Szerkezetek numerikus modellezése az építőmérnöki gyakorlatban

„Szerkezetek numerikus modellezése az építőmérnöki gyakorlatban”

Kovács Imre

Szerkezetek numerikus modellezése az építőmérnöki gyakorlatban Kovács Imre intézetigazgató –helyettes, tanszékvezető, főiskolai docens a Magyar Építész Kamara tagja, a Magyar Mérnöki Kamara tagja a fib Nemzetközi Betonszövetség Magyar Tagozatának tagja az Építéstudományi Egyesület Debreceni Csoportjának titkára

„ Debreceni Egyetem Informatikai Intézet 2. Gyires Béla Informatikai Nap”

2004. május 14.

1


Kovács Imre

Az előadás felépítése • • • •

Építőmérnöki tevékenység és feladatkörei Mérnöki modellalkotás szintjei Modell kísérlettől a VEM-ig Differenciálegyenletek alkalmazása rúdszerkezetek stabilitásvizsgálatában • Véges differenciák módszere és alkalmazása lineárisan változó intenzitású normálerővel terhelt konzol esetében • VEM mint a tartószerkezeti tervezés mindennapi eszköze • Összefoglalás


2004. május 14.

2


Kovács Imre

Építőmérnöki tevékenység Szerkezetépítés

Közlekedésépítés

magasépítés,

út- és

mélyépítés

vasútépítés

Közműépítés vízellátás, csatornázás, szennyviztisztitás, vízépítés

Geotechnika

Geodézia

speciális alapozások, földalatti műtárgyak, alagutak

általános és ipari geodézia, térinformatika


2004. május 14.

3


Kovács Imre

Szerkezetépítési feladatok


2004. május 14.

4


Kovács Imre

Modellalkotás szintjei Numerikus szimuláció

Anyagjellemzők

lineáris, nem lineáris vizsgálat

homogén, inhomogén, izotróp, anizotrop lineárisan rugalmas, nem lineárisan rugalmas, képlékeny, viszkózus, reológiai jellemzők

Szerkezeti viselkedés Környezet

Mérethatás

terhek, hatások, tartóssági kérdések

„size effect”

Modell kísérlet

Mérnöki modell

valós léptékű nem valós léptékű

statika, szilárdságtan, rugalmasságtan, dinamika


2004. május 14.

5


Kovács Imre

Modell kísérlet Jelenség és tapasztalat

F

F

Dℓ F

Dℓ

F

F

d

d F F

D


D 2004. május 14.

6


Kovács Imre

Mérnöki modell I. Kompozit anyag alkotóelem viselkedéseinek modelljei

e em

p

Sm

Sf

Sm ft

Cm ft

e

Sf fy

e

Beton (Mátrix)

e

Cf fy

ef p

Acélszálak (Szálerősítés)

Lineárisan rugalmas – tökéletesen rideg anyag

Lineárisan rugalmas – tökéletesen képlékeny anyag „ Debreceni Egyetem Informatikai Intézet 2. Gyires Béla Informatikai Nap”

2004. május 14.

7


Kovács Imre

Mérnöki modell II. Kompozit anyag mechanikai modellje az alkotóelemek viselkedéseivel

S

e mp

e

Sf

Cm Cf

Sm

ft

ft

e fp

M

e „ Debreceni Egyetem Informatikai Intézet 2. Gyires Béla Informatikai Nap”

fy

fy

e

Anyagra jellemző paraméter 2004. május 14.

8


Kovács Imre

Mérnöki modell III. Kompozit anyag makroszkopikus és parciális feszültségeinek függvényei a mechanikai modell erőfolyama alapján

sm = Cm (e – em p) - M (em p – ef p) sf = Cf (e – ef p) + M (em p – ef p) S = Cm (e – em p) + Cf (e – ef p) „ Debreceni Egyetem Informatikai Intézet 2. Gyires Béla Informatikai Nap”

2004. május 14.

9


Kovács Imre

Mérnöki modell IV. Kompozit anyag makroszkopikus és parciális feszültségeinek függvényei a mechanikai modell erőfolyama alapján

S

K2 K0

fy

K1 Cm Cf


e 2004. május 14.

