BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Dasar Teori 2.1.1 Integral Integral merupakan invers atau kebalikan dari differensial. Integral terdiri dari dua macam yakni integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu merupakan suatu integral yang dibatasi oleh suatu nilai tertentu yang sering disebut batas atas dan batas bawah. Sedangkan integral tak tentu digunakan untuk mencari fungsi asal dari turunan suatu fungsi (Purcell & Verberg, 2010). Integral tentu dinyatakan seperti pada Persamaan (1). 𝑏

𝐼 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

(1)

Integrasi tentu sama dengan menghitung luas daerah yang dibatasi kurva y =f(x), dengan batas x=a dan x=b (Munir, 2015). Integral ganda merupakan perhitungan volume ruang di bawah permukaan kurva f(x,y) yang alasnya berupa bidang yang dibatasi oleh garis x=a, x=b, y=c, y=d. Volume benda berdimensi tiga dihitung seperti pada Persamaan (2). 𝑏

𝑑

𝑑

𝑏

𝐼 = ∫𝑎 ∫𝑐 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫𝑐 [∫𝑎 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥]𝑑𝑦

(2)

Volume = Luas Alas x tinggi Solusi integral ganda adalah dengan melakukan integrasi dua kali dalam arah x menghitung luas alas, dan arah y menghitung tinggi (Munir R, 2015) 2.1.2 Integrasi Numerik Integrasi Numerik merupakan cara perhitungan yang digunakan apabila kondisi dalam perhitungan analitik dirasa sulit atau bahkan tidak mungkin untuk memperoleh hasil integral. Dengan kata lain, integrasi numerik dilakukan ketika perhitungan integral secara eksak sulit dilakukan (Munir, 2015). Hasil penyelesaian metode numerik berupa nilai hampiran (approximation), sehingga timbul kesalahan (error). Pada penyelesaian secara numerik diusahakan menghasilkan error sekecil mungkin untuk memperoleh hasil yang lebih baik 5

(Munir, 2015) Ada beberapa metode dalam perhitungan integral secara numerik. Diantaranya metode Trapesium, Simpson, Romberg, hingga Monte Carlo. 2.1.2.1 Metode Trapesium Metode Trapesium atau trapezoidal rule merupakan metode integrasi numerik

yang didasarkan pada penjumlahan segmen-segmen berbentuk

Trapesium (Munir, 2015). Sebuah pias berbentuk Trapesium dari x = x0 sampai x = x1. Perhatikan Gambar 2.1 dibawah ini.

Gambar 2.1 Metode Trapesium (Munir, 2015) Secara umum aturan Trapesium diperoleh dari Persamaan (3). 𝐼=

ℎ 2

(𝑓(𝑥0 ) + 2 ∑𝑛−1` 𝑖=1 𝑓𝑖 + 𝑓(𝑥𝑛 ))

(3)

dengan : n

= jumlah upselang

h

= jarak antar titik ( ℎ =

a,b

= batas kurva

f(x)

= fungsi

(𝑏−𝑎) 𝑛

)

2.1.2.2 Metode 1/3 Simpson Kaidah Simpson merupakan turunan dari metode Newton-Cotes. Metode atau kaidah ini dikenalkan oleh seorang ahli matematika bernama Thomas Simpson (1710-1761) dari Leicestershire, England.

Metode 1/3 Simpson dapat didefinisikan sebagai luas daerah yang dibatasi oleh hampiran fungsi parabola. Gambar 2.2 menunjukkan metode 1/3 Simpson.

