7
BAB 2 LANDASAN TEORI
2. 1 Kriging Teori Kriging adalah teori estimasi nilai pada suatu tempat yang tidak dilakukan pengamatan dengan menggunakan nilai pengamatan lain yang telah diketahui dan memenuhi ketiga tolak ukur statistika. Teori Kriging juga dapat diartikan sebagai teori yang berdasarkan teori variabel regionalized yang mengasumsi fenomena yang direpresentasikan pada nilai z yang homogen secara statistik, yaitu pola variasi yang sama yang dapat di-observasi di semua data. Teori Kriging sering dihubungkan dengan akronim BLUE, yang merupakan akronim dari Best Linear Unbiased Estimator. Ordinary Kriging disebut Linear karena estimasinya merupakan kombinasi linear berbobot dari data yang tersedia. Unbiased sejak Ordinary Kriging mencoba mempunyai mR , yaitu mean residual error, sama dengan nol. Best karena tujuannya adalah meminimasi σ 2 R , variansi error. Kebanyakan metode estimasi yang ada sekarang ini juga mempunyai sifat linear dan secara teori mempunyai sifat unbiased juga, tetapi hal yang membedakan Ordinary Kriging dengan metode lainnya adalah Ordinary Kriging bertujuan meminimasi variansi error.
8
2.1.1
Model Fungsi Peubah Acak dan Ketakbiasan Andaikan ingin diduga nilai v berdasarkan pada data pengamatan v1, v2 ,
v3... vn . Maka didefinisikan suatu penduga tak bias linier dengan menggunakan kombinasi linier berbobot dari data yang ada sebagai berikut :
n
vˆ = ∑ w j ∗ v j
(1)
j =1
n
∑w j =1
j
=1
(2)
Dimana wi dengan i = 1, 2, 3, …. n adalah bobot yang ditetapkan untuk titik-titik contoh. Error dari estimasi ke-i, yaitu perbedaan dari nilai estimasi dengan nilai sebenarnya :
ri = vˆ − vi
(3)
Estimasi rata-rata error adalah:
1 k 1 k mR = ∑ ri = ∑ vˆi − vi k i =1 k i =1
(4)
Akan tetapi persamaan diatas (4) mengandung banyak kuantitas yang tidak diketahui diantaranya adalah vˆi , vˆ 2 ,..., vˆ n dan berarti ada n dugaan. Padahal yang diduga hanya satu, yaitu v. oleh karena itu dibangkitkan suatu peubah acak (random variable)
9 Kemudian diasumsikan fungsi acaknya adalah stasioner yaitu V(X) dan V(X+h) tidak tergantung pada lokasi x, tetapi hanya tergantung pada jarak h dan semua pasangan peubah acak mempunyai sebaran peluang bersama yang hanya tergantung pada jarak antara dua titik, tidak tergantung pada lokasi mereka. Kovarian antara pasangan-pasangan peubah acak yang dipisahkan
~ oleh jarak h adalah C (h) . Tanda ̃ menandakan suatu parameter dari suatu model dan untuk membedakannya dari statistika suatu data. Untuk titik yang diduga nilainya, dibangun suatu model yang merupakan fungsi acak stasioner yang terdiri dari beberapa peubah acak V(x1), V(x2), . . . , V(xn) dan satu nilai yang akan diduga, yaitu V(x0). Diasumsikan bahwa masing-masing peubah acak ini mempunyai sebaran peluang yang sama di semua lokasi dan nilai harapan dari peubah acak adalah E(V). Dugaan juga merupakan peubah acak karena merupakan kombinasi linear berbobot dari peubah acak pada lokasi-lokasi yang diambil contoh. n
Vˆ ( x 0 ) = ∑ wiV ( x i )
(5)
R ( x 0 ) = Vˆ ( x 0 ) − V ( x 0 )
(6)
i =1
Dengan memasukkan persamaan (5) diatas ke dalam persamaan (6), maka akan menjadi : n
R ( x 0 ) = ∑ wi V ( x i ) − V ( x 0 ) i =1
(7)
10 Dengan memberikan nilai harapan untuk kombinasi liniear persamaan (7) maka diperoleh :
⎧n ⎫ E{R( x 0 )} = E ⎨∑ wiV ( xi ) − V ( x 0 )⎬ ⎩ i =1 ⎭ n
E{R ( x 0 )} = ∑ wi E{V ( x i ) − V ( x 0 )} i =1
(8)
Karena telah diasumsikan bahwa fungsi acak tersebut adalah stasioner, semua nilai harapan pada ruas kanan persamaan (8) dapat dinyatakan sebagai E{V}, sehingga menjadi : n
E{R ( x 0 )} = ∑ wi E{V } − E{V } i =1
(9)
Dengan menetapkan E{R( x 0 )} = 0 , maka diperoleh : n
0 = ∑ wi E{V }− E{V } i =1
n
∑ w E{V } = E{V } i =1
i
n
∑w i =1
i
=1
Sehingga dijamin ketakbiasannya. Jadi masalah bagaimana memberi bobot pada peubah acak V(x1), V(x2), . . . , V(xn) agar nilai harapan dari rata-rata error sama dengan nol adalah dengan cara memberikan jumlah bobot sama dengan satu.
