BAB II PEMBAHASAN A. Keadaan Makro dan Keadaan Mikro Masalah utama yang dihadapi dalam mekanika statistik adalah menentukan sebaran yang mungkin dari partikel- partikel kedalam tingkat- tingkat energi dan keadaan- keadaan atau status energi. Rincian sebaran partikel ini sangat tergantung pada apakah partikelpartikel itu terbedakan atau tidak terbedakan. Spesifikasi jumlah partikel kedalam tingkattingkat energy dengan tidak meghiraukan apakah partikel- partikel itu terbedakan atau tidak, disebut “ keadaan makro “ ( macrostate ) dari suatu sistem. Setiap keadaan makro dapat dirinci lagi menjadi keadaan- keadaan mikro, tergantung kepada apakah partikel- partikel tersebut terbedakan atau tidak, dan apakah masing- masing tingkat energy tergenerasi atau tidak. Keadaan mikro dapat dipandang sebagai satu hasil pemotretan dimana data lengkap posisi dan kecepatan setiap molekul diketahui. Jika pada berbagai titik waktu dilakukan pemotertan, maka setiap hasil pemotretan ini adalah satu keadaan mikro. Jumlah keadaan mikro untuk setiap keadaan makro k, disebut “ peluang termodinamika “, yang disimbolkan dengan Wk, sedangkan peluang termodinamika system adalah jumlah semua peluang termodinamika tiap- tiap keadaan makro, yang biasa dirumuskan sebagai berikut Ω = ∑k Wk Dalam statistik Maxwell- Boltzman, ada dua ciri- ciri yang digunakan: 1. Partikel- partikel dalam sistem dibedakan 2. Setiap keadaan energi dapat diisi oleh lebih dari satu partikel Contoh: 1. Suatu system terdiri dari tiga partikel berbeda, misalnya a, b dan c, yang tersebar kedalam dua tingkat energi, ε1 dan ε2. Jika system tidak tergenerasi, atau jumlah keadaan utnuk tiap tingkat energy adalah satu, maka: a. Tunjukan keadaan makro yang mungkin b. Tunjukan keadaan mikro untuk setiap keadaan makro 1
c. Tentukan peluang termodinamika untuk setiap keadaan makro d. Tentukan peluang termodinamik system Jawab : Dengan misalkan N1 dan N2 adalah jumlah partikel untuk masing- masing tingkat energi, maka masalah ini dapat diselesaikan dengan cara berikut: a. Keadaan- keadaan makro yang mungkin N1
3
2
1
0
N2
0
1
2
3
Terlihat bahwa terdapat empat keadaan makro b. Keadaan- keadaan mikro untuk setiap keadaan makro
Keadaan makro
keadaan- keadaan mikro
N1
3
abc
N2
2
N2
2
bc
Ac
ab
N1
1
a
B
C
N2
1
a
.b
A
N1
2
bc
ac
ab
N2
0
N1
3
abc
c. Peluang termodinamika dapat kita lihat untuk setiap keadaan makro, sehingga diperoleh : W1 = 1, W2 = 3, W3 = 3, dan W4 = 1 d. Peluang termodinamika system adalah : 2
Ω = W1 + W2 + W3 + W4 =1+3+3+1 =8 Berdasarkan contoh diatas, secara umum peluang termodinamika untuk setiap keadaan makro, dapat dirumuskan sebagai berikut: W=
𝑁1+𝑁2 𝑁1!𝑁2!
𝑁!
= 𝑁1!𝑁2!….𝑁𝑎!
B. Distribusi Maxwell Boltzman Turunan fungsi distribusi Maxwell Boltzmann 𝑁!
W = N1!N2!.....Nn q1N1 q2N2….. qnNn W = 𝑁! πni = 1
q1N1 N1!
Hubungan entropi S terhadap peluang termodinamika W S = K ln W Ln W = Ln [𝑁! πni = 1
q1N1 N1!
