Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
Az egydimenziós konvekciós-diúziós feladat numerikus megoldása BSc Szakdolgozat
Ádám Johanna Matematika BSc Matematikai elemz® szakirány
Témavezet®: Dr. Faragó István tanszékvezet® egyetemi tanár, ELTE Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék
2013 Budapest
Köszönetnyilvánítás Hálásan köszönöm témavezet®mnek, Faragó Istvánnak bátorítását és gyelmes észrevételeit, valamint a szakterülete iránti lelkesedését, amely engem is ösztönzött ezen téma behatóbb tanulmányozására és megértésére. Külön köszönöm férjemnek, Bertók Zoltánnak a sok türelmet és támogatást.
2
Tartalomjegyzék Köszönetnyilvánítás
2
Bevezetés
5
1. Közönséges dierenciálegyenletek peremérték-problémái
6
1.1. Peremérték-problémák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2. Bevezet® fogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.1. Lp (Ω) terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.2. Szoboljev-terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.3. Hilbert-terek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.4. H m (Ω) terek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3. Egydimenziós peremérték-feladatok megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.1. Klasszikus megoldás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.2. Gyenge megoldás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2. A Galjorkin-módszer
12
2.1. A Galjorkin-módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.1.1. Gyenge alak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.1.2. A variációs feladat vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1.3. A peremérték-probléma és a variációs feladat összefüggése . . . . . .
15
2.1.4. A közelítés konstrukciója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3
3. A konvekciós-diúziós egyenletekr®l
18
3.1. A kis ε problémája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.2. Szinguláris perturbáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.3. A határréteg megjelenése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.4. Rácsháló-konstrukció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.4.1. Háló-konstrukciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.4.2. Bakhvalov-háló . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.4.3. Shishkin-háló . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4. Az egydimenziós konvekciós-diúziós feladat numerikus megoldásának különös tulajdonsága 23 4.1. A probléma és az oszcillációs jelenség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.1.1. A jelenség bemutatása egy példán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.2. Elméleti magyarázat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.2.1. Konvergenciavizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.3. Numerikus eredmények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.3.1. Hibaszámítás a példafeladaton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Irodalomjegyzék
34
Nyilatkozat
36
4
Bevezetés A konvekciós-diúziós egyenlet a természetben el®forduló légnem¶, ill. cseppfolyós halmazállapotú anyagok áramlását írja le. Ahhoz, hogy egy-egy ilyen jelenség kimenetelét megjósolhassuk, a feladatot matematikai objektumokkal, matematikai módszerekkel kell vizsgálnunk. A konvekciós-diúziós feladat egy szingulárisan perturbált peremérték-probléma, amelynek a numerikus (közelít®) megoldását a Galjorkin-módszerrel fogjuk kiszámítani. Jelen dolgozat célja részletes áttekintést nyújtani a konvekciós-diúziós egyenlet egydimenziós változatáról. Az els® fejezetben megnézzük, mik azok a peremérték-feladatok, és megvizsgáljuk ezen feladatok megoldhatóságát, illetve a megoldhatóság feltételeit, majd bevezetjük a konvekciósdiúziós feladat kit¶zésére és megoldására vonatkozó fogalmakat. A második fejezetben részletesen leírjuk a Galjorkin-módszert, illetve annak alkamazását, valamint kifejtjük a gyenge megoldás és a variációs feladat jelent®ségét. A fejezet végén felírjuk a konvekciós-diúziós feladat pontos megoldásának közelítésére a Galjorkin-módszer konstrukcióját. A harmadik fejezetben áttekintjük a konvekciós-diúziós feladat tulajdonságait, a pontos megoldás viselkedését, és említést teszünk a feladat vizsgálata során felbukkanó témakörökr®l: a szingulárisan perturbált feladatokról, a kis ε problémájáról, és a határréteg megjelenésér®l. Szót ejtünk a szingulárisan perturbált feladatokhoz konstruálható különféle rácshálókról. A negyedik fejezetben megvizsgáljuk a Galjorkin-módszerrel kiszámított numerikus megoldást, amely egy különös tulajdonsággal rendelkezik. Megmutatjuk a hamis oszcilláció jelenségét és a numerikus megoldások viszonyát a pontos megoldáshoz. Az elméleti leíráson túl egy példa megoldásával is illusztráljuk az egydimenziós konvekciós-diúziós egyenlet pontos, illetve numerikus megoldásainak viselkedését. Ez a problémakör számos matematikus kutatásait inspirálta, és a mai napig is aktív mozgatója különböz® típusú szingulárisan perturbált feladatok vizsgálatának [1, 6, 10, 15, 16]. A probléma elemzése indította el a rétegre illeszked® rácsok kutatását, és a már korábban bevezetett hálók továbbfejlesztését is [2, 13, 17].
5
1. fejezet Közönséges dierenciálegyenletek peremérték-problémái Ebben a fejezetben megismerkedünk a közönséges dierenciálegyenletek peremérték-problémáinak felépítésével. A megértéshez fontos fogalmak bevezetése után megvizsgáljuk a peremértékproblémák megoldhatóságát és a megoldhatóság feltételeit.
1.1.
Peremérték-problémák
Tekinstük a következ® másodrend¶ dierenciálegyenletet:
u00 = f (t, u, u0 ).
(1.1.1)
Egy ilyen dierenciálegyenlet egyértelm¶ megoldásának megtalálásához szükségünk van kiegészít® feltételekre. Az u(0) = u0 , u0 (0) = u00 (1.1.2) kezdeti feltételekkel például egyértem¶ megoldást kapunk az (1.1.1) egyenletre. Gyakran azonban a jelenséget egy korlátos I = [a, b] id®- vagy térintervallumon vizsgáljuk, és ismerjük a megoldást az intervallum két végpontjában, vagyis adott egy ún. peremfeltétel. Ilyen esetben az intervallum végpontjaiban ismert megoldás lesz a kiegészít® feltétel:
u(a) = α,
1.1.1. De níció.
u(b) = β.
Az u = u(t) ∈ C 2 [a, b] ismeretlen függvényre kit¶zött
u00 = f (t, u, u0 ), u(a) = α,
t ∈ (a, b) u(b) = β
feladatot kétpontos peremérték-feladatnak nevezzük. 6
(1.1.3)
1.2.
Bevezet® fogalmak
Ebben a részben bevezetünk néhány olyan fogalmat, amelyre a kés®bbiekben támaszkodunk. De niáljuk az Lp (Ω) és Szoboljev-tereket, a Hilbert-tereket, valamint a Szoboljev-terek egy fontos részhalmazát, amelyek Hilbert-teret alkotnak.
1.2.1.
Lp (Ω) terek
1.2.1. De níció.
Legyen µ mérték, Ω ⊂ Rn adott mérhet® halmaz. f : Ω → R mérhet® függvény. Ha 1 ≤ p < ∞, akkor legyen p1 Z 1 (∞ p = ∞) ||f ||p = |f |p dµ Ω
és legyen
||f ||∞ = inf{a : a ≥ 0, µ{|f | > a} = 0}. Az Lp (Ω) tér tehát de níció szerint azon mérhet® f függvényekb®l áll, amelyeknek p-normája véges.
1.2.2.
Szoboljev-terek
1.2.2. De níció. Ekkor
Legyen Ω = [a, b] korlátos, zárt intervallum, és 0 ≤ p ≤ ∞ adott szám.
W 1,p (Ω) := {f | f : Ω → R és f 0 ∈ Lp (Ω)},
(1.2.1)
ahol f abszolút folytonos függvény. W 1,p (Ω)-t els®rend¶ Szoboljev-térnek nevezzük.
