IndoMS Journal on Statistics Vol. 2, No. 2 (2014), Page 63-69
ANALISIS BAYES UNTUK REGRESI SPLINE TERPENALTI STUDI KASUS: ANALISIS HUBUNGAN JUMLAH UANG BEREDAR DENGAN INFLASI DI INDONESIA Rika Fitriani, Gunardi Departemen Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta
Abstract In this paper, Bayesian analysis for penalized spline regression is discussed. Penalized spline regression parameters can be estimated by Gibbs sampling approach. Bayesian analysis for penalized spline regression will be applied to analyze the relationship between the money supply and inflation in Indonesia. The estimation result of Bayesian analysis for penalized spline regression is compared to penalized spline regression using least square method and simple linear regression. The estimation result of Bayesian analysis for penalized spline regression has the smallest SSE and the largest R2. Keywords: penalized spline regression, Gibbs sampling
Abstrak Pada penelitian ini dibahas mengenai analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti. Parameter pada model regresi spline terpenalti dapat diestimasi dengan menggunakan pendekatan Gibbs sampling. Analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti dengan error yang heteroskedastis diaplikasikan untuk menganalisis hubungan antara jumlah uang beredar dengan inflasi di Indonesia. Hasil analisis data menggunakan analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti dibandingkan dengan hasil analisis regresi spline terpenalti menggunakan metode kuadrat terkecil dan hasil analisis regresi linear sederhana. Diperoleh kesimpulan bahwa hasil analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti menghasilkan nilai SSE terkecil dan R2 terbesar. Kata kunci: regresi spline terpenalti, Gibbs sampling
1. Pendahuluan Analisis regresi merupakan analisis statistik yang digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel dependen dengan variabel independen. Metode dalam analisis regresi terdiri dari regresi parametrik, regresi nonparametrik, dan regresi semiparametrik. Regresi semiparametrik adalah gabungan dari regresi parametrik dan regresi nonparametrik. Regresi parametrik mengasumsikan bentuk kurva regresi sudah ditentukan. Apabila tidak ada informasi mengenai bentuk kurva regresi, maka metode yang dapat digunakan adalah 2010 Mathematics Subject Classification: 62F15, 62G08, 62J05 63
64
Rika Fitriani, Gunardi
