Afrekenen met problemen bij optellen en aftrekken: dankzij of ondanks de rekenman?

J. E. H. VAN LUIT & C. W. COMPAGNIE-RIETBERG

Afrekenen met problemen bij optellen en aftrekken: dankzij of ondanks de rekenman? SAMENVATTING

Dit artikel is een verslag van een onderzoek naar het effect van een structuurverlenend trainingsprogramma met de Rekenman, een visuele structurering van het tiental (Van Erp, 1986, 1988, 1989; Huvenaars, 1980, 1982), op de rekenvaardigheid van vijf leerlingen van een lom-school. Nagegaan wordt in hoeverre training met het voor dit onderzoek geschreven rekentrainingsprogramma `Rekenen met de Rekenman' resulteert in kwantitatieve en/of kwalitatieve veranderingen in het optellen en aftrekken met tientaloverschrijding tot honderd. Per proefpersoon zijn, vóór, tijdens en na afloop van de training, ruim zeventig produkt- en vier procesmetingen verricht. Uit visuele en statistische dataanalyse blijkt dat `Rekenen met de Rekenman' bij alle proefpersonen tot een leerwinst leidt. Bij twee proefpersonen is, naast een duurzame leerwinst, mogelijk sprake van een nabijgelegen transfer. De leerwinst wordt niet zozeer vanuit de acceptatie van de aangeboden gestalt, maar meer vanuit het structuurverlenende karakter van het rekentrainingsprogramma als geheel verklaard.

1

Inleiding

In de discussie over eindtermen voor rekenen-wiskunde in het basisonderwijs stellen Treffers, De Moor en Feijs (1987a en b) dat bij leerlingen in groep vier (en hooguit in groep vijf) de eerste einddoelstelling van `het uit het hoofd 32

kennen en kunnen toepassen van de opteltafels en de daaruit afgeleide aftrektafels' gerealiseerd moet zijn, omdat tafelkennis het fundament vormt voor hoofdrekenen en cijferen in groep vijf. Hoewel de meerderheid daarin slaagt, blijkt een vijfde deel van de leerlingen bij het verlaten van de basisschool opgaven als `6 + 7' en `13 - 7' nog steeds tellend op te lossen. Drie werkwijzen bieden volgens Treffers en anderen (1987a en b) mogelijkheden tot een doelmatige aanpak van problemen bij het optellen en aftrekken met tientaloverschrijding: `rijgen met vijven', `afsplitsen van vijven' en `handig rekenen'. Een driespan of combinatie van de sterke punten uit deze werkwijzen zou de meest doelmatige aanpak vormen. Afgezien van de vraag of zo'n combinatie van strategieën voor zwakke rekenaars wenselijk en haalbaar geacht kan worden (Van Luit, 1987a), wijst Van Parreren (1987) op een fundamentele onmogelijkheid. Een 'èchte' driespan is niet te realiseren, omdat de drie werkwijzen niet optimaal vergelijkbaar zijn. Een alternatief voor deze `driespan' is het Rekenmannetje van Van Erp (1988) . Het Rekenmannetje is een visuele structurering van het getal tien. Deze vondst van Huvenaars (1980, 1982) werd aan de Katholieke Universiteit te Nijmegen door Van Erp uitgewerkt tot een programma. De werkwijze met het Rekenmannetje zou in jarenlang onderzoek de status verworven hebben

TIJDSCHRIFT VOOR ORTHOPEDAGOGIEK, XXX (1991) 32-44

van `een volwaardige handelingspsychologische benadering van optel- en aftrekproblemen' (Van Erp, 1988, 143). Aangezien wij tevergeefs hebben gezocht naar rapportage van empirisch onderzoek met betrekking tot de effectiviteit van de werkwijze met het Rekenmannetje bij het remediëren van rekenproblemen, vormt de stelling over de status van die werkwijze juist één van de uitgangspunten voor ons onderzoek. Na een beschrijving van de werkwijze met het Rekenmannetje zoals die door Van Erp (1989) ontwikkeld is, volgt een beschrijving van het voor ons onderzoek geschreven rekentrainingsprogramma `Rekenen met de Rekenman'. Dit rekentrainingsprogramma is enerzijds gebaseerd op de visuele gestalt van het Rekenmannetje en anderzijds op de zelfinstructieprocedure. Hoewel `Rekenen met de Rekenman' gebaseerd is op bestaand materiaal (Van Erp, 1986, 1988, 1989; Huvenaars, 1980, 1982), ziet ons programma er op een aantal aspecten essentieel anders uit.

2

Het Rekenmannetje

2.1

EEN BEELD VAN TIEN

Karakteristiek voor de werkwijze met het Rekenmannetje is dat langs de weg van het `natuurlijke' bijtellen en aftellen naar de verkorte en mentale eindhandeling toegewerkt wordt. Tellen is niet langer taboe, maar wordt gemaakt tot een centraal aspect van het programma. Tellen wordt geleidelijk omgezet in het zien en gebruiken van de getalsplitsingen tot tien. Deze splitsingen hoeven niet intentioneel onderwezen te worden, maar worden meer incidenteel geleerd met behulp van de visuele structurering van het tiental in de figuur van het Rekenmannetje. Het Rekenmannetje biedt een overzicht van de hoeveelheid 10 in één totaalstructuur, in één gestalt. Het Rekenmannetje wordt aanvankelijk in

33

THEORIE EN ONDERZOEK

een vaste volgorde opgebouwd, waardoor elke hoeveelheid tussen 1 en 10 met een eigen getalbeeld correspondeert.

