Absztrakt harmonikus analízis. Kristóf János

Absztrakt harmonikus analízis Kristóf János

Tartalomjegyzék I.

Absztrakt harmonikus analízis

2

1. Csoportok ábrázolásai 1.1. Példák csoportokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Csoportok ábrázolásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Összekötő operátorok és irreducibilitás . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Ciklikus ábrázolások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Csoport algebrai duálisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Triviális véges dimenziós unitér ábrázolásokkalrendelkező csoportok

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

7 7 11 22 26 30 31

2. Topologikus csoportok és folytonos ábrázolások 2.1. Csoport-topológiák tulajdonságai . . . . . . . . . 2.2. Metrizálható topologikus csoportok . . . . . . . . 2.3. Összefüggő topologikus csoportok . . . . . . . . . 2.4. Egyenletes folytonosság . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Folytonos topologikus ábrázolások . . . . . . . . . 2.6. Tranzitív topologikus ábrázolások . . . . . . . . . 2.7. Folytonos unitér ábrázolások . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

34 34 41 44 45 47 50 54

felett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 59 62 66

3. Folytonos függvények lokálisan kompakt tér 3.1. Felbontási-lemma és hányados-lemma . . . . 3.2. Approximációs-lemma . . . . . . . . . . . . 3.3. Bruhat-féle keresztmetszet-függvény . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

4. Komplex Radon-mértékek 4.1. Komplex Radon-mértékek alaptulajdonságai . . . . . . . . . . . 4.2. Pozitív Radon-mértékek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Radon-mérték tartója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Folytonos kompakt tartójú függvény integrálja . . . . . . . . . . 4.5. Paraméteres integrálok folytonossága . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Radon-mértékek tenzorszorzata és az elemiLebesgue–Fubini-tétel 4.7. Radon-mértékek leszűkítése és összeragasztása . . . . . . . . . . i

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

69 69 73 78 81 86 89 94

5. Invariáns Radon-mértékek 99 5.1. Az invariáns Radon-mértékek szerepe az unitérábrázolások elméletében . 99 5.2. Haar-mérték egzisztenciája és unicitása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.3. Lokálisan kompakt csoport moduláris függvénye . . . . . . . . . . . . . . 112 5.4. Haar-mérték és moduláris függvény lokálisankompakt féldirekt szorzat felett116 5.5. Példák Haar-mértékekre és modulárisfüggvényekre . . . . . . . . . . . . . 120 6. Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája 6.1. Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrájánakértelmezése . . . . . . . 6.2. δ-rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. A mértékalgebra kommutativitásának ésegységelemességének kritériuma 6.4. A harmonikus analízis alaptétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrájánakkarakterei . . . . . . . . 6.6. Összekötő operátorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Baloldali reguláris ábrázolásés a Gelfand–Rajkov-tétel . . . . . . . . . . 6.8. Unitér ábrázolások Hilbert-integrálja –Choquet-tétel . . . . . . . . . . . 6.9. A mértékalgebra integrál-realizációja* . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

126 126 132 137 141 150 155 157 160 167

7. Kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásai 176 7.1. Kompakt csoport feletti Haar-mértéktulajdonságai . . . . . . . . . . . . . 176 7.2. Ortogonalitási relációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.3. Kompakt csoport feletti trigonometrikuspolinomok . . . . . . . . . . . . 184 7.4. Approximáció trigonometrikuspolinomokkal – Első Peter–Weyl-tétel . . . 186 7.5. Kompakt csoport ábrázoláskarakterei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.6. Kompakt csoport mértékalgebrájának szerkezete . . . . . . . . . . . . . . 193 7.7. Kompakt csoport unitér ábrázolásánakfelbontása irreducibilisek Hilbert-összegére –Második P 8. Kommutatív lokálisan kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásai 8.1. Kommutatív lokálisan kompakt csoporttopologikus duálisa . . . . . . . . 8.2. Fourier-transzformáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Stone-tétel és unitér ábrázolás spektruma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Fourier-féle δ-rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Duális Haar-mérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6. Fourier-transzformáció az LF1 (G, β) téren* . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. A Fourier-féle inverziós-tétel alapformája* . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. Fourier-féle inverziós-tétel* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9. Fourier-transzformáció az LF2 (G, β) téren –Plancherel-tétel* . . . . . . . 8.10. Pontrjagin-féle dualitás-tétel* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

204 204 209 213 225 228 235 239 247 257 269

9. Radon-mérték faktorizációja lokálisan kompakt csoporton 9.1. A faktorizáció értelmezése és alaptulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . 9.2. A faktorizálhatóság kritériumai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Kompakt tartójú faktormértékek és Bruhat-félekeresztmetszet-függvény 9.4. Invariáns és relatív invariáns pozitívRadon-mértékek homogén téren . . 9.5. Topologikusan kváziinvariáns pozitívRadon-mértékek homogén téren . .

. . . . .

274 274 279 282 285 287

10.Indukált unitér ábrázolások 10.1. Indukált lineáris és indukált unitérábrázolások értelmezése . . . . . . 10.2. Elemi példák indukált unitér ábrázolásokra . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Speciális elemek indukált unitér ábrázolásterében . . . . . . . . . . . 10.4. Az irreducibilitás tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5. Imprimitivitás-rendszerek és az indukálhatóságszükséges feltétele . . . 10.6. Az indukálhatóság elégséges feltétele –Mackey-féle imprimitivitás-tétel 10.7. Az indukálás tranzitivitása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8. Indukált unitér ábrázolások Hilbert-összege . . . . . . . . . . . . . . . 10.9. Az indukált unitér ábrázolások alternatívformája . . . . . . . . . . . 10.10.Lokálisan kompakt féldirekt szorzatokindukált unitér ábrázolásai . . .

. . . . . . . . . .

291 291 295 296 301 303 309 324 335 337 340

. . . . . . . . . .

11.Mackey-féle reprezentációs tétel 357 11.1. Lokálisan kompakt csoport belső topologikusábrázolásai . . . . . . . . . . 357 11.2. A Mackey-féle reprezentációs tétel bizonyítása . . . . . . . . . . . . . . . 361

II.

Függelék: A topologikus integrálelmélet elemei

373

12.Pozitív Radon-mérték szerinti felső integrál 12.1. Pozitív alulról félig folytonos függvény felsőintegrálja . . . . 12.2. Pozitív függvény felső integrálja . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Speciális alakú pozitív Radon-mértékekszerinti felső integrál 12.4. Additivitás- és szubtraktivitás-formulák . . . . . . . . . . . . 12.5. Halmaz külső mértéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6. Eltűnő függvények és nullahalmazok . . . . . . . . . . . . . . 12.7. Hölder- és Minkowski-egyenlőtlenség . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

374 374 377 381 388 391 392 396

. . . . .

400 400 406 409 413 418

13.Pozitív Radon-mérték szerinti LFp (T, µ)-terek 13.1. LFp (T, µ)-terek alaptulajdonságai . . . . . . . . . 13.2. Kapcsolatok az LFp (T, µ)-terek között . . . . . . . 13.3. Az LFp (T, µ)-terek teljessége – Riesz–Fischer-tétel 13.4. Az LRp (T, µ)-terek tulajdonságai – Levi-tétel . . . 13.5. Lebesgue-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

14.Integrál az LF1 (T, µ)-téren 14.1. Az integrál értelmezése és alaptulajdonságai . . . . . . 14.2. Az integrálható halmazok δ-gyűrűje . . . . . . . . . . . 14.3. Speciális Radon-mértékek szerinti integrál . . . . . . . 14.4. Du Bois-Reymond lemma . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5. Az integrál lokalizációja . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6. Lebesgue-tétel az LF1 (T, µ) térre . . . . . . . . . . . . . 14.7. Szorzatmérték szerinti integrál –Lebesgue–Fubini-tétel .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

15.A korlátos Radon-mérték szerinti integrálás elemi elmélete 15.1. A korlátos Radon-mérték szerinti integrálértelmezése . . . . . 15.2. A korlátos Radon-mérték szerinti integrálalaptulajdonságai . . 15.3. A korlátos Radon-mérték szerinti integráljellemzése . . . . . . 15.4. Lokálisan kompakt csoport teljesmértékalgebrája . . . . . . . .

1

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . .

421 421 426 428 432 436 439 440

. . . .

446 446 452 457 461

I. rész Absztrakt harmonikus analízis

2

BEVEZETÉS Az absztrakt harmonikus analízis a lokálisan kompakt csoportok folytonos unitér ábrázolásainak elmélete. Ez az elmélet felöleli a kommutatív lokálisan kompakt csoportokkal kapcsolatos Fourier-sorok és Fourier-integrálok témakörét (vagyis a klasszikus harmonikus analízist), de azon messze túlmutat. Tartalmazza a kompakt (speciálisan: véges) csoportok folytonos unitér ábrázolásainak elméletét, amelynek fontos alkalmazásai vannak a kvantumfizikai részecskék és részecske-rendszerek elméleti vizsgálatában, valamint a szilárdtestfizikában. Továbbá, részelmélete neki az indukált unitér ábrázolások elmélete, amely lehetővé teszi a kvantummechanikai rendszerek téridőbeli modellezését. Az első fejezetben összefoglaljuk azokat a legfontosabb algebrai jellegű definíciókat és tulajdonságokat, amelyeket a harmonikus analízis kifejtése során felhasználunk. Példákat mutatunk be azokra a csoportokra, amelyekre a harmonikus analízis tételei alkalmazhatók, majd megadjuk a csoportok ábrázolásának fogalmát. Ezek legfontosabb speciális esete a topologikus terekben homeomorfizmusokkal, valamint a Hilbert-terekben unitér operátorokkal való ábrázolások. Bevezetjük a legelemibb unitér ábrázolás-konstrukciókat: az unitér ábrázolások Hilbert-összegzését, tenzorszorzását és konjugálását. Szó lesz az unitér ábrázolások irreducibilitásának és ciklikusságának fogalmáról, és azok kapcsolatáról. Megmutatjuk, hogy minden unitér ábrázolás felbontható ciklikus unitér ábrázolások Hilbert-összegére. Bevezetjük a csoportok algebrai duálisát, amelynek központi jelentősége van a harmonikus analízisben. Végül példát adunk olyan csoportokra, amelyeknek minden véges dimenziós unitér ábrázolása triviális, vagyis minden csoportelemet az identikus operátor reprezentál. Ez rávilágít arra, hogy a csoportok nemtriviális unitér ábrázolásainak vizsgálatához szükségszerű végtelen dimenziós unitér ábrázolásokkal is foglalkoznunk. A második fejezetben a topologikus csoportokkal kapcsolatos legelemibb fogalmakat tárgyaljuk. Kitérünk a topologikus csoportok szétválasztási, valamint a lokálisan kompakt csoportok összefüggőségi tulajdonságaira. Részletesen megvizsgáljuk a lokálisan kompakt csoportok tranzitív folytonos topologikus ábrázolásainak problémáját. Értelmezzük és jellemezzük az unitér ábrázolások folytonosságát, majd bevezetjük a topologikus csoportok topologikus duálisának fogalmát. A harmonikus analízis vizsgálatának leghatékonyabb eszköze a lokálisan kompakt terek feletti Radon-mértékek elmélete. Ennek kellő mélységű kifejtéséhez nélkülözhetetlen néhány elemi tény ismerete a lokálisan kompakt terek feletti folytonos függvények témaköréből; ezeket gyűjtjük egybe a harmadik fejezetben. A negyedik fejezetben a lokálisan kompakt terek feletti Radon-mértékek elemi elméletéről lesz szó. Megvizsgáljuk a Radon-mértékek folytonossági tulajdonságait, és azokat az elemi operációkat, amelyeket Radon-mértékeken végre lehet hajtani: a konjugálást, az abszolútérték-képzést, a folytonos függvénnyel vett szorzást, a folytonos függvény ál3

tali kép előállítását, valamint a tenzorszorzást. Bevezetjük a Radon-mérték tartójának fogalmát, és megvilágítjuk a tartó jelentőségét. Értelmezzük a Banach-térbe ható folytonos kompakt tartójú függvények integrálját tetszőleges Radon-mérték szerint, valamint Banach-térbe ható tetszőleges folytonos függvény integrálját kompakt tartójú Radonmérték szerint. Technikai szempontból különös jelentősége lesz a paraméteres integrálok folytonossági tételének, valamint az elemi Lebesgue–Fubini-tételnek. Hangsúlyozzuk, hogy itt nem célunk a komplex Radon-mértékek szerinti integrálás általános elméletének kifejtése. Ilyen általános topologikus integrálelmélet létezik (a II. részben erről lesz szó), de utólag kiderül, hogy arra még a harmonikus analízis egészen mély tételeinek bizonyításában sincs szükség. Itt csak azokra a legelemibb Radonmértékelméleti és integrálelméleti tényekre szorítkozunk, amelyek nélkül a harmonikus analízis alaptételeit nem tudnánk bizonyítani. Azonban vannak az absztrakt harmonikus analízisnek olyan témakörei, amelyekben már a problémák megfogalmazásához is nélkülözhetetlen a topologikus integrálelmélet mélyebb ismerete. A topologikus integrálelmélet fogalmait és eredményeit lényegesen felhasználó pontokat a * szimbólummal különböztetjük meg. Az ötödik fejezetben értelmezzük a lokálisan kompakt csoportok feletti Haar-mértékeket, és igazoljuk ezek létezését és (bizonyos értelmű) egyértelműségét. Egyidejűleg rámutatunk az invariáns mértékek létezésének ábrázoláselméleti jelentőségére. Egy lokálisan kompakt csoport tranzitív folytonos topologikus ábrázolásának terén adott pozitív nem nulla invaráns Radon-mérték generálja a csoport egy nevezetes unitér ábrázolását, amit reguláris ábrázolásnak nevezünk. Ez a konstrukció lehetőséget ad arra, hogy lokálisan kompakt csoport felett sok nemtriviális folytonos unitér ábrázolást értelmezhessünk. A Haar-mértékek segítségével bevezetjük a lokálisan kompakt csoportok moduláris függvényét és az automorfizmusok modulusát. Kiszámítjuk lokálisan kompakt féldirekt szorzatcsoport bal- és jobboldali Haar-mértékét, valamint moduláris függvényét, továbbá megadjuk néhány konkrét lokálisan kompakt csoport baloldali Haar-mértékét. A hatodik fejezetben a harmonikus analízis legfontosabb tételét tárgyaljuk. Kapcsolatot teremtünk egy lokálisan kompakt csoport összes folytonos unitér ábrázolásainak osztálya, valamint egy – a topologikus csoport-struktúra által meghatározott – approximatív egységes Banach-*-algebra nemelfajult ábrázolásainak osztálya között. Az itt konstruált Banach-*-algebra a lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája. A mértékalgebra előállítása szempontjából döntő jelentősége van a lokálisan kompakt csoport feletti folytonos kompakt tartójú függvények konvolúciójának és a konvolúció algebrai tulajdonságainak. Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája általában nem egységelemes, nem kommutatív és nem C ∗ -algebra. Azonban tulajdonságait tekintve annyiban hasonlít a C ∗ -algebrákra, hogy approximatív egységes, mint minden C ∗ -algebra, és létezik hű ábrázolása, mint minden C ∗ -algebrának. A lokálisan kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásainak és a mértékalgebrája nemelfajult ábrázolásainak kapcsolatát ismerve bebizonyítjuk a harmonikus analízis Gelfand–Rajkov-tételét, amely szerint lokálisan kom4

pakt csoport felett az irreducibilis folytonos unitér ábrázolások szétválasztják a csoport elemeit. Azt is megmutatjuk, hogy megszámlálható bázisú lokálisan kompakt csoport minden ciklikus folytonos unitér ábrázolása felbontható irreducibilis folytonos unitér ábrázolások – alkalmas módon értelmezett – Hilbert-integráljára; ez a harmonikus analízis Choquet-tétele. A hetedik fejezetben kompakt csoportok folytonos unitér ábrázolásaival foglalkozunk. Lokálisan kompakt csoport kompaktságát jellemezzük a Haar-mértékek korlátossági tulajdonságával. Bebizonyítunk két nevezetes ortogonalitási relációt kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásaira, és megmutatjuk, hogy kompakt csoport irreducibilis folytonos unitér ábrázolásai véges dimenziósak. Megfogalmazunk néhány elemi tételt kompakt csoport folytonos unitér karaktereire. Bevezetjük a kompakt csoport feletti trigonometrikus polinomok terét, és a Gelfand–Rajkov-tétel, valamint a Stone–Weierstrass-tétel alkalmazásával megmutatjuk, hogy ez sup-normában sűrű a csoport feletti folytonos komplex függvények terében; ez az első Peter–Weyl-tétel. Bebizonyítjuk továbbá a második Peter–Weyl-tételt, amely szerint kompakt csoport minden folytonos unitér ábrázolása előáll irreducibilis folytonos unitér ábrázolások Hilbert-összegeként. Konkrétan felírjuk kompakt csoport baloldali reguláris ábrázolásának irreducibilis unitér részábrázolásokra való felbontását, amely megmutatja, hogy a csoport minden irreducibilis folytonos unitér ábrázolása a baloldali reguláris ábrázolásnak részábrázolása. Bevezetjük a véges dimenziós unitér ábrázolások karaktereit, és megvizsgáljuk ezek alkalmazhatóságát kompakt csoport topologikus duálisának kiszámításában. A nyolcadik fejezetben áttérünk a klasszikus harmonikus analízis alapproblémájának, vagyis a kommutatív lokálisan kompakt csoportok folytonos unitér ábrázolásainak vizsgálatára. Kommutatív lokálisan kompakt csoport topologikus duálisán bevezetünk egy természetes csoport-műveletet és topológiát, amelyekkel a duális szintén kommutatív lokálisan kompakt csoporttá válik. Értelmezzük a Fourier-transzformációt, amelyről látható lesz, hogy valójában a kommutatív Banach-*-algebrák önadjungált Gelfandreprezentációjának speciális esete. A kommutatív Banach-*-algebrákra vonatkozó absztrakt Stone-tétel alkalmazásával bebizonyítjuk a harmonikus analízis Stone-tételét, amely szerint kommutatív lokálisan kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásai azonosulnak a duális feletti nemelfajult projektorintegrálokkal. Alkalmazzuk a spektrális C ∗ algebrák esetében bizonyított spektráltételt Hilbert-tér folytonos lineáris operátorainak C ∗ -algebrájára; így jutunk el a projektorintegrálok és a projektormértékek kapcsolatához. Ennek alapján pontosítjuk a Stone-tételt. Ezután részletesen megvizsgáljuk a Fourier-transzformáció természetes általánosításának lehetőségét, a kommutatív lokálisan kompakt csoporton értelmezett, Banach-térbe vezető, Haar-integrálható függvények terére. Az eddigi eredmények származtatásához nincs szükség a topologikus integrálelméletre, elegendő hozzá a komplex Radon-mértékek elemi elmélete. Azonban a Fourier-féle inverziós-formula megfogalmazásához és bizonyításához nélkülözhetetlen a topologikus integrálelmélet mélyebb ismerete. A szükséges 5

integrálelméleti fogalmak és állítások összefoglalása a Függelékben (II. rész) megtalálható. Ezek alkalmazásával igazoljuk a klasszikus harmonikus analízis legfontosabb tételeit: a Fourier-féle inverziós tételt, a Plancherel-tételt, valamint a Pontrjagin-féle dualitás-tételt. A matematikai fizikában természetes módon jelennek meg olyan lokálisan kompakt csoportok, amelyek nem kompaktak és nem kommutatívak, ugyanakkor szükség volna az irreducibilis folytonos unitér ábrázolásaik ismeretére. Ebből a szempontból döntő jelentőségű egy speciális unitér ábrázolás-konstrukció: az indukált unitér ábrázolások konstrukciója. Ezek pontos definíciójához, valamint a legelemibb tulajdonságaik bizonyításához szükség van a lokálisan kompakt csoport feletti Radon-mértékek zárt részcsoport szerinti faktorizációjának elméletére. A mértékfaktorizáció elemi elméletét a kilencedik pontban tárgyaljuk, majd a nyert eredményeket a tizedik pontban alkalmazzuk, amelyben megadjuk az indukált unitér ábrázolások fogalmát, és vizsgáljuk ezek tulajdonságait. Bevezetjük az indukált unitér ábrázoláshoz asszociált imprimitivitás-rendszer fogalmát, és ennek segítségével bebizonyítjuk a Mackey-féle imprimitivitás-tételt, amely jellemzést ad azokra a folytonos unitér ábrázolásokra, amelyek egy adott zárt részcsoport rögzített unitér ábrázolása által indukáltak. Szó lesz az indukált unitér ábrázolások irreducibilitásának kritériumáról, valamint az indukált unitér ábrázolások egy speciális alternatív formájáról. A tizenegyedik fejezetben bebizonyítjuk a harmonikus analízis egyik legmélyebb tételét: a Mackey-féle reprezentációs tételt, amely bizonyos nem kompakt és nem kommutatív lokálisan kompakt csoportok esetében lehetőséget nyújt a csoport topologikus duálisának meghatározására. Végül megemlítjük, hogy itt csak a legáltalánosabb és legelemibb harmonikus analízisbeli gondolatok bemutatására vállalkozunk. Teljesen kimarad például a Lie-csoportok unitér ábrázolásainak elmélete, az ezekkel kapcsolatos Lie-algebrák ábrázolásainak elméo lete, a Garding-tétel, a Kirillov-féle pályamódszer, s.í.t. Egyes speciális csoport-típusok (mint például az SL(n, R) vagy SU(n, C) mátrixcsoportok) ábrázolásainak vizsgálata külön fejezetet igényelne. Nem tárgyaljuk az univerzális fedőcsoportok, a Clifford-csoportok, a Clifford-algebrák és a sugárábrázolások elméletét. Nem térhetünk ki a szimplektikus csoportok Weil-féle reprezentációjának vizsgálatára, valamint a harmonikus analízis analitikus számelméleti alkalmazásaira, például a lokálisan kompakt testek elméletében; és a nem érintett témák sorát vég nélkül lehetne folytatni. Azonban az itt tárgyalt anyag ismerete nélkülözhetetlen a harmonikus analízis speciális témaköreinak megértéséhez.

6

1. fejezet Csoportok ábrázolásai 1.1.

Példák csoportokra

Először példákat adunk azokra a csoportokra, amelyekkel a harmonikus analízisben foglalkozunk. 1) Ha S egységelemes félcsoport (másnéven monoid), akkor az S invertálható elemeinek G(S) halmaza, a félcsoport-művelet G(S) × G(S)-re vett leszűkítésével ellátva csoport. Ennek fontos speciális esete az, amikor X halmaz, és S egyenlő az X → X függvények F (X; X) halmazával, amelynek félcsoport-művelete a függvénykompozíció; ekkor G(F (X; X)) egyenlő az X → X bijekciók (másnéven az X permutációinak) függvénykompozícióval ellátott csoportjával. Ha X halmaz, akkor S(X) jelöli az X permutációinak függvénykompozícióval ellátott csoportját, és ezt az X halmaz teljes permutációcsoportjának, vagy az X halmaz szimmetrikus csoportjának nevezzük. Ha n ∈ N, akkor S(n) helyett az Sn jelölést is alkalmazzuk. Ha X halmaz, akkor az S(X) csoport részcsoportjait az X halmaz permutációcsoportjainak nevezzük. 2) Ha X topologikus tér, akkor H(X) jelöli az X topologikus tér teljes homeomorfizmuscsoportját, vagyis az X → X homeomorfizmusok halmazát, a függvénykompozícióval ellátva. Világos, hogy H(X) részcsoportja az S(X) teljes permutációcsoportnak, vagyis H(X) permutációcsoportja az X halmaznak. A H(X) részcsoportjait az X topologikus tér homeomorfizmuscsoportjainak nevezzük. 3) Ha M sokaság, akkor Diff (M) jelöli az M sokaság teljes diffeomorfizmuscsoportját, vagyis az M → M diffeomorfizmusok halmazát a függvénykompozícióval ellátva. A Diff (M) részcsoportjait az M sokaság diffeomorfizmuscsoportjainak nevezzük. 4) Ha (M, g) pszeudoriemann-sokaság, akkor Iso(M, g) jelöli az (M, g) teljes izometria-

7

csoportját, tehát Iso(M, g) := {σ ∈ Diff (M) | (∀a ∈ M) : g(σ(a)) ◦ (Ta (σ) × Ta (σ)) = g(a)}, és Iso(M, g) csoportművelete a függvénykompozíció. Speciálisan, ha (M, g, τ ) Einstein-sokaság (tehát időorientált négydimenziós Lorentz-sokaság), akkor az Iso(M, g) csoportot az (M, g, τ ) Einstein-sokaság Einstein-csoportjának nevezzük, és E(M, g, τ )vel jelöljük. Ekkor SE(M, g, τ ) jelöli az E(M, g, τ ) csoportnak azt a részcsoportját, amelynek elemei megtartják a τ időorientációt. Ezt a csoportot nevezzük az Einsteinsokaság speciális Einstein-csoportjának. 5) Ha E vektortér, akkor GL(E) jelöli az E vektortér teljes lineáris csoportját, vagyis az E → E lineáris bijekciók halmazát, a függvénykompozícióval ellátva. Ha K test és n ∈ N, akkor a GL(K n ) helyett a GL(n, K) szimbólumot alkalmazzuk. Ha K test, akkor a GL(1, K) csoport kanonikusan azonosítható a K test multiplikatív csoportjával, vagyis a K \ {0} halmazzal, amelynek művelete a K szorzásának (K \ {0}) × (K \ {0})-ra vett leszűkítése. Ezt a nevezetes csoportot néha a K ∗ szimbólummal jelölik. 6) Ha E véges dimenziós vektortér a K test felett, akkor a det : GL(E) → K ∗ determináns-függvény csoport-morfizmus, és SL(E) jelöli az E vektortér speciális lineáris csoportját, vagyis SL(E) := {u ∈ GL(E) | det(u) = 1}. Ha K test és n ∈ N, akkor az SL(K n ) jelölés helyett az SL(n, K) szimbólumot alkalmazzuk. 7) Legyen E vektortér és X ⊆ E; ekkor GL(E, X) := {u ∈ GL(E) | uhXi = X}; ez részcsoportja GL(E)-nek. Ha K test és n ∈ N, akkor a GL(K n , X) jelölés helyett az GL(n, K, X) szimbólumot alkalmazzuk. Ilyen alakú csoportok, illetve ezek bizonyos részcsoportjai gyakran megjelennek a kristályszimmetriák elméletében. 8) Legyen E vektortér, Z halmaz és g : E × E → Z tetszőleges függvény; ekkor O(E, g) := {u ∈ GL(E) | g ◦ (u × u) = g}; ez részcsoportja GL(E)-nek. Ezt a csoportot az E vektortér g-ortogonális csoportjának nevezzük. Ha E véges dimenziós, akkor SO(E, g) := {u ∈ O(E, g) | det(u) = 1}; ezt a csoportot az E vektortér speciális g-ortogonális csoportjának nevezzük. néhány speciális esetről lesz szó.

Most

– Legyen E valós vektortér, és g : E × E → R skalárszorzás E felett, vagyis g pozitív definit szimmetrikus bilineáris funkcionál. Ekkor tekinthető az O(E, g) (illetve véges 8

dimenziós E esetén az SO(E, g)) g-ortogonális (illetve speciális g-ortogonális) csoport. Ha n ∈ N+ , akkor O(n, R) (illetve SO(n, R)) jelöli az Rn × Rn → R;

((xk )k∈n , (yk )k∈n ) 7→

X

xk yk

k∈n

euklidészi skalárszorzás által meghatározott ortogonális (illetve speciális ortogonális) csoportot. A definíció szerint egy (Rj,k )(j,k)∈n×n n × n-es valós mátrix pontosan akkor eleme O(n, R)-nek, ha minden j, k ∈ n esetén X

Ri,j Ri,k = δj,k =

X

Rk,i Rj,i .

i∈n

i∈n

– Legyen E komplex vektortér és g : E × E → C skalárszorzás E felett, vagyis g pozitív definit hermitikus konjugált bilineáris funkcionál. Ekkor tekinthető az O(E, g) (illetve véges dimenziós E esetén az SO(E, g)) g-ortogonális (illetve speciális g-ortogonális) csoport. Az O(E, g) csoportot az (E, g) prehilbert-tér unitér csoportjának nevezzük és U(E, g)-vel jelöljük (illetve véges dimenziós E esetén az SO(E, g) csoportot az (E, g) prehilbert-tér speciális unitér csoportjának nevezzük és SU(E, g)-vel jelöljük). Ha n ∈ N+ , akkor U(n, C) (illetve SU(n, C)) jelöli a Cn × Cn → C;

((xk )k∈n , (yk )k∈n ) 7→

X

xk y k

k∈n

euklidészi skalárszorzás által meghatározott untiér (illetve speciális unitér) csoportot. A definíció szerint egy (Uj,k )(j,k)∈n×n n × n-es komplex mátrix pontosan akkor eleme U(n, C)-nek, ha minden j, k ∈ n esetén X

U i,j Ui,k = δj,k =

i∈n

X

U k,i Uj,i .

i∈n

– Legyen E legalább kétdimenziós valós vektortér, és g : E × E → R Lorentz-forma E felett, vagyis g olyan szimmetrikus bilineáris funkcionál, amelyhez létezik olyan S ⊆ E homogén hipersík, valamint olyan T ⊆ E egydimenziós lineáris altér, hogy T ⊕ S = E és a −g|T ×T : T × T → R és g|S×S : S × S → R leképezések skalárszorzások, valamint T és S egymásra g-ortogonálisak. Ekkor az O(E, g) (illetve véges dimenziós E esetében az SO(E, g)) csoportot g-Lorentz-csoportnak (illetve speciális g-Lorentzcsoportnak) nevezzük. Ha n ∈ N+ , akkor a g : Rn+1 × Rn+1 → R;

((xµ )µ∈n+1 , (yν )ν∈n+1 ) 7→ −x0 y0 +

n X

xµ yµ

µ=1

standard Lorentz-forma szerinti Lorentz csoportnak a (Λµ,ν )(µ,ν)∈(n+1)×(n+1) valós együtthatós (n + 1) × (n + 1)-es mátrix pontosan akkor eleme, ha minden µ, ν ∈ n + 1 esetén n X

Λα,µ Gα,β Λβ,ν = Gµ,ν

α,β=0

9

teljesül, ahol (Gµ,ν )(µ,ν)∈(n+1)×(n+1) az az (n + 1) × (n + 1)-es valós diagonális mátrix, amelyre G0,0 = −1 és minden 1 ≤ µ ≤ n + 1 esetén Gµ,µ = 1.

– Legyen E 6= {0} véges dimenziós valós vektortér, E∗ az E algebrai duálisa (vagyis az E feletti lineáris funkcionálok vektortere), és ωE : (E × E∗ ) × (E × E∗ ) → R;

((q, p), (q′ , p′ )) 7→ p′ (q) − p(q′ )

az ún. standard szimplektikus forma E × E∗ felett. Ekkor ωE nemelfajult antiszimmetrikus bilineáris funkcionál E × E∗ felett, és az O(E × E∗ , ωE ) csoportot az E vektortér szimplektikus csoportjának nevezzük, és az Sp(E) szimbólummal jelöljük. 9) Legyen E affin tér az E vektortér felett. Ekkor Aff(E) := {u ∈ S(E) | (∃u ∈ GL(E))(∀x ∈ E)(∀x′ ∈ E) : u(x′ ) − u(x) = u(x′ − x)}, vagyis Aff(E) elemei az E → E affin bijekciók. Aff (E) részcsoportja az S(E) teljes permutációcsoportnak, és ezt az E affin tér teljes affin csoportjának nevezzük. Ha u ∈ Aff (E), akkor egyetlen olyan u ∈ GL(E) létezik, amelyre minden x, x′ ∈ E esetén u(x′ ) − u(x) = u(x′ − x) teljesül; ezt a lineáris bijekciót Du jelöli. Világos, hogy az Aff(E) → GL(E);

u 7→ Du

leképezés csoport-morfizmus. Ha n ∈ N és K test, akkor K n természetes módon ellátható affin struktúrával a K n vektortér felett; ekkor az Aff(K n ) jelölés helyett az Aff(n, K) szimbólumot alkalmazzuk. 10) Legyen E affin tér az E vektortér felett és H részcsoportja GL(E)-nek. Ekkor Aff(E, H) := {u ∈ Aff(E) | Du ∈ H}. Világos, hogy Aff(E, H) részcsoportja Aff(E)-nek. A speciális nemrelativisztikus téridő-modell, valamint a speciális relativisztikus téridő-modell automorfizmuscsoportjai ilyen alakú csoportok; az előbbit Galilei-csoportnak, míg az utóbbit Poincaré-csoportnak nevezzük. 11) Példa néhány nevezetes véges csoportra. Legyen n ∈ N+ rögzített.

– Cn jelöli az n-ed rendű ciklikus csoportot, tehát Cn az a (csoport-izomorfia erejéig egyértelműen meghatározott) csoport, amelynek van olyan a n-ed rendű eleme, hogy {a} generátorhalmaz Cn -ben. Könnyen látható, hogy Cn = {e, a, a2 , ..., an−1 } és Card(Cn ) = n. A Cn csoport realizálható úgy, mint a Z/nZ faktorgyűrű additív csoportja, vagy mint C-ben az n-edik egységgyökök Un multiplikatív csoportja. – An jelöli az n indexű alternáló csoportot, tehát ha ε jelöli az Sn szimmetrikus csoport szignatúra-függvényét, akkor An := {σ ∈ Sn | ε(σ) = 1}. 10

Az An csoport elemeit az n ciklikus permutációinak nevezzük. – Dn jelöli az n indexű diéder csoportot, tehát Dn az a (csoport-izomorfia erejéig egyértelműen meghatározott) csoport, amelynek léteznek olyan a és b elemei, hogy a n-ed rendű, b másodrendű, bab = an−1 , és {a, b} generátorhalmaz Dn -ben. Könnyen látható, hogy Dn = {e, a, a2 , ..., an−1 , b, ba, ba2 , ..., ban−1 } és Card(Dn ) = 2n. A Dn csoport realizálható úgy, mint O(2, R) ∩ GL(2, R, X) (7. példa), ahol X := {(cos(2πk/n), sin(2πk/n)) ∈ R2 | k ∈ n}. – Qn jelöli az n indexű kvaternió-csoportot, tehát Qn az a (csoport-izomorfia erejéig egyértelműen meghatározott) csoport, amelynek léteznek olyan a és b elemei, hogy a 2n-ed rendű, b negyedrendű, bab = a2n−1 , b2 = an , és az {a, b} halmaz generátorhalmaz Qn -ben. – Legyen X := {0, 1}3 és O := SO(3, R) ∩ GL(3, R, X) (7. példa); ezt a csoportot oktaéder-csoportnak nevezzük. Az O csoport morfikusan beinjektálható az S8 teljes permutációcsoportba, és könnyen kiszámíthatók az elemei. Kiderül, hogy O-nak 24 eleme van. – Legyen X := {(−1, 1, 1), (1, −1, 1), (1, 1, −1), (1, −1, −1)} és ismét T := SO(3, R) ∩ GL(3, R, X) (7. példa); ezt a csoportot tetraéder-csoportnak nevezzük. A T csoport morfikusan beinjektálható az S4 teljes permutációcsoportba és könnyen kiszámíthatók az elemei. Kiderül, hogy T-nek 12 eleme van.

1.2.

Csoportok ábrázolásai

Jelölések. Legyen G csoport. – A G neutrális elemét eG jelöli, vagy ha világos, hogy melyik csoport neutrális eleméről van szó, akkor az e jelet alkalmazzuk. – A G csoport műveletét rendszerint szorzással (kommutatív esetben összeadással) jelöljük. Előfordul, hogy a G × G → G; (s, t) 7→ st csoportműveletet a pG , és a G → G; s 7→ s−1 csoport-inverziót az iG szimbólummal jelöljük. – Minden s ∈ G esetén a következő függvény-jelöléseket alkalmazzuk. γG (s) : G → G; δG (s) : G → G;

IntG (s) : G → G;

t 7→ st, t 7→ ts−1 ,

t 7→ sts−1 ,

tehát IntG (s) = γG (s) ◦ δG (s) = δG (s) ◦ γG (s). Ha s ∈ G, akkor IntG (s) automorfizmusa a G csoportnak, és ezt az s elem által meghatározott belső automorfizmusnak nevezzük. A 11

G csoport teljes automorfizmuscsoportját Aut(G) jelöli, és Int(G) := {IntG (s)|s ∈ G}, vagyis Int(G) a G belső automorfizmusainak csoportja. – Ha H ⊆ G részcsoport, akkor G/H jelöli a H szerinti baloldali mellékosztályok halmazát, tehát G/H := {sH|s ∈ G}, és πG/H jelöli a G → G/H; s 7→ sH kanonikus szürjekciót. Továbbá, minden s ∈ G esetén γG/H (s) jelöli azt a G/H → G/H bijekciót, amelyre γG/H (s) ◦ πG/H = πG/H ◦ γG (s).

1.2.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy γ ábrázolása (vagy reprezentációja) a G csoportnak az X halmazban, ha γ : G → S(X) csoport-morfizmus. Legyen γ ábrázolása a G csoportnak az X halmazban. – Az X halmazt a γ ábrázolás terének nevezzük.

– Minden s ∈ G esetén a γ(s) : X → X bijekciót az s csoportelemet (γ szerint) ábrázoló operátornak nevezzük. – Ha x ∈ X, akkor a γx : G → X; s 7→ γ(s)x függvényt az x ponthoz tartozó γ-orbitális függvénynek, továbbá az Im(γx ) = {γ(s)x|s ∈ G} halmazt az x pont γ-pályájának nevezzük. – Ha x ∈ X, akkor a Gγ,x := {s ∈ G|γ(s)x = x} halmazt az x pont γ szerinti stabilitáscsoportjának nevezzük. – Azt mondjuk, hogy a γ ábrázolás tranzitív, ha létezik olyan x ∈ X pont, amelynek a γ szerinti pályája egyenlő X-szel, vagyis {γ(s)x|s ∈ G} = X. Megjegyzések. Legyen γ ábrázolása a G csoportnak az X halmazban. 1) Ha x ∈ X, akkor a Gγ,x stabilitás-csoport nyilvánvalóan részcsoportja G-nek, és létezik egyetlen olyan γ˙ x : G/Gγ,x → X függvény, hogy γ˙ x ◦ πG/Gγ,x = γx ; ez a γ˙ x függvény bijekció G/Gγ,x és Im(γ˙ x ) (vagyis az x pont γ-pályája) között. 2) Ha x ∈ X, akkor minden s ∈ G esetén γx ◦ γG (s) = γ(s) ◦ γx , ezért a γ˙ x : G/Gγ,x → X injekció olyan, hogy minden s ∈ G esetén γ˙ x ◦ γG/Gγ,x (s) = γ(s) ◦ γ˙ x .

3) Ha x1 , x2 ∈ X és s ∈ G olyan, hogy x2 = γ(s)x1 , akkor a Gγ,x1 és Gγ,x2 stabilitás-csoportok az IntG (s) belső automorfizmus által izomorfak, vagyis fennáll az IntG (s)hGγ,x1 i = Gγ,x2 egyenlőség. Példák (csoportábrázolásokra). 1) Ha G csoport, akkor γG és δG injektív és tranzitív ábrázolásai a G csoportnak a G halmazban. Ha G csoport és H részcsoportja G-nek, akkor γG/H tranzitív ábrázolása G-nek a G/H halmazban; ez az ábrázolás H 6= G esetén nem injektív.

2) Legyenek N és H csoportok, továbbá τ : H → Aut(N) csoport-morfizmus. Az N × H halmazon értelmezzük a · műveletet úgy, hogy (n, h), (n′ , h′ ) ∈ N × H esetén (n, h) · (n′ , h′ ) := (nτh (n′ ), hh′ ). 12

Könnyen ellenőrizhető, hogy · csoportművelet az N ×H halmaz felett. Az N ×H halmazt a · művelettel ellátva az N és H csoportok τ szerinti féldirekt szorzatának nevezzük, és a N ⊗ H szimbólummal jelöljük. Világos, hogy az τ

N ⊗ H → S(N); τ

(n, h) 7→ τh

leképezés ábrázolása az N ⊗ H csoportnak az N halmazban. τ

3) Legyen E vektortér és X ⊆ E. Ekkor a GL(E, X) → S(X);

u 7→ u|X

leképezés ábrázolása a G csoportnak az X halmazban; ezt nevezzük a GL(E, X) csoport önábrázolásának. Ha G részcsoportja GL(E, X)-nek, akkor a GL(E, X) önábrázolásának G-re vett leszűkítése ábrázolása G-nek az X halmazban; ezt a G csoport önábrázolásának nevezzük. 1.2.2. Definíció. Legyen G csoport. – Azt mondjuk, hogy γ topologikus ábrázolása a G csoportnak az X topologikus térben, ha X topologikus tér, és γ olyan ábrázolása a G csoportnak az X halmazban, amelyre minden s ∈ G esetén a γ(s) : X → X ábrázoló operátor folytonos. – Azt mondjuk, hogy V lineáris ábrázolása a G csoportnak az E vektortérben, ha E vektortér, és V olyan ábrázolása a G csoportnak az E halmazban, amelyre minden s ∈ G esetén a V (s) : E → E ábrázoló operátor lineáris.

– Azt mondjuk, hogy V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-térben, ha H Hilbert-tér, és V olyan ábrázolása a G csoportnak a H halmazban, amelyre minden s ∈ G esetén V (s) : H → H ábrázoló operátor lineáris izometria (vagy ami ugyanaz: skalárszorzás-tartó lineáris operátor). Megjegyzések. Legyen G csoport. 1) Ha γ topologikus ábrázolása a G csoportnak az X topologikus térben, akkor minden s ∈ G esetén a γ(s) : X → X ábrázoló operátor homeomorfizmus, hiszen a hipotézis alapján a γG (s)−1 = γG (s−1 ) : X → X függvény is folytonos. Ez azt jelenti, hogy a G csoport topologikus ábrázolásai az X topologikus térben éppen a G → H(X) csoportmorfizmusok, ahol H(X) az X topologikus tér teljes homeomorfizmuscsoportja. 2) Ha V lineáris ábrázolása a G csoportnak az E vektortérben, akkor minden s ∈ G esetén a V (s) : E → E ábrázoló operátor lineáris bijekció, hiszen a hipotézis alapján a V (s)−1 = V (s−1 ) : E → E függvény is lineáris. Ez azt jelenti, hogy a G csoport lineáris ábrázolásai az E vektortérben éppen a G → GL(E) csoport-morfizmusok. Ha az E vektortér véges dimenziós, akkor a dim(E) számot a V lineáris ábrázolás dimenziójának nevezzük, és gyakran dim(V )-vel jelöljük. 13

3) Ha V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-térben, akkor minden s ∈ G esetén a V (s) : H → H ábrázoló operátor unitér, hiszen a hipotézis alapján a V (s)−1 = V (s−1 ) : H → H függvény is lineáris izometria. Ez azt jelenti, hogy a G csoport unitér ábrázolásai a H Hilbert-térben éppen a G → U(H ) csoportmorfizmusok, ahol U(H ) a H Hilbert-tér unitér operátorainak csoportja. Legyen H prehilbert-tér, és V olyan lineáris ábrázolása a G csoportnak a H vektortérben, amelyre minden s ∈ G esetén a V (s) : H → H operátor izometria (vagy d a H teljes burkát. Ha ami ugyanaz: skalárszorzás-tartó lineáris operátor). Jelölje H d folytonos lineáris operátor egyértelműen kiterjeszthető s ∈ G, akkor a V (s) : H → H d d d) azt a függvény, amely H → H folytonos lineáris operátorrá. Jelölje V : G → L (H d-ra. Ekkor minden G ∋ s-hez hozzárendeli a V (s) folytonos lineáris kiterjesztését H d Hilbert-térben, hiszen minden s ∈ G esetén V unitér ábrázolása a G csoportnak a H az egyenlőségek folytatásának elve alapján a V (s) operátor is izometria, ezért Im(V (s)) d-ban és Im(V (s)) ⊇ Im(V (s))(= H ), vagyis Im(V (s)) sűrű is H d-ban, azaz zárt H d). Ezt a V unitér ábrázolást a V lineáris ábrázolás teljesítésének nevezzük. V (s) ∈ U(H A harmonikus analízisben nagyon gyakori ez a konstrukció, amit a két következő állítás is illusztrál. 1.2.3. Állítás. Legyen (Vi )i∈I a G csoport unitér ábrázolásainak tetszőleges rendszere, és minden I ∋ i-re jelölje Hi a Vi ábrázolás terét. Ekkor a ⊕ Hi × ⊕ Hi → C; ((ζi )i∈I , (ηi )i∈I ) 7→

i∈I

i∈I

X i∈I

(ζi |ηi )

leképezés skalárszorzás a ⊕ Hi vektortér felett, és minden s ∈ G esetén a i∈I

⊕ Vi (s) : ⊕ Hi → ⊕ Hi ;

i∈I

i∈I

i∈I

(ζi )i∈I 7→ (Vi (s)(ζi ))i∈I

leképezés olyan lineáris bijekció, amely megtartja a fenti skalárszorzást. Továbbá, a ⊕ Vi : G → GL ⊕ Hi ;

i∈I

i∈I

s 7→ ⊕ Vi (s) i∈I

leképezés lineáris ábrázolása a G csoportnak a ⊕ Hi vektortérben.  i∈I

1.2.4. Definíció. Legyen (Vi )i∈I a G csoport unitér ábrázolásainak tetszőleges rendszere, és minden I ∋ i-re jelölje Hi a Vi ábrázolás terét. Ekkor az előző állításban értelmezett ⊕ Vi lineáris ábrázolás teljesítését a (Vi )i∈I unitér ábrázolás-rendszer Hilberti∈I

c V szimbólummal jelöljük; továbbá az előző állításban összegének nevezzük, és a ⊕ i i∈I

c V unitér ábrázolás terét ⊕ cH bevezetett ⊕ Hi prehilbert-tér teljes burkát, vagyis a ⊕ i i i∈I

i∈I

i∈I

jelöli, és ezt a Hilbert-teret a (Hi )i∈I Hilbert-tér-rendszer Hilbert-összegének nevezzük. 14

A következő állításban felhasználjuk a vektorterek véges rendszere (rendezetlen algebrai) tenzorszorzatának értelmezését és néhány alaptulajdonságát. Ezeket most röviden összefoglaljuk. Ebben a bekezdésben (Ei )i∈I a K test feletti vektortereknek tetszőleges véges rendszerét fogja jelölni. – Az (Ei )i∈I rendszer (rendezetlen algebrai) tenzorszorzatának nevezünk Y minden olyan (E, m) párt, amelyre teljesül az, hogy E vektortér a K test felett és m : Ei → E olyan i∈I

multilineáris operátor, hogy minden K feletti F vektortérhez és minden u :

Y i∈I

Ei → F

multilineáris operátorhoz létezik egyetlen olyan ue : E → F lineáris operátor, hogy ue ◦ m = u.

– Az (Ei )i∈I rendszernek létezik tenzorszorzata. Ehhez jelölje minden I ∋ i-re Ei∗ az Ei vektortér algebrai duálisát, ! vagyis az Ei → K lineáris funkcionálok vektorterét. Jelölje továbbá Mult

Y

Ei∗ ; K

a

i∈I

(xi )i∈I esetén értelmezzük a

Y i∈I

⊗ xi :

i∈I

Ei∗ → K multilineáris funkcionálok vektorterét. Minden

Y

i∈I

Ei∗ → K;

(ui )i∈I 7→

Y

ui (xi )

i∈I

leképezést, amelyre nyilvánvalóan teljesül az, hogy ⊗ xi ∈ Mult i∈I

⊗:

Y

i∈I

Ei → Mult

Y

Ei∗ ; K

i∈I

!

;

Y

Ei∗ ; K

i∈I

!

. Ekkor a

(xi )i∈I 7→ ⊗ xi i∈I

leképezés multilineáris, és ha ⊗ Ei jelöli a ⊗ leképezés értékkészlete által generált lineáris alteret a Mult

Y i∈I

Ei∗ ; K

!

i∈I

vektortérben, akkor igazolható, hogy az

⊗ Ei , ⊗

i∈I

pár

tenzorszorzata az (Ei )i∈I vektortér-rendszernek. A ⊗ Ei vektortér elemeit tenzoroknak i∈I

nevezzük és a ⊗ multilineáris operátor értékkészletének elemeit felbontható tenzoroknak nevezzük. Láthatóan minden tenzor előáll véges sok felbontható tenzor összegeként. f) párok – A tenzorszorzat abban az értelemben egyértelmű, hogy ha az (E, m) és (E, m mindketten tenzorszorzatai az (Ei )i∈I vektortér-rendszernek, akkor létezik egyetlen olyan f. v : E → E lineáris bijekció, amelyre v ◦ m = m

– Azonban a tenzorszorzat általában nem egyértelmű, mert ha (E, m) tenzorszorzata az (Ei )i∈I vektortér-rendszernek és E olyan vektortér K felett, amely izomorf E-vel és v : E → E tetszőleges lineáris bijekció, akkor az (E, v ◦ m) pár szintén tenzorszorzata az (Ei )i∈I vektortér-rendszernek, és ez általában különbözik az (E, m) pártól. Az (Ei )i∈I vektortér-rendszer minden konkrét tenzorszorzatát a tenzorszorzat realizációjának 15

⊗ Ei , ⊗ konkrét realizációt a tenzorszorzat standard

nevezzük. Azt imént bevezetett

i∈I

realizációjának nevezzük. De rendszerint az (Ei )i∈I vektortér-rendszer tetszőleges (E, m) tenzorszorzatát is a

szimbólummal jelöljük és (xi )i∈I ∈

⊗ Ei , ⊗

i∈I

Y

Ei esetén az

i∈I

m((xi )i∈I ) elemet is ⊗ xi jelöli. Ebből általában nem származik semmiféle félreértés, i∈I

és abból sem, ha a ⊗ Ei vektorteret nevezzük az (Ei )i∈I vektortér-rendszer tenzorszori∈I

zatának a

⊗ Ei , ⊗

i∈I

pár helyett. De lényeges látni, hogy a tenzorszorzat fogalmához

elválaszthatatlanul hozzátartozik a ⊗ multilineáris operátor is. – Legyen (Fi )i∈I is K feletti vektortereknek tetszőleges rendszere és legyen (ui )i∈I olyan rendszer, hogy minden i ∈ I esetén ui : Ei → Fi lineáris operátor. Ekkor létezik egyetlen olyan ⊗ ui : ⊗ Ei → ⊗ Fi lineáris operátor, amelyre teljesül az, hogy minden (xi )i∈I ∈

Y

i∈I

i∈I

i∈I

Ei esetén

i∈I

⊗ ui

i∈I

⊗ xi = ⊗ ui (xi ).

i∈I

i∈I

Ezt a lineáris operátort, az (ui )i∈I operátor-rendszer tenzorszorzatának nevezzük. Könnyen látható, hogy ha (Gi )i∈I is a K test feletti vektortereknek tetszőleges rendszere és (vi )i∈I olyan rendszer, hogy minden i ∈ I esetén vi : Fi → Gi lineáris operátor, akkor fennáll a ⊗ vi ◦ ⊗ ui = ⊗ (vi ◦ ui )

i∈I

i∈I

i∈I

egyenlőség. 1.2.5. Állítás. Legyen (Vi )i∈I a G csoport unitér ábrázolásainak tetszőleges véges rendszere, és minden I ∋ i-re jelölje Hi a Vi ábrázolás terét. Ekkor a ⊗ Hi algebrai i∈I

tenzorszorzat felett egyértelműen létezik olyan (·|·) skalárszorzás, amelyre teljesül az, hogy Y minden (ζi )i∈I , (ηi )i∈I ∈ Hi esetén i∈I

⊗ ζi

i∈I

⊗ ηi =

i∈I

Y

i∈I

(ζi |ηi ).

Továbbá, minden s ∈ G esetén létezik egyetlen olyan ⊗ Vi (s) : ⊗ Hi → ⊗ Hi

i∈I

lineáris operátor, amelyre minden

i∈I

Y

i∈I

⊗ Vi (s)

i∈I

i∈I

Hi ∋ (ζi )i∈I -ra ⊗ ζi = ⊗ (Vi (s)(ζi )) .

i∈I

i∈I

16

Minden s ∈ G esetén

⊗ Vi (s) ∈ GL ⊗ Hi

i∈I

i∈I

és ez az operátor megtartja a fenti (·|·) skalárszorzást. Továbbá, a ⊗ Vi : G → GL ⊗ Hi ;

i∈I

s 7→ ⊗ Vi (s)

i∈I

i∈I

leképezés lineáris ábrázolása a G csoportnak a ⊗ Hi vektortérben. i∈I

Bizonyítás. Legyen (ηi )i∈I ∈

Y

Hi rögzített elem, és tekintsük a

i∈I

Y i∈I

Hi → C;

(ζi )i∈I 7→

Y i∈I

(ζi |ηi )

leképezést. Ez multilineáris funkcionál, így a tenzorszorzat értelmezése alapján létezik egyetlen olyan τ(ηi )i∈I : ⊗ Hi → C i∈I

lineáris funkcionál, amelyre teljesül az, hogy minden (ζi )i∈I ∈ τ(ηi )i∈I

⊗ ζi =

i∈I

Y i∈I

Y

Hi esetén

i∈I

(ζi |ηi ).

Könnyen ellenőrizhető, hogy minden ⊗ Hi ∋ t-re a i∈I

Y

i∈I

Hi → C;

(ηi )i∈I 7→ τ(ηi )i∈I (t)

leképezés multilineáris funkcionál, így a tenzorszorzat értelmezése alapján létezik egyetlen olyan σt : ⊗ Hi → C i∈I

lineáris funkcionál, amelyre teljesül az, hogy minden (ηi )i∈I ∈

Y

Hi esetén

i∈I

σt ⊗ ηi = τ(ηi )i∈I (t). i∈I

Könnyen ellenőrizhető, hogy ekkor a (·|·) :

⊗ Hi × ⊗ Hi → C;

i∈I

i∈I

17

(t′ , t) 7→ σt (t′ )

leképezés olyan Ykonjugált bilineáris funkcionál, amelyre teljesül az, hogy minden (ζi )i∈I , (ηi )i∈I ∈ Hi esetén i∈I

⊗ ζi ⊗ ηi = i∈I

i∈I

Y i∈I

(ζi |ηi ).

A (·|·) leképezés pozitív definitivitásának bizonyításához legyen t ∈ ⊗ Hi rögzített elem:

azt fogjuk igazolni, hogy (t|t) ∈ R+ , és (t|t) = 0 esetén t = 0.

i∈I

A tenzorszorzat tulajdonságai alapján van olyan A véges halmaz és minden I ∋ i-hez létezik olyan (ζi,α )α∈A rendszer Hi -ben, hogy t=

X

⊗ ζi,α .

α∈A

i∈I

Minden i ∈ I esetén a (ζi,α )α∈A véges rendszer által generált véges dimenziós Hi -beli lineáris altérhez van olyan (ηi,βi )βi∈Bi véges ortonormált rendszer, amely ugyanazt a lineáris alteret generálja, mint a (ζi,α)α∈A rendszer. Ekkor minden I ∋ i-hez és A ∋ α-hoz X egyértelműen létezik olyan (ci,α,βi )βi ∈Bi rendszer C-ben, amelyre ζi,α = ci,α,βi ηi,βi .

Ekkor a ⊗ :

Y i∈I

βi ∈Bi

Hi → ⊗ Hi operátor multilinearitása miatt i∈I

t=

X

α∈A

teljesül, ahol B :=

Y

⊗ ζi,α =

i∈I

X

X

α∈A

Y

ci,α,β(i)

i∈I

β∈B

!

⊗ ηi,β(i)

i∈I

Bi . A két szummázás sorrendjét felcserélve ebből következik, hogy

i∈I

t=

X

dβ

β∈B

ahol minden B ∋ β-ra dβ :=

X

α∈A

Y

⊗ ηi,β(i) ,

i∈I

ci,α,β(i)

i∈I

!

∈ C. A (·|·) leképezés alaptulajdonsá-

ga, valamint minden i ∈ I esetén a Hi -ben haladó (ηi,βi )βi ∈Bi rendszer ortonormalitása alapján kapjuk, hogy minden B ∋ β, β ′-re ⊗ ηi,β(i) ⊗ ηi,β ′ (i) =

i∈I

i∈I

Y

ηi,β(i) ηi,β ′ (i) =

i∈I

Y

δβ(i),β ′ (i) = δβ,β ′ ,

i∈I

ahol δ a Kronecker-deltát jelöli. Ebből következik, hogy (t|t) =

X

β∈B

X

β ′ ∈B

dβ dβ ′

⊗ ηi,β(i) ⊗ ηi,β ′ (i)

i∈I

18

i∈I

=

=

X

X

=

dβ dβ ′ δβ,β ′

β ′ ∈B

β∈B

X

β∈B

|dβ |2 .

Ebből azonnal látható, hogy (t|t) ∈ R+ , és (t|t) = 0 esetén minden B ∋ β-ra dβ = 0, tehát t =

X

dβ ⊗ ηi,β(i) = 0. i∈I

β∈B

Ezzel megmutattuk, hogy az itt bevezetett (·|·) :

⊗ Hi × ⊗ Hi → C

i∈I

i∈I

leképezés olyan skalárszorzás a ⊗ Hi komplex vektortér felett, amelyre teljesül az, hogy minden (ζi )i∈I , (ηi )i∈I ∈

Y

i∈I

Hi esetén

i∈I

⊗ ζi ⊗ ηi =

i∈I

i∈I

Y i∈I

(ζi |ηi ).

Tekintettel arra, hogy a felbontható tenzorok véges összegei kiadják a ⊗ Hi vektorteret, i∈I

a (·|·) skalárszorzás biadditivitása következtében (·|·) egyértelműen van meghatározva ezzel a feltétellel. A továbbiakban a ⊗ Hi komplex vektorteret ezzel a (·|·) skalárszori∈I

zással ellátva prehilbert-térnek fogjuk tekinteni. Ha (ui )i∈I olyan rendszer, hogy minden i∈I esetén ui : Hi →Hi skalárszorzás-tartó leképezés, akkor ezek ⊗ ui algebrai tenzorszorzata olyan ⊗ Hi → ⊗ Hi lineáris operátor, i∈I

i∈I

i∈I

amely megtartja a (·|·) skalárszorzást, mert minden (ζi )i∈I , (ηi )i∈I ∈ ⊗ ui

⊗ ζi

i∈I

i∈I

=

Y i∈I

⊗ ui

i∈I

(ui (ζi ) ui (ηi )) =

⊗ ηi

i∈I

Y

:=

Y

Hi esetén

i∈I

⊗ ui (ζi ) ⊗ ui (ηi ) =

i∈I

(ζi ηi ) =:

i∈I

i∈I

⊗ ζi ⊗ ηi ,

i∈I

i∈I

így minden t, t′ ∈ ⊗ Hi esetén (u(t)|u′(t)) = (t|t′ ). Speciálisan, ha minden I ∋ i-re i∈I

ui : Hi →Hi skalárszorzás-tartó bijekció, akkor a ⊗ ui : ⊗ Hi → ⊗ Hi operátor is i∈I

i∈I

skalárszorzás-tartó bijekció. Az állítás többi része már nyilvánvaló. 

i∈I

1.2.6. Definíció. Legyen (Vi )i∈I a G csoport unitér ábrázolásainak tetszőleges véges rendszere, és minden I ∋ i-re jelölje Hi a Vi ábrázolás terét. Ekkor az előző állításban értelmezett ⊗ Vi lineáris ábrázolás teljesítését a (Vi )i∈I unitér ábrázolás-rendszer i∈I

19

c V szimbólummal jelöljük; továbbá az előző tenzorszorzatának nevezzük, és a ⊗ i i∈I

c V unitér ábrázolás terét állításban bevezetett ⊗ Hi prehilbert-tér teljes burkát, vagyis a ⊗ i i∈I

i∈I

c H jelöli, és ezt a Hilbert-teret a (H ) ⊗ i i i∈I Hilbert–tér-rendszer tenzorszorzatának

i∈I

nevezzük.

1.2.7. Definíció. Konjugálásnak nevezünk a H Hilbert-tér felett minden olyan C : H → H konjugált-lineáris operátort, amelyre teljesül az, hogy C ◦ C = idH , és minden H ∋ ζ, η-ra (C(ζ)|C(η)) = (η|ζ). Ha V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilberttérben, és C konjugálás H felett, akkor a CV (·)C : G → U(H );

s 7→ C ◦ V (s) ◦ C

függvényt a V unitér ábrázolás C-konjugáltjának nevezzük, és a V C szimbólummal jelöljük. (Ez nyilvánvalóan szintén unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-térben.) Megjegyezzük, hogy minden Hilbert-tér felett létezik konjugálás. Valóban, ha H Hilbert-tér, akkor létezik B ⊆ H ortonormált bázishalmaz, és ha R jelöli a B véges részhalmazainak halmazgyűrűjét és µ : R → R+ a számláló-mérték, akkor a WB : H → L2C (B, R, µ);

ζ 7→ ((ζ|b))b∈B

leképezés unitér operátor. Továbbá, az L2C (B, R, µ) Hilbert-tér felett létezik egy kitüntetett konjugálás, ti. az CB : L2C (B, R, µ) → L2C (B, R, µ);

f 7→ f

leképezés. Ekkor a WB−1 ◦ CB ◦ WB : H → H leképezés nyilvánvalóan konjugálás a H Hilbert-tér felett. Azonban ez a konjugálás lényegesen függ a B választásától. Pontosabban: ez az az egyetlen konjugálás a H Hilbert-tér felett, amely a B ortonormált bázishalmazon egyenlő az identikus függvénnyel. Ezért bármely csoport, bármely unitér ábrázolásának létezik konjugáltja, de általában nem egyetlen konjugált létezik. Azonban egy unitér ábrázolás bármely két konjugáltja egymással unitér ekvivalens, mert ha V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilberttérben, és C1 , C2 : H → H konjugálások H felett, akkor minden G ∋ s-re (C1 ◦ C2 ) ◦ (C2 ◦ V (s) ◦ C2 ) = (C1 ◦ V (s) ◦ C1 ) ◦ (C1 ◦ C2 ), hiszen C2 ◦ C2 = idH = C1 ◦ C1 , továbbá, a definíció alapján C1 ◦ C2 : H → H unitér operátor. 1.2.8. Definíció. A G csoport V unitér ábrázolását önduálisnak nevezzük, ha V unitér ekvivalens valamelyik (tehát mindegyik) konjugáltjával. 20

1.2.9. Állítás. Legyen N ⊗ H féldirekt szorzat, és jelölje jN : N → N ×H; n 7→ (n, eH ), τ

illetve jH : H → N × H; h 7→ (eN , h) a kanonikus injekciót.

a) Ha V unitér ábrázolása az N ⊗ H csoportnak a H Hilbert-térben, akkor VN := V ◦ jN τ

unitér ábrázolása N-nek H -ban, és VH := V ◦ jH unitér ábrázolása H-nak H -ban, és minden (n, h) ∈ N × H esetén VH (h)VN (n)VH (h)−1 = VN (τh (n)), valamint V (n, h) = VN (n)VH (h). b) Megfordítva, ha VN unitér ábrázolása N-nek a H Hilbert-térben, és VH unitér ábrázolása H-nak H -ban, és minden (n, h) ∈ N × H esetén fennáll az VH (h)VN (n)VH (h)−1 = VN (τh (n)) egyenlőség, akkor a V : N × H → U(H );

(n, h) 7→ VN (n)VH (h),

definícióval értelmezett leképezés olyan unitér ábrázolása az N ⊗ H csoportnak a H τ Hilbert-térben, amelyre V ◦ jN = VN és V ◦ jH = VH . Bizonyítás. a) A jN és jH kanonikus injekciók csoport-morfizmusok, ezért VN és VH unitér ábrázolások ugyanabban a H Hilbert-térben. Könnyen ellenőrizhető, hogy minden (n, h) ∈ N × H esetén (eN , h)(n, eH )(eN , h)−1 = (τh (n), eH ),

(n, h) = (n, eH )(eN , h)

ezért VH (h)VN (n)VH (h)−1 := V (eN , h)V (n, eH )V (eN , h)−1 = = V ((eN , h)(n, eH )(eN , h)−1 ) = V (τh (n), eH ) =: VN (τh (n)), valamint V (n, h) = V ((n, eH )(eN , h)) = V (n, eH )V (eN , h) =: VN (n)VH (h). b) A VN (eN ) = idH = VH (eH ) egyenlőségek alapján világos, hogy V (eN , eH ) = idH , valamint V ◦ jN = VN és V ◦ jH = VH teljesül, ezért csak a V multiplikativitását kell ellenőrizni. Ha (n, h), (n′ , h′ ) ∈ N × H, akkor az N ⊗ H csoport-szorzásának értelmezése τ alapján (1) V ((n, h), (n′ , h′ )) := V (nτh (n′ ), hh′ ) := VN (nτh (n′ ))VH (hh′ ) = 21

(1)

(2)

= VN (n)VN (τh (n′ ))VH (h)VH (h′ ) = VN (n)VH (h)VN (n′ )VH (h)−1 VH (h)VH (h′ ) = = VN (n)VH (h)VN (n′ )VH (h′ ) =: V (n, h)V (n′ , h′ ), (1)

ahol az = egyenlőségnél kihasználtuk a VN és VH ábrázolások multiplikativitását és az (2) = egyenlőségnél a VN és VH között előírt kommutációs relációt alkalmaztuk.  Tehát, ha N ⊗ H féldirekt szorzat és H Hilbert-tér, akkor a τ

V 7→ (V ◦ jN , V ◦ jH ) leképezés bijekció az N ⊗ H csoport H -ban megvalósuló unitér ábrázolásainak halmaza τ

és azon (VN , VH ) párok halmaza között, amelyekre VN unitér ábrázolása N-nek H -ban, és VH unitér ábrázolása H-nak H -ban, és minden (n, h) ∈ N × H esetén fennáll a VH (h)VN (n)VH (h)−1 = VN (τh (n)) egyenlőség, amit Weyl-féle felcserélési-relációnak is nevezünk. 1.2.10. Definíció. Ha N ⊗ H féldirekt szorzat, VN unitér ábrázolása N-nek a H τ

Hilbert-térben, VH unitér ábrázolása H-nak a H Hilbert-térben és minden (n, h) ∈ N ×H esetén fennáll az VH (h)VN (n)VH (h)−1 = VN (τh (n)) egyenlőség, akkor az N × H → U(H );

(n, h) 7→ VN (n)VH (h)

unitér ábrázolást a VN ⊗ VH szimbólummal jelöljük, és ezt a VN és VH unitér ábrázolások τ

(τ -szerinti) féldirekt szorzatának nevezzük.

1.3.

Összekötő operátorok és irreducibilitás

Most értelmezzük a csoportábrázolások egymással való kapcsolatainak fogalmát. 1.3.1. Definíció. Legyen γ1 (illetve γ2 ) ábrázolása a G csoportnak az X1 (illetve X2 ) halmazban. Azt mondjuk, hogy a σ : X1 → X2 függvény összeköti a γ1 és γ2 ábrázolásokat, ha minden s ∈ G esetén γ2 (s) ◦ σ = σ ◦ γ1 (s). Azt mondjuk, hogy a γ1 és γ2 ábrázolások ekvivalensek, ha létezik olyan σ : X1 → X2 bijekció, amely öszeköti a a γ1 és γ2 ábrázolásokat. 22

– Legyen γ1 (illetve γ2 ) topologikus ábrázolása a G csoportnak az X1 (illetve X2 ) topologikus térben. Azt mondjuk, hogy a γ1 és γ2 topologikus ábrázolások topologikusan ekvivalensek, ha létezik olyan σ : X1 → X2 homeomorfizmus, amely öszeköti a a γ1 és γ2 ábrázolásokat. – Legyen V1 (illetve V2 ) unitér ábrázolása a G csoportnak a H1 (illetve H2 ) Hilberttérben. Ekkor C(V1 ; V2 ) := {u ∈ L (H1 ; H2 ) | (∀s ∈ G) : V2 (s) ◦ u = u ◦ V1 (s)}, tehát C(V1 ; V2 ) a V1 és V2 ábrázolásokat összekötő folytonos lineáris operátorok halmaza. Azt mondjuk, hogy a V1 és V2 unitér ábrázolások unitér ekvivalensek, ha C(V1 ; V2 ) tartalmaz unitér operátort, vagyis ha létezik olyan u : H1 → H2 unitér operátor, hogy minden G ∋ s-re V2 (s) ◦ u = u ◦ V1 (s). Azt mondjuk, hogy a V1 és V2 unitér ábrázolások diszjunktak (vagy ortogonálisak), ha C(V1 ; V2 ) = {0}. Nyilvánvaló, hogy ha V1 unitér ábrázolása a G csoportnak a H1 és V2 unitér ábrázolása G-nek a H2 Hilbert-térben, akkor C(V1 ; V2 ) ⊆ L (H1 ; H2 ) olyan lineáris altér, amely zárt az operátornorma szerint. 1.3.2. Definíció. Ha γ ábrázolása a G csoportnak az X halmazban, akkor egy H ⊆ X halmazt γ-invariánsnak nevezünk, ha minden s ∈ G esetén γ(s)hHi ⊆ H. Ha γ ábrázolása a G csoportnak az X halmazban és H az X-nek γ-invariáns részhalmaza, akkor minden s ∈ G esetén γ(s)hHi ⊆ H, továbbá (γ(s))−1 hHi = γ(s−1 )hHi ⊆ H, tehát γ(s)hHi = H, amiből következik, hogy a γ|H : G → S(H);

s 7→ γ(s)|H

leképezés ábrázolása a G csoportnak a H halmazban: ezt nevezzük a γ ábrázolás H által meghatározott részábrázolásának. Nyilvánvaló, továbbá hogy: – ha γ topologikus ábrázolása a G csoportnak az X topologikus térben, és H ⊆ X tetszőleges γ-invariáns halmaz, akkor a γ|H részábrázolás topologikus ábrázolása a G csoportnak a H topologikus altérben; – ha V lineáris ábrázolása a G csoportnak az E vektortérben, és H ⊆ E V -invariáns lineáris altér, akkor a V |H részábrázolás lineáris ábrázolása a G csoportnak a H vektortérben; – ha V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-térben, és H ⊆ H V -invariáns zárt lineáris altér, akkor a V |H részábrázolás unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-térben; – ha V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-térben, és H ⊆ H V -invariáns halmaz, akkor H ⊥ zárt V -invariáns lineáris altér, tehát a V |H ⊥ részábrázolás unitér ábrázolása a G csoportnak a H ⊥ Hilbert-térben. 23

1.3.3. Definíció. Legyen V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-térben. Azt mondjuk, hogy – V algebrailag irreducibilis, ha H 6= {0} és C(V ; V ) = C.idH , vagyis csak azok a H → H folytonos lineáris operátorok kötik össze V -t önmagával, amelyek az identikus operátor számszorosai; – V geometriailag irreducibilis, ha H 6= {0} és minden F ⊆ H zárt V -invariáns lineáris altérre F = {0} vagy F = H . A következő állítás bizonyításához megjegyezzük, ha H Hilbert-tér, F ⊆ H zárt lineáris altér, PF az F -re vetítő ortogonális projektor és u : H → H tetszőleges függvény, akkor uhF i ⊆ F ⇔ u ◦ PF = PF ◦ u ◦ PF .

Valóban, ζ ∈ F esetén PF (ζ) = ζ, tehát, ha u ◦ PF = PF ◦ u ◦ PF , akkor u(ζ) = (u ◦ PF )(ζ) = (PF ◦ u ◦ PF )(ζ) ∈ Im(PF ) = F , így uhF i ⊆ F . Megfordítva, ha ζ ∈ H , akkor PF (ζ) ∈ F , tehát ha uhF i ⊆ F , akkor u(PF (ζ)) ∈ F , így u(PF (ζ)) = PF (u(PF (ζ))), amiből következik, hogy u ◦ PF = PF ◦ u ◦ PF . Ebből az is látható, hogy ha u : H → H folytonos lineáris operátor, akkor (uhF i ⊆ F ) ∧ (u∗ hF i ⊆ F ) ⇔ u ◦ PF = PF ◦ u teljesül, mert a PF önadjungáltságát felhasználva, operátoradjungálással kapjuk, hogy u∗ hF i ⊆ F

⇔ u ∗ ◦ PF = PF ◦ u ∗ ◦ PF

⇔ PF ◦ u = PF ◦ u ◦ PF ,

tehát (uhF i ⊆ F ) ∧ (u∗ hF i ⊆ F ) ⇔ u ◦ PF = PF ◦ u ◦ PF = PF ◦ u ⇔ PF ◦ u = u ◦ PF . 1.3.4. Állítás. Ha V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-térben, akkor V algebrai és geometriai irreducibilitása ekvivalensek. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy V algebrailag irreducibilis, és legyen F ⊆ H zárt V invariáns lineáris altér. Jelölje PF az F -re vetítő ortogonális projektort. Az F halmaz V -invarianciája szerint minden s ∈ G esetén V (s)hF i ⊆ F és V (s)∗ = V (s)−1 = V (s−1 ), tehát V (s)∗ hF i = V (s−1 )hF i ⊆ F , ami azt jelenti, hogy V (s) ◦ PF = PF ◦ V (s), azaz PF ∈ C(V ; V ) = C.idH . Ezért létezik olyan z ∈ C, hogy PF = z.idH . Ekkor PF ◦ PF = PF és H 6= {0} miatt z 2 = z, következésképpen z = 0 (így F = {0}), vagy z = 1 (így F = H ). Ez azt jelenti, hogy V geometriailag irreducibilis. Megfordítva, tegyük fel, hogy V geometriailag irreducibilis. Ha P ∈ C(V ; V ) önadjungált idempotens elem, azaz ortogonális projektor a H Hilbert-térben, akkor az Im(P ) halmaz zárt V -invariáns lineáris altér H -ban, így a hipotézis alapján Im(P ) = {0} 24

(így P = 0), vagy Im(P ) = H (így P = idH ). Ez azt jelenti, hogy a C(V ; V ) operátoralgebra csak triviális projektorokat tartalmaz, vagyis P(C(V ; V )) = {0, idH }. Ugyanakkor, C(V ; V ) megegyezik az Im(V ) operátorhalmaz kommutánsával az L (H ) operátoralgebrában, és Im(V ) az adjungálásra nézve zárt halmaz, hiszen minden s ∈ G esetén V (s)∗ = V (s)−1 = V (s−1 ) ∈ Im(V ). Tudjuk, hogy az L (H ) operátoralgebra Rickart-C ∗ -algebra, így C(V ; V ) is Rickart-C ∗ -algebra ([19, 23.3.]). Másfelől, RickartC ∗ -algebrában a projektorok halmazának lineáris burka C ∗ -normában sűrű ([19, 23.3.3.]), így C(V ; V ) = span(P(C(V ; V ))) = span({0, idH }) = C.idH , tehát V algebrailag irreducibilis.  Az előző állítás alapján a továbbiakban nem teszünk különbséget az unitér csoportábrázolások algebrai és geometriai irreducibilitása között, és egyszerűen irreducibilitásról beszélünk. Ne felejtsük el, hogy az unitér csoportábrázolások irreducibilitásának fogalmába beleértjük azt, hogy az ábrázolás nem nulla dimenziós; ezzel zárjuk ki az érdektelen triviális eseteket! A következő állítás megmutatja, hogy egy csoport irreducibilis unitér ábrázolásai között az unitér ekvivalencia és a nemdiszjunktság ekvivalens tulajdonságok. 1.3.5. Állítás. Legyenek V1 és V2 a G csoportnak irreducibilis unitér ábrázolásai. A V1 és V2 ábrázolások pontosan akkor unitér ekvivalensek, ha nem diszjunktak (vagyis C(V1 ; V2 ) 6= {0}). Bizonyítás. Ha V1 és V2 unitér ekvivalensek és u ∈ C(V1 ; V2 ) unitér összekötő operátor, akkor u 6= 0, mert irreducibilis unitér ábrázolások (a definíció szerint) nem nulla dimenziósak. Megfordítva, legyen w ∈ C(V1 ; V2 ) nem nulla operátor, és jelölje H1 a V1 és H2 a V2 ábrázolás terét; megmutatjuk, hogy V1 és V2 unitér ekvivalensek. Világos, hogy w ∈ C(V1 ; V2 ) miatt w ∗ ∈ C(V2 ; V1 ), következésképpen w ∗ ◦ w ∈ C(V1 ; V1 ) és w ◦ w ∗ ∈ C(V2 ; V2 ). Ebből, a V1 és V2 algebrai irreducibilitása folytán kapjuk olyan α, β ∈ C számok létezését, hogy w ∗ ◦ w = α.idH1 és w ◦ w ∗ = β.idH2 . Most az első egyenlőséget balról w-vel komponálva α.w = w ◦ (w ∗ ◦ w) = (w ◦ w ∗ ) ◦ w = β.w adódik, így w 6= 0 miatt α = β. Ugyanakkor, w 6= 0 miatt van olyan ζ ∈ H1 , hogy w(ζ) 6= 0, és ekkor αkζk2 = ((w ∗ ◦ w)(ζ)|ζ) = kw(ζ)k2, amiből következik, hogy α ∈ R+ . Ezért u := α−1/2 .w ∈ C(V1 ; V2 ) olyan lineáris operátor H1 és H2 között, amelyre u∗ ◦ u = idH1 és u ◦ u∗ = idH2 , vagyis u unitér összekötő operátor V1 és V2 között.  1.3.6. Állítás. Kommutatív csoport minden irreducibilis unitér ábrázolása egy dimenziós. Bizonyítás. Legyen V irreducibilis unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilberttérben. Ha s ∈ G, akkor a G kommutativitása miatt minden G ∋ t-re V (t) ◦ V (s) = V (ts) = V (st) = V (s) ◦ V (t), tehát V (s) ∈ C(V ; V ) = C.idH . Ebből következik, hogy 25

L (H ) ⊆ C(V ; V ), így L (H ) = C.idH , tehát H legfeljebb egy dimenziós. 

Legyen V egy dimenziós unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-térben. Ekkor minden G ∋ s-hez egyértelműen létezik olyan χ(s) ∈ U := {z ∈ C||z| = 1}, amelyre V (s) = χ(s).idH . Nyilvánvaló, hogy az így bevezethető χ : G → U függvény csoportmorfimus. Az is könnyen látható, hogy ha V és V ′ egy dimenziós unitér ábrázolásai a G csoportnak, továbbá χ és χ′ a hozzájuk tartozó G → U függvények, akkor V és V ′ unitér ekvivalenciája pontosan azt jelenti, hogy χ = χ′ . 1.3.7. Definíció. A G csoport unitér karakterének nevezünk minden G → U csoportmorfizmust. Ha G csoport, akkor a G → U azonosan 1 függvény unitér karaktere G-nek; ezt nevezzük a G csoport triviális unitér karakterének, és általában az 1G vagy 1 szimbólummal jelöljük. Hamarosan látni fogjuk, hogy léteznek olyan csoportok, amelyeknek minden unitér karaktere triviális. Jóval később (a 6.7. pontban) megmutatjuk, hogy minden kommutatív lokálisan kompakt csoportnak olyan sok folytonos unitér karaktere van, hogy a folytonos unitér karakterek halmaza szétválasztó.

1.4.

Ciklikus ábrázolások

1.4.1. Definíció. Legyen V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-térben. Azt mondjuk, hogy V ciklikus, ha létezik olyan ζ ∈ H , amelyre a {V (s)(ζ)|s ∈ G} halmaz lineáris burka sűrű H -ban, vagyis span({V (s)(ζ)|s ∈ G}) = H . Minden ilyen tulajdonságú ζ elemet a V unitér ábrázolás ciklikus vektorának nevezünk. 1.4.2. Állítás. Irreducibilis unitér ábrázolás terének minden nem nulla eleme ciklikus vektora az ábrázolásnak. Bizonyítás. Ha V irreducibilis unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-térben és ζ ∈ H \ {0}, akkor minden G ∋ s-re a V (s) : H → H leképezés folytonossága, linearitása és multiplikativitása miatt V (s)hspan({V (t)(ζ)|t ∈ G})i ⊆ span (V (s)h{V (t)(ζ)|t ∈ G}i) = = span ({V (st)(ζ)|t ∈ G}) = span ({V (t)(ζ)|t ∈ G}),

tehát span({V (t)(ζ)|t ∈ G}) zárt V -invariáns lineáris altér H -ban, így V irreducibilitása, és 0 6= ζ ∈ span({V (t)(ζ)|t ∈ G}) miatt span({V (t)(ζ)|t ∈ G}) = H . 

A következő állítást gyakran alkalmazzuk unitér ábrázolások Hilbert-összegének vizsgálatában. 26

1.4.3. Állítás. Legyen V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-térben, és (Hi )i∈I a H zárt V -invariáns lineáris altereinek olyan ortogonális rendszere, amelyre X

Hi :=

i∈I

(

X i∈I

ζi (ζi )i∈I ∈ ⊕ Hi i∈I

)

c (V |H ) Hilbert-összeggel. sűrű altér H -ban. Ekkor V unitér ekvivalens a ⊕ i i∈I

Bizonyítás. Tekintsük a

W : ⊕ Hi → H ; i∈I

(ζi )i∈I 7→

X

ζi

i∈I

leképezést. A (Hi )i∈I altér-rendszer ortogonalitása és a Pithogorász-tétel szerint W X normatartó és természetesen Im(W ) = Hi , vagyis Im(W ) sűrű H -ban. Jelölje W a i∈I

W egyetlen folytonos lineáris kiterjesztését H -ra. Ekkor az egyenlőségek folytatásának c H → H is izometria és az értékkészlete sűrű, mert tartalmazza elve alapján W : ⊕ i i∈I

Im(W )-t. Ugyanakkor W Banach-téren értelmezett izometria, így Im(W ) zárt H -ban, tehát Im(W ) = H , ami azt jelenti, hogy W unitér operátor. Ha s ∈ G és (ζi )i∈I ∈ ⊕ Hi , i∈I

akkor

(V (s) ◦ W )((ζi )i∈I ) = V (s)

X i∈I

!

ζi =

X

(V (s)ζi ) =

i∈I

X i∈I

(V |Hi )(s)ζi =

= W (((V |Hi )(s)ζi )i∈I ) = W ◦ ⊕ (V |Hi ) (s) ((ζi )i∈I ), i∈I

c (V |H ) teljesül a ⊕ H sűrű altéren, így mindenütt a ⊕ cH tehát V (s) ◦ W = W ◦ ⊕ i i i i∈I

Hilbert-térben. Tehát W összeköti a

i∈I

c (V |H ⊕

i∈I

i)

i∈I

és V unitér ábrázolásokat. 

1.4.4. Tétel. Ha V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-térben, akkor létezik c V unitér a V ciklikus unitér részábrázolásainak olyan (Vi )i∈I rendszere, amelyre ⊕ i i∈I

ekvivalens V -vel.

Bizonyítás. Jelölje S azon S ⊆ P(H ) halmazok halmazát, amelyekre teljesülnek a következők: a) minden H ∈ S esetén H olyan V -invariáns zárt lineáris altere H -nak, hogy a V |H unitér részábrázolás ciklikus; b) minden H, H ′ ∈ S esetén, ha H 6= H ′ , akkor H⊥H ′ . 27

Az S halmaz a ⊆ relációval ellátva nyilvánvalóan induktívan rendezett halmaz, és világos, hogy {{0}} ∈ S, tehát S 6= ∅. Ezért a Kuratowski-Zorn lemma alapján létezik maximális eleme ennek a rendezett halmaznak; legyen S ∈ S egy maximális elem. Ekkor (V |H)H∈S az S-re vonatkozó a) feltétel alapján a V ciklikus unitér részábrázolásainak rendszere. c (V |H) unitér ekvivalens V -vel. Ehhez elég azt igazolni, hogy Megmutatjuk, hogy ⊕ X

H∈S

H sűrű altér H -ban (1.4.3.). Indirekt bizonyítunk, tehát feltesszük, hogy

H∈S

nem sűrű H -ban, így van olyan ζ ∈ H , hogy ζ 6= 0 és ζ⊥ V -invariáns zárt lineáris altér H -ban, így Hζ := span{V (s)ζ|s ∈ G} ⊆

X

H∈S

X

H. Az

H∈S

H

!⊥

X

H∈S

H

!⊥

X

H

H∈S

halmaz

.

Minden H ∈ S esetén ζ⊥H, vagyis Hζ ⊥H. Ugyanakkor, V |Hζ nem nulladimenziós ciklikus unitér részábrázolása V -nek, következésképpen S ∪ {Hζ } olyan eleme S-nek, amelynek S valódi részhalmaza. Ez ellentmond az S maximalitásának.  1.4.5. Tétel. Ha V véges dimenziós unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilberttérben, és H 6= {0}, akkor létezik a V irreducibilis unitér részábrázolásainak olyan (Vi )i∈I véges rendszere, amelyre ⊕ Vi unitér ekvivalens V -vel. i∈I

Bizonyítás. Először megjegyezzük, hogy ha H ⊆ H nem nulladimenziós V -invariáns lineáris altere H -nak, akkor létezik olyan L ⊆ H lineáris altér, amely V -invariáns és a V |L unitér részábrázolás irreducibilis. Valóban, a H véges dimenzióssága miatt a H által tartalmazott, nem nulladimenziós V -invariáns lineáris alterek között létezik legkisebb dimenziójú. Ha L ilyen, akkor V |L nyilvánvalóan geometriailag irreducibilis unitér részábrázolás. Jelölje S azon S ⊆ P(H ) halmazok halmazát, amelyekre teljesülnek a következők:

a) minden H ∈ S esetén a H olyan V -invariáns lineáris altere H -nak, hogy a V |H unitér részábrázolás irreducibilis; b) minden H, H ′ ∈ S esetén, ha H 6= H ′ , akkor H⊥H ′ .

Az S halmaz a ⊆ relációval ellátva nyilvánvalóan induktívan rendezett halmaz, és a bizonyítás első bekezdése alapján világos, hogy létezik olyan H ⊆ H lineáris altér, amely V -invariáns és V |H irreducibilis, tehát {{H}} ∈ S, így S 6= ∅. Ezért a Kuratowski-Zorn lemma alapján létezik maximális eleme ennek a rendezett halmaznak; legyen S ∈ S egy maximális elem. Ekkor az S-re vonatkozó a) feltétel alapján (V |H)H∈S a V irreducibilis unitér részábrázolásainak véges rendszere. 28

Megmutatjuk, hogy ⊕ (V |H) unitér ekvivalens V -vel. Ehhez pontosan azt igazolni, hogy

X

H∈S

H = H (1.4.3.). Indirekt bizonyítunk, tehát feltesszük, hogy

H∈S

Ekkor

X

H∈S

olyan L ⊆

H

!⊥

X

H∈S

X

H∈S

H 6= H .

nem nulladimenziós V -invariáns lineáris altere H -nak, így vehetünk

H

!⊥

lineáris alteret, amelyre V |L irreducibilis. Ekkor minden H ∈ S

esetén L⊥H, ezért S ∪ {L} olyan eleme S-nek, amelynek S valódi részhalmaza. Ez viszont ellentmond az S maximalitásának.  Megjegyezzük, hogy az előző tétel igazolható a H véges dimenziós Hilbert-tér dimenziója szerinti teljes indukcióval is úgy, hogy nem hivatkozunk a Kuratowski-Zorn lemmára. Vigyázzunk arra, hogy nem minden (végtelen dimenziós) unitér ábrázolás állítható elő irreducibilis unitér ábrázolások Hilbert-összegeként. A következő példában egy nevezetes unitér ábrázolást találunk (baloldali reguláris ábrázolást), amely nem bontható fel irreducibilis unitér ábrázolásokra. Példa. Tekintsük Z-t, vagyis az egész számok additív csoportját. Legyen R a Z véges részhalmazainak halmazgyűrűje, µ : R → R+ a számláló mérték, és H := LC2 (Z, R, µ). Ekkor H felett a k · kµ,2 félnorma norma lesz, mert a Z-nek csak az üres részhalmaza µ-nullahalmaz. Ezért H a k · kµ,2 normával ellátva Hilbert-tér. Minden n ∈ Z és ζ ∈ H esetén a Z → C; m 7→ ζ(m − n) leképezés nyilvánvalóan eleme H -nak; jelölje ezt az elemet V (n)ζ. Ilymódon minden Z ∋ n-hez egy V (n) : H → H függvényt rendeltünk. Könnyen ellenőrizhető, hogy V unitér ábrázolása a Z csoportnak a H Hilbert-térben. Megmutatjuk, hogy nem létezik H -ban egy dimenziós V -invariáns lineáris altér, tehát V -nek nincs irreducibilis unitér részábrázolása. (Ezért aztán V nem állítható elő irreducibilis unitér ábrázolások Hilbert-összegeként.) Az állítással ellentétben tegyük fel, hogy ζ ∈ H olyan vektor, amelyre ζ 6= 0 és a Cζ lineáris altér V -invariáns. Ekkor kiválaszthatunk olyan χ : Z → U függvényt, amelyre minden n ∈ Z esetén V (n)ζ = χ(n)ζ, vagyis minden Z ∋ m-re ζ(m − n) = χ(n)ζ(m). Ebből látható, hogy minden m, m′ ∈ Z esetén |ζ(m)| = |ζ(m′)|, következésképpen X

m∈Z

2

|ζ(m)| =

Z

∗

Z

miatt ζ = 0, ami ellentmondás.

29

|ζ|2 dµ < +∞

1.5.

Csoport algebrai duálisa

1.5.1. Állítás. Minden G csoporthoz létezik olyan κ halmaz, hogy a G minden ciklikus unitér ábrázolásának Hilbert-dimenziója kisebb-egyenlő számosságú κ-nál. Bizonyítás. Legyen V ciklikus unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-térben. Legyen ζ ∈ H egy V -ciklikus vektor és H0 := span{V (s)ζ|s ∈ G}. Ekkor a C(N) × GN → H0 ;

((zn )n∈N , (sn )n∈N ) 7→

X

zn V (sn )ζ

n∈N

leképezés nyilvánvalóan szürjektív, ezért H0 kisebb-egyenlő számosságú a C(N) × GN halmaznál. Jelölje C a H0 -ban haladó, H -ban konvergens sorozatok halmazát. Ekkor H = H0 miatt a C → H ; (ζn )n∈N 7→ n→∞ lim ζn leképezés szürjektív. Ezért a H halmaz kisebb-egyenlő számosságú C-nél, tehát a H0N N halmaznál is. Ebből következik, hogy a κ := C(N) × GN halmaz nagyobb-egyenlő számosságú a H -nál, így a H Hilbert-dimenziójánál is.  1.5.2. Tétel. Legyen G csoport. Létezik olyan X halmaz, amelyre teljesülnek a következő állítások. a) X minden eleme a G csoportnak irreducibilis unitér ábrázolása, és minden V, V ′ ∈ X esetén, ha V 6= V ′ , akkor V és V ′ nem unitér ekvivalensek (ilyenkor azt is mondjuk, hogy ezek unitér inekvivalensek). b) A G csoport minden V irreducibilis unitér ábrázolásához létezik olyan V ′ ∈ X, hogy V és V ′ unitér ekvivalensek. Ha X ′ szintén olyan halmaz, amelyrea) ésb) teljesül (X helyére X ′ -t téve), akkor minden V ∈ X esetén létezik egyetlen olyan π(V ) ∈ X ′ , hogy V és π(V ) unitér ekvivalensek; az így értelmezett π : X → X ′ leképezés bijekció. Bizonyítás. Legyen κ olyan halmaz, hogy a G minden ciklikus unitér ábrázolásának Hilbert-dimenziója kisebb-egyenlő számosságú κ-nál. Legyen K olyan Hilbert-tér, amelynek Hilbert-dimenziója egyenlő a κ számosságával. Ilyen például az L2C (κ, R, µ) Hilbert-tér, ahol R a κ véges részhalmazainak halmazgyűrűje és µ : R → R+ a számlálómérték. Jelölje X a G csoport azon V irreducibilis unitér ábrázolásainak halmazát, amelyek ábrázolási tere a K Hilbert-térnek zárt lineáris altere. Az unitér ekvivalencia reláció az X halmaz felett ekvivalencia-reláció, így a kiválasztási axióma szerint vehetjük ennek egy X teljes reprezentánshalmazát. Ekkor az X halmazra teljesül a) és az, hogy ha V a G csoportnak olyan irreducibilis unitér ábrázolása, amelynek ábrázolási tere K -nak 30

zárt lineáris altere, akkor létezik olyan V ′ ∈ X, hogy V és V ′ unitér ekvivalensek.

Az X halmaz a b) tulajdonsággal is rendelkezik. Ennek bizonyításához legyen V a G csoportnak tetszőleges irreducibilis unitér ábrázolása a H Hilbert-térben. Ekkor V ciklikus unitér ábrázolás, így a H Hilbert-dimenziója kisebb-egyenlő számosságú κ-nál, ezért létezik W : H → K izometria. Ekkor Im(W ) zárt lineáris altere K -nak, és a W ◦ V (·) ◦ W −1 leképezés olyan unitér ábrázolása G-nek, amelynek ábrázolási tere Im(W ), és amely a W által unitér ekvivalens V -vel. Tehát W ◦ V (·) ◦ W −1 ∈ X, így van olyan eleme X-nek, amely unitér ekvivalens W ◦ V (·) ◦ W −1 -gyel, tehát V -vel is unitér ekvivalens. Legyen X ′ szintén olyan halmaz, amelyre a) és b) teljesül, ha X helyére X ′ -t teszünk. Ha V ∈ X, akkor az X ′ -re vonatkozó b) feltétel alapján van olyan V ′ ∈ X ′ , hogy V és V ′ unitér ekvivalensek; továbbá, ha V ′′ ∈ X ′ szintén olyan, hogy V és V ′′ unitér ekvivalensek, akkor V ′ és V ′′ egymással is unitér ekvivalensek, így az X ′ -re vonatkozó a) feltétel alapján V ′ = V ′′ . Tehát jól értelmezett az a π : X → X ′ függvény, amely minden X ∋ V -hez azt az egyetlen X ′ ∋ V ′ -t rendeli, amelyre V és V ′ unitér ekvivalensek.

