ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM)
Endah Wahyuni, S.T., M.Sc., Ph.D
Matrikulasi S2 – Bidang Keahlian Struktur Jurusan Teknik Sipil 2011
ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS • Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) adalah suatu metode untuk menganalisa struktur dengan menggunakan bantuan matriks, yang terdiri dari : matriks kekakuan, matriks perpindahan, dan matriks gaya. Dengan menggunakan hubungan : {P}= [K]{U} dimana : { P } = matriks gaya [ K ] = matriks kekakuan { U } = matriks perpindahan • Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas, yaitu dengan menggunakan Metode Kekakuan.
• Pada Metode Kekakuan, variable yang tidak diketahui besarnya adalah : perpindahan titik simpul struktur (rotasi dan defleksi) sudah tertentu/pasti. Jadi jumlah variable dalam metode kekakuan sama dengan derajat ketidaktentuan kinematis struktur. • Metode Kekakuan dikembangkan dari persamaan kesetimbangan titik simpul yang ditulis dalam : “ Koefisien Kekakuan “ dan “ Perpindahan titik simpul yang tidak diketahui “.
Types of Elements Spring elements Truss elements (plane & 3D) Beam elements (2D &3D) Plane Frame Grid elements Plane Stress Plane Strain Axisymmetric elements Plate Shell
Degrees of Freedom (DOF) • Derajat kebebasan yang dimiliki oleh suatu struktur. • Tiap jenis elemen akan mempunyai jumlah dan jenis kebebasan tertentu. Hitung derajat kebebasan element dari jenis element yang disebutkan sebelumnya
Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method) matriks kekakuan U1, P1
U2, P2 1
1
2
U3, P3
U4, P4
{P} =[K]{U} gaya
P1
K11
K12
K13
K14
U1
P2
K21
K22
K23
K24
U2
K31
K32
K33
K34
U3
K41
K42
K43
K44
U4
P3 P4
=
perpindahan
P1 = K11 . U1 + K12 . U2 + K13 . U3 + K14 . U4 Kesetimbangan gaya di arah U1 P2 = K21 . U1 + K22 . U2 + K23 . U3 + K24 . U4 Kesetimbangan gaya di arah U2 P3 = K31 . U1 + K32 . U2 + K33 . U3 + K34 . U4 Kesetimbangan gaya di arah U3 P4 = K41 . U1 + K42 . U2 + K43 . U3 + K44 . U4 Kesetimbangan gaya di arah U4
• Jika U1 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka : P1 = K11 ; P2 = K21 ; P3 = K31 ; P4 = K41 Lihat Gambar (a) • Jika U2 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka : P1 = K12 ; P2 = K22 ; P3 = K32 ; P4 = K42 Lihat Gambar (b) • Jika U3 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka : P1 = K13 ; P2 = K23 ; P3 = K33 ; P4 = K43 Lihat Gambar (c) • Jika U4 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka : P1 = K14 ; P2 = K24 ; P3 = K34 ; P4 = K44 Lihat Gambar (d)
U1’ = 1
P1’ = K11 P2’ = K21 P3’ = K31 P4’ = K41
U1’ = 1
P1’ = K11 P2’ = K21 P3’ = K31 P4’ = K41
U1’ = 1
P1’ = K11 P2’ = K21 P3’ = K31 P4’ = K41
U1’ = 1
