ANALISIS TEORI GRUP UNTUK SEMIKONDUKTOR SILIKON BERSIMETRI Oh BAYTI NURJANATI

ANALISIS TEORI GRUP UNTUK SEMIKONDUKTOR SILIKON BERSIMETRI Oh

BAYTI NURJANATI

DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Teori Grup untuk Semikonduktor Silikon Bersimetri Oh adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2016 Bayti Nurjanati NIM G74120004

ABSTRAK BAYTI NURJANATI. Analisis Teori Grup untuk Semikonduktor Silikon Bersimetri Oh. Dibimbing oleh HENDRADI HARDHIENATA dan HUSIN ALATAS. Dalam penelitian ini tensor rank empat dari material bersimetri tinggi dianalisis menggunakan teori grup. Dari hasil transformasi koordinat kartesian didapatkan nilai elemen dari rotasi dua dimensi terhadap sumbu x, y, dan z. Sedangkan melalui rotasi Rodrigues telah didapatkan nilai elemen rotasi yang bersifat tiga dimensi. Melalui transformasi tensor rank empat terhadap masingmasing elemen dari kelas grup Oh, maka didapatkan tensor rank empat dari grup Oh. Tensor rank empat dari grup Oh silikon menghasilkan maksimal empat komponen independen untuk frekuensi medan listrik yang hampir sama dengan frekuensi alamiah bulk silikon. Apabila digunakan simetri Kleinman ketika frekuensi medan listrik masukan yang jauh lebih kecil daripada frekuensi alamiah dari bulk silikon, maka keempat komponen independen akan tereduksi menjadi dua komponen independen. Dengan demikian, efek polarisasi nonlinier yang terkait dengan tensor rank empat dari material bersimetri Oh seperti generasi harmonik ketiga dan efek radiasi kuadrupolar dari dalam bahan (bulk) semikonduktor seperti silikon dapat dijelaskan oleh dua variabel independen saja.

Kata kunci: grup Oh, pencerminan, rotasi, teori grup, transformasi.

ABSTRACT BAYTI NURJANATI. Analysis of Group Theory for Silicon Semiconductor Symmetrical Oh. Supervised by HENDRADI HARDHIENATA and HUSIN ALATAS. In this research fourth rank tensor from high symmetrical material analyzed using group theory. From cartesian coordinate transformation, we have found element value from two dimensional rotation toward x, y, and z- axes. In the other side, Rodrigues rotation has found three dimensional rotation element value. From fourth rank tensor transformation, on each element from Oh group, we can find fourth rank tensor from Oh group. Fourth rank tensor from Oh group of silicon has at most four independent component for electric field frequency almost have same value with natural frequency of bulk silicon. But, using Kleinman symmetry when the input of electric field frequency is smaller than natural frequency of bulk silicon, then four independent component could be reduced to two independent component. Thus the nonlinear polarization effect are associated with fourth rank tensor from Oh symmetrical material, such as third harmonic generation or quadrupolar radiation effect from bulk semiconductor, such as silicon can be explained by two independent variable alone. Keywords: group theory, Oh group, reflection, rotation, transformation

ANALISIS TEORI GRUP UNTUK SEMIKONDUKTOR SILIKON BERSIMETRI Oh

BAYTI NURJANATI

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Fisika

DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah subahanahu wa ta’ala, karena atas izin dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Analisis Teori Grup untuk Semikonduktor Silikon Bersimetri Oh”. Ucapan terimakasih penulis sampaikan kepada berbagai pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan tugas akhir sarjana strata satu, diantaranya adalah: 1. Kedua Bapak, Ibu, Mas Ali, Mas Ugi, Mba Shera, Mba Indi, Uis, dan Mba Indah atas kasih sayang, do’a dan motivasi yang selalu diberikan kepada penulis. 2. Bapak Dr.rer.nat Hendradi Hardhienata dan Bapak Dr Husin Alatas atas bimbingan, nasehat, motivasi dan ilmu yang diberikan baik di saat penelitian maupun saat perkuliahan. 3. Bapak Dr Kiagus Dahlan selaku dosen pembimbing akademik yang selama penulis kuliah di Fisika IPB telah banyak membantu meningkatkan akademik penulis. 4. Carola Emminger atas skripsinya yang sangat membantu dan menginspirasi dan bantuannya kepada penulis. 5. Bapak R. Tony Ibnu SWP, Ph.D selaku editor dan Bapak Heryanto Syafutra, M.Si, selaku penguji. 6. Beasiswa BUMN (Badan Usaha Milik Negara) dan Beasiswa Bidikmisi yang telah mendukung penulis dalam hal pembiayaan akademik penulis selama kurang lebih 2 tahun. 7. Seluruh dosen Fisika IPB atas ilmu yang diberikan saat penulis kuliah, beserta staff Departemen Fisika yang telah banyak membantu selama masa perkuliahan penulis. 8. Semua anggota keluarga fisika 49 atas kebersamaannya selama kurang lebih 4 tahun. Beserta teman-teman Fisika IPB angkatan 48, 49, 50 dan 51. 9. KPMDB Regional Bogor yang telah setia membantu penulis dari sebelum resmi menjadi mahasiswa IPB sampai penulis lulus dari IPB. 10. Teman-teman DPM FMIPA IPB dan MPM KM IPB tahun 2013 atas ilmu keorganisasiannya. 11. Serta semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini. Demikian kata pengantar yang dapat penulis sampaikan. Semoga skripsi ini bermanfaat. Kritik dan saran untuk kemajuan penelitian skripsi ini sangat penulis harapkan.

Bogor, Mei 2016 Bayti Nurjanati

DAFTAR ISI DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN .................................................................................................. 1 Latar Belakang .................................................................................................... 1 Perumusan Masalah ............................................................................................. 2 Tujuan Penelitian ................................................................................................. 2 Manfaat Penelitian ............................................................................................... 2 TINJAUAN PUSTAKA ......................................................................................... 2 Kesimetrian Semikonduktor ................................................................................ 2 Teori Grup ........................................................................................................... 3 Definisi-Definisi Dasar dari Teori Grup ............................................................. 6 Tensor Suseptibilitas ........................................................................................... 8 METODE .............................................................................................................. 10 Waktu dan Tempat ............................................................................................ 10 Alat dan Bahan .................................................................................................. 10 Metode Penelitian .............................................................................................. 11 HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................................. 11 SIMPULAN DAN SARAN .................................................................................. 17 Simpulan ............................................................................................................ 17 Saran .................................................................................................................. 17 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 18 LAMPIRAN .......................................................................................................... 19 LAMPIRAN

13

RIWAYAT HIDUP

15

DAFTAR TABEL Tabel 1 Sistem lattice kristal tiga dimensi2 ......................................................... 3 Tabel 2 Perkalian grup 3, 5 ................................................................................... 6 Tabel 3 Karakter grup Oh .................................................................................. 12

DAFTAR GAMBAR Gambar 1 Segitiga sama sisi. Arah sumbu z keluar bidang.2 ............................. 4 Gambar 2 Basis vektor struktur kristal Silikon6 ............................................... 12 Gambar 3 Transformasi koordinat kartesian2 .................................................. 20

DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1 Diagram alir penelitian .................................................................. 19 Lampiran 2 Daftar 48 elemen matriks grup Oh................................................. 20 Lampiran 3 Program rotasi Rodrigues .............................................................. 20 Lampiran 4 Program point group Oh ................................................................ 20

PENDAHULUAN Latar Belakang Fenomenal alam sejak lama menarik perhatian manusia. Salah satu sebab mengapa fenomena alam semesta dapat dipelajari adalah karena terdapat kesimetrian. Sebagian besar benda yang ada di alam semesta ini memiliki sifat simetri, salah satunya adalah kristal semikonduktor. Kesimetrian dari semikonduktor dapat diteliti dengan melihat efek polarisasinya terhadap medan listrik dari luar. Polarisasi dalam bahan terkait erat dengan suseptibilitas listrik yang menggambarkan simetri dari bahan. Secara matematika, suseptibilitas listrik diperlihatkan dalam bentuk tensor dan diklasifikasikan berdasarkan rank tensor tersebut. Untuk beberapa material tertentu bentuk tensor suseptibilitas listrik seringkali terdiri dari banyak komponen yang tidak saling bebas sehingga efek polarisasi totalnya bisa berasal dari banyak variabel sehingga analisisnya menjadi lebih rumit. Untuk mengatasi hal ini, pada awal abad ke-20, Frobenius, Schur, Lie, dan Cartan mengembangkan sebuah “alat matematika” yang dapat membantu menyederhanakan dan menyatukan sifat-sifat fisis alamiah benda yang memiliki kesimetrian didalamnya, seperti halnya tensor suseptibilitas listrik yang mewakili kesimetrian semikonduktor.1 Selanjutnnya, “alat matematika” ini kemudian dinamakan dengan Teori Grup. Semakin berkembangnya ilmu pengetahuan, berkembang pula cara untuk mendapatkan tensor suseptibilitas listrik semikonduktor. Cara lain yang kini dapat digunakan untuk mendapatkan tensor suseptibilitas listrik semikonduktor adalah melalui metode SBHM (Simplified Bond Hyperpolrizability Model). Berbeda dengan teori grup yang merupakan model formal matematis untuk menginvestigasi operasi simetri yang diijinkan oleh sebuah kristal. Model SBHM yaitu suatu model optik nonlinier yang dimulai dari model Lorentz dengan mengasumsikan bahwa radiasi nonlinier hanya dihasilkan oleh dipol anharmonik disepanjang ikatan.2 Kedua cara, baik teori grup maupun SBHM sejauh ini menunjukan hasil yang sama untuk semikonduktor bersimetri rendah. Penelitian ini menganalisis teori grup untuk mendapatkan nilai tensor rank empat atau tensor suseptibilitas listrik orde ketiga dari semikonduktor silikon pada point group Oh. Tensor rank tiga dari silikon pada point group Td, sudah dikerjakan oleh Carola (2013) (6). Nilai tensor rank empat yang dihasilkan, digunakan untuk mendapatkan nilai kerapatan polarisasi, THG (Third Harmonic Generation), atau EFISH (Electric Field Induced Second Harmonic Generation) yang berfungsi sebagai alat diagnosis permukaan ataupun bulk suatu material yang real time dan bersifat tidak merusak bahan yang di diagnosis. Hal ini penting untuk perkembangan teknologi seperti film tipis dengan aplikasinya di mikroelektronik, pada bidang komunikasi, pelapisan semua jenis material, serta strategi konservasi dan pembangkit energi.3

2 Perumusan Masalah 1. Bagaimanakah bentuk tensor rank empat dari point group Oh? 2. Bagaimanakah menentukan gambaran umum dari bulk semikonduktor silikon dengan teori grup? 3. Bagaimanakah merumuskan simetri kristal silikon dalam bulk yang dinyatakan dalam bentuk tensor rank 4 menggunakan teori grup?

Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan menentukan bentuk tensor suseptibilitas orde ketiga dari point group Oh dengan menggunakan teori grup dan menganalisis tensor tersebut untuk menghasilkan gambaran umum dari simetri bulk silikon.

Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat memberikan pemahaman mengenai pembentukan generasi harmonik tinggi di dalam bulk silikon dari sisi teori grup. Investigasi tensor dapat memberikan informasi mengenai jumlah komponen independen yang bertanggung jawab atas profil intensitas generasi harmonik tinggi.

TINJAUAN PUSTAKA Kesimetrian Semikonduktor Semikonduktor adalah suatu benda yang memiliki sifat konduktivitas listrik berada di antara isolator dan konduktor. Semikonduktor merupakan salah satu contoh dari kristal. Kristal dibangun pada sebuah susunan periodik atom-atom atau molekul-molekul.4 Kristal merupakan zat padat, akan tetapi zat padat belum tentu termasuk dalam golongan kristal. Kristal terbentuk oleh lattice dan basis. Kumpulan molekul-molekul yang merupakan perulangan dirinya sendiri disebut dengan basis atau unit cell. Sedangkan, kemungkinan unit cell terkecil disebut dengan primitive unit cell. Kesimetrian dari sebuah semikonduktor dapat ditentukan dari ketergantungan sifat fisisnya terhadap suatu arah. Sifat fisis kristal yang bergantung terhadap suatu arah tertentu disebut dengan anisotropik. Contohnya adalah polarisasi, yang disebabkan oleh medan listrik. Hubungan antara polarisasi dan medan listrik dapat dirumuskan secara sederhana yaitu: 5 P(ω)= χ(1) (ω) E(ω)

(1)

dimana χ(1) adalah suseptibilitas orde ke-satu dan bersifat skalar (tensor identitas), sebaliknya polarisasi dan medan listrik adalah vektor.

3 Tabel 1 Sistem lattice kristal tiga dimensi4

Parameter lattice

sudut

Simetri point group (kelas -kelas kristal)

a≠b≠c a≠b≠c

α≠β≠γ≠90o α=γ=90o≠β

Ci (C1) C2h (C2, Cs)

a≠b≠c

α=β=γ=90o

D2h (D2, C2v)

a=b≠c

α=β=γ=90o

kubik P, I, F

a=b=c

α=β=γ=90o

Trigonal R

a=b=c

α=β=γ<120o≠90o

Heksagonal P

a=b≠c

α=β=90o, γ=120o

D4h (D4, C4v, C4h, C4, D2d, S4) Oh (O, Td, Th, T) D3d (D3, C3v, S6, C3) D6h (D6, C6v, C6h, C6, D3h, C3h

Sistem kristal dan kisi bravais Triklinik P monoklinik P, C Ortorombik P, C, I, F Tetragonal P, I

Teori Grup Grup adalah himpunan G yang terdiri dari elemen-elemen A, B, C, D, ... yang membentuk sebuah grup ketika memenuhi 4 syarat, yaitu:4, 6, 9 1. Hasil perkalian dari 2 elemen grup adalah elemen dari grup itu sendiri. AB=C Yang mana, A, B dan C merupakan elemen dari grup G. 2. Berlaku hukum asosiatif. (AB)C=A(BC) 3. Terdapat sebuah elemen unit E, sehingga hasil perkalian E dengan beberapa elemen grup menghasilkan elemen yang tidak berubah. AE=EA=A A dan E merupakan elemen dari grup G. 4. Untuk setiap elemen dari grup G, terdapat sebuah elemen invers. Sehingga A-1 A=AA-1 =E Dimana A adalah elemen grup G dan 𝐴−1 adalah inverse dari A yang juga merupakan elemen dari grup G. Grup Abelian adalah grup yang semua elemennya saling berkomutasi satu sama lain.4, 6, 9 Sedangkan, grup pada umumnya tidak semua elemennya saling berkomutasi satu sama lainnya. Dalam hal elemen yang tidak saling berkomutasi maka AB≠BA.

4

Gambar 1 Segitiga sama sisi. Arah sumbu z keluar bidang.4 Contoh grup yang paling sederhana adalah grup segitiga sama sisi, yaitu grup yang sama dengan grup permutasi 3 bilangan atau P(3), serta grup titik C3v. Grup permutasi P(3) memiliki 6 elemen grup, karena pada grup tersebut terdapat 6 operasi permutasi 3!= 6. Grup segitiga sama sisi dan C3v juga memiliki 6 elemen grup, karena memiliki 6 operasi simetri. Sehingga grup titik dari C3v dapat digambarkan dengan grup permutasi P(3) ataupun grup segitiga sama sisi. Enam elemen dari grup P(3) dalam bentuk matriks yaitu:1, 6 1 1

2 2

3 ቁ 3

C =ቀ

1 1

2 3

3 ቁ 2

D =ቀ

1 3

2 2

3 ቁ 1

F =ቀ

E =ቀ A =ቀ B =ቀ

1 2

2 1

3 ቁ 3

1 2

2 3

3 ቁ 1

1 3

2 1

3 ቁ 2

Baris atas dari matriks tersebut merupakan kondisi awal dari susunan tiga bilangan. Sedangkan baris kedua merupakan kondisi terakhir dari susunan 3 bilangan yang telah mengalami transformasi. Setiap elemen, mewakili operasi simetri tersendiri. Elemen E merupakan elemen identitas, elemen A adalah matriks rotasi ±π disekitar sumbu y. Elemen B adalah matriks rotasi ± π disekitar sumbu 2, elemen C adalah matriks rotasi ± π disekitar sumbu 3, elemen D adalah matriks rotasi +2π/3 dipusat segitiga, dan elemen F adalah matriks rotasi -2π/3 dipusat segitiga. Dengan menggunakan syarat pertama dari sebuah grup, maka hasil dari AB= D, sehinga matriks yang dihasilkan dari operasi tersebut harus menghasilkan:6 M(A) M(B)= M(D) Cara mengalikan dua elemen matriks dari 6 elemen grup P(3) adalah AB = ቀ

1 1

2 3

3 1 ቁቀ 2 3

2 2

3 ቁ 1

5 3 2

2 3

1 1 ቁቀ 1 3

AB = ቀ

1 2

3 3

AB = ቀ

2 2

3 ቁ 1

2 ቁ= D 1

Baris pertama dari elemen A diubah sesuai dengan baris kedua dari elemen B, sedangkan baris kedua dari elemen A mengikuti baris pertama dari elemen B tersebut. Dengan cara yang sama setiap elemen dari grup P(3) dapat dikalikan satu sama lainnya, sehingga akan menghasilkan elemen lain yang juga merupakan elemen dari grup P(3) tersebut. Cara lain untuk mengalikan dua elemen grup adalah dengan langsung mengalikan masing-masing nilai dari elemen matriks grup P(3), yaitu:6 1 0

E =ቀ

-1 0

A =ቀ

B =൬

0 ቁ 1

1/2 C =൬ ξ3/2

0 ቁ 1

D =൬

1/2 -ξ3/2 ൰ -ξ3/2 -1/2

F =൬

ξ3/2൰ -1/2

-1/2 ξ3/2 ൰ -ξ3/2 -1/2

-1/2 -ξ3/2 ൰ ξ3/2 -1/2

Contoh perkalian 2 elemen matriks dari grup segitiga sama sisi atau grup P(3) adalah AB = ቀ

-1 0

AB = ൬

0 1/2 ቁ൬ 1 -ξ3/2 -1/2 -ξ3/2

-ξ3/2 ൰ -1/2

ξ3/2൰ =D -1/2

Dengan cara yang sama, dapat dihasilkan perkalian dari semua elemen grup segitiga sama sisi. Hasil perkalian semua elemen grup, dapat dituliskan dalam bentuk tabel perkalian grup. Untuk tabel perkalian C3v, hasilnya akan sama dengan tabel perkalian permutasi 3 bilangan, akan tetapi simbol yang digunakan berbeda. Simbol pada grup C3v menggunakan aturan penulisan dari simbol Schoenflies, yaitu E adalah E, A adalah σvx, B adalah σvy, C adalah σvz, D diganti dengan C3, dan D diganti dengan C23 . Tabel perkalian yang dihasilkan akan digunakan untuk membentuk suatu tabel karakter dari suatu grup. Dengan menggunakan hubungan:4 1 (i) n(i) = ෍ χA χA h A

