BAB XII. SUKU BANYAK Pengertian: f(x) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 +…+ a 2 x 2 +a 1 x + a 0 adalah suku banyak (polinom) dengan : - a n , a n −1 , a n − 2 , ….,a 2 , a 1 , a 0 adalah koefisienkoefisien suku banyak yang merupakan konstanta real dengan a n ≠ 0 - a 0 adalah suku tetap yang merupakan konstanta real - n merupakan pangkat tertinggi dari x
An = an An – 1 = An. h + an – 1 An – 2 = An–1 . h + an – 2 . . .. .. A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0
x=h
a n a n −1
a n−2 - - - a 2
A n .h A n −1 . h
a1
a0
A 3 .h A 2 .h A 1 .h
Menghitung nilai suku banyak: An An – 1
1. Metoda Substitusi :
An – 2
A2
A1
A0
f(h)
Cara penyelesaian contoh metoda substitusi dapat diselesaikan dengan cara Horner sbb:
Nilai suku banyak : f(x) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 +…+ a 2 x 2 +a 1 x + a 0
f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 untuk x = -2 didapat :
untuk x = h adalah : f(h) = a n h n + a n −1 h n −1 + a n − 2 h n − 2 +…+ a 2 h 2 +a 1 h + a 0 contoh: jika f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 nilai suku banyak untuk x = -2 adalah : f(-2) = 4 . (-2) 3 + 2 .(-2) 2 + (-2) – 3 = -32 + 8 - 2 - 3 = - 29
x = -2
4
2
-8 (+) 4
-6
1
-3
12 (+) -26 (+) 13
-29
hasil dari f(-2)
= kalikan dengan x = -2
2. Metoda Horner: didapat f(-2) = -29
Nilai suku banyak : f(x) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 +…+ a 2 x 2 +a 1 x + a 0
Pembagian Suku Banyak: 1. Dengan Pembagian Biasa:
untuk x = h adalah f(h) menggunakan Metoda Horner diperlihatkan sbb:
Sisa pembagian oleh (x – h) terhadap f(x) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 +…+ a 2 x 2 +a 1 x + a 0 adalah P(h) atau f(x) = (x – h) H(h)+ P(h)
www.belajar-matematika.com - 1
12. SOAL-SOAL SUKU BANYAK
sisa = Ax+B = 2.x + 20 jawabannya adalah D
UN2004 1. Suku banyak x 4 -3x 3 - 5 x 2 + x – 6 dibagi oleh x 2 - x – 2, sisanya sama dengan… A. 16x+ 8 B 16x -8
C. -8x+16 D. -8x – 16
EBTANAS1991 3. Jika f(x) dibagi oleh x 2 -2x dan x 2 -3x masing-masing mempunyai sisa 2x+1 dan 5x+2, maka f(x) dibagi oleh x 2 - 5x + 6 mempunyai sisa…
E. -8x -24 A. 22x – 39 B. 12x + 19
C. 12x – 19 D. -12x + 29
E. -22x + 49
jawab: jawab: Jika f(x) dibagi oleh x 2 -2x = x (x – 2) mempunyai sisa 2x+1 maka :
x 2 - 2x -5 x 2 - x -2
x 4 - 3x 3 - 5x 2 + x – 6 x 4 - x 3 -2 x 2 -
f(0) = 2.0 + 1 = 1 f(2) = 2.2 + 1 = 5
-2x 3 -3 x 2 + x - 6 -2x 3 +2 x 2 +4x 2 -5x -3x -6 -5x 2 +5x+10 -
Jika f(x) dibagi oleh x 2 -3x = x (x – 3) mempunyai sisa 5x+2 maka : f(0) = 5.0 + 2 = 2 f(3) = 5.3 + 2 = 17
- 8x – 16 Æ sisa
Jika f(x) dibagi oleh x 2 - 5x + 6 sisanya adalah..