1.2.3. Megjegyzés.
Egy f : Ω → R függvényt akkor nevezünk abszolút folytonosnak, ha igaz rá az alábbi három feltétel:
• f dierenciálható majdnem mindenütt, • f 0 ∈ L1 (Ω), • f integrálfüggvénye f 0 -nek. A W 1,p (Ω) tér teljes normált tér, vagyis Banach-tér a következ® normák egyikével:
||f ||∗ := ||f ||max + ||f 0 ||Lp ,
(1.2.2)
||f ||W 1,p := ||f ||Lp + ||f 0 ||Lp ,
(1.2.3)
Belátható [12], hogy a két norma ekvivalens. 7
1.2.4. Megjegyzés.
A folytonosan dierenciálható függvények C 1 (Ω) terét a W 1,p (Ω) tér általánosítja, ugyanis ilyenkor csak majdnem mindenütt deriválhatóságot követelünk meg.
1.2.3.
Hilbert-terek
1.2.5. De níció.
Ha H lineáris tér K felett és adott egy (x, y) 7→ hx, yi leképezése H × H nak K-ba úgy, hogy minden x, y, z ∈ H -ra és α ∈ K-ra 1. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, 2. hαx, yi = αhx, yi, 3. hx, yi = hy, xi, 4. ha hx, xi = 0, akkor x = 0,
akkor H -t bels® szorzat térnek nevezzük K felett.
1.2.6. De níció. Egy bels® szorzat teret Hilbert-térnek nevezünk, ha teljes. 1.2.7. Példa. Rn , Cn , L2 (Ω) és W 1,p (Ω) Hilbert-terek a következ® skalárszorzatokkal: Rn Hilbert-tér az hx, yiRn = Cn Hilbert-tér a hz, wiCn =
n P i=1 n P
i=1
xi yi skalárszorzattal
zi wi skalárszorzattal
L2 (Ω) Hilbert-tér az hf, giL2 =
R
f g dµ skalárszorzattal.
Ω
B®vebb leírás [12]-ban található.
1.2.4.
H m (Ω) terek
Az el®z®ekben tárgyalt Szoboljev-terek között vannak olyanok, amelyek Hilbert-teret alkotnak. Ezeket jelöljük H m (Ω)-val.
1.2.8. De níció. m
H (Ω) := W
Legyen Ω = [a, b].
m,2
(Ω) = {u ∈ C m−1 Ω : u(m−1) abszolút folytonos, u(m) ∈ L2 (Ω)}
(1.2.4)
A speciális m = 1 esetben H 1 (Ω) azon u : Ω → C abszolút folytonos függvények tere, amelykre igaz, hogy u0 L2 (Ω)-beli. Számunkra legfontosabb a H01 (Ω) tér, amely olyan u ∈ H 1 (Ω) függvények halmaza, amelyekre u(a) = u(b) = 0. A H m (Ω) terek®l, és tulajdonságaikról b®vebben [11] ad leírást. 8
1.3.
Egydimenziós peremérték-feladatok megoldása
Legyen Ω = (0, 1), és tekintsük a következ® másodrend¶ dierenciálegyenletre kit¶zött kétpontos peremérték-feladatot: Lu ≡ −(pu0 )0 + qu = f (1.3.1)
u(0) = u(1) = 0, ahol p ∈ C 1 (Ω), q, f ∈ C(Ω), és tegyük fel, hogy p(x) ≥ p0 > 0; q(x) ≥ 0 és 0 ≤ x ≤ 1.
1.3.1.
Klasszikus megoldás
Legyen H valós Hilbert-tér és L : H → H operátor. A fenti (1.3.1) peremérték-feladat klasszikus megoldásának azt az u ∈ dom L elemet nevezzük, amelyet az L operátor az f ∈ im L-be képez le. Amennyiben p ∈ C 1 (Ω) és q, f folytonos függvények az Ω intervallumon, akkor létezik u ∈ C 2 (Ω) megoldás. Gyakori azonban, hogy a feladatnak nem létezik klasszikus megoldása, mert q és p nem megfelel®en sima függvények. Tekintsük (1.3.1)-et a q = 0 esetben. Meg gyelhetjük, hogy ha p ∈ C 1 (Ω), de f nem folytonos, akkor nem létezik a feladatnak klasszikus megoldása, ugyanis, ha u ∈ C 2 (Ω) volna, akkor pu0 ∈ C 1 (Ω) lenne, és ebb®l következik, hogy −(pu0 )0 = f -nek folytonosnak kellene lennie. Lehet azonban a feladatnak u ∈ H 2 (Ω) megoldása, ami azt jelenti, hogy u ∈ C 1 (Ω), és u0 abszolút folytonos, u00 pedig L2 (Ω)-beli. Tekintsük újra a q = 0 esetet, és legyen most f ∈ C(Ω), p pedig szakaszonként konstans. Ekkor még u ∈ H 2 (Ω) megoldás sem létezik a feladatra, ugyanis f folytonossága miatt −(pu0 )0 -nek is folytonosnak kellene lennie, vagyis pu0 ∈ C 1 (Ω) kell, hogy teljesüljön. Ha u0 folytonos, akkor f miatt pu0 is szakadásos, tehát nem C 1 (Ω)-beli, ha pedig u0 nem folytonos, akkor u ∈ / H 2 (Ω). További elemzések [11]-ben találhatók. Látható, hogy a fent tárgyalt megoldásfogalmak meglehet®sen szerteágazóak, ezért egy új megoldásfogalmat vezetünk be, amely a peremérték-feladatok gyenge megoldása.
1.3.2.
Gyenge megoldás
Legyen adott az
Lu ≡ −(pu0 )0 + qu0 + ru = f
(1.3.2)
u(0) = u(1) = 0
(1.3.3)
9
peremérték-feladat az Ω = (0, 1)-en. Tegyük fel, hogy p, q és r megfelel®en sima függvények. Szorozzuk meg az (1.3.2) dierenciálegyenletet egy v ∈ V tesztfüggvénnyel (ahol V ⊂ H01 (Ω) s¶r¶ altér), és integráljuk az egyenletet a (0, 1) intervallumon.
Z1
0 0
Z1
0
(−(pu ) + qu + ru)v dx = 0
f v dx
(1.3.4)
f v dx
(1.3.5)
0
Z1
−(pu0 )0 v + qu0 v + ruv dx =
0
Z1 0
Parciálisan integráljuk a fenti egyenletet:
[−pu0 v]10 +
Z1
(pu0 v 0 + qu0 v + ruv) dx =
0
Z1
∀v ∈ H01 (Ω)
f v dx
(1.3.6)
0
Mivel v ∈ H01 (Ω), tudjuk, hogy v az Ω intervallum két végpontjában 0 értéket vesz fel, vagyis v(0) = v(1) = 0, az els® tag kiesik:
Z1
0 0
Z1
0
(pu v + qu v + ruv) dx = 0
f v dx
∀v ∈ H01 (Ω)
(1.3.7)
0
Legyen
Z1 a(u, v) :=
(pu0 v 0 + qu0 v + ruv) dx
(1.3.8)
0
és
Z1 Φ(v) :=
f v dx.
(1.3.9)
0
Ebb®l kapjuk, hogy
a(u, v) = Φ(v),
(1.3.10)
amely az ún. variációs feladat.
