ANALISIS BAYES UNTUK REGRESI SPLINE TERPENALTI STUDI KASUS: ANALISIS HUBUNGAN JUMLAH UANG BEREDAR DENGAN INFLASI DI INDONESIA

IndoMS Journal on Statistics Vol. 2, No. 2 (2014), Page 63-69

ANALISIS BAYES UNTUK REGRESI SPLINE TERPENALTI STUDI KASUS: ANALISIS HUBUNGAN JUMLAH UANG BEREDAR DENGAN INFLASI DI INDONESIA Rika Fitriani, Gunardi Departemen Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta

Abstract In this paper, Bayesian analysis for penalized spline regression is discussed. Penalized spline regression parameters can be estimated by Gibbs sampling approach. Bayesian analysis for penalized spline regression will be applied to analyze the relationship between the money supply and inflation in Indonesia. The estimation result of Bayesian analysis for penalized spline regression is compared to penalized spline regression using least square method and simple linear regression. The estimation result of Bayesian analysis for penalized spline regression has the smallest SSE and the largest R2. Keywords: penalized spline regression, Gibbs sampling

Abstrak Pada penelitian ini dibahas mengenai analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti. Parameter pada model regresi spline terpenalti dapat diestimasi dengan menggunakan pendekatan Gibbs sampling. Analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti dengan error yang heteroskedastis diaplikasikan untuk menganalisis hubungan antara jumlah uang beredar dengan inflasi di Indonesia. Hasil analisis data menggunakan analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti dibandingkan dengan hasil analisis regresi spline terpenalti menggunakan metode kuadrat terkecil dan hasil analisis regresi linear sederhana. Diperoleh kesimpulan bahwa hasil analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti menghasilkan nilai SSE terkecil dan R2 terbesar. Kata kunci: regresi spline terpenalti, Gibbs sampling

1. Pendahuluan Analisis regresi merupakan analisis statistik yang digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel dependen dengan variabel independen. Metode dalam analisis regresi terdiri dari regresi parametrik, regresi nonparametrik, dan regresi semiparametrik. Regresi semiparametrik adalah gabungan dari regresi parametrik dan regresi nonparametrik. Regresi parametrik mengasumsikan bentuk kurva regresi sudah ditentukan. Apabila tidak ada informasi mengenai bentuk kurva regresi, maka metode yang dapat digunakan adalah 2010 Mathematics Subject Classification: 62F15, 62G08, 62J05 63

64

Rika Fitriani, Gunardi

regresi nonparametrik. Regresi nonparametrik mempunyai fleksibilitas tinggi karena tidak tergantung pada asumsi bentuk kurva tertentu [6]. Beberapa metode penghalus dalam regresi nonparametrik antara lain metode penghalusan spline (smoothing spline), regresi spline (regression spline), dan regresi spline terpenalti (penalized spline regression). Spline adalah polinomial yang memiliki sifat tersegmen. Pertemuan titik-titik segmen disebut simpul (knot). Metode yang dibahas dalam tulisan ini adalah regresi spline terpenalti. Regresi spline terpenalti dapat diestimasi dengan menggunakan metode kuadrat terkecil dan metode Bayes. Metode Bayes adalah suatu metode analisis yang berdasarkan pada informasi yang berasal dari sampel (sample information) dan informasi prior (prior information). Informasi prior merupakan informasi terdahulu/sebelumnya mengenai distribusi parameter yang tidak diketahui. Informasi prior ini bersifat subjektif, tergantung pendapat ahli mengenai parameter tersebut. Keuntungan penggunaan analisis Bayes dalam estimasi yaitu analisis Bayes merupakan analisis yang berlandaskan pada data hasil observasi sehingga memberikan implikasi yang baik dalam analisis, analisis Bayes dengan noninformative prior memberikan kemudahan dalam analisis, dan analisis Bayes tidak memerlukan asymtotic inference sehingga dapat digunakan untuk semua ukuran sampel [4]. 2. Metode Regresi Spline Terpenalti Hubungan antara variabel independen, 𝑥 dengan variabel dependen, 𝑦 ditulis dalam bentuk:

𝑦 = 𝑠(𝑥) + 𝜀, 𝜀~𝑁(0, 𝜎𝜀2 𝐼𝑛 )