Hasil bagi adalah x 2 - 2x -5 dan sisa - 8x – 16
x 2 - 5x + 6 = (x - 2) (x -3)
Jawabannya adalah D EBTANAS1990 2. Suku banyak f(x) jika dibagi (x-2) sisanya 24 dan dibagi (x+5) sisanya 10. Apabila f(x) tersebut dibagi x 2 +3x -10 sisanya adalah… A. x + 34 B. x – 34
C. x + 10 D 2x + 20
f(2) = 0 .h(x) + 2A + B = 5 f(3) = 0 .h(x)+ 3A + B = 17 - A = - 12 A = 12
E. 2x - 20
jawab:
f(x) = g(x) (x-2) + 24 Æ f(2) = 24 f(x) = g(x) (x+5) + 10 Æ f(-5) = 10
f(x) = g(x)( x 2 +3x -10)+ Ax+B = g(x) (x +5) (x-2) + Ax+B f(-5) = 0 – 5A + B = 10 f(2) = 0 + 2A + B =24
f(x) = g(x) h(x) + Ax+B = (x - 2) (x -3) h(x) + Ax +B
2A + B = 5 B = 5 – 2A = 5 – 2.12 = - 19 Ax + B = 12.x – 19 Jadi sisanya adalah 12.x – 19 jawabannya adalah C
-
- 7A = -14 A=2 -5A + B = 10 B = 10 + 5A = 10 + 5.2 = 20
www.matematika-sma.com - 1
-
UN2004 4. Suku banyak f(x) dibagi (x+5) memberikan sisa (2x-1) dan dibagi oleh (x-3) memberikan sisa 7. Sisa pembagian f(x) oleh (x 2 + 2x – 15) adalah….
UN2002 5. Suku banyak (2x 3 + ax 2 -bx + 3) dibagi oleh (x 2 -4) bersisa (x+23). Nilai a + b = … A. -1
A. 3x – 2
C. 9x + 1
B. 3x + 1
D.
E.
1 9 x+ 4 4
B. -2
C. 2
D. 9
E. 12
Jawab:
3 9 x + 4 4
2x + a
Jawab: - Jika f(x) dibagi oleh x+5 mempunyai sisa 2x+1 maka :
x2 - 4
2x 3 + ax 2 - bx + 3 2x 3 -8 x
f(x)= (x+5) h(x) + 2x -1
-
ax 2 +x (8-b) + 3 - 4a ax 2 + x (8-b) +3+4a Æ sisa
f(-5) = 2. -5 – 1 = -11 - Jika f(x) dibagi oleh x -3 memberikan sisa 7
x (8-b) +3+4a = x +23 8–b=1 b=8–1=7
f(x) = (x-3) h(x) + 7 f(3) = 7 2
jika f(x) dibagi oleh (x + 2x – 15) mempunyai sisa:
3 + 4a = 23 4a = 23 – 3 = 20
f(x) = (x 2 + 2x – 15) h(x) + Ax+B = (x +5) (x-3) h(x) + Ax + B
a=
20 = 5 4
maka a + b = 5 + 7 = 12
f(-5) = 0 – 5A + B = -11 f(3) = 0 + 3A + B = 7 -
Jawabannya adalah E -8A A
= -18 18 = 8
Ebtanas1992 6. Suku banyak 6x 3 + 7x 2 + px – 24 habis dibagi oleh 2x -3 Nilai p = ….
3A + B = 7 B = 7 – 3A 18 = 7 – 3. 8 54 =78 56 − 54 1 2 = = = 8 4 8 18 1 x+ Maka sisanya adalah Ax + B = 8 4
A. -24
C. -8
D.24
E. 9
jawab: Gunakan metoda Horner: 3 2x -3 Æ x = 2 x=
3 2
6
9 1 = x+ 4 4
jawabannya adalah E
B. -9
6
7
p
9
24
16
p+24
www.matematika-sma.com - 2
-24 3 p+36 2 3 p+12 2
+
Æ sisa
Jika suku banyak habis dibagi berarti sisanya adalah= 0 3 p+12 = 0 2 3 p = -12 2
p=
A. 2x + 1 dan x + 2 B. 2x + 3 dan x +2 C. 2x - 3 dan x +2
− 12 2 = -12 . = -8 3/ 2 3
Salah satu factor berarti apabila dibagi maka sisanya adalah 0.