P1’ = K11 P2’ = K21 P3’ = K31 P4’ = K41
Matrix kekakuan:
K
K
=
K11
K12
K13
K14
K21
K22
K23
K24
K31
K32
K33
K34
K41
K42
K43
K44
=
12 EI L3
6 EI L2
-
12 EI L3
6 EI L2
6 EI L2
4 EI L
-
6 EI L2
2 EI L
−
Matriks Kekakuan
Gambar
12 EI L3
6 EI L2
(a)
-
6 EI L2 2 EI L
(b)
12 EI L3 -
6 EI L2
(c)
-
6 EI L2 4 EI L
(d)
Jika pada batang bekerja gaya aksial :
U2’,P2’
U1’,P1’
L, EA
EA L
K11 =
K21 = −
U1’= 1
K12 = -
K22 =
EA L
EA L
EA Matriks kekakuan elemen dengan melibatkan gaya aksial : L
U2’= 1
U1, P1
U3, P3
0
0
0
12 EI L3
6 EI L2
0
0
6 EI L2
4 EI L
0
EA L
0
0
U2, P2 K
1
EA L
1
2
U4, P4
6x6
=
−
0
0
−
12 EI L3 6 EI L2
-
-
EA L -
0
0
12 EI L3
6 EI L2
6 EI L2
2 EI L
EA L
0
0
6 EI L2
0
12 EI L3
2 EI L
0
-
-
-
6 EI L2
-
6 EI L2 4 EI L
Contoh Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar q
1
1
2
2
3
L, EI
L, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen 0
0
1
1
0
2
3
2 2
1
0
Menentukan matriks tujuan 0
1 0
0 2
1 1
DOF : 2 0
2 rotasi
0 3
2
1
Membuat matrik kekakuan elemen :
2
Matriks kekakuan struktur [ Ks ] 2 x 2 [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen : Elemen 1 0
K1
=
0 6 EI L2
-
12 EI L3
6 EI L2
0
6 EI L2
4 EI L
-
6 EI L2
2 EI L
0
6 EI L2
0
4 EI L
1
12 EI L3
-
6 EI L2
6 EI L2
12 EI L3
2 EI L
Matriks Tujuan { T1 } = { 0
2x2
1
12 EI L3
−
[ K1 ] =
0
4 EI L
0
0
0
0
0
-
1 }T
6 EI L2
-
Elemen 2 0
K2
=
1 6 EI L2
-
12 EI L3
6 EI L2
0
6 EI L2
4 EI L
-
6 EI L2
2 EI L
1
6 EI L2
0
4 EI L
2
12 EI L3
-
6 EI L2
Matriks Tujuan { T2 } = { 0
[ K2 ] = 2x2
2
12 EI L3
−
4 EI L 2 EI L
0
2 EI L 4 EI L
6 EI L2 2 EI L
1
0
2 }T
12 EI L3 -
6 EI L2
-
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] =
4 EI L
0
2x2
0
+ 0
4 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
=
8 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan hubungan : { Ps } = [ Ks ] { Us }
{ Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana : Us
=
deformasi ujung-ujung aktif
Ks
=
kekakuan struktur
Ps
=
gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka : q
0
0
−
Ps
=
−
1 q L2 12
1 q L2 12
1 q L2 12
1 q L2 12
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 =
8 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
- 2 L 4 = 8 28 EI - 2
1 L 4 8 . 4 - 2 . 2 EI - 2
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us
=
L 4 28 EI - 2
- 2 8
−
1 q L2 12
1 q L2 12
- 2 8
Us
Us
=
L 28 EI
=
1 1 q L2 - q L2 3 6
−
1 4 q L2 + q L2 6 6
3 q L3 − 168 EI
Rotasi di joint 2
5 q L3 168 EI
Rotasi di joint 3
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1
Elemen 2
:
:
U1
U2
=
=
U11 U12 U13 U14
U21 U22 U23 U24
=
0 0 0 3 q L3 − 168 EI
=
0 3 q L3 − 168 EI 0 5 q L3 168 EI
Reaksi akibat beban luar : q
1 q L2 12
0
0
qL 2
0 =
PR2
=
qL 2
0 0
1 q L2 12
qL 2 1 q L2 12
0 PR1
−
−
1 q L2 12
