ANALISA KOMPLEKS
1.
Bilangan Kompleks Bentuk umum bilangan kompleks yang digunakan pada persamaan (1)
berikut (1)
z = a + ib
dimana -
z
:
ekspresi bilangan kompleks dalam bentuk rectangular
-
a
:
bilangan nyata
-
b
:
bilangan khayal
Operasi-operasi pada bilangan kompleks sebagai berikut o
Penjumlahan z1 + z 2 = ( a1 + ib1 ) + ( a 2 + ib 2 ) = ( a1 + a 2
o
) + i ( b1 - b 2 )
(3)
Perkalian z1z 2 = ( a1 + ib1 )( a 2 + ib 2 ) = ( a1a 2 - b1b 2 ) + i ( a1b 2 + a 2 b1 )
o
(2)
Pengurangan z1 - z 2 = ( a1 + ib1 ) − ( a 2 + ib 2 ) = ( a 1 - a 2
o
) + i ( b1 + b 2 )
(4)
Pembagian
( a + ib1 ) = ( a1a 2 + b1b 2 ) + i ( a 2 b1 - a1b 2 ) z1 = 1 z2 a 22 + b 22 a 22 + b 22 ( a 2 + ib 2 )
(5)
Bilangan kompleks konjugat dinyatakan oleh persamaan (6) berikut z = a - ib
2.
(6)
Bilangan Kompleks Dalam Koordinat Kutub, Akar dan Pangkat Bentuk umum bilangan kompleks dalam koordinat kutub didefinisikan pada
persamaan (7) berikut z = r∠θ = r cos θ + i r sin θ
dimana -
z
:
ekspresi bilangan kompleks dalam bentuk polar
-
r
:
nilai mutlak atau modulus dari z 1
(7)
-
:
θ
argument dari z ( radian atau derjat)
Nilai modulus r diperoleh dari persamaan (8) berikut r = z =
a 2 + b2
(8)
Nilai θ diperoleh dari persamaan (9) berikut b θ = arg z = tan −1 a
(9)
Dengan nilai utama pada persamaan (10) berikut π<θ ≤ π
(10)
Operasi-operasi pada bilangan kompleks dalam bentuk kutub pada persamaan (11) s/d (14) berikut o
Perkalian z1z 2 = r1r2 cos ( θ1 + θ 2 ) + i sin ( θ1 + θ 2 )
o
Pembagian z1 r = 1 cos ( θ1 - θ 2 ) + i sin ( θ1 - θ 2 ) z2 r2
o
(13)
Akar n
θ + 2kπ θ + 2kπ z = n r cos + i sin n n
Nilai
3.
(12)
Pangkat Bulat z n = r n ( cos nθ + i sin nθ )
o
(11)
n
(14)
z yang diperoleh dengan mengambil nilai utama θ dan k = 0 .
Limit, Turunan dan Fungsi Kompleks Bentuk umum fungsi kompleks pada persamaan (15) berikut w = f ( z ) = u ( x,y ) + iv ( x,y )
(15)
Suatu fungsi f ( z ) dikatakan mempuyai limit l untuk z mendekati titik z0 dituliskan dalam bentuk persamaan (16) berikut lim f ( z ) = l
(16)
z → z0
Turunan suatu fungsi kompleks f ( z ) di titik z0 didefinisikan pada persamaan (17) berikut 2
f ' ( z 0 ) = lim
f ( z 0 + ∆z ) - f ( z 0 )
∆z → z 0
∆z
=l
(17)
Ada beberapa perintah Matlab yang digunakan untuk menghitung limit fungsi kompleks adalah limit(expr, limit(expr, limit(expr) limit(expr, limit(expr, 4.
x, a) a) x, a, 'left') x, a, 'right')
Fungsi Eksponensial Bentuk umum fungsi eksponensial kompleks pada persamaan (18) berikut e z = e x ( cosy + i sin y )
5.
(18)
Fungsi Trigonometrik dan Fungsi Hiperbolik Bentuk umum fungsi trigonometrik dalam bilangan kompleks pada
persamaan (19) s/d (24) berikut cos z =
1 iz -iz (e + e ) 2
(19)
sin z =
1 iz -iz (e - e ) 2i
(20)
Selain itu didefinisikan juga bentuk – bentuk fungsi trigonometrik yang lain pada persamaan (21) s/d (24) berikut tan z =
sin z cos z
(21)
cot z =
cos z sin z
(22)
sec z =
1 cos z
(23)
cos z =
1 sin z
(24)
Bentuk umum fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks pada persamaan (25) s/d (26) berikut cosh z =
1 z -z (e + e ) 2
(25)
sinh z =
1 z -z (e - e ) 2
(26) 3
Selain itu didefinisikan juga fungsi-fungsi hiperbolik lain pada persamaan (27) s/d (30) berikut tanh z =
sinh z cosh z
(27)
coth z =
cosh z sinh z
(28)
sech z =
1 cosh z
(29)
cosh z =
1 sinh z
(30)
Selain itu fungsi-fungsi trigonometrik dan hiperbolik komplek saling berkaitan dalam bentuk fungsi-fungsi pada persamaan (31) s/d (34) berikut
6.