11
2.1.2
Model Fungsi Acak dan Ragam Error
Sebagai metode estimasi, Kriging berbeda dengan metode lainnya, yaitu usahanya menghasilkan dugaan yang ragam error-nya minimum. Ragam error, σ 2 R , dari n estimasi dapat ditulis sebagai berikut : Variansi error:
σ 2R =
σ
2
R
1 k ∑ k i =1
(r i −mR )
2
1 k ⎡ 1k = ∑ vˆ − v − ∑ i k i =1 ⎢ i k i =1 ⎣
(vˆi −vi )⎤⎥ ⎦
2
(10)
Dimana v1 , v 2 ,..., v n adalah nilai sebenarnya dan vˆ1 , vˆ 2 ,..., vˆ n adalah nilai dugaannya. Jika diasumsikan rata-rata error-nya adalah nol, maka persamaan (10) dapat ditulis sebagai berikut :
(
)
σ 2R =
1 k 2 ∑ − r 0 k i =1 i
σ 2R =
1 k ∑ k i =1
(vˆi −vi )2
(11)
Pada persamaan (4) diberikan ekspresi untuk rata-rata error, tetapi persamaan tersebut tidak dapat digunakan untuk mencari ragam error karena banyak kuantitas yang tidak diketahui, yaitu vˆ1 , vˆ 2 ,..., vˆ n . Oleh karena itu dibentuk suatu model fungsi acak. Dimulai dengan n model dari lokasi-lokasi yang diambil contohnya dan satu model pada lokasi yang akan diduga nilainya.
12 Contoh yang ada akan dikombinasikan dalam suatu kombinasi linear berbobot untuk menduga V ( x 0 ) . Seperti telah dikerjakan pada masalah ketakbiasan, maka masalah asli akan ditransfer ke dalam suatu model. Meskipun ragam error yang sebenarnya tidak dapat diminimumkan, tetapi modelnya dapat diminimumkan, yaitu σ 2 R dan menetapkan nya sama dengan nol. Didefinisikan suatu formula untuk ragam dari suatu kombinasi linear berbobot:
⎫ n n ⎧n Var ⎨∑ wiVi ⎬ = ∑∑ wi w j Cov{ViV j } ⎭ i =1 j =1 ⎩ i =1
(12)
Untuk penjumlahan dan pengurangan sederhana dari dua peubah acak, maka persamaannya adalah:
Var{U + V } = Cov{UU} + Cov{UV} + Cov{VU} + Cov{VV} (13)
Var{U − V } = Cov{UU} − Cov{UV} − Cov{VU} + Cov{VV} (14) Dengan menggunakan formula persamaan (13) dan (14) maka ragam error dinyatakan sebagai berikut:
{
}
{
}
Var{R( X 0 )} = Cov Vˆ ( x0 )Vˆ ( x0 ) − Cov Vˆ ( x0 )V ( x0 )
{
}
− Cov V ( x 0 )Vˆ ( x 0 ) + Cov{V ( x 0 )V ( x 0 )}
13
{
}
{
}
Var{R( X0 )} = CovVˆ(x0 )Vˆ(x0 ) − 2CovVˆ(x0 )V(x0 ) + Cov{V(x0 )V(x0 )} (15) Notasi Var{R( X 0 )} = σ~ 2 R
{
}
Pola Cov Vˆ ( x 0 )Vˆ ( x 0 )
adalah kovarian dari Vˆ ( x 0 ) terhadap dirinya
sendiri, yang sama dengan ragam dari Vˆ ( x 0 ) .
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
Cov Vˆ ( x 0 )Vˆ ( x 0 ) = Var Vˆ ( x 0 )Vˆ ( x 0 ) n ⎧ ⎫ Cov Vˆ ( x 0 )Vˆ ( x 0 ) = Var ⎨∑ wiVi ⎬ ⎩ i =1 ⎭
Cov Vˆ ( x 0 )Vˆ ( x 0 ) = ∑ ∑ wi w j Cov{ViV j } n
n
i =1 j =1
n
n
~ Cov Vˆ ( x 0 )Vˆ ( x 0 ) = ∑ ∑ wi w j C ij i =1 j =1
(16)
Pola Cov{V ( x0 )V ( x0 )} adalah kovarian dari V ( x 0 ) terhadap dirinya sendiri, yang sama dengan ragam dari V ( x0 ) . Jika diasumsikan bahwa semua peubah acak mempunyai ragam yang sama, yaitu σ~ 2 , maka:
Cov{V ( x0 )V ( x0 )} = σ~ 2 Notasi Var{V ( x 0 )} = σ~ 2
{
}
Pola 2Cov Vˆ ( x0 )V ( x0 ) dapat ditulis sebgai berikut:
(17)
14
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
⎧⎛ n ⎞ ⎫ 2Cov Vˆ ( x 0 )V ( x 0 ) = 2Cov ⎨⎜ ∑ wiVi ⎟V0 ⎬ ⎠ ⎭ ⎩⎝ i =1
⎧n ⎫ ⎧n ⎫ ˆ 2Cov V ( x 0 )V ( x 0 ) = 2 E ⎨∑ wiViV0 ⎬ − 2 E ⎨∑ wiVi ⎬ E{V0 } ⎩ i =1 ⎭ ⎩ i =1 ⎭ n
n
i =1
i =1
2Cov Vˆ ( x 0 )V ( x 0 ) = 2∑ wi E{V1 , V0 } − 2∑ wi E{V1 }E{V0 } n