qL 2
Gaya akhir elemen : Elemen 1
P1 =
{ P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
:
12 EI L3
6 EI L2
-
12 EI L3
6 EI L2
0
0
6 EI L2
4 EI L
-
6 EI L2
2 EI L
0
0
6 EI L2
12 EI L3
6 EI L2
0
2 EI L
6 EI - 2 L
−
12 EI L3
-
6 EI L2
6 qL 56 2 − q L2 56 6 qL 56 −
P1
=
−
4 q L2 56
-
4 EI L
3 qL 28 1 − q L2 28 3 qL 28
−
=
−
2 q L2 28
3 q L3 − 168 EI
+
0 0
Elemen 2
P2 =
:
{ P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
12 EI L3
6 EI L2
12 EI - 3 L
6 EI L2
6 EI L2
4 EI L
6 EI - 2 L
2 EI L
6 EI L2
12 EI L3
2 EI L
6 EI - 2 L
−
12 EI L3 6 EI L2
-
32 qL 56 4 q L2 56
P2
=
24 qL 56
0
=
-
6 EI L2 4 EI L
16 qL 28 2 q L2 28 12 qL 28
0
qL 2
0 3 q L3 − 168 EI
0 5 q L3 168 EI
1 q L2 12
+
qL 2 −
1 q L2 12
Free Body Diagram : 1 q L2 28
2 q L2 28
3 qL 28
3 qL 28
2 q L2 28
q
0
12 qL 28
16 qL 28
Menggambar gaya-gaya dalam : 16 qL 28
Bidang D :
+
-
3 qL 28
Bidang M :
3 qL 28
12 qL 28
2 q L2 28
+ 1 q L2 28
+
Elemen Portal 2D Sebuah portal statis tak tentu seperti pada gambar P B
B
C
C 2
EI 1
1 L
EI
1
A
A L/2
Matriks kekakuan struktur [ Ks ] 2 x 2 [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
L/2
0
2
DOF = 2
Elemen 1
K1
= 2x2
0 4 EI L
1 2 EI L
0
2 EI L
4 EI L
1
1 4 EI L
2 2 EI L
1
2 EI L
4 EI L
2
Matriks Tujuan { T1 } = { 0
[ K1 ] = 2x2
4 EI L
0
0
0
1 }T
Elemen 2
K2
= 2x2
Matriks Tujuan { T2 } = { 1
[ K2 ] = 2x2
4 EI L 2 EI L
2 EI L 4 EI L
2 }T
Matriks Kekakuan Global Struktur [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ] 4 EI L
0 +
[ Ks ] = 0
2x2
0
4 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
=
8 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan hubungan : { Ps } = [ Ks ] { Us }
{ Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana : Us
=
deformasi ujung-ujung aktif
Ks
=
kekakuan struktur
Ps
=
gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka : P
0
−
1 PL 8
1 PL 8
0
−
Ps
=
1 PL 8
1 PL 8
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 =
8 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
1 L 4 8 . 4 - 2 . 2 EI - 2
- 2 L 4 = 8 28 EI - 2
- 2 8
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
L Us = 28 EI
Us
Us
=
=
4 - 2 - 2 8
L 28 EI
1 − PL 8
Deformasi untuk masing-masing elemen U11 Elemen 1
:
U1
=
1 PL 8
1 1 − q L2 - q L2 3 6
Elemen 2
:
U2
= U1
2
U2
1
3 P L2 − 112 EI
Rotasi di joint B
5 P L2 112 EI
Rotasi di joint C
3 P L2 − 112 EI
=
= U2
1 2 4 2 qL + qL 6 6
0
2
3 P L2 − 112 EI 5 P L2 112 EI
Reaksi akibat beban luar : P 0
0
1 PL 8
1 − PL 8
PR1
= 0
PR2
0
1 P L 8
= −
1 P L 8
Gaya akhir elemen : Elemen 1
P1 =
:
4 EI L
2 EI L
0
2 EI L
4 EI L
3 P L2 − 112 EI
−
3 PL 56
P1 = −
6 PL 56
Elemen 2
{ P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
Hasil perhitungan hanya momen saja
0 P2
=
+ 0
:
{ P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
4 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
−
5 P L2 112 EI
6 q L2 56
P2
=
3 P L2 112 EI
3 q L2 28
= 0
0
+
1 PL 8 1 − PL 8
Hasil perhitungan hanya momen saja
Free Body Diagram : 17 P 28 6 PL 56
6 PL 56
9 P 56
P
0 9 P 56
9 P 56
17 P 28
Dihitung lagi
11 P 28
Bidang D :
3 PL 56
9 P 56
Dihitung lagi
+
P
-
17 P 28 Bidang M :
17 P 28
11 P 28
6 PL 56
9 P 56
-
-
+
Bidang N :
-
11 PL 56
+
3 PL 56
17 P 28
9 P 56
Transformasi Sumbu 2 2’
U2, P2
1’
u2, p2
u1, p1
θ 1
U1, P1
u3, p3 U3, P3
Koordinat Lokal dan Global 3
3’
u1 u2 u3
=
C
S
0
U1
-S
C
0
U2
1
U3
0
0
C = cos θ S = sin θ
Atau dapat ditulis :
u = λ U
Dimana :
λ =
C
S
0
-S
C
0
0
0
1
C = cos θ S = sin θ
Untuk transformasi sumbu sebuah titik dengan 6 dof dapat ditulis : u1 u2 u3 u4 u5 u6
λ
0
=
0
λ
U1 U2 U3 U4 U5 U6
[u] = [R] [U] R = matriks rotasi
Transformasi sumbu juga berlaku untuk gaya : p = λ P P = λ-1 p
λ-1 = λT
P = λT p P1 P2 P3 P4 P5 P6
=
p = k u
;
Τ
λ
0
P = RT p = RT k u = RT k R U K
0 λΤ
p1 p2 p3 p4 p5 p6
u = R U P = K U K = RT k R
[ P ] = [ R ]T [ p ] R = matriks rotasi
Matriks kekakuan elemen untuk 6 dof :
k 6x6
=
−
EA L
0
0
0
12 EI L3
6 EI L2
0
0
6 EI L2
4 EI L
0
EA L
0
0
0
0
−
12 EI L3 6 EI L2
-
-
EA L
0
0
12 EI L3
6 EI L2
6 EI L2
2 EI L
EA L
0
0
6 EI L2
0
12 EI L3
2 EI L
0
-
-
-
-
-
6 EI L2
6 EI L2 4 EI L
k
=
α
β
0
0
-β
0
0
0
12
6L
0
-12
6L
0
6L
4L2
0
-6L
2L2
-β
0
0
β
0
0
0
-12
-6L
0
12
-6L
0
6L
2L2
0
-6L
4L2
Dimana : α =
EI L3
β =
[ K ] = [ R ]T [ k ] [ R ]
A L2 I
C -S
0
S
0
0 K
C 0
0
1
α
=
0
β
0
0
-β
0
0
C
S
0
0
12
6L
0
-12
6L
-S
C
0
0
0
1
2
2
0
6L
4L
0
-6L
2L
C
-S
0
-β
0
0
β
0
0
S
C
0
0
-12
-6L
0
12
-6L
0
0
1
0
6L
2L2
0
-6L
4L2
g2
g4
-g1
-g2
g4
g3
g5
-g2
-g3
g5
g6
-g4
-g5
g7
g1
g2
-g4
g3
-g5
g1
K
=
g6 Dimana : g1 = α ( β C2 + 12 S2 )
g5 = α 6 L C
g2 = α C S ( β - 12 )
g6 = α 4 L2
g3 = α ( β S2 + 12 C2 )
g7 = α 2 L2
g4 = -α 6 L S
0
0 C
S
0
-S
C
0
0
0
1
Sebuah portal seperti gambar, dengan menggunakan transformasi sumbu hitunglah gaya-gaya dalam yang bekerja E A I L
1
L=
= = = =
30.000 ksi 5 in2 50 in4 10 ft
10 ft 1
q = 1,68 k/ft M = 14 kft = 168 kin 2
2
3
L = 10 ft 0 1
1
0
2 Sumbu Global
0
DOF
1
3
[ Ks ] 3 x 3
Sumbu Lokal DOF
1
0
0 2
3
1 2
2
1
[ k ]3x3
5
2 0
2 5
2
1
3 2
3
6
4
3
6
4
Matriks transformasi batang : Batang 1
:
θ = 270o
cos 270o = 0 sin 270o = -1
θ = 270o x
1
λ1 =
1
C
S
0
-S
C
0
0
0
0
-1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
=
2 x’ Batang 2
:
θ = 0o
cos 0o = 1 sin 0o = 0
θ = 0o 2
x 3 x’
λ2 =
C
S
0
-S
C
0
0
0
1
=
R1
=
C
S
0
-S
C
0
0
0
1
0
R2
=
C
S
0
-S
C
0
0
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
= C
S
0
-S
C
0
0
0
1
0 = C
S
0
-S
C
0
0
0
1
Matriks kekakuan system struktur Elemen 1 : α1 =