cosh iz = cos z
(31)
sinh iz = i sin z
(32)
cos iz = cosh z
(33)
sin iz = i sinh z
(34)
Logaritma dan Pangkat Umum Bentuk umum logaritma bilangan kompleks pada persamaan (35) berikut (35)
ln z = ln r + iθ
Nilai utama dari dari ln z pada persamaan (36) berikut (36)
ln z = ln z + i arg z
Sifat- sifat logaritma asli yang berlaku untuk logaritma kompleks pada persamaan (37) s/d (39) berikut ln ( z1z 2 ) = ln z1 + ln z 2
(37)
z ln 1 = ln z1 - ln z 2 z2
(38)
1 z
(39)
( ln ( z ) ) = '
Pangkat umum bilangan kompleks pada persamaan (40) berikut a z = e z ln a
(40)
4
7.
Integral Kompleks Bentuk umum integral kompleks adalah z1
∫ f ( z ) dz = F ( z ) − F ( z ) 1
0
(41)
z0
8
Beberapa Fungsi Matlab Untuk Bilangan Kompleks Beberapa fungsi Matlab yang digunakan dalam analisa kompleks
diantaranya Tabel 1. Fungsi – Fungsi Analisa Kompleks
Fungsi abs(X) angle(Z) complex(a,b) conj(Z) real(Z) imag(Z) 9.
Keterangan Harga mutlak bilangan kompleks Sudut fase bilangan kompleks Membentuk bilangan kompleks dari bagian nyata dan khayal Konjugate bilangan kompleks Bagian nyata bilangan kompleks Bagian khayal bilangan kompleks
Contoh Soal dan Jawab
Contoh 1 : Dengan menggunakan Matlab, nyatakan bilangan kompleks pada persamaan (42) s/d (45) berikut a.
z1 =3 + i4
(42)
b.
z 2 =3 - i4
(43)
c.
z 3 = -3 + i4
(44)
d.
z 4 = -3 - i4
(45)
Jawab : Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (42) s/d (45) adalah clc
clear all close all % Z1 = complex(3,4) Z2 = complex(3,-4) Z3 = complex(-3,4) Z4 = complex(-3,-4) % Bentuk Polar disp('Bilangan Kompleks Z1') Z1_abs = abs(Z1) Z1_Sud = angle(Z1) 5
disp('Bilangan Kompleks Z1') Z2_abs = abs(Z2) Z2_Sud = angle(Z2) disp('Bilangan Kompleks Z3') Z3_abs = abs(Z3) Z3_Sud = angle(Z3) disp('Bilangan Kompleks Z4') Z4_abs = abs(Z4) Z4_Sud = angle(Z4) Hasil program Z1 = 3.0000 + Z2 = 3.0000 Z3 = -3.0000 + Z4 = -3.0000 -
4.0000i 4.0000i 4.0000i 4.0000i
Contoh 2 : Dengan menggunakan Matlab, jika z1 =3 + j4 dan z 2 = 8 + j6 hitung operasi aritmetik pada persamaan (46) s/d (49) berikut a.
z a = z1 + z 2
(46)
b.
z b = z1 - z 2
(47)
c.
z c = z1z 2
(48)
d.
zd =
z1 z2
(49)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (46) s/d (49) adalah clc clear all close all % Z1 = complex(3,4) Z2 = complex(8,6) % Operasi Aritmetik disp('Penjumlahan Bilangan Kompleks') Za = Z1 + Z2 disp('Pengurangan Bilangan Kompleks') Zb = Z1 - Z2 disp('Perkalian Bilangan Kompleks') Zc = Z1*Z2 disp('Pembagian Bilangan Kompleks') Zd = Z1/Z2 6
Hasil program Z1 = 3.0000 + 4.0000i Z2 = 8.0000 + 6.0000i Penjumlahan Bilangan Kompleks Za = 11.0000 +10.0000i Pengurangan Bilangan Kompleks Zb = -5.0000 - 2.0000i Perkalian Bilangan Kompleks Zc = 0 +50.0000i Pembagian Bilangan Kompleks Zd = 0.4800 + 0.1400i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (50) s/d (53) berikut a.
z a = z1 + z 2 = 11.0000 + i10.0000
(50)
b.
z b = z1 - z 2 = −5.0000 − i2.0000
(51)
c.
z c = z1z 2 = i50.0000
(52)
d.
zd =
z1 = 0.4800 + i0.1400 z2
(53)
Contoh 3 : Dengan menggunakan Matlab, jika z1 =3 + i4 , z 2 = 8 + i6 dan z 3 = 12 + i13 tentukan a.
