Bab VII Contoh Aplikasi Dalam bab ini akan diberikan ilustrasi tentang aplikasi statistik penguji VVVS dalam memonitor kestabilan matriks korelasi pada proses produksi dudukan kabel tegangan tinggi (flange) di PT PINDAD (Persero). Pemonitoran tersebut akan dilakukan dengan menggunakan pendekatan Multivariate Statistical Process Control (MSPC). Hal ini dapat ditemukan dalam Herdiani dan Djauhari (2007).
VII.1 Pendekatan MSPC
Misalkan dimiliki m sampel acak yang masing-masing berukuran n1 , n2 ,…, dan nm dan sampel yang satu saling bebas dengan sampel yang lain. Sampel ini berasal dari distribusi normal p-variate normal dengan matriks variansi kovariansi Σ 1 , Σ 2 , …, Σ m yang masing-masing bersifat definit positif. Misalkan Pi adalah matriks korelasi populasi ke-i and Ri adalah matriks korelasi sampel ke-i. Dengan menggunakan pendekatan MSPC, maka pengujian hipotesis H 0 : P1 = P2 = … = Pm (= P0 ) lawan H1 : Pi ≠ Pj untuk suatu i ≠ j adalah ekivalen dengan pengujian H 0 : Pi = P0 lawan H1 : Pi ≠ P0 yang dilakukan berturut-turut untuk i = 1, 2, ..... , m. Pendekatan seperti ini dapat dlihat dalam Alt dan Smith (1988), Wierda (1994), Woodall, W.H., dan Montgomery, D.C. (1999) dan Montgomery (2001 dan 2005) dan Djauhari (2005a) dan pustaka-pustaka di dalamnya..
Berdasarkan pendekatan MSPC, dengan menggunakan distribusi asimtotik VVVS sampel yang telah dikemukakan dalam Bab IV dan Bab V, maka kestabilan barisan matriks korelasi dimonitor dengan cara: 1. Memplot VVVS sampel vec ( Ri ) diplot untuk semua i = 1, 2, … , m; 2
2. Menentukan batas-batas kontrol BKA (batas kontrol atas) dan BKB (batas kontrol bawah) pada tingkat keberartian α yakni 74
BKA = µ0 + zα .σ 0 dan BKB = max {0, µ0 – zα .σ 0 } 2
2
di mana a. µ0 ≈ vec ( P0 ) ; 2
t 8 vec ( P0 ) ) M pΦ 0 M p ( vec ( P0 ) ) ; ( n −1
b. σ 0 ≈
{
c. Φ 0 = I p 2 − ( I p ⊗ P0 ) Λ p
} ( P ⊗ P ) {I 0
0
p2
)} dan
(
− Λ p I p ⊗ P0
d. zα adalah kuantil ke- (1 − α 2 ) dari distribusi normal standar. 2
3. Hipotesis tentang kestabilan barisan matriks korelasi ditolak pada tingkat keberartian α jika ada nilai k sehingga v e c ( R k )
2
melebihi BKA atau kurang
dari BKB. Apabila P0 tidak diketahui, maka µ0 dan σ 0 harus ditaksir. Misalkan taksirannya adalah µˆ dan σˆ 2 . Dalam hal ini, batas-batas kontrolnya adalah zα
BKA = µˆ +
2
n −1
zα
σˆ dan BKB = max {0, µˆ –
2
n −1
σˆ }.
Pada bagian selanjutnya akan diperlihatkan bagaimana caranya mencari penaksir µˆ dan σˆ 2 .
VII.2 Penaksiran Parameter
m
Misalkan N =
∑ i =1
ni
. Jadi, Rtotal =
1 N
m
∑n R
i i
menyatakan matriks korelasi total. Jika
i =1
semua ukuran sampel sama yaitu n0 , maka Rtotal = R =
1 m
m
∑R
i
adalah rata-rata dari m
i =1
buah matriks korelasi. Dengan menggunakan pendekatan yang sama seperti yang dikemukakan dalam Montgomery (2001, hal. 534 dan 2005, hal. 513), penulis mengambil
75
Rtotal sebagai taksiran untuk P0 . Oleh karena itu, berdasarkan pendekatan ini, maka µˆ
≈ vec ( Rtotal ) dan σˆ 2 ≈ 2
Φˆ =
{I − ( I p2
t 8 ( vec ( Rtotal ) ) M pΦˆ M p ( vec ( Rtotal ) ) di mana n −1
p
)
⊗ Rtotal Λ p
}( R
total
{
(
⊗ Rtotal ) I p 2 − Λ p I p ⊗ Rtotal
)} .