EI L1
3
=
30.000 . 50 (10 . 12) 3
= 0,87
2
β1 =
A L1 5 . (10 . 12) 2 = I 50
= 1.440
C = 0 ; S = -1 { T } = { 0 0 0 1 0 2 }T 0 g1
K1
=
0 g2
0 g4
1 -g1
0 -g2
2 g4
0
g3
g5
-g2
-g3
g5
0
g6
-g4 g1
-g4
-g5
g7
0
g2
-g4
g3
-g5
0
g6
2
K1
=
1 g1
2 -g4
3 0
1
-g4
g6
0
2
0
0
0
3
1
g1 = α ( β C2 + 12 S2 )
= 0,87 [ 0 + 12 (-1)2 ] = 10,44
g4 = -α 6 L S
= -0,87 . 6 . 120 (-1) = 626,4
g6 = α 4 L2
= 0,87 . 4 . 1202
Sehingga :
K1
=
10,44
-626,4
0
-626,4
50.112
0
0
0
0
= 50.112
Elemen 2 : α2 =
EI L1
3
=
30.000 . 50 (10 . 12) 3
2
= 0,87
A L1 5 . (10 . 12) β2 = = I 50
2
= 1.440
g1 = α ( β C2 + 12 S2 )
= 0,87 [ 1.440 . 12 + 12 (0)2 ] = 1.252,8
g4 = -α 6 L S
= -0,87 . 6 . 120 (0)
= 0
g6 = α 4 L2
= 0,87 . 4 . 1202
= 50.112
g7 = α 2 L2
= 0,87 . 2 . 1202
= 25.056
Sehingga :
C = 1 ; S =0
1.252,8
{T}= {1 0 2 0 0 3}
K2
1 g1
=
K2
0 g2
2 g4
0 -g1
0 -g2
3 g4
1
g3
g5
-g2
-g3
g5
0
g6
-g4
-g5
g7
2
g1
g2
-g4
0
g3
-g5
0
g6
3
g4
g4
K2
=
0
0
T
g7
1 g1
2 g4
3 g4
1
g4
g6
g7
2
g4
g7
g6
3
KS
=
=
0
50.112 25.056
0
25.056 50.112
1.263,24
-626,4
0
-626,4
100.224
25.056
0
25.056
50.112
Matriks beban :
8,4
0
q = 0,14 k/in
0 168 kin
168 kin
168 kin
8,4
0 PS
=
168 0 { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
{ Ps } = [ Ks ] { Us }
US
US
=
=
-1
1.263,24
-626,4
0
0
-626,4
100.224
25.056
168
0
25.056
50.112
0
0,00095
Defleksi horizontal di 2
0,00192
Rotasi di 2
-0,00096
Rotasi di 3
Displasement masing-masing batang (koordinat lokal)
u1
u2
=
=
u11
0
-1
0
0
0
0
0
0
u12
1
0
0
0
0
0
0
0
u13
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0,00095
u15
0
0
0
1
0
0
0
0,00095
u16
0
0
0
0
0
1
0,00192
0,00192
u21
1
0
0
0
0
0
0,00095
0,00095
u22
0
1
0
0
0
0
0
0
u23
0
0
1
0
0
0
0,00192
0,00192
0
0
0
1
0
0
0
u25
0
0
0
0
1
0
0
0
u26
0
0
0
0
0
1
-0,0096
-0,0096
u14
u24
=
=
= 0
= 0
Gaya akhir batang :
Elemen 2 :
Elemen 1 :
{ P2 } = [ k2 ] { u2 } + { Faksi }
{ P1 } = [ k1 ] { u1 } + { 0 }
P1
0
0
1,193 k
1,193 k
47,512 kin
3,959 kft
=
=
1,19 k
1,19 k
-7,8 k
-7,8 k
-95,84 kin P2
=
-7,99 kft =
-1,19 k
-1,19 k
-1,193 k
-9 k
-9 k
7,968 kft
168 kin
0
0
-1,193 k 95,620 kin
14 kft
Free body diagram :
1,193
0 1,193 k
+
3,959
9 1
+ 7,968 kft
1,193 q = 1,68 k/ft
7,99 kft
-
14 kft
7,8
1,193 k 1,19 k
1,19 k 2
3,959
9k
7,8 k
+
1,19
-
+
+
7,99 14
-
1,19
KONSTRUKSI RANGKA BATANG • Pada Konstruksi Rangka Batang (KRB), perhitungan matriks kekakuan elemen [ K ] berdasarkan kasus rangka batang 2 Dimensi. Gaya yang bekerja hanya tarik dan tekan aksial saja, sedang gaya momen dan lintang tidak terjadi. • Perhatikan gambar dengan elemen struktur batang dengan luas A dan Modulus Elastisitas E konstan. Perhitungan kekakuan elemen hanya mengandung elemen A, E dan empat titik koordinat, yaitu : xi, xj, yi, dan yj.