1.3.1. De níció.
Azt az u ∈ H01 [0, 1] elemet, amelyre
a(u, v) = Φ(v)
(1.3.11)
fennáll ∀v ∈ V esetén, az (1.3.2) egyenlet gyenge vagy általánosított megoldásának nevezzük. 10
1.3.2. De níció.
Az (1.3.2) peremérték-feladatnak létezik klasszikus megoldása, ha van olyan u ∈ C 2 [0, 1], amelyre (1.3.2)-(1.3.3) teljesül. A (1.3.2) peremérték-feladatnak létezik gyenge megoldása, ha van olyan u ∈ H01 [0, 1], amelyre (1.3.10) teljesül. A következ® fejezetben részletesen megvizsgáljuk, mi a kapcsolat a peremérték-feladat és a variációs feladat között, és ezen variációs feladat numerikus megoldására alkalmazzuk a Galjorkin-módszert.
11
2. fejezet A Galjorkin-módszer 2.1.
A Galjorkin-módszer
Ebben a fejezetben egy egydimenziós modellfeladaton mutatjuk be a Galjorkin-módszert, amely egy végtelen dimenziós térben felírt operátoregyenlet megoldásának közelítésére alkalmazható numerikus eljárás. Alapötlete, hogy a H01 (0, 1) alaptér helyett annak valamely véges dimenziós alterére vetítjükaz eredeti egyenletet. Így egy algebrai egyenletrendszert nyerünk, amely véges dimenziós, s így a numerikus analízis szokásos módszereivel már megoldható.
2.1.1.
Gyenge alak
Tekintsük az alábbi
−(p(x)u0 )0 + q(x)u = f (x)
(0 ≤ x ≤ 1)
(2.1.1) (2.1.2)
u(0) = u(1) = 0
peremérték-feladatot. A p, q és f legyenek folytonos függvények, amelyekre p1 ≥ p(x) ≥ p0 > 0, q1 ≥ q(x) ≥ 0. Legyen V = H01 (0, 1). Hajtsuk végre ugyanazokat a lépéseket, amelyeket az el®z® fejezetben bemutattunk. Vagyis, szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát egy, a [0, 1] intervallumon folytonosan dierenciálható tetsz®leges v ∈ V tesztfüggvénnyel, amely kielégíti a peremfeltételeket, és integráljunk a [0, 1]-en:
Z1
Z1
0 0
(−(pu ) v + quv) dx = 0
f v dx. 0
12
(2.1.3)
Az els® tagot parciálisan integrálva és kihasználva, hogy v(0) = v(1) = 0, kapjuk a következ® egyenletet: Z1 Z1 0 0 (2.1.4) (pu v + quv) dx = f v dx, ∀v ∈ H01 (0, 1). 0
0
A fenti integrálok már abban az esetben is értelmesek, ha p és q korlátosak és szakaszonként folytonosak, és f ∈ L2 (0, 1), illetve ha u és v H01 (0, 1) elemei. Ugyanis az ilyen függvények deriváltjai nem kell, hogy mindenütt de niáltak legyenek. Éppen ezt a tulajdonságot fogjuk felhasználni a kés®bbiekben. Vezessük be az a(u, v), a : H01 × H01 → R bilineáris funkcionált a következ® módon:
Z1 a(u, v) :=
(pu0 v 0 + quv) dx,
(2.1.5)
0
valamint
Z1 Φ(v) :=
(2.1.6)
f v dx. 0
Ekkor megfogalmazhatjuk a következ®t: Keresett olyan u ∈ H01 (0, 1) függvény, amellyel (2.1.7)
a(u, v) = Φ(v) minden v ∈ V -re. A (2.1.7) egyenletet variációs feladatnak nevezzük.
2.1.2.
A variációs feladat vizsgálata
A következ®kben néhány kifejezés elemzését írjuk le, megvizsgáljuk az imént bevezetett a(u, v) és Φ(v) funkcionálokat, majd pedig megmutatjuk a (2.1.1)-(2.1.2) peremérték-probléma és a (2.1.7) variációs feladat összefüggését. Mindezt [8] alapján tesszük meg. Az el®z® fejezetben de niált H01 tér Hilbert-tér a
Z1 hu, vi1 =
u0 (x)v 0 (x)dx
u, v ∈ H01
0
skalárszorzattal. Jelöljük |u|1 -gyel a skalárszorzathoz tartozó félnormát.
13
(2.1.8)
2.1.1. Megjegyzés.
A H 1 térben a skaláris szorzat az alábbi módon írható fel:
Z1 hu, vi1 =
u(x)v(x) + u0 (x)v 0 (x)dx,
(2.1.9)
0
ez pedig indukálja a
||ω||21 :=
Z1
0
(ω 2 + ω 2 )dx = |ω|21 + ||ω||20
(2.1.10)
0
H 1 -beli normát. A H 1 tér a ||ω||21 := |ω|21 + ||ω||20 normával Hilbert-tér. Az a(u, v) kifejezés egy bilineáris funkcionál, ugyanis mindkét változójában additív és homogén: a(u + λv, w) = a(u, w) + λa(v, w), (2.1.11)
a(u, v + λw) = a(u, v) + λa(u, w)
(2.1.12)
minden λ ∈ R és minden u, v, w ∈ H01 esetén, valamint a(u, v) korlátos. Továbbá a szimmetrikus, vagyis
a(u, v) = a(v, u).
(2.1.13)
Mivel
Z1
0
2
Z1
2
[p(x)(u (x)) + q(x)u (x)]dx ≥
a(u, u) = 0
(p0 (u0 (x))2 + q0 u2 (x))dx ≥
(2.1.14)
0
Z1 ≥ min{p0 , q0 }
(u0 (x)2 ) + u2 (x))dx = min{p0 , q0 }||u||21 ,
(2.1.15)
0
ezért a szigorúan pozitív de nit. Most tegyük fel, hogy f ∈ L2 (0, 1). Ekkor a Φ(v) funkcionál additív és homogén, vagyis
Φ(v + λu) = Φ(v) + λΦ(u)
(2.1.16)
minden v, u ∈ V -re és λ ∈ R-re. Φ(v) korlátos is. Az a(u, v) bilineáris funkcionál szigorúan pozitív de nitségéb®l és a Φ(v) funkcionál korlátosságából következik, hogy a (2.1.7) variációs feladatnak létezik megoldása H01 -ben.
14
2.1.3.
A peremérték-probléma és a variációs feladat összefüggése
Vizsgáljuk most meg a (2.1.1)-(2.1.2) peremérték-feladat és a (2.1.7) variációs feladat összefüggését!
2.1.2. De níció.
Azt az u ∈ C 2 (0, 1) függvényt, amely eleget tesz (2.1.1)-(2.1.2) egyenleteknek, a peremérték-feladat klasszikus megoldásának nevezzük. Azt mondjuk, hogy a (2.1.1)-(2.1.2) peremérték-feladatnak létezik gyenge vagy általánosított megoldása, ha létezik olyan u ∈ H01 függvény, amely eleget tesz a (2.1.7) variációs feladatnak.
2.1.3. Lemma. Legyenek p, q ∈ L∞ (0, 1) és f
∈ L2 (0, 1). Ha a (2.1.1)-(2.1.2) peremértékfeladatnak van u ∈ C [0, 1] klasszikus megoldása, akkor az egyben (2.1.7) variációs feladat megoldása H01 (0, 1)-ben, tehát általánosított megoldása a (2.1.1)-(2.1.2) peremérték2
feladatnak. Ha a (2.1.7) variációs feladatnak van gyenge megoldása, és az kétszeresen folytonosan dierenciálható, akkor az klasszikus megoldása a (2.1.1)-(2.1.2) peremérték-feladatnak.
