SUKU BANYAK Pengertian: f(x) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n−2 x n−2 +…+ a 2 x 2 +a 1 x + a 0 adalah suku banyak (polinom) dengan : - a n , a n −1 , a n −2 , ….,a 2 , a 1 , a 0 adalah koefisienkoefisien suku banyak yang merupakan konstanta real dengan a n ≠ 0
An = an An – 1 = An. h + an – 1 An – 2 = An–1 . h + an – 2 . . .. .. A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0
x=h
a n a n −1
a n−2 - - - a 2
a1
a0
- a 0 adalah suku tetap yang merupakan konstanta real - n merupakan pangkat tertinggi dari x A n .h A n −1 . h
A 3 .h A 2 .h A 1 .h
Menghitung nilai suku banyak: An An – 1
An – 2
A2
A1
1. Metoda Substitusi :
A0
f(h)
Cara penyelesaian contoh metoda substitusi dapat diselesaikan dengan cara Horner sbb:
Nilai suku banyak :
f(x) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n −2 x n −2 +…+ a 2 x 2 +a 1 x + a 0 f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 untuk x = -2 didapat :
untuk x = h adalah : f(h) = a n h n + a n −1 h n −1 + a n − 2 h n − 2 +…+ a 2 h 2 +a 1 h + a 0
contoh: jika f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 nilai suku banyak untuk x = -2 adalah : f(-2) = 4 . (-2) 3 + 2 .(-2) 2 + (-2) – 3 = -32 + 8 - 2 - 3 = - 29
x = -2
4
2
-8 (+) 4
-6
1
-3
12 (+) -26 (+) 13
-29
hasil dari f(-2)
= kalikan dengan x = -2
2. Metoda Horner:
didapat f(-2) = -29
Nilai suku banyak :
Pembagian Suku Banyak:
f(x) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 +…+ a 2 x 2 +a 1 x + a 0 1. Dengan Pembagian Biasa: untuk x = h adalah f(h) menggunakan Metoda Horner diperlihatkan sbb:
Sisa pembagian oleh (x – h) terhadap f(x) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n− 2 x n− 2 +…+ a 2 x 2 +a 1 x + a 0 adalah P(h) atau f(x) = (x – h) H(h)+ P(h)
www.pintarmatematika.web.id - 1
Dimana : (x – h) = pembagi H(h) = hasil bagi P(h) = sisa
2. Pembagian suku banyak dengan cara Horner
Contoh sebelumnya : Suku banyak f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 dengan x = -2 atau (x+2) (1) (2) (3) 4x 2 - 6x +13
a. Pembagian suku banyak dengan x - h f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x x = -2
3
2
1
-3
2
x +2 (4x . (x+2))
4x + 2x + x - 3 4x 3 + 8 x 2 -
(-6x . (x+2))
- 6 x 2 +x - 6 x 2 - 12x
2
4
- 3 dibagi dengan x+2
13x – 3 13x +26 - 29
(13 . (x+2))
-8 (+) 4
13
Hasil bagi =: 4x 2 - 6x + 13 -
-29 dengan sisa = -29
b. Pembagian suku banyak dengan ax + b Pembagian suatu suku banyak oleh (ax + b) dinyatakan sebagai berikut :
Hasil bagi = H(h) = 4x 2 - 6x +13 Sisa = P(h) = -29
b maka bentuk (x – h) dapat a dinyatakan sebagai :
Diketahui, h = –
Proses pengerjaan: urutan 1 : 4x 3 dibagi dengan x+2 didapat 4x 2 2 : kalikan 4x 2 dengan x+2 didapat 4x 3 +8 x 2 3 : kurangi 4x 3 + 2x 2 dengan 4x 3 +8 x 2 didapat - 6 x 2 kemudian turunkan x sehingga menjadi - 6 x 2 +x 4 : bagi - 6 x 2 dengan x+2 didapat - 6x 5 : kalikan - 6x dengan x +2 didapat - 6 x 2 - 12x 6 : Kurangi - 6 x 2 +x dengan - 6 x 2 -12x didapat 13x kemudian turunkan -3 sehingga menjadi 13x – 3 7 : bagi 13 x dengan x + 2 didapat 13 8 : kalikan 13 dengan x+2 didapat 13x + 26 9 : Kurangi 13x – 3 dengan 13x + 26 didapat – 29 2
-6
12 (+) -26 (+)
x – h = ( x – (-
b b )) =(x+ ) a a
Pembagian suku banyak f(x) oleh (x + hubungan berikut. f(x) = (x + =
b ) H(h) + sisa a
1 (ax + b) H(h) + sisa a
= (ax + b)
didapat hasil bagi = 4x - 6x +13 dengan sisa = -29
H ( h) + sisa a
Contoh : Tentukan hasil bagi dan sisa dari 12x 3 + 4x 2 - 27x – 9 dibagi (2x + 3)
jawab:
www.pintarmatematika.web.id - 2
b ) memberikan a
x=-
3 12 2
4
-27
-9
-18
21
9
- dibagi (ax-b) maka sisanya adalah f(
12 -14
-6
0
- habis dibagi (x-a) maka f(a) = 0
Apabila suku banyak f(x) : - dibagi (x-a) maka sisanya adalah f (a).