]
= Ln N! + ∑Ln qiNi - ∑Ln Ni! = Ln N! + ∑Ni Lnqi - ∑Ln Ni! Dengan menggunakan pendekatan stirling: Ln N! = N ln N – N Ln W = ln N! + ∑Ni ln qi - ∑ln Ni + ∑Ni = N ln N – N + ∑Ni ln qi - ∑ln Ni + N = N ln N + ∑Ni ln qi + ∑Ni ln Ni N=
𝑛 𝑖=1
𝑁𝑖 → dn =
𝑛 𝑖=1
𝑑𝑁𝑖
Untuk memperoleh Ln W maksimum, turunan pertama Ln W terhadap Ni haruslah 0. 𝑑𝑁 𝐿𝑛 𝑊 𝑑𝑁𝑖
=
𝑑 [ 𝑁 𝐿𝑛 𝑁+ Ni Ln qi− Ni Ln Ni ] 𝑑𝑁𝑖
= ∑ln qi - ∑ln Ni = d Ln W [ln qi - ∑ln Ni] dNi enegi dalam u : u=
𝑛 𝑖=1
𝑁𝑖 εi ~> du =
𝑛 𝑖=1
εi dN𝑖= 0 3
Metode lagrange : d ln W + α dn + β du = 0 [ ∑ln qi - ∑ln Ni ]dNi + α
𝑛 𝑖=1
𝑛 𝑖=1
𝑑𝑁𝑖 + β
𝑁𝑖 ε𝑖 dNi = 0
∑ [ ln qi – ln Ni ] dNi = - ∑ [α + β εi ] = 0 qi
Ln 𝑁𝑖 = - ( α + β εi ) qi 𝑁𝑖
= e- ( α + β εi )
Ni = qi / e- ( α + β εi ) Ni = qi exp ( α + β εi ) ∑ Ni = ∑ qi exp ( α + β εi ) N = eα ∑ qi exp β εi
~ > eα ∑ qi exp β εi = z
N = eα . z 𝑁
N=𝑧
Ni = qi exp β εi = eα qi exp β εi Ni = Ni =
𝑁 𝑧
qi exp β εi Ni
𝑧
qi exp β εi
Subtitusikan kepersamaan ln W Ln W = N ln N + ∑ Ni ln qi + ∑ Ni ln Ni ∑ Ni ln Ni = N ln N + ∑ Ni ln qi + ln W = N ln N + ∑ Ni ln qi - N ln N - ∑ Ni ln qi + ∑ Ni ln Ni = ∑ Ni ln Ni 𝑁
∑ Ni ln Ni = ∑ Ni ln [ 𝑧 qi exp β εi ] = ∑ Ni ln Ni + ∑ Ni ln Ni + ∑ Ni ln exp β εi - ∑ Ni ln z = ∑ Ni ln Ni + ∑ Ni ln qi + ∑ Ni εi ln exp β - ∑ Ni ln z = N ln N + ∑ Ni ln qi + uβ - N ln z Subtitusikan lagi ke persamaan ln W Ln W = N ln N + ∑ Ni ln qi - ∑ Ni ln qi = N ln N + ∑ Ni ln qi - N ln N - ∑ Ni ln qi - uβ + N ln z 4
= N ln z – βu Dalam termodinamika hubungan u, T, P, S yaitu du = T. ds- Pdv maka : [
𝑑𝑠 𝑑𝑢
]v =
1 𝑇
S = k ln w = k [N ln z – βu ] = k N ln z- k βu 𝑑𝑠 𝑑𝑢
𝑑
= 𝑑𝑢 [k N ln z - k βu ] =-kβ
𝑑𝑠 𝑑𝑢
=-kβ
-kβ=
1 𝑇
β=-
1 𝑘𝑇
jadi, Ni = =
𝑁 𝑧 𝑁 𝑧
qi exp β εi qi exp -
εi 𝑘𝑡
C. Ruang Fasa Pada umumnya sistem dalam mekanika statistic tersusun dari partikel- partikel tunggal yang tidak saling berinteraksi. Sebetulnya, keadaan sistem setiap saat ditentukan oleh posisi dan momentum atau kecepatan masing – masing partikel. Jadi keadaan sebuah partikel didefinisikan dengan tepat oleh enam koordinat, yaitu x, y, z dan px, py, pz yang disebut ruang fasa. Pada ruang fasa, untuk partikel yang mempunyai posisi dan momentumnya antara x dan x + dx; y dan y + dy ; z dan z + dz serta p x dan px +dpx; py dan py + dpy; pz dan pz + dpz, adalah : dT = dx dy dz px py pz energi kinetik sebuah partikel yang terletak dalam elemen dT adalah: ε=