Bizonyítás.
Legyen u a peremérték-feladatunk klasszikus megoldása. Ekkor a megoldás simasága miatt, a fent bemutatott módon, parciális integrálással eljutunk a variációs feladathoz, vagyis u a variációs feladatnak is megoldása.
Ha a variációs feladatnak u gyenge megoldása, akkor az nem feltétlenül megoldása a peremértékfeladatnak, hiszen nem biztos, hogy u-nak van folytonos második deriváltja. A következ® beágyazási tétel miatt azonban annyit biztosan tudunk, hogy u folytonos függvény.
2.1.4. Tétel. (H01 (Ω) beágyazása az L2 (Ω) térbe) Tetsz®leges Ω ⊂ Rn korlátos tartomány esetén (n ≥ 1) H01 (Ω) beágyazása az L2 (Ω) térbe teljesen folytonos operátor.
Emellett, ha u rendelkezik folytonos második deriválttal is, akkor (mivel u H01 -beli) kielégíti a peremfeltételeket, és így a parciális integrálás megfordításával eljutunk az eredeti
Z1
−(pu0 )0 v + quv dx =
0
Z1 f v dx
(2.1.17)
0
egyenlethez, vagyis u megoldása a peremérték-feladatnak.
2.1.4.
A közelítés konstrukciója
A (2.1.1)-(2.1.2) peremérték-problémának általános esetben nem lehetséges el®állítani a pontos megoldását. Ezért a Galjorkin-módszer közelít® megoldások sorozatával approximálja a pontos megoldást az alábbi diszkretizáció segítségével: 15
2.1.5. De níció.
Legyen En ⊂ H01 (n ∈ N+ , ahol N+ a természetes számok halmazát jelöli) és dim En = n. Azt mondjuk, hogy az (En ) ⊂ H01 sorozat s¶r¶ H01 -ben, ha ∀ε > 0 és ∀u ∈ H01 esetén létezik olyan N = N (ε, u) ∈ N+ , hogy
min ||u − vn || ≤ ε
vn ∈En
∀n ≥ N,
(2.1.18)
vagyis az En sorozat a dimenzió növelésével mintegy kitölti a H01 teret. Ennek megfelel®en válasszunk meg két sorozatot: Vn legyen s¶r¶ V -ben, és Sn legyen s¶r¶ H01 -ben. Vn sorozatot a tesztel® függvények terének, míg Sn sorozatot a próbafüggvények terének nevezik. Legyen a Vn tesztel® függvények terének bázisa {φj }nj=1 , amely a Galjorkin-módszer esetén megegyezik a próbafüggvények terének bázisával, vagyis Vn = Sn = span{φ1 , φ2 , φ3 , . . . , φn }. Ekkor az un ∈ Vn közelíthet® az
un =
n X
yj φj
(2.1.19)
yj ∈ R
j=1
alakban. Vagyis a feladatunk mindössze az yj együtthatók meghatározása. Ezek után megfogalmazható (2.1.7) variációs feladat helyett a következ®: Keresett olyan un ∈ Vn függvény, amellyel (2.1.20)
a(un , vn ) = Φ(vn ) minden vn ∈ Vn -re.
A Galjorkin-módszert®l úgy juthatunk el a végeselem módszerhez, ha Vn bázisának speciálisan szakaszonként lineáris függvényeket választunk meg. El®ször de niáljunk egy ekvidisztáns rácshálót a (0, 1) intervallumon a következ®képpen:
0 = x0 < x1 < x2 < . . . < xN = 1, vagyis xi := ih és h := N1 . A {φi }ni=1 bázisfüggvények legyenek olyan kompakt tartójú függvények, amelyek teljesítik a
1 ≤ i, j ≤ n
φi (xj ) = δij feltételeket, és
φi (x) :=
0, / [xi−1 , xi+1 ], x∈ i 1 − x−x , x ∈ [xi−1 , xi+1 ], h 16
i = 1, 2, . . . , n.
(2.1.21)
Ezeket a szakaszonként lineáris függvényeket kalapfüggvényeknek is hívják. Ezek alkotják a lineáris spline-ok bázisát. A δij függvényeket ún. Kronecker-delta1 függvényeknek nevezik, amelyre 1, ha i = j δij = 0, ha i 6= j.
1A
függvényt Leopold Kronecker (1823-1891) német matematikusról nevezték el.
17
(2.1.22)
3. fejezet A konvekciós-diúziós egyenletekr®l 3.1.
A kis
ε
problémája
A dolgozat utolsó fejezeteiben az egydimenziós
Au := −εu00 + au0 + bu = f
u(0) = u(1) = 0
(3.1.1)
konvekciós-diúziós feladatot fogjuk vizsgálni, ahol 0 < ε 1, és A : H01 → H01 . Az a, b és f legyenek folytonos függvények, amelyekre a1 ≥ a(x) ≥ a0 > 0 és b1 ≥ b(x) > 0. Az ε paraméter mutatja, hogy ebben az esetben a konvekció dominál a diúzió felett, és ennek több érdekes következménye is van, amelyekre a továbbiakban kitérünk.
3.2.
Szinguláris perturbáció
A matematikában gyakoriak az olyan problémák, ahol nem tudjuk kiszámítani a pontos megoldást, mert a feladat nem oldható meg egzakt módon. Ha mégis megkapható a pontos megoldás, akkor ez az eredmény tipikusan csak nagyon bonyolult módon érhet® el. Ilyen esetekben igyekszünk a pontos megoldás helyett közelít® megoldást találni. A perturbációelmélet olyan módszerek vizsgálatával foglalkozik, amelyek segítségével az egzakt módon nem megoldható problémákra közelít® megoldást tudunk adni az au0 + bu = f megoldható probléma pontos megoldásából kiindulva. A perturbációelmélet során egy olyan kifejezést kapunk a keresett megoldásra, amely a kis ε paraméter hatványsorának (az ún. perturbációsorozat) tagjaiból áll. A hatványsor els® tagja a megoldható probléma megoldása, míg a többi tag leírja az els® tag eltérését a megoldástól. Tehát az A operátor közelítése felírható 18
A = A0 + A1 ε + . . . + An εn + . . . alakban, ahol A0 a megoldható feladat operátora, A1 , A2 . . . pedig a magasabb rend¶ tagokat reprezentálják, amelyek iteratív módon határozhatók meg. Kis ε érték esetén a sorozat magasabb rend¶ tagjai nagyon kicsik, ezért általában elhagyhatjuk ®ket. A közelít® perturbációs megoldást a hatványsor els® két tagjából szokásos meghatározni, így a közelítés felírható
A ≈ A0 + εA1 alakban. A perturbációelméleten belül reguláris perturbációnak nevezzük azt, amikor a kis ε paraméter hatása kicsi, vagyis a feladat egy közelít® megoldását megkaphatjuk az ε paraméter nullára állításával. Ezzel szemben a szingulárisan perturbált feladatok esetén ezt nem tehetjük meg, azaz a megoldás ε → 0 esetén nem közelíthet® aszimptotikus sorbafejtéssel.
3.3.