(2.1)

dengan  𝑦 : variabel dependen  𝑠(𝑥) : bentuk hubungan fungsional antara variabel dependen dengan variabel independen  𝜀 : kesalahan random. Fungsi penghalus untuk 𝑠(𝑥) pada persamaan (2.1) dapat dimodelkan dengan menggunakan fungsi spline. Spline adalah polinomial yang memiliki sifat tersegmen. Pertemuan titik-titik segmen disebut simpul (knot). Fungsi spline berorder p dengan titik-titik simpul 𝜏1 , 𝜏2 , … , 𝜏𝐾 didefinisikan dalam bentuk 𝑝 𝑗−1 𝑠(𝑥) = ∑𝑝+1 + ∑𝐾 (2.2) 𝑘=1 𝛽𝑝+1+𝑘 (𝑥 − 𝜏𝑘 )+ 𝑗=1 𝛽𝑗 𝑥 dengan  𝛽𝑗 dan 𝛽𝑝+1+𝑘 adalah parameter fungsi spline, dengan 𝑗 = 1, … , (𝑝 + 1) dan 𝑘 = 1,2, … , 𝐾  𝜏𝑘 adalah titik-titik simpul, dengan 𝑘 = 1,2, … , 𝐾 (𝑥 − 𝜏𝑘 )𝑝 , 𝑥 − 𝜏𝑘 ≥ 0 𝑝  (𝑥 − 𝜏𝑘 )+ = { . 0 , 𝑥 − 𝜏𝑘 < 0 Menurut Ruppert [8], jumlah simpul, 𝐾 dapat ditentukan dengan rumus 1

𝐾 = min (4 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑥 , 35) dan lokasi simpul dapat ditentukan dengan rumus 𝑘 𝜏𝑘 = kuantil ke {𝐾+1} dari x, 1 ≤ k ≤ K.

(2.3) (2.4)

Analisis Bayes untuk Regresi Spline Terpenalti

65

Tingkat kehalusan kurva diukur dengan menggunakan penalti kekasaran. Menurut Crainiceanu et al. [5], penalti kekasaran didefinisikan sebagai 𝛽 ′ 𝐷𝛽 (2.5) dengan  𝛽 : parameter fungsi spline, 𝛽 = [𝛽1 ⋯ 𝛽𝑝+1 𝛽𝑝+1+1 ⋯ 𝛽𝑝+1+𝐾 ]′ 0(𝑝+1)×(𝑝+1) 0(𝑝+1)×𝐾  𝐷 : matriks penalti, 𝐷 = [ ]. 0𝐾×(𝑝+1) 𝐼𝐾×𝐾 Jika diambil 𝑦1 𝑦2  𝑦=[ ] ⋮ 𝑦𝑛 𝑝 𝑝 𝑝 1 𝑥1 ⋯ 𝑥1 (𝑥1 − 𝜏1 )+ ⋯ (𝑥1 − 𝜏𝐾 )+ 1 𝑥2 ⋯ 𝑥2𝑝 (𝑥2 − 𝜏1 )𝑝+ ⋯ (𝑥2 − 𝜏𝐾 )𝑝+  𝑋= ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 𝑝 𝑝 𝑝 [1 𝑥𝑛 ⋯ 𝑥𝑛 (𝑥𝑛 − 𝜏1 )+ ⋯ (𝑥𝑛 − 𝜏𝐾 )+ ] 𝜀1 𝜀  𝜀 = [ 2 ], ⋮ 𝜀𝑛 maka persamaan (2.1) dapat ditulis sebagai berikut 𝑦 = 𝑋𝛽 + 𝜀, 𝜀~𝑁(0, 𝜎𝜀2 𝐼𝑛 ). (2.6) Pada regresi spline terpenalti, persamaan (2.6) diestimasi dengan cara meminimumkan 1 [𝑦 − 𝑋𝛽]′ [𝑦 − 𝑋𝛽] + 𝛽 ′ 𝐷𝛽 (2.7) 𝜆 dengan 𝜆 parameter penghalus. Estimasi 𝛽 pada persamaan (2.6) diselesaikan dengan regresi spline terpenalti pada persamaan (2.7) menggunakan metode kuadrat terkecil sehingga diperoleh estimator untuk 𝛽 sebagai berikut. −1 1 𝛽̂ = (𝑋 ′ 𝑋 + 𝐷) 𝑋 ′ 𝑦. (2.8) 𝜆