SPMB2005 7. Jika P(x) = x 4 + 5x 3 + 9x 2 + 13x + a dibagi dengan x + 3 bersisa 2, maka P(x) dibagi (x+1) akan bersisa… B. -3
C. 4
D. -5
p -8
2
-10
-24
-4p+32 -88+16p
+
p-8 22 - 4p 16p - 112 Æ sisa
Sisa 16p-112= 0 16p = 112 112 p= =7 16
x + 3 Æ x = -3
1
x = -4 2
E. 6
jawab:
x = -3 1
D. 2x - 3 dan x - 2 E . 2x + 3 dan x -2
jawab:
Jawabannya adalah C
A. 2
UAN2002 8. Salah satu factor dari 2x 3 + px 2 - 10x – 24 ialah x + 4 . Faktor-faktor lainnya adalah…
5
9
13
a
-3
-6
-9 -12
2
3
4
Hasil pembagian adalah : +
a -12 Æ sisa
2x 2 +(p-8)x + 22 – 4p dengan memasukkan p = 7 didapat:
sisa P(x) = x 4 + 5x 3 + 9x 2 + 13x + a dibagi dengan x + 3 adalah 2, dengan menggunakan metoda Horner didapat sisanya adalah a – 12, maka a – 12 = 2 Æ a = 12 + 2 = 14
2x 2 +(7-8)x + 22 – 4.7 = 2x 2 - x - 6 difaktorkan menjadi :
Sehingga P(x) dibagi dengan x + 1 adalah: sudah diketahui a = 14
2x 2 - x - 6 = (2x + 3 ) (x - 2 ) sehingga faktor-faktor lainnya adalah
x = -1 1
5
9
13 14 (2x + 3 ) dan (x - 2 )
-1
-4
-5 - 8
+ Jawabannya adalah E
1
4
5
Didapat sisanya adalah 6 jawabannya adalah E
8
6 Æ sisa EBTANAS1995 9. Salah satu akar persamaan 2x 3 -7x 2 -7x+30 adalah 3, maka jumlah dua akar yang lain adalah… A. -
1 2
C. 1
B.
1 2
D. 3
www.matematika-sma.com - 3
E. 5
Jawab: Salah satu akar persamaan adalah 3, sehingga persamaan 2x 3 -7x 2 -7x+30 habis dibagi dengan x-3 dengan sisa pembagian 0.
EBTANAS1990 11. Banyaknya akar-akar rasional bulat dari persamaan 4x 4 - 15x 2 + 5x + 6 = 0 adalah ….. A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
jawab: catatan: x= 3
2
2
-7
-7
30
6
-3
-30
-1
-10
a , b a dan b ∈ bilangan bulat, b ≠ 0
akar-akar rasional bulat adalah +
0 Æ sisa
himpunan bilangan bulat = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Hail bagi adalah 2x 2 -x – 10 2x 2 -x – 10 = (2x - 5 ) (x + 2)
* misal f(x) = 4x 4 - 15x 2 + 5x + 6 = 0
5 dan x = -2 2
didapat x =
persamaan umum suku banyak : a n x n + a n −1 x n −1 + a n −2 x n −2 +…+ a 2 x 2 +a 1 x + a 0 = 0
yang ditanyakan adalah jumlah kedua akar ini: berarti a n = 4 dan a 0 = 6
5−4 1 5 = -2= 2 2 2
m adalah factor bulat positif dari a 0 = 6 yaitu 1, 2, 3, 6
Jawabannya adalah B
EBTANAS1992 10. Jumlah akar-akar dari persamaan 2x 3 -3x 2 -11x + 6=0 adalah ….. A. -
3 2
C.
1 2
B. -
1 2
D.
3 2
E. 3
n adalah factor bulat dari a n = 4 yaitu -1, 1, -2, 2 ,-4 , 4 m akar-akar yang mungkin ( ) adalah : n -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6 karena persamaan adalah akar pangkat 4 maka cari 2 akar terlebih dahulu : Ambil nilai-nilai dari akar yang mungkin: −1 1 − 2 2 , , = -1 , 1 −1 2 − 2
jawab:
m = n
rumus umum : ax 3 + bx 2 + cx +d = 0
f(-1) = 4 . (-1) 4 - 15. (-1) 2 + 5. (-1) + 6
x1 + x 2 + x 3 = -
b a
b= -3 ; a = 2 sehingga -
−3 b 3 == a 2 2
jawabannya adalah D
= 4 - 15 -5 + 6 = -10 Æ bukan 0 maka bukan akar m = n
1 −1 2 − 2 , =1 , , 1 −1 2 − 2
f(1) = 4 – 15 + 5 + 6 = 0 Æ akar persamaan dapat 1 cari1 akar yang lain. www.matematika-sma.com - 4
m = n
2 −2 4 −4 , , , = -2 −1 1 − 2 2
f(-2) = 4 . (-2) 4 - 15.(-2) 2 + 5 . (-2) + 6 = 4 . 16 – 15. 4 – 10 + 6 = 64 – 60 – 10 + 6 = 0 Æ akar persamaan sudah didapat 2 akar rasional bulat yaitu 1 dan -2, kemudian cari akar-akar yang lain dengan cara membagi f(x) dengan (x-1) (x+2) dengan pembagian biasa: (x-1) (x+2) = x 2 + x - 2
4x 2 -4x-3 x 2 + x -2 4x 4 - 15x 2 +5x + 6 4x 4 + 4x 3 -8 x 2
-
-4x 3 -7 x 2 +5x + 6 -4x 3 -4 x 2 +8x 2 -3x -3x +6 -3x 2 -3x+ 6 0 Æ sisa
Didapat hasil pembagian f(x) dengan (x-1) (x+2) adalah 4x 2 -4x-3 dengan sisa 0 Cek D dari persamaan 4x 2 -4x-3 D= b 2 - 4ac = 16 + 48 = 64 > 0 D > 0 Æ mempunyai 2 akar persamaan real (2x + 1 )(2x -3) didapat x = -
1 3 dan x = 2 2
Didapat persamaan mempunyai 4 akar rasional bulat Jawabannya adalah E.
