BAB 4 Analisis Kestabilan Linear dan Simulasi Pada bab ini kita akan membahas mengenai ketidakstabilan dari lapisan fluida tipis. Analisis kestabilan linear kita gunakan untuk melihat kondisi serta parameter apa saja yang menjadikan sistem tidak stabil. Kondisi ketidakstabilan terjadi ditandai dengan amplitudo dari suatu gelombang, dalam hal ini gelombang yang dimaksud adalah gerakan gelombang dari permukaan lapisan fluida tipis. Semakin positif amplitudonya memperlihatkan bahwa lapisan fluida tipis tersebut semakin tidak stabil. Pada bagian simulasi kita akan melihat perubahan yang dihasilkan terhadap ketidakstabilan sistem jika salah satu parameter kita ubah dan yang lainnya kita tetapkan.
4.1
Analisis Kestabilan Linear
Persamaan yang kita dapatkan setelah melalui beberapa tahap sebelumnya merupakan persamaan diferensial parsial tak linear. Untuk memudahkan analisisnya maka digunakan analisis kestabilan linear untuk melihat bagaimana ketidakstabilan dari sistem yang diamati. Dengan menggunakan analisis kestabilan linear, disini kita misalkan lapisan fluida tipis yang kita amati terdiri atas bagian dasar dan bagian perturbasinya. Bagian perturbasi disini adalah bagian dari lapisan fluida tipis yang 16
BAB 4. ANALISIS KESTABILAN LINEAR DAN SIMULASI
17
bergelombang. Kita misalkan bagian dasarnya suatu nilai konstan tertentu, untuk memudahkan kita gunakan nilai 1 disini.
Dengan demikian dapat kita tulis kembali dalam bentuk: h = 1 + h0 , Γ = 1 + Γ0 , C = 1 + C 0 .
(4.1.1)
Dengan h0 ,Γ0 , dan C 0 didefinisikan sebagai berikut: h0 = H ∗ e(ikx+ωt) ,
(4.1.2)
Γ0 = Γ∗ e(ikx+ωt) ,
(4.1.3)
C 0 = C ∗ e(ikx+ωt) ,
(4.1.4)
dimana H ∗ ,Γ∗ dan C ∗ merupakan amplitudo awal dari masing-masing variabel. Sedangkan k merupakan bilangan gelombang dan ω merupakan amplitudo gelombang. Dengan mensubstitusikan Persamaan (4.1.1) - (4.1.4) ke dalam persamaan yang merepresentasikan ketebalan lapisan fluida tipis yang dipengaruhi oleh surfakan larut yaitu Persamaan (4.1.2) maka di peroleh persamaan sebagai berikut : 1 ωH ∗ e(ikx+ωt) + σk 4 H ∗ e(ikx+ωt) − Ak 2 H ∗ e(ikx+ωt) 3 1 1 + M[ + nKβ n ]k 2 Γ∗ e(ikx+ωt) = 0. 2 1−β
(4.1.5)
dengan cara yang sama diterapkan pada Persamaan (3.3.11) dan Persamaan (3.3.12), didapat persamaan sebagai berikut : ωC ∗ e(ikx+ωt) + D1 k 2 C ∗ e(ikx+ωt) − Jλ[
C ∗ e(ikx+ωt) Γ∗ e(ikx+ωt) (−vd∗ ) − ]e = 0, 1−β 1−β
1 3 ωΓ ∗ e(ikx+ωt) + σk 4 H ∗ e(ikx+ωt) − Ak 2 H ∗ e(ikx+ωt) 2 2 1 n 2 (ikx+ωt) + M[ + nKβ ]k Γ ∗ e + D2 k 2 Γ ∗ e(ikx+ωt) 1−β C ∗ e(ikx+ωt) Γ ∗ e(ikx+ωt) (−vd∗ ) − J[ − ]e = 0. 1−β 1−β
(4.1.6)
(4.1.7)
BAB 4. ANALISIS KESTABILAN LINEAR DAN SIMULASI
18
Dari Persamaan (4.1.5), (4.1.6), dan (4.1.7) dalam bentuk matriks bisa kita tulis sebagai berikut:
ω + 31 σk 4 − Ak 2
0
0
ω + D1 k 2 − JλB exp(−vd )
1 2 2 σk
− 32 Ak 2
1 2 2 M Xk
∗
−JBe(−vd )
H0
0
0 C = 0 . 0 Γ0 ω + M Xk 2 + D2 k 2 (4.1.8) JλB exp(−vd )
dimana, B=
1 1 ,X = + nKβ n . 1−β 1−β
(4.1.9)
Sampai pada tahap ini kita mendapatkan suatu formula dalam bentuk matriks yang cukup mudah untuk dianalisis. Parameter yang menjadi ukuran dalam analisis ini adalah growth rate (ω) yang merupakan amplitudo gelombang dan k yang merupakan bilangan gelombang. Dari ekspresi matriks diatas kita akan melihat determinan dari matriks, dimana agar solusinya tidak trivial maka determinannya haruslah sama dengan nol. Determinan dari matriks (4.1.8) adalah sebagai berikut: 1 ∗ ∗ ω 3 + ( σk 4 + (D1 + D2 + M X − A)k 2 + JBe(−vd ) − JBλe(−vd ) )ω 2 3 1 1 1 1 1 ∗ + (( σD2 + σM X + σD1 )k 6 + (− σJBλe(−vd ) + D1 M X − AM X 3 12 3 3 4 1 ∗ ∗ ∗ ∗ − AD1 + σJBe(−vd ) + D1 D2 − AD2 )k 4 + (−JBλM Xe(−vd ) + AJBλe(−vd ) − AJBe(−vd ) 3 1 1 ∗ ∗ + D1 JBe(−vd ) − JBλD2 e(−vd ) )k 2 )ω + ( σD1 M X + σD1 D2 )k 8 12 3 1 1 1 1 ∗ ∗ ∗ + (− σJBλM Xe(−vd ) − AD1 D2 + σD1 JBe(−vd ) − AD1 M X − σλJBD2 e(−vd ) )k 6 12 3 4 3 1 ∗ ∗ ∗ + (−AD1 JBe(−vd ) + AJBλM Xe(−vd ) + AJBD2 λe(−vd ) )k 4 = 0. 4 (4.1.10) Dengan mensubstitusikan beberapa nilai parameter ke dalam persamaan diatas dan dengan menggunakan alat bantu program Mathematica maka selanjutnya akan kita amati perilaku dari ketidakstabilan lapisan fluida tipis yang dipengaruhi oleh surfaktan larut.
