BAB VI DISTRIBUSI PROBABILITAS MENERUS 6.1
Distribusi Uniform (seragam) Menerus
Distribusi seragam menerus merupakan distribusi yang paling sederhana. Karaketristik distribusi ini adalah fungsi kepadatannya datar (sama). Fungsi kepadatannya dalam interval [A,B] secara matematis dinyatakan sebagi berikut:
⎧ 1 ⎪ f ( x : A, B ) = ⎨ B − A ⎪⎩0
A≤ x≤ B selainnya
Contoh: Bila ruang konferensi dapat didigunakan tidak lebih dari 4 jam. Diasumsikan bahwa lamanya waktu konferensi X memiliki distribusi yang seragam. a. Tentukan fungsi kepadatan probabilitas: ⎧1 ⎪ f ( x : A, B ) = ⎨ 4 ⎪⎩0
0≤ x≤4 selainnya
b. Berapa probabilitas bahwa waktu konferensi paling tidak 3 jam P[ X ≥ 3] = ∫ (1 / 4 )dx = 1 / 4 4
3
Rata-rata dan varians dari distribusi seragam adalah: μ=
6.2
A+ B 2
dan
σ2 =
( B − A) 2 12
Distribusi Normal
Distribusi probabilitas menerus yang paling penting adalah ditsribusi normal. Secara grafiknya disebut kurva normal seperti gambar berikut:
VI - 1
σ
x
μ
Distribusi normal sering disebut juga dengan Distribusi Gauss. Secara matematis distribusi normal tergantung dari dua variabel yaitu μ (rata-rata) dan σ (deviasi standar). Fungsi kepadatannya (density function) sbb:
⎡ 1 ⎡(x − μ) ⎤2 ⎤ 1 f x (x ) = exp ⎢− ⎢ ⎥⎦ ⎥, σ 2 σ 2π ⎣ ⎣⎢ ⎦⎥
− ∞ < x < ∞,
π = 3.14159K
Notasi singkat distribusi ini adalah N(μ,σ)
Distribusi Normal Standar Distribusi Gauss dengan μ = 0, dan σ = 1; disebut sebagai distribusi normal standar dan ditulis sebagai N(0,1). Sehingga fungsi kepadatannya adalah:
f s (s ) =
1 ⎡ 1 ⎤ exp ⎢− s 2 ⎥, 2π ⎣ 2 ⎦
− ∞ < s < ∞,
Notasi khusus Φ(s) biasanya digunakan untuk menandakan fungsi distribusi variasi normal standar S. Φ(s) = Fs(s), dimana S adalah distribusi N(0,1).
fs(s) N(0,1)
Probabilitas = p
x
0 sp
Gambar: Fungsi kepadatan normal standar
VI - 2
Dengan merujuk pada gambar diatas, maka Φ(sp) = p Sebaliknya, nilai variasi normal standar pada probabilitas kumulatif p dapat ditulis sebagai: sp = Φ-1(p) Fungsi distribusi dari N(0,1), yakni Φ(s) sudah dibuat dalam tabel di berbagai buku statitsik dan probabilitas, tabel ini disebut sebagai Tabel probabilitas normal. Contoh tabelnya sebagai berikut: Φ(s)
x 0.0
0.500000
0.01
0.503989
0.02
0.507978
.
.
.
.
0.50
0.694463
Tabel biasanya diberikan untuk nilai variasi yang positif, untuk nilai yang negatif dapat diperoleh dengan: Φ(-s) = 1- Φ(s) Nilai s untuk p < 0.5 dapat dihitung dengan: s = Φ-1(p) = - Φ-1(1-p) Dengan tabel Φ(s), probabilitas untuk setiap distribusi normalyang lain dapat ditentukan sebagai berikut. Bila variasi normal X dengan distribusi N(μ,σ); maka probabilitasnya adalah: b ⎡ 1 ⎡(x − μ) ⎤2 ⎤ 1 P(a < X ≤ b ) = exp ⎢− ⎢ ⎥⎦ ⎥ dx σ 2 σ 2π ∫a ⎣ ⎣⎢ ⎦⎥
Area diatas dapat diilustrasikan seperti gambar berikut:
VI - 3
fx(x) N(μ,σ)
Area = P(a < x ≤ b)
x
μ b
a
Gambar: Fungsi kepadatan probabilitas untuk N(μ,σ)
Persamaan diatas dapat juga diselesaikan dengan membuat perubahan variasi berikut:
s = (x − μ) / σ
dan
dx = σds
sehingga:
P(a < X ≤ b ) =
(b − μ ) / σ
1 − (1 / 2 ) s 2 e σds σ 2π (a − μ∫ ) / σ (b − μ ) / σ
2 1 = e − (1 / 2) s ds ∫ 2π (a − μ ) / σ
persamaan ini merupakan area (luasan) dari fungsi kepadatan normal standar antara (a-μ)/σ dan (b-μ)/σ. Sehingga dapat ditentukan dengan: ⎛b−μ ⎞ ⎛a−μ⎞ P(a < X ≤ b ) = Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠
Contoh: Dari data menunjukkan curah hujan total tahunan di suatu kolam penampung diperkirakan memiliki distribusi normal dengan rata-rata 60 in, dan deviasi standar 15 in. a. Tentukan probabilitas bahwa pada tahun depan curah hujan tahunan antara 40 sampai 70 in.