Ha V1 , V2 ∈ X és π(V1 ) = π(V2 ), akkor V1 és V2 unitér ekvivalensek, így az X-re vonatkozó a) feltétel alapján V1 = V2 , vagyis π injektív. Ha V ′ ∈ X ′ , akkor V ′ irreducibilis unitér ábrázolása G-nek, tehát az X-re vonatkozó b) feltétel alapján van olyan V ∈ X, hogy V és V ′ unitér ekvivalensek; ekkor π(V ) = V ′ , vagyis π ráképez X ′ -re. Ez azt jelenti, hogy π bijekció X és X ′ között. 

1.5.3. Definíció. A G csoport algebrai duálisának nevezünk minden olyan X halmazt, amelyre teljesülnek az előző állítása) ésb) feltételei. Ha G csoport, akkor G-nek általában nem egyetlen algebrai duálisa létezik, de a tétel alapján bármely két algebrai duálisa kitüntetett módon azonosítható egymással, tehát G-nek lényegében egyetlen algebrai duálisa létezik. Ezért beszélünk a G algebrai duálisáról és azt G-mal jelöljük. Bizonyos csoportoknak léteznek kitüntetett algebrai duálisai. Például, ha G kommutatív csoport, akkor a G unitér karaktereinek halmaza a G algebrai duálisának tekinthető.

1.6.

Triviális véges dimenziós unitér ábrázolásokkal rendelkező csoportok

Most megmutatjuk, hogy léteznek olyan csoportok, amelyek minden véges dimenziós unitér ábrázolása triviális, tehát minden csoportelemet az identikus operátor reprezentál.

31

1.6.1. Jelölés. Ha G csoport, akkor GF jelöli azon s ∈ G elemek halmazát, amelyekre teljesül az, hogy a G minden véges dimenziós unitér ábrázolása az s csoportelemet az identikus operátorral reprezentálja. Legyen G csoport. Ekkor a GF nyilvánvalóan invariáns részcsoport G-ben, és két szélső eset lehetséges. – GF = {eG }; ez azt jelenti, hogy minden s ∈ G esetén, ha s 6= eG , akkor létezik G-nek olyan V véges dimenziós unitér ábrázolása, amelyre V (s) nem az identikus operátor. Tehát ekkor a G véges dimenziós unitér ábrázolásai szétválasztják a G elemeit. – GF = G; ez azt jelenti, hogy a G minden véges dimenziós unitér ábrázolása triviális. Tehát ekkor a G minden nemtriviális unitér ábrázolása szükségképpen végtelen dimenziós. Most megadunk egy elégséges feltételt ahhoz, hogy egy G csoport eleme GF -hez tartozzon. Előtte megjegyezzük, hogy ha A egységelemes C ∗ -algebra és a ∈ A olyan normális elem, amelyre Sp(a) ⊆ {1}, akkor a = 1. Valóban, ekkor az Sp(a) → C identikus függvény és az Sp(a) → C azonosan 1 függvény egyenlők, tehát ha Ca a folytonosfüggvény-számító operátor, akkor a = Ca (idSp(a) ) = Ca (1Sp(a) ) = 1 ([19, 18.4.3.]). 1.6.2. Lemma. (Wigner-Neumann lemma) Legyen G csoport és s ∈ G. Ha minden j ∈ N+ esetén van olyan k ∈ N+ és t ∈ G, hogy sjk = tst−1 , akkor s ∈ GF . Bizonyítás. (I) Először megmutatjuk, hogy ha H véges dimenziós Hilbert-tér, H 6= {0}, és az U ∈ U(H ) unitér operátorra teljesül az, hogy minden j ∈ N+ esetén van olyan k ∈ N+ és W ∈ GL(H ), hogy U jk = W UW −1 , akkor Sp(U) ⊆ {1}, tehát U = idH .

A feltevés alapján kiválasztható olyan (nj )j∈N szigorúan monoton növő sorozat N+ -ban, amelyre teljesül az, hogy minden j ∈ N esetén létezik olyan W ∈ GL(H ), amelyre U nj = W UW −1 . Legyen z ∈ Sp(U) rögzített elem. Minden j ∈ N esetén Sp(U nj ) = Sp(U) és Sp(U nj ) = {w nj |w ∈ Sp(U)}, ezért z nj ∈ Sp(U). Az Sp(U) halmaz véges, ezért van olyan j ∈ N, hogy z nj = z nj+1 , tehát az m := nj+1 − nj ∈ N+ számra z m = 1.

Tehát minden z ∈ Sp(U) esetén van olyan m ∈ N+ , hogy z m = 1. Ismét az Sp(U) halmaz végességéből következik olyan m ∈ N+ létezése, hogy minden Sp(U) ∋ z-re z m = 1. A hipotézis alapján vehetünk olyan k ∈ N+ számot és W ∈ GL(H ) operátort, hogy U mk = W UW −1 . Ekkor Sp(U mk ) = {z mk |z ∈ Sp(U)} ⊆ {1}, ugyanakkor Sp(U mk ) = Sp(U), így Sp(U) ⊆ {1}.

(II) Legyen s olyan eleme a G csoportnak, hogy minden j ∈ N+ esetén van olyan k ∈ N+ és t ∈ G, hogy sjk = tst−1 . Legyen V a G csoportnak véges dimenziós unitér ábrázolása a H Hilbert-térben. Ekkor V (s) ∈ U(H ) unitér operátor, és ha j ∈ N, akkor van olyan 32

k ∈ N+ és t ∈ G, hogy sjk = tst−1 , így V (s)jk = V (t)V (s)V (t)−1 . Ezért az (I) alapján V (s) = idH , vagyis s ∈ GF .  1.6.3. Állítás. Ha K nulla karakterisztikájú test, akkor (SL(2, K))F = SL(2, K), vagyis az SL(2, K) csoport minden véges dimenziós unitér ábrázolása triviális. Bizonyítás. Ha a ∈ K és j ∈ N+ , akkor 1 a 0 1 1 0 a 1

j2

j 0 0 j −1

1 a 0 1

j 0 0 j −1

−1

=

j −1 0 0 j

1 0 a 1

j −1 0 0 j

−1

=

j2

,

,

ezért a Wigner-Neumann lemma szerint 1 a , 0 1

1 0 ∈ (SL(2, K))F . a 1

Legyenek most a, b, c, d ∈ K olyanok, hogy c 6= 0 és ad − bc = 1, vagyis a b ∈ SL(2, K). c d Ekkor az előzőek alapján 1 (a − 1)c−1 a b = 0 1 c d

1 (d − 1)c−1 ∈ (SL(2, K))F , 0 1

1 0 c 1

hiszen SL(2, K)F részcsoport SL(2, K)-ban. Végül, ha a, b, d ∈ K és ad = 1, vagyis a b ∈ SL(2, K), 0 d akkor d 6= 0, így nyilvánvalóan fennáll az −b a a b = −d 0 0 d

0 −1 ∈ (SL(2, K))F 1 0

összefüggés, tehát (SL(2, K))F = SL(2, K).  Ez a példa azt mutatja, hogy léteznek olyan nemtriviális csoportok, amelyeknek 33

csak triviális véges dimenziós unitér ábrázolásai vannak; ilyen például az SL(2, R) és az SL(2, C) csoport. Azonban ilyen csoportnak még létezhetnek nemtriviális végtelen dimenziós unitér ábrázolásai, és nemtriviális véges dimenziós nem unitér lineáris ábrázolásai. Például az SL(2, C) csoport önábrázolása nemtriviális, kétdimenziós, nem unitér ábrázolása a csoportnak. Ugyanakkor a 6. pontban igazolni fogjuk a Gelfand– Rajkov-tételt, amely szerint az SL(2, R) és az SL(2, C) csoportnak olyan sok végtelen dimenziós irreducibilis unitér ábrázolása van, hogy azok szétválasztják a csoport elemeit. Továbbá azt is látni fogjuk az 5. fejezetben, hogy ezeknek a csoportoknak létezik hű (azaz injektív) unitér ábrázolása, amely természetesen szintén végtelen dimenziós.

34

2. fejezet Topologikus csoportok és folytonos ábrázolások 2.1.

Csoport-topológiák tulajdonságai

2.1.1. Definíció. Legyen G csoport. Egy G feletti T topológiát csoport-topológiának mondunk, ha teljesülnek rá az alábbiak. (GTI ) A pG : G×G → G; (s, t) 7→ st csoport-szorzás folytonos a T ×T és T topológiák szerint. (GTII ) Az iG : G → G; s 7→ s−1 csoport-inverzió folytonos a T és T topológiák szerint. A (G, T ) párt topologikus csoportnak nevezzük, ha G csoport és T csoport-topológia G felett. Azt mondjuk, hogy a (G, T ) topologikus csoport szeparált, ha T Hausdorfftopológia. A szokásos jelölési konvenciónak megfelelően a topologikus csoportokat rendszerint egyetlen szimbólummal, a benne szereplő csoport jelével jelöljük, ha ez nem vezet félreértésre. Megjegyzések. 1) Ha G topologikus csoport, akkor minden s ∈ G esetén a γG (s), δG (s) és IntG (s) függvények homeomorfizmusok, mert – γG (s) = pG (s, ·) folytonos a (GTI ) alapján, valamint és (γG (s))−1 = γG (s−1 );

– δG (s) = iG ◦ γG (s) ◦ iG folytonos az előző állítás és a (GTII ) alapján, valamint (δG (s))−1 = δG (s−1 ); – IntG (s) = γG (s) ◦ δG (s) folytonos az előző állítások alapján, ugyanakkor (IntG (s))−1 = IntG (s−1 ). Ebből következik, hogy egy csoport-topológiát egyértelműen meghatározza a neutrális 35

elem valamely környezetbázisa. 2) Ha G csoport, akkor A, B ⊆ G esetén az AB := { ab | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B) }, A−1 := { a−1 | a ∈ A }

jelöléseket alkalmazzuk. Ha G topologikus csoport, akkor A, B ⊆ G esetén A B ⊆ AB, A

−1

= A−1 .

Valóban, pG folytonossága és A × B = A × B miatt A B := pG hA × Bi = pG hA × Bi ⊆ pG hA × Bi =: AB. (Itt felhasználtuk azt, hogy ha X, Y topologikus terek és f : X → Y folytonos függvény, akkor minden E ⊆ X halmazra f hEi ⊆ f hEi.) Továbbá, iG homeomorfizmus, mert i−1 = iG és iG folytonos. Ezért az iG függvény lezárás-tartó, tehát G A

−1

:= iG hAi = iG hAi =: A−1 .

Ebből látható, hogy ha G topologikus csoport és A ⊆ G részcsoport, akkor A is részcsoport, mert eG ∈ A ⊆ A, valamint AA−1 ⊆ A miatt A(A)−1 = A A−1 ⊆ AA−1 ⊆ A. 3) Ha G csoport, akkor egy G feletti T topológia pontosan akkor csoport-topológia, ha teljesül rá a következő feltétel. (GT) A dG : G × G → G; (s, t) → s−1 t csoport-osztás folytonos a T × T és T topológiák szerint. Valóban, dG = pG ◦ (iG × idG ), tehát, ha T csoport-topológia G felett, akkor a (GTI ) és (GTII ) szerint dG folytonos a T ×T és T topológiák szerint. Megfordítva, iG = dG (·, eG ), és pG = dG ◦ (iG × idG ), tehát, ha dG folytonos a T × T és T topológiák szerint, akkor (GTII ) és (GTI ) teljesül. 4) Ha G topologikus csoport és Ω ⊆ G nyílt halmaz, illetve F ⊆ G zárt halmaz, akkor minden G ∋ s-re sΩ, Ωs és sΩs−1 nyílt halmazok, valamint sF , F s és sF s−1 zárt halmazok. Ez az 1) megjegyzésből következik. 5) Legyen G topologikus csoport és V környezete eG -nek. A csoport-inverzió homeomorfizmus és eG -hez eG -t rendeli, így V −1 is környezete eG -nek, és az U := V ∩ V −1 halmaz 36

nyilvánvalóan olyan környezete eG -nek, amelyre U = U −1 (az ilyen tulajdonságú halmazokat szimmetrikusaknak nevezzük). Tehát topologikus csoportban a neutrális elem szimmetrikus környezetei környezetbázist alkotnak. 6) Ha G szeparált topologikus csoport, K ⊆ G kompakt halmaz és F ⊆ G zárt halmaz, akkor KF és F K zárt halmazok. Valóban, legyen (si )i∈I tetszőleges olyan KF -ben haladó általánosított sorozat, amely konvergál az s ∈ G elemhez. Ekkor kiválaszthatók olyan K-ban haladó (ki )i∈I és F -ben haladó (fi )i∈I általánosított sorozatok, hogy minden i ∈ I esetén si = ki fi . A K halmaz kompaktsága miatt létezik olyan I ′ felfelé irányított előrendezett halmaz és olyan σ : I ′ → I monoton növő függvény, hogy Im(σ) kofinális I-vel és a (kσ(i′ ) )i′ ∈I ′ általánosított sorozat konvergál egy k ∈ G pont−1 hoz. A (GTII ) miatt k −1 = lim kσ(i ′ ) , továbbá s = lim kσ(i′ ) fσ(i′ ) , így a (GTI ) alapján ′ ′ ′ ′ i ,I

−1

k s = lim ′ ′ i ,I

−1 kσ(i ′ ) kσ(i′ ) fσ(i′ )

i ,I

. Ebből következik, hogy az (fσ(i′ ) )i′ ∈I ′ általánosított sorozat

konvergens G-ben, és ha f := lim fσ(i′ ) , akkor teljesül a k −1 s = f egyenlőség. A K és F ′ ′ i ,I

halmaz zárt, ezért k ∈ K és f ∈ F , így s = kf ∈ KF , ami azt jelenti, hogy KF zárt halmaz. 2.1.2. Tétel. Legyen G csoport. Ha T csoport-topológia G felett és B az eG -nek környezetbázisa T szerint, akkor B-re teljesülnek a következők. (GVI ) Minden U ∈ B esetén van olyan V ∈ B, hogy V V ⊆ U.

(GVII ) Minden U ∈ B esetén van olyan V ∈ B, hogy V −1 ⊆ U.

(GVIII ) Minden s ∈ G és U ∈ B esetén van olyan V ∈ B, hogy sV s−1 ⊆ U.

Megfordítva, ha B olyan rács, amelynek minden eleme eG -t tartalmazó részhalmaz G-ben, és teljesülnek B-re a (GVI ), (GVII ) és (GVIII ) feltételek, akkor létezik egyetlen olyan G feletti T csoport-topológia, amely szerint B az eG -nek környezetbázisa. Bizonyítás. Legyen T olyan csoport-topológia G felett, amely szerint B az eG -nek környezetbázisa. A (GTI ) alapján a csoport-szorzás folytonos az (eG , eG ) pontban a T × T és T topológiák szerint, ezért (GVI ) teljesül. A (GTII ) alapján az inverziófüggvény folytonos az eG pontban a T topológia szerint, ezért (GVII ) teljesül. Az 1) megjegyzés alapján minden s ∈ G esetén az IntG (s) függvény folytonos az eG pontban a T topológia szerint, így (GVIII ) is teljesül. Tegyük fel, hogy B olyan rács, amelynek minden eleme eG -t tartalmazó részhalmaz Gben, és teljesülnek B-re a (GVI ), (GVII ) és (GVIII ) feltételek. Legyen T := {Ω ⊆ G | (∀s ∈ Ω)(∃U ∈ B) : sU ⊆ Ω}. Nyilvánvaló, hogy T topológia G felett, hiszen B rács. Megmutatjuk, hogy T olyan csoport-topológia G felett, amely szerint B az eG -nek környezetbázisa. Először is megjegyezzük, hogy ha V az eG -nek környezete T szerint, és Ω ∈ T 37

olyan, hogy eG ∈ Ω ⊆ V , akkor a T definíciója alapján van olyan U ∈ B, amelyre U = eG U ⊆ Ω, így U ⊆ V . Ezért, ha a B minden eleme az eG -nek környezete volna T szerint, akkor B az eG -nek környezetbázisa lenne a T topológia szerint. Legyen V ∈ B rögzítve, és értelmezzük az Ω := {s ∈ G|(∃U ∈ B) : sU ⊆ V } halmazt. Nyivánvaló, hogy V ∈ B és eG V = V miatt eG ∈ Ω, továbbá Ω ⊆ V , hiszen ha s ∈ Ω és U ∈ B olyan, hogy sU ⊆ V , akkor eG ∈ U miatt s ∈ sU, vagyis s ∈ V . Megmutatjuk, hogy Ω ∈ T , amiből következik, hogy V környezete eG -nek a T topológia szerint. Ehhez legyen s ∈ Ω, és vegyünk olyan U ∈ B halmazt, amelyre sU ⊆ V . A (GVI ) alapján létezik olyan W ∈ B, hogy W W ⊆ U. Ekkor sW ⊆ Ω, hiszen ha t ∈ sW , akkor tW ⊆ sW W ⊆ sU ⊆ V , így t ∈ Ω. Ez azt jelenti, hogy Ω ∈ T és eG ∈ Ω ⊆ V , tehát V környezete eG -nek a T topológia szerint. Ezzel igazoltuk azt, hogy B az eG -nek környezetbázisa a T topológia szerint. Most megmutatjuk, hogy ha Ω ∈ T és s ∈ G, akkor sΩ ∈ T . Valóban, ha t ∈ sΩ, vagyis s−1 t ∈ Ω, és U ∈ B olyan, hogy s−1 tU ⊆ Ω, akkor tU ⊆ sΩ, így sΩ ∈ T . Ez azt jelenti, hogy minden s ∈ G esetén a γG (s) függvény homeomorfizmus a T topológia szerint, tehát az {sU|U ∈ B} halmaz e topológia szerint környezetbázisa s-nek.

Legyenek s0 , t0 ∈ G; megmutatjuk, hogy a csoport-szorzás folytonos az (s0 , t0 ) pontban a T × T és T topológiák szerint. Az előző bekezdés alapján elegendő azt igazolni, hogy U ∈ B esetén van olyan V ∈ B halmaz, amelyre pG h(s0 V ) × (t0 V )i = (s0 V )(t0 V ) ⊆ (s0 t0 )U. Ehhez a (GVI ) alkalmazásával vegyünk olyan W ∈ B halmazt, amelyre W W ⊆ U. Ezután a (GVIII ) felhasználásával vegyünk olyan W ′ ∈ B halmazt, ′ amelyre t−1 Ha V ∈ B olyan halmaz, hogy V ⊆ W ∩ W ′ , akkor 0 W t0 ⊆ W . −1 ′ (s0 V )(t0 V ) = (s0 t0 )(t0 V t0 )V ⊆ (s0 t0 )(t−1 0 W t0 )W ⊆ (s0 t0 )W W ⊆ (s0 t0 )U.

Legyen s0 ∈ G; megmutatjuk, hogy a csoport-inverzió folytonos az s0 pontban a T topológia szerint. Elegendő azt igazolni, hogy U ∈ B esetén van olyan V ∈ B halmaz, amelyre iG hs0 V i = (s0 V )−1 ⊆ s−1 0 U. Ehhez a (GVII ) alkalmazásával vegyünk olyan −1 W ∈ B halmazt, amelyre W ⊆ U, vagyis W ⊆ U −1 . Ezután a (GVIII ) felhasználásával −1 −1 vegyünk olyan V ∈ B halmazt, amelyre s0 V s−1 s0 ⊆ W −1 ⊆ U. 0 ⊆ W , vagyis s0 V −1 −1 −1 −1 Ekkor (s0 V ) = V s0 ⊆ s0 U.

Ezzel beláttuk, hogy T olyan csoport-topológia G felett, amely szerint B az eG -nek környezetbázisa. A T egyértelműsége abból következik, hogy csoport-topológiát a neutrális elem környezetei egyértelműen meghatároznak.  2.1.3. Állítás. Minden topologikus csoport reguláris topologikus tér. Bizonyítás. Legyen G topologikus csoport és U környezete eG -nek. Legyen V olyan szimmetrikus környezete eG -nek, amelyre V V ⊆ U; állítjuk, hogy V ⊆ U. Valóban, ha s ∈ V , akkor (sV ) ∩ V 6= ∅, hiszen sV környezete s-nek, továbbá t ∈ (sV ) ∩ V esetén s = t(s−1 t)−1 ∈ V V −1 ⊆ U. Tehát a neutrális elemnek létezik zárt halmazokból álló környezetbázisa. Ebből következik, hogy a G minden pontjának létezik zárt halmazokból álló környezetbázisa, tehát G topológiája reguláris.  38

2.1.4. Következmény. Ha G topologikus csoport és B az eG -nek környezetbázisa GT ben, akkor V = {eG }. V ∈B

Bizonyítás. Ha V ∈ B, akkor az előző állítás szerint van olyan W zárt környezete eG -nek, T hogy W ⊆ V ; ekkor {eG } ⊆ W = W ⊆ V . Ebből következik, hogy {eG } ⊆ V. V ∈B

/ sW , azaz s−1 ∈ / W. Legyen s ∈ G\{eG }; ekkor van olyan W környezete eG -nek, hogy eG ∈ −1 A W ∩ W halmaz az eG -nek környezete, tehát van olyan V ∈ B, hogy V ⊆ W ∩ W −1 . Ekkor s ∈ / V , különben s−1 ∈ V −1 ⊆ W , ami ellentmond annak, hogy s−1 ∈ / W . Ez azt T jelenti, hogy V ⊆ {eG }.  V ∈B

2.1.5. Állítás. (Topologikus csoport szeparáltságának kritériuma) Ha G topologikus csoport, akkor a következő állítások ekvivalensek. (i) A G topologikus tér T2 -tér. (ii) A G topologikus tér T1 -tér. (iii) A G topologikus tér T0 -tér. (iv) Az {eG } halmaz zárt G-ben.

(v) Az eG minden B környezetbázisára G-ben

T

V ∈B

V = {eG }.

(v′ ) Az eG -nek létezik olyan B környezetbázisa G-ben, amelyre

T

V ∈B

V = {eG }.

Bizonyítás. Az (i)⇒(ii) és (ii)⇒(iii) következtetések tetszőleges G topologikus térre igazak. (iii)⇒(iv) Legyen s ∈ G \ {eG } rögzített. A (iii) miatt létezik olyan U környezete eG nek, amelyre s ∈ / U, vagy létezik olyan U környezete eG -nek, amelyre eG ∈ / sU. Az első esetben eG ∈ / sU −1 , azaz sU −1 ⊆ G \ {eG }, vagyis s belső pontja G \ {eG }-nek, mert U −1 az eG -nek környezete. A második esetben sU ⊆ G \ {eG }, vagyis s belső pontja G \ {eG }-nek. Tehát a G \ {eG } halmaz nyílt, így (iv) teljesül. (iv)⇒(v) Az előző következmény alapján az eG minden B környezetbázisára {eG }, tehát ha (iv) teljesül, akkor (v)⇒(v′ ) Nyilvánvaló.

T

V ∈B

V = {eG }.

T

V ∈B

V =

′ (v′ )⇒(i) Legyenek s1 , s2 ∈ G és s1 6= s2 , vagyis s−1 1 s2 6= eG . Az (v ) alapján van olyan U környezete eG -nek, hogy s−1 / U. Ha U-t így választjuk meg és V olyan környezete 1 s2 ∈ eG -nek, hogy V V −1 ⊆ U, akkor (s1 V ) ∩ (s2 V ) = ∅, hiszen s ∈ (s1 V ) ∩ (s2 V ) esetén −1 −1 −1 s−1 ∈ V V −1 ⊆ U, ami lehetetlen. Tehát s1 -nek és s2 -nek léteznek 1 s2 = (s1 s)(s2 s) diszjunkt környezetei, így G Hausdorff-tér. 

39

Példák (topologikus csoportokra). 1) Ha G tetszőleges csoport, akkor a G feletti diszkrét topológia nyilvánvalóan lokálisan kompakt csoport-topológia. Ugyanakkor világos, hogy tetszőleges csoport esetében az antidiszkrét topológia olyan csoport-topológia, amely nem szeparált, ha a csoport legalább két elemű. 2) Nyilvánvaló, hogy ha G topologikus csoport és H részcsoportja G-nek, akkor H a G topológiájának leszűkítésével ellátva szintén topologikus csoport. 3) Legyenek N és H topologikus csoportok, valamint τ : H → Aut(N) csoport-morfizmus. Ha a p : H × N → N; (h, n) 7→ τh (n) függvény a H × N feletti szorzattopológia szerint folytonos, akkor az N ⊗ H féldirekt τ szorzatcsoport az N × H feletti szorzattopológiával ellátva topologikus csoport.

Valóban, a pN ⊗ H csoport-szorzás folytonosságának bizonyításához azt kell megmutatni, hogy az

τ

((n, h), (n′ , h′ )) 7→ (nτh (n′ ), hh′ )

(N × H) × (N × H) → N × H;

függvény a szorzattopológiák szerint folytonos. Topologikus szorzattérbe vezető függvény pontosan akkor folytonos, ha a komponens-függvényei folytonosak, tehát éppen azt kell igazolni, hogy az ((n, h), (n′ , h′ )) 7→ nτh (n′ ),

α : (N × H) × (N × H) → N; β : (N × H) × (N × H) → H;

((n, h), (n′ , h′ )) 7→ hh′

függvények folytonosak, hiszen ezek a pN ⊗ H csoport-szorzás első, illetve második τ

komponens-függvényei. Vezessük be az

α′ : (N × H) × (N × H) → N × (H × N);

((n, h), (n′ , h′ )) 7→ (n, (h, n′ )),

β ′ : (N × H) × (N × H) → N × (H × N);

függvényeket. Nyilvánvaló, hogy

α = pN ◦ (idN × p) ◦ α′ ,

((n, h), (n′ , h′ )) 7→ (h, h′ )

β = pH ◦ β ′

teljesül, ezért a p, pN és pH folytonossága miatt elég azt igazolni, hogy α′ és β ′ folytonos függvények a szorzattopológiák szerint. Könnyen látható, hogy α′ első komponensfüggvénye és β ′ mindkét komponens-függvénye előáll projekciók kompozíciójaként, ezért ezek folytonos függvények. Az α′ második komponens-függvényének mindkét komponens-függvénye szintén előáll projekciók kompozíciójaként, ezért α′ második 40

komponens-függvénye is folytonos. Tehát α′ és β ′ folytonos függvények, így az N ⊗ H τ csoport-szorzása folytonos. Az iN ⊗ H csoport-inverzió folytonosságának bizonyításához azt kell megmutatni, hogy τ az N × H → N × H; (n, h) 7→ (τh−1 (n−1 ), h−1 )

függvény a szorzattopológiák szerint folytonos. Ennek első komponens-függvénye egyenlő a p ◦ e ◦ (iH × iN ) függvénnyel, ahol bevezettük az e : N × H → H × N; (n, h) 7→ (h, n) függvényt, amely homemorfizmus. A p, iH és iN függvények folytonosak, ezért a csoportinverzió első komponens-függvénye folytonos. A második komponens-függvénye pedig egyenlő a H inverziójának és az N × H második projekciójának kompozíciójával, tehát folytonos. Ezért az N ⊗ H csoport-inverziója is folytonos. τ

Megállapodunk abban, hogy ha N és H topologikus csoportok, valamint τ : H → Aut(N) csoport-morfizmus, és a H × N → N;

(h, n) 7→ τh (n)

függvény a H × N feletti szorzattopológia szerint folytonos, akkor az N ⊗ H féldirekt τ szorzatcsoportot az N × H feletti szorzattopológiával ellátva topologikus csoportnak tekintjük, és ezt a topologikus csoportot topologikus féldirekt szorzatnak nevezzük. Ha N és H lokálisan kompakt csoportok, és a H × N → N;

(h, n) 7→ τh (n)

függvény a H × N feletti szorzattopológia szerint folytonos, akkor az N ⊗ H topologikus τ féldirekt szorzat lokálisan kompakt csoport. Ilyenkor azt is mondjuk, hogy N ⊗ H τ lokálisan kompakt féldirekt szorzat. 4) Ha (Gi )i∈I topologikus csoportok tetszőleges rendszere, akkor a a szorzattopológiával ellátva topologikus csoport.

Y

Gi szorzatcsoport

i∈I

5) Legyen G csoport. Jelölje G◦ azt a csoportot, amelynek alaphalmaza egyenlő G-vel, és művelete egyenlő a pG ◦ cG függvénnyel, ahol cG : G × G → G × G; (s, t) 7→ (t, s). (Ezt a csoportot a G ellentett csoportjának nevezzük.) Ekkor G◦ olyan csoport, amelyre pG◦ = pG ◦ cG és iG◦ = iG , amiből látható, hogy minden G feletti csoporttopológia a G◦ felett is csoport-topológia, hiszen a cG függvény a szorzattopológia szerint homeomorfizmus. 6) Legyen N invariáns részcsoport a G csoportban, és jelölje B a G halmaz N-et tartalmazó részhalmazainak halmazát. Ekkor B olyan rács, amelynek minden eleme eG -t tartalmazó részhalmaz G-ben, és nyilvánvaló, hogy B-re teljesülnek a (GVI ), (GVII ) és (GVIII ) feltételek, így létezik egyetlen olyan G feletti csoport-topológia, amely szerint B 41

az eG -nek környezetbázisa. Ha N 6= {eG }, akkor ez a topológia nem szeparált. Világos, hogy a G feletti diszkrét (illetve antidiszkrét) topológia ennek az a speciális esete, amikor N = {eG } (illetve N = G).

7) Legyen A egységelemes Banach-algebra, és jelölje G(A) az A invertálható elemeinek multiplikatív csoportját. Ekkor G(A) az A topológiájának leszűkítésével ellátva szeparált topologikus csoport, és ha A véges dimenziós, akkor G(A) lokálisan kompakt csoport. Ennek a példának speciális esetei a következők. – Ha E Banach-tér, akkor az E → E folytonos lineáris operátorok L (E) algebrája az operátornormával ellátva egységelemes Banach-algebra, így G(L (E)) (= GL(E)), vagyis az E → E lineáris homeomorfizmusok csoportja felett az operátornorma által generált altértopológia csoport-topológia, amely pontosan akkor lokálisan kompakt, ha E véges dimenziós. – Ha E véges dimenziós vektortér K felett, akkor az L(E) operátoralgebra felett létezik olyan norma, amellyel ellátva L(E) egységelemes Banach-algebra, és bármely két ilyen norma ekvivalens, vagyis ugyanazt a topológiát generálja, hiszen az L(E) vektortér véges dimenziós; ezért a G(L(E)) (= GL(E)) csoport felett az adott norma által meghatározott altértopológia lokálisan kompakt csoport-topológia, és ez független az L(E) feletti norma választásától. A továbbiakban a GL(E) teljes lineáris csoportot mindig ezzel a topológiával ellátva lokálisan kompakt csoportnak tekintjük. – Ha n ∈ N, akkor az előző példa speciális esetét kapjuk az E := Kn választással; tehát a GL(Kn ) (= GL(n, K)) csoport kitüntetett topológiával ellátva lokálisan kompakt csoport. A továbbiakban a GL(n, K) teljes mátrixcsoportot mindig ezzel a topológiával ellátva lokálisan kompakt csoportnak tekintjük.

2.2.

Metrizálható topologikus csoportok

2.2.1. Definíció. A G csoport feletti d félmetrikát balinvariánsnak (illetve jobbinvariánsnak) nevezzük, ha minden t ∈ G esetén minden (s, s′ ) ∈ G × G párra d(ts, ts′ ) = d(s, s′ ) (illetve d(st, s′ t) = d(s, s′)). Az egyszerre balinvariáns és jobbinvariáns félmetrikákat invariánsaknak nevezzük. 2.2.2. Tétel. (Topologikus csoport félmetrizálhatósága) Ha G topologikus csoport, akkor a következő állítások ekvivalensek. (i) A G topologikus tér M1 -tér. (ii) A G neutrális elemének létezik megszámlálható környezetbázisa. (iii) Létezik olyan G feletti d balinvariáns (illetve jobbinvariáns) félmetrika, amely a G topológiáját generálja, és minden r ∈ R+ esetén a Br (eG ; d) gömb szimmetrikus halmaz, vagyis Br (eG ; d)−1 = Br (eG ; d). 42

(iv) A G topologikus tér félmetrizálható. Bizonyítás. Az (i)⇒(ii), (iii)⇒(iv) és (iv)⇒(i) következtetések nyilvánvalóak, ezért elég a (ii)⇒(iii) implikációt igazolni. A (ii)-ből következik olyan (Un )n∈N halmazsorozat létezése, amelyre {Un |n ∈ N} környezetbázisa eG -nek, és minden n ∈ N esetén Un−1 = Un , valamint fennáll az Un+1 Un+1 Un+1 ⊆ Un összefüggés. Minden N ∋ n-re legyen Rn := {(s, t) ∈ G × G | t−1 s ∈ Un }. Nyilvánvaló, hogy minden N ∋ n-re Rn olyan reflexív és szimmetrikus reláció G-ben, amelyre Rn+1 ◦ Rn+1 ◦ Rn+1 ⊆ Rn . Értelmezzük most a következő f : G × G → R+ függvényt: f := χ(G×G)\R0 +

∞ X

k=0

2−(k+1) χRk \Rk+1 .

Értelmezzük továbbá a  p−1 X

(s, t)7→ inf 

k=0

függvényt.

d : G × G → R+ ;

 

f (sk , sk+1 ) (p ∈ N+ ) ∧ ((sk )0≤k≤p ∈ Gp+1 ) ∧ (s0 = s) ∧ (sp = t)

A metrizációs lemma ([19, 2.1.4.]) szerint d olyan félmetrika G felett, amelyre teljesülnek a −1 (∀ε ∈ R+ )(∃n ∈ N) : Rn ⊆ d h] ←, ε[i, −1

(∀n ∈ N)(∃ε ∈ R+ ) : d h] ←, ε[i ⊆ Rn

kijelentések. Meg fogjuk mutatni, hogy d olyan balinvariáns félmetrika G felett, amely a G topológiáját generálja, és minden r ∈ R+ esetén a Br (eG ; d) gömb szimmetrikus halmaz. Ha (s, s′ ) ∈ G × G és t ∈ G, akkor az (s, s′ ) ∈ Rn állítás nyilvánvalóan ekvivalens azzal, hogy (ts, ts′ ) ∈ Rn . Ebből következik, hogy minden (s, s′ ) ∈ G × G és t ∈ G esetén f (ts, ts′ ) = f (s, s′ ). Ebből kapjuk, hogy a d félmetrika balinvariáns. Valóban, legyenek (s, s′ ) ∈ G × G és t ∈ G, továbbá vegyünk olyan p ∈ N+ számot és (sk )k∈p+1 ∈ Gp+1 rendszert, hogy s = s0 és s′ = sp . Ekkor (tsk )k∈p+1 ∈ Gp+1 olyan rendszer, amelyre ts = ts0 és ts′ = tsp , tehát d(ts, ts′ ) ≤

p−1 X

f (tsk , tsk+1 ) =

k=0

p−1 X

k=0

43

f (sk , sk+1).

Ebből a d definíciója szerint következik, hogy d(ts, ts′ ) ≤ d(s, s′ ). Ez tetszőleges (s, s′ ) ∈ G × G és t ∈ G esetén igaz, tehát ha (s, s′) ∈ G × G és t ∈ G, akkor felírva ezt az egyenlőtlenséget a (t−1 s, t−1 s′ ) ∈ G × G párra és a t ∈ G elemre kapjuk, hogy d(s, s′ ) ≤ d(ts, ts′ ), amiből következik, hogy d(ts, ts′ ) = d(s, s′).

Megmutatjuk, hogy a d által generált Td topológia megegyezik a G topológiájával. −1

Legyen ε ∈ R+ , és vegyünk olyan n ∈ N számot, amelyre Rn ⊆ d h] ←, ε[i. Ha s ∈ Un , akkor (s, eG ) ∈ Rn , tehát d(s, eG ) < ε. Ez azt jelenti, hogy Un ⊆ Bε (eG ; d), ezért a Bε (eG ; d) az eG -nek környezete G-ben. Megfordítva; legyen U környezete eG -nek a G topológiája szerint, és vegyünk olyan n ∈ N számot, amelyre Un ⊆ U. Legyen ε ∈ R+ −1

olyan, hogy d h] ←, ε[i ⊆ Rn . Ekkor s ∈ Bε (eG ; d) esetén d(s, eG ) < ε, így (s, eG ) ∈ Rn , ami azt jelenti, hogy s ∈ Un . Tehát Bε (eG ; d) ⊆ Un ⊆ U, vagyis U az eG -nek környezete a Td topológia szerint. Ezzel igazoltuk azt, hogy a {Bε (eG ; d)|ε ∈ R+ } halmaz az eG -nek környezetbázisa a G topológiája szerint, és persze a Td topológia szerint is az. Ha s ∈ G és ε ∈ R+ , akkor a d balinvarianciája miatt minden G ∋ t-re fennállnak a következő összefüggések t ∈ Bε (s; d) ⇔ d(t, s) < ε ⇔ d(s(s−1 t), seG ) < ε ⇔ d(s−1 t, eG ) < ε ⇔ ⇔ s−1 t ∈ Bε (eG ; d) ⇔ t ∈ sBε (eG ; d),

vagyis Bε (s; d) = sBε (eG ; d). Ebből látható, hogy minden s ∈ G esetén a {Bε (s; d)|ε ∈ R+ } halmaz az s-nek környezetbázisa a G topológiája szerint, és persze a Td topológia szerint is az. Ezért a G topológiája egyenlő a Td topológiával. Azt kell még igazolni, hogy r ∈ R+ esetén a Br (eG ; d) gömb szimmetrikus halmaz. Ez nyilvánvalóan következik abból, hogy a d balinvarianciája miatt minden G ∋ s-re fennállnak a következő összefüggések: s ∈ Bε (eG ; d) ⇔ d(s, eG ) < ε ⇔ d(seG , ss−1 ) < ε ⇔ ⇔ d(eG , s−1 ) < ε ⇔ s−1 ∈ Bε (eG ; d).

Ha minden n ∈ N esetén az Rn relációt úgy értelmezzük, hogy Rn := {(s, t) ∈ G×G|st−1 ∈ Un }, akkor az előző konstrukció olyan d jobbinvariáns G feletti félmetrikához vezet, amely a G topológiáját generálja, és minden r ∈ R+ esetén a Br (eG ; d) gömb szimmetrikus halmaz.  2.2.3. Tétel. (Topologikus csoport metrizálhatósága) Ha G topologikus csoport, akkor a következő állítások ekvivalensek. (i) A G topologikus tér M1 -tér és T2 -tér. (ii) A G neutrális elemének létezik olyan B megszámlálható környezetbázisa, amelyre T U = {eG }. U ∈B

44

(iii) Létezik olyan G feletti d balinvariáns (illetve jobbinvariáns) metrika, amely a G topológiáját generálja, és minden r ∈ R+ esetén a Br (eG ; d) nyílt gömb szimmetrikus halmaz. (iv) A G topologikus tér metrizálható. Bizonyítás. A topologikus csoportok szeparáltságának kritériuma szerint az (i)⇒(ii), (iii)⇒(iv) és (iv)⇒(i) következtetések ismét nyilvánvalóak. A (ii)⇒(iii) implikáció az előző tétel bizonyítása alapján igaz, mert az ott előállított d félmetrika metrika lesz, T T hiszen {eG } = Un miatt Rn = {(s, s)|s ∈ G}.  n∈N

2.3.

n∈N

Összefüggő topologikus csoportok

2.3.1. Állítás. Szeparált topologikus csoport minden lokálisan kompakt részcsoportja zárt. Lokálisan kompakt csoport zárt részcsoportjai megegyeznek a lokálisan kompakt részcsoportjaival. Bizonyítás. A második állítás következik az elsőből, és abból a nyilvánvaló tényből, hogy lokálisan kompakt térben a zárt halmazok lokálisan kompaktak. Legyen G szeparált topologikus csoport és H lokálisan kompakt részcsoportja G-nek. Legyen Ω ⊆ G olyan nyílt halmaz, amelyre H = H ∩ Ω ([19, 27.6.5.]). Ekkor s ∈ H esetén (sΩ) ∩ H 6= ∅, mert Ω nyílt környezete eG -nek. Ha t ∈ (sΩ) ∩ H, akkor s−1 t ∈ Ω −1 −1 és s−1 t ∈ H H ⊆ H H ⊆ H, mert H részcsoportja G-nek. Ez azt jelenti, hogy t ∈ (sΩ) ∩ H esetén s−1 t ∈ H ∩ Ω = H, tehát t−1 s ∈ H, így s = t(t−1 s) ∈ HH ⊆ H.  Megjegyezzük, hogy a G topologikus csoport H részcsoportja pontosan akkor nyílt, ha H belseje nem üres, hiszen ha s belső pontja H-nak és U az eG -nek olyan környezete, hogy sU ⊆ H, akkor minden t ∈ H esetén tU = (ts−1 )(sU) ⊆ (ts−1 )H ⊆ HH −1 H ⊆ H, így t is belső pontja H-nak. 2.3.2. Állítás. Topologikus csoport minden nyílt részcsoportja zárt részcsoport. Összefüggő topologikus csoportban az alaphalmaz az egyetlen nyílt részcsoport. Bizonyítás. A második állítás következik az elsőből. Legyen H nyílt részcsoport a G topologikus csoportban, és s ∈ H. Ekkor H környezete eG -nek, így sH környezete s-nek, tehát (sH) ∩ H 6= ∅. Ha t ∈ (sH) ∩ H, akkor s−1 t ∈ H, tehát t−1 s ∈ H −1 ⊆ H, így s = t(t−1 s) ∈ HH ⊆ H.  2.3.3. Állítás. Legyen G0 a neutrális elem összefüggő komponense a G topologikus csoportban. Ekkor G0 zárt invariáns részcsoport G-ben, és minden s ∈ G esetén sG0 egyenlő az s pont összefüggő komponensével. 45

Bizonyítás. Az iG inverzió folytonos függvény, ezért a Bolzano-tétel alapján a G−1 = 0 −1 −1 iG hG0 i halmaz összefüggő és eG ∈ G0 , így G0 ⊆ G0 . Ha s ∈ G0 , akkor az előző állítás szerint s−1 ∈ G0 , tehát eG = ss−1 ∈ sG0 , ugyanakkor γG (s) folytonos függvény, így a Bolzano-tétel alapján az sG0 = γG (s)hG0 i halmaz összefüggő. Ezért s ∈ G0 esetén sG0 ⊆ G0 . Ezzel megmutattuk, hogy G0 részcsoport G-ben, amely szükségképpen zárt, mert topologikus térben minden összefüggő komponens zárt halmaz. Ha s ∈ G, akkor az IntG (s) belső automorfizmus folytonos függvény, tehát a Bolzanotétel alapján az sG0 s−1 = IntG (s)hG0 i halmaz összefüggő, és természetesen eG ∈ sG0 s−1 , így sG0 s−1 ⊆ G0 . Ez azt jelenti, hogy G0 invariáns részcsoportja G-nek.

Ha s ∈ G, akkor a γG (s) : G → G függvény olyan homeomorfizmus, amely eG -t s-be viszi, ezért γG (s) az eG összefüggő komponensét az s pont összefüggő komponensébe viszi át, vagyis az sG0 halmaz egyenlő az s pont összefüggő komponensével.  2.3.4. Állítás. Ha G olyan lokálisan kompakt csoport, amelynek csak megszámlálható sok összefüggő komponense van, akkor G σ-kompakt. Bizonyítás. Először megmutatjuk, hogy ha G összefüggő lokálisan kompakt csoport, akkor G σ-kompakt. Ehhez legyen W az eG -nek kompakt környezete. Ekkor a W −1 halmaz is kompakt környezete eG -nek, tehát V := W ∩ W −1 szimmetrikus kompakt környezete eG -nek. Iterációval értelmezzük a (V (n) )n∈N halmazsorozatot úgy, hogy S V (0) := {eG } és minden n ∈ N esetén V (n+1) = V (n) V . Ekkor a V (∞) := V (n) halmaz n∈N

olyan részcsoportja G-nek, amelynek eG nyilvánvalóan belső pontja, tehát V (∞) nyílt részcsoport G-ben. Ebből a G összefüggősége folytán G = V (∞) következik. Ugyanakkor minden N ∋ n-re V (n) kompakt halmaz G-ben, igy a G topologikus tér σ-kompakt.

Ha G topologikus csoport, akkor G előáll az öszefüggő komponenseinek (diszjunkt) uniójaként, és a G minden összefüggő komponense sG0 alakú, ahol s ∈ G és G0 a neutrális elem öszefüggő komponense. Ha G lokálisan kompakt csoport, akkor a G0 halmaz σ-kompakt, hiszen ez összefüggő lokálisan kompakt csoport, ezért a G minden összefüggő komponense σ-kompakt halmaz. Ha tehát még az is teljesül, hogy G-nek csak megszámlálható sok összefüggő komponense van, akkor G σ-kompakt. 

2.4.

Egyenletes folytonosság

2.4.1. Definíció. Ha G és G′ topologikus csoportok, akkor egy f : G → G′ függvényt végtelenben eltűnőnek nevezünk, ha az eG′ minden V ′ környezetéhez van olyan K ⊆ G kompakt halmaz, hogy minden s ∈ G \ K esetén f (s) ∈ V ′ . Nyilvánvaló, hogy ha G és G′ topologikus csoportok, akkor minden olyan f : G → G′ függvény végtelenben eltűnő, amelyre az {s ∈ G|f (s) 6= eG′ } halmaz relatív kompakt. 46

2.4.2. Lemma. Legyenek G és G′ topologikus csoportok, valamint f : G → G′ folytonos végtelenben eltűnő függvény. Ekkor az eG′ minden V ′ környezetéhez van olyan V környe−1 ′ zete eG -nek, hogy minden s1 , s2 ∈ G esetén, ha s−1 1 s2 ∈ V , akkor f (s1 ) f (s2 ) ∈ V . Bizonyítás. Legyen V ′ az eG′ -nek környezete, és vegyünk olyan W ′ szimmetrikus környezetét eG′ -nek, amelyre W ′ W ′ ⊆ V ′ . Az f függvény végtelenben eltűnő, így W ′ höz választhatunk olyan K ⊆ G kompakt halmazt, amelyre minden s ∈ G \ K esetén f (s) ∈ W ′ . Minden G ∋ s-re az f függvény folytonos s-ben és f (s)W ′ környezete f (s)-nek G′ -ben, ezért kiválaszthatunk olyan (Ws )s∈K rendszert, hogy minden s ∈ K esetén Ws környezete eG -nek és f hsWs i ⊆ f (s)W ′ . Ekkor kiválaszthatunk olyan (Vs )s∈K rendszert, hogy minden s ∈ K esetén Vs szimmetrikus környezete eG -nek és Vs Vs ⊆ Ws , S Ekkor K ⊆ (sVs ), így K kompaktsága folytán vehetünk olyan S ⊆ K véges halmazt, s∈KS

amelyre K ⊆

s∈S

(sVs ).

Ha S = ∅, akkor K üres, így bármely s1 , s2 ∈ G esetén f (s1 ) ∈ W ′ és f (s2 ) ∈ W ′ , ezért f (s1 )−1 f (s2 ) ∈ (W ′ )−1 W ′ ⊆ V ′ . Tehát ekkor V := G olyan környezete eG -nek, amely eleget tesz a követelménynek. Tegyük fel, hogy S 6= ∅, és legyen V :=

T

s∈S

Vs . Megmutatjuk, hogy V olyan környezete

eG -nek, amely eleget tesz a követelménynek. Először tegyük fel, hogy az s1 , s2 ∈ G pontokra s−1 1 s2 ∈ V és s1 ∈ K. Ekkor K ⊆

S

s∈S

(sVs )

miatt vehetünk olyan s ∈ S pontot, amelyre s1 ∈ sVs . Világos, hogy Vs ⊆ Vs Vs ⊆ Ws , így s1 ∈ sWs , tehát f (s1 ) ∈ f hsWs i ⊆ f (s)W ′ , vagyis f (s)−1 f (s1 ) ∈ W ′ . Ugyanakkor s2 ∈ s1 V ⊆ sVs V ⊆ sVs Vs ⊆ sWs , következésképpen f (s2 ) ∈ f hsWs i ⊆ f (s)W ′, vagyis f (s)−1 f (s2 ) ∈ W ′ . Ebből kapjuk, hogy f (s1 )−1 f (s2 ) = f (s)−1 f (s1 )

−1

f (s)−1f (s2 ) ∈ (W ′ )−1 W ′ ⊆ V ′ .

Most tegyük fel, hogy az s1 , s2 ∈ G pontokra s−1 1 s2 ∈ V és s2 ∈ K. Ekkor a V −1 szimmetrikussága miatt s−1 s ∈ V = V és s ∈ K, így az előző bekezdés alapján 1 2 2 −1 ′ −1 ′ f (s2 ) f (s1 ) ∈ (W ) W , tehát f (s1 )−1 f (s2 ) = f (s2 )−1 f (s1 )

−1

∈ (W ′ )−1 W ′

−1

= (W ′ )−1 W ′ ⊆ V ′ .

Vegül, ha az s1 , s2 ∈ G pontokra s−1 / K és s2 ∈ / K2 teljesül, akkor f (s1 ) ∈ W ′ 1 s2 ∈ V , s1 ∈ ′ −1 ′ −1 ′ ′ és f (s2 ) ∈ W , tehát f (s1 ) f (s2 ) ∈ (W ) W ⊆ V .  A következő tétel előtt emlékeztetünk arra, hogy ha G topologikus csoport, akkor G◦ jelöli azt a topologikus csoportot, amelynek alaphalmaza, illetve topológiája egyenlő a G alaphalmazával, illetve topológiájával, és csoportművelete egyenlő a G×G → G; (s, t) 7→ ts leképezéssel. Ezt a G◦ topologikus csoportot a G topologikus csoport ellentettjének nevezzük. 47

2.4.3. Tétel. (A végtelenben eltűnő folytonos függvények egyenletes folytonossága) Legyenek G és G′ topologikus csoportok, valamint f : G → G′ folytonos végtelenben eltűnő függvény. Ekkor az eG′ minden V ′ környezetéhez van olyan V kör−1 nyezete eG -nek, hogy minden s1 , s2 ∈ G esetén, ha s−1 ∈ V , akkor 1 s2 ∈ V vagy s2 s1 −1 ′ −1 ′ f (s1 ) f (s2 ) ∈ V és f (s2 )f (s1 ) ∈ V . Bizonyítás. A G és G◦ (illetve G′ és (G′ )◦ ) topologikus csoportok alaphalmaza és topológiája ugyanaz. Ezért, ha f : G → G′ folytonos végtelenben eltűnő függvény, akkor f a G és (G′ )◦ (illetve G◦ és G′ , illetve G◦ és (G′ )◦ ) topologikus csoportok között is folytonos és végtelenben eltűnő függvény. Tehát, ha V ′ környezete eG′ -nek, akkor kihasználva azt, hogy a G és G◦ (illetve G′ és (G′ )◦ ) csoportokban az inverzió ugyanaz a függvény, az előző lemma alapján kapjuk, hogy: – van olyan Vss környezete eG -nek, amelyre s1 , s2 ∈ G és s−1 1 s2 ∈ Vss esetén −1 ′ f (s1 ) f (s2 ) ∈ V ;

– van olyan Vsd környezete eG -nek, amelyre s1 , s2 ∈ G és s−1 1 s2 ∈ Vsd esetén f (s2 )f (s1 )−1 ∈ V ′ ;

– van olyan Vds környezete eG -nek, amelyre s1 , s2 ∈ G és s2 s−1 ∈ Vds esetén 1 f (s1 )−1 f (s2 ) ∈ V ′ ;

– van olyan Vdd környezete eG -nek, amelyre s1 , s2 ∈ G és s2 s−1 ∈ Vdd esetén 1 −1 ′ f (s2 )f (s1 ) ∈ V .

Nyilvánvaló, hogy ekkor V := Vss ∩ Vsd ∩ Vds ∩ Vdd olyan környezete eG -nek, amelyre −1 −1 ′ teljesül az, hogy ha s1 , s2 ∈ G, és s−1 1 s2 ∈ V vagy s2 s1 ∈ V , akkor f (s1 ) f (s2 ) ∈ V és −1 ′ f (s2 )f (s1 ) ∈ V . 

2.5.

Folytonos topologikus ábrázolások

2.5.1. Definíció. Legyen G topologikus csoport és γ topologikus ábrázolása a G csoportnak az X topologikus térben. Azt mondjuk, hogy γ folytonos, ha a G × X → X;

(s, x) 7→ γ(s)x

függvény folytonos a G × X szorzattopológiája és az X topológiája szerint. Megjegyezzük, hogy ha V unitér ábrázolása a G topologikus csoportnak a H Hilberttérben, akkor V topologikus ábrázolása a G topologikus csoportnak a H topologikus térben, ezért az iménti definíció szerint a V unitér ábrázolás folytonossága már értelmezve van, és azt jelenti, hogy a G×H →H ;

(s, ζ) 7→ V (s)ζ 48

függvény folytonos a G × H szorzattopológiája és a H topológiája szerint.

Legyen G topologikus csoport és H részcsoportja G-nek. A G/H balodali mellékosztály-halmazt ellátjuk a G topológiájának πG/H : G → G/H kanonikus szürjekció által létesített képével. Tehát G/H topológiája a legnagyobb mindazon G/H feletti topológiák között, amelyek szerint a πG/H függvény folytonos. Ezt a topológiát jellemzi az a tulajdonság, hogy minden X topologikus térre és minden f : G/H → X függvényre, az f pontosan akkor folytonos e G/H feletti topológia szerint, ha az f ◦ πG/H : G → X függvény folytonos. Továbbá, minden Ω ⊆ G/H esetén, az Ω pontosan akkor nyílt e −1 topológia szerint, ha πG/H hΩi ⊆ G halmaz nyílt G-ben ([19, 25.1.]). A továbbiakban a G/H halmazt mindig topologikus térnek fogjuk tekinteni, amelynek topológiája egyenlő az imént értelmezett topológiával. Fontos tény az, hogy ha G topologikus csoport és H részcsoportja G-nek, akkor a πG/H : G → G/H kanonikus szürjekció nemcsak folytonos, hanem nyílt leképezés is, mert ha Ω ⊆ G nyílt halmaz, akkor πG/H hΩi ⊆ G/H olyan halmaz, hogy −1

πG/H hπG/H hΩii = {t ∈ G|(∃s ∈ Ω) : t ∈ sH} =

[

(sH) = ΩH =

s∈Ω

[

(Ωt),

t∈H

és minden H ∋ t-re Ωt nyílt halmaz G-ben, így a jobb oldalon álló halmaz nyílt G-ben, vagyis πG/H hΩi nyílt halmaz G/H-ban. A πG/H függvény nyíltságából következik, hogy minden s ∈ G esetén a πG/H (s) pont környezetei éppen a πG/H hsV i vagy πG/H hV si alakú halmazok, ahol V környezete eG -nek. 2.5.2. Állítás. Legyen G topologikus csoport és H részcsoportja G-nek. A következő állítások ekvivalensek. (i) H zárt részcsoport G-ben. (ii) A G/H topologikus tér T2 -tér. (iii) A G/H topologikus tér T1 -tér. (iv) A G/H topologikus T0 -tér. Bizonyítás. (i)⇒(ii) Tegyük fel, hogy H zárt, és legyenek ζ, ζ ′ ∈ G/H különböző pontok. Vegyünk olyan s, s′ ∈ G elemeket, amelyekre ζ = πG/H (s) és ζ ′ = πG/H (s′ ), vagyis ζ = sH és ζ ′ = s′ H. Ekkor ζ 6= ζ ′ miatt s−1 s′ ∈ / H, így létezik eG -nek olyan U környezete, amelyre (Us−1 s′ ) ∩ H = ∅. Legyen V olyan szimmetrikus környezete eG -nek, amelyre V V ⊆ sUs−1 . Ekkor πG/H hV si környezete ζ-nak G/H-ban, és πG/H hV s′ i környezete ζ ′ -nek G/H-ban, továbbá πG/H hV si ∩ πG/H hV s′ i = ∅, hiszen ha ez a metszet nem volna üres, akkor léteznének olyan t, t′ ∈ V pontok, amelyekre (ts)−1 (t′ s′ ) ∈ H, ugyanakkor (ts)−1 (t′ s′ ) = s−1 t−1 t′ s′ ∈ s−1 V V s′ ⊆ s−1 sUs−1 s′ = Us−1 s′ , így (ts)−1 (t′ s′ ) ∈ (Us−1 s′ ) ∩ H, ami lehetetlen. 49

(ii)⇒(iii) és (iiii)⇒(iv) triviális. (iv)⇒(i) Tegyük fel, hogy a G/H topologikus tér T0 -tér, és legyen s ∈ G \ H. Ekkor s ∈ / H miatt πG/H (s) 6= πG/H (eG ), így a (iv) miatt van olyan V környezete eG -nek G-ben, hogy πG/H (eG ) ∈ / πG/H hV si, vagy van olyan V környezete eG -nek G-ben, hogy πG/H (s) ∈ / πG/H hV i. Az első esetben minden V ∋ t-re πG/H (eG ) 6= πG/H (ts), vagyis ts ∈ / H, ami azt jelenti, hogy V s ⊆ G \ H, így s belső pontja G \ H-nak. A második esetben minden V ∋ t-re t−1 s ∈ / H, vagyis V s = V −1 s ⊆ G \ H, így s belső pontja G \ H-nak.  A következő lemmát gyakran alkalmazzuk topologikus terek között ható függvények folytonosságának, illetve nyíltságának bizonyítására.

2.5.3. Lemma. Legyenek X, Y , Z topologikus terek, g : X → Y és f : Y → Z függvények. Ha g nyílt szürjekció és f ◦ g folytonos, akkor f is folytonos. Ha g folytonos szürjekció és f ◦ g nyílt leképezés, akkor f is nyílt leképezés. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy g nyílt szürjekció és f ◦ g folytonos. Legyen Ω ⊆ Z nyílt halmaz. Ekkor a g szürjektivitása miatt −1

−1

−1 −1

f hΩi = gh g h f hΩiii = gh(f ◦ g)hΩii, −1

ugyanakkor az f ◦ g folytonossága miatt (f ◦ g)hΩi nyílt halmaz X-ben, és ennek g által −1

létesített képe a g nyíltsága folytán nyílt Y -ben. Ezért f hΩi nyílt halmaz Y -ban, tehát f folytonos.

Tegyük fel, hogy g folytonos szürjekció és f ◦ g nyílt leképezés. Legyen Ω ⊆ Y nyílt −1 halmaz. Ekkor a g szürjektivitása miatt Ω = gh g hΩii, így −1

−1

f hΩi = f hgh g hΩiii = (f ◦ g)h g hΩii, −1

ugyanakkor a g folytonossága miatt g hΩi nyílt halmaz X-ben, ezért az f ◦ g függvény nyíltsága miatt f hΩi nyílt halmaz Z-ben, tehát f nyílt leképezés.  2.5.4. Állítás. Ha G topologikus csoport és H részcsoportja G-nek, akkor γG/H a G topologikus csoportnak tranzitív folytonos ábrázolása a G/H topologikus térben. Bizonyítás. Azt kell igazolni, hogy az f : G × (G/H) → G/H;

(s, ζ) 7→ γG/H (s)ζ

függvény folytonos. Világos, hogy az idG × πG/H : G × G → G × (G/H); 50

(s, t) 7→ (s, πG/H (t))

függvény nyílt szürjekció, és a γG/H értelmezése alapján könnyen látható, hogy f ◦ idG × πG/H = πG/H ◦ pG , és itt a jobb oldalon folytonos függvény áll. Ezért az előző lemma első állítását alkalmazva az X := G × G, Y := G × (G/H), Z := G/H és g := idG × πG/H választással kapjuk, hogy f folytonos. 

2.6.

Tranzitív topologikus ábrázolások

A következő állítás bizonyításában felhasználjuk azt az elemi topológiai tényt, hogy ha T Hausdorff-tér és (Tα )α∈A olyan pontonként véges (például diszjunkt) befedése T -nek, hogy minden A ∋ α-ra Tα parakompakt nyílt részhalmaza T -nek, akkor T is parakompakt ([19, 27.11.5.]). Továbbá hivatkozunk arra, hogy σ-kompakt lokálisan kompakt tér szükségképpen parakompakt ([19, 27.12.3.]). 2.6.1. Állítás. Ha G lokálisan kompakt csoport és H zárt részcsoportja G-nek, akkor a G/H topologikus tér lokálisan kompakt és parakompakt. Bizonyítás. A G/H topologikus tér Hausdorff-tér, mert H zárt részcsoport. Továbbá, G/H minden pontjának létezik kompakt környezete, mert a πG/H kanonikus szürjekció nyílt és folytonos leképezés, valamint a G minden pontjának van kompakt környezete. Ezért csak G/H parakompaktságát kell igazolni. Ehhez először megjegyezzük, hogy G-nek létezik σ-kompakt nyílt részcsoportja. Valóban, ha V a G neutrális elemének szimmetrikus kompakt környezete, és a (V (n) )n∈N halmazsorozatot iterációval úgy értelmezzük, hogy V (0) := {eG }, és minden n ∈ N esetén S V (n+1) = V (n) V , akkor az V (n) halmaz a G-nek nyílt részcsoportja, és ez σ-kompakt n∈N

is, mert minden N ∋ n-re V (n) kompakt halmaz.

Legyen G∗ a G-nek tetszőleges σ-kompakt nyílt részcsoportja. A G/H halmazon értelmezzük és ≈-val jelöljük azt az ekvivalencia-relációt, amelyre ζ, ζ ′ ∈ G/H esetén ζ ≈ ζ ′ pontosan akkor teljesül, ha van olyan s ∈ G∗ , amelyre γG/H (s)ζ = ζ ′. Minden ζ ∈ G/H esetén jelölje Ωζ a ζ elem ekvivalencia-osztályát a ≈ reláció szerint.

Ha ζ ∈ G/H és s ∈ G olyan, hogy ζ = πG/H (s), akkor

Ωζ = {γG/H (t)ζ | t ∈ G∗ } = {γG/H (t)πG/H (s) | t ∈ G∗ } = = {πG/H (ts) | t ∈ G∗ } = πG/H ◦ δG (s−1 ) hG∗ i,

és a δG (s−1 ) : G → G leképezés homeomorfizmus, valamint a πG/H : G → G/H függvény nyílt, így πG/H ◦ δG (s−1 ) : G → G/H nyílt leképezés. Ebből, és a G∗ halmaz nyíltságából 51

következik, hogy minden ζ ∈ G/H esetén Ωζ nyílt halmaz G/H-ban. Ugyanakkor a G∗ σ-kompaktsága folytán minden G/H ∋ ζ-ra az Ωζ halmaz σ-kompakt G/H-ban. Tehát, ha ζ ∈ G/H, akkor az Ωζ halmaz parakompakt nyílt halmaz G/H-ban ([19, 27.12.3.]). A kiválasztási axióma alkalmazásával vehetünk olyan Z ⊆ G/H halmazt, amely teljes reprezentánshalmaza a ≈ relációnak. Ekkor (Ωζ )ζ∈Z olyan diszjunkt nyílt befedése G/Hnak, amelynek minden tagja parakompakt nyílt halmaz, így a G/H topologikus tér is parakompakt ([19, 27.11.5.]).  2.6.2. Következmény. Minden lokálisan kompakt csoport parakompakt. Bizonyítás. Az előző állításból a H := {eG } választással következik, mert ekkor a G/H topologikus faktortér homeomorf G-vel.  2.6.3. Tétel. Legyen γ tranzitív topologikus ábrázolása a G topologikus csoportnak az X topologikus térben. Tegyük fel, hogy G lokálisan kompakt és σ-kompakt, valamint az X olyan Hausdorff-tér, amely nem áll elő megszámlálható sok seholsem sűrű halmaz uniójaként. Ekkor teljesülnek a következő állítások. a) Minden x ∈ X esetén a γ˙ x : G/Gγ,x → X függvény homeomorfizmus a G/Gγ,x és X topologikus terek között. b) Minden x ∈ X esetén a γG/Gγ,x és γ topologikus ábrázolások topologikusan ekvivalensek. c) Az X topologikus tér σ-kompakt és lokálisan kompakt. Bizonyítás. Ha x ∈ X, akkor a γ˙ x : G/Gγ,x → X függvény folytonos bijekció, hiszen a γ˙ x ◦ πG/Gγ,x = γx : G → X orbitális függvény folytonos; továbbá a γ˙ x függvény összeköti a γG/Gγ,x és γ ábrázolásokat. Ezért az a) kijelentésből b) következik. Ha x ∈ X, akkor Gγ,x zárt részcsoport a G lokálisan kompakt csoportban, így a G/Gγ,x topologikus tér lokálisan kompakt és σ-kompakt. Ezért az a) kijelentésből következik a c) is. Az a) bizonyításához legyen x ∈ X rögzítve, és tekintsük a γ˙ x : G/Gγ,x → X folytonos bijekciót. Azt kell igazolni, hogy ez nyílt leképezés. Tekintettel arra, hogy πG/Gγ,x : G → G/Gγ,x folytonos szürjekció és γ˙ x ◦ πG/Gγ,x = γx ; a γ˙ x nyíltságához elegendő a γx : G → X orbitális függvény nyíltságát bizonyítani. Ha s ∈ G és U környezete s-nek, akkor s−1 U környezete eG -nek, és γx hUi = (γx ◦ γG (s)) hs−1 Ui = (γ(s) ◦ γx ) hs−1 Ui = γ(s)hγx hs−1 Uii, továbbá γ(s) : X → X homeomorfizmus. Ezért a γx : G → X függvény nyíltsága ekvivalens azzal, hogy az eG minden U környezetére γx hUi az x pontnak környezete, vagyis x ∈ Int(γx hUi). Legyen U tetszőleges környezete eG -nek, és olyan V olyan kompakt szimmetrikus környezete eG -nek, amelyre V V ⊆ U. Legyen (Kn )n∈N a G kompakt részhalmazainak S olyan sorozata, amelyre G = Kn . Ekkor a γ ábrázolás tranzitivitása miatt X = n∈N

52

{γ(s)x|s ∈ G} = {γx (s)|s ∈ G} = γx hGi = γx h n ∈ N esetén Kn ⊆

S

s∈Kn

halmaz, amelyre Kn ⊆

S

n∈N

Kn i =

S

n∈N

S

n∈N

Minden

(sV ), ezért a Kn kompaktsága miatt van olyan S ⊆ Kn véges

S

s∈S

(sV ). Ezért kiválaszthatunk olyan (Sn )n∈N halmazsorozatot,

amelyre minden n ∈ N esetén Sn ⊆ Kn véges halmaz, és Kn ⊆ σ : N →

γx hKn i.

S

s∈Sn

(sV ). Legyen

Sn tetszőleges szürjekció, és minden n ∈ N esetén sn := σ(n). Ekkor

(sn )n∈N olyan sorozat G-ben, amelyre X =

S

n∈N

γx hKn i =

S

S

n∈N s∈Sn

γx hsV i =

S

n∈N

γx hsn V i.

Ugyanakkor minden N ∋ n-re a γx hsn V i halmaz kompakt X-ben, tehát zárt is, mert X Hausdorff-tér. Az X-re vonatkozó hipotézis alapján van olyan n ∈ N, hogy γx hsn V i nem seholsem sűrű, tehát Int (γx hsn V i) 6= ∅. Ha n ∈ N ilyen, akkor a γ(sn ) : X → X függvény homeomorfitása miatt ∅ = 6 Int (γx hsn V i) = Int ((γx ◦ γG (sn )) hV i) = Int((γ(sn ) ◦ γx ) hV i) = γ(sn )hInt (γx hV i)i, ezért Int (γx hV i) 6= ∅. Vegyünk egy x0 ∈ Int (γx hV i) pontot. Legyen s ∈ V olyan, amelyre x0 = γx (s) := γ(s)x. Ekkor x = γ(s−1 )x0 ∈ γ(s−1 )hInt (γx hV i)i=Int γ(s−1 )hγx hV ii =Int γx hs−1 V i ⊆ tehát x ∈ Int(γx hUi). 

⊆ Int γx hV −1 V i ⊆ Int (γx hUi) ,

2.6.4. Állítás. Legyen γ tranzitív ábrázolása a G topologikus csoportnak az X halmazban. Létezik X felett egyetlen olyan topológia, amelyre teljesül az, hogy minden x ∈ X esetén a γ˙ x : G/Gγ,x → X függvény homeomorfizmus. Ha az X halmazt ellátjuk ezzel a topológiával, akkor γ folytonos topologikus ábrázolása a G topologikus csoportnak az X topologikus térben. Bizonyítás. A bizonyításban TG fogja jelölni a G feletti csoport-topológiát. Minden x ∈ X esetén legyen Tx a G/Gγ,x feletti faktortopológia γ˙ x bijekció által létesített képe, tehát −1 Tx := {Ω ⊆ X | ”γ˙ x hΩi nyílt halmaz G/Gγ,x -ben”} = −1

= {Ω ⊆ X | ”γx hΩi nyílt halmaz G-ben”},

hiszen γ˙ x ◦πG/Gγ,x = γx , és a faktortopológia értelmezése alapján egy Ω′ ⊆ G/Gγ,x halmaz −1

pontosan akkor nyílt a faktortopológia szerint, ha πG/Gγ,x hΩ′ i nyílt halmaz G-ben. Ha x ∈ X, akkor a definíció szerint Tx olyan topológia X felett, hogy a γ˙ x : G/Gγ,x → X bijekció homeomorfizmus a G/Gγ,x feletti faktortopológia és a Tx topológia szerint.

Megmutatjuk, hogy a Tx topológia az x ∈ X elemtől független. Ehhez legyenek x1 , x2 ∈ X tetszőlegesek, és a γ ábrázolás tranzitivitását kihasználva vegyünk olyan G ∋ s-t, amelyre γ(s)x2 = x1 . Ekkor γx1 = γx2 ◦ δG (s−1 ), és a δG (s−1 ) : G → G leképezés homeomorfizmus, valamint a γx2 : G → X folytonos TG és Tx2 szerint, így a γx1 : G → X 53

függvény is folytonos a TG és Tx2 topológiák szerint. Ebből következik, hogy Tx2 ⊆ Tx1 . Az x1 és x2 (szimmetrikus) szerepét felcserélve kapjuk, hogy Tx1 ⊆ Tx2 is teljesül, így Tx1 ⊆ Tx2 .

Jelölje most T a Tx topológiát, ahol x ∈ X tetszőleges. Világos, hogy a definíció szerint minden X ∋ x-re a γ˙ x : G/Gγ,x → X függvény homeomorfizmus a G/Gγ,x feletti faktortopológia és a T topológia szerint, ezért γx = γ˙ x ◦ πG/Gγ,x miatt a γx : G → X függvény folytonos a TG és T topológiák szerint.

Megmutatjuk, hogy ha az X halmazt ellátjuk a T topológiával, akkor a γ ábrázolás folytonos topologikus ábrázolása a G topologikus csoportnak az X topologikus térben, vagyis az f : G × X → X; (s, x) 7→ γ(s)x

leképezés folytonos a TG × T és T topológiák szerint. Ehhez legyen x ∈ X rögzített pont. Világos, hogy az idG × γ˙ x : G × (G/Gγ,x ) → G × X függvény homeomorfizmus a TG × (TG /Gγ,x ) és TG × T topológiák szerint, ezért f pontosan akkor folytonos a TG × T és T topológiák szerint, ha az f ◦ (idG × γ˙ x ) : G × (G/Gγ,x ) → X függvény folytonos a TG × (TG /Gγ,x ) és T topológiák szerint. Világos, hogy az idG × πG/Gγ,x : G × G → G × (G/Gγ,x ) függvény nyílt szürjekció a TG × TG és TG × (TG /Gγ,x ) topológiák szerint. Ezért az f függvény (megfelelő topológiák szerinti) folytonosságához elegendő azt igazolni, hogy az (f ◦ (idG × γ˙ x )) ◦ idG × πG/Gγ,x : G × G → X függvény folytonos a TG × TG és T topológiák szerint. Viszont a definíciók alapján nyilvánvaló, hogy (f ◦ (idG × γ˙ x )) ◦ idG × πG/Gγ,x = f ◦ idG × γ˙ x ◦ πG/Gγ,x

=

= f ◦ (idG × γx ) = γx ◦ pG ,

és itt a jobb oldalon olyan függvény áll, amely folytonos a TG × TG és T topológiák szerint, hiszen pG a (GTI ) alapján TG × TG -TG folytonos, és a γx : G → X függvény folytonos a TG és T topológiák szerint. Végül, a T topológia nyilvánvalóan egyértelműen van meghatározva azzal a feltétellel, hogy minden x ∈ X esetén a γ˙ x : G/Gγ,x → X függvény homeomorfizmus Tx és T szerint, hiszen ha x ∈ X bármelyik rögzített pont és T ilyen tulajdonságú topológia X −1

felett, akkor T = { Ω ⊆ X | γ˙ x hΩi ∈ Tx }. 

2.6.5. Definíció. Ha γ tranzitív ábrázolása a G topologikus csoportnak az X halmazban, akkor az X feletti γ-topológiának nevezzük azt az X feletti topológiát, amelyre minden x ∈ X esetén a γ˙ x : G/Gγ,x → X függvény homeomorfizmus. 54

Tehát, ha G topologikus csoport, és γ tranzitív ábrázolása a G csoportnak az X halmazban, továbbá X felett a γ-topológiát vesszük, akkor minden x ∈ X esetén γG/Gγ,x és γ folytonos topologikus ábrázolások topologikusan ekvivalensek. Azonban létezhet X felett olyan topológia, amely szerint γ folytonos topologikus ábrázolás, de különbözik a γ-topológiától, amit a következő példa illusztrál. Példa. Legyen θ ∈ R+ tetszőleges szám, és lássuk el Z-t az összeadással és a diszkrét topológiával (tehát Z kommutatív σ-kompakt lokálisan kompakt csoport), valamint minden n ∈ Z esetén legyen γθ (n) : C → C;

z 7→ e2πiθn z.

Ekkor γθ a Z csoportnak topologikus ábrázolása az euklidészi topológiával ellátott C lokálisan kompakt térben, és természetesen ez nem tranzitív ábrázolás. Minden z ∈ C esetén legyen Xθ,z := {e2πiθn z|n ∈ Z}, vagyis Xθ,z egyenlő az z ∈ C pont γθ szerinti pályájával. Világos, hogy z ∈ C esetén az Xθ,z halmaz γθ -invariáns, és a γθ |Xθ,z részábrázolás a Z csoportnak tranzitív ábrázolása az Xθ,z halmazban; könnyen látható, hogy ez folytonos topologikus ábrázolás, ha az Xθ,z halmazt a C feletti euklidészi topológia leszűkítésével látjuk el. Ha θ racionális szám, akkor minden z ∈ C esetén az Xθ,z halmaz véges, és az Xθ,z feletti γθ |Xθ,z -topológia a diszkrét topológia, tehát egyenlő a C topológiájának Xθ,z -re vett leszűkítésével. Azonban irracionális θ esetében minden z ∈ C\{0} pontra az Xθ,z feletti γθ |Xθ,z -topológia különbözik a C-ből indukált altértopológiától, pedig γθ |Xθ,z ez utóbbi ("természetes") topológia szerint is folytonos ábrázolása Z-nek. Ugyanakkor korábban igazoltuk, hogy ha G σ-kompakt lokálisan kompakt csoport, valamint X olyan Hausdorff-tér, hogy X nem áll elő megszámlálható sok seholsem sűrű halmaz uniójaként, és γ tranzitív folytonos topologikus ábrázolása G-nek X-ben, akkor az X topológiája megegyezik az X halmaz feletti γ-topológiával. Megjegyezzük, hogy ha γ folytonos topologikus ábrázolása a G topologikus csoportnak az X topologikus térben, és Y ⊆ X tetszőleges γ-invariáns halmaz, akkor a γ|Y részábrázolás folytonos topologikus ábrázolása G-nek az Y topologikus altérben, hiszen a G × Y → Y ; (s, y) 7→ (γ|Y )(s)y leképezés a folytonos G × X → X; (s, x) 7→ γ(s)x függvény leszűkítése G × Y -ra. Speciálisan, ha V folytonos unitér ábrázolása a G topologikus csoportnak a H Hilbert-térben és K ⊆ H egy V -invariáns zárt lineáris altér, akkor a V |K részábrázolás folytonos unitér ábrázolása a G topologikus csoportnak a K Hilbert-altérben.

2.7.

Folytonos unitér ábrázolások

2.7.1. Állítás. Ha V folytonos unitér ábrázolása a G csoportnak, akkor létezik a G c V unitér ciklikus folytonos unitér ábrázolásainak olyan (Vi )i∈I rendszere, amelyre ⊕ i i∈I

55

ekvivalens V -vel. Bizonyítás. Láttuk, hogy létezik a V ciklikus unitér részábrázolásainak olyan (Vi )i∈I c V unitér ekvivalens V -vel (1.4.4.), és minden I ∋ i-re a V rendszere, amelyre ⊕ i i∈I

folytonossága miatt Vi is folytonos. 

2.7.2. Állítás. Ha V véges dimenziós folytonos unitér ábrázolása a G csoportnak, akkor létezik a G irreducibilis folytonos unitér ábrázolásainak olyan (Vi )i∈I véges rendszere, amelyre ⊕ Vi unitér ekvivalens V -vel. i∈I

Bizonyítás. Láttuk, hogy létezik a V irreducibilis unitér részábrázolásainak olyan (Vi )i∈I véges rendszere, amelyre ⊕ Vi unitér ekvivalens V -vel (1.4.5.), és minden I ∋ i-re a V i∈I

folytonossága miatt Vi is folytonos. 

2.7.3. Tétel. (Unitér ábrázolás folytonosságának jellemzése) Legyen V unitér ábrázolása a G topologikus csoportnak a H Hilbert-térben. A következő állítások ekvivalensek. (i) A V unitér ábrázolás folytonos. (ii) Minden ζ ∈ H esetén a G → H ; s 7→ V (s)ζ függvény folytonos.

(iii) Minden ζ, η ∈ H esetén a G → C; s 7→ (V (s)ζ|η) függvény folytonos.

(iv) Létezik olyan D ⊆ H halmaz, amelynek a lineáris burka sűrű H -ban és minden ζ, η ∈ D esetén a (V (·)ζ|η) : G → C függvény folytonos az eG pontban.

(v) Minden ζ ∈ H esetén a (V (·)ζ|ζ) : G → C függvény folytonos az eG pontban. Bizonyítás. Az (i)⇒(ii)⇒(iii)⇒(iv) következtetések nyilvánvalók.

A (iv)⇒(v) bizonyításához legyen D ⊆ H olyan halmaz, amely rendelkezik a (iv)-ben megfogalmazott tulajdonságokkal. Nyilvánvaló, hogy ha H0 jelöli a D halmaz lineáris burkát, akkor minden ζ, η ∈ H0 esetén a (V (·)ζ|η) : G → C függvény folytonos az eG pontban. Most megmutatjuk, hogy ha (ζn )n∈N és (ηn )n∈N konvergens sorozatok H -ban, valamint ζ = lim ζn és η = lim ηn , akkor a ((V (·)ζn |ηn ))n∈N függvénysorozat egyenletesen n→∞ n→∞ konvergál a G halmazon a (V (·)ζ|η) függvényhez. Valóban, ha n ∈ N és s ∈ G, akkor |(V (s)ζn |ηn ) − (V (s)ζ|η)| ≤ |(V (s)(ζn − ζ)|ηn − η)| + |(V (s)(ζn − ζ)|η)|+ +|(V (s)ζ|ηn − η)| ≤ kζn − ζkkηn − ηk + kζn − ζkkηk + kζkkηn − ηk,

és itt a jobb oldal 0-hoz tart, ha n → ∞.

Tehát, ha ζ, η ∈ H tetszőlegesek, akkor a (V (·)ζ|η) függvény folytonos eG -ben, így (v) 56

is teljesül. Az (v)⇒(i) bizonyításához legyen (s0 , ζ0 ) ∈ G × H . Megmutatjuk, hogy ha (v) teljesül, akkor a G × H → H ; (s, ζ) 7→ V (s)ζ függvény folytonos az (s0 , ζ0 ) pontban. Ehhez legyen (s, ζ) ∈ G × H tetszőleges; ekkor kV (s)ζ − V (s0 )ζ0 k2 = kV (s)ζk2 + kV (s0 )ζ0 k2 − 2ℜ(V (s)ζ|V (s0 )ζ0 ) = = kζk2 + kζ0 k2 − 2ℜ(V (s−1 0 s)ζ|ζ0 ) =

−1 = kζk2 + kζ0 k2 − 2ℜ(V (s−1 0 s)(ζ − ζ0 )|ζ0 ) − 2ℜ(V (s0 s)ζ0 |ζ0 ) ≤

≤ kζk2 + kζ0 k2 + 2kζ − ζ0 kkζ0k − 2ℜ(V (s−1 0 s)ζ0 |ζ0 ) =

= kζk2 − kζ0 k2 + 2kζ − ζ0 kkζ0k + 2 kζ0k2 − ℜ(V (s−1 0 s)ζ0 |ζ0 ) .

Legyen ε ∈ R+ tetszőleges. Vegyünk olyan δ ∈ R+ számot, amelyre minden ζ ∈ H esetén, ha kζ − ζ0 k < δ, akkor kζk2 − kζ0 k2 + 2kζ − ζ0 kkζ0 k < ε2 /2. Az (v) alapján a (V (·)ζ0 |ζ0 ) : G → C függvény folytonos eG -ben, így vehetjük az eG -nek olyan U környezetét, amelyre minden s′ ∈ U esetén kζ0 k2 − ℜ(V (s′ )ζ0 |ζ0) < ε2 /4. Ekkor Bδ (ζ0 ) × (s0 U) olyan környezete az (s0 , ζ0 ) pontnak a G × H szorzattérben, amelynek minden (s, ζ) elemére az iménti egyenlőtlenség alapján kV (s)ζ − V (s0 )ζ0 k < ε, tehát a G × H → H ; (s, ζ) 7→ V (s)ζ függvény folytonos az (s0 , ζ0 ) pontban.  2.7.4. Következmény. Ha (Vi )i∈I a G topologikus csoport folytonos unitér ábrázolác V Hilbert-összeg is folytonos unitér ábrázolása sainak tetszőleges rendszere, akkor a ⊕ i i∈I

G-nek.

Bizonyítás. Minden i ∈ I esetén legyen Hi a Vi ábrázolás tere. A ⊕ Hi halmaz sűrű i∈I

lineáris altér a s ∈ G esetén

c ⊕

i∈I

Hi Hilbert-összegben, és minden (ζi )i∈I , (ηi )i∈I ∈ ⊕ Hi , valamint i∈I

c V (s)(ζ ) ⊕ i i i∈I (ηi )i∈I

i∈I

=

X i∈I

(Vi (s)ζi |ηi ) =

X

i∈I0

(Vi (s)ζi |ηi ),

ahol I0 := {i ∈ I|(ζi 6= 0) ∧ (ηi 6= 0)}, így a c V (·)(ζ ) ⊕ i i i∈I (ηi )i∈I

i∈I

:G→C

mátrixelem-függvény egyenlő a

X

i∈I0

(Vi (·)ζi |ηi ) : G → C

c V unitér ábrázolás folytonos.  folytonos függvénnyel. Ezért az előző tétel alapján a ⊕ i i∈I

57

2.7.5. Következmény. Ha (Vi )i∈I a G topologikus csoport folytonos unitér ábrác V tenzorszorzat is folytonos unitér zolásainak tetszőleges véges rendszere, akkor a ⊗ i i∈I

ábrázolása G-nek.

Bizonyítás. Minden i ∈ I esetén legyen Hi a Vi ábrázolás tere. A ⊗ Hi halmaz sűrű lineáris altér a esetén

c ⊗

i∈I

Hi Hilbert-térben, és minden (ζi )i∈I , (ηi )i∈I ∈ c V (s) ⊗ ζ ⊗ i i

i∈I

következésképpen a

⊗ ηi

i∈I

i∈I

c V (·) ⊗ ζ ⊗ i i

i∈I

=

Y i∈I

⊗ ηi

i∈I

i∈I

Y i∈I

i∈I

Hi , valamint s ∈ G

(Vi (s)ζi |ηi ),

:G→C

mátrixelem-függvény egyenlő a

Y i∈I

(Vi (·)ζi |ηi ) : G → C

c V unitér ábrázolás szorzatfüggvénnyel, amely folytonos. A 2.7.3. tétel alapján a ⊗ i i∈I

folytonos. 

2.7.6. Következmény. Legyen N ⊗ H topologikus féldirekt szorzat. Ha VN folytonos τ

unitér ábrázolása N-nek a H Hilbert-térben és VH folytonos unitér ábrázolása H-nak a H Hilbert-térben, és minden (n, h) ∈ N × H esetén fennáll az VH (h)VN (n)VH (h)−1 = VN (τh (n)) egyenlőség, akkor VN ⊗ VH folytonos unitér ábrázolása N ⊗ H-nak a H Hilbert-térben. τ

τ

Bizonyítás. A 2.7.3. tétel alapján elég azt igazolni, hogy minden ζ, η ∈ H esetén a Φζ,η : N × H → C;

(n, h) 7→ (VN (n)VH (h)ζ η)

függvény folytonos a szorzattopológia szerint. Világos, hogy (n, h) ∈ N × H esetén Φζ,η (n, h) = (VH (h)ζ|VN (n−1 )η). Az N × H → H ; (n, h) 7→ VH (h)ζ függvény folytonos, mert egyenlő az N × H → H projekciónak, és a H → H ; h 7→ VH (h)ζ függvénynek a kompozíciójával, amely a 2.7.3. (ii) szerint folytonos. Az N × H → H ; (n, h) 7→ VN (n−1 )η függvény folytonos, mert egyenlő az N × H → N projekciónak, az N inverziójának, és az N → H ; n 7→ VN (n)η függvénynek a 58

kompozíciójával, amely a 2.7.3. szerint folytonos. Ezért az N × H → H × H ; (n, h) 7→ (VH (h)ζ, VN (n−1 )η) szorzatfüggvény is folytonos, és nyilvánvaló, hogy Φζ,η egyenlő ennek a függvénynek és a H skalárszorzásának kompozíciójával.  2.7.7. Definíció. A G topologikus csoport topologikus duálisának nevezünk minden olyan X halmazt, amelyre teljesülnek a következők. a) X minden eleme a G topologikus csoportnak irreducibilis folytonos unitér ábrázolása, és minden V, V ′ ∈ X esetén, ha V 6= V ′ , akkor V és V ′ unitér inekvivalensek.

b) A G topologikus csoport minden V irreducibilis folytonos unitér ábrázolásához létezik olyan V ′ ∈ X, hogy V és V ′ unitér ekvivalensek. Ha G topologikus csoport és G a G csoport algebrai duálisa, akkor a {V ∈ G | ”V folytonos ábrázolása a G topologikus csoportnak”}

halmaz nyilvánvalóan topologikus duálisa a G topologikus csoportnak. Ez egyszerűen abból következik, hogy egy topologikus csoport minden olyan unitér ábrázolása folytonos, amely unitér ekvivalens egy folytonos unitér ábrázolással. Tehát minden topologikus csoportnak létezik topologikus duálisa, és nyilvánvaló, hogy bármely két topologikus duálisa között létezik egy kitüntetett bijekció, vagyis a topologikus duális lényegében egyértelmű. Jelölés. Ha G topologikus csoport, akkor a G topologikus duálisát a G szimbólummal jelöljük. Általában topologikus csoportnak nincs kitüntetett topologikus duálisa. Fontos kivétel a kommutatív topologikus csoportok esete. Ha ugyanis G ilyen, akkor a G → U folytonos csoport-morfizmusok, vagyis a G folytonos unitér karaktereinek halmaza választható G-nak. A harmonikus analízis egyik alapvető feladata a topologikus csoportok és a topologikus duálisuk kapcsolatainak felderítése.

59

3. fejezet Folytonos függvények lokálisan kompakt tér felett 3.1.

Felbontási-lemma és hányados-lemma

3.1.1. Lemma. (Paraméteres függvények folytonossága) Legyenek X, Y topologikus terek, F normált tér, és f : X × Y → F folytonos függvény. Ekkor minden x0 ∈ X ponthoz, ε ∈ R+ számhoz és K ⊆ Y kompakt halmazhoz létezik x0 -nak olyan U környezete X-ben, amelyre sup kf (x, y) − f (x0 , y)k ≤ ε. (x,y)∈U ×K

Bizonyítás. Minden Y ∋ y-ra f folytonos az (x0 , y) pontban, ezért ε-hoz létezik olyan U(y) környezete x0 -nak és olyan W (y) környezete y-nak, amelyre

Ekkor K ⊆

S

∀ (x, y ′) ∈ U(y) × W (y) : kf (x, y ′) − f (x0 , y)k ≤ ε/2.

y∈K

W (y), és minden K ∋ y-ra W (y) az y-nak környezete Y -ban, ezért a K

kompaktsága folytán van olyan H ⊆ K véges halmaz, hogy K ⊆

S

y∈H

W (y). Természe-

tesen H 6= ∅ feltehető, különben K = ∅, és ekkor az állítás triviálisan igaz. Vegyük az T U := U(y) halmazt; ez az x0 -nak környezete X-ben. Ha (x, y) ∈ U × K, akkor van y∈H

olyan ye ∈ H, hogy y ∈ W (ye), ugyanakkor x ∈ U ⊆ U(ye), így (x, y) ∈ U(ye)×W (ye). Ezért kf (x, y) − f (x0 , ye)k ≤ ε/2, ugyanakkor (x0 , y) ∈ U(ye) × W (ye) is igaz, így kf (x0 , y) − f (x0 , ye)k ≤ ε/2. Ezeket az egyenlőtlenségeket összeadva kf (x, y) − f (x0 , y)k ≤ ε adódik, tehát fennáll a sup kf (x, y) − f (x0 , y)k ≤ ε egyenlőtlenség.  (x,y)∈U ×K

Megjegyezzük, hogy a paraméteres függvények folytonosságát kimondó tétel egyenértékű azzal, hogy ha X, Y topologikus terek, F normált tér és f : X × Y → F folytonos 60

függvény, akkor az X → C (Y ; F );

x 7→ f (x, ·)

függvény folytonos, ha a C (Y ; F ) függvénytér felett a kompakt konvergencia topológiáját vesszük ([19, 5.8.]). Valóban, ha minden K ⊆ Y kompakt halmazra és minden ε ∈ R+ számra W(K, ε) := {h ∈ C (Y ; F )| sup kh(y)k ≤ ε}, y∈K

akkor a kompakt konvergencia topológiájának definíciója szerint a fenti függvény folytonossága azzal ekvivalens, hogy minden x0 ∈ X ponthoz, ε ∈ R+ számhoz és K ⊆ Y kompakt halmazhoz létezik x0 -nak olyan U környezete X-ben, amelyre minden x ∈ U esetén f (x, ·) − f (x0 , ·) ∈ W(K, ε), azaz minden (x, y) ∈ U × K párra kf (x, y) − f (x0 , y)k ≤ ε. 3.1.2. Lemma. (Felbontási-lemma) Legyen T topologikus tér, F normált X tér, f ∈ C (T ; F ), és (gi )i∈I olyan véges rendszer C (T ; R+ )-ban, amelyre kf k ≤ gi . Ekkor létezik olyan (fi )i∈I rendszer C (T ; F )-ben, amelyre f =

X i∈I

i∈I

fi és minden I ∋ i-re

kfi k ≤ gi . Ha f valós (illetve pozitív) függvény, akkor az (fi )i∈I rendszer megválasztható úgy, hogy minden i ∈ I esetén fi valós (illetve pozitív) függvény legyen. Bizonyítás. Legyen g :=

X i∈I

gi , és minden I ∋ i-re értelmezzük azt az fi : T → F

függvényt, amely a {t ∈ T |f (t) = 0} halmazon a 0 értéket veszi fel, és fi :=

gi .f g

a {t ∈ T |f (t) 6= 0} halmazon. A {t ∈ T |f (t) 6= 0} halmazon f =

X

fi teljesül, és ez az

i∈I

egyenlőség a definíció szerint a {t ∈ T |f (t) = 0} halmazon triviálisan igaz. Azonkívül, az kf k ≤ g feltétel miatt a {t ∈ T |f (t) 6= 0} halmazon minden i ∈ I esetén kfi k = gi

kf k g

≤ gi ,

és persze kfi k = 0 ≤ gi a {t ∈ T |f (t) = 0} halmazon, ezért elég azt igazolni, hogy minden I ∋ i-re az fi : T → F függvény folytonos.

Legyen i ∈ I és t ∈ T rögzített. Ha f (t) 6= 0, akkor fi a folytonosság lokalitása miatt t-ben folytonos, mert fi a {t′ ∈ T |f (t′) 6= 0} nyílt halmazon egyenlő a (gi /g).f folytonos függvénnyel. Legyen tehát f (t) = 0; így a definíció szerint fi (t) = 0. Az f függvény a t pontban folytonos, így ε ∈ R+ esetén van olyan U környezete t-nek T -ben, amelyre t′ ∈ U esetén kf (t′ )k < ε. Ekkor minden U ∋ t′ -re 61

– ha f (t′ ) = 0, akkor fi (t′ ) := 0, tehát kfi (t′ ) − fi (t)k = 0 < ε; – ha f (t′ ) 6= 0, akkor fi (t′ ) := (gi (t′ )/g(t′ )).f (t′ ), tehát kfi (t′ ) − fi (t)k = kfi (t′ )k =

gi (t′ ) kf (t′ )k ≤ kf (t′ )k < ε. g(t′ )

Ez azt jelenti, hogy fi a t pontban folytonos. Ha f valós (illetve pozitív) függvény, akkor a fenti definíció szerint minden I ∋ i-re fi is valós (illetve pozitív) függvény.  3.1.3. Jelölés. Ha T lokálisan kompakt tér és F normált tér, akkor K (T ; F ) jelöli a T → F folytonos kompakt tartójú függvények vektorterét, valamint K+ (T ) := { ϕ ∈ K (T ; R) | (∀t ∈ T ) : ϕ(t) ≥ 0 }. Az általános topológiában bizonyítjuk a következő három alapvetően fontos tételt lokálisan kompakt terekre. 3.1.4. Tétel. (Uriszon-tétel lokálisan kompakt terekre) Ha T lokálisan kompakt tér, K ⊆ T kompakt halmaz, és Ω ⊆ T nyílt halmaz, akkor K ⊆ Ω esetén van olyan ϕ ∈ K (T ; R) függvény, hogy 0 ≤ ϕ ≤ 1, K ⊆ [ϕ = 1], és supp(ϕ) ⊆ Ω. Bizonyítás. [19, 27.8.1.]  3.1.5. Tétel. (Tietze-tétel lokálisan kompakt terekre) Legyen T lokálisan kompakt tér, K ⊆ T kompakt halmaz, és Ω ⊆ T olyan nyílt halmaz, hogy K ⊆ Ω. Ekkor minden f : K → K folytonos függvényhez létezik olyan fe ∈ K (T ; K), hogy f ⊆ fe és supp(fe) ⊆ Ω. Bizonyítás. [19, 27.8.2.] 