regresi nonparametrik. Regresi nonparametrik mempunyai fleksibilitas tinggi karena tidak tergantung pada asumsi bentuk kurva tertentu [6]. Beberapa metode penghalus dalam regresi nonparametrik antara lain metode penghalusan spline (smoothing spline), regresi spline (regression spline), dan regresi spline terpenalti (penalized spline regression). Spline adalah polinomial yang memiliki sifat tersegmen. Pertemuan titik-titik segmen disebut simpul (knot). Metode yang dibahas dalam tulisan ini adalah regresi spline terpenalti. Regresi spline terpenalti dapat diestimasi dengan menggunakan metode kuadrat terkecil dan metode Bayes. Metode Bayes adalah suatu metode analisis yang berdasarkan pada informasi yang berasal dari sampel (sample information) dan informasi prior (prior information). Informasi prior merupakan informasi terdahulu/sebelumnya mengenai distribusi parameter yang tidak diketahui. Informasi prior ini bersifat subjektif, tergantung pendapat ahli mengenai parameter tersebut. Keuntungan penggunaan analisis Bayes dalam estimasi yaitu analisis Bayes merupakan analisis yang berlandaskan pada data hasil observasi sehingga memberikan implikasi yang baik dalam analisis, analisis Bayes dengan noninformative prior memberikan kemudahan dalam analisis, dan analisis Bayes tidak memerlukan asymtotic inference sehingga dapat digunakan untuk semua ukuran sampel [4]. 2. Metode Regresi Spline Terpenalti Hubungan antara variabel independen, ๐ฅ dengan variabel dependen, ๐ฆ ditulis dalam bentuk:
๐ฆ = ๐ (๐ฅ) + ๐, ๐~๐(0, ๐๐2 ๐ผ๐ )
(2.1)
dengan ๏ง ๐ฆ : variabel dependen ๏ง ๐ (๐ฅ) : bentuk hubungan fungsional antara variabel dependen dengan variabel independen ๏ง ๐ : kesalahan random. Fungsi penghalus untuk ๐ (๐ฅ) pada persamaan (2.1) dapat dimodelkan dengan menggunakan fungsi spline. Spline adalah polinomial yang memiliki sifat tersegmen. Pertemuan titik-titik segmen disebut simpul (knot). Fungsi spline berorder p dengan titik-titik simpul ๐1 , ๐2 , โฆ , ๐๐พ didefinisikan dalam bentuk ๐ ๐โ1 ๐ (๐ฅ) = โ๐+1 + โ๐พ (2.2) ๐=1 ๐ฝ๐+1+๐ (๐ฅ โ ๐๐ )+ ๐=1 ๐ฝ๐ ๐ฅ dengan ๏ง ๐ฝ๐ dan ๐ฝ๐+1+๐ adalah parameter fungsi spline, dengan ๐ = 1, โฆ , (๐ + 1) dan ๐ = 1,2, โฆ , ๐พ ๏ง ๐๐ adalah titik-titik simpul, dengan ๐ = 1,2, โฆ , ๐พ (๐ฅ โ ๐๐ )๐ , ๐ฅ โ ๐๐ โฅ 0 ๐ ๏ง (๐ฅ โ ๐๐ )+ = { . 0 , ๐ฅ โ ๐๐ < 0 Menurut Ruppert [8], jumlah simpul, ๐พ dapat ditentukan dengan rumus 1
๐พ = min (4 ๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐ ๐ข๐๐๐๐ข๐ ๐ฅ , 35) dan lokasi simpul dapat ditentukan dengan rumus ๐ ๐๐ = kuantil ke {๐พ+1} dari x, 1 โค k โค K.