px2 + py2 + pz2 2𝑚
~> energi dalam ruang fasa 5
ε = energi kinetik Ek = ½ mv2 = ½ m ( p/m )2 = ½ m p2 =
~> p2 = px2 + py2 + pz2
px2 + py2 + pz2 2𝑚
dT = elemen volume dT = ∆vp
𝑣
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
→
𝑣
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = v
4πp2 = ∆vp
P dan p + dp dT = ∆vp
𝑣
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
= ∆vp . v dT = 4πp2 dp v hubungan antara ε dan p ε = ½ p2 p2 = 2m p = ε 2m dp = (ε 2m ) -½ dp =
1 ε 2 ε 2m
dp = ½ ( 2 ) -1/2 m-1/2 ε-1/2 = ½ 2m -2/2 ε-1/2
dT ( j ) = 4πp2 dpv = 4π ε2m . ½ ( 2m ) -1 ε-1/2 → ( dT ) j qj = B ( dT ) . j = B 4π ε 2m . ½ ( 2m ) -1 ε-1/2 6
Sehingga, qj = B ( dT )
D. Penerapan Statistik Maxwell Boltzmann Satu hal yang masih mengganjal kita dalam usaha menghubunbungkan termodinamika dengan fisika statistik adalah besaran k, yakni: S= k ln W Fungsi partisi partikel ini adalah Z=
𝑛 𝑖=𝑙 𝑒𝑥p
𝜀
𝑖 𝑥𝑦2 (− 𝑘𝑇 )
Dengan εi: ε(nxnynz)=
ℎ2
1/2
2𝑚 𝑉 2/3
(n𝑥2+n 𝑦2+n 2𝑧 )
Jadi penjumlahan dilakukan terhadap tiga variabel, masing – masing -~ dan ~ , untuk volume yang cukup besar maka:
ℎ2
1/2
2𝑚 𝑉 2/3
Menjadi sangat kecil, sehingga penjumlahan terhadap nx , misalnya bisa diganti dengan integral: agar lenbih mudah maka misalkan : qx =
ℎ2
1/2
2𝑚𝑉2/3
nx
dan dengan menerapkan cara yang sama terhadap nx dan nz diperoleh fungsi Z yaitu: ~
~
~
Z=A −~ 𝑑𝑞 x −~ 𝑑𝑞 y −~ 𝑑𝑞 z exp Dimana A=
q 𝑥2 +q 𝑦2 +q 2𝑧 . 𝑘𝑇
2𝑚𝑉 2/3 3/2 ℎ2
Setelah dilakukan penghitungan secara integral maka: Z=𝑉
2𝜋 𝑚 𝑘𝑇
3/2
ℎ2
7
Jika F adalah fungsi energi bebas helmholtz, maka: df=du – tds- SdT Tds=dU+PdV Diperoleh: Df=-PdV-SdT 𝑑𝐹 𝑑𝑉
T=
𝑑𝐹
- p,
𝑑𝑇
T=
-S
Jika disubtitusikan persamaan : F=NkT ln Z,KK Dengan demikian diperoleh: -P = {
𝜕𝑓 𝜕𝑣
𝑁𝑘𝑇
}T = -
𝑣
Pv = NKT
8