Gambar 2.2 Metode 1/3 Simpson (Munir, 2015) Integral 1/3 Simpson secara numerik didefinisikan seperti pada Persamaan (4) di bawah ini. 𝑏

: 𝐼 = ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≈ 𝐼 =

ℎ 3

𝑛−2 (𝑓(𝑥0 ) + 4 ∑𝑛−1 𝑖=1,3,5 𝑓𝑖 + 2 ∑𝑖=2,4,6 𝑓𝑖 + 𝑓(𝑥𝑛 ))

(4)

Dengan n

= jumlah upselang

h

= jarak antar titik ( ℎ =

a,b

= batas kurva

f(x)`

= fungsi integral

(𝑏−𝑎) 𝑛

)

Penggunaan metode 1/3 Simpson ini mensyaratkan bahwa jumlah upselang (n) harus genap (Munir, 2015). 2.1.2.3 Metode 3/8 Simpson Metode 3/8 Simpson dapat didefinisikan sebagai luas daerah yang dibatasi oleh fungsi kubik. Dimana metode 3/8 Simpson ini mensyaratkan jumlah upselang (n) harus kelipatan 3 (Munir, 2015). Gambar 2.3 menunjukkan metode 3/8 Simpson.

Gambar 2.3 Metode 3/8 Simpson (Munir, 2015) Secara umum aturan 3/8 Simpson dapat dilihat pada Persamaan (5). 𝑏

3ℎ

𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≈ 𝐼 = ∫ 𝑎

𝐼=

3ℎ 8

0

3ℎ

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≈ 𝐼 = ∫ 𝑝3 (𝑥) 𝑑𝑥 0

𝑛−3 (𝑓(𝑥0 ) + 3 ∑𝑛−1 𝑖≠3,6,9 𝑓𝑖 + 2 ∑𝑖=3,6,9 𝑓𝑖 + 𝑓(𝑥𝑛 )) .....................(5)

n

= jumlah upselang

h

= jarak antar titik ( ℎ =

a,b

= batas kurva

f(x)

= fungsi integral

(𝑏−𝑎) 𝑛

)

2.1.2.4 Metode Romberg Metode Romberg didasarkan pada ekstrapolasi Richardson. Setiap penerapan ekstrapolasi Richarson akan menaikkan orde galat pada hasil solusinya sebesar dua. Hal ini akan mengakibatkan nilai galat semakin kecil dan solusi numeriknya mendekati nilai sejati (nilai eksak). Pada integrasi Romberg, mulamula menghitung kuadratur dengan lebar interval h dan 2h untuk menurunkan galat hampiran integral dari O(h2n ) menjadi O(h2n+2) dengan menggunakan ekstrapolasi Richardson. Dimana untuk n=1 berhubungan dengan nilai dasar dari hasil perhitungan rumus metode Trapesium, n=2 berhubungan dengan nilai dasar dari hasil perhitungan rumus Simpson atau O(h4 ) , n=3 berhubungan dengan nilai dasar dari perhitungan rumus Boole atau O(h6 ) , jadi untuk n berhubungan dengan O(h2n ) (Munif & Hidayatullah, 2003).

Persamaan (6) berikut ini merupakan ekstrapolasi Richardson: 𝐽 = 𝐼(ℎ) +

𝐼(ℎ)−𝐼(2ℎ)

(6)

2𝑞 −1

Misalkan I adalah nilai integrasi sejati yang dinyatakan sebagai I = Ak + Ch2 + Dh4 +Eh6 +... Dimana h = (b-a)/n dan Ak = perkiraan nilai integrasi dengan kaidah Trapesium dan jumlah pias n = 2k. Orde Galat Ak adalah O(h2). A0 adalah 𝑏

taksiran integrasi I = ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 dengan kaidah Trapesium dengan pembagian 𝑏

daerah integrasi n= 20 = 1 pias. A1 adalah taksiran integrasi I = ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 dengan kaidah Trapesium dengan pembagian daerah integrasi n= 21 = 2 pias. Gunakan runtutan A0, A1, A2,.. untuk mendapatkan B1, B2, B3 . Nilai B1, B2, B3 dapat dilihat pada Persamaan (7). 𝐵𝑘 = 𝐴𝑘 +

𝐴𝑘 − 𝐴𝑘−1

(7)

22 −1

Jadi, nilai I sekarang adalah I = Bk + D’h4 + E’h6+.... dengan orde galat Bk adalah O(h4) (Munir, 2015). Begitu seterusnya hingga didapatkan seperti Tabel 2.1 di bawah ini. Tabel 2.1 Tabel Romberg O(h2 ) A0