(2.3) (2.4)
Analisis Bayes untuk Regresi Spline Terpenalti
65
Tingkat kehalusan kurva diukur dengan menggunakan penalti kekasaran. Menurut Crainiceanu et al. [5], penalti kekasaran didefinisikan sebagai ๐ฝ โฒ ๐ท๐ฝ (2.5) dengan ๏ง ๐ฝ : parameter fungsi spline, ๐ฝ = [๐ฝ1 โฏ ๐ฝ๐+1 ๐ฝ๐+1+1 โฏ ๐ฝ๐+1+๐พ ]โฒ 0(๐+1)ร(๐+1) 0(๐+1)ร๐พ ๏ง ๐ท : matriks penalti, ๐ท = [ ]. 0๐พร(๐+1) ๐ผ๐พร๐พ Jika diambil ๐ฆ1 ๐ฆ2 ๏ง ๐ฆ=[ ] โฎ ๐ฆ๐ ๐ ๐ ๐ 1 ๐ฅ1 โฏ ๐ฅ1 (๐ฅ1 โ ๐1 )+ โฏ (๐ฅ1 โ ๐๐พ )+ 1 ๐ฅ2 โฏ ๐ฅ2๐ (๐ฅ2 โ ๐1 )๐+ โฏ (๐ฅ2 โ ๐๐พ )๐+ ๏ง ๐= โฎ โฎ โฑ โฎ โฎ โฎ โฑ ๐ ๐ ๐ [1 ๐ฅ๐ โฏ ๐ฅ๐ (๐ฅ๐ โ ๐1 )+ โฏ (๐ฅ๐ โ ๐๐พ )+ ] ๐1 ๐ ๏ง ๐ = [ 2 ], โฎ ๐๐ maka persamaan (2.1) dapat ditulis sebagai berikut ๐ฆ = ๐๐ฝ + ๐, ๐~๐(0, ๐๐2 ๐ผ๐ ). (2.6) Pada regresi spline terpenalti, persamaan (2.6) diestimasi dengan cara meminimumkan 1 [๐ฆ โ ๐๐ฝ]โฒ [๐ฆ โ ๐๐ฝ] + ๐ฝ โฒ ๐ท๐ฝ (2.7) ๐ dengan ๐ parameter penghalus. Estimasi ๐ฝ pada persamaan (2.6) diselesaikan dengan regresi spline terpenalti pada persamaan (2.7) menggunakan metode kuadrat terkecil sehingga diperoleh estimator untuk ๐ฝ sebagai berikut. โ1 1 ๐ฝฬ = (๐ โฒ ๐ + ๐ท) ๐ โฒ ๐ฆ. (2.8) ๐
Jika diambil: ๐ ๐ ๐ 1 ๐ฅ1 โฏ ๐ฅ1 (๐ฅ1 โ ๐1 )+ โฏ (๐ฅ1 โ ๐๐พ )+ ๐ ๐ ๐ ๏ง ๐ โ = 1 ๐ฅ2 โฏ ๐ฅ2 , ๐ = (๐ฅ2 โ ๐1 )+ โฏ (๐ฅ2 โ ๐๐พ )+ โฎ โฎ โฑ โฎ โฑ โฎ โฎ ๐ ๐ ๐ [1 ๐ฅ๐ โฏ ๐ฅ๐ ] [(๐ฅ๐ โ ๐1 )+ โฏ (๐ฅ๐ โ ๐๐พ )+ ] ๐ฝ๐+1+1 ๐ฝ1 โ ๏ง ๐ฝ =[ โฎ ] , ๐ข = [ โฎ ], ๐ฝ๐+1 ๐ฝ๐+1+๐พ maka persamaan (2.7) dapat ditulis sebagai berikut 1 [๐ฆ โ ๐ โ ๐ฝ โ โ ๐๐ข]โฒ [๐ฆ โ ๐ โ ๐ฝ โ โ ๐๐ข] + ๐ขโฒ ๐ผ๐พร๐พ ๐ข. ๐ Jika persamaan (2.9) dibagi dengan ๐๐2 , maka diperoleh: 1 1 [๐ฆ โ ๐ โ ๐ฝ โ โ ๐๐ข]โฒ [๐ฆ โ ๐ โ ๐ฝ โ โ ๐๐ข] + 2 ๐ขโฒ ๐ผ๐พร๐พ ๐ข. ๐2 ๐๐ ๐
๐ ๐๐พ )+
๐
(2.9) (2.10)
Jika didefinisikan ๐๐ข2 = ๐๐๐2 dan (๐ฅ โ pada ๐ diperlakukan sebagai efek random, maka persamaan (2.10) merupakan estimasi metode kuadrat terkecil dari model linear campuran,
66
Rika Fitriani, Gunardi
dengan ๐ฝ โ sebagai parameter efek tetap dan ๐ข sebagai parameter efek random. Jadi, model regresi spline terpenalti dapat diformulasikan dalam bentuk model linear campuran dengan model ๐ฆ = ๐ โ ๐ฝ โ + ๐๐ข + ๐, ๐~๐(0, ๐๐2 ๐ผ๐ ), ๐ข~๐(0, ๐๐ข2 ๐ผ๐พ ). (2.11) Analisis Bayes untuk Regresi Spline Terpenalti Estimasi parameter pada persamaan (2.11) menggunakan metode Bayes memerlukan informasi prior. Informasi prior berupa distribusi prior untuk setiap parameter. Distribusi prior yang digunakan dalam regresi spline terpenalti adalah sebagai berikut.