3.1.6. Tétel. (Dieudonné-féle egységosztás-tétel lokálisan kompakt terekre) Legyen T lokálisan kompakt tér, K ⊆ T kompakt halmaz, és (Ωi )i∈I a T nyílt S részhalmazainak olyan véges rendszere, amelyre K ⊆ Ωi . Ekkor létezik olyan (ϕi )i∈I i∈I

rendszer K (T ; R)-ben, amelyre X X minden i ∈ I esetén 0 ≤ ϕi ≤ 1, supp(ϕi ) ⊆ Ωi , továbbá ϕi = 1 a K halmazon, és ϕi ≤ 1 a T halmazon. i∈I

i∈I

Bizonyítás. [19, 27.8.3.]  Ha T topologikus tér, és f, g ∈ C (T ; K) olyan függvények amelyekre |f | ≤ |g|, akkor nem szükségképpen létezik olyan h ∈ C (T ; K) függvény, amelyre f = gh teljesül; vagyis az |f | ≤ |g| feltételből általában nem következik, hogy g osztója f -nek a 62

C (T ; K) függvényalgebrában. Ha például a [0, 1] kompakt intervallumon az f függvényt úgy értelmezzük, hogy f (0):=0 és minden t ∈]0, 1] esetén f (t) := t sin(1/t), továbbá g := id[0,1] , akkor |f | ≤ |g|, de nem létezik olyan h ∈ C ([0, 1]; R) függvény, amelyre f = gh. 3.1.7. Lemma. (Hányados-lemma) Legyen T lokálisan kompakt tér, F normált tér K felett, valamint f ∈ K (T ; F ) és g ∈ K (T ; K) olyan függvények amelyekre kf k ≤ |g|. Ekkor létezik olyan (hn )n∈N sorozat K (T ; F )-ben, amelyre minden n ∈ N esetén 9hn 9 ≤ 1, supp(hn ) ⊆ [f 6= 0], és a (ghn )n∈N függvénysorozat egyenletesen konvergál f -hez a T halmazon. Bizonyítás. Legyen (εn )n∈N tetszőleges zérussorozat R+ -ban. Minden N ∋ n-re [kf k ≥ εn ] kompakt halmaz, és [f 6= 0] nyílt halmaz T -ben, továbbá nyilván [kf k ≥ εn ] ⊆ [f 6= 0], ezért a lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tétel alkalmazásával kiválaszthatunk olyan (ϕn )n∈N sorozatot K (T ; R)-ben, amelyre minden n ∈ N esetén 0 ≤ ϕn ≤ 1, [kf k ≥ εn ] ⊆ [ϕn = 1], és supp(ϕn ) ⊆ [f 6= 0]. Legyen minden n ∈ N esetén hn : T → F az a függvény, amely a [g = 0] halmazon egyenlő 0-val, és a [g 6= 0] halmazon hn :=

f g

ϕn .

Világos, hogy minden N ∋ n-re, kf k ≤ |g| és 0 ≤ ϕn ≤ 1 miatt khn k ≤ 1, továbbá supp(hn ) ⊆ supp(ϕn ) ⊆ [f 6= 0]. Továbbá, n ∈ N esetén hn folytonos, mert a [g 6= 0] ⊆ T nyílt halmazon hn egyenlő az (f /g)ϕn folytonos függvénnyel, és minden t ∈ [g = 0] esetén hn = 0 a T \ supp(ϕn ) nyílt halmazon, ami t-nek nyílt környezete T -ben, így hn folytonos a t pontban. Tehát minden N ∋ n-re hn ∈ K (T ; F ), supp(hn ) ⊆ [f 6= 0] és 9hn 9 ≤ 1. Azt kell még igazolni, hogy (ghn )n∈N függvénysorozat egyenletesen konvergál f -hez a T halmazon. Ehhez felhasználjuk azt a definícióból nyilvánvalóan következő tényt, hogy minden n ∈ N esetén ghn = f ϕn teljesül, így f − ghn = f (1 − ϕn ). Ha n ∈ N, akkor bármely t ∈ T esetén:

– ha t ∈ [kf k ≥ εn ], akkor ϕn (t) = 1, így (f − ghn )(t) = f (t)(1 − ϕn (t)) = 0;

– ha t ∈ [kf k < εn ], akkor k(f − ghn )(t)k = kf (t)k(1 − ϕn (t)) ≤ kf (t)k < εn .

Ez azt jelenti, hogy n ∈ N és t ∈ T esetén k(f − ghn )(t)k < εn , vagyis 9f − ghn 9 ≤ εn , így a (ghn )n∈N függvénysorozat egyenletesen konvergál f -hez a T halmazon. 

3.2.

Approximációs-lemma

3.2.1. Definíció. Legyen X halmaz és F vektortér K felett. Ha ϕ : X → K függvény és z ∈ F vektor, akkor q ϕ ⊗ z : X → F ; x 7→ ϕ(x)z. 63

q

q

Ha E ⊆ KX , akkor E ⊗ F jelöli a {ϕ ⊗ z|(ϕ ∈ E ) ∧ (z ∈ F )} függvényhalmaz által generált lineáris alteret az F X függvénytérben. Világos, hogy ha T lokálisan kompakt tér és F normált tér K felett, akkor q

K (T ; K) ⊗ F ⊆ K (T ; F ) q

és K (T ; K) ⊗ F elemei éppen azok az f : T → F folytonos kompakt tartójú függvények, q amelyekre span(Im(f )) véges dimenziós altér F -ben. Ezért a K (T ; K) ⊗ F függvénytér elemeit végesdimenziós-értékű (folytonos kompakt tartójú) függvényeknek nevezhetjük. 3.2.2. Lemma. (Approximációs-lemma) Legyen T lokálisan kompakt tér, F normált tér, és f ∈ K (T ; F ). Ekkor minden ε ∈ R+ számhoz létezik olyan (zi )i∈I véges rendszer F -ben, és olyan (ϕi )i∈I rendszer K (T ; R)-ben, hogy minden I ∋ i-re 0 ≤ ϕi ≤ 1, supp(ϕi ) ⊆ supp(f ), és minden T ∋ t-re



X

f (t) − ϕi (t).zi



i∈I

< ε.

Bizonyítás. Legyen f ∈ K (T ; F ), K := supp(f ), és ε ∈ R+ rögzített. Minden t ∈ Fr(K) esetén f (t) = 0, ezért kiválaszthatjuk t-nek olyan Ut nyílt környezetét, amelyre minden S t′ ∈ Ut esetén kf (t′ )k ≤ ε. Értelmezzük a K ′ := K \ Ut kompakt halmazt. t∈Fr(K)

Ekkor nyilvánvalóan K ′ ⊆ K \ Fr(K) = K \ (K \ Int(K)) = Int(K). Minden t ∈ K ′ esetén kiválaszthatjuk t-nek olyan Ut nyílt környezetét, amelyre Ut ⊆ Int(K), és minden S t′ ∈ Ut esetén kf (t′ ) − f (t)k ≤ ε. Ekkor K ′ ⊆ Ut , tehát a K ′ kompaktsága miatt t∈K ′ S

vehetünk olyan H ⊆ K ′ véges halmazt, hogy K ′ ⊆

t∈H

Ut . A lokálisan kompakt terekre

vonatkozó egységosztás-tétel alapján rögzítünk olyan (ϕt )t∈H rendszert XK (T ; R)-ben, amelyre minden t ∈ H esetén 0 ≤ ϕt ≤ 1, supp(ϕt ) ⊆ Ut , továbbá ϕt = 1 a K ′

halmazon, és

X

t∈H

t∈H

ϕt ≤ 1 a T halmazon. Megmutatjuk, hogy minden T ∋ t′ -re



X

′

f (t′ ) − ϕt (t ).f (t)



t∈H

< 2ε

teljesül, ami azt jelenti, hogy a 2ε számhoz, az F -ben haladó (f (t))t∈H és a K (T ; R)-ben haladó (ϕt )t∈H véges rendszerek eleget tesznek a követelményeknek. A T halmazt a T \ Int(K), Int(K) \ K ′ és K ′ halmazok diszjunkt uniójára bontva, t′ ∈ T esetén három eset lehetséges.

64

1) Legyen t′ ∈ T \ Int(K). Ekkor f (t′ ) = 0 és minden t ∈ H esetén ϕt (t′ ) = 0, hiszen supp(ϕt ) ⊆ Ut ⊆ Int(K), tehát t′ ∈ / supp(ϕt ). Ezért



X

′

f (t′ ) − ϕ (t ).f (t) t



t∈H

= 0.

2) Legyen t′ ∈ Int(K) \ K ′ . EkkorX a K ′ értelmezése szerint van olyan t ∈ Fr(K ′ ), hogy ′ ′ t ∈ Ut , így kf (t )k < ε. Továbbá, ϕt (t′ ) ≤ 1, tehát t∈H

=



X

′

f (t′ ) −

ϕ (t ).f (t) t



t∈H

!

X

ϕt (t′ ) .f (t′ ) +

t∈H

≤

X

t∈H

1−

X

ϕt (t′ )

t∈H

!

ϕt (t′ )kf (t′ ) − f (t)k + 1 −

=



′ ′ .f (t ) − ϕt (t ).f (t)

t∈H ! X

t∈H

X

≤

ϕt (t′ ) kf (t′ )k.

Ha t ∈ H olyan, hogy t ∈ / Ut , akkor ϕt (t ) = 0, ezért ′

X

t∈H

′

ϕt (t′ )kf (t′ ) − f (t)k =

X

t∈H,

t′ ∈U

t

ϕt (t′ )kf (t′) − f (t)k < ε,

hiszen minden t ∈ H pontra, ha t′ ∈ Ut , akkor kf (t′ ) − f (t)k < ε. Továbbá, 1− Ebből következik, hogy

3) Legyen t′ ∈ K ′ . Ekkor

X

X

t∈H

ezért itt

X

t∈H

!

ϕt (t ) kf (t′ )k ≤ kf (t′ )k < ε.



X

′

f (t′ ) − ϕ (t ).f (t) t



t∈H

< 2ε.

ϕt (t′ ) = 1, tehát

t∈H



X

′

f (t′ ) − ϕt (t ).f (t)



t∈H

≤

′

=

!

X

X

′ ′ ′

ϕt (t ) f (t ) − ϕt (t ).f (t)

t∈H

t∈H

ϕt (t′ )kf (t′ ) − f (t)k =

X

t∈H,

t′ ∈U

t

ϕt (t′ )kf (t′ ) − f (t)k < ε,



X

′

f (t′ ) − ϕt (t ).f (t)



t∈H

65

≤

< ε. 

Tehát az approximációs lemmából következik, hogy ha T lokálisan kompakt tér q és F normált tér, akkor minden f ∈ K (T ; F ) függvényhez létezik olyan K (T ; R) ⊗ F -ben haladó (fn )n∈N sorozat, amely egyenletesen konvergál f -hez a T halmazon, és minden n ∈ N esetén supp(fn ) ⊆ supp(f ). Nyilvánvaló, hogy ez az állítás csak végtelen dimenziós F esetén tartalmas. 3.2.3. Definíció. Legyenek X és Y halmazok. Ha ϕ : X → K és ψ : Y → K függvények, akkor ϕ ⊗ ψ : X × Y → K; (x, y) 7→ ϕ(x)ψ(y).

Ha E ⊆ KX és F ⊆ KY , akkor E ⊗F jelöli a {ϕ⊗ψ|(ϕ ∈ E )∧(ψ ∈ F )} függvényhalmaz által generált K-lineáris alteret a KX×Y függvénytérben. Világos, hogy ha X és Y lokálisan kompakt terek, akkor K (X; K) ⊗ K (Y ; K) ⊆ K (X × Y ; K), de itt még akkor sem áll általában egyenlőség, ha X és Y kompakt. 3.2.4. Következmény. Legyenek X és Y lokálisan kompakt terek, és tegyük fel, hogy f ∈ K (X × Y ; K), valamint K ⊆ X és L ⊆ Y olyan kompakt halmazok, amelyekre supp(f ) ⊆ K × L. Ekkor minden R+ ∋ ε-hoz van olyan g ∈ K (X; K) ⊗ K (Y ; K) függvény, amelyre supp(g) ⊆ K × L és minden (x, y) ∈ X × Y esetén |f (x, y) − g(x, y)| < ε. Bizonyítás. Vezessük be a következő függvényteret K (Y, L; K) := {ψ ∈ K (Y ; K) | supp(ψ) ⊆ L}, és lássuk el ezt a sup-normával. Tekintsük továbbá az fe : X → K (Y, L; K);

x 7→ f (x, ·)

függvényt. A paraméteres függvények folytonossági tétele szerint ez folytonos, ha K (Y, L; K) felett a kompakt konvergencia topológiáját vesszük; viszont ez a topológia egyenlő a sup-norma által generált topológiával (vagyis az egyenletes konvergencia topológiájával). Továbbá, az fe függvény kompakt tartójú, hiszen [fe 6= 0] ⊆ K. Tehát fe ∈ K (X; K (Y, L; K)), így az approximációs-lemma szerint, egy adott ε ∈ R+ számhoz létezik olyan (ψi )i∈I véges rendszer K (Y, L; K)-ban, és létezik olyan (ϕi )i∈I rendszer K (X; R)-ben, hogy minden i ∈ I esetén 0 ≤ ϕi ≤ 1, supp(ϕi ) ⊆ supp(fe) ⊆ K, és minden X ∋ x-re



X

e

f (x) − ϕi (x)ψi



i∈I

66

< ε.

A K (Y, L; K) feletti norma értelmezése szerint ez azt jelenti, hogy minden X ∋ x-re X e sup f (x)(y) − ϕi (x)ψi (y) y∈Y i∈I

Ekkor g :=

X i∈I

=

X sup f (x, y) − (ϕi y∈Y i∈I

⊗ ψi )(x, y)

< ε.

(ϕi ⊗ ψi ) ∈ K (X; K) ⊗ K (Y ; K) olyan függvény, amelynek a létezését

állítottuk. 

Tehát ha X és Y lokálisan kompakt terek, akkor minden f ∈ K (X × Y ; K) függvényhez és K ⊆ X, L ⊆ Y kompakt halmazokhoz, supp(f ) ⊆ K × L esetén létezik olyan K (X; K) ⊗ K (Y ; K)-ban haladó (fn )n∈N sorozat, amely egyenletesen konvergál f -hez az X × Y szorzathalmazon és minden N ∋ n-re supp(fn ) ⊆ K × L. Vigyázzunk arra, hogy itt általában nem érhető el az, hogy minden N ∋ n-re supp(fn ) ⊆ supp(f ) teljesüljön!

3.3.

Bruhat-féle keresztmetszet-függvény

A következő tétel előtt megjegyezzük, hogy ha T lokálisan kompakt tér, és R olyan ekvivalencia-reláció T felett, hogy a T /R topologikus faktortér Hausdorff-tér és a T → T /R kanonikus szürjekció nyílt leképezés, akkor a T /R topologikus faktortér szükségképpen lokálisan kompakt, de nem szükségképpen parakompakt. 3.3.1. Tétel. (Bruhat-féle keresztmetszet-függvény létezése) Legyen T lokálisan kompakt tér és R olyan ekvivalencia-reláció T felett, hogy a T /R topologikus faktortér Hausdorff-tér és a π : T → T /R kanonikus szürjekció nyílt leképezés. Ha a T /R topologikus faktortér parakompakt, akkor létezik olyan f : T → R+ folytonos függvény, amelyre a következők teljesülnek: a) minden x ∈ T /R esetén x ∩ [f > 0] 6= ∅; −1

b) minden K ⊆ T /R kompakt halmazra π hKi ∩ supp(f ) kompakt T -ben.

Bizonyítás. Minden x ∈ T /R esetén az x ⊆ T halmaz nem üres, ezért van olyan hx ∈ K+ (T ), hogy x ∩ [hx > 0] 6= ∅; kiválasztunk egy ilyen (hx )x∈T /R függvényrendszert, és minden T /R ∋ x-re az Ωx := [hx > 0] jelölést alkalmazzuk, tehát Ωx a T -nek nem üres, nyílt, relatív kompakt részhalmaza. Természetesen minden x ∈ T /R esetén x ∈ πhΩx i, hiszen ha t ∈ x ∩ [hx > 0], akkor x = π(t) ∈ πhΩx i. A hipotézis szerint π nyílt leképezés, ezért a (πhΩx i)x∈T /R halmazrendszer nyílt befedése T /R-nek. A T /R topologikus faktortér parakompaktsága miatt létezik T /R-nek olyan (Ui )i∈I lokálisan véges nyílt befedése, amely az (πhΩx i)x∈T /R befedés finomítása, vagyis minden I ∋ i-hez van olyan x ∈ T /R, hogy Ui ⊆ πhΩx i. Válasszunk ki olyan σ : I → T /R függvényt, 67

amelyre minden i ∈ I esetén Ui ⊆ πhΩσ(i) i. Legyen (gi )i∈I olyan függvényrendszer, amely az (Ui )i∈I lokálisan véges nyílt befedésnek alárendelt Xegységfelosztás, vagyis minden I ∋ ire gi ∈ K (T /R; R), 0 ≤ gi ≤ 1, supp(gi ) ⊆ Ui , és gi = 1. Legyen minden i ∈ I esetén i∈I

−1

−1

fi := (gi ◦ π).hσ(i) ; ekkor fi ∈ K+ (T ) és supp(fi ) ⊆ supp(gi ◦ π) ⊆ π hsupp(gi )i ⊆ π hUi i. −1

Nyilvánvaló, hogy a ( π hUi i)i∈I halmazrendszer lokálisan véges, X ezért a (supp(fi ))i∈I halmazrendszer is lokálisan véges, így jól értelmezett az f := fi : T → R+ függvény. i∈I

Világos, hogy f folytonos függvény, hiszen a (supp(fi ))i∈I halmazrendszer lokális végessége miatt minden T ∋ t-re f egyenlő véges sok folytonos függvény összegével a t valamely környezetén, így a folytonosság lokalitása miatt f folytonos a t pontban. Továbbá, f -re a) teljesül, mert ha x ∈ T /R, akkor

X i∈I

gi = 1 miatt van olyan i ∈ I, hogy

gi (x) > 0; ekkor x ∈ supp(gi ) ⊆ Ui ⊆ πhΩσ(i) i, így van olyan t ∈ Ωσ(i) := [hσ(i) > 0], hogy x = π(t), így fi (t) := gi (π(t))hσ(i) (t) > 0, vagyis t ∈ x ∩ [f > 0].

Az f függvényre b) is teljesül. Legyen ugyanis K ⊆ T /R kompakt halmaz. Az (Ui )i∈I halmazrendszer lokális végessége alapján a J := {i ∈ I|K ∩ Ui 6= ∅} halmaz véges, így −1 kihasználva azt, hogy minden I ∋ i-re supp(fi ) ⊆ π hUi i kapjuk, hogy −1

−1

π hKi ∩ supp(f ) ⊆ π hKi ∩

[

supp(fi ) =

i∈I

[

i∈J

−1

( π hKi ∩ supp(fi )),

−1

és itt a jobb oldalon álló halmaz kompakt T -ben, és a π hKi ∩ supp(f ) halmaz zárt, így ez a halmaz kompakt is.  3.3.2. Definíció. Ha T lokálisan kompakt tér feletti R ekvivalencia-reláció Bruhatféle keresztmetszet-függvényének nevezünk minden olyan f : T → R+ folytonos függvényt, amelyre az előző tétela) ésb) feltétele teljesül, ahol π : T → T /R a kanonikus szürjekció. Ha például G lokálisan kompakt csoport és H ⊆ G zárt részcsoport, akkor a H által meghatározott baloldali ekvivalencia-reláció olyan, hogy a G/H topologikus faktortér parakompakt lokálisan kompakt tér, és a πG/H : G → G/H kanonikus szürjekció nyílt leképezés, ezért ennek az ekvivalencia-relációnak létezik Bruhat-féle keresztmetszetfüggvénye, vagyis létezik olyan f : G → R+ folytonos függvény, hogy minden G ∋ s-re (sH) ∩ [f > 0] 6= ∅, és minden K ⊆ G kompakt halmazra a (KH) ∩ supp(f ) halmaz −1 kompakt, hiszen ez a halmaz egyenlő a πG/H hπG/H hKii ∩ supp(f ) halmazzal. Ennek a topologikus ténynek fontos alkalmazása lesz az indukált unitér ábrázolások elméletében. 3.3.3. Állítás. Ha T megszámlálható bázisú lokálisan kompakt tér, akkor a C (T ; K) függvénytér a kompakt konvergencia topológiájával ellátva szeparábilis metrizálható lokálisan konvex tér. 68

Bizonyítás. A [19, 27.13.1.] szerint T σ-kompakt lokálisan kompakt tér, így vehetünk olyan (Kn )n∈N halmazsorozatot, hogy minden N ∋ n-re Kn ⊆ T kompakt halmaz, S Kn ⊆ Int(Kn+1 ), és T = Kn . n∈N

Legyen n ∈ N rögzített; ekkor Kn az altér-topológiával ellátva megszámlálható bázisú kompakt tér, ezért a C (Kn ; K) függvénytér a sup-normával ellátva szeparábilis normált tér ([19, 28.5.1.]). Legyen (fn,m )m∈N olyan sorozat C (Kn ; K)-ban, amelyre {fn,m |m ∈ N} sűrű a sup-norma szerint. A lokálisan kompakt terekre vonatkozó Tietze-tétel alapján minden N ∋ m-hez van olyan T → K kompakt tartójú folytonos függvény, amely fn,m nek kiterjesztése. Kiválasztható tehát olyan (fen,m )m∈N sorozat, hogy minden N ∋ m-re fen,m ∈ K (T ; K) és fn,m ⊆ fen,m .

Megmutatjuk, hogy az {fen,m |(m, n) ∈ N × N} halmaz sűrű C (T ; K)-ban a kompakt konvergencia topológiája szerint. Legyen ugyanis f ∈ C (T ; K), K ⊆ T kompakt S S halmaz és ε ∈ R+ . Ekkor K ⊆ T = Kn = Int(Kn ) miatt van olyan n ∈ N, n∈N

n∈N

hogy K ⊆ Int(Kn ). Világos, hogy f |Kn ∈ C (Kn ; K), ezért van olyan m ∈ N, hogy sup |(f |Kn )(t) − fn,m (t)| < ε; ekkor természetesen sup |f (t) − fen,m (t)| < ε is teljesül. t∈Kn

t∈K

Ez azt jelenti, hogy C (T ; K) a kompakt konvergencia topológiájával ellátva szeparábilis lokálisan konvex tér.

A metrizálhatóság bizonyításához vegyünk R+ -ban egy tetszőleges (εn )n∈N zérussorozatot, és legyen minden N ∋ n-re Wn := {f ∈ C (T ; K)| sup |f (t)| < εn }. t∈Kn

Megmutatjuk, hogy {Wn |n ∈ N} a 0-nak környezetbázisa a kompakt konvergencia topológiája szerint. Ehhez legyen K ⊆ T kompakt halmaz és ε ∈ R+ . Rögzítsünk olyan n1 , n2 ∈ N számokat, amelyekre K ⊆ Kn1 és minden n > n2 természetes számra εn < ε. Ekkor n ∈ N és n > max(n1 , n2 ) esetén Wn ⊆ {f ∈ C (T ; K)| sup |f (t)| < ε} t∈K

nyilvánvalóan teljesül. Ugyanakkor a kompakt konvergencia topológiájának definíciója szerint az {f ∈C (T ; K)| sup |f (t)|<ε} alakú halmazok a 0-nak környezetbázisát alkotják, t∈K

ha K befutja a T kompakt részhalmazainak halmazát, és ε befutja R+ -t. Ezért {Wn |n ∈ N} a 0-nak megszámlálható környezetbázisa a kompakt konvergencia topológiája szerint, így a topologikus vektorterek metrizálhatóságának jellemzése ([19, 2.2.2.]) alapján ebből következik, hogy C (T ; K) a kompakt konvergencia topológiájával metrizálható. 

69

4. fejezet Komplex Radon-mértékek 4.1.

Komplex Radon-mértékek alaptulajdonságai

A harmonikus analízis vizsgálatában a leghatékonyabb eszköz a komplex Radonmértékek elmélete; most ezzel a témakörrel foglalkozunk. 4.1.1. Jelölés. Ha T halmaz, F normált tér és f : T → F függvény, akkor minden K ⊆ T halmazra:    sup kf (t)k , ha K 6= ∅ 9f 9K :=  t∈K  0 , ha K = ∅. az

Megjegyezzük, hogy ha T halmaz és F normált tér, akkor minden K ⊆ T halmazra F b (T ; F ) → R+ ;

f 7→ 9f 9K

leképezés félnorma, és K = T esetén ez éppen a sup-norma a T → F korlátos függvények F b (T ; F ) terén. 4.1.2. Definíció. Legyen T lokálisan kompakt tér. – Komplex Radon-mértéknek (vagy csak egyszerűen Radon-mértéknek) nevezünk T felett minden olyan θ : K (T ; C) → C lineáris funkcionált, amelyre teljesül az, hogy minden K ⊆ T kompakt halmazhoz van olyan C ∈ R+ , hogy minden K (T ; C) ∋ ϕ-re, ha supp(ϕ) ⊆ K, akkor |θ(ϕ)| ≤ C 9 ϕ 9T .

A T lokálisan kompakt tér feletti komplex Radon-mértékek halmazát M (T ; C) jelöli.

– Egy T feletti θ komplex Radon-mértéket valós Radon-mértéknek nevezünk, ha 70

minden ϕ ∈ K (T ; R) esetén θ(ϕ) ∈ R. A T feletti valós Radon-mértékek halmazát M (T ; R) vagy M (T ) jelöli. – Egy T feletti θ komplex Radon-mértéket pozitív Radon-mértéknek nevezünk, ha minden ϕ ∈ K (T ; R) esetén, ha ϕ ≥ 0, akkor θ(ϕ) ∈ R+ . A T feletti pozitív Radonmértékek halmazát M+ (T ) jelöli. Legyen T lokálisan kompakt tér. Ha θ valós Radon-mérték T felett, akkor a θR := θ|K (T ;R) : K (T ; R) → R leképezés olyan lineáris funkcionál, amelyre minden K ⊆ T kompakt halmazhoz van olyan C ∈ R+ , hogy minden ϕ ∈ K (T ; R) függvényre, ha supp(ϕ) ⊆ K, akkor |θR (ϕ)| ≤ C 9 ϕ9T . Megfordítva, legyen µ : K (T ; R) → R olyan lineáris funkcionál, hogy minden K ⊆ T kompakt halmazhoz van olyan C ∈ R+ , hogy minden ϕ ∈ K (T ; R) függvényre, ha supp(ϕ) ⊆ K, akkor |µ(ϕ)| ≤ C 9 ϕ9T . Ekkor a θ : K (T ; C) → C;

ϕ 7→ µ(ℜ(ϕ)) + iµ(ℑ(ϕ))

leképezés az a komplex Radon-mérték T felett, amelyre θR = µ. Ez azt jelenti, hogy a θ 7→ θR hozzárendelés kitüntetett bijekció M (T ; R) és azon µ : K (T ; R) → R lineáris funkcionálok halmaza között, amelyekre teljesül az, hogy minden K ⊆ T kompakt halmazhoz van olyan C ∈ R+ , hogy minden ϕ ∈ K (T ; R) függvényre, ha supp(ϕ) ⊆ K, akkor |µ(ϕ)| ≤ C 9 ϕ9T . 4.1.3. Definíció. A T lokálisan kompakt tér feletti θ Radon-mértéket korlátosnak nevezzük, ha θ folytonos a K (T ; C) függvénytér feletti sup-norma szerint, vagyis ha létezik olyan C ∈ R+ , hogy minden ϕ ∈ K (T ; C) függvényre |θ(ϕ)| ≤ C 9 ϕ9T teljesül; ekkor a θ funkcionálnormáját a θ Radon-mérték mértéknormájának nevezzük és kθkval jelöljük. A T feletti korlátos komplex Radon-mértékek halmazát M b (T ; C) jelöli. Nyilvánvaló, hogy ha T kompakt tér, akkor minden T feletti Radon-mérték korlátos, mert ha θ ∈ M (T ; C), akkor a T kompakt halmazhoz is van olyan C ∈ R+ , hogy minden ϕ ∈ K (T ; C) függvényre |θ(ϕ)| ≤ C 9 ϕ9T teljesül, vagyis θ a sup-norma szerint folytonos. 4.1.4. Állítás. (Radon-mértékek sorozatfolytonossága) Legyen T lokálisan kompakt tér. Egy θ : K (T ; C) → C lineáris funkcionál pontosan akkor Radon-mérték T felett, ha minden K (T ; C)-ben haladó (ϕn )n∈N sorozatra teljesül az, hogy ha (ϕn )n∈N egyenletesen konvergál a T halmazon a 0-hoz, és létezik olyan K ⊆ T kompakt halmaz, hogy minden N ∋ n-re supp(ϕn ) ⊆ K, akkor n→∞ lim θ(ϕn ) = 0. Bizonyítás. Legyen θ komplex Radon-mérték T felett, és (ϕn )n∈N olyan K (T ; C)-ben haladó sorozat, amely T -n egyenletesen konvergál 0-hoz, és tegyük fel, hogy K ⊆ T olyan kompakt halmaz, hogy minden N ∋ n-re supp(ϕn ) ⊆ K. A K-hoz legyen C ∈ R+ olyan, hogy minden K (T ; C) ∋ ϕ-re, supp(ϕ) ⊆ K esetén fennáll a |θ(ϕ)| ≤ C 9 ϕ9T 71

egyenlőtlenség. Ekkor minden n ∈ N esetén |θ(ϕn )| ≤ C 9 ϕn 9T , és lim 9ϕn 9T = 0, n→∞ hiszen (ϕn )n∈N egyenletesen konvergál 0-hoz T -n, így lim θ(ϕn ) = 0. Megfordítva, n→∞ tegyük fel, hogy a θ : K (T ; C) → C lineáris funkcionál nem Radon-mérték T felett, tehát van olyan K ⊆ T kompakt halmaz, hogy minden C ∈ R+ számhoz létezik olyan ϕ ∈ K (T ; C), amelyre supp(ϕ) ⊆ K, de |θ(ϕ)| > C 9 ϕ9T . Legyen (εn )n∈N tetszőleges R+ -ban haladó zérussorozat, és válasszunk ki olyan (ψn )n∈N sorozatot K (T ; C)-ből, amelyre minden n ∈ N esetén supp(ψn ) ⊆ K és |θ(ψn )| > (1/εn ) 9 ψn 9T . Legyen minden N ∋ n-re ϕn := (εn /9ψn 9T ).ψn ; ekkor (ϕn )n∈N olyan sorozat K (T ; C)-ben, hogy minden n ∈ N esetén supp(ϕn ) ⊆ supp(ψn ) ⊆ K, és 9ϕn 9T = εn , tehát (ϕn )n∈N egyenletesen konvergál 0-hoz T -n. Ugyanakkor minden N ∋ n-re |θ(ϕn )| = εn |θ(ψn )|/ 9 ψn 9T > 1, tehát a (θ(ϕn ))n∈N komplex számsorozat nem konvergál 0-hoz.  Egy fontos Radon-mérték konstrukcióról szól a következő állítás. 4.1.5. Állítás. Legyenek T , S lokálisan kompakt terek, g : T → C folytonos függvény, −1 és π : T → S olyan folytonos függvény, hogy minden H ⊆ S kompakt halmazra π hHi kompakt halmaz T -ben. Ekkor minden T feletti θ komplex Radon-mértékre a K (S; C) → C;

ψ 7→ θ(g.(ψ ◦ π))

leképezés komplex Radon-mérték S felett. Bizonyítás. Legyen θ komplex Radon-mérték T felett; ekkor a szóbanforgó leképezés nyilvánvalóan lineáris funkcionál K (S; C) felett. Legyen H ⊆ S kompakt halmaz. A −1 feltevés szerint π hHi kompakt halmaz T -ben és θ Radon-mérték T felett, így vehetünk −1 olyan C ∈ R+ számot, amelyre ϕ ∈ K (T ; C) és supp(ϕ) ⊆ π hHi esetén |θ(ϕ)| ≤ −1 C 9 ϕ9T . Ha ψ ∈ K (S; C) olyan, hogy supp(ψ) ⊆ H, akkor supp(g.(ψ ◦ π)) ⊆ π hHi, ezért |θ(g.(ψ ◦ π))| ≤ C 9 g.(ψ ◦ π)9T = C 9 g.(ψ ◦ π)9−1 ≤ π hHi

≤ C( sup |g(t)|) 9 ψ9S , −1

t∈ π hHi

amivel az állítást igazoltuk.  4.1.6. Definíció. Legyen T lokálisan kompakt tér, g : T → C folytonos függvény, és θ komplex Radon-mérték T felett. Ekkor minden T feletti θ komplex Radon-mértékre a K (T ; C) → C;

ϕ 7→ θ(g.ϕ)

T feletti komplex Radon-mértéket g.θ jelöli, és ezt a g függvény és θ Radon-mérték szorzatának nevezzük.

72

4.1.7. Definíció. Legyenek T , S lokálisan kompakt terek, és π : T → S olyan folytonos −1 függvény, hogy minden H ⊆ S kompakt halmazra π hHi kompakt halmaz T -ben. Ekkor minden T feletti θ komplex Radon-mértékre a K (S; C) → C;

ψ 7→ θ(ψ ◦ π)

S feletti komplex Radon-mértéket π(θ) jelöli, és ezt a θ Radon-mérték π függvény által létesített képének nevezzük. Vigyázzunk arra, hogy ha T , S lokálisan kompakt terek, és θ komplex Radon-mérték T felett, akkor általában csak olyan π : T → S folytonos függvény esetében képezhető az S feletti π(θ) Radon-mérték, amely eleget tesz annak a feltételnek, hogy minden −1 H ⊆ S kompakt halmazra π hHi kompakt halmaz T -ben; különben ψ ∈ K (S; C) esetén a ψ ◦ π : T → C folytonos függvény nem szükségképpen kompakt tartójú, tehát a θ(ψ ◦π) szimbólum értelmetlen (vagy legalábbis értelmezésre szorul). Ha T és S lokálisan kompakt terek, akkor egy π : T → S folytonos függvényre azt mondjuk, hogy valódi, −1 ha minden H ⊆ S kompakt halmazra π hHi kompakt halmaz T -ben. Nyilvánvaló, hogy kompakt T esetén minden T → S folytonos függvény valódi. Továbbá tetszőleges T és S lokálisan kompakt térre, minden T → S homeomorfizmus valódi; a továbbiakban lényeges lesz ennek az a speciális esete, amikor T = S. Ha például γ topologikus ábrázolása a G csoportnak az X lokálisan kompakt térben, akkor minden G ∋ s-re γ(s) : X → X homeomorfizmus, így minden X feletti θ Radon-mértékre jól értelmezett γ(s)(θ), ami szintén X feletti Radon-mérték. 4.1.8. Állítás. a) Legyen T lokálisan kompakt tér és g1 , g2 : T → C folytonos függvények. Ha θ komplex Radon-mérték T felett, akkor g1 .(g2 .θ) = (g1 .g2 ).θ. b) Legyenek T1 , T2 , T3 lokálisan kompakt terek, π1 : T1 → T2 folytonos valódi függvény, és π2 : T2 → T3 folytonos valódi függvény. Ekkor π2 ◦ π1 : T1 → T3 is folytonos valódi függvény, és ha θ komplex Radon-mérték T1 felett, akkor π2 (π1 (θ)) = (π2 ◦ π1 )(θ). c) Legyenek T , S lokálisan kompakt terek, g : T → C folytonos függvény, és π : T → S homeomorfizmus. Ha θ komplex Radon-mérték T felett, akkor π(g.θ) = (g ◦ π −1 ).(π(θ)). Bizonyítás. A definíciók alapján nyilvánvaló. 

73

4.1.9. Definíció. Legyen T lokálisan kompakt tér és θ komplex Radon-mérték T felett. Ekkor θ : K (T ; C) → C; ϕ → 7 θ(ϕ), és θ-t a θ Radon-mérték konjugáltjának nevezzük, továbbá

1 1 ℜ(θ) := (θ + θ), ℑ(θ) := (θ − θ), 2 2i és ℜ(θ)-t (illetve ℑ(θ)-t) a θ Radon-mérték valós részének (illetve képzetes részének) nevezzük. Nyilvánvaló, hogy lokálisan kompakt tér feletti komplex Radon-mérték konjugáltja szintén komplex Radon-mérték, és komplex Radon-mérték valós, illetve képzetes része valós Radon-mérték. Továbbá, ha T lokálisan kompakt tér és θ komplex Radon-mérték T felett, akkor nyilvánvalóan θ = ℜ(θ) + iℑ(θ).

4.2.

Pozitív Radon-mértékek

4.2.1. Állítás. Ha T lokálisan kompakt tér, és µ : K (T ; C) → C olyan lineáris funkcionál, amelyre minden ϕ ∈ K+ (T ) esetén µ(ϕ) ∈ R+ (amit úgy fejezünk ki, hogy µ pozitív lineáris funkcionál), akkor µ pozitív Radon-mérték T felett, és minden ϕ ∈ K (T ; C) esetén |µ(ϕ)| ≤ µ(|ϕ|).

Bizonyítás. Először megjegyezzük, hogy a µ : K (T ; C) → C lineáris funkcionál pozitivitása nyilvánvalóan ekvivalens azzal, hogy µ a K (T ) függvényhalmazon valós értékű és monoton növő, vagyis ϕ, ψ ∈ K (T ) esetén, ha ϕ ≤ ψ, akkor µ(ϕ) ≤ µ(ψ).

Legyen ϕ ∈ K (T ; C) tetszőleges. A µ(ϕ) komplex számhoz van olyan z ∈ C, hogy |z| = 1 és |µ(ϕ)| = zµ(ϕ). Ekkor |µ(ϕ)| = µ(zϕ) = ℜ(µ(zϕ)) = µ(ℜ(zϕ)) ≤ µ(|ϕ|),

hiszen µ C-homogén és valós folytonos kompakt tartójú függvényhez valós számot rendel, ezért minden ψ ∈ K (T ; C) esetén ℜ(µ(ψ)) = µ(ℜ(ψ)) teljesül, továbbá világos, hogy ℜ(zϕ) ≤ |zϕ| = |ϕ|, így az utolsó lépésben alkalmazhattuk a µ monoton növését.

Legyen K ⊆ T kompakt halmaz, és a lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tétel alapján vegyünk olyan ψ ∈ K+ (T ) függvényt, amelyre K ⊆ [ψ = 1]. Ha ϕ ∈ K (T ; C) olyan, hogy supp(ϕ) ⊆ K, akkor |ϕ| ≤ ψ 9 ϕ9T , így a µ monoton növése és az imént igazolt egyenlőtlenség alapján |µ(ϕ)| ≤ µ(|ϕ|) ≤ µ(ψ) 9 ϕ9T

teljesül, vagyis µ Radon-mérték T felett. 

74

4.2.2. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér és µ0 : K+ (T ) → R+ függvény. Akkor és csak akkor létezik olyan T feletti Radon-mérték, amely µ0 -nak kiterjesztése, ha µ0 additív, vagyis minden K+ (T ) ∋ ϕ, ψ-re µ0 (ϕ + ψ) = µ0 (ϕ) + µ0 (ψ). Bizonyítás. A feltétel nyilvánvalóan szükséges. Az elégségesség bizonyításához tegyük fel, hogy µ0 additív. Ekkor µ0 monoton növő K+ (T )-n, vagyis ϕ, ψ ∈ K+ (T ) esetén, ha ϕ ≤ ψ, akkor µ0 (ϕ) ≤ µ0 (ψ), hiszen a µ0 pozitivitása és additivitása miatt µ0 (ψ) = µ0 (ϕ + (ψ − ϕ)) = µ0 (ϕ) + µ0 (ψ − ϕ) ≥ µ0 (ϕ). A µ0 additivitásából könnyen következik, hogy minden Q+ ∋ r-re és K+ (T ) ∋ ϕ-re µ0 (rϕ) = rµ0 (ϕ). Ha ϕ ∈ K+ (T ) és c ∈ R+ , akkor r, s ∈ Q+ , r ≤ c ≤ s esetén rµ0 (ϕ) = µ0 (rϕ) ≤ µ0 (cϕ) ≤ µ0 (sϕ) ≤ sµ0 (ϕ). Ebből következik, hogy minden ϕ ∈ K+ (T ) és c ∈ R+ esetén µ0 (cϕ) = cµ0 (ϕ), vagyis µ0 pozitív homogén. Értelmezzük most a ν : K (T ; R) → R;

ϕ 7→ µ0 (ϕ+ ) − µ0 (ϕ− )

leképezést. Ha ϕ ∈ K (T ; R) tetszőleges, és ϕ1 , ϕ2 ∈ K+ (T ), valamint ψ1 , ψ2 ∈ K+ (T ) olyan függvények, amelyekre ϕ = ϕ1 − ϕ2 = ψ1 − ψ2 , akkor ϕ1 + ψ2 = ϕ2 + ψ1 , ezért a µ0 additivitása folytán µ0 (ϕ1 ) + µ0 (ψ2 ) = µ0 (ϕ2 ) + µ0 (ψ1 ), következésképpen µ0 (ϕ1 ) − µ0 (ϕ2 ) = µ0 (ψ1 ) − µ0 (ψ2 ). Ez azt jelenti, hogy ha ϕ ∈ K (T ; R) és ϕ1 , ϕ2 ∈ K+ (T ) tetszőleges olyan függvények, amelyekre ϕ = ϕ1 − ϕ2 , akkor ν(ϕ) = µ0 (ϕ1 ) − µ0 (ϕ2 ). Ebből azonnal következik a ν leképezés additivitása, hiszen ha ϕ, ψ ∈ K (T ; R), akkor ϕ + ψ = (ϕ+ + ψ + ) − (ϕ− + ψ − ), így ν(ϕ + ψ) = µ0 (ϕ+ + ψ + ) − µ0 (ϕ− + ψ − ) = µ0 (ϕ+ ) + µ0 (ψ + ) − µ0 (ϕ− ) − µ0 (ψ − ) = (µ0 (ϕ+ ) − µ0 (ϕ− )) + (µ0 (ψ + ) − µ0 (ψ − )) =: ν(ϕ) + ν(ψ).

Továbbá a ν leképezés R-homogén is. Ha ugyanis ϕ ∈ K (T ; R) és c ∈ R+ , akkor ν(cϕ) := µ0 ((cϕ)+ ) − µ0 ((cϕ)− ) = µ0 (cϕ+ ) − µ0 (cϕ− ) = cµ0 (ϕ+ ) − cµ0 (ϕ− ) = c(µ0 (ϕ+ ) − µ0 (ϕ− )) =: cν(ϕ). Ugyanakkor ϕ ∈ K (T ; R) esetén ν(−ϕ) = ν(ϕ− − ϕ+ ) = µ0 (ϕ− ) − µ0 (ϕ+ ) =: −ν(ϕ), ezért minden c ∈ R, c < 0 számra az előzőek alapján ν(cϕ) = ν((−c)(−ϕ)) = (−c)ν(−ϕ) = cν(ϕ). Ez azt jelenti, hogy a ν : K (T ; R) → R leképezés R-lineáris funkcionál, továbbá a definíció szerint nyilvánvaló, hogy µ0 ⊆ ν. Világos, hogy a µ : K (T ; C) → C;

ϕ 7→ ν(ℜ(ϕ)) + iν(ℑ(ϕ))

leképzés C-lineáris funkcionál, és ν ⊆ µ. Ebből látható, hogy µ pozitív funkcionál, tehát Radon-mérték T felett. 

75

4.2.3. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér, és µ valós Radon-mérték T felett. Egyértelműen létezik az a T feletti µ+ pozitív Radon-mérték, amelyre minden ϕ ∈ K+ (T ) esetén µ+ (ϕ) = sup µ(ψ). ψ∈K+ (T ) ψ≤ϕ

Ekkor µ− := µ+ − µ szintén pozitív Radon-mérték T felett, és µ = µ+ − µ− . Bizonyítás. Ha ϕ ∈ K+ (T ), akkor minden ψ ∈ K+ (T ) függvényre, ψ ≤ ϕ esetén supp(ψ) ⊆ supp(ϕ), ezért ha a supp(ϕ) kompakt halmazhoz a C ∈ R+ szám olyan, hogy minden f ∈ K (T ; C) függvényre supp(f ) ⊆ supp(ϕ) esetén |µ(f )| ≤ C 9 f 9T , akkor µ(ψ) ≤ |µ(ψ)| ≤ C 9 ψ9T ≤ C 9 ϕ9T teljesül, tehát a {µ(ψ)|(ψ ∈ K+ (T )) ∧ (ψ ≤ ϕ)} számhalmaz felülről korlátos. Ezért jól értelmezett a µ+ 0 : K+ (T ) → R+ ;

ϕ 7→

sup

µ(ψ)

ψ∈K+ (T ) ψ≤ϕ

leképezés. Azt kell igazolni, hogy µ+ 0 kiterjeszthető T feletti Radon-mértékké. Az előző állítás szerint elég azt megmutatni, hogy µ+ 0 additív. Ehhez legyenek ϕ1 , ϕ2 ∈ K+ (T ) tetszőlegesek. Ha ψ ∈ K+ (T ) és ψ ≤ ϕ1 + ϕ2 , akkor a felbontási lemma alapján léteznek olyan ψ1 , ψ2 ∈ K+ (T ) függvények, hogy ψ = ψ1 + ψ2 , ψ1 ≤ ϕ1 , és ψ2 ≤ ϕ2 ; ekkor a definíció + + + + szerint µ(ψ) = µ(ψ1 ) + µ(ψ2 ) ≤ µ+ 0 (ϕ1 ) + µ0 (ϕ2 ), tehát µ0 (ϕ1 + ϕ2 ) ≤ µ0 (ϕ1 ) + µ0 (ϕ2 ) + (vagyis µ0 szubadditív). Ha ψ1 , ψ2 ∈ K+ (T ) olyan függvények, hogy ψ1 ≤ ϕ1 és ψ2 ≤ ϕ2 , akkor ψ1 + ψ2 ∈ K+ (T ) és ψ1 + ψ2 ≤ ϕ1 + ϕ2 , ezért µ(ψ1 ) + µ(ψ2 ) = µ(ψ1 + ψ2 ) ≤ µ+ 0 (ϕ1 + ϕ2 ). Ebből látható, + + + hogy µ+ (ϕ ) + µ (ϕ ) ≤ µ (ϕ + ϕ ), vagyis µ szuperadditív. 1 2 1 2 0 0 0 0

Ezzel beláttuk a µ+ Radon-mérték létezését, és az unicitása nyilvánvaló. Ha ϕ ∈ K+ (T ), − akkor nyilvánvalóan µ(ϕ) ≤ µ+ := µ+ − µ lineáris funkcionál pozitív 0 (ϕ), ezért a µ Radon-mérték T felett.  4.2.4. Definíció. Ha T lokálisan kompakt tér, és µ valós Radon-mérték T felett, akkor az előző állításban értelmezett µ+ (illetve µ− ) pozitív Radon-mértéket a µ pozitív részének (illetve negatív részének) nevezzük. 4.2.5. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér. Egy θ : K (T ; C) → C lineáris funkcionál pontosan akkor Radon-mérték T felett, ha előáll T feletti pozitív Radonmértékek lineáris kombinációjaként. Bizonyítás. Ha θ komplex Radon-mérték T felett, akkor ℜ(θ) és ℑ(θ) valós Radonmértékek T felett, ezért θ = ℜ(θ) + iℑ(θ) = ℜ(θ)+ − ℜ(θ)− + iℑ(θ)+ − iℑ(θ)− .  76

Megjegyezzük, hogy ha µ korlátos valós Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett, akkor a µ+ és µ− pozitív Radon-mértékek is korlátosak, és kµk = kµ+ k + kµ− k. 4.2.6. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér, és θ komplex Radon-mérték T felett. Egyértelműen létezik T felett az a |θ| pozitív Radon-mérték, amelyre minden ϕ ∈ K+ (T ) esetén |θ|(ϕ) = sup |θ(ψ)|. ψ∈K (T ;C) |ψ|≤ϕ

Bizonyítás. Ha ϕ ∈ K+ (T ), akkor minden ψ ∈ K (T ; C) függvényre, |ψ| ≤ ϕ esetén supp(ψ) ⊆ supp(ϕ), ezért ha a supp(ϕ) kompakt halmazhoz a C ∈ R+ szám olyan, hogy minden f ∈ K (T ; C) függvényre supp(f ) ⊆ supp(ϕ) esetén |θ(f )| ≤ C 9 f 9T , akkor |θ(ψ)| ≤ C 9 ψ9T ≤ C 9 ϕ9T teljesül, tehát a {|θ(ψ)||(ψ ∈ K (T ; C)) ∧ (|ψ| ≤ ϕ)} számhalmaz felülről korlátos. Ezért jól értelmezett a |θ|0 : K+ (T ) → R+ ;

ϕ 7→

sup ψ∈K (T ;C) |ψ|≤ϕ

|θ(ψ)|

leképezés. Azt kell igazolni, hogy |θ|0 kiterjeszthető T feletti Radon-mértékké. Elég azt megmutatni, hogy |θ|0 additív; ehhez legyenek ϕ1 , ϕ2 ∈ K+ (T ) tetszőlegesek.

Ha ψ ∈ K (T ; C) és |ψ| ≤ ϕ1 + ϕ2 , akkor a felbontási lemma alapján léteznek olyan ψ1 , ψ2 ∈ K (T ; C) függvények, hogy ψ = ψ1 + ψ2 , |ψ1 | ≤ ϕ1 , és |ψ2 | ≤ ϕ2 ; ekkor a definíció szerint |θ(ψ)| ≤ |θ(ψ1 )| + |θ(ψ2 )| ≤ |θ|0 (ϕ1 ) + |θ|0 (ϕ2 ), tehát |θ|0 (ϕ1 + ϕ2 ) ≤ |θ|0 (ϕ1 ) + |θ|0 (ϕ2 ).

A fordított egyenlőtlenség bizonyításában felhasználjuk azt, hogy minden C ∋ z1 , z2 -höz létezik olyan u ∈ C, hogy |u| = 1 és |z1 + uz2 | = |z1 | + |z2 |. Valóban, ha z1 = 0 vagy z2 = 0, akkor u := 1 ilyen, míg z1 6= 0 6= z2 esetén az u := (z1 z2 )/(|z1 ||z2 |) szám eleget tesz a követelménynek. Legyenek most ψ1 , ψ2 ∈ K (T ; C) olyan függvények, amelyekre |ψ1 | ≤ ϕ1 és |ψ2 | ≤ ϕ2 . Az előző megjegyzés szerint vehetünk olyan u ∈ C számot, hogy |u| = 1 és |θ(ψ1 ) + uθ(ψ2 )| = |θ(ψ1 )| + |θ(ψ2 )|. Ekkor |θ(ψ1 )| + |θ(ψ2 )| = |θ(ψ1 + uψ2 )| ≤ |θ|0 (ϕ1 + ϕ2 ), hiszen |ψ1 + uψ2 | ≤ ϕ1 + ϕ2 . Ebből azonnal következik, hogy |θ|0 (ϕ1 ) + |θ|0 (ϕ2 ) ≤ |θ|0 (ϕ1 + ϕ2 ).  4.2.7. Definíció. Ha T lokálisan kompakt tér, és θ komplex Radon-mérték T felett, akkor az előző állításban értelmezett |θ| pozitív Radon-mértéket a θ abszolút értékének nevezzük. 77

A definíció alapján triviális, hogy ha θ komplex Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett, akkor minden ψ ∈ K (T ; C) esetén |θ(ψ)| ≤ |θ|(|ψ|). Ezt az egyenlőtlenséget gyakran alkalmazzuk anélkül, hogy hivatkoznánk rá. Ha T lokálisan kompakt tér, és θ, θ′ komplex Radon-mértékek T felett, valamint z ∈ C, akkor a definíció alapján könnyen igazolhatók a következők: |(|θ|)| = |θ|, |zθ| = |z||θ|,

|θ + θ′ | ≤ |θ| + |θ′ |.

Továbbá, ha µ valós Radon-mérték T felett, akkor

|µ| = µ+ + µ− , és teljesül a ekvivalencia-lánc.

µ ≥ 0 ⇔ µ = |µ| ⇔ µ = µ+ ⇔ µ− = 0

4.2.8. Lemma. Ha T lokálisan kompakt tér, és µ valós Radon-mérték T felett, akkor minden ϕ ∈ K+ (T ) esetén |µ|(ϕ) = sup |µ(ψ)|. ψ∈K (T ;R) |ψ|≤ϕ

Bizonyítás. A ≥ egyenlőtlenség K (T ; R) ⊆ K (T ; C) miatt nyilvánvaló. A fordított egyenlőtlenség bizonyításához legyen c ∈ R olyan, hogy c < |µ|(ϕ). A |µ| definíciója szerint létezik olyan ψ ∈ K (T ; C), hogy |ψ| ≤ ϕ és c < |µ(ψ)|. Ekkor a µ(ψ) ∈ C számhoz van olyan z ∈ C, hogy |z| = 1 és |µ(ψ)| = zµ(ψ). Felhasználva a µ funkcionál C-linearitását és azt, hogy µ valós Radon-mérték kapjuk, hogy c < |µ(ψ)| = zµ(ψ) = µ(zψ) = ℜ(µ(zψ)) = µ(ℜ(zψ)) = |µ(ℜ(zψ))|, tehát ℜ(zψ) ∈ K (T ; R) olyan, hogy |ℜ(zψ)| ≤ |ψ| ≤ ϕ, és c < |µ(ℜ(zψ))|. Ebből kapjuk a ≤ egyenlőtlenséget.  4.2.9. Lemma. Ha T lokálisan kompakt tér, és θ ∈ M (T ; K), akkor minden ϕ ∈ K (T ; K) esetén |θ|(|ϕ|) = sup |θ(ϕψ)|. ψ∈K (T ;K) |ψ|≤1

78

Bizonyítás. Legyen c ∈ R olyan, hogy c < |θ|(|ϕ|). Ekkor az abszolút érték definíciója alapján, és K = R esetén az előző lemmára hivatkozva vehetünk olyan ϕ′ ∈ K (T ; K) függvényt, amelyre |ϕ′ | ≤ |ϕ| és c < |θ(ϕ′ )|. A hányados lemma szerint van olyan (ψn )n∈N sorozat K (T ; K)-ban, hogy minden N ∋ n-re |ψn | ≤ 1, supp(ψn ) ⊆ [ϕ′ 6= 0], és lim (ψn ϕ) = ϕ′ a T halmazon egyenletesen. A Radon-mértékek sorozatfolytonossága n→∞ miatt θ(ϕ′ ) = lim θ(ψn ϕ), ezért c < lim |θ(ψn ϕ)|, így van olyan n ∈ N, amelyre n→∞ n→∞ c < |θ(ψn ϕ)|. Természetesen ebből következik, hogy c < sup |θ(ϕψ)|, ami azt jelenti, ψ∈K (T ;K) |ψ|≤1

hogy |θ|(|ϕ|) ≤

sup ψ∈K (T ;K) |ψ|≤1

|θ(ϕψ)|.

A fordított egyenlőtlenség viszont nyilvánvaló, mert ψ ∈ K (T ; K) és |ψ| ≤ 1 esetén |θ(ϕψ)| ≤ |θ|(|ϕ||ψ|) ≤ |θ|(|ϕ|). 

Nyilvánvaló, hogy az előző lemma ekvivalens módon megfogalmazható a következőképpen: ha θ komplex Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett, és ϕ ∈ K (T ; C), akkor ϕ.θ korlátos Radon-mérték T felett, és |θ|(|ϕ|) = kϕ.θk. Speciálisan, ha µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett, akkor minden ϕ ∈ K (T ; C) függvényre µ(|ϕ|) = kϕ.µk. 4.2.10. Állítás. Ha θ komplex Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett, és g ∈ C (T ; C), akkor |g.θ| = |g|.|θ|.

Bizonyítás. Elegendő azt igazolni, hogy minden K+ (T ) ∋ ϕ-re |g.θ|(ϕ) = |θ|(|g|ϕ). Legyen tehát ϕ ∈ K+ (T ) rögzített. Minden ψ ∈ K (T ; C) függvényre, ha |ψ| ≤ ϕ, akkor

|(g.θ)(ψ)| = |θ(gψ)| ≤ |θ|(|g||ψ|) ≤ |θ|(|g|ϕ),

ezért az abszolút érték definíciója szerint |g.θ|(ϕ) ≤ |θ|(|g|ϕ).

A fordított egyenlőtlenség bizonyításához az előző lemmát alkalmazva kapjuk, hogy |θ|(|g|ϕ) = |θ|(|gϕ|) =

sup ψ∈K (T ;C) |ψ|≤1

|θ(gϕψ)| =

sup ψ∈K (T ;C) |ψ|≤1

|(g.θ)(ϕψ)| ≤ |g.θ|(ϕ),

hiszen ψ ∈ K (T ; C) és |ψ| ≤ 1 esetén |(g.θ)(ϕψ)| ≤ |g.θ|(ϕ|ψ|) ≤ |g.θ|(ϕ). 

4.3.

Radon-mérték tartója

4.3.1. Definíció. Legyen T lokálisan kompakt tér, és θ komplex Radon-mérték T felett. Azt mondjuk, hogy az Ω ⊆ T nyílt halmaz θ-nullahalmaz, ha minden ϕ ∈ K (T ; C) függvényre, supp(ϕ) ⊆ Ω esetén θ(ϕ) = 0. 79

4.3.2. Állítás. Ha T lokálisan kompakt tér, θ komplex Radon-mérték T felett, és (Ωi )i∈I S a T nyílt θ-nullahalmazainak tetszőleges rendszere, akkor Ωi is nyílt θ-nullahalmaz. i∈I

Bizonyítás. Legyen ψ ∈ K (T ; C) olyan függvény, amelyre supp(ψ) ⊆

S

i∈I

Ωi .

A

supp(ψ) halmaz kompaktsága miatt vehetünk olyan J ⊆ I véges halmazt, amelyre S supp(ψ) ⊆ Ωi . A lokálisan kompakt terekre vonatkozó egységosztás-tétel alapján van i∈J

olyan (ϕi )i∈I rendszer K#(T ; R)-ben, hogy minden J ∋ i-re 0 ≤ ϕi ≤ 1, supp(ϕi ) ⊆ Ωi , "

és supp(ψ) ⊆

X

ϕi = 1 . Ekkor természetesen ψ =

i∈J

X

(ψϕi ), tehát θ(ψ) =

i∈J

X

θ(ψϕi ).

i∈J

De minden J ∋ i-re supp(ψϕi ) ⊆ Ωi , és Ωi nyílt θ-nullahalmaz, így θ(ψϕi ) = 0. Ebből S látható, hogy θ(ψ) = 0, vagyis Ωi nyílt θ-nullahalmaz.  i∈I

Az előző állításból következik, hogy ha T lokálisan kompakt tér és θ komplex Radon-mérték T felett, akkor létezik T -nek tartalmazás tekintetében legnagyobb nyílt részhalmaza, amely θ-nullahalmaz; ez nem más, mint a T összes nyílt θ-nullahalmazának uniója. Ezért értelmes a következő definíció.

4.3.3. Definíció. Ha T lokálisan kompakt tér, és θ komplex Radon-mérték T felett, akkor a θ tartójának nevezzük és a supp(θ) szimbólummal jelöljük a T -nek azt a részhalmazát, amelyre T \ supp(θ) a tartalmazás tekintetében legnagyobb nyílt θ-nullahalmaz T -ben. Tehát, ha T lokálisan kompakt tér, és θ komplex Radon-mérték T felett, akkor supp(θ) az a tartalmazás tekintetében legkisebb zárt részhalmaza T -nek, amely rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy minden ϕ ∈ K (T ; C) függvényre, ha supp(θ) ∩ supp(ϕ) = ∅, akkor θ(ϕ) = 0. 4.3.4. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér, és θ komplex Radon-mérték T felett. Ha ϕ ∈ K (T ; C) olyan függvény, hogy supp(θ) ⊆ [ϕ = 0], akkor θ(ϕ) = 0. Ha ϕ1 , ϕ2 ∈ K (T ; C) olyan függvények, hogy supp(θ) ⊆ [ϕ1 =ϕ2 ], akkor θ(ϕ1 ) = θ(ϕ2 ). Bizonyítás. A második állítás nyilvánvalóan következik az elsőből és a θ linearitásából. Tegyük fel, hogy ϕ ∈ K (T ; C) olyan függvény, amelyre supp(θ) ⊆ [ϕ = 0]. Az f := g := ϕ (triviális) választással alkalmazva a hányados lemmát kapjuk olyan (nemtriviális) (ψn )n∈N sorozat létezését K (T ; C)-ben, hogy minden N ∋ n-re |ψn | ≤ 1, supp(ψn ) ⊆ [ϕ 6= 0], és ϕ = lim (ϕψn ) a T halmazon egyenletesen. A Radonn→∞ mértékek sorozatfolytonossága miatt θ(ϕ) = lim θ(ϕψn ), és minden n ∈ N esetén n→∞ supp(ϕψn ) ⊆ supp(ψn ) ⊆ [ϕ6=0] ⊆ T \ supp(θ), tehát θ(ϕψn ) = 0, következésképpen θ(ϕ) = 0.  4.3.5. Következmény. Lokálisan kompakt tér felett minden kompakt tartójú Radonmérték korlátos. 80

Bizonyítás. Legyen θ kompakt tartójú Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett. A supp(θ) halmaz kompaktsága és a lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tétel alapján vehetünk olyan ψ ∈ K (T ; R) függvényt, hogy 0 ≤ ψ ≤ 1 és supp(θ) ⊆ [ψ = 1]. Ekkor minden ϕ ∈ K (T ; C) függvényre supp(θ) ⊆ [ψϕ = ϕ], ezért az előző állítás szerint θ(ϕ) = θ(ψϕ). A supp(ψ) kompakt halmazhoz vegyünk olyan C ∈ R+ számot, hogy minden ϕ ∈ K (T ; C) függvényre, ha supp(ϕ) ⊆ supp(ψ), akkor |θ(ϕ)| ≤ C 9 ϕ9T . Ekkor minden ϕ ∈ K (T ; C) függvényre supp(ψϕ) ⊆ supp(ψ), így |θ(ϕ)| = |θ(ψϕ)| ≤ C 9 ψϕ9T ≤ C 9 ϕ9T teljesül, tehát θ korlátos.  4.3.6. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér. Ha θ komplex Radon-mérték T felett, és g1 , g2 : T → C folytonos függvények, akkor a g1 .θ = g2 .θ mérték-egyenlőség ekvivalens a supp(θ) ⊆ [g1 = g2 ] összefüggéssel. Bizonyítás. Nyilvánvalóan azt kell igazolni, hogy minden g : T → C folytonos függvényre g.θ = 0 ekvivalens azzal, hogy supp(θ) ⊆ [g = 0]. A korábbiak szerint teljesül a g.θ = 0 ⇔ |g.θ| = 0 ⇔ |g|.|θ| = 0 ekvivalencia-lánc. Figyelembe véve, hogy supp(|θ|) = supp(θ); ez azt mutatja, hogy elegendő (és nyilvánvalóan szükséges) azt igazolni, hogy ha µ pozitív Radon-mérték T felett, és f : T → C pozitív folytonos függvény, akkor f.µ = 0 ekvivalens a supp(µ) ⊆ [f = 0] tartalmazással.

Ha supp(µ) ⊆ [f = 0], akkor minden ϕ ∈ K (T ; C) függvényre supp(µ) ⊆ [f.ϕ = 0], tehát az előző állítás szerint (f.µ)(ϕ) := µ(f.ϕ) = 0, azaz f.µ = 0.

Tegyük fel, hogy f.µ = 0. A supp(µ) ⊆ [f = 0] tartalmazás ekvivalens azzal, hogy [f 6= 0] ⊆ T \supp(µ), vagyis hogy [f > 0] nyílt µ-nullahalmaz. Legyen tehát ϕ ∈ K+ (T ) olyan függvény, amelyre supp(ϕ) ⊆ [f > 0]; azt kell belátni, hogy µ(ϕ) = 0. Ehhez vegyünk olyan R+ -ban haladó (εn )n∈N zérussorozatot, amely monoton fogyó. Ekkor az fϕ f + εn

n∈N

függvénysorozat K+ (T )-ben halad, monoton növő, és pontonként konvergál ϕ-hez. Ezért a Dini-tétel ([19, 28.4.5.]) alapján ez a függvénysorozat egyenletesen konvergál T -n, továbbá minden tagjának a tartója részhalmaza a supp(ϕ) kompakt halmaznak. A Radon-mértékek sorozatfolytonossából következik, hogy µ(ϕ) = n→∞ lim µ

fϕ f + εn

= n→∞ lim (f.µ)

hiszen a hipotézis szerint f.µ = 0.  81

ϕ f + εn

= 0,

4.3.7. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér. Ha θ komplex Radon-mérték T felett és g ∈ C (T ; C), akkor supp(g.θ) ⊆ supp(g) ∩ supp(θ). Bizonyítás. Ha ϕ ∈ K (T ; C) olyan, hogy supp(ϕ) ⊆ T \ supp(θ), akkor supp(gϕ) ⊆ supp(ϕ), ezért θ(gϕ) = 0, vagyis (g.θ)(ϕ) = 0. Ez azt jelenti, hogy T \ supp(θ) nyílt g.θ-nullahalmaz, tehát supp(g.θ) ⊆ supp(θ).

Ha ϕ ∈ K (T ; C) olyan, hogy supp(ϕ) ⊆ T \ supp(g), akkor gϕ = 0, ezért (g.θ)(ϕ) := θ(gϕ) = 0. Ez azt jelenti, hogy T \ supp(g) nyílt g.θ-nullahalmaz, tehát supp(g.θ) ⊆ supp(g). 

4.4.

Folytonos kompakt tartójú függvény integrálja

4.4.1. Lemma. Legyen T lokálisan kompakt tér, F normált tér K felett, és θ ∈ M (T ; K). Ekkor minden F -ben haladó (zi )i∈I véges rendszerre és K (T ; K)-ban haladó (ϕi )i∈I rendszerre



X



θ(ϕi )zi

i∈I

X q

ϕi ⊗ zi

i∈I

≤ |θ|

.

Bizonyítás. A Hahn–Banach-tételből következik ([19, 4.1.12.]), hogy

X



θ(ϕ )z i i

i∈I

= sup

u∈F ′ kuk≤1

! X u θ(ϕi )zi , i∈I

ezért elég azt igazolni, hogy u ∈ F ′ , kuk ≤ 1 esetén ! X u θ(ϕi )zi i∈I

≤ |θ|

X θ(ϕ )u(z ) i i i∈I

θ



X q

ϕi ⊗ zi



i∈I

.

Ez viszont így van, mert az u : F → K funkcionál K-linearitása, valamint θ ∈ M (T ; K) miatt: ! X u θ(ϕi )zi i∈I

= |θ|

u ◦

X i∈I

=

ϕi

! ⊗ zi q

≤ |θ|

=

X i∈I

! ϕi u(zi )



X q

kuk

ϕi ⊗ zi

i∈I

82

≤ |θ|

≤ |θ|

X ϕ u(z ) i i i∈I



X q

ϕi ⊗ zi

i∈I

=

.

4.4.2. Tétel. Legyen T lokálisan kompakt tér, F Banach-tér K felett, és θ ∈ M (T ; K). Ekkor egyértelműen létezik olyan K (T ; F ) → F ;

f 7→

Z

f dθ

K-lineáris operátor, amelyre teljesülnek a következők: a) minden ϕ ∈ K (T ; K) függvényre és z ∈ F vektorra Z

q

(ϕ ⊗ z) dθ = θ(ϕ)z,

b) minden f ∈ K (T ; F ) függvényre

Z



f

dθ

≤ |θ|(kf k).

Bizonyítás. Először tegyük fel, hogy I : K (T ; F ) → F olyan K-lineáris operátor, amelyre minden f ∈ K (T ; F ) esetén kI(f )k ≤ |θ|(kf k). Ekkor minden K (T ; F )-ben haladó (fn )n∈N sorozatra, és f ∈ K (T ; F ) függvényre, ha f = n→∞ lim fn , és (fn )n∈N egyenleteS sen konvergens T -n, valamint supp(fn ) relatív kompakt, akkor lim I(fn ) = I(f ). n→∞

n∈N

Valóban, ekkor minden N ∋ n-re kI(f ) − I(fn )k = kI(f − fn )k ≤ |θ|(kf − fn k), és az (kf − fn k)n∈N sorozat K+ (T )-ben halad, és egyenletesen konvergál T -n a 0-hoz, és S S supp(kf − fn k) relatív kompakt, mert részhalmaza a supp(f ) ∪ supp(fn ) relatív n∈N

n∈N

kompakt halmaznak. Ezért a Radon-mértékek sorozatfolytonosságából következik, hogy lim |θ|(kf − fn k) = 0, így lim I(fn ) = I(f ). n→∞

n→∞

Ebből már következik az egyértelműség. Valóban, legyenek I, I ′ : K (T ; F ) q → F olyan K-lineárisq operátorok, hogy minden ϕ ∈ K (T ; K) és z ∈ F esetén I(ϕ ⊗ z) = θ(ϕ)z = I ′ (ϕ ⊗ z), valamint minden f ∈ Kq (T ; F ) függvényre kI(f )k ≤ |θ|(kf k) és kI ′ (f )k ≤ |θ|(kf k). Ekkor I = I ′ a K (T ; K) ⊗ F függvénytéren, és ha f ∈ qK (T ; F ), akkor az approximációs lemma alapján van olyan (fn )n∈N sorozat K (T ; K) ⊗ F -ben, hogy S f = lim fn , és (fn )n∈N egyenletesen konvergens T -n, valamint supp(fn ) relatív komn→∞

n∈N

pakt halmaz. Ekkor az előző bekezdés szerint I(f ) = lim I(fn ) = lim I ′ (fn ) = I ′ (f ), n→∞ n→∞ tehát I = I ′ . A szóbanforgó operátor létezésének bizonyításához először megjegyezzük, hogy egyérq telműen létezik olyan I0 : K (T ; K)q ⊗ F → F K-lineáris operátor, amelyre minden ϕ ∈ K (T ; K) és z ∈ F esetén I0 (ϕ ⊗ z) = θ(ϕ)z. Ehhez ugyanis az szükséges és elégséges, hogy minden K)-ban haladó (ϕi )i∈I X F q-ben haladó (zi )i∈I véges rendszerre és K (T ; X rendszerre, a ϕi ⊗ zi = 0 függvény-egyenlőségből következzen a θ(ϕi )zi = 0 vektori∈I

i∈I

egyenlőség. Ez pedig az előző lemmaq alapján nyilvánvalóan igaz. Sőt a lemmából az is látható, hogy minden f ∈ K (T ; K) ⊗ F esetén kI0 (f )k ≤ |θ|(kf k) is teljesül. 83

Legyen most f ∈ K (T ; F q ) tetszőleges. Az approximációs lemma alapján van olyan (fn )n∈N sorozat K (T ; K) ⊗F -ben, amely f -hez egyenletesen konvergál a T halmazon, vaS supp(fn ) kompakt halmaz. Ekkor az (I0 (fn ))n∈N vektorsorozat Cauchylamint K := n∈N

sorozat F -ben. Valóban, legyen C ∈ R+ olyan szám, hogy minden ϕ ∈ K (T ; K) esetén, ha supp(ϕ) ⊆ K, akkor |θ(ϕ)| ≤ C 9 ϕ9T . Minden N ∋ m, n-re supp(kfm − fn k) ⊆ K, ezért kI0 (fm ) − I0 (fn )k ≤ C 9 fm − fn 9T , és (fn )n∈N a 9 · 9T sup-norma szerint Cauchysorozat. Az F normált tér teljessége miatt az (I0 (fn ))n∈N sorozat konvergens F -ben. Könnyen látható, hogy a lim I0 (fn ) limeszvektor független az (fn )n∈N sorozat válaszn→∞ tásától. Ezután a keresett I : K (T ; F ) → F operátor úgy értelmezhető, hogy minden q f ∈ K (T ; F ) esetén I(f ) := n→∞ lim I0 (fn ), ahol (fn )n∈N tetszőleges olyan K (T ; K) ⊗ F ben haladó sorozat, amely egyenletesen konvergál f -hez a T halmazon és

S

n∈N

supp(fn )

kompakt halmaz (vagyis létezik olyan kompakt halmaz T -ben, amely minden n ∈ N esetén tartalmazza fn tartóját).  4.4.3. Definíció. Ha T lokálisan kompakt tér, F Banach-tér K felett, és θ ∈ M (T ; K), akkor a θ által generált K (T ; F ) feletti integrálnak nevezzük azt a K (T ; F ) → F ;

f 7→

Z

f dθ

K-lineáris operátort, amelyre teljesülnek az előző állítás a) és b) tulajdonságai. 4.4.4. Tétel. (Az integrál sorozatfolytonossága) Legyen T lokálisan kompakt tér, F Banach-tér K felett, és θ ∈ M (T ; K). Ha (fn )n∈N olyan K (T ; F )-ben haladó sorozat, S amely egyenletesen konvergens a T halmazon és az supp(fn ) halmaz relatív kompakt, n∈N

akkor

Z 



lim fn dθ = n→∞ lim n→∞

Z

fn dθ.

Bizonyítás. Az f := lim fn pontonkénti limeszfüggvény folytonos az egyenletes konvern→∞ S gencia miatt, és [f = 6 0] ⊆ supp(fn ) következtében kompakt tartójú. A lokálisan n∈N

kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tétel alapján vehetünk olyan ϕ ∈ K (T ; R) függS vényt, hogy 0 ≤ ϕ ≤ 1 és supp(fn ) ⊆ [ϕ = 1]. Ekkor minden n ∈ N esetén n∈N

kfn − f k ≤ 9fn − f 9T ϕ, ezért az integrál K-linearitása és b) tulajdonsága szerint

Z



fn dθ −

Z

f

dθ

=

Z



amiből következik az állítás. 

(fn

− f ) dθ

≤ |θ|(kfn − f k) ≤ 9fn − f 9T |θ|(ϕ),

4.4.5. Állítás. Ha T lokálisan kompakt tér és θ Radon-mérték T felett, akkor minden ϕ ∈ K (T ; C) esetén Z ϕ dθ = θ(ϕ). 84

Bizonyítás. A θ : K (T ; C) → C leképezés olyan C-lineáris funkcionál, hogy minden q ϕ ∈ K (T ; C) és z ∈ C esetén θ(ϕ ⊗ z) = θ(ϕ)z, hiszen θ C-homogén. Továbbá, minden ϕ ∈ K (T ; C) függvényre a Radon-mértékek abszolútértékének alaptulajdonsága szerint |θ(ϕ)| ≤ |θ|(|ϕ|). Ezért az integrál egyértelműsége miatt θ egyenlő a K (T ; C) függvénytér feletti integrállal.  4.4.6. Következmény. Ha T lokálisan kompakt tér, F Banach-tér K felett, és θ ∈ M (T ; K), akkor minden f ∈ K (T ; F ) esetén

Z



f

dθ

≤

Z

kf k d|θ|.

Bizonyítás. Az integrál definíciója, és az előző állítás alapján

Z



f

dθ

≤ |θ|(kf k) =

Z

kf k d|θ|. 

4.4.7. Állítás. Legyenek F , G Banach-terek K felett, T lokálisan kompakt tér, és θ ∈ M (T ; K). Ha u ∈ L (F ; G) és f ∈ K (T ; F ), akkor Z

Z

(u ◦ f ) dθ = u

f dθ .

q

Bizonyítás. Legyen (fn )n∈N olyan K (T ; K) ⊗ F -ben haladó sorozat, amely egyenletesen S konvergál f -hez a T halmazon, és supp(fn ) relatív kompakt halmaz. Ekkor (u◦fn )n∈N n∈N

q

olyan K (T ; K)⊗G-ben haladó sorozat, amely egyenletesen konvergál az u◦f függvényhez S T -n, és supp(u ◦ fn ) relatív kompakt halmaz. Ezért az integrál sorozatfolytonossága n∈N

és u folytonossága miatt

u Z

Z

Z

f dθ = lim

n→∞

Z

fn dθ, Z

f dθ = n→∞ lim u Z

fn dθ ,

(u ◦ f ) dθ = n→∞ lim (u ◦ fn ) dθ.

Ebből látható, hogy elég azt igazolni, hogy minden ϕ ∈ K (T ; K) és z ∈ F esetén Z

q

(u ◦ (ϕ ⊗ z)) dθ = u

Z

q

(ϕ ⊗ z) dθ .

Ez viszont az integrál algebrai tulajdonságaiból és az u linearitásából nyilvánvalóan q q következik, hiszen u ◦ (ϕ ⊗ z) = ϕ ⊗ u(z), így Z

q

(u ◦ (ϕ ⊗ z)) dθ =

Z

q

(ϕ ⊗ u(z)) dθ := θ(ϕ)u(z) = u (θ(ϕ)z) =: u 85

Z

q

(ϕ ⊗ z) dθ . 

4.4.8. Állítás. Legyen F Banach-tér K felett, T , S lokálisan kompakt terek, g : T → K folytonos függvény, és π : T → S olyan folytonos függvény, hogy minden H ⊆ S kompakt −1 halmazra π hHi kompakt halmaz T -ben. Ha θ ∈ M (T ; K), akkor minden f ∈ K (S; F ) esetén Z Z f d(π(g.θ)) = (f ◦ π)g dθ. Bizonyítás. Ha f ∈ K (S; F ) és u ∈ F ′ , akkor a π(g.θ)∈M (S; K) Radon-mérték definíciója, és az előző állítás szerint u

Z

f d(π(g.θ)) =

Z

(u ◦ f ) d(π(g.θ)) = (π(g.θ))(u ◦ f ) := θ(((u ◦ f ) ◦ π)g) =

= θ(u ◦ ((f ◦ π)g)) =

Z

u ◦ ((f ◦ π)g) dθ = u

Z

(f ◦ π)g dθ .

Ebből a Hahn–Banach-tétel ([19, 4.1.10.]) alapján kapjuk, hogy Z

f d(π(g.θ)) =

Z

(f ◦ π)g dθ. 

4.4.9. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér, F Banach-tér K felett, és θ ∈ M (T ; K). Ha f1 , f2 ∈ K (T ; F ) olyan függvények, amelyekre supp(θ) ⊆ [f1 =f2 ], akkor Z

f1 dθ =

Z

f2 dθ.

Bizonyítás. Minden u ∈ F ′ esetén supp(θ) ⊆ [f1 = f2 ] ⊆ [u ◦ f1 = u ◦ f2 ], ezért a tartó alaptulajdonsága szerint θ(u ◦ f1 ) = θ(u ◦ f2 ), így u

Z

f1 dθ =

Z

(u ◦ f1 ) dθ = θ(u ◦ f1 ) = θ(u ◦ f2 ) =

tehát a Hahn–Banach-tétel ([19, 4.1.10.]) alapján

Z

Z

(u ◦ f2 ) dθ = u

f1 dθ =

Z

Z

f1 dθ ,

f2 dθ. 

4.4.10. Tétel. Legyen T lokálisan kompakt tér, F Banach-tér K felett, és θ ∈ M (T ; K) kompakt tartójú. Ekkor a K (T ; F ) függvénytér feletti θ szerinti integrál egyértelműen kiterjeszthető olyan Z C (T ; F ) → F ; f 7→ f dθ

K-lineáris operátorrá, amely folytonos a C (T ; F ) feletti kompakt konvergencia topológiája szerint. Bizonyítás. Legyen ψ ∈ K (T ; K) olyan függvény, hogy supp(θ) ⊆ [ψ=1]. Ha f : T → F tetszőleges folytonos függvény, akkor ψf ∈ K (T ; F ), így jól értelmezett a következő leképezés Z Iψ : C (T ; F ) → F ; f 7→ ψf dθ, 86

és nyilvánvaló, hogy ez K-lineáris, valamint minden f ∈ C (T ; F ) függvényre

Z

kIψ (f )k :=



ψf dθ

≤ |θ|(kψf k) ≤ |θ|(ψ) 9 f 9supp(ψ) ,

hiszen kψf k ≤ ψ 9f 9supp(ψ) . Ebből látható, hogy Iψ folytonos a C (T ; F ) feletti kompakt konvergencia topológiája szerint. Ha f ∈ K (T ; F ), akkor supp(θ) ⊆ [ψf = f ] és az előző állítás alapján Z

Iψ (f ) :=

ψf dθ =

Z

f dθ,

vagyis Iψ a K (T ; F ) függvénytér feletti θ szerinti integrál kiterjesztése. Ezzel megmutattuk, az adott tulajdonságú lineáris operátor létezését. A szóbanforgó operátor egyértelműsége nyilvánvaló, mert K (T ; F ) a kompakt konvergencia topológiája szerint sűrű a C (T ; F ) függvénytérben.  Az előző tétel bizonyításából látható, hogy ha T lokálisan kompakt tér, F Banachtér K felett, θ ∈ M (T ; K) kompakt tartójú, és ψ ∈ K (T ; K) olyan függvény, hogy supp(θ) ⊆ [ψ=1], akkor minden f ∈ C (T ; F ) esetén Z

4.5.

f dθ =

Z

ψf dθ.

Paraméteres integrálok folytonossága

4.5.1. Tétel. (A paraméteres integrálok folytonossága) Legyenek X, Y , Z topologikus terek, és p : X × Y → Z folytonos függvény. Legyen F Banach-tér K felett, és tegyük fel, hogy Y lokálisan kompakt és θ ∈ M (Y ; K). Ha f : Z → F olyan folytonos függvény, hogy minden x0 ∈ X pontnak van olyan U környezete X-ben, amelyre [

−1

x∈U

p(x, ·)h[f 6= 0]i

relatív kompakt halmaz Y -ban, akkor minden X ∋ x-re f (p(x, ·)) ∈ K (Y ; F ) és az X → F;

x 7→

Z

f (p(x, y)) dθ(y)

Y

paraméteres integrálfüggvény folytonos. Bizonyítás. Ha x0 ∈ X, és U olyan környezete x0 -nak, hogy [

x∈U

−1

p(x, ·)h[f 6= 0]i 87

−1

relatív kompakt halmaz Y -ban, akkor p(x0 , ·)h[f 6= 0]i is relatív kompakt és egyenlő az [f (p(x0 , ·)) 6= 0] halmazzal, ezért f (p(x0 , ·)) ∈ K (Y ; F ). Tehát a X → F;

x 7→

Z

f (p(x, y))dθ(y)

Y

paraméteres integrálfüggvény jól értelmezett. A paraméteres integrálfüggvény folytonosságának bizonyításához legyen x0 ∈ X rögzített, és legyen U az x0 -nak olyan környezete, amelyre a K :=

[

x∈U

−1

p(x, ·)h[f 6= 0]i

halmaz kompakt Y -ban. Legyen ϕ ∈ K (Y ; R) olyan függvény, amelyre 0 ≤ ϕ ≤ 1 és K ⊆ [ϕ = 1]. Rögzítsünk egy ε ∈ R+ számot. A paraméteres függvények folytonossági tétele alapján van x0 -nak olyan U(ε) környezete, hogy minden (x, y) ∈ U(ε) × K esetén kf (p(x, y)) − f (p(x0 , y))k < ε. Ekkor minden (x, y) ∈ (U(ε) ∩ U) × Y pontra kf (p(x, y)) − f (p(x0 , y))k ≤ εϕ(y). Valóban, az U(ε) választása miatt ez igaz, ha y ∈ K, mert ekkor ϕ(y) = 1 és kf (p(x, y)) − f (p(x0 , y))k < ε. Ha viszont y ∈ Y \ K, akkor f (p(x, y)) = 0 = f (p(x0 , y)), mert az U választása miatt [f (p(x, ·)) 6= 0] ⊆ K és [f (p(x0 , ·)) 6= 0] ⊆ K. Ezért minden x ∈ U(ε) ∩ U esetén

Z

=

Y

Z



Y

f (p(x, y)) dθ(y) −

Z

Y

f (p(x0 , y))



dθ(y)



=



(f (p(x, y)) − f (p(x0 , y))) dθ(y)

≤|θ|(kf (p(x, ·)) − f (p(x0 , ·))k)≤ε|θ|(ϕ),

amiből látható, hogy a paraméteres integrálfüggvény folytonos az x0 pontban, hiszen a |θ|(ϕ) szám ε-tól független.  4.5.2. Következmény. Legyen γ folytonos topologikus ábrázolása a G lokálisan kompakt csoportnak az X lokálisan kompakt téren. Ha F Banach-tér K felett, θ ∈ M (X; K), és f ∈ K (X; F ), akkor a Z G → F;

s 7→

f (γ(s)x) dθ(x)

X

függvény folytonos. Bizonyítás. Elegendő a paraméteres integrálok folytonosságának tételét alkalmazni úgy, hogy az ottani X helyére G-t, az Y és Z helyére X-t teszünk, valamint p : G × X → X; 88

(s, x) 7→ γ(s)x,

ami a feltevés szerint folytonos függvény. Azt kell még észrevenni, hogy minden U ⊆ G halmazra [

s∈U

−1

p(s, ·)h[f 6= 0]i = phU −1 × [f 6= 0]i,

és ha s0 ∈ G, valamint U kompakt környezete s0 -nak, akkor phU −1 × [f 6= 0]i relatív kompakt halmaz X-ben, mert része a phU −1 × supp(f )i kompakt halmaznak. 

Speciálisan, ha G lokálisan kompakt csoport, akkor γG és δG a G-nek folytonos ábrázolásai a G lokálisan kompakt térben. Ebből következik, hogy ha F Banach-tér K felett, és θ ∈ M (G; K), akkor minden f ∈ K (G; F ) esetén a G → F;

s 7→

G → F;

Z

f (st) dθ(t);

Z

f (ts) dθ(t)

G

s 7→

G

leképezések folytonosak, mert az első megegyezik a G → F;

s 7→

Z

f (γG (s)s′ ) dθ(s′ )

G

folytonos függvénnyel, a második pedig egyenlő az iG inverzió G → F;

s 7→

Z

f (δG (s)s′ ) dθ(s′ )

G

folytonos függvénnyel vett kompozíciójával. 4.5.3. Következmény. Legyenek X, Y topologikus terek, és F Banach-tér K felett. Tegyük fel, hogy Y lokálisan kompakt, θ ∈ M (Y ; K), és f : X × Y → F olyan folytonos függvény, amelyre teljesül az, hogy minden x ∈ X pontnak van olyan U környezete Xben, hogy a prY h(U × Y ) ∩ [f 6= 0]i halmaz relatív kompakt Y -ban (ahol prY jelöli az X × Y → Y kanonikus projekciót). Ekkor minden x ∈ X esetén f (x, ·) ∈ K (Y ; F ), és az Z X → F ; x 7→ f (x, y) dθ(y) Y

függvény folytonos. Bizonyítás. Elegendő a paraméteres integrálok folytonosságának tételét alkalmazni a Z := X × Y és p := idX×Y választással, figyelembe véve azt, hogy minden U ⊆ X halmazra [

x∈U

−1

p(x, ·)h[f 6= 0]i = prY h(U × Y ) ∩ [f 6= 0]i.  89

Tegyük fel, hogy X, Y topologikus terek, F Banach-tér K felett, Y lokálisan kompakt, és θ ∈ M (Y ; K). Ha f : X ×Y → F folytonos függvény, és létezik olyan K ⊆ Y kompakt halmaz, hogy [f 6= 0] ⊆ X ×K, akkor f -re nyilvánvalóan teljesül az előző állítás feltétele. Speciálisan, az iménti feltétel automatikusan teljesül, ha f ∈ K (X × Y ; F ).

4.6.

Radon-mértékek tenzorszorzata és az elemi Lebesgue–Fubini-tétel

A következő lemmát nagyon gyakran alkalmazzuk lokálisan kompakt szorzattér feletti Radon-mértékek egyenlőségének bizonyítására. 4.6.1. Lemma. Ha X, Y lokálisan kompakt terek és α, β ∈ M (X × Y ; C) olyan Radonmértékek, amelyekre minden ϕ ∈ K+ (X) és ψ ∈ K+ (Y ) esetén α(ϕ ⊗ ψ) = β(ϕ ⊗ ψ), akkor α = β. Bizonyítás. A hipotézis alapján α = β a K (X; C) ⊗ K (Y ; C) függvénytéren, és az approximációs-lemma következményeként láttuk, hogy minden f ∈ K (X×Y ; C) függvényhez van olyan (fn )n∈N sorozat K (X; C)⊗K (Y ; C)-ben, amely egyenletesen konvergál f -hez és van olyan K ⊆ X×Y kompakt halmaz, hogy minden N ∋ n-re supp(fn ) ⊆ K. Ekkor minden n ∈ N esetén α(fn ) = β(fn ), és a Radon-mértékek sorozatfolytonossága miatt α(f ) = lim α(fn ) = lim β(fn ) = β(fn ), így α = β.  n→∞

n→∞

4.6.2. Tétel. (Elemi Lebesgue–Fubini-tétel) Legyenek X, Y lokálisan kompakt terek, µ ∈ M (X; C) és ν ∈ M (Y ; C).

– Létezik egyetlen olyan µ ⊗ ν ∈ M (X × Y ; C) Radon-mérték, amelyre minden ϕ ∈ K (X; C) és ψ ∈ K (Y ; C) esetén (µ ⊗ ν)(ϕ ⊗ ψ) = µ(ϕ)ν(ψ). Ha µ és ν valós (illetve pozitív) Radon-mértékek, akkor µ ⊗ ν is valós (illetve pozitív) Radon-mérték. – Ha F Banach-tér K felett, µ ∈ M (X; K), ν ∈ M (Y ; K) és f ∈ K (X × Y ; F ), akkor minden x ∈ X és y ∈ Y esetén f (x, ·) ∈ K (Y ; F ), f (·, y) ∈ K (X; F ) és az X → F;

x 7→

Y → F;

y 7→

Z

f (x, y) dν(y),

Z

f (x, y) dµ(x)

Y

X

90

leképezések kompakt tartójúak és folytonosak, továbbá fennállnak az Z

X

Z

f (x, y) dν(y) dµ(x) =

Z

X×Y

Y

f (x, y)d(µ ⊗ ν)(x, y) =

Z

Y

Z

f (x, y) dµ(x)

dν(y)

X

egyenlőségek. Bizonyítás. Az előző lemmából nyilvánvalóan következik, hogy legfeljebb egy olyan X ×Y feletti Radon-mérték létezhet, amely minden ϕ ∈ K (X; C) és ψ ∈ K (Y ; C) esetén az ϕ ⊗ ψ függvényhez a µ(ϕ)ν(ψ) számot rendeli. Most megjegyezzük, hogy a paraméteres integrálok folytonosságának következményeként kapjuk, hogy ha F Banach-tér K felett, és f ∈ K (X × Y ; F ), akkor az X → F;

x 7→

Y → F;

y 7→

Z

f (x, y) dν(y),

Z

f (x, y) dµ(x)

Y

X

leképezések folytonosak, másfelől nyilvánvalóan kompakt tartójúak, így a Z

Z

X

f (x, y) dν(y)

dµ(x),

Y

Z

Y

Z

f (x, y) dµ(x)

dν(y)

X

vektorok jól értelmezettek. Ezért tekinthetjük az α : K (X × Y ; C) → C;

f 7→

β : K (X × Y ; C) → C;

f 7→

Z

Z

f (x, y) dν(y)

dµ(x),

Y

Z

Z

f (x, y) dµ(x)

dν(y)

X

Y

X

leképezéseket, amelyek nyilvánvalóan C-lineáris funkcionálok K (X × Y ; C) felett. Nyilvánvaló, hogy minden ϕ ∈ K (X; C) és ψ ∈ K (Y ; C) esetén α(ϕ ⊗ψ) = µ(ϕ)ν(ψ) = β(ϕ ⊗ ψ), hiszen α(ϕ ⊗ ψ) := :=

Z

X

Z

Z

X

ϕ(x)ψ(y) dν(y)

Z

Y

(ϕ ⊗ ψ)(x, y) dν(y)

dµ(x) =

Z

X

Y

91

ϕ(x)

Z

Y

dµ(x) :=

ψ(y) dν(y)

dµ(x) =

=

Z

Z

ϕ(x) dµ(x)

ψ(y) dν(y)

= µ(ϕ)ν(ψ),

Y

X

és β-ra hasonlóan bizonyíthatunk. Ezért, ha megmutatjuk, hogy α és β Radon-mértékek, akkor α = β, és ez a Radon-mérték – amit µ ⊗ ν jelöl – automatikusan rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy minden f ∈ K (X × Y ; C) függvényre Z

X

Z

f (x, y) dν(y)

dµ(x) =

Z

Y

Y

=

Z

Z

f (x, y) dµ(x)

dν(y) =

X

f (x, y)d(µ ⊗ ν)(x, y).

