BAB V K A B E L Hubungan Umum. Gambar 5.1. Kabel Sebagai Batang Lentur. q. dx. Dalam analisisnya, baik. Beban total pada kabel adalah R

BAB V KABEL

Kabel merupakan salah satu bentuk batang lentur yang banyak dipakai pada konstruksi, antara lain: jembatan, jaringan kabel listrik dan kereta gantung. Dalam analisis kekuatannya, ketahanan batang terhadap lenturan dapat diabaikan karena harganya yang sangat jauh lebih kecil dari ketahanan batang terhadap tarikan.

Selain itu, ada batang-batang tertentu yang massanya sendiri dapat

diabaikan terhadap beban yang ditahannya, dan ada pula yang tak dapat diabaikan. 5.1. Hubungan Umum

Gambar 5.1. Kabel Sebagai Batang Lentur



R  q. dx .

Beban total pada kabel adalah

Dalam analisisnya, baik

perubahan F maupun  bernilai positif seiring dengan bertambahnya harga x ke arah positif. Kabel secara keseluruhan akan berada dalam keadaan setimbang bila setiap elemennya berada dalam keadaan setimbang. Perhatikan Gambar 5.1b di atas.

 Fv  0   F.sin   q. dx  (F  dF).sin(  d)  0  Fh  0   F.cos  (F  dF).cos(  d)  0 53

(51 . a) (51 . b)

54

Identitas trigonometri : sin ( + d) = sin .cos d + cos .sin d 

cos ( + d) = cos .cos d  sin .sin d

Untuk d  0 maka cos d  1 dan sin d  d, sehingga sin ( + d) = sin  + cos . d

(5.2a)

cos ( + d) = cos   sin  d

(5.2a)

Dengan substitusi persamaan-persamaan (5.2a) dan (5.2b) ke persamaanpersamaan (5.1a) dan (5.1b), akan diperoleh (F + dF) (sin  + cos . dF. sin  + q. dx

(5.3a)

(F + dF) (cos  + sin . dF. cos 

(5.3b)

Untuk

dx  0 maka d  0 dan dF  0, sehingga dari

(5.3a) dF.cos.d  0 ,

persamaan

serta dari persamaan (5.3b) dF.sin .d  0 . Dengan

demikian dari persamaan-persamaan (5.3a) dan (5.3b) akan diperoleh F. sin  + F. cos . ddF. sin F. sin  + q. dx

atau

F. cos . ddF. sin q. dx

(5.4a)

F. cos  + F. sin . ddF. cos F. cos 

atau

F. sin . ddF. cos 0

(5.4b)

Persamaan-persamaan (5.4a) dan (5.4b) dapat ditulis dalam bentuk lain berturutturut sebagai berikut d(F. sin q. dx

(5.5a)

d(F. cos 0

(5.5b)

Dengan mengintegralkan persamaan (5.5b) di atas akan diperoleh bahwa komponen horisontal beban tidak tergantung pada harga

x

atau tetap yang

55

dinyatakan oleh F. cos C. Bila harga konstan Cini kemudian diberi notasi baru sebagai Fo , akan didapat F. cos Fo

atau

F

Fo cos

(5.6)

Substitusi persamaan (5.6) ke persamaan (5.5a) akan menghasilkan d(Fo. tan q. dx Dengan Fo dan tan  = (dy/dx), maka

 dy  Fo . d    q. dx  dx 

atau

 dy  Fo . d    dx  q dx

atau 2 q d y  2 dx Fo

5.2.Kabel Dengan Lenturan Parabola

Gambar 5.2 Jembatan Gantung

(5.7)

56

Persamaan (5.7) diintegrasikan sekali akan memberikan

dy q. x  C dx Fo

(5.8a)

Pada titik terendah D, dengan x = 0 dan (dy/dx) = tan  = 0, maka persamaan (5.8a) menjadi

0

q.0

C  C0 Fo Substitusi harga C = 0 ini ke persamaan (5.8a), akan menghasilkan dy q. x  dx Fo

(5.8b)

Persamaan (5.8b) diintegrasikan sekali akan menghasilkan

q. x

y

2

 C1

2. Fo

(5.9a)

Untuk titik terendah D, harga x = 0 dan y = 0, sehingga

q.0

0

2

 C1

2. Fo

 C1  0

Substitusi harga C1 = 0 ke persamaan (5.9b), menghasilkan

y

q. x

2

(5.9b)