๐ฝ๐โ ~๐(0, ๐๐ฝ20โ ) ๐๐๐ ๐ข๐ |๐๐ข2 ~๐(0, ๐๐ข2 ) ๐๐๐ ๐๐ |๐๐2 ~๐(0, ๐๐2 ) ๐๐๐ ๐๐ข2 , ๐๐2 ~๐ผ๐๐ฃ๐๐๐ ๐บ๐๐๐๐(๐ฟ0 , ๐0 ). Estimasi parameter ditentukan dengan menggunakan distribusi posterior. Distribusi posterior yang perlu dicari yaitu distribusi posterior bersama ๐(๐ฝ โ , ๐ข, ๐๐2 , ๐๐ข2 |๐ฆ). Dengan menggunakan Box-Tiao, ๐(๐ฝ โ , ๐ข, ๐๐2 , ๐๐ข2 |๐ฆ) dapat ditulis sebagai berikut
๐(๐ฝ โ , ๐ข, ๐๐2 , ๐๐ข2 |๐ฆ) โ ๐(๐ฝ โ )๐(๐๐2 )๐(๐๐ข2 )๐(๐ข|๐๐ข2 )๐(๐ฆ|๐ฝ โ , ๐ข, ๐๐2 ). (2.12) Distibusi posterior bersama pada persamaan (2.12) sulit diturunkan secara langsung karena memiliki bentuk yang kompleks. Oleh karena itu dilakukan pendekatan Gibbs sampling untuk menentukan distribusi posterior bersama tersebut. Menurut Hoff [7], dalam Gibbs sampling diperlukan distribusi bersyarat lengkap dari setiap parameter sehingga perlu dicari distribusi bersyarat lengkap dari (๐ฝ โ |๐ข, ๐๐2 , ๐๐ข2 , ๐ฆ), (๐ข|๐ฝ โ , ๐๐2 , ๐๐ข2 , ๐ฆ), (๐๐2 |๐ฝ โ , ๐ข, ๐๐ข2 , ๐ฆ) dan (๐๐ข2 |๐ฝ โ , ๐ข, ๐๐2 , ๐ฆ). ๏ท Distribusi bersyarat lengkap dari (๐ฝ โ |๐ข, ๐๐2 , ๐๐ข2 , ๐ฆ) adalah โ1
๐ฝ โ |๐ข, ๐๐2 , ๐๐ข2 , ๐ฆ ~ ๐ ([(๐๐ฝ20โ ๐ผ๐+1 )
โ1
+ (๐ โ )โฒ (๐๐2 ๐ผ๐ )โ1 ๐ โ ] โ1
โ (๐ โ )โฒ (๐๐2 ๐ผ๐ )โ1 ๐๐ข] , [(๐๐ฝ2โ ๐ผ๐+1 )
[(๐ โ )โฒ (๐๐2 ๐ผ๐ )โ1 ๐ฆ โ1
+ (๐ โ )โฒ (๐๐2 ๐ผ๐ )โ1 ๐ โ ] ).
๏ท Distribusi bersyarat lengkap dari (๐ข|๐ฝ โ , ๐๐2 , ๐๐ข2 , ๐ฆ) adalah (๐ข|๐ฝ โ , ๐๐2 , ๐๐ข2 , ๐ฆ) ~ ๐([(๐๐ข2 ๐ผ๐พ )โ1 + ๐ โฒ (๐๐2 ๐ผ๐ )โ1 ๐]โ1 [๐ โฒ (๐๐2 ๐ผ๐ )โ1 ๐ฆ โ ๐ โฒ (๐๐2 ๐ผ๐ )โ1 ๐ โ ๐ฝ โ ] , [(๐๐ข2 ๐ผ๐พ )โ1 + ๐ โฒ (๐๐2 ๐ผ๐ )โ1 ๐]โ1 ). ๏ท Distribusi bersyarat lengkap dari (๐๐2 |๐ฝ โ , ๐ข, ๐๐ข2 , ๐ฆ) adalah โฒ ๐ 1 (๐๐2 |๐ฝ โ , ๐ข, ๐๐ข2 , ๐ฆ) ~ ๐ผ๐๐ฃ๐๐๐ ๐บ๐๐๐๐ ([๐ฟ0 + ] , [๐0 + (๐ฆ โ (๐ โ ๐ฝ โ + ๐๐ข)) (๐ฆ โ (๐ โ ๐ฝ โ + 2 2 ๐๐ข))]). ๏ท Distribusi bersyarat lengkap dari
(๐๐ข2 |๐ฝ โ , ๐ข, ๐๐2 , ๐ฆ) ๐พ
adalah 1
(๐๐ข2 |๐ฝ โ , ๐ข, ๐๐2 , ๐ฆ) ~ ๐ผ๐๐ฃ๐๐๐ ๐บ๐๐๐๐ ([๐ฟ0 + ] , [๐0 + ๐ขโฒ ๐ข]). 2 2 Proses Gibbs sampling untuk menentukan distribusi posterior bersama ๐(๐ฝ โ , ๐ข, ๐๐2 , ๐๐ข2 |๐ฆ) dituliskan dalam algoritma berikut. 1) Ambil nilai inisialisasi untuk ๐ฝ โ , ๐ข, ๐๐2 dan ๐๐ข2 . Misalkan nilai inisialisasi untuk ๐ฝ โ , ๐ข, ๐๐2 , ๐๐ข2 2(0) berturut-turut adalah ๐ฝ โ(0) , ๐ข(0) , ๐๐2(0) , ๐๐ข .