(3)

6 Tabel 2 Perkalian grup 4, 6 E E A B C D F

E A B C D F

A A E F D C B

B B D E F A C

C C F D E B A

D D B C A F E

F F C A B E D

(i)

χA adalah karakter dari operasi A dalam irreducible representation ke-i, χA adalah karakter dari operasi yang sama dengan reducible representation. Dan n adalah jumlah reduksi dari irreducible representation spesifik dari suatu reducible representation. Tabel karakter dari grup C3v dapat dilihat di buku referensi (Powell 2010) (4). Definisi-definisi dasar dari teori grup Orde sebuah grup adalah jumlah elemen yang ada dalam sebuah grup.5 Pada grup P(3), segitiga sama sisi atau grup C3v terdapat 6 elemen grup (E, A, B, C, D, F), sehingga orde dari grup-grup tersebut adalah 6. Sub grup adalah sekumpulan elemen dalam sebuah grup, yang dengan sendirinya membentuk sebuah grup.5 Pada grup segitiga sama sisi memiliki 4 subgrup, yaitu: H1 = (E, A) H2 = (E, B) H3 = (E,C) H4 = (E, D, F) Teorema 1: jika di dalam sebuah grup yang terbatas, sebuah elemen X yang dikalikan (n) kali, akan didapatkan identitas Xn = E. Y=Xp =Xq karena nilai p > q, p = q + n, maka:6 Y=Xq+n =Xq q Y=Xq Xn =X Y=Xq E=Xq Orde dari sebuah elemen adalah nilai terkecil dari n di dalam hubungan X =E .5 Orde dari grup segitiga sama sisi yaitu E berorde 1, A.A= A2 = B.B= B2 = C.C= C2 = E jadi A, B dan C berorde 2. Sedangkan D.D.D=D3 =F.F.F= F3 = E, jadi F berorde 3. Periode dari sebuah elemen X adalah kumpulan elemen E, X, X2, ..... , X n-1 dimana n adalah orde dari elemen.5 Periode membentuk subgrup Abelian. Periode dari grup segitiga sama sisi yaitu, (E,A), (E, B), (E,C) dan (E, D, F). Teorema Penataan Kembali (2) yaitu jika E, A1, A2,..., An adalah elemen dari grup dan jika Ak adalah sembarang elemen dari grup, kemudian kumpulan dari n

7 elemen AkE, AkA, ......, AkAh mengandung masing-masing elemen dari grup sebanyak sekali maka:6 1. Jika elemen membentuk sebuah grup akan terdapat elemen Ar = Ak-1, sehingga AkAr = AkAk-1X = X. 2. Elemen X terjadi hanya sekali. Andaikan X muncul 2x dalam kumpulan AkE, AkA, ....., AkAs, sehingga Ar = As mengakibatkan 2 elemen dalam grup asal adalah identik, dan hal ini berlawanan terhadap daftar asli dari grup. Jadi, berdasarkan teorema tersebut setiap baris dan kolom dari tabel perkalian mengandung masing-masing elemen hanya sekali. Koset adalah elemen dari sebuah faktor grup dan faktor grup penting untuk bekerja dengan space group.6 Teorema 3 yaitu 2 koset kanan yang diberikan subgrup berisi elemen yang persis sama atau tidak memiliki kesamaan:6 Bl Y=Bk X YX-1 =Bk Bl -1 Bk Bl -1 =Y X-1 berdasarkan teorema ini terdapat elemen yang identik dengan B kecuali urutannya. Contoh koset kanan dari grup segitiga sama sisi untuk subgrup (E, A) adalah (E, A)E=(EE, AE)=(E, A) (E, A)A=(EA, AA)=(A, E) (E, A)B=(EB, AB)=(B, D) (E, A)C=(EC, AC)=(C, F) (E, A)D=(ED, AD)=(D, B) (E, A)F=(EF, AF)=(F, C) Sehingga terdapat 3 koset kanan yang berbeda dari (E, A) yaitu : (E, A) => Subgrup (B,D) => Bukan subgrup (C,F) => Bukan subgrup Dengan cara yang sama, maka terdapat 3 koset kiri dari subgrup (𝐸, 𝐴) yaitu : (E, A) => Subgrup (B, F) => Bukan subgrup (C, D) => Bukan subgrup Teorema 4, Orde dari sebuah subgrup adalah pembagian dari orde grup. Subgrup (E, A) berorde 2 dan subgrup (E, D, F) berorde 3, orde tersebut merupakan pembagian dari 6 atau orde grup.6 Konjugasi dan Kelas, sebuah elemen B konjugat terhadap A adalah definisi dari B=XAX-1 . Elemen dari sebuah grup abelian adalah self-conjugate. A=X-1 =B X=Y B Y-1 A=X-1 BX=YBY-1 AY=YB

8 Teorema 5, Jika B konjugat terhadap A dan C konjugat terhadap B, maka C konjugat terhadap A.6 EAE-1 =EA=A AAA-1 =AE=A BAB-1 =BD=C

CAC-1 =CF=B DAD-1 =DC=B FAF-1 =FB=C

Jumlah kelas dari grup segitiga sama sisi adalah : 1. E 2. A, B, C 3. D, F Grup abelian memiliki kelas sebanyak elemennya. Teorema 6, semua elemen dari kelas yang sama mempunyai orde sama. Orde elemen adalah n didefinisikan oleh An =E.5 Sembarang konjugasi dari A adalah:6 B=XAX-1 …n Bn =(XAX-1 )(XAX-1 )(XAX-1 ) XAn X-1 =XEX-1 =E Teorema 7, koset kiri dan koset kanan dari sebuah subgrup self-conjugate N adalah sama. Contoh koset kanan (E, D, F) yaitu (E, D, F)A=(A, C, B) salah satu koset kiri (E, D, F) yaitu A(E, D, F)=(A, B, C). Kedua koset sama kecuali urutannya (self-conjugate).6 Teorema 8, perkalian dari elemen 2 koset kanan subgrup konjugat diri memberikan koset kanan lainnya.6 Ni X Nx Y=Ni (X Ni )Y Ni X Nx Y=Ni (Nm X)Y Ni X Nx Y=(NI Nm )(X Y) Ni X Nx Y=N (X Y) Grup Faktor dibentuk dengan mematuhi self-conjugate subgrup sebagai kumpulan koset dari self-conjugate subgrup. Orde dari grup faktor adalah indeks dari sebuah subgrup konjugat diri.6

Tensor Suseptibilitas Dalam kasus nonlinier hubungan antara polarisasi dengan medan listrik dapat dimodelkan sebagai sebuah rangkaian pangkat medan listrik dan dituliskan secara singkat dalam bentuk5, 10 P(ω)= χ(1) (ω)E(ω) + χ(2) (ω)E2 (ω) + χ(3) (ω)E3 (ω) +…

(4)

dimana χ(1) , χ(2) dan χ(3) adalah suseptibilitas orde kesatu, kedua dan ketiga. Suseptibilitas orde kesatu adalah tensor rank dua, suseptibilitas orde kedua

9 merupakan tensor rank tiga, sedangkan suseptibilitas orde ketiga merupakan tensor rank empat. Tensor rank dua berbentuk matriks dan memiliki sembilan komponen, yaitu:6 d11 (d21 d31

d12 d22 d32

d13 d23 ) d33

(5)

tanda akhiran pertama adalah baris dan tanda akhiran yang kedua adalah kolom. Dua vektor p=(p1 ,p2 ,p3 ) dan q=(q1 ,q2 ,q3 ) dapat dihubungkan dengan cara:6 p1 =d11 q1 +d12 q2 +d13 q3 p2 =d21 q1 +d22 q2 +d23 q3 p3 =d31 q1 +d32 q2 +d33 q3 atau secara umum dapat dirumuskan:7 ∑3j=1 pi =dij qj

(6)

Penulisan disingkat dengan menggunakan Einstein summation convention. Pada sebuah kristal, tensor rank dua mendeskripsikan hubungan antara medan listrik E dan kerapatan arus listrik j, yaitu:1, 7 ji =σij Ej

(7)

Konduktivitas listrik σ merupakan tensor rank dua. Operasi grup titik pada semikonduktor silikon untuk tensor rank dua pada umumnya bersifat anisotropik. Tensor rank tiga dan empat dapat mengikuti konsep diatas. Untuk tensor rank tiga memiliki 27 komponen. Bentuk tensor rank tiga yaitu:7 d111 (d112 d113 d211 (d212 d213 d311 (d312 ( d313

d121 d122 d123 d221 d222 d223 d321 d322 d323

d131 d132 ) d133 d231 d232 ) d233 d331 d332 ) d333 )

(8)

Pada tensor rank tiga, subscript yang pertama merupakan vektor kolom eksternal, subscript yang kedua dan ketiga berturut-turut merupakan kolom dan baris dari matriks internal 3 x 3. Tensor rank ketiga menghubungkan polarisasi P dengan medan listrik E melalui persamaan:3, 10 P(2) (ω)=χ(2) (ω)E2 (ω)=χ(2) (ω)E(ω)E(ω)

(9)

10

Sedangkan tensor rank empat memilki 81 komponen. Bentuk tensor rank empat yang merupakan suseptibilitas orde ketiga, yaitu:3 d1111 (d1121 d1131 d2111 (d2121 d2131 d3111 (d3121 ( d3131

d1112 d1122 d1132 d2112 d2122 d2132 d3112 d3122 d3132

d1113 d1211 d1123 ) (d1221 d1133 d1231 d2113 d2211 d2123 ) (d2221 d2133 d2231 d3113 d3211 d3123 ) (d3221 d3133 d3231

d1212 d1222 d1232 d2212 d2222 d2232 d3212 d3222 d3232


d1312 d1322 d1332 d2312 d2322 d2332 d3312 d3322 d3332

d1313 d1323 ) d1333 d2313 d2323 ) d2333 d3313 d3323 ) d3333 )