2. Fo Untuk titik-titik A dan B berturut-turut y = hA dan y = hB , serta x = -lA dan x = +lB , akan menghasilkan

hA 

hB 

qlA

2

2. F o q lB

 Fo 

q. l A

 Fo 

q. l B

2

2. F o

2

(5.10a)

2. h A 2

2. h B

(5.10b)

57

dengan: Fo : komponen horisontal dari gaya normal yang bekerja pada kabel (N) Q : besar beban terbagi rata (N/mm) L : setangah panjang bentang jembatan (mm) h : tinggi lendutan kabel maksimum (mm). Kombinasi persamaan -persamaan (5.10a) dan (5.10b) akan menghasilkan l B  l A hB h A

atau

l A  lB hA h B

(5.11)

Persamaan-persamaan (5.10) menunjukkan bahwa makin tinggi tiang penyangga akan semakinkecil komponen horisontal dari beban normal kabel, namun makin panjang bentangnya makin besar komponen beban horisontal tersebut yang berbanding lurus dengan panjang bentangnya. Sebagaimana telah dikemukakan di muka bahwa sistem secara keseluruhan akan berada dalam keadaan setimbang bila setiap elemen pada sistem itu berada dalam keadaan setimbang.

Dengan demikian untuk harga

x

sembarang pada Gambar 5.2(b), dari segitiga gaya yang tertutup Gambar 5.2(c) yang dibentuk oleh ketiga beban Fo, F dan q.x akan menghasilkan 2

F  Fo  q 2 . x 2

(5.12a)

Substitusi persamaan (5.10) menghasilkan

F

 

2 2 q .l 4 l 2 2 2 q .  =  . q x x 2 2. h 4. h

2

(5.12b)

Untuk struktur seperti ditunjukkan pada Gambar 5.2(a), beban kabel yang terjadi di A dan B, dengan xA = lA dan xB = lB persamaan (5.12b) menjadi

serta l = lA dan l = lB , maka

58

 

(5.13a)

 

(5.13b)

2

lA F A  q. l A . 1  2. h A

2

lB F B  q. l B . 1  2. h B

Substitusi persamaan (5.10) ke persamaan (5.9), akan menghasilkan tinggi lendutan kabel pada setiap harga x sembarang, yang besarnya



2

q. x y 2 q. l 2. 2. h

x yh l



2

(5.14)

Untuk arah ke ujung-ujung A dan B, dengan berturut-turut h = hA dan h = hB serta l = lA dan l = lB disubstitusikan ke (5.14). Panjang kabel antara kedua bentang, s , dapat dihitung menurut rumus ds  dx2  dy2  1   dy dx

2

(5.15a)

Substitusi persamaan (5.9b) ke persamaan di atas akan diperolah ds  1 

 

 

2

q. x Fo

. dx  1 

2

q . x2

1

2

2

(5.15b)

Fo

Sehingga panjang kabel antara dua tiang adalah l

s 2

0

Bila



1

a



 1



2 q . x2 2 Fo

2 q . x2

F

2 q . x2 2

2 o



1



1

2

dx

(5.16)

2

dipandang sebagai (1 + a)n , maka kita memiliki

dan

n = 1 /2

(5.17)

Fo Sedangkan

1  a

n

 1  n. a 

n n  1 2 n n  1 n  2 3 .a  . a ............ 2! 3!

(5.18a)

59

yang merupakan sebuah deret konvergen untuk x2 < 1. Selanjutnya harga a menurut persamaan (5.16) dikembalikan lagi ke persamaan di atas, sehingga

  1

q 2 . x2 2

Fo

1

2

1  2. 2   1   q x2  2  Fo 

     

 12 121 

2

1.2

q4  2   1   q 2  . x2  4  2.F o  8.F o

2

q 2 . x2

 12 121 122  1.2.3

Fo

q6

x4 

16.F o

6

  q 2 . x2 2

Fo

x6 ...