2.2

OPTELLEN EN AFTREKKEN; DE BASISHANDELINGEN

De basishandelingen optellen en aftrekken worden aanvankelijk als vergroten of verkleinen van een hoeveelheid opgevat. Bij het leggen van een opgave als `4 + 5' (zie Figuur 1) wordt eerst in vaste volgorde `kop' neergelegd. Vervolgens worden er vijf blokken bijgelegd. Tijdens het bijleggen wordt enkelsporig geteld: `1-2-3-4-5' zeggen en van de blokken die erbij gelegd worden het eerste tot en met het vijfde aanwijzen. Meestal wordt er bij het optellen dubbelsporig geteld: tegelijkertijd `5-6-7-8-9' doortellen en op de vingers de erbij te tellen hoeveelheid bijhouden c1-2-3-4-5' aanwijzen) om te weten wanneer het eindpunt bereikt is. Een voordeel van het Rekenmannetje zou zijn dat deze figuur het dubbelsporig tellen overbodig maakt, omdat na het bijtellen de uitkomst direct zichtbaar is als een getalbeeld. Bij het aftrekken met het Rekenmannetje, bijvoorbeeld in een opgave als `9 - 4' (zie Figuur 1), wordt de eraf te halen hoeveelheid in omgekeerde volgorde van het uitgangsgetal weggenomen. Bij het weghalen wordt het laatst gelegde blok als eerste geteld. Er wordt bij het weghalen niet teruggeteld: `8-7-6-5' zeggen en op de vingers `1-2-3-4' bijhouden; maar enkelsporig en vooruit: `1-2-3-4' zeggen en het negende, achtste, zevende en zesde blok wegpakken. Optellen en aftrekken begint als leggen met blokken. Het leggen dient als basis voor het verinnerlijkingsproces, waarin via perceptieve of `kijk'oefeningen, uit het materiële handelen, mentale getalbeelden moeten ontstaan.

■

^

controleerbaar blijft. Voor het oplossen van bijvoorbeeld `7 + 6' (zie Figuur 1) wordt eerst het uitgangsgetal getekend. Wat erbij komt wordt vervolgens in een andere kleur getekend.

■

,o al

0 0 5 3 2

O

'9_4'

`4+5' FIGUUR 1

'7+6'

Optellen en aftrekken met het Rekenmannetje (Bron: Van Erp, 1988b)

Om de ontwikkeling van mentale getalbeelden te bevorderen wordt met getalkaarten gewerkt, waarop de getallen tot en met tien zijn afgebeeld als Man van 1, Man van 2, enzovoort. Aan de Mannen worden bijnamen gegeven op grond van hun karakteristieke kenmerken, bijvoorbeeld: `Kop en één' (= Man van 5), `Kop en been' (= Man van 7) en `Man zonder voet' of `Voet eraf' (= Man van 9). Bij een opgave als `4 + 5' kan, ter stimulering van het verinnerlijken van de getalbeelden, een sequentie van oefeningen gebruikt worden: 1 de Man van 4 leggen en er hardop tellend (in volgorde en op de juiste plaatsen) op de tafel 5 bijtikken; 2 de kaart van 4 nemen en er op deze kaart hardop tellend 5 bijtikken; 3 de kaart van 4 omdraaien en op de lege achterkant het getalbeeld van 4 zien, op de lege kant worden er, hardop tellend en op de juiste plaatsen, 5 bijgetikt; 4 met behulp van de benoeming `Kop' wordt op de lege tafel het getal 4 voorgesteld en wordt er 5 bijgetikt; 5 met behulp van de benoeming `Kop' wordt er nu in de lucht 5 bijgetikt. De overgang naar het leren optellen en aftrekken met tientaloverschrijding verloopt `geruisloos': er wordt gewoon verder geteld op de volgende of de vorige man. In het oefenen van opgaven met tientaloverschrijding speelt het tekenen een belangrijke rol. Een voordeel daarvan is dat de probleemoplossingsroute voor de leerling geheel zicht- en 34

23

HET TELLEN OVERWINNEN DOOR VERKORTING VAN HET HANDELEN

Het doel van `Het Rekenmannetje' is het leren optellen en aftrekken zonder tellen via verkortingen en via een verinnerlijking van het materiële handelen. In `Het Rekenmannetje' zijn vijf typen verkortingen mogelijk: 1 aangezien het leggen, tikken of tekenen van hele Mannen al snel te lang gaat duren en aangezien het tekenen van grotere getallen snel onoverzichtelijk wordt, wordt de `Man van 100' geïntroduceerd. Afgesproken wordt dat een streep voortaan `10' en een punt voortaan `1' voorstelt; 2 bij het tekenen van een aftreksom als `17 - 8' wordt de leerling aangemoedigd om in één keer `7' weg te halen en om met een dwarsstreepje het afgebroken tiental en dat wat van het tiental overblijft met een cijfer (9) aan te duiden; 3 het derde type verkortingen betreft het direct aanvullen tot tien. De leerling wordt aangemoedigd om de aanvankelijk aangeleerde vaste telvolgorde los te laten en om meer flexibel om te gaan met de (deel) structuren: `6' is dan `twee benen' en kan met een `kop' tien worden; 4 een vierde verkortingsmogelijkheid is het splitsen van de getallen tot tien, een verkorting die nauw samenhangt met de vorige. Door bekendheid met de Mannen 1-10 kan de Man van 10 steeds meer flexibel uiteengelegd of uiteengekeken worden: 9 kan dan bijvoorbeeld worden gezien als `4 + 5', `8 + 1', `2 + 7', etcetera; 5 het herstructureren is de vijfde verkortingsmogelijkheid. Herstructu-

reren wordt belangrijk bij het zonder tellen leren oplossen van opgaven met tientaloverschrijding Bij het optellen van bijvoorbeeld `8 + 6' worden de op te tellen hoeveelheden beide afgebeeld (links: `Kop en been en één' en rechts: `Kop en twee'). Het samenvoegen is een perceptieve handeling: er worden twee eenheden (van de zes) naar links gekeken en het resultaat is direct beschikbaar in de voorstelling (`Man van tien' en `Kop').