Jika diambil: 𝑝 𝑝 𝑝 1 𝑥1 ⋯ 𝑥1 (𝑥1 − 𝜏1 )+ ⋯ (𝑥1 − 𝜏𝐾 )+ 𝑝 𝑝 𝑝  𝑋 ∗ = 1 𝑥2 ⋯ 𝑥2 , 𝑍 = (𝑥2 − 𝜏1 )+ ⋯ (𝑥2 − 𝜏𝐾 )+ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑝 𝑝 𝑝 [1 𝑥𝑛 ⋯ 𝑥𝑛 ] [(𝑥𝑛 − 𝜏1 )+ ⋯ (𝑥𝑛 − 𝜏𝐾 )+ ] 𝛽𝑝+1+1 𝛽1 ∗  𝛽 =[ ⋮ ] , 𝑢 = [ ⋮ ], 𝛽𝑝+1 𝛽𝑝+1+𝐾 maka persamaan (2.7) dapat ditulis sebagai berikut 1 [𝑦 − 𝑋 ∗ 𝛽 ∗ − 𝑍𝑢]′ [𝑦 − 𝑋 ∗ 𝛽 ∗ − 𝑍𝑢] + 𝑢′ 𝐼𝐾×𝐾 𝑢. 𝜆 Jika persamaan (2.9) dibagi dengan 𝜎𝜀2 , maka diperoleh: 1 1 [𝑦 − 𝑋 ∗ 𝛽 ∗ − 𝑍𝑢]′ [𝑦 − 𝑋 ∗ 𝛽 ∗ − 𝑍𝑢] + 2 𝑢′ 𝐼𝐾×𝐾 𝑢. 𝜎2 𝜆𝜎 𝜀

𝑝 𝜏𝐾 )+

𝜀

(2.9) (2.10)

Jika didefinisikan 𝜎𝑢2 = 𝜆𝜎𝜀2 dan (𝑥 − pada 𝑍 diperlakukan sebagai efek random, maka persamaan (2.10) merupakan estimasi metode kuadrat terkecil dari model linear campuran,

66

Rika Fitriani, Gunardi

dengan 𝛽 ∗ sebagai parameter efek tetap dan 𝑢 sebagai parameter efek random. Jadi, model regresi spline terpenalti dapat diformulasikan dalam bentuk model linear campuran dengan model 𝑦 = 𝑋 ∗ 𝛽 ∗ + 𝑍𝑢 + 𝜀, 𝜀~𝑁(0, 𝜎𝜀2 𝐼𝑛 ), 𝑢~𝑁(0, 𝜎𝑢2 𝐼𝐾 ). (2.11) Analisis Bayes untuk Regresi Spline Terpenalti Estimasi parameter pada persamaan (2.11) menggunakan metode Bayes memerlukan informasi prior. Informasi prior berupa distribusi prior untuk setiap parameter. Distribusi prior yang digunakan dalam regresi spline terpenalti adalah sebagai berikut.

𝛽𝑗∗ ~𝑁(0, 𝜎𝛽20∗ ) 𝑖𝑖𝑑 𝑢𝑘 |𝜎𝑢2 ~𝑁(0, 𝜎𝑢2 ) 𝑖𝑖𝑑 𝜀𝑖 |𝜎𝜀2 ~𝑁(0, 𝜎𝜀2 ) 𝑖𝑖𝑑 𝜎𝑢2 , 𝜎𝜀2 ~𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎(𝛿0 , 𝜃0 ). Estimasi parameter ditentukan dengan menggunakan distribusi posterior. Distribusi posterior yang perlu dicari yaitu distribusi posterior bersama 𝜋(𝛽 ∗ , 𝑢, 𝜎𝜀2 , 𝜎𝑢2 |𝑦). Dengan menggunakan Box-Tiao, 𝜋(𝛽 ∗ , 𝑢, 𝜎𝜀2 , 𝜎𝑢2 |𝑦) dapat ditulis sebagai berikut