Analisis Bayes untuk Regresi Spline Terpenalti
2) 3) 4) 5) 6)
Gunakan nilai inisialisasi di atas untuk membangkitkan ๐ฝ โ(1) ~ ๐(๐ฝ โ |๐ข(0) , ๐๐2(0) , ๐๐ข2(0) , ๐ฆ). Bangkitkan sampel ๐ข(1) , ๐ข(1) ~ ๐(๐ข|๐ฝ โ(1) , ๐๐2(0) , ๐๐ข2(0) , ๐ฆ). Bangkitkan sampel ๐๐2(1) , ๐๐2(1) ~ ๐(๐๐2 |๐ฝ โ(1) , ๐ข(1) , ๐๐ข2(0) , ๐ฆ). 2(1) 2(1) 2(1) Bangkitkan sampel ๐๐ข , ๐๐ข ~ ๐(๐๐ข2 |๐ฝ โ(1) , ๐ข(1) , ๐๐ , ๐ฆ). Ulangi langkah 2) sampai 5) sebanyak jumlah iterasi.
67
sampel
๐ฝ โ(1) ,
3. Hasil dan Pembahasan Analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti diaplikasikan untuk menganalisis hubungan antara jumlah uang beredar dengan inflasi di Indonesia. Variabel yang digunakan yaitu variabel jumlah uang beredar (JUB) sebagai variabel independen, ๐ฅ dan variabel inflasi sebagai variabel dependen, ๐ฆ. Data yang digunakan merupakan data sekunder yang diperoleh dari website Bank Indonesia (data dapat dilihat pada [1], [2], [3]). Data tersebut merupakan data bulanan periode 2005-2012. Jumlah uang beredar dinyatakan dalam satuan miliar rupiah dan inflasi dinyatakan dalam satuan persen. Analisis data menggunakan program WinBUGS dan R. Berbagai prior dicoba untuk menghasilkan estimasi terbaik. Tingkat keakuratan diukur dengan SSE dan R2. Model yang memiliki nilai SSE terkecil dan R2 terbesar adalah model terbaik. Selanjutnya hasil analisis data menggunakan analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti dibandingkan dengan hasil analisis regresi spline terpenalti menggunakan metode kuadrat terkecil dan hasil analisis regresi linear sederhana. Tabel 1. Perbandingan nilai SSE dan R2
Metode regresi spline terpenalti dengan metode Bayes regresi spline terpenalti dengan metode estimasi kuadrat terkecil regresi linear sederhana
SSE 251,7910
R2 (%) 83,66632
520,8456
66,21275
989,3000
35,8200
Pada Tabel 1 dapat dilihat bahwa nilai SSE terkecil yaitu sebesar 251,7910 dan R2 terbesar yaitu sebesar 83,66632% yang merupakan nilai SSE dan R2 dari model hasil analisis data menggunakan analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti. Jadi dapat disimpulkan bahwa hasil estimasi model regresi spline terpenalti menggunakan metode Bayes lebih baik digunakan untuk memodelkan hubungan antara jumlah uang beredar dengan inflasi di Indonesia. Nilai R2 sebesar 83,66632% menunjukkan bahwa besarnya variasi dari inflasi yang dapat dijelaskan oleh jumlah uang beredar menggunakan model hasil analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti yaitu sebesar 83,66632%. Perbandingan tingkat kecocokan model hasil analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti, hasil analisis regresi spline terpenalti menggunakan metode kuadrat terkecil, dan hasil analisis regresi linear sederhana juga dapat dilihat dari plot hasil estimasi inflasi. Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa hasil estimasi inflasi menggunakan analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti menghasilkan estimasi yang tidak jauh berbeda nilainya dengan data aslinya. Hal ini
68
Rika Fitriani, Gunardi
menunjukkan bahwa analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti lebih baik digunakan dalam memodelkan hubungan antara jumlah uang beredar dengan inflasi.