2.4 GENERALISATIE De generalisatiemogelijkheden in `Het Rekenmannetje' betreffen de manieren waarop de leerling leert loskomen van het handelen met concreet materiaal. Op basis van het verinnerlijkingsproces kan langs twee hoofdlijnen een generalisatie van het geleerde plaatsvinden: via hoofdrekenen op de getallenlijn en via cijferen. Het herstructureren met behulp van perceptieve handelingen zou `vertaald' moeten worden naar springen op de getallenlijn. Met het Rekenmannetje op de achtergrond, wordt op deze lijn geoefend met `handig springen', een vaardigheid die `systematisch' tot `echt hoofdrekenen' verinnerlijkt moet worden. Het Rekenmannetje is bedoeld om het ontstaan van een heel netwerk van bewerkingen te stimuleren. Een leerling zou bijvoorbeeld in de som `12 + 8 = 20' de overeenkomst met `42 + 8', `62 + 8' en `112 + 8' moeten kunnen ontdekken. Tevens zou een leerling de kennis van bijvoorbeeld `12 + 8' moeten kunnen uitbreiden naar opgaven als `12 + 9', `82 + 7', etcetera.

3 3.1

Het rekentraining sprogramma `Rekenen met de Rekenman' EEN DRIELEDIGE FUNDERING

In bestaand materiaal over het Reken-

35

THEORIE EN ONDERZOEK

mannetje wordt het werken met de visuele structuur van het Rekenmannetje op de handelingsleerpsychologie geënt. Bij de ontwikkeling van ons onderzoeksinstrument, `Rekenen met de Rekenman', is een drieledige fundering nagestreefd. 1 Een gestaltpsychologische fundering Het werken met de Rekenman als zinvolle `gestalt' is allereerst te baseren op gestaltpsychologische noties ten aanzien van de organiserende principes in waarnemen en denken. Gestaltpsychologen als Koffka, Kaler en Wertheimer (zie Van Luit, 1987b) veronderstellen dat denk- en waarnemingsprocessen door dezelfde principes geleid worden. Iedere persoon is van nature geneigd om structuur aan te brengen in waarnemen en denken. Twee belangrijke principes zijn dat `het geheel meer is dan de som der delen' en dat `het geheel er eerder is dan de som der delen'. Op basis van het eerste principe veronderstellen wij dat de leerling de figuur van de Rekenman als één geheel waarneemt. Wanneer een leerling geconfronteerd wordt met de Rekenman, worden de afzonderlijke blokken of getekende vierkantjes in de figuur van de Rekenman niet gezien als een willekeurige verzameling van losse onderdelen. Door de groepering van losse eenheden in een `kop' en twee `benen' ontstaat een context voor het waarnemen van een zinvol geheel. Een tweede principe is dat het waarnemen van visuele incongruenties of onvolledige, gebroken figuren een zekere spanning oproept bij de waarnemer, omdat de persoon geneigd is tot het aanbrengen van congruentie in zijn waarneming. Die spanning is te reduceren door het zich richten op de samenhang in hetgeen waargenomen wordt. Op basis van de geneigdheid van personen tot closure of tot het waarnemen van een `goede gestalt' veronderstellen wij dat de deelstructuren in de

Rekenman worden waargenomen als gaps en `extra's' of als Mannen die `nog niet vol' zijn. Het oefenen van het direct aanvullen tot tien in het eerste deel van `Rekenen met de Rekenman' is bij uitstek op de werking van dit principe gericht. Een handelingspsychologische fundering: De trapsgewijze procedure van Gal'perin voor de vorming van mentale handelingen aangeleerd door middel van de zelfinstructieprocedure Het doel van `Rekenen met de Rekenman' is het vlot, inzichtelijk en in gedachten leren optellen en aftrekken tot honderd. Om dat doel te realiseren is door ons gekozen voor verbale handelingen als mediator tussen materiële en mentale handelingen. Het is niet de perceptieve handeling (zoals in `Het Rekenmannetje') die in de loop van het leerproces steeds verder verinnerlijkt en verkort moet worden, maar de verbale handeling. Om zo dicht mogelijk de door Gal'perin voorgestelde leersequentie te kunnen volgen, wordt niet zozeer voor een perceptieve, maar meer voor een verbale hoofdlijn gekozen (zie Van Parreren en Carpay, 1980) . Aangezien bij de aanvang van het onderzoek ons geen onderzoeksbevindingen bekend waren betreffende de effectiviteit van het gebruik van perceptieve handelingen als tussenschakel in het proces van het aanleren van mentale handelingen, maar wel over de effectiviteit van het toepassen van de zelfinstructieprocedure (Leon en Pepe, 1983; Van Luit, 1987b; Van Luit en Van der Aalsvoort, 1985), werd in ons onderzoek een zelfinstructieprocedure gebruikt om de verbale lijn in het verinnerlijkingsproces in te vullen. De verbale handeling omvat een reeks van vragen, die de beslissende momenten in het probleemoplossingsproces markeren. Deze vragen zijn nodig voor een goede oriëntatie, voorbereiding, uitvoering en controle bij het oplossen van een opgave. Ter onder2

36

steuning van het geheugen worden die beslissende momenten op instructiekaarten gevisualiseerd met vragen als: `lees de som' (Wat staat er eigenlijk precies?), `erbij/eraf (Is het een erbij- of een erafopgave?), `zoek het grootste getal' (Wat is het grootste getal in de som?) en `inwisselen' (Kun je inwisselen?). Deze reeks van vragen moet steeds verder worden verkort en verinnerlijkt. 3 Een cognitief psychologische fundering In navolging van Dienes (zie Resnick en Ford, 1984) veronderstellen wij dat de lijn handelen-voorstellen-denken, die als de basis van het rekenproces kan worden beschouwd, te realiseren is vanuit externe structurering met behulp van concreet (MAB) materiaal. In ons programma zijn, vóór het aanbieden van nieuwe leerstof, oriëntatiemomenten ingebouwd. Het kind krijgt daarmee de gelegenheid om zelf de eigenschappen van het materiaal te verkennen. Uit deze oriëntatie blijkt welke relevante materiaaleigenschappen (nog) benadrukt moeten worden in het verdere leerproces. Het leerproces wordt op twee manieren extern gestructureerd: enerzijds door het aanbieden van een visuele structurering van het tiental (de Rekenman) en anderzijds door het aanbieden van zelfinstructie waarmee het kind het eigen gedrag leert sturen. Het aanbrengen van controlemomenten vormt hiervan een belangrijk onderdeel.