X×Y

Tehát bebizonyítjuk, hogy α Radon-mérték X × Y felett. Ehhez legyen S ⊆ X × Y kompakt halmaz, és vegyünk olyan K ⊆ X és L ⊆ Y kompakt halmazokat, amlyekre S ⊆ K × L. A K (illetve L) halmazhoz legyen CK ∈ R+ (illetve CL ∈ R+ ) olyan szám, hogy minden ϕ ∈ K (X; C) (illetve ψ ∈ K (Y ; C)) függvényre, ha supp(ϕ) ⊆ K (illetve supp(ψ) ⊆ L), akkor |µ(ϕ)| ≤ CK 9 ϕ9X (illetve |ν(ψ)| ≤ CL 9 ψ9Y ). Legyen f ∈ K (X × Y ; C) olyan, hogy supp(f ) ⊆ S. Ekkor x ∈ X esetén supp(f (x, ·)) ⊆ L, tehát Z Y

f (x, y)

dν(y)

≤ CL 9 f (x, ·)9Y = CL sup |f (x, y)|. y∈Y

Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy az

X → F;

x 7→

Z

f (x, y) dν(y)

Y

függvény tartója részhalmaza K-nak, ezért

≤ CK

Z |α(f )| := X Z sup f (x, y) dν(y) ≤ x∈X Y

Z

f (x, y) dν(y)

Y

dµ(x)

≤

!

CK CL sup sup |f (x, y)| = CK CL 9 f 9X×Y , x∈X

y∈Y

így α Radon-mérték X × Y felett. Teljesen hasonlóan látható, hogy β is Radon-mérték X × Y felett. Ezzel bebizonyítottuk az adott feltételeknek eleget tevő, µ ⊗ ν-vel jelölt Radon-mérték létezését, és azt is látjuk, hogy minden f ∈ K (X × Y ; C) függvényre Z

X

Z

Y

f (x, y) dν(y)

dµ(x) =

Z

Y

92

Z

X

f (x, y) dµ(x)

dν(y) =

=

Z

X×Y

f (x, y)d(µ ⊗ ν)(x, y).

Ebből azonnal látszik, hogy ha µ és ν valós (illetve pozitív) Radon-mértékek, akkor µ ⊗ ν is valós (illetve pozitív) Radon-mérték. Végül, ha F Banach-tér K felett, µ ∈ M (X; K), ν ∈ M (Y ; K), és f ∈ K (X × Y ; F ), akkor minden u ∈ F ′ funkcionálra u ◦ f ∈ K (X × Y ; K), tehát Z

u

Z

X

=

Z

Y

=

f (x, y) dν(y)

dµ(x)

X

Z

(u ◦ f )(x, y) dµ(x)

X×Y

Z

X

Y

Z

=

dν(y) = u

Z

Y

(u ◦ f )(x, y) dν(y)

Z

Z

Y

(u ◦ f )(x, y)d(µ ⊗ ν)(x, y) = u

f (x, y) dµ(x)

dµ(x) =

dν(y)

=

X

Z

X×Y

f (x, y)d(µ ⊗ ν)(x, y)

,

ezért a Hahn–Banach-tételből következnek az Z

X

Z

f (x, y) dν(y) dµ(x) =

Y

Z

X×Y

f (x, y)d(µ ⊗ ν)(x, y) =

Z

Y

Z

f (x, y) dµ(x)

dν(y)

X

vektor-egyenlőségek.  4.6.3. Definíció. Ha X, Y lokálisan kompakt terek és µ ∈ M (X; C), ν ∈ M (Y ; C), akkor µ ⊗ ν jelöli azt a Radon-mértéket X × Y felett, amelyre minden ϕ ∈ K (X; C) és ψ ∈ K (Y ; C) esetén (µ ⊗ ν)(ϕ ⊗ ψ) = µ(ϕ)ν(ψ) teljesül; továbbá µ ⊗ ν-t a µ és ν Radon-mértékek tenzorszorzatának nevezzük.

A Radon-mértékek tenzorszorzatának definíciójából látható, hogy ha X, Y lokálisan kompakt terek, µ ∈ M (X; C), ν ∈ M (Y ; C) és θ ∈ M (X × Y ; C), akkor a θ = µ ⊗ ν Radon-mérték egyenlőség bizonyításához (szükséges és) elegendő azt megmutatni, hogy minden ϕ ∈ K (X; C) és ψ ∈ K (Y ; C) esetén θ(ϕ ⊗ ψ) = µ(ϕ)ν(ψ). Sőt, mivel lokálisan kompakt téren minden komplex értékű folytonos kompakt tartójú függvény előáll pozitív folytonos kompakt tartójú függvények komplex lineáris kombinációjaként: (szükséges és) elegendő azt igazolni, hogy minden ϕ ∈ K+ (X) és ψ ∈ K+ (Y ) esetén θ(ϕ ⊗ ψ) = µ(ϕ)ν(ψ). 4.6.4. Állítás. Ha X, Y lokálisan kompakt terek, és µ ∈ M (X; C), ν ∈ M (Y ; C), akkor |µ ⊗ ν| = |µ| ⊗ |ν|. 93

Bizonyítás. Elegendő azt megmutatni, hogy ϕ ∈ K+ (X) és ψ ∈ K+ (Y ) esetén fennáll a (|µ ⊗ ν|)(ϕ ⊗ ψ) = |µ|(ϕ)|ν|(ψ) egyenlőség.

(I) Először tegyük fel, hogy g ∈ K (X × Y ; C) olyan, hogy |g| ≤ ϕ ⊗ ψ. Ekkor |(µ ⊗ ν)(g)| = |µ(x 7→ ν(g(x, ·))| ≤ |µ|(x 7→ |ν(g(x, ·))|) ≤ ≤ |µ|(x 7→ |ν|(|g|(x, ·))) = (|µ| ⊗ |ν|)(|g|) ≤ (|µ| ⊗ |ν|)(ϕ ⊗ ψ),

amiből a Radon-mértékek abszolútértékének definíciója alapján következik a (|µ ⊗ ν|)(ϕ ⊗ ψ) ≤ (|µ| ⊗ |ν|)(ϕ ⊗ ψ) egyenlőtlenség. (II) Az (|µ ⊗ ν|)(ϕ ⊗ ψ) ≥ (|µ| ⊗ |ν|)(ϕ ⊗ ψ) egyenlőtlenség bizonyításához nyilvánvalóan feltehető, hogy |µ|(ϕ) > 0 és |ν|(ψ) > 0. Legyen ε ∈ R+ tetszőleges olyan szám, amelyre ε ≤ |µ|(ϕ) és ε ≤ |ν|(ψ). A Radon-mértékek abszolútértékének definíciója alapján léteznek olyan g ∈ K (X; C) és h ∈ K (Y ; C) függvények, hogy |g| ≤ ϕ és |h| ≤ ψ, valamint |µ(g)| > |µ|(ϕ) − ε és |ν(h)| > |ν|(ψ) − ε. Ekkor g ⊗ h ∈ K (X × Y ; C) olyan, hogy |g ⊗ h| ≤ ϕ ⊗ ψ, ezért |µ ⊗ ν|(ϕ ⊗ ψ) ≥ |(µ ⊗ ν)(g ⊗ h)| = |µ(g)||ν(h)| ≥ (|µ|(ϕ) − ε)(|ν|(ψ) − ε), vagyis |µ ⊗ ν|(ϕ ⊗ ψ) ≥ (|µ|(ϕ) − ε)(|ν|(ψ) − ε).

Ebben az egyenlőtlenségben ε-nal 0-hoz tartva kapjuk, hogy

(|µ ⊗ ν|)(ϕ ⊗ ψ) ≥ (|µ| ⊗ |ν|)(ϕ ⊗ ψ).  4.6.5. Állítás. Legyenek X és Y lokálisan kompakt terek, valamint µ ∈ M (X; C) és ν ∈ M (Y ; C) korlátos Radon-mértékek. Ekkor a µ ⊗ ν ∈ M (X × Y ; C) Radon-mérték is korlátos, és kµ ⊗ νk = kµkkνk. Bizonyítás. (I) Legyen g ∈ K (X × Y ; C) olyan, hogy |g| ≤ 1. Ekkor x ∈ X esetén g(x, ·) ∈ K (Y ; C) olyan, hogy |g(x, ·)| ≤ 1, így a mértéknorma definíciója alapján |ν(g(x, ·))| ≤ kνk, amiből az elemi Lebesgue–Fubini-tétel alapján következik, hogy |(µ ⊗ ν)(g)| = |µ(x 7→ ν(g(x, ·)))| ≤ kµk sup |ν(g(x, ·))| ≤ kµkkνk. x∈X

Ebből látható, hogy µ ⊗ ν korlátos Radon-mérték X × Y felett, és teljesül a kµ ⊗ νk ≤ kµkkνk egyenlőtlenség. (II) A fordított egyenlőtlenség bizonyításához feltehető, hogy kµk > 0 és kνk > 0. Legyen 94

ε ∈ R+ tetszőleges olyan szám, amelyre ε ≤ kµk és ε ≤ kνk. Ekkor a mértéknorma definíciója alapján léteznek olyan ϕ ∈ K (X; C) és ψ ∈ K (Y ; C) függvények, hogy |ϕ| ≤ 1 és |ψ| ≤ 1, valamint |µ(ϕ)| > kµk − ε és |ν(ψ)| > kνk − ε. Ekkor ϕ ⊗ ψ ∈ K (X × Y ; C) olyan, hogy |ϕ ⊗ ψ| ≤ 1, ezért kµ ⊗ νk ≥ |(µ ⊗ ν)(ϕ ⊗ ψ)| = |µ(ϕ)||ν(ψ)| > (kµk − ε)(kνk − ε), tehát fennáll a kµ ⊗ νk > (kµk − ε)(kνk − ε)

egyenlőtlenség. Ebben ε-nal 0-hoz tartva kapjuk, hogy kµ ⊗ νk ≥ kµkkνk. 

4.7.

Radon-mértékek leszűkítése és összeragasztása

4.7.1. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér, θ Radon-mérték T felett és Ω ⊆ T nyílt halmaz. Minden ϕ ∈ K (Ω; C) esetén jelölje ϕ◦ a ϕ függvény 0-val vett kiterjesztését Ω-ról T -re. Ekkor minden K (Ω; C) ∋ ϕ-re ϕ◦ ∈ K (T ; C), és a θ|Ω : K (Ω; C) → C;

ϕ 7→ θ(ϕ◦ )

leképezés Radon-mérték az Ω lokálisan kompakt altér felett. Ha θ valós (illetve pozitív), akkor θ|Ω is valós (illetve) pozitív Radon-mérték. 4.7.2. Definíció. Ha T lokálisan kompakt tér, θ Radon-mérték T felett és Ω ⊆ T nyílt halmaz, akkor az előző állításban értelmezett, Ω feletti θ|Ω Radon-mértéket a θ Radonmérték Ω nyílt halmazra való leszűkítésének nevezzük. Megjegyezzük, hogy ha T lokálisan kompakt tér, θ Radon-mérték T felett és Ω ⊆ T nyílt halmaz, akkor ϕ ∈ K (T ; C) és supp(ϕ) ⊆ Ω esetén (θ|Ω) (ϕ|Ω ) = θ(ϕ) teljesül, mert a nyilvánvaló (ϕ|Ω )◦ = ϕ egyenlőség miatt (θ|Ω) (ϕ|Ω ) := θ ((ϕ|Ω )◦ ) = θ(ϕ). 4.7.3. Állítás. (Radon-mértékek leszűkítésének tranzitivitása) Legyen T lokálisan kompakt tér, θ Radon-mérték T felett és legyenek Ω′ ⊆ Ω ⊆ T nyílt halmazok. Ekkor (θ|Ω)|Ω′ = θ|Ω′ .

95

Bizonyítás. Minden ϕ ∈ K (Ω′ ; C) esetén jelölje ϕ◦ a ϕ függvény nullával való kiterjesztését Ω′ -ről Ω-ra, és minden ψ ∈ K (Ω; C) esetén jelölje ψ q a ψ függvény nullával való kiterjesztését Ω-ról T -re. Világos, hogy minden ϕ ∈ K (Ω′ ; C) esetén ϕ◦ ∈ K (Ω; C) és (ϕ◦ ) q ∈ K (T ; C), valamint ez a függvény megegyezik a ϕ nullával való kiterjesztésével Ω′ -ről T -re, ezért a Radon-mérték leszűkítésének definíciója alapján ((θ|Ω)|Ω′ )(ϕ) := (θ|Ω)(ϕ◦ ) := θ((ϕ◦ ) ) =: (θ|Ω′ )(ϕ).  q

4.7.4. Tétel. (Radon-mértékek összeragasztása) Legyen (Ωi )i∈I a T lokálisan kompakt tér nyílt részhalmazainak olyan rendszere, amely befedése T -nek, valamint (θi )i∈I olyan rendszer, amelyre minden i ∈ I esetén θi Radon-mérték Ωi felett. Pontosan akkor létezik olyan T feletti θ Radon-mérték, hogy minden I ∋ i-re θ|Ωi = θi , ha minden i, j ∈ I esetén θi |(Ωi ∩ Ωj ) = θj |(Ωi ∩ Ωj ). Továbbá, a θ Radon-mérték egyértelműen van meghatározva azzal a feltétellel, hogy minden I ∋ i-re θ|Ωi = θi . Bizonyítás. A Radon-mértékek leszűkítésének tranzitivitása miatt a feltétel szükséges, mert ha i, j ∈ I, akkor θi |(Ωi ∩ Ωj ) = (θ|Ωi )|(Ωi ∩ Ωj ) = θ|(Ωi ∩ Ωj ) = = (θ|Ωj )|(Ωi ∩ Ωj ) = θj |(Ωi ∩ Ωj ).

Az elégségesség bizonyításához tegyük fel, hogy a feltétel teljesül, és legyen ϕ ∈ K (T ; C) tetszőleges. Az (Ωi )i∈I halmazrendszer minden tagja nyílt T -ben és befedi a supp(ϕ) ⊆ T S kompakt halmazt, ezért vehetünk olyan J ⊆ I véges halmazt, hogy supp(ϕ) ⊆ Ωi . i∈J

A Dieudonné-féle egységosztás tétel alapján van olyan (ϕi )i∈J rendszer K" (T ; R)-ben, #

amelyre minden i ∈ J esetén supp(ϕi ) ⊆ Ωi és 0 ≤ ϕi ≤ 1 és supp(ϕ) ⊆ Ekkor minden J ∋ i-re (ϕi ϕ)|Ωi ∈ K (Ωi ; C), ezért jól értelmezett a

X i∈J

X

ϕi = 1 .

i∈J

θi ((ϕi ϕ)|Ωi )

komplex szám. Megmutatjuk, hogy adott ϕ ∈ K (T ; C) esetén ez a szám független a J ⊆ I véges halmaz és a (ϕi )i∈J egységosztás választásától, tehát ha J ′ ⊆ I olyan S Ωi′ és (ϕ′i′ )i′ ∈J ′ olyan rendszer K (T ; R)-ben, amelyre véges halmaz, hogy supp(ϕ) ⊆ i′ ∈J ′



minden i′ ∈ J ′ esetén supp(ϕ′i′ ) ⊆ Ωi′ és 0 ≤ ϕ′i′ ≤ 1 és supp(ϕ) ⊆ 

akkor fennáll a

X i∈J

egyenlőség.

θi ((ϕi ϕ)|Ωi ) =

Legyen i ∈ J rögzítve. Ekkor ϕ =

X

X

i′ ∈J ′

θi ((ϕi ϕ)|Ωi ) =

i′ ∈J ′

96

ϕ′i′ = 1 teljesül,

i

X

ϕi ϕ′i′ ϕ is teljesül, így

i′ ∈J ′

X

i′ ∈J ′



θi′ ((ϕ′i′ ϕ)|Ω ′ )

ϕ′i′ ϕ miatt ϕi ϕ =

i′ ∈J ′

X

θi ((ϕi ϕ′i′ ϕ)|Ωi ) .

Ha i′ ∈ J ′ tetszőleges, akkor supp(ϕi ϕ′i′ ϕ) ⊆ supp(ϕi ) ∩ supp(ϕ′i′ ) ⊆ Ωi ∩ Ωi′ , ezért a Radon-mérték leszűkítésének tranzitivitását és az adott Radon-mérték rendszerre vonatkozó hipotézist alkalmazva kapjuk, hogy θi ((ϕi ϕ′i′ ϕ)|Ωi ) = (θi |(Ωi ∩ Ωi′ )) (ϕi ϕ′i′ ϕ)|Ωi ∩Ωi′ = = (θi′ |(Ωi ∩ Ωi′ )) (ϕi ϕ′i′ ϕ)|Ωi ∩Ωi′ = θi′ (ϕi ϕ′i′ ϕ)|Ωi′

teljesül, amiből következik, hogy

θi ((ϕi ϕ)|Ωi ) =

X

i′ ∈J ′

θi′ (ϕi ϕ′i′ ϕ)|Ωi′ .

Ez minden J ∋ i-re igaz, ezért X

θi ((ϕi ϕ)|Ωi ) =

X

X

i′ ∈J ′

i∈J

i∈J

θi′ (ϕi ϕ′i′ ϕ)|Ωi′ !

=

ahol felhasználtuk azt, hogy i′ ∈ J ′ esetén ϕ =

X

=

X

X

θi′

i′ ∈J ′

(ϕi ϕ′i′ ϕ)|Ωi′

i∈J

=

X

i′ ∈J ′

X

i′ ∈J ′

X

θi′ (ϕi ϕ′i′ ϕ)|Ωi′

i∈J

!

=

θi′ ((ϕ′i′ ϕ)|Ω ′ ), i

ϕi ϕ miatt ϕ′i′ ϕ =

i∈J

X

ϕi ϕ′i′ ϕ is teljesül.

i∈J

Ezzel igazoltuk annak a θ : K (T ; C) → C leképezésnek az egyértelmű létezését, amelyre teljesül az, hogy minden ϕ ∈ K (T ; C) függvényre, és minden J ⊆ I véges halmazra, és minden K (T ; R)-ben haladó" (ϕi )i∈J rendszerre, ha minden i ∈ J esetén supp(ϕi ) ⊆ Ωi #

és 0 ≤ ϕi ≤ 1 és supp(ϕ) ⊆

X

ϕi = 1 , akkor

i∈J

θ(ϕ) :=

X i∈J

(Megjegyezzük, hogy ekkor a supp(ϕ) ⊆

feltételből.)

S

i∈J

θi ((ϕi ϕ)|Ωi ). Ωi feltétel felesleges, mert következik a többi

A θ leképezés additivitásának bizonyításához legyenek ϕ, ϕ′ ∈ K (T ; C) → C rögzítettek. A supp(ϕ) ∪ supp(ϕ′ ) kompakt halmazhoz legyen J ⊆ I olyan véges halmaz, hogy S supp(ϕ) ∪ supp(ϕ′ ) ⊆ Ωi . A Dieudonné-féle egységosztás-tétel alapján legyen (ϕi )i∈J i∈J

olyan rendszer K (T ; R)-ben, amelyre " # minden i ∈ J esetén supp(ϕi ) ⊆ Ωi és 0 ≤ ϕi ≤ 1

és supp(ϕ) ∪ supp(ϕ′ ) ⊆

X

ϕi = 1 . Ekkor a θ definíciója szerint

i∈J

θ(ϕ) :=

X i∈J

θi ((ϕi ϕ)|Ωi ),

θ(ϕ′ ) :=

X i∈J

97

θi ((ϕi ϕ′ )|Ωi )

θ(ϕ + ϕ′ ) :=

X i∈J

θi ((ϕi (ϕ + ϕ′ ))|Ωi ).

Nyilvánvaló, hogy minden i ∈ J esetén (ϕi (ϕ + ϕ′ ))|Ωi = (ϕi ϕ)|Ωi + (ϕi ϕ′ )|Ωi , amiből a θi additivitása alapján θ(ϕ + ϕ′ ) = θ(ϕ) + θ(ϕ′ ) adódik. A θ leképezés C-homogenitásának bizonyításához legyenek ϕ ∈ K (T ; C) és c ∈ C rögzítettek. A supp(ϕ) kompakt halmazhoz legyen J ⊆ I olyan véges halmaz, hogy S supp(ϕ) ⊆ Ωi . A Dieudonné-féle egységosztás tétel alapján legyen (ϕi )i∈J olyan i∈J

rendszer K"(T ; R)-ben, # amelyre minden i ∈ J esetén supp(ϕi ) ⊆ Ωi és 0 ≤ ϕi ≤ 1 és

supp(ϕ) ⊆

X i∈J

ϕi = 1 . Ekkor supp(c.ϕ) ⊆ supp(ϕ) és a θ definíciója alapján θ(ϕ) :=

X i∈J

θi ((ϕi ϕ)|Ωi ),

θ(c.ϕ) :=

X i∈J

θi ((c.ϕi )|Ωi ).

Nyilvánvaló, hogy minden i ∈ J esetén (c.ϕi )|Ωi = c. ϕi |Ωi , amiből a θi C-homogenitása alapján θ(c.ϕ) = cθ(ϕ) adódik. Tehát a θ : K (T ; C) → C leképezés lineáris funkcionál. Megmutatjuk, hogy ez Radonmérték T felett. Legyen K ⊆ T rögzített kompakt halmaz: olyan C ∈ R+ számot keresünk, hogy minden K (T ; C) ∋ ϕ-re, ha supp(ϕ) ⊆ K, akkor |θ(ϕ)| ≤ C 9 ϕ9T .

A K-hoz legyen J ⊆ I olyan véges halmaz, hogy K ⊆

S

i∈J

Ωi . A Dieudonné-féle egység-

osztás tétel alapján legyen (ϕi )i∈J olyan rendszer" K (T ; R)-ben, amelyre minden i ∈ J # esetén supp(ϕi ) ⊆ Ωi és 0 ≤ ϕi ≤ 1 és K ⊆

X i∈J

ϕi = 1 . Minden i ∈ J esetén θi

Radon-mérték Ωi felett és supp(ϕi ) kompakt részhalmaz Ωi -ben, ezért vehetünk olyan Ci ∈ R+ számot, hogy minden ψ ∈ K (Ωi ; C) esetén, ha supp(ψ) ⊆ supp(ϕi ), akkor |θi (ψ)| ≤ Ci 9 ψ 9 |Ωi . Legyen most ϕ ∈ K (T ; C) olyan, hogy supp(ϕ) ⊆ K. Ekkor a θ definíciója alapján, valamint azért, mert minden J ∋ i-re supp((ϕi ϕ)|Ωi ) ⊆ supp(ϕi ) kapjuk, hogy |θ(ϕ)| := ≤

X

X θi ((ϕi ϕ)|Ωi ) i∈J

i∈J

ami azt mutatja, hogy a C :=

≤

|Ci 9 (ϕi ϕ)|Ωi 9 ≤ X

X i∈J

|θi ((ϕi ϕ)|Ωi )| ≤

X i∈J

!

Ci 9 ϕ9,

Ci szám olyan, amelynek a létezését állítottuk.

i∈J

Tehát θ Radon-mérték T felett. Most megmutatjuk, hogy minden I ∋ i-re θ|Ωi = θi . Legyen i ∈ I rögzített index és ϕ ∈ K (Ωi ; C) tetszőleges. Jelölje ϕ◦ a ϕ függvény 0-val vett kiterjesztését Ωi -ről T -re. A lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszontétel alapján legyen ϕi ∈ K (T ; R) olyan, hogy 0 ≤ ϕi ≤ 1 és supp(ϕi ) ⊆ Ωi és 98

supp(ϕ) ⊆ [ϕi = 1]. Ekkor a Radon-mérték nyílt halmazra vett leszűkítésének és a θ Radon-mérték definíciója alapján, valamint supp(ϕ◦ ) ⊆ supp(ϕ) és (ϕi ϕ◦ )|Ωi = ϕ miatt (θ|Ωi )(ϕ) := θ(ϕ◦ ) := θi ((ϕi ϕ◦ )|Ωi ) = θi (ϕ) teljesül, tehát θ|Ωi = θi . Végül, a θ Radon-mérték egyértelműen van meghatározva azzal a feltétellel, hogy minden I ∋ i-re θ|Ωi = θi . Legyen ugyanis θ′ szintén ilyen Radon-mérték T felett, és legyen ϕ ∈ K (T ; C) tetszőleges. A supp(ϕ) kompakt halmazhoz legyen J ⊆ I olyan véges S halmaz, hogy supp(ϕ) ⊆ Ωi . A Dieudonné-féle egységosztás-tétel alapján legyen i∈J

(ϕi )i∈J olyan rendszer K (T ;"R)-ben, amelyre minden i ∈ J esetén supp(ϕi ) ⊆ Ωi és # X 0 ≤ ϕi ≤ 1 és supp(ϕ) ⊆ ϕi = 1 . Ekkor a Radon-mérték nyílt halmazra vett i∈J

leszűkítésének definíciója után álló megjegyzés alapján minden J ∋ i-re (θ|Ωi )((ϕi ϕ)|Ωi ) = θ(ϕi ϕ) = (θ|Ωi )((ϕi ϕ)|Ωi ), amiből ϕ =

X

ϕi ϕ miatt következnek a

i∈J

θ(ϕ) = θ

X i∈J

=

X i∈J

′

!

ϕi ϕ =

X i∈J

(θ |Ωi )((ϕi ϕ)|Ωi ) =

egyenlőségek, tehát θ = θ′ 

θ(ϕi ϕ) =

X

X

(θ|Ωi )((ϕi ϕ)|Ωi ) =

i∈J

′

θ (ϕi ϕ) = θ

′

i∈J

X i∈J

!

ϕi ϕ = θ′ (ϕ)

4.7.5. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér és π : T → T homeomorfizmus. Minden T feletti θ komplex Radon-mértékre és minden Ω ⊆ T nyílt halmazra fennáll a (π|Ω )(θ|Ω) = π(θ)|πhΩi egyenlőség. Bizonyítás. Minden ϕ ∈ K (Ω; C) függvényre jelölje ϕ◦ a ϕ függvény 0-val vett kiterjesztését Ω-ról T -re, és minden ψ ∈ K (πhΩi; C) függvényre jelölje ψ ⋄ a ψ függvény 0-val vett kiterjesztését πhΩi-ról T -re. Nyilvánvaló, hogy ψ ∈ K (πhΩi; C) esetén (ψ ◦ (π|Ω ))◦ = ψ ⋄ ◦ π, ezért ((π|Ω )(θ|Ω)) (ψ) := (θ|Ω) (ψ ◦ (π|Ω )) := θ ((ψ ◦ (π|Ω ))◦ ) = = θ(ψ ⋄ ◦ π) =: π(θ)(ψ ⋄ ) =: (π(θ)|πhΩi) (ψ).  99

5. fejezet Invariáns Radon-mértékek 5.1.

Az invariáns Radon-mértékek szerepe az unitér ábrázolások elméletében

5.1.1. Definíció. Legyen γ topologikus ábrázolása a G csoportnak az X lokálisan kompakt térben. Azt mondjuk, hogy az X feletti θ komplex Radon-mérték – γ-invariáns, ha minden s ∈ G esetén γ(s)(θ) = θ;

– relatív γ-invariáns, ha minden G ∋ s-hez van olyan c ∈ R+ , hogy γ(s)(θ) = cθ;

– topologikusan γ-kváziinvariáns, ha minden G ∋ s-hez van olyan g : X → R+ folytonos függvény, hogy γ(s)(θ) = g.θ. 5.1.2. Definíció. A G lokálisan kompakt csoport feletti θ Radon-mértéket balinvariánsnak (illetve jobbinvariánsnak) nevezzük, ha θ γG -invariáns (illetve δG -invariáns). A lokálisan kompakt csoport feletti nem nulla, pozitív, balinvariáns (illetve jobbinvariáns) Radon-mértékeket baloldali (illetve jobboldali) Haar-mértékeknek nevezzük. Megjegyzések. Legyen γ topologikus ábrázolása a G csoportnak az X lokálisan kompakt térben. 1) Nyilvánvaló, hogy minden X feletti γ-invariáns Radon-mérték relatív γ-invariáns, és minden X feletti relatív γ-invariáns Radon-mérték topologikusan γ-kváziinvariáns. Világos továbbá, hogy ha θ komplex Radon-mérték X felett, és θ γ-invariáns (illetve relatív γ-invariáns, illetve topologikusan γ-kváziinvariáns), akkor minden C ∋ c-re c.θ is γ-invariáns (illetve relatív γ-invariáns, illetve topologikusan γ-kváziinvariáns). 2) Legyen µ pozitív Radon-mérték X felett, és g : X → C olyan folytonos függvény, hogy g.µ is pozitív Radon-mérték. Ekkor a g függvény a µ tartóján pozitív. Valóban, minden ϕ ∈ K+ (X) esetén R+ ∋ (g.µ)(ϕ) := µ(g.ϕ) = µ(ℜ(g).ϕ) + iµ(ℑ(g).ϕ), 100

és µ(ℜ(g).ϕ), µ(ℑ(g).ϕ) ∈ R, ezért µ(ℑ(g).ϕ) = 0. Ebből következik, hogy ℑ(g).µ = 0, tehát supp(µ) ⊆ [ℑ(g) = 0], vagyis g a µ tartóján valós értékeket vesz föl. Ezért g.µ = ℜ(g).µ, amiből kapjuk, hogy (ℜ(g))− .(g.µ) = (ℜ(g))− .(ℜ(g).µ) = (ℜ(g))− .((ℜ(g))+ .µ − (ℜ(g))− .µ) = = (ℜ(g))− .((ℜ(g))+ .µ) − ((ℜ(g))− )2 .µ = −((ℜ(g))− )2 .µ,

hiszen (ℜ(g))− .(ℜ(g))+ = 0. De a hipotézis szerint g.µ pozitív Radon-mérték, így (ℜ(g))− .(g.µ) is pozitív, ezért −((ℜ(g))− )2 .µ is pozitív Radon-mérték. Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy ((ℜ(g))− )2 .µ is pozitív Radon-mérték, mert µ is az. Ebből következik, hogy ((ℜ(g))− )2 .µ = 0, ami azzal ekvivalens, hogy supp(µ) ⊆ [((ℜ(g))− )2 = 0], tehát a g függvény a µ tartóján pozitív. 3) Ha G lokálisan kompakt csoport, és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor iG (β) jobboldali Haar-mérték G felett, mert iG (β) szintén pozitív és nem nulla, hiszen az iG inverzió homeomorfizmus, és minden s ∈ G esetén δG (s) ◦ iG = iG ◦ γG (s), tehát δG (s)(iG (β)) = iG (γG (s)β) = iG (β). Megfordítva, ha ν jobboldali Haar-mérték G felett, akkor iG (ν) baloldali Haar-mérték. 5.1.3. Jelölés. A továbbiakban minden X lokálisan kompakt térre a K + (X) := { f ∈ K+ (X) | f 6= 0 } jelölést alkalmazzuk. 5.1.4. Lemma. Legyen γ tranzitív topologikus ábrázolása a G csoportnak az X lokálisan kompakt térben. Ha g ∈ K + (X), akkor minden f ∈ K (X; R) függvényhez létezik olyan (si )i∈I véges rendszer G-ben és olyan (ci )i∈I rendszer R+ -ban, hogy f≤

X i∈I

ci (g ◦ γ(s−1 i )).

Bizonyítás. Legyen x0 ∈ X olyan pont, ahol g(x0 ) > 0, és legyen ε ∈ R+ olyan, hogy ε < g(x0 ). Ekkor U := {x ∈ X|g(x) > ε} nyílt környezete x0 -nak X-ben.

Rögzítsünk egy f ∈ K (X; R) függvényt, és a γ ábrázolás tranzitivitását felhasználva válasszunk ki olyan (sx )x∈supp(f ) rendszert G-ből, amelyre minden x ∈ supp(f ) esetén x = γ(sx )(x0 ). Minden x ∈ supp(f ) esetén γ(sx ) : X → X olyan homeomorfizmus, amely x0 -hoz az x-t rendeli, ezért γ(sx )hUi nyílt környezete x-nek X-ben. Tehát (γ(sx )hUi)x∈supp(f ) nyílt befedése a supp(f ) kompakt halmaznak, így van olyan (xi )i∈I véges rendszer I-ben, hogy [ supp(f ) ⊆ γ(sxi )hUi. i∈I

101

Legyen x ∈ supp(f ), és vegyünk olyan I ∋ i-t, hogy x ∈ γ(sxi )hUi, vagyis γ(s−1 xi )(x) ∈ U. −1 Ekkor g(γ(sxi )(x)) > ε, tehát f (x) ≤

9f 9T (g ◦ γ(s−1 xi ))(x). ε

Ez azt jelenti, hogy ha minden i ∈ I esetén si := sxi és ci := 9f 9T /ε, akkor az (si )i∈I és (ci )i∈I rendszerek olyanok, amelyek létezését állítottuk.  5.1.5. Állítás. Legyen γ tranzitív topologikus ábrázolása a G csoportnak az X lokálisan kompakt térben, és µ nem nulla, pozitív, topologikusan γ-kváziinvariáns Radon-mérték X felett. Ekkor supp(µ) = X, és létezik egyetlen olyan χ : G × X → R+ függvény, amelyre minden s ∈ G esetén a χ(s, ·) : X → R+ parciális függvény folytonos, és γ(s)(µ) = χ(s−1 , ·).µ. Minden s, t ∈ G és x ∈ X esetén χ(eG , x) = 1; χ(st, x) = χ(s, γ(t)x)χ(t, x) (ezek a multiplikátor-egyenlőségek). Bizonyítás. Először megmutatjuk, hogy supp(µ) = X. Ehhez először rögzítsünk olyan χ : G × X → R+ függvényt, amelyre minden s ∈ G esetén a χ(s, ·) : X → R+ függvény folytonos, és γ(s)(µ) = χ(s−1 , ·).µ teljesül; ilyen a µ topologikus γ-kváziinvarianciája miatt létezik. Tegyük fel, hogy g ∈ K + (X) olyan függvény, hogy µ(g) = 0, és legyen f ∈ K + (X) tetszőleges. A lemma szerint vehetünk olyan (si )i∈I véges rendszert G-ben X és olyan (ci )i∈I rendszert R+ -ban, hogy f ≤ ci (g ◦ γ(s−1 i )). Minden i ∈ I esetén a i∈I

+ Weierstrass-féle minimum-elv alapján a χ(s−1 i , ·) : X → R folytonos függvénynek létezik minimuma a γ(si )hsupp(g)i nem üres kompakt halmazon, tehát az

mi :=

inf

x∈γ(si )hsupp(g)i

χ(s−1 i , x)

szám nagyobb 0-nál. A definíció alapján világos, hogy i ∈ I esetén g ◦ γ(s−1 i ) ≤

1 −1 .χ(s−1 i , ·).(g ◦ γ(si )), mi

hiszen supp(g ◦ γ(s−1 i )) = γ(si )hsupp(g)i, következésképpen f≤

X i∈I

ci −1 χ(s−1 i , ·)(g ◦ γ(si )). mi

Ebből a µ pozitivitása (tehát montonitása) miatt 0 ≤ µ(f ) ≤

X i∈I

X ci ci −1 −1 µ(χ(s−1 (χ(s−1 i , ·)(g ◦ γ(si ))) = i , ·).µ)(g ◦ γ(si )) = mi m i i∈I

102

=

X i∈I

X ci X ci ci (γ(si )(µ))(g ◦ γ(s−1 (γ(s−1 µ(g)= 0 i ))= i )(γ(si )(µ)))(g)= mi i∈I mi i∈I mi

következik. Ezzel megmutattuk, hogy ha µ pozitív, topologikusan γ-kváziinvariáns Radon-mérték X felett, és van olyan g ∈ K + (X), hogy µ(g) = 0, akkor minden f ∈ K + (X) függvényre µ(f ) = 0, így µ = 0. Tehát, ha µ 6= 0 is igaz, akkor minden g ∈ K + (X) esetén µ(g) 6= 0, ezért ∅ az egyetlen nyílt µ-nullahalmaz X-ben, vagyis supp(µ) = X. Tegyük fel, hogy χ′ : G × X → R+ szintén olyan függvény, amelyre minden s ∈ G esetén a χ′ (s, ·) : X → R+ parciális függvény folytonos, és γ(s)(µ) = χ′ (s−1 , ·).µ. Ekkor minden G ∋ s-re χ′ (s−1 , ·).µ = χ(s−1 , ·).µ, tehát X = supp(µ) ⊆ [χ′ (s−1 , ·) = χ(s−1 , ·)], vagyis minden X ∋ x-re χ′ (s−1 , x) = χ(s−1 , x). Ez azt jelenti, hogy χ′ = χ.

A χ definíciója szerint µ = γ(eG )(µ) = χ(eG , ·).µ, ezért X = supp(µ) ⊆ [1 = χ(eG , ·)], vagyis minden X ∋ x-re χ(eG , x) = 1. Legyenek s1 , s2 ∈ G tetszőlegesek. Ekkor a χ definíciója szerint

−1 −1 χ(s−1 2 s1 , ·).µ = χ((s1 s2 ) , ·).µ = γ(s1 s2 )(µ) = γ(s1 )(γ(s2 )(µ)) = −1 −1 = γ(s1 )(χ(s−1 2 , ·).µ) = (χ(s2 , ·) ◦ γ(s1 )).(γ(s1 )(µ)) = −1 −1 = (χ(s−1 2 , ·) ◦ γ(s1 )).(χ(s1 , ·)).µ,

amiből supp(µ) = X alapján

−1 −1 −1 −1 χ(s−1 2 s1 , ·) = (χ(s2 , ·) ◦ γ(s1 )).χ(s1 , ·)

következik. Ha s, t ∈ G, akkor innen az s1 := t−1 és s2 := s−1 választással kapjuk, hogy minden X ∈ x-re χ(st, x) = χ(s, γ(t)x)χ(t, x), amit bizonyítani kellett.  5.1.6. Következmény. Ha G lokálisan kompakt csoport, és µ baloldali vagy jobboldali Haar-mérték G felett, akkor supp(µ) = G.  5.1.7. Definíció. Ha γ tranzitív topologikus ábrázolása a G csoportnak az X lokálisan kompakt térben, és µ nem nulla, pozitív, topologikusan γ-kváziinvariáns Radon-mérték X felett, akkor a µ γ-multiplikátorának nevezzük azt a χ : G × X → R+ függvényt, amelyre minden s ∈ G esetén a χ(s, ·) : X → R+ parciális függvény folytonos, és γ(s)(µ) = χ(s−1 , ·).µ. 5.1.8. Tétel. Legyen γ tranzitív topologikus ábrázolása a G csoportnak az X lokálisan kompakt térben, µ nem nulla, pozitív, topologikusan γ-kváziinvariáns Radon-mérték X felett, és F Hilbert-tér. Jelölje χ a µ Radon-mérték γ-multiplikátorát. 103

a) Tekintsük a K (X; F ) × K (X; F ) → C;

(f, g) 7→ (f |g)µ :=

Z

(f (x)|g(x)) dµ(x)

X

leképezést. Ez skalárszorzás a K (X; F ) függvénytér felett. b) Minden s ∈ G esetén értelmezzük a V0 (s) : K (X; F ) → K (X; F );

f 7→ χ(s−1 , ·)1/2 .(f ◦ γ(s−1 ))

leképezést. Ez olyan lineáris bijekció, amely megtartja a (·|·)µ skalárszorzást, és a G → GL(K (X; F ));

s 7→ V0 (s)

leképezés lineáris ábrázolása a G csoportnak a K (X; F ) vektortérben. c) Jelölje V a V0 lineáris ábrázolás teljesítését, és legyen L2F (X, µ) a V unitér ábrázolás tere (tehát L2F (X, µ) a (·|·)µ skalárszorzással ellátott K (X; F ) prehilbert-tér teljes burka). Ha F nem 0 dimenziós, és γ injektív, akkor a V unitér ábrázolás is injektív. d) Ha G topologikus csoport, γ folytonos, és a χ : G × X → R+ multiplikátor a szorzattopológia szerint folytonos, akkor V a G-nek folytonos unitér ábrázolása. Bizonyítás. a) Nyilvánvaló, hogy a (·|·)µ : K (X; F ) × K (X; F ) → C leképezés konjugált bilineáris, pozitív, és hermitikus is, mert f, g ∈ K (X; F ) esetén µ = µ miatt (f |g)µ :=

Z

(f (x)|g(x)) dµ(x) = µ((f (·)|g(·))) = µ (f (·)|g(·)) =

X

= µ((g(·)|f (·))) =

Z

(g(x)|f (x)) dµ(x) =: (g|f )µ.

X

Ha f ∈ K (X; F ) olyan, hogy (f |f )µ = 0, akkor µ(kf (·)k2) = 0, így supp(µ) = X miatt kf (·)k2 = 0, vagyis f = 0. Ez azt jelenti, hogy (·|·)µ pozitív definit is.

b) Nyilvánvaló, hogy s ∈ G esetén a V0 (s) : K (X; F ) → K (X; F ) leképezés lineáris operátor, és az első multiplikátor-egyenlőség alapján V0 (eG ) = idK (X;F ) . Ha s, t ∈ G, akkor a második multiplikátor-egyenlőség alapján minden K (X; F ) ∋ f -re V0 (s)(V0 (t)f ) = V0 (s) χ(t−1 , ·)1/2 .(f ◦ γ(t−1 )) = = χ(s−1 , ·)1/2 .(χ(t−1 , ·)1/2 ◦ γ(s−1 )).(f ◦ γ(t−1 ) ◦ γ(s−1 )) = = (χ(t−1 , ·) ◦ γ(s−1 )).χ(s−1 , ·)

1/2

.(f ◦ γ((st)−1 )) =

= χ(t−1 s−1 , ·)1/2 (f ◦ γ((st)−1 )) = V0 (st)f. 104

Ebből következik, hogy minden G ∋ s-re V0 (s) bijekció, és a G → GL(K (X; F ));

s 7→ V0 (s)

leképezés lineáris ábrázolása a G csoportnak a K (X; F ) vektortérben. Továbbá, ha s ∈ G és f, g ∈ K (X; F ), akkor (V0 (s)f |V0(s)g)µ :=

Z

χ(s−1 , x)(f (γ(s−1 )x)|g(γ(s−1)x)) dµ(x) =

X

= (χ(s−1 , ·).µ)((f (·)|g(·)) ◦ γ(s−1 )) = (γ(s)(µ))((f (·)|g(·)) ◦ γ(s−1 )) = −1

=(γ(s )(γ(s)(µ)))((f (·)|g(·)))=µ((f (·)|g(·))) =

Z

X

(f (x)|g(x)) dµ(x)=:(f |g)µ,

tehát a V0 (s) operátor megtartja a (·|·)µ skalárszorzást. c) Tegyük fel, hogy a γ leképezés injektív és F 6= {0}. Legyen s ∈ G olyan, hogy V (s) = idL2F (X,µ) ; megmutatjuk, hogy s = eG . A feltevés alapján minden F ∋ z-re és K (X; C) ∋ ϕ-re ϕ.z = V (s)(ϕ.z) := (χ(s−1 , ·)1/2 .(ϕ ◦ γ(s−1 ))).z, így F 6= {0} miatt minden ϕ ∈ K (X; C) esetén ϕ = χ(s−1 , ·)1/2 .(ϕ ◦ γ(s−1 )), vagyis χ(s−1 , ·)1/2 .ϕ = χ(s−1 , ·).(ϕ ◦ γ(s−1 )). Ebből következik, hogy ϕ ∈ K (X; C) esetén µ(χ(s−1 , ·)1/2 .ϕ) = µ(χ(s−1 , ·).(ϕ ◦ γ(s−1 ))) = (χ(s−1 , ·).µ)(ϕ ◦ γ(s−1 ))) = = (γ(s)(µ))(ϕ ◦ γ(s−1 ))) = (γ(s−1 )(γ(s)(µ)))(ϕ) = µ(ϕ).

Ez maga után vonja azt, hogy χ(s−1 , ·)1/2 .µ = µ, így supp(µ) = X miatt χ(s−1 , ·)1/2 = 1. Ezért minden ϕ ∈ K (X; C) esetén ϕ = ϕ◦γ(s−1 ), vagyis ϕ◦γ(s) = ϕ. Tehát, ha x ∈ X, akkor minden ϕ ∈ K (X; C) esetén ϕ(γ(s)x) = ϕ(x), így γ(s)x = x, mivel a K (X; C) függvényhalmaz szétválasztó X felett. Ez azt jelenti, hogy γ(s) = idX = γ(eG ), így a γ injektivitása folytán s = eG . d) Tegyük fel, hogy G topologikus csoport, γ folytonos, és a χ : G × X → R+ multiplikátor a szorzattopológia szerint folytonos. A V unitér ábrázolás folytonosságának bizonyításához elegendő azt igazolni, hogy minden K (X; F ) ∋ f, g-re a G → C; s 7→ (V (s)f |g)µ leképezés eG -ben folytonos, hiszen K (X; F ) sűrű az L2F (X; µ) Hilbert-térben. Legyenek tehát f, g ∈ K (X; F ) rögzítve; ekkor (V (s)f |g)µ :=

Z

χ(s−1 , x)1/2 (f (γ(s−1 )x)|g(x)) dµ(x).

X

Értelmezzük a következő függvényt Φf,g : G × X → C;

(s, x) 7→ χ(s−1 , x)1/2 (f (γ(s−1 )x)|g(x)). 105

A folytonossági feltevésekből következik, hogy a Φf,g : G × X → C függvény a szorzattopológia szerint folytonos, és triviális az, hogy [Φf,g 6= 0] ⊆ G × supp(g). A supp(g) kompaktsága és a paraméteres integrálok folytonossági tétele alapján a G → C;

s 7→

Z

Φf,g (s, x) dµ(x)

X

függvény folytonos, és ezt kellett bizonyítani.  5.1.9. Definíció. Ha γ tranzitív topologikus ábrázolása a G csoportnak az X lokálisan kompakt térben, µ nem nulla, pozitív, topologikusan γ-kváziinvariáns Radon-mérték X felett, és F Hilbert-tér, akkor a G csoport előző tételben értelmezett V unitér ábrázolását V (γ,µ,F ) jelöli. Ha G lokálisan kompakt csoport, és µ (illetve ν) baloldali (illetve jobboldali) Haar-mérték G felett, akkor a V (γG ,µ,C) (illetve V (δG ,ν,C) ) unitér ábrázolást a G baloldali (illetve jobboldali) reguláris ábrázolásának nevezzük. Tehát lokálisan kompakt csoport baloldali (illetve jobboldali) reguláris ábrázolása egy baloldali (illetve jobboldali) Haar-mérték választásától függ, és ez a lokálisan kompakt csoportnak injektív folytonos unitér ábrázolása.

5.2.

Haar-mérték egzisztenciája és unicitása

5.2.1. Tétel. (Haar-mérték egzisztenciája és unicitása) Minden lokálisan kompakt csoport felett létezik baloldali Haar-mérték, és bármely két baloldali Haar-mérték arányos egymással (vagyis előállítható a másik szigorúan pozitív számszorosaként). Bizonyítás. (Egzisztencia.) Legyen G lokálisan kompakt csoport, és f, g ∈ K + (G). Legyen véges rendszer G-ben és (ci )i∈I olyan rendszer R+ -ban, hogy X (si )i∈I olyan ci (g ◦ γG (s−1 )). Ha β baloldali Haar-mérték G felett, akkor f≤ i i∈I

β(f ) ≤

X i∈I

ci β(g ◦

γG (s−1 i ))

=

X

ci (γG (s−1 i )(β))(g)

i∈I

=

X i∈I

!

ci β(g).

Ez azt jelenti,Xhogy ha β baloldali Haar-mérték G felett, akkor f, g ∈ K + (G) esetén β(f )/β(g) ≤ ci teljesül minden olyan R+ -beli (ci )i∈I véges rendszerre, amelyhez van i∈I

olyan G-beli (si )i∈I rendszer, hogy f ≤ esetén (f :g) jelöli azon

X

X i∈I

+ ci (g ◦ γG (s−1 i )). Tehát, ha f, g ∈ K (G)

ci alakú számok infimumát, ahol (ci )i∈I tetszőleges olyan véges

i∈I

106

rendszer R+ -ban, amelyhez van olyan G-beli (si )i∈I rendszer, hogy f ≤ akkor minden G feletti β baloldali Haar-mértékre

X

ci (g◦γG (s−1 i )),

i∈I

β(f )/β(g) ≤ (f : g). Ez azt mutatja, hogy az (f :g) alakú "hányadosoknak" komoly közük van a G feletti baloldali Haar-mértékekhez, ezért először ezeknek a számoknak a tulajdonságait fogjuk megvizsgálni. (I) Minden f, g ∈ K + (G) és s ∈ G esetén (f ◦ γG (s) : g) = (f : g). Valóban, hogy X ha (ci )i∈I olyan véges rendszerXR+ -ban, és (si )i∈I olyan rendszer G-ben, X −1 −1 f≤ ci (g◦γG (s−1 )), akkor f ◦γ (s) ≤ c (g◦γ ((s s ) )), így (f ◦γ (s) : g) ≤ ci , i i i G G G i∈I

i∈I

i∈I

amiből következik, hogy (f ◦ γG (s) : g) ≤ (f : g). Ez minden f, g ∈ K + (G) és s ∈ G esetén igaz, tehát ha f, g ∈ K + (G) és s ∈ G, akkor (f : g) = ((f ◦ γG (s)) ◦ γG (s−1 ) : g) ≤ (f ◦ γG (s) : g) is teljesül, így (f ◦ γG (s) : g) = (f : g).

(II) Minden f, g ∈ K + (G) és c ∈ R+ esetén

(cf : g) = c(f : g). Valóban, G-ben, hogy X ha (ci )i∈I olyan véges rendszer X R+ -ban, és (si )i∈I olyan rendszer X −1 −1 f ≤ ci (g ◦ γG (si )), akkor cf ≤ (cci )(g ◦ γG (si )), így (cf : g) ≤ c ci , amiből i∈I

i∈I

i∈I

következik, hogy (cf : g) ≤ c(f : g). Ez minden f, g ∈ K + (G) és c ∈ R+ esetén igaz, tehát ha f, g ∈ K + (G) és c ∈ R+ , akkor (f : g) = (c−1 (cf ) : g) ≤ c−1 (cf : g), vagyis c(f : g) ≤ (cf : g) is teljesül, így (cf : g) = c(f : g). (III) Minden f1 , f2 , g ∈ K + (G) esetén

(f1 + f2 : g) ≤ (f1 : g) + (f2 : g). Valóban, legyen (c1,i )i∈I olyan véges rendszer R+ -ban és (s1,i )i∈I olyan rendszer G-ben, X hogy f1 ≤ c1,i (g ◦ γG (s−1 1,i )), továbbá (c2,j )j∈J olyan véges rendszer R+ -ban és (s2,j )j∈J i∈I

olyan rendszer G-ben, hogy f2 ≤

X

j∈J

c2,j (g ◦ γG (s−1 2,j )). Ekkor A := ({1} × I) ∪ ({2} × J)

olyan véges halmaz, hogy az R+ -beli (cα )α∈A és G-beli (sα )α∈A rendszerekre f1 + f2 ≤

X i∈I

c1,i (g ◦ γG (s−1 1,i )) +

teljesül, így (f1 + f2 : g) ≤

X

c2,j (g ◦ γG (s−1 2,j )) =

X

cα =

j∈J

α∈A

107

X i∈I

c1,i +

X

j∈J

X

α∈A

c2,j .

cα (g ◦ γG (s−1 α ))

Ebből következik, hogy (f1 + f2 : g) ≤ (f1 : g) + (f2 : g).

(IV) Minden f, g ∈ K + (G) esetén

(f : g) ≥ 9f 9G / 9 g 9G . Valóban, ha (ci )i∈I olyan véges rendszer R!+ -ban, és (si )i∈I olyan rendszer G-ben, hogy X X f ≤ ci (g◦γG (s−1 ci 9 g9G , amiből következik, hogy 9f 9G ≤ i )), akkor f ≤ X i∈I

i∈I !

i∈I

ci 9 g9G , vagyis 9f 9G / 9 g9G ≤

(V) Minden f, g, h ∈ K + (G) esetén

X i∈I

ci , így 9f 9G / 9 g9G ≤ (f : g).

(f : g) ≤ (f : h)(h : g). Valóban, legyen (c1,i )i∈I olyan véges rendszer R+ -ban, és (s1,i )i∈I olyan rendszer G-ben, X hogy f ≤ c1,i (h ◦ γG (s−1 1,i )), továbbá (c2,j )j∈J olyan véges rendszer R+ -ban, és (s2,j )j∈J i∈I

olyan rendszer G-ben, hogy h ≤ f≤

X i∈I

c1,i

X

j∈J

X

j∈J

c2,j (g ◦ γG (s−1 2,j )). Ekkor

c2,j . g ◦ γG (s−1 2,j )

◦ γG (s−1 1,i )

=

X

(i,j)∈I×J

c1,i c2,j (g ◦ γG ((s1,i s2,j )−1 )),

amiből következik, hogy (f : g) ≤

X

c1,i c2,j =

X i∈I

(i,j)∈I×J

c1,i

!

X

c2,j

,

j∈J

ezért (f : g) ≤ (f : h)(h : g).

(VI) Minden f, f0 , g ∈ K + (G) esetén (f : g) 1 ≤ ≤ (f : f0 ). (f0 : f ) (f0 : g) Ez azonnal következik (V)-ből, amely szerint (f0 : g) ≤ (f0 : f )(f : g), valamint (f : g) ≤ (f : f0 )(f0 : g).

(VII) Legyenek f1 , f2 ∈ K + (G), és h ∈ K + (G) olyan, hogy supp(f1 ) ∪ supp(f2 ) ⊆ [h ≥ 1]. Ekkor minden R+ ∋ ε-hoz létezik eG -nek olyan U környezete, hogy minden g ∈ K + (G) esetén, ha supp(g) ⊆ U, akkor (f1 : g) + (f2 : g) ≤ (f1 + f2 : g) + ε(h : g). 108

Ennek bizonyításához legyen ε ∈ R+ rögzített. Legyen η ∈ R+ egyelőre tetszőlegesen rögzített szám, amit majd később az ε függvényében konkrétan megválasztunk. Értelmezzük az Fη := f1 + f2 + ηh függvényt. Legyen továbbá ϕ1 (illetve ϕ2 ) az a G → R+ függvény, amely az [Fη > 0] halmazon egyenlő az f1 /Fη (illetve f2 /Fη ) függvénnyel, és az [Fη = 0] halmazon egyenlő 0-val. Ekkor ϕ1 és ϕ2 folytonosak az [Fη > 0] nyílt halmazon, és ha s ∈ [Fη = 0], akkor supp(f1 ), supp(f2 ) ⊆ [Fη ≥ η] ⊆ [Fη > 0] miatt ϕ1 és ϕ2 egyenlőek 0val a G \ (supp(f1 ) ∪supp(f2 )) nyílt halmazon, amely az s-nek környezete, így ϕ1 és ϕ2 az s pontban is folytonosak. Továbbá nyilvánvaló, hogy supp(f1 ) ⊆ supp(ϕ1 ) ⊆ supp(Fη ), és supp(f2 ) ⊆ supp(ϕ2 ) ⊆ supp(Fη ), ezért ϕ1 , ϕ2 ∈ K + (G). Azonkívül világos, hogy f1 = ϕ1 Fη és f2 = ϕ2 Fη , valamint a definíció szerint ϕ1 + ϕ2 ≤ 1. Legyen δ ∈ R+ egyelőre tetszőlegesen rögzített szám, amit majd később az ε függvényében konkrétan megválasztunk. A ϕ1 és ϕ2 kompakt tartójú folytonos függvények egyenletesen folytonosak, így δ-hoz létezik olyan Uδ környezete eG -nek, hogy minden s, t ∈ G esetén, ha s−1 t ∈ Uδ , akkor |ϕ1 (s) − ϕ1 (t)| < δ és |ϕ2 (s) − ϕ2 (t)| < δ.

Vegyünk most tetszőleges olyan g ∈ K + (G) függvényt, amelyre supp(g) ⊆ Uδ . Legyen (ci )i∈IX olyan véges rendszer R+ -ban, és (si )i∈I olyan rendszer G-ben, hogy fennáll az Fη ≤ ci .(g ◦ γG (s−1 i )) egyenlőtlenség. Ekkor minden s ∈ G esetén i∈I

f1 (s) = ϕ1 (s)Fη (s) ≤ ≤

i∈I,

X

X

ci ϕ1 (s)g(s−1 i s) =

i∈I

i∈I,

ci (ϕ1 (si ) + δ)g(s−1 i s) =

s−1 i s∈Uδ

X

X

s−1 i s∈Uδ

ci ϕ1 (s)g(s−1 i s) ≤

ci (ϕ1 (si ) + δ)g(s−1 i s),

i∈I

hiszen minden I ∋ i-reX s−1 i s ∈ Uδ esetén |ϕ1 (s) − ϕ1 (si )| < δ, így ϕ1 (s) ≤ ϕ1 (si ) + δ. Ez azt jelenti, hogy f1 ≤ ci (ϕ1 (si ) + δ).(g ◦ γ(s−1 i )), következésképpen i∈I

(f1 : g) ≤

X

ci (ϕ1 (si ) + δ).

X

ci (ϕ2 (si ) + δ).

i∈I

Teljesen hasonlóan kapjuk, hogy (f2 : g) ≤

i∈I

Ebből, és a ϕ1 + ϕ2 ≤ 1 egyenlőtlenségből adódik, hogy (f1 : g) + (f2 : g) ≤

X i∈I

ci (ϕ1 (si ) + ϕ2 (si ) + 2δ) ≤ (1 + 2δ)

X i∈I

!

ci .

Ebből a (III), a (II), és az (V) tulajdonságok alkalmazásával következik, hogy (f1 : g) + (f2 : g) ≤ (1 + 2δ)(Fη : g) := (1 + 2δ)(f1 + f2 + ηh : g) ≤ 109

≤ (1 + 2δ)(f1 + f2 : g) + (1 + 2δ)η(h : g) ≤ ≤ (f1 + f2 : g) + (2δ(f1 + f2 : h) + (1 + 2δ)η) (h : g).

Innen látható, hogy ha az η, δ ∈ R+ számokat úgy választjuk meg, hogy 2δ(f1 + f2 : h) + (1 + 2δ)η ≤ ε teljesüljön, akkor Uδ olyan környezete eG -nek, hogy minden g ∈ K + (G) függvényre, ha supp(g) ⊆ Uδ , akkor fennáll az (f1 : g) + (f2 : g) ≤ (f1 + f2 : g) + ε(h : g) egyenlőtlenség. Ha η ∈]0, ε[ tetszőleges valós szám, akkor lim (2δ(f1 + f2 : h) + (1 + 2δ)η) = η < ε,

δ→0

tehát van olyan δ ∈ R+ , hogy 2δ(f1 + f2 : h) + (1 + 2δ)η ≤ ε. Ezzel a (VII) állítást is igazoltuk. Most rögzítünk egy f0 ∈ K + (G) függvényt, és minden g ∈ K + (G) esetén értelmezzük az (f : g) Ig : K + (G) → R+ ; f 7→ (f0 : g) leképezést. A (VI) alapján nyilvánvaló, hogy minden g ∈ K + (G) esetén Ig ∈

Y

f ∈K

+ (G)

1 , (f : f0 ) . (f0 : f )

Minden f ∈ K + (G) függvényre az [1/(f0 : f ), (f : f0 )] ⊆ R kompakt intervallumot ellátjuk az R euklidészi topológiájának leszűkítésével, és a K :=

Y

f ∈K

+ (G)

1 , (f : f0 ) (f0 : f )

szorzathalmazt ellátjuk a szorzattopológiával. A Tyihonov-tétel szerint K kompakt tér. Az eG bármely U környezetére legyen RU := { Ig | (g ∈ K + (G)) ∧ (supp(g) ⊆ U)}, és jelölje B az eG tetszőleges környezetbázisát. Természetesen minden U ∈ B esetén van olyan g ∈ K + (G), hogy supp(g) ⊆ U, így RU 6= ∅. Ha U1 , U2 ∈ B, és U ∈ B olyan, hogy U ⊆ U1 ∩ U2 , akkor nyilvánvalóan RU ⊆ RU1 ∩ RU2 . Ez azt jelenti, hogy 110

az {RU |U ∈ B} halmaz rács, és persze minden B ∋ U-ra RU ⊆ K. A K kompaktsága miatt \ RU 6= ∅; U ∈B

legyen I eleme ennek a metszetnek. Meg fogjuk mutatni, hogy az I : K + (G) → R+ függvény γG -invariáns és additív.

Először megjegyezzük, hogy I ∈ RG miatt van olyan (gα )α∈A általánosított sorozat K + (G)-ben, hogy I = lim Igα a K kompakt térben, vagyis minden K + (G) ∋ f -re α,A

I(f ) = lim Igα (f ) teljesül R+ -ban. α,A

Ha f ∈ K + (G) és s ∈ G, akkor az (I) alkalmazásával I(f ◦ γG (s)) = lim Igα (f ◦ γG (s)) := lim α,A

α,A

(f : gα ) (f ◦ γG (s) : gα ) = lim = I(f ) α,A (f0 : gα ) (f0 : gα )

adódik; ez azt jelenti, hogy az I leképezés γG -invariáns. Legyenek f1 , f2 ∈ K + (G); ekkor a (III) alkalmazásával I(f1 + f2 ) = lim Igα (f1 + f2 ) := lim α,A

α,A

≤ lim α,A

(f1 + f2 : gα ) ≤ (f0 : gα )

(f1 : gα ) (f2 : gα ) + lim = I(f1 ) + I(f2 ) (f0 : gα ) α,A (f0 : gα )

adódik, hiszen minden A ∋ α-ra (f1 + f2 : gα ) ≤ (f1 : gα ) + (f2 : gα ). Ez azt jelenti, hogy I szubadditív. Az I szuperadditivitásának bizonyításához rögzítsünk olyan h ∈ K + (G) függvényt, amelyre supp(f1 ) ∪ supp(f2 ) ⊆ [h ≥ 1], és legyen ε ∈ R+ tetszőleges. A (VII) alapján vegyünk olyan U ∈ B halmazt, amelyre g ∈ K + (G) és supp(g) ⊆ U esetén (f1 : g) + (f2 : g) ≤ (f1 + f2 : g) + ε(h : g). Az I értelmezése alapján I ∈ RU , így létezik olyan (gα )α∈A általánosított sorozat K + (G)ben, hogy minden A ∋ α-ra supp(gα ) ⊆ U, és I = lim Igα a K kompakt térben, vagyis α,A

minden K + (G) ∋ f -re I(f ) = lim Igα (f ) teljesül R+ -ban. Ekkor minden α ∈ A esetén α,A

(f1 : gα ) + (f2 : gα ) ≤ (f1 + f2 : gα ) + ε(h : gα ), amiből az (f0 : gα ) számmal való osztás után Igα (f1 ) + Igα (f2 ) ≤ Igα (f1 + f2 ) + εIgα (h). következik. Ezért I(f1 ) + I(f2 ) = lim Igα (f1 ) + lim Igα (f2 ) ≤ α,A

α,A

111

≤ lim Igα (f1 + f2 ) + ε lim Igα (h) = I(f1 + f2 ) + εI(h), α,A

α,A

így I(f1 ) + I(f2 ) ≤ I(f1 + f2 ) is teljesül, vagyis I szuperadditív.

Végül legyen I0 : K+ (G) → R+ az a leképezés, amely a 0 függvényhez 0-t rendel, és K + (G)-on egyenlő I-vel. Ekkor I0 additív, γG -invariáns, és természetesen nem 0, így létezik egyetlen olyan G feletti pozitív Radon-mérték, amely I0 -nak kiterjesztése; ez baloldali Haar-mérték G felett. (Unicitás.) Tekintettel arra, hogy minden G feletti baloldali Haar-mérték iG (ν) alakú, ahol ν jobboldali Haar-mérték G felett; a baloldali Haar-mértékek unicitásához azt kell igazolni, hogy ha µ baloldali és ν jobboldali Haar-mérték G felett, akkor a iG (ν)(f )/µ(f ) hányados f -től független, ahol f ∈ K + (G). Ennek bizonyításához vezessük be minden f ∈ K + (G) esetén a Df : G → R + ;

1 µ(f )

s 7→

Z

f (t−1 s) dν(t)

G

függvényt. A paraméteres integrálok folytonossági tételéből következik, hogy minden f ∈ K + (G) függvényre Df folytonos G-n. Legyenek f, g ∈ K + (G). Ekkor G × G → R;

(s, t) 7→ g(s)f (t−1s)

folytonos kompakt tartójú függvény, tehát az elemi Lebesgue–Fubini-tétel alapján írható, hogy Z

Z

G

−1

g(s)f (t s) dµ(s)

dν(t) =

G

Z

G

Z

g(s)f (t−1s) dν(t)

dµ(s).

G

Ugyanakkor µ balinvarianciája, és ν jobbinvarianciája miatt Z

G

Z

g(s)f (t−1 s) dµ(s)

dν(t)=

=

G

Z

G

G

Z

Z

Z

g(ts)f (s) dµ(s)

=

Z

G

f (s)

Z

dν(t)=

G

∗

dν(t) =

Z

G

G

g(t(t−1 s))f (t−1 s) dµ(s)

g(ts) dν(t)

Z

g(ts)f (s) dν(t)

dµ(s) =

G

dµ(s) = µ(f )ν(g),

G

ahol a ∗-gal jelölt egyenlőségnél felhasználtuk az elemi Lebesgue–Fubini-tételt a G×G → R; (s, t) 7→ g(ts)f (s) folytonos kompakt tartójú függvényre és a µ ⊗ ν szorzatmértékre.

112

Továbbá, a Df definíciója és folytonossága alapján Z

G

Z

−1

g(s)f (t s) dν(t)

dµ(s) =

Z

Z

g(s)

=

Z

dµ(s) =

G

G

G

f (t−1 s) dν(t)

g(s)µ(f )Df (s) dµ(s) = µ(f )(Df .µ)(g).

G

Tehát azt kaptuk, hogy minden f, g∈K + (G) függvényre µ(f )ν(g) = µ(f )(Df .µ)(g), így minden f ∈ K + (G) esetén ν = Df .µ. Ha tehát f, f ′ ∈ K + (G), akkor Df .µ = Df ′ .µ, így G = supp(µ) ⊆ [Df = Df ′ ], vagyis Df = Df ′ . Ebből következik, hogy minden f, f ′ ∈ K + (G) esetén Df (eG ) = Df ′ (eG ) teljesül, vagyis iG (ν)(f ) i (ν)(f ′ ) = G , µ(f ) µ(f ′ ) következésképpen a µ és iG (ν) Radon-mértékek arányosak egymással. 

5.3.

Lokálisan kompakt csoport moduláris függvénye

5.3.1. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport. Létezik egyetlen olyan ∆G : G → R+ függvény, amelyre teljesül az, hogy minden G feletti β baloldali Haar-mértékre, és minden G ∋ s-re δG (s)β = ∆G (s).β. Ez a ∆G függvény folytonos csoport-morfizmus a G és R+ lokálisan kompakt csoportok között. Bizonyítás. Legyen β baloldali Haar-mérték G felett. Ha s ∈ G, akkor δG (s)β olyan nem nulla pozitív Radon-mérték G felett, amelyre minden t ∈ G esetén γG (t)(δG (s)β) = (γG (t) ◦ δG (s))β = (δG (s) ◦ γG (t))β = δG (s)(γG (t)β) = δG (s)β. Ez azt jelenti, hogy minden G ∋ s-re δG (s)β baloldali Haar-mérték G felett, így egyértelműen létezik olyan ∆β (s) ∈ R+ , hogy δG (s)β = ∆β (s).β. Nyilvánvaló, hogy s1 , s2 ∈ G esetén ∆β (s1 s2 ).β = δG (s1 s2 )β = δG (s1 )(δG (s2 )β) = ∆β (s1 ).∆β (s2 ).β, ezért β 6= 0 miatt ∆β (s1 s2 ) = ∆β (s1 )∆β (s2 ). Továbbá nyilvánvaló, hogy β = δG (eg )β = ∆β (eG ).β, így ∆β (eG ) = 1. Tehát a ∆β : G → R+ függvény csoport-morfizmus. Továbbá, ha ϕ ∈ K (G; C) olyan, hogy β(ϕ) 6= 0, akkor minden G ∋ s-re ∆β (s) =

(δG (s)β)(ϕ) 1 = β(ϕ) β(ϕ) 113

Z

G

ϕ(ts−1 ) dβ(t),

amiből látható, hogy a paraméteres integrálok folytonosságának tétele alapján a ∆β : G → R+ függvény folytonos. Végül megjegyezzük, hogy ∆β a β baloldali Haar-mérték választásától független, mert ha β ′ szintén baloldali Haar-mérték, és c ∈ R+ olyan, hogy β ′ = c.β, akkor minden s ∈ G esetén c.∆β ′ (s).β = ∆β ′ (s).β ′ = δG (s)β ′ = c.δG (s)β = c.∆β (s).β, így ∆β ′ (s) = ∆β (s). Ezért ∆G az a függvény, amely minden G feletti β baloldali Haarmértékre ∆β -val egyenlő.  5.3.2. Definíció. Ha G lokálisan kompakt csoport, akkor a G moduláris függvényének nevezzük, és ∆G -vel jelöljük azt a G → R+ folytonos csoport-morfizmust, amelyre teljesül az, hogy minden G feletti β baloldali Haar-mértékre, és minden G ∋ s-re δG (s)β = ∆G (s).β. A G lokálisan kompakt csoportot unimodulárisnak nevezzük, ha ∆G = 1. A moduláris függvény létezésének bizonyításából látható, hogy ha G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és ϕ ∈ K (G; C) olyan, hogy β(ϕ) 6= 0, akkor minden s ∈ G esetén (δ (s)β)(ϕ) 1 ∆G (s) = G = β(ϕ) β(ϕ)

Z

ϕ(ts−1 ) dβ(t).

G

Nyilvánvaló, hogy egy G lokálisan kompakt csoport pontosan akkor unimoduláris, ha minden G feletti baloldali Haar-mérték jobbinvariáns, vagyis jobboldali Haar-mérték. Másként fogalmazva, egy G lokálisan kompakt csoport pontosan akkor unimoduláris, ha létezik G felett olyan pozitív nem nulla Radon-mérték, amely egyszerre balinvariáns és jobbinvariáns. Kevésbé nyilvánvaló az unimodularitás következő kritériuma. 5.3.3. Állítás. Ha G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor iG (β) = ∆−1 .β. G A G lokálisan kompakt csoport pontosan akkor unimoduláris, ha a G feletti baloldali Haar-mértékek inverzió-invariánsak. Bizonyítás. Világos, hogy ∆G .iG (β) nem nulla pozitív Radon-mérték G felett, és minden s ∈ G esetén a 4.1.8. alapján γG (s) (∆G .iG (β)) = ∆G ◦ γG (s)−1 . (γG (s)(iG (β))) = = ∆G (s)−1 ∆G . (iG (δG (s)(β))) =: ∆G (s)−1 ∆G . (iG (∆G (s).β)) = ∆G .iG (β), ahol felhasználtuk azt, hogy γG (s) ◦ iG = iG ◦ δG (s) és ∆G : G → R+ csoportmorfizmus. Ez azt jelenti, hogy ∆G .iG (β) baloldali Haar-mérték G felett, ezért létezik 114

olyan c > 0 valós szám, hogy c.β = ∆G .iG (β). Erre a mérték-egyenlőségre alkalmazva az iG homeomorfizmust kapjuk, hogy c.iG (β) = ∆G ◦ i−1 . (iG (iG (β))) = ∆−1 .β G G hiszen iG ◦ iG = idG és ∆G : G → R+ csoport-morfizmus. Ezt a mérték-egyenlőséget szorozva a ∆G függvénnyel kapjuk, hogy c.∆G .iG (β) = β, és mivel ∆G .iG (β) = c.β, így ebből c2 .β = β adódik. Ezért c = 1, tehát ∆G .iG (β) = β. Ebből látható, hogy a ∆G = 1 egyenlőség ekvivalens azzal, hogy iG (β) = β (4.3.6.), ami azt jelenti, hogy β inverzió-invariáns.  5.3.4. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport. Ha létezik eG -nek olyan U kompakt környezete G-ben, hogy minden G ∋ s-re sUs−1 ⊆ U, akkor G unimoduláris. Bizonyítás. Legyen U olyan kompakt környezete eG -nek G-ben, hogy minden G ∋ s-re sUs−1 ⊆ U. Legyen β baloldali Haar-mérték G felett, és az U kompakt halmazhoz vegyünk olyan C ∈ R+ számot, amelyre minden ϕ ∈ K (G; C) függvényre, ha supp(ϕ) ⊆ U, akkor |β(ϕ)| ≤ C 9 ϕ9G . Rögzítsünk egy olyan ϕ ∈ K + (G) függvényt, amelyre supp(ϕ) ⊆ U. Ekkor s ∈ G esetén supp(ϕ ◦ IntG (s)) = s−1 supp(ϕ)s ⊆ s−1 Us ⊆ U, így |β(ϕ ◦ IntG (s))| ≤ C 9 ϕ ◦ IntG (s)9G = C 9 ϕ 9G . Ugyanakkor minden G ∋ s-re a moduláris függvény definíciója alapján β(ϕ ◦ IntG (s))=(IntG (s)β)(ϕ)=(δG (s)(γG (s)β))(ϕ)=(δG (s)β)(ϕ)=∆G (s)β(ϕ), következésképpen fennáll a ∆G (s) =

|β(ϕ ◦ IntG (s))| 9ϕ9G ≤C |β(ϕ)| |β(ϕ)|

egyenlőtlenség. Ez azt jelenti, hogy ∆G korlátos függvény. Ezért ∆G = 1, hiszen ha volna olyan s ∈ G, hogy ∆G (s) > 1, akkor a (∆G (sn ))n∈N számsorozat felülről nem korlátos R+ -ban, mert minden N ∋ n-re ∆G (sn ) = (∆G (s))n .  5.3.5. Következmény. Minden kommutatív, vagy kompakt, vagy diszkrét lokálisan kompakt csoport unimoduláris. Bizonyítás. Mindhárom esetben könnyen található a neutrális elemnek olyan U kompakt környezete, hogy minden s csoportelemre sUs−1 ⊆ U teljesül, ugyanis:

– ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor az eG bármely U kompakt környezete megfelelő; – ha G kompakt csoport, akkor U := G megfelelő; 115

– ha G diszkrét csoport, akkor U := {eG } megfelelő. 

Megjegyezzük, hogy az iménti következményben mindhárom lokálisan kompakt csoport-típusra közvetlenül is bizonyítani lehet az unimodularitást. Valóban:

– ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor minden s ∈ G esetén δG (s) = γG (s−1 ), ezért a G feletti baloldali Haar-mértékek jobboldali Haar-mértékek is, tehát G unimoduláris; – ha G kompakt csoport, akkor minden π : G → R+ folytonos csoport-morfizmusra π = 1 teljesül (így ∆G = 1 is igaz), különben volna olyan s ∈ G, hogy π(s) > 1, és akkor a (π(sn ))n∈N sorozat nem korlátos felülről, de a π értékkészletében halad, amely kompakt halmaz R+ -ben; – ha G diszkrét csoport, akkor könnyen ellenőrizhető, hogy a K (G; C) → C;

ϕ 7→

X

ϕ(s)

s∈G

funkcionál egyszerre baloldali és jobboldali Haar-mérték G felett, következésképpen G unimoduláris. Azonban léteznek olyan lokálisan kompakt csoportok, amelyek nem kommutatívak, nem kompaktak és nem diszkrétek, de bennük a neutrális elemnek létezik olyan kompakt környezete, amely invariáns a belső automorfizmusokra nézve, tehát unimodulárisak. 5.3.6. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, és π : G → G olyan bijekció, amely csoport-izomorfizmus és homeomorfizmus egyszerre (ilyenkor azt mondjuk, hogy π a G lokálisan koampakt csoportnak automorfizmusa). Ekkor létezik egyetlen olyan modG (π) ∈ R+ szám, amelyre teljesül az, hogy minden G feletti β baloldali Haar-mértékre π(β) = (modG (π))−1 .β. Bizonyítás. Ha s ∈ G, akkor γG (s) ◦ π = π ◦ γG (π −1 (s)), tehát ha β baloldali Haar-mérték G felett, akkor γG (s)(π(β)) = (γG (s) ◦ π)(β) = (π ◦ γG (π −1 (s)))(β) = π(γG (π −1 (s))(β)) = π(β), tehát π(β) szintén baloldali Haar-mérték G felett. Ezért minden G feletti β baloldali Haar-mértékhez egyértelműen létezik olyan mβ ∈ R+ , amelyre π(β) = mβ .β. Ha β és β ′ baloldali Haar-mertékek, és c ∈ R+ olyan, hogy β ′ = c.β, akkor mβ .β ′ = c.(mβ .β) = c.π(β) = π(c.β) = π(β ′ ) = mβ ′ .β ′ , ezért mβ = mβ ′ . Ezért modG (π) az a szám, amely minden G feletti β baloldali Haarmértékre 1/mβ -val egyenlő. 

116

5.3.7. Definíció. Ha π automorfizmusa a G lokálisan kompakt csoportnak, akkor a π automorfizmus modulusának nevezzük, és modG (π)-vel jelöljük azt a pozitív valós számot, amelyre teljesül az, hogy minden G feletti β baloldali Haar-mértékre π(β) = (modG (π))−1 .β. Könnyen látható, hogy ha π1 és π2 automorfizmusai a G lokálisan kompakt csoportnak, akkor modG (π1 ◦ π2 ) = modG (π1 )modG (π2 ), mert ha β baloldali Haar-mérték G felett, akkor (modG (π1 ◦ π2 ))−1 .β = (π1 ◦ π2 )(β) = π1 (π2 (β)) = π1 ((modG (π2 ))−1 .β) = = (modG (π2 ))−1 .(π1 (β)) = (modG (π2 ))−1 .(modG (π1 ))−1 .β.

5.4.

Haar-mérték és moduláris függvény lokálisan kompakt féldirekt szorzat felett

5.4.1. Állítás. Legyen N ⊗ H lokálisan kompakt féldirekt szorzat, és vezessük be a τ

χτ : H → R+ ;

h 7→ modN (τh )

függvényt. a) A χτ : H → R+ függvény folytonos csoport-morfizmus, és ha βN baloldali Haar-mérték N felett, valamint βH baloldali Haar-mérték H felett, akkor βN ⊗(χ−1 τ .βH ) baloldali Haarmérték N ⊗ H felett. τ

b) Fennáll a ∆N ⊗ H = ∆N ⊗ (χτ −1 ∆H ) τ

összefüggés, vagyis (n, h) ∈ N × H esetén ∆N ⊗ H (n, h) = χτ (h)−1 ∆N (n)∆H (h). τ

c) Ha νN jobboldali Haar-mérték N felett, és νH jobboldali Haar-mérték H felett, akkor νN ⊗ νH jobboldali Haar-mérték N ⊗ H felett. τ

Bizonyítás. A bizonyításban a G := N ⊗ H jelölést fogjuk alkalmazni. τ

a) A H → Aut(N); h → τh leképezés csoport-morfizmus, következésképpen minden h1 , h2 ∈ H esetén χτ (h1 h2 ) := modN (τh1 h2 ) = modN (τh1 ◦ τh2 ) = modN (τh1 )modN (τh2 ) =: χτ (h1 )χτ (h2 ).

117

Továbbá, χτ (eH ) := modN (τeH ) = modN (idN ) = 1, így a χτ : H → R+ függvény csoportmorfizmus. Ha βN baloldali Haar-mérték N felett, és ϕ ∈ K (N; C), akkor a definíció szerint minden H ∋ h-ra −1

−1

χτ (h) βN (ϕ) := modN (τh ) βN (ϕ) = (τh (βN ))(ϕ) = βN (ϕ ◦ τh ) =

Z

ϕ(τh (n)) dβN (n).

N

A H → Aut(N); h 7→ τh leképezés folytonos topologikus ábrázolása a H lokálisan kompakt csoportnak az N lokálisan kompakt térben, ezért a paraméteres integrálok folytonosságának tételéből következik, hogy ϕ ∈ K (N; C), βN (ϕ) 6= 0 esetén a H → C;

h 7→

1 βN (ϕ)

Z

ϕ(τh (n)) dβN (n)

N

függvény folytonos, ami a fentiek alapján megegyezik a H → R+ ; h 7→ χτ (h)−1 függvénnyel. Ezért a χτ : H → R+ függvény folytonos csoport-morfizmus.

Legyen βN baloldali Haar-mérték N felett, és βH baloldali Haar-mérték H felett. Rögzítsünk egy (n, h) ∈ N × H elemet, és legyenek ϕN ∈ K (N; C), valamint ϕH ∈ K (H; C). Ekkor −1 (γG (n, h)(βN ⊗ (χ−1 τ .βH ))) (ϕN ⊗ ϕH ) = (βN ⊗ (χτ .βH ))((ϕN ⊗ ϕH ) ◦ γG (n, h)) =

=

Z

N ×H

′ ′ (ϕN ⊗ ϕH )((n, h)(n′ , h′ )) d(βN ⊗ (χ−1 τ .βH ))(n , h ) =

Z

=

N ×H

=

Z

ϕN (nτh (n′ ))ϕH (hh′ )χτ (h′ )−1 d(βN ⊗ βH )(n′ , h′ ) = ′

ϕN (nτh (n ))χτ (h)

Z

ϕH (hh′ )χτ (hh′ )−1 dβH (h′ )

(1)

dβN (n′ ) =

H

N (1)

= χτ (h)

Z

′

′

ϕN (nτh (n )) dβN (n ) Z

N (2)

ϕH (h′ )χτ (h′ )−1 dβH (h′ )

=

H

N

= χτ (h)

Z

= χτ (h)

(ϕN ◦ τh )(τh−1 (n)n′ ) dβN (n′ ) Z

N

(ϕN ◦ τh )(n′ ) dβN (n′ )

(2)

(χ−1 τ .βH )(ϕH ) =

(χ−1 τ .βH )(ϕH ) =

= χτ (h) · (τh (βN ))(ϕN ) · (χ−1 τ .βH )(ϕH ) :=

−1 := modN (τh ) · (modN (τh ))−1 βN (ϕN ) · (χ−1 τ .βH )(ϕH ) = (βN ⊗ (χτ .βH ))(ϕN ⊗ ϕH ),

118

(1)

(2)

ahol az = egyenlőségnél a βH balinvarianciáját, és az = egyenlőségnél a βN balinvarianciáját használtuk ki. Ebből következik, hogy (n, h) ∈ N × H esetén −1 γG (n, h)(βN ⊗ (χ−1 τ .βH )) = βN ⊗ (χτ .βH ),

vagyis βN ⊗ (χ−1 τ .βH ) balinvariáns, és persze nem nulla pozitív Radon-mérték az N ⊗ H τ lokálisan kompakt féldirekt szorzat felett. b) Legyen βN baloldali Haar-mérték N felett, és βH baloldali Haar-mérték H felett. Először megmutatjuk, hogy minden h ∈ H esetén ∆N = ∆N ◦ τh . Valóban, ha h ∈ H és n ∈ N, akkor nyilvánvalóan δN (τh (n)) = τh ◦ δN (n) ◦ τh−1 , ezért a moduláris függvény és a χτ definíciója alapján ∆N (τh (n)).βN = δN (τh (n))(βN ) = τh (δN (n))(τh−1 (βN )) = = τh (δN (n))(χτ (h).βN ) = χτ (h).τh (δN (n)(βN )) = χτ (h).τh (∆N (n).βN ) = = χτ (h)∆N (n).τh (βN ) = χτ (h)∆N (n)χτ −1 (h).βN , tehát ∆N (τh (n)) = ∆N (n). Tehát, ha ϕN ∈ K (N; C) és ϕH ∈ K (H; C), akkor a moduláris függvény definíciója és a) szerint minden N × H ∋ (n, h)-ra −1 (∆G (n, h).(βN ⊗ (χ−1 τ .βH )))(ϕN ⊗ ϕH ) = (δG (n, h)(βN ⊗ (χτ .βH )))(ϕN ⊗ ϕH ) =

Z

= =

Z

N ×H

N ×H

N ×H

=

(ϕN ⊗ ϕH )((n′ , h′ )(n, h)−1 )χτ −1 (h′ )d(βN ⊗ βH )(n′ , h′ ) =

(ϕN ⊗ ϕH )((n′ , h′ )(τh−1 (n−1 ), h−1 ))χτ −1 (h′ )d(βN ⊗ βH )(n′ , h′ ) =

Z

=

= (βN ⊗ (χ−1 τ .βH ))((ϕN ⊗ ϕH ) ◦ δG (n, h)) =

Z

(ϕN ⊗ ϕH )(n′ τh′ h−1 (n−1 ), h′ h−1 )χτ −1 (h′ )d(βN ⊗ βH )(n′ , h′ ) = ′ −1

ϕH (h h )χτ

H

=

Z

′

(h )

Z

ϕN (n′ τh′ h−1 (n)−1 ) dβN (n′ )

dβH (h′ ) =

N

ϕH (h′ h−1 )χτ −1 (h′ )(δN (τh′ h−1 (n))(βN ))(ϕN ) dβH (h′ ) =

H

=

−1

Z

ϕH (h′ h−1 )χτ −1 (h′ )∆N (τh′ h−1 (n))βN (ϕN ) dβH (h′ ) =

H

119

= βN (ϕN )∆N (n)

Z

ϕH (h′ h−1 )χτ −1 (h′ ) dβH (h′ ) =

H

= βN (ϕN )∆N (n)χτ −1 (h)

Z

ϕH (h′ h−1 )χτ −1 (h′ h−1 ) dβH (h′ ) =

H

= βN (ϕN )∆N (n)χτ

−1

(h)∆H (h)

Z

ϕH (h′ )χτ −1 (h′ ) dβH (h′ ) =

H

= βN (ϕN )∆N (n)χτ

−1

(h)∆H (h)(χτ −1 .βH )(ϕH ) =

= (∆N ⊗ (χτ −1 ∆H ))(n, h)(βN ⊗ (χτ −1 .βH ))(ϕN ⊗ ϕH ),

amiből látható, hogy ∆G (n, h) = (∆N ⊗ (χτ −1 ∆H ))(n, h).

c) Legyen νN jobboldali Haar-mérték N felett, és νH jobboldali Haar-mérték H felett. Ha ϕN ∈ K (N; C) és ϕH ∈ K (H; C), akkor minden (n, h) ∈ N × H esetén (δG (n, h)(νN ⊗ νH ))(ϕN ⊗ ϕH ) = (νN ⊗ νH )((ϕN ⊗ ϕH ) ◦ δG (n, h)) = =

Z

N ×H

Z

=

N ×H

= =

Z

H

Z

(ϕN ⊗ ϕH )((n′ , h′ )(n, h)−1 )d(νN ⊗ νH )(n′ , h′ ) = ϕN (n′ τh′ h−1 (n−1 ))ϕH (h′ h−1 )d(νN ⊗ νH )(n′ , h′ ) =

ϕH (h′ h−1 )

H

Z

ϕN (n′ τh′ h−1 (n−1 ))dνN (n′ )

νH (h′ ) =

N

ϕH (h′ h−1 )νN (ϕN ) νH (h′ ) = νN (ϕN )νH (ϕH ) = (νN ⊗ νH )(ϕN ⊗ ϕH ),

ezért a tenzorszorzat definíciója szerint δG (n, h)(νN ⊗ νH ) = νN ⊗ νH , vagyis νN ⊗ νH jobboldali Haar-mérték N ⊗ H felett.  τ

5.4.2. Definíció. Ha N ⊗ H lokálisan kompakt féldirekt szorzat, akkor a τ

χτ : H → R+ ;

h 7→ modN (τh )

folytonos csoport-morfizmust az N ⊗ H lokálisan kompakt féldirekt szorzat modulusáτ nak nevezzük. 5.4.3. Következmény. Az N ⊗ H lokálisan kompakt féldirekt szorzat pontosan akkor τ unimoduláris, ha N unimoduláris és χτ = ∆H .

120

Bizonyítás. A 5.4.1. állítás b) pontja alapján a feltétel nyilvánvalóan elégséges. Ha N ⊗ H unimoduláris, akkor szintén a 5.4.1. állítás b) pontja szerint minden h ∈ H τ esetén 1 = (∆N ⊗ H )(eN , h) = ∆N (eN )χτ (h)−1 ∆H (h) = χτ (h)−1 ∆H (h), τ

tehát χτ (h) = ∆H (h), így χτ = ∆H , továbbá minden n ∈ N esetén

1 = (∆N ⊗ H )(n, eH ) = ∆N (n)χτ (eH )−1 ∆H (eH ) = ∆N (n), τ

tehát N unimoduláris. 

5.5.

Példák Haar-mértékekre és moduláris függvényekre

1) Legyen G diszkrét csoport. Minden ϕ ∈ K (G; C) esetén [ϕ 6= 0] véges halmaz, így a β : K (G; C) → C;

ϕ 7→

X

ϕ(s)

s∈G

leképezés jól értelmezett, és nyilvánvalóan Haar-mérték G felett. Speciálisan, ha G véges szeparált topologikus csoport, akkor G diszkrét és kompakt, tehát az imént értelmezett β leképezés Haar-mérték G felett. 2) Legyenek G és G′ lokálisan kompakt csoportok, és π : G → G′ topologikus algebrai izomorfizmus. Ekkor minden G feletti βG baloldali Haar-mértékre π(βG ) baloldali Haarmérték G′ felett, hiszen s′ ∈ G′ esetén γG′ (s′ ) ◦ π = π ◦ γG (π(s′ )−1 ),

következésképpen (γG′ (s′ ))(π(βG )) = π(βG ).

3) Legyen n ∈ N és tekintsük Rn -t az összeadással, mint csoportművelettel, és az euklidészi topológiával ellátva. Ekkor Rn kommutatív lokálisan kompakt csoport, tehát unimoduláris. Ha µRn jelöli az Rn feletti RRn standard halmazgyűrűn telmezett Lebesguemértéket, akkor minden F Banach-térre fennáll a K (Rn ; F ) ⊆ LF1 (Rn , RRn , µRn ) összefüggés, ezért jól értelmezett a βRn : K (Rn ; C) → C;

ϕ 7→

Z

ϕ dµRn

Rn

leképezés, ami pozitív Radon-mérték az Rn lokálisan kompakt tér felett. Az elemi analízisből ismert helyettesítéses integrálás tétele alapján minden σ : Rn → Rn C 1 diffeomorfizmusra és ϕ ∈ K (Rn ; C) függvényre βRn (ϕ) :=

Z

Rn

ϕ dµRn =

Z

Rn

(ϕ ◦ σ)|det(Dσ)| dµRn = (σ(|det(Dσ)|.βRn ))(ϕ), 121

ami azt jelenti, hogy βRn = σ(|det(Dσ)|.βRn ). Ebből azonnal következik, hogy βRn Haar-mérték az Rn kommutatív lokálisan kompakt csoport felett, hiszen s ∈ Rn esetén az γRn (s) : Rn → Rn ; t 7→ s + t leképezés olyan C ∞ -diffeomorfizmus, amelyre D(γRn (s)) egyenlő az idRn értékű konstansfüggvénnyel, így |det(D(γRn (s)))| = 1. Az is látható, hogy ha γ jelöli a GL(n, R) csoport természetes ábrázolását az Rn lokálisan kompakt térben (vagyis u ∈ GL(n, R) esetén γ(u) := u), akkor βRn olyan pozitív, nem nulla, relatív γ-invariáns Radon-mérték Rn felett, amelynek multiplikátora megegyezik a |det| függvény GL(n, R)-re vett leszűkítésével.