A határréteg megjelenése
Tekintsük újra a (3.1.1)
−εu00 + au0 + bu = f, u(0) = 0,
0<x<1
u(1) = 0
peremérték-feladatot. Tegyük fel, hogy 0 < ε 1, és vizsgáljuk meg az a 6= 0 esetet. Ilyenkor a megoldásnak ún. határrétege van az x = 0 vagy az x = 1 pontban attól függ®en, hogy ε értéke pozitív vagy negatív. Az a = 0 esetben a feladat megoldásának az x = 0 és az x = 1 pontban is határrétege van. A határréteg kialakulásának oka a kis ε paraméter hatása, ugyanis ebben az esetben a −εu00 tag olyan kicsi, hogy majdhogynem elt¶nik. Ekkor a feladat a megadott feltételekkel már túlde niált, és a két peremfeltételnek eleget téve alakul ki a megoldásban a határréteg. Az u(0) = 0 és u(1) = 0 peremfeltételek esetén gyeljük meg, hogy a megoldásnak az x = 0 és az x = 1 pontban is nulla értéket kell felvennie. A megoldás tehát a nullából indulva monoton n® mindaddig, amíg az intervallum végére érve a másik feltételnek is eleget kell tennie, így a pontos megoldás az u(1) = 0 peremfeltétel hatására az x = 1 pontban visszatér a nullába (lásd 4. fejezet 3. ábra).
19
3.4.
Rácsháló-konstrukció
Az utóbbi id®ben egyre nagyobb gyelem övezi az olyan határréteget tartalmazó feladatok, mint a
−εu00 + au0 + bu = f, u(0) = 0,
0<x<1
u(1) = 0
konvekciós-diúziós feladat megoldásához történ® rácshálók megkonstruálását és elemzését. Az ilyen típusú egyenleteket úgy is tekinthetjük, mint a NavierStokes-egyenletek1 linearizált alakját. Navier és Stokes adtak a uid mozgásokat leíró egyenletek konvergenciájára egy struktúrát, amely jellemz®en ||u − uˆ||∞ ≤ Chk (3.4.1) alakban írható fel, ahol a C konstans függ u bizonyos deriváltjaitól, és végtelenhez tart, ha a kis ε perturbációs paraméterrel nullához tartunk. Ezért szükségünk van olyan numerikusan stabil módszerekre, amelyek esetén a numerikus költségek függetlenek az ε perturbációs paramétert®l.
3.4.1. De níció. (Stabil konvergencia)
Legyen uε a szingulárisan perturbált feladat pontos megoldása, u ˆε pedig egy N szabadságfokú numerikus módszerrel kiszámított közelít® megoldás. Azt mondjuk, hogy a módszer stabilan konvergens a ||.||∞ normában, ha
||uε − uˆε ||∞ ≤ ϑ(N )
N ≥ N0 − ra,
ahol a ϑ függvény és az N0 > 0 küszöbérték függetlenek ε-tól, és
lim ϑ(N ) = 0.
N →∞
3.4.1.
Háló-konstrukciók
A szingulárisan perturbált peremérték-feladatok megoldásához alkalmazható hálók használatára el®ször Bakhvalov tett javaslatot 1969-ben egy reakciós-diúziós egyenlet kapcsán [2]. Az 1970-es évek végén és az 1980-as évek elején többen is vizsgáltak a konvekciós-diúziós egyenletekre alkalmazható speciális hálókat. A cél az egyenletes konvergencia biztosítása 1 Claude
Louis Navier (1785-1836) francia mérnök és zikus olyan mechanikai problémák matematikai leírásával foglalkozott mint például a rugalmasság elmélete. Sir George Gabriel Stokes (1819-1903) ír matematikus, zikus, politikus és teológus egész karrierjét a Cambridge-i egyetemen töltötte mint matematikaprofesszor. A NavierStokes-egyenletek olyan uid anyagok mozgását modellezik, mint a víz áramlása egy cs®ben, a leveg® mozgása a repül®gép szárnya körül, vagy az óceáni áramlatok.
20
volt. A terület kutatása akkor élénkült fel, amikor Shishkin megkonstruálta a speciális, szakaszonként ekvidisztáns hálót. Egyszer¶ struktúrájának köszönhet®en a Shishkin-hálót jóval könnyebb vizsgálni mint más rácshálókat, jóllehet gyengébb numerikus megoldással szolgál, mint más hálók. A rétegre illeszked® hálókról az itt leírtaknál [13] jóval b®vebb leírást ad. A következ®kben megnézzük, hogyan konstruálható meg a Bakhvalov-, illetve a Shishkinháló.
3.4.2. De níció.
Legyen ϕ : [0, 1] → [0, 1] szigorúan monoton függvény, és legyen ξ ekvidisztáns felosztású rácsháló. A ϕ függvényt hálógeneráló függvénynek nevezzük, ha a ξ ekvidisztáns hálót ún. rétegre illeszked® ráccsá alakítja az x-tengelyen úgy, hogy x = ϕ(ξ) minden x-re.
3.4.2.
Bakhvalov-háló
Legyen ξ ekvidisztáns felosztású rács, és ϕ : [0, 1] → [0, 1] hálógeneráló függvény. Illesszük az y tengelyre a ξ rácsot, és vetítsük a rácspontokat a ϕ(ξ) függvény segítségével az x-tengelyre. Ekkor az x = 0 közelében található xi rácspontok meghatározhatók a
i b1 x i = ξi = q 1 − exp − σε N
i = 1, 2, . . .
képlettel, ahol q ∈ (0, 1) egy arányparaméter, σ > 0 pedig adott hálóparaméter. Az x = 0 ponttól távolabb egy ún. τ hálóátmeneti pontot használunk, amelynek segítségével a hálógeneráló függvény folytonos lesz, és
ϕ(ξ) =
χ(ξ) := − σε ln(1 − qξ ), ha ξ ∈ [0, τ ], b1 0 π(ξ) := χ(τ ) + χ (τ )(ξ − τ ), ha ξ ∈ [τ, 1],
(3.4.2)
ahol a τ pontra teljesül, hogy
χ0 (τ ) =
1 − χ(τ ) . 1−τ
A Bakhvalov-háló generáló függvényét, és az elkészült Bakhvalov-hálót ábrázolja az 1. ábra.
21
1. ábra: a hálógeneráló függvény (balra), és a megkonstruált Bakhvalov-háló (jobbra)
3.4.3.
Shishkin-háló
Egy másik nagyon elterjedt hálótípus a Shishkin-háló, amely szakaszonként ekvidisztáns. Konstruáljunk meg egy Shishkin-hálót a (3.1.1) peremérték-feladathoz a következ®képpen. Legyenek q ∈ (0, 1) és σ > 0 adott hálóparaméterek, és legyen λ az a hálóátmeneti pont, amelyre σε λ = min q, ln N . b1 Ezután a [0, λ] és [λ, 1] intervallumokat osszuk fel qN illetve (1−q)N darab részintervallumra (lásd 2. ábra).
2. ábra: a Shishkin-háló: a hálógeneráló függvény (balra), és a megkonstruált háló (jobbra) 22
4. fejezet Az egydimenziós konvekciós-diúziós feladat numerikus megoldásának különös tulajdonsága Jelen fejezet Niall Madden és Martin Stynes dolgozatát hivatott bemutatni [14]. Q. S. Song, G. Yin és Z. Zhang [16]-ben írnak az egydimenziós konvekciós-diúziós feladatok numerikus megoldásának egy gyelemre méltó tulajdonságáról. Ebben a fejezetben mi is bemutatjuk a jelenséget néhány ábrával illusztrálva, majd a cikk segítségével megmutatjuk a tulajdonság egy egyszer¶, elemi úton történ® bizonyítását.
4.1.