3.2 EEN STRUCTUURVERLENEND KARAKTER

Het trainingsprogramma `Rekenen met de Rekenman' is bedoeld om intensieve, individuele hulp te bieden aan leerlingen waarbij het rekenproces stagneert door ernstige problemen met zowel het voorbereiden en uitvoeren van een probleemoplossing, alsook met het bewaken en controleren van die uitvoering.

Een structuurverlenende aanpak biedt mogelijkheden tot het stimuleren van het strategische handelen. Kenmerkend voor een structuurverlenende aanpak is het gecombineerd inzetten van didactiek en leerinhoud ter remediëring van die strategiezwakte. De didactische fasering in `Rekenen met de Rekenman' werd in 3.1 reeds kort besproken. De leerinhoud van `Rekenen met de Rekenman' komt overeen met de in de meeste programma's gebruikte leerinhoud. Er wordt onderscheid gemaakt in drie groepen somtypen: 1 opgaven zonder splitsen, binnen het tiental blijvend; 2 opgaven met of zonder splitsen, op het tiental uitkomend; 3 opgaven met splitsen, over het tiental heengaand. In het eerste deel van `Rekenen met de Rekenman' wordt het optellen en aftrekken tot tien aan de orde gesteld. Na een uitbreiding van het optellen en aftrekken tot twintig, komen opgaven met tientaloverschrijding onder de twintig aan de orde. In het tweede deel wordt eerst het optellen en aftrekken zonder tientaloverschrijding onder en op de honderd behandeld. In de laatste onderdelen worden opgaven met tientaloverschrijding tussen de twintig en de honderd behandeld.

4

4.1

Een onderzoek naar het effect van het structuurverlenende trainingsprogramma `Rekenen met de Rekenman' op de rekenvaardigheid van vijf lom-leerlingen OPZET EN PROCEDURE VAN ONDERZOEK

Voor het onderzoek zijn vijf proefpersonen met een ernstige stagnatie in het rekenleerproces geselecteerd. Van een ernstige achterstand is in onze visie 37

THEORIE EN ONDERZOEK

sprake wanneer leerlingen in de derde klas van een lom-school [ 1 ], na ruim twee jaar te hebben gewerkt met de realistisch georiënteerde reken/ wiskundemethode `Remelka', niet tot een vlotte en inzichtelijke beheersing van het optellen en aftrekken tot twintig zijn gekomen. De leeftijd van de leerlingen varieerde bij aanvang van het onderzoek van 9;1 jaar tot 9;7 jaar. Door middel van twee selectiecriteria (Remelka-toetsen en een voor de selectie ontworpen klassikale rekentoets) is op rekenvaardigheid geselecteerd. In ons onderzoek werd, om conclusies te kunnen trekken over het effect van een interventie (de rekentraining) op de rekenvaardigheid van elk van de proefpersonen, gebruik gemaakt van tijdreeksanalyse. De proefpersonen werden daarbij elk als afzonderlijke onderzoeksgroep beschouwd (vijf keer een N=1-design) . De algemene probleemstelling is in een vraag te formuleren: in hoeverre leidt een rekentrainingsprogramma met een structuurverlenend karakter, waarin de Rekenman als visuele structurering van het tiental gepresenteerd wordt, tot kwantitatieve en/of kwalitatieve verbetering in de rekenvaardigheid van vijf leerlingen die lom-onderwijs volgen? Er is sprake van een duurzame verbetering in de rekenvaardigheid wanneer bij de proefpersoon een vlotte en inzichtelijke beheersing van erbij- en erafopgaven met tientaloverschrijding tot honderd is ontstaan. Realisering van een inzichtelijke beheersing wordt opgevat als een doorwerking van het getrainde naar het hoofdrekenen met getallen boven de honderd en naar het cijferen. Aangezien aan een verbetering van de rekenvaardigheid zowel een kwantitatieve als een kwalitatieve component te onderscheiden is, werd produkt- en procesonderzoek gedaan. Kwantitatieve veranderingen in de rekenvaardigheid zijn gemeten via de scores van de proefpersonen op standaardtoetsen. Om kwalitatieve verande-

ringen in de rekenvaardigheid of veranderingen in het rekenproces na te gaan vond bij iedere proefpersoon vier keer een interview plaats. In deze procesmetingen stond de verwoording van oplossingen van rekenopgaven centraal. De dataverzameling vond plaats tussen september 1988 en juni 1989. Bij elk van de proefpersonen werden ruim zeventig produkt- en vier procesmetingen verricht. In de dataverzameling waren drie fasen te onderscheiden. De eerste fase omvatte het verrichten van baselinemetingen. In de tweede fase, die ruim een half jaar besloeg, vonden trainings-sessies en identieke metingen plaats. In deze fase werd met elk van de proefpersonen twee keer per week een half uur individueel getraind. Met twee à drie, qua inhoud vergelijkbare, metingen per week werd in deze fase de ontwikkeling in de rekenvaardigheid van elk van de proefpersonen gevolgd. Na het beëindigen van de trainingsfase (in de derde fase) werden per proefpersoon zes nametingen en vier transfermetingen verricht. Het eerste deel van deze metingen vond na één maand plaats. Het tweede deel vond twee maanden na afloop van de training plaats. De algemene probleemstelling werd in drie onderzoekshypothesen geoperationaliseerd: 1 de training `Rekenen met de Rekenman' leidt tot duurzame kwantitatieve verbetering in het kunnen oplossen van erbij- en erafopgaven tot 100 met tientaloverschrijding; 2 op basis van de training met de Rekenman is de leerling (zowel door middel van hoofdrekenen als cijferen) in staat tot het zelfstandig oplossen van niet-getrainde erbij- en erafopgaven tussen de 100 en de 200 en tussen de 200 en de 1.000 (nabijgelegen respectievelijk verafgelegen transfer); 3 de training leidt tot veranderingen in de manier waarop de leerling erbij en erafopgaven met tientaloverschrijding weet op te lossen. -

38

Met produktonderzoek (baseline-, identieke- en nametingen) wordt gezocht naar een antwoord op de eerste hypothese. Hypothese 2 kan slechts interpretatief beantwoord worden; op basis van vier transfermetingen (met nabijgelegen en verafgelegen opgaven) zal hieraan inhoud gegeven worden. De procesmetingen zijn meer op een beantwoording van de derde hypothese gericht.