z1
(54)
b.
z2
(55)
c.
z3
(56)
d.
z a = re ( z1 + z3 )
(57)
e.
z b = im ( z1 - z 2 )
(58)
f.
zc = re ( z1z 2 )
(59)
g.
z z d = im 1 z3
(60)
7
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (54) s/d (60) adalah clc clear all close all % Z1 = complex(3,4) Z2 = complex(8,6) Z3 = complex(12,13) % z1_a = conj(Z1) z2_a = conj(Z2) z3_a = conj(Z3) Za = real(Z1 + Z2) zb = imag(Z1 - Z2) zc = real(Z1*Z2) zd = imag(Z1/Z3) Hasil program Z1 = 3.0000 Z2 = 8.0000 Z3 = 12.0000 z1_a = 3.0000 z2_a = 8.0000 z3_a = 12.0000
+ 4.0000i + 6.0000i +13.0000i - 4.0000i - 6.0000i -13.0000i
Za = 11 zb = -2 zc = 0 zd = 0.0288 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (61) s/d (67) berikut a.
z1 = 3.0000 - i4.0000
(61)
b.
z2 = 8.0000 - i6.0000
(62)
c.
z3 = 12.0000 − i13.0000
(63)
8
d.
z a = re ( z1 + z3 ) = 11.0000
(64)
e.
z b = im ( z1 - z 2 ) = −2.0000
(65)
f.
zc = re ( z1z 2 ) = 0.0000
(66)
g.
z z d = im 1 = 0.0288 z3
(67)
Contoh 4 : Dengan menggunakan Matlab, nyatakan bilangan kompleks pada persamaan (68) s/d (71) bentuk dalam bentuk kutub a.
z1 =1 + i4
(68)
b.
z 2 = 1 - i4
(69)
c.
z 3 = -1 + i4
(70)
d.
z 4 = -1 - i4
(71)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (68) s/d (71) adalah clc clear all close all % Z1 = complex(1,4) Z2 = complex(1,-4) Z3 = complex(-1,4) Z4 = complex(-1,-4) % Bilangan Kompleks Z1 disp('Bilangan Kompleks Z1 (Kutub)') z1_r = abs(Z1) z1_sud_rad = angle(Z1) % Radian z1_sud_deg = (angle(Z1)/pi)*180 % Derjat % Bilangan Kompleks Z2 disp('Bilangan Kompleks Z2 (Kutub)') z2_r = abs(Z2) z2_sud_rad = angle(Z2) % Radian z2_sud_deg = (angle(Z2)/pi)*180 % Derjat % Bilangan Kompleks Z3 disp('Bilangan Kompleks Z3 (Kutub)') z3_r = abs(Z3) z3_sud_rad = angle(Z3) % Radian z3_sud_deg = (angle(Z3)/pi)*180 % Derjat % Bilangan Kompleks Z4 disp('Bilangan Kompleks Z4 (Kutub)') z4_r = abs(Z4) z4_sud_rad = angle(Z4) % Radian z4_sud_deg = (angle(Z4)/pi)*180 % Derjat 9
Hasil program Z1 = 1.0000 + Z2 = 1.0000 Z3 = -1.0000 + Z4 = -1.0000 -
4.0000i 4.0000i 4.0000i 4.0000i
Bilangan Kompleks z1_r = 4.1231 z1_sud_rad = 1.3258 z1_sud_deg = 75.9638 Bilangan Kompleks z2_r = 4.1231 z2_sud_rad = -1.3258 z2_sud_deg = -75.9638 Bilangan Kompleks z3_r = 4.1231 z3_sud_rad = 1.8158 z3_sud_deg = 104.0362 Bilangan Kompleks z4_r = 4.1231 z4_sud_rad = -1.8158 z4_sud_deg = -104.0362
Z1 (Kutub)
Z2 (Kutub)
Z3 (Kutub)
Z4 (Kutub)
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (72) s/d (75) berikut a.
z1 =1 + i4 = 4.1231∠1.3258 = 4.1231∠75.96380
(72)
b.
z 2 =1 - i4 = 4.1231∠ − 1.3258 = 4.1231∠ − 75.96380
(73)
c.
z 3 = -1 + i4 = 4.1231∠1.8158 = 4.1231∠104.03620
(74)
d.
z 4 = -1 - i4 = 4.1231∠ − 1.8158 = 4.1231∠ − 104.03620
(75)
10
Contoh 5 : Dengan menggunakan Matlab, nyatakan bilangan kompleks pada persamaan (76) s/d (79) bentuk dalam bentuk rectangular berikut a.
z1 = 4∠900
(76)
b.
z 2 = 5∠1350
(77)
c.
z 3 = π∠ 450
(78)
d.