www.matematika-sma.com - 5
Dimana : (x – h) = pembagi H(h) = hasil bagi P(h) = sisa
a. Pembagian suku banyak dengan x - h f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x
Contoh sebelumnya : Suku banyak f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 dengan x = -2 atau (x+2) (1) (2) (3) 4x 2 - 6x +13 3
x +2 4x + 2x + x - 3 (4x . (x+2))Æ 4x 3 + 8 x 2 -
(13 . (x+2))Æ
4
2
1
-8 (+) 4
-6
-3
12 (+) -26 (+) 13
-29
2
Hasil bagi =: 4x 2 - 6x + 13 dengan sisa = -29
2
(-6x . (x+2))Æ
x = -2
- 3 dibagi dengan x+2
b. Pembagian suku banyak dengan ax + b
- 6 x 2 +x - 6 x 2 - 12x 13x – 3 13x +26 - 29
Pembagian suatu suku banyak oleh (ax + b) dinyatakan sebagai berikut : b Diketahui, h = – maka bentuk (x – h) dapat a dinyatakan sebagai :
-
Hasil bagi = H(h) = 4x 2 - 6x +13 Sisa = P(h) = -29
x – h = ( x – (-
Proses pengerjaan: urutan 1 : 4x 3 dibagi dengan x+2 didapat 4x 2 2 : kalikan 4x 2 dengan x+2 didapat 4x 3 +8 x 2 3 : kurangi 4x 3 + 2x 2 dengan 4x 3 +8 x 2 didapat - 6 x 2 kemudian turunkan x sehingga menjadi - 6 x 2 +x 4 : bagi - 6 x 2 dengan x+2 didapat - 6x 5 : kalikan - 6x dengan x +2 didapat - 6 x 2 - 12x 6 : Kurangi - 6 x 2 +x dengan - 6 x 2 -12x didapat 13x kemudian turunkan -3 sehingga menjadi 13x – 3 7 : bagi 13 x dengan x + 2 didapat 13 8 : kalikan 13 dengan x+2 didapat 13x + 26 9 : Kurangi 13x – 3 dengan 13x + 26 didapat – 29
b b )) =(x+ ) a a
Pembagian suku banyak f(x) oleh (x +
b ) memberikan a
hubungan berikut. f(x) = (x + =
b ) H(h) + sisa a
1 (ax + b) H(h) + sisa a
= (ax + b)
H ( h) + sisa a
Contoh : Tentukan hasil bagi dan sisa dari 12x 3 + 4x 2 - 27x – 9 dibagi (2x + 3)
jawab: x=-
didapat hasil bagi = 4x 2 - 6x +13 dengan sisa = -29
3 12 2
4
-27
-9
-18
21
9
12 -14
-6
0
+ 2. Pembagian suku banyak dengan cara Horner
www.belajar-matematika.com - 2
12 x 2 − 14 x − 6 Jadi hasil baginya adalah 2 2 = 6x - 7x - 3 dan sisanya adalah 0
- Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a)=0 , f(b) =0 dan f(c)= 0 maka f(x) habis dibagi (x-a) (x-b) (x –c)
c. Pembagian suku banyak dengan ax 2 + bx + c
- jika f(a) = 0 maka x-a adalah faktor dari f(x)
Dengan cara pembagian biasa:
- jika (x-a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar dari f(x)
contoh: x 3 - x 2 + 4x – 4 dibagi oleh x 2 - 1 (1) (2) x-1
Akar-akar Suku banyak
1. Jika x 1 , x 2 dan x 3 adalah akar-akar persamaan ax 3 + bx 2 + cx +d = 0 maka
x 2 - 1 x 3 - x 2 + 4x – 4 (x . (x 2 -1))Æ x 3 -x -
- x 2 +5x +1 (-1 . (x 2 -1))Æ -x 2 5x – 5 (berderajat lebih kecil dari x 2 - 1, maka perhitungan selesai dan ini merupakan sisa)
x1 + x 2 + x 3 = -
b a
x1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 = x1 x 2 x 3
=-
c a
d a
2. Jika x 1 , x 2 , x 3 dan x 4 adalah akar-akar persamaan
Hasil bagi adalah x – 1 dan sisa 5x - 5
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 maka