VI - 4
Solusi: ⎛ 70 − 60 ⎞ ⎛ 40 − 60 ⎞ P(40 < X ≤ 70) = Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ ⎟ ⎝ 15 ⎠ ⎝ 15 ⎠ = Φ(0.67 ) − Φ(− 1.33)
= Φ(0.67 ) − [1 − Φ(1.33)] Dari tabel diperoleh: P(40 < X ≤ 70) = 0.7486 − (1 − 0.9082) = 0.6568
b. Berapa probabilitas curah hujan tahunan paling tidak (minimal) 30 in ⎛ 30 − 60 ⎞ P( X ≥ 30 ) = Φ(∞ ) − Φ⎜ ⎟ ⎝ 15 ⎠ = 1 − Φ(− 2.00 ) = 1 − [1 − Φ(2.00)] = Φ(2.00) = 0.9772 c. Tentukan nilai curah hujan tahunan bila disktribusi kumulatifnya adalah 10%.
P( X ≤ x.10 ) = 0.10 ⎛ x − 60 ⎞ Φ⎜ 10 ⎟ = 0.10 ⎝ 15 ⎠ Dari table menunjukkan bahwa probabilitas kurang dari 0.5 terkait dengan nilai variasi negative, sehingga; x10 − 60 = Φ −1 (0.10 ) = −Φ −1 (0.90) = −1.28 15
Sehingga, x10 = 60 − 1.28(15) = 40.8 in
Contoh: struktur cangkang ditopang oleh tiga tiang A, B, C seperti tunjukkan pada gambar berikut: C
Walaupun beban dari atap dapat diperkirakan dengan tepat, namun kondisi tanah tidak bisa diprediksi A
dengan tepat.
VI - 5
B
Asumsikan bahwa penurunan pondasi ρA, ρB, ρC, adalah variasi normal bebas dengan rata-rata 2, 2.5; dan 3 cm. Koefesien varians masing-masing adalah 20%, 20%, 25%. Berapa probabilitas maksimum penurunan melebihi 4 cm?
P(max ρ > 4 cm ) = 1 − P(max ρ ≤ 4 cm )
Solusi:
= 1 − P(ρ A ≤ 4 ∩ ρ B ≤ 4 ∩ ρ C ≤ 4 ) = 1 − P(ρ A ≤ 4)P(ρ B ≤ 4 )P(ρ C ≤ 4 ) ⎛ 4 − 2 ⎞ ⎛ 4 − 2 .5 ⎞ ⎛ 4 − 3 ⎞ = 1 − Φ⎜ ⎟Φ ⎜ ⎟Φ ⎜ ⎟ ⎝ 0.4 ⎠ ⎝ 0.5 ⎠ ⎝ 0.75 ⎠ = 1 − Φ(5)Φ(3)Φ(1.333) = 1 − 1 x 0.9986 x 0.9088 = 0.0925
6.3
Distribusi Logaritmik Normal (Log-normal)
Suatu variabel acak X merupakan distribusi probabilitas logaritmik normal (lognormal) bila ln X (logaritmik natural X) adalah normal. Dalam kasus ini fungsi kepadatannya adalah:
⎡ 1 ⎡ (ln x − λ ) ⎤ 2 ⎤ 1 exp ⎢− ⎢ f x (x ) = ⎥ ⎥, ζx 2π ⎦ ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎣ ζ
0≤ x<∞
dimana rata-rata = λ = E (ln X ) dan deviasi standar = ζ = Var (ln X )
Karena transformasi logaritmik, distribusi probabilitas log-normal dapat ditentukan dengan menggunakan distribusi normal. ⎡ 1 ⎡ (ln x − λ ) ⎤ 2 ⎤ 1 P(a < X ≤ b ) = ∫ exp ⎢− ⎢ ⎥ ⎥ dx 2 ζ x ζ π 2 ⎣ ⎦ ⎥⎦ ⎢ a ⎣ b
Bila, s =
ln x − λ