4) Legyen n ∈ N+ és H ⊆ GL(n, R) zárt részcsoport. Tekintsük az Rn sH standard lokálisan kompakt féldirekt szorzatot, tehát itt a féldirekt csopor-szorzást a H → Aut(Rn );

h 7→ τh := h

leképezés generálja. Jelölje χ azt a H → R+ folytonos csoport-morfizmust, amelyre teljesül az, hogy minden H ∋ u-ra és minden Rn feletti β Haar-mértékre u(β) = χ(u)−1 .β. A 3) példa alapján az Rn feletti Lebesgue-mérték által generált βRn Radon-mérték Haar-mérték Rn felett, és minden GL(n, R) ∋ u-ra u(βRn ) = |det(u)|−1.βRn , ezért χ(u) = |det(u)|, vagyis χ = |det||H . Tehát, ha βH baloldali Haar-mérték H felett, n akkor βRn ⊗ (|det||−1 H .βH ) baloldali Haar-mérték R sH felett. Ugyanakkor minden Rn × H ∋ (a, u)-ra ∆Rn sH (a, u) = |det(u)|−1∆H (u). Speciálisan, ha H kommutatív (így unimoduláris), de |det| = 6 1 a H halmazon (például H := {α.idRn |α ∈ R+ }), akkor Rn sH nem unimoduláris. 5) Különösen egyszerű példa nem unimoduláris csoportra a G :=

b a (a ∈ R) ∧ (b ∈ R+ ) 0 1

mátrixcsoport, hiszen az R × R+ → G;

b a 0 1

(a, b) 7→

leképezés topologikus algebrai izomorfizmus az R ⊗ R+ lokálisan kompakt féldirekt τ

szorzat és G között, ahol minden b ∈ R+ és a ∈ R esetén τb (a) := ba; továbbá ez az R ⊗ R+ féldirekt szorzat a 4) példa végén említett csoport-típusnak speciális esete. τ

Egy másik példa nem unimoduláris csoportra a G :=

b a (a ∈ R) ∧ (b ∈ R+ ) 0 b−1 122

mátrixcsoport. Valóban, ekkor az R × R+ → G;

(a, b) 7→

b b−1 a 0 b−1

leképezés topologikus algebrai izomorfizmus az R ⊗ R+ lokálisan kompakt féldirekt τ

szorzat és G között, ahol minden b ∈ R+ és a ∈ R esetén τb (a) := b2 a. Ha b ∈ R+ , akkor minden ϕ ∈ K (R; C) esetén (τb (βR ))(ϕ) =

Z

R

ϕ ◦ τb dβR =

Z

ϕ(b2 a) dβR (a) =

R

1 βR (ϕ), b2

következésképpen χτ (b) = b2 . Ezért minden (a, b) ∈ R × R+ esetén ∆R ⊗ R+ (a, b) = τ

1 , b2

tehát R ⊗ R+ nem unimoduláris, így G sem az. τ

6) Legyen E véges dimenziós vektortér K felett, és lássuk el E-t az összeadással, mint csoportművelettel, és az egyetlen szeparált lineáris topológiával. Ekkor E kommutatív lokálisan kompakt csoport ([19, 1.6.9.]). Legyen n := dimR (E), és βRn az n dimenziós Lebesgue-mérték által meghatározott Radon-mérték az Rn lokálisan kompakt tér felett. Ha u : Rn → E tetszőleges R-lineáris bijekció, akkor u topologikus algebrai izomorfizmus az Rn és E kommutatív lokálisan kompakt csoportok között, tehát a 2) példa szerint u(βRn ) Haar-mérték E felett. Ennek két fontos sepciális esete van. – Ha n ∈ N+ , akkor az u : Rn × Rn → Cn ;

((xk )k∈n , (yk )k∈n ) 7→ (xk + iyk )k∈n

leképezés topologikus algebrai izomorfizmus az Rn ⊗ Rn topologikus szorzatcsoport és a Cn additív topologikus csoport között, ezért u(βRn ⊗ βRn ) Haar-mérték a Cn additív topologikus csoport felett. Ennek az explicit alakja a következő: K (Cn ; C) → C;

ϕ 7→

Z

Rn ×Rn

ϕ(x + iy) d(µRn ⊗ µRn )(x, y),

ahol x, y ∈ Rn esetén x + iy ∈ Cn az a komplex szám n-es, amelyre minden 0 ≤ k < n esetén (x + iy)k = xk + iyk . – Ha n ∈ N, akkor az Mn (K) mátrixalgebra R felett n2 dimenziós, ha K = R, és 2n2 2 2 dimenziós, ha K = C. Ezért bármilyen u R-lineáris bijekciót választva Rn (illetve R2n ) és Mn (R) (illetve Mn (C)) között, az u(βRn2 ) (illetve u(βR2n2 )) funkcionál Haar-mérték az Mn (R) (illetve Mn (C)) additív kommutatív lokálisan kompakt csoport felett. 123

7) Jelölje R∗ az R \ {0} halmazt a szorzással, mint csoportművelettel, és az R feletti euklidészi topológia R∗ -ra vett leszűkítésével ellátva; ekkor R∗ kommutatív lokálisan kompakt csoport. Ha ϕ ∈ K (R∗ ; C), akkor létezik a 0-nak olyan U környezete R-ben, hogy supp(ϕ) ⊆ R \ U, ezért a β(ϕ) :=

Z

R\{0}

ϕ(t) dµR (t) |t|

integrál jól értelmezett, ahol µR az egydimenziós Lebesgue-mérték. Világos, hogy az így meghatározott β : K (R∗ ; C) → C lineáris funkcionál nem nulla pozitív Radon-mérték R∗ felett. A helyettesítéses integrálás tétele alapján β Haar-mérték az R∗ lokálisan kompakt csoport felett. Valóban, ha s ∈ R∗ , akkor a γR∗ (s) : R∗ → R∗ ; t 7→ st leképezés C 1 diffeomorfizmus, és |det(D(γR∗ (s)))| egyenlő az |s| értékű konstansfüggvénnyel R∗ felett, ezért minden ϕ ∈ K (R∗ ; C) függvényre (γ (s)β)(ϕ) = β(ϕ ◦ γ (s)) = R∗

R∗

1 = |s| =

1 |s|

Z

R\{0}

Z

R\{0}

Z

R\{0}

ϕ(st) dµR (t) = |t|

ϕ ◦ γR∗ (s) |det(D(γR∗ (s)))| dµR = | · |R ◦ γR∗ (s−1 )

1 ϕ dµ = R | · |R ◦ γR∗ (s−1 ) |s|

Z

R\{0}

ϕ(t) dµR (t) = |s−1 t|

Z

R\{0}

ϕ(t) dµR (t) = β(ϕ). |t|

Hasonlóan egyszerű annak bizonyítása, hogy az U kommutatív kompakt csoport felett a C (U; C) → C;

ϕ 7→

Z1

ϕ(e2πit ) dµR (t)

0

leképezés Haar-mérték. 8) Legyen A egységelemes, véges dimenziós normált algebra, és jelölje G(A) az A invertálható elemeinek csoportját. Tudjuk, hogy A Banach-algebra, tehát G(A) nyílt halmaz A-ban, így G(A) az A szorzásával, mint csoportművelettel, valamint az A lineáris topológiájának G(A)-ra vett leszűkítésével ellátva lokálisan kompakt csoport. Minden s ∈ G(A) esetén értelmezzük az Ls : A → A; a 7→ sa függvényt. Jelölje m az A algebra dimenzióját R felett. Azt állítjuk, hogy létezik egyetlen olyan χ : G(A) → R+ folytonos csoport-morfizmus, hogy minden u : Rm → A R-lineáris bijekcióra és G(A) ∋ s-re χ(s) =

|det(u−1 124

1 , ◦ Ls ◦ u)|

továbbá, ha u : Rm → A tetszőleges R-lineáris bijekció, akkor a βu : K (G(A); C) → C;

ϕ 7→

−1

Z

((ϕχ) ◦ u) dµRm

u hG(A)i

leképezés baloldali Haar-mérték G(A) felett. (Megjegyezzük, hogy ha s ∈ G(A), akkor az Ls : A → A leképezés lineáris bijekció, tehát ha u : Rm → A tetszőleges R-lineáris bijekció, akkor u−1 ◦ Ls ◦ u ∈ GL(m, R), ezért det(u−1 ◦ Ls ◦ u) jól értelmezett, nem 0 valós szám.) Valóban, ha u, v : Rm → A mindketten R-lineáris bijekciók, és s ∈ G(A), akkor u−1 ◦ Ls ◦ u = (u−1 ◦ v) ◦ (v −1 ◦ Ls ◦ v) ◦ (v −1 ◦ u), és u−1 ◦ v ∈ GL(m, R) olyan, hogy v −1 ◦ u = (u−1 ◦ v)−1 , így a determináns-függvény multiplikativitása folytán det(u−1 ◦ Ls ◦ u) = det(v −1 ◦ Ls ◦ v). Ezért létezik egyetlen olyan χ : G(A) → R+ függvény, amelynek a létezését állítottuk. Az A szorzásának asszociativitásából következik, hogy ez a χ függvény csoport-morfizmus. Továbbá χ folytonos is, mert előáll folytonos függvények kompozíciójaként. Legyen most u : Rm → A rögzített R-lineáris bijekció, és tekintsük a βu leképezést, amely nyilvánvalóan nem nulla pozitív Radon-mérték G(A) felett. Ha s ∈ G(A), akkor χ ◦ Ls−1 = χ(s−1 )χ, ezért minden ϕ ∈ K (G(A); C) esetén a helyettesítéses integrálás tételét alkalmazva kapjuk, hogy

= −1

(γG(A) (s)βu )(ϕ) := βu (ϕ ◦ γG(A) (s)) :=

Z

(ϕ ◦ γG(A) (s) ◦ u)(χ ◦ u) dµRm =

−1

Z

(ϕ ◦ Ls ◦ u)(χ ◦ u) dµRm =

u hG(A)i

u hG(A)i

= −1

Z

((ϕ ◦ u)(χ ◦ Ls−1 ◦ u)) ◦ (u−1 ◦ Ls ◦ u) dµRm =

u hG(A)i

= −1

Z

u hG(A)i

= χ(s) −1

Z

(ϕ ◦ u)(χ ◦ Ls−1 ◦ u) dµRm = |det(u−1 ◦ Ls ◦ u)|

−1

(ϕ ◦ u)χ(s )(χ ◦ u) dµRm =

−1

Z

((ϕχ) ◦ u) dµRm =: βu (ϕ),

u hG(A)i

u hG(A)i

tehát βu baloldali Haar-mérték G(A) felett. 9) A 8) példa eredményeit természetesen alkalmazhatjuk az Mn (K) mátrixalgebrákra. Ekkor G(Mn (K)) = GL(n, K), tehát így konkrét alakot kapunk a GL(n, K) teljes 125

mátrixcsoport feletti baloldali Haar-mértékekre. Nemtriviális multilineáris algebrai meggondolásokkal kideríthető, hogy s ∈ GL(n, R) esetén χ(s) = |det(s)|−n , míg s ∈ GL(n, C) esetén χ(s) = |det(s)|−2n . Továbbá, ekkor a 8)-ban értelmezett baloldali Haar-mérték automatikusan jobbinvariánsnak bizonyul, ezért GL(n, K) unimoduláris csoport.

126

6. fejezet Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája 6.1.

Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrájának értelmezése

6.1.1. Definíció. Legyen G lokálisan kompakt csoport. Minden ϕ ∈ K (G; C) esetén a ϕ∗ := ∆−1 G .(ϕ ◦ iG ), függvényt a ϕ függvény adjungáltjának nevezzük. Ha β baloldali Haar-mérték G felett, akkor ϕ, ψ ∈ K (G; C) esetén a ϕ ∗ ψ : G → C; β

s 7→

Z

ϕ(t)ψ(t−1 s) dβ(t)

G

függvényt a ϕ és ψ függvények β-szerinti konvolúciójának nevezzük. Természetesen a konvolúció értelmes, mert ha ϕ, ψ ∈ K (G; C), akkor minden s ∈ G esetén a G → C; t 7→ ϕ(t)ψ(t−1 s) függvény folytonos és kompakt tartójú, tehát itt semmiféle "valódi" integrálról nincs szó, hiszen az írható, hogy (ϕ ∗ ψ)(s) = β(t 7→ ϕ(t)ψ(t−1 s)), β

tehát itt algebrai formulával van dolgunk, semmilyen határértéket nem kell venni. Figyeljük meg, hogy az adjungálás független a baloldali Haar-mérték választásától, míg a konvolúció egy szigorúan pozitív szám-szorzó erejéig függ a β baloldali Haar-mértéktől.

127

Ha G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor minden ϕ, ψ ∈ K (G, C) és s ∈ G esetén (ϕ ∗ ψ)(s) = β

Z

ϕ(st−1 )ψ(t)∆G (t−1 ) dβ(t)

G

teljesül, mert β balinvarianciája és iG (β) = ∆−1 .β miatt G (ϕ ∗ ψ)(s) := β

=

Z

Z

−1

ϕ(t)ψ(t s) dβ(t) =

Z

ϕ(s(s−1 t))ψ((s−1 t)−1 ) dβ(t) =

G

G

ϕ(st)ψ(t−1 ) dβ(t) =

G

=

Z

Z

ϕ(s(t−1 )−1 )ψ(t−1 ) dβ(t) =

G

ϕ(st−1 )ψ(t)∆G (t−1 ) dβ(t).

G

6.1.2. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport és legyen β baloldali Haar-mérték G felett. a) Minden ϕ, ψ ∈ K (G; C) esetén ϕ∗ ∈ K (G; C), ϕ ∗ ψ ∈ K (G; C) és β

supp(ϕ∗ ) = (supp(ϕ))−1 ,

supp(ϕ ∗ ψ) ⊆ supp(ϕ) · supp(ψ). β

b) A K (G; C) komplex vektortér a K (G; C) × K (G; C) → K (G; C);

(ϕ, ψ) 7→ ϕ ∗ ψ β

konvolúciós szorzással, és a K (G; C) → K (G; C);

ϕ 7→ ϕ∗

adjungálással, valamint a k · kβ,1 : K (G; C) → R+ ;

ϕ 7→ β(|ϕ|)

normával ellátva normált *-algebra. c) Minden s ∈ G és ϕ, ψ ∈ K (G; C) esetén (ϕ ∗ ψ) ◦ γG (s) = (ϕ ◦ γG (s)) ∗ ψ, β

β

(ϕ ∗ ψ) ◦ δG (s) = ϕ ∗(ψ ◦ δG (s)). β

β

128

Bizonyítás. a) Az iG inverzió homeomorfizmus és a ∆G moduláris függvény folytonos, ezért ϕ ∈ K (G; C) esetén ϕ∗ : G → C folytonos függvény. Továbbá, ha ϕ ∈ K (G; C), −1

−1

akkor [ϕ∗ 6= 0] = iG h[ϕ 6= 0]i, tehát supp(ϕ∗ ) = iG hsupp(ϕ)i = (supp(ϕ))−1 .

Legyenek ϕ, ψ ∈ K (G; C), és s ∈ [ϕ ∗ ψ 6= 0], vagyis β

Z

G

ϕ(t)ψ(t−1 s) dβ(t) 6= 0.

Legyen t ∈ G olyan, hogy ϕ(t)ψ(t−1 s) 6= 0. Ekkor t ∈ supp(ϕ) és t−1 s ∈ supp(ψ), ezért s = t(t−1 s) ∈ supp(ϕ) · supp(ψ). A supp(ϕ) · supp(ψ) halmaz kompakt G-ben, tehát zárt, így supp(ϕ ∗ ψ) ⊆ supp(ϕ) · supp(ψ), vagyis a ϕ ∗ ψ függvény is kompakt β

β

tartójú. A ϕ ∗ ψ függvény folytonossága azonnal következik a paraméteres integrálok β

folytonosságából, mert s ∈ G esetén a konvolúció definíciója alapján (ϕ ∗ ψ)(s) = β

Z

G

(ψ ◦ iG )(s−1 t) d(ϕ.β)(t).

b) A definícióból látható, hogy a K (G; C) × K (G; C) → K (G; C);

(ϕ, ψ) 7→ ϕ ∗ ψ β

konvolúciós szorzás C-bilineáris. Megmutatjuk, ez a művelet asszociatív is. Ehhez legyenek ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ∈ K (G; C) és s ∈ G rögzítettek. Ekkor ((ϕ1 ∗ ϕ2 ) ∗ ϕ3 )(s) := β

Z

:=

G

=

β

Z

Z

Z

G

(ϕ1 ∗ ϕ2 )(t2 )ϕ3 (t−1 2 s) dβ(t2 ) := β

ϕ1 (t1 )ϕ2 (t−1 1 t2 ) dβ(t1 )

ϕ3 (t−1 2 s) dβ(t2 ) =

G −1 ϕ1 (t1 )ϕ2 (t−1 1 t2 )ϕ3 (t2 s) d(β ⊗ β)(t1 , t2 ) =

G×G

=

Z

Z

ϕ1 (t1 )

Z

ϕ1 (t1 )

dβ(t1 ) =

G

G

=

−1 ϕ2 (t−1 1 t2 )ϕ3 (t2 s) dβ(t2 )

Z

−1 −1 −1 ϕ2 (t−1 1 t2 )ϕ3 ((t1 t2 ) (t1 s)) dβ(t2 )

dβ(t1 ) =

G

G

=

Z

G

ϕ1 (t1 )

Z

−1 ϕ2 (t2 )ϕ3 (t−1 2 (t1 s)) dβ(t2 )

G

129

dβ(t1) =:

=:

Z

ϕ1 (t1 )(ϕ2 ∗ ϕ3 )(t−1 1 s) dβ(t1 ) =: (ϕ1 ∗(ϕ2 ∗ ϕ3 ))(s), β

G

β

β

ahol az elemi Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a β ⊗ β szorzatmértékre és a G × G → G;

−1 (t1 , t2 ) 7→ ϕ1 (t1 )ϕ2 (t−1 1 t2 )ϕ3 (t2 s)

kompakt tartójú folytonos függvényre, továbbá felhasználtuk azt, hogy β balinvariáns, tehát minden t1 ∈ G esetén Z

−1 −1 −1 ϕ2 (t−1 1 t2 )ϕ3 ((t1 t2 ) (t1 s))

dβ(t2) =

Z

−1 ϕ2 (t2 )ϕ3 (t−1 2 (t1 s)) dβ(t2 ).

G

G

Ezzel megmutattuk, hogy a K (G; C) vektortér a β szerinti konvolúciós szorzással ellátva komplex algebra. Most bebizonyítjuk, hogy a K (G; C) → K (G; C);

ϕ 7→ ϕ∗

adjungálás involúció a K (G; C) algebra felett. Az nyilvánvaló, hogy az adjungálás konjugált-lineáris leképezés a K (G; C) komplex vektortér felett. Ha ϕ ∈ K (G; C), akkor −1 −1 (ϕ∗ )∗ :=∆−1 .(ϕ∗ ◦ iG ):=∆−1 .(∆−1 G .(ϕ ◦ iG ) ◦ iG )=∆G .( ∆G .(ϕ ◦ iG ) ◦ iG )= G G −1 = ∆−1 .(∆−1 G ◦ iG ).((ϕ ◦ iG ) ◦ iG ) = ∆G .∆G .ϕ = ϕ, G

tehát az adjungálás involutív. Ha ϕ, ψ ∈ K (G; C) és s ∈ G, akkor ∗

∗

(ψ ∗ ϕ )(s) := β

=

Z

∆G (t)

−1

G

=∆G (s)−1

ψ(t−1 )∆

G

Z

−1

(t s)

−1

Z

ψ ∗ (t)ϕ∗ (t−1 s) dβ(t) =

G

ϕ(s−1 t)

dβ(t) = ∆G (s)

ψ((s−1 t)−1 s−1 )ϕ(s−1 t) dβ(t)=∆G (s)−1

G

= ∆G (s)−1

−1

Z

Z

ψ(t−1 )ϕ(s−1 t) dβ(t) =

G

ϕ(t)ψ(t−1 s−1 ) dβ(t)=

G

Z

G

ϕ(t)ψ(t−1 s−1 ) dβ(t) =: ∆G (s)−1 (ϕ ∗ ψ)(s−1 ) =: (ϕ ∗ ψ)∗ (s), β

β

tehát (ϕ ∗ ψ)∗ = ψ ∗ ∗ ϕ∗ . Ezzel megmutattuk, hogy a K (G; C) komplex vektortér a ∗ β

β

β

szorzással és a * involúcióval ellátva *-algebra. Azt kell még bizonyítani, hogy a

k · kβ,1 : K (G; C) → R+ ; 130

ϕ 7→ β(|ϕ|)

leképezés olyan norma a K (G; C) komplex vektortér felett, amely a szubmultiplikatív a ∗ szorzás szerint, és hogy a * adjungálás izometria k · kβ,1 szerint. β

Az nyilvánvaló, hogy k · kβ,1 félnorma a K (G; C) komplex vektortér felett, és norma is, mert baloldali Haar-mérték minden nem nulla pozitív folytonos kompakt tartójú függvényhez nem nulla éréket rendel, hiszen baloldali Haar-mérték tartója egyenlő Gvel. Ha ϕ ∈ K (G; C), akkor iG (β) = ∆−1 .β miatt G kϕ∗ kβ,1 :=β(|ϕ∗ |) := β(∆−1 .(|ϕ| ◦ iG )) = G = (∆−1 .β)(|ϕ| ◦ iG ) = (iG (β))(|ϕ| ◦ iG ) = β(|ϕ|) = kϕkβ,1 , G

vagyis a * adjungálás izometria a k · kβ,1 norma szerint. Ha ϕ, ψ ∈ K (G, C), akkor kϕ ∗ ψkβ,1 := β(|ϕ ∗ ψ|) := β

:=

Z

G

≤

Z

G

=

Z

G

Z

G

|ϕ ∗ ψ|(s) dβ(s) β

|ϕ(t)||ψ(t−1 s)| dβ(t) Z

|ϕ|(t)

G

−1

|ψ|(t s) dβ(s)

β

Z Z := G G

ϕ(t)ψ(t−1 s) Z

dβ(s) =

G×G

dβ(t)=

Z

G

dβ(t)

dβ(s)

|ϕ|(t)|ψ|(t−1s) d(β ⊗ β)(t, s) =

|ϕ|(t)

Z

G

|ψ|(s) dβ(s)

dβ(t)=

= β(|ϕ|)β(|ψ|) = kϕkβ,1 kψkβ,1 ,

ahol az elemi Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a β ⊗ β szorzatmértékre és a (t, s) 7→ |ϕ(t)||ψ(t−1 s)|

G × G → R;

kompakt tartójú folytonos függvényre, továbbá kihasználtuk a β balinvarianciáját. c) Legyen s ∈ G és ϕ, ψ ∈ K (G, C). Ekkor minden s′ ∈ G pontra ′

′

((ϕ ∗ ψ) ◦ γG (s))(s ) := (ϕ ∗ ψ)(ss ) := β

=

β

Z

ϕ(s(s−1 t))ψ((s−1 t)−1 s′ ) dβ(t) =

=

Z

G

G

Z

ϕ(t)ψ(t−1 ss′ ) dβ(t) =

Z

ϕ(st)ψ(t−1 s′ ) dβ(t) =

G

G

(ϕ ◦ γG (s))(t)ψ(t−1 s′ ) dβ(t) =: ((ϕ ◦ γG (s)) ∗ ψ)(s′ ), β

131

ahol kihasználtuk a β balinvarianciáját. Végül, minden s′ ∈ G pontra ((ϕ ∗ ψ) ◦ δG (s))(s′ ):=(ϕ ∗ ψ)(s′ s−1 ):= β

=

β

Z

G

Z

ϕ(t)ψ(t−1 s′ s−1 ) dβ(t)=

G

ϕ(t)(ψ ◦ δG (s))(t−1 s′ ) dβ(t) =: (ϕ ∗(ψ ◦ δG (s)))(s′ ).  β

6.1.3. Definíció. Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. Ekkor a β szerinti konvolúciós szorzással, az adjungálással és a k · kβ,1 normával ellátott K (G; C) normált *-algebrát Kβ (G; C), és ennek a teljes burkát L1C (G, β) jelöli, és az L1C (G, β) Banach-*-algebrát a G lokálisan kompakt csoport (β szerinti) mértékalgebrájának nevezzük. Most megadjuk a mértékalgebráknak, mint Banach-tereknek egyfajta realizációját, amely megvilágítja a mértékalgebra elnevezést. Ehhez emlékeztetünk arra, hogy ha T lokálisan kompakt tér, akkor M b (T ; C) jelöli a sup-norma szerint folytonos K (T ; C) → C lineáris funkcionálok terét; ennek elemei a T feletti korlátos komplex Radon-mértékek (4.1.3.). Az M b (T ; C) tér a funkcionálnormával ellátva Banach-tér, és a funkcionálnormát mértéknormának nevezzük. 6.1.4. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és értelmezzük a jβ : K (G; C) → M b (T ; C); ϕ → 7 ϕ.β

leképezést. Ekkor az (Im(jβ ), jβ ) pár teljes burka a k · kβ,1 normával ellátott K (G; C) függvénytérnek, ahol Im(jβ ) jelöli az Im(jβ ) ⊆ M b (T ; C) lineáris altér mértéknorma szerinti lezártját. Bizonyítás. A normált terek teljes burkának értelmezése, és a M b (T ; C) normált tér teljessége alapján, az állítás azzal ekvivalens, hogy a jβ operátor izometria a K (G; C) feletti k · kβ,1 és az M b (T ; C) feletti k · k funkcionálnorma szerint. A 4.2.9. állítás szerint ϕ ∈ K (G; C) esetén kϕ.βk = β(|ϕ|) =: kϕkβ,1.  Tehát, ha β baloldali Haar-mérték a G lokálisan kompakt csoport felett, akkor az L1C (G, β) Banach-tér izometrikusan izomorf az Im(jβ ) ⊆ M b (T ; C) zárt normált altérrel. A definíció alapján világos, hogy θ ∈ M b (T ; C) esetén θ ∈ Im(jβ ) pontosan akkor teljesül, ha létezik olyan (ϕn )n∈N sorozat K (G; C)-ben, amelyre fennáll a lim kϕn .β − θk = 0 n→∞

egyenlőség. Könnyen látható, hogy az Im(jβ ) lineáris altér, és ezzel együtt az Im(jβ ) Banach-tér sem függ a β baloldali Haar-mérték választásától. Megjegyezzük, hogy az L1C (G, β) mértékalgebra imént leírt realizációja egyes állítások bizonyításában hasznos lehet, de a tételek nagy részében csak az L1C (G, β) teljes burok létezése fontos, annak konkrét formája lényegtelen. 132

6.1.5. Jelölés. Ha G lokálisan kompakt csoport, akkor az Im(jβ ) Banach-teret, a mértéknormával ellátva L(G) jelöli, ahol β tetszőleges baloldali Haar-mérték G felett. 6.1.6. Állítás. Ha G lokálisan kompakt csoport, akkor minden θ ∈ L(G) és s ∈ G esetén γG (s)θ ∈ L(G). Bizonyítás. Legyen θ ∈ L(G), és β baloldali Haar-mérték G felett. Vegyünk olyan (ϕn )n∈N sorozatot K (G; C)-ben, amelyre n→∞ lim ϕn .β = θ az L(G) mértéknormája szerint. Ekkor minden G ∋ s-re és N ∋ n-re kϕn .β − θk = kγG (s)(ϕn .β − θ)k = k(ϕn ◦ γG (s−1 ).β − γG (s)θk, ezért lim (ϕn ◦ γG (s−1 )).β = γG (s)θ az L(G) mértéknormája szerint, következésképpen n→∞ γG (s)θ ∈ L(G). 

6.2.

δ-rendszerek

Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája általában nem egységelemes. Később bebizonyítjuk, hogy egy lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája pontosan akkor egységelemes, ha a csoport diszkrét. Most egy olyan objektum-típussal foglalkozunk, amelynek létezése biztosítja azt, hogy a mértékalgebrák approximatív egységesek. 6.2.1. Definíció. Ha G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor β-szerinti δ-rendszernek nevezünk minden olyan K+ (G)-ben haladó (ϕi )i∈I általánosított függvénysorozatot, amelyre teljesülnek a következők. (SDI ) Minden i ∈ I esetén ϕi (eG ) > 0 és β(ϕi ) = 1.

(SDII ) Az eG minden W környezetéhez van olyan iW ∈ I, hogy minden i ∈ I esetén, ha i ≥ iW , akkor supp(ϕi ) ⊆ W . 6.2.2. Állítás. Ha G lokálisan kompakt csoport, akkor bármely G feletti β baloldali Haar-mértékhez létezik β-szerinti δ-rendszer. Bizonyítás. Legyen B tetszőleges környezetbázisa eG -nek, és a B halmazt rendezzük a ⊇ relációval, tehát B felfelé irányított rendezett halmaz.

Legyen W ∈ B rögzítve.

A lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tételt ◦

alkalmazva az {eG } kompakt halmazra és az ezt tartalmazó W nyílt halmazra kapunk ◦

olyan ψ ∈ K (G; R) függvényt, amelyre 0 ≤ ψ ≤ 1, ψ(eG ) = 1 és supp(ψ) ⊆ W . Ekkor ψ ψ ∈ K + (G) és supp(β) = G, ezért β(ψ) > 0. Ebből következik, hogy a ϕ := β(ψ) 133

függvényre ϕ ∈ K+ (G), β(ϕ) = 1 és supp(ϕ) = supp(ψ) ⊆ W . Világos, hogy ϕ(eG ) > 0 is teljesül. Tehát minden W ∈ B esetén {ϕ ∈ K+ (G) | (ϕ(eG ) > 0) ∧ (β(ϕ) = 1) ∧ (supp(ϕ) ⊆ W )} = 6 ∅.

A kiválasztási axióma alkalmazásával vehetünk egy (ϕW )W ∈B ∈

Y

{ϕ ∈ K+ (G) | (ϕ(eG ) > 0) ∧ (β(ϕ) = 1) ∧ (supp(ϕ) ⊆ W )}

W ∈B

kiválasztó függvényt. Ekkor a (ϕW )W ∈B általánosított sorozat nyilvánvalóan β-szerinti δ-rendszer.  6.2.3. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. A következő állítások ekvivalensek. (i) G metrizálható. (ii) Létezik olyan (ϕn )n∈N függvénysorozat, amely β-szerinti δ-rendszer. (iii) Létezik olyan (ϕi )i∈I általánosított függvénysorozat, amely β-szerinti δ-rendszer és I megszámlálható. Bizonyítás. (i)⇒(ii) Ha G metrizálható, akkor létezik az eG környezeteinek olyan (Wn )n∈N sorozata, hogy a {Wn |n ∈ N} halmaz környezetbázisa eG -nek, és minden n ∈ N esetén Wn+1 ⊆ Wn (2.2.3.). Ugyanúgy, mint az előző állítás bizonyításában, kiválaszthatunk olyan (ϕn )n∈N függvénysorozatot, hogy minden n ∈ N esetén ϕn ∈ K+ (G), ϕn (eG ) > 0, β(ϕn ) = 1 és supp(ϕn ) ⊆ Wn . Természetesen ekkor (ϕn )n∈N β-szerinti δ-rendszer.

(ii)⇒(iii) Triviális.

(iii)⇒(i) Legyen (ϕi )i∈I általánosított függvénysorozat, amely β-szerinti δ-rendszer, és tegyük fel, hogy I megszámlálható. Ekkor (supp(ϕi ))i∈I az eG kompakt környezeteinek olyan rendszere, hogy az eG bármely W környezetéhez van olyan i ∈ I, amelyre supp(ϕi ) ⊆ W . Ez azt jelenti, hogy {supp(ϕi )|i ∈ I} megszámlálható környezetebázisa eG -nek, így G metrizálható (2.2.3.).  6.2.4. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és (ϕi )i∈I β-szerinti δ-rendszer. Ekkor minden F Banach-térre és f : G → F folytonos függvényre: Z f (eG ) = lim ϕi f dβ. i, I

G

Bizonyítás. Minden i ∈ I esetén az (SDI ) feltétel, valamint azt integrál algebrai tulajdonságai szerint

Z

f (eG ) −

G

ϕi f



dβ



=

Z



G

ϕi f (eG ) dβ −

134

Z

G

ϕi f



dβ



=

=

Z



G

ϕi .(f (eG ) − f )



dβ



≤

Z

G

ϕi kf (eG ) − f k dβ.

Legyen ε ∈ R tetszőleges. Az f függvény eG pontbeli folytonossága miatt van eG -nek olyan Wε környezete, hogy minden Wε ∋ s-re kf (eG ) − f (s)k < ε. Ekkor (SDII ) alapján vehetünk olyan iWε ∈ I indexet, hogy minden i ∈ I és i ≥ iWε esetén supp(ϕi ) ⊆ Wε . Tehát, ha i ∈ I és i ≥ iWε , akkor ϕi kf (eG ) − f k ≤ εϕi , így (SDI ) alkalmazásával kapjuk, hogy

+

Z

f (eG ) −

G

ϕi f

dβ



≤

Z

εϕi dβ = ε. 

G

Az előző állításból látható, hogy ha G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haarmérték G felett, és (ϕi )i∈I β-szerinti δ-rendszer, akkor minden ϕ ∈ K (G; C) esetén εeG (ϕ) := ϕ(eG ) = lim i, I

Z

ϕi ϕ dβ =: lim(ϕi .β)(ϕ), i, I

G

tehát a G feletti kompakt tartójú Radon-mértékekből álló (ϕi .β)i∈I általánosított sorozat a K (G; C) felett pontonként konvergál εeG -hez, vagyis az eG pontba koncentrált egypontmértékhez, amit Dirac-deltának is neveznek. Innen származik a "δ-rendszer" elnevezés. 6.2.5. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és (ϕi )i∈I β-szerinti δ-rendszer. Ekkor minden ϕ ∈ K (G; C) esetén a (ϕi ∗ ϕ)i∈I és β

(ϕ ∗ ϕi )i∈I általánosított függvénysorozatok a G halmazon egyenletesen konvergálnak ϕβ

hez, továbbá létezik olyan K ⊆ G kompakt halmaz és olyan iK ∈ I, hogy minden i ∈ I esetén, ha i ≥ iK , akkor supp(ϕi ∗ ϕ) ⊆ K és supp(ϕ ∗ ϕi ) ⊆ K. β

β

Bizonyítás. (I) Legyen i ∈ I és s ∈ G. Ekkor a konvolúció értelmezése alapján |(ϕi ∗ ϕ)(s) − ϕ(s)| = β

=

Z G

Z G

ϕi (t)ϕ(t−1 s) dβ(t) −

ϕi (t)(ϕ(t−1 s) − ϕ(s))

dβ(t)

≤

Z

G

Z

G

ϕi (t)ϕ(s)

dβ(t)

=

ϕi (t)|ϕ(t−1 s) − ϕ(s)| dβ(t).

Legyen most ε ∈ R tetszőleges. A kompakt tartójú folytonos függvények jobboldali egyenletes folytonossága miatt vehetjük olyan Uε környezetét eG -nek, hogy minden s1 , s2 ∈ G esetén, ha s2 s−1 1 ∈ Uε , akkor |ϕ(s1 ) − ϕ(s2 )| < ε. Az Uε halmazhoz vegyünk +

135

olyan iε ∈ I indexet, hogy minden i ∈ I esetén, ha i ≥ iε , akkor supp(ϕi ) ⊆ Uε .

Legyen i ∈ I és i ≥ iε . Ha s ∈ G és t ∈ supp(ϕi ), akkor s(t−1 s)−1 = t ∈ Uε , így |ϕ(t−1 s) − ϕ(s)| < ε, következésképpen ϕi (t)|ϕ(t−1 s) − ϕ(s)| ≤ εϕi (t). Ez az egyenlőtlenség még inkább teljesül akkor, ha s ∈ G és t ∈ G \ supp(ϕi ), mivel ekkor ϕi (t) = 0. Ebből következik, hogy Z

sup |(ϕi ∗ ϕ)(s) − ϕ(s)| ≤ β

s∈G

εϕi (t) dβ(t) = ε.

G

Tehát minden ε ∈ R+ esetén van olyan iε ∈ I, hogy minden s ∈ G pontra és minden i ∈ I indexre, ha i ≥ iε , akkor |(ϕi ∗ ϕ)(s) − ϕ(s)| ≤ ε. Ez azt jelenti, hogy a (ϕi ∗ ϕ)i∈I β

β

általánosított függvénysorozat a G halmazon egyenletesen konvergál ϕ-hez. (II) Legyen i ∈ I és s ∈ G. Ekkor a konvolúció értelmezése alapján |(ϕ ∗ ϕi )(s) − ϕ(s)| = β

=

Z G

−1

Z G

−1

ϕ(st−1 )ϕi (t)∆G (t−1 ) dβ(t) −

ϕ(st )∆G (t ) − ϕ(s) ϕi (t) =

Z

G

dβ(t)

≤

Z

G

Z

ϕ(s)ϕi (t)

G

dβ(t)

=

|ϕ(st−1 )∆G (t−1 ) − ϕ(s)|ϕi (t) dβ(t) =

|ϕ(st−1 )∆G (st−1 ) − ϕ(s)∆G (s)|∆G (s−1 )ϕi (t) dβ(t) = −1

= ∆G (s )

Z

G

|(ϕ∆G )(st−1 ) − (ϕ∆G )(s)|ϕi (t) dβ(t).

Rögzítsük az eG -nek egy U0 kompakt környezetét. Legyen ε ∈ R+ tetszőleges. A kompakt tartójú folytonos függvények baloldali egyenletes folytonossága miatt vehetjük olyan Uε környezetét eG -nek, hogy minden s1 , s2 ∈ G esetén, ha s−1 1 s2 ∈ Uε , akkor |(ϕ∆G )(s1 ) − (ϕ∆G )(s2 )| < ε. Az Uε ∩ U0 halmaz környezete eG -nek, ezért vehetünk olyan iε ∈ I indexet, hogy minden I ∋ i-re, ha i ≥ iε , akkor supp(ϕi ) ⊆ Uε ∩ U0 .

Legyen i ∈ I és i ≥ iε . Ha s ∈ G és t ∈ supp(ϕi ), akkor (st−1 )−1 s = t ∈ Uε , így |(ϕ∆G )(st−1 )−(ϕ∆G )(s)| < ε, következésképpen |(ϕ∆G )(st−1 )−(ϕ∆G )(s)|ϕi (t) ≤ εϕi (t). Ez az egyenlőtlenség még inkább teljesül akkor, ha s ∈ G és t ∈ G \ supp(ϕi ), mivel ekkor ϕi (t) = 0. Ebből következik, hogy minden s ∈ G esetén |(ϕ ∗ ϕi )(s) − ϕ(s)| ≤ ∆G (s−1 ) β

Z

G

136

εϕi (t) dβ(t) = ∆G (s−1 )ε.

Ha s ∈ G olyan, hogy |(ϕ ∗ ϕi )(s) − ϕ(s)| = 6 0, akkor s ∈ supp(ϕ) ⊆ supp(ϕ) · U0 , vagy β

s ∈ supp(ϕ ∗ ϕi ) ⊆ supp(ϕ) · supp(ϕi ) ⊆ supp(ϕ) · U0 . Ezért β

sup |(ϕ ∗ ϕi )(s) − ϕ(s)| ≤ s∈G

−1

sup

β

s′ ∈supp(ϕ)·U0

′

!

∆G (s ) ε.

A jobb oldalon zárójelben álló pozitív valós szám csakis ϕ-től és a megválasztott U0 kompakt környezettől függ, tehát független ε-tól. Ezért minden ε ∈ R+ esetén van olyan iε ∈ I, hogy minden s ∈ G pontra és minden i ∈ I indexre, ha i ≥ iε , akkor |(ϕ ∗ ϕi )(s) − ϕ(s)| ≤ ε. Ez azt jelenti, hogy a (ϕ ∗ ϕi )i∈I általánosított függvénysorozat β

β

a G halmazon egyenletesen konvergál ϕ-hez.

(III) Legyen U kompakt környezete eG -nek, és vegyünk olyan i∗ ∈ I indexet, hogy minden i ∈ I esetén, ha i ≥ i∗ , akkor supp(ϕ) ⊆ U. Tehát, ha i ∈ I és i ≥ i∗ , akkor supp(ϕi ∗ ϕ) ⊆ U · supp(ϕ), valamint supp(ϕ ∗ ϕi ) ⊆ supp(ϕ) · U. Ebből következik, hogy β

β

K := (U · supp(ϕ)) ∪ (supp(ϕ) · U) olyan kompakt halmaz G-ben és iK := i∗ ∈ I olyan index, hogy minden i ∈ I esetén, ha i ≥ iK , akkor supp(ϕi ∗ ϕ) ⊆ K és supp(ϕ ∗ ϕi ) ⊆ K β

egyszerre teljesül. 

β

6.2.6. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és (ϕi )i∈I β-szerinti δ-rendszer. Ekkor a (ϕi )i∈I általánosított függvénysorozat approximatív egység a Kβ (G; C) normált algebrában, tehát minden ϕ ∈ K (G; C) esetén lim(ϕi ∗ ϕ) = ϕ = lim(ϕ ∗ ϕi ) i, I

β

i, I

β

teljesül a K (G; C) feletti k · kβ,1 norma szerint. Bizonyítás. Legyen ϕ ∈ K (G; C) rögzítve. Az előző állítás szerint a K+ (G)-ben haladó (|ϕi ∗ ϕ − ϕ|)i∈I és (|ϕ ∗ ϕi − ϕ|)i∈I általánosított függvénysorozatok egyenletesen β

β

konvergálnak 0-hoz a G halmazon, és van olyan K ⊆ G kompakt halmaz és iK ∈ I, hogy minden i ∈ I esetén, ha i ≥ iK , akkor supp(|ϕi ∗ ϕ − ϕ|) ⊆ K és supp(|ϕ ∗ ϕi − ϕ|) ⊆ K. β

β

A lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tétel alapján vehetünk olyan ψK ∈ K (G; R) függvényt, hogy 0 ≤ ψ ≤ 1 és K ⊆ [ψK = 1]. Ekkor i ∈ I és i ≥ iK esetén |ϕi ∗ ϕ − ϕ| ≤ 9ϕi ∗ ϕ − ϕ 9 ψK , β

β

|ϕ ∗ ϕi − ϕ| ≤ 9ϕ ∗ ϕi − ϕ 9 ψK , β

β

amiből következik, hogy kϕi ∗ ϕ − ϕkβ,1 = β

Z

G

∗

|ϕi ∗ ϕ − ϕ| dβ ≤ 9ϕi ∗ ϕ − ϕ 9 β(ψK ), β

β

137

kϕ ∗ ϕi − ϕkβ,1 = β

Z

G

∗

|ϕ ∗ ϕi − ϕ| dβ ≤ 9ϕ ∗ ϕi − ϕ 9 β(ψK ). β

β

Ebből látható, hogy lim i, I

Z

G

|ϕi ∗ ϕ − ϕ| dβ = 0 = lim i, I

β

Z

G

|ϕ ∗ ϕi − ϕ| dβ, β

vagyis lim(ϕi ∗ ϕ) = ϕ = lim(ϕ ∗ ϕi ) i, I

β

i, I

β

teljesül a k · kβ,1 norma szerint. Továbbá, i ∈ I esetén kϕi kβ,1 = β(ϕi ) = 1, tehát a (ϕi )i∈I általánosított sorozat korlátos a k · kβ,1 norma szerint.  6.2.7. Tétel. Ha G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték, akkor minden β-szerinti δ-rendszer approximatív egysége az L1C (G, β) mértékalgebrának. Minden lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája approximatív egységes Banach-*-algebra. Bizonyítás. Ha G lokálisan kompakt csoport, és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor az előző állítás szerint K (G; C) olyan sűrű *-részalgebrája az L1C (G, β) Banach*-algebrának, amelynek létezik approximatív egysége. Ezért L1C (G, β)-nak is létezik approximatív egysége, és még az is igaz, hogy a K (G; C) minden approximatív egysége L1C (G, β)-nak is approximatív egysége ([19, 19.3]). 

6.3.

A mértékalgebra kommutativitásának és egységelemességének kritériuma

6.3.1. Következmény. Legyen G lokálisan kompakt csoport, és β baloldali Haar-mérték G felett. A következő állítások ekvivalensek. (i) G kommutatív. (ii) K (G; C) felett a ∗ konvolúciós szorzás kommutatív. β

(iii) Az

L1C (G, β)

Banach-*-algebra kommutatív.

Bizonyítás. A K (G; C) halmaz sűrű *-részalgebrája az L1C (G, β) Banach-*-algebrának, ezért a K (G; C) halmaz és az L1C (G, β) kommutativitása ekvivalensek, így (ii) és (iii) ugyanazt jelenti. (i)⇒(ii) Ha G kommutatív, akkor unimoduláris, ezért minden ϕ, ψ ∈ K (G; C) és s ∈ G esetén Z Z −1 −1 (ϕ ∗ ψ)(s) = ϕ(st )ψ(t)∆G (t ) dβ(t) = ϕ(t−1 s)ψ(t) dβ(t) = β

G

G

138

=

Z

G

ψ(t)ϕ(t−1 s) dβ(t) =: (ψ ∗ ϕ)(s). β

(ii)⇒(i) Legyenek s, t ∈ G rögzített elemek. Ekkor minden ϕ, ψ ∈ K (G; C) esetén (ϕ ∗ ψ) ◦ γG (st) = (ϕ ∗ ψ) ◦ γG (s) ◦ γG (t) = β

β

∗

= (ϕ ◦ γG (s)) ∗ ψ ◦ γG (t) = ψ ∗(ϕ ◦ γG (s)) ◦ γG (t) = β

β

∗

= (ψ ◦ γG (t)) ∗(ϕ ◦ γG (s)) = (ϕ ◦ γG (s)) ∗(ψ ◦ γG (t)) = β

β

∗

= ϕ ∗(ψ ◦ γG (t)) ◦ γG (s) = (ψ ◦ γG (t)) ∗ ϕ ◦ γG (s) = β

β

∗

= (ψ ∗ ϕ) ◦ γG (t) ◦ γG (s) = (ϕ ∗ ψ) ◦ γG (t) ◦ γG (s) = (ϕ ∗ ψ) ◦ γG (ts), β

β

β

ahol a *-gal megjelölt egyenlőségeknél felhasználtuk a ∗ szorzás kommutativitását. Ebből β

következik, hogy minden ϕ, ψ ∈ K (G; C) esetén

(ϕ ∗ ψ)(st) = (ϕ ∗ ψ)(ts). β

β

Legyen most (ϕi )i∈I tetszőleges β-szerinti δ-rendszer. Ekkor minden i ∈ I és ψ ∈ K (G; C) esetén (ϕi ∗ ψ)(st) = (ϕi ∗ ψ)(ts), β

β

amiből a 6.2.5. alapján következik, hogy ψ(st) = lim (ϕi ∗ ψ)(st) = lim (ϕi ∗ ψ)(ts) = ψ(ts). i, I

i, I

β

β

A K (G; C) függvényhalmaz szétválasztó G felett, ezért ebből st = ts adódik. (Láthatóan a bizonyításhoz elegendő annak ismerete, hogy a (ϕi ∗ ψ)i∈I általánosított sorozat

pontonként konvergál a G halmazon ψ-hez.) 

β

6.3.2. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. A következő állítások ekvivalensek. (i) A G topológiája a diszkrét topológia. (ii) A K (G; C)-ben létezik egységelem a ∗ szorzás szerint. β

(iii) Az

L1C (G, β)

Banach-*-algebra egységelemes.

(iv) εeG ∈ L(G). 139

(v) Minden s ∈ G esetén εs ∈ L(G).

(vi) Létezik olyan s ∈ G, hogy εs ∈ L(G).

(vii) A Ψ := {ψ ∈ K (G; R)|(0 ≤ ψ ≤ 1) ∧ (ψ(eG ) = 1)} függvényhalmazra fennáll az inf β(ψ) > 0 egyenlőtlenség. ψ∈Ψ

Bizonyítás. (i)⇒(ii) Tegyük fel, hogy G diszkrét, és legyen β a számláló Radon-mérték G felett. Ekkor β Haar-mérték G felett, és nyilvánvaló, hogy χ{e } ∈ K (G; C), továbbá G minden ϕ ∈ K (G; C) és s ∈ G esetén (χ{e

G

∗ ϕ)(s) := } β

(ϕ ∗ χ{e } )(s) := β

vagyis χ{e

G

}

G

Z

χ{e } (t)ϕ(t−1 s) dβ(t) =

Z

ϕ(t)χ{e } (t−1 s) dβ(t) =

G

X

χ{e } (t)ϕ(t−1 s) = ϕ(s),

X

ϕ(t)χ{e } (t−1 s) = ϕ(s),

t∈G

G

G

G

t∈G

G

G

neutrális eleme K (G; C)-nek a ∗ szorzás szerint. β

(ii)⇒(iii) Nyilvánvaló, mert K (G; C) sűrű az L1C (G, β) normált algebrában, és az L1C (G, β) feletti szorzás folytonos. (iii)⇒(iv) Tegyük fel, hogy az L1C (G, β) Banach-*-algebra egységelemes. Jelölje ∗ a szorzást L1C (G, β)-ban, és legyen 1 az egységelem az L1C (G, β) algebrában. Legyen (ϕi )i∈I β-szerinti δ-rendszer. Tudjuk, hogy a (ϕi )i∈I általánosított sorozat approximatív egység az L1C (G, β) normált algebrában, ezért lim(1∗ϕi )=1 teljesül L1C (G, β)-ban. Ugyanakkor i, I

minden i ∈ I esetén 1 ∗ ϕi = ϕi , így a (ϕi )i∈I általánosított sorozat 1-hez konvergál az L1C (G, β) normája szerint. Ebből következik, hogy a (ϕi .β)i∈I általánosított sorozat L(G)-ben konvergál egy δ ∈ L(G) elemhez a mértéknorma szerint. Ekkor a (ϕi .β)i∈I funkcionál-sorozat pontonként is konvergál δ-hoz, tehát minden ϕ ∈ K (G; C) esetén a 6.2.4. alapján δ(ϕ) = lim(ϕi .β)(ϕ) = lim i, I

i, I

Z

ϕi ϕ dβ = ϕ(eG ) =: εeG (ϕ),

G

ami azt jelenti, hogy δ = εeG , így εeG ∈ L(G).

(iv)⇒(v) Tudjuk, hogy minden L(G) ∋ θ-ra és G ∋ s-re γG (s)θ ∈ L(G). Tehát, ha εeG ∈ L(G), akkor minden s ∈ G esetén γG (s)εeG ∈ L(G), ugyanakkor könnyen látható, hogy γG (s)εeG = εs . (v)⇒(vi) Triviális. (vi)⇒(vii) Tekintsük a Ψ := {ψ ∈ K (G; R) | (0 ≤ ψ ≤ 1) ∧ (ψ(eG ) = 1)} 140

függvényhalmazt. Megmutatjuk, hogy ha létezik olyan s ∈ G, hogy εs ∈ L(G), akkor inf β(ψ) > 0. Indirekt bizonyítunk, tehát feltesszük, hogy inf β(ψ) = 0. Vezessük be ψ∈Ψ ψ∈Ψ az E := θ ∈ L(G) inf |θ|(ψ) = 0 ψ∈Ψ

mértékhalmazt. Ha θ, θ1 , θ2 ∈ E és c ∈ C, akkor |c.θ| = |c|.|θ| és |θ1 + θ2 | ≤ |θ1 | + |θ2 |, ezért c.θ ∈ E és θ1 + θ2 ∈ E teljesül, vagyis E lineáris altere L(G)-nek.

Igazoljuk, hogy az E halmaz zárt a mértéknorma szerint. Valóban, legyen θ ∈ L(G) eleme az E mértéknorma szerinti lezártjának, és ε ∈ R+ tetszőleges. Legyen θ′ ∈ E olyan, hogy kθ − θ′ k < ε/2, és vegyünk olyan ψ ∈ Ψ függvényt, amelyre |θ′ |(ψ) < ε/2. Ekkor |θ|(ψ) ≤ |θ − θ′ |(ψ) + |θ′ |(ψ) < kθ − θ′ k · 9ψ 9 +ε/2 < ε.

Ez azt jelenti, hogy θ ∈ E, vagyis E zárt a mértéknorma szerint. Ha ϕ ∈ K (G; C), akkor |ϕ.β| = |ϕ|.β miatt inf |ϕ.β|(ψ) = inf

ψ∈Ψ

ψ∈Ψ

Z

ψ|ϕ| dβ ≤ 9ϕ 9 inf β(ψ) = 0, ψ∈Ψ

G

tehát ϕ.β ∈ E. Ebből következik, hogy E = L(G), hiszen a {ϕ.β | ϕ ∈ K (G; C)} halmaz sűrű L(G)-ben. Ezzel megmutattuk, hogy minden θ ∈ L(G) esetén inf |θ|(ψ) = 0. ψ∈Ψ

Ugyanakkor s ∈ G és εs ∈ L(G) esetén εeG = γG (s )εs ∈ L(G), és természetesen inf εeG (ψ) = 1. Ez az ellentmondás azt jelenti, hogy −1

ψ∈Ψ

c := inf β(ψ) > 0. ψ∈Ψ

(vii)⇒(i) Bebizonyítjuk, hogy ebből az egyenlőtlenségből következik a G diszkrétsége. Legyen ugyanis W relatív kompakt nyílt környezete eG -nek, és rögzítsünk olyan ψ ∈ K (G; R) függvényt, amelyre 0 ≤ ψ ≤ 1 és W ⊆ [ψ = 1]. Legyen S ⊆ W tetszőleges véges halmaz. A G topologikus tér Hausdorff-tér, ezért létezik olyan (Ws )s∈S diszjunkt halmazrendszer, hogy minden S ∋ s-re Ws környezete s-nek, és Ws ⊆ W . Vehetünk olyan (ψs )s∈S rendszert K (G; XR)-ben, hogy minden s ∈ S esetén 0 ≤ ψs ≤ 1, ψs (s) = 1, és supp(ψs ) ⊆ Ws . Ekkor ψs ≤ ψ, és minden S ∋ s-re ψs ◦ γG (s) ∈ Ψ, ezért a β balinvarianciája folytán

β(ψ) ≥

s∈S

X

s∈S

β(ψs ) =

X

s∈S

β(ψs ◦ γG (s)) ≥ c · Card(S).

Ez azt jelenti, hogy Card(S) ≤ β(ψ)/c, tehát W véges halmaz. Ekkor viszont W \ {eG } is véges halmaz, így zárt is. Ugyanakkor W nyílt környezete eG -nek, így az {eG } = W \ (W \ {eG }) halmaz nyílt, tehát G diszkrét.  141

6.4.

A harmonikus analízis alaptétele

6.4.1. Tétel. Legyen G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben. Egyértelműen létezik olyan Vβ : K (G; C) → L (H ) leképezés, amelyre teljesül az, hogy minden ϕ ∈ K (G; C) és ζ, η ∈ H esetén Z (Vβ (ϕ)ζ|η) = (V (s)ζ|η)ϕ(s) dβ(s). G

Ez a Vβ leképezés nemelfajult folytonos ábrázolása a Kβ (G; C) normált *-algebrának a H Hilbert-térben. Minden ϕ ∈ K (G; C) és s ∈ G esetén V (s) ◦ Vβ (ϕ) = Vβ (ϕ ◦ γG (s−1 )). Bizonyítás. Legyen ϕ ∈ K (G; C) rögzített. Minden ζ, η ∈ H vektorra a (V (·)ζ|η) : G → C mátrixelem-függvény folytonos, mert a V unitér ábrázolás folytonos, tehát (V (·)ζ|η).ϕ ∈ K (G; C), így jól értelmezett az Z

(V (s)ζ|η)ϕ(s) dβ(s)

G

integrál. Nyilvánvaló, hogy a H × H → C;

(ζ, η) 7→

Z

(V (s)ζ|η)ϕ(s) dβ(s)

G

leképezés konjugált bilineáris, és folytonos, mivel ζ, η ∈ H esetén Z G

(V (s)ζ|η)ϕ(s)

dβ(s)

≤

Z

G

|(V (s)ζ|η)||ϕ(s)| dβ(s) ≤

≤ β(|ϕ|)kζkkηk = kϕkβ,1 kζkkηk.

Ebből látható, hogy létezik egyetlen olyan Vβ (ϕ) ∈ L (H ) operátor, amelyre minden ζ, η ∈ H esetén Z (Vβ (ϕ)ζ|η) = (V (s)ζ|η)ϕ(s) dβ(s), G

és az is világos, hogy kVβ (ϕ)k:=

sup ζ∈H , kζk≤1

kVβ (ϕ)ζk=

sup

sup

ζ∈H , kζk≤1

η∈H , kηk≤1

142

!

|(Vβ (ϕ)ζ|η)| ≤kϕkβ,1 .

A definíció alapján triviális, hogy a fentiek szerint jól értelmezett Vβ : K (G; C) → L (H ) leképezés lineáris operátor. A Vβ multiplikativitásának bizonyításához legyenek ϕ, ψ ∈ K (G; C). Ha ζ, η ∈ H tetszőlegesek, akkor a definíció szerint (Vβ (ϕ ∗ ψ)ζ|η) := β

Z

:=

Z

=

G

Z

(V (s)ζ|η)

G

Z

(V (s)ζ|η)(ϕ ∗ ψ)(s) dβ(s) := β

ϕ(t)ψ(t−1 s) dβ(t)

dβ(s) =

G

(V (s)ζ|η)ϕ(t)ψ(t−1s) d(β ⊗ β)(s, t) =

G×G

Z

=

ϕ(t)

G

=

Z

Z

ϕ(t)

Z

(V (t(t−1 s))ζ|η)ψ(t−1s) dβ(s)

Z

Z

ϕ(t)

Z

ϕ(t)

(V (ts)ζ|η)ψ(s) dβ(s)

Z

(V (s)ζ|V (t)∗ η)ψ(s) dβ(s)

G

G

dβ(t) =

G

G

=

dβ(t) =

G

=

Z

dβ(t) =

G

G

=

(V (s)ζ|η)ψ(t−1s) dβ(s)

∗

ϕ(t)(Vβ (ψ)ζ|V (t) η) dβ(t) =

G

Z

dβ(t) =

ϕ(t)(V (t)Vβ (ψ)ζ|η) dβ(t) =: (Vβ (ϕ)Vβ (ψ)ζ|η),

G

következésképpen Vβ (ϕ ∗ ψ) = Vβ (ϕ) ◦ Vβ (ψ). β

A Vβ leképzés involúció-tartó, mert ha ϕ ∈ K (G; C), akkor minden ζ, η ∈ H esetén a definíció szerint ∗

(Vβ (ϕ )ζ|η) :=

Z

∗

(V (s)ζ|η)ϕ (s) dβ(s) :=

= Z

(V (s)ζ|η)∆G (s−1 )ϕ(s−1 ) dβ(s) =

G

G

Z

Z

Z

(ζ|V (s−1 )η)∆G (s−1 )ϕ(s−1 ) dβ(s)= (ζ|V (s)η)∆G (s)ϕ(s) d(iG (β))(s)=

G

Z

G

= (ζ|V (s)η)∆G (s)ϕ(s) d(∆−1 .β)(s)= (ζ|V (s)η)∆G (s)ϕ(s)∆G (s)−1 dβ(s)= G G

=

Z

G

(V (s)η|ζ)ϕ(s) dβ(s) =

Z

G

(V (s)η|ζ)ϕ(s) dβ(s) =: (Vβ (ϕ)η|ζ) =

G

143

= (ζ|Vβ (ϕ)η) = (Vβ (ϕ)∗ ζ|η), ahol felhasználtuk azt, hogy iG (β) = ∆−1 .β; tehát fennáll a Vβ (ϕ∗ ) = Vβ (ϕ)∗ egyenlőség. G Eddig igazoltuk azt, hogy a Vβ leképezés folytonos ábrázolása a Kβ (G; C) normált *algebrának a H Hilbert-térben. A Vβ ábrázolás nemelfajultsága azt jelenti, hogy az S Im(Vβ (ϕ)) halmaz lineáris burka sűrű H -ban, vagyis ϕ∈K (G;C)

⊥

[

= {0}.

Im(Vβ (ϕ))

ϕ∈K (G;C)

Legyen tehát η∈H olyan vektor, amely ortogonális az [

Im(Vβ (ϕ))

ϕ∈K (G;C)

halmazra, vagyis amelyre minden ϕ ∈ K (G; C) és ζ ∈ H esetén (Vβ (ϕ)ζ|η) = 0. Legyen (ϕi )i∈I tetszőleges β-szerinti δ-rendszer (6.2.1.). Ekkor minden i ∈ I és ζ ∈ H esetén Z

(V (s)ζ|η)ϕi (s) dβ(s) =: (Vβ (ϕi )ζ|η) = 0,

G

ezért a 6.2.4. szerint (ζ|η) = (V (eG )ζ|η) = lim i, I

Z

(V (s)ζ|η)ϕi (s) dβ(s) = 0,

G

így η ∈ H ⊥ = {0}, amit bizonyítani kellett.

Végül, legyen ϕ ∈ K (G; C) és s ∈ G. Ekkor minden ζ, η ∈ H vektorra a definíció szerint Z −1 (Vβ (ϕ ◦ γG (s ))ζ|η) := (V (t)ζ|η)ϕ(s−1t) dβ(t) = = =

Z

Z

G

−1

−1

(V (s(s t))ζ|η)ϕ(s t) dβ(t) =

G

Z

(V (st)ζ|η)ϕ(t) dβ(t) =

G

(V (t)ζ|V (s)∗ η)ϕ(t) dβ(t) =: (Vβ (ϕ)ζ|V (s)∗ η) = (V (s)Vβ (ϕ)ζ|η),

G

ahol kihasználtuk a β balinvarianciáját, így Vβ (ϕ ◦ γG (s−1 )) = V (s) ◦ Vβ (ϕ).  6.4.2. Jelölés. Legyen G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben. Ekkor az előző tételben értelmezett Vβ : Kβ (G; C) → L (H ) ábrázolás folytonos kiterjesztését az L1C (G, β) 144

mértékalgebrára Vβ jelöli. Tehát Vβ az az ábrázolása az L1C (G, β) Banach-*-algebrának a H Hilbert-térben, amelyre minden ϕ ∈ K (G; C) és ζ, η ∈ H esetén (Vβ (ϕ)ζ|η) =

Z

(V (s)ζ|η)ϕ(s) dβ(s).

G

6.4.3. Lemma. Ha G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor a G × K (G; C) → K (G; C); (s, ϕ) 7→ ϕ ◦ γG (s−1 )

leképezés folytonos a TG × Tk·kβ,1 és Tk·kβ,1 topológiák szerint, ahol TG a G topológiája.

Bizonyítás. Először megjegyezzük, hogy minden ϕ ∈ K (G; C) és s ∈ G esetén, a β balinvarianciája miatt kϕ ◦ γG (s−1 )kβ,1 := β(|ϕ ◦ γG (s−1 )|) = (γG (s−1 )(β))(|ϕ|) = β(|ϕ|) =: kϕkβ,1, vagyis kϕ ◦ γG (s−1 )kβ,1 = kϕkβ,1.

Legyen most (s0 , ϕ0 ) ∈ G × K (G; C) rögzített. Ha (s, ϕ) ∈ G × K (G; C), akkor −1 −1 kϕ ◦ γG (s−1 ) − ϕ0 ◦ γG (s−1 0 )kβ,1 = k ϕ ◦ γG (s s0 ) − ϕ0 ◦ γG (s0 )kβ,1 =

= kϕ ◦ γG (s−1 s0 ) − ϕ0 kβ,1 ≤ k(ϕ − ϕ0 ) ◦ γG (s−1 s0 )kβ,1 + kϕ0 ◦ γG (s−1 s0 ) − ϕ0 kβ1 = = kϕ − ϕ0 kβ,1 + kϕ0 ◦ γG (s−1 s0 ) − ϕ0 kβ,1 .

Ebből látható, hogy ha ϕ0 ∈ K (G; C) esetén a G → K (G; C);

s 7→ ϕ0 ◦ γG (s−1 )

függvény folytonos az eG pontban a TG és Tk·kβ,1 topológiák szerint, akkor a G × K (G; C) → K (G; C);

(s, ϕ) 7→ ϕ ◦ γG (s−1 )

leképezés folytonos az (s0 , ϕ0 ) pontban a TG × Tk·kβ,1 és Tk·kβ,1 topológiák szerint.

Legyen tehát ϕ0 ∈ K (G; C), és vizsgáljuk a G → K (G; C); s 7→ ϕ0 ◦ γG (s−1 ) függvény folytonosságát eG -ben a TG és Tk·kβ,1 topológiák szerint. Legyen W0 kompakt környezete eG -nek G-ben, és a W0 supp(ϕ0 ) ⊆ G kompakt halmazhoz legyen ψ ∈ K (G; R) olyan függvény, hogy 0 ≤ ψ ≤ 1 és W0 supp(ϕ0 ) ⊆ [ψ = 1]. Legyen ε ∈ R+ tetszőleges. A ϕ0 függvény jobboldali egyenletes folytonossága miatt létezik olyan W környezete eG -nek, hogy minden s1 , s2 ∈ G esetén, ha s2 s−1 1 ∈ W , akkor |ϕ0 (s1 ) − ϕ0 (s2 )| < ε. Ekkor s ∈ −1 −1 W ∩ W0 esetén minden G ∋ t-re t(s t) = s, ezért |ϕ0 (s−1 t) − ϕ0 (t)| ≤ εψ(t), ugyanis 145

{t ∈ G||ϕ0 (s−1 t) − ϕ0 (t)| > 0} ⊆ (s · supp(ϕ0 )) ∪ supp(ϕ0 ) ⊆ W0 supp(ϕ0 ) ⊆ [ψ = 1]. Ebből következik, hogy minden W ∩ W0 ∋ s-re kϕ0 ◦ γG (s−1 ) − ϕ0 kβ,1 =

Z

G

|ϕ0 (s−1 t) − ϕ0 (t)| dβ(t) ≤

Z

εψ(t) dβ(t) = εβ(ψ).

G

Itt a β(ψ) ≥ 0 szám az ε-tól független, tehát a G → K (G; C); s 7→ ϕ0 ◦γG (s−1 ) függvény folytonos az eG pontban a TG és Tk·kβ,1 topológiák szerint.  6.4.4. Lemma. Ha G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor minden ϕ, ψ ∈ K (G; C) és θ ∈ M (G; C) esetén θ(ϕ ∗ ψ) = β

Z

G

ϕ(t)θ(ψ ◦ γG (t−1 )) dβ(t).

(Megjegyzés. Itt a G → C; t 7→ ϕ(t)θ(ψ ◦ γG (t−1 )) függvény kompakt tartójú, és a paraméteres integrálok folytonosságának tétele alapján folytonos is, ezért az egyenlőség jobb oldala értelmes.) Bizonyítás. Az elemi Lebesgue–Fubini-tételt alkalmazva a (t, s) 7→ ϕ(t)ψ(t−1 s)

G × G → C;

folytonos kompakt tartójú függvényre és a β ⊗ θ szorzatmértékre kapjuk, hogy Z

G

=

Z

G

−1

ϕ(t)θ(ψ ◦ γG (t )) dβ(t) = Z

ϕ(t)ψ(t−1 s) dβ(t)

Z

Z

ϕ(t)

G

ψ(t−1 s) dθ(s)

dβ(t) =

G

dθ(s) =:

Z

G

G

(ϕ ∗ ψ)(s) dθ(s) = θ(ϕ ∗ ψ).  β

β

6.4.5. Lemma. Legyen E normált tér, F Banach-tér, és (ui )i∈I operátornormában korlátos általánosított sorozat L (E; F )-ben. Ha létezik E-nek olyan sűrű lineáris altere, amelyen az (ui )i∈I általánosított operátorsorozat pontonként konvergens, akkor az (ui )i∈I általánosított operátorsorozat az E-n mindenütt pontonként konvergens, és a pontonkénti limeszoperátor folytonos. Bizonyítás. Legyen M olyan sűrű lineáris altér E-ben, amelyen az (ui )i∈I általánosított operátorsorozat pontonként konvergens. Vezessük be a C := sup kui k ∈ R+ számot. i∈I

Legyen x ∈ E rögzített és ε ∈ R+ tetszőleges. Az ε-hoz vegyünk olyan xM ∈ M elemet, amelyre Ckx − xM k < ε/4. Az F -ben haladó (ui (xM ))i∈I általánosított sorozat 146

konvergens, ezért az ε-hoz van olyan i ∈ I, hogy minden j, k ∈ I esetén, ha j, k ≥ i, akkor kuj (xM ) − uk (xM )k < ε/2. Tehát j, k ∈ I és j, k ≥ i esetén kuj (x) − uk (x)k ≤ kuj (x − xM )k + kuj (xM ) − uk (xM )k + kuk (x − xM )k ≤ ≤ 2Ckx − xM k + kuj (xM ) − uk (xM )k < ε.

Ez azt jelenti, hogy az F -ben haladó (ui (x))i∈I általánosított sorozat Cauchy-sorozat, így F teljessége miatt konvergens. Tehát az u := lim ui pontonkénti limeszfüggvény E-n mindenütt értelmezett, és ha x ∈ E, i,I

akkor

ku(x)k =



lim ui (x)

i,I

= lim kui (x)k ≤ Ckxk, i,I

hiszen minden i ∈ I esetén kui (x)k ≤ Ckxk. Ezért u folytonos lineáris operátor.  6.4.6. Tétel. (A harmonikus analízis alaptétele) Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. Ha π az L1C (G; β) Banach-*-algebrának nemelfajult ábrázolása a H Hilbert-térben, akkor a G-nek létezik egyetlen olyan V folytonos unitér ábrázolása H -ban, amelyre π = Vβ . Bizonyítás. (Unicitás.) Legyen π az L1C (G; β) Banach-*-algebrának nemelfajult ábrázolása a H Hilbert-térben. A π ábrázolás normában folytonos, sőt norma-nem-növelő ([19, 17.4.2]), és K (G; C) sűrű *-részalgebra L1C (G; β)-ben, ezért a π ábrázolás leszűkíS tése K (G; C)-re szintén nemelfajult ([19, 20.1.5]). Tehát az Im(π(ϕ)) halmaz ϕ∈K (G;C)

lineáris burka sűrű H -ban.

Legyenek most V és V ′ olyan folytonos unitér ábrázolásai G-nek a H Hilbert-térben, amelyekre Vβ = π = Vβ′ . Ekkor s ∈ G, ϕ ∈ K (G; C) és ζ ∈ H esetén V (s)(π(ϕ)ζ) = (V (s) ◦ Vβ (ϕ))ζ = Vβ (ϕ ◦ γG (s−1 ))ζ = π(ϕ ◦ γG (s−1 ))ζ = = Vβ′ (ϕ ◦ γG (s−1 ))ζ = (V ′ (s) ◦ Vβ′ (ϕ))ζ = V ′ (s)(π(ϕ)ζ),

ami azt jelenti, hogy V (s) = V ′ (s) az

S

Im(π(ϕ)) halmazon, ezért V (s) = V ′ (s).

ϕ∈K (G;C)

(Egzisztencia.) Legyen π az L1C (G; β) Banach-*-algebrának nemelfajult ábrázolása a H S Hilbert-térben, és jelölje H0 az Im(π(ϕ)) halmaz lineáris burkát H -ban. Legyen ϕ∈K (G;C)

továbbá (ϕi )i∈I egy β-szerinti δ-rendszer (6.2.1.).

Legyen s ∈ G rögzített. Ha ϕ ∈ K (G; C), akkor a (ϕi ∗ ϕ)i∈I általánosított sorozat β

ϕ-hez konvergál L1C (G; β)-ban (6.2.6.), így a ((ϕi ∗ ϕ) ◦ γG (s−1 ))i∈I általánosított sorozat β

ϕ◦γG (s )-hez konvergál −1

L1C (G; β)-ban,

hiszen a K (G; C) → K (G; C); ψ 7→ ψ ◦γG (s−1 ) 147

leképezés folytonos a k · kβ,1 norma szerint. Ugyanakkor a π : L1C (G; β) → L (H ) leképezés a normák szerint folytonos, ezért ϕ ∈ K (G; C) esetén a (π((ϕi ∗ ϕ) ◦ β

γG (s−1 )))i∈I általánosított operátorsorozat operátornormában konvergál L (H )-ban. Ha i ∈ I és ϕ ∈ K (G; C), akkor (ϕi ∗ ϕ) ◦ γG (s−1 ) = (ϕi ◦ γG (s−1 )) ∗ ϕ, és a π leképezés β

β

szorzás-tartó. Ez azt jelenti, hogy minden ϕ ∈ K (G; C) esetén a π(ϕi ◦ γG (s−1 )) ◦ π(ϕ)

i∈I

általánosított operátorsorozat operátornormában konvergál L (H )-ban. Ezért ϕ ∈ K (G; C) esetén ez az általánosított operátorsorozat pontonként is konvergens H felett, így minden H ∋ ζ-ra a π(ϕi ◦ γG (s−1 ))(π(ϕ)ζ) i∈I

általánosított vektorsorozat konvergens a H Hilbert térben. A H0 sűrű altér értelmezése alapján ez azzal ekvivalens, hogy a π(ϕi ◦ γG (s−1 ))

i∈I

általánosított operátorsorozat pontonként konvergens a H0 altéren. Ugyanakkor, i ∈ I esetén kπ(ϕi ◦ γG (s−1 ))k ≤ kϕi ◦ γG (s−1 )kβ,1 = kϕi kβ,1 = 1,

tehát az (π(ϕi ◦ γG (s−1 )))i∈I általánosított operátorsorozat korlátos az operátornormában. Ebből következik, hogy ez az általánosított operátorsorozat a H -n pontonként konvergens, és a pontonkénti limeszoperátor folytonos (6.4.5.); legyen V (s) := lim π(ϕi ◦ γG (s−1 )), i, I

ahol a határértéket természetesen a pontonkénti konvergencia topológiája szerint kell venni. Meg fogjuk mutatni, hogy V az a folytonos unitér ábrázolása G-nek H -ban, amelyre π = Vβ . Ehhez először megjegyezzük, hogy minden s ∈ G és ϕ ∈ K (G; C) esetén V (s) ◦ π(ϕ) = π(ϕ ◦ γG (s−1 )), hiszen minden H ∋ ζ-ra V (s)(π(ϕ)(ζ)) := lim π(ϕi ◦ γG (s−1 ))(π(ϕ)(ζ)) = lim π((ϕi ◦ γG (s−1 )) ∗ ϕ)(ζ) = i, I

i, I

= lim π((ϕi ∗ ϕ) ◦ γG (s−1 ))(ζ) = π(ϕ ◦ γG (s−1 ))(ζ). i, I

β

148

β

Ebből következik, hogy V lineáris ábrázolása a G csoportnak a H vektortérben. Valóban, minden ϕ ∈ K (G; C) esetén V (eG ) ◦ π(ϕ) = π(ϕ), így V (eG ) = idH a H0 sűrű altéren, tehát V (eG ) = idH . Továbbá, ha s, t ∈ G, akkor minden ϕ ∈ K (G; C) esetén (V (s) ◦ V (t)) ◦ π(ϕ) = V (s) ◦ (V (t) ◦ π(ϕ)) = V (s) ◦ π(ϕ ◦ γG (t−1 )) = = π(ϕ ◦ γG (t−1 ) ◦ γG (s−1 )) = π(ϕ ◦ γG ((st)−1 )) = V (st) ◦ π(ϕ),

így V (s) ◦ V (t) = V (st) a H0 sűrű altéren, tehát V (s) ◦ V (t) = V (st). Ebből már következik, hogy minden s ∈ G esetén a V (s) : H → H leképezés bijekció (ti. V (s−1 ) a V (s) inverze), és a V : G → GL(H ) leképezés csoport-morfizmus. Ha s ∈ G és ζ ∈ H , akkor kV (s)ζk = hiszen ha i ∈ I, akkor



lim π(ϕi

i, I

◦ γG (s

−1

))ζ

= lim kπ(ϕi ◦ γG (s−1 ))ζk ≤ kζk, i, I

kπ(ϕi ◦ γG (s−1 ))ζk ≤ kπ(ϕi ◦ γG (s−1 ))kkζk ≤ kϕi kβ,1 kζk = kζk. Ugyanakkor s ∈ G és ζ ∈ H esetén kζk = kV (s−1 )(V (s)ζ)k ≤ kV (s)ζk. Ez azt jelenti, hogy minden s ∈ G esetén a V (s) operátor izometrikus bijekció, tehát V (s) unitér operátor. Ilymódon V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-térben. A V unitér ábrázolás folytonosságának bizonyításához elég azt igazolni, hogy minden ϕ ∈ K (G; C) és ζ ∈ H esetén a G→H;

s 7→ V (s)(π(ϕ)(ζ))

függvény folytonos az eG pontban. Ez így van, mert ha ϕ ∈ K (G; C) és ζ ∈ H , akkor minden G ∋ s-re V (s)(π(ϕ)(ζ)) = π(ϕ ◦ γG (s−1 ))(ζ), és a G → L1C (G, β);

s 7→ ϕ ◦ γG (s−1 )

függvény folytonos, valamint az L1C (G, β) → H ;

f 7→ π(f )(ζ)

leképezés is folytonos. Azt kell még igazolni, hogy π = Vβ . Ehhez legyenek ϕ, ψ ∈ K (G; C) és ζ, η ∈ H tetszőlegesek. Világos, hogy a (π(·)ζ|η) : L1C (G; C) → C; 149

f 7→ (π(f )ζ|η)

lineáris funkcionál folytonos, és mivel π norma-nem-növelő, azt kapjuk, hogy minden f ∈ K (G; C) esetén |(π(f )ζ|η)| ≤ kπ(f )kkζkkηk ≤ kf kβ,1kζkkηk = β(|f |)kζkkηk. Ebből következik, hogy a θπ;ζ,η : K (G; C) → C;

f 7→ (π(f )ζ|η)

lineáris funkcionál Radon-mérték G felett. Valóban, legyen K ⊆ G kompakt halmaz és C ∈ R+ olyan szám, hogy minden f ∈ K (G; C) esetén, ha supp(f ) ⊆ K, akkor |β(f )| ≤ C 9 f 9. Ekkor minden f ∈ K (G; C) esetén |θπ;ζ,η (f )| ≤ kζkkηkβ(|f |) ≤ kζkkηkC 9 (|f |)9 = (kζkkηkC) 9 f 9 . A 6.4.4. lemma alapján θπ;ζ,η (ϕ ∗ ψ) = β

Z

G

ϕ(t)θπ;ζ,η (ψ ◦ γG (t−1 )) dβ(t).

Felhasználva azt, hogy minden G ∋ t-re π(ψ ◦ γG (t−1 )) = V (t) ◦ π(ψ), ebből kapjuk, hogy (π(ϕ)(π(ψ)ζ)|η) = (π(ϕ ∗ ψ)ζ|η) =: θπ;ζ,η (ϕ ∗ ψ) = β

=

Z

G

ϕ(t)θπ;ζ,η (ψ ◦ γG (t−1 )) dβ(t) := =

Z

G

β

Z

G

ϕ(t)(π(ψ ◦ γG (t−1 ))ζ|η) dβ(t) =

ϕ(t)((V (t) ◦ π(ψ))ζ|η) dβ(t) =: (Vβ (ϕ)(π(ψ)ζ)|η).

Ebből következik, hogy minden ϕ ∈ K (G; C) esetén π(ϕ) = Vβ (ϕ) = Vβ (ϕ), ezért a π, Vβ : L1C (G, β) → L (H ) normákban folytonos operátorok megegyeznek a K (G; C) ⊆ L1C (G, β) sűrű lineáris altéren, így π = Vβ .  Tehát, ha G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és H Hilbert-tér, akkor a G csoport H -ban megvalósuló folytonos unitér ábrázolásainak halmaza és az L1C (G, β) Banach-*-algebra H -ban megvalósuló nemelfajult ábrázolásainak halmaza között a V 7→ Vβ leképezés bijekció. Ez azt jelenti, hogy az absztrakt harmonikus analízis, vagyis a lokálisan kompakt csoportok folytonos unitér ábrázolásainak elmélete részelmélete az approximatív egységes Banach-*-algebrák nemelfajult ábrázolásai elméletének.

150

6.5.

Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrájának karakterei

Most megvizsgáljuk a lokálisan kompakt csoportok folytonos unitér karaktereinek és a mértékalgebrák nem nulla karaktereinek kapcsolatát. A továbbiakban C∗ fogja jelölni a nem nulla komplex számok multiplikatív csoportját, az euklidészi topológiával ellátva, tehát C∗ kommutatív lokálisan kompakt csoport. 6.5.1. Tétel. (Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrájának karaktertere) Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. a) Ha χ : G → C folytonos függvény, akkor a következő állítások ekvivalensek.

(i) χ csoport-morfizmus a G és C∗ csoportok között.

(ii) χ 6= 0 és χ multiplikatív, tehát minden G ∋ s, t-re χ(st) = χ(s)χ(t).

(iii) A χ.β Radon-mérték nem nulla karaktere a Kβ (G; C) algebrának.

b) Ha χ : G → C olyan folytonos függvény, amelyre az a) pont (i), (ii) és (iii) feltételei teljesülnek, akkor a következő állítások ekvivalensek. (i) χ korlátos függvény. (ii) χ unitér karaktere a G csoportnak. (iii) A χ.β ∈ X(Kβ (G; C)) algebra-karakter önadjungált.

(iv) A χ.β ∈ X(Kβ (G; C)) algebra-karakter folytonos a k · kβ,1 norma szerint.

A G minden χ folytonos unitér karakterére jelölje χ.β a χ.β : K (G; C) → C Radonmérték egyetlen folytonos lineáris kiterjesztését az L1C (G, β) mértékalgebrára. c) Az L1C (G, β) Banach-*-algebra minden karaktere önadjungált, és a χ 7→ χ.β leképezés bijekció a G folytonos unitér karaktereinek halmaza és a mértékalgebra nem nulla karaktereinek halmaza között. Bizonyítás. a) Az (i)⇒(ii) implikáció nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy (ii) teljesül, és legyen s0 ∈ G olyan, hogy χ(s0 ) 6= 0. Ekkor 0 6= χ(s0 ) = χ(s0 eG ) = χ(s0 )χ(eG ), következésképpen χ(eG ) = 1, így minden G ∋ s-re χ(s)χ(s−1 ) = χ(eG ) = 1, tehát χ(s) ∈ C∗ . Ebből látható, hogy χ-re (i) teljesül. Ezzel megmutattuk, hogy (i) és (ii) ekvivalensek (még akkor is, ha G tetszőleges csoport, és χ : G → C függvény). A (ii)⇔(iii) reláció bizonyításához először megmutatjuk, hogy ϕ, ψ ∈ K (G; C) esetén ((χ ◦ pG ).(β ⊗ β)) (ϕ ⊗ ψ) = (χ.β)(ϕ ∗ ψ) β

151

teljesül, ahol pG jelöli a G szorzását. Valóban, ha ϕ, ψ ∈ K (G; C), akkor ((χ ◦ pG ).(β ⊗ β)) (ϕ ⊗ ψ) =

=

Z

G×G

G×G

χ(st)ϕ(s)ψ(t) d(β ⊗ β)(s, t) = =

Z

G

=

Z

Z

χ(t)

G

Z

ϕ(s)

Z

Z

(χ ◦ pG )(ϕ ⊗ ψ) d(β ⊗ β) =

ϕ(s)

Z

χ(st)ψ(t) dβ(t)

dβ(s) =

G

G

χ(t)ψ(s−1 t) dβ(t)

dβ(s) =

G

ϕ(s)ψ(s−1 t) dβ(s)

dβ(t) =

Z

G

G

χ(t)(ϕ ∗ ψ)(t) dβ(t) = β

= (χ.β)(ϕ ∗ ψ), β

ahol felhasználtuk a β balinvarianciáját és kétszer alkalmaztuk az elemi Lebesgue–Fubini tételt a β ⊗ β szorzatmértékre, és a G × G → C;

(s, t) 7→ χ(st)ϕ(s)ψ(t)

valamint a G × G → C;

(s, t) 7→ ϕ(s)χ(t)ψ(s−1 t)

folytonos kompakt tartójú függvényekre.

Ez az egyenlőség azt mutatja, hogy a χ.β funkcionál ∗ szorzás szerinti multiplikativitása β

azzal ekvivalens, hogy minden ϕ, ψ ∈ K (G; C) esetén

((χ ◦ pG ).(β ⊗ β)) (ϕ ⊗ ψ) = (χ.β)(ϕ)(χ.β)(ψ) = ((χ ⊗ χ).(β ⊗ β)) (ϕ ⊗ ψ), ami egyenértékű a (χ ◦ pG ).(β ⊗ β) = (χ ⊗ χ).(β ⊗ β)

mérték-egyenlőséggel. Tekintettel arra, hogy supp(β⊗β) = G×G, ez a mérték-egyenlőség ekvivalens a χ ◦ pG = χ ⊗ χ

függvény-egyenlőséggel, ami éppen a χ multiplikativitását fejezi ki. Tehát, ha (ii) igaz, akkor χ.β karaktere a Kβ (G; C) algebrának, és χ.β 6= 0, mert supp(β) = G és χ 6= 0, vagyis (iii) teljesül. Megfordítva, ha (iii) igaz, akkor a χ függvény multiplikatív és persze χ 6= 0, mert χ.β 6= 0, így (ii) teljesül.

b) Tegyük fel, hogy χ : G → C olyan folytonos függvény, amelyre az a) pont (i), (ii) és 152

(iii) feltételei teljesülnek. Az iG (β) = ∆−1 .β mérték-egyenlőséget, valamint a Kβ (G; C) G *-algebra involúciójának definícióját alkalmazva kapjuk, hogy minden K (G; C) ∋ ϕ-re .(ϕ ◦ iG ) = (χ.β) ∆−1 .(ϕ ◦ iG ) = (χ.β)∗ (ϕ) := (χ.β)(ϕ∗ ) := χ.β ∆−1 G G = (χ.β) ((∆G .ϕ) ◦ iG ) = iG (χ.β)(∆G .ϕ) = ((χ ◦ iG ).iG (β)) (∆G .ϕ) = = (χ ◦ iG ).∆−1 .β (∆G .ϕ) = ((χ ◦ iG ).β) (ϕ) = χ−1 .β (ϕ), G

ami azt jelenti, hogy

(χ.β)∗ = χ−1 .β. Ebből következik, hogy a χ.β ∈ X(Kβ (G; C)) algebra-karakter pontosan akkor önadjungált, ha χ = χ−1 , vagyis ha Im(χ) ⊆ U, azaz χ unitér karaktere G-nek. Ezzel a (ii) és (iii) állítások ekvivalenciáját igazoltuk. Az (i)⇒(ii) implikáció nyilván helyes, mert ha s ∈ G olyan, hogy |χ(s)| = 6 1, akkor −1 |χ(s)| < 1 esetén a t := s , míg |χ(s)| > 1 esetén a t := s elem olyan, hogy a (χ(tn ))n∈N számsorozat nem korlátos felülről, és az Im(χ) halmazban halad. Világos, hogy (ii)-ből következik (iv), mert ekkor minden K (G; C) ∋ ϕ-re |(χ.β)(ϕ)| = |β(χ.ϕ)| ≤ β(|χ.ϕ|) = kϕkβ,1 , így χ.β folytonos a k · kβ,1 norma szerint.

Megmutatjuk, hogy (iv)-ből következik (i). Ehhez először megjegyezzük, hogy ha a χ.β Radon-mérték folytonos a k · kβ,1 norma szerint, akkor s ∈ G és ϕ ∈ K (G; C) esetén, ha kϕkβ,1 = 1, akkor |(χ.β)(ϕ ◦ γG (s−1 ))| ≤ kχ.βkkϕ ◦ γG (s−1 )kβ,1 = kχ.βkβ(|ϕ ◦ γG (s−1 )|) = = kχ.βk(γG (s−1 )(β))(|ϕ|) = kχ.βkβ(|ϕ|) =: kχ.βkkϕkβ,1 = kχ.βk.

Legyen (ϕi )i∈I tetszőleges β-szerinti δ-rendszer (6.2.1.). A 6.2.4. alapján tudjuk, hogy ha s ∈ G, akkor a β balinvarianciája folytán χ(s) = (χ ◦ γG (s)) (eG ) = lim i, I

= lim i, I

Z

G

Z

G

(χ ◦ γG (s)) .ϕi dβ =

χ.(ϕi ◦ γG (s−1 )) ◦ γG (s) dβ = lim(χ.β)(ϕi ◦ γG (s−1 )). i, I

Minden I ∋ i-re kϕi kβ,1 = 1, így az előzőek alapján minden G ∋ s-re |χ(s)| ≤ sup |(χ.β)(ϕi ◦ γG (s−1 ))| ≤ kχ.βk, i, I

tehát a χ függvény korlátos, így (i) teljesül. 153

c) Legyen τ rögzített nem nulla karaktere az L1C (G, β) mértékalgebrának. Olyan χ : G → C folytonos függvényt keresünk, amelyre χ.β = τ teljesül a K (G; C) halmazon. Tekintettel arra, hogy τ folytonos az L1C (G, β) Banach-algebrán; ha χ ilyen folytonos függvény, akkor χ.β nem nulla, k · kβ,1 szerint folytonos karaktere a Kβ (G; C) normált algebrának, így a b) alapján χ folytonos unitér karaktere G-nek, és χ.β önadjungált karaktere a Kβ (G; C) *-algebrának, így τ is önadjungált algebra-karaktere a mértékalgebrának. Ezzel bizonyítva lesz, hogy az L1C (G, β) Banach-*-algebra minden karaktere önadjungált és χ.β alakú, ahol χ folytonos unitér karaktere G-nek. Legyen ismét (ϕi )i∈I tetszőleges β-szerinti δ-rendszer, amelyről tudjuk, hogy approximatív egység a Kβ (G; C) konvolúciós normált algebrában (6.2.6.). Legyen ψ ∈ K (G; C) olyan, hogy τ (ψ) 6= 0, és vegyünk egy s ∈ G elemet. A (ϕi ∗ ψ)i∈I általánosított sorozat β

konvergál ψ-hez k · kβ,1 szerint, és s ∈ G esetén a K (G; C) → K (G; C);

ϕ 7→ ϕ ◦ γG (s−1 )

leképezés folytonos k · kβ,1 szerint, ezért a ((ϕi ∗ ψ) ◦ γG (s−1 ))i∈I általánosított sorozat β

konvergál ψ◦γG (s−1 )-hez k · kβ,1 szerint. Ugyanakkor a τ funkcionál folytonos K (G; C)-n k · kβ,1 szerint, így minden G ∋ s-re lim τ ((ϕi ∗ ψ) ◦ γG (s−1 )) = τ (ψ ◦ γG (s−1 )). i, I

β

Ha i ∈ I és s ∈ G, akkor (ϕi ∗ ψ) ◦ γG (s−1 ) = (ϕi ◦ γG (s−1 )) ∗ ψ, β

β

és a τ funkcionál multiplikatív a ∗ szorzásra nézve, ezért τ (ψ) 6= 0 alapján β

τ (ψ ◦ γG (s−1 )) = lim τ (ϕi ◦ γG (s−1 )). i, I τ (ψ) Ez azt mutatja, hogy ha ψ ∈ K (G; C) olyan, hogy τ (ψ) 6= 0, akkor a χ : G → C;

s 7→

τ (ψ ◦ γG (s−1 )) τ (ψ)

leképezés a ψ függvény választásától független. Legyen ψ ilyen függvény. A G → K (G; C);

s 7→ ψ ◦ γG (s−1 )

függvény folytonos a G eredeti topológiája és a k · kβ,1 által meghatározott K (G; C) feletti topológia szerint, továbbá τ folytonos K (G; C)-n a k · kβ,1 szerint, ezért a 154

χ : G → C függvény folytonos.

Továbbá, a τ : L1C (G, β) → C funkcionál K (G; C)-re vett leszűkítése Radon-mérték G felett. Valóban, legyen K ⊆ G kompakt halmaz, és vegyünk olyan ϕK ∈ K+ (G) függvényt, hogy K ⊆ [ϕK = 1]. Ha ϕ ∈ K (G; C) olyan, hogy supp(ϕ) ⊆ K, akkor |ϕ| ≤ 9ϕ 9 ϕK , ezért |τ (ϕ)| ≤ kϕkβ,1 = β(|ϕ|) ≤ 9ϕ 9 β(ϕK ). Ezért a 6.4.4. lemma szerint minden ϕ ∈ K (G; C) esetén τ (ϕ)τ (ψ) = τ (ϕ ∗ ψ) = β

=

Z

Z

G

ϕ(t)τ ψ ◦ γG (t−1 ) dβ(t) =

ϕ(t)τ (ψ)χ(t) dβ(t) = (χ.β)(ϕ)τ (ψ),

G

ami azt jelenti, hogy τ = χ.β a K (G; C) halmazon. Végül, a χ 7→ χ.β leképzés injektív a G folytonos unitér karaktereinek halmazán, mert ha χ és χ′ olyan folytonos unitér karakterei G-nek, hogy χ.β = χ′ .β, akkor χ és χ′ folytonossága és supp(β) = G miatt χ = χ′ .  Példa. Tekintsük a Z diszkrét additív csoportot, és jelölje β a számláló Radon-mértéket Z felett, tehát minden ϕ ∈ K (Z; C) = C(Z) esetén β(ϕ) :=

X

ϕ(n).

n∈Z

Minden z ∈ C∗ esetén értelmezzük a következő függvényt: χz : Z → C∗ ;

n 7→ z n .

Könnyen látható, hogy a z 7→ χz leképezés bijekció a C∗ halmaz és a Z → C∗ (természetesen folytonos) csoport-morfizmusok halmaza között, és ha z ∈ C∗ , akkor a χz .β ∈ X(Kβ (Z; C)) algebra-karakterre teljesül az, hogy minden ϕ ∈ K (Z; C) függvényre X (χz .β)(ϕ) = z n ϕ(n). n∈Z

Ha z ∈ C∗ , akkor az előző tétel alapján a χz .β algebra-karakter pontosan akkor folytonos a K (Z; C) feletti k · kβ,1 norma szerint, ha |z| = 1. Ez azt mutatja, hogy a Kβ (Z; C) normált *-algebrának sok nem folytonos algebra-karaktere létezik, amelyek egyáltalán nem terjeszthetők ki az L1C (Z, β) mértékalgebrára karakterként. Továbbá, a Kβ (Z; C) normált *-algebra nem folytonos algebra-karakterei nem önadjungáltak. 155

6.6.

Összekötő operátorok

6.6.1. Állítás. (Az összekötő operátorok tétele) Legyen G lokálisan kompakt csoport, és β baloldali Haar-mérték G felett. Ha U és V folytonos unitér ábrázolásai G-nek, akkor C(U; V ) = C(Uβ ; Vβ ) = C(Uβ ; Vβ ). Bizonyítás. A K (G; C) *-részalgebra sűrű az L1C (G, β) Banach-*-algebrában, ezért C(Uβ ; Vβ ) = C(Uβ ; Vβ ). Jelölje HU (illetve HV ) az U (illetve V ) unitér ábrázolás terét. Ha w ∈ C(U; V ), akkor minden ζ ∈ HU , η ∈ HV és ϕ ∈ K (G; C) esetén ((Vβ (ϕ) ◦ w)ζ|η) := =

Z

Z

ϕ(s)(V (s)(w(ζ))|η) dβ(s) =

G

ϕ(s)(w(U(s)(ζ))|η) dβ(s) =

Z

ϕ(s)(U(s)(ζ)|w ∗(η)) dβ(s) =:

G

G ∗

=: (Uβ (ϕ)(ζ)|w (η)) = ((w ◦ Uβ (ϕ))(ζ)|η),

amiből következik, hogy minden ϕ ∈ K (G; C) esetén Vβ (ϕ) ◦ w = w ◦ Uβ (ϕ), tehát w ∈ C(Uβ ; Vβ ).

Megfordítva, tegyük fel, hogy w∈C(Uβ ; Vβ ), és legyen s∈G. Ekkor minden ϕ ∈ K (G; C) esetén (V (s) ◦ w) ◦ Uβ (ϕ) = V (s) ◦ (w ◦ Uβ (ϕ)) = V (s) ◦ (Vβ (ϕ) ◦ w) = = (V (s) ◦ Vβ (ϕ)) ◦ w = Vβ (ϕ ◦ γG (s−1 )) ◦ w = w ◦ Uβ (ϕ ◦ γG (s−1 )) = = w ◦ (U(s) ◦ Uβ (ϕ)) = (w ◦ U(s)) ◦ Uβ (ϕ).