2Cov Vˆ ( x 0 )V ( x 0 ) = 2∑ wi Cov{V1 , V0 } i =1
n ~ ˆ 2Cov V ( x 0 )V ( x 0 ) = 2∑ wi C i 0
(18)
i =1
Notasi V ( x 0 ) = V0 , V ( x i ) = Vi , Cov (Vi , V j ) = C ij Dengan menggabungkan kembali persamaan (16), (17), (18) maka diperoleh ekspresi untuk ragam error yang disebut juga Kriging Variance, yaitu:
σ~
2 R
n n n ~ ~ 2 ~ = σ + ∑ ∑ wi w j C ij − 2∑ wi C i 0 i =1 j =1
i =1
(19)
Persamaan (19) merupakan fungsi bagi ragam error sebagai suatu fungsi dari n peubah. Minimasi dari suatu fungsi n peubah biasanya diselesaikan dengan cara menetapkan n turunan pertamanya sama dengan nol. Prosedur ini adalah suatu sistem dari n persamaan dan n peubah yang dapat diselesaikan dengan metode untuk memecahkan sistem persamaan linear simultan. Tetapi,
15 2 prosedur ini kurang tepat untuk minimasi dari σ~R karena ada syarat lain,
yaitu adanya kondisi ketakbiasan: terdapat n-1 persamaan dan n peubah.
2.1.3 Parameter Lagrange
σ~R 2 dalam persamaan (19) ingin diminimumkan. Menetapkan n turunan 2 pertama dari σ~R sama dengan nol maka akan dihasilkan n persamaan dan n
peubah. Kondisi ketakbiasan akan menambah persamaan lain tanpa menambah peubahnya. Sehingga terdapat sistem dari n-1 persamaan dan n peubah. Persamaan ini mungkin tidak konsisten. Untuk menghindari masalah ini, maka ditambahkan suatu peubah ke dalam persamaan (19). Peubah baru ini disebut parameter Lagrange (μ). Sehingga didapat persamaan :
n n n ⎛ n ⎞ ~ ~ 2 2 ~ ~ σ R = σ + ∑ ∑ wi w j Cij − 2∑ wi Ci 0 + 2 μ ⎜ ∑ wi − 1⎟ i =1 j =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠
(20) Selanjutnya akan dilakukan minimasi ragam error dengan cara menghitung n+1 Turunan pertama dari persamaan (20) dan menetapkan masing-masing sama dengan nol. Turunan terhadap wi diberikan secara lengkap, sedangkan turunan pertama parsial terhadap bobot-bobt yang lain dihitung dengan cara yang sama.
16 Pola pertama pada ruas kanan persamaan (20) tidak tergantung pada wi sehingga tidak mempengaruhi turunan terhadap wi. Dengan mengeluarkan semua pola dari pola kedua yang tidak mengandung wi akan menghasilkan :
(
~ n n ∂ ∑i=1 ∑ j =1 wi w j Cij ∂w1
(
) = ∂(w C~
n n ~ ∂ ∑i =1 ∑ j =1 wi w j Cij
~ n n ∂ ∑i =1 ∑ j =1 wi w j Cij ∂w1
11
n ~ + 2 w1 ∑ j =2 w j C1 j
)
∂w1
) = 2w C~ 1
∂w1
(
2
1
)= 2
∑
n ~ + w C 2 ∑ j =2 j 1 j 11
~ w C 1j j j =1
n
(21)
Pola ketiga pada ruas kanan persamaan (20) hanya terdapat satu pola yang yang mengandung w1 , yaitu:
(
n ~ ∂ ∑i =1 wi C i 0
∂w1
) = ∂(w C~ ) = C~ 1
∂w1
10
10
(22)
Pola terakhir pada ruas kanan persamaan (20) juga hanya terdapat satu pola yang mengandung w1
17
(
∂ μ ∑i =1 wi n
∂w1
) = ∂(μw ) = μ 1
∂w1
(23)
2 sehingga turunan pertama dari σ~ R terhadap w1 dapat ditulis sebagai berikut
:
( )
2 n ∂ σ~ R ~ ~ = 2∑ w j C1 j − 2C10 = 2μ ∂w1 j =1
(24)
selanjutnya dengan menetapkan persamaan diatas sama dengan nol, maka akan menghasilkan : n
~ ~ 2∑ w j C1 j − 2C10 + 2 μ = 0 j =1
n
~ ~ + μ = w C C ∑ j 1j 10 j =1
(25)
Turunan terhadap bobot lain (selain w1) akan menghasilkan persamaan : n n ∂ (σ~ 2 R ) ~ ~ ~ ~ = 2∑ w j C1 j − 2C10 + 2μ = 0 ⇒ ∑ w j C1 j + μ = C10 . ∂ ( w1 ) j =1 j =1