Teorema Sisa:
b a
Jika f(x) dibagi g(x) mempunyai hasil h(x) dan sisa s(x) ditulis :
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = -
f(x) = g(x) h(x) + s(x)
x1 x 2 + x1 x 3 + x1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 =
c a
x1 x 2 x 3 + x1 x 3 x 4 + x1 x 2 x 4 + x 2 x 3 x 4 = -
d a
f(x) = suku banyak yang dibagi g(x)= pembagi h(x) = hasil bagi s(x) = sisa pembagian Jika f(x) berderajat n dan g(x) berderajat m (m ≤ n) maka derajat h(x) dan s(x) masing-masing sebagai berikut. • derajat h(x) adalah (n – m) • derajat maksimum s(x) adalah (m – 1) - jika h(x) = ax +b maka s(x) = konstan - jika g(x) = ax 2 + bx +c maka s(x) = Ax + B
Apabila suku banyak f(x) : - dibagi (x-a) maka sisanya adalah f (a). b - dibagi (ax-b) maka sisanya adalah f( ) a - habis dibagi (x-a) maka f(a) = 0
x1 x 2 x 3 x 4 =
e a
Akar-akar Rasional dari persamaan suku banyak: Persamaan suku banyak :
a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 +…+ a 2 x 2 +a 1 x + a 0 =0 dapat diselesaikan dengan mencari nilai pengganti x yang memenuhi persamaan suku banyak itu. Nilai x tersebut dinamakan penyelesaian atau akar persamaan suku banyak tersebut.
Teorema Faktor:
www.belajar-matematika.com - 3
Jika f(x) adalah suku banyak maka (x-h) merupakan faktor dari f(x) jika h adalah akar dari persamaan suku banyak f(x) = 0 . Akar-akar persamaan suku banyak f(0) dapat dicari dengan menggunakan urutan langkah-langkah sbb:
1. Menentukan akar-akar yang mungkin dari f(x) =0, yaitu
f(2) = 16 – 60 – 20 + 24 = -40 Æ x= 2 bukan akar ambil nilai x = -2 f(-2) = 16 - 60 + 20 + 24 = 0 Æ x = -2 adalah akar persamaan didapat dua nilai yaitu x = 1 dan x = -2 kalikan dua nilai sbb:
m , n
(x-1)(x+2) = x 2 + x - 2
dimana: m = factor bulat positif dari a 0 n = factor bulat dari a 0
Bagi persamaan dengan nilai tsb : x 2 -x -12
2. Akar-akar yang sebenarnya harus memenuhi f (
m )=0 n
x 2 +x- 2
x 4 - 15x 2 - 10x + 24 x 4 + x 3 -2x 2 -
Contoh:
- x 3 -13x 2 -10x -x 3 -x 2 + 2 x
f(x) = x 4 - 15x 2 - 10x + 24 = 0 maka
-12x 2 -12x + 24 -12x 2 -12x + 24
a n = 1 dan a 0 = 24 m = faktor bulat positif dari a 0 = 24, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 n = faktor bulat dari a 0 yaitu , -1, 1, -2,2, -3,3, -6,6, -8,8 -12, 12, -24,24
0 ( sisa 0 ) sehingga hasil akhirnya didapat :
m akar yang mungkin adalah( ) : 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4, 6,-6 n ,8,-8
f(x)= (x-1)(x+2)( x 2 -x -12) = 0 atau
substitusikan akar yang mungkin ke dalam persamaan m apakah f( ) = 0 ? n
didapat akar-akar persamaan :
(x-1)(x+2) (x -4 ) (x +3) = 0
x = 1 ; x = -2 ; x= -3 dan x = 4
Karena soal berderajat 4 maka cari minimal 2 nilai akar terlebih dahulu: ambil nilai x=1 : f(1) = 1 – 15 – 10 + 24 = 0 Æ x = 1 adalah akar persamaan ambil nilai x = 2 www.belajar-matematika.com - 4
-