4.2 ONDERZOEKSRESULTATEN 1 Een visuele weergave van de kwantitatieve onderzoeksbevindingen Om na te gaan in hoeverre de eerste hypothese bevestigd wordt, worden de data eerst visueel geanalyseerd: in hoeverre is uit een grafische weergave van de produkttoetsscores per proefpersoon een kwantitatieve verandering in de rekenvaardigheid af te lezen? In Figuur 2 zijn per proefpersoon de percentages goed beantwoorde items op elk van de produktmetingen weergegeven. De verbindingslijnen tussen de scores brengen de kwantitatieve veranderingen in de rekenvaardigheid in beeld. Bij alle proefpersonen (An, Bea, Cor, Diane en Ed) is in de trainingsfase (de metingen tussen de eerste lijn en de tweede lijn in Figuur 2) een stijging in de scores te zien. Vier van de vijf proefpersonen (Bea, Cor, Diane en Ed) bereiken aan het eind van de trainingsfase en/of na afloop van de training meer dan eens het criterium (80% van de items in de produkttoets wordt goed opgelost). Bij deze vier proefpersonen is na afloop van de training een verdere stijging of stabilisering in de scores zichtbaar (metingen rechts van de tweede lijn). Bij één proefpersoon (An) heeft de training niet in een duurzame leerwinst geresulteerd. Hoewel aan het eind van de trainingsfase een intraindividuele stijging tot een goedscore van 34% te zien is, wordt twee maanden

pp 1

pp 4 DIANE

AN

% good per produkttoets

% goed per produkttoets

100

100

90

90

80

80

70

70

60

60

50

50

40

40 y

30

30

20

20

10

10

O

T I I

ii

Tl 6

IY1

{

4+ I 1 1 1

1

I1

1

f I 1 I l I 57

1

1 I I I f 1 I

0

+—i 1 1 1 4 I I I I 1 1 I—I

60

I I I 4 I Í

9

I

I Í Í

1

1 r Í Í I Í ÍÍ 1

54

metingnummer

pp 2

T

motingnummer

pp 5

BEA

ED

% goed per produkttoets

% goed per p odukttoets

100

100

90

90

80

80

70

70

60

60

50

50

40

40

30

30

20

20

10

10 I I

o-1 -I-F III

I t

I 1

1

1

I

1

1

1

1

1

1

1

1

►►►

1,

I

►

L_

1

0 1111111111

IITIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

10

50

48 52

metingnummer

metl ngnummer

pp 3 COR % goed per produkttoets

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

0

.I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

FIGUUR 2 54

60

metingnummer

39

THEORIE EN ONDERZOEK

Overzicht van de produkt toetsscores per proefpersoon

na het beëindigen van de training bij haar een daling van de scores tot onder het baselineniveau zichtbaar: het is alsof An nooit een training heeft gehad. Het ontbreken van een duurzame leerwinst bij An is te verklaren vanuit een afstemmingsprobleem. In `Rekenen met de Rekenman' wordt, veel sterker dan in eerdere versies, de nadruk gelegd op de verbale handeling als tussenschakel in het verinnerlijkingsproces. An, die juist met het zich uiten via de taal zeer veel moeite had, zou wellicht meer geprofiteerd hebben van een training met meer nadruk op de perceptieve handeling. Uit een visuele weergave van de produkttoetsscores is bij vier van de vijf proefpersonen een duurzame leerwinst af te lezen: een indicatie voor bevestiging van de eerste hypothese. In de tweede hypothese gaat het om de vraag in hoeverre de proefpersonen, ten minste één maand na het beëindigen van de trainings-sessies en de identieke metingen, in staat zijn tot zelfstandige toepassing van het getrainde in aangrenzende leerstofdomeinen (deze metingen zijn niet in Figuur 2 opgenomen) . Bij twee van de vijf proefpersonen is mogelijk sprake van nabijgelegen transfer. Zij zijn na afloop van de training in staat tot het zelfstandig oplossen van opgaven die iets moeilijker zijn dan de getrainde. Toetsing van deze resultaten is, gezien het beperkte aantal metingen, evenwel niet mogelijk.

TABEL

1

Z-scores van de baseline-, identieke en nametingen per proefpersoon

Proefpersonen

An Bea Cor

Diane Ed

Baseline metingen

Identieke metingen

0.695 -0.005 1.26 0.865 -0.648

5.765 4.174 5.72 8.096 5.532

n.s. n.s. n.s. n.s. n.s.

n.s. = significant bij a van < .05 * = significant bij a van < .005 ** = significant bij a van < .0005