O(h4 )

O(h6)

O(h8)

A1

B1

A2

B2

C2

A3

B3

C3

D3

A4

B4

C4

D4

O(h10)

O(h12)

E4

2.1.2.5 Metode Monte Carlo Algoritma Monte Carlo adalah metode Monte Carlo numerik yang digunakan untuk menemukan solusi matematis (yang dapat terdiri dari banyak

variabel) yang sulit dipecahkan, misalnya dengan kalkulus integral, atau metode numerik lainnya. Salah satu penggunaan penting metode Monte Carlo adalah untuk menghitung integral suatu fungsi. Ide dasarnya adalah dengan mengambil sejumlah titik acak pada sumbu absis yang berada pada batas integrasi, kemudian dihitung nilai fungsinya dan dijumlahkan. Pengambilan jumlah titik sampel dapat dipilih sembarang sesuai dengan kebutuhan. Formulasi integrasi Monte Carlo untuk satu dimensi dinyatakan seperti pada Persamaan (8) (Gunarto, 1992). 𝐼=

(𝑏−𝑎) 𝑛

∑𝑖=𝑛 𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 )

(8)

2.1.3 Kesalahan (Error) Error atau yang sering disebut galat merupakan salah satu bentuk kesalahan yang terjadi karena adanya ketidaksamaan anatara solusi analitik dan solusi numerik. Pada perhitungan integral, error merupakan standar mutlak antara selisih nilai analitik (nilai eksak) dan nilai hampiran (Munir, 2015). Error dinyatakan dalam persamaan (9) : 𝐸 = 𝑥 − 𝑥̅

(9)

dimana E

= error atau galat

x

= nilai analitik (eksak)

𝑥̅

= nilai hampiran Sebagai contoh, jika 𝑥̅ = 8.5 merupakan nilai hampiran x = 8.35, maka

galatnya adalah 𝐸

= -0.15 . Tanda galat (positif atau negatif) tidak

dipertimbangkan, sehingga galat mutlak atau galat absolut dapat didefinisikan sebagai |𝐸| = |𝑥 − 𝑥̅ |.........................................................................................(10) Panjang sebuah kayu berdasarkan hasil pengukuran yang dilakukan oleh orang A adalah 88 cm, padahal panjang kayu sebenarnya adalah 90 cm. Galatnya 90-88 = 1 cm. Sementara hasil pengukuran orang B terhadap panjang buku adalah

9 cm, padahal panjang buku sebenarnya adalah 10 cm. Galatnya adalah 10 – 9 = 1 cm. Galat dari kedua pengukuran tersebut sama sama bernilai 1 cm, namaun galat 1 cm pada pengukuran buku lebih berarti daripada galat 1 cm pada pengukuran panjang kayu. Apabila tidak terdapat informasi mengenai panjang sesungguhnya, mungkin kedua galat tersebut dianggap sama saja. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat tersebut, maka muncul sebuah galat relatif. Galat relatif didefinisikan seperti pada persamaan (10) : 𝐸𝑅 =

𝐸 𝑥

x 100 %.......................................................................................(11)

dimana ER

= error relatif

E

= nilai error

x

= nilai eksak

persamaan diatas merupakan persamaan galat yang telah dinormalkan terhadap nilai eksak yang dinamakan galat relatif (Munir, 2015). 2.1.4 Unified Modelling Language (UML) Unified Modelling Language (UML) merupakan sebuah bahasa yang telah menjadi standar untuk visualisasi, perancangan dan pendokumentasian sistem piranti lunak. UML merupakan sebuah standar dalam perancangan model sebuah sistem (Dharwiyanti, 2003). 2.1.4.1 Use Case Use Case merupakan sebuah pemodelan yang menggambarkan perilaku sistem informasi tersebut. Use Case Diagram merupakan pemodelan perilaku (behavior) sistem informasi yang akan dibuat (Rosa & Shalahuddin, 2011). Use Case digunakan untuk mengetahui fungsi apa saja yang ada di dalam sebuah sistem informasi dan siapa saja yang berhak untuk menggunakan fungsi- fungsi tersebut. Berikut adalah simbol-simbol yang ada pada use case diagram yang dapat dilihat pada Tabel 2.2.