Perbandingan Hasil Prediksi Inflasi Inflasi (%)
20,00 18,00 16,00
Inflasi (%)
14,00
prediksi inflasi dengan bayesian p-spline
12,00 10,00 8,00
prediksi inflasi dengan p-spline
6,00 4,00 2,00
1017491 1046656 1092206 1168842 1194939 1197122 1252816 1329425 1367957 1385715 1474769 1533846 1596565 1611691 1686050 1812490 1874145 1912623 1960950 2021517 2073860 2116024 2217589 2308846 2436679 2434478 2564556 2677787 2854978 2927259 3054836 3161726
0,00
Jumlah Uang Beredar (Miliar Rupiah)
prediksi inflasi dengan regresi linear
Gambar 1. Plot hasil estimasi inflasi dengan metode yang berbeda Sebagai ilustrasi, misalkan terdapat jumlah uang beredar sebesar 3.000.000 miliar rupiah maka dengan menggunakan estimasi regresi spline terpenalti dengan metode Bayes, tingkat inflasi diperkirakan sebesar 4,44919%. Sedangkan apabila menggunakan estimasi regresi linear sederhana, tingkat inflasi diperkirakan sebesar 3,429%. Hal ini menunjukkan perbedaan hasil estimasi yang cukup jauh, sehingga hal ini juga akan berdampak pada pengambilan kebijakan yang akan dilakukan oleh Bank Indonesia. Dengan demikian, metode yang tepat diperlukan untuk menganalisis hubungan antara jumlah uang beredar dengan inflasi sehingga Bank Indonesia dapat mengambil kebijakan yang tepat pula. 4. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan sebelumnya, diperoleh kesimpulan bahwa estimasi parameter pada model regresi spline terpenalti dapat dilakukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil dan metode Bayes. Estimasi distribusi posterior pada metode Bayes
Analisis Bayes untuk Regresi Spline Terpenalti
69
dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan Gibbs sampling. Hasil analisis data menggunakan analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti dibandingkan dengan hasil analisis regresi spline terpenalti menggunakan metode kuadrat terkecil dan hasil analisis regresi linear sederhana. Diperoleh kesimpulan bahwa hasil analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti menghasilkan nilai SSE terkecil dan R2 terbesar.
Daftar Pustaka
[1] Bank
[2]
[3]
[4] [5]
[6] [7] [8]
Indonesia, Laporan Inflasi (Indeks Harga Konsumen), http://www.bi.go.id/biweb/Templates/Moneter/Default_Inflasi_ID.aspx?NRNRMO=Publi shed&NRNODEGUID={A7760121-1768-4AE8-B333-0C91E746F1E3} &NRORIGINALURL=%2fweb%2fid%2fMoneter%2fInflafI%2fData%2bInflasi%2f&NR CACHEHINT=Guest, diakses 1 Maret 2013. Bank Indonesia, Metadata: Uang Beredar dan Faktor-Faktor yang Mempengaruhinya, http://www.bi.go.id/NR/rdonlyres/635C6B65-6041-4F89-814721323069C371/28173/3UangBeredardanFaktorfaktoryangMempengaruhiUan.pdf, diakses 1 Maret 2013. Bank Indonesia, Statistik Ekonomi dan Keuangan Indonesia (SEKI): Uang Beredar dan Faktor-Faktor yang Mempengaruhinya, http://www.bi.go.id/web/id/Statistik/Statistik+Ekonomi+dan+Keuangan+IIndonesi/Versi +HTML/Sektor+Moneter/, diakses 1 Maret 2013. Berger, J.O., 1985, Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis, edisi 2, SpringerVerlag, New York. Crainiceanu, C.M., Ruppert, D., dan Wand, M.P., 2004, Bayesian Analysis for Penalized Spline Regression Using WinBUGS, http://people.orie.cornell.edu/davidr/papers/nonparametricbayes2.pdf. Hardle, W., 1994, Applied Nonparametric Regression, Humboldt-Universitat zu Berlin, Berlin. Hoff, P.D., 2009, A First Course in Bayesian Statistical Methods, Springer, New York. Ruppert, D., 2002, Selecting the Number of Knots for Penalized Splines, Journal of Computational and Graphical Statistics, nomor 4, volume 11, http://www.sta.cuhk.edu.hk/tlee/sta5050/forassign1.pdf.