40

** ** ** ** **

Nametingen

0.405 n.s. 2.956 * -1.269 n.s. 0.769 n.s. 2.94 *

geen van de proefpersonen boven de 14% lag, kan niet van een verafgelegen transfer worden gesproken. 2 Statistische toetsing van de kwantitatieve onderzoeksbevindingen Om de scores van de proefpersonen op de produkttoetsen ten behoeve van hypothese 1 (baseline-, identieke- en nametingen) op statistische significantie te toetsen werd de tijdserie-analyse toegepast (Blumberg, 1984; Tryon, 1982, 1984). Tryon noemt de tijdserieanalyse een kwantitatief hulpmiddel bij de subjectieve `kunde' van data-interpretatie. Hij stelt op basis van empirisch onderzoek dat visuele en statistische analyse van een datareeks vaak van elkaar verschillen. Het gebruik van de tijdserie-analyse is daarom wenselijk: de betrouwbaarheid van de interpretatie van onderzoeksbevindingen neemt toe, naarmate er meer overeenstemming is tussen visuele en statistische analyse van de onderzoeksdata. C- of Z-statistiek is volgens Tryon een goed instrument om die overeenstemming te beproeven. Met een Z-toets willen wij daarom per proefpersoon nagaan of de eventuele visuele trends in statistische toetsing bevestigd worden. Tabel 1 laat de Z-waarden per proefpersoon zien. Uit Tabel 1 blijkt dat de scores van alle proefpersonen in de baselineperiode niet significant zijn. Het feit dat geen van de Z-scores in de baselineperiode significant is, wijst op de afwezigheid van een beïnvloeding van de rekenvaardigheid door externe factoren. Vóór de training is bij elk van de proefpersonen sprake van een stabiel baselineniveau: er wordt bijvoorbeeld geen verbetering van de rekenvaardigheid gevonden als gevolg van onderwijs met Remelka. In de trainingsfase zijn de scores voor alle proefpersonen significant bij zo scherp mogelijke toetsing met a <_ .005: het trainingsprogramma heeft een vrij sterke leerwinst tot gevolg. Bij drie van de vijf proefpersonen (An, Cor en Diane) zijn de scores op de

nametingen niet significant. Evenals in uit de produkttoetsen tot een oplossing de baselinefase is het rekenniveau van kwam. deze proefpersonen in de fase van de Uit het eerste procesonderzoek blijkt nametingen stabiel. Het rekenniveau van dat er vóór de training met de deze proefpersonen is na de training Rekenman bij geen van de proefnoch duidelijk verbeterd door oefening personen sprake was van een volledige of transfer, noch sterk verslechterd beheersing van het optellen en aftrekken doordat de leerlingen de kennis uit de tot twintig. Vooral opgaven met tientaltraining niet meer weten te gebruiken. overschrijding vormen een probleem. De stijging van de scores op de Bij vier proefpersonen ontbreekt het nametingen die in Figuur 2 bij drie van inzicht in het optellen en aftrekken de personen te zien lijkt, wordt op basis binnen en op het tiental. An komt via van een Z-toets bij twee van hen (Bea raden tot antwoorden. Cor, Diane en Ed en Ed) bevestigd. De aanwezigheid van zijn blijven steken in een eigen strategie een positieve trend in de scores op de van het in gedachten door- en terugnametingen wijst allereerst op een tellen. Zij ondersteunen dit dubbelsporig uitbreiding van het getrainde door tellen met het kijken naar en/of het oefening of transfer. Een tweede maken van telbewegingen met de verklaring van de positieve trend ligt in vingers. het uitblijven van het verwachte Uit het tweede, derde en vierde `plafond-effect'. Op basis van de procesonderzoek blijkt dat An, Cor, verwachting dat een leerling zelfs bij Diane en Ed hun eigen oplossingsstrategieën gebruiken. Cor, Diane en Ed volledige beheersing door toevallige kunnen echter, wanneer dat expliciet factoren (bijvoorbeeld: vermoeidheid en gevraagd wordt, een opgave oplossen slordigheidsfouten) tot maximaal 20% met behulp van de in de training van de opgaven fout blijft beantaangeboden gestalten. Zij gebruiken de woorden, werd gekozen voor een gestalten niet uit zichzelf. De Rekenman 80%-criterium. Een stijging van de wordt door hen alleen voor `speciale scores tot 80% werd voldoende geacht gelegenheden' (namelijk opgaven als voor een beëindiging van de training. `17-9', `14-5', `16-8') en op een afstandeIn de positieve trend van de scores op lijke manier, als een aangeleerd `trucje' de nametingen blijkt een sterkere gebruikt. invloed van de training of een minder Alleen bij Bea heeft de training wel sterke invloed van toevallige factoren op tot een redelijk duurzame verandering in de rekenvaardigheid dan wij verwacht het rekenproces geleid. Bea komt hadden. steeds meer via het kijken naar de De eerste hypothese wordt niet getekende gestalten en via meer flexibel alleen op basis van een visuele analyse, denken in gestalten tot oplossingen. Na maar ook op basis van Z-toetsing bevesafloop van de training handelt Bea op tigd. mentaal niveau niet meer met de gestalten, maar met bijbehorende cijfer3 Kwalitatieve onderzoeksbevindingen symbolen. Bea is na de training in staat Met betrekking tot de derde onderom redelijk vlot en handig in gedachten zoekshypothese wordt nagegaan in om te gaan met symbolen. De andere hoeverre veranderingen in de rekenproefpersonen blijven hun eigen vaardigheid samengaan met het gebruik oplossingsstrategieën, soms in een van andere, in de training aangeboden, verder ontwikkelde versie, gebruiken. oplossingsstrategieën. An is in de trainingsfase korte tijd in In vier interviews werd elk van de proefpersonen gevraagd om te laten zien staat om erbij- en erafopgaven tot twintig via het kijken naar getekende en te verwoorden hoe hij bij de opgaven 41

THEORIE EN ONDERZOEK

gestalten op te lossen. Verinnerlijking en verkorting van de werkwijze met de Rekenman blijven echter achterwege. Na afloop van de training gebruikt An haar vingers weer voor het tellend oplossen van opgaven tot twintig. Cor blijkt bijvoorbeeld na afloop van de training zijn eigen methode van het in gedachten door- en terugtellen met ondersteuning van het kijken naar of bewegen van de vingers ontwikkeld te hebben tot een strategie van razendsnel in gedachten (zonder ondersteuning van vingers) tellen in gedachtenparen. Bij '53 + 7'telt hij: `54- 1,55-2,56-3, 57-4,58-5,59-6,60-7'. Diane en Ed zijn na afloop van de training in staat om zelfstandig en vlot, schriftelijk erbij- en erafopgaven tot honderd op te lossen. Bij relatief moeilijke opgaven (bijvoorbeeld `27 - 9') vervalt Diane weer in door- en terugtellen met ondersteuning van de vingers. Ed maakt bij moeilijke opgaven weer gebruik van zijn strategie van in gedachten door- en terugtellen. Alleen voor Bea is de Rekenman in kwalitatief opzicht een gedeeltelijke remedie gebleken voor haar problemen met het optellen en aftrekken met tientaloverschrijding tot honderd.