VII.3 Contoh
Pada Tabel VII.1 disajikan m = 22 buah matriks kovariansi sampel yang saling bebas. Sampel ini digunakan untuk memonitor proses produksi dudukan kabel tegangan tinggi (flange) di PT PINDAD (Persero), Bandung, Jawa Barat. Ada p = 3 karakteristik kualitas produksi yang menjadi acuan. Setiap sampel memiliki ukuran yang sama yakni n0 = 4. Kestabilan matriks kovariansinya telah dilaporkan dalam Djauhari (2005a). Di bawah ini akan diselidiki tentang kestabilan matriks korelasinya. Pertama, dengan menggunakan statistik VVVS melalui pendekatan MSPC. Kedua, dengan menggunakan statistik M-Box yang kemudian dilanjutkan dengan menggunakan statistik Jennrich. Hasil yang diberikan ketiga statistik itu akan dibandingkan.
VII.3.1 Pengujian melalui Statistik VVVS dengan Pendekatan MSPC
Langkah pertama adalah menghitung matriks korelasi untuk setiap sampel berdasarkan data pada Tabel VII.1. Selanjutnya dihitung nilai VVVS sampel yang tidak lain sama dengan jumlah kuadrat semua elemen dari matriks korelasi. Hasilnya dapat dilihat pada Tabel VII.2.
76
Tabel VII.1. Matriks kovariansi sampel
Sampel 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Matriks Kovariansi
Sampel
0.00020
-0.00072
-5.34E-05
-0.00072
0.031654
-5.34E-05
0.00117
-0.00199
-0.00017
-0.00144
-0.00199
0.00661
0.00016
-0.00144
0.00026
-0.00017
0.00016
0.00029
0.00119
-0.00193
-0.00012
8.69E-05
-0.00030
5.17E-05
-0.00193
0.02558
0.00052
-0.0003
0.00878
0.00022
-0.00012
0.00052
2.87E-05
5.17E-05
0.00022
0.00015
0.00235
-0.00094
-0.00014
0.00094
-0.00085
4.33E-05
-0.00094
0.00944
-0.00011
-0.00085
0.00241
-8.56E-05
-0.00014
-0.00011
2.36E-05
4.33E-05
-8.56E-05
5.58E-06
0.00052
-0.00182
-4.5E-05
0.00027
-0.00180
6.88E-06
-0.00182
0.02120
0.00059
-0.00180
0.02884
-0.00031
-4.53E-05
0.00059
0.00003
6.88E-06
-0.00031
2.57E-05
0.00080
-0.00077
-7.93E-05
0.00307
-0.00508
-1.68E-05
-0.00077
0.02053
-5.13E-05
-0.00508
0.09693
-0.00080
-7.93E-05
-5.13E-05
4.16E-05
-1.68E-05
-0.00080
1.77E-05
0.00106
-0.00128
5.75E-05
0.00052
-0.00193
-9.3E-05
-0.00128
0.01165
-0.00047
-0.00193
0.03410
0.00034
5.75E-05
-0.00047
7.03E-05
-9.3E-05
0.00034
5.17E-05
0.00038
-0.00053
8.71E-05
0.00129
-0.00179
-9.75E-06
-0.00053
0.00470
0.00011
-0.00179
0.02035
-0.00025
8.71E-05
0.00011
8.23E-05
-9.75E-06
-0.00025
3.27E-05
0.00019
3.95E-05
-6.5E-05
9.17E-07
5.69E-05
1.25E-06
3.95E-05
0.00178
-0.00012
5.69E-05
0.02260
7.50E-05
-6.5E-05
-0.00012
6.93E-05
1.25E-06
7.50E-05
0.00001
0.00052
-0.00193
-9.3E-05
0.00076
-0.00055
9.33E-05
-0.00193
0.03410
0.00034
-0.00055
0.02707
-0.00042
-9.3E-05
0.00034
5.17E-05
9.33E-05
-0.00042
0.00021
0.00129
-0.00179
-9.75E-06
0.00056
-0.00213
-9.6E-05
-0.00179
0.02035
-0.00025
-0.00213
0.03132
0.00033
-9.75E-06
-0.00025
3.27E-05
-9.6E-05
0.00033
5.17E-05
0.00151
-0.00090
-0.00033
0.00474
-0.00483
-0.00013
-0.00090
0.00386
0.00026
-0.00483
0.02474
0.00020
-0.00033
0.00026
0.00013
-0.00013
0.00020
0.00002
77
12
Matriks Kovariansi
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Tablel VII.2. Nilai dari VVVS sampel
Sampel
vec ( Ri )
Sampel
vec ( Ri )
1
3,7829
12
4,2190
2
4,8359
13
3,7261
3
3,8950
14
5,4396
4
4,8089
15
4,0988
5
3,4563
16
3,9297
6
3,8942
17
4,2032
7
3,8616
18
3,4362
8
3,8839
19
3,5914
9
4,2032
20
3,1991
10
3,4362
21
4,2856
11
4,6374
22
3,9463
2
2
Setelah melalui berbagai perhitungan seperti perhitungan Rtotal , vec ( Rtotal ) , 2
