof-Love-féle „klasszikus” lemezmodell A vizsgálat során feltételezzük, hogy a deformálódott keresztmetszetek síkok maradnak és alakváltozás után is merőlegesek a referenciasíkra (ez a nyírás hatásának elhanyagolását jelenti). A/1. Derékszögű négyszög alaprajzú lemezek A lemez mérete 0 ≤ x ≤ a és 0 ≤ y ≤ b között változik. A 13.4. ábra a deformáció előtt és után egy elemi hasáb segítségével ábrázolja a változásokat (h a lemez vastagsága). Egy tetszőleges pont (kicsiny) eltolódásai az alábbi módon számíthatók: u1 = u + zΘ2 = u − zw, x , u2 = v − zΘ1 = v − zw, y , u3 = w,

(13.78)

ahol u, v és w a referenciapont x, y és z irányú elmozdulásai. Az alakváltozások:

189

A lemez fogalmának mechanikai definícióját a BSc „Tartók Statikája” című tárgy adta meg.

10.06.20.

214


ε11 =

Előadásvázlat

∂u1 ∂u = u, x − zw, xx , ε 22 = 2 = v, y − zw, yy , ∂x ∂y

(13.79)

13.4. ábra: Elemi hasáb deformáció előtt és után

∂u1 ∂u2 + = u, y + v, x − 2 zw, xy , ε33 = ε13 = ε 23 = 0 . ∂y ∂x A lemezelméletnek azt a változatát, amikor a fenti feltételeket elfogadjuk, Kirchhoff-Love190-modellnek (vagy más néven „klasszikus” modellnek) nevezzük. Az elmozdulásvektor és idő szerinti deriváltjai (a j egységvektorok az x ,y, z rendszerhez tartoznak) az alábbi egyenletekkel adhatók meg: ɺɺ (uɺɺ − zw ɺɺ, x ) j1 + (vɺɺ − zw ɺɺ, y ) j2 + w ɺɺ j3 , u = u1j1 +u2 j2 +u3 j3 , u= ε12 =

illetve u variációja:

δ u = (δ u − zδ w, x ) j1 + (δ v − zδ w, y ) j2 + δ wj3 .

(13.80) (13.81)

A gyorsulásvektor és az elmozdulás-variáció segítségével már felírható a rendszer kinetikus energiájának variációja a Hamilton-elv képletéhez: ɺɺ ⋅δ u dA dz =− ∫ (( I 0uɺɺ − I1w ɺɺ, x ) δ u + ( I 0vɺɺ − I1w ɺɺ, y ) δ v + I 0 w ɺɺ δ w + δ K = −∫ ∫ ρu (13.82) z A

A

ɺɺ, x − I1uɺɺ) δw, x + ( I 2 w ɺɺ, y − I1vɺɺ) δ w, y ) dA = +( I 2 w

{

}

ɺɺ, x )δ u + ( I 0 vɺɺ − I1w ɺɺ, y )δ v +  I 0 w ɺɺ − ( I 2 w ɺɺ, x − I1uɺɺ), x − ( I 2 w ɺɺ, y − I1vɺɺ), y  δ w dA − −∫ ( I 0uɺɺ − I1w   A 190

Augustus Edward Hough Love (1863 – 1940) angol fizikus, sokat foglalkozott szilárdságtani kérdésekkel. Kiváló mechanikai tankönyvei nagyban hozzájárultak a mérnökképzés színvonalának emeléséhez. Kirchhoff és Love életrajza és a lemezmodell létrejöttének történetét bemutató összefoglaló a Tanszék honlapján olvasható „Kirchoff, Love és a klasszikus lemezmodell” címen. A lap jobb oldalán látható kettőjük fényképe (baloldalt Kirchhoff). 10.06.20.

215


Előadásvázlat

x=a ɺɺ, x − I1uɺɺ ɺɺ − I uvɺɺ −∫  I 2 w δ w dy − ∫  I 2 w   x =0  , y 1  y

x

y =b

δ w dx ,

y =0

ahol

[ I 0 I1 I 2 ] = ∫ ρ 1 z z 2  dz .

(13.83)

z

Megjegyezzük, hogy I1 = 0 , ha a sűrűség állandó, és a referenciasík megegyezik a középsíkkal. Számítsuk ki most a potenciális energia variációját az alakváltozások segítségével191 (itt, és a további képletekben q3 a z irányú megoszló terhelést jelenti): δ Πt = ∫

∫ [σ11δ ε11 + σ22δ ε22 + σ33δ ε33 + σ23δ ε23 + σ13δ ε13 + σ12δ ε12 ] dA dz − ∫ q3δw dA =

z A

=∫

A

∫ σ11 (δu, x − zδ w, xx ) + σ22 (δv, y − zδ w, yy ) + σ12 (δu, y + δ v − 2 zδ w, xy ) dz dA − ∫ q3δwdA =

A z

A

= −∫  N1δ u x + N 6δ u y + N 2δ v y + N 6δ vx − M1δ wxx − M 2δ wyy − 2M 6δ wxy − q3δw dA = A

= −∫  ( N1, x + N 6, y )δ u + ( N 2, y + N 6, x )δ v + ( M1, xx + M 2, yy + 2M 6, xy − q3 )δ w dA +   A x=a + ∫  N1δ u + N 6δ v + ( M 1, x + 2 M 6, y )δ w − M 1δ w, x  dy +   x =0

(13.84)

y

y=b ( x , y )=(0,0),( a ,b ) +∫  N6δ u + N 2δ v + ( M 2, y + 2M 6, x )δ w − M 2δ w, y  dx − 2M 6δ w ( x, y )=( a,0),(0,b) ,   y=0 x

ahol [ N1 N 2

N 3 ]= ∫ [σ11 σ22

σ12 ] dz és [ M1

M2

M 3 ] = ∫ [σ11 σ22

z

σ12 ] z dz . (13.85)

z

13.5. ábra: Igénybevételek A feszültségek és az alakváltozások kapcsolata mátrix alakban:

191

A jobb oldalon levő első integrál az általános alak, utána következik a jelenlegi modellnek megfelelő változat.

10.06.20.

216


Előadásvázlat

 u,x   N1   v  N  ,y 2       u,x   w,xx    σ11    u + v   N    6 σ  = D   v %  , y ,x  . (13.86) z w D − ⇒ =     , y , yy 22       − w,xx  M1         2 w,xy   σ12     M   u, y + v,x   − w, yy  2      M 6   −2 w,xy  Helyettesítsük be most a gerendamodellezésnél is használt Hamilton-féle variációs elv képletébe az eddig kiszámított energiavariációkat. Emlékeztetőül (lásd még az előző fejezetet illetve a „Függelék” D pontját): t

∫ (δΠ

b

+ δΠ k −δK ) dt = 0 .

(13.87)

0

Ha a δ u, δ v és δ w elmozdulás-variációkat zérussal tesszük egyenlővé, továbbá a külső potenciálnál figyelembe vesszük a lineáris csillapítás hatását is ( µ i csillapítási együtthatókkal), akkor a következő három mozgásegyenletet kapjuk: &&,x + µ1u, & N1,x + N 6 , y = I 0u&& − I1w

(13.88)

&&, y + µ 2 v, & N 6 ,x + N 2 , y = I 0 v&& − I1w

(

)

&& − ( I 2 w &&,x − I1u&&) − I 2 w &&, y − I1v&& M 1,xx + 2 M 6 ,xy + M 2 ,yy = q3 + I 0 w ,x

,y

+ µ3 w& .

Ahogy azt már a gerendamodell bemutatásánál említettük, a fenti egyenletek tényleges megoldása során alkalmazott peremfeltételek a megoldási módszer típusától függenek: &&, x ; x = 0, a ⇒ δ u = 0 vagy N1 ; δ v = 0 vagy N6 ; δ w = 0 vagy M1, x + 2M 6, y − I1u&& + I 2 w

illetve δ w, x = 0 vagy M1 .

(13.89)

&&, y ; y = 0, b ⇒ δ u = 0 vagy N6 ; δ v = 0 vagy N 2 ; δ w = 0 vagy M 2, y + 2M 6, x − I1v&& + I 2 w illetve δ w, y = 0 vagy M 2 .

( x, y ) = (0,0),(a, b),(a,0),(0, b) ⇒

(13.90)

δ w = 0 vagy M 6

(13.91)

A belső potenciális energia felírásánál az előző ábrán látható Q1 és Q2 keresztirányú nyíróerő-komponenseket is figyelembe vehetjük192. Ekkor a variáció függvénye: δ Π t = ∫ ( N1δ u, x + N 6δ u, y + N 2δ v, y + N 6δv, x − M 1δ w, xx − M 2δ w, yy − (13.92) A

−M 6 δ w, xy − M 6δw, yx − q3δw + Q1δ w, x + Q2δ w, y − Q1δ w, x − Q2δ w, y ) dA = = − ∫ ( N1, x + N6, y )δ u + ( N 2, y + N 6, x )δ v + (Q1, x + Q2, y − q3 )δ w −( M 1, x + M 6, y − Q1 )δ w, x − A

−( M 2, y + M 6, x − Q2 )δ w, y ) dA + ∫ ( N1δ u + N 6δ v + (Q1 + M 6, y )δ w − M1δ w, x )

x =a x =0

dy +

y

+ ∫ ( N 6 δ u + N 2 δ v + (Q2 + M 6, x )δ w − M 2 δ w, y )

y =b y =0

( x , y ) = (0,0),( a ,b )

dx − 2M 6 δ w ( x , y ) =( a ,0),(0,b ) .

x

Ha ezt helyettesítjük be a Hamilton-féle variációs elv képletébe, és δ u, δ v, δ w, δ w, x és δ w, y variációk zérus értékét vesszük figyelembe, akkor az átalakított mozgásegyenletek új alakban: 192

A módosítás az összenergiát nem változtatja meg.

10.06.20.

217


Előadásvázlat &&,x + µ1u, & N1,x + N 6 , y = I 0u&& − I1w &&, y + µ 2 v, & N 6 ,x + N 2 , y = I 0 v&& − I1w && + µ3 w, & Q1,x + Q2 , y = q3 + I 0 w

(13.93)

&&, y − I1v, && − M 6 ,x − M 2 ,y + Q2 = I 2 w &&,x + I1u. && M 1,x + M 6 , y − Q1 = − I 2 w

Az ehhez a változathoz illeszkedő peremfeltételek: x = 0, a ⇒ δ u = 0 vagy N1 ; δ v = 0 vagy N6 ; δ w = 0 vagy Q1 + M 6, y ; δ w, x = 0 vagy M1 , (13.94)

y = 0, b ⇒ δ u = 0 vagy N6 ; δ v = 0 vagy N 2 ; δ w = 0 vagy Q2 + M 6, x ; δ w, y = 0 vagy M 2 , (13.95)

( x, y ) = (0, 0), (a, b), (a, 0), (0, b) ⇒

δw = 0 vagy M 6 .

(13.96)

Megjegyezzük, hogy ha a most bemutatott öt egyenlet közül az elsőt balról (vektoriálisan) megszorozzuk j1 × -tel, a másodikat j2 × -tel, a harmadikat j3 × -tel, a negyediket j1 × -tel és az ötödiket j2 × -tel, majd összeadjuk őket és még hozzájuk adjuk a j3 × ( N 6 − N 6 ) zérusértékű tagot, akkor az átalakított egyenleteket az alábbi tömör mátrixegyenletek formájában írhatjuk fel: ∂Fα ∂Fβ ∂M α ∂M β + = IF , + + j1 × Fα + j2 × Fβ = I M , (13.97) ∂x ∂y ∂x ∂y ahol Fα = N1 j1 + N6 j2 + Q1 j3 , Fβ = N6 j1 + Nj2 + Q2 j3 , M α = − M 6 j1 + M 1 j2 , (13.98) &&, y − I1v&&) j1 + (− I 2 w &&, x + I1u&&) j2 , Mβ = −M 2 j1 + M 6 j2 , I M = ( I 2 w (13.99)

&&, x + µ1u& ) j1 + ( I 0v&& − I1w &&, y + µ2v&) j2 + (q3 + I 0 w && + µ3 w& ) j3 . I F = ( I 0u&& − I1w

(13.100)

Mivel ennél a „klasszikus” modellnél a keresztirányú nyírási alakváltozást zérusnak tételeztük fel, az öt mozgási alapegyenletből az utolsó kettő adja Q1 és Q2 értékét. Ezeket felhasználva: &&, y − I1v&&, Q2 = M 2, y + M 6, x + I 2 w (13.101) &&, x − I1u&&. Q1 = M 1, x + M 6, y + I 2 w Mivel az általunk most vizsgált lemez homogén – izotróp, ebben az esetben a feszültségek és a fajlagos igénybevételek az alábbi anyagi paraméterek segítségével számolhatók:  w, xx  0  σ11  1 ν   u, x  E     σ  = ν 1  0 v − z  w, yy  ,  22  1 − ν 2    ,y   2 w, xy   σ12   0 0 (1 − ν) / 2  u, y + v, x    (13.102) 0  N1  1 ν   u, x     N  = Eh ν 1  (13.103) 0 v ,  2  1 − ν2    ,y   N 6   0 0 (1 − ν ) / 2  u, y + v, x  0  M1  1 ν   w, xx  3    M  = − Eh ν 1  (13.104) 0 w, yy  . 2 2     12(1 − ν )   M 6   0 0 (1 − ν) / 2   2 w, xy 

10.06.20.

218


Előadásvázlat

Ha ezeket az igénybevétel-elmozdulás kapcsolati egyenleteket behelyettesítjük az első három mozgásegyenletbe, akkor azok a következő alakot öltik ( I1 = 0 és I 2 = ρh 3 / 12 értékkel számolva, mivel feltételezzük, hogy a sűrűség állandó és a referenciafelület a középsík): Eh3  1 1  u + (1 + ν)v, xy + (1 − ν )u, yy  = ρ hu&& + µ1u&, 2  xx 1− ν  2 2  (13.105) 3 Eh  1 1  v yy + (1 + ν )u, xy + (1 − ν )v, xx  = ρ hv&& + µ 2 v&, 1 − ν 2  2 2 

Eh3 1 && + ρh3 ( w &&, xx + w &&, yy ) − µ3 w& . ∆∆w = q3 − ρhw 2 12(1 − ν ) 12 A lemez síkjába eső és rá merőleges eltolódások ennél a modellnél függetlenek egymástól. Egyensúlyi feladatok esetén az első két egyenlet jobb oldala zérus, és a harmadiknál is csak a külső (általában megoszló) terheket kell figyelembe venni. Megjegyezzük, hogy ezeknél a feladatoknál az utolsó egyenletet szokás a klasszikus elmélet Kirchhoff-Love differenciálegyenletének nevezni. A/2. Különleges alaprajzok: kör alaprajzú lemezek Az ábrán látható R sugarú, h vastagságú lemezt vizsgáljuk.

13.6. ábra: Kör alakú lemez Egy elemi méretű résznél193: ∂j1 1 ∂j 1 = j2 , 2 = − j1 . (13.106) ∂y r ∂y r A j1 , j2, j3 bázisvektorok minden más térbeli deriváltja zérus. A kezdeti görbületek közül dx = dr , dy =r d Θ ⇒

193

A képlet levezetésénél vegyük figyelembe a (13.2) és (13.3) alatt P = r cos Θ i a + r sin Θ ib → j1 = cos Θ i a + sin Θ i b , j 2 = −r sin Θ i a + r cos Θ ib , vagyis:

∂ j1 ∂Θ

= − sin Θi a + cos Θi b =

10.06.20.

leírtakat:

1 j , stb. r 2 219


Előadásvázlat 1 0 k10 = k20 = k610 = k620 = k50 = 0, K 1 = 0, k40 = . r

Az elmozdulásvektor:

z   u = u1 j1 + u2 j2 + u3 j3 = ( u − zw, r ) j1 +  v − w, Θ  j2 + w j3 . r  

(13.107)

Deriváltjai:

∂u z z   = (u, r − zw, r r ) j1 +  v, r − w, rΘ + 2 w, Θ  j2 + w, r j3 , (13.108) ∂x r r   ∂u 1  z 1 z 1   =  u, Θ − zw, rΘ − v + w, Θ  j1 +  v, Θ − w, ΘΘ + u − zw, r  j2 + w, Θ j3 , ∂y r  r r r r   (13.109) ∂u 1 (13.110) = − w, r j1 − w, Θ j2 . ∂z r Az alakváltozások: ∂u ⋅ j1 = u, r − zw, rr , ∂x 1 1 ∂u  ε 22 = ⋅ j2 =  v, Θ + u − z ( w, ΘΘ + w, r )  , r r ∂y  1 2 ∂u ∂u  ε12 = ⋅ j2 + ⋅ j1 = v, r + u, Θ − v − z (2 w, rΘ − w, Θ )  , ∂x ∂y r r  ε33 = ε13 = ε 23 = 0 . ε11 =

(13.111)

Az elmozdulásvektor idő szerinti második deriváltját illetve variációját helyettesítsük be a kinetikus energia előzőekben is használt képletébe: 1 &&, r )δ u + ( I 0v&& − I1w &&, Θ )δ v + I 0 w &&δ w + ( I 2 w &&, r − I1u&&)δ w, r + (13.112) δ K = − ∫ (( I 0u&& − I1w r A 1 1 &&, Θ − I1v&&)δ w, Θ )r dr d Θ = + ( I2w r r 1 1 &&, r )δ u + ( I 0v&& − I1w &&, Θ )δ v + ( I 0 w && − ( I 2 rw &&, r − I1ru&&), r − = − ∫ (( I 0u&& − I1w r r A Θ=Θ

o r=R 1 1 1  &&, Θ − I1v&&), Θ )δ w)r dr d Θ − ∫  I 2 w &&, r − I1u&& δ wr d Θ − ∫  I 2 w &&, Θ − I1v&& − ( I2w δ w dr r r r   0 Θ= r Θ r =0 .

Helyettesítsük be az alakváltozásokat is a potenciális energia függvényébe: 1 1 1 δ Π t = ∫ ( N1δ u, r + N 6 δ u, Θ + N 2δ v, Θ + N 6δ v, r − M 1δ w, rr − 2 M 2 δ w, ΘΘ − r r r A 1 1 1 1 1 2 − M 6 δ w, rΘ − M 6 δ w, Θr + N 2 δ u − N 6 δ v − M 2 δ w, r + 2 M 6 δ w, Θ − q3δw + Q1δ w, r + r r r r r r 1 1 + Q2 δ w, Θ − Q1δw, r − Q2 δw, Θ )r dr d Θ = r r = − ∫ {(rN1 ), r + N 6, Θ − N 2 } δu + { N 2, Θ + (rN 6 ), r + N 6 } δv + A

10.06.20.

220


Előadásvázlat

1 + ((rQ1 ), r + Q2, Θ − q3 )δ w − ((rM 1 ), r + M 6, Θ − rQ1 − M 2 )δ w, r − ( M 2, Θ + rM 6, r − rQ2 + r r =R

1   +2M 6 )δ w, Θ )dr d Θ + ∫  N1δ u + N 6δ v + (Q1 + M 6, Θ )δ w − M 1δ w, r  r d Θ + (13.113) r  r =0 Θ Θ=Θ

o 1 ( r , Θ ) = (0,0),( R ,Θ )   + ∫  N 6 δ u + N 2δ v + (Q2 + M 6, r )δ w − M 2 δw, Θ  dr − 2M 6 δ w ( r ,Θ )= ( R ,0),(0,Θo ) . o r  Θ=0 r  A feszültségkomponensek:     u, r w, rr  σ11       σ  = D (v, Θ + u ) / r  − z  ( w, ΘΘ + rw ,r ) / r 2   . (13.114)  22      (u + rv − v) / r   (2rw, rΘ − 2w, Θ ) / r 2   ,r  σ12      ,Θ

Az igénybevételek: u, r    N1    N  (v, Θ + u ) / r    2  (u, Θ + rv, r − v) / r   N6  (13.115) .   = D%  w − M , rr 1      −( w, ΘΘ + rw, r ) / r 2  M 2     2  M 6   −(2rw, rΘ − 2 w, Θ ) / r  Ha ismét behelyettesítjük az energiafüggvényeket a Hamilton-féle variációs elvbe és δ u, δ v, δ w, δ wΘ és δ w, r zérus voltát, akkor a következő figyelembe vesszük mozgásegyenleteket kapjuk a kör alakú lemezre: ∂N1 1 ∂N 6 N1 − N 2 &&, r + µ1u& , (13.116) + + = I 0u&& − I1w ∂r r ∂Θ r ∂N 6 1 ∂N 2 2 N 6 I &&, Θ + µ 2 v& , (13.117) + + = I 0 v&& − 1 w ∂r r ∂Θ r r ∂Q1 1 ∂Q2 Q1 && + µ3 w& , (13.118) + + = q3 + I 0 w ∂r r ∂Θ r ∂M 6 1 ∂M 2 2 M 6 I &&, Θ − I1v&& , (13.119) − − − + Q2 = 2 w ∂r r ∂Θ r r ∂M 1 1 ∂M 6 M 1 − M 2 &&, r + I1u&& . (13.120) + + − Q1 = − I 2 w ∂r r ∂Θ r A peremfeltételek: 1 ∂M 6 r = 0, a ⇒ δ u = 0 vagy N1 ; δ v = 0 vagy N 6 ; δ w = 0, vagy Q1 + ; r ∂Θ δ w, r = 0 vagy M1 . (13.121)

Θ = 0, Θo ⇒δ u = 0 vagy N6 ; δ v = 0 vagy N 2 ; δ w = 0, vagy Q2 + M 6, r δ w, Θ = 0 vagy M 2 . (r , Θ) = (0, 0), ( R, Θ o ), ( R, 0), (0, Θ o ) ⇒ δ w = 0, vagy M 6 .

(13.122) (13.123)

Ha a lemez anyaga izotróp, akkor az igénybevételek számítása a klasszikus anyagi paraméterek segítségével adható meg:

10.06.20.