Tabel 2.2 Simbol Use Case Diagram (Dennis, Haley W, & M. Roth, 2012)

2.1.4.2 Sequence Diagram Sequence Diagram menunjukkan interaksi antar objek, diagram ini merupakan pandangan dinamis terhadap sistem. Diagram ini menekankan pada basis keberurutan waktu dari pesan-pesan yang terjadi. Sequence diagram mendeskripsikan bagaimana entitas berinteraksi, termasuk message yang digunakan ketika berinteraksi. Semua message digambarkan dalam urutan eksekusi. (Dennis, Haley W, & M. Roth, 2012) Berikut ini adalah simbol-simbol yang ada pada sequence diagram yang dapat dilihat pada Tabel 2.3.

Tabel 2.3 Simbol Sequence Diagram (Dennis, Haley W, & M. Roth, 2012)

2.2 Penelitian Terkait Penelitian yang dilakukan Ubay pada tahun 2013 tentang Penyelesaian Numerik Integral Lipat Tiga dengan Menggunakan Integrasi Romberg menjelaskan tentang hasil implementasi metode Romberg dalam penyelesaian kasus integral lipat tiga dapat dilakukan lebih cepat daripada perhitungan secara analitik. Objek yang digunakan adalah contoh soal integral lipat tiga yang wajar dan memiliki batas konstan. Penelitian ini dijelaskan dalam Tabel 2.1 pada nomor 1. Penelitian yang dilakukan Royani pada tahun 2015 yang berjudul perbandingan metode pecahan dan aturan Simpson dalam menghitung luas daerah kurva menunjukkan bahwa penerapan aturan Simpson pada perhitungan luas daerah kurva memberikan hasil yang lebih baik dengan galat lebih kecil daripada metode pecahan. Penelitian ini ditunjukkan dalam Tabel 2.1 pada nomor 2.

Penelitian Mulia yang berjudul Studi dan implementasi Monte Carlo menunjukkan bahwa hasil keakuratan implementasi metode Monte Carlo dalam kasus integral lebih rendah dibandingkan dengan metode lain dikarenakan dimensi yang digunakan pada percobaan terlalu kecil. Penelitian ini dijelaskan dalam Tabel 2.1 pada nomor 3. Penelitian dengan judul Penyelesaian Integral Lipat Menggunakan Metode Monte Carlo dilakukan oleh Haryono pada tahun 2009 menjelaskan tentang penerapan metode Monte Carlo untuk penyelesaian kasus integral lipat dengan pendekatan perhitungan volume prisma dibawah kurva. Contoh yang digunakan adalah integral lipat dua dengan daerah atas berbentuk persegi. Hasilnya nilai hampiran mendekati nilai sebenarnya dengan jumlah titik random diatas 1000. Penelitian ini dijelaskan pada Tabel 2.1 nomor 4. Penelitian yang dilakukan oleh Haryadi pada tahun 2013 yang berjudul Pengukuran Luas Daun dengan Metode Simpson menjelaskan tentang implementasi metode Simpson pada pengukuran luas daun mangga, daun sawi, daun jambu biji dan daun pisang. Hasil penelitian menunjukkan bahwa perhitungan luas daun dengan metode Simpson memiliki kesalahan baku lebih kecil dibanding hasil pengukuran dengan metode Gravimetric yang dilakukan peneliti sebelumnya. Penelitian ini dijelaskan pada Tabel 2.1 nomor 5.

Tabel 2.1 Penelitian Terkait No 1

Penulis Dillah,U

Judul “Penyelesaian

Tujuan Penyelesaikan

Metode Integrasi

Hasil Perhitungan

Kelebihan Perhitungan

Kelemahan Batas integralnya

bay.2013

Numerik

kasus integral

Romberg

integral lipat tiga

integral fungsi

konstan antara 1

.