A probléma és az oszcillációs jelenség
Tekintsük a következ® kétpontos peremérték-problémát a (0, 1) intervallumon:
−εu00 + au0 + bu = f
u(0) = u(1) = 0,
(4.1.1)
ahol az ε paraméterre igaz, hogy 0 < ε 1, míg a, b ∈ C[0, 1], és a > 0, b ≥ 0. Az ilyen feladatok megoldására jellemz®, hogy az x = 1 ponttól távol jól viselkedik, de az x = 1 közelében gyorsan változik, és a megoldásnak határrétege van az x = 1 pontban. Szorozzuk meg a (4.1.1) egyenletet egy tetsz®leges v ∈ H01 (0, 1) teszfüggvénnyel, és írjuk át az alábbi gyenge alakba: Z 1 Z 1 0 0 0 [εu (x)v (x) + a(x)u (x)v(x) + b(x)u(x)v(x)]dx = f (x)v(x)dx, (4.1.2) 0
0
ahol u ∈ H01 (0, 1), és (4.1.2) igaz ∀v ∈ H01 (0, 1) esetén. 23
Vezessünk be egy 0 = x0 < x1 < x2 < . . . < xN = 1 ekvidisztáns felosztású rácshálót, ahol xi := ih és h := N1 , valamint a φi ∈ H01 (0, 1) (i = 1, 2, . . . , N − 1) szakaszonként lineáris kalapfüggvényeket, amelykre a φi (xj ) = δij feltételek teljesülnek, és 0, / [xi−1 , xi+1 ], x∈ φi (x) := i = 1, 2, . . . , N − 1. (4.1.3) i 1 − x−x , x ∈ [xi−1 , xi+1 ], h Legyen Vh ⊂ H01 a tesztel® függvények tere, és legyen Vh = span{φ1 , φ2 , φ3 , . . . , φN −1 }, ugyanis a homogén peremfeltétel miatt az x0 = 0 és az xN = 1 pontokhoz tartozó bázisfüggvények elhagyhatók. Ekkor az uh ∈ Vh közelít® megoldás felírható az alábbi (i = 1, 2, . . . , N −1) diszkretizációval: 1
Z
[εu0h (x)φ0i (x)
+
ai u0h (x)φi (x)
Z + bi uh (x)φi (x)]dx =
1
f (x)φi (x)dx.
(4.1.4)
0
0
Legyen N ε−1 ; megoldva a peremérték-problémát a fent bevezetett rácshálón, eredményül egy pontatlan, oszcilláló megoldást kapunk. Ez a hamis oszcilláció mutatja, mi történik, ha durva felosztású rácshálón alkalmazzuk a Galjorkin-módszert egy konvekciós-diúziós probléma megoldására. [16] szerz®i módosították ezt a rácsot egy önkényesen megválasztott rácspont hozzávételével, amelyet abban az intervallumban helyeztek el, ahol a határréteg található. Újra alkalmazva a Galjorkin-módszert, több új, módosított rácsháló esetén is elvégezték a számítást. Ezekben az esetekben az oszcilláció ugyan csökkent, de az új közelít® megoldások nem voltak szigni kánsan jobbak az eredeti rácshálón kiszámított megoldásnál. Ezért egy új ötletet alkalmaztak: egymásra illesztették az összes közelít® megoldást. Észrevették, hogy bár a rezgések nagyban eltérnek, a különböz® megoldások minden egyes (h, 2h), (2h, 3h), . . . , (1 − 2h, 1 − h) intervallumban metszik egymást egy-egy közös pontban. További numerikus kísérletek meger®sítik ezt a tényt: amikor új rácspontot veszünk hozzá a (1 − h, 1) intervallumhoz, akkor minden közelít® megoldás átmegy ugyanazokon a metszéspontokon minden egyes intervallumban h és 1 − h között. Ha megváltoztatjuk N -t vagy ε-t (N ε−1 továbbra is teljesül) és egy másik tesztfeladaton tekintjük a (4.1.1) alakot, a közelít® megoldások oszcilláló viselkedése minden egyes esetben változatlanul megismétl®dik.
4.1.1.
A jelenség bemutatása egy példán
Vizsgáljuk meg ezt a hamis oszcillációt a következ®, [14] dolgozatban is ismertetett példán keresztül.
24
Legyen ε = 5 × 10−3 , és oldjuk meg a (0, 1) intervallumon a
−εu00 + u0 = x
u(0) = u(1) = 0,
(4.1.5)
peremérték-feladatot. A (4.1.5) példafeladat pontos megoldását a 3. ábra illusztrálja.
3. ábra Látható, hogy a megoldásnak az x = 1-ben határrétege van. Osszuk fel a (0, 1) intervallumot ekvidisztánsan tíz részintervallumra, legyen h = 0.1. Ekkor a Galjorkin-módszerrel kiszámított numerikus megoldás viselkedése a 4. ábrán jól látható: megjelenik a hamis oszcilláció.
25
4. ábra Most vegyük hozzá a (0.9, 1) részintervallumhoz a 0.92 tetsz®legesen megválasztott rácspontot, és számítsuk ki a (4.1.5) feladat Galjorkin-megoldását ezen az új rácson.
5. ábra Az el®z® lépéshez hasonlóan, illesszük be önkényesen a 0.95 rácspontot a (0.9, 1) részintervallumba. 26
6. ábra Az oszcilláció ugyan csillapodott, de a két új numerikus megoldás nem lett sokkal pontosabb az els®nél. Q. S. Song, G. Yin és Z. Zhang ötletét felhasználva illesszük egymásra az eddig megkapott Galjorkin-megoldásokat.
7. ábra A különböz® numerikus megoldások esetén az oszcillációk megehet®sen különböznek, ennek ellenére mindegyik megoldás áthalad azokon a xpontokon, amelyek minden egyes 27
(0.1, 0.2), (0.2, 0.3), . . . , (0.8, 0.9) intervallumban megjelennek. Ha ehhez még hozzávesszük a pontos megoldást is, akkor a következ®t kapjuk:
8. ábra A 8. ábrán egyértelm¶en látszik, hogy a numerikus megoldások metszéspontjai igen jól közelítik a (4.1.5) egyenlet pontos megoldását. A kérdés most már csak az : miért történik ez?
4.2.