z 4 = 50∠1200
(79)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (76) s/d (79) adalah clc clear all close all % disp('Bilangan Kompleks Z1') Z1_a = 4 * cos((90/180)*pi); Z1_b = 4 * sin((90/180)*pi); Z1 = complex(Z1_a,Z1_b) % disp('Bilangan Kompleks Z2') Z2_a = 5 * cos((135/180)*pi); Z2_b = 4 * sin((135/180)*pi); Z2 = complex(Z2_a,Z2_b) % disp('Bilangan Kompleks Z3') Z3_a = pi * cos((45/180)*pi); Z3_b = pi * sin((45/180)*pi); Z3 = complex(Z3_a,Z3_b) % disp('Bilangan Kompleks Z4') Z4_a = 5 * cos((120/180)*pi); Z4_b = 5 * sin((120/180)*pi); Z4 = complex(Z4_a,Z4_b) Hasil Program Bilangan Kompleks Z1 Z1 = 0.0000 + 4.0000i Bilangan Kompleks Z2 Z2 = -3.5355 + 2.8284i Bilangan Kompleks Z3 Z3 = 2.2214 + 2.2214i Bilangan Kompleks Z4 Z4 = -2.5000 + 4.3301i 11
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (80) s/d (83) berikut a.
z1 = 4∠900 = 0.0000 + i4.0000
(80)
b.
z 2 = 5∠1350 = -3.5355 + i2.8284
(81)
c.
z 3 = π∠450 = 2.2214 + i2.2214
(82)
d.
z 4 = 50∠1200 = −2.5000 + i4.3301
(83)
Contoh 6 : Dengan menggunakan Matlab, hitung penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks pada persamaan (84) s/d (87) dalam bentuk kutub berikut a.
z1 = 4∠750 + 5∠1350
(84)
b.
z 2 = 15∠1350 + 10∠1050
(85)
c.
z 3 = π∠ 450 − 0.5∠750
(86)
d.
z 4 = 50∠1200 − 25∠600
(87)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (84) s/d (87) adalah clc clear all close all % disp('Bilangan Kompleks Z1') Z1_a = 4 * cos((75/180)*pi); Z1_b = 4 * sin((75/180)*pi); Z1_1 = complex(Z1_a,Z1_b); Z1_c = 15 * cos((135/180)*pi); Z1_d = 15 * sin((135/180)*pi); Z1_2 = complex(Z1_c,Z1_d); Z1 = Z1_1 + Z1_2; Z1_abs = abs(Z1) Z1_sud_rad = angle(Z1) % Radian Z1_sud_deg = (angle(Z1)/pi)*180 % Derjat % disp('Bilangan Kompleks Z2') Z2_a = 15 * cos((135/180)*pi); Z2_b = 15 * sin((135/180)*pi); Z2_1 = complex(Z2_a,Z2_b); Z2_c = 10 * cos((105/180)*pi); Z2_d = 10 * sin((105/180)*pi); Z2_2 = complex(Z2_c,Z2_d); Z2 = Z2_1 + Z2_2; Z2_abs = abs(Z2) Z2_sud_rad = angle(Z2) % Radian 12
Z2_sud_deg = (angle(Z2)/pi)*180 % disp('Bilangan Kompleks Z3') Z3_a = pi * cos((45/180)*pi); Z3_b = pi * sin((45/180)*pi); Z3_1 = complex(Z3_a,Z3_b); Z3_c = 0.5 * cos((75/180)*pi); Z3_d = 0.5 * sin((75/180)*pi); Z3_2 = complex(Z3_c,Z3_d); Z3 = Z3_1 - Z3_2; Z3_abs = abs(Z3) Z3_sud_rad = angle(Z3) Z3_sud_deg = (angle(Z3)/pi)*180 % disp('Bilangan Kompleks Z4') Z4_a = 50 * cos((120/180)*pi); Z4_b = 50 * sin((120/180)*pi); Z4_1 = complex(Z4_a,Z4_b); Z4_c = 25 * cos((60/180)*pi); Z4_d = 25 * sin((60/180)*pi); Z4_2 = complex(Z4_c,Z4_d); Z4 = Z4_1 - Z4_2; Z4_abs = abs(Z4) Z4_sud_rad = angle(Z4) Z4_sud_deg = (angle(Z4)/pi)*180 Hasil program Bilangan Kompleks Z1_abs = 17.3494 Z1_sud_rad = 2.1552 Z1_sud_deg = 123.4825 Bilangan Kompleks Z2_abs = 24.1828 Z2_sud_rad = 2.1479 Z2_sud_deg = 123.0675 Bilangan Kompleks Z3_abs = 2.7201 Z3_sud_rad = 0.6934 Z3_sud_deg = 39.7266 Bilangan Kompleks
Z1
Z2
Z3
Z4 13
% Derjat
% Radian % Derjat
% Radian % Derjat
Z4_abs = 43.3013 Z4_sud_rad = 2.6180 Z4_sud_deg = 150 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (88) s/d (91) berikut a.