n n ∂ (σ~ 2 R ) ~ ~ ~ ~ = 2∑ w j Cij − 2Ci 0 + 2μ = 0 ⇒ ∑ w j Cij + μ = Ci 0 ∂ ( wi ) j =1 j =1
18 n n ~ ~ ~ ~ ∂ (σ~ 2 R ) = 2∑ w j Cnj − 2Cn 0 + 2μ = 0 ⇒ ∑ w j Cnj + μ = Cn 0 ∂ ( wn ) j =1 j =1
(26) Kumpulan bobot yang meminimumkan ragam error dengan kendala bahwa jumlah bobot sama dengan 1 tersebut memenuhi n+1 persamaan :
n
~ ~ w C + μ = C ∑ j ij i0 j =1
(27)
∀i = 1,..., n n
∑w i =1
i
=1
(28)
Persamaan (27) dan (28) disebut Sistem Ordinary Kriging, yang dapat dinotasikan dalam bentuk matriks sebagai berikut :
C.w = D ~ ⎡C11 ⎢ ⎢ M ⎢C~n1 ⎢ ⎢⎣ 1
~ L C1n O M ~ L Cnn L 1
(29)
~ 1⎤ ⎡ w1 ⎤ ⎡ C10 ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ M ⎥⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥ = ~ 1⎥ ⎢ wn ⎥ ⎢Cn 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ~ ⎥ 0⎥⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎢⎣Cnn ⎥⎦
19 Matruks C adalah matriks jumlah kuadrat error. Pada umumnya matriks C adalah matriks semi definit positif, tetapi karena peluang error sama dengan nol adalah jarang terjadi, sehingga yang digunakan adalah pada umumnya matriks C adalah definit positif. Untuk mengetahui bobotnya, kedua ruas dari persamaan (29) dikalikan dengan C −1 .
C.w = D C −1.C.w = C −1 .D w = C −1.D
(30)
Selanjutnya yang dilakukan adalah meminimumkan ragam error, sehingga perlu dipilih (n+1)2 kovrian yang akan menggambarkan kekontinuan spasial dalam model fungsi acak tersebut. Pada prakteknya hal ini dikerjakan dengan ~ memilih suatu fungsi C (h) dan menghitung semua kovarian yang diperlukan dari fungsi yang diberikan tersebut. Setelah (n+1)2 kovarian dipilh, matriks C dan D dapat dibangun. Kumpulan bobot yang akan menghasilkan dugaan tak bias dengan ragam error yang minimum diberikan oleh persamaan (30).
20 Karena sulit memperoleh ragam error yang minimum, maka bobot yang telah diperoleh disubstitusikan ke dalam persamaan (19) untuk mendapatkan nilai aktual terhadap ragam error yang minimum. Selanjutnya,
dengan
mengalikan
persamaan
-
dengan
wi
akan
menghasilkan : n ⎛ n ⎞ ~ ~ ~ ~ wi ⎜⎜ ∑ w j Cij + μ ⎟⎟ = wi Ci 0 ⇒ wi ∑ w j Cij + wi μ = wi Ci 0 j =1 ⎝ j =1 ⎠
(31) Kemudian dengan menjumlahkan n
persamaan di atas menghasilkan
ekspresi untuk penjumlahan ganda : n
n
i =1
j =1
n n ~ ~ ∑ wi ∑ w j Cij + ∑ wi μ = ∑ wiCi 0
n
n
i =1
j =1
i =1
i =1
n n ~ ~ ∑ wi ∑ w j Cij = ∑ wi Ci 0 − ∑ wi μ
n
Karena
∑w i =1
i
i =1
i =1
= 1 , maka :
n
n
n ~ ~ w w C = w C ∑ i ∑ j ij ∑ i i 0 − μ i =1
j =1
i =1
(32)
21 Substitusikan persamaan di atas ke dalam persamaan (19) maka diperoleh ekspresi untuk ragam error yang minimum :
σ~
R
σ~
σ~
n n n ~ ~ 2 ~ = σ + ∑ ∑ wi w j C ij − 2∑ wi C i 0
2
i =1 j =1
2 R
n
n ~ ~ w C − μ − w C 2 ∑ i i0 ∑ i i0 i =1
2 R
= σ~ 2 +
i =1
i =1
⎛ n ⎞ ~ 2 ~ = σ − ⎜ ∑ wi Ci 0 + μ ⎟ ⎝ i=1 ⎠
(33)
Atau dalam pola matriks dapat ditulis :
σ~R 2 = σ~ 2 − w.D
(34)
Ragam error yang minimum ini biasanya disebut sebgai Ordinary Kriging Variance, σ~OK
2.1.4 Ordinary Kriging dengan Variogram
Ekspresi untuk ragam error diasumsikan bahwa semua peubah acak dalam fungsi acak tersebut mempunyai rata-rata dan ragam yang sama. Asumsi ini dapat digunakan untuk membangun model variogram dan model kovarian.