(10)

Dengan cara yang sama seperti pada tensor rank ketiga, maka tensor rank empat menghubungkan polarisasi P dan medan listrik E melalui persamaan: P(3) (ω)=χ(3) (ω)E3 (ω)=χ(3) (ω)E(ω)E(ω)E(ω)

(11)

Sifat transformasi simetri dari tensor rank empat akan menentukan komponennya yang tidak nol. Tensor rank empat dapat ditransformasikan sebagai:7 d'ijkl =aim ajn ako alp d

mnop

(12)

aim , ajn , ako dan alp adalah matriks transformasi dari sebuah operasi simetri yang bersifat spesifik. Berdasarkan teorema Neumann, struktur kristal harus sama setelah dilakukan operasi simetri, yang berarti bahwa komponen tensor baru setelah transformasi (d'ijkl ) dan tensor utama sebelum transformasi (dijkl ) harus sama. Dengan membandingkan dua tensor tersebut, maka akan terlihat bahwa beberapa dari elemen tensor d'ijkl akan menjadi nol.4

METODE Waktu dan Tempat Penelitian ini dilaksanakan pada bulan Desember 2015 sampai April 2016 bertempat di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi, Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Alat dan Bahan Peralatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah alat tulis, laptop dengan windows 7 professional, serta software Wolframe Mathematica 9.

11 Metode Penelitian Studi Pustaka Studi pustaka pada penelitian ini, dilakukan dengan memahami simetri kristal, teori grup, tensor suseptibilitas orde ketiga, polarisasi semikonduktor dan program software Wolframe Mathematica 9. Analisis Kesimetrian Semikonduktor Proses ini dilakukan dengan menganalisis tabel perkalian yang ada dalam buku referensi (Powell 2010) (2), untuk mendapatkan jumlah kelas dan jumlah elemen yang ada dalam grup Oh, kemudian melakukan transformasi rotasi koordinat kartesian pada setiap sudut yang ada pada grup Oh untuk mendapatkan nilai dari masing-masing elemen rotasi. Kemudian menganalisis teori rotasi Rodrigues untuk mendapatkan nilai dari masing-masing elemen rotasi 120o, menganalisis elemen pencerminan dari grup Oh untuk mendapatkan nilainya dan melakukan operasi kombinasi terhadap rotasi dan pencerminan untuk mendapatkan nilai dari masingmasing elemen improper rotation. Selanjutnya melakukan transformasi terhadap tensor rank empat terhadap nilai masing-masing elemen dari kelas grup Oh untuk mendapatkan nilai tensor suseptibilitas orde ketiga dari grup Oh.

HASIL DAN PEMBAHASAN Silikon merupakan suatu kristal yang memiliki simetri invers di dalam bulk, sehingga bulk silikon bersifat sentrosimetrik yaitu sifat yang menyebabkan suatu bahan tidak dapat memperlihatkan interaksi optik nonlinier pada orde genap.7, 10, 11 Silikon memiliki point group C3v dipermukaannya dan Oh di dalam bahannya. Penelitian ini mencakup grup titik Oh dari silikon. Terlebih dahulu akan ditinjau tabel karakter dari grup titik Oh (Tabel 3), untuk mengetahui jumlah operasi simetri, elemen, kelas, orde dari grup titik Oh. Tabel 3 ditulis berdasarkan aturan penulisan notasi Schoenflies, yang dituliskan pada sisi kiri baris paling atas tabel. Baris paling atas menunjukan elemen-elemen simetri dari grup yang dibagi ke dalam kelas-kelas. Kolom pertama dari tabel karakter di bawah baris pertama menunjukan irreducible representation dari grup titik Oh, yaitu representasi yang sudah tidak dapat diturunkan kembali. Penulisan irreducible representation adalah meningkat berdasarkan dimensi dari ordenya.3 Sedangkan isi tabel adalah karakter dari masing-masing elemen irreducible representation. Simbol A mewakili 1 dimensi, E adalah 2 dimensi, T mewakili 3 dimensi. Subscript 1 dan 2 digunakan untuk mewakili representasi yang bersifat simetri (χ(C2)= 1) atau antisimetri (χ(C2)= -1) rotasi twofold tegak lurus terhadap sumbu rotasi utama atau bidang simetri vertikal.4 Simbol σh mewakili bidang pencerminan yang tegak lurus terhadap sumbu simetri orde tertinggi. Simbol σd mewakili bidang pencerminan diagonal terhadap sumbu rotasi. Simbol Sn mewakili kombinasi operasi pencerminan yang diikuti oleh rotasi dengan bidang pencerminan tegak

12

Gambar 2 Basis vektor struktur kristal Silikon7 Tabel 3 Karakter grup Oh4 Oh A1g A2g Eg T1g T2g D1/2g 2Sg

D3/2g A1u A2u Eu T1u T2u D1/2u 2Su

D3/2u

R 1 1 2 3 3 -2 -2

8RC3 1 1 -1 0 0 -1 -1

6RC2 1 -1 0 -1 1 0 0

-4 1 1 2 3 3 -2 -2

1 1 1 -1 0 0 -1 -1

0 1 -1 0 -1 1 0 0

-4

1

0

6RC4 1 -1 0 1 -1 -ξ2 ξ2 0 1 -1 0 1 -1 −ξ2 ξ2 0

3RC24 1 1 2 -1 -1 0 0

Ri 1 1 2 3 3 -2 -2

0 1 1 2 -1 -1 0 0

-4 -1 -1 -2 -3 -3 2 2

0

4

6RS4 1 -1 0 1 -1 −ξ2 ξ2 0 -1 1 0 -1 1 ξ2 −ξ2 0

8RS6 1 1 -1 0 0 -1 -1

3Rσh 1 1 2 -1 -1 0 0

6Rσd 1 -1 0 -1 1 0 0

1 -1 -1 1 0 0 1 1

0 -1 -1 -2 1 1 0 0

0 -1 1 0 1 -1 0 0

-1

0

0

lurus terhadap sumbu rotasi. Sedangkan i mewakili operasi inversi. Adanya simbol R pada masing-masing irreducible representation menunjukan bahwa pada grup Oh, operator identitasnya bukan 2π.3 Akan tetapi operator rotasi dari 4π, sehingga untuk menghasilkan operator identitas dari 2π, maka operator R harus dikalikan dengan semua operator lainnya yang ada didalam grup Oh tersebut. Perkalian ini menyebabkan grup Oh termasuk kedalam grup bernilai ganda, sehingga terdapat elemen ekstra dari irreducible representation grup tersebut. Elemen ekstra tersebut menyebabkan jumlah irreducible representation dari grup Oh tidak sama dengan jumlah kelasnya. Jumlah kelas dari grup Oh adalah 10 kelas, yaitu E, 8C3, 6C2, 6C4, 3C24 , i, 6S4, 8S6, 3Rσh , 6Rσd dan 10 kelas tersebut mengandung 48 elemen simetri. Akan tetapi jumlah irreducible representation dari grup ini adalah 16. Tambahan 6 irreducible representation grup

13 itu adalah D1/2g , 2Sg , dan D3/2g serta D1/2u , 2Su , dan D3/2u . Subscript u dan g menunjukan bahwa grup Oh memiliki pusat simetri inversi di dalam bulk, simbol g merupakan singkatan dari gerade yang berarti operasi bersifat simetri dan u adalah singkatan dari ungerade yang berarti operasi bersifat antisimetri. Setelah menganalisis tabel karakter dari grup titik Oh maka dapat dilakukan operasi simetri dari masing-masing elemen grup. Operasi simetri yang pertama adalah elemen identitas E yang telah dilakukan perkalian dengan R sehingga bernilai R, nilai elemen identitas didapatkan dari transformasi koordinat kartesian. x x' 1 (y') =E (y) = (0 z 0 z'

0 1 0

0 0) 1

(13)

Operasi selanjutnya adalah operasi elemen simetri dari rotasi, yang disimbolkan dengan Cn, nilai n mewakili sumbu n-fold yaitu sumbu simetri dari 2π operasi n . Operasi rotasi yang pertama adalah C3 yang berarti rotasi dilakukan 120o disekitar sumbu utama. Berdasarkan transformasi koordinat kartesian, matriks rotasi dari 3 sumbu utama (x, y, z) adalah cos θ -sin θ 0 C(θ)z = ( sin θ cos θ 0) 0 0 1 cos θ 0 sin θ C(θ)y = ( 0 1 0 ) - sin θ 0 cos θ 1 C(θ)x = (0 0

(14)

0 0 cos θ - sin θ) sin θ cos θ

Transformasi rotasi sumbu x, y, dan z tersebut tidak dapat langsung dioperasikan terhadap rotasi C3 dari bulk silikon Oh, karena silikon memiliki sistem kisi kubus fcc dan rotasi 120o merupakan rotasi disekitar diagonal ruang dari kubus, sehingga bersifat tiga dimensi. Transformasi koordinat kartesian tersebut harus dimanipulasi bersamaan dengan persamaan rotasi Rodrigues, yaitu perumusan yang terkait dengan parameter dan rumus Euler-Rodrigues untuk rotasi tiga dimensi. Kombinasi persamaan Rodrigues akan menghasilkan persamaan transformasi rotasi yang baru yaitu:7 n21 (1- cos α)+ cos α n1 n2 (1- cos α)-n3 sin α n1 n3 (1- cos α)+n2 sin α R(θ) = (n1 n2 (1- cos α)-n3 sin α n22 (1- cos α)+ cos α n2 n3 (1- cos α)-n1 sin α ) n1 n3 (1- cos α)-n2 sin α n2 n3 (1- cos α)+n1 sin α n23 (1- cos α)+ cos α (15) n21 +n22 +n23 =1