221


Előadásvázlat

  u, r   (13.124)  (v, Θ + u ) / r  , (u, Θ + rv, r − v) / r     0 w, rr  M1  1 ν    M  = Eh  ν 1  2 (13.125) 0 ( w + rw, r ) / r  .  2  1 − ν2    , ΘΘ 2  M 6   0 0 (1 − ν) / 2   (rw, rΘ − w, Θ ) / r  Ha ezeket az igénybevétel igénybevétel-elmozdulás elmozdulás függvényeket helyettesítjük be a harmadik, negyedik negyedi 3 és ötödik mozgásegyenletbe és figyelembe vesszük, hogy I1 = 0 és I 2 = ρh / 12 , valamint elimináljuk Q1 − et és Q2 − t , akkor az új mozgásegyenlet (az első kettő a vízszintes hatásokra csak az inercia inercia-tagoknál módosul): Eh3 ρh3 && && − µ3 w& . w q hw (13.126) ∆∆ = − ρ + ∆w 3 12 12 (1 − ν 2 )  N1   N  = Eh  2  1 − ν2  N 6 

0 1 ν  ν 1  0    0 0 (1 − ν) / 2 

Megjegyezzük, hogy itt természetesen a koordin koordinátarendszer átarendszer típusának megfelelő poláris ∆ ∂2 1 ∂ 1 ∂2 operátort kell alkalmaznunk (lásd a „„Függelék”-et: ∆ = 2 + + ). ∂r r ∂r r 2 ∂Θ 2 A/3. Általános alakú lemezek

13.7. ábra: Általános alakú lemez Az ábrán látható lemez görbült határfelületének megfelelően ilyenkor görbült ortogonális z, y, z koordinátarendszert célszerű használni. A határokra alkalmazzuk az 0 ≤ x ≤ X , 0 ≤ y ≤ Y feltételeket. A kezdeti görbületek: ∂j ∂j ∂j ∂j k10 = k20 = k610 = k620 = 0, 1 = k50 j2 , 2 = −k50 j1 , 1 = k40 j2 , 2 = − k40 j1 . (13.127) ∂x ∂x ∂y ∂y Az x,y,z rendszerben használt egységvektorok összes többi deriváltja zérus. Az elmozdulásvektor komponensei m megegyeznek egegyeznek a derékszögű lemeznél bemutatottal: u1 = u + zΘ2 = u − zw, x , u2 = v − zΘ1 = v − zw, y , u3 = w. (13.128) Az elmozdulás-deriváltak deriváltak a görbületek figyelembevételével: ∂u = (u, x − zw, xx − k50v + zk50 w, y ) j1 + (v, x − zw, yx + k50u − zk50 w, x ) j2 + w, x j3 ∂x

10.06.20.

,(13.129)

222


Előadásvázlat

∂u = (u, y − zw, xy − k40 v + zk40 w, y ) j1 + (v, y − zw, yy + k40u − zk40 w, x ) j2 + w, y j3 , (13.130) ∂y ∂u (13.131) = − wx j1 − wy j2 . ∂z Az alakváltozások: ∂u ε11 = ⋅ j1 = u, x − k50 v − z ( w, xx − k50 w, y ) , ∂x ∂u ε22 = ⋅ j2 = v, y − k40u − z ( w, yy − k40 w, x ) , (13.132) ∂y ∂u ∂u ε12 = ⋅ j2 + ⋅ j1 = u, y + v, x − k40 v + k50u − z ( w, xy + w, yx − k40 w, y + k50 w, x ) , ∂x ∂y ε33 = ε13 = ε 23 = 0 . A kinetikus energia variációja: &&, x )δ u + ( I 0v&& − I1w &&, y )δ v + I 0 w &&δ w + ( I 2 w &&, x − I1u&&)δ w, x + (13.133) δ K = − ∫ (( I 0u&& − I1w A

&&, y − I1v&&)δ w, y ) dA = − ∫ (( I 0u&& − I1w &&, x )δ u + ( I 0v&& − I1w &&, y )δ v + +( I 2 w A

&& − ( I 2 w &&, x − I1u&&), x − ( I 2 w &&, y − I1v&&), y  δ w )dA − ∫  I 2 w &&, x − I1u&& +  I 0 w

x= X x =0

δ w dy −

y

&&, y − I1v&& − ∫  I 2 w

y =Y y =0

δ w dx .

x

A potenciál variációja:

δ Π t = ∫ ( N1δ u, x + N 6δ u y + N 2δ v, y + N 6δ v, x − M 1δ w, xx − M 2δ w, yy − M 6 δ w, xy − M 6δ w, yx + A

+ k40 N 2δ u − k40 N 6δ v − k40 M 2 δ w, x + k40 M 6δ w, y + k50 N 6δ u − k50 N1δ v − k50 M 6δ w, x + k50 M1δ w, y −

−q3δw + Q1δ w, x + Q2 δ w, y − Q1δ w, x − Q2δ w, y ) dA = = − ∫ (( N1, x + N 6, y − k40 N 2 − k50 N 6 )δ u + ( N 2, y + N 6, x + k40 N 6 + k50 N1 ) δ v + (Q1, x + Q2, y − q3 )δ w − A

−( M1, x + M 6, y − Q1 − k40 M 2 − k50 M 6 )δ w, x − ( M 2, y + M 6, x − Q2 + k40 M 6 + k50 M1 )δ w, y ) dA + + ∫ ( N1δ u + N 6 δ v + (Q1 + M 6, y )δ w − M 1δw, x ) xx ==0X dy + y

( x , y ) = (0,0),( X ,Y )

+ ∫ ( N 6 δ u + N 2 δ v + (Q2 + M 6, x )δ w − M 2 δw, y ) yy ==Y0 dx − 2 M 6 δ w ( x , y )= ( X ,0),(0,Y ) .

(13.134)

x

A feszültségek:  σ11  σ  = D  22   σ12  és az igénybevételek:

10.06.20.

    u, x − k50 v w, xx − k50 w, y     0 0 v, y + k4 u wyy + k4 w, x  −z   , (13.135) 0 0  u + v − k 0 v + k 0 u   w, xy + w, yx − k4 w, y + k5 w, x   5     , y , x 4

223


Előadásvázlat

  u, x − k50 v  N1    N  0 v + k u , y 4 2     0 0    N6  u, y + v, x − k4 v + k5 u (13.136) .   = D%  − w, xx + k50 w, y    M1    M 2  − w, yy − k40 w, x     0 0  M 6   − w, xy − w, yx + k4 w, y − k5 w, x  ɶ mátrixok az anyagi merevségeket, vagyis az A képletekben szereplő D és D

anyagmodelleket képviselik. Most is behelyettesítjük az energiafüggvények variációit a Hamilton-féle variációs elv képletébe, majd δ u, δv, δ w, δw, x és δ w, y zérus értékét figyelembe véve felírjuk az általános mozgásegyenleteket: &&, x + µ1u&, N 6, x + N 2, y + k40 N 6 + k50 N1 = (13.137) N1, x + N 6, y − k40 N 2 − k50 N 6 = I 0u&& − I1w

&&, y + µ2 v&, = I 0v&& − I1w

&& + µ3 w& , Q1, x + Q, y = q3 + I 0 w

(13.138)

&&, y − I1v&&, − M 6, x − M 2, y − k M 6 − k M 1 + Q2 = I 2 w

(13.139)

&&, x + I1u&&. M1, x + M 6, y − k M 2 − k M 6 − Q1 = − I 2 w

(13.140)

0 4

0 4

0 5

0 5

A szükséges peremfeltételek: (13.141) x = 0, X ⇒δ u = 0, vagy N1 ; δ v = 0 vagy N6 ; δ w = 0 vagy Q1 + M 6, y ; δ w, x = 0 vagy M1 ;

y = 0, Y ⇒δ u = 0 vagy N6 ; δ v = 0 vagy N2 ; δ w = 0 vagy Q2 + M 6, x ; δ w, y = 0 vagy M 2 , ( x, y ) = (0,0),( X , Y ),( X ,0),(0, Y ) ⇒ δ w = 0, vagy M 6 .

Szorozzuk meg a mozgásegyenletek közül az elsőt (ismét vektoriálisan) j1 × -tel, a másodikat j2 × -tel, a harmadikat j3 × -tel, a negyediket ismét j1 × -tel, az ötödiket j2 × -tel, majd adjuk össze az egyenleteket, kiegészítve az összeget a j3 × ( N 6 − N 6 ) értékkel. Formailag ugyanazokhoz a mátrixegyenletekhez jutunk, amelyeket a derékszögű négyszög lemezeknél már bemutattunk. A Q1 és Q2 nyíróerőket újból a két utolsó mozgásegyenletből határozhatjuk meg, így az első három egyenlet az u, v és w elmozdulásfüggvények meghatározására használhatók. A nyíróerők képletei: &&, y − I1v&&, Q2 = M 2, y + M 6, x + k 40 M 6 + k50 M 1 + I 2 w (13.142)

&&, x − I1u&& . Q1 = M 1, x + M 6, y − k 40 M 2 − k50 M 6 + I 2 w

(13.143)

Fontos megjegyzés, hogy a derékszögű és köralakú lemezek egyenletei az itt bemutatott általános egyenletekből egyszerűsítéssel megkaphatók. Például a./ négyszög lemezeknél k 40 = k 50 = 0 egyszerűsítés alkalmazható, b./ köralakú lemezeknél pedig: k50 = 0, k40 = 1/ r , dx = dr , dy = rd Θ , dA = r dr d Θ, 1 ∂ (rN i ) 1 ∂ (rQi ) 1 ∂ (rM i ) Ni, x = , Qi , x = , M i, x = . r ∂r r ∂r r ∂r 10.06.20.

224


Előadásvázlat

B./ Lemezmodell nyírási hatásokkal B/1. A vizsgálatnál alkalmazott görbevonalú koordinátarendszer Az ábrán egy elemi szál változása látható.

13.8. ábra: Nyírási hatások figyelembevétele Az x,y,z görbevonalú bázis koordinátái 0 ≤ x ≤ X , 0 ≤ y ≤ Y határok között változnak. Egy tetszőleges pont elmozdulásainak számításánál most a nyírási hatást is figyelembe vesszük: u1 = u + zΘ 2 + g ( z ) γ 5 = u − zw, x + g γ 5 , u2 = v − zΘ1 + g ( z ) γ 4 = v − zw, y + g γ 4 ,

(13.144)

u3 = w . A g(z) függvény – a nyírási hatásokat is figyelembe vevő gerendamodellekhez hasonlóan – a nyírási torzulásokat adja meg, γ 4 és γ5 pedig a nyírási szögelfordulás (lásd a következő ábrát):

13.9. ábra: A nyírási torzulás Az elmozdulásvektor deriváltjai: ∂u = (u, x − zw, xx − k50 v + zk50 w, y + g γ 5, x − gk50 γ 4 ) j1 + (v, x − zw, yx + k50u − zk50 w, x + ∂x 10.06.20.

225


Előadásvázlat

+ g γ 4, x + gk50 γ 5 ) j2 + w, x j3 ,

(13.145)

∂u = (u, y − zw, xy − k40 v + zk40 w, y + g γ 5, y − gk40 γ 4 ) j1 + (v, y − zw, yy + k40u − zk40 w, x + ∂y + g γ 4, y + gk40 γ 5 ) j2 + w, y j3 , (13.146) ∂u (13.147) = ( g , z γ 5 − w, x ) j1 + ( g , z γ 4 − w, y ) j2 . ∂z Az alakváltozások: ∂u (13.148) ε11 = ⋅ j1 = u, x − k50 v − z ( w, xx − k50 w, y ) + g ( γ 5, x − k50 γ 4 ), ∂x ∂u ε 22 = ⋅ j2 = v, y + k40u − z ( w, yy + k40 w, x ) + g ( γ 4, y + k40 γ 5 ), ∂y ∂u ∂u ε12 = ⋅ j2 + ⋅ j1 = u, y + v, x − k40 v + k50u − z ( w, xy + w, yx − k40 w, y + k50 w, x ) + ∂x ∂y

+ g ( γ 4, x + γ 5, y + k50 γ 50 − k40 γ 4 ) , ∂u ∂u ∂u ∂u ⋅ j3 + ⋅ j1 = g z γ 5 , ε 23 = ⋅ j3 + ⋅ j2 = g z γ 4 , ε33 = 0 . ∂x ∂z ∂y ∂z Az időszerinti deriváltak és az elmozdulás-variáció meghatározása után előállíthatók az energiavariációk: &&, x + I 3&&γ 5 )δ u + ( I 0v&& − I1w &&, y + I 3&&γ 4 )δ v + I 0 w &&δ w + ( I 2 w &&, x − I1u&& − I 4&&γ 5 )δ w, x + δ K = − ∫ (( I 0u&& − I1w ε13 =

A

&&, y − I1v&& − I 4&&γ 4 )δw, y + ( I3u&& − I 4 w &&, x + I5&&γ 5 )δ γ 5 + ( I3v&& − I 4 w &&, y + I 5&&γ 4 )δ γ 4 ) dA, (13.149) +( I 2 w ahol (13.150) [ I 3 I 4 I 5 ] = ∫ ρ  g zg g 2  dz . z

δ Π t = ∫ ( N1δ u, x + N 6 δ u, y + N 2δ v, y + N 6 δ v, x − M 1δ w, xx − M 2δ w, yy − M 6δ w, xy − M 6δ w, yx + A

k N 2δ u − k40 N 6δ v − k40 M 2δ w, x + k50 M1δw, y + Q1δw, x + Q2δ w, y − Q1δw, x − Q2δ w, y − q3δw + 0 4

+(q2 − m1k50 − m6 k40 )δ γ 4 + m6 δ γ 4, x + m2 δ γ 4, y + (q1 + m2 k40 + m6 k50 )δ γ 5 + m6δ γ 5, y + (13.151) + m1δ γ 5, x ) dA = − ∫ (( N1, x + N 6, y − k40 N 2 − k50 N 6 )δ u + (N 2, y + N 6, x + k40 N 6 + k50 N1 )δ v + A

+(Q1, x + Q2, y − q3 )δ w − ( M 1, x + M 6, y − Q1 − k40 M 2 − k50 M 6 )δ w, x − ( M 2, y + M 6, x − Q2 + k40 M 6 + + k50 M 1 )δ w, y + (m6, x + m2, y + m1k50 + m6 k40 − q2 )δ γ 4 + (m6, y + m1, x + m2 k40 + m6 k50 − − q1 )δ γ 5 )dA + ∫ ( N1δ u + N 6 δ v + (Q1 + M 6, y )δ w − M 1δ w, x + m1δ γ 5 + m6 δ γ 4 ) xx ==0X dy + y

( x , y ) = (0,0),( X ,Y )

+ ∫ ( N 6 δ u + N 2δ v + (Q2 + M 6, x )δ w − M 2 δ w, y + m2δ γ 4 + m6 δ γ 5 ) yy ==Y0 dx − 2 M 6δ w ( x , y ) =( X ,0),(0,Y ) y

Itt

[ m1

m2

m6 ] = ∫ g [ σ11 σ22 z

σ12 ] , [ q1

q2 ] = ∫ g, z [ σ13

σ23 ] dz (13.152)

z

magasabbrendű komponenseket jelölnek. A hajlítási és nyírási feszültségek:

10.06.20.

226


Előadásvázlat

    u, x − k50 v w, xx − k50 w, y  σ11     σ  = D (  0 0 v, y + k4 u −z w, yy + k4 w, x 22   + hajl .   0 0 0 0 u, y + v, x − k4 v + k5 u   w, xy + w, yx − k4 w, y + k5 w, x   σ12     

(13.153)   γ 5, x − k50 γ 4   +g  γ 4, y + k40 γ 5 ) , 0 0  γ 4, x + γ 5, y + k5 γ 5 − k4 γ 4     σ 23  γ4   σ  = D nyír . g, z  γ  .  13   5

(13.154)

Az igénybevételek:   u, x − k50 v  N1    N  0 v, y + k4 u    2  u, y + v, x − k40 v + k50u   N6      0 − w, xx + k5 w, y    M1  ) 0   ,  q1  = D  γ 5  . (13.155) ˆ M 2  = D − w, yy − k4 w, x   h  ny    q2  γ 4     0 0  − w, xy − w, yx + k4 w, y − k5 w, x  M 6    m  γ 5, x − k50 γ 4    1  γ 4, y + k40 γ 5   m2    0 0 m     γ 4, x + γ 5, y + k5 γ 5 − k4 γ 4  A különböző D mátrixok ismét az anyagmodelleket jelentik. A Hamilton-féle variációs elv képletébe behelyettesített energia-variációknál δ u, δ v, δ w, δ γ 4 , δ γ 5 , δ w, y és δ w, x

zérussá tételéből hét darab mozgásegyenletet kapunk figyelembevételével: &&, x + I 3&&γ 5 + µ1u& , N1, x + N 6, y − k40 N 2 − k50 N 6 = I 0u&& − I1w

a

csillapítás

szokásos

(13.156)

&&, y + I 3&&γ 4 + µ 2 v& , N 6, x + N 2, y + k N 6 + k N1 = I 0 v&& − I1w

(13.157)

&& + µ3 w& , Q1, x + Q2, y = q3 + I 0 w

(13.158)

&&, y + µ4 γ& 4 , m6, x + m2, y + m k + m k − q2 = I 5&&γ 4 + I 3v&& − I 4 w

(13.159)

&&, x + µ5 γ& 5 , m1, x + m6, y − m k − m k − q1 = I 5&&γ 5 + I 3u&& − I 4 w

(13.160)

&&, y − I1v&& − I 4&γ&4 , − M 6, x − M 2, y − k M 6 − k M1 + Q2 = I 2 w

(13.161)

&&, x + I1u&& + I 4&γ&5 . M1, x + M 6, y − k M 2 − k M 6 − Q1 = − I 2 w

(13.162)

0 4

0 5

0 1 5

0 2 4

0 6 4

0 6 5

0 4

0 4

0 5

0 5

A peremfeltételek:

(13.163)

x = 0, X ⇒δ u = 0 vagy N1; δv = 0 vagy N6 ; δ w = 0 vagy Q1 + M 6, y ; δ w, x = 0 vagy M1; δ γ 4 = 0 vagy m6 ; δ γ 5 = 0 vagy m1 .

y = 0, Y ⇒δ u = 0 vagy N6 ; δv = 0 vagy N 2 ; δ w = 0 vagy Q2 + M 6, x ; δ w, y = 0 vagy M 2 ; δ γ 4 = 0 vagy m2 ; δ γ 5 = 0 vagy m6 .

10.06.20.

227


Előadásvázlat

( x, y ) = (0, 0), ( X , Y ), ( X , 0), (0, Y ) ⇒ δ w = 0 vagy M 6 .

Ismét alkalmazhatjuk a korábbiakban szokásos beszorzást, összeadást valamint j3 × ( N 6 − N 6 ) taggal való kiegészítést. Az első három egyenletet j1 × -tel, j2 × -tel illetve j3 × -tel szorozzuk, majd a hatodik és hetedik egyenlet következik ( j1 × -tel és j2 × -tel szorozzuk őket). A végső mátrixegyenlet formailag megegyezik a klasszikus derékszögű lemeznél bemutatottal, azzal a kivétellel, hogy az egyenletben szereplő I F és I M tartalma más: &&, x + I3&&γ 5 + µ1u& ) j1 + ( I 0v&& − I1w &&, y + I 3&&γ 4 + µ2v&) j2 + (q3 + I 0 w && + µ3 w& ) j3 , (13.164) I F = ( I 0u&& − I1w

&&, y − I1v&& − I 4&&γ 4 )j1 + ( I 2 w &&, x + I1u&& + I 4&&γ 5 ) j2 . IM = (I2w

(13.165)

A hatodik és hetedik egyenletet Q1 és Q2 számítására használhatjuk, így a maradék öt egyenlet u,v,w valamint γ 4 és γ 5 meghatározására szolgál. Q1 és Q2 jelen esetben az egységnyi hosszra eső keresztirányú nyíróerő intenzitást jelenti: (13.166) [Q1 Q2 ] = ∫ [ σ13 σ23 ] dz , z

vagyis geometriai átlagként kell őket figyelembe venni, míg q1 és q 2 energiaértelmű átlagot jelent ugyanarra a változóra. Ha g = z (vagyis elsőrendű vagy más néven lineáris nyírási elmélettel dolgozunk), akkor Q1 = q1 és Q2 = q2 B/2. Négyszög és kör alaprajzú lemezek Négyszög alakú lemezeknél k40 = k50 = 0 feltétellel kell számolnunk. Kör alakú lemezeknél kicsit összetettebb az átváltás: k50 = 0, k40 = 1/ r , dx = dr , dy = rd Θ, (13.167) illetve 1 ∂ (rN i ) 1 ∂ (rQi ) 1 ∂ (rM i ) 1 ∂ (rmi ) . (13.168) Ni, x = , Qi , x = , M i, x = , mi , x = r ∂r r ∂r r ∂r r ∂r Az alapegyenleteket felírjuk kör alaprajz esetére: ∂N1 1 ∂N 6 N1 − N 2 &&, r + I 3&&γ 5 + µ1u& , + + = I 0u&& − I1w ∂r r ∂Θ r (13.169) ∂N 6 1 ∂N 2 2 N 6 I1 &&, Θ + I 3&&γ 4 + µ 2v&, + + = I 0 v&& − w ∂r r ∂Θ r r ∂Q1 1 ∂Q2 Q1 && + µ3 w& , + + = q3 + I 0 w ∂r r ∂Θ r ∂m6 1 ∂m2 2m6 I &&, Θ + I 3v&& + µ 4 γ& 4 , + + − q2 = I 5&&γ 4 − 4 w ∂r r ∂Θ r r ∂m1 1 ∂m6 m1 − m2 &&, r + I 3u&& + µ5 γ& 5 , + + − q1 = I 5&&γ 5 − I 4 w ∂r r ∂Θ r ∂M 6 1 ∂M 2 2M 6 I &&, Θ − I1v&& − I 4&&γ 4 , − − − + Q2 = 2 w ∂r r ∂Θ r r ∂M 1 1 ∂M 6 M 1 − M 2 &&, r + I1u&& + I 4&&γ 5 . + + − Q1 = − I 2 w ∂r r ∂Θ r A peremfeltételek kör alaprajzú lemez esetén: (13.170)

10.06.20.

