1
BAB GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK Contoh 2.1
Hubungan E dan B dari gelombang bidang elektromagnetik
Suatu gelombang bidang elektromagnetik sinusoidal dengan frekuensi 50 MHz berjalan di angkasa dalam arah X, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.4. Pada berbagai titik dan berbagai waktu, kuat medan listrik E memiliki nilai maksimum 720 N/C dan berarah sepanjang sumbu Y. (a) Tentukan panjang gelombang. (b) Hitung besar dan arah kuat medan magnetik B ketika E = 720 N/C.
Jawab: frekuensi f = 50 MHz = 50 × 106 Hz = 5 × 107 Hz kuat medan listrik maksimum Em = 720 N/C cepat rambat c = 3 × 108 m/s (a) Panjang gelombang, , dihitung dengan persamaan: c =λf
3 × 108 m/s = 6,0 m λ = c = 7 f
5 × 10 Hz (b) Kuat medan magnetik maksimum Bm dapat dihitung dengan Persamaan (2-4) Em =c Bm E 720 N/C Bm = m = = 2,40 × 10-6 T c 3 × 108 m/s Karena E dan B saling tegak lurus dan keduanya harus tegak lurus terhadap arah perambatn gelombang (sumbu X dalam kasus ini), maka kita menyimpulkan bahwa B ada dalam arah Z Contoh 2.2
Besar vektor poynting atau intensitas gelombang
1. Menghitung besar vektor poynting S Kuat medan listrik maksimum dalam suatu gelombang elektromagnetik di suatu tempat adalah 100 N/C. Tentukan laju energi rata-rata tiap satuan luas gelombnag elektromagnetik tersebut. (c = 3 × 108 m/s dan ε 0 = 8,85 × 10-12 C2 N-1 m-2) Jawab: Kuat medan listrik maksimum Em = 100 N/C.
http://atophysics.wordpress.com
2 Laju energi rata-rata tiap satuan luas
P A
tak lain adalah besar vektor poynting rata-
rata S yang dirumuskan oleh Persamaan (2-10). P = S = Em . Bm A 2 µ0
….(*)
Perhatikan, data yang diberikan adalah Em, c, dan ε 0 . Karena itu kita harus menyatakan dahulu Bm dan µ0 dalam besaran-besaran Em, c, dan ε 0 . Em E = c atau Bm = m c Bm Sedangkan dari Persamaan (2-1) diperoleh c = µ1 ε atau c 2 = µ 01ε 0 atau µ 0 = c 21ε 0 0 0 Dari persamaan (2-4)
….(**)
….(***)
Substitusi Bm dari (**) dan µ 0 dari (***) ke dalam (*) kita peroleh
Em . S
=
2
S
Em c
=
1 c2 ε 0
Em 2 (c ε 0 ) 2
2 = 1 c ε 0 Em 2
= 12 (3 × 108) ( 8,85 × 10-12) (100)2 = 13,3 W/m2
2. Suatu sumber titik dari radiasi elektromagnetik memiliki daya rata-rata pancaran 800 W. Hitung amplitudo maksimum dari kuat medan listrik dan kuat medan magnet pada titik yang berjarak 3,50 m dari sumber radiasi. Jawab: (a) Satuan dari laju rata-rata per m2 yang dipindahkan melalui gelombang elektromagnetik S adalah W/m2. Ini tak lain adalah satuan intensitas gelombang I. Untuk sumber titik maka intensitas gelombang pada jarak r dirumuskan oleh: I = P = P 2 , dengan adalah P daya rata-rata (watt). A 4πr Jadi I= S = P2 (2-12) 4πr Em . Bm Sedangkan S = 2 µ0 Em 2 Karena Bm = Ecm maka S = ………….(*) 2 µ0 c Dengan menyamakan ruas kanan Persamaan (2-12) dengan (*) kita dapat menghitung amplitudo maksimum kuat medan listrik Em. E 2m = P 4πr 2 2 µ0 c
µ0c P 2πr 2 µ0c P Em = 2πr 2 E 2m =
http://atophysics.wordpress.com
3
µ0 = 4 × 10-7 Wb A-1 m-1 c = 3 × 108 m/s daya P = 800 W Jarak titik ke sumber r = 3,50 m. Dengan demikian, (4π × 10−7 Wb A -1m -1 ) (3 × 108 m/s) (800 W ) 2π (3,50 m) 2 = 62,6 V/m Amplitudo kuat medan magnetik,Bm, dengan mudah dapat kita hitung dari hubungan Bm = Em/c. 62,6 V/m E Bm = cm = = 2,09 × 10-7 T 8 3 × 10 m/s
Em =
Contoh 2.3
Difraksi pada celah tunggal
1. Menentukan jarak pita gelap dari terang pusat