γ ij =
{[
1 E Vi − V j 2
]} 2
22
γ ij =
{ }
{ }
1 1 2 2 E Vi + E V j − E {Vi .V j } 2 2
{ }
γ ij =
1 E V 2 − E {Vi .V j } 2
γ ij =
1 ~ 2 − E {V .V }− m ~2 EV2 −m i j 2
[
{ }
]
~
γ ij = σ~ 2 − Cij
(35)
Pada pola variogram, sistem Ordinary Kriging dapat diuraikan sebagai berikut Dari persamaan (27)
n
~
∑w C j =1
j
ij
∑ w (σ~ n
j =1
j
2
~ +μ = Ci 0
)
− γ ij +μ = σ~ 2 − γ i 0
n
n
j =1
j =1
∑ w jσ~ 2 − ∑ w jγ ij +μ = σ~ 2 − γ i 0
23 Sehingga diperoleh :
n
∑w γ j
j =1
ij
n
dan
∑w i =1
− μ = γ i0
(36)
=1
i
Maka ragam error-nya:
σ~
2 R
n
= ∑ wiγ~i 0 + μ i =1
(37)
Dari penjelasan diatas maka fungsi estimasi dengan Ordinary Kriging dapat dihasilkan sebagai berikut :
n
vˆ = ∑ wi v i =1
dan
w = C − 1 .D
Dimana estimasi tersebut mempunyai sifat : 1. Tak bias 2. Ragam Terkecil 3. Linear terhadap pengamatan
24 Penjelasannya adalah sebgai berikut : n
1. Tak Bias jika
∑w i =1
i
=1
2. Ragam minimum dengan fungsi ragam error :
σ~
2 R
n n n ~ ~ 2 ~ = σ + ∑ ∑ wi w j C ij − 2∑ wi C i 0 i =1 j =1
i =1
3. Linear terhadap pengamatan :
n
vˆ = ∑ wi v i =1
2. 2 Geodesi
Pembahasan-pembahasan mengenai bentuk bumi, ellipsoid, datum geodesi, sistem koordinat, dan proyeksi peta tidak dapat dipisahkan dari ilmu geodesi. Menurut definisi klasik F.R. Helmert, geodesi adalah sains pengukuran dan pemetaan permukaan bumi. Dengan definisi ini, geodesi termasuk ke dalam bidang geoscience selain engineering science. Sedangkan menurut Umaryono (1986), geodesi merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang terpakai, yang bermaksud dengan jalan melakukan pengukuran-pengukuran, menentukan bentuk dan ukuran bumi, menentukan posisi (koordinat) titik-titik, panjang, dan arah garis di permukaan bumi, juga mempelajari medan gravitasi bumi. Secara umum, ilmu geodesi terbagi dalam dua bagian, yaitu :
25 1. Geodesi geometris Geodesi geometris adalah bagian ilmu geodesi yang membahas bentuk dan ukuran bumi, penentuan posisi titik, panjang dan arah garis. 2. Geodesi fisis Geodesi fisis adalah bagian ilmu geodesi yang membahas medan gravitasi bumi (juga menentukan bentuk bumi).
2.2.1 Bentuk Bumi
Dalam geodesi, proyeksi peta, dan sistem-sistem referensi koordinat yang telah dikembagkan sejak dulu digunakan untuk mendeskripsikan bentuk permukaan bumi beserta posisi-posisi atau lokasi-lokasi geografi dari unsur permukaan bumi yang menarik perhatian manusia. Deskripsi permukaan bumi ini sangat diperlukan oleh manusia di dalam melakukan aktivitas-aktivitas sehari-harinya seperti survey, pemetaan, dan navigasi. Melalui sejarah yang panjang, ”gambaran” atau konsep mengenai bumi ini telah jauh meningkat lebih baik, makin mendekati kondisi sebenarnya dari model bumi datar berbentuk cakram hingga ellips putar (ellipsoid).
2.2.1.1 Model-model Geometri Bentuk Bumi
Ide-ide awal mengenai ”gambaran” atau bentuk geometrik bumi sebagai implementasi dari konsep-konsep mengenai bumi yang dianut oleh manusia telah berevolusi dari abad ke abad. Bentukbentuk tersebut adalah :
26 1. Tiram / oyster atau cakram yang terapung di permukaan laut (konsepsi bumi dan lam semesta menurut bangsa Babilon ± 2500 SM). 2. Lempeng datar (Hecateus, bangsa Yunani kuno pada ± 500 SM). 3. Kotak persegi panjang (anggapan para Geograf Yunani Kuno pada ± 500 SM hingga awal ± 400 SM). 4. Piringan lingkaran atau cakram (bangsa Romawi). 5. Bola (bangsa Yunani kuno: Pythagoras (± 495 SM), Aristoteles membuktikan bentuk bola bumi dengan 6 argumennya (± 340 SM), Archimedes (± 250 SM), Erastosthenes (± 250 SM)). 6. Buah jeruk asam / lemon (J. Cassini (1683-1718)). 7. Buah jeruk manis / orange (ahli fisika: Huygens (1629-1695) dan isaac Newton (1643-1727)). 8. Ellips putar (French Academy of Sciences (didirikan pada 1666)). Dengan adanya pegepengan pada kedua kutubnya, hasil-hasil pengamatan bentuk bumi menghasilkan perbedaan nilai sekitar 20 km antara jari-jari rata-rata bumi dengan jarak dari pusat bumi ke kutub (perhatikan selisih antara nilai-nilai setengah sumbu panjang (a) dengan setengah sumbu pendek (b) ellipsoid referensi). Hasilhasil pengamatan yang terakhir ini membuktikan bahwa model geometrik yang paling tepat untuk merepresentasikan bentuk bumi adalah ellipsoid (ellips putar) yang mulai banyak terbukti sejak abad ke 19 hingga 20 oleh Everest, Bessel, Hayford, hingga U.S Army