𝜋(𝛽 ∗ , 𝑢, 𝜎𝜀2 , 𝜎𝑢2 |𝑦) ∝ 𝜋(𝛽 ∗ )𝜋(𝜎𝜀2 )𝜋(𝜎𝑢2 )𝜋(𝑢|𝜎𝑢2 )𝑓(𝑦|𝛽 ∗ , 𝑢, 𝜎𝜀2 ). (2.12) Distibusi posterior bersama pada persamaan (2.12) sulit diturunkan secara langsung karena memiliki bentuk yang kompleks. Oleh karena itu dilakukan pendekatan Gibbs sampling untuk menentukan distribusi posterior bersama tersebut. Menurut Hoff [7], dalam Gibbs sampling diperlukan distribusi bersyarat lengkap dari setiap parameter sehingga perlu dicari distribusi bersyarat lengkap dari (𝛽 ∗ |𝑢, 𝜎𝜀2 , 𝜎𝑢2 , 𝑦), (𝑢|𝛽 ∗ , 𝜎𝜀2 , 𝜎𝑢2 , 𝑦), (𝜎𝜀2 |𝛽 ∗ , 𝑢, 𝜎𝑢2 , 𝑦) dan (𝜎𝑢2 |𝛽 ∗ , 𝑢, 𝜎𝜀2 , 𝑦).  Distribusi bersyarat lengkap dari (𝛽 ∗ |𝑢, 𝜎𝜀2 , 𝜎𝑢2 , 𝑦) adalah −1

𝛽 ∗ |𝑢, 𝜎𝜀2 , 𝜎𝑢2 , 𝑦 ~ 𝑁 ([(𝜎𝛽20∗ 𝐼𝑝+1 )

−1

+ (𝑋 ∗ )′ (𝜎𝜀2 𝐼𝑛 )−1 𝑋 ∗ ] −1

− (𝑋 ∗ )′ (𝜎𝜀2 𝐼𝑛 )−1 𝑍𝑢] , [(𝜎𝛽2∗ 𝐼𝑝+1 )

[(𝑋 ∗ )′ (𝜎𝜀2 𝐼𝑛 )−1 𝑦 −1

+ (𝑋 ∗ )′ (𝜎𝜀2 𝐼𝑛 )−1 𝑋 ∗ ] ).

 Distribusi bersyarat lengkap dari (𝑢|𝛽 ∗ , 𝜎𝜀2 , 𝜎𝑢2 , 𝑦) adalah (𝑢|𝛽 ∗ , 𝜎𝜀2 , 𝜎𝑢2 , 𝑦) ~ 𝑁([(𝜎𝑢2 𝐼𝐾 )−1 + 𝑍 ′ (𝜎𝜀2 𝐼𝑛 )−1 𝑍]−1 [𝑍 ′ (𝜎𝜀2 𝐼𝑛 )−1 𝑦 − 𝑍 ′ (𝜎𝜀2 𝐼𝑛 )−1 𝑋 ∗ 𝛽 ∗ ] , [(𝜎𝑢2 𝐼𝐾 )−1 + 𝑍 ′ (𝜎𝜀2 𝐼𝑛 )−1 𝑍]−1 ).  Distribusi bersyarat lengkap dari (𝜎𝜀2 |𝛽 ∗ , 𝑢, 𝜎𝑢2 , 𝑦) adalah ′ 𝑛 1 (𝜎𝜀2 |𝛽 ∗ , 𝑢, 𝜎𝑢2 , 𝑦) ~ 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 ([𝛿0 + ] , [𝜃0 + (𝑦 − (𝑋 ∗ 𝛽 ∗ + 𝑍𝑢)) (𝑦 − (𝑋 ∗ 𝛽 ∗ + 2 2 𝑍𝑢))]).  Distribusi bersyarat lengkap dari

(𝜎𝑢2 |𝛽 ∗ , 𝑢, 𝜎𝜀2 , 𝑦) 𝐾

adalah 1

(𝜎𝑢2 |𝛽 ∗ , 𝑢, 𝜎𝜀2 , 𝑦) ~ 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 ([𝛿0 + ] , [𝜃0 + 𝑢′ 𝑢]). 2 2 Proses Gibbs sampling untuk menentukan distribusi posterior bersama 𝜋(𝛽 ∗ , 𝑢, 𝜎𝜀2 , 𝜎𝑢2 |𝑦) dituliskan dalam algoritma berikut. 1) Ambil nilai inisialisasi untuk 𝛽 ∗ , 𝑢, 𝜎𝜀2 dan 𝜎𝑢2 . Misalkan nilai inisialisasi untuk 𝛽 ∗ , 𝑢, 𝜎𝜀2 , 𝜎𝑢2 2(0) berturut-turut adalah 𝛽 ∗(0) , 𝑢(0) , 𝜎𝜀2(0) , 𝜎𝑢 .