228


Előadásvázlat

r = 0, a ⇒ δ u = 0 vagy N1; δv = 0 vagy N 6 ; δ w = 0 vagy Q1 +

1 ∂M 6 ; δ w, r = 0 vagy M 1 ; r ∂Θ

δ γ 4 = 0 vagy m6 ; δ γ 5 = 0 vagy m1 ,

Θ = 0, Θ0 ⇒δ u = 0 vagy N6 ; δv = 0 vagy N 2 ; δ w = 0 vagy Q2 + M 6, r ; δ w, Θ = 0 vagy M 2 ; δ γ 4 = 0 vagy m2 ; δ γ 5 = 0 vagy m6 . (r , Θ) = (0,0),(a, Θ0 ),(a,0),(0, Θ0 ) ⇒ δ w = 0 vagy M 6 .

B/3 Különböző nyírási-torzulási függvények Ha például a g(z) függvényt harmadrendű polinomnak választjuk, akkor az úgynevezett harmadrendű nyírási lemezelmélethez jutunk: 4 z3 g ( z) = z − 2 . (13.171) 3h Ha a függvény lineáris, vagyis g ( z) = z , (13.172) akkor a lineáris nyírási lemezelméletről, más néven Reissner194Mindlin195-Hencky-lemezmodellről beszélünk a mechanikában. Ennél a változatnál ε23 = γ 4 , ε13 = γ 5 , q1 = Q1 , q2 = Q2 , m1 = M 1 , m2 = M 2 , (13.173) m6 = M 6 , I 3 = I1 , I 4 = I 5 = I 2 . A nyíróerők: &&, y − I1v&& − I 2&&γ 4 − µ 4 γ& 4 , Q2 = M 2, y + M 6, x + k40 M 6 + k50 M 1 + I 2 w (13.174) &&, x − I1u&& − I 2&&γ 5 − µ5 γ& 5 . Q1 = M 1, x + M 6, y − k40 M 2 − k50 M 6 + I 2 w Ha izotróp rétegekből álló szendvics lemezt kívánunk vizsgálni, akkor a réteges keresztmetszetű gerendánál alkalmazott technika segítségével lehet felépíteni g(z) függvényét. Ha például a gerendáknál bemutatott három rétegből álló metszetet tekintjük egy lemez felépítésének, akkor a keresett függvény: h h  3z 2 8 z 3  h h  19 z 3  g ( z ) = U ( z + ) − U ( z + )  ( z + + 2 ) + U ( z + ) − U ( z − )  ( z − 2 ) + (13.175) 2 3  h 3h 3 3  3h   h h  3z 2 8z 3   + U ( z − ) − U ( z − )   z − + , 3 2  h 3h 2   ahol U(x) a Heaviside196-féle egységfüggvény ( U (t − t0 ) = 1, ha t ≥ t0 , egyébként értéke 0 ).

Megjegyezzük, hogy rétegelt lemezeknél γ 4 és γ 5 között nemlineáris kapcsolatot szokás feltételezni, de ezzel a hatással most nem foglalkozunk.

194

Eric Reissner (1913 - 1996) német származású amerikai tudós. Elsősorban az aeronautikában alkalmazható felületszerkezetek vizsgálatával foglalkozott. 195 Raymond David Mindlin (1906 – 1987) amerikai mechanikus és fizikus. A gyakorlati és elméleti mechanika számos területén alkotott jelentős műveket. Az ő fényképe látható ezen az oldalon. 196 Oliver Heaviside (1850 – 1925) angol villamosmérnök és matematikus. Komoly eredményeket ért el az elméleti villamosságtan kutatásában. 10.06.20.

229


Előadásvázlat

Klasszikus lemez analitikus megoldása derékszögű négyszög alaprajz esetén. Határozzuk meg egy derékszögű négyszög alaprajzú, a x b méretű, peremein csuklós megtámasztású lemez w(x,y) eltolódásfüggvényét. A lemez vastagsága állandó, anyaga izotróp és lineárisan rugalmas, a terhelés kvázi-statikus. Az analitikus megoldást Navier javaslata alapján írjuk fel. Navier a keresett eltolódásfüggvényt végtelen sorok segítségével javasolta megadni: ∞ ∞ mπx nπy w ( x, y ) = ∑ ∑ Wmn sin sin . (13.176) a b m=1 n=1 A képletben szereplő Wm n paraméterek ismeretlen állandókat jelentenek. A külső terhelést szintén végtelen sor alakjában kell felírni, hogy a biharmonikus differenciálegyenlet teljes egészében átalakítható legyen: ∞ ∞ mπ x nπ y qz ( x, y ) = ∑ ∑ Pmn sin sin . (13.177) a b m=1 n=1 A Pm n együtthatókat a tényleges terhelés adataiból a kettős Fourier197sorok segítségével lehet meghatározni: Segédlet a kettős Fourier-sorok alkalmazására Határozzuk meg egy (2a) x (2b) tartományon értelmezett és ismert f(x,y) függvény sorba fejtett alakjának Fm n együtthatóit: ∞ ∞

f ( x, y ) = ∑ ∑ Fmn sin m=1 n=1

mπ x nπ y sin . a b

(13.178)

 k π y  dy függvénnyel, majd integráljuk y = 0-tól bSzorozzuk be mindkét oldalt sin   b  b

ig:

∫ f ( x, y )sin 0

∞ ∞ kπ y mπ x b nπ y kπ y dy = ∑ ∑ Fmn sin sin dy . (13.179) ∫ sin b a 0 b b m=1 n=1

Az integrálásban ha b

n ≠ k ⇒ ∫ sin 0

nπ y kπ y sin dy = 0, b b

(13.180)

ha pedig b

nπ y b dy = . b 2 0 Megismételve a szorzást és az integrálást x irányban, az eredmény: a a 2 mπ x dx = . ∫ sin a 2 0 Így a függvény együtthatói a következőképpen számíthatók: 4 a b mπ x nπ y Fmn = ∫ ∫ f ( x, y ) sin sin dxdy . ab 0 0 a b n = k ⇒ ∫ sin 2

(13.181)

(13.182)

(13.183)

197

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) kiváló francia matematikus és fizikus. Elsősorban hőtani kutatásairól és az általa kidolgozott matematikai sorokról ismert. Arcképe látható ezen az oldalon.

10.06.20.

230


Előadásvázlat

Ennek az eredménynek a felhasználásával sok gyakorlati terhelési esetre zárt alakban megadhatók a keresett Pm n együtthatók. Például: a./ Konstans terhelés:

pmn =

16 p0 , ( m, n = 1,3,5,...) π 2 mn

b./ Lineáris megoszló teher:

pmn = −

8 p0 cos mπ π 2 mn

(m, n = 1,3,5,...)

c./ Parciális megoszló teher: 16 p0 mπξ nπη sin sin 2 a b π mn mπc nπd ⋅ sin sin 2a 2b (m, n = 1, 2,3,...)

pmn =

d./ Koncentrált erő:

pmn =

4P mπξ nπη sin sin (m, n = 1, 2,3,...) ab a b

e./ Féloldali parciális teher:

10.06.20.

231


Előadásvázlat

8 p0 (m, n = 1,3, 5,...) π 2 mn (m, = 2, 6,10,...) 16 p  pmn = 2 0    π mn   (n = 1,3,5,...)

pmn =

f./ Élteher: pmn =

4 p0 mπξ sin (m, n = 1, 2,3,...) π an a

Ha a végtelen sorokkal felírt közelítést a lemez statikus vizsgálatához szükséges biharmonikus differenciálegyenletbe helyettesítjük, akkor a következő alakot kapjuk:  m 4 π 4 2m 2 n 2 π 4 n 4 π 4  mπ x nπ y 1 mπ x nπ y + 4  sin = Pmn sin Wmn  4 + sin sin 2 2 a b D a b a b b   a Pmn (13.184) Wmn = , így a megoldás :  m 2   n 2  2 Dπ 4  2  +  2   a   b  Pmn mπ x nπ y 1 ∞ ∞ sin sin . ∑ ∑ a b Dπ 4 m=1 n=1  m2   n 2  2   +    a 2   b 2    A fenti egyenletben Eh3 D= . 12 (1−ν 2 ) w ( x, y ) =

(13.185)

Az eltolódás függvényébe most már a terheléstől függő állandókat kell behelyettesítenünk. Az eltolódásfüggvény segítségével – további deriválásokkal – természetesen az igénybevételek is számíthatók: 2 ∞ ∞  m 2 mπx nπy   n  M 1 = π 2 D ∑ ∑   + ν    Wmn sin sin , a b a b       m =1 n =1   2  n  2 mπx nπy m   + ν sin , ∑ b    Wmn sin a a b       m =1 n =1   ∞

M 2 = π2 D ∑

∞

M 12 = −π 2 D (1 − ν )

10.06.20.

∞

(13.186)

∞

mn mπx nπy Wmn cos cos . a b m =1 n =1 ab

∑∑

232


Előadásvázlat

Felhasznált irodalom: 1./ Nayfeh, A. H. – Pai, P. F.: Linear and nonlinear structural mechanics, John Wiley, 2004. 2./ Szilard, R.: Theory and analysis of plates, Prentice Hall, 1974. 3./ Timoshenko, S. P. – Woinowsky-Krieger, S.: Lemezek és héjak elmélete, Műszaki Könyvkiadó, 1966. 4./ http://en.wikipedia.org/wiki/Curvature 5./ Thomas, G. B. – Weir, M. D. – Hass, J. – Giordano, F. R. : Thomas-féle Kalkulus, III. kötet, Typotex, 2007. 6./ Szőkefalvi N. Gy. – Gehér L. – Nagy P.: Differenciálgeometria, Műszaki Könyvkiadó, 1979.

14. Előadás: Rugalmas héjak alapvető mechanikai egyenletei A héjak alapvetően abban különböznek a lemezektől, hogy rendelkeznek kezdeti görbülettel (kivéve az úgynevezett „síkhéj” mechanikai modellt, amely kis elmozdulások esetén egyszerűen a membrán- és lemez hatás nem kapcsolt összegzését jelenti). Szerepük már az ókortól kezdve igen jelentős volt a mérnöki alkotások között (gondoljunk akár a római Pantheon gyönyörű kupolájára – lásd az alábbi képet –, vagy a keleti építészet komplexen összefüggő térbeli szerkezeteire): A modern felületszerkezetek első változatai a XIX. század végén jelentek meg, először többnyire valamilyen térbeli acél merevítéssel ellátott üveg- vagy acélburkolatú héjként (ezeket az első változatokat sokan inkább a burkolt térbeli keretszerkezetek közé sorolják), majd később, a XX. század közepétől már a merész ívelésű vasbeton héjak jelentették az „igazi” tervezési és kivitelezési kihívást a héjakat szeretők számára. A kezdeti változatok között megemlítjük az orosz Suhov198 1890-es években létrehozott hatalmas szerkezeteit (lásd a következő képeken a NyizsnijNovgorodban 1895-ban megépült óriási merevített 198

Vlagyimir Grigorjevics Suhov (1853 – 1939) orosz építőmérnök, elsősorban héjak, tartályok és nagyméretű térbeli szerkezetek tervezésével foglalkozott. 10.06.20.

233


Előadásvázlat

héjat, vagy az 1897-ben ugyanott épült kettősen görbült felületszerkezetet (utóbbiról kivitelezés közben készült a kép)):

A XX. század sok nagyszerű alkotása közül talán az egyik legszebbként a kiváló finn építész, Saarinen199 new-yorki repülőtéri csarnokát mutatjuk illusztráló példának, mellette egy gyönyörű (merevített) gömbhéj képe látható (egy amerikai Disney-parkban található):

Rengeteg magyar és idegen nyelvű könyv foglalkozik a mérnöki héjszerkezetek matematikájával és mechanikájával, valamint a gyakorlati építés kérdéseivel. Külön felhívjuk a figyelmet az irodalomjegyzékben [3] − [11] alatt felsorolt művekre. A honlapok közül a [ 6] és [ 7 ] alatti a legszebb alkotásokat és a legismertebb felületszerkezeti tervezőket mutatja be, míg a [8] alatt a héjakkal kapcsolatos legfrissebb kutatásokról olvashatók hasznos információk. A továbbiakban – a lemezeknél már bemutatott alapelveket felhasználva – bemutatjuk az ismertebb héjelméletek alapvető egyenleteit, illetve néhány fontosabb héjszerkezet kezdeti görbületeinek számítását.

Klasszikus (Kirchhoff-féle) lineáris héjelmélet Az alábbi hat ábrán hat különböző geometriájú héjat láthatunk: 199

Eero Saarinen (1910 – 1961) finn építész, a XX. század egyik meghatározó építész egyénisége. Ő tervezte például a Missouri folyót Saint Louis-nál áthidaló hatalmas ívet is. 10.06.20.

234


-

Előadásvázlat

általános vezérgörbéjű hengerhéjat, kör vezérgörbéjű hengerhéjat, spirál alakban csavarodó héjat, kónikus héjat, vezérgörbével előállított hengerszimmetrikus héjat, illetve gömbhéjat.

14.1. ábra: Általános és kör vezérgörbéjű hengerhéj

14.2. ábra: Spirál alakú héj és kónikus héj

10.06.20.

235


Előadásvázlat

14.3. ábra: Hengerszimmetrikus héj és gömbhéj A héjszerkezetek más változatait is ábrázolhatnánk, egészen a teljesen szabálytalan alaprajzú és geometriájú kettősen görbült változatig. Mindegyikben közös, hogy a deformáció előtti referenciafelületüket x,y,z görbült ortogonális koordinátarendszerben ábrázoljuk j1 , j2 , j3 egységvektorok segítségével (a z tengely mindig merőleges a referenciafelületre). Szükség lesz a,b,c inercia-rendszerre is ( i a , i b , i c bázisvektorokkal), a kettő között pedig a már ugyancsak bemutatott T transzformációs tenzor írja le a kapcsolatot (lásd a 13. hét előadását).

A./ Hengerhéjak Vizsgáljuk meg az első ábrán látható általános hengerhéjat. A héj felülete ebben az esetben egy úgynevezett generátorfüggvény transzformálásával állítható elő. A vezérgörbe egy tetszőleges pontjának P helyzetvektora a következőképpen adható meg: P = B (Θ) i b + C (Θ) i c , . (14.1) 2 2 így dx = dx , dy = dP = ( B,Θ d Θ) + (C,Θ d Θ) = d Θ B,2Θ + C,2Θ Az egységvektorok: j1 = i a , j2 =

B, Θ ∂P = ib + 2 ∂y B, Θ + C,2Θ

C, Θ B + C,2Θ 2 ,Θ

i c , j3 = j1 × j2 .

(14.2)

A transzformációs mátrix és a kezdeti görbületek mátrixa ezeknek az egységvektoroknak a segítségével előállítható. Ha a generátor kör (lásd a 14.1. ábra jobb oldali képét), akkor P értéke (r a héj sugara, h pedig egy x irányú távolság): P =hi a + r sin Θ i b + r cos Θ i c ⇒ dx = dh, dy = r d Θ, (14.3) illetve az egységvektoroké: j1 = i a , j2 = cos Θ i b − sin Θ i c , j3 = sin Θ i b + cos Θ i c . (14.4) A kezdeti görbületek az előző előadáson felírt összefüggések segítségével számíthatók: 1 (14.5) k10 = k610 = k50 = k620 = k40 = 0 , k20 = . r A spirális szerkezetű héjnál (14. 2. ábra bal oldali képe) a helyzetvektor: P = r cos(Θ−Φ) i a + r sin(Θ−Φ) i b + (rΘ tan Ψ + rΦ cot Ψ )i c ,

10.06.20.

(14.6)

236


Előadásvázlat

r dΘ , cos Ψ (14.7) r 2 2 dy = (rd Φ) + (rd Φ cot Ψ ) = dΦ . sin Ψ Az egységvektorok: ∂P j1 = =− sin(Θ−Φ) cos Ψ i a + cos(Θ−Φ) cos Ψ i b + sin Ψ i c , (14.8) ∂x ∂P j2 = = sin(Θ−Φ)sin Ψ i a − cos(Θ−Φ) sin Ψ ib + cos Ψ i c , (14.9) ∂y j3 = cos(Θ − Φ ) i a + sin(Θ − Φ ) i b . (14.20) A transzformációs tenzor előállításához szükséges kezdeti görbületek: cos 2 Ψ 0 sin 2 Ψ 0 sin 2Ψ k40 = k50 = 0, k10 = , k2 = , k61 = k620 = − . (14.21) r r 2r 0 Felhívjuk a figyelmet, hogy ez az első – általunk tárgyalt – felületszerkezet, ahol k610 és k62 értéke nem zérus. dx = (rd Θ) 2 + (rd Θ tan Ψ ) 2 =

B./ Kónikus héj A kónikus héjnál (14. 2. ábra jobb oldali képe) a helyzetvektor, az egységvektorok, és a görbületek: P = x sin α cos Θ i a + x sin α sin Θ i b + (C0 − x cos α )i c ⇒ dx = dx , dy = x sin α d Θ , (14.22) ∂P j1 = = sin α cos Θ i a + sin α sin Θ i b − cos α i c , (14.23) ∂x ∂P j2 = =− sin Θ i a + cos Θ i b , (14.24) ∂y j3 = j1 × j2 = cos α cos Θ i a + cos α sin Θ i b + sin α i c . (14.25) 1 1 (14.26) k10 = k610 = k50 = k620 = 0, k20 = , k40 = . x tan α x

C./ Vezérgörbével generált forgásszimmetrikus héj A 14.3 ábra bal oldali képén látható héjnál a pozícióvektor és az egységvektorok: P = a i a + r sin Θ i b + r cos Θ i c , ⇒ dx = ( da ) 2 + ( dr ) 2 = da 1 + r, a2 ,

dy = r d Θ, (itt r = r (a)), ∂P 1 j1 = = ( i a + r, a sin Θ i b + r, a cos Θ i c ) , ∂x 1 + r, 2a ∂P = cos Θ ib − sin Θ i c , ∂y 1 j3 = j1 × j 2 = (− r, a i a + sin Θ i b + cos Θ i c ) . 1 + r, 2a

j2 =

(14.27)

(14.28) (14.29) (14.30)

A transzformációs mátrix és kezdeti görbületek ezek felhasználásával az eddig is használ alapelveknek megfelelően számolhatók.

10.06.20.

237


Előadásvázlat

D./ Gömbhéj A helyvektor, az egységvektorok és a görbületek (a 14.3. ábra jobb oldali vázlatán látható a héj képe): P = r sin Θ cos Φ i a + r sin Θ sin Φ i b + r cos Θ i c , ⇒ dx = r d Θ , dy = r sin Θ d Φ , (14.31) ∂P (14.32) j1 = = cos Θ cos Φ i a + cos Θ sin Φ i b − sin Θ i c , ∂x ∂P j2 = =− sin Φ i a + cos Φ i b , (14.33) ∂y j3 = j1 × j 2 = sin Θ cos Φ i a + sin Θ sin Φ i b + cos Θ i c . (14.34) 1 1 1 k610 = k50 = k620 = 0, k10 = , k20 = , k40 = . (14.35) r r r tan Θ

E./ Kettősen görbült (általános) héj Általános esetre is a 13. hét előadásán bemutatott kezdeti görbületeket kell kiszámítanunk, ha a héj további elemzését akarjuk elvégezni. Vizsgáljunk egy állandó h vastagságú, 0 ≤ x ≤, 1 ≤ y ≤ Y tartományban elhelyezkedő héjat. Egy tetszőleges pontjának eltolódásvektora: u = u1 j1 + u2 j2 +u3 j3 = (u + zΘ2 ) j1 + (v − zΘ1 ) j2 + wj3 . (14.36) A képletben u, v és w a három tengely irányában létrejövő eltolódások értéke, Θ1 és Θ2 pedig a deformálódott állapothoz tartozó két elfordulás. Az elfordulások értelmezését segíti az alábbi ábra:

14.4. ábra: Az elfordulások értelmezése

10.06.20.

238


Előadásvázlat

A kezdeti görbületek miatt Θ1 ≠ w, y és Θ2 ≠ w, x , bár az elfordulásokat jelen vizsgálatban kicsinek tételezzük fel. Így az ábra (és az előző előadás 13.19 alatti egyenletei) alapján a lineáris tagok figyelembevételével: T Tˆ (14.37) Θ1 = tan −1 23 = tan −1 23 = w, y − u k620 − vk 20 , T22 Tˆ22 T Tˆ (14.38) Θ2 = − tan −1 13 =− tan −1 13 = −w, x + u k10 + vk610 . T11 Tˆ 11

−1

Az előzőekhez hasonlóan a tan szimbólum az arctan jelöléssel egyenértékű. Az elmozdulásvektor deriváltjai: ∂u = (u, x + zΘ2, x − vk50 + zΘ1k50 + wk10 ) j1 + (v, x − zΘ1, x + uk50 + zΘ2 k50 + wk610 ) j 2 + ∂x +( w, x − uk10 − zΘ2 k10 − vk610 + zΘ1k610 ) j3 . (14.39) ∂u = (u, y + zΘ2, y − vk40 + zΘ1k40 + wk620 ) j1 + (v, y − zΘ1, y + uk40 + zΘ2 k40 + wk20 ) j 2 + ∂y +( w, y − uk620 − zΘ2 k620 − vk20 + zΘ1k20 ) j3 , (14.40 ∂u =Θ2 j1 −Θ1 j2 . ∂z

(14.41)

Az alakváltozások: (14.42) ∂u ε11 = ⋅ j1 = u, x − k50 v + k10 w + z (Θ2, x + k50Θ1 ) , ∂x ∂u ε 22 = ⋅ j2 = v, y + k40u + k20 w + z (−Θ1, y + k40Θ2 ) , ∂y ∂u ∂u ε12 = ⋅ j2 + ⋅ j1 = u, y + v, x − k40 v + k50u + k60 w + z (Θ2, y −Θ1, x + k40Θ1 + k50Θ2 ) , ∂x ∂y

ε33 = 0, ε13 = z (k610 Θ1 − k10Θ2 ), ε 23 = z (k20Θ1 − k620 Θ2 ) . 0 0 = k 62 = k 60 / 2 A fenti alakváltozás-komponensek felírásánál feltételeztük a k 61 egyenlőséget, ami a lineáris héjelmélet sima és deformálatlan felületeire igaz. Mivel a keresztirányú nyírási deformációkat az ún. klasszikus elméletben zérusnak tekintik, így ε13 = z(k610 Θ1 − k10Θ2 ) =ε 23 = z (k20Θ1 − k620 Θ2 ) = 0. (14.43)

Az elmozdulásvektor idő szerinti deriváltjait illetve variációját felírva kiszámíthatjuk a kinetikus energia variációját: ɺɺ )δ u + ( I vɺɺ − I Θ ɺɺ ɺɺ ⋅δu dz dA = −∫ (( I 0uɺɺ + I1Θ ɺɺ (14.44) δK = −∫ ∫ ρu 2 0 1 1 )δ v + I 0 wδ w + A

z

A

ɺɺ + I uɺɺ)δ Θ + ( I Θ ɺɺ ɺɺ +( I 2Θ 2 1 2 2 1 − I1v )δ Θ1 ) dA, ahol I 0 , I 1 és I 2 értékeit már a 13. heti előadáson meghatároztuk. A belső potenciál is felírható a korábbi lemezfeladatokhoz hasonlóan: (14.45) δ Πb = ∫ ∫ (σ11δε11 + σ22δε 22 + σ12δε12 ) dz dA = ∫ ( N1δ u, x + N 6δ u, y + N 2δ v, y + N 6δ v, x + A

z

A 0 4

+M 1δ Θ2, x − M 2δ Θ1, y + M 6δ Θ2, y − M 6δ Θ1, x + k N 2δ u − k40 N 6δ v +

+k40 M 2δΘ2 + k40 M 6δΘ1 + k50 N6δ u − k50 N1δ v + k50 m6δΘ2 + k50 M1δΘ1 + 10.06.20.