27 Map Service (walaupun pertama kali ditemukan pada abad ke 17). Model-model bentuk bumi ellipsoid ini sangat diperlukan untuk hitungan-hitungan jarak dan arah (sudut jurusan) yang akurat dengan jangkauan yang sangat jauh. Sebagai contoh, receivers GPS (juga Loran-C) untuk navigasi menggunakan model bumi ellipsoid untuk menentukan
posisi-posisi
pengguna
atau
target-target
yang
ditentukan. Walaupun demikian, model-model bentuk bumi datar juga masih digunakan hingga pada saat ini untuk kebutuhan plane surveying (seperti survey-survey topografi, kadaster, dan rekayasa pada jarak yang cukup pendek kurang dari 10 km). Pada plane surveying dilakukan pengukuran detil-detil (skala besar) yang terdapat di atas permukaan tanah / bumi (bidang horizontal sudah memadai untuk dianggap sebgai bidang referensi dan kelengkungan bumi dapat diabaikan). Sedangkan model-model bentuk bumi bulat atau bola masih sering pula digunakan untuk memenuhi kebutuhan-kebutuhan navigasi jarak pendek dan sebagai pendekatan karena model-model bumi bola ini juga masih gagal dalam memodelkan bentuk bumi yang sebenarnya.
2.2.1.2 Ellipsoid Referensi
Salah satu tugas geodesi geometris adalah menentukan koordinat titik-titik, jarak, dan arah dipermukaan bumi untuk berbagai
28 keperluan paraktis maupun ilmiah. Untuk itu, diperlihatkan adanya suatu bidang hitungan. Permukaan bumi fisik merupakan permukaan yang sangat tidak teratur. Oleh karena itu, permukaan ini tidak dapat digunakan sebagai bidang hitungan geodesi. Untuk kebutuhan hitungan-hitungan geodesi, maka permukaan fisik bumi diganti dengan permukaan yang teratur dengan bentuk dan ukuran yang mendekati bumi. Permukaan yang dipilh adalah bidang permukaan yang mendekati bentuk dan ukuran geoid (bidang nivo (level surface) yang berada pada ketinggian permukaan air laut ratarata dalam keadaan tenang). Geoid memilki bentuk yang sangat mendekati ellips putar dengan sumbu pendek sebagai sumbu putar yang berimpit dengan sumbu putar bumi. Ellipsoid ini kemudian digunakan sebgai bidang-bidang hitungan–hitungan geodesi yang disebut sebagai ellipsoid referensi (permukaan referensi geometrik).
b a
Gambar 2. 1 : Ellipsoid Referensi
29
Ellipsoid referensi biasanya didefinisikan oleh nilai-nilai jari ekuator (a) dan pegepengan (f) ellips putarnya seperti dapat dilihat pada Gambar 2.1 di atas. Sedangkan parameter-parameter seperti setengah sumbu pendek (b), eksentrisitas (e), dan lainnya dapat dihitung (atau diturunkan) dengan menggunakan kedua nilai parameter pertama di atas. Dengan memperhatikan kondisi-kondisi fisik permukaan bentuk geoid beserta faktor lainnya, tidak semua negara di dunia menggunakan ellipsoid yang sama. Karena itu, banyak dijumpai ellipsoid referensi. Jika ellipsoid referensi yang digunakan dipilih berdasarkan kesesuaiannya dengan bentuk geoid lokalnya, maka ellipsoid referensi tersebut dapat disebut juga sebagai ellipsoid lokal. Jika ellipsoid referensi yang digunakan sesuai dengan bentuk geoid untuk daerah yang relatif luas (tingkat regional), maka ellipsoid referensi tersebut dikenal sebagai ellipsoid regional. Sedangkan jika ellipsoid referensi yang dipilih sesuai (mendekati) dengan bentuk geoid untuk keseluruhan permukaan bumi, maka ellipsoidnya disebut sebagai ellipsoid global. Sebagai contoh, Indonesia pada 1860 menggunakan ellipsoid Bessel 1841 (a = 6,377,397; 1/f = 299,15). Tetapi sejak 1971 Indonesia juga menggunakan ellipsoid GRS-67 (a = 6,378,160; 1/f = 298,247) yang kemudian disebut sebagai speroid nasional Indonesi (SNI).