y,v j
c = cos β j
L
qj
cui β
β + dβ
i
i
pj
ui
qi
pi
x,u Elemen Rangka Batang, dengan sudut
Elemen Rangka Batang setelah
β pada bidang xy
perpindahan titik ui > 0, titik lain tetap
Pertama, harus menghitung :
(x
L=
- x i ) + (y j - y i ) 2
j
2
C = cos β =
x j - xi
S = sin β =
y j - yi
L L
Perpendekan aksial cui menghasilkan gaya tekan aksial AE F = cu i L
Dimana : x dan y merupakan komponen dari ; pi = - pj = Fc qi = - qj = Fs Komponen ini menghasilkan kesetimbangan statis, sehingga diperoleh :
AE L
C2
pi
CS
qi
-C2 -CS
ui =
pj qj
Hasil yang sama juga akan diperoleh dengan cara memberikan perpindahan pada vi, uj, dan vj, dimana gaya bekerja sendiri-sendiri. Dan jika 4 dof dengan nilai tidak nol bekerja bersama-sama, dan dengan superposisi masing-masing elemen matriks kekakuan, dapat dihitung sebagai berikut :
K
=
AE L
C2
CS
-C2
-CS
CS
S2
-CS
-S2
-C2
-CS
C2
CS
-CS
-S2
CS
S2
Hubungan matriks kekakuan dengan gaya dapat ditulis sebagai berikut : [K]{D} ={F}
AE L
C2
CS
-C2
-CS
ui
pi
CS
S2
-CS
-S2
vi
qi
-C2
-CS
C2
CS
uj
pj
-CS
-S2
CS
S2
vj
qj
=
Untuk kasus khusus : 1. Jika nilai β = 0, sebagai batang horizontal, matriks kekakuan elemen [ K ] 4 x 4 Hanya berisi 4 komponen yang tidak bernilai nol, yaitu : k11 = k33 = -k13 = -k31 =
K
AE = L
AE L
1
0
-1
0
0
0
0
0
-1
0
1
0
0
0
0
0
1. Jika nilai β = 90, sebagai batang vertikal, matriks kekakuan elemen [ K ] 4 x 4 Hanya berisi 4 komponen yang tidak bernilai nol, yaitu : k22 = k44 = -k24 = -k42 =
K
AE = L
AE L
0
0
0
0
0
1
0
-1
0
0
0
0
0
-1
0
1
Sebuah Konstruksi Rangka Batang dengan luas A dan Modulus Elastisitas E yang sama, seperti pada Gambar L 4
3
5
L 5
4
6
7
v 1
u
1
2
2 L
L
Hitunglah matriks kekakuaan masing-masing elemen
3
Perumusan untuk mencari nilai matriks kekakuan elemen dengan sudut β :
K
=
AE L
C2
CS
-C2
-CS
CS
S2
-CS
-S2
-C2
-CS
C2
CS
-CS
-S2
CS
S2
Batang 1, 2 dan 3 merupakan batang horizontal, sehingga β = 0o Maka : [ K1 ] = [ K2 ] = [ K3 ]
K1
=
AE L
1
0
-1
0
0
0
0
0
-1
0
1
0
0
0
0
0
Batang 4 dan 6 merupakan batang diagonal dengan sudut β = 60o Dimana :
C = cos 60o = 0,5 S = sin 60o = 0,866
Maka : [ K4 ] = [ K6 ]
K4
=
AE L
0,250
0,433
-0,250
-0,433
0,433
0,750
-0,433
-0,750
-0,250
0,433
0,250
-0,433
-0,433
-0,750
0,433
0,750
Batang 5 dan 7 merupakan batang diagonal dengan sudut β = 300o Dimana :
C = cos 300o = 0,5 S = sin 300o = -0,866
Maka : [ K5 ] = [ K7 ]
K5
=
AE L
0,250
-0,433
-0,250
0,433
-0,433
0,750
0,433
-0,750
-0,250
0,433
0,250
-0,433
0,433
-0,750
0,433
0,750
-