10


Kovács Imre

1-D Termodinamika Az általánosított (3-D) anyagmodell termodinamikai, energetikai alapja

e

Cm

e

em p

ft

ef p

M

Beton (Mátrix)

Cf fy

Kapcsolati modulus

Helmholtz féle energiafüggvény:

Y =

1 2

Cm ( e – e m

p )2

+

Clausius-Duhem egyenlőtlenség:

Acélszálak (Szálerősítés)

1 2

M ( em – ef p

p )2

+

1

2

C f ( e – e fp ) 2

j dt = S de – dY ≧0 → j dt = sm demp + sf defp


2004. május 14.

11


Kovács Imre

1-D Termodinamika Az M kapcsolati modulust a Maxwell szimmetria definiálja

Cm + Cf =

Cm = Cf =

M =

S

 2Y

=

e S

 emp S efp

  sm  efp

=

=

=

e2  sm e  sf e  sf 


emp

=

=

=

 2Y  e  emp  2Y  e  efp  2Y  emp  efp 2004. május 14.

12


Kovács Imre

3-D Termodinamika  VEM A termodinamikai, energetikai módszer segítségével az 1-D modell skalár paraméterei az általánosított 3-D modellben azok tenzoriális megfelelőivel azonosítjuk

S  sm

Y e

  C  C f  m

 p p e  C e  C e  m f m f 

Y   p p   C e  C  M e  M e   m p f e m m  m 

Y p   p sf    C e  M e m  C  M  e p e f f  f  f „ Debreceni Egyetem Informatikai Intézet 2. Gyires Béla Informatikai Nap”

2004. május 14.

13


Kovács Imre

Problémamegoldás Optimális, azaz gazdaságos megoldás keresése Szerkezet összetettsége Megoldhatóság Megoldási idő

Variálhatóság Megbízói igények

Numerikus módszerek alkalmazása „ Debreceni Egyetem Informatikai Intézet 2. Gyires Béla Informatikai Nap”

2004. május 14.

14


Kovács Imre

Megoldási módszerek Differenciálegyenletek  csak speciális területeken alkalmazott

Megoldási

 a numerikus megoldások sem kellően pontosak

idő

 „állatorvosi ló” típusú feladatokra alkalmazható

Véges differenciák módszere  felületszerkezetek esetén használható, korlátok között  a gyakorlati feladatok szintjén pontosnak tekinthető  egyedi problémákra alkalmas  nagy munkaigénnyel ad megoldást

VEM Probléma összetettsége

 általános érvényű módszer  a pontosság az elemszám és az elemtulajdonságok függvénye


2004. május 14.

15


Kovács Imre

Differenciálegyenlet I. Mindkét végén csuklósan megtámasztott síkbeli nyomott rúd kihajlása

F

x

F

Mx   EIy"

F

EIy"  Fy  0

y

x

y F

F

Mx

F


F k  EI 2

y" k y  0 2

2004. május 14.

16


Kovács Imre

Differenciálegyenlet II. Mindkét végén csuklósan megtámasztott síkbeli nyomott rúd kihajlása

F

x

F

y  Ke

F y

x

y F

F

Mx

mx

y'  mKe

mx

y"  m Ke 2

mx

F


2004. május 14.

17


Kovács Imre

Differenciálegyenlet III. Mindkét végén csuklósan megtámasztott síkbeli nyomott rúd kihajlása

F

x

F

y" k y  0 2

F y

x

y F

F

Ke Mx

F


mx

m

2



k 0 2

m  ik i   1 y  C1e  C2 e ikx

ikx

2004. május 14.

18


Kovács Imre

Differenciálegyenlet IV. Mindkét végén csuklósan megtámasztott síkbeli nyomott rúd kihajlása

F

x

F

F

e

 ikx

y

x

y F

Mx

 cos kx  i sin kx A  iC1  iC2 B  C1  C2

y  A sin kx  B cos kx F

F


2004. május 14.

19


Kovács Imre

Differenciálegyenlet V. Mindkét végén csuklósan megtámasztott síkbeli nyomott rúd kihajlása

F

x

F

1. Kerületi feltétel:

F

x0  0

y L

x

y F

Mx

B  0 y  A sin kx 2. Kerületi feltétel:

xL  L F

F


y0  0

yL  0

A sin kL  0 2004. május 14.