z1 = 4∠750 + 5∠1350 = 17.3494∠1230 .3494'
(88)
b.
z 2 = 15∠1350 + 10∠1050 = 24.1828∠1230.0675'
(89)
c.
z 3 = π∠ 450 − 0.5∠750 = 2.7201∠390.7266'
(90)
d.
z 4 = 50∠1200 − 25∠600 = 43.3013∠1500
(91)
Contoh 7 : Dengan menggunakan Matlab, hitung perkalian dan pembagian kompleks dalam bentuk kutub pada persamaan (92) s/d (95) berikut a.
z a = (10∠37 0 )( 4∠3220 )
(92)
b.
z b = ( π∠137 0 )( 0.5∠220 )
(93)
( 3π∠167 ) z = ( 5∠20 ) (10∠37 ) z = ( 4∠322 ) 0
c.
c
(94)
0
0
d.
d
(95)
0
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (92) s/d (95) adalah clc clear all close all % disp('Bilangan Kompleks Za') Z1_abs = 10.0000; Z1_sud = (37/180)*pi; Z2_abs = 4.0000; Z2_sud = (322/180)*pi; Za_abs = Z1_abs*Z2_abs Za_sud = ((Z1_sud + Z2_sud)/pi)*180 % disp('Bilangan Kompleks Zb') Z3_abs = pi; Z3_sud = (137/180)*pi; Z4_abs = 0.5000; 14
% derjat
Z4_sud = (22/180)*pi; Zb_abs = Z3_abs*Z4_abs Zb_sud = ((Z3_sud + Z4_sud)/pi)*180 % disp('Bilangan Kompleks Zc') Z5_abs = (3*pi); Z5_sud = (167/180)*pi; Z6_abs = 5.0000; Z6_sud = (20/180)*pi; Zc_abs = Z5_abs/Z6_abs Zc_sud = ((Z5_sud - Z6_sud)/pi)*180 % disp('Bilangan Kompleks Zd') Z7_abs = 10.0000; Z7_sud = (37/180)*pi; Z8_abs = 4.0000; Z8_sud = (322/180)*pi; Zd_abs = Z7_abs/Z8_abs Zd_sud = ((Z7_sud - Z8_sud)/pi)*180 Hasil program Bilangan Kompleks Za_abs = 40 Za_sud = 359 Bilangan Kompleks Zb_abs = 1.5708 Zb_sud = 159.0000 Bilangan Kompleks Zc_abs = 1.8850 Zc_sud = 147 Bilangan Kompleks Zd_abs = 2.5000 Zd_sud = -285
% derjat
% derjat
% derjat
Za
Zb
Zc
Zd
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (96) s/d (99) berikut a.
z a = (10∠37 0 )( 4∠3220 ) = 40∠3590
(96)
b.
z b = ( π∠137 0 )( 0.5∠220 ) = 1.5708∠159.0000
(97)
15
( 3π∠167 ) = 1.8850∠147 = ( 5∠20 ) (10∠37 ) = 2.5000∠ − 285 = ( 4∠322 ) 0
c.
zc
0
(98)
0
0
d.
zd
0
(99)
0
Contoh 8 : Dengan menggunakan Matlab, selesaikan operasi bilangan kompleks pada persamaan (100) s/d (103) berikut a.
z 2 - ( 5 + i ) z + (8 + i ) = 0
(100)
b.
z 2 - 3z + ( 3 + i ) = 0
(101)
c. d.
8
3 + i4
(102)
2i
(103)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (100) s/d (103) adalah clc clear all close all % Soal a p1 = [1 -(5 + i) (8+i)] roots(p1) % Soal b p2 = [ 1 -3 ( 3 + i)] roots(p2) % Soal c p3 = (3 + i*4)^0.5 % Soal d p3 = (i*2)^(1/8) Hasil program p1 = 1.0000
-5.0000 - 1.0000i
8.0000 + 1.0000i
ans = 3.0000 + 2.0000i 2.0000 - 1.0000i p2 = 1.0000
-3.0000
1.0000i 16
3.0000 +
ans = 2.0000 - 1.0000i 1.0000 + 1.0000i p3 = 2.0000 + 1.0000i P4 = 1.0696 + 0.2127i Hasil program menunjukkan bahwa a. z 2 - ( 5 + i ) z + (8 + i ) = 0
(104)
diperoleh nilai-nilai akar dari persamaan (104) berikut
b.
z1 = 3.0000 + i2.0000
(105)
z 2 = 2.0000 - i
(106)
z 2 - 3z + ( 3 + i ) = 0
(107)
diperoleh nilai-nilai akar dari persamaan (108) berikut z1 = 3.0000 + i2.0000
(109)
z 2 = 2.0000 - i
(110)
c. d.