Celah tunggal selebar 0,10 mm disinari berkas cahaya sejajar dengan λ = 6000 A . Pola difraksi yang terjadi ditangkap oleh layar pada jarak 40 cm dari celah. Tentukan jarak antara pita gelap ketiga dengan titik tengah terang pusat. Jawab: Lebar celah = d = 0,10 mm Pita gelap ke-3 berarti n = 3
λ = 6 000 A L
= 6 000 × 10-10 m = 6 000 × 10-7 mm = 40 cm = 400 mm
Hitung dahulu sudut simpang, θ , dengan Persamaan (2-13) d sin θ = nλ (0,10) sin θ = 3 (6 000 × 10-7) 18000 × 10 −7 sin θ = = 0,018 0,10 sekarang perhatikan segitiga siku-siku SOP. Karena dalam segitiga ini y jauh lebih kecil daripada L, maka sudut θ ialah sudut yang kecil . Untuk sudut yang kecil kita dapat melakukan pendekatan sin θ ≈ tan θ , sehingga y sin θ ≈ tan θ = L http://atophysics.wordpress.com
4
y 400 y = 0,018 (400 mm) = 7,2 mm Jadi, jarak pita gelap ketiga dari titik tengah terang pusat adalah 7,2 mm. 0,018
=
2. Menentukan lebar pita terang pusat
Cahaya lewat melalui sebuah celah dan menyinari sebuah layar datar yang diletakkan L = 0,40 m jauhnya (lihat gambar 2.11). Lebar celah adalah d = 4,0 × 10-6 m. jarak antara titik tengah terang pusat dan pita gelap pertama adalah y1. Tentukan lebar pita terang pusat (2y1) ketika panjang gelombang cahaya adalah λ = 690 nm (cahaya merah dalam vakum). Jawab: Hitung dahulu sudut simpang θ untuk pita gelap pertama (n = 1) dengan Persamaan (2-13). d sin θ = n λ 4,0 × 10-6 sin θ = (1) (690 × 10-9) 690 × 10−9 sin θ = = 0,1725 4,0 × 10− 6
Sekarang perhatikan ∆SOP siku-siku. Karena dalam segitiga ini y1 jauh lebih kecil daripada L,maka sudut θ adalah sudut yang kecil, sehingga kita dapat melakukan pendekatan y sin θ ≈ tan θ = 1 L y 0,1725 = 1 → y1 = 0,1725 (0,40) = 0,069 m 0,40 lebar pita terang pusat = 2y1 = 2(0,069 m) = 0,14 m Contoh 2.4
Perbesaran sistem alat optik
1. Sudut resolusi minimum Cahaya natrium dengan panjang gelombang 589 nm digunakan untuk memandang suatu benda di bawah sebuah mikroskop. Jika bukaan lensa objektif memiliki diameter 0,9 cm, (a) tentukan sudut resolusi minimum, (b) jika digunakan cahaya tampak violet (panjang gelombang 400 nm), berapa sudut resolusi minimum mikroskop ini.
http://atophysics.wordpress.com
5 (c) Misalkan air dengan indeks bias
3 4
mengisi ruang antara benda dan lensa objektif.
Pengaruh apakah yang diakibatkannya pada daya urai mikroskop? Jawab: Diameter bukaan lensa D = 0,9 cm = 9 × 10-3 m. (a) Digunakan panjang gelombang λ = 589 nm = 589 × 10-9 m. sudut resolusi minimum, θ m , dihitung dengan persamaan (2-17):
λ θ m = 1,22 D (589 × 10−9 m) = 7,98 × 10-5 rad (9 × 10 − 3 m) (b) Digunakan panjang gelombang violet λ = 400 nm = 400 × 10-9 m. Gunakan kembali Persamaan (2-17): = 1,22
λ θ m = 1,22 D (400 × 10−9 m) = 5,42 × 10-5 rad (9 × 10− 3 m) Jadi, menggantikan cahaya natrium dengan cahaya tampak violet menyebabkan sudut resolusi minimum mikroskop bertambah kecil. = 1,22
(c) Indeks bias air na = 4 ⇔ 1 = 1 = 3 . 3 4/3 na 4 Hubungan panjang gelombang, λ , dan indeks bias, n, adalah λ1 n1 = λ2 n2 Jika indeks 1 kita ambil untuk medium air dan indeks 2 untuk medium udara, maka: λa na = λu nu n λa = u × λu na λa = 1 × λu ⇔ λa = 3 λu na 4 Dari θ m = 1,22 λ maka sebanding dengan λ . D 3 Karena λa = 4 λu , maka daya urai mikroskop dalam medium air menjadi
3 4
kali
daya urai untuk medium udara. Jadi θ m = 34 × 7,98 × 10-5 rad = 5,99 × 10-5 rad. 2. Daya urai lensa mata untuk dua sumber titik pada jarak tertentu Jika mata diperbesar sampai diameter bukaan 5 mm, berapa jarak minimum antara dua sumber titik yang masih dapat dibedakan oleh mata pada jarak 40 cm di depan mata, disebut daya urai lensa mata.