30
2.2.2 Datum Geodesi
Untuk pekerjaan geodesi, selain ellipsoid referensi, masih juga diperlukan suatu datum yang mendefinisikan sistem koordinat. Datum, secara umum, merupakan besaran-besaran atau konstanta (quantities) yang dapat bertindak sebagai referensi atau dasar untuk hitungan-hitungan besaran-besaran yang lain. Sedangkan datum geodesi merupakan sekumpulan konstanta yang digunakan untuk mendefinisikan sistem koordinat yang digunakan untuk kontrol geodesi (sebagai contoh untuk keperluan penentuan koordinatkoordinat titik-titik di permukaan bumi). Untuk mendefinisikan datum geodesi yang lengkap, paling sedikit diperlukan delapan besaran : tiga konstanta (X0, Y0, Z0) untuk mendefinisikan titk awal sistem koordinat, tiga besaran untuk menentukan arah sistem koordinat, dan dua besaran besaran lainnya (setengah sumbu panjang (a) dan pegepengan (f) untuk mendefinisikan dimensi ellipsoid yang digunakan) seperti dilihat pada Gambar 2.2 di bawah. Menurut Rockville (1986), sebelum datum geosentrik ini digunakan seperti pada saat
ini, datum geodesi didefinisikan oleh lima besaran saja : koordinat titik awal (bujur dan lintang), sudut azimuth dari titik awal ini (α), dan dua besaran yang mendefinisikan ellipsoid referensi yang digunakan (setengah sumbu panjang (a) dan pegepengan (f)).
31
KU
Meridian 00
b a
X0, Y0, Z0
Gambar 2.2 : Datum Geodesi
2.2.2.1 Datum Global
Datum global adalah datum geodesi yang menggunakan ellipsoid referensi yang dipilih sedekat mungkin dengan bentuk geoid untuk seluruh permukaan bumi, datumnya mengunakan ellipsoid global. Datum datum gloabal yang pertama adalah WGS60, WGS66, dan WGS72. walaupun datum yang terakhir ini masih dapat memenuhi beberapa kebutuhan aplikasi Departemen Pertahanan Amerika Serikat (DoD) sebagai pengembangnya, tetapi datum ini masih
memiliki
beberapa
kelemahan
yang
menghalangi
kelangsungan penggunaannya. Oleh karena itu, pada awal 1984 DoD segera mempublikasikan penggantian datum WGS72 oleh datum WGS84.
32 Datum WGS84 yang dikembangkan oleh DMA (Defence Mapping Agency) ini, menurut Rockville (1986), merepresentasikan pemodelan bumi dari standpoint (posisi titik dimana pengamatan atau pengukuran dilakukan di dalam survey pemetaan gravitasional (gaya berat bumi yang bersifat fisis), geodetik, dan geometrik dengan menggunkan data-data, teknik, dan teknologi yang sudah ada pada saat ini. Datum ini merupakan sistem terestrial konvensional (CTS) yang direalisasikan dengan memodifikasi sistem satelit navigasi angkatan laut Amerika Serikat (NNSS) atau sistem TRANSIT, reference frame (Sistem koordinat yang diasosiasikan dengan sistem fisik) milik Dopler (NSWC 9Z-2) untuk titik awal (origin) dan skala. Menurut meridian referensinya (nol) diimpitkan dengan meridian nol BIH (Bureau International de I’Heure) pada saat itu seperti dilihat pada Gambar 2.3 di bawah. Selain itu, beberapa paramater atau konstanta yang terdapat pada datum global WGS84 ini diperoleh dengan cara mengadopsi konstanta-konstanta yang ada pada GRS80.
33
CTP BIH 1984
Meridian 00 BIH 1984
YWGS84 XWGS84
Pusat Masa Bumi
Gambar 2.3 : Datum Global WGS84
Keterangan Gambar: 1. Sumbu Z : sumbu ini mengarah pada kutub utara CTP (Conventiosl Terrestrial Pole) sebagaimana telah didefinisikan oleh BIH. 2. Sumbu X : sumbu ini merupakan garis perpotongan antara bidang beridian referensi WGS84 dengan bidang ekuator CTP. Meridian nol ini juga didefinisikan oleh BIH. 3. Sumbu Y : karena sistem ini merupakan right-handed, ECEF (Earth Centered Earth Fixed) dan sistem koordinat ortogonal, maka sumbu Y adalah sumbu X yang diputar 90o ke arah timur bidang ekuator CTP. Demikian pentingnya datum global WGS84 ini hingga GPS-pun menggunakannya sebagai datum untuk menentukan posisi-posisi tiga
34 dimensi dari target-target yang ditentukan. Parameter dan konstanta WGS84 disajikan pada tabel 2.1 di bawah.
Parameter & Konstanta Datum Global WGS84
Tabel 2.1.
No
Parameter
Notasi & Konstanta Parameter
1
Ellipsoid refensi: GRS80
a = 6,378,137.00 m, 1/f = 298.257223563 b = 6,356,752.314 m
2
Konstanta-konstanta gravitasi GM = 3,986,005 x 108 m3s-2 :
Garvitasi
bumi, C20 = -484.16685 x 10-6 , J2 = 108263 x 10-8
koefisien
gravitasi
zonal Ω = 72792115 x 10-11 rad s-1
bumi
dearajat 2 yang dinormalisasi, G = 6.673 x 10-11 m3s-2kg-1 kecepatan rotasi bumi, ...