(16)

14 1

1

1

Dimana n=(n1 ,n2 ,n3 ) adalah unit vektor, nilai dari n adalah ቀ√3 , √3 , √3ቁ.6 Dari persamaan transformasi rotasi tersebut akan didapatkan 8 elemen rotasi 120o. Salah satu dari 8 elemen rotasitersebut adalah 0 C 3 = (1 0

0 0 1

1 0) 0

Kelas yang kedua dari grup Oh adalah rotasi 180o dari pusat sisi kubus yang melalui pusat kubus dan menuju ke pusat sisi kubus yang berlawanan. Dengan cara yang sama seperti pada rotasi 120o, maka akan didapatkan nilai dari 6 elemen C2. Salah satu matriks C2 yang didapatkan adalah 0 C 2 = (1 0

1 0 0

0 0) -1

Sedangkan untuk rotasi 90o, dihitung dengan menggunakan persamaan rotasi dari transformasi koordinat kartesian sumbu x, y, dan z biasa, sehingga didapatkan nilai dari 6 elemen C4. Salah satu nilainya adalah 1 C 4 = (0 0

0 0 1

0 -1) 0

Kelas yang kelima adalah rotasi 90o yang dilakukan dari sumbu twofold (C24 ), rotasi ini sama dengan rotasi 180o. Salah satu matriks rotasi yang dihasilkan melalui transformasi koordinat kartesian adalah 1 C24 = (0 0

0 -1 0

0 0) -1

Kelas yang keenam dari grup Oh adalah operasi simetri inversi i. Operasi simetri ini didapatkan dengan mengkombinasikan operasi rotasi dan refleksi melalui hubungan persamaan:4 inv=C2 σh

(17)

dari persamaan tersebut akan dihasilkan sebuah elemen dari simetri inversi, yaitu:

-1 inv = ( 0 0

0 -1 0

0 0) -1

Matriks tersebut menunjukan bahwa elemen operasi invers merupakan kebalikan dari elemen identitas. Kelas yang ketujuh yaitu 6S4, kelas ini mengkombinasikan operasi rotasi 90o dengan pencerminan melalui persamaan:4

15 S4 =σh C4

(18)

Dari persamaan tersebut dihasilkan nilai 8 elemen 𝑆4 , salah satunya adalah: 0 S4 = (-1 0

1 0 0

0 0) -1

Kelas yang ke delapan adalah operasi elemen S6 , elemen ini dihasilkan dengan cara yang sama seperti pada elemen 𝑆4 , akan tetapi rotasi yang digunakan adalah rotasi 60o. Sehingga akan dihasilkan nilai dari 6 elemen S6 . Salah satu elemennya adalah: 0 0 1 S6 = (1 0 0) 0 -1 0 Dua kelas yang terakhir adalah kelas pencerminan, yaitu pencerminan terhadap bidang horizontal dan bidang diagonal. Pencerminan didapatkan dari hasil mencerminkan kubus silikon melalui suatu bidang terhadap sumbu tertentu. Misalnya untuk pencerminan bidang horizontal terhadap sumbu z adalah: 1 σh = (0 0

0 1 0

0 0) -1

Pencerminan terhadap sumbu z terletak di bidang xy, sehingga nilai matriks di sumbu z adalah negatif dan selain sumbu z akan bernilai positif. Selain dengan cara tersebut, pencerminan juga bisa didapatkan dari penurunan formula Housholder. Sehingga didapatkan bentuk tensor umum dari pencerminan yaitu: 1-(n1 )2 σ = ( -2n1 n2 -2n1 n3

-2n1 n2 1-(n2 )2 -2n2 n3

-2n1 n3 -2n2 n3 ) 1-(n3 )2

Dengan cara yang sama dilakukan untuk pencerminan terhadap bidang diagonal, sehingga akan didapatkan 6 elemen pencerminan bidang diagonal σd , salah satunya adalah: 0 σd = (1 0

1 0 0

0 0) 1

Dari semua matriks elemen grup Oh yang telah dididapatkan, maka diambil satu elemen matriks dari masing-masing kelas untuk dioperasikan satu sama lainnya dibawah suatu transformasi terhadap tensor suseptibilitas orde ketiga atau rank empat. Persamaan transformasi tensor rank empat yang digunakan adalah

16 d'ijkl =aim ajn ako alp d

(19)

mnop

Simbol aim , ajn , ako dan alp adalah matriks transformasi dari sebuah operasi simetri yang bersifat spesifik atau dengan kata lain merupakan elemen masingmasing kelas dari grup Oh yang akan dioperasikan satu sama lainnya. dmnop adalah elemen tensor rank empat sebelum dilakukan operasi transformasi terhadap elemen dari grup Oh. Sedangkan d'ijkl adalah elemen tensor rank empat setelah dilakukan operasi transformasi. Nilai dari elemen tensor rank empat sebelum dilakukan transformasi terhadap elemen grup Oh adalah: d1111 (d1121 d1131 d2111 (d2121 d2131 d3111 (d3121 ( d3131

d1112 d1122 d1132 d2112 d2122 d2132 d3112 d3122 d3132


d1212 d1222 d1232 d2212 d2222 d2232 d3212 d3222 d3232


d1312 d1322 d1332 d2312 d2322 d2332 d3312 d3322 d3332

d1313 d1323 ) d1333 d2313 d2323 ) d2333 d3313 d3323 ) d3333 )

Setelah dilakukan transformasi, maka beberapa nilai dari tensor rank empat tersebut adalah negatif. Berdasarkan salah satu prinsip yang berlaku dalam teori grup, yaitu prinsip Neumann, maka komponen tensor d'ijkl harus invarian dibawah operasi grup simetri dari kristal. Pada kasus ini d'ijkl =dmnop, sehingga hasil dari empat elemen matriks terhadap elemen tensor rank empat dijkl harus bernilai positif untuk menjadikan elemen tersebut bernilai tidak nol.4 Artinya, ketika terdapat komponen dari tensor rank empat yang telah dilakukan operasi grup simetri dan menyisakan komponen yang negatif d'ijkl =-dijkl , maka komponen tersebut akan bernilai nol. Dari prinsip Neumann tersebut maka hasil dari tensor rank empat untuk grup Oh adalah: d3333 0 0 0 0 d3232 0 d3232 0 d3322 0 ) 0 0 ) ( 0 (d3223 ( 0 0 0) d 0 0 0 0 d3322 0 0 0 3223 d3322 0 0 0 0 0 0 d3223 0 0 d3232 ) d3333 0 ) (d3232 ( 0 (0 0 0) 0 d3223 0 0 0 d3322 0 0 0 d3322 0 0 0 0 0 0 0 d3223 0 d3223 ) d3322 0 ) 0 0 ) ( 0 (0 ( 0 0 0 d3232 0 ( d3232 0 0 0 d3333 ) Tensor tersebut menunjukan bahwa tensor suseptibilitas orde ketiga dari grup Oh, tidak semua komponennya bernilai nol. Terdapat empat komponen independen dari tensor suseptibilitas listrik orde ketiga grup Oh, yaitu d3333 ,d3232 ,d3223 dan d3322 . Empat komponen ini merupakan komponen maksimal yang dihasilkan ketika

17 frekuansi medan listrik masukan hampir sama dengan frekuensi alamiah bulk silikon. Akan tetapi, komponen independen tersebut dapat direduksi lagi menjadi dua komponen independe, ketika asumsi dari simetri Kleinman yang valid diberlakukan untuk tensor rank empat bulk silikon Oh tersebut. Dua komponen independen ini terjadi karena berdasarkan asumsi Kleinmen, ketika frekuensi masukan jauh lebih kecil daripada frekuensi alamiah bulk silikon, maka frekuensi masukan tidak terlalu berpengaruh terhadap frekuensi alamiah bulk silikon. Aturan dari simetri Kleinman menyatakan bahwa, simetri yang terjadi dimana saat kondisi resonansi suseptibilitas nonlinier tidak bergantung permutasi frekuensi, maka indeks atau subscipt dari komponen tensor tersebut dapat secara bebas dipertukarkan.8 Sehingga, komponen independen dari d3232 =d3223 =d3322 . Jadi komponen independen dari tensor rank empat grup Oh tersebut akan tereduksi menjdai dua komponen independen, yaitu d3333 dan d3232 . Komponen independen yang dihasilkan dari simteri Kleinman menunjukan bahwa efek polarisasi nonlinier yang terkait dengan tensor rank empat dari material bersimetri Oh seperti generasi harmonik ketiga atau efek radiasi kuadrupolar dari dalam bahan (bulk) semikonduktor seperti silikon dapat dijelaskan oleh dua variabel independen saja.

SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Teori grup dapat digunakan untuk menghasilkan nilai tensor rank empat untuk grup Oh. Bentuk dari tensor rank empat yang dihasilkan dari teori grup mengandung empat komponen independen yang berbeda ketika nilai frekuansi alamiah dan frekuensi suseptibilitas tidak jauh berbeda, dan menghasilkan dua komponen independen yang berbeda ketika nilai frekuensi susptibilitas dari Oh jauh lebih kecil dari frekuensi alamiahnya. Karena adanya komponen independen, maka secara umum grup Oh tidak bersifat isotropis. Saran Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, maka diperlukan penelitian lanjutan dari grup Oh dengan mempertimbangkan grup permutasi P(4) yang termasuk kedalam golongan grup 4 dimensi dan melanjutkan perhitungan terhadap nilai polarisasi yang dihasilkan dari grup Oh.