Panjang gelombang cahaya di udara 500 nm, dan indeks bias mata adalah 1,33. http://atophysics.wordpress.com
6
Jawab: Diameter bukaan lensa mata D = 5 mm = 5 × 10-3 m. Panjang gelombang cahaya di udara λu = 500 nm = 500 × 10-3 m; indeks bias mata n = 1,33. Karena lensa mata diisi oleh cairan dengan indeks bias n = 1,33 maka akan terjadi pengurangan panjang gelombang ketika memasuki lensa mata. λ 500 × 10 −9 m λmata = u = n 1,99 = 3,76 × 10-7 m Jarak sumber titik (benda) ke lensa L = 40 cm = 4 × 10-1 m. Jarak minimum antara dua sumber titik, dm pada jarak 40 cm di depan mata sehingga kedua titik ini (s1 dan s2) masih dapat dibedakan oleh lensa mata (disebut daya urai lensa mata) dapat dihitung dengan Persamaan (2-18) 1,22 λL dm = D 1,22 (3,76 × 10 −7 m)(4 × 10−1 m) = 5 × 10 − 3 m = 3,67 × 10-5 m Contoh 2.5
Letak pita terang pada interferensi celah ganda
1. Dua celah dengan jarak 0,2 mm disinari tegak lurus. Pita terang ketiga terletak 7,5 mm dari pita terang ke-nol pada layar yang jaraknya 1 m dari celah. Tentukan panjang gelombang sinar yang dicapai. Jawab: Perhatikan gambar di bawah. Jarak antara kedua celah = d = 0,2 mm, pita terang ketiga berarti n = 3, jarak celah ke layar = L = 1 m = 1000 mm, y = 7,5 mm.
Perhatikan semua satuan panjang dinyatakan dalam satuan mm. Kedudukan pita terang ke-n diukur dari pusat terang O dinyatakan oleh Persamaan (2-21). yd = nλ L (7,5)(0,2) = 3λ n = 3 sebab terang ke-3 1 000 1,5 = 3 000 λ 15 000 × 10 −4 1,5 λ = = = 5 × 10-4 mm 3 000 3 000 http://atophysics.wordpress.com
7 Jadi, panjang gelombang sinar yang dipakai adalah 5 × 10-4 mm. 2. Pada contoh soal nomor 1, hitung juga jarak antara pita terang ke-2 dengan pita gelap ke-4 yang berdekatan. Jawab: Hitung dahulu jarak antara pita terang dan pita gelap yang berdekatan, ∆y , dengan Persamaan (2-23): ∆y = Lλ 2d (1 000)(5 × 10 −4 ) = 2(0,2)
5 × 10−1 = 1,25 mm 4 × 10 −1 Perhatikan gambar di samping. Jarak antara terang ke-2 dan gelap ke-4 yang berdekatan adalah 3∆y = 3(1,25) mm) = 3,75 mm. =
3. Masih berkaitan dengan contoh soal nomor 1, berapakah jarak antara pita terang ke-2 dan pita gelap ke-3 jika mediumnya adalah air dengan indeks bias 43 ? Jawab: Medium udara (n1 = 1) 3∆y1 = 3,75 mm (lihat jawaban nomor 2) 3∆y2 = ? Medium air (n2 = ) Kita bisa menghitung dengan menggunakan Persamaan (2-24). ∆y2 n2 = ∆y1 n1 (3∆y2 ) n2 = (3∆y1 ) n1 kalikan kedua ruas dengan 3 (3∆y1 ) n1 3∆y2 = n2 (3,75 mm)(1) = = 2,81 mm 4 3 Tampak bahwa di dalam air, jarak antara pita terang dan pita gelap lebih mendekat (lebih kecil). Contoh 2.6
Masalah interferensi cahaya pada lapisan tipis
Suatu lapisan tipis bensin (n = 1,40) mengapung di atas permukaan kaca (n = 1,50). Sinar matahari jatuh hampir tegak lurus pada lapisan tipis dan memantulkannya ke mata Anda. Walaupun sinar matahari adalah sinar putih yang mengandung berbagai warna, tetapi lapisan tipis tampak bagimu berwarna kuning. Ini karena interferensi destruktif pada lapisan menghilangkan warna biru ( λ biru di udara = 468 nm) dari cahaya yang dipantulkan ke mata Anda. Tentukan ketebalan minimum t (t ≠ 0) dari lapisan tipis ini. Jawab: Syarat cahaya biru mengalami interferensi destruktif pada lapisan tipis adalah: 2nt = m λ ; m = 0, 1, 2, . . . http://atophysics.wordpress.com