ζ
, maka dx = xζds (ln b − λ ) / ζ
⎛ ln b − λ ⎞ ⎛ ln a − λ ⎞ 1 ⎡ 1 2⎤ P(a < X ≤ b ) = exp ⎢− [s ] ⎥ ds = Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ ⎟ ∫ 2π (ln a − λ ) / ζ ⎣ 2 ⎦ ⎝ ζ ⎠ ⎝ ζ ⎠
VI - 6
Rumus diatas menunjukkan probabilitas adalah fungsi dari parameter λ dan ζ. Parameter ini terkait dengan nilai rata-rata μ dan deviasi standar σ. Misalkan Y = ln X , merupakan distribusi normal N (λ , ζ ) , maka X = eY , dan
μ = E ( X ) = E (eY ) 1 = ζ 2π
⎡ 1 ⎡( y − λ) ⎤2 ⎤ ∫ e exp⎢⎢− 2 ⎢⎣ ζ ⎥⎦ ⎥⎥ dy −∞ ⎦ ⎣
1 = ζ 2π
2 ⎡ 1 ⎡( y − λ) ⎤ ⎤ ∫ exp⎢⎢ y − 2 ⎢⎣ ζ ⎥⎦ ⎥⎥ dy −∞ ⎦ ⎣
⎡ 1 μ=⎢ ⎢ ζ 2π ⎣
∞
y
∞
(
)
⎧⎪ 1 ⎡ y − λ + ζ 2 ⎤ 2 ⎫⎪ ⎤ 1 2⎞ ⎛ ⎥ ⎬dy ⎥ exp⎜ λ + ζ ⎟ ∫ exp⎨− 2 ⎢ ζ 2 ⎠ ⎝ ⎣ ⎦ ⎪⎭ ⎥⎦ ⎪⎩ −∞ ∞
Persamaan dalam tanda kurung diatas adalah total satu satuan luas dari fungsi
(
)
kepadatan Gauss N λ + ζ 2 , ζ . Oleh karena itu: ⎛ ⎝
⎞ ⎠
1 2
μ = exp⎜ λ + ζ 2 ⎟
1 2
λ = ln μ − ζ 2
Æ
Dengan cara yang sama, varians dari X adalah:
( )
EX
2
1 = ζ 2π
1 = ζ 2π
( )
E X
2
1 = ζ 2π
⎡ 1 ⎡( y − λ) ⎤2 ⎤ ∫ e exp⎢⎢− 2 ⎢⎣ ζ ⎥⎦ ⎥⎥ dy −∞ ⎣ ⎦ ∞
2y
∞
∫ exp⎢⎣− 2ζ 2 {y ⎡
1
2
−∞
(
(
)
}
⎤ − 2 λ + 2ζ 2 y + λ2 ⎥ dy ⎦
)
⎡ 1 ⎧ y − λ + 2ζ 2 ⎫2 ⎤ 2 ⎬ dy ⎥ exp 2 λ + ζ ∫ exp⎢⎢− 2 ⎨ ζ ⎩ ⎭ ⎥⎦ −∞ ⎣ ∞
)] Karena; Var ( X ) = E (X ) − μ ; maka Var ( X ) = exp[2(λ + ζ )]− exp[2(λ +
[(
)]
[(
= exp 2 λ + ζ 2
2
2 x
2
1 2
VI - 7
]
(
)
ζ 2 ) = μ 2 eζ − 1 2
dari persamaan diatas kita dapatkan: ⎛ σ2 ⎞ ζ = ln⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ ; ⎝ μ ⎠ 2
[ (
)]
Bila σ/μ tidak besar (≤0.30), maka ln 1 + σ 2 / μ 2 ≅ σ 2 / μ 2 ; sehingga:
ζ ≅
σ = δ = COV μ
Median (xm) = nilai tengah dari log-normal adalah:
P ( X ≤ x m ) = 0 .5 ln xm − λ
ζ
atau
⎛ ln xm − λ ⎞ Φ⎜ ⎟ = 0.5 ; maka: ζ ⎝ ⎠
= Φ −1 (0.5) = 0 Æ λ = ln xm
Sebaliknya: xm = e y Dengan menggunakan persamaan-persamaan sebelumnya diperoleh:
xm =
μ 1+ δ 2
Æ λ = ln
μ 1+ δ 2
Hal ini berarti median dari suatu distribusi log-normal selalu lebih kecil dari nilai rata-ratanya, yakni xm < μ
Contoh: Dari data menunjukkan curah hujan total tahunan di suatu kolam
penampung diperkirakan memiliki distribusi log-normal dengan rata-rata 60 in, dan deviasi standar 15 in. a.