239


Előadásvázlat

+k10 N1δ w + k20 N 2δ w + k60 N6δ w + Q1δΘ2 − Q2δΘ1 − Q1δΘ2 + Q2δΘ1 ) dA = = −∫ (( N1, x + N 6, y − k40 N 2 − k50 N 6 + k10Q1 + k620 Q2 ) δ u + ( N 2, y + N 6, x + k40 N 6 + A

+k N1 + k610 Q1 + k20Q2 )δ v + (Q1, x + Q2, y − k10 N1 − k20 N 2 − k60 N 6 )δ w + ( M1, x + M 6, y − 0 5

−Q1 − k40 M 2 − k50 M 6 )δ Θ2 − ( M 2, y + M 6, x − Q2 + k40 M 6 + k50 M1 )δ Θ1 ) dA + +∫ (( N1 + k620 M 6 )δ u + ( N 6 + k20 M 6 )δ v + (Q1 + M 6, y )δ w + M 1δ Θ2 ) xx==0X dy + y

+∫ (( N 6 + k10 M 6 )δ u + ( N 2 + k610 M 6 )δ v + (Q2 + M 6, x )δ w − M 2δ Θ1 ) yy==Y0 dx − x

−2M 6δ w

( x , y )=(0,0),( X ,Y ) ( x , y )=( X ,0),(0,Y )

.

Az anyagmodell egyenlete:       σ11  u, x − k50 v + k10 w Θ2, x + k50Θ1        0 0 0 +z   . σ22  = D   v + k u + k w −Θ + k Θ ,y 4 2 1, y 4 2        Θ −Θ + k 0Θ + k 0Θ    u + v − k 0 v + k 0u + k 0 w σ  ,x 4 5 6  1, x 4 1 5 2     , y  2, y  12  Az igénybevételek az anyagmodell segítségével:    N1  u, x − k50 v + k10 w     0 0    N2  v + k u + k w ,y 4 2      u + v − k 0 v + k 0 u + k 0 w N  ,x 4 5 6   6 = D ɶ  ,y  . 0 M  Θ + k Θ   2, x 5 1  1   0 M  −Θ1, y + k4 Θ2    2     0 0  Θ2, y −Θ1, x + k4 Θ1 + k5 Θ2   M 6 

(14.46)

(14.47)

Az eddig alkalmazott módszert követve a Hamilton-féle variációs elvet használjuk fel a mozgásegyenletek előállítására: ɺɺ , N1, x + N 6, y − k40 N 2 − k50 N 6 + k10Q1 + k620 Q2 = I 0uɺɺ + I1Θ 2 (14.48) ɺɺ , N 6, x + N 2, y + k40 N 6 + k50 N1 + k610 Q1 + k20Q2 = I 0 vɺɺ − I1Θ 1

ɺɺ, Q1, x + Q2, y − k10 N1 − k20 N 2 − k60 N 6 = I 0 w ɺɺ − I vɺɺ, −M 2, y − M 6, x − k40 M 6 − k50 M 1 + Q2 = I 2Θ 1 1 ɺɺ + I uɺɺ. M 1, x − M 6, y − k40 M 2 − k50 M 6 − Q1 = I 2Θ 2 1

A peremfeltételek: x = 0, X ⇒ δ u = 0 vagy N1 + k620 M 6 ; δ v = 0 vagy N 6 + k20 M 6 ;

(14.49)

δ w = 0 vagy Q1 + M 6, y ; δΘ2 = 0, vagy M1 . y = 0, Y ⇒ δ u = 0 vagy N6 + k10 M 6 ; δ v = 0 vagy N 2 + k610 M 6 ; δ w = 0 vagy Q2 + M 6, x ; δΘ1 = 0, vagy M 2 . ( x, y ) = (0,0),(0, Y ),( X ,0),( X , Y ) ⇒ δ w = 0 vagy M 6 .

Szorozzuk meg a mozgásegyenletek közül az elsőt j1 × -tel, a másodikat j2 × -tel, a harmadikat j3 × -tel, a negyediket ismét j1 × -tel, az ötödiket j2 × -tel, majd adjuk össze őket

10.06.20.

240


Előadásvázlat

és használjuk fel a 13. előadáson a j egységvektorok deriváltjaira bemutatott összefüggéseket. A következő tömör formájú mátrixegyenletekhez jutunk: ∂F ∂Fα ∂M α ∂M β + β = IF , + + j1 × Fα + j2 × Fβ = I M , (14.50) ∂x ∂y ∂x ∂y ahol Fα = N1 j1 + N6 j2 + Q1 j3 , Fβ = N6 j1 + N 2 j2 + Q2 j3 , (14.51)

Mα = −M 6 j1 + M1 j2 , Mβ = −M 2 j1 + M 6 j2 , ɺɺ ) j + ( I vɺɺ − I Θ ɺɺ ɺɺ I F = ( I 0uɺɺ + I1Θ 2 1 0 1 1 ) j2 + I 0 wj3 , ɺɺ − I vɺɺ) j + ( I Θ + I uɺɺ) j . I = (I Θ

(14.52) (14.53)

(14.54) Megjegyezzük, hogy a második mátrixegyenletből hiányzó tagot (a „z” tengely körüli nyomatéki egyensúlyt kifejező tagot) a linearitás miatt szokták kihagyni, ezért az innen hiányzó j3 egységvektor együtthatóját nullának feltételezzük: M

2

1

1

1

2

2

1

2

0 0 N 6 − N6 + k10 M 6 − k20 M 6 + k62 M 2 − k61 M1 = 0 . (14.55) A keresztirányú nyíróerőket ( Q1 -et és Q2 -t ) most a negyedik és ötödik mozgásegyenletből lehet kifejezni: ɺɺ − I vɺɺ, Q2 = M 2, y + M 6, x + k40 M 6 + k50 M1 + I 2Θ 1 1 (14.56) ɺɺ − I uɺɺ . Q1 = M1, x + M 6, y − k40 M 2 − k50 M 6 − I 2Θ 2 1

F./ Mozgásegyenletek kör vezérgörbéjű hengerhéjnál Megismételjük a hengerhéjaknál már megadottt paramétereket: dy = a d Θ, k10 = k610 = k50 = k620 = k40 = 0 , k20 =

1 , a

(14.57) ahol most az a paraméter jelenti a hengerhéj sugarát. Az elfordulások (az általános, kettősen görbült héjalaknál megadott szögelfordulási képletből kiindulva): v (14.58) Θ1 = w, y − , Θ2 =− w, x . a A nyíróerők: vɺɺ ɺɺ, y − ) − I1vɺɺ, Q2 = M1, x + M 6, y + I 2 w ɺɺ, x − I1uɺɺ , (14.59) Q1 = M 2, y + M 6, x + I 2 ( w a és az alakváltozások: v, y v, x w ε11 = u, x − zw, xx , ε 22 = v, y + − z ( w, yy − ), ε12 = u, y + v, x − z (2w, xy − ). (14.60) a a a Megjegyezzük, hogy ebben az esetben w, x y= w, y x= w, x Θ / a = w, Θ x . Az igénybevételek:   u, x  N1       v +w/a  N  ,y    2   N  u v +   , y , x  6 = D ɶ . M    −w, xx  1   M   −w + v / a   2   , yy ,y     M  6  −2 w, x y + v, x / a   

10.06.20.

(14.61)

241


Előadásvázlat

A nyíróerők meghatározása utáni három mozgásegyenlet: ɺɺ, x , N1, x + N 6, y = I 0uɺɺ − I1w

(14.62)

1 2 1 1 ɺɺ, y , N 6, x + N 2, y + ( M 6, x + M , y ) = ( I 0 + I1 + 2 I 2 )vɺɺ − ( I1 + I 2 ) w a a a a 1 1 ɺɺ + ( I1uɺɺ − I 2 w ɺɺ, x ), x + ( I1vɺɺ − I 2 w ɺɺ, y + I 2vɺɺ), y . M1, xx + 2 M 6, xy + M 2, yy − N 2 = I 0 w a a A peremfeltételek: (14.63) x = 0, X ⇒ δ u = 0 vagy N1 ; δ v = 0 vagy N 6 + M 6 / a ; δ w = 0 vagy Q1 + M 6, y ;

δ w, x = 0 vagy M1 ; y = 0, Y ⇒ δ u = 0 vagy N 6 ; δ v = 0 vagy N 2 ; δ w = 0 vagy Q2 + M 6, x ; δ ( w, y − v / a) = 0 vagy M 2 ; ( x, y ) = (0,0),(0, Y ),( X ,0),( X , Y ) ⇒ δ w = 0 vagy M 6 ;

Héjelmélet a nyírási hatások figyelembevételével Ennél az elméleti változatnál hozzáadjuk az elmozdulás-vektorhoz a nyírási hatásokat: u = u1 j1 + u2 j2 + u3 j3 = (u + zΘ2 + g γ 5 ) j1 + (v − zΘ1 + g γ 4 ) j2 + wj3 , (14.64) ahol γ 4 és γ 5 a héj nyírás következtében létrejövő extra elfordulások, g pedig a nyírási torzulás függvénye . Megjegyezzük, hogy az előző ábra vázlata és a hozzá kapcsolódó számítási mód a Θ1 és Θ 2 elfordulásokról továbbra is érvényes. A g nyírási torzulási függvényekre ugyanazokat a változatokat lehet alkalmazni, mint amilyeneket a gerenda- illetve lemezmodelleknél már használtunk. Megjegyezzük, hogy lineáris nyírási torzulás esetén Reissner-Mindlinhéjmodellről beszélünk. Az elmozdulásvektor deriváltjai: ∂u = (u, x + zΘ2, x − vk50 + zΘ1k50 + wk10 + g γ 5, x − gk50 γ 4 ) j1 + ∂x 0 +(v, x − zΘ1, x + uk50 + zΘ2 k50 + wk61 + g γ4, x + gk50 γ5 )j2 + 0 0 0 +( w, x − uk10 − zΘ2 k10 − vk61 + zΘ1k61 − gk10 γ5 − gk61 γ 4 ) j3 . ∂u 0 = (u, y + zΘ2, y − vk40 + zΘ1k40 + wk62 + g γ5, y − gk40 γ 4 ) j1 + ∂y

(14.65)

(14.66)

+(v, y − zΘ1, y + uk40 + zΘ2 k40 + wk20 + g γ 4, y + gk40 γ5 )j2 + 0 0 0 +(w, y − uk62 − zΘ2k62 − vk20 + zΘ1k20 − gk62 γ5 − gk20 γ4 ) j3 . ∂u = (Θ2 + g, z γ 5 ) j1 + (−Θ1 + g, z γ 4 ) j2 . ∂z

Az alakváltozások: ∂u ε11 = ⋅ j1 = u, x − k50v + k10 w + z (Θ2, x + k50Θ1 ) + g ( γ 5, x − k50 γ 4 ) , ∂x

10.06.20.

(14.67)

(14.68)

242


Előadásvázlat

∂u ⋅ j2 = v, y + k40u + k20 w + z (−Θ1, y + k40Θ2 ) + g ( γ 4, y + k40 γ5 ) , ∂y ∂u ∂u ε12 = ⋅ j2 + ⋅ j1 = u, y + v, x − k40v + k50u + k60 w + z (Θ2, y −Θ1, x + ∂x ∂y ε 22 =

(14.69) (14.70)

+k40Θ1 + k50Θ2 ) + g ( γ4, x + γ5, y + k50 γ5 − k40 γ4 ) , 0 0 ε13 = g, z γ5 − g (k10 γ5 + k61 γ4 ) , ε23 = g, z γ4 − g (k62 γ5 + k20 γ4 ) , ε33 = 0 .

(14.71)

A kinetikus energia variációja az elmozdulásvektor deriváltjainak és variációjának felhasználásával számítható: ɺɺ + I ɺɺγ )δ u + ( I vɺɺ − I Θ ɺɺ ɺɺ ⋅δ u dz dA =− ∫ (( I 0uɺɺ + I1Θ ɺɺδ w + δ K =− ∫ ∫ ρ u γ 4 )δ v + I 0 w 2 3 5 0 1 1 + I 3 ɺɺ A

z

A

ɺɺ + I uɺɺ + I ɺɺγ )δ Θ + ( I Θ ɺɺ ɺɺ + I ɺɺγ )δ γ + ɺɺ +( I 2Θ γ 4 )δ Θ1 + ( I 3uɺɺ + I 4Θ 2 1 4 5 2 2 1 − I1v − I 4 ɺɺ 2 5 5 5 ɺɺ + I ɺɺγ )δ γ ) dA . +( I vɺɺ − I Θ (14.72) 3

4

1

5 4

4

Az I 0 , ...., I5 paraméterek definícióját a korábbiakban már megadtuk. A belső energia variációja: δ Πb = ∫

∫ (σ11δ ε11 + σ22δ ε22 + σ12δ ε1 + σ13δ ε13 + σ23δ ε23 ) dz dA = ∫ ( N1δ u, x +

A z

(14.73)

A

+ N 6 δ u, y + N 2 δ v, y + N6δ v, x + M1δ Θ2, x − M 2δ Θ1, y + M 6δ Θ2, y − M 6δ Θ1, x + +k40 N 2δ u − k40 N6δ v + k40 M 2δ Θ2 + k40 M 6δ Θ1 + k50 N6δ u − k50 N1δ v + k50 M 6δ Θ2 + k50 M1δ Θ1 + 0 +k10 N1 δ w + k20 N 2 δ w + k60 N 6 δ w + (q2 − m1k50 − m6 k40 − s1k61 − s2 k20 )δ γ 4 + m6δ γ 4, x + 0 +m2δ γ 4, y + (q1 + m2 k40 + m6 k50 − s1k10 − s2 k62 )δ γ 5 + m6δ γ 5, y + m1δ γ 5, x +

+Q1δ Θ2 − Q2δ Θ1 − Q1δ Θ2 + Q2δ Θ1 ) dA = − ∫ (( N1, x + N 6, y − k40 N 2 − k50 N 6 + k10Q1 + 0 +k62 Q2 )δ u + ( N 2, y

+ N 6, x + k40 N 6

A 0 0 + k5 N1 + k61 Q1 + k20Q2 )δ v + (Q1, x

+ Q, y − k10 N1 −

−k20 N 2 − k60 N 6 )δ w + ( M1, x + M 6, y − Q1 − k40 M 2 − k50 M 6 )δ Θ2 − 0 −( M 2, y + M 6, x − Q2 + k40 M 6 + k50 M1 )δ Θ1 − (m6, x + m2, y + m1k50 + m6 k40 − q2 + s1k61 +

0 0 +s2 k20 )δ γ 4 − (m1, x + m6, y − m2 k40 − m6 k50 − q1 + s1k10 + s2 k62 )δ γ5 ) dA + ∫ (( N1 + k62 M 6 )δ u + y

+( N 6 + k20 M 6 )δ v + (Q1 + M 6, y )δ w + M1δ Θ2

X + m1δ γ 5 + m6δ γ 4 ) xx= =0

dy +

0 +∫ ((N 6 + k10 M 6 )δ u + ( N 2 + k61 M 6 )δv + (Q2 + M 6, x )δ w − M 2 δ Θ1 + m2δ γ 4 + x ( x , y )=(0,1),( X ,Y )

Y +m6δ γ 5 ) yy= =0 dx − 2 M 6δ w ( x , y )=( X ,0),(0,Y ) .

A képletben s1 és s2 az egyes nyírófeszültség-komponensek eredőjét jelentik: s1 = ∫ g σ13 dz , s2 = ∫ g σ23dz . z

(14.74)

z

A feszültségek és az alakváltozások kapcsolata:

10.06.20.

243


Előadásvázlat

σ   11  σ22  = D hajl .   σ   12 

    u, x − k50 v + k10 w Q2, x + k50Θ1         0 0 0 +z + ( v, y + k4 u + k2 w −Θ1, y + k4 Θ2        0 0 0  0 0 + − + + −Θ + Θ + Θ u v k v k u k w Q k k  , y  2, y ,x 4 5 6  1, x 4 1 5 2    γ 5, x − k50 γ 4     0 ) , +g γ 4, y + k4 γ 5     0 0  γ 4, x + γ 5, y + k5 γ 5 − k4 γ 4 

(14.75)

σ23   = D nyír .  σ13   

(14.76)

 γ    k 0 γ + k 0 γ   4 62 5 2 4      . g − g  ,z    0  0   γ γ + γ k k 5    61 4   1 5    

Az igénybevételek:   u, x − k50v + k10 w     0 0  N1    v, y + k4 u + k2 w      N2   0 0 0    u, y + v, x − k4 v + k5 u + k6 w N    6     γ4 0    q2    Θ + k Θ M    2, 5 1 x      1 γ5  q1     M  = D 0 ˆ  ɶ    = D , −Θ + k Θ k 0 γ + k 0γ  .  2 1, y 4 2     s  62 5   2 4    2 0 0  0  M 6    Θ −Θ + k Θ + k Θ   0 2, y 1, x 4 1 5 2    k1 γ5 + k61γ 4   s1      m1      γ5, x − k50 γ 4    m2      0   γ 4, y + k4 γ5  m6      0 0  γ 4, x + γ5, y + k5 γ5 − k4 γ 4 

(14.77)

A mozgásegyenleteket ismételten a Hamilton-elv felhasználásával kapjuk. Ezek az egyenletek bármilyen héjtípus esetére alkalmazhatók, csak a kezdeti görbületek lesznek különbözőek. 0 ɺɺ , N1, x + N 6, y − k40 N 2 − k50 N 6 + k10Q1 + k62 Q2 = I 0uɺɺ + I1Θ 2 (14.78) 0 ɺɺ , N 6, x + N 2, y − k40 N 6 + k50 N1 + k61 Q1 + k20Q2 = I 0vɺɺ − I1Θ 1 ɺɺ , Q1, x + Q2, y − k10 N1 − k20 N 2 − k60 N 6 = I 0 w 0 ɺɺ , m6, x + m2, y + m1k50 + m6 k40 − q2 + s1k61 + s2 k20 = I 5 ɺɺγ 4 + I3vɺɺ − I 4Θ 1 0 ɺɺ , m1, x + m6, y − m2 k40 − m6 k50 − q1 + s1k10 + s2 k62 = I5 ɺɺγ5 + I3uɺɺ + I 4Θ 2 0 0 ɺɺ −M − M − k M − k M + Q = I Θ − I vɺɺ , 2, y

6, x

4

6

5

1

2

2

1

1

ɺɺ + I uɺɺ . M1, x + M 6, y − k40 M 2 − k50 M 6 − Q1 = I 2Θ 2 1 10.06.20.

244


Előadásvázlat

A peremfeltételek: (14.79)

x = 0, X ⇒ δ u = 0 vagy N1 + k M 6 ; δ v = 0 vagy N 6 + k M 6 ; δ w = 0 vagy Q1 + M 6, y ; δΘ2 = 0 vagy M1 ; δ γ 4 = 0 vagy m6 ; δ γ5 = 0 vagy m1 ; 0 62

0 2

y = 0, Y ⇒ δ u = 0 vagy N6 + k10 M 6 ; δ v = 0 vagy N 2 + k610 M 6 ; δ w = 0 vagy Q2 + M 6, x ; δΘ1 = 0 vagy M 2 ; δ γ 4 = 0 vagy m2 ; δ γ5 = 0 vagy m6 . ( x, y ) = (0,0),(0, Y ),( X ,0),( X , Y ) ⇒ δ w = 0 vagy M 6 .

Felhasznált irodalom: 1./ Nayfeh, A. H. – Pai, P. F.: Linear and nonlinear structural mechanics, John Wiley, 2004. 2./ Szilard, R.: Theory and analysis of plates, Prentice Hall, 1974. 3./ Timoshenko, S. P. – Woinowsky-Krieger, S.: Lemezek és héjak elmélete, Műszaki Könyvkiadó, 1966. 4./ Flügge, W.: Stresses in shells, Springer, 1973. 5./ http://en.wikipedia.org/wiki/Thin-shell_structure 6./ http://en.structurae.de/structures/stype/index.cfm?ID=1009 7./ http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_thin_shell_structures 8./ http://www.iass-structures.org/ 9./ Menyhárd I.: Héjszerkezetek számítása és szerkesztése, Műszaki Könyvkiadó, 1968. 10./ Csonka P.: Héjszerkezetek, Akadémiai Kiadó, 1981. 11./ Hegedűs I.: Héjszerkezetek, BME, 1999. 12./ Novozsilov, V. V.: Thin Elastic Shells, Lowe Publ., 1958. 13. Koiter, W. T.: Theory of Thin Shells, Springer, 1969.