4.3

CONCLUSIES

Het voor ons onderzoek ontwikkelde rekentrainingsprogramma `Rekenen met de Rekenman' resulteert bij alle proefpersonen in een leerwinst. De leerwinst blijkt bij vier proefpersonen duurzaam van karakter te zijn (de nametingsscores voldoen alle aan het 80%-criterium) . Deze proefpersonen zijn twee maanden na het beëindigen van de training in staat om zelfstandig en tamelijk vlot schriftelijk erbij- en erafopgaven met tientaloverschrijding tot honderd op te lossen. Uit een laatste (niet meer in Figuur 2 opgenomen) meting in oktober 1989 blijkt bovendien dat die leerwinst

42

zes maanden na het beëindigen van de training nog steeds aanwezig is. De eerste hypothese is hiermee bevestigd. Er zijn vooralsnog slechts indicaties gevonden voor een gedeeltelijke bevestiging van de tweede hypothese: twee van de vijf proefpersonen (Bea en Ed) zijn in staat tot zelfstandige toepassing van het getrainde bij nabijgelegen taken. Opgaven die behoorlijk moeilijker waren (verafgelegen taken) konden, ook door hen, zonder training niet worden opgelost. Bij slechts één persoon worden indicaties gevonden voor een bevestiging van de derde hypothese. Alleen door Bea wordt de werkwijze met de Rekenman geaccepteerd. Bij haar gaat een duurzame leerwinst samen met een verandering in het rekenproces. Bea behaalt, mogelijk door het werken met de gestalten, scores die ruim boven het criterium liggen: een indicatie voor remediëring van rekenproblemen dankzij de werkwijze met het gestalt van de Rekenman! Bij drie proefpersonen (Cor, Diane en Ed) wordt een discrepantie geconstateerd. Hoewel de training bij hen resulteert in een sterke en duurzame leerwinst, kan die leerwinst waarschijnlijk niet aan het accepteren van de werkwijze met het gestalt van de Rekenman worden toegeschreven. Hoe langer en hoe meer zij immers met de gestalten worden geconfronteerd, hoe meer zij terugvallen op hun vertrouwde informele oplossingsstrategieën; ook na afloop van de training! De gevonden duurzame leerwinst wordt derhalve verklaard vanuit het structuurverlenende karakter van de training als geheel. Expliciet onderwijs in het leren plannen, reguleren, bewaken en controleren van het eigen probleemoplossingsproces op basis van een zelfinstructieprocedure lijkt voorlopig effectief ten aanzien van de remediëring van problemen met optellen en aftrekken met tientaloverschrijding.

5

Tenslotte

Om praktische redenen werd ons onderzoek op één lom-school verricht. Gezien de beperkte onderzoeksgroep en gezien de keuze voor een N=1-design, zijn de onderzoeksresultaten niet naar andere of grotere groepen te generaliseren. Er is verder onderzoek nodig op basis van experimentele designs, waarin twee of meer groepen vergeleken kunnen worden. Wij hebben er hier voor gekozen om onderzoek te doen naar het effect van het gebruik van één van de wijzen waarop het tiental visueel gestructureerd kan worden op de rekenvaardigheid. Op basis van ons onderzoek achten wij een structuurverlenende aanpak voorlopig doelmatig voor het remediëren van ernstige rekenproblemen. Aangezien uit onze bevindingen naar voren kwam dat de proefpersonen veel moeite hadden met het zich eigen maken van de werkwijze met het gestalt van de Rekenman, zetten wij op dit moment vraagtekens bij remediëring van rekenproblemen met behulp hiervan! Wellicht zou het gestalt van de Rekenman beter vervangen kunnen worden door gestalten en modellen die

NOOT

1 Met dank aan de Dr. C. Brouwerschool te Utrecht, waar ons onderzoek plaatsvond.

LITERATUUR

Blumberg, C. J. (1984). Comments on `A simplified time-series analysis for evaluating treatment interventions'. Journal of Applied Behavior Analysis, 17, 539 542. Compagnie Rietberg, C. W. (1990). Remediëring van rekenproblemen: dankzij of ondanks de Rekenman? Doctoraal scriptie. Utrecht. Erp, J. W. M. van (1986). Een nieuwe methode voor kleine en grote sommen; het ei van Columbus? Tijdschrift voor Orthopedagogiek, 25, 121 136. Erp, J. W. M. van (1988). Het rekenmannetje, afrekenen met problemen bij -

-

-

43

THEORIE EN ONDERZOEK

sterker aan het decimale stelsel gerelateerd zijn. De 4-3-3-structuur van de Rekenman is naar onze mening binnen het decimale stelsel niet direct logisch, omdat de hoeveelheden drie en vier een minder duidelijke relatie hebben met het getal tien dan het getal vijf. Het is mogelijk dat kinderen makkelijker overweg kunnen met een vijf-structuur waarin vijf en tien binnen het tiental gemarkeerd zijn. Nader onderzoek waarin het gebruik van de verschillende gestalten of modellen (bijvoorbeeld: de kralenketting, het vijfframe en de Rekenman) vergeleken wordt, is nodig om de effectiviteit van de diverse visuele hulpmiddelen met betrekking tot het remediëren van rekenproblemen te kunnen nagaan. De vraag welk van de alternatieven (de rijgmethode, de inwisselmethode of de werkwijze met de Rekenman), of welke combinatie van alternatieven het meest doelmatig is voor een realisering van een vlotte, inzichtelijke beheersing van het optellen en aftrekken - met name bij leerlingen met ernstige rekenproblemen - blijft actueel! (zie Van Luit, 1987a; Van Parreren, 1987; Treffers e.a., 1987a en b) .

optellen en aftrekken. Willem Bartjens, 8, 143-150. Erp, J. W. M. van (1989). Het Rekenmannetje. Afrekenen met problemen bij optellen en a ftrekken. Groningen. Huvenaars, A. (1980). Van aftellen naar begrip van hoeveelheid. Scriptie. Tilburg. Huvenaars, A. (1982). Werken met hoeveelheid met een struktuur als hulpmiddel. Ongepubliceerd manuscript. Uden. Leon, J. A., & Pepe, H. J. (1983). Self-instructional training: Cognitive behavior modification for remediating arithmetic deficits. Exceptional Children, 50, 54-60.