18

DAFTAR PUSTAKA 1. Mulyadi. Klasifikasi Hadron dan Meson sebagai Representasi Uniter pada Sistem Partikel Elementer [Skripsi]. Depok: Departemen Fisika, Universitas Indonesia. 2004. 2. Hardhienata H, et all. Bulk Dipolar Contribution to Second Harmonic Generation in Zincblende. Journal of the Optical Society of America B. 2016; 33 (2): 1-7. 3. Hardhienata H. Second Harmonic Generation in Zincblende and Diamond Lattices [Disertasi]. Linz: Doktor der Naturwissenschaften, Johannes Kepler University Linz. 2014. 4. Powell, R C. 2010. Symmetry, Group Theory, and the Physical Properties of Crystals. New York: Springer. 5. Jatirian-Foltidesa E.S, et al. 2016. About the calculation of the second-order susceptibility χ(2) tensorial elements for crystals using group theory. Revista Mexicana de F´ısica E. Vol [62]: 5-13. 6. Dresselhaus MS, Dresselhaus G, Jorio A. 2007. Group Theory: Application to the physics of condensed matter. Brazil: Springer. 7. Emminger, Carola. Transformation of Thirnd-rank Tensor [Skripsi]. Linz: Departemen Teknik Fisika, Johannes Kepler University Linz. 2013. 8. Alejo-Molina A, Kurt H, Hardhienata H. Model oF Third Harmonic Generation and Electric Field Induced Optical Second Harmonic Using Simplified Bond-Hyperpolarizability Model. Journal of the Optical Society of America. 2015; 1-10. 9. Robinson D. 1996. A Course in the Theory of Groups. New York: Springer. 10. New, Geoffrey. 2011. Introduction to Nonlinear Optics. New York: Cambridge University Press. 11. Boyd, Robert. 2007. Nonlinear Optics: Third Edition. New York: Academic Press.

19

LAMPIRAN Lampiran 1 Diagram alir penelitian

20 Lampiran 2 Daftar 48 elemen matriks grup Oh

Gambar 3 Transformasi koordinat kartesian4 Elemen identitas

1 E = (0 0

0 1 0

0 0) 1

(20)

Transformasi Koordinat Kartesian Rotasi Disekitar Sumbu z x' =x cos θ +y sin θ y' =-x sin θ +y cos θ z' =z Sehingga,

ax'x x x' ' (y') =(Cθ(z) ) (y) = (ay'x az'x z z'

ax'y ay'y az'y

ax'z x ay'z ) (y) az'z z

(21) (22)

x' cos θ sin θ 0 x (y') = (- sin θ cos θ 0) (y) 0 0 1 z z' Jadi

cos θ ' (Cθ(z) ) = (- sin θ 0

sin θ 0 cos θ 0) 0 1

(23)

Melalui persamaan d'i =Lij dj dan dj =Lji d'i Maka

(24)

21 cos θ sin θ 0 T [(Cθ(z) ) ] = (- sin θ cos θ 0) 0 0 1 ' T

cos θ - sin θ 0 (Cθ(z) ) = ( sin θ cos θ 0) 0 0 1

(25) (26)

Dengan cara yang sama dengan rotasi pada sumbu z, maka dapat dihasilkan pula rotasi disekitar sumbu y dan sumbu x, yaitu cos θ 0 sin θ (Cθ(y) ) = ( 0 (27) 1 0 ) - sin θ 0 cos θ 1 (Cθ(x) ) = (0 0

0 0 cos θ -sin θ) sin θ cos θ

(28)

Persamaan Rotasi Rodrigues Jika v adalah vektor dalam suatu elemen rotasi grup Oh dan n adalah unit vektor dari elemen rotasi tersebut, maka v akan mengandung v yang teak lurus dengan elemen rotasi, serta v yang sejajar dengan elemen rotasi. Sehingga didapatkan persamaan: v = v∥ + v⊥

(29)

v∥ = (n.v).n

(30)

Dimana,

Dari persamaan (29) dan (30) akan dihasilkan v⊥ = v - v∥ = v - (n.v).n

(31)

Dengan menggunakan aturan cross product, maka akan diketahui bahwa n×(v×n) = (n.n).v - (n.v).n = n2 v - (nv)n = v - (nv)n

(32)

Dan n×(v×n) = -n × (n × v), maka persamaan (31) akan menjadi v⊥ = -n × (n × v)

(33)

Jika vrot adalah vektor rotasi grup Oh terhadap suatu sumbu tertentu. Maka vrot ∥ = v∥ |vrot ⊥ | = |v⊥ | vrot ⊥ = cos θ v⊥ + sin θ (n × v⊥ )

(34)

22 Sehingga, n × v⊥ = n × (v - v∥ ) n × v⊥ = n × v - n × v∥ = n × v

(35)

Substitusi persamaan (34) dan (35) akan menghasilkan vrot ⊥ = cos θ v⊥ + sin θ (n × v)

(36)

Substitusi persamaan (29), (31) dan (36)akan menjadi vrot = vrot ∥ + vrot ⊥ vrot = (v - v⊥ ) + vrot ⊥ vrot = ( v - v⊥ ) + cos θ v⊥ + sin θ ( n × v ) vrot = v + ( cos θ -1) v⊥ + sin θ (n × v) vrot = v + ( cos θ -1) [ -n × (n × v)] + sin θ (n × v) vrot = v + (1- cos θ ) [n × (n × v)]+ sin θ (n × v) vrot = v + sin θ (n × v) + (1- cos θ ) [n × (n × v)]

(37)

Notasi matriks persamaan Rodrigues (n × v)x ny vz - nz vy ((n × v)y ) = (nz vx - nx vz ) nx vy - nvx (n × v)z

(38)

Dalam bentuk matriks 3 x 3, yaitu (n × v) x 0 ( (n × v)y ) = ( nz vx -ny vx (n × v)z ( n ×v)x 0 ((n × v)y ) = ( nz -ny (n × v)z 0 Jika N = ( nz -ny

-nz 0 nx

-nz vy 0 nx vy -nz 0 nx

ny vx -nx ) dan V = (vy ), maka vz 0 (n × v)x ((n × v)y ) =N.V (n × v)z

ny vz -nx vz ) 0

ny vx -nx ) (vy ) vz 0

(39)

23 N.V= n × v N(N.V) = N2 V = n × (n × v) Sehingga, vrot = v + sin θ (n × v) + (1- cos θ ) [n × (n × v)] vrot = v + sin θ nv + (1- cos θ)n2 v Karena vrot = vR Maka, vR = v + sin θ nv + (1- cos θ) n2 v vR = v (I + sin θ n + (1- cos θ) n2 ) R = I + sin θ n + (1- cos θ) n2

(40)

Dimana nilai I adalah matriks elemen identitas, serta R adalah matriks rotasi dari elemen grup Oh. Dari persamaan tersebut dihitung didapatkan nilai dari masingmasing elemen rotasi. Elemen rotasi 120o terhadap sumbu x, y, z pada bidang tiga dimensi (8C3) 0 Rot1 = (1 0

0 0 1

1 0) 0

0 Rot5 = (0 1

0 Rot2 = (0 1

1 0 0

0 1) 0

0 Rot6 = (-1 0

0 Rot3 = ( 0 -1

-1 0 0

0 Rot4 = (-1 0

0 -1 0 0) 1 0

0 1) 0

Elemen matriks rotasi 180o (6C2)

0 Rot7 = (1 0 0 Rot8 = ( 0 -1

-1 0 0 0 0 -1 0 0 -1

0 -1) 0 1 0) 0 -1 0) 0

1 0 0 -1) 0 0

24

0 Rot9 = (1 0

1 0 0

-1 Rot10 = ( 0 0

0 Rot11 = (0 1

0 0) -1 0 0 1

0 -1 0

1 0) 0

0 1) 0

Elemen matriks rotasi 90o (6C4)

1 0 0 Rot12 = (0 0 -1) 0 1 0

1 0 0 Rot15 = (0 0 1) 0 -1 0

0 Rot13 = ( 0 -1

0 1 0

1 0) 0

0 Rot16 = (0 1

0 Rot14 = (1 0

-1 0 0

0 0) 1

0 Rot17 = (-1 0

0 1 0

-1 0) 0

1 0 0

0 0) 1

0 -1 0

0 0) 1

Elemen matriks rotasi 90o twofold terhadap sumbu x, y, z (3C24 =3C2 ) 1 Rot18 = (0 0

0 -1 0

0 0) -1

-1 Rot19 = ( 0 0

0 1 0

0 0) -1

-1 Rot20 = ( 0 0

Elemen matriks invers Didapatkan melalui persamaan

i=C2 σh 1 inv = (0 0

0 -1 0

0 1 0 0 ) (0 -1 -1 0 0

0 -1 0) = ( 0 1 0

0 -1 0

0 0) -1

25 Elemen matriks kombinasi antara pencerminan dengan rotasi 90o (6S4) Didapatkan melalui persamaan: S4 =σh C4 0 S1 = (-1 0