8
t = mλ . 2n Untuk t minimum dengan t ≠ 0, diperoleh dengan mengambil bilangan bulat m = 1. Diketahui λ udara untuk warna biru = 468 nm dan indeks bias lapisan tipis bensin n = 1,50; sehingga ketebalan minimum lapisan tipis bensin, t, adalah: 1 (468 nm) tmin = = 156 nm 2 (1,50) atau
Contoh 2.7
Sudut deviasi dan orde maksimum pada kisi
Seberkas cahaya monokromatis dengan panjang gelombang 600 nm (1 nm = 10-9 m) menyinari tegak lurus suatu kisi yang terdiri dari 200 garis/mm. Tentukan: (a) sudut deviasi orde kedua (b) orde maksimum yang mungkin terlihat pada layar. Jawab: Panjang gelombang λ = 600 nm = 600 × 10-9 m = 6 × 10-7 m N = 200 garis/mm (a) Hitung dahulu tetapan kisi, d, dengan Persamaan (2-27): d= 1 N 1 = 200 garis/mm = 1 mm 200 1000 × 10 −3 = 200 = 5 × 10-6 m Hitung sudut deviasi orde kedua (n = 2) dengan Persamaan (2-28): d sin θ n = n λ d sin θ 2 = 2 λ sin θ 2 = 2λ d 2 (6 × 10−7 m) sin θ 2 = 5 × 10 − 6 m = 0,24 θ 2 = 13,9 (b) Gunakan kembali Persamaan (2-28): d sin θ n = n λ sin θ n = nλ d n (6 × 10 −7 m) = 5 × 10 − 6 m sin θ n = 0,12 n Nilai maksimum fungsi sinus adalah satu, sehingga kita peroleh orde maksimum n yang mungkin terlihat pada layar. 1 = 0,12 n n= 1 0,12 http://atophysics.wordpress.com
9 = 8,33 ≈ 8 (dibulatkan ke bawah) n = 8 berarti pada layar di atas dan di bawah orde nol terdisplai 8 garis terang. Garis terang ke-9 tidak muncul di layar. Contoh 2.8
Hukum Malus pada sistem dua polaroid
Suatu cahaya tak terpolarisasi mengenai polaroid pertama dengan intensitas cahaya I 0 . Tentukan intensitas cahaya yang keluar dari sistem polaroid, yang terdiri dari dua buah polaroid, jika sudut antara kedua sumbu transmisi adalah 30 . Jawab: Jika intensitas cahaya yang datang ke polaroid pertama (polarisator) adalah I 0 dan intensitas cahaya yang keluar dari polaroid kedua (analisator) adalah I 2 , maka sesuai dengan Persamaan (2-31):
I 2 = I1 cos2 θ =
1 2
I 0 cos2 θ
I2 =
1 2
I 0 (cos 30 )2 =
I2 =
1 2
I0
Contoh 2.9
(12 ) =
1 2
1 2
I0
( 3) 1 2
2
I0
Sudut Brewster
Sudut kritis permata di udara adalah 34,4 . Hitunglah sudut polarisasi permata. Jawab: Sudut kritis θ k = 34,4 . Sudut kritis terjadi jika sinar datang dari medium lebih rapat (permata, dengan indeks bias n1) ke medium kurang rapat (udara, dengan indeks bias n2 = 1). Pada sudut datang sama dengan sudut kritis ( θ1 = θ k ), sudut biasanya sama dengan 90
( θ 2 = 90 ). Mari kita gunakan persamaan dasar pembiasan: n1 sin θ k = n2 sin θ B n2 sin θ 2 (1) sin 90 (1)(1) = = = 1,77 sin θ1 8,565 sin 34,4 Jadi, indeks bias permata adalah 1,77. Untuk sudut polarisasi, θ B , sinar datang dari udara (n1 = 1) menuju ke permata (n2 = 1,77), dan menurut persamaan umum (Persamaan (2-32)), sudut polarisasi, θ B , dapat dihitung. n 1,77 tan θ B = 2 = n1 1 n1 =