Luit, J. E. H. van (1987a). Naar een ver fijning van de 'Proeve van een nationaal programma voor het reken- wiskundeonderwijs op de basisschool' (1) ten behoeve van het speciaal onderwijs. Tijdschrift voor nascholing en onde rzoek van het reken wiskundeonderwijs, 6, 3 8. Luit, J. E. H. van (1987b). Rekenproblemen in het speciaal onderwijs. Dissertatie. Nijmegen. Luit, J. E. H. van, & Aalsvoort, G. M. van der (1985). Learning subtraction in a special school: a self-instructional training strategy for educable mentally retarded children with arithmetic deficits. Instructional science, 14, 179-189. Parreren, C. F. van (1987). Commentaar op de 'Proeve ...'. Tijdschrift voor nascholing en onde rzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 6, 9-13. Parreren, C. F. van, & Carpay, J. A. M. (1980). Sovjetpsychologen over onderwijs en -

ADRES VAN DE AUTEURS

dr. J. E. H. van Luit en mevr. drs. C. W. Compagnie-Rietberg, Vakgroep Kinderstudies RUU, Heidelberglaan 1, 3584 CS Utrecht.

44

cognitieve ontwikkeling. Groningen. Resnick, L. B., & Ford, W. W. (1984). The psychology of mathematics for instruction. Londen. Tre ff ers, A., Moor, E. de, & Feijs, E. (1987a). Proeve van een nationaal programma voor het reken - wiskundeonderwijs op de basisschool (1). Tijdschrift voor nascholing en onde rzoek van het reken - wiskundeonderwijs, 6, 7 28. Treffers, A., Moor, E. de, & Feijs, E. (1987b). Reactie op reactie (1). Tijdschrift voor nascholing en onderz oek van het reken wiskundeonderwijs, 6, 21 23. Tryon, W. W. (1982). A simplified timeseries analysis for evaluating treatment interventions. Journal of Applied Behavior Analysis, 15, 423-429. Tryon, W. W. (1984). 'A simplified timeseries analysis for evaluating treatment interventions': A rejoinder to Blumberg. Journal of Applied Behavior Analysis, 17, 543-544. -

-

J. D. VAN DER PLOEG

Het gure onderzoeksklimaat in Nederland

SAMENVATTING

Nederland heeft nog nooit zoveel sociaal wetenschappelijk onderzoek gekend. De benen die deze weelde moeten dragen staan echter krom van de reuma. Het gure onderzoeksklimaat bevat namelijk verscheidene ziekmakende ingrediënten die het ergste doen vrezen voor de kwaliteit van het onderzoek in de komende jaren.

1

Inleiding

Een wetenschap zonder onderzoek is als een zwembad zonder water, waar je wel in kunt springen, maar niet in kunt zwemmen. Onderzoek blijft voor iedere wetenschap onmisbaar. Ook voor de orthopedagogiek. Onderzoek moet. Vanuit haar voorgeschiedenis kun je de pedagogiek niet bepaald een rijke onderzoekstraditie toeschrijven. Het heeft heel lang geduurd voordat ook binnen dit vakgebied velerlei veronderstellingen en theorieën een nadere verificatie ondergingen via onderzoek. Intussen is de situatie drastisch gewijzigd en loopt het orthopedagogisch terrein bijna over van onderzoeksactiviteiten. Een niet onbelangrijk deel van dit onderzoek komt letterlijk en figuurlijk voor rekening van de universiteit. Niet zo vreemd indien men bedenkt dat de Alma Mater de ontwikkeling van de wetenschap bij uitstek als haar taak beschouwt. Binnen de universiteit onderscheidt men drie geldstromen die onderzoek mogelijk maken. Om te beginnen is er 45

het l e geldstroom onderzoek, waarmee wordt gedoeld op onderzoek dat mogelijk wordt gemaakt met gelden uit het budget van de universiteit zelf Daarnaast kent men het 2e geldstroom onderzoek. Dit verwijst naar onderzoek gesubsidieerd door de NWO (Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek) voorheen ZWO (Zuiver Wetenschappelijk Onderzoek) . Tenslotte is er het 3e geldstroom onderzoek met uit subsidies van lokale, provinciale of landelijke overheden, van bedrijven of instellingen, alsmede van particuliere fondsen. Aanvankelijk bestond het onderzoek binnen de universiteit vrijwel uitsluitend uit l e geldstroom onderzoek. Dit onderzoek dient een sterk fundamenteel wetenschappelijk karakter te dragen en als het bovendien maatschappelijk relevant is, dan is dat mooi meegenomen. Het 2e geldstroom onderzoek is binnen de pedagogische wetenschappen eerst het laatste decennium van de grond gekomen, maar blijft nog altijd achter bij het onderzoek dat de universiteit uit eigen middelen financiert. Dat geldt niet voor het 3e geldstroom onderzoek. Sinds de bezuinigingen binnen de universiteiten hard hebben toegeslagen is door talrijke vakgroepen gepoogd het onderzoekspotentieel op peil te houden en zelfs uit te breiden met onderzoeken die gefinancierd worden vanuit de 3e geldstroom. Qua omvang overtreft dat op verscheidene lokaties het eigen universitaire onderzoek. Op het eerste gezicht geen ongeluk-

TIJDSCHRIFT VOOR ORTHOPEDAGOGIEK, XXX (1991) 45-51