Ebből látható, hogy V (s) ◦ w = w ◦ U(s) teljesül az

S

ϕ∈K (G;C)

Im(Uβ (ϕ)) halmazon,

amelynek lineáris burka sűrű HU -ban, ezért V (s) ◦ w = w ◦ U(s). Tehát w ∈ C(U; V ) is igaz.  6.6.2. Következmény. Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. Ha U és V folytonos unitér ábrázolásai G-nek, akkor U és V pontosan akkor unitér ekvivalensek, ha az Uβ és Vβ ábrázolások unitér ekvivalensek. Ha V folytonos unitér ábrázolása G-nek, akkor V irreducibilitása ekvivalens a Vβ ábrázolás irreducibilitásával. Bizonyítás. Mindkét állítás azonnal következik az összekötő operátorok tételéből. 

156

6.6.3. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. Ha V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben és ζ ∈ H , akkor {V (s)ζ|s ∈ G}⊥ = {Vβ (ϕ)ζ|ϕ ∈ K (G; C)}⊥ = {Vβ (θ)ζ|θ ∈ L1C (G, β)}⊥ . Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy {V (s)ζ|s ∈ G}⊥ = {Vβ (ϕ)ζ|ϕ ∈ K (G; C)}⊥ . Ha η ∈ {V (s)ζ|s ∈ G}⊥ , akkor minden s ∈ G esetén (V (s)ζ|η) = 0, ezért minden ϕ ∈ K (G; C) függvényre (Vβ (ϕ)ζ|η) :=

Z

ϕ(s)(V (s)ζ|η) dβ(s) = 0,

G

így η ∈ {Vβ (ϕ)ζ|ϕ ∈ K (G; C)}⊥ .

Megfordítva, tegyük fel, hogy η ∈ {Vβ (ϕ)ζ|ϕ ∈ K (G; C)}⊥ . Legyen (ϕi )i∈I tetszőleges β-szerinti δ-rendszer (6.2.1.). A harmonikus analízis alaptételének bizonyításában láttuk, hogy s ∈ G esetén V (s)ζ = lim Vβ (ϕi ◦ γG (s−1 ))ζ i, I

a H Hilbert-térben, következésképpen (V (s)ζ|η) = lim(Vβ (ϕi ◦ γG (s−1 ))ζ|η) = 0, i, I

vagyis η ∈ {V (s)ζ|s ∈ G}⊥ .

Természetesen fennáll a {Vβ (ϕ)ζ|ϕ ∈ K (G; C)} ⊆ {Vβ (θ)ζ|θ ∈ L1C (G, β)} tartalmazás, amiből következik, hogy {Vβ (θ)ζ|θ ∈ L1C (G, β)}⊥ ⊆ {Vβ (ϕ)ζ|ϕ ∈ K (G; C)}⊥ .

Legyen η ∈ {Vβ (ϕ)ζ|ϕ ∈ K (G; C)}⊥ és θ ∈ L1C (G, β). Vegyünk olyan (ϕn )n∈N sorozatot, amely θ-hoz konvergál L1C (G, β)-ban. Ekkor a Vβ ábrázolás normákban való folytonossága miatt a Vβ (ϕn ) n∈N operátorsorozat konvergál Vβ (θ)-hoz az operátornormában, így pontonként is. Ezért (Vβ (θ)ζ|η) = n→∞ lim (Vβ (ϕn )ζ|η) = n→∞ lim (Vβ (ϕn )ζ|η) = 0 teljesül, vagyis η ∈ {Vβ (θ)ζ|θ ∈ L1C (G, β)}⊥ .  6.6.4. Következmény. Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. Ha V folytonos unitér ábrázolása G-nek, akkor V ciklikussága ekvivalens a Vβ ábrázolás ciklikusságával. 157

Bizonyítás. Az előző állítás nyilvánvaló következménye, hiszen a V ábrázolási terének minden ζ elemére span ({V (s)ζ|s ∈ G}) = {V (s)ζ|s ∈ G}⊥⊥ = = {Vβ (θ)ζ|θ ∈ L1C (G, β)}⊥⊥ = span {Vβ (θ)ζ|θ ∈ L1C (G, β)} . 

6.7.

Baloldali reguláris ábrázolás és a Gelfand–Rajkov-tétel

6.7.1. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. Jelölje V a V (γG ,β,C) baloldali reguláris ábrázolást. a) Minden ϕ, ψ ∈ K (G; C) esetén Vβ (ϕ)(ψ) = ϕ ∗ ψ. β

b) Minden G feletti θ komplex Radon-mértékre és ψ ∈ K (G; C) függvényre legyen θ ∗ ψ : G → C;

t 7→

Z

ψ(s−1 t) dθ(s).

G

Ekkor minden G feletti θ komplex Radon-mértékre és ψ ∈ K (G; C) függvényre θ ∗ ψ : G → C folytonos függvény, és ha θ ∈ L(G), akkor minden ψ ′ ∈ K (G; C) esetén ′

(Vβ (θ)(ψ)|ψ )β =

Z

(θ ∗ ψ).ψ ′ dβ

G

teljesül, ahol (·|·)β jelöli az L2C (G, β) Hilbert-tér skalárszorzását. Bizonyítás. a) Legyenek ϕ, ψ ∈ K (G; C). Ha ψ ′ ∈ K (G; C), akkor ′

(Vβ (ϕ)(ψ)|ψ )β :=

Z

ϕ(s)(V (s)(ψ)|ψ ′ )β dβ(s) :=

G

:=

Z

ϕ(s)

Z

Z

G

ψ(s−1 t)ψ ′ (t) dβ(t)

dβ(s) =

Z

ϕ(s)ψ(s−1 t)ψ ′ (t) d(β ⊗ β)(s, t) =

G×G

G

G

=

Z

−1

ϕ(s)ψ(s t) dβ(s)

ψ ′ (t)

dβ(t) =:

Z

G

G

158

(ϕ ∗ ψ)(t)ψ ′ (t) dβ(t) = (ϕ ∗ ψ|ψ ′ )β , β

β

ahol felhasználtuk az elemi Lebesgue–Fubini-tételt a β ⊗ β szorzatmértékre és a G × G → C;

(s, t) 7→ ϕ(s)ψ(s−1 t)ψ ′ (t)

kompakt tartójú folytonos függvényre. Ebből következik a Vβ (ϕ)(ψ) = ϕ ∗ ψ β

egyenlőség. b) A paraméteres integrálok folytonossági tétele alapján minden G feletti θ komplex Radon-mértékre és ψ ∈ K (G; C) függvényre a θ∗ψ : G → C függvény folytonos. Tegyük fel, hogy θ ∈ L(G) és ψ, ψ ′ ∈ K (G; C). Vegyünk olyan (ϕn )n∈N sorozatot K (G; C)-ben, amelyre lim kϕn .β − θk = 0. Az a) kijelentést alkalmazva kapjuk, hogy minden n ∈ N n→∞ esetén ′

(Vβ (ϕn )(ψ)|ψ )β − Z

= Z

Z

G

=

Z

G

Z

G

G

Z

Z

G

Z

G

Z

G

Z

dβ = (ϕn ∗ ψ|ψ )β − β

Z

ψ(s−1 t) dθ(s)

Z

ψ ′ (t) dβ(t) =

Z

G×G

ψ(s−1 t)ψ ′ (t) dβ(t)

ψ(s−1 t)ψ ′ (s(s−1 t)) dβ(t)

ψ(t)ψ ′ (st) dβ(t) Z

G

d(ϕn .β − θ)(s) = ψ(t)

Z

G

ψ ′ (t) dβ(t) =

ψ(s−1 t)ψ ′ (t)d((ϕn .β −θ) ⊗ β)(s, t) = d(ϕn .β − θ)(s) =

G

=

G

(θ ∗ ψ).ψ ′ dβ =

G

G

G

Z

β

ψ(s−1 t)d(ϕn .β − θ)(s)

=

′

ϕn (s)ψ(s−1 t) dβ(s) −

=

=

G

(θ ∗

ψ).ψ ′

(ϕn ∗ ψ)(t) − (θ ∗ ψ)(t) ψ ′ (t) dβ(t) =

G

=

Z

Z

G×G

d(ϕn .β − θ)(s) = ψ(t)ψ ′ (st) d((ϕn .β − θ) ⊗ β)(s, t) =

ψ ′ (st) d(ϕn .β − θ)(s)

dβ(t),

ahol felhasználtuk a β balinvarianciáját, és két esetben alkalmaztuk az elemi LebesgueFubini-tételt: mindkétszer a (ϕn .β − θ) ⊗ β szorzatmértékre, és az első esetben a G × G → C;

(s, t) 7→ ψ(s−1 t)ψ ′ (t), 159

míg a második esetben a G × G → C;

(s, t) 7→ ψ(t)ψ ′ (st)

kompakt tartójú folytonos függvényre. Ugyanakkor a mértéknorma definíciója alapján minden n ∈ N esetén Z G

ψ(t)

Z

ψ ′ (st)

G

≤

Z

G

Z dβ(t) ≤ G

d(ϕn .β − θ)(s)

|ψ(t)|

Z

G

|ψ ′ (st)| d|ϕn .β − θ|(s)

dβ(t)≤

|ψ(t)| 9 ψ ′ 9 kϕn .β − θk dβ(t) = kψkβ,1 9 ψ ′ 9 kϕn .β − θk.

Ebből következik, hogy lim (Vβ (ϕn )(ψ)|ψ ′ )β = n→∞

Z

G

(θ ∗ ψ).ψ ′ dβ.

Világos, hogy az θ′ 7→ (Vβ (θ′ )(ψ)|ψ ′ )β

L(G) → C;

leképezés mértéknormában folytonos, és a feltevés alapján a (ϕn )n∈N sorozat θ-hoz konvergál L(G)-ben, ezért lim (Vβ (ϕn )(ψ)|ψ ′)β = (Vβ (θ)(ψ)|ψ ′ )β ,

n→∞

amivel a b) állítást is igazoltuk.  6.7.2. Következmény. Ha G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor az L1C (G, β) Banach-*-algebrának létezik hű ábrázolása. Bizonyítás. Jelölje V a V (γG ,β,C) baloldali reguláris ábrázolást; megmutatjuk, hogy a Vβ : L1C (G, β) → L (L2C (G, β)) leképezés injektív. Legyen θ ∈ L(G) olyan, hogy Vβ (θ) = 0. Az előző állítás b) pontja szerint minden ψ, ψ ′ ∈ K (G; C) esetén ((θ ∗ ψ).β)(ψ ′) =

Z

G

(θ ∗ ψ).ψ ′ dβ = (Vβ (θ)(ψ)|ψ ′ )β = 0.

Ebből látható, hogy minden ψ ∈ K (G; C) esetén (θ ∗ ψ).β = 0. Ebből következik, hogy minden ψ ∈ K (G; C) függvényre θ ∗ ψ = 0, hiszen β tartója egyenlő G-vel. Tehát, ha ψ ∈ K (G; C), akkor 0 = (θ ∗ ψ)(eG ) :=

Z

ψ(s−1 ) dθ(s) = (iG (θ))(ψ),

G

amiből iG (θ) = 0 adódik, így θ = iG (iG (θ)) = 0.  Nem minden approximatív egységes Banach-*-algebrának létezik hű ábrázolása, ezért az előző állítás a mértékalgebrák egy nemtriviális tulajdonságát fogalmazza meg. 160

6.7.3. Tétel. (Gelfand–Rajkov-tétel) Ha G lokálisan kompakt csoport, akkor minden s, t ∈ G pontra, s 6= t esetén létezik G-nek olyan irreducibilis folytonos unitér ábrázolása, amelyre V (s) 6= V (t).

Bizonyítás. Legyen s ∈ G olyan elem, hogy s 6= eG . A G-nek olyan V irreducibilis folytonos unitér ábrázolását keressük, amelyre V (s) 6= V (eG ) = idH , ahol H a V ábrázolás tere. Rögzítünk egy β baloldali Haar-mértéket G felett.

A K (G; C) függvénytér szétválasztó G felett, ezért vehetünk olyan ϕ ∈ K (G; C) függvényt, amelyre ϕ(s) 6= ϕ(eG ). Ekkor ϕ◦γG (s−1 ) 6= ϕ, és láttuk, hogy az L1C (G, β) Banach*-algebrának létezik hű ábrázolása. Ezért az absztrakt Gelfand–Rajkov-tétel alapján létezik L1C (G, β)-nek olyan π irreducibilis ábrázolása, amelyre π(ϕ◦γG (s−1 )) 6= π(ϕ). A π ábrázolás nemelfajult, ezért a harmonikus analízis alaptétele alapján egyértelműen létezik G-nek olyan V folytonos unitér ábrázolása, amelyre π = Vβ . Az összekötő operátorok tétele alapján, a π irreducibilitása miatt V is irreducibilis. Továbbá V (s) ◦ π(ϕ) = V (s) ◦ Vβ (ϕ) = Vβ (ϕ ◦ γG (s−1 )) = π(ϕ ◦ γG (s−1 )) 6= π(ϕ),

amiből látható, hogy V (s) 6= idH . 

6.7.4. Következmény. Ha G lokálisan kompakt csoport, akkor G szétválasztó G felett. Bizonyítás. Ha s, t ∈ G és s 6= t, akkor a Gelfand–Rajkov-tétel alapján létezik G-nek olyan V irreducibilis folytonos unitér ábrázolása, amelyre V (s) 6= V (t); ekkor van olyan V ′ ∈ G, amely V -vel unitér ekvivalens, ezért V ′ (s) 6= V ′ (t).  A Gelfand–Rajkov-tétel a harmonikus analízis egyik legfontosabb eredménye. Elvi szempontból azért fontos, mert megmutatja, hogy lokálisan kompakt csoportnak érdemes keresni irreducibilis folytonos unitér ábrázolásait, hiszen bizonyos, hogy létezik ezeknek olyan halmaza, amely szétválasztó a csoport felett. Ugyanakkor látni fogjuk (például a kompakt csoportok folytonos unitér ábrázolásainak elméletében), hogy a Gelfand– Rajkov-tételnek fontos közvetlen, gyakorlati alkalmazásai is vannak.

6.8.

Unitér ábrázolások Hilbert-integrálja – Choquet-tétel

A Gelfand–Rajkov-tétel érvényessége azon múlik, hogy lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája olyan Banach-*-algebra, amelynek létezik hű ábrázolása. Ezért alkalmazhattuk az absztrakt Gelfand–Rajkov-tételt, a harmonikus analízis alaptételével kombinálva. Most az absztrakt Choquet-tétel harmonikus analízis alaptételével való kombinálásával bebizonyítjuk a harmonikus analízis Choquet-tételét, amely szerint megszámlálható bázisú lokálisan kompakt csoport ciklikus folytonos unitér ábrázolása felbontható 161

irreducibilis folytonos unitér ábrázolások (alkalmasan értelmezett) Hilbert-integráljára. Ehhez természetesen szükség lesz az unitér ábrázolások Hilbert-integráljának pontos definíciójára. Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. Ekkor L1C (G, β) *-algebra, így képezhető a K(L1C (G, β)) halmaz, tehát azon f : L1C (G, β) → C pozitív funkcionálok halmaza, amelyek a k · kf félnorma szerint folytonosak és eleget tesznek az kf k∗ ≤ 1 feltételnek ([19, 20.6.1.]) és ([19, 20.6.3.]). A jelölések egyszerűsítése céljából megállapodunk abban, hogy a továbbiakban a K(L1C (G, β)) halmazt a rövidebb K(G, β) szimbólummal jelöljük. Tudjuk, hogy K(G, β) kompakt konvex halmaz L1C (G, β)′-ben a σ(L1C (G, β)′ , L1C (G, β)) topológia szerint ([19, 21.2.5.]). Továbbá, az L1C (G, β) Banach-*-algebrának létezik olyan approximatív egysége, amely az egységgömbben halad, ezért K(G, β) megegyezik azon L1C (G, β) feletti folytonos pozitív funkcionálok halmazával, amelyek funkcionálnormája kisebb-egyenlő 1-nél ([19, 21.2.4.]). Minden f ∈ K(G, β) esetén a GNS-konstrukcióval előállítható egy Hf Hilbert-tér, egy ζf ∈ Hf vektor és egy πf : L1C (G, β) → L (Hf ) ábrázolás, amelynek ζf ciklikus vektora, és minden θ ∈ L1C (G, β) esetén f (θ) = (πf (θ)ζf |ζf )Hf teljesül, ahol (·|·)Hf a Hf Hilbert-tér skalárszorzása ([19, 21.1.3.]). Minden K(G, β) ∋ f -re πf ciklikus, tehát nemelfajult ábrázolása az L1C (G, β) mértékalgebrának, így a harmonikus analízis alaptétele szerint egyértelműen létezik olyan Vf ciklikus folytonos unitér ábrázolása G-nek a Hf Hilbert-térben, hogy minden ϕ ∈ K (G; C) esetén f (ϕ) = (πf (ϕ)ζf |ζf )Hf =

Z

G

(Vf (s)ζf |ζf )Hf ϕ(s) dβ(s).

Természetesen itt szó sincs "valódi" integrálról, mert f ∈K(G, β) és ϕ∈K (G; C) esetén a G → C; s 7→ (Vf (s)ζf |ζf )Hf ϕ(s) függvény folytonos és kompakt tartójú. Ezzel előállítottuk a G ciklikus folytonos unitér ábrázolásainak egy teljesen konkrét (Vf )f ∈K(G,β) rendszerét. Legyen most µ valószínűségi Radon-mérték a σ(L1C (G, β)′, L1C (G, β)) topológiával ellátott K(G, β) kompakt tér felett. A [19, 21.7.2]-ben értelmeztük a Z

πf dµ(f )

K(G,β)

Hilbert-integrált. Láttuk, hogy ez az L1C (G, β) Banach-*-algebrának olyan ábrázolása, amely unitér ekvivalens a πb(µ) ábrázolással, ahol b(µ) jelöli a µ baricentrumát a K(G, β) kompakt konvex halmazban ([19, 21.7.3]). Ebből látható, hogy ez a Hilbert-integrál ciklikus, így nemelfajult ábrázolása L1C (G, β)-nak. Ezért a harmonikus analízis alaptétele szerint értelmes a következő definíció. 6.8.1. Definíció. Legyen G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és µ valószínűségi Radon-mérték a σ(L1C (G, β)′, L1C (G, β)) topológiával ellátott K(G, β) 162

kompakt tér felett. Ekkor

Z

Vf dµ(f ),

K(G,β)

vagy Vµ jelöli aZG-nek azt a folytonos unitér ábrázolását, amely az L1C (G, β) Banach-*algebrának a πf dµ(f ) ábrázolását generálja. Ezt a folytonos unitér ábrázolást a K(G,β)

(Vf )f ∈K(G,β) unitér ábrázolás-rendszer µ szerinti Hilbert-integráljának nevezzük. Látható, hogy az imént értelmezett

Z

Vf dµ(f ) folytonos unitér ábrázolás

K(G,β)

szükségképpen ciklikus. A következő állítás részletes leírást ad ezekre az implicit módon értelmezett folytonos unitér ábrázolásokról. 6.8.2. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és µ valószínűségi Radon-mérték a σ(L1C (G, β)′, L1C (G, β)) topológiával ellátott K(G, β) kompakt tér felett. Minden θ ∈ L1C (G, β) esetén legyen vθ := (πf (θ)ζf )f ∈K(G,β) ∈

Y

Hf ,

f ∈K(G,β)

továbbá értelmezzük a halmazt.

H (G, β) := {vθ | θ ∈ L1C (G, β)}

a) H (G, β) lineáris altere a

Y

f ∈K(G,β)

Hf lineáris szorzattérnek, és minden x, y ∈

H (G, β) esetén a K(G, β) → C; f 7→ (x(f )|y(f ))Hf leképezés folytonos, ahol minden K(G, β) ∋ f -re (·|·)Hf a Hf Hilbert-tér skalárszorzása. Továbbá, minden θ ∈ L1C (G, β) és x ∈ H (G, β) esetén (πf (θ)(x(f )))f ∈K(G,β) ∈ H (G, β). b) Értelmezzük a következő leképezést:

k · kµ : H (G, β) → R+ ;

x 7→

Z

K(G,β)

kx(f )k2Hf dµ(f ),

ahol minden K(G, β) ∋ f -re k · kHf a Hf Hilbert-tér normája. Ez Hilbert-félnorma a H (G, β) komplex vektortér felett. Jelölje Hµ a H (G, β)/Ker(k · kµ ) prehilbert-tér teljes burkát, és minden H (G, β) ∋ x-re legyen x q az x ekvivalenciaosztálya a H (G, β)/Ker(k · kµ ) faktortérben. 163

c) A {vϕq |ϕ ∈ K (G; C)} halmaz sűrű lineáris altér a Hµ Hilbert-térben. d) A Vµ :=

Z

K(G,β)

Vf dµ(f ) unitér ábrázolás tere egyenlő Hµ -vel, és minden x, y ∈ {vϕ |ϕ ∈

K (G; C)} esetén a K(G, β) × G → C;

(f, s) 7→ (Vf (s)x(f )|y(f ))Hf

függvény folytonos a szorzattopológia szerint, és minden G ∋ s-re (Vµ (s)x |y )µ = q

q

Z

(Vf (s)x(f )|y(f ))Hf dµ(f )

K(G,β)

teljesül, ahol (·|·)µ a Hµ Hilbert-tér skalárszorzása. Bizonyítás. Az a) és b) pontokban található állítások következnek a [19, 21.7.1.] a), b) és c) pontjaiban megfogalmazott kijelentésekből. A [19, 21.7.1.] d) pontjából adódik, hogy az L1C (G, β) → Hµ ; θ 7→ vθq leképezés folytonos lineáris operátor az L1C (G, β) Banach-*-algebra normája és a Hµ Hilbert-tér normája szerint. Ebből következik, hogy ha H ⊆ L1C (G, β) olyan halmaz, amely a k · kβ,1 norma szerint sűrű, akkor a {vθq |θ ∈ H} halmaz sűrű a Hµ Hilbert-térben. A mértékalgebra definíciója alapján K (G; C) sűrű L1C (G, β)-ban a k · kβ,1 norma szerint, ezért c) is igaz.

A d) bizonyításához rögzítsük a ϕ1 , ϕ2 ∈ K (G; C) függvényeket. Először azt mutatjuk meg, hogy a Φ : K(G, β) × G → C;

(f, s) 7→ (Vf (s)vϕ1 (f )|vϕ2 (f ))Hf

függvény a szorzattopológia szerint folytonos. Ha (f, s) ∈ K(G, β) × G, akkor minden G ∋ s-re Vf (s)vϕ1 (f ) := Vf (s)πf (ϕ1 )ζf = πf (ϕ1 ◦ γG (s−1 ))ζf , továbbá vϕ2 (f ) := πf (ϕ2 )ζf , amiből következik, hogy

Φ(f, s) = (πf (ϕ1 ◦ γG (s−1 ))ζf |πf (ϕ2 )ζf )Hf = = (πf (ϕ∗2 ∗ ϕ1 ◦ γG (s−1 ) )ζf |ζf )Hf = f ϕ∗2 ∗ ϕ1 ◦ γG (s−1 ) β

β

.

Ebből kapjuk, hogy ha (f0 , s0 ) ∈ K(G, β) × G, akkor minden K(G, β) × G ∋ (f, s)-re |Φ(f, s) − Φ(f0 , s0 )|≤ f + f

ϕ∗2

∗ ϕ1 ◦ β

ϕ∗2

−1

∗ ϕ1 ◦ γG (s )

−f

β

γG (s−1 0 )

− f0 164

ϕ∗2

ϕ∗2

∗ ϕ1 ◦ β

∗ ϕ1 ◦ β

γG (s−1 0 )

γG (s−1 0 )

≤

+

≤ + f

∗

kf k ϕ2 ∗ β

ϕ∗2

+ f

−1

ϕ1 ◦ γG (s ) −

∗ ϕ1 ◦ β

γG (s−1 0 )

ϕ∗2

∗ ϕ1 ◦ β

ϕ∗2

− f0

γG (s−1 0 )

∗ ϕ1 ◦ β

β,1

γG (s−1 0 )

≤ kϕ2 kβ,1

ϕ1 ◦ γG (s−1 ) − ϕ1 ◦ γG (s−1 0 )

β,1

ϕ∗2 ∗ ϕ1 ◦ γG (s−1 0 )



+

− f0 ϕ∗2 ∗ ϕ1 ◦ γG (s−1 0 )

β

β

+

≤ ,

ugyanis f ∈ K(G, β) miatt kf k ≤ 1. Korábban láttuk, hogy ϕ ∈ K (G; C) esetén a G → K (G; C); s 7→ ϕ ◦ γG (s−1 ) függvény folytonos a G topológiája és a K (G; C) feletti k · kβ,1 által meghatározott topológia szerint (6.4.3.). Nyilvánvaló továbbá, hogy a K(G, β) → C;

f 7→ f ϕ∗2 ∗ ϕ1 ◦ γG (s−1 0 ) β

függvény folytonos a σ(L1C (G, β)′, L1C (G, β)) topológia K(G, β)-ra vett leszűkítése szerint. Ebből, és az imént bizonyított egyenlőtlenségekből azonnal következik, hogy a Φ : K(G, β) × G → C függvény folytonos a σ(L1C (G, β)′, L1C (G, β))|K(G, β) és TG topológiák szorzata szerint, ahol TG a G topológiája. Tekintsük most a πµ :=

Z

πf dµ(f ) és Vµ :=

K(G,β)

Z

Vf dµ(f ) Hilbert-integrálokat. Ha

K(G,β)

ϕ ∈ K (G; C), akkor a definíciók alapján Z

G

=

Z

(Vµ (s)vϕq 1 |vϕq 2 )µ ϕ(s) dβ(s) = (πµ (ϕ)vϕq 1 |vϕq 2 )µ =

(πf (ϕ)vϕ1 (f )|vϕ2 (f ))Hf dµ(f ) =

K(G,β)

Z

((Vf )β (ϕ)vϕ1 (f )|vϕ2 (f ))Hf dµ(f ) =

K(G,β)

=

Z

K(G,β)

=

Z

G

Z

(Vf (s)vϕ1 (f )|vϕ2 (f ))Hf ϕ(s) dβ(s)

dµ(f ) =

G

Z

(Vf (s)vϕ1 (f )|vϕ2 (f ))Hf dµ(f )

ϕ(s) dβ(s),

K(G,β)

ahol az utolsó egyenlőségnél az elemi Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a K(G, β) × G → C;

(f, s) 7→ (Vf (s)vϕ1 (f )|vϕ2 (f ))Hf ϕ(s)

165

kompakt tartójú folytonos függvényre és a µ ⊗ β szorzatmértékre. Ugyancsak az elemi Lebesgue–Fubini-tételből következik, hogy minden K (G; C) ∋ ϕ-re a G → C;

s 7→

Z

(Vf (s)vϕ1 (f )|vϕ2 (f ))Hf dµ(f )

ϕ(s)

K(G,β)

leképezés folytonos, ezért a folytonosság lokalitása miatt a G → C;

s 7→

Z

(Vf (s)vϕ1 (f )|vϕ2 (f ))Hf dµ(f )

K(G,β)

függvény is folytonos, hiszen minden s ∈ G esetén van olyan ϕ ∈ K (G; C), hogy ϕ = 1 az s pont valamely környezetén. Továbbá fennáll a (Vµ (·)vϕ1 |vϕ2 )µ .β = q

Z

q

(Vf (·)vϕ1 (f )|vϕ2 (f ))Hf dµ(f )

.β

K(G,β)

mérték-egyenlőség, ezért minden s ∈ G esetén (Vµ (s)vϕq 1 |vϕq 2 )µ =

Z

(Vf (s)vϕ1 (f )|vϕ2 (f ))Hf dµ(f ). 

K(G,β)

6.8.3. Állítás. Ha G megszámlálható bázisú lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor az L1C (G, β) Banach-*-algebra szeparábilis. Bizonyítás. A mértékalgebra definíciója alapján a K (G; C) altér sűrű L1C (G, β)-ban k · kβ,1 szerint, ezért elég azt igazolni a K (G; C) függvénytér a k · kβ,1 norma szerint szeparábilis. Azt tudjuk, hogy a G → C folytonos függvények tere felett a kompakt konvergencia topológiája metrizálható és szeparábilis (3.3.3.), ezért a K (G; C) függvénytér felett a kompakt konvergencia topológiája szintén metrizálható és szeparábilis. Legyen Φ ⊆ K (G; C) olyan megszámlálható halmaz, amely sűrű K (G; C)-ben a kompakt konvergencia topológiája szerint. A G lokálisan kompakt tér σ-kompakt is, így vehetjük a G kompakt S részhalmazainak olyan (Kn )n∈N sorozatát, amelyre G = Kn és minden N ∋ n-re n∈N

Kn ⊆ Int(Kn+1 ) ([19, 27.12.2.]). A lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tétel alkalmazásával kiválasztható olyan (ψn )n∈N függvénysorozat, amelyre minden n ∈ N esetén ψn ∈ K (G; R), 0 ≤ ψn ≤ 1, supp(ψn ) ⊆ Int(Kn+1 ) és Kn ⊆ [ψn = 1]. Értelmezzük S a Φ := {ψn ϕ|ϕ ∈ Φ} függvényhalmazt, és megmutatjuk, hogy a Φ megszámlálható n∈N

halmaz sűrű K (G; C)-ben a k · kβ,1 szerint.

166

Legyen ϕ ∈ K (G; C) és vegyünk olyan (ϕn )n∈N sorozatot Φ-ből, amely a G minden kompakt részhalmazán egyenletesen konvergál ϕ-hez. Legyen n ∈ N olyan, hogy supp(ϕ) ⊆ Int(Kn ). Ekkor ψn ϕ = ϕ, tehát a (ψn ϕm )m∈N függvénysorozat egyenletesen konvergál ϕ-hez a G halmazon. Ugyanakkor minden m ∈ N esetén supp(ψn ϕm ) ⊆ supp(ψn ) és supp(ψn ) kompakt halmaz G-ben. Ezért a Radon-mértékek sorozatfolytonosságának tétele alapján (4.1.4.) a Φ-ban haladó (ψn ϕm )m∈N függvénysorozat konvergál ϕ-hez a k · kβ,1 norma szerint.  6.8.4. Tétel. (Choquet-tétel) Legyen G megszámlálható bázisú lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és V ciklikus folytonos unitér ábrázolása Gnek. Ekkor a K(G, β) kompakt konvex halmaz felett létezik olyan µ valószínűségi Radonmérték, amely az Ext(K(G, β)) halmazon koncentrált, és amelyre V unitér ekvivalens a Z Vf dµ(f ) Hilbert-integrállal.

K(G,β)

Bizonyítás. A V ciklikussága folytán Vβ ciklikus ábrázolása az L1C (G, β) Banach-*algebrának. Ugyanakkor G megszámlálható bázisú, ezért az előző állításból következik, hogy L1C (G, β) szeparábilis, így K(G, β) metrizálható kompakt konvex halmaz L1C (G, β)′ ben a σ(L1C (G, β)′, L1C (G, β)) topológia szerint. Tehát a metrizálható kompakt konvex halmazokra vonatkozó Choquet-tétel szerint ([19, 11.2.8.]) létezik olyan µ valószínűségi Radon-mérték K(G, β) felett, Z amely az Ext(K(G, β)) halmazon koncentrált, Z és amelyre Vβ unitér ekvivalens az

πf dµ(f ) Hilbert-integrállal.

K(G,β)

Z

Hilbert-integrál értelmezése alapján V és

Ekkor a

Vf dµ(f )

K(G,β)

Vf dµ(f ) unitér ekvivalens unitér

K(G,β)

ábrázolások.  Tehát az előző tétel feltételei mellett az

Z

Vf dµ(f ) szimbólum helyett (kissé

K(G,β)

pontatlanul ugyan, de szemléletesen) az Z

Vf dµ(f )

Ext(K(G,β))

szimbólumot is írhatjuk, hiszen µ az Ext(K(G, β)) halmazon koncentrált, vagyis a K(G, β) \ Ext(K(G, β)) halmaz µ-nullahalmaz. Ha f ∈ Ext(K(G, β)) és f 6= 0, akkor πf , és vele együtt Vf is irreducibilis ([19, 21.5.2.]). Ez azt jelenti, hogy a V ciklikus folytonos unitér ábrázolást irreducibilis folytonos unitér ábrázolások Hilbert-integráljaként állítottuk elő.

167

6.9.

A mértékalgebra integrál-realizációja*

Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. Eddig az L1C (G, β) mértékalgebrát abban az értelemben "absztrakt módon" értelmeztük és kezeltük, hogy a Kβ (G, C) normált *-algebra teljes burkának tekintettük. Ebben a pontban magadjuk az L1C (G, β) mértékalgebra egy realizációját, éppen az integrálelméletben értelmezett L1C (G, β) Banach-tér segítségével. (Innen származik a mértékalgebra szokásos jelölése.) Ez lesz a mértékalgebra integrál-realizációja, amit majd felhasználunk a Pontrjagin-féle dualitás-tétel bizonyításában. Először a folytonos kompakt tartójú függvények konvolúcióját értelmező formulát terjesztjük ki integrálható függvényekre. 6.9.1. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett és f, g ∈ LC1 (G, β).

a) Minden s ∈ G esetén a

hs : G → C;

t 7→ f (t)g(t−1 s)

függvény pontosan akkor β-integrálható, ha a h′s : G → C;

t 7→ f (st−1 )g(t)∆G (t)−1

függvény akkor β-integrálható, továbbá, ha hs ∈ LC1 (G, β), akkor Z

hs dβ =

Z

h′s dβ.

b) β-majdnem minden s ∈ G esetén a t 7→ f (t)g(t−1s)

G → C; függvény β-integrálható, és az  Z   

s 7→   

G

f ∗ g : G → C; β

f (t)g(t−1 s) dβ(t), ha (t 7→ f (t)g(t−1 s)) ∈ LC1 (G, β); , egyébként

0

függvény β-integrálható. c) Ha f, g ∈ LC1 (G, β), akkor kf ∗ gkβ,1 ≤ kf kβ,1kgkβ,1. β

168

Bizonyítás. a) A hs és h′s függvények definíciójából nyilvánvalóan következik, hogy hs ◦ γG (s) = (∆G h′s ) ◦ iG . Ezért a β Radon-mérték balinvarianciája, valamint iG (β) = ∆−1 β (5.3.3.) alkalmazásával kapjuk, hogy G (∗)

hs ∈ LC1 (G, β) ⇔ hs ∈ LC1 (G, γG (s)(β)) ⇔ hs ◦ γG (s) ∈ LC1 (G, β) ⇔ (∗)

⇔ (∆G h′s ) ◦ iG ∈ LC1 (G, β) ⇔ h′s ∈ LC1 (G, ∆G .iG (β)) ⇔ h′s ∈ LC1 (G, β). (∗)

ahol a ⇔ ekvivalenciáknál a helyettesítéses integrálás tételére (14.3.4.) hivatkozhatunk. Továbbá, ha s ∈ G olyan, hogy hs ∈ LC1 (G, β), akkor (hs ◦ γG (s) ◦ iG ) ∆−1 = h′s és ismét G 14.3.4. alapján Z

h′s

dβ =

Z

−1

(hs ◦ γG (s) ◦ iG ) ∆G dβ =

Z

−1

hs d γG (s) iG (∆G .β)

=

Z

hs dβ,

hiszen γG (s) iG (∆−1 .β) = β. G b) Vezessük be a π : G × G → G × G;

(t, s) 7→ (t, t−1 s)

leképezést. Könnyen látható, hogy ez bijekció, és π −1 : G × G → G × G;

(t, s) 7→ (t, ts).

A π függvény a szorzattopológiák szerint folytonos, mert pr1 ◦ π = pr1 és pr2 ◦ π = pG ◦ (iG × idG ) folytonos G × G → G függvények. A π −1 függvény is folytonos a szorzattopológiák szerint, mert pr1 ◦ π −1 = pr1 és pr2 ◦ π −1 = pG folytonos G × G → G függvények. Ez azt jelenti, hogy π homeomorfizmus. Megmutatjuk, hogy π(β ⊗ β) = β ⊗ β. Ehhez legyenek ϕ, ψ ∈ K (G; C) tetszőlegesek. Ekkor az elemi Lebesgue–Fubini-tétel és a β balinvarianciája alapján: π(β ⊗ β)(ϕ ⊗ ψ) := (β ⊗ β)((ϕ ⊗ ψ) ◦ π) = (1)

=

Z

G

ϕ(t)

Z

ψ(t−1 s) dβ(s)

(2)

dβ(t) =

G

Z

G

Z

G×G

ϕ(t)

(1)

ϕ(t)ψ(t−1 s) d(β ⊗ β)(t, s) = Z

ψ(s) dβ(s)

dβ(t) =

G

= β(ϕ)β(ψ) = (β ⊗ β)(ϕ ⊗ ψ),

ahol (1)

– az = egyenlőségnél az elemi Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a β ⊗ β szorzatmértékre, valamint a G × G; (t, s) 7→ ϕ(t)ψ(t−1 s) függvényre, és (2)

– a = egyenlőségnél felhasználtuk β balinvarinciáját. Ebből következik, hogy π(β ⊗ β) = 169

β ⊗ β (4.6.1.).

Legyenek f, g ∈ LC1 (G, β). A 14.3.7. szerint f ⊗ g ∈ LC1 (G × G, β ⊗ β) = LC1 (G × G, π(β ⊗ β)), így a helyettesítéses integrálás tételének (14.3.6.) alkalmazásával kapjuk, hogy (f ⊗ g) ◦ π ∈ LC1 (G × G, β ⊗ β), és fennáll az Z

G×G

(f ⊗ g) d(β ⊗ β) =

Z

((f ⊗ g) ◦ π) d(β ⊗ β)

G×G

egyenlőség. Most a (nem elemi) Lebesgue–Fubini-tételt alkalmazzuk a β ⊗ β szorzatmértékre és az (f ⊗ g) ◦ π : G × G → C függvényre, amely β ⊗ β-integrálható. Azt kapjuk, hogy β-majdnem minden s ∈ G esetén az ((f ⊗ g) ◦ π) (·, s) : G → C függvény β-integrálható, és a G → C; Z   

ha ((f ⊗ g) ◦ π) (·, s) ∈ LC1 (G, β);

((f ⊗ g) ◦ π) (t, s) dβ(t),

s 7→  G  

0

,

egyébként

függvény β-integrálható. Nyilvánvaló, hogy (t, s) ∈ G × G esetén ((f ⊗ g) ◦ π) (t, s) = f (t)g(t−1 s), tehát az a) állítást igazoltuk. c) Minden f, g ∈ LC1 (G, β) esetén kf ∗ gkβ,1 := β

(1)

≤

Z

∗

G×G (3)

≤

Z

G

∗

|f ∗ g| dβ ≤ β

Z

∗

Z

∗

G

G

(2)

|f (t)||g(t−1s|d(β ⊗ β)(t, s) = Z

G×G

∗

(5)

=

Z

G

∗

|f | dβ

Z

G

∗

Z

Z

G×G

|g| dβ

ahol (1)

– az ≤ egyenlőtlenségnél 12.3.2.-re hivatkoztunk, 170

∗

G×G

(4)

(|f | ⊗ |g|)d(π(β ⊗ β)) =

|f (t)||g(t−1s| dβ(t)

∗

(1)

dβ(s) ≤

(3)

((|f | ⊗ |g|) ◦ π) d(β ⊗ β) ≤ (5)

(|f | ⊗ |g|)d(β ⊗ β)) =

=: kf kβ,1 kgkβ,1,

(2)

– a = egyenlőségnél a π definícióját alkalmaztuk, (3)

– a ≤ egyenlőtlenségnél felhasználtuk 12.3.1.-t, (4)

– a = egyenlőségnél a π(β ⊗ β) = β ⊗ β összefüggést alkalmaztuk, (5)

– a = egyenlőségnél hivatkozunk 12.3.3.-ra.  6.9.2. Definíció. Ha G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett és f, g ∈ LC1 (G, β), akkor az előző állításban értelmezett f ∗ g ∈ LC1 (G, β) függvényt az f β

és g β-integrálható függvények β szerinti konvolúciójának nevezzük.

Megjegyezzük, hogy ez a jelölés és elnevezés nem okozhat félreértést, mert ha f, g ∈ K (G; C), akkor az előző állítás a) pontjában értelmezett f ∗ g függvény megegyezik az β

f és g függvények korábban értelmezett β szerinti konvolúciójával (6.1.1.). Azonban, β-integrálható függvények konvolúciójával a következő problémák lehetnek:

– létezhetnek olyan s ∈ G pontok, amelyekre a G → C; t 7→ f (t)g(t−1 s) függvény nem Z

β-integrálható, ezért (f ∗ g)(s) := 0, és az

f (t)g(t−1 s) dβ(t) integrál értelmetlen;

β

G

– az f ∗ g : G → C függvény nem szükségképpen folytonos; β

– az f ∗ g : G → C függvény nem szükségképpen kompakt tartójú. β

Említésre érdemes még az, hogy ha f, g ∈ LC1 (G, β), akkor minden s ∈ G esetén, ha a G → C; t 7→ f (st−1 )g(t)∆G (t)−1 függvény β-integrálható, akkor (és csak akkor) (f ∗ g)(s) = β

Z

−1

f (t)g(t s) dβ(t) =

Z

f (st−1 )g(t)∆G (t)−1 dβ(t),

mivel az előző állítás a) pontja szerint ekkor (és csak ekkor) a G → C; t 7→ f (t)g(t−1s) függvény is β-integrálható és ezeknek a függvényeknek a β-szerinti integráljai egyenlőek. 6.9.3. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett és f, g ∈ LC1 (G, β). Ha g ∈ K (G; C), akkor f ∗ g ∈ K (G; C) és minden s ∈ G esetén β

(f ∗ g)(s) = β

Z

f (t)g(t−1s) dβ(t),

G

valamint 9f ∗ g9 ≤ kf kβ,1 9 g 9 . β

Bizonyítás. Ha s ∈ G, akkor minden t ∈ G estén f (t)g(t−1 s) = f (t)(g ◦ iG ◦ γG (s−1 ))(t), 171

tehát a G → C; t 7→ f (t)g(t−1 s) függvény β-integrálható, mivel egyenlő az f β-integrálható és a g ◦ iG ◦ γG (s−1 ) korlátos folytonos függvény szorzatával (13.1.3.). Ezért minden s ∈ G esetén Z (f ∗ g)(s) = f (t)g(t−1s) dβ(t). β

G

Ebből azonnal látszik, hogy



Z

9f ∗ g9 := sup (f ∗ g)(s) ≤ β

s∈G

β

G

∗

|f | dβ

sup |g(s)| =: kf kβ,1 9 g 9 . s∈G

Legyenek (fn )n∈N olyan K (G; C)-ben haladó sorozat, amelyre lim n→∞

Z

G

∗

|fn − f | dβ = 0;

ilyen az LC1 (G, β) tér definíciója szerint létezik. Legyen továbbá (gn )n∈N olyan K (G; C)ben haladó sorozat, amelyre lim 9gn − g9 = 0; n→∞

ilyen létezik a [19, 28.2.5] szerint. Jelöljön C egy olyan pozitív számot, amelyre minden n ∈ N esetén 9gn 9 ≤ C. Tudjuk, hogy minden n ∈ N esetén fn ∗ gn ∈ K (G; C) (6.1.2.), β

és minden G ∋ s-re

(fn ∗ gn )(s) − (f ∗ g)(s) = β

= =

Z

G

Z

G

β

Z

G

fn (t)gn (t−1 s) − f (t)g(t−1 s) dβ(t) =

(fn (t) − f (t))gn (t−1 s) + f (t)(gn (t−1 s) − g(t−1 s)) dβ(t) = −1

(fn (t) − f (t))gn (t s) dβ(t) +

Z

f (t)(gn (t−1 s) − g(t−1 s)) dβ(t).

G

Ebből következik, hogy n ∈ N és s ∈ G esetén

≤

Z

G

∗

(fn ∗ gn )(s) − (f β −1

|fn (t) − f (t)||gn (t s)| dβ(t) + ≤C

Z

G

∗

Z

G

∗



∗ g)(s) ≤ β

|f (t)||gn (t−1 s) − g(t−1 s)| dβ(t) ≤

|fn − f | dβ + 9gn − g 9

172

Z

G

∗

|f | dβ.

Ez azt jelenti, hogy minden n ∈ N esetén 9fn ∗ gn − f ∗ g9 ≤ C β

β

Z

∗

G

|fn − f | dβ + 9gn − g 9

Z

∗

G

|f | dβ,

és itt az egyenlőtlenség jobb oldalán zérussorozat áll, tehát a K (G; C)-ben haladó (fn ∗ gn )n∈N sorozat egyenletesen konvergál az f ∗ g függvényhez a G halmazon. Ezért β

β

az f ∗ g : G → C függvény folytonos és végtelenben eltűnő ([19, 28.2.5]).  β

6.9.4. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. a) Ha f, g, f1, f2 ∈ LC1 (G, β) és λ ∈ C, akkor az (f1 + f2 ) ∗ g = f1 ∗ g + f2 ∗ g, β

β

β

g ∗(f1 + f2 ) = g ∗ f1 + g ∗ f2 , β

(λf ) ∗ g = λ(f ∗ g), β

β

β

f ∗(λg) = λ(f ∗ g)

β

β

β

függvény-egyenlőségek a G halmazon β-majdnem mindenütt teljesülnek. b) Ha f, f ′ , g, g ′ ∈ LC1 (G, β) és λ ∈ C, akkor kf ′ ∗ g ′ − f ∗ gkβ,1 ≤ kf ′ − f kβ,1 kg ′ − gkβ,1 + kf ′ − f kβ,1kgkβ,1 + kf kβ,1 kg ′ − gkβ,1. β

β

Bizonyítás. a) Minden f, g ∈ LC1 (G, β) esetén legyen Nf,g := {s ∈ G | (t 7→ f (t)g(t−1 )) ∈ / LC1 (G, β)}, amelyről az előző állítás szerint tudjuk, hogy β-nullahalmaz. Ezért az állítás feltételei mellett N := Nf,g ∪ Nf1 ,g ∪ Nf2 ,g ∪ Ng,f1 ∪ Ng,f2 is β-nullahalmaz. Továbbá nyilvánvaló, hogy Nf1 ,g ∪ Nf2 ,g ⊇ Nf1 +f2 ,g ,

Ng,f1 ∪ Ng,f2 ⊇ Ng,f1 +f2 .

A β-integrálható függvények konvolúciójának értelmezése és az integrál linearitása alapján triviális, hogy az a) állításban felírt összes függvény-egyenlőség egyszerre teljesül a G \ N halmazon, tehát β-majdnem mindenütt.

b) Az a) állítás alapján a G halmazon β-majdnem mindenütt:

f ′ ∗ g ′ − f ∗ g = (f ′ − f ) ∗(g ′ − g) + (f ′ − f ) ∗ g + f ∗(g ′ − g), β

β

β

β

173

β

következésképpen |f ′ ∗ g ′ − f ∗ g| ≤ |(f ′ − f ) ∗(g ′ − g)| + |(f ′ − f ) ∗ g| + |f ∗(g ′ − g)|, β

β

β

β

β

is teljesül a G halmazon β-majdnem mindenütt. Innen a felső integrál tulajdonságait és az előző állítás b) pontját alkalmazva kapjuk, hogy kf ′ ∗ g ′ − f ∗ gkβ,1 = β

≤

Z

G

∗

′

β

′

|(f − f ) ∗(g − g)| dβ + β

Z

G

∗

Z

∗

G

|f ′ ∗ g ′ − f ∗ g| dβ ≤ β

β

′

|(f − f ) ∗ g)| dβ + β

Z

∗

|f ∗(g ′ − g)| dβ = β

G

= k(f ′ − f ) ∗(g ′ − g)kβ,1 + k(f ′ − f ) ∗ gkβ,1 + kf ∗(g ′ − g)kβ,1 ≤ β

′

β

′

β

′

≤ kf − f kβ,1 kg − gkβ,1 + kf − f kβ,1kgkβ,1 + kf kβ,1 kg ′ − gkβ,1.  Vigyázzunk arra, hogy ha G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor az LC1 (G, β) × LC1 (G, β) → LC1 (G, β);

(f, g) 7→ f ∗ g β

leképezés (az általános esetben) nem bilineáris, mert az előző állítás a) pontjában felírt függvény-egyenlőségek a G halmazon csak β-majdnem mindenütt teljesülnek, de nem mindenütt. Legfeljebb azt mondhatjuk, hogy ez a leképezés β-majdnem bilineáris, amin éppen azt értjük, amit az előző állítás a) pontjában megfogalmaztunk. 6.9.5. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. Ha f, g, h ∈ LC1 (G, β), akkor (f ∗ g) ∗ h = f ∗(g ∗ h) β

β

β

β

teljesül a G halmazon β-majdnem mindenütt. Bizonyítás. Az LC1 (G, β) definíciója alapján vegyünk olyan K (G; C)-ben haladó (fn )n∈N , (gn )n∈N és (hn )n∈N sorozatokat, hogy ezek a k · kβ,1 félnorma szerint konvergálnak, rendre f -hez, g-hez és h-hoz. Az előző állítás b) pontja szerint a K (G; C)-ben haladó

(fn ∗ gn ) ∗ hn β

β

n∈N

és a K (G; C)-ben haladó

sorozat konvergál (f ∗ g) ∗ h-hoz a k · kβ,1 félnorma szerint, β

fn ∗(gn ∗ hn ) β

β

n∈N

β

sorozat konvergál f ∗(g ∗ h)-hoz a k · kβ,1 β

β

félnorma szerint. Ugyanakkor minden N ∋ n-re (fn ∗ gn ) ∗ hn = fn ∗(gn ∗ hn ), ezért

(f

β

∗ g) ∗ h − f β

β

∗(g ∗ h)

β β

β

β

= 0, β,1

vagyis (f ∗ g) ∗ h = f ∗(g ∗ h) a G halmazon β-majdnem mindenütt.  β

β

β

β

174

β

6.9.6. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. Ha f ∈ LC1 (G, β), akkor ∆−1 · (f ◦ iG ) ∈ LC1 (G, β) és k∆−1 · (f ◦ iG )kβ,1 = kf kβ,1. G G Bizonyítás. Nyilvánvalóan következik az 5.3.3. állításból és a helyettesítéses integrálás tételéből (14.3.6.).  6.9.7. Definíció. Ha G lokálisan kompakt csoport, akkor minden f : G → C függvényre f ∗ := ∆−1 · (f ◦ iG ), G és ezt a függvényt az f adjungáltjának nevezzük. 6.9.8. Tétel. Legyen G lokálisan kompakt csoport és legyen β baloldali Haar-mérték G felett. a) Az L1C (G, β) vektortéren egyértelműen létezik olyan L1C (G, β) × L1C (G, β) → L1C (G, β),

(ζ, η) 7→ ζ ∗ η

kétváltozós művelet, amelyre teljesül az, hogy minden f, g ∈ LC1 (G, β) esetén q

f ∗g = f ∗g q

q

β

.

b) Az L1C (G, β) vektortéren egyértelműen létezik olyan L1C (G, β) → L1C (G, β),

ζ 7→ ζ ∗

egyváltozós művelet, amelyre teljesül az, hogy minden f ∈ LC1 (G, β) esetén (f )∗ = (f ∗ ) . q

q

c) Az L1C (G, β) vektortér, ellátva az a)-ban értelmezett szorzással, az b)-ben értelmezett egyváltozós művelettel, és a k · kβ,1 normával olyan Banach-*-algebra, amely a K (G; C) → L1C (G, β);

ϕ 7→ ϕ q

leképezéssel együtt realizációja a G lokálisan kompakt csoport β szerinti mértékalgebrájának. Bizonyítás. A 6.9.1., 6.9.4., 6.9.5. és 6.9.6. állítások ismeretében csak azt kell igazolni, hogy f, g ∈ LC1 (G, β) esetén (g ∗ ∗ f ∗ ) q = ((f ∗ g)∗) q . β

β

175

Ennek bizonyításához legyen s ∈ G olyan, hogy a G → C; t 7→ g ∗ (t)f ∗ (t−1 s) függvény β-integrálható. Ekkor (g ∗ ∗ f ∗ )(s) := β

= ∆G (s)

−1

Z

g ∗ (t)f ∗ (t−1 s) dβ(t) :=

∆G (t)−1 g(t−1 )∆G (t−1 s)−1 f (s−1 t) dβ(t) =

G

G

Z

Z

−1

−1 −1

∗

−1

g((s t) s )f (s t) dβ(t) = ∆G (s)

−1

Z

g(t−1 s−1 )f (t) dβ(t) =

G

G

= ∆G (s)−1

Z

G

f (t)g(t−1 s−1 ) dβ(t) =: ∆G (s)−1 (f ∗ g)(s−1) =: (f ∗ g)∗ (s), β

β

∗

ahol a = egyenlőségnél kihasználtuk a β balinvarianciáját. Tehát β-majdnem mindenütt a G halmazon g ∗ ∗ f ∗ = (f ∗ g)∗ (6.9.1.), ezért (g ∗ ∗ f ∗ ) q = ((f ∗ g)∗ ) q .  β

β

β

176

β

7. fejezet Kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásai 7.1.

Kompakt csoport feletti Haar-mérték tulajdonságai

Az első állítás mértékelméleti jellemzést ad lokálisan kompakt csoport kompaktságára. 7.1.1. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. A G topologikus tér pontosan akkor kompakt, ha a β Radon-mérték korlátos, tehát ha létezik olyan C ∈ R+ , hogy minden ϕ ∈ K (G; C) esetén |β(ϕ)| ≤ C 9 ϕ9. Bizonyítás. A feltétel természetesen szükséges, hiszen kompakt tér felett minden Radonmérték korlátos. Tegyük fel, hogy β korlátos, és legyen C ∈ R+ olyan, hogy minden ϕ ∈ K (G; C) esetén |β(ϕ)| ≤ C 9 ϕ9. Legyen K az eG -nek rögzített kompakt környezete, és válasszunk olyan ϕ ∈ K + (G) függvényt, amelyre supp(ϕ) ⊆ K.

Jelölje S azon S ⊆ G nem üres véges halmazok halmazát, amelyekre teljesül az, hogy s1 , s2 ∈ S esetén, ha s1 6= s2 , akkor (s1 K) ∩ (s2 K) = ∅. Ha S ∈ S, akkor s1 , s2 ∈ S −1 és s1 6= s2 esetén supp(ϕ ◦ γG (s−1 ⊆ 1 )) ∩ supp(ϕ ◦ γG (s2 )) = (s1 supp(ϕ)) X ∩ (s2 supp(ϕ)) (s1 K) ∩ (s2 K) = ∅. Ebből következik, hogy S ∈ S esetén 9ϕ9 ≥ ϕ ◦ γG (s−1 ), hiszen a (supp(ϕ ◦ γG (s−1 )))s∈S halmazrendszer diszjunkt. Ezért

X −1 C 9ϕ 9≥C ϕ ◦ γG (s ) s∈S

≥β

X

s∈S

−1

!

ϕ ◦ γG (s ) =

177

X

s∈S

s∈S

(γG (s−1 )β)(ϕ)=Card(S)β(ϕ),

ahol kihasználtuk a β balinvarianciáját. Ebből látható, hogy a C 9 ϕ 9 /β(ϕ) ∈ R+ valós szám majorálja minden S ∋ S-re az S számosságát. Ezért vehetünk olyan S ∈ S halmazt, amely az S elemei közül legnagyobb számosságú. Megmutatjuk, hogy G =

S

s∈S

(sKK −1 ), amiből következik a G kompaktsága. Indirekt

bizonyítunk, tehát feltesszük olyan t ∈ G létezését, amelyre t ∈ /

S

s∈S

(sKK −1 ). Ekkor

t = teG ∈ tKK −1 miatt t ∈ / S, így az S ∪ {t} halmaz S-nél nagyobb számosságú. Ha s ∈ S, akkor (tK) ∩ (sK) = ∅, különben r ∈ (tK) ∩ (sK) esetén t−1 r ∈ K, azaz r −1 t ∈ K −1 , így t ∈ rK −1 ⊆ (sK)K −1 , holott a feltevés szerint t ∈ / (sK)K −1 . Ezért S ∪ {t} ∈ S, ami ellentmond annak, hogy S legnagyobb számosságú eleme S-nek. 

Megjegyezzük, hogy ha G nem diszkrét lokálisan kompakt csoport, akkor a G halmaz nem megszámlálhatóan végtelen. Valóban, ha G megszámlálható alaphalmazú lokálisan kompakt csoport, akkor a G halmaz előáll megszámlálható sok egy elemű halmaz uniójaként, és G Baire-tér ([19, 27.10.3.]), így létezik olyan s ∈ G, hogy az {s} halmaz nem sehol sem sűrű, tehát {s} nyílt halmaz. Ebből következik, hogy minden G ∋ t-re a {t} halmaz nyílt, mert {t} = γG (ts−1 )h{s}i, és γG (ts−1 ) homeomorfizmus. Ezért G diszkrét tér. Az előző megjegyzésből következik, hogy minden végtelen kompakt csoport szükségképpen nem megszámlálhatóan végtelen, hiszen diszkrét kompakt tér véges. Most néhány elemi tényt fogalmazunk meg kompakt csoportok egy dimenziós folytonos unitér ábrázolásaival (vagyis a folytonos unitér karaktereivel) kapcsolatban. Ezek az állítások elsősorban kommutatív kompakt csoportok esetén érdekesek, mert azok felett a Gelfand–Rajkov-tétel szerint sok folytonos unitér karakter létezik. Ugyanakkor vannak olyan kompakt csoportok (például SU(2, C)), amelyek felett csak triviális folytonos unitér karakter létezik. 7.1.2. Lemma. Ha G kompakt csoport, β Haar-mérték G felett, és χ nemtriviális folytonos unitér karaktere G-nek, akkor Z

χ dβ = 0.

G

Bizonyítás. Ha s ∈ G, akkor a β balinvarianciája miatt Z

G

χ dβ = β(χ) = (γG (s)β)(χ) = β(χ ◦ γG (s)) = χ(s)β(χ) = χ(s)

tehát ha χ nem az azonosan 1 függvény, akkor

Z

Z

χ dβ,

G

χ dβ = 0. 

G

7.1.3. Állítás. Legyen G kompakt csoport, és Γ a G folytonos unitér karaktereinek olyan halmaza, amely a pontonként értelmezett szorzással csoport, és szétválasztó G felett. Ekkor Γ egyenlő a G folytonos unitér karaktereinek halmazával. 178

Bizonyítás. Jelölje A a Γ halmaz által generált komplex lineáris alteret a C (G; C) függvénytérben. A Γ-ra vonatkozó hipotézisek alapján A olyan *-részalgebra a C (G; C) *-algebrában, amelynek eleme az azonosan 1 függvény, és szétválasztó G felett. A Stone– Weierstrass-tétel alapján A sup-normában sűrű C (G; C)-ben ([19, 28.4.3.]). Legyen χ folytonos unitér karaktere G-nek és ε ∈ R+ tetszőleges. Az előzőek szerint olyan (χi )i∈I véges rendszert Γ-ban, és olyan (ci )i∈I rendszert C-ben, hogy vehetünk X χ − c .χ i i i∈I

< ε. Természetesen feltehető, hogy a (χi )i∈I rendszer injektív. Ha β

normált Haar-mérték G felett, akkor ε2 >

=β =1−

2 X χ − ci χi i∈I

1− X i∈I

X i∈I

ci χχi −

ci β(χχi ) −

X

≥β

X

ci χχi +

i∈I

X

2 X χ − ci χi i∈I

=

ci cj χi χj

=

(i,j)∈I×I

ci β(χχi ) +

i∈I

X

ci cj β(χi χj ).

(i,j)∈I×I

Ha minden i ∈ I esetén χ 6= χi teljesülne, akkor az előző lemmából következik, hogy β(χχi ) = 0 = β(χχi ), és X

(i,j)∈I×I

ci cj β(χi χj ) =

X i∈I

ezért azt kapjuk, hogy ε2 > 1 +

X

|ci |2 β(1G ) +

X i∈I

ci cj β(χi χj ) =

(i,j)∈I×I, i6=j

X i∈I

|ci |2 ,

|ci |2 . Ez viszont lehetetlen, ha ε ≤ 1, ezért ε ∈]0, 1]

esetén szükségképpen van olyan i ∈ I, hogy χ = χi ∈ Γ. 

7.1.4. Következmény. A Z → U; n 7→ idnU leképezés izomorfizmus a Z és U csoportok között. Bizonyítás. Jelölje Φ a szóbanforgó leképezést, amely természetesen csoport-morfizmus. A Φ függvény injektivitása nyilvánvalóan következik abból, hogy n ∈ N+ esetén az n-edik egységgyökök halmaza véges. Ha Γ := Im(Φ), akkor Γ ⊆ U olyan részcsoport, amely szétválasztó U felett, így a 7.1.3. szerint Γ = U, vagyis Φ szürjektív.  7.1.5. Következmény. Legyen (Gi )i∈I kompakt csoportoknak olyan rendszere, hogy minden i ∈ I esetén a folytonos unitér karakterek halmaza szétválasztó Gi felett. Ekkor Y a Gi kompakt szorzatcsoport feletti minden χ folytonos unitér karakterhez létezik i∈I

olyan (χi )i∈I rendszer, hogy minden I ∋ i-re χi folytonos unitér karaktere Gi -nek, az Y {i ∈ I|χi 6= 1Gi } halmaz véges, és minden (si )i∈I ∈ Gi esetén χ((si )i∈I ) =

Y i∈I

179

i∈I

χi (si ).

Y

Bizonyítás. Jelölje Γ azon χ :

i∈I

Gi → U függvények halmazát, amelyekhez létezik

olyan (χi )i∈I rendszer, hogy minden I ∋ i-re χi folytonos unitér karaktere G i -nek, a Y Y {i ∈ I|χi 6= 1Gi } halmaz véges, és minden (si )i∈I ∈ Gi esetén χ((si )i∈I ) = χi (si ). i∈I

Nyilvánvaló, hogy a Γ minden eleme folytonos unitér karaktere

Y

i∈I

Gi -nek.

i∈I

Legyen (χi )i∈I olyan rendszer, hogy minden I ∋ i-re χi folytonos unitér karaktere Gi -nek, és a J := {i ∈ I|χi 6= 1Gi } halmaz véges. Ekkor a prJ :

Y

i∈I

Gi →

Y

(si )i∈I 7→ (si )i∈J

Gi ;

i∈J

leképezés nyilvánvalóan folytonos a szorzattopológiák szerint, és a ⊗ χi :

i∈J

Y

i∈J

Gi → U;

(si )i∈J 7→

Y

χi (si )

i∈J

függvény is folytonos. Ezért a ( ⊗ χi ) ◦ prJ függvény folytonos, és ez az (si )i∈I ∈ rendszerhez a

Y

i∈J

χi (si ) számot rendeli.

i∈J

Ezért Γ minden eleme folytonos unitér karaktere

Y

a pontonként értelmezett szorzással csoport, és szétválasztó

bizonyítani. 

Y

Gi

i∈I

Gi -nek. Továbbá nyilvánvaló, hogy Γ

i∈I

szerint Γ egyenlő a

Y

Y

Gi felett. Az előző állítás

i∈I

Gi összes folytonos unitér karaktereinek halmazával, és ezt kellett

i∈I

Speciálisan, az előző állítás feltételei teljesülnek akkor, ha minden i ∈ I esetén Gi kommutatív kompakt csoport; ez a Gelfand–Rajkov-tételből következik. Most áttérünk a kompakt csoportok folytonos unitér ábrázolásainak vizsgálatára. 7.1.6. Állítás. Legyen G kompakt csoport, és V olyan lineáris ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben, hogy a G × H → H ; (s, ζ) 7→ V (s)ζ leképezés folytonos. Ekkor létezik a H vektortér felett olyan Hilbert-norma, amely ekvivalens a H eredeti normájával, és amely szerint V folytonos unitér ábrázolása G-nek. Bizonyítás. A G × H → H ; (s, ζ) 7→ V (s)ζ leképezés folytonosságából következik, hogy minden G ∋ s-re V (s) : H → H folytonos lineáris operátor, továbbá a G kompaktsága miatt minden ζ ∈ H esetén a {V (s)ζ|s ∈ G} halmaz kompakt H -ban, így korlátos is. Tehát a {V (s)|s ∈ G} ⊆ L (H ) operátorhalmaz pontonként korlátos, ezért Banach egyenletes korlátosság tétele szerint operátornormában is korlátos, vagyis létezik olyan C ∈ R+ , hogy minden G ∋ s-re kV (s)k ≤ C. Ekkor minden s ∈ G és 180

ζ ∈ H esetén kV (s)ζk ≤ Ckζk, amiből az is következik, hogy minden s ∈ G és ζ ∈ H esetén C −1 kζk ≤ kV (s)ζk. Jelölje (·|·) a H Hilbert-tér skalárszorzását. értelmezzük a (·|·)β : H × H → C;

(ζ, η) 7→

Legyen β Haar-mérték G felett, és

Z

(V (s)ζ|V (s)η) dβ(s)

G

leképezést. Nyilvánvaló, hogy ez hermitikus konjugált bilineáris függvény, és folytonos is, hiszen ζ, η ∈ H esetén |(ζ|η)β | ≤ ≤

Z

G

Z

G

|(V (s)ζ|V (s)η)|dβ(s) ≤

kV (s)k2 kζkkηkdβ(s) ≤ C 2 β(1G )kζkkηk.

A (·|·)β leképezés nyilvánvalóan pozitív, és definit is, hiszen ha ζ ∈ H olyan, hogy (ζ|ζ)β = 0, akkor β(kV (·)ζk2) = 0, tehát supp(β) = G miatt minden G ∋ s-re V (s)ζ = 0, így ζ = 0. Ez azt jelenti, hogy (·|·)β skalárszorzás a H komplex vektortér felett. Ha k · kβ jelöli a (·|·)β által generált normát, akkor nyilvánvaló, hogy minden ζ ∈ H esetén kζk2β ≤ C 2 β(1G )kζk2, ugyanakkor kζk2β =

Z

G

kV (s)ζk2dβ(s) ≥

Z

G

C −2 kζk2dβ(s) = C −2 β(1G )kζk2.

Ez azt jelenti, hogy a H feletti k · k és k · kβ normák ekvivalensek, amiből az is következik, hogy k · kβ Hilbert-norma H felett, és a G×H →H ; (s, ζ) 7→ V (s)ζ leképezés folytonos, ha H felett k · kβ -t vesszük normaként.

Ha t ∈ G, akkor minden H ∋ ζ, η-ra a β jobbinvarianciája miatt (V (t)ζ|η)β :=

Z

(V (s)V (t)ζ|V (s)η) dβ(s) =

G

=

Z

G

Z

(V (st)ζ|V ((st)t−1 )η) dβ(s) =

G

(V (s)ζ|V (st−1 )η) dβ(s) =

Z

(V (s)ζ|V (s)V (t−1 )η)dβ(s) =:

G

=: (ζ|V (t−1 )η)β = (ζ|V (t)−1 η)β = ((V (t)−1 )∗ ζ|η)β tehát V (t) = (V (t)−1 )∗ , ami azt jelenti, hogy V (t) unitér operátor a (·|·)β skalárszorzás szerint. 

181

7.2.

Ortogonalitási relációk

7.2.1. Tétel. Legyen G kompakt csoport. a) Ha V1 folytonos unitér ábrázolása G-nek a H1 Hilbert-térben, és V2 folytonos unitér ábrázolása G-nek a H2 Hilbert-térben, továbbá V1 és V2 diszjunkt ábrázolások, akkor minden G feletti β Haar-mértékre, és minden ζ1 , η1 ∈ H1 , ζ2 , η2 ∈ H2 vektorra Z

G

(V1 (s)ζ1 |η1 )(V2 (s)ζ2|η2 ) dβ(s) = 0.

(Első ortogonalitás-reláció) b) Ha V irreducibilis folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben, akkor H véges dimenziós, és ha β a normált Haar-mérték G felett, akkor minden ζ1 , η1 , ζ2 , η2 ∈ H esetén Z 1 (V (s)ζ1 |η1 )(V (s)ζ2|η2 ) dβ(s) = (ζ1 |ζ2)(η1 |η2 ). dim(H ) G

(Második ortogonalitás-reláció) Bizonyítás. Először tegyük fel, hogy V1 folytonos unitér ábrázolása G-nek a H1 Hilberttérben, és V2 folytonos unitér ábrázolása G-nek a H2 Hilbert-térben, továbbá legyen β Haar-mérték G felett. Ha (η1 , η2 ) ∈ H1 × H2 , akkor a Bη1 ,η2 : H1 × H2 → C;

(ζ1 , ζ2 ) 7→

Z

G

(V1 (s)ζ1 |η1 )(V2 (s)ζ2 |η2 ) dβ(s)

leképezés nyilvánvalóan konjugált bilineáris, és folytonos, mert (ζ1, ζ2 ) ∈ H1 × H2 esetén |Bη1 ,η2 (ζ1 , ζ2)| ≤

Z

G

|(V1 (s)ζ1 |η1 )(V2 (s)ζ2|η2 )| dβ(s) ≤ kη1 kkη2 kkζ1 kkζ2 k.

Ezért minden (η1 , η2 ) ∈ H1 × H2 párhoz egyértelműen létezik olyan uη1 ,η2 ∈ L (H1 ; H2), hogy minden (ζ1 , ζ2) ∈ H1 × H2 esetén Bη1 ,η2 (ζ1 , ζ2 ) = (uη1 ,η2 (ζ1 )|ζ2 ). Megmutatjuk, hogy minden (η1 , η2 ) ∈ H1 × H2 esetén uη1 ,η2 ∈ C(V1 ; V2 ), vagyis az uη1 ,η2 operátor összeköti a V1 és V2 ábrázolásokat. Valóban, ha t ∈ G, akkor a β jobbinvarianciája miatt minden (ζ1, ζ2 ) ∈ H1 × H2 párra ((uη1 ,η2 ◦ V1 (t))ζ1 |ζ2 ) = Bη1 ,η2 (V1 (t)ζ1 , ζ2 ) = 182

=

Z

G

=

Z

G

Z

(V1 (s)V1 (t)ζ1 |η1 )(V2 (s)ζ2 |η2 )dβ(s)= (V1 (st)ζ1 |η1 )(V2 ((st)t−1 )ζ2 |η2 )dβ(s) Z

G

(V1 (s)ζ1 |η1 )(V2 (st−1 )ζ2 |η2 )dβ(s)= (V1 (s)ζ1 |η1 )(V2 (s)V2 (t−1 )ζ2 |η2 )dβ(s) G

−1

= Bη1 ,η2 (ζ1 , V2 (t )ζ2 ) = (uη1 ,η2 (ζ1 )|V2 (t)∗ ζ2 ) = ((V2 (t) ◦ uη1 ,η2 )ζ1 |ζ2),

tehát uη1 ,η2 ◦ V1 (t) = V2 (t) ◦ uη1 ,η2 .

Ebből már következik az a) állítás, hiszen ha V1 és V2 diszjunktak, akkor C(V1 ; V2 ) = {0}, így minden H1 × H2 ∋ (η1 , η2 )-re uη1 ,η2 = 0, vagyis minden (ζ1 , ζ2) ∈ H1 × H2 esetén Bη1 ,η2 (ζ1 , ζ2 ) = 0, ami éppen azt jelenti, hogy Z

G

(V1 (s)ζ1 |η1 )(V2 (s)ζ2 |η2 ) dβ(s) = 0.

A b) állítás bizonyításához legyen V := V1 = V2 , és H := H1 = H2 , továbbá tegyük fel, hogy V irreducibilis, tehát C(V ; V ) = C.idH . Az előzőek szerint minden (η1 , η2 ) ∈ H × H párhoz egyértelműen létezik olyan b(η1 , η2 ) ∈ C, amelyre uη1 ,η2 = b(η1 , η2 ).idH . Ha ζ ∈ H olyan, hogy kζk = 1, akkor minden (η1 , η2 ) ∈ H × H esetén b(η1 , η2 ) = b(η1 , η2 )(ζ|ζ) = (uη1 ,η2 (ζ)|ζ) =

Z

(V (s)ζ|η1)(V (s)ζ|η2 ) dβ(s).

G

Ebből azonnal látható, hogy a H × H → C;

(η1 , η2 ) 7→ b(η1 , η2 )

leképezés konjugált bilineáris, és folytonos is, mert η1 , η2 ∈ H esetén minden ζ ∈ H vektorra, ha kζk = 1, akkor a Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség alapján |b(η1 , η2 )| = |b(η1 , η2 )| ≤

Z (V (s)ζ|η1 )(V (s)ζ|η2 ) dβ(s)

G

≤ β(1G )kη1 kkη2 k.

Ezért van olyan u∈L (H ), hogy minden (η1 , η2 )∈H ×H esetén b(η1 , η2 ) = (u(η1 )|η2 ). Megmutatjuk, hogy u ∈ C(V ; V ). Valóban, ha t ∈ G, akkor a β balinvarianciája miatt minden (η1 , η2 ) ∈ H × H párra

=

Z

(η2 |(u ◦ V (t))(η1 )) = (u(V (t)(η1 ))|η2 ) = b(V (t)η1 , η2 ) = (V (s)ζ|V (t)η1 )(V (s)ζ|η2) dβ(s) =

G

Z

G

183

(V (t−1 s)ζ|η1)(V (s)ζ|η2) dβ(s) =

=

Z

−1

(V (t s)ζ|η1)(V

G

=

Z

(t(t−1 s))ζ|η2 )

dβ(s) =

Z

(V (s)ζ|η1)(V (ts)ζ|η2) dβ(s) =

G

(V (s)ζ|η1)(V (s)ζ|V (t)∗ η2 ) dβ(s) = b(η1 , V (t)∗ η2 ) =

G

= (u(η1 )|V (t)∗ η2 ) = (V (t)(u(η1 ))|η2 ) = (η2 |(V (t) ◦ u)(η1 )),

ahol ζ ∈ H tetszőleges olyan vektor, amelyre kζk = 1, így u ◦ V (t) = V (t) ◦ u.

Ezért vehetünk olyan c ∈ C számot, amelyre u = c.idH , tehát ha ζ ∈ H tetszőleges olyan vektor, amelyre kζk = 1, akkor minden (η1 , η2 ) ∈ H × H párra c · (η1 |η2 ) = (u(η1 )|η2 ) = b(η1 , η2 ) =

Z

(V (s)ζ|η1)(V (s)ζ|η2) dβ(s).

G

Ebből következik, hogy ha ζ ∈ H és kζk = 1, akkor c = c(ζ|ζ) = b(ζ, ζ) =

Z

G

|(V (s)ζ|ζ)|2 dβ(s) ∈ R+ ,

így c ∈ R+ . Tehát minden ζ1 , η1 , ζ2 , η2 ∈ H esetén Z

G

(V (s)ζ1 |η1 )(V (s)ζ2 |η2 ) dβ(s) = c(ζ1 |ζ2 )(η1 |η2 ).

Legyen most (ζα )α∈A tetszőleges véges ortonormált rendszer H -ban. Ha s ∈ G és ζ ∈ H , akkor a Bessel-egyenlőtlenség alapján X

α∈A

|(V (s)ζ|ζα)|2 ≤ kV (s)ζk2 = kζk2 ,

amiből következik, hogy Z

G

X

α∈A

2

|(V (s)ζ|ζα)|

!

dβ(s) ≤ β(1G )kζk2.

Ugyanakkor Z

G

X

α∈A

|(V (s)ζ|ζα)| =

X

α∈A

amiből látható, hogy

2

!

dβ(s) =

XZ

α∈A G

|(V (s)ζ|ζα)|2 dβ(s) =

c · kζk2kζα k2 = c · Card(A) · kζk2, Card(A) ≤ 184

β(1G ) . c

Ebből következik, hogy H véges dimenziós Hilbert-tér. Ha (ζα )α∈dim(H ) ortonormált bázis H -ban, akkor s ∈ G és ζ ∈ H esetén a Parseval-egyenlőség alapján X

α∈dim(H )

|(V (s)ζ|ζα)|2 = kV (s)ζk2 = kζk2 ,

amiből következik, hogy 2

c · dim(H ) · kζk =

Z

G

X

α∈dim(H )

|(V (s)ζ|ζα)|2

dβ(s) = β(1G )kζk2.

Ebből kapjuk, hogy c=

β(1G ) , dim(H )

tehát minden ζ1 , η1 , ζ2 , η2 ∈ H esetén Z

G

(V (s)ζ1 |η1 )(V (s)ζ2 |η2 ) dβ(s) =

β(1G ) (ζ1 |ζ2 )(η1 |η2 ).  dim(H )

Speciálisan, ha G kompakt csoport, és V1 és V2 unitér inekvivalens irreducibilis folytonos unitér ábrázolásai G-nek, akkor V1 és V2 diszjunktak, így érvényes rájuk az első ortogonalitás-reláció.

7.3.

Kompakt csoport feletti trigonometrikus polinomok

7.3.1. Definíció. Legyen G kompakt csoport. Ha V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben, akkor TV (G) := span({(V (·)ζ|η) | ζ, η ∈ H }), és TV (G) elemeit a V által meghatározott trigonometrikus polinomoknak nevezzük G felett. 7.3.2. Állítás. Legyen G kompakt csoport. Ha V1 és V2 unitér ekvivalens folytonos unitér ábrázolásai G-nek, akkor TV1 (G) = TV2 (G) (vagyis a trigonometrikus polinomok tere unitér invariáns). Ha V1 és V2 diszjunkt folytonos unitér ábrázolásai G-nek, akkor TV1 (G)⊥TV2 (G) a (·|·)β skalárszorzás szerint, ahol β Haar-mérték G felett.

185

Bizonyítás. Jelölje H1 a V1 és H2 a V2 ábrázolás terét. Ha u ∈ C(V1 ; V2 ) unitér operátor, akkor minden ζ1 , η1 ∈ H1 esetén (V1 (·)ζ1 |η1 ) = (u(V1 (·)ζ1)|u(η1 )) = (V2 (·)(u(ζ1))|u(η1 )) ∈ TV2 (G), ezért TV1 (G) ⊆ TV2 (G). A fordított tartalmazás a V1 és V2 szerepének felcserélésével nyerhető. Ha V1 és V2 diszjunktak, akkor az első ortogonalitási reláció alapján minden ζ1 , η1 ∈ H1 és ζ2 , η2 ∈ H2 esetén Z (V1 (·)ζ1|η1 )(V2 (·)ζ2|η2 ) dβ = 0, G

vagyis a (V1 (·)ζ1 |η1 ) és (V2 (·)ζ2 |η2 ) függvények ortogonálisak egymásra a (·|·)β skalárszorzás szerint, így a TV1 (G) és TV2 (G) alterek szintén ortogonálisak a (·|·)β skalárszorzás szerint.  Az előző állításból következik, hogy ha V1 és V2 unitér inekvivalens irreducibilis folytonos unitér ábrázolásai a G kompakt csoportnak, akkor TV1 (G)⊥TV2 (G) a (·|·)β skalárszorzás szerint, ahol β Haar-mérték G felett, hiszen irreucibilis unitér ábrázolásokra az unitér inekvivalencia és a diszjunktság ugyanazt jelenti. 7.3.3. Állítás. Legyen G kompakt csoport és β a normált Haar-mérték G felett. Ha V irreducibilis folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben, akkor a TV (G) ⊆ C (G; C) lineáris altér dim(V )2 dimenziós, és ha (ζi )i∈I ortonormált bázis a H Hilberttérben, akkor a   dim(V ).(V (·)ζi |ζj ) (i,j)∈I×I

rendszer ortonormált bázis a TV (G) Hilbert-térben a (·|·)β skalárszorzás szerint.

Bizonyítás. Ha (ζi )i∈I ortonormált bázis H -ban, akkor a második ortogonalitás-reláció szerint Z

G

(V (·)ζi |ζj )(V (·)ζk |ζl ) dβ =

1 1 (ζi |ζk )(ζj |ζl ) = δik δjl , dim(V ) dim(V )

amiből következik, hogy a 

dim(V ).(V (·)ζi |ζj )



(i,j)∈I×I

rendszer ortonormált a (·|·)β skalárszorzás szerint. Nyilvánvaló, hogy ez a rendszer algebrai bázis TV (G)-ben, ezért ez a rendszer ortonormált bázis TV (G)-ben. Ebből látható, hogy dim(TV (G)) = Card(I)2 = dim(V )2 .  186

7.3.4. Definíció. Ha G kompakt csoport, akkor T(G) := ⊕ TU (G), b U ∈G

és a T(G) ⊆ C (G; C) függvényhalmaz elemeit G feletti trigonometrikus polinomoknak nevezzük. Megjegyezzük, hogy az unitér ábrázolások által meghatározott trigonometrikus polinomok terének unitér invarianciája miatt a T(G) függvénytér a G duális konkrét választásától független. Példa. Legyen G kommutatív kompakt csoport. A G topologikus duálist úgy választjuk meg, hogy egyenlő legyen a G folytonos unitér karaktereinek halmazával, ilymódon G ⊆ C (G; C). Világos, hogy χ ∈ G esetén Tχ (G) = C.χ, ezért T(G) egyenlő a X

ci .χi

i∈I

alakú összegek halmazával, ahol (ci )i∈I véges rendszer C-ben és (χi )i∈I rendszer G-ben. Konkrétan, az U csoport esetében a Z → U; n 7→ idnU leképezés bijekció, így egy f : U → C függvény pontosan akkor trigonometikus polinom, ha létezik olyan n ∈ N és olyan (ck )−n≤k≤n rendszer C-ben, hogy f=

n X

ck .idkU ,

k=−n

vagyis minden t ∈ R esetén fennáll az f (eit ) =

n X

ck eikt

k=−n

egyenlőség. A klasszikus analízisben az ilyen alakú függvényeket nevezzük komplex trigonometrikus polinomoknak. Innen származik az elnevezés a kompakt csoportok esetében.

7.4.

Approximáció trigonometrikus polinomokkal – Első Peter–Weyl-tétel

7.4.1. Tétel. (Első Peter–Weyl-tétel) Legyen G kompakt csoport és Γ ⊆ G olyan halmaz, hogy a G triviális unitér karaktere eleme Γ-nak, és minden U ∈ Γ esetén U ∈ Γ,

187

továbbá minden U1 , U2 ∈ Γ esetén létezik olyan (Vi )i∈I véges rendszer Γ-ban, amelyre U1 ⊗ U2 unitér ekvivalens a ⊕ Vi Hilbert-összeggel. Vezessük be a i∈I

TΓ (G) := ⊕ TU (G) U ∈Γ

jelölést. Ekkor a következő állítások ekvivalensek. a) A Γ halmaz szétválasztó G felett. b) A TΓ(G) függvényhalmaz sűrű C (G; C)-ben a sup-norma szerint. c) A TΓ (G) halmaz sűrű L2C (G, β)-ban a k · kβ,2 norma szerint, ahol β Haar-mérték G felett. d) Γ = G. Bizonyítás. a)⇒b) Az a) alapján a TΓ (G) függvényhalmaz szétválasztó G felett, hiszen s, s′ ∈ G és s 6= s′ esetén van olyan U ∈ Γ, hogy U(s) 6= U(s′ ), így az U ábrázolás terében léteznek olyan ζ és η vektortok, amelyekre (U(s)ζ|η) 6= (U(s′ )ζ|η), vagyis az (U(·)ζ|η) ∈ TU (G) ⊆ TΓ (G) mátrixelem-függvény az s és s′ pontokban különböző értékeket vesz föl. A G → C konstansfüggvények azonosak a G triviális unitér karakterének mátrixelemfüggvényeivel, ezért a G → C azonosan 1 függvény eleme TΓ (G)-nek. Továbbá a TΓ(G) függvényhalmaz zárt a konjugálásra nézve, mert ha U ∈ Γ és C az a konjugálás az U ábrázolás terén, amelyre U = C ◦ U(·) ◦ C, akkor az U ábrázolás terének bármely két ζ és η elemére, minden s ∈ G esetén (U(s)ζ|η) = (η|U(s)ζ) = (CU(s)ζ|Cη) = (U (s)Cζ|Cη), tehát (U(·)ζ|η) ∈ TU (G) ⊆ TΓ(G), hiszen U ∈ Γ.

A TΓ (G) függvényhalmaz zárt a szorzásra nézve. Ehhez elég azt bizonyítani, hogy U1 , U2 ∈ Γ esetén az U1 és az U2 bármely mátrixelem-függvényének szorzata eleme TΓ (G)-nek. Legyen H1 az U1 és H2 az U2 ábrázolás tere, valamint legyenek ζ1 , η1 ∈ H1 és ζ2 , η2 ∈ H2 tetszőlegesek. Az ábrázolások tenzorszorzatának értelmezése alapján (U1 (·)ζ1 |η1 )(U2 (·)ζ2 |η2 ) = ((U1 ⊗ U2 )(·)(ζ1 ⊗ ζ2 )|η1 ⊗ η2 ). A Γ-ra vonatkozó feltevés alapján vehetünk olyan (Vi )i∈I véges rendszert Γ-ban, amelyre U1 ⊗ U2 unitér ekvivalens a ⊕ Vi Hilbert-összeggel; legyen u ∈ C ⊕ Vi ; U1 ⊗ U2 i∈I

i∈I

unitér

operátor, és minden I ∋ i-re jelölje Ki a Vi ábrázolás terét. Legyenek (vi )i∈I és (wi )i∈I azok az elemek ⊕ Ki -ben, amelyekre i∈I

ζ1 ⊗ ζ2 = u((vi )i∈I ),

η1 ⊗ η2 = u((wi )i∈I ). 188

Ekkor nyilvánvaló, hogy ((U1 ⊗ U2 )(·)(ζ1 ⊗ ζ2 )|η1 ⊗ η2 ) = ((U1 ⊗ U2 )(·)u((vi )i∈I )|u((wi )i∈I )) = = (u( ⊕ Vi (·)((vi )i∈I ))|u((wi )i∈I )) = ( ⊕ Vi (·)((vi )i∈I )|(wi )i∈I ) = i∈I

i∈I

=

X i∈I

(Vi (·)vi |wi ) ∈ TΓ (G).

Ezzel megmutattuk, hogy TΓ (G) olyan *-részalgebra C (G; C)-ben, amelynek eleme az azonosan 1 függvény és szétválasztó G felett. Ezért a Stone–Weierstrass-tétel alapján TΓ (G) sűrű C (G; C)-ben a sup-norma szerint. b)⇒c) Ha ϕ ∈ C (G; C) és β Haar-mérték G felett, akkor kϕkβ,2 :=

β(|ϕ|2) ≤

β(1G ) 9 ϕ9,

ezért a ϕ ∈ C (G; C) bármely sup-normában sűrű részhalmaza a k · kβ,2 szerint is sűrű C (G; C)-ben. Tehát a b) szerint TΓ (G) sűrű C (G; C)-ben a k · kβ,2 szerint, ugyanakkor C (G; C) a definíció alapján sűrű az L2C (G, β) Hilbert-térben. Ezért TΓ (G) sűrű az L2C (G, β) Hilbert-térben. c)⇒d) Tegyük fel, hogy Γ 6= G, és legyen V ∈ G olyan, hogy V ∈ / Γ. Ekkor minden U ∈ Γ esetén TV (G)⊥TU (G), tehát TV (G)⊥ ⊕ TU (G) =: TΓ (G), U ∈Γ

ahol az ortogonalitást a (·|·)β skalárszorzás szerint értjük, ahol β Haar-mérték G felett. Ha c) teljesülne, akkor TV (G) ⊆ (TΓ (G))⊥ = {0},

ami lehetetlen, mert TV (G) legalább egy dimenziós függvénytér. Ez azt jelenti, hogy a d) tagadásából következik a c) tagadása. d)⇒a) A Gelfand–Rajkov-tétel alapján G szétválasztó G felett. 

7.4.2. Következmény. Legyen G kompakt csoport és β normált Haar-mérték G felett. Minden U ∈ G esetén legyen (ζU,i )1≤i≤dim(U ) ortonormált bázis az U ábrázolás terében. Ekkor a   dim(U)(U(·)ζU,i |ζU,j ) b U ∈G, 1≤i,j≤dim(U )

rendszer ortonormált bázis az L2C (G, β) Hilbert-térben.

Bizonyítás. Azt tudjuk, hogy U ∈ G esetén a ( dim(U)(U(·)ζU,i |ζU,j ))1≤i,j≤dim(U ) 189

rendszer ortonormált bázis TU (G)-ben a (·|·)β skalárszorzás szerint, ezért a ( dim(U)(U(·)ζU,i |ζU,j ))U ∈G, b

1≤i,j≤dim(U )

rendszer ortonormált algebrai bázis T(G)-ben, ami a Peter–Weyl-tétel alapján sűrű az L2C (G, β) Hilbert-térben.  7.4.3. Jelölés. Ha V unitér ábrázolása a G csoportnak és m halmaz, akkor mV vagy c V Hilbert-összeget, amelyre minden i ∈ m esetén V := V . m · V jelöli azt a ⊕ i i i∈m

A következő állítás megadja kompakt csoport baloldali reguláris ábrázolásának irreducibilis folytonos unitér ábrázolások Hilbert-összegére való felbontását.

7.4.4. Állítás. Legyen G kompakt csoport, β normált Haar-mérték G felett, és jelölje V a G csoport β által meghatározott baloldali reguláris ábrázolását. Minden U ∈ G esetén jelölje HU az U ábrázolás terét, és minden ζ ∈ HU vektorra legyen TU,ζ (G) := {(U(·)ζ|η) | η ∈ HU }. a) Ha U ∈ G és ζ ∈ HU , akkor TU,ζ (G) a C (G; C)-ben V -invariáns lineáris altér.

b) Ha U ∈ G és ζ ∈ HU nem nulla vektor, akkor dim(TU,ζ (G)) = dim(U), továbbá a V |TU,ζ (G) ábrázolás unitér ekvivalens U -tal.

c dim(U) · U Hilbert-összeggel. c) A V ábrázolás unitér ekvivalens a ⊕ b U ∈G

Bizonyítás. a) Legyen U ∈ G és ζ ∈ HU . Ekkor s ∈ G esetén minden η ∈ HU vektorrra V (s)(U(·)ζ|η) := (U(·)ζ|η) ◦ γG (s)−1 = (U(·)ζ|U(s)η) ∈ TU,ζ (G), tehát TU,ζ (G) a V -nek invariáns altere. b) Legyen U ∈ G és ζ ∈ HU olyan, hogy ζ 6= 0. Ha (ηi )1≤i≤dim(U ) ortonormált bázis HU -ban, akkor a második ortogonalitás-reláció szerint minden 1 ≤ i, j ≤ dim(U) számra Z

(U(·)ζ|ηi )(U(·)ζ|ηj ) dβ =

G

1 kζk2δij , dim(U)

következésképpen a dim(U) (U(·)ζ|ηi ) kζk

1≤i≤dim(U )

rendszer ortonormált bázis TU,ζ (G)-ben a (·|·)β skalárszorzás szerint, amiből azonnal kapjuk, hogy dim(TU,ζ (G)) = dim(U). 190

Jelölje C a HU Hilbert-térnek azt a konjugálását, amelyre U = CU(·)C, továbbá legyen (ηi )1≤i≤dim(U ) ortonormált bázis HU -ban. Ekkor (Cηi )1≤i≤dim(U ) is ortonormált bázis HU -ban, tehát az előzőek alapján a dim(U) (U(·)ζ|Cηi ) kζk

1≤i≤dim(U )

rendszer ortonormált bázis TU,ζ (G)-ben. Ugyanakkor (ηi )1≤i≤dim(U ) ortonormált bázis HU = HU Hilbert-térben, ezért létezik egyetlen olyan W : HU → TU,ζ (G) unitér operátor, amelyre minden 1 ≤ i ≤ dim(U) esetén W (ηi ) =

dim(U) (U(·)ζ|Cηi ). kζk

Megmutatjuk, hogy W összeköti az U és V |TU,ζ (G) ábrázolásokat. Ehhez legyenek 1 ≤ i ≤ dim(U) és s ∈ G tetszőlegesek. Ekkor bevezetve a c := dim(U)/kζk konstanst azt kapjuk, hogy V (s)(W (ηi )) = c(U(·)ζ|Cηi ) ◦ γG (s)−1 = c(U(·)ζ|U(s)(Cηi )) = dim(U )

= c(U(·)ζ|CU(s)(ηi )) = c(U(·)ζ|C

X

j=1 dim(U )

dim(U )

=c

X

j=1

(U (s)ηi |ηj )ηj ) =

(U(s)ηi |ηj )(U(·)ζ|Cηj ) =

X

j=1

(U(s)ηi |ηj )W (ηj ) = W (U(s)(ηi )),

tehát minden G ∋ s-re V (s) ◦ W = W ◦ U(s).

c) Minden U ∈ G esetén legyen (ζU,i )1≤i≤dim(U ) ortonormált bázis HU -ban. Ha U ∈ G, akkor 1 ≤ i, j ≤ dim(U) esetén a második ortogonalitás-reláció miatt minden HU ∋ η, η ′ re Z 1 (U(·)ζU,i |η)(U(·)ζU,j |η ′ ) dβ = (ζU,i |ζU,j )(η|η ′), dim(U) G

tehát ha i 6= j, akkor TU,ζU,i (G)⊥TU,ζU,j (G). Ebből következik, hogy minden G ∋ U-ra dim(U )

TU (G) = ⊕ TU,ζU,i (G) i=1

teljesül, tehát a TU (G) altér szintén V -invariáns, és V |TU (G) unitér ekvivalens az dim(U) · U Hilbert-összeggel. A Peter–Weyl-tétel alapján c T (G), L2C (G, β) = ⊕ U b U ∈G

191

c (V |T (G)) unitér ábrázolások unitér ekvivalensek, következésképpen ezért a V és ⊕ U b U ∈G

c dim(U) · U Hilbert-összeggel. De minden U ∈ G esetén V unitér ekvivalens a ⊕ b U ∈G

dim(U) = dim(U), és a G → G; U 7→ U leképezés bijekció, ezért V unitér ekvivalens a c dim(U) · U Hilbert-összeggel.  ⊕ b U ∈G

7.4.5. Következmény. (Burnside-tétel) Ha G véges diszkrét csoport, akkor G véges halmaz és X Card(G) = (dim(U))2 . b U ∈G

Ha G véges kommutatív diszkrét csoport, akkor Card(G) = Card(G). Bizonyítás. Ha β a normált Haar-mérték G felett, akkor az L2C (G, β) vektortér azonosul a CG vektortérrel, és az előző állítás szerint G

Card(G) = dim(C ) = dim =

X

dim(TU (G)) =

X

!