8
3 + i4 = 2.0000 + i
(111)
2i = 1.0696 + i0.2127
(112)
Contoh 9 : Dengan menggunakan Matlab, jika diketahui z1 = 3.0000 + i2.0000 dan z 2 = 2.0000 - i5.0000 . Selesaikan operasi bilangan kompleks pada persamaan (113) s/d (116) berikut a.
z12 - 2z 2 + ( 8 + i )
(113)
b.
2z12 - 3z 2 + ( 3 + i ) = 0
(114)
c. d.
3
z1 + z 2
(115)
z1 z 2
(116)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (113) s/d (116) adalah clc clear all 17
close all z1 = complex(3,2); z2 = complex(2,-5); % Soal a f_1 = z1^2 - 2*z2 + (8 + i) % Soal b f_2 = 2*z1^2 - 3*z2 + ( 3 + i) % Soal c f_3 = (z1 + z2)^0.5 % Soal d f_4 = (z1*z2)^(1/3) Hasil program
f_1 = 9.0000 +23.0000i f_2 = 7.0000 +40.0000i f_3 = 2.3271 - 0.6446i f_4 = 2.6338 - 0.5360i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (117) s/d (120) berikut a.
z12 - 2z 2 + ( 8 + i ) = 9.0000 + i23.0000
(117)
b.
2z12 - 3z 2 + ( 3 + i ) = 7.0000 + i40.0000
(118)
c. d.
3
z1 + z 2 = 2.3271 − i0.6446
(119)
z1z 2 = 2.6388 − j0.5360
(120)
Contoh 10 : Dengan menggunakan Matlab, jika diketahui z1 = 2.0000 + i5.0000
(121)
z 2 = i3.0000 .
(122)
z3 = -4 + i2.0000
(123)
Selesaikan operasi bilangan kompleks pada persamaan (124) s/d (132) berikut a.
f ( z ) = 3z12 + z1
(124)
b.
f ( z ) = 3z 22 + z 2
(125) 18
c.
f ( z ) = 3z 32 + z 3
d.
f (z) =
1 2z12
(127)
e.
f (z) =
1 2z 22
(128)
f.
f (z) =
1 2z 32
(129)
g.
f (z) =
( z1 + 1) ( z1 - 1)
(130)
h.
f (z) =
( z2 ( z2
+ 1) - 1)
(131)
i.
f (z) =
( z3 + 1) ( z3 - 1)
(132)
(126)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (124) s/d (132) adalah clc clear all close all % z1 = complex(2,5) z2 = complex(0,3) z3 = complex(-4,2) % soal a f_a = 3*z1^2 + z1 % soal b f_b = 3*z2^2 + z2 % soal c f_c = 3*z3^2 + z3 % soal d f_d = 1/2*z1^2 % soal e f_e = 1/2*z2^2 % soal f f_f = 1/2*z3^2 % soal g f_g = (z1 + 1)/(z1 - 1) % soal h f_h = (z2 + 1)/(z2 - 1) % soal i f_i = (z3 + 1)/(z3 - 1)
19
Hasil program z1 = 2.0000 + 5.0000i z2 = 0 + 3.0000i z3 = -4.0000 + 2.0000i f_a = -61.0000 +65.0000i f_b = -27.0000 + 3.0000i f_c = 32.0000 -46.0000i f_d = -10.5000 +10.0000i f_e = -4.5000 f_f = 6.0000 - 8.0000i f_g = 1.0769 - 0.3846i f_h = 0.8000 - 0.6000i f_i = 0.6552 - 0.1379i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (133) s/d (141) berikut a.
f ( z ) = 3z12 + z1 = −61.0000 + i65.0000
(133)
b.
f ( z ) = 3z 22 + z 2 = −27.0000 + i3.0000
(134)
c.
f ( z ) = 3z 32 + z 3 = 32.0000 − i46.0000
(135)
d.
f (z) =
1 = −10.5000 + i10.000 2z12
(136)
e.
f (z) =
1 = −4.5000 2z 22
(137)
f.
f (z) =
1 = 6.0000 − i8.0000 2z 32
(138)
g.
f (z) =
( z1 + 1) = 1.0769 − i0.3846 ( z1 - 1)
(139)
h.
f (z) =
(z2 (z2
(140)
+ 1) = 0.8000 − i0.6000 - 1)
20
i.
f (z) =
( z3 ( z3
+ 1) = 0.6552 − i0.1379 - 1)
(141)
Contoh 11: Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai turunan pada persamaan (142) s/d (145) berikut a.
f ( z ) = 3z 3 + 2z di z = 2i
(142)
b.
f (z) =
1 di z = 1 + i 2z 4
(143)
c.
f ( z ) = ( z 2 - i ) di z =
d.