Tentukan probabilitas bahwa pada tahun depan curah hujan tahunan antara 40 sampai 70 in.
Solusi:
ζ ≅
σ 15 = = 0.25 μ 60
λ = ln μ − ζ 2 = ln 60 − 12 (0.25)2 = 4.06 1 2
VI - 8
⎛ 70 − 4.06 ⎞ ⎛ 40 − 4.06 ⎞ P(40 < X ≤ 70 ) = Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ ⎟ ⎝ 0.25 ⎠ ⎝ 0.25 ⎠ = Φ(0.75) − Φ(− 1.48)
= Φ(0.75) − [1 − Φ(1.48)] Dari tabel diperoleh: P(40 < X ≤ 70) = 0.773373 − 0.069437 = 0.7039
b. Berapa probabilitas curah hujan tahunan paling tidak (minimal) 30 in ⎛ 30 − 4.06 ⎞ P( X ≥ 30) = Φ(∞ ) − Φ⎜ ⎟ ⎝ 0.25 ⎠ = 1 − Φ(− 2.64) = 0.9958 c. Tentukan nilai curah hujan tahunan bila disktribusi kumulatifnya adalah 10%.
P( X ≤ x.10 ) = 0.10 ⎛ ln x10 − 4.06 ⎞ Φ⎜ ⎟ = 0.10 0.25 ⎠ ⎝ Dari table menunjukkan bahwa probabilitas kurang dari 0.5 terkait dengan nilai variasi negative, sehingga; ln x10 − 4.06 = Φ −1 (0.10) = −Φ −1 (0.90) = −1.28 0.25 Sehingga, ln x10 = 4.06 − 1.28(0.25) = 3.74 x10 = e3.74 = 42.10 inc
6.4
Distribusi Gamma dan exponensial
Distribusi gamma dan exponensial terkait dengan proses Poisson. Distribusi gamma berasal dari fungsi gamma yang diformulasikan sebagai berikut:
Γ(α ) = ∫
∞
0
xα −1e − x dx untuk α >0
Dengan memisalkan u = xα −1 dan dv = e − x dx , diperoleh:
VI - 9
Γ(α ) = −e − x xα −1
∞ 0
+∫
∞
0
e − x (α − 1)xα −2 dx = (α − 1)∫
∞
0
xα −2 dx
untuk α >1., menghasilkan rumusan pengulangan Γ(α ) = (α − 1)Γ(α − 1).
Γ(α ) = (α − 1)(α − 2)Γ(α − 2) = (α − 1)(α − 2)(α − 3)Γ(α − 3). dan seterusnya, Bila α = n , dimana n adalah bilangan bulat positif, maka Γ(n ) = (n − 1)(n − 2),...., Γ(1) Berdasarkan rumus fungsi gamma: Γ(1) = ∫
∞
0
e − x dx = 1
Γ(n ) = (n − 1)!.
Sehingga: Fungsi kepadatan distribusi gamma dari suatu variabel acak X, dengan parameter α dan β adalah:
⎧ 1 xα −1e − x / β , ⎪ α f ( x ) = ⎨ β Γ(α ) x>0 ⎪0, selainnya ⎩ dimana α > 0 dan β > 0 Bila α = 1, maka distribusi tersebut dinamakan distribusi exponensial, fungsi kepadatannya adalah: ⎧ 1 −x / β x>0 ⎪ e f (x ) = ⎨ β ⎪0 selainnya ⎩ Rata-rata dan varians distribusi gamma adalah:
μ = αβ
dan
σ 2 = αβ 2
VI - 10
Rata-rata dan varians distribusi exponensial adalah
μ=β
dan
σ2 = β2
Contoh:
Suatu sistem terdiri dari komponen tertentu yang waktu terjadi kerusakkannya dinyatakan dengan T. Variabel acak T diasumsikan memiliki distribusi exponensial dengan rata-rata β = 5. Bila 5 dari kompenen ini dipasang pada sisitem yang berbeda, berapa probabilitas bahwa paling tidak 2 komponen masih berfungsi pada akhir tahun ke 8. Solusi:
Probabilitas komponen masih berfungsi pada akhir tahun ke 8 adalah: P(T > 8) =
∞
1 −t / 8 e dt = e − 8 / 5 ≅ 0.2 ∫ 58
Dengan menggunakan distribusi binomial diperoleh: 1 n ⎛ n ⎞ x n− x ⎛ ⎞ P( X ≥ 2 ) = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ p q =1 − ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ p x q n − x = 1 – 0.7373 = 0.2627. 2 ⎝ x⎠ 0 ⎝ x⎠ 5
VI - 11