Elméleti magyarázat
[16]-ben egy teljes elméleti magyarázat található, amely a konstans a és b ≡ 0 speciális esettel foglalkozik (ennek ellenére a bizonyítás vonatkoztatható az általános (4.1.1) esetre is). A szerz®k a bizonyításban értelmezik a közös metszéspontok megjelenését, és ezen metszéspontoknak a valódi megoldáshoz való viszonyát. Mi ehelyett megnézünk egy sokkal egyszer¶bb és rövidebb bizonyítást, ami magyarázatot ad az 7. és 8. ábrára általános a, b ∈ C[0, 1] esetben, és megmutatja azt az alapvet® okot, ami miatt az ábrákon látható jelenség felbukkan. Oldjuk meg a (4.1.1) egyenletet egy N részintervallumból álló ekvidisztáns (h = N1 ) rácshálón a szakaszonként lineáris Galjorkin-módszerrel, és legyen N ε−1 . Jelöljük a Galjorkinmódszerrel kiszámított megoldást uh ∈ C[0, 1]-val. Ekkor N ε−1 miatt a határréteg az u valódi megoldás esetén az (1 − h, 1) intervallumon belül van. Ezután vezessünk be egy 28
(vagy több) új, önkényesen választott rácspontot az (1 − h, 1) intervallumban. Jelölje u ˆh a Galjorkin-módszerrel kiszámított megoldást ezen a módosított rácshálón. Az elemzés kulcsötlete, hogy mivel uh és u ˆh megoldások ugyanazon a rácshálón lettek kiszámolva a [0, 1 − h]-n, elég csak a [0, 1 − h]-n összehasonlítanunk ®ket, és nem kell az egész [0, 1] intervallumon. Figyeljük meg, hogy az uh megoldás a
−εv 00 + av 0 + bv = f
v(0) = v(1 − h) = uh (1 − h),
kétpontos peremérték-probléma Galjorkin-módszerrel kiszámított megoldása a (0, 1 − h) intervallumon, az u ˆh megoldás pedig a
−εw00 + aw0 + bw = f
w(0) = w(1 − h) = uˆh (1 − h),
kétpontos peremérték-probléma Galjorkin-módszerrel kiszámított megoldása a (0, 1 − h) intervallumon. Következésképpen az uh − u ˆh különbség a
−εz 00 + az 0 + bz = 0
z(0) = z(1 − h) = uh (1 − h) − uˆh (1 − h),
(4.2.1)
kétpontos peremérték-probléma Galjorkin-módszerrel kiszámított megoldása a (0, 1 − h) intervallumon. A 4.2.2 Lemma segítségével belátjuk, hogy a
−εζ 00 + aζ 0 + bζ = 0
ζ(0) = 0,
ζ(1 − h) = 1
(4.2.2)
kétpontos peremérték-probléma (0, 1 − h)-n vett Galjorkin-megoldása a nulla körül oszcillál, ha a feladatot h-hosszú intervallumokra felosztott ekvidisztáns rácshálón oldjuk meg. Azt tapasztaljuk, hogy a kiszámított megoldás minden egyes (h, 2h), (2h, 3h), . . . , (1−2h, 1− h) intervallumban pontosan egy pontban egyenl® nullával, a többi (0, 1 − h]-n vett pontban pedig nullától különböz®. Ez a jelenség látható a 9. ábrán.
29
9. ábra Jelölje ζ2 , ζ3 , . . . , ζN −1 a (4.2.2) egyenlet Galjorkin-módszerrel kiszámított megoldásának zérushelyeit, ahol (j − 1)h < ζj < jh minden j -re.
4.2.1. Megjegyzés.
A (4.2.1) egyenlet Galjorkin-megoldása konstansszorosa a (4.2.2) egyenlet Galjorkin-megoldásának, mégpedig [uh (1 − h) − u ˆh (1 − h)]-szerese.
Vagyis a (4.2.1) egyenlet Galjorkin-megoldása a ζ2 , ζ3 , . . . ζN −1 pontokban szintén zérus. Azaz minden j -re uh (ζj ) = u ˆh (ζj ), ami azt jelenti, hogy mind a (4.2.1) egyenlet Galjorkinmegoldása, mind a (4.2.2) egyenlet Galjorkin-megoldása átmegy minden egyes ζj -n; és mivel ζj -k a (4.2.2) egyenlet zérushelyei, így függetlenek attól, hogy az (1 − h, 1) intervallumban felveszünk-e új rácspontokat, vagy sem. Tehát, ha az x0 = 0, x1 = h, x2 = 2h, . . . , xN = 1 ekvidisztáns rácshálót több esetben módosítjuk a (1 − h, 1) intervallumba való új pont vagy pontok felvételével, és kiszámítjuk ezen rácsokon a Galjorkin-megoldásokat, azt fogjuk tapasztalni, hogy a (4.1.1) egyenlet minden Galjorkin-megoldása keresztülmegy a ζj xpontokon (minden j = 2, 3, . . . , N − 1-re). Így a 7. ábra jelenségét beláttuk.
4.2.2. Lemma. Tekintsük a (4.2.2) kétpontos peremérték-problémát. Bontsuk fel a [0, 1−h] intervallumot h szélesség¶ részintervallumokra, és tegyük fel, hogy min h∈[0,1]
a hb ε − − > 0. 2 6 h
(4.2.3)
Ekkor a (4.2.2) egyenlet Galjorkin-megoldása a nulla körül oszcillál olyan értelemben, hogy a kiszámított megoldás minden egyes (h, 2h), (2h, 3h), . . . , (1 − 2h, 1 − h) intervallumban 30
pontosan egy pontban egyenl® nullával, különben pedig nullától különböz® értéket vesz fel a (0, 1 − h] intervallumon.
Bizonyítás.
Jelölje g ∈ C[0, 1 − h] a (4.2.2) egyenlet Galjorkin-megoldását a megadott rácshálón. A (4.1.4) végeselem-diszkretizációból következik, hogy a (0, 1 − h] intervallum h-széles alintervallumokra való felosztása után a következ® dierenciaséma de niálja a g megoldás csomóponti értékeit:
−
ai (gi+1 − gi−1 ) bi ε + (gi+1 + 4gi + gi−1 ) = 0, (g − 2g + g ) + i+1 i i−1 h2 2h 6
(4.2.4)
ahol i = 1, . . . , N − 2; g0 = 0, gN −1 = 1, és gj := g(jh) minden j -re. Ezt a sémát átírhatjuk a következ® alakba: ai bi ε ε bi 4bi 2ε ai + − 2 gi+1 + + 2 gi + − − 2 + gi−1 = 0 2h 6 h 6 h 2h h 6
(4.2.5)
minden i = 1, . . . , N − 2-re. A 4.2.2 Lemma biztosítja, hogy gi+1 és gi pozitívak, gi−1 pedig negatív. Figyeljük meg el®ször is, hogy a dierenciaséma megoldásában g1 nem lehet nulla, ugyanis a (4.2.5) dierenciasémába i = 1-et beírva kapjuk g2 = 0-t, és ezt továbbgondolva oda jutunk, hogy gN −1 = 0, ami hamis. Vagyis g1 6= 0 kell, hogy legyen. Amennyiben g1 > 0, legyen i = 1 a (4.2.5) egyenletben. Az együtthatókat gyelembe véve, és g0 -t nullára beállítva láthatjuk, hogy g2 < 0. Hasonlóan, a g1 < 0 eset következménye az lesz, hogy g2 > 0. Ilyen módon minden esetben g1 g2 < 0-t kapunk. Ezek után folytathatjuk az indukciót, felhasználva a (4.2.5) egyenletet az i = 1, 2, . . . , N − 2 esetekre. Így kapjuk, hogy gi gi+1 < 0 minden i-re. Vagyis a g megoldás valóban a nulla körül oszcillál, mégpedig úgy, hogy minden (h, 2h), (2h, 3h), . . . , (1 − 2h, 1 − h) intervallumban pontosan egy pontban egyenl® nullával.
4.2.3. Megjegyzés.
A 4.2.2 Lemma egyenl®tlenség mindössze azt állítja, hogy h elég kicsi ) és hogy ε relatíve kicsi h -hoz képest. Emiatt a 4.2.2 (vagyis jóval nagyobb, mint hb 6 Lemma egyenl®tlenség a gyakrolatban csak egy nagyon gyenge megszorítás a rácshálóra. a 2
Ezzel tehát igazoltuk a különböz® megoldások pontosságát a metsz® xpontokban (a jelenséget lásd a 8. ábrán).
31
4.2.1.
Konvergenciavizsgálat
4.2.4. Tétel. Osszuk fel újra a [0, 1] intervallumot h-hosszú intervallumokra ekvidisztánsan.
Tegyük fel, hogy h ≥ ε| ln ε| és ez kielégíti a 4.2.2 Lemma egyenl®tlenséget. Ekkor az (4.1.1) peremérték-feladat uh -val jelölt szakaszonként lineáris Galjorkin-megoldása kielégíti a következ®t: |u(ζi ) − uh (ζi )| ≤ Ch2
i = 2, 3, . . . , N − 1,
(4.2.6)
ahol a C konstans független ε-tól és h-tól.