f (z) =
2
(z - i) 2z
i 2
di z = 2i
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (142) s/d (145) adalah clc clear all close all % syms z % soal a f_a = 3*z^3 + 2*z f_a_1 = diff(f_a) f_a_2 = subs(f_a_1,-i) % soal b f_b = 1/(2*z^4) f_b_1 = diff(f_b) f_b_2 = subs(f_b_1,(i+1)) % soal c f_c = (z^2 - i)^2 f_c_1 = diff(f_c) f_c_2 = subs(f_c_1,(i/2)) % soal d f_d = ( z - i)/(2*z) f_d_1 = diff(f_d) f_d_2 = subs(f_d_1,2*i) Hasil program f_a = 3*z^3 + 2*z f_a_1 = 9*z^2 + 2 f_a_2 = -7 f_b = 21
(144) (145)
1/(2*z^4) f_b_1 = -2/z^5 f_b_2 = 0.2500 - 0.2500i f_c = (z^2 - i)^2 f_c_1 = 4*z*(z^2 - i) f_c_2 = 2.0000 - 0.5000i f_d = (z - i)/(2*z) f_d_1 = 1/(2*z) - (z - i)/(2*z^2) f_d_2 = 0 - 0.1250i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (146) s/d (149) berikut a.
f ( 2i ) = 3z 3 + 2z = -7
b.
f (1 + i ) =
c.
2 i f = ( z 2 - i ) = 2.0000 − i0.5000 2
d.
f ( 2i ) =
(146)
1 = 0.2500 − j0.2500 2z 4
( z - i ) = 0.0000 − i0.1250 2z
(147) (148)
(149)
Contoh 12 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan limit dari persamaanpersamaan (150) s/d (153) berikut a. b. c. d.
lim f ( z ) = lim 3z 3 + 2z
z → 2i
(150)
z → 2i
1 2z 4
(151)
lim f ( z ) = lim ( z 2 - i )
(152)
lim f ( z ) = lim
z →1+ 2i
z →1
z →1+ 2i
z →1
lim f ( z ) = lim
z → -1-4i
2
z → -1-4i
(z - i) 2z
di z = 2i
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (150) s/d (153) adalah clc clear all close all % 22
(153)
syms z % soal a f_a = 3*z^3 + 2*z zo_a = complex(0,2) f_a_1 = limit(f_a,zo_a) % soal b f_b = 1/(2*z^4) zo_b = complex(1,2) f_b_1 = limit(f_b,zo_b) % soal c f_c = (z^2 - i)^2 zo_c = complex(1,0) f_c_1 = limit(f_c,zo_c) % soal d f_d = ( z - i)/(2*z) zo_d = complex(-1,-4) f_d_1 = limit(f_d,zo_d) Hasil program f_a = 3*z^3 + 2*z zo_a = 0 + 2.0000i f_a_1 = (-20)*i f_b = 1/(2*z^4) zo_b = 1.0000 + 2.0000i f_b_1 = (12*i)/625 - 7/1250 f_c = (z^2 - i)^2 zo_c = 1 f_c_1 = (-2)*i f_d = (z - i)/(2*z) 23
zo_d = -1.0000 - 4.0000i f_d_1 = i/34 + 21/34 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (154) s/d (157) berikut a. b. c. d.
lim f ( z ) = lim 3z 3 + 2z = -20i z → 2i
(154)
z → 2i
1 −7 12 = +i 4 z →1+ 2i 2z 1250 625
lim f ( z ) = lim
z →1+ 2i
lim f ( z ) = lim ( z 2 - i ) = -2i 2
z →1
(156)
z →1
lim f ( z ) = lim
z → -1-4i
z → -1-4i
( z - i ) = 21 + i 2z
34
(155)
1 34
(157)
Contoh 7.13: Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi – fungsi pada persamaan (158) s/d (161) berikut a.
f ( z ) = e3 + 2πi
(158)
b.
f ( z ) = e -i
(159)
c.
f ( z ) = e −3− 4i
(160)
d.
f ( z ) = e −3+ 4i
(161)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (158) s/d (161) adalah clc clear all close all % % soal a z_1 = complex(3,2*pi) f_a = exp(z_1) % soal b z_2 = complex(0,-1) f_b = exp(z_2) % soal c z_3 = complex(-3,-4) f_c = exp(z_3) % soal d z_4 = complex(-3,4) f_d = exp(z_4) 24
Hasil program z_1 = 3.0000 + f_a = 20.0855 z_2 = 0 f_b = 0.5403 z_3 = -3.0000 f_c = -0.0325 + z_4 = -3.0000 + f_d = -0.0325 -
6.2832i 0.0000i 1.0000i 0.8415i 4.0000i 0.0377i 4.0000i 0.0377i
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (162) s/d (165) berikut a.
f ( z ) = e3 + 2πi = 20.0855 - i0.0000
(162)
b.
f ( z ) = e -i = 0.5403 - i0.8415
(163)
c.
f ( z ) = e −3− 4i = −0.0325 + i0.0377
(164)
d.
f ( z ) = e −3+ 4i = −0.0325 − i0.0377
(165)
Contoh 14 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi – fungsi pada persamaan (166) s/d (169) berikut a.