Analisis Bayes untuk Regresi Spline Terpenalti

2) 3) 4) 5) 6)

Gunakan nilai inisialisasi di atas untuk membangkitkan 𝛽 ∗(1) ~ 𝜋(𝛽 ∗ |𝑢(0) , 𝜎𝜀2(0) , 𝜎𝑢2(0) , 𝑦). Bangkitkan sampel 𝑢(1) , 𝑢(1) ~ 𝜋(𝑢|𝛽 ∗(1) , 𝜎𝜀2(0) , 𝜎𝑢2(0) , 𝑦). Bangkitkan sampel 𝜎𝜀2(1) , 𝜎𝜀2(1) ~ 𝜋(𝜎𝜀2 |𝛽 ∗(1) , 𝑢(1) , 𝜎𝑢2(0) , 𝑦). 2(1) 2(1) 2(1) Bangkitkan sampel 𝜎𝑢 , 𝜎𝑢 ~ 𝜋(𝜎𝑢2 |𝛽 ∗(1) , 𝑢(1) , 𝜎𝜀 , 𝑦). Ulangi langkah 2) sampai 5) sebanyak jumlah iterasi.

67

sampel

𝛽 ∗(1) ,

3. Hasil dan Pembahasan Analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti diaplikasikan untuk menganalisis hubungan antara jumlah uang beredar dengan inflasi di Indonesia. Variabel yang digunakan yaitu variabel jumlah uang beredar (JUB) sebagai variabel independen, 𝑥 dan variabel inflasi sebagai variabel dependen, 𝑦. Data yang digunakan merupakan data sekunder yang diperoleh dari website Bank Indonesia (data dapat dilihat pada [1], [2], [3]). Data tersebut merupakan data bulanan periode 2005-2012. Jumlah uang beredar dinyatakan dalam satuan miliar rupiah dan inflasi dinyatakan dalam satuan persen. Analisis data menggunakan program WinBUGS dan R. Berbagai prior dicoba untuk menghasilkan estimasi terbaik. Tingkat keakuratan diukur dengan SSE dan R2. Model yang memiliki nilai SSE terkecil dan R2 terbesar adalah model terbaik. Selanjutnya hasil analisis data menggunakan analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti dibandingkan dengan hasil analisis regresi spline terpenalti menggunakan metode kuadrat terkecil dan hasil analisis regresi linear sederhana. Tabel 1. Perbandingan nilai SSE dan R2

Metode regresi spline terpenalti dengan metode Bayes regresi spline terpenalti dengan metode estimasi kuadrat terkecil regresi linear sederhana

SSE 251,7910

R2 (%) 83,66632

520,8456

66,21275

989,3000

35,8200

Pada Tabel 1 dapat dilihat bahwa nilai SSE terkecil yaitu sebesar 251,7910 dan R2 terbesar yaitu sebesar 83,66632% yang merupakan nilai SSE dan R2 dari model hasil analisis data menggunakan analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti. Jadi dapat disimpulkan bahwa hasil estimasi model regresi spline terpenalti menggunakan metode Bayes lebih baik digunakan untuk memodelkan hubungan antara jumlah uang beredar dengan inflasi di Indonesia. Nilai R2 sebesar 83,66632% menunjukkan bahwa besarnya variasi dari inflasi yang dapat dijelaskan oleh jumlah uang beredar menggunakan model hasil analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti yaitu sebesar 83,66632%. Perbandingan tingkat kecocokan model hasil analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti, hasil analisis regresi spline terpenalti menggunakan metode kuadrat terkecil, dan hasil analisis regresi linear sederhana juga dapat dilihat dari plot hasil estimasi inflasi. Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa hasil estimasi inflasi menggunakan analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti menghasilkan estimasi yang tidak jauh berbeda nilainya dengan data aslinya. Hal ini

68

Rika Fitriani, Gunardi

menunjukkan bahwa analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti lebih baik digunakan dalam memodelkan hubungan antara jumlah uang beredar dengan inflasi.