10.06.20.

245


Előadásvázlat

Függelék Bojtár Imre: Mechanika MSc c. előadásvázlatához

10.06.20.

246


Előadásvázlat

A./ Matematikai összefoglaló A következő oldalakon – természetesen csak ismétlő jelleggel, hiszen nem lehet célunk a már ismertnek feltételezett matematikai tudásanyag újbóli tanítása – összefoglaljuk a legfontosabb matematikai változókat, valamint a gyakoribb matematikai egyenleteket és eljárásokat. Megjegyezzük, hogy itt mindazon matematikai fogalmakat összegyűjtöttük, amelyek egyáltalán előfordulhatnak a következőkben bemutatott téma tanulmányozása során, többségükre azonban viszonylag ritkán lesz szükségünk.

A tárgy tanulmányozása során használt matematikai változók és jelöléseik Matematikai típusaik szerint felsoroljuk azokat a változókat, amelyeket munkánk során használni fogunk: Skalárok Ezeket többnyire a hőmérséklet, tömeg, sűrűség, stb. jelölésére alkalmazzuk és az alábbi változótípusokkal jelöljük őket: a , b , c , α , β ,γ ,.... Vektorok Az erő, az elmozdulás, a sebesség, stb. fogalmának használatakor lesz rájuk. Többnyire vastag kisbetűket használunk azonosításukra200: f, u , v, ... Néhány fontos megjegyzés: - Egyes feladatoknál szükségünk lesz a vektorok indexes jelölésének használatára. Általános esetben 3D euklideszi térben fogalmazzuk meg a egyenleteinket201, ezért az alábbi jelölési technikát fogadjuk el az indexes és vastag kisbetűs vektorjelölések között: u = u1 e1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 = u i e i , (F.1) ahol az e i vektorok a három darab – koordinátatengely irányú – egységvektort jelentik, az u i skalárok pedig az u vektor tengelyirányú skalár vetületei. A kapcsolat tömör felírásakor felhasználtuk az úgynevezett Einstein-féle szummakonvenciót, ami azt jelenti, hogy az azonos indexeket tartalmazó tagokat össze kell adni az adott kifejezés értelmezésekor (lásd magát az előbbi definíciót). Megjegyezzük, hogy ebben az előadásvázlatban az indexek értéke alapértelmezésben mindig egytől háromig változik. Ha ettől eltérünk bármilyen irányban (kevesebb vagy több lesz a futó index végértéke), akkor azt külön jelölni fogjuk. Ugyancsak mindig felhívjuk a figyelmet arra, ha egy egyenletben vagy képletben az azonos indexeket tartalmazó tagoknál nem tekintjük érvényesnek a szumma-konvenciót.

200 201

Kivéve természetesen az indexes, vagy mátrixos jelölési módot, ahol nincs vastag betűs kiemelés. Megjegyezzük, hogy elsősorban jobbkezes koordináta-rendszert használunk.

10.06.20.

247


Előadásvázlat

- Az egységvektorok skaláris szorzatából kapott számhalmazt Kronecker202-delta tenzornak fogjuk hívni és jelölésére a görög delta betűt használjuk, két indexszel ellátva: (F.2) e i ⋅e j = δ i j . A skaláris szorzatból kapott kilenc számból három darab egységnyi értékű (amikor i = j), az összes többi szám értéke zérus. - A vektorokkal végzett műveletek nagyon fontosak lesznek számunkra. Az összeadás, kivonás, skalárral való szorzás mellett az előbb már említett skalár szorzatra203: u ⋅ v = ui vi , (F.3) egy vektor hosszának

(

u = (u ⋅ u)1/ 2 = u i u i

)

1/ 2

≥0

módon történő számítására, illetve a vektoriális szorzatra u × v = u ie i × v j e j = u i v j ( e i × e j )

(F.4) (F.5)

hívjuk fel emlékeztetőül a figyelmet, megemlítve még a hármas szorzat (u × v) ⋅ w

(F.6)

fontosságát is. - Használni fogjuk a három futó indexszel ellátott, úgynevezett permutációs (vagy más néven Levi-Civita204-) szimbólumot. Matematikai jele: ε i j k . A szimbólum elemeinek értéke:  1, ha az indexek sorrendje:123, 231 vagy 312,    εi j k = −1, ha az indexek sorrendje:132, 213 vagy 321,  .   0, ha vannak egyforma indexek .   Megjegyezzük, hogy a permutációs szimbólum segítségével például a vektoriális szorzás is egyszerűsíthető, hiszen mivel az egységvektorok vektoriális szorzata: (F.7) e i × e j = εi j k e k , a vektoroké pedig: (F.8) w = u × v = u i e i × v j e j = u i v j ( e i × e j ) = εi j k u i v j e k = wk e k , ahol

w1 = u2 v3 − u3v2 , w2 = u3v1 − u1v3 , w3 = u1v2 − u2 v1 .

A skalárt eredményező hármas szorzat számítására is felhasználható a Levi-Civitaszimbólum: (u × v) ⋅ w = V = εi j k ui v j wk = ( u2v3 − u3v2 ) w1 − ( u3v1 − u1v3 ) w2 − ( u1v2 − u2v1 ) w3 . (F.9) - A vektorok jelölésére a hagyományos lineáris algebrai szimbólumrendszert is használni fogjuk, mindig egyszer aláhúzva a vektorként jelölt értéket:

202

Leopold Kronecker (1823 – 1891) német matematikus, főleg számelmélettel foglalkozott. Tőle származik a következő kijelentés: „Isten teremtette az egész számokat, az összes többi az ember műve.” 203 A két vektor közé tett ponttal jelöljük ezt a műveletet. 204 Tullio Levi-Civita (1873 – 1941) olasz matematikus, főleg tenzorszámítással foglalkozott, de mechanikai munkái is jelentősek. 10.06.20.

248


 u1  u = ui = u = u2  ,  u3  vagy például ugyanez sorvektorként: T u = [u1 u2 u3 ] .

Előadásvázlat

(F.10/a)

(F.10/b)

Másodrendű tenzorok205 Többnyire a mechanikai feszültségek és alakváltozások megadására fogjuk őket használni. Jelölésükre a vastagon szedett nagybetűket, vagy a vastagon szedett görög betűket használjuk (kivéve most is az indexes illetve mátrixos jelölést), például: σ, ε , A,B ,.... Fontos megjegyzések a jegyzetben használt tenzorokhoz: -

A másodrendű tenzort az alábbiak szerint definiáljuk: (F.11) a=Bc , ahol a B tenzor az a és c vektorok között kapcsolatot leíró lineáris operátor. A másodrendű tenzor 3 x 3, vagyis összesen kilenc elemet tartalmaz, szokásos indexes jelölési módja így: Bi j . A két vektor közötti kapcsolat indexes és lineáris algebrai írásmóddal: (F.12) ai = B i j c j , a = B c . Gyakran fogjuk használni egyenleteinkben két vektor tenzor- (más elnevezéssel direkt-, mátrix-, diád-) szorzatát. Ennek szimbolikus alakja: (F.13) u⊗v ,

205

A „tenzor” elnevezés latin eredetű (tensi: nyújtani, feszíteni), mechanikai alkalmazásokból terjedt el más szakterületekre is. Első matematikai definíciója William Rowan Hamiltontól (lásd az első fejezet lábjegyzetét) származik 1846-ból, mechanikai alkalmazásként pedig először Woldemar Voigt (lásd az 5. fejezet lábjegyzetét) 1898-as publikációjában olvashatunk róla. A tenzorszámítás jórészt ma is használatos matematikai technikáját Gregorio Ricci-Curbastro (1853 -1925, olasz matematikus) dolgozta ki az 1890-es években. Fogalmát ma már a természettudományok számos területén használják, legáltalánosabb definícióját pedig a matematika csoportelméleti (az algebrai struktúrák elemzésével foglalkozó tudományág) meghatározása szerint szokták megadni: eszerint a tenzorok olyan mennyiségek, amelyek az önábrázolás direkt szorzatai szerint transzformálódnak. A direkt szorzatban előforduló tényezők száma szerint nevezzük a tenzorokat első-, másod-, harmad- stb. rendűnek. Más tudományterületek (absztrakt algebra, geometriai vektoralgebra, kategóriaelmélet, matematikai fizika, lineáris algebra) ettől eltérő definíciókat is használnak. Mi ebben a tárgyban feladataink jellege miatt elsősorban a lineáris algebrában szokásos meghatározást fogadjuk el, az itteni Függelékben közölt definíció ehhez illeszkedik. Megjegyezzük, hogy egyes műszaki munkákban is szokás a vektorokat elsőrendű-, a skalárokat pedig nulladrendű tenzorokként definiálni. Mi nem követjük ezt a jelölésmódot, és a tenzor elnevezést csak a másod- illetve magasabbrendű változatokra fogjuk használni. 10.06.20.

249


Előadásvázlat

a művelet eredménye pedig egy másodrendű tenzor, melynek elemei az u i v j (vagy T

másképpen: u v ) szorzattal értelmezhetők. A tenzorszorzat nem kommutatív, vagyis ha u ≠ v , akkor

u ⊗ v ≠ v ⊗ u, (u ⊗ v )(w ⊗ x) ≠(w ⊗ x)(u ⊗ v ) .

(F.14)

-

Minden másodrendű tenzor megadható diádok lineáris kombinációjával: (F.15) A = Ai j e i ⊗ e j . Az ilyen típusú felbontásra mechanikai feladatoknál sokszor van szükség. A tenzorok lineáris algebrai – mátrixos – megadását is használni fogjuk egyenleteinkben. Ilyenkor vagy kapcsos zárójelbe tett vastag betűvel, vagy kettős aláhúzással (és vékony betűvel) jelöljük a tenzort (többnyire ezt a jelölést használjuk!):  A11 A12 A13    A  A = A = A A (F.16) [ ]  21 22 23  .    A31 A32 A33    Megjegyezzük, hogy a mátrix elemeinek jelölésére szokás kisbetűket is használni ( a 11 , a 12 , stb . ). Egy tenzor szimmetrikus, ha megegyezik transzponáltjával ( S =S T ), és ferdén szimmetrikus, ha megegyezik transzponáltja ellentettjével ( B = − B T ). A ferdén szimmetrikus tenzor főátlójában zérus elemek vannak. Minden tenzor egyértelműen felbontható egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus tenzor összegére: 1 1 (F.17) A =S + B, ahol S = ( A + AT ), B = ( A − AT ) . 2 2 Egy tenzor nyomának (rövidítése „tr”, vagy „sp”) definícióját a tenzorszorzat segítségével adják meg. Az u ⊗ v szorzatnál az eredményül kapott másodrendű tenzor mátrix alakjának főátlóbeli elemeit összeadva az u ⋅ v = ui vi skalárhoz jutunk, amit a tenzorszorzat nyomának fogunk hívni: tr (u ⊗ v) = u ⋅ v = ui vi . (F.18) Ezt felhasználva a másodrendű tenzor nyomának az alábbi módon számítható skalárt nevezzük: (F.19) tr A = tr ( Ai j e i ⊗ e j ) = A i j tr ( e i ⊗ e j )= Ai j ( e i ⋅ e j )= A i j δ i j = Ai i . Egységtenzort állíthatunk elő a Kronecker-delta és az egységvektorok segítségével: (F.20) I = δi j ei ⊗ e j = e j ⊗ e j ; Minden tenzor felbontható egy úgynevezett gömbi és egy deviátoros tenzor összegére: 1 1 (F.21) A = G + D, ahol G = α I, α = tr A = Ai i . 3 3 1 A deviátoros rész (D) előállításának alapelve: dev (•) = (•) − tr (•) I . 3 10.06.20.

250


Előadásvázlat

Két tenzor úgynevezett „kétpontos” szorzatánál a műveleti jel egy kettőspont, az eredmény a kettős belső összeadás miatt skalár. Az értelmezés a következő: (F.22) c = A : B = Ai j B i j . Megjegyezzük, hogy a kétpontos tenzorszorzat szintén számítható a nyom segítségével: (F.23) A:B = B:A = tr( A T B ) = tr( B T A ) . A másodrendű tenzorok kétpontos szorzatának tulajdonságaiból adódnak a következő összefüggések: (F.24) A : ( BC ) = ( BT A ) : C= ( AC T ) : B A tenzorokkal az összeadás, kivonás és szorzás művelete értelmezhető, az osztásé nem. A szorzás műveleténél ügyelni kell a szimbólumok típusára, például két tenzor úgynevezett skaláris szorzatánál belső indexek szerint összegezve újabb tenzort kapunk, a szorzás szimbóluma ilyen esetben egy pont a két tenzor között (kivéve természetesen az indexes jelölést): (F.25) C = A ⋅ B, A i j B j k = C i k , C = A B . Ugyanez érvényes vektor és tenzor skaláris szorzatára: (F.26) v = A ⋅ u, v i = A i j u j , v = A u . Megjegyezzük, hogy sokszor az egyszerűség kedvéért elhagyjuk a „pontot”, csak egyszerűen egymás mellé írjuk a tenzorok, vagy a vektor jelét: (F.27) C = A ⋅ B = A B, v = A ⋅ u = A u . A különböző mechanikai egyenletek értelmezésénél használják a tenzorok alábbi minősítését (az értelmezés az A tenzorra vonatkozik): pozitív szemi-definit tenzor ( v ⋅ Av ≥ 0 minden v ≠ 0 vektorra), pozitív definit tenzor ( v ⋅ Av > 0 minden v ≠ 0 vektorra), negatív szemi-definit tenzor ( v ⋅ Av ≤ 0 minden v ≠ 0 vektorra), negatív definit tenzor ( v ⋅ Av < 0 minden v ≠ 0 vektorra). Egy tenzor normája egy nem-negatív valós szám, értékét kétpontos szorzat segítségével határozhatjuk meg: A = ( A : A)1 / 2 = ( Ai j Ai j )1 / 2 ≥ 0 . (F.28) A tenzor determinánsa szintén skalár, számításánál a tenzor mátrix alakját használjuk:  a 11 a 12 a 13     det A = det A = det  a 21 a 22 a 23  . (F.29)    a 31 a 32 a 33    Egy tenzort akkor és csakis akkor nevezünk szingulárisnak, ha determinánsa zérus. Ha determinánsa zérustól különböző, akkor nem-szinguláris tenzornak hívjuk. Ebben az esetben kiszámítható az inverz tenzor (jele: A -1 ), melynek a következő tulajdonságai vannak: −1 −1 (F.30) A A -1 = A -1 A = I, A A = A A = I . Ha az (azonos méretű) A és B tenzor egyaránt invertálható, akkor igaz a következő állítás: −1 (F.31) ( A B ) = B −1 A −1 . 10.06.20.

251


Előadásvázlat

Egy tenzort ortogonális tenzornak hívunk, ha a transzponáltjával ponáltjával való szorzata egységtenzort ad eredményül: (F.32) QT Q = Q QT = I . Ilyen tenzorral transzformálva két, egymáshoz képest θ szöget bezáró vektort, a transzformálás után sem a vektorok hossza, sem a köztük levő szög nem változik, vagyis: (F.33) Q u ⋅Q v = u ⋅ v .

Ezt a transzformációt ábrázolja a következő ábra:

F.1. ábra: Ortogonális transzformáció Voigt206 szabálya: szimmetrikus másodrendű tenzorok vektorba rendezésére fogjuk használni, a mechanikai egyenletek felírásánál lesz igen hasznos. A szabály megkülönbözteti a feszültség feszültség(kinetikus Voigt-szabály szabály), illetve az alakváltozástenzorok ((kinematikus Voigt-szabály) elemeinek lemeinek átrendezését: a./ Kinetikus Voigt-szabály:

 σ11   σ11 σ12    σ=   ⇒ σ = σ22  , σ = σ σ  21 22   σ12 

 σ11 σ12 σ  21 σ 22 σ 31 σ 32

 σ11  σ   22  σ13  σ  σ 23  ⇒ σ =  33  . σ 23  σ 33   σ13     σ12 

(F.34)

b./ Kinematikus Voigt-szabály:

 ε11 ε=  ε 21

206

 ε11  ε12  ⇒ ε =  ε 22  , ε = ε 22  2ε12 

 ε11 ε  21 ε 31

ε12 ε 22 ε 32

 ε11  ε   22  ε13  ε  ε 23  ⇒ ε =  33  . 2ε 23  ε 33   2ε13     2ε12 

(F.35)

Woldemar Voigt (1850 – 1919) német fizikus, elsősorban kristályfizikai kutatásairól ismert.

10.06.20.

252


Előadásvázlat

Magasabbrendű tenzorok Elsősorban az anyagmodellek bemutatásakor illetve használatakor lesz rájuk szükségünk. Vastag nagybetűkkel207 fogjuk őket jelölni: C, D,…. Megjegyzések a magasabbrendű tenzorokhoz: - Egy n-ed rendű tenzor általános alakja: Ai i .....i e i ⊗ e i ⊗ ...... ⊗ e i . Mechanikai számításainkban elsősorban negyedrendű tenzorokra lesz szükségünk, ezeknek 34 = 81 elemük van, hiszen indexes jelöléssel alakjuk A i j k l módon írható fel. - Ha két másodrendű tenzort (A és B) tenzorszorzattal kapcsolunk össze, akkor egy negyedrendű D tenzort kapunk: D = A ⊗ B ↔ D i j k l = A i j B k l . - Egy negyedrendű tenzor (A) és egy másodrendű tenzor (B) kétpont szorzata egy másodrendű tenzort ad eredményül: A : B = Ai j k l B k l e i ⊗ e j . - Egy harmadrendű tenzor (A) és egy másodrendű tenzor (B) kétpont szorzata egy vektort ad eredményül: A :B = Ai j k B j k e i . 1 2

n

1

2

n

Tenzorok sajátértékei és sajátvektorai A mechanikai feladatoknál gyakran lesz szükségünk a sajátértékek számítására. A tenzorok viszonylag kicsiny mérete miatt a számításoknál elegendő az általánosított sajátértékfeladat karakterisztikus egyenletének megoldásával számítani a sajátértékeket. Az alábbi egyenletekben most összegzés nélkül használjuk az indexek ismétlését ( λ az A tenzor keresett sajátértéke, nˆ a keresett sajátvektora): A nˆ i = λ i nˆ i → ( A − λ i I ) nˆ i = 0 → det( A − λ i I ) = 0 →

→ λ3 − I1λ 2 + I 2λ − I 3 = 0, (F.36) ahol a karakterisztikus egyenlet együtthatóit a tenzor első, második és harmadik invariánsának nevezzük: I1 ( A) = tr A = λ1 + λ 2 + λ3 , I 2 ( A) = tr A-1 det A = λ1λ 2 + λ1λ3 + λ 2λ3 , (F.37) I 3 ( A ) = det( A ) = λ 1 λ 2 λ 3 ; Az (F.36)-os egyenlet megoldására többféle módszer ismert. Alkalmazható Cardano208 képlete vagy valamelyik modern matematikai szoftver (Mathematica, Maple, stb.), de akár zsebszámológéppel is számíthatók az egyenlet gyökei a Simo-Hughes-féle algoritmus segítségével (lásd az elméleti részleteket a [15] alatti könyvben). Az algoritmus lépései: -

Számítsuk ki az (F.37) alatti képletben felsorolt mindhárom invariánst. Számítsuk ki az alábbi segédváltozókat: 1 1 r = (−2 I13 + 9 I1 I 2 − 27 I 3 ) , q = ( I12 − 3I 2 ) , θ = arccos r / q 3 . 54 9

(

)

207

Egyes könyvek speciális betűtípusokat használnak erre a célra. Ebben a jegyzetben ettől eltekintünk, de – megkülönböztetésül a másodrendű tenzoroktól – mindig pontosan megadjuk, hogy milyen tenzorral dolgozunk. 208 Gerolamo Cardano (1501 – 1576) olasz matematikus. Elsősorban a harmadfokú egyenlet megoldására kidolgozott képletéről és kardántengely megalkotásáról ismert. 10.06.20.

253


Előadásvázlat

-

Az egyes sajátértékek a segédváltozók és az invariánsok felhasználásával a következőképpen határozhatók meg: 1 1 λ1 = −2 q cos (θ / 3) + I1 , λ 2 = −2 q cos {(θ + 2π) / 3} + I1 , 3 3 (F.38/a) 1 λ3 = −2 q cos {(θ − 2π) / 3} + I1 . 3 A sajátértékek számítása után a sajátvektorok a Simo-Hughes-algoritmus segítségével a következőképpen adódnak: - Abban az esetben, ha mindhárom sajátérték különböző, akkor:  2  λi  A − ( I − λ ) A + I 3 I . (F.38/b) nˆ i ⊗ nˆ i = 3 i 1 λ i  2λ i − I1λ i2 + I 3  - Ha két sajátérték egyenlő, (például: λi ≠ λ j = λ k ), akkor -

nˆ j ⊗ nˆ j = I − nˆ i ⊗ nˆ i . Ha mindhárom sajátérték egyforma, akkor nˆ i ⊗ nˆ i = I .

(F.38/c) (F.38/d)

Itt, a tenzorok sajátértékeinek vizsgálatánál említjük meg azt is, hogy sajátértékek és a hozzájuk tartozó sajátvektorok segítségével elvégezhető minden tenzor úgynevezett spektrálfelbontása: 3

A = AI = ( A nˆ i ) ⊗ nˆ i = ∑ λ i nˆ i ⊗ nˆ i ,

(F.39)

i =1

és ugyancsak itt jegyezzük meg, hogy a Cayley209-Hamilton210-tétel értelmében minden tenzor kielégíti saját karakterisztikus egyenletét211: (F.40) A 3 − I1A 2 + I 2 A − I 3I = 0 . Vektorok és tenzorok transzformációja Mechanikai számításokban nagyon gyakran van szükség két különböző koordinátarendszer közötti transzformáció végrehajtására. Ezeket a műveleteket egy T másodrendű transzformációs mátrix segítségével lehet elvégezni. T ortogonális mátrix ( T−1 = TT ), elemeit a koordinátarendszerek közötti szögek koszinuszainak segítségével lehet kiszámítani (lásd a következő ábrát): Ti j = cos θ(ei , e% j ) = ei ⋅ e% j . (F.41)

209

Arthur Cayley (1821 – 1895) angol matematikus, főleg lineáris algebrai kutatásokkal foglalkozott. 210 Sir William Rowan Hamilton (1805 – 1865) ír matematikus és fizikus. Optikával, dinamikával és algebrával foglalkozott. 211 Ahol A 3 =A ⋅ A ⋅ A , stb. 10.06.20.