20


Kovács Imre

Differenciálegyenlet VI. Mindkét végén csuklósan megtámasztott síkbeli nyomott rúd kihajlása

F

x

F

Megoldások:

F

a)

y L

x

y F

F

Mx

F


A0

akkor k és F bármilyen értékű lehet a rúd egyenes marad (triviális meg.) b)

sin kL  0 2  EI

Fkrit 

2

L

2004. május 14.

21


Kovács Imre

Véges differenciák módszere I. Az ismeretlen függvénynek csak egyes előirt pontokban felvett értékeit határozzuk meg, közelítően. Ezen értékekből a differenciálegyenletben szereplő differenciálhányadosokat differenciahányadosokkal közelítjük. Keressünk közelítő összefüggést az f függvény egyik kitüntetett pontjában. A pontok távolsága dx. A függvényértéket Taylor-sorral közelítjük:

df d2 f f ( x  dx )  f ( x )  dx  2 dx x dx 2

df d f f ( x  dx )  f ( x )  ( dx )  2 dx x dx „ Debreceni Egyetem Informatikai Intézet 2. Gyires Béla Informatikai Nap”

x

dx 2 2!

( dx ) 2! x

2

2004. május 14.

22


Kovács Imre

Véges differenciák módszere II. Az ismeretlen függvénynek csak egyes előirt pontokban felvett értékeit határozzuk meg, közelítően. Ezen értékekből a differenciálegyenletben szereplő differenciálhányadosokat differenciahányadosokkal közelítjük. A két egyenlet különbségéből kapjuk az első derivált közelítését:

df f ( x  dx )  f ( x  dx )  dx x 2dx A két egyenlet összegéből pedig a második derivált közelítését:

d2 f 2 dx

x

f ( x  dx )  2 f ( x )  f ( x  dx )  2 ( dx )


2004. május 14.

23


Kovács Imre

Véges differenciák módszere III. Lineárisan változó intenzitású normálerővel terhelt konzol vizsgálata

p(x) = ax

EA = konst. (szerkezetre jellemző állandó) x, u

Három valódi és egy fiktiv pont felvételével:

0

1

2

3 x, u


2004. május 14.

24


Kovács Imre

Véges differenciák módszere IV. Lineárisan változó intenzitású normálerővel terhelt konzol vizsgálata

0

u0  0

1

 u1  2

2

u2  

3

3 u3  2

x, u

Differenciaegyenlet az 1. pontra felírva: Differenciaegyenlet a 2. pontra felírva:

u2  2u1  u0 a(  / 2 ) u1  2u2  u3 a     2 2 ( / 2) EA ( / 2) EA „ Debreceni Egyetem Informatikai Intézet 2. Gyires Béla Informatikai Nap”

2004. május 14.

25


Kovács Imre

Véges differenciák módszere IV. Lineárisan változó intenzitású normálerővel terhelt konzol vizsgálata Figyelembe véve a peremfeltételeket az alábbi lineáris egyenletrendszerre és megoldására jutunk:

 2  1 u1  a 3 EA     8  1 2  u2  3

 1 2   

3

a u1  4 EA

11a u1, pontos  48 EA

3a 3 u2  8 EA

a 3 u2 , pontos  3 EA


Eltérés: + 9%

Eltérés: + 12,5% 2004. május 14.

26


Kovács Imre

Végeselem módszer gyakorlati alkalmazása I.


2004. május 14.

27


Kovács Imre

Végeselem módszer gyakorlati alkalmazása II.


2004. május 14.

28


Kovács Imre

Végeselem módszer gyakorlati alkalmazása III.


2004. május 14.

29


Kovács Imre

Összefoglalás • • • •

Modell kísérlet Mérnöki modellalkotás Numerikus modellalkotás Problémamegoldási módszerek és szintek Differenciálegyenletek Véges differenciák módszere Végeselem módszer gyakorlati alkalmazása • Távlati tervek


2004. május 14.

30


Kovács Imre

Szerkezetek numerikus modellezése az építőmérnöki gyakorlatban Kovács Imre intézetigazgató –helyettes, tanszékvezető, főiskolai docens a Magyar Építész Kamara tagja, a Magyar Mérnöki Kamara tagja a fib Nemzetközi Betonszövetség Magyar Tagozatának tagja az Építéstudományi Egyesület Debreceni Csoportjának titkára


2004. május 14.

31

Szerkezetek numerikus modellezése az építőmérnöki gyakorlatban

Recommend Documents