+
12 x 2 − 14 x − 6 2 = 6x 2 - 7x - 3 dan sisanya adalah 0
Teorema Faktor:
Jadi hasil baginya adalah
- Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a)=0 , f(b) =0 dan f(c)= 0 maka f(x) habis dibagi (x-a) (x-b) (x –c)
c. Pembagian suku banyak dengan ax 2 + bx + c
Dengan cara pembagian biasa:
- jika f(a) = 0 maka x-a adalah faktor dari f(x) - jika (x-a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar dari f(x)
contoh: x 3 - x 2 + 4x – 4 dibagi oleh x 2 - 1 (1) (2) x-1 x2 - 1 (x . (x 2 -1))
b ) a
Akar-akar Suku banyak
1. Jika x 1 , x 2 dan x 3 adalah akar-akar persamaan
x 3 - x 2 + 4x – 4 x3 -x -
ax 3 + bx 2 + cx +d = 0 maka
- x 2 +5x (-1 . (x 2 -1)) -x 2 +1 5x – 5 (berderajat lebih kecil dari x 2 - 1, maka perhitungan selesai dan ini merupakan sisa)
x1 + x 2 + x 3 = -
b a
x1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 = x1 x 2 x 3
=-
c a
d a
Hasil bagi adalah x – 1 dan sisa 5x - 5 2. Jika x 1 , x 2 , x 3 dan x 4 adalah akar-akar persamaan Teorema Sisa:
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 maka
Jika f(x) dibagi g(x) mempunyai hasil h(x) dan sisa s(x) ditulis :
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = -
b a
f(x) = g(x) h(x) + s(x) f(x) = suku banyak yang dibagi g(x)= pembagi h(x) = hasil bagi s(x) = sisa pembagian Jika f(x) berderajat n dan g(x) berderajat m (m ≤ n) maka derajat h(x) dan s(x) masing-masing sebagai berikut. • derajat h(x) adalah (n – m) • derajat maksimum s(x) adalah (m – 1)
x1 x 2 + x1 x 3 + x1 x 4 + x 2 x 3+ x 2 x 4 + x 3 x 4 =
c a
x1 x 2 x 3 + x1 x 3 x 4 + x1 x 2 x 4 + x 2 x 3 x 4 = -
d a
x1 x 2 x 3 x 4 =
e a
- jika h(x) = ax +b maka s(x) = konstan - jika g(x) = ax 2 + bx +c maka s(x) = Ax + B
Akar-akar Rasional dari persamaan suku banyak: www.pintarmatematika.web.id - 3
Karena soal berderajat 4 maka cari minimal 2 nilai akar terlebih dahulu:
Persamaan suku banyak : a n x n + a n −1 x n −1 + a n −2 x n −2 +…+ a 2 x 2 +a 1 x + a 0 =0 dapat diselesaikan dengan mencari nilai pengganti x yang memenuhi persamaan suku banyak itu. Nilai x tersebut dinamakan penyelesaian atau akar persamaan suku banyak tersebut. Jika f(x) adalah suku banyak maka (x-h) merupakan faktor dari f(x) jika h adalah akar dari persamaan suku banyak f(x) = 0 . Akar-akar persamaan suku banyak f(0) dapat dicari dengan menggunakan urutan langkah-langkah sbb: 1. Menentukan akar-akar yang mungkin dari f(x) =0, yaitu
m , n
ambil nilai x=1 : f(1) = 1 – 15 – 10 + 24 = 0
x = 1 adalah akar persamaan
ambil nilai x = 2 f(2) = 16 – 60 – 20 + 24 = -40
x= 2 bukan akar
ambil nilai x = -2 f(-2) = 16 - 60 + 20 + 24 = 0 persamaan
x = -2 adalah akar
didapat dua nilai yaitu x = 1 dan x = -2 kalikan dua nilai sbb: (x-1)(x+2) = x 2 + x - 2
dimana: m = factor bulat positif dari a 0
Bagi persamaan dengan nilai tsb :
n = factor bulat dari a 0 x 2 -x -12
2. Akar-akar yang sebenarnya harus memenuhi f (
m )=0 n
x 2 +x- 2
x 4 - 15x 2 - 10x + 24 x 4 + x 3 -2x 2 -
Contoh: - x 3 -13x 2 -10x -x 3 -x 2 + 2 x -
f(x) = x 4 - 15x 2 - 10x + 24 = 0 maka a n = 1 dan a 0 = 24
-12x 2 -12x + 24 -12x 2 -12x + 24
m = faktor bulat positif dari a 0 = 24, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 n = faktor bulat dari a 0 yaitu , -1, 1, -2,2, -3,3, -6,6, -8,8 -12, 12, -24,24 akar yang mungkin adalah(
m ) : 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4, 6,-6 n ,8,-8
substitusikan akar yang mungkin ke dalam persamaan m apakah f( ) = 0 ? n
0 ( sisa 0 ) sehingga hasil akhirnya didapat : f(x)= (x-1)(x+2)( x 2 -x -12) = 0 atau (x-1)(x+2) (x -4 ) (x +3) = 0 didapat akar-akar persamaan : x = 1 ; x = -2 ; x= -3 dan x = 4
www.pintarmatematika.web.id - 4
-
UN2011
Contoh Soal:
2. Diketahui suku banyak P(x) = 2x4+ ax3- 3x2 + 5x + b. Jika P(x) dibagi (x-1) sisa 11, dibagi (x+1) sisa -1, maka nilai (2a+b) = .....