γe = 9.7803267714 ms-2 γp = 9.8321863685 ms-2 γ = 9.7976446561 ms-2 k = 0.00193185138639 M=5.9733328 x 1024 Kg m = 0.00344978600313
Sumber : Sistem Informasi Geografis, Eddy Prahasta, Halaman 125
2. 3 Sistem Koordinat
Sistem koordinat adalah sekumpulanb aturan-aturan yang menentukan bagaimana koordinat-koordinat yang bersangkutan merepresentasikan titik-titik. Menurut Rockville (1986), Aturan ini biasanya mendefinisikan titik asal (origin)
35 beserta beberapa sumbu-sumbu koordinat yang digunakan untuk mengukur jarak dan sudut untuk menghasilkan koordinat-koordinat. Sistem koordinat dapat dikelompokkan menurut: lokasi awal ditempatkan, jenis permukaan yang digunakan sebagai referensi, dan arah sumbu-sumbu-nya. Meurut Peter H Dana (1999), sistem koordinat yang paling umum digunakan pada saat ini adalah sistem lintang (φ), bujur (λ), dan ketinggian (h). Pada sistem koordinat ini, meridian utama dan ekuatormerupakan bidang-bidang referensi yang digunakan untuk mendefinisikan koordinat bujur dan lintang. Lintang geodetik suatu titik adalah sudut yang dibentuk oleh bidang ekuator (φ =00) dengan garis normal terhadap ellipsoid referensi. Bujur geodetik suatu titik adalah sudut yang dibentuk oleh bidang referensi dengan bidang meridian yang melalui titik yang bersangkutan. Sedangkan tinggi geodetik adalah jarak titik yang bersangkutan dari ellipsoid referensi di dalam arah garis normal terhadap ellipsoid referensi. Dengan demikian, posisi sauatu titik di dalam sistem koordinat global dapat dinyatakan dengan koordinat geodetik. P(λ, φ, h).
2. 4 Siklus Hidup Pengembangan Sistem
Metode siklus hidup pengembangan sistem atau sering disebut dengan System Development Life Cycle (SDLC) merupakan suatu tahapan – tahapan metode untuk merancang sebuah program aplikasi perangkat lunak. Nama lain dari metode SDLC yaitu metode waterfall. Metode ini disebut waterfall karena model dari langkah – langkah yang dilakukan mirip dengan air terjun (bertingkat). Jadi proses yang harus dilakukan secara bertingkat untuk menghasilkan suatu program aplikasi yang baik.
36 Perancangan aplikasi perangkat lunak dengan metode SDLC dilakukan dalam enam tahap. Tahapan – tahapan yang harus dilakukan terdiri dari perencanaan (system engineering), analisis disain, pengkodean (coding), pengujian (testing), dan pemeliharaan (maintenance). Berikut ini akan dijelaskan setiap tahapan dalam SDLC tersebut yaitu : 1. Perencanaan Perencanaan adalah suatu kegiatan untuk menentukan program aplikasi yang akan dirancang, tempat program aplikasi akan dirancang dan dijalankan, dan siapa yang akan merancang program aplikasi tersebut. 2. Analisis Analisis adalah suatu kegiatan untuk menentukan tentang topic dari permasalahan yang sedang dihadapi dan bagaimana cara pemecahan atau solusi masalah tersebut. 3. Desain Desain adalah suatu kegiatan untuk menentukan konsep dasar rancangan dari suatu program yang akan dibuat sehingga diharapkan dengan disain yang baik, maka para pengguna akan merasa nyaman dalam menggunakan program aplikasi yang dirancang tersebut. 4. Pengkodean Pengkodean
adalah
suatu
kegiatan
yang
berguna
untuk
mengimplementasikan konsep dasar dari tahapan sebelumnya (desain) ke dalam bahasa pemrograman.
37 5. Pengujian Pengujian adalah suatu kegiatan untuk mencari kelemahan dan kesalahan yang terjadi pada program aplikasi dan kemudian memperbaiki kesalahan atau kelemahan tersebut. Ada beberapa metode pengujian untuk menguji fungsi – fungsi dari suatu program aplikasi. Metode tersebut adalah : •
Metode Pengujian White-Box Metode ini menerapkan pengujian terhadap struktur logika program dan detail procedural. Pengujian dilakukan terhadap setiap baris kode program untuk meyakinkan bahwa semua operasi internal bekerja sesuai dengan spesifikasi dan semua komponen internal telah dicoba.
•
Metode Pengujian Black-Box Metode ini merupakan pengujian interface dari perangkat lunak oleh pemakai untuk mengetahui spesifikasi dari suatu fungsi dalam program aplikasi. Pengujian dilakukan dengan memberi input pada program aplikasi, kemudian diproses, dan hasil keluarannya dibandingkan apakah telah sesuai dengan kebutuhan fungsional yang diinginkan pemakai.
•
Metode pengujian Gray-Box Metode ini merupakan gabungan dari metode pengujian White-Box dan metode pengujian Black-Box yaitu memvalidasi interface perangkat lunak dan pemilihan beberapa logika internal. Metode inilah yang dipakai untuk menguji program aplikasi pada skripsi ini.
38
6. Pemeliharaan Pemeliharaan adalah suatu kegiatan yang berguna untuk memastikan bahwa program
aplikasi
akan
berjalan
pemeliharaan secara berkala.
dengan
baik
sehingga
diperlukan