Perbandingan Hasil Prediksi Inflasi Inflasi (%)

20,00 18,00 16,00

Inflasi (%)

14,00

prediksi inflasi dengan bayesian p-spline

12,00 10,00 8,00

prediksi inflasi dengan p-spline

6,00 4,00 2,00

1017491 1046656 1092206 1168842 1194939 1197122 1252816 1329425 1367957 1385715 1474769 1533846 1596565 1611691 1686050 1812490 1874145 1912623 1960950 2021517 2073860 2116024 2217589 2308846 2436679 2434478 2564556 2677787 2854978 2927259 3054836 3161726

0,00

Jumlah Uang Beredar (Miliar Rupiah)

prediksi inflasi dengan regresi linear

Gambar 1. Plot hasil estimasi inflasi dengan metode yang berbeda Sebagai ilustrasi, misalkan terdapat jumlah uang beredar sebesar 3.000.000 miliar rupiah maka dengan menggunakan estimasi regresi spline terpenalti dengan metode Bayes, tingkat inflasi diperkirakan sebesar 4,44919%. Sedangkan apabila menggunakan estimasi regresi linear sederhana, tingkat inflasi diperkirakan sebesar 3,429%. Hal ini menunjukkan perbedaan hasil estimasi yang cukup jauh, sehingga hal ini juga akan berdampak pada pengambilan kebijakan yang akan dilakukan oleh Bank Indonesia. Dengan demikian, metode yang tepat diperlukan untuk menganalisis hubungan antara jumlah uang beredar dengan inflasi sehingga Bank Indonesia dapat mengambil kebijakan yang tepat pula. 4. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, diperoleh kesimpulan bahwa estimasi parameter pada model regresi spline terpenalti dapat dilakukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil dan metode Bayes. Estimasi distribusi posterior pada metode Bayes

Analisis Bayes untuk Regresi Spline Terpenalti

69

dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan Gibbs sampling. Hasil analisis data menggunakan analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti dibandingkan dengan hasil analisis regresi spline terpenalti menggunakan metode kuadrat terkecil dan hasil analisis regresi linear sederhana. Diperoleh kesimpulan bahwa hasil analisis Bayes untuk regresi spline terpenalti menghasilkan nilai SSE terkecil dan R2 terbesar.

Daftar Pustaka

[1] Bank

[2]

[3]

[4] [5]

[6] [7] [8]

Indonesia, Laporan Inflasi (Indeks Harga Konsumen), http://www.bi.go.id/biweb/Templates/Moneter/Default_Inflasi_ID.aspx?NRNRMO=Publi shed&NRNODEGUID={A7760121-1768-4AE8-B333-0C91E746F1E3} &NRORIGINALURL=%2fweb%2fid%2fMoneter%2fInflafI%2fData%2bInflasi%2f&NR CACHEHINT=Guest, diakses 1 Maret 2013. Bank Indonesia, Metadata: Uang Beredar dan Faktor-Faktor yang Mempengaruhinya, http://www.bi.go.id/NR/rdonlyres/635C6B65-6041-4F89-814721323069C371/28173/3UangBeredardanFaktorfaktoryangMempengaruhiUan.pdf, diakses 1 Maret 2013. Bank Indonesia, Statistik Ekonomi dan Keuangan Indonesia (SEKI): Uang Beredar dan Faktor-Faktor yang Mempengaruhinya, http://www.bi.go.id/web/id/Statistik/Statistik+Ekonomi+dan+Keuangan+IIndonesi/Versi +HTML/Sektor+Moneter/, diakses 1 Maret 2013. Berger, J.O., 1985, Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis, edisi 2, SpringerVerlag, New York. Crainiceanu, C.M., Ruppert, D., dan Wand, M.P., 2004, Bayesian Analysis for Penalized Spline Regression Using WinBUGS, http://people.orie.cornell.edu/davidr/papers/nonparametricbayes2.pdf. Hardle, W., 1994, Applied Nonparametric Regression, Humboldt-Universitat zu Berlin, Berlin. Hoff, P.D., 2009, A First Course in Bayesian Statistical Methods, Springer, New York. Ruppert, D., 2002, Selecting the Number of Knots for Penalized Splines, Journal of Computational and Graphical Statistics, nomor 4, volume 11, http://www.sta.cuhk.edu.hk/tlee/sta5050/forassign1.pdf.