Bizonyítás.
Mivel h ≥ ε| ln ε|, beszúrhatunk extra rácspontokat az (1−h, 1) intervallumba annak érdekében, hogy egy Bakhvalov-hálót konstruáljunk az (4.1.1) egyenlethez. Bizonyos leírásokban megtalálható a b ≡ 0 eset bizonyítása, és megmutatható, hogy az eredmények kiterjeszthet®ek a b ≥ 0 esetre is. Ezekben a dokumentumokban a szakaszonként folytonos, uB -vel jelölt Galjorkin-megoldás, amelyet egy a Bakhvalov-rácshálón számítottak ki, kielégíti a max[0,1] |u(x)−uB (x)| ≤ Ch2 egyenl®tlenséget valamely C konstansra. Vagyis ez azt jelenti, hogy |u(ζi ) − uB (ζi )| ≤ Ch2 minden i-re (mivel a (4.2.3) egyenl®tlenség igaz, a 4.2.2 Lemma érvényes, ebben az estben pedig a ζi -k jól de niáltak). És mivel korábban már láttuk, hogy u(ζi ) = uB (ζi ) minden i-re, így készen vagyunk.
4.3.
Numerikus eredmények
Niall Madden és Martin Stynes elkészítettek egy algoritmust a (4.1.1) egyenlet megoldásának egy pontos közelítésének megtalálására, amelyhez az oszcilláló Galjorkin-megoldásokat használták fel. Az algoritmus a következ®.
1. lépés:
Számítsuk ki a (4.1.4) egyenlet Galjorkin-megoldását egy ekvidisztáns rácshálón, ami N intervallumot tartalmaz, és az intervallumok hossza h = N1 . Jelöljük ezt a megoldást uh -val.
2. lépés: Számítsuk ki a (4.2.2) egyenlet Galjorkin-megoldását, amelyet jelöljünk ζh -val. 3. lépés: Legyenek ζ2 , ζ3 , . . . , ζN −1 a ζh (x) Galjorkin-megoldás zérushelyei a (h, 1 − h) intervallumban. Minden ζi -re felírható, hogy
ζi =
xi−1 ζ(xi )) − xi ζ(xi−1 ) ζ(xi ) − ζ(xi−1 )
i = 2, 3, . . . , N − 1.
(4.3.1)
Az algoritmus visszatérési értéke: {uh (0), uh (ζ2 ), uh (ζ3 ), . . . , uh (ζN −1 ), uh (1)}. 32
(4.3.2)
4.3.1.
Hibaszámítás a példafeladaton
Tekintsük újra a
−εu00 + u0 = x
(4.3.3)
u(0) = u(1) = 0,
peremérték-feladatot, ahol ε = 5 × 10−3 . Alkalmazzuk a fenti algoritmust erre a tesztproblémára. Látni fogjuk, hogy az eredményként kapott megoldás er®sen tekintetbe veszi ε-t, valamint konvergens, ahogyan azt a (4.2.4) Tétel kimondta. Valójában ekkor nem csak a kiszámított megoldás pontos másodrendben a ζi pontokban, hanem a hozzá tartozó szakaszonként lineáris interpolációs u ˜h polinom is pontonként másodrendben pontos (minden ζi -ben) a [0, ζN −1 ] intervallumon. Az alábbi táblázat mutatja a (4.3.4)
εN := ||u − u˜h ||L∞ [0,1−ζN −1 ] hiba mértékét különböz® ε és N értékek esetén.
A táblázat csak kis ε-ok esetén vizsgált hibákat tüntet fel, mivel abban az esetben, ha ε nagy, a numerikus megoldás nem oszcillál, következésképpen nem lehetne alkalmazni a fent leírt algoritmust. Látható, hogy a módszer másodrendben konvergens.
ε 10−6 10−7 10−8 10−9 10−10
N = 25 4.88e-04 4.88e-04 4.88e-04 4.88e-04 4.88e-04
N = 26 1.22e-04 1.22e-04 1.22e-04 1.22e-04 1.22e-04
N = 27 3.05e-05 3.05e-05 3.05e-05 3.05e-05 3.05e-05
33
N = 28 7.62e-06 7.63e-06 7.63e-06 7.63e-06 7.63e-06
N = 29 1.90e-06 1.91e-06 1.91e-06 1.91e-06 1.91e-06
N = 210 4.74e-07 4.77e-07 4.77e-07 4.77e-07 4.77e-07
Irodalomjegyzék [1] Slimane Adjerid, Mohammed Aia, Joseph E. Flaherty: Computational Methods for Singularly Perturbed Systems, Computational Research Center Rensselaer Polytechnic Institute, Troy
Towards optimization of methods for solving boundary value problems in the presence of boundary layers (1969)
[2] N.S.Bakhvalov:
[3] Faragó István: Véges elemek módszere elliptikus típusú miai Kiadó, Alkalmazott Matematikai Lapok (1982)
feladatok megoldására, Akadé-
[4] Faragó István: Véges elemek módszere lineáris, parabolikus típusú feladatok megoldására, Akadémiai Kiadó, Alkalmazott Matematikai Lapok (1985) [5] Faragó István, Horváth Róbert:
Numerikus módszerek, Typotex kiadó (2011)
[6] André Fortin, José M. Urquiza, Richard Bois: A mesh adaptation method for 1dboundary layer problems, International Journal of Numerical Analysis and Modeling, Vol 3, No.4 (2012), pp. 408428. [7] Stoyan Gisbert, Takó Galina:
Numerikus módszerek I., Typotex kiadó (1995)
[8] Stoyan Gisbert, Takó Galina:
Numerikus módszerek II., Typotex kiadó (1993)
[9] Járai Antal:
Modern alkalmazott analízis, Typotex kiadó (2007)
[10] Mohan K. Kadalbajoo, Puneet Arora: Fitted collocation method for convection-diusion problems with two small parameters, Indian Institute of Technology, Departement of Mathematics & Statistic (2012) [11] Karátson János: Numerikus funkcionálanalízis, ELTE, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék, Egyetemi jegyzet (2010) [12] Kurics Tamás: Bevezetés a funkcionálanalízisbe (Karátson János el®adásai alapján), ELTE, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék, Egyetemi jegyzet 34
[13] Torsten Linss: Layer-adapted meshes for convection-diusion problems, Institut für Numerische Mathematik, Technische Universität Dresden, habilitáció (2007)
A curious property of oscillatory FEM solutions of one-dimensional convection-diusion problems, Conference Applications of Mathema-
[14] Niall Madden, Martin Stynes: tics (2012) Prague [15] Jens M. Melenk: (2002)
Hp- nite element methods for singular perturbations, Springer kiadó
An ε-uniform nite element method for singularly perturbed two-point boundary value problems, International Journal of Numerical Analy-
[16] Q. S. Song, G. Yin, and Z. Zhang:
sis and Modeling, Vol 4, No.1 (2007), pp. 127140. [17] Jin Zhang:
A note of pointwise estimates on Shishkin meshes (2012)
35
Nyilatkozat Név: Ádám Johanna ELTE Természettudományi Kar, szak: ETR azonosító: ADJPAAT.ELTE Szakdolgozat címe:
Matematika BSc
Az egydimenziós konvekciós-diúziós egyenlet numerikus megoldása
A szakdolgozat szerz®jeként fegyelmi felel®sségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelel® idézés nélkül nem használtam fel.
Budapest, 2013. május 26.
..............................
a hallgató aláírása
36