(5.18b) Substitusi persamaan (5.18b) di atas ke persamaan (5.16) sehingga

   

  2  4 q q  2 s  2 1   .  2 x 4  2. F o  8. F o 0   l





2

4

3

q

x  4

16. F o

6

5

6

6



7

 2 x  q 2 . x  q 4 . x  q 6 . x ... 2. F o 3 8. F o 5 16. F o 7

 

  x ...dx  6

 

l

0

 

2 4 6   1 2 q. l 2 1 4 q. l 2 1  2 q. l 2  s  2. l 1  . 2 . 4 . 6 ... 5 2. F o l 7 2. F o l    3 2. F o l 

Substitusi harga hA dan hB dari persamaan-persamaan (5.10a) dan (5.10b) ke persamaan di atas, akan diperoleh panjang kabel ke arah tiang A dan tiang B berturut-turut sebesar

           

  2 s A  2 l A 1    3   2 s B  2 l B 1    3

hA 2 lA

hB 2 lB

2

2

2 hA  5 l A2

2 hB  5 l B2

4

4 hA  7 l A2

4



4 hB 7 l B2

  ...   6   ...  

6

(5.19a)

(5.19b)

Persamaan tersebut di atas konvergen untuk harga (h/l) < n < (1/2). Untuk konstruksi pada umumnya, harga tersebut secara umum valid adanya. Contoh Soal: Jembatan gantung sederhana memiliki panjang bentang 60 meter. Lendutan kabel terhadap tambatan pada satu arah 6 meter, sedangkan terhadap tambatan pada arah yang lain 8 meter. Beban gelagar, berengsel

3

...

60

pada setiap gantungan kabel vertikalnya, rata-rata 400 (N/m). Kabel utama yang dipakai adalah jenis pilinan 6 x 37 sedangkan untuk kabel vertikal dari jenis pilinan 6 x 19, keduanya dari bahan St 60. Faktor keamanan kabel baja diambil antara 3,5 sampai dengan 4,5. Jarak antar kabel vertikal tak boleh lebih dari 1,5 meter. Tentukan diameter kawat,  , yang digunakan untuk pilinan kabel utama dan kabel vertikal, serta panjang kabel utama !

Penyelesaian:

Gambar 5.3. Jembatan Gantung Dari persamaan (5.11), didapat lA = lB ( hA / hB ) (1/2) = lB ( 8 / 6 ) (1/2) = 1,155 lB lA + lB = 60 ===> 1,155 lB + lB = 2,155 lB = 60 lB = 27,85 (m) lA = 1,155 lB ===> lA = 32,15 (m)

F o

Dari persamaan (5.10a),

q.l A 2 400.( 32 ,15)2   28.846,84 (N) 2.h A 2.8

Karena lA > lB , maka Fmax = FA , dari persamaan (5.13a)

 

lA F A  q.l A. 1 2.h A Dengan

t 

mengambil

60xg 60x10  150 k 4

2

2  32 ,15    400(32 ,15) 1  28.863,72 (N)  2.8    k

 N mm  2

=

4

,

tegangan

ijin

kabel

St

60,

61

Diameter kawat pada kabel utama dapat dohitung dengan rumus

 2 F max 1 ( 6 37 ) t 4

atau 1 

4F max  ( 6 37 )  t

4 28863,72  1,05 (mm) ( 6 37 ) 150

Dibuat 1 = 1 (mm) Kabel tarik vertikal dibuat berjarak a = 1,25 (m) , sehingga dengan dua kabel (kiri dan kanan), beban setiap kabel, Fv = q.a / 2 = 400 x 1,25 / 2 = 250 (N) Diameter kawat pada kabel tarik vertikal dapat dohitung dengan rumus

 2 F v   2 ( 619 ) t 4

atau 1 

4F v  ( 619 )  t

4 250  0,134 (mm) ( 619) 150

Dibuat 2 = 0,15 (mm) Pemeriksaaan faktor keamanan untuk 1 ,

 2  F  1 ( 6 37 ) t  12  ( 6 37 )150 26153,76 ( N ) 4 4 F 26153,76 k  k o  4 3,62  baik / memadai 28863,72 F max Panjang kabel utama dapat dihitung menurut persamaan-persamaan (5.19a) dan (5.19b)

     

 2 hA 2 2 hA 4 4 hA 6    ... s A  2 l A 1 2 5 l A2 7 l A2  3 lA  2 4 6  2  8 2 8 4 8  2 ( 32 ,15)1   ... 33,43 2 2 2 5 32 ,15 7 32 ,15  3 32 ,15  2 4 6  2 hB  2 hB 4 hB    ... s B  2l B 1  2 5 l B2 7 l B2  3 l B  2 4 6  2  6 2 6 4 6  2 (27 ,85)1   ... 28,69 2 2 2 5 27 ,85 7 27 ,85  3 27 ,85 

     

( m)

     

     

Panjang kawat utama antara dua tiang, s = sA + sB = 62,12 (m).

( m)