BAB 4. ANALISIS KESTABILAN LINEAR DAN SIMULASI
4.2 4.2.1
19
Simulasi dan Pembahasan Tegangan Permukaan
Untuk melihat pengaruh dari tegangan permukaan terhadap ketidaksatabilan suatu lapisan fluida tipis, dapat kita lihat melalui hasil simulasi pada gambar berikut.
Gambar 4.1: Growth rate pada saat σ = 0.001,σ = 0.003 ,σ = 0.007 . Pada gambar 4.1 diatas, grafik merah adalah grafik pada saat σ = 0.001, grafik hijau adalah grafik pada saat σ = 0.003, sedangkan grafik hitam adalah grafik pada saat σ = 0.007. Dari gambar diatas dapat kita lihat bahwa semakin besar tegangan permukaannya maka akan membuat lapisan fluida tipis menjadi semakin stabil. Hal ini terlihat pada nilai growth rate yang semakin positif untuk nilai tegangan permukaan yang semakin kecil. Nilai tegangan permukaan yang semakin kecil, menyebabkan lapisan fluida tipis menjadi semakin tidak stabil. Pada kondisi nyatanya disini dapat dikatakan bahwa apabila tegangan permukaan lapisan fluida tipis yang akan diamati cenderung kecil maka akan semakin mudah mengganggu kestabilan lapisan fluida tipis tersebut.
BAB 4. ANALISIS KESTABILAN LINEAR DAN SIMULASI
4.2.2
20
Efek Konsentrasi Surfaktan
Terdapat dua parameter yang mewakili efek konsentrasi surfaktan terhadap ketidakstabilan lapisan fluida tipis, yaitu Marangoni Number (M) dan index of power law (n). Pertama akan dibahas terlebih dahulu untuk parameter Marangoni Number. Gambar (4.2) berikut ini merupakan simulasi untuk beberapa nilai Marangoni Number yang berbeda.
Gambar 4.2: Growth rate pada saat M = 2.4,M = 0.24,M = 0.0024 . Pada gambar diatas, grafik merah adalah grafik pada saat M = 2.4, grafik hijau adalah grafik pada saat M = 0.24, sedangkan grafik hitam adalah grafik pada saat M = 0.0024. Dari grafik diatas dapat kita lihat bahwa semakin besar nilai Marangoni Number maka nilai growth rate juga semakin positif. Artinya disini adalah semakin besar konsentrasi surfaktan yang diberikan pada sistem maka lapisan fluida tipis akan menjadi semakin tidak stabil. Sebaliknya semakin kecil konsentrasi surfaktan yang diberikan lapisan fluida tipis menjadi semakin stabil.
BAB 4. ANALISIS KESTABILAN LINEAR DAN SIMULASI
21
Parameter kedua yang akan kita lihat efeknya pada ketebaan lapisan fluida tipis yang berkaitan dengan konsentrasi surfaktan adalah index of power law (n). Gambar (4.3) berikut ini adalah gambar simulasi dengan beberapa nilai (n) yang berbeda.
Gambar 4.3: Growth rate pada saat n = 0.08, n = 0.05, n = 0.01 . Pada gambar diatas, grafik merah menunjukkan grafik dengan nilai n = 0.08, grafik hijau menunjukkan grafik dengan nilai n = 0.05, dan grafik hitam menunjukkan grafik dengan nilai n = 0.01. Dari hasil simulasi gambar diatas, diperoleh bahwa untuk nilai n yang semakin besar maka nilai growth rate juga semakin positif. Kondisi ini berhubungan dengan jenis surfaktan yang digunakan, dimana untuk n yang berbeda menunjukkan jenis surfaktan yang berbeda.