254


Előadásvázlat

F.2. ábra: Koordinátarendszerek közötti szögek értelmezése A két koordinátarendszer egységvektorai közötti transzformációs kapcsolat: e% i = Tei = T jie j ⇔ ei = TT e% i = Ti j e% j . Egy tetszőleges u vektor esetén, amely a két különböző bázisban u%i = u ⋅ e% i , ui = u ⋅ ei a fenti módon írható fel, a következőképpen adható meg a transzformáció: u% = T T u ⇔ u = Tu% .

(F.42)

(F.43) (F.44)

Fontos megjegyeznünk, hogy jelen értelmezésben u és u% fizikailag ugyanazt a vektort jelenti, csupán két különböző koordinátarendszerben ábrázoljuk a koordinátáikat. Ugyanezt a transzformációt természetesen arra is felhasználhatjuk, ha egy darab adott vektort akarunk ugyanabban a koordinátarendszerben elforgatni . Ilyenkor a transzformáló mátrix és inverze az oda-vissza forgatás céljára használhatók. Példaként mutatjuk a következő ábra vázlatát:

F.3. ábra: Vektor transzformációja és elforgatása Az első esetben az (x,y) rendszerben (1,1) koordinátákkal rendelkező vektor koordinátáit transzformáljuk a (ξ, η) bázisba, majd megismételjük a transzformációt vissza a (ξ, η) bázisból vissza az (x,y) rendszerbe:

10.06.20.

255


Előadásvázlat

 2  2 / 2 ξ T x  η = T  y  ⇒   =       0   − 2 / 2

2 / 2 1   , 2 / 2 1

x ξ  1  2 / 2 − 2 / 2   2  = ⇒ T   .  y  η 1 =  2 / 2   0         2 / 2 A második esetben csak az (x,y) rendszert használjuk. Elforgatjuk a

(

2, 0

)

koordinátájú vektort az (x,y) síkban eredeti helyzetéhez képest 45 fokkal az óramutató irányában és a számítással most megkapjuk az elforgatott vektor koordinátáit ugyanabban a rendszerben: 1  2 / 2 − 2 / 2   2  u elforg . = T u ere det i =   =    . 2 / 2   0  1  2 / 2 Ha az elforgatást az „ellenkező” (jelen esetben az óramutató járásával ellentétes) irányban akarjuk elvégezni, akkor a transzformáló mátrix inverzét kell használnunk:  2  2 / 2 2 / 2  1 T u ere det i = T u elforg . =   =    . 0 − 2 / 2 2 / 2   1    Másodrendű tenzorok esetén a transzformáció (a vektorokéhoz hasonló értelmezésekkel) a következőképpen hajtható végre: % = T T AT ⇔ A = TAT % T. A (F.45)

Mechanikai feladatoknál gyakran használatos függvénytípusok és néhány alapvető matematikai művelet Mechanikai feladatainkban találkozni212:

leggyakrabban

az

alábbi

függvénytípusokkal

fogunk

- a független változó skalár: Φ = Φ (t ) , u = u (t ) , A = A (t ) , (skalár-skalár, skalár-vektor, és skalár-tenzor függvények), - a független változó vektor: Φ = Φ (u ) , v = v (u ) , A = A (u ) , (vektor-skalár, vektorvektor, vektor-tenzor függvények)), - a független változó tenzor: Φ = Φ ( A ) , u = u ( A ) , B = B ( A ) , (tenzor-skalár, tenzorvektor, tenzor-tenzor függvények). A következőken emlékeztetőül felírjuk néhány gyakoribb függvénytípus gradiensének számítási módját. Vektor-skalár függvény gradiense Egy folytonos Φ ( x ) skalár mező (ilyen például a hőmérséklet vagy az anyag sűrűsége) az x helyen Taylor213-sorba fejthető az alábbi módon: (F.46) Φ ( x + dx ) = Φ ( x ) + d Φ + o ( d x ) ,

212 213

A felsorolásban dőlt betűvel kiemeltekre külön is kitérünk az összefoglalóban. Brook Taylor (1685 – 1731) angol matematikus. Függvénytani vizsgálatai tették híressé nevét.

10.06.20.

256


Előadásvázlat

ahol (és a további hasonló képletekben is) az o ( • ) tag az úgynevezett Landau214-szimbólum. Ennek a tagnak mindig gyorsabban kell zérushoz tartania, mint ahogy d x → 0 . A jobb oldalon szereplő dΦ tagot a Φ ( x ) függvény teljes differenciáljának hívják. Ez a tag jellemzi az x valamint az x + dx helyek között a függvény változását: ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ dΦ = ⋅ dx = dx i = dx1 + dx2 + dx3 . (F.47) ∂x ∂x i ∂x1 ∂x2 ∂x3 Megjegyezzük, hogy a továbbiakban gyakran fogjuk használni az alábbi tömör és egyszerű ∂Φ =Φ ,i . jelölést: ∂x i Vezesük be most a nabla215-operátort az alábbi tartalommal: ∂ (•) ∂ (•) ∂ (•) ∂ (•) (F.48) ∇(•) = ei = e1 + e2 + e3 . ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3 Ennek felhasználásával a teljes differenciál és a függvény gradiense végül az alábbi alakban írható fel: ∂Φ d Φ = ∇Φ⋅ d x , grad Φ =∇Φ = ei . (F.49) ∂x i Tenzor-skalár függvény gradiense Számítsuk ki egy nemlineáris, sima Φ = Φ ( A ) tenzor-skalár függvény gradiensét, ahol A egy másodrendű tenzor. Az előző ponthoz hasonlóan Taylor-sorba fejtve: (F.50) Φ ( A + dA ) = Φ ( A ) + dΦ + o ( dA ) , ahol a teljes differenciál részletes alakja:  ∂Φ( A ) T  ∂Φ( A)  dA  . dΦ = : dA = tr  (F.51)   ∂A  ∂A   o ( dA ) A Landau-szimbólum most: lim =0. dA → 0 d A A keresett gradiens egy másodrendű tenzor lesz:  ∂Φ ∂Φ    .  ∂a11 ∂a13   ∂Φ ( A )  grad Φ ( A)= = . . .  . (F.52) ∂A  ∂Φ  ∂Φ   .  ∂a ∂a33   31  Ennek a műveletnek az illusztrálására bemutatunk egy kis példát: Bizonyítsuk be, hogy egy A másodrendű tenzor esetén igaz az alábbi egyenlőség: ∂ det A (F.53) = det A A −T . ∂A A bizonyításhoz felhasználjuk a determinánsok számításánál alkalmazott 214

Lev Davidovics Landau (1908 – 1968) szovjet fizikus. Elsősorban a szélsőséges hőmérsékletek fizikájával foglalkozott. 215 Az elnevezés az ógörög „hárfa” szóból származik. Hamilton (lásd a 10. lábjegyzetet) használta először és a hárfára hasonlító alakja miatt adta neki ezt a nevet. 10.06.20.

257


Előadásvázlat

det ( AB)= det A det B (F.54) tételt. Ennek segítségével felírhatjuk az alábbi egyenlőséget: (F.55) det ( A+ d A ) = det  A (I+A−1 d A ) = det A det (I+A−1 d A ) .   Az utolsó tag nagyon hasonlít a sajátérték-feladatnál alkalmazott összefüggésre, azzal a kivétellel, hogy most A helyett A−1 d A szerepel a zárójelben és λ = − 1 . Ennek figyelembevételével írjuk most fel az invariánsokat tartalmazó karakterisztikus egyenletet: det (I+A −1 d A ) =1 + I 1 ( A -1 d A) + I 2 ( A -1 d A ) + I 3 ( A -1 d A ) = = 1 + tr ( A -1 d A ) + o (d A )

(F.56)

Az elhanyagolásnál azt vettük figyelembe, hogy a második invariáns négyzetesen, a harmadik pedig köbösen függ dA –tól, így mindkettő kellően kicsinynek tekinthető a további számításoknál. Használjuk most fel a gradiens-számításnál is alkalmazott sorfejtést216 (csak most Φ( A) skalár helyett detA tenzort használva), így az alábbi egyenlőséghez jutunk:  ∂ det A T   d A + o (d A ) . det ( A+ d A ) = det A+ tr  (F.57)   ∂A    Ugyanerre a kifejezésre van egy másik eredményünk is, amit a sajátérték-feladatos átalakítással kaptunk ((F.55)-be behelyettesítve (F.56)-ot): det ( A+ d A ) = det A 1 + tr ( A−1 d A ) + o (d A ) =   = det A + tr (det A A −1 d A ) + o (d A ).

Ezeket összehasonlítva (és felhasználva a kétpontszorzásra mondottakat): ∂ det A :d A = det A A −T : d A . ∂A Ennek alapján az eredeti (F.53) állítás helyessége belátható.

(F.58)

(F.59)

Tenzor-tenzor függvény gradiense Az előző pontokban bemutatott gondolatmenet segítségével az A(B) függvény Taylor-sora és a teljes differenciál: ∂A(B) (F.60) A(B + dB) = A(B) + dA + o(dB), dA = : dB . ∂B A függvény gradiense: ∂A ( B ) grad A (B )= . (F.61) ∂B Egyéb fontos változók és műveletek Felsorolásszerűen összegyűjtöttük néhány olyan műveleti utasítás képletét, amelyekre egyes mechanikai vizsgálatoknál szükség lesz:

216

Lásd az (F.50) és (F.51)-es egyenleteket.

10.06.20.

258


Előadásvázlat

- Nabla-operátor hengerkoordináta-rendszerben: ∂ 1 ∂ ∂ ∇T =  , , .  ∂r r ∂β ∂z  - Laplace217-operátor: ∆ =∇⋅∇ =∇2 ; ∇ 2 (•) =

(F.62)

∂ 2 (•) . ∂xi2

(F.63) - Laplace-operátor hengerkoordináta-rendszerben: ∂ 2 (•) 1 ∂ (•) 1 ∂ 2 (•) ∂ 2 (•) . ∆ (• ) = + + 2 + r ∂r ∂r 2 r ∂β 2 ∂z 2 - Hesse218-operátor:

∇ ⊗ ∇(•) =

- Irány menti (Gateaux219-féle) derivált: Φ (x) Vizsgáljunk egy skalár

(F.64)

∂ 2 (•) ei ⊗ e j . ∂xi ∂x j

függvényt

(F.65)

a

3D

térben.

A

Φ (x) = Φ ( x1 , x2 , x3 ) = állandó értékű helyeket szintfelületnek hívják. A szintfelületen x elemien kicsiny közelében (tőle legfeljebb d x távolságban) lévő pontoknál d Φ = 0 . A felületre merőleges normális vektort a gradiens-képzés segítségével számíthatjuk (most sorvektor formájában írtuk fel):  ∂Φ ∂Φ ∂Φ  ∂Φ grad Φ = → (F.66) . ∂x  ∂x1 ∂x2 ∂x3  Ha a szintfelületen egy adott x pontnál a normális irányú egységvektorra van szükségünk, akkor ezt az eredményt már csak normálnunk kell (lásd még a következő ábrát): grad Φ n= . (F.67) grad Φ

F.4. ábra: Irány menti derivált 217

Pierre-Simon de Laplace (1749 – 1827) kiváló francia matematikus. Csillagászattal és mechanikai számításokkal is sokat foglalkozott. 218 Ludwig Otto Hesse (1811 – 1874) német matematikus. Főleg lineáris algebrával és az invariánsok használatával foglalkozott. 219 René Eugéne Gateaux (1889 – 1914) kiváló francia matematikus. Az első világháborúban halt meg 25 éves korában. 10.06.20.

259


Előadásvázlat

Vegyünk fel az x pontnál egy olyan u vektort, amely grad Φ irányával θ szöget zár be. A (F.68) grad Φ ⋅ u módon definiált szorzatot a Φ (x ) függvény u vektor irányába eső irány menti vagy más néven Gateaux-féle deriváltjának nevezik. Az u vektor irányának (rögzített x körüli) változtatásával az irány menti derivált maximumát akkor kapjuk amikor cos θ = 1 , vagyis u és n iránya megegyezik. Minimumot cos θ = − 1 -nél, vagyis az ellenkező irány esetén kapunk. Az irány menti derivált azon speciális esetét, amikor az n irányú esetet számítjuk, normál deriváltnak szokták nevezni. Ebben az esetben: grad Φ ⋅ n = grad Φ . (F.69) - Vektormező gradiense: A vektorok gradiensének számítására kétféle változatot használ a szakirodalom. Az egyik változatot jobb gradiensnek nevezik:  ∂u1 ∂u1 ∂u1    ∂x1 ∂x2 ∂x3   u  1  ∂ ∂ui ∂ ∂   ∂u2 ∂u2 ∂u2  T grad u = ( ∇ ⊗ u ) = ei ⊗ e j = u2    , (F.70/a) = ∂x j ∂x1 ∂x2 ∂x3   ∂x1 ∂x2 ∂x3    u3   ∂u3 ∂u3 ∂u3     ∂x1 ∂x2 ∂x3  míg a másik változat neve bal gradiens220:  ∂u1 ∂u2 ∂u3   ∂       ∂x1 ∂x1 ∂x1   ∂x1   ∂u ∂u2 ∂u3   ∂  T (F.70 / b) ( grad u ) =   [u1 u2 u3 ] =  1  .  ∂x2 ∂x2 ∂x2   ∂x2   ∂u ∂u2 ∂u3   ∂   1     ∂x3   ∂x3 ∂x3 ∂x3  Megjegyezzük még, hogy a vektormező gradiensének jelölésére sokszor használják a diadikus szorzat nélküli szimbolikus képletet is: grad u = ( ∇u ) . Vigyázni kell, hogy semmiképpen ne keverjük a vektormező divergenciájára vonatkozó jelöléssel (lásd néhány sorral lejjebb: div u = ∇ ⋅ u ). T

- Vektorok szorzatának gradiense: ( grad(u ⋅ v ) ) = ( grad u ) v + ( grad v ) u . T

T

- Másodrendű tenzor gradiense: grad A = ( ∇ ⊗ A )

T

=

∂Ai j ∂xk

T

ei ⊗ e j ⊗ e k .

∂ui ∂u1 ∂u2 ∂u3 = + + . ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3 Ha ez az érték zérus, a vektormezőt divergencia-mentesnek szokták mondani.

- Vektormező divergenciája: div u = ∇ ⋅ u =

220

(F.71) (F.72)

(F.73)

Megjegyezzük, hogy egyes művekben a ∇ ⊗ u és u ⊗∇ jelölésváltozatokkal is találkozhatunk.

10.06.20.

260


Előadásvázlat

- Másodrendű tenzor divergenciája221:

div A = A ⋅∇ =

∂Ai j ∂x j

ei .

(F.74)

- Vektormező divergenciája hengerkoordináta-rendszerben: 1 ∂ 1 ∂ uβ ∂ uz div u = ∇ ⋅ u = (r ur ) + + . r ∂r r ∂ β ∂ z - Divergenciaszámításra vonatkozó hasznos összefüggések: div(φ u) = φ div u + u ⋅ grad φ,

(F.75)

div(φ A) = φ div A + A ⋅ grad φ,

(F.76)

div( AT u) = div A ⋅ u + A : grad u, div( AB) = grad A : B + A div B .

- Vektormező rotációja: ∂u j  ∂u ∂u   ∂u ∂u   ∂u ∂u  rot u = ∇× u = ei × e j =  3 − 2  e1 +  1 − 3  e2 +  2 − 1  e3 . (F.77) ∂xi  ∂x1 ∂x2   ∂x2 ∂x3   ∂x3 ∂x1  Ha ez az érték zérus-vektor, akkor a vektormezőt rotáció-mentesnek (néha pedig konzervatívnak) mondják. - Vektormező rotációja hengerkoordináta-rendszerben:  1 ∂uz ∂uβ  1  ∂(ruβ ) ∂ur  ∂ur ∂uz  − − − rot u = ∇× u =   er +   eβ +  r  ∂r ∂β  ∂z ∂r  r ∂ β ∂ z - Másodrendű tenzor rotációja:  ∂ ∂   0  −  ∂z ∂y     a11 a12 a13    ∂ ∂   rot A = ∇× A =  0 −  a21 a22 a23  =   ∂z ∂x     a31 a32 a33     ∂  ∂ 0  −  ∂y ∂x   ∂a21 ∂a31 ∂a ∂a − + − 22 + 32  ∂z ∂y ∂z ∂y   ∂a11 ∂a31 ∂a12 ∂a32 = − −  ∂z ∂x ∂z ∂x   ∂a11 ∂a21 ∂a12 ∂a22 + − + −  ∂y ∂x ∂x ∂y

  ez . 

∂a ∂a  − 23 + 33  ∂z ∂y   ∂a13 ∂a33  . − ∂z ∂x   ∂a13 ∂a23  − +  ∂y ∂x 

(F.78)

(F.79)

Integráltételek A mechanika alapegyenleteinek felírásakor, a munka- és energiatételek használatakor és még számos más mechanikai feladatnál van fontos szerepük a matematika integrálegyenleteinek.

Megjegyezzük, hogy egyes művekben ugyanezt ∇ ⋅ A módon jelölik. Előfordul az is, hogy (F.74) transzponáltját használják a tenzor divergenciájának számítására: (∂Ai j / ∂xi )ei .

221

10.06.20.

261


Előadásvázlat

A matematikai eszköztár ismétlését ezekkel zárjuk. - Divergenciatétel (Gauss222-tétel): Legyen u(x) és A(x) egy V térfogaton (3D konvex zárt tartományban) értelmezett sima vektor- és tenzormező. A tartományt S felület határolja (lásd a következő vázlatot):

F.5. ábra: Divergenciatétel Erre a tartományra igaz az alábbi két tétel: ∫ u ⋅ n dS = ∫ div u dV , ∫ A ⋅ n dS = S

V

S

∫ divA dV

.

(F.80)

V

- Gauss-Osztrogradszkij223-(Green224) tétel: Amennyiben a divergenciatétel képleteinél A = Φ I helyettesítést alkalmazzuk és figyelembe vesszük, hogy div ( ΦI ) = grad Φ , akkor az alábbi tételhez jutunk:

∫ Φ n dS S

=

∫ grad Φ dV

;

(F.81)

V

- Green tételei: Amennyiben az (F.81)-es képletnél Φ helyébe c grad Φ kifejezést írunk (c ismert skalár), akkor a megfelelő behelyettesítések és átalakítások végrehajtása után a Green-féle első integráltételhez jutunk:

∫ ( c ∆Φ + grad c ⋅ grad Φ ) dV = ∫ c grad Φ ⋅ n dS . V

(F.82/a)

S

222

Carl Fridrich Gauss (1777-1855) német matematikus és fizikus, a világ legnagyobb tudósainak egyike. 223 Mihail Vasziljevics Osztrogradszkij (1801 – 1862) orosz matematikus, elsősorban függvénytannal foglalkozott. 224 George Green (1793 – 1841) kiváló angol fizikus, az energiaelvű számítások népszerűsítője a mechanikában. 10.06.20.

262


Előadásvázlat

Ha az egyenletben felcseréljük c-t és Φ -t, majd az így kapott egyenletet kivonjuk (F.82/a)-ból, megkapjuk a második Green-integráltételt: (F.82/b) ∫ ( c ∆Φ − Φ∆c ) dV = ∫ ( c grad Φ − Φ grad c ) ⋅ n dS . V

S

- Stokes225-tétel: Ez a tétel nyitott felületekre és zárt vonalakra vonatkozó integrálokat kapcsol össze, lásd az F.6 ábrát. Vezessünk be egy (a felületen lévő ) C görbéhez tartozó, dx-szel jelölt érintővektort, és egy felülethez tartozó n normálvektort. A görbe az ábrán látható jobbkezes irányítottsággal rendelkezik. A felületen levő sima u vektormezőre érvényes az alábbi tétel: (F.83) ∫ u ⋅ dx = ∫ rot u ⋅ n dS . C

S

Ha a felület zárt, akkor a bal oldal zérusra redukálódik.

F.6. ábra: A felület rajza a Stokes-tételhez

Variációszámítási alapfogalmak A mechanika variációs feladatainál (például a munka- és energiatételek alkalmazásánál) szükségünk van az ehhez kapcsolódó matematikai fogalmak használatára. A számunkra fontos változók és tételek: -

Variációs operátor: Jele δ , mindig egy adott matematikai mennyiség megváltozására utal. Értelmezését egy u skalár függvénynek egy egyszerű mechanikai feladatra való alkalmazásán illusztráljuk:

Legyen u = u(x) egy nyugalomban lévő mechanikai rendszer valamelyik állapotjellemző függvénye, és tételezzük fel, hogy a vizsgált rendszer teljes külső S határfelületének egy S1 -gyel jelölt részén a függvény előírt értékű, vagyis ott u = u . Vezessünk be egy kicsinynek tekintett α paraméter segítségével egy 225

Sir George Gabriel Stokes (1819 – 1903) angol matematikus és fizikus. Áramlástani vizsgálatai jelentősek. 10.06.20.