M p , Φˆ , dan Λ p maka akan diperoleh
a. µˆ ≈ vec ( Rtotal ) = 3,2927, 2
b. Φˆ =
=
c. σˆ 2 ≈
{I − ( I p2
⎛0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝
0
p
)
⊗ Rtotal Λ p 0
0
}( R
total
0
0
{
(
⊗ Rtotal ) I p 2 − Λ p I p ⊗ Rtotal 0
0
0,8837 -0,0933 -0,1028 0 0,0211 0,0027 -0,1493 -0,0933 0,9712 0,0109 0 -0,3301 -0,0279 0,01 -0,1028 0,0109 0,8837 0 -0,1816 -0,0303 0,0002 0 0 0 0 0 0 0 0,0211 -0,3301 -0,1817 0 0,9987 0,0004 -0,0013 0,0027 -0,0279 -0,0303 0 0,0004 0,9712 -0,3471 -0,1493 0,01 0,0002 0 -0,0013 -0,3471 0,9987 0
0
0
0
0
0
0
t 8 vec ( Rtotal ) ) M pΦˆ M p ( vec ( Rtotal ) ) = 0,5605 ( n −1
78
0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ , dan 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟⎠
)}
Dari hasil perhitungan itu, dengan mengambil taraf kebermaknaan α = 5 %,maka akan diperoleh BKB = 1,8253 dan BKA= 4,7601. Apabila BKB, BKA dan nilai-nilai dari VVSV sampel pada Tabel VII.2 diplot, grafik yang dihasilkan akan tampak seperti dalam Gambar VII.1.
Nilai dari VVSV Sampel
6 BKA = 4,7601 5 4 3 2 1
BKB = 1,8253
0 1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
Sampel
Gambar VII.1. Bagan kontrol VVVS Sampel untuk proses produksi dudukan kabel tegangan tinggi
Pada gambar ini memberikan sinyal bahwa kestabilan matriks korelasi ditolak karena VVVS sampel ke-2, 4 dan 14 lebih besar dari batas atasnya.
VII.3.2 Pengujian melalui Statistik M-Box
Untuk menguji hipotesis kestabilan matriks korelasi, Tang (1998), Annaert et al. (2003), dan Da Costa Jr dkk (2005), menggunakan statistik M-Box m
M = nln Rtotal − ∑ ni ln Ri i=1
yang telah dikemukakan pada Bab II. Kestabilan ditolak pada tingkat keberartian α jika
M > Fα ; f1 , f2 dan b
Fα ; f1 , f2 adalah kuantil ke- ( 1 − α ) dari Ff1 , f2 . Berdasarkan data pada
79
Tabel VII.1, pada Tabel VII.3 disajikan nilai berbagai statistik yang dibutuhkan untuk menghitung M.
Tabel VII.3. Berbagai statistik dalam statistic M-Box
Statistik
D1
D2
f1
f2
b
Nilai
0,2831
0,1091
126
4,42E+003
1,83E+002
Dari tabel ini diperoleh M = 40,1124 dan
M = 0,2191. Jika diambil α = 5 %, maka akan b
diperoleh titik kritis F0 ,05;126 ,4.42E+003 = 0,8001. Dengan demikian,
M < F0 ,05;126 ,4.42E+003 b
yang berarti bahwa hipotesis kestabilan matriks korelasi diterima.
VII.3.3 Pengujian melalui Statistik Jennrich
Untuk menguji hipotesis kestabilan barisan matriks korelasi, Jennrich (1970) mengusulkan penggunaan statistik berikut m
J=
1 ∑ ⎩⎧⎨ 2 Tr ( Z ) − ∆ S 2 i
i=1
t i
−1
⎫ ⎭
∆i ⎬
seperti yang telah diutarakan pada Bab II. Kestabilan ditolak pada tingkat keberartian α jika J > χα2 ;df , di mana χα2 ;df adalah kuantil ke- ( 1 − α ) dari χ df2 .
Berdasarkan data pada Tabel VII.1, diperoleh hasil perhitungan berikut. J = 34,6542 dan 2 2 untuk α = 5 %, titik kritisnya χ 0,05;33 = 45,7414. Dengan demikian, karena J < χ 0,05;33 ,
maka disimpulkan bahwa hipotesis kestabilan matriks korelasi melalui statitik Jennrich dapat diterima.
80
VII.4 Catatan
Contoh di atas memperlihatkan bahwa kedua statistik Jennrich dan statistik M-Box memberikan kesimpulan yang sama yang berbeda dengan yang diberikan oleh statistik VVVS dengan pendekatan MSPC. Namun, seperti yang dilaporkan dalam Bab VI, statistik VVVS memiliki kuasa yang lebih baik dari pada statistik Jennrich. Oleh karena itu, keputusan yang diberikan statistik VVVS lebih dapat dipertanggungjawabkan.
81