Soal UN2010 – UN2012 UN2010
A. 13
B. 10
C. 8
D. 7
E. 6
1. Suku banyak x 3 +2x 2 -px+q, jika dibagi (2x – 4) bersisa 16 dan jika dibagi (x + 2) bersisa 20. Nilai dari 2p+ q = ….
Jawab:
A. 17
C. 19
B. 18
D. 20
Pergunakan Metoda Substitusi dibagi dengan (x-1) x =1 4 3 2 P(1) = 2. 1 + a. 1 - 3. 1 + 5.1 + b = 11
E. 21
2 + a – 3 + 5 + b = 11 a + b + 4 = 11 a + b = 7 ... (1)
Jawab: Gunakan metoda Horner:
2x- 4
x=
4 =2 2
x=
4 =2 2
1
1 x+2
2
-p
2
8
q 16 – 2p
(+)
4 8-p q+16-2p (sisa) q+16-2p = 16 ⇒ q – 2p = 0 …(1)
x = -2
x = -2 1
2
-p
-2 1
0
0
q 2p (+)
-p q+2p (sisa) q+2p = 20 …(2)
Substitusi 1 dan 2:
dibagi dengan (x+1) x = -1 4 3 2 P(-1) = 2. (-1) + a. (-1) - 3. (-1) + 5.(-1) + b = - 1 2 - a – 3 - 5 + b = -1 -a + b - 6 = -1 -a + b = 5 ... (2) Substitusi dengan eliminasi (1) dan (2) a+b=7 -a + b = 5 + 2b = 12 b = 6 a+b=7 a=7–b=7–6=1 2a + b = 2 . 1 + 6 = 8 Jawabannya adalah C UN2012 4. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x2 – x - 6) bersisa 5x-2, jika dibagi (x2 - 2x - 3 ) bersisa ( 3x + 4 ). Suku banyak tersebut adalah....
Eliminasi q q – 2p = 0 q+2p = 20 -
A. x3 – 2x2 + x + 4 2x2 - 4 B. x3 – 2x2 + x - 4
- 4p = - 20
Jawab:
C. x3 – 2x2 - x - 4 D. x3 – 2x2 + 4
p=5 q – 2p = 0 q = 2p
cara 1: Suku banyak berderajat 3
f(x) = ax3 + bx2+ cx + d
= 2 . 5 = 10 Sehingga 2p + q = 2 . 5 + 10 = 20 Jawabannya adalah D
f(x) = (x2 – x - 6) h(x) + 5x – 2 = (x – 3)(x + 2) h(x) + 5x – 2
www.pintarmatematika.web.id - 5
E. x3 +
f(3) = 27 a + 9b + 3 c + d = 5 . 3 – 2 = 13 f(-2) = -8 a + 4b - 2 c + d = 5 .(-2) – 2 = -12 35 a + 5b + 5c = 25 | : 5| 7a + b + c = 5 ....(1) f(x) = (x2 - 2x - 3 ) h (x) + 3x + 4 = (x – 3)(x + 1) h(x) + 3x + 4 f(3) = 27 a + 9b + 3 c + d = 3 . 3 + 4 = 13 f(-1) = - a + b – c + d = 3. (-1) + 4 = 1 28 a + 8b + 4c = 12 | : 4| 7 a + 2 b + c = 3 ...(2) eliminasi c: 7a + b + c = 5 7a+2b+c=3 -b = 2 b = -2 masukkan nilai b: 7a + b + c = 5 7a – 2 + c =5 7a + c = 7 a adalah variabel pangkat tiga (≠ 0), diasumsikan bahwa a bukan pecahan dan nilainya ≥1, nilai yang memungkinkan adalah a = 1 sehingga c = 7 – 7a = 7 – 7 = 0 nilai d : 27 a + 9b + 3 c + d = 13 27 . 1 + 9. (-2) + 3. 0 + d = 13 d = 13 – 27 + 18 = 4 Maka suku banyak tersebut adalah : f(x) = ax3 + bx2+ cx + d = x3 - x2+ 0. x + 4 = x3 - x2 + 4 Jawabannya D
Cara 2: f(x) = (x2 – x - 6) h(x) + 5x – 2 = (x – 3)(x + 2) h(x) + 5x – 2 f(3) = 5.3 – 2 = 13 f(-2) = 5 . (-2) – 2 = -12 masukkan nilai salah satu f(3) atau f(-2) ke salah satu jawaban. Didapat D yang benar
www.pintarmatematika.web.id - 6