263


Előadásvázlat

uˆ = u + αv (F.84) függvényt, amely a vizsgált rendszer egészére érvényes. A v függvénynél előírjuk, hogy homogén peremfeltételeket226 teljesítő legyen az S1 tartományban, azaz v = 0 → S1 − en. (F.85) Az α v tagot az u függvény egy adott állapotához tartozó variációjának nevezzük. A variációk száma végtelen, de mindegyiküknek teljesítenie kell az S1 -re vonatkozó peremfeltételt. Bármilyen v függvényt is veszünk fel, α = 0 esetén az eredeti függvényhez jutunk. Ebből az állításból következik, hogy bármelyik rögzített x esetén α v valóban u adott konfigurációjának változása, variációja. Ezt a variációt fogjuk a továbbiakban δu -val jelölni: δu = αv . (F.86) δu matematikai neve az u függvény első variációja. Ha az u függvény első deriváltjának variációját akarjuk kiszámítani, akkor a következőt kapjuk eredményül:  du   dv  d ( αv ) d δu δ  = α  = = (F.87) dx dx  dx   dx  Legyen most például a vizsgálandó függvényünk F = F ( x, u, u′ ) . Rögzített x érték esetén írjuk fel először az alábbi növekmény számításának lépéseit: ∂F ∂F ∆F = F ( x, u + αv, u ′ + αv′) − F ( x, u , u ′) = F ( x, u , u′ ) + αv + α v′ + ∂u ∂u ′ (F.88) 2 αv ) ∂ 2 F 2 ( αv )( αv′ ) ∂ 2 F ( ∂F ∂F 2 + + + ....... − F ( x, u , u ′) = αv + αv′ + O(α ), 2! ∂u 2 2! ∂u∂u ′ ∂u ∂u ′ ahol az utolsó tag a korábban már használt Landau-szimbólum. Az F függvény első variációja ennek segítségével: ∆F  ∂F  ∂F ∂F   ∂F δF = α  lim = α v+ v′  = αv + αv′ = α→ 0 α  ∂u ′  ∂u ∂u ′    ∂u (F.89) ∂F ∂F = δu + δu ′. ∂u ∂u ′ Gyakorlásképpen megmutatjuk ugyanennek az eredménynek egy másik előállítási módját:  dF ( u + αv, u′ + αv′ )  ∂F ∂F ∂F ∂F δF = α  αv + αv ′ = δu + δu′. (F.90)  = dα ∂u′ ∂u ∂u′   α=0 ∂u Harmadik előállítási változatként felhívjuk a figyelmet az F függvény első variációjának és a teljes deriváltnak az analógiájára. A teljes derivált jelen esetben:

226

Gyakran felvetődő kérdés a virtuális elmozdulások tételének reakciószámításra történő alkalmazásakor, hogy a támaszpontokat elmozdító virtuális elmozdulások megsértik-e a homogén peremfeltételekre vonatkozó előírást. Fontos tudnunk, hogy az ilyen jellegű elmozdulás-rendszerek egy teljesen külön feladatot jelentenek, ilyenkor a szerkezet egészére ható egyensúlyi erőrendszeren értelmezzük a virtuális külső munka zérus értékűségét, és nem az eredeti (rugalmas) szerkezet egyensúlyát jelentő virtuális elmozdulás-rendszert vizsgáljuk (gondoljunk ennél az utóbbinál például a potenciális energia stacionaritási tételének alkalmazására, amikor már szigorú követelmény a virtuális elmozdulás-rendszernél az előírt elmozdulások figyelembevétele). 10.06.20.

264


Előadásvázlat

∂F ∂F ∂F (F.91) dx + du + du ′ . ∂x ∂u ∂u ′ Mivel – definíciószerűen – az x értékét a variációszámításnál rögzítettük, így dx = 0, vagyis a teljes derivált egyszerű módosításából azonnal megkapjuk a függvény első variációját. dF =

-

Elemi variációszámítási műveletek: δ ( F1 ± F2 ) = δF1 ± δF2 , δ ( F1 F2 ) = δF1 ⋅ F2 + F1 ⋅ δF2 ,

 F  δF ⋅ F − F ⋅ δF2 n n −1 δ 1  = 1 2 2 1 , δ ( F1 ) = n ( F1 ) δF1 , F2  F2  G = G (u, v, w) ⇒ δG = δu G + δvG + δ wG,

(F.92)

a a a a  dv d d  du  δ  = α = (αv ) = (δu ), δ  ∫ u dx  = α ∫ v dx = ∫ αv dx = ∫ δu dx . dx dx dx  dx  0 0 0 0 

Példa: Írjuk fel az F = F ( x, y, u, v, ux , vx , u y , v y ) függvény variációját (itt ux =

∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂u δu + δv + δux + δvx + δu y + δv y . , stb. ): δF = ∂x ∂u ∂v ∂ux ∂vx ∂u y ∂v y b

Példa: Számítsuk ki az

∫ F ( x, u, u′) dx függvény variációját: a

∂F  ∂F  δ ∫ F ( x, u , u ′) dx = ∫ δF dx = ∫  δu + δu ′  dx . ∂u ∂u ′  a a a b

b

b

A funkcionálanalízis néhány alapvető fogalma Az energiatételek alkalmazásánál, a peremérték-feladatok és a variációs megfogalmazások között kapcsolatok elemzésénél szükségünk lesz a funkcionálanalízis néhány alapvető fogalmának használatára. A részletesebb magyarázatokra igény tartóknak a [9] alatti művet ajánljuk. A számunkra fontosabb összefüggések és tételek: -

Operátor, lineáris operátor: Operátoron olyan előírást értünk, amely egy halmaz elemeihez hozzárendeli egy másik (vagy esetleg ugyanazon) halmaz elemeit: T : X → Y . Az operátort lineárisnak nevezzük, ha a T operátor D tartománya lineáris tér és teljesülnek az alábbi feltételek: T (α x + β y) = αT ( x) + β T ( y ), x, y ∈ D, α , β skalárok .

-

Skaláris szorzat: Ha az X valós lineáris tér minden x,y elempárjához hozzárendelhető egy x, y valós szám, amelyre igazak az alábbi feltételek: x, y = y, x , x + y, z = x, z + y, z , αx, y = α x, y (α valós szám), x, x ≥ 0, x, x = 0 (ha x = 0),

akkor az x, y számot az x és y vektorok skaláris szorzatának nevezzük. A mi mechanikai feladatainknál ez a skaláris szorzat általában függvényekre értelmezett szorzatintegrál alakjában lesz értelmezhető, például: 10.06.20.

265


Előadásvázlat b

x, y = ∫ x(t ) y (t ) dt .

(F.93)

a

Megjegyezzük, hogy ha az x,y vektorok skaláris szorzata zérust ad

(

x, y = 0 ) ,

akkor az elemeket egymásra ortogonálisaknak mondjuk. -

Az L lineáris operátort szimmetrikusnak nevezzük, ha teljesül rá az alábbi feltétel: Lu, v = Lv, u . (F.94)

-

Az L lineáris operátor pozitív, ha szimmetrikus és minden u-ra: Lu, u ≥ 0 . Az egyenlőség csak u = 0 esetén teljesülhet.

-

A kvadratikus funkcionál minimumtétele: Ha L szimmetrikus operátor, akkor az Lu=f egyenlettel definiált peremérték-feladatnak létezik egy másik, az eredeti peremérték-feladattal matematikailag egyenértékű variációs megfogalmazása: 1 (F.95) F (u ) = Lu , u − f , u . 2 Amennyiben a peremérték-feladatnak van egy (peremfeltételeket is kielégítő) u0 megoldása, akkor ez a megoldás stacionáriussá teszi az adott F(u) funkcionált. Ha az operátor pozitív, akkor a funkcionálnak minimuma van. A tétel fordítva is megfogalmazható: a funkcionált minimalizáló (vagy stacionáriussá tevő) u0 függvény mindig megoldása lesz az eredeti peremértékfeladatnak.

A görbület definíciója Mivel ezen tárgy felületszerkezetekkel foglalkozó két fejezetében kiemelten fontos szerephez jut a görbület fogalma, emlékeztetőül – nagyon röviden – megismétlünk néhány alapfogalmat (további fontos részletek találhatók felületekről és a görbületek számításának technikájáról a [10] alatti honlapon, az [11] sorszámú BSc tankönyv 12. és 13. fejezetében, illetve a [12] alatti könyvben). A görbület fogalma A görbületnek a matematikában többféle meghatározása létezik. Mi a továbbiakban az egyik legegyszerűbb, de mérnöki céljainkra megfelelő változatot használjuk, nevezetesen a görbület egy adott felület adott pontjában az ott érintő síktól (görbék esetén az adott pontban érintő egyenestől) való eltérést méri. Illusztráló példaként ( [10] alapján) egy síkgörbén mutatjuk be a görbület értelmezését:

10.06.20.

266


Előadásvázlat

a./ Általános definíció

b./ Kör görbülete

F. 77. ábra: A görbület fogalmának definiálása Az F.7/a ábra alapján látható, hogy a T egységvektor a görbén mozogva folyamatosan elfordul. Görbületnek nek nevezzük az egységnyi elmozduláshoz tartozó elfordulás mértékét (s az ívhossz szerinti koordináta a képletben): dT k= . (F.96) ds A „b” ábrán a P pontban egy kör alkotta görbeszakasznál számítjuk a görbületet, amely ebben az esetben az r sugár reciprokával egyenlő: 1 (F.97) kkör = . r A főgörbület fogalma Ha egy felület adott pontján átmenő minden egyes görbénél kiszámítjuk kiszámítju a görbületek értékét, akkor ezen értékek minimumát és maximumát az adott ponthoz tartozó főgörbületeknek hívjuk és k1 , k2 változókkal jelöljük: k1 = kmax , k2 = kmin (F.98) Az F.8-as ábrán ( [10] alapján) bemutatjuk egy elliptikus hiperboloid nyeregpontjához tartozó főgörbületi síkokat: Normálisvektor Főgörbületi síkok

F.8. ábra: Főgörbületek

Érintősík

10.06.20.

267


Előadásvázlat

B./ Mechanikai rendszerek modellezésének lehetséges változatai A különböző mechanikai modellezési stratégiák alapfeltevéseinek ismerete segít a közöttük történő választásban. Az alábbi – teljesnek semmiképpen nem tekinthető – felsorolás ezt kívánja megkönnyíteni. -

Klasszikus kontinuummechanikai modellezés

A legfontosabb jellemzője ennek a modelltípusnak a folytonosság feltételezése. Folytonos maga az anyag, amit vizsgálunk (egymáshoz végtelenül közel elhelyezkedő pontok sokasága építi fel) és folytonosak azok a matematikai függvények (elmozdulás, sebesség, gyorsulás, feszültség, alakváltozás), amelyeket a közeg (szerkezet) mechanikai számításánál figyelembe veszünk. Szingularitásokat (torzulások a folytonos alakváltozási és feszültségmezőkben lyukaknál, repedéseknél, koncentrált erőknél, stb.) ez a modell alapvetően nem kíván figyelembe venni, legfeljebb ezen helyek izolált (elkülönített) kezelésével. A folytonosság feltételezésének másik fontos következménye, hogy ezzel a modellel nem tudunk fragmentációs (széttöredezési, szétesési) jelenségeket követni, hiszen ilyen jelenségeknél maga a vizsgált tartomány hull szét különböző részekre. Fenti megállapítások azt jelentik, hogy ezt a modellezést olyan esetekben célszerű választani, amikor sem térben, sem időben nem kérdőjelezhető meg a vizsgált szerkezet anyagi folytonossága. Homogén anyagú rugalmas, képlékeny és viszkózus jelenségek (vagy ezek kombinációjának) modellezésére használható elsősorban a kontinuummechanikai leírásmód. Megjegyezzük, hogy történetileg a klasszikus kontinuummechanika tekinthet vissza a legrégebbi alkalmazásra, már a XVIII. században ilyen modellekkel dolgozott Euler vagy a francia mechanikai iskola számos képviselője. -

Diszkrét elemes modellezés227

A mechanikai modellezés kontinuummechanikától alapvetően eltérő másik „végletét” a diszkrét elemes modellezés jelenti. Ebben a leírásmódban az anyag egyáltalán nem folytonos, hanem elkülönült részek halmazából áll, és ezen részek kölcsönhatását leíró matematikai egyenletek segítségével kell a mechanikai viselkedést modellezni. A részecskék méretétől függően az atomi szinttől kezdve a bolygó méretű halmazelemekig számtalan változat létezik ma már. A diszkrét elemes mechanika elsősorban az eleve laza (laza talaj, darabos termények, porok, stb.) vizsgálatára, vagy a terhelés során széttöredező (fragmentálódó) anyagok elemzésére használható előnyösen. Néhány – mérnöki szempontból érdekesebb – változat: o Molekuláris dinamika Ez a legrégibb modell, 1957-ben alkotta meg Berni Alder és Thomas Wainwright. Kezdetben főleg az anyag atomfizikai szintű viselkedésének 227

Megjegyezzük, hogy az MSc tárgyak között a Tartószerkezetek Mechanikája Tanszéken ezzel a témakörrel külön előadás foglalkozik „Diszkrét elemes modellezés” címmel. 10.06.20.

268


Előadásvázlat leírására használták, de ma már makro-modellezésben is találkozhatunk vele. A részecskéket kör (gömb) alakú szemcsék modellezik, a szemcsék között kizárólag nyomóerők adódhatnak át, és a részecskék általában nem képesek összetapadásra.

o Kör (gömb) alakú (makroméretű) részecskékből álló halmazok Elsősorban abban különbözik az előző változattól, hogy a részecskék szilárd anyagot is képesek modellezni, összetapadhatnak, szétválhatnak és szükség esetén esetleg újból összetapadhatnak, vagyis a legkülönbözőbb kapcsolati erők közvetítésére alkalmas a kötésük. Peter Cundall amerikai építőmérnök fejlesztett ki ilyen típusú modelleket 1979-től kezdődően.

o Poligon (poliéder) alakú (makroméretű) részecskékból álló halmazok Elvileg megegyezik a második változattal, de tetszőleges alakú szemcséket képes figyelembe (ez a tényleges számításnál nagyon komoly eltéréseket jelent, ezért is szokták élesen elkülöníteni az előzőtől!). Ugyancsak Peter Cundall modelljei voltak az első használható változatok. -

Átmeneti modellek

Az átmeneti modellek a kontinuummechanikai feltételrendszer („minden folytonos”) és a diszkrét elemekkel történő leírás („minden diszkrét”) közötti átmenet különböző változatait jelentik. Sokféle formájuk van, csupán néhányat említünk közülük: o Cosserat-kontinuum Az 1900-as évek elején a kiváló francia matematikus, Eugene Cosserat (1866 – 1931) mérnök testvérével együtt a klasszikus kontinuummechanika módosítását javasolta, elméletükben az egyes anyagi pontokhoz az eltolódási szabadságfokok mellett elfordulási változókat is hozzá lehet rendelni. Inhomogenitások jellemzésére, kisméretű szerkezet modellezésére az utóbbi évtizedekben sokan használják, numerikus alkalmazásai is léteznek. o Mindlin-kontinuum Raymond David Mindlin (1906 – 1987) amerikai mérnök a Cosseratkontinuum általánosítását javasolta 1936-ban. Az egyes pontokhoz rendelt kinematikai szabadságfokok száma itt lényegesen nagyobb, a feszültségés alakváltozástenzorok sem szimmetrikusak többé, így a matematikai leírásmód lényegesen bonyolultabbá válik. Szemcseméret szintű mechanikai vizsgálatoknál (például talajmechanikában) használják. o Nemlokális kontinuum A klasszikus kontinuummechanikával ellentétben itt nem lehet végtelen kicsi méretű elemi cellákkal végzett műveletekre építeni a fizikai 10.06.20.

269


Előadásvázlat egyenleteket, az elemi tartományok véges méretűek. A feszültségek és alakváltozások számításánál mindig egy adott környezet térfogati átlagát veszik figyelembe. Ez a modell kiválóan alkalmas makroszinten is heterogén anyagok (betonok, kőzetek, stb.) vizsgálatára, és széleskörűen használják repedések környezetének elemzésére. Az első változatokat a fizikában Voigt publikálta 1893-ban, de mérnöki gyakorlati alkalmazásokra csak a huszadik század hatvanas éveinek került sor (kiemelkedő Eringen és Bazant amerikai kutatók munkássága ezen a téren).

o Perydinamikai-kontinuum A legújabb (2000 környékén keletkezett, és ma még elsősorban csak elméleti jellegű) modell a hagyományos kontinuummechanikai modell differenciál-egyenletrendszer jellegű matematikai bázisát integrálegyenletekkel helyettesíti, így elkerülhetők a rendszerben jelenlevő szingularitások (pl. a repedések) elkülönített kezelése. Eddig elsősorban törésmechanikai alkalmazásai ismertek. Az átmeneti modellek mindegyike a kontinuummechanikában alkalmazott szoros feltételrendszert kívánja feloldani valamilyen módon: a szabadságfok növelésével, a heterogenitás figyelembevételével, a szinguláris feszültségi helyek számításba történő bevonásával, stb.

C./ Megjegyzések a szilárdságtan munka- és energiatételeihez A BSc Szilárdságtanban megismerkedtünk a különböző munkafogalmakkal és ezek variációs egyenletekben (munkatételekben) való alkalmazásával. Most két – ott elhangzott – munkaés egy energiatételhez fűzünk megjegyzést, hogy hangsúlyozzuk ezek fontosságát: a./ Virtuális elmozdulások tétele Írjuk fel a vizsgált mechanikai szerkezet S határoló felületére felírt munka képletét, és alakítsuk át a Cauchy-összefüggés segítségével a felületen működő t erőket feszültségekké : (F.99) ∫ ti δui dS = ∫ σ j i n j δui dS = ∫ σ j i δui n j dS . S

S

S

A Gauss-tétel alkalmazásával írjuk ezt át térfogati integrállá: ∫ σ j i δui n j dS = ∫ ( σ j i δui ) dV = ∫ σ j i, j δui dV + ∫ σ j i δui , j dV . ,j

S

V

V

(F.100)

V

Az utolsó egyenlőségben szereplő két integrál közül most csak a másodikkal foglalkozzunk, megjegyzésünk szempontjából az első nem fontos. Alakítsuk át ezt a következőképpen: 1 1 ∫V σ j i δui, j dV = V∫ 2 ( σ j i δui , j + σi j δu j ,i ) dV =V∫ σi j 2 ( δui , j + δu j ,i ) dV =V∫ σi j δεi j dV . (F.101) Látható, hogy a munka értékének számításakor a – tetszőleges (!) – elmozdulások kicsiny variációját használtuk. Ez azt igazolja, hogy a virtuális elmozdulások tételének alkalmazásakor a – tetszőleges anyagi viselkedés mellett – az

10.06.20.

270


Előadásvázlat

alakváltozások típusa is tetszőleges lehet, vagyis a tételt alkalmazhatjuk nagy alakváltozások esetében is. b./ Virtuális erők tétele Ismételjük meg az előbb bemutatott eljárást virtuális erők esetében: ∫ δ ti ui dS = ∫ δσ j i n j ui dS = ∫ δσ j iui n j dS .

(F.102)

Újból felhasználjuk a Gauss-tételt: ∫ δσ j iui n j dS = ∫ ( δσ j iui ) dV = ∫ δσ j i , jui dV + ∫ δσ j iui , j dV .

(F.103)

S

S

S

,j

S

V

V

V

Most is csak a második integrál fontos számunkra: 1 1 ∫V δσ j i δui, j dV = V∫ 2 ( δσ j iui , j + δσi j u j ,i ) dV =V∫ δσi j 2 ( ui , j + u j ,i ) dV =V∫ δσi j εi j dV .(F.104) Az itt kapott képlet nagyon hasonló az előzőhöz, de tartalmát tekintve van egy lényeges különbség: a feszültségek kicsiny variációját szorozzuk az elmozdulásgradiens segítségével kapott alakváltozás-tenzorral. Ez azonban csak akkor ad fizikailag értelmes értékét, ha a két mennyiség energia-értelemben egymással kompatibilis, vagyis a virtuális erők tételét kizárólag kicsiny alakváltozások esetében lehet alkalmazni. Az elmondottak illusztrálására nézzük a következő egyszerű példát: Példa: Az ábrán egy eredeti helyzetéből elmozdult, de már egyensúlyban lévő, merev gerendát látunk, amire függőleges koncentrált erő és egy spirálrugó hatására keletkező támasznyomaték228 működik:

F.9. ábra: Virtuális erők tételének vizsgálata Számítsuk ki a komplementer energia értékét: % = δΠ % = θδM + v δF = 0 . δΠ k y Írjuk fel a gerendára vonatkozó egyensúlyi egyenletet: M + Fy l cos θ = 0 . Ugyanez virtuális dinámokkal: δM + δFy l cos θ = 0 . Fejezzük ki innen δM értékét és írjuk be a kiegészítő munka képletébe: % = ( −θl cos θ + v ) δF = 0 . δΠ y

228

Megjegyezzük, hogy a feladat szempontjából most közömbös, hogy a támaszrugó lineáris, vagy nemlineáris fizikai viselkedésű.

10.06.20.