1 0 0

0 0) -1

0 S4 = (1 0

-1 S2 = ( 0 0

0 0 1

0 -1) 0

-1 S5 = ( 0 0

0 S3 = ( 0 -1

0 -1 0

1 0) 0

0 S6 = (0 1

-1 0 0

0 0) -1

0 0 -1

0 1) 0

0 -1 0

-1 0) 0

Elemen matriks kombinasi antara pencerminan dengan rotasi 120o (8S6) Didapatkan melalui persamaan: 𝑆6 = 𝜎ℎ 𝐶3 0 0 S7= (1 0 0 -1

1 0) 0

0 S11 = ( 0 -1

-1 0 0

0 S8 = ( 0 -1

1 0 0

0 1) 0

0 S12 = (-1 0

0 0 1

0 S9 = (0 1

-1 0 0

0 1) 0

0 S13 = (1 0

0 0 1

-1 0) 0

0 S14 = (0 1

1 0 0

0 -1) 0

0 S10 = (-1 0

0 0 -1

-1 0) 0

0 -1) 0 1 0) 0

Pencerminan bidang horizontal (3σh) 1 Reflx1 = (0 0

0 -1 0

0 0) 1

-1 Reflx2 = ( 0 0

0 1 0

0 0) 1

1 Reflx3 = (0 0

0 1 0

0 0) -1

26 Pencerminan bidang diagonal (3σd) 0 Reflx4 = (1 0 0 Reflx5 = (-1 0

1 0 0 -1 0 0

0 Reflx7 = ( 0 -1

0 0) 1

1 Reflx8 = (0 0

0 0) 1

0 1 0 0 0 1

1 0 Reflx9 = (0 0 0 -1

0 0 1 Reflx6= (0 1 0) 1 0 0 Transformasi tensor rank empat

d'ijkl =aim ajn ako alp d

mnop ' dijkl =ajn ako alp (aim d ) mnop

d'ijkl =ajn ako alp d

inop T ' dijkl =ajn ako dinop (alp ) d'ijkl =ajn ako dinop apl d'ijkl =ajn ako dinol d'ijkl =ajn ako (dinol )T d'ijkl =ajn ako doinl d'ijkl =ajn (dkinl )T d'ijkl =ajn dnkil T d'ijkl =(djkil ) d'ijkl =dijkl

-1 0) 0 0 1) 0 0 -1) 0

Lampiran 3 Program rotasi Rodrigues

In[38]:=

In[39]:=

In[42]:=

H*Persamaan Rodrigues untuk Rotasi 3 Dimensi*L 1 0 0 RotX@q_D = 0 Cos@qD -Sin@qD ; 0 Sin@qD Cos@qD RotY@q_D =

Cos@qD 0 -Sin@qD 0 1 0 ; Sin@qD 0 Cos@qD

RotZ@q_D =

Cos@qD -Sin@qD 0 Sin@qD Cos@qD 0 ; 0 0 1

RotZYX = [email protected]@q2D.RotX@q1D; MatrixForm@RotZYXD

Out[43]//MatrixForm=

Cos@q2D Cos@q3D -Cos@q3D Sin@q1D Sin@q2D - Cos@q1D Sin@q3D -Cos@q1D Cos@q3D Sin@q2D + Sin@q1D Sin Cos@q2D Sin@q3D Cos@q1D Cos@q3D - Sin@q1D Sin@q2D Sin@q3D -Cos@q3D Sin@q1D - Cos@q1D Sin@q2D Sin Sin@q2D Cos@q2D Sin@q1D Cos@q1D Cos@q2D In[44]:=

In[45]:=

H*unit vektor rotasi sejajar terhadap sumbu rotasi x, y, dan z dari elemen rotasi 120 derajat grup Oh*L

n = 8n1, n2, n3<; H*cpadalah matriks cross product yang dihasilkan dari parameter Euler-Rodrigues*L cp =

0 -n3 n2 n3 0 -n1 ; -n2 n1 0

1 0 0 R = MatrixFormB 0 1 0 0 0 1

+ Sin@aD cp + H1 - Cos@aDL cp.cpF

H*persamaan Rodrigues untuk rotasi 3 dimensi yang bersifat umum*L Solve@n1 ^ 2 + n2 ^ 2 + n3 ^ 2 Š 1, n1D H* n is unit vector *L


0 0 1 1 0 0 0 1 0

1 is not a valid variable. ‡

Solve::ivar : 3 1 Out[48]=

SolveBTrue, 3

In[49]:=

In[50]:=

In[51]:=

H*penyederhanaan persamaan Rodrigues yang dihasilkan dari program mathematica*L Rot :=

1 + Hn1 ^ 2 - 1L H1 - Cos@aDL n1 n2 H1 - Cos@aDL - n3 Sin@aD n1 n3 H1 - Cos@aDL + n2 Sin@aD n1 n2 H1 - Cos@aDL + n3 Sin@aD 1 + Hn2 ^ 2 - 1L H1 - Cos@aDL n2 n3 H1 - Cos@aDL - n1 Sin@aD n1 n3 H1 - Cos@aDL - n2 Sin@aD n2 n3 H1 - Cos@aDL + n1 Sin@aD 1 + Hn3 ^ 2 - 1L H1 - Cos@aDL

H*masukan nilai sudut dan nilai unit vektor n1, n2, dan n3*L n1 = n2 = n3 = H1 • HSqrt@3DLL a = 120 Degree 1

Out[51]=

3 Out[52]=

F

120 °

2

Rotasi Rodrigues.nb

In[53]:=

MatrixForm@RotD


0 0 1 1 0 0 0 1 0 In[54]:=

Out[54]=

Rot1 = Transpose@RotD MatrixForm@Rot1D

880, 1, 0<, 80, 0, 1<, 81, 0, 0<<


0 1 0 0 0 1 1 0 0

In[56]:=

n2 = n3 = H1 • HSqrt@3DLL n1 = HH-1L • HSqrt@3DLL a = 120 Degree 1

Out[56]=

3 1 Out[57]=

3

Out[58]=

In[59]:=

120 ° MatrixForm@RotD


0 -1 0 0 0 1 -1 0 0 In[60]:=

Out[60]=

Rot2 = Transpose@RotD MatrixForm@Rot2D n1 = n3 = H1 • HSqrt@3DLL n2 = HH-1L • HSqrt@3DLL a = 120 Degree

880, 0, -1<, 8-1, 0, 0<, 80, 1, 0<<


0 0 -1 -1 0 0 0 1 0 1

Out[62]=

3 1 Out[63]=

3

Out[64]=

120 °

Rotasi Rodrigues.nb

In[65]:=

MatrixForm@RotD


0 -1 0 0 0 -1 1 0 0 In[66]:=

Out[66]=


880, 0, 1<, 8-1, 0, 0<, 80, -1, 0<<


0 0 1 -1 0 0 0 -1 0

In[68]:=

n1 = n2 = H1 • HSqrt@3DLL n3 = HH-1L • HSqrt@3DLL a = 120 Degree 1

Out[68]=

3 1 Out[69]=

3

Out[70]=

In[71]:=

120 ° MatrixForm@RotD


0 1 0 0 0 -1 -1 0 0 In[72]:=

Out[72]=


880, 0, -1<, 81, 0, 0<, 80, -1, 0<<


0 0 -1 1 0 0 0 -1 0

3

Lampiran 4 Program point group Oh

In[1]:=

H*SIMETRI OPERASI POINT GROUP Oh BAYTI NURJANATI*L H*IDENTITAS HEL*L 1 0 0 Id = 0 1 0 ; 0 0 1 H*Inverse*L Inv =

-1 0 0 0 -1 0 ; 0 0 -1

H*ROTASI 120 DERAJAT H8C3L*L 0 0 1 Rot1 = 1 0 0 ; 0 1 0

H*Rotasi 180 Derajat H6C2L*L 0 1 0 Rot2 = 1 0 0 ; 0 0 -1

H*Rotasi 90 Derajat H6C4L*L 1 0 0 Rot3 = 0 0 -1 ; 0 1 0

H*2 Kali Rotasi 90 Derajat H3C4•2L*L 1 0 0 Rot4 = 0 -1 0 ; 0 0 -1

H*Kombinasi Pencerminan dan Rotasi H6S4L*L 0 1 0 S1 = - 1 0 0 ; 0 0 -1

H*Kombinasi Pencerminan dan Rotasi H8S6L*L 0 0 1 S2 = 1 0 0 ; 0 -1 0

H*Pencerminan Bidang Horizontal H8shL*L 1 0 0 s1 = 0 -1 0 ; 0 0 1

H*Pencerminan Bidang DiagonalH6sdL*L

0 1 0 s2 = 1 0 0 ; 0 0 1

H*PERHITUNGAN*L H*DEFINISI TENSOR RANK 4*L ¿ = 8888d1111, d1112, d1113<, 8d1121, d1122, d1123<, 8d1131, d1132, d1133<<, 88d1211, d1212, d1213<, 8d1221, d1222, d1223<, 8d1231, d1232, d1233<<, 88d1311, d1312, d1313<, 8d1321, d1322, d1323<, 8d1331, d1332, d1333<<<, 888d2111, d2112, d2113<, 8d2121, d2122, d2123<, 8d2131, d2132, d2133<<, 88d2211, d2212, d2213<, 8d2221, d2222, d2223<, 8d2231, d2232, d2233<<, <,