f ( z ) = re ( e3 + 2πi )
(166)
b.
f ( z ) = re ( e -i )
(167)
c.
f ( z ) = im ( e −3− 4i )
(168)
d.
f ( z ) = im ( e −3+ 4i )
(169)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (166) s/d (169) adalah clc clear all close all % soal a z_1 = complex(3,2*pi); f_a_1 = real(exp(z_1)) % soal b 25
z_2 = complex(0,-1); f_b_2 = real(exp(z_2)) % soal c z_3 = complex(-3,-4); f_b_3 = imag(exp(z_3)) % soal d z_4 = complex(-3,4); f_b_4 = imag(exp(z_4)) Hasil program f_a_1 = 20.0855 f_b_2 = 0.5403 f_b_3 = 0.0377 f_b_4 = -0.0377 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (170) s/d (173) berikut a.
f ( z ) = re ( e3 + 2πi ) = 20.0855
(170)
b.
f ( z ) = re ( e-i ) = 0.5403
(171)
c.
f ( z ) = im ( e −3− 4i ) = 0.0377
(172)
d.
f ( z ) = im ( e −3+ 4i ) = −0.0377
(173)
Contoh 15 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi – fungsi pada persamaan (174) s/d (177) berikut a.
cos ( 3 + i4 )
(174)
b.
cos ( 6 - i8 )
(175)
c.
sin ( 2i )
(176)
d.
sin ( −2 − i3 )
(177)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (174) s/d (177) adalah clc clear all close all % soal a z_1 = complex(3,4); f_1 = cos(z_1) 26
% Soal b z_2 = complex(6,-8); f_2 = cos(z_2) % Soal c z_3 = complex(0,2); f_3 = cos(z_3) % Soal d z_4 = complex(-2,-3); f_4 = cos(z_4) Hasil program f_1 = -27.0349 - 3.8512i f_2 = 1.4311e+003 -4.1646e+002i f_3 = 3.7622 f_4 = -4.1896 - 9.1092i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (178) s/d (181) berikut a.
cos ( 3 + i4 ) = -27.0349 - i3.8512
(178)
b.
cos ( 6 - i8 ) = 1431.10000 − i416.4600
(179)
c.
sin ( i2 ) = 3.7622
(180)
d.
sin ( −2 − i3 ) = −4.1896 − i9.1092
(181)
Contoh 16 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi-fungsi pada persamaan (182) s/d (185) berikut a.
cosh ( 3 + i4 )
(182)
b.
cosh ( 6 - i8 )
(183)
c.
sinh ( i2 )
(184)
d.
sinh ( −2 − i3 )
(185)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (182) s/d (185) adalah clc clear all close all % soal a z_1 = complex(3,4); 27
f_1 = cosh(z_1) % Soal b z_2 = complex(6,-8); f_2 = cosh(z_2) % Soal c z_3 = complex(0,2); f_3 = cosh(z_3) % Soal d z_4 = complex(-2,-3); f_4 = cosh(z_4) Hasil program f_1 = -6.5807 - 7.5816i f_2 = -2.9350e+001 -1.9957e+002i f_3 = -0.4161 f_4 = -3.7245 + 0.5118i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (186) s/d (189) berikut a.
cosh ( 3 + i4 ) = −6.5807 − i7.5816
(186)
b.
cosh ( 6 - i8 ) = −29.3500 − i199.5700
(187)
c.
sinh ( 2i ) = −0.4161
(188)
d.
sinh ( −2 − i3 ) = −3.7245 + i0.5118
(189)
Contoh 17 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi – fungsi pada persamaan (190) s/d (193) berikut a.
ln ( 3 + i4 )
(190)
b.
( ln z )
(191)
c.
ln ( 3 + i4 )(1 + i2 )
(192)
d.
ln
2 '
( 6 + i2 ) ( 2 + i4 )
(193)
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (190) s/d (193) adalah clc clear all close all 28
% syms z % soal a z_1 = complex(3,4); f_1 = log(z_1) % Soal b z_2 = log(z^2); f_2 = diff(z_2) % Soal c z_3_a = complex(3,4); z_3_b = complex(1,2); f_3 = log(z_3_a) + log(z_3_b) % Soal d z_4_a = complex(6,2); z_4_b = complex(2,4); f_4 = log(z_4_a) - log(z_4_b) Hasil program
f_1 = 1.6094 + 0.9273i f_2 = 2/z f_3 = 2.4142 + 2.0344i f_4 = 0.3466 - 0.7854i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (194) s/d (197) berikut a.
ln ( 3 + i4 ) = 1.6094 + i0.9273
(194)
b.
( ln z ) = 2z
(195)
c.
ln ( 3 + i4 )(1 + i2 ) = 2.4142 + i2.0344
(196)
d.
ln
2 '
( 6 + i2 ) = 0.3466 − i0.7854 ( 2 + i4 )
29
(197)