⊕ TU (G) =

b U ∈G

(dim(U))2 .

b U ∈G

b U ∈G

Ha G kommutatív is, akkor minden U ∈ G esetén dim(U) = 1, ezért az iménti egyenlőségből Card(G) = Card(G) következik. 

7.5.

Kompakt csoport ábrázoláskarakterei

7.5.1. Definíció. Ha G csoport és V véges dimenziós unitér ábrázolása G-nek, akkor a χV : G → C;

s 7→ Tr(V (s)),

függvényt a V ábrázolás karakterének nevezzük. Megjegyzések. 1) Ha V1 és V2 unitér ekvivalens unitér ábrázolásai a G csoportnak, akkor χV1 = χV2 , vagyis az ábrázolás-karakterek unitér invariáns objektumok. Valóban, ha W ∈ C(V1 ; V2 ) bijekció, akkor minden s ∈ G esetén χV2 (s) = Tr(V2 (s)) = Tr(W V1 (s)W −1 ) = Tr(V1 (s)) = χV1 (s). 2) Legyen V véges dimenziós unitér ábrázolása a G csoportnak. Minden s ∈ G esetén χV ◦ IntG (s) = χV , vagyis az ábrázolás-karakterek a konjugált elemosztályokon állandók. Valóban, ha s ∈ G, akkor minden G ∋ t-re (χV ◦ IntG (s)) (t) = Tr(V (sts−1 )) = Tr(V (s)V (t)V (s)−1 ) = Tr(V (t)). 192

Hasonlóan látható, hogy minden s, t ∈ G esetén χV (st) = χV (ts), hiszen χV (st) = Tr(V (st)) = Tr(V (s)V (t)) = Tr(V (t)V (s)) = Tr(V (ts)) = χV (ts). 3) Ha V véges dimenziós unitér ábrázolása a G csoportnak, és V a V -nek tetszőleges konjugáltja, akkor χV = χV , mert ha (ζi )i∈I ortonormált bázis a V ábrázolás H Hilbert-terében, és C : H → H konjugálás, valamint V (·) = C ◦V (·)◦C, akkor (Cζi )i∈I ortonormált bázis az V ábrázolás terében (ami egyenlő H -val), és minden G ∋ s-re χV (s) = =

X i∈I

X i∈I

X

(V (s)Cζi |Cζi ) =

(ζi |V (s)ζi ) =

X i∈I

i∈I

(CV (s)CCζi |Cζi ) =

(V (s)ζi |ζi ) = χV (s).

4) Ha (Vi )i∈I a G csoport véges dimenziós unitér ábrázolásainak véges rendszere, és V olyan unitér ábrázolása G-nek, amely unitér ekvivalens a ⊕ Vi Hilbert-összeggel, akkor i∈I

χV =

X i∈I

χVi .

Valóban, legyen minden i ∈ I esetén Hi a Vi ábrázolás tere, és (ζi,j )j∈dim(Vi ) ortonormált bázis Hi -ben. Minden i ∈ I és j ∈ dim(Vi ) esetén legyen ζei,j az az elem ⊕ Hk -ban, amely k∈I

a k ∈ I elemhez 0-t rendeli, ha k 6= i; és ζi,j -t rendeli, ha k = i. Ekkor (ζei,j )i∈I, ortonormált bázis a ⊕ Hk Hilbert-térben, és minden G ∋ s-re

j∈dim(Vi )

k∈I

χV (s) =

X

i∈I, j∈dim(Vi )

X

=

i∈I, j∈dim(Vi )

=

X



Vk (s)(ζei,j )k

⊕ Vk (s)(ζei,j ) ζei,j

k∈I



ζe = k∈I i,j

(Vi (s)ζi,j ζi,j ) =

X

X

i∈I, j∈dim(Vi ) k∈I

X

X

Vk (s)(ζei,j )k (ζei,j )k =

(Vi (s)ζi,j ζi,j ) =

i∈I j∈dim(Vi )

i∈I, j∈dim(Vi )

=

X i∈I

χVi (s).

5) Ha G kompakt csoport és V véges dimenziós folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben, akkor χV ∈ TV (G), hiszen ha (ζi )1≤i≤dim(V ) ortonormált bázis H -ban, akkor a nyom definíciója alapján dim(V )

χV =

X i=1

(V (·)ζi |ζi ) ∈ TV (G). 193

7.6.

Kompakt csoport mértékalgebrájának szerkezete

7.6.1. Jelölés. Ha G kompakt csoport és V véges dimenziós folytonos unitér ábrázolása G-nek, akkor eV := dim(V )χV . 7.6.2. Állítás. Legyen G kompakt csoport és β a normált Haar-mérték G felett. a) Ha V1 és V2 diszjunkt véges dimenziós folytonos unitér ábrázolásai G-nek, akkor eV1 ∗ eV2 = 0. β

b) Ha V véges dimenziós folytonos unitér ábrázolása G-nek, akkor e∗V = eV és eV kommutál az L1C (G, β) minden elemével (amit úgy fejezünk ki, hogy eV centrális elem az L1C (G, β) algebrában). c) Ha U irreducibilis folytonos unitér ábrázolása G-nek, akkor eU ∗ eU = eU , tehát eU β

projektor az L1C (G, β) *-algebrában, továbbá TU (G) olyan *-részalgebra L1C (G, β)-ban, amelynek eU az egységeleme. Bizonyítás. a) Legyen H1 a V1 ábrázolás tere és H2 a V2 ábrázolás tere. Legyen (ζ1,i )i∈I1 ortonormált bázis H1 -ben és (ζ2,i )i∈I2 ortonormált bázis H2 -ben. Ekkor s ∈ G esetén χV1 ∗ χV2 (s) := β

=

X XZ

i∈I1 j∈I2 G

=

X XZ

i∈I1 j∈I2 G

Z

χV1 (t)χV2 (t−1 s) dβ(t) =

G

(V1 (t)ζ1,i |ζ1,i )(V2 (t−1 s)ζ2,j |ζ2,j ) dβ(t) =

(V1 (t)ζ1,i |ζ1,i )(V2 (t)ζ2,j |V2 (s)ζ2,j ) dβ(t) = 0,

ahol az első ortogonalitás-relációt alkalmaztuk. Ebből nyilvánvalóan következik, hogy eV1 ∗ eV2 = 0. β

b) Ha s ∈ G, akkor a nyom tulajdonságai alapján (χV ◦ iG )(s) = Tr(V (s−1 )) = Tr(V (s−1 )∗ ) = Tr(V (s)) = χV (s). Ebből, és a G unimodularitásából következik, hogy χ∗V := ∆−1 · (χV ◦ iG ) = χV , G tehát e∗V = eV .

194

Legyen ϕ ∈ C (G; C) tetszőleges. Ekkor a β inverzió-invarianciája és jobbinvarianciája, valamint a 2. megjegyzés alapján írható, hogy χV ∗ ϕ (s) := β

=

Z

Z

−1

χV (t)ϕ(t s) dβ(t) =

=

χV ((t−1 )−1 )ϕ(t−1 s) dβ(t) =

G

G

χV (t−1 )ϕ(ts) dβ(t) =

Z

χV (s(ts)−1 )ϕ(ts) dβ(t) =

G

G

Z

Z

χV (st−1 )ϕ(t) dβ(t) =

Z

G

G

ϕ(t)χV (t−1 s) dβ(t) =: ϕ ∗ χV β

(s).

Ez azt jelenti, hogy χV , és ezzel együtt eV is kommutál L1C (G, β)-ban a C (G; C) sűrű halmazzal, ezért centrális elem. c) Legyen U folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben. Ha ζ, η ∈ H , akkor minden G ∋ s-re a G unimodularitása miatt (U(·)ζ|η)∗(s) := (U(s−1 )ζ|η) = (U(s)∗ ζ|η) = (U(s)η|ζ). Vagyis (U(·)ζ|η)∗ = (U(·)η|ζ), így a TU (G) halmaz *-zárt lineáris altere az L1C (G, β) *-algebrának. Tegyük fel, hogy U irreducibilis, és legyenek ζ1 , ζ2 , η1 , η2 ∈ H tetszőlegesek. A második ortogonalitás-relációt alkalmazva kapjuk, hogy minden G ∋ s-re (U(·)ζ1 |η1 ) ∗(U(·)ζ2 |η2 ) (s) := β

=

Z

G

Z

G

(U(t)ζ1 |η1 )(U(t−1 s)ζ2 |η2 ) dβ(t) =

(U(t)ζ1 |η1 )(U(t)η2 |U(s)ζ2 ) dβ(t) = =

1 (ζ1 |η2 )(η1 |U(s)ζ2 ) = dim(U)

(ζ1 |η2 ) (U(·)ζ2 |η1 )(s), dim(U)

ami azt jelenti, hogy (U(·)ζ1 |η1 ) ∗(U(·)ζ2 |η2 ) = β

(ζ1 |η2 ) (U(·)ζ2 |η1 ). dim(U)

Ebből azonnal következik, hogy TU (G) *-részalgebrája az L1C (G, β) *-algebrának. Továbbá, ha (ζi )i∈I ortonormált bázis H -ban, akkor a fentiek szerint χU ∗ χU = β

XX i∈I j∈I

(U(·)ζi |ζi ) ∗(U(·)ζj |ζj ) = β

195

XX 1 (ζi |ζj )(U(·)ζj |ζi ) = dim(U) i∈I j∈I

=

XX X 1 1 1 δij (U(·)ζj |ζi ) = (U(·)ζi |ζi ) =: χ . dim(U) i∈I j∈I dim(U) i∈I dim(U) U

Ebből azonnal következik az eU ∗ eU = eU egyenlőség. Továbbá, ha ζ, η ∈ H , akkor β

χU ∗(U(·)ζ|η) = β

X i∈I

(U(·)ζi |ζi ) ∗(U(·)ζ|η) = β

!

X 1 (ζi |η)(U(·)ζ|ζi) = dim(U) i∈I

X 1 1 U(·)ζ (η|ζi )ζi = (U(·)ζ|η), = dim(U) dim(U) i∈I

amiből következik, hogy eU baloldali egységeleme a TU (G) részalgebrának, így az eU centralitása miatt, eU egységeleme TU (G)-nek.  Az 1.4.5.-ben igazoltuk, hogy ha V véges dimenziós unitér ábrázolása a G csoportnak, akkor létezik a V irreducibilis unitér részábrázolásainak olyan (Ui )i∈I véges rendszere, amelyre V unitér ekvivalens a ⊕ Ui Hilbert-összeggel. Legyen A := {Ui |i ∈ I}, és i∈I

vezessük be az α : I → A; i 7→ Ui függvényt, amely szürjekció. Ekkor I =

S

−1

U ∈A

α h{U}i,

és az egyenlőség jobb oldalán diszjunkt unió áll, ezért a ⊕ Ui Hilbert-összeg unitér i∈I

−1

ekvivalens a ⊕ Card( α h{U}i) · U Hilbert-összeggel. Legyen minden U ∈ A esetén U ∈A −1

mU := Card( α h{U}i). Ekkor A a G irreducibilis unitér ábrázolásainak olyan véges halmaza, és (mU )U ∈A olyan rendszer N+ -ban, amelyre V unitér ekvivalens a ⊕ mU U U ∈A

Hilbert-összeggel, továbbá minden A ∋ U-ra U részábrázolása V -nek, tehát ha G topologikus csoport és a V unitér ábrázolás folytonos, akkor A minden eleme folytonos irreducibilis unitér ábrázolása G-nek. 7.6.3. Állítás. Legyenek V1 és V2 véges dimenziós folytonos unitér ábrázolásai a G kompakt csoportnak. A V1 és V2 ábrázolások pontosan akkor unitér ekvivalensek, ha χV1 = χV2 . Bizonyítás. Azt láttuk, hogy ha V1 és V2 unitér ekvivalensek, akkor χV1 = χV2 . Megfordítva, tegyük fel, hogy χV1 = χV2 . A V1 -hez (illetve V2 -höz) vehetünk olyan A1 ⊆ G (illetve A2 ⊆ G) véges halmazt és olyan (m(1) )U ∈A1 (illetve (m(2) )U ∈A2 ) rendszert U U + (1) N -ban, hogy V1 unitér ekvivalens a ⊕ mU U (illetve V2 unitér ekvivalens a ⊕ m(2) U) U Hilbert-összeggel. Ekkor fennáll a X

U ∈A1

U ∈A1

U ∈A2

m(1) χU = χV1 = χV2 = U

196

X

U ∈A2

m(2) χU U

függvény-egyenlőség, amiből következik, hogy minden G ∋ W -re X

Z

(1)

mU

U ∈A1

G

χU (χW ◦ iG ) dβ =

X

(2)

mU

U ∈A2

Z

χU (χW ◦ iG ) dβ,

G

ahol β a normált Haar-mérték G felett. Ha U, W ∈ G, akkor Z

Z

χU (χW ◦ iG ) dβ =

G

Z

=

G

χU (t)χW (t−1 ) dβ(t) =

G

χU (t)χW (t−1 eG ) dβ(t) =: (χU ∗ χW )(eG ). β

Tehát, ha U, W ∈ G és U 6= W , akkor U és W unitér inekvivalens véges dimenziós irreducibilis unitér ábrázolások, tehát diszjunktak, így χU ∗ χW = 0, vagyis ekkor β

Z

G

χU (χW ◦ iG ) dβ = 0.

Ha pedig U ∈ G tetszőleges, akkor χU ∗ χU = β

Z

G

χU (χU ◦ iG ) dβ =

1 χ , következésképpen dim(U) U

1 χ (e ) = 1. dim(U) U G

Ez azt jelenti, hogy minden G ∋ U, W -re Z

G

χU (χW ◦ iG ) dβ = δU,W .

f(1) ) b (illetve (m f(2) ) b ) az (m(1) )U ∈A1 (illetve (m(2) )U ∈A2 ) rendszer 0-val Most jelölje (m U ∈G U ∈G U U U U vett kiterjesztését A1 -ről (illetve A2 -ről) G-ra. Ekkor minden W ∈ G esetén (1)

f = m W

=

X

U ∈A2

X

b U ∈G

m(2) U

(1)

f m U Z

G

Z

G

χU (χW ◦ iG ) dβ =

χU (χW ◦ iG ) dβ =

X

b U ∈G

X

(1)

mU

U ∈A1

f(2) m U

Z

G

Z

G

χU (χW ◦ iG ) dβ =

f(2) . χU (χW ◦ iG ) dβ = m W

f(2) 6= 0, így szükségképpen Ha W ∈ A1 , akkor mW = mW 6= 0, és mW = mW , tehát m W W ∈ A2 . Ez azt jelenti, hogy A1 ⊆ A2 , és teljesen hasonlóan kapjuk, hogy A2 ⊆ A1 is f(1) = m f(2) = m(2) . teljesül. Ha tehát A := A1 = A2 , akkor minden A ∋ W -re m(1) =m W W W W f(1)

(1)

f(1)

197

f(2)

Ez azt jelenti, hogy ha minden A ∋ W -re mW := m(1) = m(2) , akkor a ⊕ m(1) U W W U U ∈A1

és

(2)

⊕ mU U unitér ábrázolások mindketten unitér ekvivalensek a ⊕ mU U unitér

U ∈A2

U ∈A

ábrázolással, tehát V1 és V2 unitér ekvivalensek. 

Az iménti állítás bizonyításából látható, hogy ha V véges dimenziós folytonos unitér ábrázolása a G kompakt csoportnak, akkor egyértelműen létezik olyan A ⊆ G véges halmaz és egyértelműen létezik olyan (mU )U ∈A rendszer N+ -ban, amelyre V unitér ekvivalens a ⊕ mU U Hilbert-összeggel. A második Peter–Weyl-tétel majd ezt az állítást U ∈A

általánosítja kompakt csoport tetszőleges folytonos unitér ábrázolására. 7.6.4. Következmény. Legyen V véges dimenziós folytonos unitér ábrázolása a G kompakt csoportnak. A V pontosan akkor önduális, ha χV valós értékű függvény. Bizonyítás. Tudjuk, hogy χV = χV , ezért a χV függvény pontosan akkor valós értékű, ha χV = χV , ami az előző állítás alapján azt jelenti, hogy V unitér ekvivalens V -vel.  Példa. Jelölje U az SU(2, C) csoport önábrázolását, tehát U ábrázolási tere a C2 Hilberttér, és minden s ∈ SU(2, C) esetén U(s) := s. Az U ábrázolás értékkészlete egyenlő SU(2, C)-vel, vagyis a C2 Hilbert-tér egységnyi determinánsú unitér operátorainak halmazával. Ha a C2 egy lineáris operátora összeköti az U ábrázolást önmagával, akkor felcserélhető a C2 összes unitér operátorával, így az összes C2 → C2 lineáris operátorral is, mert egységelemes C ∗ -algebrában minden elem előáll unitér elemek lineáris kombinációjaként. Ezért U irreducibilis folytonos unitér ábrázolása SU(2, C)-nak. A kétdimenziós U ábrázolás önduális, mert ha s ∈ SU(2, C), akkor egyértelműen léteznek a b olyan a, b ∈ C számok, hogy |a|2 + |b|2 = 1 és s = , amiből látható, hogy −b a χU (s) = a + a ∈ R, vagyis a χU ábrázoláskarakter valós értékű függvény.

7.7.

Kompakt csoport unitér ábrázolásának felbontása irreducibilisek Hilbert-összegére – Második Peter–Weyl-tétel

7.7.1. Tétel. (Második Peter–Weyl-tétel) Legyen V folytonos unitér ábrázolása a c m U HilbertG kompakt csoportnak. Létezik olyan (mU )U ∈Gb rendszer, amelyre a ⊕ U b U ∈G

összeg unitér ekvivalens V -vel. Ha (mU )U ∈Gb és (nU )U ∈Gb olyan rendszerek, amelyekre a c m U és ⊕ c n U Hilbert-összegek unitér ekvivalensek V -vel, akkor minden G ∋ U-ra ⊕ U U

b U ∈G

b U ∈G

mU ekvipotens nU -val.

198

Bizonyítás. (Egzisztencia.) Jelölje H a V ábrázolás terét és legyen β a normált Haar-mérték G felett. Az előző állítás szerint (eU )U ∈Gb ortogonális projektor-rendszer az L1C (G, β) *-algebrában, ezért Vβ (eU ) U ∈Gb ortogonális projektor-rendszer az L (H ) operátor-*-algebrában. Minden U ∈ G eseten legyen PV,U := Vβ (eU ),

HV,U := Im(PV,U ).

A 7.6.2. állítás b) pontja szerint minden G ∋ U-ra eU kommutál az L1C (G, β) minden elemével, ezért a PV,U projektor felcserélhető a {Vβ (θ) | θ ∈ L1C (G, β)} operátorhalmazzal, vagyis PV,U ∈ C(Vβ ; Vβ ) = C(V ; V ). Ebből következik, hogy minden U ∈ G esetén HV,U zárt V -invariáns lineáris altere H -nak. Továbbá, a (PV,U )U ∈Gb projektor-rendszer ortogonalitása miatt a (HV,U )U ∈Gb altér-rendszer is ortogonális.

Megmutatjuk, hogy ⊕ HV,U sűrű altere H -nak. Ehhez először megjegyezzük, hogy az b U ∈G

előző állítás c) pontja szerint minden U ∈ G és ϕ ∈ TU (G) esetén PV,U ◦ Vβ (ϕ) := Vβ (eU ) ◦ Vβ (ϕ) = Vβ (eU ∗ ϕ) = Vβ (ϕ), β

ezért Im(Vβ (ϕ)) ⊆ Im(PV,U ) =: HV,U . Ebből nyilvánvalóan következik, hogy a {Vβ (ϕ)ζ | (ϕ ∈ T(G)) ∧ (ζ ∈ H )} halmaz által generált lineáris altér részhalmaza a ⊕ HV,U altérnek. A Peter–Weyl-tétel alapján T(G) sűrű C (G; C)-ben a supb U ∈G

norma szerint, ezért a k · kβ,1 norma szerint is sűrű, hiszen minden C (G; C) ∋ ϕre kϕkβ,1 ≤ 9ϕ9. A Vβ operátor folytonossága miatt ebből következik, hogy a {Vβ (ϕ)ζ | (ϕ ∈ T(G)) ∧ (ζ ∈ H )} halmaz által generált lineáris altér sűrű a {Vβ (ϕ)ζ | (ϕ ∈ C (G; C)) ∧ (ζ ∈ H )} halmaz által generált H -beli lineáris altérben. Ez utóbbiról viszont tudjuk, hogy sűrű H -ban, mert a Vβ : C (G; C) → L (H ) ábrázolás nemelfajult. Tehát ⊕ HV,U sűrű altere H -nak, és ebből következik, hogy V unitér ekvivalens a b U ∈G c ⊕ (V |HV,U ) b U ∈G

Hilbert-összeggel. Ezért elég azt igazolni, hogy minden G ∋ U-hoz létezik

olyan m halmaz, amelyre a V |HV,U és mU ábrázolások unitér ekvivalensek. Ha U ∈ G olyan, hogy HV,U = {0}, vagyis PV,U := Im(Vβ (eU )) = 0, akkor m := ∅ ilyen halmaz, ezért elég azokat az U ∈ G ábrázolásokat vizsgálni, amelyekre HV,U 6= {0}. Legyen tehát U ∈ G olyan, hogy HV,U 6= {0}, és jelölje HU az U ábrázolás terét. Jelölje továbbá C azt a HU → HU konjugálást, amelyre U := C ◦ U(·) ◦ C ∈ G. Legyen (ζi )i∈dim(U ) ortonormált bázis a HU Hilbert-térben, és minden j, k ∈ dim(U) esetén legyen Uj,k := (U(·)ζj |ζk ) és U j,k := (U(·)ζj |ζk ). (Vigyázzunk arra, hogy általában U j,k 6= Uj,k .) Ekkor (Cζi )i∈dim(U ) is ortonormált bázis a HU Hilbert-térben, ezért ha j, k ∈ dim(U) és 199

s, t ∈ G, akkor U j,k (s−1 t) := (U (s−1 t)ζj |ζk ) := (CU(s−1 t)Cζj |ζk ) = (Cζk |U(s−1 t)Cζj ) = = (U(s)Cζk |U(t)Cζj ) = =

X

i∈dim(U )

X

U(s)Cζk

i∈dim(U )

(U(t)Cζj |Cζi )(U(s)Cζk |Cζi ) = X

=

i∈dim(U )

(U(t)Cζj |Cζi )Cζi

X

i∈dim(U )

U j,i (t)(CU(s−1 )Cζi |ζk ) =

=

U j,i (t)(Cζk |U(s−1 )Cζi ) =

X

U j,i (t)U i,k (s−1 ).

i∈dim(U )

Ebből következik, hogy j, k ∈ dim(U) esetén X

V (s) ◦ Vβ (U j,k ) = Vβ (U j,k ◦ γG (s−1 )) = Vβ =

X

U j,i (·)U i,k (s−1 )

=

i∈dim(U )

U i,k (s−1 )Vβ (U j,i ).

i∈dim(U )

Ugyanakkor az ábrázolás-karakterek értelmezése alapján nyilvánvalóan χU :=

X

j∈dim(U )

(U(·)ζj |ζj ) =

X

U j,j ,

j∈dim(U )

következésképpen PV,U = Vβ (eU ) = dim(U ).Vβ (χU ) = dim(U).

X

Vβ (U j,j ).

j∈dim(U )

Most megmutatjuk, hogy ha H ⊆ HV,U olyan zárt V -invariáns lineáris altér, hogy H 6= {0}, akkor létezik olyan L ⊆ H zárt V -invariáns lineáris altér, amelyre a V |L részábrázolás unitér ekvivalens U-val. Legyen ugyanis ζ ∈ H \{0}; ekkor PV,U ζ = ζ, tehát az imént igazolt operátor-egyenlőség alapján van olyan j ∈ dim(U), hogy Vβ (U j,j )ζ 6= 0. A (Cζi )i∈dim(U ) rendszer algebrai bázis HU -ban, ezért létezik egyetlen olyan W : HU → H lineáris operátor, amelyre minden k ∈ dim(U) esetén W (Cζk ) = Vβ (U j,k )ζ. Ekkor minden G ∋ s-re és dim(U) ∋ k-ra (V (s) ◦ W )(Cζk ) = V (s)(Vβ (U j,k )ζ)) = (V (s) ◦ Vβ (U j,k ))ζ = =

X

U i,k (s−1 )Vβ (U j,i )ζ =

X

(U (s−1 )ζi |ζk )Cζi

U i,k (s−1 )W (Cζi ) =

i∈dim(U )

i∈dim(U )

=W

X

=W

i∈dim(U )

X

i∈dim(U )

200

(CU(s−1 )Cζi |ζk )Cζi

=

X

=W

i∈dim(U )

(Cζk |U(s−1 )Cζi )Cζi

X

=W

i∈dim(U )

(U(s)Cζk |Cζi )Cζi

= W (U(s)Cζk ) = (W ◦ U(s))(Cζk ),

ami azt jelenti, hogy minden s ∈ G esetén V (s) ◦ W = W ◦ U(s). Im(W ) ⊆ HV,U , mert k ∈ dim(U) esetén

=

Továbbá,

PV,U (W (Cζk )) = Vβ (eU )(Vβ (U j,k )ζ) = Vβ (eU ∗ U j,k )ζ = Vβ (U j,k )ζ = W (Cζk ), β

hiszen U j,k ∈ TU (G) miatt eU ∗ U j,k = U j,k . Ebből következik, hogy a W operátor β

összeköti az U és V |HV,U ábrázolásokat. Ugyanakkor Ker(W ) a HU -ban U-invariáns lineáris altér, és Ker(W ) 6= HU , mert a definíció szerint W (Cζj ) := Vβ (U j,j )ζ 6= 0. Tehát az U irreducibilitása miatt Ker(W ) = {0}, vagyis W injektív, így W ◦ U(·) ◦ W −1 olyan unitér részábrázolása V |HV,U -nak (tehát V -nek is), amely U-val unitér ekvivalens. Ugyanakkor Im(W ) ⊆ {Vβ (ϕ)ζ | ϕ ∈ TU (G)} és ζ ∈ H, valamint a H zárt lineáris altér V -invarianciája folytán fennáll a {Vβ (ϕ)ζ | ϕ ∈ TU (G)} ⊆ H összefüggés, ⊥ hiszen ha ϕ ∈ Z TU (G) és η ∈ H , akkor minden G ∋ s-re (V (s)ζ|η) = 0, tehát (Vβ (ϕ)ζ|η) =

G

(V (s)ζ|η)ϕ(s) dβ(s) = 0, így Vβ (ϕ)ζ ∈ H ⊥⊥ = H. Tehát Im(W ) olyan

zárt (valójában véges dimenziós) V -invariáns lineáris altere HV,U -nak, hogy V |Im(W ) unitér ekvivalens U-val és Im(W ) ⊆ H. Jelölje most S azon S ⊆ P(HV,U ) halmazok halmazát, amelyekre teljesülnek a következők:

– minden H ∈ S esetén H olyan zárt V -invariáns lineáris altere HV,U -nak, hogy a V |H részábrázolás unitér ekvivalens U-val; – minden H1 , H2 ∈ S esetén, ha H1 6= H2 , akkor H1 ⊥H2 .

Természetesen feltesszük, hogy HV,U 6= {0}, így az előző bekezdés alapján S 6= ∅, hiszen van olyan H ⊆ HV,U zárt V -invariáns lineáris altér, amelyre V |H és U unitér ekvivalensek, így {H} ∈ S. Az S halmazt a ⊆ relációval rendezzük. A definíció alapján triviális, hogy az S halmaz induktívan rendezett, így a Zorn-lemma alapján vehetünk olyan S ∈ S elemet, amely tartalmazás tekintetében maximális. Állítjuk, hogy a X

H :=

altér sűrű HV,U -ban, vagyis

X

H∈S

(

X

H∈S

H∈S

H

!⊥

ζH (ζH )H∈S ∈ ⊕ H H∈S

)

∩ HV,U = {0}. Valóban, a

invariáns lineáris altere HV,U -nak, így V uniteritása folytán a H :=

X

H halmaz V -

H∈S

X

H∈S

201

H

!⊥

∩ HV,U

halmaz zárt V -invariáns lineáris altér HV,U -ban, így H 6= {0} esetén létezne olyan L ⊆ H zárt V -invariáns lineáris altér, amelyre V |L és U unitér ekvivalensek; ekkor S ∪{L} ∈ S és L ∈ / S, ami ellentmond az S maximalitásának az S rendezett halmazban. X Ezért H = HV,U , amiből azonnal következik, hogy a V |HV,U részábrázolás unitér H∈S

c (V |H) Hilbert-összeggel. De minden S ∋ H-ra V |H unitér ekvivalens ekvivalens a ⊕ H∈S

U-val, ezért V |HV,U unitér ekvivalens S · U-val.

Tehát a kiválasztási axióma alapján létezik olyan (mU )U ∈Gb rendszer, amelyre minden U ∈ G esetén V |HV,U unitér ekvivalens mU U-val; következésképpen V unitér ekvivalens c m U Hilbert-összeggel. a ⊕ U b U ∈G

(Unicitás.) Először azt mutatjuk meg, hogy ha U ∈ G és H olyan zárt V -invariáns lineáris altere H -nak, hogy a V |H részábrázolás unitér ekvivalens U-val, akkor H ⊆ HV,U . Ennek bizonyításához jelölje HU az U ábrázolás terét, és legyen C : HU → HU az a konjugálás, amelye U := C ◦ U(·) ◦ C ∈ G. Legyen továbbá (ζi )i∈dim(U ) ortonormált bázis a HU Hilbert-térben, valamint W : HU → H olyan unitér operátor, amely összeköti az U és V |H ábrázolásokat. Ekkor W olyan lineáris izometria, amelyre Im(W ) ⊆ H és minden s ∈ G esetén V (s) ◦ W = W ◦ U(s). Ha j, k ∈ dim(U), akkor (PV,U (W ζj )|W ζk ) := (Vβ (eU )(W ζj )|W ζk ) = = dim(U)

Z

(V (s)(W ζj )|W ζk )χU (s) dβ(s) =

G

= dim(U)

Z

(U (s)(Cζi )|Cζi )

dβ(s) =

i∈dim(U )

G

= dim(U)

X

(W (U(s)ζj )|W ζk ) Z

X

i∈dim(U ) G

= dim(U)

(U(s)ζj |ζk )((C ◦ U(s) ◦ C)(Cζi )|Cζi ) dβ(s) = X

Z

i∈dim(U ) G

= dim(U)

(U(s)ζj |ζk )(U(s)ζi |ζi ) dβ(s) =

X

(ζj |ζi )(ζk |ζi ) = (ζj |ζk ) = (W ζj |W ζk ), dim(U) i∈dim(U )

ahol felhasználtuk a második ortogonalitás-relációt, és azt, hogy (Cζi )i∈dim(U ) szintén ortonormált bázis a HU Hilbert-térben, így minden G ∋ s-re χU (s) =

X

(U (s)(Cζi )|Cζi ).

i∈Dom(U )

202

A (W ζi )i∈dim(U ) rendszer algebrai (sőt ortonormált) bázis H-ban, ezért az előzőekből kapjuk, hogy minden ζ, η ∈ H esetén (PV,U ζ|η) = (ζ|η). Ha ζ ∈ H és η ∈ H ⊥ , akkor (PV,U ζ|η) = (Vβ (eU )ζ|η) = dim(U)

Z

(V (s)ζ|η)χU (s) dβ(s) =

G

= dim(U)

Z

(ζ|V (s−1 )η)χU (s) dβ(s) = 0 = (ζ|η),

G

mert s ∈ G esetén V (s)hH ⊥ i ⊆ H ⊥ , tehát (ζ|V (s−1 )η) = 0. A Riesz-féle felbontási-tétel alapján minden ζ ∈ H és η ∈ H esetén (PV,U ζ|η) = (ζ|η), vagyis ζ = PV,U ζ ∈ Im(PV,U ) = HV,U . Ez azt jelenti, hogy H ⊆ HV,U . Legyen (mU )U ∈Gb olyan rendszer, amelyre minden U ∈ G esetén V |HV,U unitér ekvivalens mU U-val; ilyen létezését igazoltuk a bizonyítás első részében. Legyen továbbá (nU )U ∈Gb c n U Hilbert-összeg unitér ekvivalens V -vel. tetszőleges olyan rendszer, amelyre a ⊕ U b U ∈G

Meg fogjuk mutatni, hogy minden G ∋ U-ra mU és nU ekvipotensek.

c H Minden U ∈ G esetén az nU U ábrázolás tere az az nU HU := ⊕ U,k Hilbert-összeg, k∈nU

amelyre minden k ∈ nU esetén HU,k := HU az U ábrázolás tere. Minden U ∈ G esetén c n H egyik lineáris alterével, ezért azt írjuk, nU HU kitüntetett módon azonosul a ⊕ U U

hogy nU HU ⊆

c n H . ⊕ U U b U ∈G

b U ∈G

Hasonlóan, minden U ∈ G és k ∈ nU esetén HU,k kitüntetett

módon azonosul a nU HU egyik ! lineáris alterével, ezért azt írjuk, hogy HU,k ⊆ nU HU .

Legyen W ∈ C

c n U; V ⊕ U

b U ∈G

unitér összekötő operátor. Ha U ∈ G és k ∈ nU , akkor

W hHU,k i zárt V -invariáns altér H -ban, és a V |W hHU,k i részábrázolás unitér ekvivalens U-val, ezért az előzőek alapján W hHU,k i ⊆ HV,U . Ebből következik, hogy minden G ∋ Ura * + * + W hnU HU i = W =W

*

c H ⊕ U,k = W

k∈nU

⊕ HU,k

k∈nU

+

⊕ HU,k

k∈nU

=

= ⊕ W hHU,k i ⊆ HU,V . k∈nU

Ugyanakkor ⊕ W hnU HU i = Im(W ) = H = ⊕ HV,U ,

b U ∈G

b U ∈G

továbbá a (W hnU HU i)U ∈Gb és (HV,U )U ∈Gb ortogonális altér-rendszerek H -ban, ezért minden G ∋ U-ra W hnU HU i = HV,U . Az (mU )U ∈Gb rendszer választása szerint minden 203

U ∈ G esetén a HV,U Hilbert-tér izomorf mU HU -val, ezért a mU HU és nU HU Hilbertterek izomorfak. Ha U ∈ G és mU vagy nU véges, akkor ebből azonnal következik, hogy mU ekvipotens nU -val, mert Card(mU )dim(HU ) = dim(mU HU ) = dim(nU HU ) = Card(nU )dim(HU ), és dim(HU ) ∈ N+ . Ha U ∈ G, valamint mU és nU végtelenek, akkor mU HU -ban (illetve nU HU -ban) könnyen előállítható olyan ortonormált bázis, amelynek indexhalmaza egyenlő az mU × dim(HU ) (illetve nU × dim(HU )) szorzathalmazzal, ezért az mU × dim(HU ) és nU × dim(HU ) halmazok ekvipotensek, így a számosságaritmetika alaptétele és dim(HU ) ∈ N+ szerint mU × dim(HU ) (illetve nU × dim(HU )) ekvipotens mU -val (illetve nU -val), így mU és nU ekvipotensek. 

204

8. fejezet Kommutatív lokálisan kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásai 8.1.

Kommutatív lokálisan kompakt csoport topologikus duálisa

Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor a G minden irreducibilis folytonos unitér ábrázolása 1 dimenziós, tehát azonosítható egy G → U folytonos csoport-morfizmussal, vagyis a G egy folytonos unitér karakterével. Világos, hogy a G kommutatív lokálisan kompakt csoport különböző folytonos unitér karakterei unitér inekvivalens irreducibilis folytonos unitér ábrázolások, tehát G, vagyis a G topologikus csoport topologikus duálisa, azonosítható a G folytonos unitér karaktereinek halmazával. Ez a tény indokolja a következő konvenciót. 8.1.1. Jelölés. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor a G folytonos unitér karaktereinek halmazát G jelöli. Nyilvánvaló, hogy ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor a G halmaz felett a pontonkénti szorzás kommutatív csoportművelet; a továbbiakban a G halmazt, ezzel a művelettel ellátva, kommutatív csoportnak fogjuk tekinteni. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett, akkor az L1C (G, β) mértékalgebra olyan kommutatív approximatív egységes Banach-*-algebra, amelynek létezik hű ábrázolása. Továbbá, a mértékalgebrák karakterterének jellemzési tétele alapján X(L1C (G, β)) = Xsa (L1C (G, β)), vagyis az L1C (G, β) *-algebra minden karaktere önadjungált, és létezik egy kitüntetett bijekció G és X(L1C (G, β)) között. Pontosabban; ha χ folytonos unitér karaktere G-nek, akkor a χ.β funkcionál folytonos, önadjungált, nem nulla karaktere a Kβ (G; C) normált *-algebrának, és ha χ.β jelöli a 205

χ.β egyértelmű folytonos kiterjesztését az L1C (G, β) mértékalgebrára, akkor a σβ : G → X(L1C (G, β));

χ 7→ χ.β

leképezés bijekció. Világos, hogy χ ∈ G és ϕ ∈ K (G; C) esetén σβ (χ)(ϕ) =

Z

χ.ϕ dβ.

G

8.1.2. Definíció. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor a G feletti Gelfand-topológiának nevezzük a X(L1C (G, β)) feletti Gelfand-topológia σβ : G → L1C (G, β) bijekció által létesített inverz képét. Megjegyzések. 1) Fontos az, hogy ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor a G feletti Gelfand-topológia független bármiféle G feletti Haar-mérték választásától. Valóban, legyenek β és β ′ Haar-mértékek G felett, és legyen c ∈ R+ az a szám, amelyre β ′ = cβ. Könnyen látható, hogy létezik egyetlen olyan π : L1C (G, β) → L1C (G, β ′) folytonos lineáris operátor, amelyre minden ϕ ∈ K (G; C) esetén π(ϕ) = c−1 ϕ. Ez a π leképezés izometrikus *-izomorfizmus L1C (G, β) és L1C (G, β ′ ) között. Ekkor az X(π) : X(L1C (G, β ′ )) → X(L1C (G, β));

τ 7→ τ ◦ π

leképezés homeomorfizmus a Gelfand-topológiák szerint, és χ ∈ G, valamint ϕ ∈ K (G; C) esetén ((X(π) ◦ σβ ′ ) (χ)) (ϕ) = (σβ ′ (χ)) (π(ϕ)) =

Z

−1

χ c ϕ d(cβ) =

G

Z

χ.ϕ dβ = (σβ (χ)) (ϕ),

G

vagyis X(π) ◦ σβ ′ = σβ . Ebből azonnal következik, hogy az X(L1C (G, β)) Gelfand-topológiájának σβ által létesített inverz képe egyenlő az X(L1C (G, β ′)) Gelfand-topológiájának σβ ′ által létesített inverz képével. 2) Ha G-t és X(L1C (G, β))-t ellátjuk a Gelfand-topológiával, akkor (a definíció szerint) a σβ : G → X(L1C (G, β)) leképezés homeomorfizmus, ezért G a Gelfand-topológiával ellátva lokálisan kompakt, hiszen az X(L1C (G, β)) Gelfand-topológiája lokálisan kompakt. Most jellemezni fogjuk kommutatív lokálisan kompakt csoport topologikus duálisán a Gelfand-topológiát. 8.1.3. Állítás. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor a G feletti Gelfandtopológia egyenlő a kompakt konvergencia topológiájával. Bizonyítás. A topológiák általánosított sorozatokkal való jellemzési tétele alapján elegendő azt igazolni, hogy ha (χi )i∈I általánosított sorozat G-ban és χ ∈ G, akkor 206

(χi )i∈I pontosan akkor konvergál χ-hez a Gelfand-topológia szerint, ha (χi )i∈I a G minden kompakt részhalmazán egyenletesen konvergál χ-hez. A Gelfand-topológia értelmezése szerint a (χi )i∈I általánosított sorozat pontosan akkor konvergál χ-hez a Gelfandtopológia szerint, ha minden G feletti β Haar-mértékre a (σβ (χi ))i∈I általánosított sorozat pontonként konvergál az L1C (G, β) halmazon a σβ (χ) karakterhez, azaz minden L1C (G, β) ∋ θ-ra lim (σβ (χi )) (θ) = (σβ (χ)) (θ). Tekintettel arra, hogy K (G; C) sűrű az L1C (G, β) i, I

normált térben, és a (σβ (χi ))i∈I általánosított sorozat funkcionálnormában korlátos (ti. mindegyik tagjának a normája kisebb-egyenlő 1-nél): a (σβ (χi ))i∈I általánosított sorozat pontonkénti konvergenciája az L1C (G, β) halmazon σβ (χ)-hez ekvivalens azzal, hogy a KZ (G; C) altéren Z pontonként konvergál σβ (χ)-hez, vagyis minden K (G; C) ∋ ϕ-re ϕ.χ dβ.

ϕ.χi dβ =

lim i, I

G

G

(I) Tegyük fel, hogy (χi )i∈I a G minden kompakt részhalmazán egyenletesen konvergál χZ Z hez. Legyen ϕ ∈ K (G; C) tetszőleges; azt kell igazolni, hogy lim

ϕ.χ dβ.

ϕ.χi dβ =

i, I

G

G

Legyen ε ∈ R+ tetszőleges; ekkor a supp(ϕ) ⊆ G kompakt halmazhoz van olyan i0 ∈ I, hogy minden i ∈ I, i ≥ i0 esetén sup |χi (s) − χ(s)| < ε. Világos, hogy ha i ∈ I és s∈supp(ϕ)

i ≥ i0 , akkor |ϕ||χi − χ| ≤ ε|ϕ|, tehát Z G

ϕ.χi dβ −

Z

ϕ.χ

G

Ebből azonnal látható, hogy lim i, I

Z

dβ

≤

Z

G

|ϕ||χi − χ| dβ ≤ εkϕkβ,1.

ϕ.χi dβ =

Z

ϕ.χ dβ.

G

G

(II) Tegyük fel, hogy minden K (G; C) ∋ ϕ-re lim i, I

K ⊆ G kompakt halmaz. Azt kell igazolni, hogy

Z

Z

ϕ.χ dβ, és legyen

Z

ϕ.χ dβ 6= 0 (hiszen

ϕ.χi dβ =

G

G

lim sup |χi (s) − χ(s)| = 0. i, I

s∈K

Először is megjegyezzük, hogy létezik olyan ϕ ∈ K (G; C), amelyre σβ (χ) 6= 0); rögzítsünk ilyen ϕ függvényt. Ekkor lim i, I

207

Z

G

GZ

ϕ.χi dβ =

G

ϕ.χ dβ miatt van

olyan i0 ∈ I, hogy minden i ∈ I indexre, ha i0 ≤ i, akkor

Z

G

ϕ.χi dβ 6= 0. Minden I ∋ i-re

legyen τi := σβ (χi ) és τ := σβ (χ). Ekkor minden G ∋ s-re és i ∈ I, i ≥ i0 indexre χi (s) =

τi (ϕ ◦ γG (s−1 )) , τi (ϕ)

Minden i ∈ I indexre legyen ci :=

χ(s) =

τ (ϕ ◦ γG (s−1 )) . τ (ϕ)

τi (ϕ) . Ekkor i ∈ I, i ≥ i0 és s ∈ G esetén τ (ϕ) χi (s) − χ(s) =

=

τi (ϕ ◦ γG (s−1 )) τi (ϕ ◦ γG (s−1 )) − τ (ϕ ◦ γG (s−1 )) 1 −1 + , ci τ (ϕ) τ (ϕ)

amiből következik, hogy ha s ∈ K, akkor |χi (s)−χ(s)| ≤ ≤

1 ci

sup |τi (ϕ ◦ γ (t−1 ))| G − 1 t∈K |τ (ϕ)| 1 − 1 ci 1

≤

|τ (ϕ)|

kϕkβ,1 +

+

sup |τi (ϕ ◦ γG (t−1 )) − τ (ϕ ◦ γG (t−1 ))| t∈K

|τ (ϕ)|

sup |τi (ψ) − τ (ψ)|. |τ (ϕ)| ψ∈{ϕ◦γG (t−1 )|t∈K}

Legyen ε′ ∈]0, 1[ tetszőleges valós szám.

A lim τi (ϕ) = τ (ϕ) feltétel alapján van i, I

olyan i1 ∈ I, hogy i1 ≥ i0 és minden i ∈ I indexre, i ≥ i1 esetén |1 − ci | < ε′ , 1 ε′ így − 1 < . Ugyanakkor a G → K (G; C); t 7→ ϕ ◦ γG (t−1 ) függvény ci 1 − ε′ folytonos a k · kβ,1 norma által generált K (G; C) feletti topológia szerint, és K ⊆ G kompakt halmaz, ezért a {ϕ ◦ γG (t−1 )|t ∈ K} halmaz kompakt K (G; C)-ben. A (τi )i∈I általánosított funkcionál-sorozat a funkcionálnormában korlátos és pontonként konvergál τ -hoz, ezért (τi )i∈I az L1C (G, β) minden kompakt részhalmazán (így a {ϕ◦γG (t−1 )|t ∈ K} halmazon is) egyenletesen konvergens. Ezért van olyan i2 ∈ I, hogy minden i ∈ I, i ≥ i2 indexre sup |τi (ψ) − τ (ψ)| < ε′ . ψ∈{ϕ◦γG (t−1 )|t∈K}

Tehát, ha i ∈ I, i ≥ i1 , i2 és s ∈ K, akkor |χi (s) − χ(s)| ≤

ε′ ε′ kϕkβ,1 + . (1 − ε′ )|τ (ϕ)| |τ (ϕ)| 208

Tehát, ha ε ∈ R+ tetszőleges, és az ε′ ∈ R+ számot úgy választjuk meg, hogy ε′ < 1 és ε′ ε′ kϕkβ,1 + <ε (1 − ε′ )|τ (ϕ)| |τ (ϕ)| teljesül, akkor az ε′ -höz imént értelmezett i1 , i2 ∈ I indexeknél bármely nagyobb-egyenlő i∗ ∈ I elemet véve, teljesül az, hogy minden i ∈ I, i ≥ i∗ esetén sup |χi (s) − χ(s)| < ε. s∈K

Ez azt jelenti, hogy a (χi )i∈I általánosított függvénysorozat χ-hez konvergál a G minden kompakt részhalmazán egyenletesen.  8.1.4. Következmény. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor G a pontonként értelmezett szorzással és a Gelfand-topológiával ellátva szintén kommutatív lokálisan kompakt csoport. Bizonyítás. Csak azt kell igazolni, hogy a G feletti Gelfand-topológia csoport-topológia. Ehhez minden G ∋ χ-re, K ⊆ G kompakt halmazra és R+ ∋ ε-ra legyen WK,ε (χ) := {χ′ ∈ G | (∀ s ∈ K) : |χ′ (s) − χ(s)| < ε}. Az előző állítás szerint minden χ ∈ G esetén a WK,ε (χ) alakú halmazok a χ környezetbázisát alkotják a Gelfand-topológia szerint, ha K befutja a G kompakt részhalmazainak halmazát és ε befutja R+ -t. Legyenek χ1 , χ2 ∈ G rögzítettek, valamint K ⊆ G kompakt halmaz és ε ∈ R+ . Ekkor δ ∈ R+ és δ 2 + 2δ < ε esetén WK,δ (χ1 ) · WK,δ (χ2 ) ⊆ WK,ε(χ1 χ2 ), mert ha s ∈ K, akkor χ′1 ∈ WK,δ (χ1 ) és χ′2 ∈ WK,δ (χ2 ) esetén |(χ′1 χ′2 )(s) − (χ1 χ2 )(s)| ≤ |χ′1 (s) − χ1 (s)||χ′2 (s) − χ2 (s)|+ +|χ′1 (s) − χ1 (s)||χ2 (s)| + |χ1 (s)||χ′2 (s) − χ2 (s)| < δ 2 + 2δ < ε. Ez azt jelenti, hogy a G feletti pontonkénti szorzás-függvény folytonos a Gelfandtopológia szerint. Legyen χ ∈ G rögzített, valamint K ⊆ G kompakt halmaz és ε ∈ R+ . WK,ε (χ)−1 ⊆ WK,ε (χ−1 ), hiszen ha χ′ ∈ WK,ε(χ), akkor minden K ∋ s-re

Ekkor

−1

|χ′ (s) − χ−1 (s)| = |χ′ (s) − χ(s)| = |χ′ (s) − χ(s)| < ε. Ez azt jelenti, hogy a G feletti inverzió (ami egyenlő a konjugálással) folytonos a Gelfandtopológia szerint.  209

8.1.5. Következmény. Ha G σ-kompakt kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor G a pontonként értelmezett szorzással és a Gelfand-topológiával ellátva metrizálható kommutatív lokálisan kompakt csoport. Bizonyítás. A G lokálisan kompakt tér σ-kompaktsága miatt van olyan (Kn )n∈N halmazsorozat, hogy minden n ∈ N esetén Kn ⊆ G kompakt halmaz, és minden K ⊆ G kompakt halmazhoz létezik olyan n ∈ N, amelyre K ⊆ Kn . Ha (εn )n∈N tetszőleges R+ ban haladó zérussorozat, akkor a (WKn ,εm (1G ))(m,n)∈N×N halmazrendszer a G lokálisan kompakt csoport neutrális elemének megszámlálható környezetbázisa, hiszen minden K ⊆ G kompakt halmazhoz és ε ∈ R+ számhoz van olyan n ∈ N és m ∈ N, hogy K ⊆ Kn és εm < ε, így WKn ,εm (1G ) ⊆ WK,ε (1G ). Tehát G a pontonként értelmezett szorzással és a Gelfand-topológiával ellátva metrizálható lokálisan kompakt csoport. 

8.2.

Fourier-transzformáció

8.2.1. Állítás. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett, akkor a f 7→ f ◦ σβ σβ# : K (X(L1C (G, β)); C) → K (G; C); leképezés *-izomorfizmus, és az

F β := σβ# ◦ GL1C (G,β) : L1C (G, β) → K (G; C) leképezés olyan injektív *-algebra-morfizmus, amelyre minden ϕ ∈ K (G; C) és χ ∈ G esetén Z F β (ϕ) (χ) = ϕ.χ dβ G

teljesül, továbbá Im(F β ) sup-normában sűrű *-részalgebrája K (G; C)-nek. Bizonyítás. Az [19, 18.3.2.]-ben igazoltuk az absztrakt Stone-tételt, amely szerint az A kommutatív Banach-*-algebrának a (K (Xsa (A); C), GA,sa) pár fedő C ∗ -algebrája. Ezt alkalmazzuk az L1C (G, β) kommutatív Banach-*-algebrára, és kihasználjuk azt, hogy Xsa (L1C (G, β)) = X(L1C (G, β)) (így GL1C (G,β),sa = GL1C (G,β) ). Arra a következtetésre jutunk, hogy a (K (X(L1C (G, β)); C), GL1C(G,β) ) pár fedő C ∗ -algebrája L1C (G, β)-nak. Tudjuk, hogy az L1C (G, β) Banach-*-algebrának létezik hű ábrázolása (még akkor is, ha G nem kommutatív); legyen π hű ábrázolása L1C (G, β)-nak a H Hilbert-térben. A fedő C ∗ -algebra definíciója szerint létezik olyan πe : K (X(L1C (G, β); C) → L (H ) ábrázolás, amelyre πe ◦ GL1C (G,β) = π. Tehát a π injektivitásából következik, a GL1C (G,β) Gelfand-reprezentáció injektivitása. Ugyanakkor, a fedő C ∗ -algebrában a fedő leképezés értékkészlete C ∗ -normában sűrű *-részalgebra. Ezért Im(GL1C (G,β) ) a sup-normában sűrű *-részalgebra K (X(L1C (G, β); C)-ban. 210

Láttuk, hogy a σβ : G → X(L1C (G, β)) leképezés homeomorfizmus, ezért a σβ# : K (X(L1C (G, β)); C) → K (G; C);

f 7→ f ◦ σβ

függvény *-izomorfizmus. Ebből a fentiek alapján következik, hogy a σβ# ◦ GL1C (G,β) leképezés injektív *-algebra-morfizmus, és az értékkészlete sup-normában sűrű *-részalgebra K (G; C)-ban. Ha ϕ ∈ K (G; C) és χ ∈ G, akkor a definíció szerint F β (ϕ) (χ) :=

σβ# ◦ GL1C (G,β) (ϕ) (χ) =

GL1C (G,β) (ϕ) ◦ σβ (χ) =

= GL1C (G,β) (ϕ) (σβ (χ)) := (σβ (χ)) (ϕ) =

Z

ϕ.χ dβ. 

G

8.2.2. Definíció. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett, akkor az F β := σβ# ◦ GL1C (G,β) : L1C (G, β) → K (G; C) leképezést a G konjugált Fourier-transzformációjának nevezzük, míg az 1 Fβ := i# b ◦ F β : LC (G, β) → K (G; C) G

leképezést a G Fourier-transzformációjának nevezzük, ahol i# b : K (G; C) → K (G; C); G

f 7→ f ◦ iGb.

A definíció alapján nyilvánvaló, hogy ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett, akkor minden ϕ ∈ K (G; C) és χ ∈ G esetén F β (ϕ) (χ) =

Z

ϕ.χ dβ,

(Fβ (ϕ)) (χ) =

G

Z

ϕ.χ dβ,

G

hiszen ezt a konjugált Fourier-transzformációra az imént igazoltuk, és ha ϕ ∈ K (G; C) és χ ∈ G, akkor a Fourier-transzformáció definíciója szerint (Fβ (ϕ)) (χ) :=







i# b ◦ F β (ϕ) (χ) = G

F β (ϕ) ◦ iGb (χ) =

= F β (ϕ) (χ−1 ) = F β (ϕ) (χ) =

Z

ϕ.χ dβ.

G

Továbbá, az F β , Fβ : L1C (G, β) → K (G; C) 211

Fourier-transzformációk mindketten olyan injektív *-algebra-morfizmusok, amelyek értékkészlete sup-normában sűrű *-részalgebra K (G; C)-ban, hiszen ezt a konjugált Fourier-transzformációra az imént igazoltuk, és Fourier-transzformációra azért igaz, mert az iGb inverzió homeomorfitása folytán az i# b : K (G; C) → K (G; C); G

f 7→ f ◦ iGb

leképezés *-automorfizmus.

8.2.3. Állítás. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett, akkor minden ϕ, ψ ∈ K (G; C) és χ ∈ G esetén Fβ (χ.ϕ) = Fβ (ϕ) ◦ γGb(χ−1 ), (χ.ϕ) ∗(χ.ψ) = χ.(ϕ ∗ ψ). β

β

Bizonyítás. Ha χ′ ∈ G tetszőleges, akkor a definíció alapján ′

(Fβ (χ.ϕ)) (χ ) :=

Z

(χ.ϕ).χ′

dβ =

Z

ϕ.χ−1 .χ′ dβ =:

G

G

=: (Fβ (ϕ)) (χ−1 .χ′ ) =: Fβ (ϕ) ◦ γGb(χ−1 ) (χ′ ),

vagyis Fβ (χ.ϕ) = Fβ (ϕ) ◦ γGb(χ−1 ).

Ha s ∈ G, akkor a konvolúció értelmezése alapján ((χ.ϕ) ∗(χ.ψ))(s) := β

= χ(s)

Z

G

Z

(χ.ϕ)(t)(χ.ψ)(t−1 s) dβ(t) =

Z

χ(t)ϕ(t)χ(t−1 s)ψ(t−1 s) dβ(t) =

G

G

ϕ(t)ψ(t−1 s) dβ(t) =: χ(s)(ϕ ∗ ψ)(s) = χ.(ϕ ∗ ψ) (s), β

β

vagyis (χ.ϕ) ∗(χ.ψ) = χ.(ϕ ∗ ψ).  β

β

8.2.4. Állítás. Ha G kommutatív diszkrét csoport, akkor G kompakt csoport. Ha G kommutatív kompakt csoport, akkor G diszkrét csoport. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy G kommutatív diszkrét csoport, és legyen β Haar-mérték G felett. Tudjuk, hogy ekkor az L1C (G, β) mértékalgebra egységelemes, így az X(L1C (G, β)) karaktertér felett a Gelfand-topológia kompakt. Ugyanakkor ez a topologikus tér a definíció szerint homeomorf a G topologikus térrel, tehát G kompakt. Tegyük fel, hogy G kommutatív kompakt csoport, és legyen β a normált Haar-mérték 212

G felett. Ekkor Fβ (1G ) : G → C folytonos függvény, és tudjuk, hogy χ ∈ G és χ 6= 1G esetén Z Fβ (1G )(χ) := χ dβ = 0, G

tehát Fβ (1) megegyezik az {1G } halmaz karakterisztikus függvényével. Ezért az {1G } halmaz nyílt G-ben, így a G lokálisan kompakt tér diszkrét.  8.2.5. Következmény. A Z → U; n 7→ idnU leképezés izomorfizmus a Z és U topologikus csoportok között. Bizonyítás. Láttuk, hogy ez a függvény csoport-izomorfizmus (7.1.4.). A Z topológiája diszkrét, és az előző állítás szerint U topológiája is diszkrét, így minden közöttük ható bijekció homeomorfizmus.  8.2.6. Állítás. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett. Az L1C (G, β) Banach-*-algebra pontosan akkor C ∗ -algebra, ha minden ϕ ∈ K (G; C) esetén Z sup b G χ∈G

ϕ.χ

dβ

=

Z

G

|ϕ| dβ.

Bizonyítás. Az itt álló egyenlőség azzal ekvivalens, hogy az F β : L1C (G, β) → K (G; C) operátor izometria az L1C (G, β) Banach-*-algebra normája és a K (G; C) algebra C ∗ -normája szerint, hiszen K (G; C) sűrű az L1C (G, β) Banach-*-algebrában, és F β folytonos. Ha L1C (G, β) C ∗ -algebra, akkor az F β *-algebra-morfizmus norma-nemcsökkentő, mert injektív ([19, 18.2.1.]); ezért ekkor a konjugált Fourier-transzformáció izometria. Megfordítva, ha F β izometria, akkor nyilvánvaló, hogy az L1C (G, β) normája C ∗ -norma, hiszen K (G; C) felett a sup-norma C ∗ -norma.  Példa. Megmutatjuk, hogy az U kommutatív kompakt csoport esetében az L1C (U, β) Banach-*-algebra nem C ∗ -algebra, ahol β a normált Haar-mérték U felett. Valóban, 7.1.4.-ben igazoltuk, hogy U = {idnU | n ∈ Z}, ezért Z sup b U χ∈U

(1+idU ) χ

=

Z sup n∈Z U

dβ

=

Z sup n∈Z U

idnU dβ+

Z

U

213

(1+idU ) idnU

idn+1 U

dβ

= 1,

dβ

=

hiszen kompakt csoport nemtriviális folytonos unitér karakterének az integrálja Haarmérték szerint nulla (7.1.2.), így minden Z ∋ n-re Z

idnU dβ +

Z

U

U

 1

, ha n = 0 vagy n = −1, idn+1 dβ =  U 0 , egyébként.

Ugyanakkor elemi számolás mutatja, hogy Z

U

következésképpen

1 |1 + idU | dβ = 2π Z sup b U χ∈U

(1 + idU )χ

Z2π 0

|1 + eit | dµR (t) =

dβ

6=

Z

U

4 , π

|1 + idU | dβ.

8.2.7. Definíció. A G kommutatív lokálisan kompakt csoportot önduálisnak nevezzük, ha a G és G topologikus csoportok izomorfak. Példa. Legyen E véges dimenziós valós vektortér. Az E és E ∗ halmazt lássuk el az összeadással, mint csoportművelettel, és az egyetlen szeparált lineáris topológiával (vagyis az euklidészi topológiával). Ekkor E önduális kommutatív lokálisan kompakt csoport. Valóban, minden p ∈ E ∗ esetén a χp : E → U;

x 7→ ei·p(x)

leképezés eleme E-nak, és belátható, hogy az E ∗ → E;

p 7→ χp

leképezés (kitüntetett) izomorfizmus az E ∗ és E csoportok között. Ugyanakkor létezik (nem kitüntetett) izomorfizmus az E és E ∗ csoportok között, hiszen bármely E → E ∗ lineáris bijekció csoport-izomorfizmus és homeomorfizmus.

8.3.

Stone-tétel és unitér ábrázolás spektruma

8.3.1. Tétel. (A Stone-tétel alapformája) Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett. Ha V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilberttérben, akkor létezik egyetlen olyan P : K (G; C) → L (H ) nemelfajult ábrázolás, amelyre P ◦ F β = Vβ . Megfordítva, ha P : K (G; C) → L (H ) tetszőleges nemelfajult ábrázolás, akkor egyértelműen létezik G-nek olyan V folytonos unitér ábrázolása, amelyre P ◦ F β = Vβ . 214

Bizonyítás. Az absztrakt Stone-tétel ([19, 18.3.2.]) szerint a (K (Xsa (L1C (G, β)); C), GL1C (G,β),sa ) pár fedő C ∗ -algebrája az L1C (G, β) kommutatív Banach-*-algebrának, és láttuk, hogy Xsa (L1C (G, β)) = X(L1C (G, β)) és GL1C (G,β),sa = GL1C (G,β) . Tehát minden H Hilbert-térhez és minden π : L1C (G, β) → L (H ) (nemelfajult) ábrázoláshoz egyértelműen létezik olyan πe : K (X(L1C (G, β)); C) → L (H ) (nemelfajult) ábrázolás, hogy π = πe ◦ GL1C (G,β) .

Legyen V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben. Ekkor Vβ nemelfajult ábrázolása L1C (G, β)-nak H -ban. Legyen πe : K (X(L1C (G, β)); C) → L (H ) az a nemelfajult ábrázolás, amelyre Vβ = πe ◦ GL1C (G,β) . Tudjuk, hogy a σβ# : K (X(L1C (G, β)); C) → K (G; C);

f 7→ f ◦ σβ

leképezés *-izomorfizmus, mert a σβ : G 7→ X(L1C (G, β)) függvény homeomorfizmus. Ekkor a P := πe ◦ (σβ# )−1 : K (G; C) → L (H )

leképezés olyan nemelfajult ábrázolás, amelyre az F β konjugált Fourier-transzformáció definíciója alapján Vβ = πe ◦ GL1C (G,β) = πe ◦ (σβ# )−1 ◦ σβ# ◦ GL1C (G,β) = P ◦ F β .

Ha P ′ : K (G; C) → L (H ) szintén olyan nemelfajult ábrázolás, amelyre Vβ = P ′ ◦ F β , akkor P ′ = P az Im(F β ) halmazon, amely sűrű a K (G; C) C ∗ -algebrában. Ugyanakkor P és P ′ mindketten folytonosak a C ∗ -normák szerint, így P = P ′ . Megfordítva, legyen P : K (G; C) → L (H ) tetszőleges nemelfajult ábrázolás. Ekkor a P ◦ σβ# ◦ GL1C (G,β) : L1C (G, β) → L (H ) leképezés nemelfajult ábrázolása az L1C (G, β) Banach-*-algebrának a H Hilbert-térben, tehát a harmonikus analízis alaptétele (6.4.6.) szerint létezik egyetlen olyan V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben, amelyre Vβ = P ◦σβ# ◦GL1C (G,β) . Ugyanakkor a definíció szerint, F β := σβ# ◦ GL1C (G,β) , ezért Vβ = P ◦ F β . Ha V ′ szintén olyan folytonos unitér ábrázolása G-nek, amelyre Vβ′ = P ◦ F β , akkor Vβ′ = Vβ , ezért V ′ = V .  8.3.2. Definíció. A T lokálisan kompakt tér feletti projektorintegrálnak nevezzük a K (T ; C) C ∗ -algebra minden nemelfajult ábrázolását. Tehát a Stone-tétel alapformája szerint a G kommutatív lokálisan kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásainak meghatározása egyenértékű a G lokálisan kompakt tér feletti projektorintegrálok meghatározásával. 215

8.3.3. Definíció. Ha R halmazgyűrű a T halmaz felett és H Hilbert-tér, akkor egy p : R → L (H ) projektor-értékű additív függvényt nemelfajultnak nevezünk, ha az S

E∈R

S

Im(p(E)) halmaz lineáris burka sűrű H -ban, vagyis

E∈R

⊥

= {0}.

Im(p(E))

Megjegyzések. Legyen R halmazgyűrű a T halmaz felett, H Hilbert-tér, és p : R → L (H ) projektor-értékű additív függvény. 1) Fennáll az [

⊥

Im(p(E))

=

E∈R

\

Ker(p(E))

E∈R

egyenlőség, mert minden E ∈ R esetén, p(E)∗ = p(E) miatt (Im(p(E)))⊥ = Ker(p(E)). T Ebből következik, hogy p pontosan akkor nemelfajult, ha Ker(p(E)) = {0}. E∈R

2) Minden H ⊆ EC (T, R) nem üres halmazra \

Ker

ϕ∈H

Z

ϕ dp

\

=

Z

Ker

ϕ∈spanH

T

ϕ dp

T

teljesül, ahol span(H) jelöli a H halmaz lineáris burkának sup-norma szerinti lezártját EC (T, R)-ben. Ehhez legyen η ∈ H olyan, hogy minden ϕ ∈ H esetén

Z

ϕ dp

(η) =

T

0. Ekkor a p által generált egyszerű integrál linearitása folytán minden span(H) ∋ ϕ-re Z

T

ϕ dp

(η) = 0, ahol span(H) jelöli a H függvényhalmaz lineáris burkát. Ha ϕ ∈

span(H), akkor létezik olyan (ϕn )n∈N sorozat span(H)-ban, amely egyenletesen konvergál ϕ-hez a T halmazon. Ekkor az

Z

operátorsorozat konvergál

ϕn dp

T

n∈N

operátornorma szerint, így pontonként is, így

Z

ϕ dp

(η) = lim

n→∞

Ker(p(E)) =

Z

Ker

ϕ∈EbC (T,R)

E∈R

ϕ dp

T

egyenlőség, mert a bal oldalon álló halmaz úgy írható, hogy \

E∈R

Ker

Z

T

216

Z

T

3) Teljesül a \

ϕ dp-hez az

T

T

\

Z

χE dp

,

ϕn dp

(η) = 0.

tehát elég a 2) állítást alkalmazni a H := {χE |E ∈ R} választással, figyelembe véve azt, hogy erre a H halmazra span(H) = EC (T, R) és span(H) = EC (T, R). 4) Ha T ∈ R (vagyis R halmazalgebra T felett), akkor a p nemelfajultsága ekvivalens azzal, hogy p(T ) = idH . Valóban, ha p(T ) = idH , akkor [

⊥

Im(p(E))

E∈R

⊆ (Im(p(T )))⊥ = H ⊥ = {0},

vagyis p nemelfajult. Megfordítva, ζ ∈ H esetén ζ − p(T )ζ ∈

[

⊥

Im(p(E))

,

E∈R

mert minden E ∈ R és η ∈ H esetén (ζ − p(T )ζ|p(E)η) = (ζ|p(E)η) − (p(T )ζ|p(E)η) = = (ζ|p(E)η) − (ζ|p(T )p(E)η) = 0,

hiszen p(T )p(E) = p(T ∩ E) = p(E). Tehát, ha p nemelfajult, akkor szükségképpen p(T ) = idH . 8.3.4. Definíció. Ha T lokálisan kompakt tér, akkor T feletti Baire-féle projektormértéknek nevezünk minden B0 (T ) → L (H ) nemelfajult projektor-értékű σ-ortoadditív függvényt, ahol B0 (T ) a T Baire-féle σ-gyűrűje és H Hilbert-tér ([19, 29.4.1.] és [19, 30.1.1.]). Tehát, ha T lokálisan kompakt tér és H Hilbert-tér, akkor egy p : B0 (T ) → L (H ) függvény pontosan akkor Baire-féle projektormérték T felett, ha – minden E ∈ B0 (T ) Baire-halmaz esetén p(E)∗ = p(E) = p(E)2 (vagyis p projektor-értékű); – a T Baire-halmazainak bármely (Ek )k∈N diszjunkt sorozatára a (p(Ek ))k∈N projektorsorozat szuprémuma a P(L (H )) projektorhálóban megegyezik a p ral (vagyis p σ-ortoadditív); – fennáll az

S

E∈B0 (T )

Im(p(E))

!⊥

S

k∈N

Ek

= {0} egyenlőség (vagyis p nemelfajult).

217

projektor-

8.3.5. Lemma. Ha T lokálisan kompakt tér, H Hilbert-tér és p : B0 (T ) → L (H ) projektor-értékű σ-ortoadditív függvény, akkor [

⊥

Im(p(E))

=

E∈B0 (T )

\

Ker

ϕ∈K (T ;C)

Z

ϕ dp

=

\

Ker

ϕ∈K (T ;C)

T

Z

ϕ dp

.

T

Bizonyítás. A 2) megjegyzés alapján a második és a harmadik halmaz egyenlő, hiszen K (T ; C) egyenlő a K (T ; C) függvényhalmaz sup-norma szerinti lezártjával. A [19, 30.3.5.] szerint K (T ; C) ⊆ EC (T, B0 (T )), így a 3) és 1) megjegyzések alapján az első halmaz része a másodiknak. (Ezek az állítások akkor is igazak, ha p nem σ-ortoadditív.) Ezért elég azt igazolni, hogy a harmadik halmaz része az elsőnek. Legyen η ∈ H olyan, hogy minden ϕ ∈ K (T ; C) esetén mezzük az

Z

(η) = 0, és értel-

ϕ dp

T

A := {E ∈ B0 (T ) | η ∈ Ker(p(E))}

halmazt. Ha A olyan σ-gyűrű volna, amelynek a T minden kompakt Gδ részhalmaza eleme, akkor A = B0 (T ) teljesülne, tehát az adódna, hogy minden E ⊆ T Bairehalmazra p(E)(η) = 0 teljesülne; és ezt kell igazolni. Az nyilvánvaló, hogy A halmazgyűrű, mert E, F ∈ A esetén p(E ∪ F ) = p(E) + p(F ) − p(E)p(F ) és p(E \ F ) = p(E) − p(E)p(F ). (Eddig ezek az állítások akkor is igazak, ha p nem σ-ortoadditív). Legyen (En )n∈N diszjunkt sorozat A -ban. Ekkor a p σ-ortoadditivitása folytán a

X

p(En ) operátorsor konvergál a p

n∈N

S

n∈N

En operátorhoz a

σ(L (H ), M) topológia szerint, ahol M az {ωζ,ξ |(ζ ∈ H ) ∧ (ξ ∈ H )} funkcionálhalmaz

lineáris burka ([19, 24.5.1.]). Ekkor a

X

p(En ) operátorsor konvergál a p

n∈N

operátorhoz pontonként a H halmazon, tehát p S

n∈N

S

n∈N

En (η) =

∞ X

S

n∈N

En

p(En )(η) = 0, tehát

n=0

En ∈ A . Ebből már következik, hogy A σ-gyűrű ([19, 30.1.4.]).

Legyen K ⊆ T kompakt Gδ -halmaz; azt kell igazolni, hogy K ∈ A . A K-hoz létezik olyan (ϕn )n∈N monoton fogyó sorozat K (T ; R)-ben, hogy minden n ∈ N esetén 0 ≤ ϕn ≤ 1 és χK = inf ϕn . Minden f ∈ M esetén f ◦ p : B0 (T ) → C korlátos σ-additív n∈N halmazfüggvény, tehát komplex mérték, így a klasszikus Levi-tétel alapján f (p(K)) =

Z

T

χK d(f ◦ p) = lim

n→∞

Z

T

ϕn d(f ◦ p) = lim f

218

n→∞

Z

T

ϕn dp

.

Speciálisan, ξ ∈ H esetén ez az ωη,ξ ∈ M funkcionálra is igaz, tehát (p(K)(η)|ξ) = ωη,ξ (p(K)) = Z

= lim ωη,ξ n→∞

ϕn dp

Z

= lim

n→∞

tehát K ∈ A . 

(η) ξ

=0,

T

T

mert a hipotézis szerint η ∈

ϕn dp

T

Z

Ker

ϕ∈K (T ;C)

ϕ dp . Ez azt jelenti, hogy p(K)(η) = 0,

T

8.3.6. Tétel. (Stone-tétel) Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett. Ha V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben, akkor létezik egyetlen olyan p : B0 (G) → L (H ) Baire-féle projektormérték G felett, amelyre minden θ ∈ L1C (G, β) esetén Vβ (θ) =

Z

F β (θ) dp.

b G

Megfordítva, ha H Hilbert-tér és p : B0 (G) → L (H ) tetszőleges Baire-féle projektormérték G felett, akkor egyértelműen létezik G-nek olyan V folytonos unitér ábrázolása, Z 1 amelyre minden θ ∈ LC (G, β) esetén Vβ (θ) = F β (θ) dp. b G

Bizonyítás. Legyen V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben. A Stonetétel alapformája szerint vehetjük azt a P : K (G; C) → L (H ) nemelfajult ábrázolást, amelyre minden θ ∈ L1C (G, β) esetén Vβ (θ) = P (F β (θ)). Ugyanakkor L (H ) C ∗ algebra ultraspektrális, így az ultraspektrális C ∗ -algebrákra vonatkozó spektráltétel ([19, 24.5.4.]) alapján egyértelműen létezik olyan p : B0 (G) → L (H ) projektor-értékű σortoadditív függvény, hogy a p által generált egyszerű integrál a P -nek kiterjesztése, így minden θ ∈ L1C (G, β) esetén Z

F β (θ) dp = P (F β (θ)) = Vβ (θ).

b G

Ha p′ : B0 (G) → L (H ) szintén olyan projektor-értékű σ-ortoadditív függvény, amelyre Z minden θ ∈ L1C (G, β) esetén Vβ (θ) =

F β (θ) dp′ , akkor a p′ által generált egysze-

b G

rű integrál egyenlő a p által generált egyszerű integrállal az Im(F β ) halmazon, ami sup-normában sűrű K (G; C)-ben. Ebből következik, hogy ezek az egyszerű integrálok 219

egyenlők a K (G; C) halmazon, így az ultraspektrális C ∗ -algebrákra vonatkozó spektráltétel unicitás-része alapján p′ = p. A p nemelfajultságának bizonyításához legyen η ∈ S

Im(p(E))

E∈B0 (T )

!⊥

. Ekkor az 1) és 3) megjegyzés, valamint K (G; C) ⊆ EC (G, B0 (G))

miatt minden ψ ∈ K (G; C) esetén

Z

ψ dp

b G

(η) = 0, ezért minden L1C (G, β) ∋ θ-ra Z

Vβ (θ) (η) = P (F β (θ)) (η) = hiszen F β (θ)∈K (G; C).

F β (θ) dp

(η) = 0,

b G

Ez természetesen azt jelenti, hogy minden θ ∈ L1C (G, β) ⊥

esetén η ∈ Ker(Vβ (θ)) = Im(Vβ (θ∗ )) . Tehát az η vektor ortogonális H -ban az S Im(Vβ (θ)) halmazra, így η = 0, mert a Vβ ábrázolás nemelfajult. θ∈L1C (G,β)

Legyen most H Hilbert-tér és p : B0 (G) → L (H ) tetszőleges Baire-féle projektormérték G felett. A p által generált egyszerű integrál az EC (G, B0 (G)) kommutatív C ∗ algebrának ábrázolása a H Hilbert-térben, és az F β konjugált Fourier-transzformáció *-algebra-morfizmus L1C (G, β) és K (G; C) között. Ezért a L1C (G, β)

π:

→ L (H );

θ 7→

Z

F β (θ) dp

b G

leképezés ábrázolása az Banach-*-algebrának. Ha π nemelfajult volna, akkor a harmonikus analízis alaptétele szerint egyértelműen létezne G-nek olyan V folytonos unitér ábrázolása H -ban, amelyre minden θ ∈ L1C (G, β) esetén Vβ (θ) = π(θ) := Z L1C (G, β)

F β (θ) dp, és ezzel a bizonyítást befejezhetnénk. A π nemelfajultságának bizonyítá-

b G

sához legyen η ∈ H olyan, amely ortogonális az Z

L1C (G, β), akkor

Im(π(θ)) halmazra. Ha θ ∈

(η) =: π(θ)(η) = 0, így η ∈

F β (θ) dp

b G

S

θ∈L1C (G,β)

T

Ker

ψ∈Im(F β )

Z

ψ dp .

b G

De Im(F β ) a sup-norma szerint sűrű K (G; C)-ben, ezért a 2) megjegyzés alapján \

Ker

ψ∈Im(F β )

Z

b G

ψ dp

=

\

b ψ∈K (G;C)

Ker

Z

ψ dp

.

b G

Most már elég az előző lemmát alkalmazni ahhoz, hogy látható legyen az η ∈ S

E∈B0 (T )

Im(p(E))

!⊥

összefüggés (itt is kihasználjuk a p σ-ortoadditivitását). 220

A p

nemelfajultsága miatt η = 0, tehát π is nemelfajult.  Tehát, ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor a G folytonos unitér ábrázolásai kitüntetett módon azonosulnak a G feletti Baire-féle projektormértékekkel. 8.3.7. Definíció. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, β Haar-mérték, és V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben, akkor a V spektrálfelbontásának nevezzük azt a p : B0 (G) → L (H ) Baire-féle projektormértéket G felett, amelyre minden θ ∈ L1C (G, β) esetén Z Vβ (θ) =

F β (θ) dp.

b G

Végül bebizonyítjuk a Stone-tétel egy nagyon erős alakját megszámlálható bázisú kommutatív lokálisan kompakt csoportok esetére. Ehhez két előkészítő állításra lesz szükségünk. 8.3.8. Lemma. Ha G megszámlálható bázisú kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor G is megszámlálható bázisú lokálisan kompakt csoport. Bizonyítás. A G topologikus tér topologikus altere a kompakt konvergencia topológiájával ellátott C (G; C) függvénytérnek, amely szeparábilis és metrizálható (3.3.3.), tehát megszámlálható bázisú. Ezért a G topologikus tér is megszámlálható bázisú.  Ha G megszámlálható bázisú kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor G metrizálható lokálisan kompakt tér, így benne a Baire- és Borel-halmazok ugyanazok, tehát a G Baire-féle σ-gyűrűje (vagyis B0 (G)) egyenlő a G Borel-féle σ-algebrájával (vagyis B(G)-pal). Továbbá, ekkor EC (G, B0 (G)) megegyezik a G → C korlátos Borelfüggvények halmazával (vagyis FCb (G, B(G))-pal). Speciálisan; minden G → C korlátos folytonos függvény eleme EC (G, B0 (G))-nak, hiszen ezek Borel-függvények. Tehát, ha H Hilbert-tér és p : B(G) → L (H ) tetszőleges projektor-értékű additív függvény, akkor minden f : G → C korlátos folytonos függvényre értelmezve van az Z

f (χ) dp(χ)

b G

egyszerű integrál, amely folytonos lineáris operátor H felett. 8.3.9. Lemma. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor a G × G → C;

(s, χ) 7→ χ(s)

leképezés folytonos.

221

Bizonyítás. Legyen (s0 , χ0 ) ∈ G × G rögzített pont, és ε ∈ R+ tetszőleges. A χ0 : G → C függvény folytonos az s0 pontban, ezért létezik eG -nek olyan U kompakt környezete, amelyre minden s ∈ s0 U esetén |χ0 (s) − χ0 (s0 )| ≤ ε/2. Ekkor a Ws0 U,ε/2 (χ0 ) := {χ ∈ G|(∀s ∈ s0 U) : |χ(s) − χ0 (s)| ≤ ε/2} halmaz a χ0 -nak környezete G-ban a Gelfandtopológia szerint, és (s, χ) ∈ (s0 U) × Ws0 U,ε/2 (χ0 ) esetén |χ0 (s) − χ0 (s0 )| ≤ ε/2, valamint |χ(s) − χ0 (s)| ≤ ε/2, következésképpen |χ(s) − χ0 (s0 )| ≤ ε.  8.3.10. Tétel. (Stone-tétel) Legyen G megszámlálható bázisú kommutatív lokálisan kompakt csoport. Ha H Hilbert-tér és p : B(G) → L (H ) Baire-féle projektormérték G felett, akkor minden s ∈ G esetén a G → L (H );

s 7→

Z

χ(s) dp(χ)

b G

leképezés olyan folytonos unitér ábrázolása G-nek H -ban, amelynek spektrálfelbontása egyenlő p-vel. Megfordítva, ha V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben, és p a V spektrálfelbontása, akkor p olyan Baire-féle projektormérték G felett, amelyre minden s ∈ G esetén Z V (s) = χ(s) dp(χ). b G

Bizonyítás. (I) Legyen H Hilbert-tér és p : B(G) → L (H ) Baire-féle projektormérték G felett. Minden s ∈ G esetén legyen sˆ : G → C; χ 7→ χ(s); ekkor sˆ : G → C korlátos folytonos függvény G felett (valójában ez a G kommutatív lokálisan kompakt csoportnak Z folytonos unitér karaktere). Ha s ∈ G, akkor az

értelmezett, Z

b G

és eleme L (H )-nak, hiszen sˆ : G → C korlátos folytonos függvény és Z

sˆ dp. A p által generált egyszerű integrál ábrázolása az FCb (G, B(G))

χ(s) dp(χ) =

b G

χ(s) dp(χ) egyszerű integrál jól

b G

függvény-*-algebrának H -ban, továbbá p(G) = idH , ezért minden s, s1 , s2 ∈ G esetén ∗

Z

valamint Z

b G

sˆ dp

b G

s1 s2 dp =

Z

b G

=

Z

b G

sc1 sc2 dp =

sˆ dp =

Z

b G

222

Z

s−1 dp,

b G

sc1 dp

◦

Z

b G

sc2 dp

,

és persze

Z

b G

eG dp = p(G) = idH . Ebből látszik, hogy minden s ∈ G esetén az

operátor unitér, és a V : G → L (H );

s 7→

Z

χ(s) dp(χ)

Z

sˆ dp

b G

b G

leképezés unitér ábrázolása a G csoportnak H -ban. Ez az unitér ábrázolás folytonos. Ennek bizonyításához minden ζ, η ∈ H esetén vezessük be az ωζ,η : L (H ) → C; u 7→ (u(ζ)|η) függvényt, amely folytonos lineáris funkcionál az L (H ) C ∗ -algebra felett, és legyen pζ,η := ωζ,η ◦ p. Ha ζ, η ∈ H , akkor a pζ,η : B(G) → C leképezés nyilvánvalóan korlátos additív halmazfüggvény, és ez σ-additív is, mert p σ-ortoadditív. Ezért minden ζ, η ∈ H esetén a G → R azonosan 1 függvény integrálható a pζ,η korlátos komplex mérték szerint.

Legyen s ∈ G és (sn )n∈N olyan sorozat G-ben, amely s-hez konvergál. Ekkor az (scn )n∈N függvénysorozat pontonként konvergál sˆ-hoz, mert a G minden eleme folytonos G → C függvény. Ugyanakkor minden n ∈ N esetén |scn | ≤ 1, ezért a Lebesgue-tétel alapján minden H ∋ ζ, η-ra Z Z c lim sn dpζ,η = sˆ dpζ,η . n→∞

b G

b G

Ez azt jelenti, hogy minden ζ, η ∈ H esetén a G → C;

s 7→

Z

sˆ dpζ,η

b G

leképezés folytonos. Ugyanakkor minden ζ, η ∈ H és s ∈ G esetén (V (s)ζ|η) = ωζ,η

Z

sˆ dp

=

b G

Z

b G

sˆ d(ωζ,η ◦ p) =

Z

sˆ dpζ,η ,

b G

ami azt jelenti, hogy V folytonos unitér ábrázolása G-nek H -ban. Az is látható, hogy ha β Haar-mérték G felett, akkor minden ϕ ∈ K (G; C) esetén Z

G

ϕ(s)(V (s)ζ|η) dβ(s) =

Z

G

Z

b G

223

ϕ(s)χ(s) dpζ,η (χ)

dβ(s).

Az itt álló integrálok sorrendjét fel fogjuk cserélni, azonban ehhez a mértékekre vonatkozó klasszikus Lebesgue–Fubini-tételre lesz szükség, és nem alkalmazhatjuk a Radon-mértékekre vonatkozó elemi Lebesgue–Fubini-tételt. Ehhez felhasználjuk a Rieszféle reprezentációs tételt ([19, 9.7.2.]), amely szerint a G feletti β Haar-mértékhez létezik egyetlen olyan µ : K(G) → C komplex mérték, hogy K (G; C) ⊆ LC1 (G, K(G), µ) és minden ϕ ∈ K (G; C) esetén Z β(ϕ) =

ϕ dµ,

G

ahol K(G) a G relatív kompakt Baire-halmazainak δ-gyűrűje. Ha ϕ ∈ K (G; C) és ζ, η ∈ H , akkor a G × G → C; (s, χ) 7→ ϕ(s)χ(s)

függvény folytonos, így µ ⊗ pζ,η -mérhető, valamint ezt a függvényt abszolútértékben majorálja a |ϕ| ⊗ 1 függvény, amely µ ⊗ pζ,η -integrálható, ezért a szóbanforgó függvény (az integrálhatóság kritériuma alapján) szintén µ ⊗ pζ,η -integrálható. Ezért alkalmazható a mértékere vonatkozó Lebesgue–Fubini-tétel erre a függvényre és a µ ⊗ pζ,η szorzatmértékre. A következőket kapjuk: – µ-majdnem minden s ∈ G esetén a G → C; χ 7→ ϕ(s)χ(s) függvény pζ,η -integrálható (valójában ez minden s ∈ G esetén így van, mert a G → C; χ 7→ ϕ(s)χ(s) függvény korlátos és folytonos, valamint a pζ,η mérték korlátos); – a G → C; s 7→

Z

ϕ(s)χ(s) dpζ,η (χ) leképezés µ-integrálható (ami az előzőek alapján

b G

triviális, mert ez folytonos és kompakt tartójú függvény G felett); – fennáll az Z

G

egyenlőség;

Z

ϕ(s)χ(s) dpζ,η (χ)

dµ(s) =

b G

Z

ϕ(s)χ(s) d(µ ⊗ pζ,η )(s, χ)

b G×G

– pζ,η -majdnem minden χ ∈ G esetén a G → C; s 7→ ϕ(s)χ(s) függvény µ-integrálható (valójában ez minden G ∋ χ-re nyilvánvaló, mert itt a ϕχ szorzatfüggvényről van szó, amely folytonos és kompakt tartójú); – a G → C; χ 7→

Z

ϕ(s)χ(s) dµ(s) függvény integrálható a pζ,η mérték szerint (ami

G

világos, mert ez a függvény egyenlő a F β (ϕ) konjugált Fourier-transzformálttal, amely folytonos és korlátos (sőt végtelenben eltűnő), és pζ,η korlátos mérték);

224

– fennáll az Z

egyenlőség.

Z

b G

ϕ(s)χ(s) dµ(s)

Z

dpζ,η (χ) =

ϕ(s)χ(s) d(µ ⊗ pζ,η )(s, χ)

b G×G

G

Tehát azt kaptuk, hogy minden ϕ ∈ K (G; C) és ζ, η ∈ H esetén Z

Z

ϕ(s)(V (s)ζ|η) dβ(s) =

G

=

Z

b G

Z

G

Z

ϕ(s)χ(s) dµ(s)

ϕ(s)χ(s) dpζ,η (χ)

b G

dpζ,η (χ) =

Z

dβ(s) =

F β (ϕ) dpζ,η (χ) = (Vβ (ϕ)ζ|η).

b G

G

Ez azt jelenti, hogy p megegyezik a V spektrálfelbontásával. (II) Legyen V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben, és jelölje p a V spektrálfelbontását. Ekkor p Baire-féle projektormérték G felett, és az (I) alapján a V ′ : G → L (H );

s 7→

Z

χ(s) dp(χ)

b G

leképezés olyan folytonos unitér ábrázolása G-nek H -ban, amelynek spektrálfelbontása egyenlő p-vel. Legyen β Haar-mérték G felett. A spektrálfelbontás definíciója alapján minden θ ∈ L1C (G, β) esetén teljesül az, hogy Vβ (θ) =

Z

F β (ϕ) dp = Vβ′ (θ),

b G

vagyis Vβ = Vβ′ . Ebből következik, hogy Vβ = Vβ′ , tehát ha s ∈ G és ϕ ∈ K (G; C), akkor V (s) ◦ Vβ (ϕ) = Vβ (ϕ ◦ γG (s−1 )) = Vβ′ (ϕ ◦ γG (s−1 )) = V ′ (s) ◦ Vβ′ (ϕ) = V ′ (s) ◦ Vβ (ϕ), vagyis s ∈ G esetén V (s) = V ′ (s) az

S

ϕ∈K (G;C) ′

Im(Vβ (ϕ)) halmaz által generált lineáris

altéren, ami sűrű H -ban, így V (s) = V (s). Ez azt jelenti, hogy minden s ∈ G esetén V (s) =

Z

χ(s) dp(χ). 

b G

Világos, hogy az imént bizonyított tétel megadja a megszámlálható bázisú kommutatív lokálisan kompakt csoportok folytonos unitér ábrázolásainak irreducibilisak (projektor)integrálként való előállítását. 225

8.4.

Fourier-féle δ-rendszerek

8.4.1. Definíció. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor A(G) jelöli azon f ∈ K (G; C) függvények halmazát, amelyekhez léteznek olyan (gi )i∈I és (hi )i∈I véges rendszerek K (G; C)-ben, és létezik olyan β Haar-mérték G felett, hogy f=

X i∈I

gi ∗ hi . β

Világos, hogy ha β Haar-mérték a G kommutatív lokálisan kompakt csoport felett, akkor az A(G) halmaz *-ideálja a Kβ (G; C) *-algebrának. Most megmutatjuk, hogy ez a *-ideál abban az értelemben nagy K (G; C)-ben, hogy sűrű a sup-norma és a k · kβ,1 norma szerint is. 8.4.2. Lemma. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport. Minden ϕ ∈ K (G; C) függvényhez létezik olyan A(G)-ben haladó (ϕn )n∈N sorozat és olyan K ⊆ G kompakt halmaz, hogy (ϕn )n∈N egyenletesen konvergál ϕ-hez a G halmazon, és minden n ∈ N esetén supp(ϕn ) ⊆ K. Bizonyítás. Legyen β Haar-mérték G felett, (fi )i∈I β-szerinti δ-rendszer és ϕ ∈ K (G; C). Tudjuk, hogy az (fi ∗ ϕ)i∈I általánosított sorozat egyenletesen konvergál ϕ-hez a G β

halmazon, és van olyan K ⊆ G kompakt halmaz és iK ∈ I, hogy minden i ∈ I esetén, ha i ≥ iK , akkor supp(fi ∗ ϕ) ⊆ K (6.2.5.). β

Vegyünk egy R -ban haladó (εn )n∈N zérussorozatot. Felhasználva az I előrendezett halmaz felfelé irányítottságát, a kiválasztási axiómával kombinált rekurzió-tétel alkalmazásával könnyen kiválaszthatunk olyan I-ben haladó (in )n∈N monoton növő sorozatot, amelyre minden n ∈ N esetén 9fin ∗ ϕ − ϕ 9 <εn és i0 ≥ iK . Ekkor az +

β

A(G)-ben haladó (fin ∗ ϕ)n∈N függvénysorozat és a K kompakt halmaz eleget tesz a

kívánalmaknak. 

β

8.4.3. Állítás. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett, akkor A(G) sűrű lineáris altér az L1C (G, β) mértékalgebrában. Bizonyítás. Definíció szerint K (G; C) sűrű L1C (G, β)-ban, ezért a sűrűség tranzitivitása folytán elég azt igazolni, hogy A(G) sűrű K (G; C)-ben a k · kβ,1 norma szerint.

Legyen ϕ ∈ K (G; C) rögzített függvény, és az előző lemma alapján vegyünk olyan A(G)-ben haladó (ϕn )n∈N sorozatot és olyan K ⊆ G kompakt halmazt, hogy (ϕn )n∈N egyenletesen konvergál ϕ-hez a G halmazon, és minden N ∋ n-re supp(ϕn ) ⊆ K. Legyen ψ ∈ K+ (G) olyan, hogy K ∪ supp(ϕ) ⊆ [ψ = 1]. Ekkor n ∈ N esetén |ϕn − ϕ| ≤ 9ϕn − ϕ 9 ψ, amiből következik, hogy kϕn − ϕkβ,1 ≤ 9ϕn − ϕ 9 β(ψ). 226

Ebből látható, hogy az A(G)-ben haladó (ϕn )n∈N függvénysorozat ϕ-hez konvergál a k · kβ,1 norma szerint.  8.4.4. Definíció. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett. Azt mondjuk, hogy az (fi )i∈I β-szerinti δ-rendszer Fourier-féle, ha rendelkezik a következő tulajdonsággal. (SDIII ) Minden i ∈ I esetén fi ∈ A(G), 0 ≤ Fβ (fi ) ≤ 1 és az (Fβ (fi ))i∈I általánosított függvénysorozat G minden kompakt részhalmazán egyenletesen konvergál 1-hez. 8.4.5. Állítás. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett. Ha (ϕi )i∈I β-szerinti δ-rendszer, akkor

ϕ∗i ∗ ϕi β

Fourier-féle β-szerinti δi∈I

rendszer. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor bármely G feletti β Haarmértékhez létezik Fourier-féle β-szerinti δ-rendszer. Bizonyítás. Legyen (ϕi )i∈I tetszőleges β-szerinti δ-rendszer (6.2.1.), és minden i ∈ I esetén fi := ϕ∗i ∗ ϕi . Megmutatjuk, hogy ekkor (fi )i∈I olyan β-szerinti δ-rendszer, amelyre β

(SDIII ) teljesül, vagyis (fi )i∈I Fourier-féle β-szerinti δ-rendszer.