2

Program Oh skripsi Bayti.nb

88d2311, d2312, d2313<, 8d2321, d2322, d2323<, 8d2331, d2332, d2333<<<, 888d3111, d3112, d3113<, 8d3121, d3122, d3123<, 8d3131, d3132, d3133<<, 88d3211, d3212, d3213<, 8d3221, d3222, d3223<, 8d3231, d3232, d3233<<, 88d3311, d3312, d3313<, 8d3321, d3322, d3323<, 8d3331, d3332, d3333<<<<; MatrixForm@ ¿D Out[12]//MatrixForm=

d1111 d1121 d1131 d2111 d2121 d2131 d3111 d3121 d3131 In[13]:=

d1112 d1122 d1132 d2112 d2122 d2132 d3112 d3122 d3132

d1113 d1123 d1133 d2113 d2123 d2133 d3113 d3123 d3133

d1211 d1221 d1231 d2211 d2221 d2231 d3211 d3221 d3231

d1212 d1222 d1232 d2212 d2222 d2232 d3212 d3222 d3232

d1213 d1223 d1233 d2213 d2223 d2233 d3213 d3223 d3233

d1311 d1321 d1331 d2311 d2321 d2331 d3311 d3321 d3331

d1312 d1322 d1332 d2312 d2322 d2332 d3312 d3322 d3332

d1313 d1323 d1333 d2313 d2323 d2333 d3313 d3323 d3333

H*Identitas*L Em = FullSimplify@ [email protected]@Id.Transpose@Id.¿.Transpose@IdD, 83, 1, 2, 4

d1111 d1121 d1131 d2111 d2121 d2131 d3111 d3121 d3131 In[16]:=

d1112 d1122 d1132 d2112 d2122 d2132 d3112 d3122 d3132

d1113 d1123 d1133 d2113 d2123 d2133 d3113 d3123 d3133

d1211 d1221 d1231 d2211 d2221 d2231 d3211 d3221 d3231

d1212 d1222 d1232 d2212 d2222 d2232 d3212 d3222 d3232

d1213 d1223 d1233 d2213 d2223 d2233 d3213 d3223 d3233

d1311 d1321 d1331 d2311 d2321 d2331 d3311 d3321 d3331

d1312 d1322 d1332 d2312 d2322 d2332 d3312 d3322 d3332

d1313 d1323 d1333 d2313 d2323 d2333 d3313 d3323 d3333

H*sh*L sh = FullSimplify@Transpose@ [email protected]@s1.Em.Transpose@s1D, 83, 1, 2, 4

d1111 0 d1131 0 d2121 0 d3111 0 d3131

0 d1122 0 d2112 0 d2132 0 d3122 0

d1113 0 d1133 0 d2123 0 d3113 0 d3133

0 d1221 0 d2211 0 d2231 0 d3221 0

d1212 0 d1232 0 d2222 0 d3212 0 d3232

0 d1223 0 d2213 0 d2233 0 d3223 0

d1311 0 d1331 0 d2321 0 d3311 0 d3331

0 d1322 0 d2312 0 d2332 0 d3322 0

d1313 0 d1333 0 d2323 0 d3313 0 d3333


In[19]:=

H*sd*L sd = FullSimplify@Transpose@ [email protected]@s2.sh.Transpose@s2D, 83, 1, 2, 4

d2222 0 0 0 d2211 0 0 0 d2233 0 d2112 0 d2121 0 0 0 0 0 0 0 d3223 0 0 0 d3232 0 0 In[22]:=

0 d2121 0 d2112 0 0 0 0 0 d2211 0 0 0 d2222 0 0 0 d2233 0 0 0 0 0 d3223 0 d3232 0

0 0 d2323 0 0 0 d2332 0 0 0 0 0 0 0 d2323 0 d2332 0 d3322 0 0 0 d3322 0 0 0 d3333

H*S6*L S6 = FullSimplify@Transpose@ [email protected]@S2.sd.Transpose@S2D, 83, 1, 2, 4

d3333 0 0 0 d3322 0 0 0 d3322 0 d3223 0 d3232 0 0 0 0 0 0 0 d3223 0 0 0 d3232 0 0 In[25]:=

0 d3232 0 d3223 0 0 0 0 0 d3322 0 0 0 d3333 0 0 0 d3322 0 0 0 0 0 d3223 0 d3232 0

0 0 d3232 0 0 0 d3223 0 0 0 0 0 0 0 d3232 0 d3223 0 d3322 0 0 0 d3322 0 0 0 d3333

H*S4*L S4 = FullSimplify@Transpose@ [email protected]@S1.S6.Transpose@S1D, 83, 1, 2, 4

d3333 0 0 0 d3322 0 0 0 d3322 0 d3223 0 d3232 0 0 0 0 0 0 0 d3223 0 0 0 d3232 0 0

0 d3232 0 d3223 0 0 0 0 0 d3322 0 0 0 d3333 0 0 0 d3322 0 0 0 0 0 d3223 0 d3232 0

0 0 d3232 0 0 0 d3223 0 0 0 0 0 0 0 d3232 0 d3223 0 d3322 0 0 0 d3322 0 0 0 d3333

3

4


In[28]:=

H*Inverse*L Invs = FullSimplify@Transpose@ [email protected]@Inv.S4.Transpose@InvD, 83, 1, 2, 4

d3333 0 0 0 d3322 0 0 0 d3322 0 d3223 0 d3232 0 0 0 0 0 0 0 d3223 0 0 0 d3232 0 0 In[31]:=

0 d3232 0 d3223 0 0 0 0 0 d3322 0 0 0 d3333 0 0 0 d3322 0 0 0 0 0 d3223 0 d3232 0

0 0 d3232 0 0 0 d3223 0 0 0 0 0 0 0 d3232 0 d3223 0 d3322 0 0 0 d3322 0 0 0 d3333

H*C42*L C42 = FullSimplify@ [email protected]@[email protected]@Rot4D, 83, 1, 2, 4

d3333 0 0 0 d3322 0 0 0 d3322 0 d3223 0 d3232 0 0 0 0 0 0 0 d3223 0 0 0 d3232 0 0 In[34]:=

0 d3232 0 d3223 0 0 0 0 0 d3322 0 0 0 d3333 0 0 0 d3322 0 0 0 0 0 d3223 0 d3232 0

0 0 d3232 0 0 0 d3223 0 0 0 0 0 0 0 d3232 0 d3223 0 d3322 0 0 0 d3322 0 0 0 d3333

H*C4*L C4 = FullSimplify@ [email protected]@[email protected]@Rot3D, 83, 1, 2, 4

d3333 0 0 0 d3322 0 0 0 d3322 0 d3223 0 d3232 0 0 0 0 0 0 0 d3223 0 0 0 d3232 0 0

0 d3232 0 d3223 0 0 0 0 0 d3322 0 0 0 d3333 0 0 0 d3322 0 0 0 0 0 d3223 0 d3232 0

0 0 d3232 0 0 0 d3223 0 0 0 0 0 0 0 d3232 0 d3223 0 d3322 0 0 0 d3322 0 0 0 d3333


In[37]:=

H*C2*L C2 = FullSimplify@Transpose@Rot2. [email protected]@Rot2.C4.Transpose@Rot2D, 83, 1, 2, 4

d3333 0 0 0 d3322 0 0 0 d3322 0 d3223 0 d3232 0 0 0 0 0 0 0 d3223 0 0 0 d3232 0 0 In[40]:=

0 d3232 0 d3223 0 0 0 0 0 d3322 0 0 0 d3333 0 0 0 d3322 0 0 0 0 0 d3223 0 d3232 0

0 0 d3232 0 0 0 d3223 0 0 0 0 0 0 0 d3232 0 d3223 0 d3322 0 0 0 d3322 0 0 0 d3333

H*C3*L C3 = FullSimplify@Transpose@Rot1. [email protected]@Rot1.C2.Transpose@Rot1D, 83, 1, 2, 4

d3333 0 0 0 d3322 0 0 0 d3322 0 d3223 0 d3232 0 0 0 0 0 0 0 d3223 0 0 0 d3232 0 0 In[43]:=

In[44]:=

0 d3232 0 d3223 0 0 0 0 0 d3322 0 0 0 d3333 0 0 0 d3322 0 0 0 0 0 d3223 0 d3232 0

H*perbandingan dengan literatur*L

0 0 d3232 0 0 0 d3223 0 0 0 0 0 0 0 d3232 0 d3223 0 d3322 0 0 0 d3322 0 0 0 d3333

5

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Brebes, Jawa Tengah, pada tanggal 2 Desember 1994 dari pasangan Dapan dan Wasronah. Penulis merupakan anak keempat dari lima bersaudara. Penulis adalah lulusan dari SMAN 1 Tanjung-Brebes, pada tahun 2012. Pada tahun yang sama, penulis diterima di Departemen Fisika IPB melalui jalur SNMPTN Undangan. Selama perkuliahan penulis aktif dalam berbgai organisasi dan kepanitiaan, baik di dalam kampus maupun diluar kampus diantaranya Sekretaris KPMDB Regional Bogor tahun 2013, Anggota Komisi 2 DPM FMIPA IPB 2013, Sekretaris BP (Badan Pekerja) 2 MPM KM IPB 2013, Sekretaris Save Street Child Kelas Bogor tahun 2014-sekarang, Divisi Pendidikan Save Street Child Kelas Jabodetabek tahun 2016. Penulis juga pernah menjadi asisten praktikum mata kuliah fisika dasar I dan II tahun 2014 dan 2016, asisten praktikum Fisika TPB 2015, asisten praktikum Biofisika Umum 2013, asisten responsi Termodinamika 2015, asisten responsi Mekanika II 2016. Penulis juga pernah mengikuti Olimpiade Nasional Matematika dan IPA (ON-MIPA) tingkat Jabodetabek dan Banten pada tahun 2015 dan 2016.

ANALISIS TEORI GRUP UNTUK SEMIKONDUKTOR SILIKON BERSIMETRI Oh BAYTI NURJANATI

Recommend Documents