271


Előadásvázlat

Az eltolódás és elfordulás közötti (zárójelben lévő kifejezésből adódó) kapcsolati egyenlet csak akkor igaz, ha mozgás kicsiny, hiszen ilyen esetben cos θ ≈ 1 és v = l θ. Minden más esetben nem kompatibilisek egymással a tétel alapján vizsgálható elmozdulások. c./ Castigliano második tétele Ez az eljárás – a virtuális erők tételéhez hasonlóan – arra alkalmas, hogy egy statikai terhekkel, előírt deformációkkal és támaszmozgásokkal terhelt, rugalmas anyagú szerkezet valamely pontjában a létrejövő eltolódás- vagy elfordulásvektor tetszőleges irányú komponensét meghatározzuk. Jelölje például P1 , P2 ,......, Pm a szerkezetre ható koncentrált terheket229. A terhek támadáspontjai a terheletlen, deformálatlan állapothoz képest elmozdulhatnak. Jelölje a továbbiakban u1 , u2 ,......, um a támadáspontokban a terheknek megfelelő irányú elmozdulás-komponenseket230. A szerkezet statikailag határozott vagy határozatlan egyaránt lehet. A reakciókat jelölje R1 , R2 ,.., Rn , Rn+1 ,..., Rn+r , ahol r a statikai határozatlanság foka, n pedig annyi, ahány független egyensúlyi egyenlet írható fel az adott szerkezetnél (például általános síkbeli erőrendszer esetén n=3 , általános térbeli erőrendszernél pedig n=6). Az R1 , R2 ,.., Rn reakciók legyenek olyanok, hogy statikailag határozott megtámasztást biztosítsanak (ez lényegében egy statikailag határozott „törzstartó” felvételének tekinthető), Rn+1 ,..., Rn+r pedig az r darab „redundáns” reakció. A támaszoknál legyenek adottak az előírt eɶ1 , eɶ2 ,...., eɶn , eɶn+1 ,...., eɶn+r támaszmozgások231. Célunk a Pi teher támadáspontjánál létrejövő ui elmozdulás meghatározása. A terheletlen állapothoz viszonyított kiegészítő potenciált a P1 , P2 ,......, Pm statikai terhek és az Rn+1 ,..., Rn+r redundánsok, mint független változók függvényében írhatjuk fel (a törzstartó reakcióit a statikai terhekből és a redundánsokból egyensúlyi egyenletek segítségével ki tudjuk fejezni): ɶ =Π ɶ ( P ,..., P , R ,...., R ) Π (F.105) 1 m n+1 n +r Vizsgáljuk meg, hogyan változik a külső és belső kiegészítő potenciál, ha a Pi terhet ∆ Pi -vel megváltoztatjuk. A keresett állapothoz tartozó ui elmozdulás a ∆ Pi tehernövekményen ui ∆Pi kiegészítő munkát végez. A törzstartó reakcióin, amelyek ∆R1 , ∆R2 ,..., ∆Rn mértékben változnak meg azért, hogy a megváltozott teherrel fenn tudják tartani az egyensúlyt, az előírt támaszmozgások végeznek kiegészítő munkát, így a külső potenciál növekménye: n

ɶ = −u ∆P − eɶ ∆R ∆Π ∑j j k i i

(F.106)

j =1

229

Megjegyezzük, hogy a tétel megoszló terhekre is általánosítható, de ezzel most az egyszerűség kedvéért nem foglalkozunk. 230 Ha Pi erő, akkor ui eltolódást, ha pedig Pi nyomaték, akkor ui elfordulást jelent. 231 Mint látni fogjuk, a „törzstartó” támaszainál ezeknek zérus értékűeknek kell lenniük ahhoz, hogy a tétel érvényes legyen. 10.06.20.

272


Előadásvázlat

A belső kiegészítő potenciál szintén megváltozik, hiszen a szerkezeten ébredő feszültségek és a reakciók Pi változása miatt módosulnak: ɶ =Π ɶ ( P , P ,..., P , P + ∆P , P ,...P , R ...R ) − ∆Π b b 1 2 i−1 i i i +1 m n +1 n+r (F.107) ɶ ( P , P ,..., P , P , P ,...P , R ...R ) −Π b 1 2 i−1 i i +1 m n +1 n+r Mivel a Pi -hez tartozó, általunk keresett állapotba vivő u1 ,...., um , eɶ1 ,...., eɶn+r elmozdulás-rendszernek kompatibilisnek kell lennie, teljesül a kiegészítő potenciális energia tétele, vagyis igaz a ɶ ɶ ɶ ∂Π ∂Π ∂Π k b =0 ⇒ + =0 (F.108) ∂Pi ∂Pi ∂Pi összefüggés. Követeljük meg most azt is, hogy mindazoknál a támaszoknál, amelyek a törzstartón szerepelnek, az eɶj előírt támaszmozgások zérus értékűek legyenek. Ekkor a külső kiegészítő potenciál megváltozásából a törzstartó támaszaihoz tartozó rész zérus: n

∑ eɶ ∆R j

j

=0,

(F.109)

j =1

és így: ɶ  ∆P u  ∆Π b lim − i i  + lim = 0, P ∆P →0  ∆ → 0  ∆Pi  ∆Pi 

azaz:

ɶ ( P , P ,..., P , R ,....R ) ∂Π b 1 2 m n +1 n+r

= ui . ∂Pi Ezt az összefüggést nevezzük Castigliano második tételének.

(F.110)

(F.111)

Néhány további megjegyzés:

10.06.20.

-

Ahhoz, hogy a tételt használni tudjuk, először a reakciókat és a belső erőket ki kell fejeznünk a terhek és – statikailag határozatlan tartó esetén – a redundáns erők függvényében. Határozott szerkezetek esetén a szokásos egyensúlyi egyenletek, határozatlan tartón pl. erőmódszer (vagy a kiegészítő potenciális energia tétele) segítségével állapíthatjuk meg, hogyan függenek a reakciók és a belső erők Pi -től. Csak ezután kezdhetünk hozzá a tétel alkalmazásához.

-

Az előírt támaszmozgásoknak a törzstartó támaszainál zérus értékűeknek kell lenniük. Ha tehát a vizsgált szerkezet határozott, akkor egyik támasz sem mozdulhat el, ha pedig statikailag határozatlan, akkor csak olyan támaszmozgásrendszer esetén érvényes a tétel, amikor az el nem mozduló támaszokkal határozott törzstartót lehet kialakítani.

-

Ha a szerkezet anyaga lineárisan rugalmas és nincsenek a tartón kezdeti alakváltozások, akkor a belső potenciál és a belső kiegészítő potenciál egyenlő. A szakirodalomban ezért néha nem a belső kiegészítő potenciált, hanem a belső potenciált, tehát a szerkezet anyagában felhalmozódott alakváltozási energiát használják a tételben.

273


Előadásvázlat

D./ A Hamilton-elv232 A fizika számos területén (klasszikus mechanika, elektromosságtan, kvantummechanika, stb.) alkalmazzák azt az (eredetileg mozgások vizsgálatára kidolgozott) variációs elvet, amelynek első változatát először Pierre-Louis Moreau de Maupertius (1698 – 1759) francia matematikus és filozófus dolgozta ki, később Euler és Lagrange is foglalkozott vele, de ma ismert alakjában William Rowan Hamilton ír matematikustól származik (publikációja adatait lásd a 12. fejezetben). Az elv fizikai lényege eredeti formájában a következő: A Hamilton-elv a mozgás természetéről tett állítás, amiből egy erőhatás alatt álló test pályája meghatározható, illetve a kölcsönhatás és átalakulás egyenletei levezethetők. A befutott pálya az elv szerint olyan, amelynek mentén számított hatás stacionárius, azaz a pálya kicsiny odébb tolására nem változik. Ha egy anyagi részecske pályáját a t idő függvényében x(t ) -vel, sebességét x& (t ) -vel jelöljük, akkor a segítségükkel felírható ún. Lagrange-függvény ( L( x(t ), x& (t ), t ) ezek függvénye233 lesz. A részecske t0 és t1 időpontok (illetve x(t0 ) és x(t1 ) helyek) között befutott „valódi” pályáját úgy találhatjuk meg, hogy a Lagrange-függvénnyel felírt t1

S = ∫ L( x(t ), x& (t ), t ) dt

(F.112)

t0

hatásintegrál stacionaritási feltételét:

S = stac.

(F.113)

vizsgáljuk234. Megjegyezzük, hogy az L Lagrange-függvény a fizika egyes területein sokféle alakban felírható. Az általános modellekkel nem foglalkozunk, csak a mi szilárdtest-mechanikai feladataink számára fontos változatot adjuk meg, ennek felépítését azonban az alábbiakban kissé részletesebben fogjuk elemezni. Vizsgáljunk meg egy kis rezgéseket végző szilárd testet Euler-bázisban és írjuk fel a mozgásegyenletét ( gi a rendszerre ható tömegerőket jelenti, ui az elmozdulásokat jelöli, ρ a pillanatnyi sűrűség és t az időváltozó): ∂ 2u σ ji , j + g i = ρ 2i (F.114) ∂t Alkalmazzunk erre a rendszerre a testet határoló Su részfelületen235 homogén peremfeltételeket teljesítő δui virtuális elmozdulásmezőt, és írjuk fel a térfogati és felületi erők által végzett virtuális munkát:

232

Egyes fizikai munkák a „stacionárius hatás elv”-ének, vagy röviden „hatáselv”-nek is nevezik. Beleértve az explicit időfüggést is. 234 Megjegyezzük, hogy ha a rendszerben konzervatív erők (ilyen például a gravitációs és nem ilyenek a súrlódási erők) hatnak, akkor a mozgási energia és a helyzeti energia különbségeként megválasztott Lagrange-függvény a helyes Newton-törvényekhez vezet. 235 Az St részfelületen pedig most is erő jellegű peremfeltételeket írunk elő ti értékkel. 233

10.06.20.

274


Előadásvázlat

∫ g δu dV + ∫ t δu dS . i

i

i

V

(F.115)

i

S

A második integrált alakítsuk át a peremfeltételek és a Gauss-tétel segítségével: ∫ ti δui dS = ∫ σi j n j δui dS = ∫ ( σi j δui ) dV = ∫ σi j , j δui dV + ∫ σi j δui , j dV . ,j

S

S

V

V

(F.116)

V

Használjuk most fel az (F.114) alatti egyenletet, a geometriai egyenleteket valamint a feszültségtenzor szimmetriáját az (F.116)-ben lévő utolsó egyenlőség utáni két tag átalakítására. Ez a két tag az átalakítás után:  ∂ 2ui  (F.117) ρ − g   δui dV + ∫ σi j δεi j dV . i 2 ∫V  ∂t  V Ezt visszaírva megkapjuk a mozgásokra érvényes variációs egyenletet:  ∂ 2 ui  (F.118) σ δε dV = g − ρ ∫V i j i j ∫V  i ∂t 2  δui dV + ∫S ti δui dS . A bal oldal nem más, mint az elemi alakváltozási energia variációja:  ∂ 2 ui  e (F.119) dV g δΠ = − ρ ∫ b ∫  i ∂t 2  δui dV + ∫S ti δui dS . V V Ez tovább alakítható a külső terhekre vonatkozó peremfeltételek segítségével:  ∂ 2ui  e δΠ dV = g − ρ (F.120) ∫ b ∫  i ∂t 2  δui dV + S∫ ti δui dS . V V t Következő lépésként vegyük figyelembe, hogy a δui virtuális elmozdulások az időnek is függvényei és ennek megfelelően integráljuk az (F.119) alatti egyenletet két tetszőleges, de egymást követő időpont között: t1 t1 t1 t1 ∂ 2ui e δΠ = δ + δ − ρ dV dt g u dV dt t u dS dt (F.121) ∫∫ b ∫∫ i i ∫∫ i i ∫ ∫ ∂t 2 δui dV dt t0 V t0 V t0 St t0 V Parciális integrálással számítsuk ki a jobb oldal utolsó tagjának határozott integrálját (jelöljük J-vel):

∂u J = ∫ ρ i δui dV ∂t V

t1

t1

−∫∫ t0

t0 V

∂ui ∂t

 ∂δui ∂ρ   ρ ∂t + ∂t δui  dV dt .  

(F.122)

A második tagnál a zárójelben levő, idő szerinti sűrűségderivált a tömegmegmaradásból következő ∂ ( ρu&i ) ∂ρ =− (F.123) ∂t ∂xi feltétel miatt elhagyható, hiszen ha (F.123)-at visszaírjuk a zárójelbe, akkor a második zárójeles tag egy nagyságrenddel kisebb lesz, mint az ott szereplő első komponens. Ha azt is figyelembe vesszük, hogy a kezdeti és végső időpontban az elmozdulás-variációk értéke zérus, akkor a J kifejezés értéke a következő lesz: t1 t1 t1 t ∂u ∂δui ∂u ∂u 1 ∂u ∂u J = −∫ ∫ ρ i dV dt = − ∫ ∫ ρ i δ i dV dt = − ∫ δ ∫ ρ i i dV dt = − ∫ δK dt .(F.124) ∂t ∂t ∂t ∂t 2 ∂t ∂t t0 V t0 V t0 V t0 K-val a vizsgált rendszer kinetikus energiáját jelöltük. Írjuk ezt vissza az (F.120) alatti egyenletbe, és vegyük figyelembe, hogy a rendszer teljes belső potenciális energiája az elemi energia térfogati integráljaként kapható:

10.06.20.

275


Előadásvázlat t1

∫ δ (Π

t0

b

t1

t1

t0 V

t0 St

− K ) dt = ∫ ∫ gi δui dV dt + ∫ ∫ ti δui dS dt .

(F.125)

Figyelembe véve, hogy a jobb oldalon most a test teljes külső potenciális energiájának ellentettje szerepel, végül a variációs egyenlet a következő alakú lesz: t1

δ ∫ ( Π teljes − K ) dt = 0 .

(F.126)

t0

Az (F.126)-os képlet szerint tehát jelen esetben az L Lagrange-függvény: L = Πteljes − K . (F.127) Megjegyezzük, hogy sok munkában ennek a függvénynek az ellentettjével (negatív L-lel) végzik el a számításokat. Ez – mivel csak stacionaritási feltételt vizsgálunk – nem okoz gondot a feladat megoldásánál. Az (F.127) alatti formában tehát a Hamilton-elv azt mondja, hogy egy dinamikai feladatnál az Su részfelületen előírt peremfeltételeket kielégítő, valamint a kezdeti és végső időpontban a test adott helyzetének megfelelő állapotokat teljesítő dinamikai pályák közül az lesz az igazi, amelyik az adott Lagrange-függvényt stacionáriussá teszi.

E./ A feszültség- és alakváltozás-szimbólumok változása a mechanika történetében Mivel – főleg történeti okokból – egyes könyvekben az általunk használt szimbólumoktól eltérő jelölésekkel is találkozhatunk, amikor a szerzők a feszültségeket, vagy az alakváltozásokat használják a különféle egyenletekben, ezért ebben a pontban röviden bemutatjuk a két alapvető mechanikai változó jelölésének az elmúlt évszázadokban használatos ismertebb változatait. A tenzorok szimmetrikus voltát mindig feltételezzük, ezért csak a főátlót és a fölötte levő elemeket adjuk meg. Valamennyi tenzor a kicsiny változásokhoz tartozó állapotok leírásához tartozik. a./ Alakváltozások ex x  - Stokes236 jelölése a XIX. század közepéről: ε =  .  . 

ex y ey y .

ex z   ey z  . ez z 

Sok mai munkában is előfordul ez a változat.

e c b  ε =  . f a  . - Lord Kelvin jelölése a XIX. század végén:  . . g  A fizikusok sokáig használták, de a mérnökök körében nem terjedt el. 237

236

Cambridge Phil. Soc, Trans, Vol. 8, Math. and Phys. papers, Vol 1. pp. 75., 1845. Stokes-ról lásd a 23-as lábjegyzetet. 237 „Elements of a Mathematical Theory of Elasticity”, Phil. Transactions, Vol. 146, pp. 481-498, London, 1859. Kelvin-ről lásd a 6. fejezet lábjegyzetét. 10.06.20.

276


Előadásvázlat

 xx x y x z  - Kirchhoff238 szimbólumrendszere: ε =  . y y yz  .  . . z z  Csak fizikusok illetve az elméleti rugalmasságtannal foglalkozók alkalmazták néhány évtizedig a XIX. században. δ x g x y g x z  ε =  . δ y g y z  . - Saint-Venant239 jelölése:  . . δ z  Bár a kiváló francia tudós a XIX. század közepén és második felében szinte minden más kortársánál többet tett a szilárdságtan akkori eredményeinek összefoglaló jellegű tisztázásáért és az elméleti alapok „rendbetételéért”, azonban ezt a jelölést rajta kívül szinte senki nem alkalmazta.  sx σ x y σ x z    - Pearson240 jelölése: ε =  . sy σ y z  . . . s z   Pearson munkái ma is az aktívan használt anyagok közé tartoznak, ezt a sajátos alakváltozásrendszer-jelölést azonban nem használta néhány kortárs angol szerzőn kívül senki. 1 1   ε x 2 γ x y 2 γ x z    1 241  - Kármán Tódor alakváltozásai: ε= . εy γ yz  .   2 . . ε z     Ezt az 1910-ben bevezetett jelölésrendszert alkalmazza ma világszerte a mechanikát használók döntő többsége!

b./ Feszültségek - Kelvin és Kirchhoff jelölései (a vonatkozó publikációk megegyeznek az X x X y X z  σ =  . Yy Y z  . alakváltozásoknál említettekkel):  . . Z z  238

„Vorlesungen über mathematische Physik”, Band I„Mechanik”, pp. 110-124, 1876. Kirchoff adatait lásd a 4. fejezet lábjegyzetében. Külön életrajz is olvasható róla a tanszéki honlapon. 239 „Théorie de l’élasticité des corps solides de Clebsch”, Párizs, 1883. Saint-Venant-ról lábjegyzet található a második fejezetben illetve életrajz a tanszéki honlapon. 240 Karl Pearson (1857 – 1936) kiváló angol matematikus, a matematikai statisztika tudományának egyik megalapítója, a [14] alatti mű egyik szerzője. Jelölésrendszerét az idézett mű első kötetének „B” függelékében vezette be (pp. 881-885). 241 Szőllőskislaki Kármán Tódor (Theodore von Kármán, 1881 – 1963) magyar származású – Műegyetemen végzett – kiváló mérnök és fizikus. Az aerodinamika és aeronautika területén alkotott jelentőset. Hivatkozott munkája: „Festigkeitsprobleme im Maschinenbau”,(in: „Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften”, Band IV., Heft 3.), 1910. 10.06.20.

277

Bojtár: Mechanika MSc Ezt a jelölést nagyon sokáig, egészen a XX. század közepéig használta és orosz nyelvű szakirodalom. P U - Kelvin242 és Tait másik javaslata a feszültségek jelölése: σ =  . Q  . .

Előadásvázlat a német, francia

T S  . R 

Fizikusok használták a XIX. század végén.  N1 T3 T2  243 - Lamé indítványa: σ =  . N 2 T1  .  . . N3  A betűjelek a normál- és nyírófeszültségi komponensekre utalnak. Csak a francia szakirodalomban használták, ott is csak a XIX. században. - Saint-Venant javaslata (a publikáció megegyezik az alakváltozás-jelöléseknél t x x t x y t x z    idézettel): σ =  . ty y ty z  .  . . t z z   Egyes fizikusoknál ma is előbukkan, de mérnökök csak elvétve használják. - Pearson indítványa (a publikáció megegyezik az alakváltozás-jelöléseknél idézettel):  xx xy xz    σ =  . yy yz  .   . zz   .  Matematikusok munkáiban a XX. század elejéig előfordult, mérnökök ritkán használták.  σ x τ xy τ xz    - Kármán Tódor feszültségei (hivatkozás, mint előbb): σ =  τ yx σ y τ yz  .  τ zx τ zy σ z    Ezt az 1910-ben bevezetett jelölésrendszert alkalmazza ma a mechanikát használók többsége! Néhány további történeti megjegyzés a mechanikai alapváltozókkal kapcsolatban: -

-

A „nyírás” elnevezést először Kelvin és Tait használta a [37] alatti lábjegyzetben idézett munkában. A Young-modulust először Navier említi ezen a néven, de széles körben ugyancsak Kelvin és Tait publikációja nyomán terjedt el. Kármántól származik viszont az „E” betűvel való jelölés, ezt ma szerte a világon így használják. A „G” jelölést a nyírási rugalmassági modulusnak Saint-Venant adta (bár főleg Kármán hatására terjedt el ezzel a jelöléssel).

242

A szerzőtárs: Peter Guthrie Tait angol mérnök: „General Theory of the Equilibrium of an Elastic Solid”, Treatise on Natural Philosophy, Part II, pp.573-741, 1883. 243 „Lecons sur la mathématique de l’élasticité des corps solides”, Párizs, 1852. Lamé életének adatairól lásd a 10. fejezet lábjegyzetét és a tanszéki honlapon lévő életrajzot. 10.06.20.

278

Bojtár: Mechanika MSc -

Előadásvázlat

Az anyagmodellek ma szokásos felírási módját (negyedrendű kapcsolati tenzorok felhasználásával) először Pearson alkalmazta [14] alatti munkájában, tőle vették át aztán később más szerzők.


1./ Holzapfel, G. A.: Nonlinear Solid Mechanics, Wiley 2001. 2./ Kurutzné dr. Kovács Márta: Klasszikus és módosított variációs elvek, BME, 2005. 3./ Scharle P.: Bevezetés a tenzorszámításba, ÉTI, 1978. 4./ http://hu.wikipedia.org/wiki/Tenzor 5./ Thomas, G. B. – Weir, M. D. – Hass, J. – Giordano, F. R.: Thomas-féle Kalkulus, I-II. Typotex, 2006. 6./ Reddy, J. N.: Energy Principles and Variational Methods in Applied Mechanics, John Wiley, 2002. 7./ Richards, T. H.: Energy Methods in Stress Analyis, John Wiley 1977. 8./ Mang, H. – Hofstetter, G. : Festigkeitslehre, Springer, 2000. 9./ Popper Gy.: A végeselem-módszer matematikai alapjai, Műszaki Könyvkiadó, 1985. 10./ http://en.wikipedia.org/wiki/Curvature 11./ Thomas, G. B. – Weir, M. D. – Hass, J. – Giordano, F. R. : Thomas-féle Kalkulus, III. kötet, Typotex, 2007 12./ Szőkefalvi N. Gy. – Gehér L. – Nagy P. : Differenciálgeometria, Műszaki Könyvkiadó, 1979. 13./ Love, A. E. H. : A treatise on the mathemathical theory of elasticity, Dover Publ., 1927. 14./ Todhunter, I. – Pearson, K. : A history of the theory of elasticity and of the strength of materials, Cambridge Univ. Press, 1886-1893. 15./ Simo, J. C. – Hughes, T. J. R. : Computational Inelasticity, Springer, 1998. 16./ Ibrahimbegovic, A.: Nonlinear Solid Mechanics, Springer, 2009. 17./ Kozák I. – Szeidl, Gy. : Tenzorszámítás indexes jelölésmódban, Miskolci Egyetem, 2009. 18./ Fung, Y. C. – Pin Tong: Classical and computational solid mechanics, World Scientific, 2007.

10.06.20.

279

Bojtár Imre. Elektronikusan letölthető előadásvázlat építőmérnök hallgatók számára

Recommend Documents