Integral Lipat

lipat tiga dengan

dapat dilakukan

aljabar dan

sampai 10. Masih

Tiga dengan

metode

lebih cepat

transenden

ada selisih antara

Menggunakan

Romberg

menggunakan

dapat

perhitungan

Integrasi

metode integrasi

diselesaikan

numerik secara

Romberg”

Romberg

dengan metode

manual dengan

Romberg.

hasil simulasi matlab.

2

Royani,

“Perbandingan

Menghitung luas Metode

Aturan Simpson

Perhitungan

Hanya

Evi.

metode pecahan

daerah kurva

pecahan

memeiliki galat

luas daerah

menggunakan 1

2015

dan aturan

dengan metode

dan aturan

yang lebih kecil

kurva dapat

sampel yang

Simpson pada

pecahan dan

Simpson

daripada metode

diselesaikan

mudah dan

perhitungan luas

aturan Simpson

pecahan

lebih tepat

memiliki batas

dengan aturan

konstan. Belum

Simpson

ada perbandingan

daerah kurva

dengan metode yang lainnya.

Tabel 2.1 Penelitian Terkait Lanjutan No 3

Penulis

Judul

Tujuan

Mulia,

“ Studi dan

Implementasi

Firdi.

Implementasi

metode

2011

Monte Carlo “

Carlo

Metode Metode

Monte Monte pada Carlo

kasus integral

Hasil

Kelebihan

Kelemahan

Keakuratannya

Metode ini

Dimensi dan

lebih rendah

cocok untuk

jumlah data yang

dibanding metode

menangani

kecil

yang lain karena

kasus dengan

mengakibatkan

dimensi yang

jumlah data

keakuratannya

digunakan kecil.

yang cukup

lebih rendah

banyak.

dibandingkan dengan metode lain.

4

Haryono, “ Perhitungan

Penerapan

Agus

metode

Nugroho. menggunakan

Carlo

2009

Metode Monte Carlo”

Integral Lipat

Metode Monte

Hasil yang

Hanya

Monte Monte

Carlo

didapatkan

menggunakan

dalam Carlo

memberikan hasil

mendekati

contoh integral

perhitungan

yang mendekati

nilai

lipat dua dengan

kasus

nilai sebenarnya

sebenarnya

daerah atas

untuk jumlah titik

(nilai analitis)

berbentuk persegi

lipat

Metode

integral

random diatas

serta batas yang

1000

digunakan masih wajar.

Tabel 2.1 Penelitian Terkait Lanjutan No 5

Penulis

Judul

Tujuan

Metode

Hasil

Kelebihan

Kelemahan

Haryadi.

”Pengukuran

Mengimplement

Simpson

Penerapan metode Kesalahan

Tidak ada

2013.

Luas Daun

asikan metode

(1/3 dan

Simpson

baku yang

penjelasan

dengan Metode

Simpson untuk

3/8

menghasilkan

dihasilkan

perhitungan dan

Simpson”

menghitung luas

Simpson)

kesalahan baku

lebih kecil dari

tidak adanya

daun mangga,

lebih kecil

penelitian yang perbandingan

sawi, jambu biji,

dibandingkan

telah dilakukan dengan metode

dan pisang.

hasil pengukuran

sebelumnya

integrasi numerik

dengan metode

(menggunakan

lainnya seperti

Gravimetric

metode

metode

Gravimetric)

Trapesium ataupun Romberg.

2.3 Rencana Penelitian Penelitian ini akan membuat sebuah program kalkulator integrasi numerik dengan penerapan metode Trapezium, metode 1/3 Simpson, metode 3/8 Simpson, metode Romberg, dan metode Monte Carlo untuk menyelesaikan kasus integral tunggal dan integral ganda. Hasil keluaran program kemudian dianalisis sehingga diketahui metode mana yang paling baik dengan memiliki galat kecil.