θ B = 60,5 Contoh 2.10 Senjata radar dan perangkap kecepatan
Untuk menangkap para pengebut di jalan raya, polisi umumnya menggunakan senjata radar yang menerapkan efek Doppler. Senjata radar seperti ini memancarkan suatu gelombang elektromagnetik pada frekuensi tertentu, misalnya pada frekuensi fs = 9,0 × 109 Hz, seperti http://atophysics.wordpress.com
10 ditunjukkan pada Gambar 2.45. Dalam gambar ini dianggap sebuah mobil yang ngebut mendekati mobil polisi yang sedang parkir di sisi jalan. Gelombang dari senjata radar dipantulkan oleh mobil pengebut dan kembali ke mobil polisi, dimana instrumen pengukur mencatat frekuensi gelombang yang balik 2 400 Hz lebih besar daripada frekuensi yang dipancarkan. Tentukanlah kecepatan mobil pengebut tersebut (nyatakan dalam km/jam). Strategi: Efek Doppler hanya bergantung pada kelajuan relatif, vrel , antara mobil pengebut dan mobil polisi. Kita akan menghitung vrel ini dan kemudian mengkaitkannya dengan kecepatan mobil pengebut dengan menggunakan dta bahwa mobil polisi adalah diam (kecepatan = 0). Ada dua efek Doppler yang terjadi dalam situasi ini. Pertama, untuk gelombang dari senjata radar (mobil polisi) yang diterima oleh mobil pengebut. Dalam situasi ini frekuensi yang dipancarkan sumber, fs = 9,0 × 109 Hz, dan frekuensi yang diterima mobil pengebut adalah fp, yang tentu saja berbeda dengan fs. Karena kedua mobil saling mendekat, maka digunakan tanda positif pada Persamaan (2-34): v fp = fs 1 + rel c
fp – fs = fs
vrel c
Kedua, untuk gelombang memantul dari mobil pengebut ke mobil polisi. Dalam situasi ini frekuensi yang dipantulkan adalah fp dan frekuensi yang diterima oleh mobil polisi fp’ yang tentu saja berbeda dengan fp. Sesuai dengan Persamaan (2-34) kita peroleh v f p ' = fp 1 + rel c f p ' – fp = fp
vrel c
Jika kedua persamaan (**) dan (*) kita jumlahkan, maka kita dapat menghitung perubahan frekuensi total Doppler antara frekuensi yang dipancarkan senjata (fs)dan frekuensi yang diterima kembali oleh senjata ( f p ' ). f p ' – fp = fp
vrel c
fp – fs = fs
vrel c
+ f p ' - fs = fp
vrel c
untuk vrel << c, maka fp f p ' - fs
≈ 2fs
+ fs vrel c
vrel c
≈ fs
vrel c
sehingga dapat kita tuliskan
vrel c
f p ' − fs v ≈ rel c 2 fs
http://atophysics.wordpress.com
11
vrel
≈
f p ' − fs c 2 fs
Jawab: Kita akan menghitung vrel dengan menggunakan Persamaan (2-35) dimana fs = 9,0 × 109 Hz; f p ' - fs = 2 400 Hz; c = 3 × 108 m/s
vrel =
2 400 (3,0 × 108 m/s) = 40 m/s 9 2 (9,0 × 10 )
Karena mobil polisi diam, kecepatannya vp = 0 m/s sehingga kecepatan mobil pengebut v adalah vrel = v – vp 40 = v – 0 atau v = 40 m/s 1 km 3 600 s × = 144 km/jam v = (40 m/s) × 1 000 m 1 jam Polisi mengamati bahwa kecepatan mobil pengebut, yaitu 144 km/jam, sudah melebihi batas kecepatan yang diizinkan (misalnya 100 km/jam). Dengan demikian, polisi akan memberhentikan mobil tersebut dan memberi surat tilang pada pengemudinya.
http://atophysics.wordpress.com