Minden i ∈ I esetén ϕi ∈ K+ (G) és a konvolúció értelmezése miatt nyilvánvalóan fi := ϕ∗i ∗ ϕi ∈ K+ (G). Továbbá, minden i ∈ I esetén β

β(fi ) :=

=

Z

G

=

Z

Z

−1

β(ϕ∗i

∗ ϕi ) := β

−1

ϕi (t )ϕi (t s) dβ(t)

Z

G

Z

ϕ∗i (t)ϕi (t−1 s) dβ(t)

dβ(s) =

G

Z

Z

G

G

ϕi (t)

Z

ϕi (ts) dβ(s)

dβ(t) =

Z

ϕi (t)ϕi (ts) dβ(t)

dβ(s) =

G

ϕi (t)

G

G

dβ(s) =

G

Z

ϕi (s) dβ(s)

dβ(t) = 1,

G

ahol kihasználtuk a β Haar-mérték balinvarianciáját és inverzió-invarianciáját (a G unimodularitása miatt), és alkalmaztuk az elemi Lebesgue–Fubini-tételt a G × G → C; (s, t) 7→ ϕi (t)ϕi (ts) kompakt tartójú folytonos függvényre valamint a β ⊗ β szorzatmértékre. Ha i ∈ I, akkor fi (eG ) :=

(ϕ∗i

∗ ϕi )(eG ) := β

Z

ϕ∗i (t)ϕi (t−1 eG )

dβ(t) =

Z

G

G

mivel |ϕi |2 6= 0 és supp(β) = G. 227

|ϕi (t−1 )|2 dβ(t) > 0,

Legyen W tetszőleges környezete eG -nek, és vegyük az eG -nek olyan W0 környezetét, amelyre W0−1 W0 ⊆ W . Legyen i0 ∈ I olyan, hogy minden i ∈ I esetén, ha i ≥ i0 , akkor supp(ϕi ) ⊆ W0 . Ekkor i ∈ I és i ≥ i0 esetén supp(fi ) := supp(ϕ∗i ∗ ϕi ) ⊆ β

(supp(ϕi ))

−1

supp(ϕi ) ⊆

W0−1 W0

⊆ W.

Ezzel megmutattuk, hogy az (fi )i∈I általánosított függvénysorozat is β-szerinti δrendszer, és világos, hogy mindegyik tagja eleme A(G)-nek. Az Fβ Fourier-transzformáció *-algebra morfizmus és norma-nem-növelő, így minden i ∈ I esetén Fβ (fi ) := Fβ (ϕ∗i ∗ ϕi ) = |Fβ (ϕi )|2 ∈ R+ , és β

9Fβ (ϕ∗i ∗ ϕi )9 = 9 |Fβ (ϕi )|2 9 = 9Fβ (ϕi )92 ≤ kϕi k2β,1 = 1, β

tehát 0 ≤ Fβ (fi ) ≤ 1.

Mivel (fi )i∈I β-szerinti δ-rendszer, így approximatív egység az L1C (G, β) normált algebrában (6.2.7.). Ugyanakkor Fβ : L1C (G, β) → K (G; C) folytonos (sőt norma-nem növelő) *-algebra-morfizmus az L1C (G, β) Banach-*-algebra és a K (G; C) C ∗ -algebra között. Ezért az (Fβ (fi ))i∈I általánosított függvénysorozat nyilvánvalóan approximatív egysége az Im(Fβ ) ⊆ K (G; C) normált részalgebrának. De Im(Fβ ) sűrű a K (G; C) normált algebrában, ezért az (Fβ (fi ))i∈I általánosított sorozat approximatív egysége a K (G; C) normált algebrának. Ez azt jelenti, hogy minden ψ ∈ K (G; C) függvényre a (ψ · Fβ (fi ))i∈I általánosított függvénysorozat a G lokálisan kompakt téren egyenletesen konvergál ψ-hez. Tehát, ha K ⊆ G kompakt halmaz és ψK ∈ K+ (G) olyan függvény, hogy K ⊆ [ψK = 1], akkor szintén teljesül az, hogy a (ψK · Fβ (fi ))i∈I általánosított függvénysorozat egyenletesen konvergál a ψK függvényhez G-on, és minden i ∈ I esetén 91 − Fβ (fi )9K ≤ 9ψK − ψK · Fβ (fi ) 9Gb .

Ezért (Fβ (fi ))i∈I általánosított függvénysorozat egyenletesen konvergál az 1 értékű konstansfüggvényhez a K halmazon. Ezzel beláttuk, hogy az (fi )i∈I általánosított sorozatra (SDIII ) teljesül.  8.4.6. Állítás. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett. A következő állítások ekvivalensek. (i) G metrizálható. (ii) Létezik olyan (fn )n∈N függvénysorozat, amely Fourier-féle β-szerinti δ-rendszer. (iii) Létezik olyan (fi )i∈I általánosított függvénysorozat, amely Fourier-féle β-szerinti δrendszer és I megszámlálható. Bizonyítás. (i)⇒(ii) Ha G metrizálható, akkor a 6.2.3. alapján kiválasztható olyan (ϕn )n∈N függvénysorozat, amely β-szerinti δ-rendszer. Ugyanazzal az érveléssel, amit az 228

előző állítás bizonyításában alkalmaztunk kapjuk, hogy a (ϕ∗n ∗ ϕn )n∈N függvénysorozat β

Fourier-féle β-szerinti δ-rendszer. (ii)⇒(iii) Triviális.

(iii)⇒(i) A 6.2.3. állítás (iii)⇒(i) részéből következik.  8.4.7. Állítás. Ha G metrizálható kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor a G lokálisan kompakt tér σ-kompakt. Bizonyítás. Legyen β Haar-mérték G felett és az előző állítás alapján vegyünk olyan (fn )n∈N függvénysorozatot, amely Fourier-féle β-szerinti δ-rendszer. Az (Fβ (fn ))n∈N függvénysorozat a G halmazon pontonként is konvergál 1-hez, amiből következik, hogy S G= [Fβ (fn ) 6= 0]. Azonban minden N ∋ n-re az Fβ (fn ) függvény végtelenben eltűnő, n∈N

ezért az [Fβ (fn ) 6= 0] halmaz σ-kompakt. Ebből következik, hogy G is σ-kompakt. 

8.5.

Duális Haar-mérték

8.5.1. Állítás. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport. Minden f ∈ A(G) esetén létezik egyetlen olyan µf korlátos komplex Radon-mérték G felett, amelyre minden K (G; C) ∋ ϕ-re, minden G ∋ s-re, és minden G feletti β Haar-mértékre (Vβ (ϕ)f )(s) = (ϕ ∗ f )(s) = β

Z

b G

sb · Fβ (ϕ) dµf ,

ahol V a β által meghatározott baloldali reguláris ábrázolása G-nek. Ha β Haar-mérték G felett, g ∈ K (G; C) és f := g ∗ g ∗ , akkor µf pozitív Radon-mérték G felett. β

Bizonyítás. Jelöljön β egy Haar-mértéket G felett és jelölje V a β által meghatározott baloldali reguláris ábrázolást. Tekintsük a Vβ : L1C (G, β) → L (L2C (G, β)) ábrázolást, és a Stone-tétel alapformája (8.3.1.) alapján jelölje Pβ azt a K (G; C) → L (L2C (G, β)) ábrázolást, amelyre Vβ = Pβ ◦ F β . Világos, hogy minden ζ, η ∈ L2C (G, β) esetén a φζ,η : K (G; C) → C;

ψ 7→ (Pβ (ψ)ζ|η)β

leképezés sup-normában folytonos lineáris funkcionál K (G; C) felett, ahol (·|·)β jelöli az L2C (G, β) Hilbert-tér skalárszorzását. Megjegyezzük még, hogy ha g, h ∈ K (G; C), akkor ∗

(g|h )β :=

Z

G

g(t)h∗ (t)

dβ(t) =

Z

G

g(t)h(t−1 ) dβ(t) =: (g ∗ h)(eG ).

229

β

Legyen f ∈ A(G) rögzített, és vegyünk olyan (gi )i∈I és (hi )i∈I véges rendszereket K (G; C)-ben, amelyekre X f= gi ∗ hi . β

i∈I

Ekkor ϕ ∈ K (G; C) esetén (ϕ ∗ f )(eG ) = β

=

X i∈I

X i∈I

ϕ ∗(gi ∗ hi ) (eG ) = β

β

(Vβ (ϕ)gi |h∗i )β =

Tehát, ha bevezetjük a

X i∈I

X i∈I

(ϕ ∗ gi ) ∗ hi (eG ) = β

β

(Pβ (F β (ϕ))gi |h∗i )β =

νf : K (G; C) → C;

ψ 7→

X i∈I

X i∈I

X i∈I

(ϕ ∗ gi |h∗i )β = β

φgi ,h∗i (F β (ϕ)).

φgi ,h∗i (ψ)

leképezést, akkor νf olyan sup-normában folytonos lineáris funkcionál K (G; C) felett, vagyis olyan G feletti korlátos Radon-mérték, amelyre minden ϕ ∈ K (G; C) esetén (ϕ ∗ f )(eG ) = β

Z

F β (ϕ) dνf .

b G

Világos, hogy ekkor µf := iGb (νf ) olyan korlátos Radon-mérték G felett, hogy minden ϕ ∈ K (G; C) esetén Z

Fβ (ϕ) dµf =

b G

Z

b G

Fβ (ϕ) ◦ iGb dνf =

Ha s ∈ G, akkor minden K (G; C) ∋ ϕ-re

Z

b G

F β (ϕ) dνf = (ϕ ∗ f )(eG ). β

(ϕ ∗ f )(s) = ((ϕ ∗ f ) ◦ γG (s))(eG ) = ((ϕ ◦ γG (s)) ∗ f )(eG ) = β

β

=

Z

b G

β

Fβ (ϕ ◦ γG (s)) dµf =

Z

b G

sb · Fβ (ϕ) dµf ,

tehát µf olyan Radon-mérték, amelynek a létezését állítottuk.

A µf egyértelműsége abból következik, hogy az {Fβ (ϕ)|ϕ ∈ K (G; C)} halmaz a supnorma szerint sűrű K (G; C)-ben, és a µf sup-normában vett folytonos kiterjesztése ezen a halmazon elő van írva azáltal, hogy minden K (G; C) ∋ ϕ-re megköveteljük az (ϕ ∗ f )(eG ) = β

Z

b G

230

Fβ (ϕ) dµf

egyenlőséget, így a µf sup-normában vett folytonos kiterjesztése K (G; C)-re egyértelműen van meghatározva. Végül, ha g ∈ K (G; C) és f := g ∗ g ∗, akkor az előzőekben bevezetett β

νf : K (G; C) → C;

ψ 7→ φg,g (ψ)

leképezés nyilvánvalóan pozitív lineáris funkcionál, mert ha ψ ∈ K+ (G), akkor a definíció alapján φg,g (ψ) := (Pβ (ψ)g|g)β = kPβ (ψ 1/2 )gk2β,2 ∈ R+ ,

így a µf := iGb(νf ) Radon-mérték pozitív. 

8.5.2. Jelölés. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett. Ekkor minden f ∈ A(G) esetén µf jelöli azt a korlátos komplex Radon-mértéket G felett, amelyre minden K (G; C) ∋ ϕ-re és G ∋ s-re (ϕ ∗ f )(s) = β

Továbbá, minden f ∈ A(G) esetén

Z

b G

sb · Fβ (ϕ) dµf .

Ωf := { χ ∈ G | Fβ (f ) 6= 0 }, ami (β-tól független) nyílt halmaz G-ban, valamint βbf :=

1 . (µf |Ωf ) , Fβ (f )|Ωf

ami komplex Radon-mérték Ωf felett. Megjegyezzük, hogy ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett, akkor az (Ωf )f ∈A(G) halmazrendszer befedése G-nak, mert létezik olyan A(G)ben haladó (fi )i∈I általánosított sorozat, amelyre lim Fβ (fi ) = 1 a G minden kompakt i,I

részhalmazán egyenletesen (így pontonként is), ezért minden G ∋ χ-hez van olyan i ∈ I, hogy Fβ (fi )(χ) 6= 0, tehát χ ∈ Ωfi . 8.5.3. Tétel. (A duális Haar-mérték egzisztenciája és unicitása) Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett. Egyértelműen létezik olyan G feletti βb Radon-mérték, amelyre minden f ∈ A(G) esetén b µf = Fβ (f ).β.

Ez a βb Radon-mérték Haar-mérték a G kommutatív lokálisan kompakt csoport felett. 231

Bizonyítás. Először megmutatjuk, hogy ha f, g ∈ A(G), akkor Fβ (g).µf = Fβ (f ).µg . Ehhez elegendő azt igazolni, hogy az egyenlőség két oldalán álló korlátos Radonmértékek K (G; C)-re vett, sup-normában folytonos lineáris kiterjesztései egyenlők, tehát megegyeznek az Im(Fβ ) ⊆ K (G; C) altéren, amely sűrű a sup-norma szerint. Tehát elegendő (és szükséges) azt igazolni, hogy minden ϕ ∈ K (G; C) esetén Z

Fβ (ϕ)Fβ (g) dµf =

b G

Z

Fβ (ϕ)Fβ (f ) dµg .

b G

Ez viszont így van, mert ϕ ∈ K (G; C) esetén az Fβ Fourier-transzformáció multiplikativitása és a ∗ konvolúciós szorzás kommutativitása miatt β

Z

Fβ (ϕ)Fβ (g) dµf =

b G

=

Z

b G

Z

b G

Fβ (ϕ ∗ g) dµf =((ϕ ∗ g) ∗ f )(eG )=((ϕ ∗ f ) ∗ g)(eG )= β

β

Fβ (ϕ ∗ f ) dµg = β

Legyen minden f ∈ A(G) függvényre: βbf :=

Z

β

β

β

Fβ (ϕ)Fβ (f ) dµg .

b G

1 .(µf |Ωf ), Fβ (f )|Ωf

tehát βbf komplex Radon-mérték az Ωf ⊆ G nyílt topologikus altér felett.

Most megmutatjuk, hogy minden A(G) ∋ f, g-re fennáll a βbf |(Ωf ∩ Ωg ) = βbg |(Ωf ∩ Ωg )

egyenlőség. Valóban, legyenek f, g ∈ A(G) rögzítettek; ekkor Fβ (g).µf = Fβ (f ).µg miatt Fβ (g)|Ωf ∩Ωg . (µf |(Ωf ∩ Ωg )) = (Fβ (g).µf ) |(Ωf ∩ Ωg ) = = (Fβ (f ).µg ) |(Ωf ∩ Ωg ) = Fβ (f )|Ωf ∩Ωg . (µg |(Ωf ∩ Ωg )) , amiből az

Fβ (f )|Ωf ∩Ωg

1 függvénnyel vett szorzással kapjuk, hogy . Fβ (g)|Ωf ∩Ωg

1 1 . (µf |(Ωf ∩ Ωg )) = . (µg |(Ωf ∩ Ωg )) . Fβ (f )|Ωf ∩Ωg Fβ (g)|Ωf ∩Ωg 232

Ebből következik, hogy βbf |(Ωf ∩ Ωg ) = = amit igazolni kellett.

1 . (µf |(Ωf ∩ Ωg )) = Fβ (f )|Ωf ∩Ωg

1 . (µg |(Ωf ∩ Ωg )) = βbg |(Ωf ∩ Ωg ), Fβ (g)|Ωf ∩Ωg

Tehát (βbf )f ∈A(G) komplex Radon-mértékeknek olyan rendszere, hogy minden A(G) ∋ f, g-re βbf |(Ωf ∩ Ωg ) = βbg |(Ωf ∩ Ωg ). Ezért a Radon-mértékek összeragasztásának tétele (4.7.4.) alapján egyértelműen létezik olyan G feletti βb Radon-mérték, amelyre minden b b f ∈ A(G) esetén β|Ω f = βf . Ebből következik, hogy ha f ∈ A(G), akkor b b b (Fβ (f ).β)|Ω f = (Fβ (f ))|Ωf .(β|Ωf ) = (Fβ (f ))|Ωf .βf := !

1 . (µf |Ωf ) = µf |Ωf . := (Fβ (f ))|Ωf . Fβ (f )|Ωf

A Radon-mértékek összeragasztásának egyértelműsége miatt a G feletti βb Radon-mérték egyértelműen van meghatározva azzal a feltétellel, hogy minden f ∈ A(G) esetén b b β|Ω f = βf teljesüljön, és ez a feltétel ekvivalens azzal, hogy minden f ∈ A(G) esetén b b (Fβ (f ).β)|Ω f = µf |Ωf . Ezzel a β Radon-mérték egyértelmű létezését igazoltuk. Megmutatjuk, hogy minden f ∈ A(G) esetén

Fβ (f ).βb = µf .

Ehhez legyen f ∈ A(G) rögzítve és vegyünk tetszőleges ϕ ∈ K (G; C) függvényt: azt kell igazolni, hogy fennáll a βb (ϕ.Fβ (f )) = µf (ϕ)

egyenlőség. Az (Ωg )g∈A(G) halmazrendszer nyílt befedése G-nak, tehát a supp(ϕ) ⊆ G kompakt halmazhoz létezik olyan (gi )i∈I véges rendszer A(G)-ben, amelyre (Ωgi )i∈I befedése supp(ϕ)-nek. A Dieudonné-féle egységosztás-tétel alapján vehetünk olyan (ψi )i∈I rendszert K "(G; R)-ben,# hogy minden i ∈ I esetén 0 ≤ ψi ≤ 1 és supp(ψi ) ⊆ Ωgi ,

továbbá supp(ϕ) ⊆

X i∈I

βb (ϕ.Fβ (f )) = X

ψi = 1 . Ekkor ϕ =

X

ϕ.ψi , ezért írható, hogy:

i∈I

X i∈I

βb (ϕ.ψi .Fβ (f )) =

ϕ.ψi .Fβ (f ) = (µgi |Ωgi ) Fβ (gi ) Ωgi i∈I

!

X

X i∈I

b β|Ω gi

(ϕ.ψi .Fβ (f )) |Ωgi =

ϕ.ψi = ((Fβ (f ).µgi ) |Ωgi ) Fβ (gi ) Ωgi i∈I 233

!

=



X

ϕ.ψi = ((Fβ (gi ).µf ) |Ωgi ) Fβ (gi ) Ωgi i∈I

!

=

X

µf (ϕ.ψi ) = µf (ϕ).

i∈I

Azt kell még bizonyítani, hogy βb Haar-mérték a G kommutatív lokálisan kompakt csoport felett, vagyis βb nem nulla, pozitív Radon-mérték G felett, és minden χ ∈ G esetén b = β. b γGb(χ)(β)

Tegyük fel, hogy βb = 0. Ekkor minden f ∈ A(G) esetén µf = Fβ (f ).βb = 0 ezért a µf definíciója szerint, minden ϕ ∈ K (G; C) függvényre és s ∈ G elemre (ϕ ∗ f )(s) = β

Z

G

sb.Fβ (ϕ) dµf = 0,

tehát ϕ ∗ f = 0. A 8.4.5. szerint létezik olyan (fi )i∈I általánosított sorozat A(G)-ben, β

amely approximatív egysége az L1C (G, β) Banach-*-algebrának, így ϕ ∈ K (G; C) esetén ϕ = lim(ϕ ∗ fi ) = 0, ahol a limeszt az L1C (G, β) Banach-*-algebrában kell venni. Ezért i, I

β

K (G; C)-nek a 0 függvény az egyetlen eleme, ami nem igaz, mert a G lokálisan kompakt tér felett K (G; C) szétválasztó, és G nem üres.

A βb Radon-mérték γGb-invarianciájának bizonyításához először megjegyezzük, hogy χ ∈ G és f ∈ A(G) esetén χ.f ∈ A(G), valamint γGb(χ)(µf ) = µχ.f . Valóban, az f -hez X léteznek olyan (gi )i∈I és (hi )i∈I véges rendszerek K (G; C)-ben, hogy f = (gi ∗ hi ), i∈I

tehát

χ.f =

X i∈I

(χ.(gi ∗ hi )) = β

X i∈I

β

((χ.gi ) ∗(χ.hi )) ∈ A(G). β

Ezért µχ.f és γGb(χ)(µf ) jól értelmezett korlátos komplex Radon-mértékek G felett, így ezek egyenlőségének bizonyításához elegendő azt igazolni, hogy ezek sup-normában folytonos lineáris kiterjesztései K (G; C)-re egyenlők az Fβ hA(G)i függvényhalmazon, amely sup-normában sűrű K (G; C)-ben. Ha g ∈ A(G) tetszőleges, akkor Z

b G

Fβ (g)d γGb(χ)(µf ) =

Z

b G

(Fβ (g)) ◦ γGb(χ)dµf =

Z

Fβ (χ−1 .g)dµf =

b G

= ((χ−1 .g) ∗ f )(eG ) = ((χ−1 .g) ∗(χ−1 .(χ.f ))(eG ) = χ−1 .(g ∗(χ.f )) (eG ) = β

β

β

= (g ∗(χ.f ))(eG ) = β

Z

b G

Fβ (g)dµχ.f

teljesül, ezért fennáll γGb(χ)(µf ) = µχ.f egyenlőség. 234

Legyen most χ ∈ G rögzített. Minden f ∈ A(G) esetén teljesülnek a következő mértékegyenlőségek: γGb(χ)|Ωf (µf |Ωf ) = γGb(χ)(µf )|γGb(χ)hΩf i = µχ.f |γGb(χ)hΩf i,

ugyanakkor Fβ (f ) ◦ γGb(χ−1 ) = Fβ (χ.f ) miatt Ωχ.f = γGb(χ)hΩf i, ezért γGb(χ)|Ωf (µf |Ωf ) = µχ.f |Ωχ.f .

Ugyanakkor minden f ∈ A(G) esetén teljesülnek a következő mérték-egyenlőségek: γGb(χ)|Ωf =

=

Fβ (f ).βb |Ωf = γGb(χ) Fβ (f ).βb |γGb(χ)(Ωf ) =

b |γ (χ)hΩ i = (Fβ (f )) ◦ γGb(χ−1 ) .γGb(χ)(β) f b G

b |Ω b (Fβ (f )) ◦ γGb(χ−1 ) .γGb(χ)(β) χ.f = Fβ (χ.f ). γG b (χ)(β)

|Ωχ.f .

Továbbá, a βb Radon-mérték definíciója alapján minden f ∈ A(G) esetén µf |Ωf = Fβ (f ).βb |Ωf , ezért µχ.f |Ωχ.f = γGb(χ)|Ωf (µf |Ωf ) = γGb(χ)|Ωf

Fβ (f ).βb |Ωf =

b |Ωχ.f . = Fβ (χ.f ). γGb(χ)(β) Ez minden f ∈ A(G) függvény esetében igaz, tehát ha f ∈ A(G), akkor alkalmazhatjuk a χ−1 .f ∈ A(G) függvényre is, tehát azt kapjuk, hogy b µf |Ωf = µχ.(χ−1 .f ) |Ωχ.(χ−1 .f ) = Fβ (χ.(χ−1 .f )). γGb(χ)(β) b = Fβ (f ). γGb(χ)(β)

|Ωχ.(χ−1 .f ) =

|Ωf .

b olyan komplex Radon-mérték G felett, hogy minden A(G) ∋ f -re Tehát γGb(χ)(β) b |Ω , így a βb egyértelműsége folytán βb = γ (χ)(β). b µf |Ωf = Fβ (f ).γGb(χ)(β) Ezzel f b G b megmutattuk, hogy a G lokálisan kompakt csoport feletti β komplex Radon-mérték γGbinvariáns.

Végül, a βb Radon-mérték pozitív. Láttuk ugyanis, hogy létezik olyan (fi )i∈I általánosított sorozat A(G)-ben, hogy minden I ∋ i-hez van olyan gi ∈ K (G; C), hogy fi = gi ∗ gi∗ , és az (Fβ (fi ))i∈I általánosított függvénysorozat pontonként konvergál a G β

feletti azonosan 1 függvényhez (8.4.5.). Ekkor az (Ωfi )i∈I halmazrendszer nyílt befedése G-nak, és minden i ∈ I esetén Fβ (fi ) pozitív függvény, és az előző állítás alapján µfi pozitív Radon-mérték és Ωfi felett. Ezért b b β|Ω fi = βfi :=

1 . (µfi |Ωfi ) Fβ (fi )|Ωfi 235

is pozitív Radon-mérték Ωfi felett. Ha most ψ ∈ K+ (G), akkor supp(ψ) kompaktsága S miatt van olyan J ⊆ I véges halmaz, hogy supp(ψ) ⊆ Ωfi , tehát a Dieudonné-féle i∈J

egységosztás tétel alapján létezik olyan (ψi )i∈J rendszer K+ (G)-ban, amelyre i ∈ J esetén X supp(ψi ) ⊆ Ωfi és ψi = 1 a supp(ψ) halmazon; ekkor i∈J

b β(ψ) =

X i∈J

X

b β(ψ i ψ) =

i∈J

b (β|Ω fi )((ψi ψ)|Ωfi ) =

X i∈J

βbfi ((ψi ψ)|Ωfi ) ∈ R+ ,

ugyanis i ∈ J esetén (ψi ψ)|Ωfi ∈ K+ (Ωfi ) és βbfi pozitív Radon-mérték Ωfi felett. 

8.5.4. Definíció. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor a G feletti β Haarb mérték duálisának nevezzük és β-val jelöljük azt a G feletti Haar-mértéket, amelyre b minden f ∈ A(G) esetén µf = Fβ (f ).β.

8.6.

Fourier-transzformáció az LF1(G, β) téren*

8.6.1. Tétel. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport, β Haar-mérték G felett és F komplex Banach-tér. Ha f ∈ LF1 (G, β), akkor minden χ ∈ G esetén χf ∈ LF1 (G, β), és az Z Fβ,F (f ) : G → F ;

F β,F (f ) : G → F ;

χ 7→

χ 7→

χf dβ

G

Z

χf dβ

G

függvények folytonosak és végtelenben eltűnőek, vagyis K (G; F )-nek elemei, és fennállnak a 9Fβ,F (f )9 = 9F β,F (f )9 ≤ kf kβ,1 összefüggések. Továbbá, az

Fβ,F : LF1 (G, β) → K (G; F );

f 7→ Fβ,F (f )

F β,F : LF1 (G, β) → K (G; F );

f 7→ F β,F (f )

leképezések lineáris operátorok.

Bizonyítás. Ha f ∈ LF1 (G, β), akkor minden χ ∈ G esetén χf ∈ LF1 (G, β), mert χ : G → C korlátos folytonos függvény, és elég a 13.1.3. állításra hivatkozni; ezért jól értelmezettek az Fβ,F (f ) és F β,F (f ) függvények. Világos továbbá, hogy f ∈ LF1 (G, β) és χ ∈ G esetén, az integrál topológiai alaptulajdonsága szerint kFβ,F (f )(χ)k =

Z



G

χf



dβ



≤

Z

∗

|χ|kf k dβ =

236

Z

∗

kf k dβ = kf kβ,1,

így Fβ,F (f ) korlátos függvény és 9Fβ,F (f )9 ≤ kf kβ,1. Ugyanakkor, f ∈ LF1 (G, β) és χ ∈ G esetén, a definíció szerint F β,F (f )(χ) = Fβ,F (f )(χ), ezért 9F β,F (f )9 = 9Fβ,F (f )9, következésképpen F β,F (f ) is korlátos függvény és 9F β,F (f )9 ≤ kf kβ,1 . A β szerinti integrál linearitásából és a definícióból következik, hogy az Fβ,F és F β,F leképezések lineárisak az LF1 (G, β) függvénytér és a G → F függvények tere között. q

q

Legyen ϕ ∈ K (G; C) és z ∈ F . Ekkor minden G ∋ χ-re χ(ϕ ⊗ z) = (χϕ) ⊗ z, tehát az integrál algebrai alaptulajdonsága miatt Z

G

q

χ(ϕ ⊗ z) dβ = β(χϕ)z = Fβ (ϕ)(χ)z.

Ez azt jelenti, hogy q

q

Fβ,F (ϕ ⊗ z) = Fβ (ϕ) ⊗ z q

és tudjuk, hogy Fβ (ϕ) ∈ Kq (G; C), ezért Fβ,F (ϕ ⊗ z) ∈ K (G; F ). Ebből következik, hogy minden f ∈ K (G; R) ⊗ F esetén Fβ,F (f ) ∈ K (G; F ). Mivel pedig f ∈ LF1 (G, β) esetén F β,F (f ) = Fβ,F (f ) ◦ i , b

G

q

és i : G → G homeomorfizmus, így f ∈ K (G; R) ⊗ F esetén F β,F (f ) ∈ K (G; F ) is G b teljesül. q

Legyen f ∈ LF1 (G, β) tetszőleges. Ekkor vehetünk olyan K (G; R) ⊗ F -ben haladó (fn )n∈N sorozatot, amelyre Z ∗

lim

n→∞

kf − fn k dβ = 0

teljesül (13.1.2.). Minden N ∋ n-re f − fn ∈ LF1 (G, β), ezért

9Fβ,F (f − fn )9 = 9F β,F (f − fn )9 ≤ kf − fn kβ,1 =

Z

∗

kf − fn k dβ.

Az Fβ,F és F β,F leképezések linearitása folytán ez azt jelenti, hogy a K (G; F )ben haladó (Fβ,F (fn ))n∈N függvénysorozat G-on egyenletesen konvergál az Fβ,F (f ) függvényhez, továbbá, a szintén K (G; F )-ben haladó F β,F (fn ) n∈N függvénysorozat a G halmazon egyenletesen konvergál az F β,F (f ) függvényhez, így Fβ,F (f ), F β,F (f ) ∈ K (G; F ). 

237

8.6.2. Definíció. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport, β Haar-mérték G felett és F komplex Banach-tér. Ekkor az előző tételben értelmezett Fβ,F :

LF1 (G, β)

→ K (G; F );

f 7→

χ 7→

Z

χf dβ

G

lineáris operátort az LF1 (G, β) függvénytér feletti, β-szerinti Fourier-transzformációnak nevezzük, és az F β,F : LF1 (G, β) → K (G; F );

f 7→

χ 7→

Z

χf dβ

G

lineáris operátort az LF1 (G, β) függvénytér feletti, β-szerinti konjugált Fourier-transzformációnak nevezzük. Nyilvánvaló, hogy ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett, akkor az Fβ,C : LC1 (G, β) → K (G; C), F β,C : LC1 (G, β) → K (G; C)

lineáris operátorok olyanok, hogy

Fβ = Fβ,C ,

F β = F β,C

teljesül a K (G; C) altéren. Világos továbbá, hogy ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, β Haar-mérték G felett, F komplex Banach-tér és f ∈ LF1 (G, β), akkor fennáll az F β,F (f ) = Fβ,F (f ) ◦ i

b

G

összefüggés, ami lehetővé teszi a konjugált Fourier-transzformációra vonatkozó állítások, illetve formulák bizonyításának visszavezetését a Fourier-transzformációra vonatkozó megfelelő állítások, illetve formulák bizonyítására. 8.6.3. Állítás. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport, β Haar-mérték G felett, F és H komplex Banach-terek, valamint u ∈ L (F ; H). Ha f ∈ LF1 (G, β), akkor u ◦ Fβ,F (f ) = Fβ,H (u ◦ f ), u ◦ F β,F (f ) = F β,H (u ◦ f ).

238

Bizonyítás. Ha χ ∈ G, akkor a Fourier-transzformáció definíciója, valamint az integrál és a folytonos lineáris operátor felcserélhetősége alapján Z

(u ◦ Fβ,F (f )) (χ) := u

χf dβ

=

G

Z

G

χ(u ◦ f ) dβ =: (Fβ,H (u ◦ f )) (χ)

teljesül, vagyis fennáll az u ◦ Fβ,F (f ) = Fβ,H (u ◦ f ) egyenlőség. Ezt jobbról komponálva az i inverzióval, a konjugált Fourier-transzformáció definíciója alapján kapjuk, hogy b

G

u ◦ F β,F (f ) = u ◦ Fβ,F (f ) ◦ i = Fβ,H (u ◦ f ) ◦ i = F β,H (u ◦ f ).  b

b

G

G

8.6.4. Állítás. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, β Haar-mérték G felett és f, g ∈ LC1 (G, β), akkor Fβ,C (f ∗ g) = Fβ,C (f ) · Fβ,C (g), β

F β,C (f ∗ g) = F β,C (f ) · F β,C (g). β

Bizonyítás. A konjugált Fourier-transzformációra vonatkozó állítás visszavezethető a Fourier-transzformációra vonatkozó állításra, mert a konvolúció értelmezése alapján f ∗g = f ∗g β

β

nyilvánvalóan igaz, tehát ha az egyenlőség érvényes a Fourier-transzformációra, akkor F β,C (f ∗ g) = Fβ,C (f ∗ g) = Fβ,C (f ∗ g) = β

β

β

= Fβ,C (f ) · Fβ,C (g) = F β,C (f ) · F β,C (g).

A Fourier-transzformációra vonatkozó állítás bizonyításához először megjegyezzük, hogy χ ∈ G eseténq χf, χg ∈ LC1 (G, β), hiszen χ : G → C folytonos korlátos függvény (13.1.3.). Ezért (χf ) ⊗(χg) ∈ LC1 (G×G, β ⊗β) (14.3.7.). A 6.9.1. állítás bizonyításában bevezetett π : G × G → G × G;

(t, s) 7→ (t, t−1 s)

leképezésre láttuk, hogy olyan homeomorfizmus, amelyre q π(β ⊗ β) = β ⊗ β. Ezért a helyettesítéses integrálás tétele (14.3.6.) alapján ((χf ) ⊗ (χg)) ◦ π ∈ LC1 (G × G, β ⊗ β) is teljesül, és világos, hogy ez a függvény egyenlő a G × G → C;

(t, s) 7→ χ(s)f (t)g(t−1s)

függvénnyel, tehát ez is integrálható β ⊗ β szerint. 239

Ha χ ∈ G, akkor a Fourier-transzformáció és a konvolúció definíciója szerint Fβ,C (f ∗ g)(χ) = β

Z

f ∗ g χ dβ = β

G

(1)

=

Z

Z

f (t)

=

G (2)

=

Z

G

f (t)

Z

f (t)

χ(s)

G

Z

f (t)g(t−1s) dβ(t)

(1)

dβ(s) =

G

χ(s)g(t−1 s) dβ(s)

dβ(t) =

G

G

Z

Z

Z

(2)

χ(tt−1 s)g(t−1 s) dβ(s)

dβ(t) =

G

χ(ts)g(s) dβ(s)

G

dβ(t)=

Z

f (t)χ(t)

G

Z

χ(s)g(s) dβ(s)

dβ(t)

G

= Fβ,C (f )(χ) · Fβ,C (g)(χ),

ahol (1)

– az = egyenlőségnél a (nem elemi) Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a β ⊗ β szorzatmértékre és a G × G → C;

(t, s) 7→ χ(s)f (t)g(t−1s)

β ⊗ β-integrálható függvényre, és (2)

– a = egyenlőségnél felhasználtuk a β (bal)invarianciáját. 

8.7.

A Fourier-féle inverziós-tétel alapformája*

Láttuk, hogy ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor a G feletti folytonos unitér karakterek G halmaza a pontonként értelmezett szorzással és a kompakt halmazokon való egyenletes konvergencia topológiájával ellátva szintén kommutatív lokálisan kompakt csoport; ezt neveztük a G duálisának. A G és G topologikus csoportok tulajdonságai nagyon különbözők lehetnek. Láttuk például, hogy ha G kommutatív kompakt csoport, akkor G diszkrét csoport, továbbá, ha G kommutatív diszkrét csoport, c c biduális is, akkor G kompakt csoport. Azonban a G duális mellett elkészíthető a G amely szintén kommutatív lokálisan kompakt csoport. Ennek a biduálisnak már komoly kapcsolata van az eredeti topologikus csoporttal. Először erről a kapcsolatról fogalmazunk meg egy állítást.

240

8.7.1. Állítás. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor minden s ∈ G esetén az sb : G → U; χ 7→ χ(s)

leképezés folytonos unitér karaktere a G kommutatív lokálisan kompakt csoportnak, továbbá a c c s 7→ sb G → G;

c c kommutatív lokálisan kompakt leképezés folytonos injektív csoport-morfizmus a G és G csoportok között.

Bizonyítás. A leképezés injektivitása a Gelfand–Rajkov-tételből (6.7.3.) következik. A folytonosságának bizonyításához elegendő a paraméteres függvények folytonossági tétele (3.1.1.) után álló megjegyzésre hivatkozni, és alkalmazni a tételt a G × G → C; (s, χ) 7→ χ(s) függvényre, amely a 8.3.9. alapján folytonos a szorzattopológia szerint.  8.7.2. Következmény. A G kommutatív lokálisan kompakt csoport pontosan akkor diszkrét, ha G kompakt. Bizonyítás. Korábban láttuk, hogy ha G diszkrét, akkor G kompakt (8.2.4.). Tegyük fel, c

c

c diszkrét (8.2.4.), és az előző állítás alapján létezik egy G → G c hogy G kompakt. Ekkor G folytonos injekció, ezért G is diszkrét. (Itt egy általános topológiai tulajdonságról van szó, vagyis ha X és Y topologikus terek, f : X → Y folytonos injekció és Y diszkrét, akkor X is diszkrét, mert minden Ω ⊆ X halmazra az f hΩi halmaz nyílt Y -ban, hiszen −1

Y diszkrét, tehát az f folytonossága miatt f hf hΩii nyílt X-ben, és az f injektivitása folytán ez a halmaz egyenlő Ω-val, vagyis az X minden részhalmaza nyílt.)  8.7.3. Definíció. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor a c

c jG : G → G;

s 7→ (χ 7→ χ(s))

c c közötti kanonikus leképezésnek nevezzük. függvényt a G és G

c

c közötti kanonikus Tehát, ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor a G és G leképezés folytonos injektív csoport-morfizmus. Később meg fogjuk mutatni, hogy ez a c c és az inverze is folytonos. Ez lesz majd leképezés homeomorfizmus, tehát ráképez G-ra a Pontrjagin-féle dualitás-elmélet alaptétele.

Most megfogalmazzuk a Fourier-féle inverziós problémát. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett. Rögzítsünk egy F komplex Banachteret. Ha f ∈ LF1 (G, β), akkor értelmeztük az Fβ,F (f ) Fourier-transzformáltat, amely G → F folytonos végtelenben eltűnő függvény. Ugyanakkor Fβ,F (f ) nem szükségképpen 241

integrálható βb szerint, ezért általában nem készíthető el az F βb,F (Fβ,F (f )) konjugált Fourier-transzformált. Azonban Fβ,F (f ) ∈ LF1 (G, β) esetén nemcsak ez, hanem a   F βb,F (Fβ,F (f )) ◦ jG : G → F függvényt is létrehozható. A Fourier-féle inverziós tétel arra a kérdésre válaszol, hogy milyen kapcsolatban áll f ezzel a függvénnyel. Kiderül, hogy ezek β-majdnem mindenütt egyenlőek a G halmazon, és ha f folytonos, akkor (és csak akkor) mindenütt egyenlőek. A következő állítás előtt emlékeztetünk arra, hogy ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor A(G) jelöli azon f ∈ K (G; C) függvények halmazát, amelyekhez léteznek olyan (gi )i∈I és (hi )i∈I véges rendszerek K (G; C)-ben, és létezik olyan β Haarmérték G felett, hogy X f= gi ∗ hi β

i∈I

teljesül (8.4.1.).

8.7.4. Állítás. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett. Ekkor minden f ∈ A(G) esetén b ∩ L 2 (G, β), b Fβ (f ), F β (f ) ∈ LC1 (G, β) C

és minden ϕ ∈ K (G; C) esetén

β(ϕf ) =

Z

ϕf dβ =

b G

Z

b G

b Fβ (ϕ)Fβ (f ) dβ.

Bizonyítás. Legyen f ∈ A(G) rögzített. A βb duális Haar-mérték definíciója szerint µf = Fβ (f ).βb korlátos komplex Radon-mérték G felett, ezért a 14.1.5. alapján b Továbbá, f ∗ f ∗ ∈ A(G), következésképpen Fβ (f ) ∈ LC1 (G, β). β

b |Fβ (f )|2 = Fβ (f )Fβ (f ) = Fβ (f )Fβ (f ∗ ) = Fβ f ∗ f ∗ ∈ LC1 (G, β), β

ezért

Z

∗

|Fβ (f )|2 dβb < +∞,

b így a 13.1.4. alapján Fβ (f ) ∈ LC2 (G, β).

Ha f ∈ A(G), akkor f ∈ A(G), ezért az előzőek szerint b ∩ L 2 (G, β). b F β (f ) = Fβ (f ) ∈ LC1 (G, β) C

b és a definíció szerint Legyen f ∈ A(G). Az előbb láttuk, hogy Fβ (f ) ∈ LC1 (G, β), Fβ (f ).βb = µf , ezért a 14.1.5. alapján a µf funkcionál K (G; C)-re vett, sup-normában

242

folytonos µf kiterjesztésére teljesül az, hogy minden ψ ∈ K (G; C) függvény esetén µf (ψ) =

Z

b ψFβ (f ) dβ.

b G

Tehát ϕ ∈ K (G; C) esetén µf (Fβ (ϕ)) =

Z

b Fβ (ϕ)Fβ (f ) dβ,

b G

hiszen Fβ (ϕ) ∈ K (G; C). Ugyanakkor, a µf definíciójából kapjuk, hogy ekkor (ϕ ∗ f )(eG ) = µf (Fβ (ϕ)), β

ami úgy is írható, hogy Z

ϕ(t)f (t−1 ) dβ(t) =

Z

b G

G

b Fβ (ϕ)Fβ (f ) dβ.

Ez tehát minden ϕ ∈ K (G; C) és f ∈ A(G) függvényre igaz. Ha f ∈ A(G), akkor f ∗ ∈ A(G), ezért az előzőek alapján minden ϕ ∈ K (G; C) esetén β(ϕf ) =

Z

∗

−1

ϕ(t)f (t ) dβ(t) =

Z

∗

Fβ (ϕ)Fβ (f )

b G

G

dβb

=

Z

b G

b Fβ (ϕ)Fβ (f ) dβ,

ahol kihasználtuk azt, hogy a Fourier-transzformáció involúció-tartó.  8.7.5. Következmény. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haarmérték G felett. Ekkor minden ϕ, ψ ∈ K (G; C) esetén (ϕ ∗ ψ)(eG ) = β

Z

b G

b Fβ (ϕ ∗ ψ) dβ. β

Speciálisan, minden A(G) ∋ f -re is fennáll az f (eG ) = egyenlőség.

Z

b G

Fβ (f ) dβb

243

Bizonyítás. A konvolúció és involúció definíciója, valamint az előző állítás és a Fouriertranszformáció involúció-tartása és multiplikativitása alapján, minden g ∈ K (G; C) és f ∈ A(G) esetén: f ∗ ∈ A(G) és Z

(g ∗ f )(eG ) := β

=

Z

Fβ (g)Fβ

−1

g(t)f (t eG ) dβ(t) =:

Z

g(t)f ∗(t) dβ(t) =

G

G

dβb

(f ∗ )

b G

=

Z

Fβ (g)Fβ (f ) dβ =

b G

Z

b G

b Fβ (g ∗ f ) dβ. β

Legyenek ϕ, ψ ∈ K (G; C) rögzítettek, és vegyünk egy (fi )i∈I Fourier-féle β-szerinti δ-

rendszert (8.4.4.). Ekkor a

általánosított függvénysorozat pontonként

(ϕ ∗ ψ) ∗ fi β

β

i∈I

is konvergál a ϕ ∗ ψ függvényhez, így az előző bekezdésben igazolt formulát alkalmazva β

a g := ϕ ∗ ψ ∈ K (G; C) függvényre és minden I ∋ i-re az f := fi függvényre kapjuk, hogy:

β

(ϕ ∗ ψ)(eG ) = lim (ϕ ∗ ψ) ∗ fi (eG ) = i, I

β

= lim i, I

Z

b G

β

β

Fβ ((ϕ ∗ ψ) ∗ fi ) dβb = lim β

β

i, I

Z

b G

b Fβ (ϕ ∗ ψ)Fβ (fi ) dβ. β

Ugyanakkor, az (Fβ (fi ))i∈I általánosított függvénysorozat egyenletesen korlátos (minden tagja a [0, 1] intervallumba érkezik) és a G minden kompakt részhalmazán egyenletesen konvergál 1-hez. Továbbá, ϕ ∗ ψ ∈ A(G), ezért az előző állítás szerint Fβ (ϕ ∗ ψ) ∈ β

b LC1 (G, β).

β

Ezért a 14.5.1. alapján fennáll az lim i, I

Z

b G

Fβ (ϕ ∗ ψ)Fβ (fi ) β

dβb

=

Z

b G

egyenlőség, amivel az első állítást igazoltuk.

Fβ (ϕ ∗ ψ) dβb β

Ha f ∈ A(G) és (gi )i∈I , (hi )i∈I olyan véges rendszerek K (G; C)-ben, hogy f=

X i∈I

(gi ∗ hi ), β

b akkor a β-szerinti integrál és a Fourier-transzformáció additivitása, és az előzőek alapján

f (eG ) =

X i∈I

(gi ∗ hi )(eG ) = β

244

XZ i∈I

b G

Fβ (gi ∗ hi ) dβb = β

=

Z

X

Fβ

i∈I

b G

(gi ∗ hi ) β

!

dβb

=

Z

b G

b  Fβ (f ) dβ.

A Fourier-féle inverziós-tétel alapformájának megfogalmazása előtt emlékeztetünk c c s 7→ arra, hogy ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor jG jelöli a G → G; (χ 7→ χ(s)) kanonikus leképezést, amelyről az eddigiek alapján annyit tudunk, hogy folytonos injektív csoport-morfizmus (8.7.1.). 8.7.6. Tétel. (A Fourier-féle inverziós-tétel alapformája) Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett, akkor minden f ∈ A(G) esetén 





F βb,C (Fβ (f )) ◦ jG = f = Fβb,C F β (f )



◦ jG

teljesül a G halmazon mindenütt, tehát minden G ∋ s-re fennállnak a Z

egyenlőségek.

χ(s)Fβ (f )(χ)

b G

b dβ(χ)

= f (s) =

Z

b G

b χ(s) F β (f )(χ) dβ(χ)

Bizonyítás. Az előző következmény alapján minden f ∈ A(G) esetén fennáll az f (eG ) =

Z

b G

egyenlőség.

Fβ (f ) dβb

Ha f ∈ A(G) és s ∈ G tetszőleges, akkor Fβ (f ◦ γG (s)) = jG (s)Fβ (f ), továbbá f ◦ γG (s) ∈ A(G), ezért f (s) = (f ◦ γG (s))(eG ) = =

Z

b G

jG (s)Fβ (f ) dβb =

Z

Z

b G

b G

Fβ (f ◦ γG (s)) dβb =

b χ(s)Fβ (f )(χ) dβ(χ)

b miatt azt jelenti, hogy teljesül, ami Fβ (f ) ∈ LC1 (G, β) 



f = F βb,C (Fβ (f )) ◦ jG . 245

Ha f ∈ A(G), akkor f ∈ A(G), ezért az előző formulát f -re alkalmazva kapjuk, hogy minden s ∈ G esetén f (s) = f (s) =

=

Z

χ(s) Fβ (f )(χ)

b G

b dβ(χ)

=

Z

Z

b G

b χ(s)Fβ (f )(χ) dβ(χ) =

χ(s) F β (f )(χ)

b G

b dβ(χ)

=

b G

b miatt azt jelenti, hogy teljesül, ami F β (f ) ∈ LC1 (G, β) 

f = Fβb,C F β (f )

is igaz. 



Z

jG (s) F β (f ) dβb

◦ jG

Most a Fourier-féle inverziós-tétel alapformájának ismeretében bebizonyítjuk a Pontrjagin-féle dualitás tétel egyik részét. 8.7.7. Tétel. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor a c

c jG : G → G;

s 7→ (χ 7→ χ(s)) c

c és jG topologikus-algebrai izomorfizmus leképezés értékkészlete zárt részcsoportja G-nak, a G és Im(jG ) lokálisan kompakt csoportok között.

Bizonyítás. Azt már bebizonyítottuk, hogy jG folytonos injekció (8.7.1.). Most először megmutatjuk, hogy jG homeomorfizmus G és az Im(jG ) topologikus altér között, vagyis jG nyílt leképezés G és az Im(jG ) topologikus altér között. A jG leképezés csoport-morfizmus, ezért ehhez elegendő azt igazolni, hogy az eG neutrális

c c elem minden U környezetéhez van olyan W környezete az e neutrális elemnek G-ban, b b

G

hogy W ∩ Im(jG ) ⊆ jG hUi.

Először is kijelölünk egy G feletti β Haar-mértéket. Legyen U környezete eG -nek Gben, és rögzítsünk olyan U0 környezetét eG -nek G-ben, hogy U0 (U0 )−1 ⊆ U. Legyen ϕ ∈ K+ (G) olyan függvény, hogy ϕ 6= 0 és supp(ϕ) ⊆ U0 , továbbá értelmezzük az f := ϕ ∗ ϕ∗ ∈ A(G) függvényt. Ekkor a K (G; C) feletti konvolúció és involúció β

értelmezése, valamint ϕ 6= 0 és supp(β) = G alapján f (eG ) =

Z

ϕ(t)ϕ∗ (t−1 ) dβ(t) =

G

Z

G

ϕ(t)2 dβ(t) ∈ R+ .

b (8.7.4.). Megállapodunk abban, hogy a G lokáTudjuk, hogy Fβ (f ) ∈ LC1 (G, β) lisan kompakt csoport β-szerinti mértékalgebrájának integrál-reprezentációját (6.9.8.)

246

b ekvivalencia-osztályt az L1 (G, β) b mértékalgebra választjuk, így az (Fβ (f )) ∈ L1C (G, β) C elemének tekintjük. Továbbá, σ jelöli azt a q

β b

c

b c → X(L1 (G, β)) G C c

c és ψ ∈ K (G; C) esetén leképezést, amelyre teljesül az, hogy minden τ ∈ G b ψ). σ (τ ) (ψ) = β(τ β b

c

c topologikus tér és a Gelfand-topológiával ellátott Tudjuk, hogy ez homeomorfizmus a G 1 b X(LC (G, β)) karaktertér között (8.1.2.). (Valójában így értelmeztük a folytonos unitér karakterek terének topológiáját.) Megjegyezzük még, hogy e a G → C azonosan 1

függvény, ezért σ (e ) megyegyezik az β b

Most értelmezzük a W :=

b b

G

b L1C (G, β)

feletti,

b G b b β-szerinti



integrállal.

b | u ((F (f )) q ) − σ (e ) ((F (f )) q ) < 1 f (e ) u ∈ X(L1C (G, β)) β β G β b b 2 G b

halmazt, amely a Gelfand-topológia definíciója alapján környezete a σ (e ) algebraβ b

b X(L1C (G, β))

b b

G

karakternek az karaktertérben a Gelfand-topológia szerint. Ugyanakkor, a mértékalgebra integrál-reprezentációjának tulajdonságai alapján (6.9.8.) σ (e ) ((Fβ (f )) ) = q

β b

b G b

Z

b G

b Fβ (f ) dβ.

A Fourier-féle inverziós-tétel alapformája (8.7.6.) szerint Z

b G

Fβ (f ) dβb = f (eG ) ,

hiszen f ∈ A(G). Ez azt jelenti, hogy W = Legyen

b | |u ((F (f )) q ) − f (e )| < 1 f (e ) u ∈ X(L1C (G, β)) β G G 2

W := σ −1 b hW i. β

.

c c Ekkor W környezete e -nek G-ban, és ha τ ∈ W ∩ Im(jG ), akkor van olyan s ∈ G, hogy

τ = jG (s) ∈ W , tehát

b b

G

σ (j (s)) ((Fβ (f )) q ) − f βb G

247

(eG )

1 < f (eG ) . 2

Ugyanakkor, a Fourier-féle inverziós-tétel alapformája (8.7.6.) szerint σ (jG (s)) ((Fβ (f )) ) = q

tehát

β b

Z





jG (s) · Fβ (f ) dβb = F βb (Fβ (f )) ◦ jG (s) = f (s)

b G

1 |f (s) − f (eG )| < f (eG ) . 2 Ebből következik, hogy f (s) 6= 0, következésképpen s ∈ supp(f ) ⊆ supp(ϕ)(supp(ϕ))−1 ⊆ U0 (U0 )−1 ⊆ U, azaz s ∈ U. Ez azt jelenti, hogy τ = jG (s) ∈ jG hUi, amivel bebizonyítottuk, hogy W ∩ Im(jG ) ⊆ jG hUi.

c c függvény homeomorfizmus a G és az Im(j ) topologikus altér Tehát a jG : G → G G

c c szeparált topologikus között, ezért az Im(jG ) halmaz lokálisan kompakt részcsoport a G c c  csoportban, így a 2.3.1. szerint zárt G-ban.

8.8.

Fourier-féle inverziós-tétel*

8.8.1. Tétel. (Fourier-féle felcserélési-tétel) Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport, β Haar-mérték G felett és F komplex Banach-tér. b akkor a) Ha f ∈ LF1 (G, β) és g ∈ LC1 (G, β),

és fennáll az

Z

b G



b g · Fβ,F (f ) ∈ LF1 (G, β), 

Fβb,C (g) ◦ jG · f ∈ LF1 (G, β),

g · Fβ,F (f ) dβb =

Z 

G



Fβb,C (g) ◦ jG · f dβ

egyenlőség. (Első Fourier-féle felcserélési-formula) b és g ∈ L 1 (G, β), akkor b) Ha f ∈ LF1 (G, β) C 



g · F βb,F (f ) ◦ jG ∈ LF1 (G, β),

és fennáll az

Z

G



b F β,C (g) · f ∈ LF1 (G, β),

g · F βb,F (f ) ◦ jG



dβ =

Z

b G

F β,C (g) · f dβb

egyenlőség. (Második Fourier-féle felcserélési-formula) 248

Bizonyítás. a) A 14.3.7. alapján a G × G → F;

(s, χ) 7→ g(χ)f (s)

b függvény β ⊗ β-integrálható, és a

G × G → C;

(s, χ) 7→ χ(s)

függvény folytonos és korlátos, ezért a 13.1.3. szerint a Φ : G × G → F;

(s, χ) 7→ χ(s)g(χ)f (s)

b függvény is β ⊗ β-integrálható. Most a (nem elemi) Lebesgue–Fubini-tétel alkalmazzuk b b a β ⊗ β szorzatmértékre és a Φ függvényre. E szerint β-majdnem minden χ ∈ G esetén a Φ(·, χ) : G → F ; s 7→ χ(s)g(χ)f (s)

függvény β-integrálható, és a

Z   

G → F,

χ 7→  G

Φ(s, χ) dβ(s), ha Φ(·, χ) ∈ LF1 (G, β);

 

b függvény β-integrálható, és fennáll az Z

Φ d(β

b G×G

b ⊗ β)

, egyébként

0

=

Z

b G

Z

Φ(s, χ) dβ(s)

G

b dβ(χ)

egyenlőség. Azonban, χ ∈ G esetén a G → C s 7→ χ(s)g(χ) függvény folytonos és korlátos, továbbá az f : G → F függvény β-integrálható, így ezek szorzata, vagyis a Φ(·, χ) függvény szintén β-integrálható. Tehát minden G ∋ χ-re Φ(·, χ) ∈ LF1 (G, β), továbbá világos, hogy minden G ∋ χ-re Z

Φ(s, χ) dβ(s) = g(χ)

G

Z

χ(s)f (s) dβ(s)

=: g(χ)Fβ,F (f )(χ).

G

b és Ez azt jelenti, hogy g · Fβ,F (f ) ∈ LF1 (G, β), Z

b G×G

Φ d(β

b ⊗ β)

=

Z

b G

b g · Fβ,F (f ) dβ.

Továbbá, a Lebesgue–Fubini-tétel szerint β-majdnem minden s ∈ G esetén a Φ(s, ·) : G → F ;

χ 7→ χ(s)g(χ)f (s) 249

b függvény β-integrálható, és a

G → F,

s 7→

Z    b G   

b b Φ(s, χ) dβ(χ), ha Φ(s, ·) ∈ LF1 (G, β);

, egyébként

0

függvény β-integrálható, és fennáll az Z

b ⊗ β)

Φ d(β

b G×G

=

Z

Z

b G

G

b Φ(s, χ) dβ(χ)

dβ(s)

egyenlőség. Azonban, s ∈ G esetén a G → F ; χ 7→ χ(s)f (s) függvény folytonos és b korlátos, továbbá a g : G → C függvény β-integrálható, így ezek szorzata, vagyis a b b Φ(s, ·) függvény szintén β-integrálható. Tehát minden G ∋ s-re Φ(s, ·) ∈ LF1 (G, β), továbbá világos, hogy minden G ∋ s-re Z

Φ(s, χ)

b G

b dβ(χ) 

=

Z

b G

b χ(s)g(χ) dβ(χ) 



Ez azt jelenti, hogy Fβb,C (g) ◦ jG · f ∈ LF1 (G, β), és Z

Φ d(β

b G×G

b ⊗ β)

=

Z 

G

Ebből következik, hogy Z

b G

g · Fβ,F (f )

b) A 14.3.7. alapján a

dβb

=

Z

Φ d(β

b G×G

G × G → F;

b függvény β ⊗ β-integrálható, és a

G × G → C;



Fβb,C (g) ◦ jG · f dβ.

b ⊗ β)

=

Z 

G

(s, χ) 7→ g(s)f (χ) (s, χ) 7→ χ(s)

(s, χ) 7→ χ(s)g(s)f (χ) 250



Fβb,C (g) ◦ jG · f dβ.

függvény folytonos és korlátos, ezért a 13.1.3. szerint a Ψ : G × G → F;



f (s) =: Fβb,C (g)(jG (s)) f (s).

b függvény is β ⊗ β-integrálható. Most a (nem elemi) Lebesgue–Fubini-tétel alkalmazzuk b a β ⊗ β szorzatmértékre és a Ψ függvényre. E szerint β-majdnem minden s ∈ G esetén a

Ψ(s, ·) : G → F ;

b függvény β-integrálható, és a

G → F,

s 7→

Z    b G   

χ 7→ χ(s)g(s)f (χ)

b b Ψ(s, χ) dβ(χ), ha Ψ(s, ·) ∈ LF1 (G, β);

, egyébként

0

függvény β-integrálható, és fennáll az Z

Ψ d(β

b G×G

b ⊗ β)

=

Z

Z

b G

G

b Ψ(s, χ) dβ(χ)

dβ(s)

egyenlőség. Azonban, s ∈ G esetén a G → C; χ 7→ χ(s)g(s) függvény folytonos és b korlátos, továbbá az f : G → F függvény β-integrálható, így ezek szorzata, vagyis a b b Ψ(s, ·) függvény szintén β-integrálható. Tehát minden G ∋ s-re Ψ(s, ·) ∈ LF1 (G, β), továbbá világos, hogy minden G ∋ s-re Z

b G

Ψ(s, χ)

b dβ(χ)

= g(s)

Z

b G



b χ(s)f (χ) dβ(χ) =: g(s)F βb,F (f ) (jG (s)) . 

Ez azt jelenti, hogy g · F βb,F (f ) ◦ jG ∈ LF1 (G, β), és Z

b G×G

b = Ψ d(β ⊗ β)

Z

G



g · F βb,F (f ) ◦ jG



dβ.

b Továbbá, a Lebesgue–Fubini-tétel szerint β-majdnem minden χ ∈ G esetén a

Ψ(·, χ) : G → F ;

s 7→ χ(s)g(s)f (χ)

függvény β-integrálható, és a  Z   

G → F,

χ 7→  G

Ψ(s, χ) dβ(s), ha Ψ(·, χ) ∈ LF1 (G, β);

 

b függvény β-integrálható, és fennáll az Z

b G×G

b = Ψ d(β ⊗ β)

, egyébként

0

Z

b G

Z

G

251

Ψ(s, χ) dβ(s)

b dβ(χ)

egyenlőség. Azonban, χ ∈ G esetén a G → F ; s 7→ χ(s)f (χ) függvény folytonos és korlátos, továbbá a g : G → C függvény β-integrálható, így ezek szorzata, vagyis a Ψ(·, χ) függvény szintén β-integrálható. Tehát minden G ∋ χ-re Ψ(·, χ) ∈ LF1 (G, β), továbbá világos, hogy minden G ∋ χ-re Z

Ψ(s, χ) dβ(s) =

Z

f (χ) =: F β,C (g)(χ) f (χ).

χ(s)g(s) dβ(s)

b G

G

b és Ez azt jelenti, hogy F β,C (g) · f ∈ LF1 (G, β), Z

b G×G

Ebből következik az Z

G

egyenlőség. 

Ψ d(β



g · F βb,F (f ) ◦ jG



b ⊗ β)

=

Z

dβ =

Z

b G

b F β,C (g) · f dβ.

Ψ d(β

b G×G

b ⊗ β)

=

Z

b G

F β,C (g) · f dβb

Megjegyezzük, hogy a Fourier-féle felcserélési-tételben szereplő négy darab integrálhatósági állítás nyilvánvalóan igaz (tehát nem kell hivatkozni ezekhez a Lebesgue–Fubinitételre), mert mind a négy esetben egy folytonos korlátos és egy integrálható függvény szorzatáról van szó, így elég alkalmazni a 13.1.3. állítást. Tehát csak a két integrálegyenlőség bizonyításához van szükség a Lebesgue–Fubini-tételre. A Fourier-féle felcserélési-tétel alkalmazásával megmutatjuk, hogy a Fourier-féle inverziós-tétel alapformájából származtatható a 8.7.4. állítás következő, erősebb alakja. 8.8.2. Állítás. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, β Haar-mérték G felett és f ∈ A(G), g ∈ LC1 (G, β), akkor Z

G

f g dβ =

Z

b G

b Fβ (f )Fβ,C (g) dβ.

b és Bizonyítás. Alkalmazva a második Fourier-féle felcserélési-tételt az Fβ (f ) ∈ LC1 (G, β) g ∈ LC1 (G, β) függvényekre kapjuk, hogy Z

G



g · F βb,C (Fβ (f )) ◦ jG



dβ =

A Fourier-féle inverziós-tétel alapformája szerint

Z

b G

F β,C (g) · Fβ (f ) dβ.

F βb,C (Fβ (f )) ◦ jG = f, 252

tehát Fβ,C (g) = Fβ,C (g) alapján a bizonyítandó egyenlőséghez jutunk.  Most áttérünk a Fourier-féle inverziós-tétel pontos megfogalmazására és bizonyítására. Két lemmára lesz szükségünk. 8.8.3. Lemma. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport, β Haar-mérték G felett, F komplex Banach-tér, és f ∈ LF1 (G, β). Ha F0 ⊆ F olyan zárt lineáris altér és N ⊆ T olyan β-nullahalmaz, hogy f hG \ Ni ⊆ F0 , akkor Im (Fβ,F (f )) = Im F β,F (f ) ⊆ F0 . Bizonyítás. Legyen χ ∈ G. Ekkor (χf )hG \ Ni ⊆ C · f hG \ Ni ⊆ F0 , ezért az integrál lokalizációs tétele (14.5.5.) alapján F β,F (f )(χ) :=

Z

χf dµ ∈ F0 .

Ebből következik, hogy Im F β,F (f ) ⊆ F0 . Ugyanakkor, az Im (Fβ,F (f )) = Im F β,F (f ) egyenlőség a Fourier-transzformáció definíciója alapján triviális.  8.8.4. Lemma. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport, β Haar-mérték G b Ekkor felett, F komplex Banach-tér és f ∈ LF1 (G, β). Fβb,F (f ) ◦ jG ∈ K (G; F ),

F βb,F (f ) ◦ jG ∈ K (G; F ).

(Megjegyzés. Világos, hogy ezek a függvények folytonosak és korlátosak, de egyáltalán nem nyilvánvaló, hogy végtelenben eltűnőek.) b Bizonyítás. Jelölje g az Fβb,F (f ) és F βb,F (f ) függvények bármelyikét. Ekkor f ∈ LF1 (G, β) c

c C) (8.6.1.), és azt kell bizonyítani, hogy a g ◦ j : G → C függvény miatt g ∈ K (G; G végtelenben eltűnő. c c c\ K c halmazt, hogy minden τ ∈ G Legyen ε ∈ R+ tetszőleges, és vegyünk olyan K ⊆ G

c c esetén kg(τ )k < ε. Az Im(jG ) halmaz zárt G-ban (8.7.7.), ezért K ∩ Im(jG ) kompakt c

c G-ban, így kompakt az Im(jG ) topologikus altérben is. A jG függvény homeomorfizmus −1

−1

G és az Im(jG ) topologikus altér között (8.7.7.), ezért jG hK ∩ Im(jG )i, vagyis a jG hKi −1

c

c \ K, így halmaz kompakt G-ben. Nyilvánvaló, hogy s ∈ G \ jG hKi esetén jG (s) ∈ G k(g ◦ jG )(s)k < ε. Ez azt jelenti, hogy a g ◦ jG : G → F függvény végtelenben eltűnő. 

253

8.8.5. Tétel. (Fourier-féle inverziós-tétel) Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport, β Haar-mérték G felett, F komplex Banach-tér, és f ∈ LF1 (G, β) olyan, hogy 1 b Ekkor F b Fβ,F (f ) ∈ LF1 (G, β). β,F (f ) ∈ LF (G, β) és teljesülnek a következők. 



a) f = F βb,F (Fβ,F (f )) ◦ jG a G halmazon β-majdnem mindenütt. 





b) F βb,F (Fβ,F (f )) ◦ jG = Fβb,F F β,F (f ) 



◦ jG a G halmazon mindenütt. 

c) Akkor és csak akkor teljesül az f = F βb,F (Fβ,F (f )) ◦ jG egyenlőség a G halmazon mindenütt, ha f folytonos. b ugyanakkor i (β) b = β, b ezért a Bizonyítás. A hipotézis szerint Fβ,F (f ) ∈ LF1 (G, β), b

G

b Ugyanakkor, helyettesítéses integrálás tétele (14.3.6.) alapján (Fβ,F (f ))◦i ∈ LF1 (G, β). b

G

b is teljesül. a definíció alapján F β,F (f ) = (Fβ,F (f )) ◦ i , ezért F β,F (f ) ∈ LF1 (G, β) b

G

a) Legyen ϕ ∈ A(G) rögzített függvény. Alkalmazzuk az első Fourier-féle felcserélésiformulát (8.8.1.), az ottani g helyére az F β (ϕ) függvényt helyettesítve, amely a 8.7.4. b szerint β-integrálható. Azt kapjuk, hogy 

b G



Fβb,C (F β (ϕ)) ◦ jG · f ∈ LF1 (G, β),

és fennáll az Z

b F β (ϕ) · Fβ,F (f ) ∈ LF1 (G, β),

F β (ϕ) · Fβ,F (f )

dβb

=

Z 

G



Fβb,C (F β (ϕ)) ◦ jG · f dβ

egyenlőség. A Fourier-féle inverziós-tétel alapformája (8.7.6.) szerint

ami azt jelenti, hogy

Z

b G

Fβb,C (F β (ϕ)) ◦ jG = ϕ, F β (ϕ) · Fβ,F (f )

dβb

=

Z

G

ϕ · f dβ.

Most alkalmazzuk a második Fourier-féle felcserélési-formulát (8.8.1.), az ottani g helyére a ϕ és az ottani f helyére az Fβ,F (f ) függvényt helyettesítve. Azt kapjuk, hogy 



ϕ · F βb,F (Fβ,F (f )) ◦ jG ∈ LF1 (G, β), b F β (ϕ) · Fβ,F (f ) ∈ LF1 (G, β),

254

és fennáll az

Z

G

egyenlőség.



ϕ · F βb,F (Fβ,F (f )) ◦ jG



dβ =

Z

b G

F β (ϕ) · Fβ,F (f ) dβb

A két előző integrál-egyenlőségből következik, hogy Z

G

ϕ · f dβ =

Z

G

Vezessük be a



ϕ · F βb,F (Fβ,F (f )) ◦ jG



dβ.

g := f − F βb,F (Fβ,F (f )) ◦ jG : G → F

függvényt. Ez négy fontos tulajdonsággal rendelkezik.

1) Minden ψ ∈ K (G; C) esetén ψg ∈ LF1 (G, β), ugyanis a 13.1.3. szerint ψf ∈ LF1 (G, β)   és ψ · F βb,F (Fβ,F (f )) ◦ jG ∈ K (G; F ) ⊆ LF1 (G, β).

2) Létezik olyan N ⊆ G β-nullahalmaz és olyan F0 ⊆ F szeparábilis lineáris altér, hogy ghG \ Ni ⊆ F0 . Valóban f ∈ LF1 (G, β) miatt vehetünk olyan F0 ⊆ F szeparábilis zárt lineáris alteret és olyan N ⊆ G β-nullahalmazt, hogy f hG \ Ni ⊆ F0 (13.3.6.). A 8.8.3. alapján ekkor Im(Fβ,F (f )) ⊆ F0 , és ismételten alkalmazva 8.8.3.-t az b függvényre kapjuk, hogy Im(F Fβ,F (f ) ∈ LF1 (G, β) b,F (Fβ,F (f ))) ⊆ F0 is teljesül, ezért β 



Im F βb,F (Fβ,F (f )) ◦ jG ⊆ F0 még inkább igaz, így ghG \ Ni ⊆ F0 . 3) Létezik olyan N ′ ⊆ G β-nullahalmaz és létezik a G kompakt részhalmazainak olyan (Kn )n∈N sorozata, hogy [g 6= 0] ⊆

S

n∈N

Kn

∪ N ′ . Valóban, f ∈ LF1 (G, β) miatt

vehetünk olyan N ′ ⊆ G β-nullahalmazt és G kompakt részhalmazainak olyan (Cn )n∈N S

sorozatát, hogy [f 6= 0] ⊆

n∈N

Cn

∪ N ′ . Az f függvényre előírt integrálhatósági

hipotézisek alapján F βb,F (Fβ,F (f )) ◦ jG ∈ K (G; F ) (8.8.4.), ezért létezik a G kompakt részhalmazainak olyan (Cn′ )n∈N sorozata, hogy i

h

F βb,F (Fβ,F (f )) ◦ jG 6= 0 ⊆

[

Cn′ .

n∈N

(Ez nyilvánvalóan általános topológiai tulajdonság: ha h egy topologikus téren értelmezett, normált térbe érkező, végtelenben eltűnő függvény, akkor a [h 6= 0] halmaz részhalmaza egy σ-kompakt halmaznak.) Tehát, ha minden n ∈ N esetén Kn := Cn ∪ Cn′ , akkor teljesül a [g 6= 0] ⊆

S

n∈N

Kn ∪ N ′ tartalmazás.

4) Minden ϕ ∈ A(G) esetén

Z

ϕf dβ = 0. Ezt az előzőekben bizonyítottuk.

G

255

Továbbá, a 8.4.2. alapján világos, hogy a T := G és Φ := A(G) választással teljesül a du Bois-Reymond-lemmában T -re és Φ-re megfogalmazott (A) feltétel (14.4.5.). Ezért a du Bois-Reymond-lemmát (14.4.5.) alkalmazva kapjuk, hogy g = 0 a G halmazon β-majdnem mindenütt, vagyis 



f = F βb,F (Fβ,F (f )) ◦ jG

a G halmazon β-majdnem mindenütt.

b) Az iG (β) = β egyenlőség miatt f ◦ iG ∈ LF1 (G, β), továbbá b Fβ,F (f ◦ iG ) = F βb,F (f ) ∈ LF1 (G, β),

így a)-t alkalmazva az f helyett az f ◦ iG függvényre kapjuk, hogy 

f ◦ iG = F βb,F F β,F (f )



◦ jG

a G-n β-majdnem mindenütt. Az iG : G → G inverzió homeomorfizmus, ezért a 8.7.6. alapján ekkor   (f ◦ iG ) ◦ iG = F βb,F F β,F (f ) ◦ jG ◦ iG c

c csoport-morfizmus, ezért is teljesül G-n β-majdnem mindenütt. De jG : G → G jG ◦ iG = i ◦ jG teljesül, valamint (f ◦ iG ) ◦ iG = f , tehát b b

G



f = F βb,F F β,F (f )



◦ i ◦ jG b b

G

teljesül G-n β-majdnem mindenütt. Felhasználva azt, hogy a Fourier-transzformáció definíciója szerint   F βb,F F β,F (f ) ◦ i = Fβb,F F β,F (f ) , b b

G

azt kapjuk, hogy



f = Fβb,F F β,F (f ) teljesül G-n β-majdnem mindenütt. Ezért az



◦ jG

h







◦ jG









◦ jG

F βb,F (Fβ,F (f )) ◦ jG 6= Fβb,F F β,F (f )

i

halmaz β-nullahalmaz, és nyílt is, mert az egyenlőtlenség mindkét oldalán folytonos függvény áll. Ezért supp(β) = G miatt ez a halmaz üres, tehát F βb,F (Fβ,F (f )) ◦ jG = Fβb,F F β,F (f )

teljesül a G-n mindenütt.

256





c) Ha f folytonos, akkor az [f 6= F βb,F (Fβ,F (f )) ◦ jG ] halmaz nyílt és az a) alapján β  nullahalmaz, így supp(β) = G miatt üres, tehát f = F βb,F (Fβ,F (f )) ◦jG a G halmazon mindenütt teljesül.  Megjegyzés. Az előző tétel c) részét az a) és b) alkalmazásával bizonyítottuk. Most adunk c)-re egy olyan bizonyítást, amely nem használja fel sem az a), sem a b) állításokat. Feltesszük tehát, hogy f ∈ LF1 (G, β) olyan folytonos függvény, hogy b Fβ,F (f ) ∈ LF1 (G, β). Legyen (fi )i∈I egy Fourier-féle β-szerinti δ-rendszer (8.4.4.). b és f ∈ L 1 (G, β), ezért felírhatjuk a Fourier-féle Minden I ∋ i-re F β (fi ) ∈ LC1 (G, β) F első felcserélési-formulát a g := F β (fi ) választással: Z

b G

F β (fi ) · Fβ,F (f ) dβb =

Z 

G



Fβb,C (F β (fi )) ◦ jG · f dβ.

A Fourier-féle inverziós-formula alapformája szerint minden i ∈ I esetén 



Fβb,C (F β (fi )) ◦ jG = fi ,

hiszen fi ∈ A(G). Ez azt jelenti, hogy minden i ∈ I esetén Z

b G

F β (fi ) · Fβ,F (f ) dβb =

Z

fi f dβ.

G

Az f : G → F függvény folytonos, ezért a 6.2.4. alapján lim i, I

Z

fi f dβ = f (eG ).

G

Ugyanakkor, az (F β (fi ))i∈I általánosított függvénysorozat egyenletesen korlátos és a G minden kompakt részhalmazán egyenletesen konvergál 1-hez, mivel minden I ∋ i-re és G ∋ χ-re F β (fi )(χ) = Fβ (fi )(χ). Ezért a 14.5.1. alapján lim i, I

Z

b G

F β (fi ) · Fβ,F (f ) dβb =

Z

b G

b Fβ,F (f ) dβ,

b Ebből kapjuk, hogy ugyanis a hipotézis szerint Fβ,F (f ) ∈ LF1 (G, β).

f (eG ) =

Z

b G

b Fβ,F (f ) dβ.

Ezt az egyenlőséget tetszőleges olyan f ∈ LF1 (G, β) ∩ C (G; F ) függvényre igazoltuk, b amelyre Fβ,F (f ) ∈ LF1 (G, β). 257

Legyen most f szintén ilyen tulajdonságú függvény és s ∈ G rögzített. A hipotézis b és β = (γ (s)(β), így a helyettesítéses integrálás tétele szerint Fβ,F (f ) ∈ LF1 (G, β) G (14.3.6.) alapján f ◦ γG (s) ∈ LF1 (G, β) és b Fβ,F (f ◦ γG (s)) = jG (s) · Fβ,F (f ) ∈ LF1 (G, β),

mert az egyenlőség jobb oldalán a jG (s) : G → C korlátos és folytonos függvénynek b függvénynek a szorzata áll (13.1.3.). Tekintettel arra, hogy és az Fβ,F (f ) ∈ LF1 (G, β) f ◦ γG (s) ∈ C (G; F ), az imént igazolt integrál-formula felírható f ◦ γG (s)-re, vagyis f (s) = (f ◦ γG (s))(eG ) = =

Z

b G

ami azt jelenti, hogy

b G

Fβ,F (f ◦ γG (s)) dβb = 



jG (s) · Fβ,F (f ) dβb = F βb,F (Fβ,F (f )) (jG (s)),

a G halmazon mindenütt.

8.9.

Z





f = F βb,F (Fβ,F (f )) ◦ jG

Fourier-transzformáció az LF2(G, β) téren – Plancherel-tétel*

8.9.1. Lemma. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett, akkor az A(G) függvényhalmaz minden p ≥ 1 valós számra sűrű az LCp (G, β) függvénytérben a k · kβ,p félnorma szerint. Bizonyítás. Legyen p ≥ 1 rögzített valós szám. Az LCp (G, β) tér definíciója szerint K (G; C) sűrű LCp (G, β)-ban a k · kβ,p félnorma szerint. Ezért elég azt igazolni, hogy A(G) sűrű K (G; C)-ben a k · kβ,p félnorma szerint.

Legyen ϕ ∈ K (G; C) rögzített függvény, és a 8.4.2. alapján vegyünk olyan A(G)-ben haladó (ϕn )n∈N sorozatot és olyan K ⊆ G kompakt halmazt, hogy (ϕn )n∈N egyenletesen konvergál ϕ-hez a G halmazon, és minden N ∋ n-re supp(ϕn ) ⊆ K. Legyen ψ ∈ K+ (G) olyan, hogy K ∪ supp(ϕ) ⊆ [ψ = 1]. Ekkor n ∈ N esetén |ϕn − ϕ| ≤ 9ϕn − ϕ 9 ψ, amiből következik, hogy kϕn − ϕkβ,p ≤ 9ϕn − ϕ 9 ·kψkβ,p. Ebből látható, hogy az A(G)-ben haladó (ϕn )n∈N függvénysorozat ϕ-hez konvergál a k · kβ,p félnorma szerint.  258

8.9.2. Tétel. (Plancherel-tétel) Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett. Létezik egyetlen olyan b Fβ : L2C (G, β) → L2C (G, β)

unitér operátor, amelyre teljesül az, hogy minden f ∈ A(G) esetén Fβ (f ) = (Fβ (f )) . q

q

Létezik továbbá egyetlen olyan b Fβ : L2C (G, β) → L2C (G, β)

unitér operátor, amelyre teljesül az, hogy minden f ∈ A(G) esetén q

Fβ (f ) = F β (f ) q

.

Bizonyítás. Az 8.7.4. alapján minden f, g ∈ A(G) esetén Fβ (f ) és F β (f ) a G halmaz b felett négyzetesen β-integrálható függvények, és (g|f )β = β(gf ) =

Tehát az

Z

b Fβ (g)Fβ (f ) dβ.

b G

b A(G) → LC2 (G, β);

b A(G) → LC2 (G, β);

f 7→ Fβ (f ), f 7→ F β (f ),

lineáris operátorok skalárszorzat-tartó leképezések. Ebből következik, hogy ha A(G) q := {f q |f ∈ A(G)}, akkor egyértelműen léteznek olyan b Φ, Φ : A(G) → L2C (G, β) q

lineáris operátorok, amelyekre teljesül az, hogy minden f ∈ A(G) esetén q Φ(f q ) = (Fβ (f ))

Φ(f ) = F β (f ) q

q

.

Az előző lemma szerint az A(G) függvénytér sűrű LC2 (G, β)-ban a k · kβ,2 félnorma szerint, így A(G) q sűrű lineáris altere az L2C (G, β) Hilbert-térnek. Ezért Φ és Φ b folytonos lineáris operátorokká. egyértelműen kiterjeszthetőek L2C (G, β) → L2C (G, β) Jelölje Fβ a Φ, és Fβ a Φ folytonos lineáris kiterjesztését A(G) q -ről L2C (G, β)-ra. Ekkor b HilbertFβ és Fβ olyan skalárszorzás-tartó lineáris operátorok az L2C (G, β) és L2C (G, β) terek között, amelyek eleget tesznek a tételben előírt egyenlőségeknek. 259

Azt kell még igazolni, hogy Fβ és Fβ szürjektív operátorok. Az Fβ és Fβ lineáris operátorok Banach-térről normált térbe vezető izometriák, ezért értékkészleteik zárt b Hilbert-térben. Tehát elég azt igazolni, hogy az értékkészletek lineáris alterek az L2C (G, β) ortogonális komplementere a zéró-altér. Ennek bizonyítását Fβ -ra végezzük el, az Fβ b olyan függvény, amelyre g q esetében hasonlóan járhatunk el. Legyen tehát g ∈ LC2 (G, β) 2 b Hilbert-térben ortogonális Im(F )-ra. Azt kell igazolni, hogy g q = 0 teljesül az LC (G, β) β b L2C (G, β)-ben.

b Először azt mutatjuk meg, hogy f ∈ A(G) esetén (Fβ (f )g) = 0 teljesül L2C (G, β)-ben. Ehhez vegyünk tetszőleges h ∈ A(G) függvényt. Ekkor q

((Fβ (h)) | (Fβ (f )g) )L2 (G, b βb) = q

q

C

=

Z

b G

Fβ (h)Fβ (f ∗ )g dβb =

= (Fβ (h ∗ f ∗ )) |g q

q

β

bb

L2C (G,β )

Z

b G

Z

b G

Fβ (h)Fβ (f )g dβb =

Fβ (h ∗ f ∗ )g dβb = β

= Fβ ((h ∗ f ∗ ) )|g q

q

β

b βb) L2C (G,

= 0,

hiszen h ∗ f ∗ ∈ A(G). Legyen ψ ∈ K (G; C) tetszőleges. Az {Fβ (h)|h ∈ A(G)} halmaz β

sup-normában sűrű K (G; C)-ben, ezért ψ-hez van olyan (hn )n∈N sorozat A(G)-ben, hogy lim 9Fβ (hn ) − ψ9Gb = 0.

n→∞

Ekkor minden N ∋ n-re Z

b G

∗

|Fβ (hn )Fβ (f )g − ψFβ (f )g|

dβb

≤ 9Fβ (hn ) − ψ 9Gb

Z

b G

∗

b |Fβ (f )g| dβ,

és itt az egyenlőtlenség jobb oldalán álló sorozat 0-hoz tart, mert Z

b G

∗

|Fβ (f )g| dβb < ∞,

b hiszen F (f ) ∈ L 2 (G, β) b és g ∈ L 2 (G, β). b ugyanis Fβ (f )g ∈ LC1 (G, β), Ebből β C C következik, hogy

lim

n→∞

Z

b G

Fβ (hn )Fβ (f )g

dβb

=

Z

b G

ψFβ (f )g dβb = (ψ q | (Fβ (f )g) )L2 (G, b βb) . q

C

De az előzőek alapján minden n ∈ N esetén Z

b G

Fβ (hn )Fβ (f )g dβb = 0. 260

Ez azt jelenti, hogy minden ψ ∈ K (G; C) esetén (ψ q | (Fβ (f )g) )L2 (G, b βb) = 0, q

C

b Hilbert-térben. vagyis (Fβ (f )g) ortogonális a {ψ q |ψ ∈ K (G; C)} altérre az L2C (G, β) q b De ez az altér – a definíció szerint – sűrű L2C (G, β)-ben, ezért (Fβ (f )g) = 0. Ebből b következik, hogy minden A(G) ∋ f -re Fβ (f )g = 0 a G halmazon β-majdnem mindenütt. q

b Végül megmutatjuk, hogy g q is ortogonális L2C (G, β)-ben a {ψ q |ψ ∈ K (G; C)} sűrű altérre, tehát g q = 0. Ehhez legyen ismét ψ ∈ K (G; C) tetszőleges. Tudjuk, hogy az (Ωf )f ∈A(G) halmazrendszer nyílt befedése G-nak, ezért a supp(ψ) kompakt halmazhoz S van olyan (fi )i∈I véges rendszer A(G)-ben, hogy supp(ψ) ⊆ Ωfi . Legyen minden i ∈ I i∈I

esetén Ni := [Fβ (fi )g 6= 0], melyről láttuk, hogy

b β-nullahalmaz.

Legyen N :=

S

i∈I

Ni ,

b amely szintén β-nullahalmaz. Z Állítjuk, hogy [ψg 6= 0] ⊆ N, tehát ψg = 0 a G-n b β-majdnem mindenütt, így

b G

b ψg dβb = 0, vagyis g q ortogonális ψ q -ra L2C (G, β)-ben.

Valóban, ha χ ∈ [ψg 6= 0], akkor g(χ) 6= 0 és ψ(χ) 6= 0. Ez utóbbi egyenlőtlenség miatt olyan i ∈ I, hogy χ ∈ Ωfi . Ekkor Fβ (fi )(χ)g(χ) 6= 0, tehát χ ∈ Ni ⊆ N. 

8.9.3. Definíció. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett. Az L2C (G, β) Hilbert-tér feletti (β-szerinti) Fourier-transzformációnak nevezzük azt az b Fβ : L2C (G, β) → L2C (G, β) unitér operátort, amelyre teljesül az, hogy minden f ∈ A(G) esetén q Fβ (f q ) = (Fβ (f )) .

Továbbá, az L2C (G, β) Hilbert-tér feletti (β-szerinti) konjugált Fourier-transzformációnak nevezzük azt az b Fβ : L2C (G, β) → L2C (G, β)

unitér operátort, amelyre teljesül az, hogy minden f ∈ A(G) esetén q Fβ (f q ) = F β (f ) .

Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett. Az Fβ és Fβ operátorok felhasználásával elkészíthetőek az b LC2 (G, β) → L2C (G, β);

b LC2 (G, β) → L2C (G, β);

261

f 7→ Fβ (f ); q

f 7→ Fβ (f q )

leképezések is, amelyek szintén skalárszorzás-tartó, szürjektív lineáris operátorok az b Hilbert-tér között. Ezeket az operátorokat neLC2 (G, β) prehilbert-tér és az L2C (G, β) 2 vezzük az LC (G, β) függvénytér feletti (β-szerinti) Fourier-transzformációnak, illetve konjugált Fourier-transzformációnak. De vigyázzunk arra, hogy ezek értékkészletében b b nem függvények állnak, hanem négyzetesen β-integrálható függvények β-majdnem min2 denütt egyenlőség szerinti ekvivalencia-osztályai. Ezért f ∈ LC (G, β) esetén értelmetlen beszélni az Fβ (f ) vagy Fβ (f ) Fourier-transzformáltak értékéről adott G-beli pontban. 8.9.4. Következmény. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar2 b ∩ L 2 (G, β), b akkor F mérték G felett. Ha f ∈ LC1 (G, β) C b,C (f ) ◦ jG ∈ LC (G, β) és β 

F βb,C (f ) ◦ jG

Fβ

Bizonyítás. Tekintsük az

 q



uf : A(G) → C;

= f q.



ϕ 7→ β ϕ · F βb,C (f ) ◦ jG



lineáris funkcionált. Ha ϕ ∈ A(G), akkor ϕ ∈ LC1 (G, β), és a hipotézis szerint b ezért a második Fourier-féle felcserélési-formula alapján f ∈ LC1 (G, β), uf (ϕ) =

Z

G



ϕ · F βb,C (f ) ◦ jG



dβ =

Z

b G

F β,C (ϕ) · f dβb =

Z

b G

b F β (ϕ) · f dβ.

b (8.7.4.), és a hipotézis szerint Tudjuk, hogy ϕ ∈ A(G) esetén F β (ϕ) ∈ LC2 (G, β) b ezért a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség alapján f ∈ LC2 (G, β),

|uf (ϕ)| =

Z b G

F β (ϕ) · f

dβ

≤

A 8.7.4. szerint minden A(G) ∋ ϕ-re Z

b G

tehát |uf (ϕ)| ≤

Z

b G

b G

1/2

|F β (ϕ)|2 dβb

|F β (ϕ)|2 dβb = 1/2

|f |2 dβb

Z

Z

b G

Z

G

b G

1/2

|f |2 dβb

.

|ϕ|2 dβ,

1/2

|ϕ|2 dβb

Z

=

Z

b G

1/2

|f |2 dβb

kϕkβ,2.

Ez azt jelenti, hogy az uf : A(G) → C lineáris funkcionál folytonos a k · kβ,2 norma szerint. Az A(G) függvénytér sűrű lineáris altere az L2C (G, β) Hilbert-térnek (8.9.1.). 262

Ebből következik, hogy egyetlen olyan ufq : L2C (G, β) → C folytonos lineáris funkcionál létezik, amelyre minden ϕ ∈ A(G) esetén ufq (ϕ q ) = uf (ϕ). A funkcionálanalízisbeli Riesz-féle reprezentációs tétel szerint van olyan g ∈ LC2 (G, β), hogy minden A(G) ∋ ϕre ufq (ϕ q ) = (ϕ q |g q )L2C (G,β) , vagyis Z

G



ϕ · F βb,C (f ) ◦ jG



dβ =

Z

G

ϕ · g dβ.

Vezessük be a g0 := g − F βb,C (f ) ◦ jG : G → C függvényt. Minden ϕ ∈ K (G; C)   esetén ϕg ∈ LC1 (G, β) (13.1.3.) és ϕ · F βb,C (f ) ◦ jG ∈ K (G; C) ⊆ LC1 (G, β), ezért ϕg0 ∈ LC1 (G, β). Továbbá, a g ∈ LC2 (G, β) függvényhez létezik olyan N ′ ⊆ G βnullahalmaz és a G kompakt részhalmazainak olyan (Cn )n∈N sorozata, amelyre [g 6= 0] ⊆ S

b miatt F Cn ∪ N ′ (13.3.5.). Ugyanakkor, f ∈ LC1 (G, β) b,C (f ) ◦ jG ∈ K (G, C) β (8.8.4.), ezért létezik a G kompakt részhalmazainak olyan (Cn′ )n∈N sorozata, hogy i h S F βb,C (f ) ◦ jG 6= 0 ⊆ Cn′ . Tehát, ha minden n ∈ N esetén Kn := Cn ∪ Cn′ , akkor n∈N

n∈N

(Kn )n∈N a G kompakt részhalmazainak olyan sorozata és N ′ ⊆ G olyan β-nullhalmaz,

hogy [g0 6= 0] ⊆

S

n∈N

Kn ∪ N ′ .

Továbbá, a 8.4.2. alapján világos, hogy a T := G és Φ := A(G) választással teljesül a du Bois-Reymond-lemmában T -re és Φ-re megfogalmazott (A) feltétel (14.4.5.). Ezért a du Bois-Reymond-lemmát (14.4.5.) alkalmazva kapjuk, hogy g0 = 0 a G halmazon β-majdnem mindenütt, vagyis F βb,C (f ) ◦ jG = g a G halmazon β-majdnem mindenütt. Tehát g ∈ LC2 (G, β) miatt F βb,C (f ) ◦ jG ∈ LC2 (G, β) is igaz. b olyan, hogy Legyen most h ∈ LC2 (G, β)

Fβ



F βb,C (f ) ◦ jG

 q

= h q.

Azt kell igazolnunk, hogy h q = f q . Az Fβ hA(G) q i⊥ = {0} egyenlőség alapján elég volna igazolni azt, hogy minden ϕ ∈ A(G) esetén (h |Fβ (ϕ ))L2 (G, b βb) = (f |Fβ (ϕ ))L2 (G, b βb) q

q

q

q

C

C

2 b teljesül, ahol (·|·)L2 (G, b βb) az LC (G, β) Hilbert-tér skalárszorzását jelöli. C

Legyen tehát ϕ ∈ A(G) rögzítve. A h függvény definíciója alapján, kihasználva az Fβ operátor uniteritását kapjuk, hogy 

(h q |Fβ (ϕ q ))L2 (G, b βb) = Fβ C

=



F βb,C (f ) ◦ jG

q

ϕq





F βb,C (f ) ◦ jG

L2C (G,β)

=

263

Z 

G

 q

Fβ (ϕ q )





b βb) L2C (G,

= (1)

F βb,C (f ) ◦ jG · ϕ dβ =

(1)

=

Z

b G

ahol: (1)

f · F β (ϕ)

dβb

(2)

=

Z

b G

f · (Fβ (ϕ)) dβb = (f q |Fβ (ϕ q ))L2 (G, b βb) , C

– az = egyenlőségnél ismét a második Fourier-féle felcserélési-formulát alkalmaztuk, ami b továbbá ϕ ∈ A(G) ⊆ L 1 (G, β); jogos volt, mert a hipotézis szerint f ∈ LC1 (G, β), C (2)

– a = egyenlőségnél felhasználtuk a triviális F β (ϕ) = (Fβ (ϕ)) egyenlőséget. Ezzel az állítást igazoltuk.  8.9.5. Következmény. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haarb olyanok, hogy mérték G felett. Legyenek f ∈ LC2 (G, β) és g ∈ LC2 (G, β) Fβ (f ) = g . q

q

2 b is teljesül, akkor F Ha g ∈ LC1 (G, β) b,C (g) ◦ jG ∈ LC (G, β) és β



F βb,C (g) ◦ jG

q

=f , q

vagyis F βb,C (g) ◦ jG = f teljesül a G-n β-majdnem mindenütt.

b ∩ L 2 (G, β) b Bizonyítás. Az előző következményt alkalmazzuk f helyett a g ∈ LC1 (G, β) C 2 függvényre. Azt kapjuk, hogy F βb,C (g) ◦ jG ∈ LC (G, β) és

Fβ



F βb,C (g) ◦ jG

 q

= g q = Fβ (f q )

teljesül, így az Fβ operátor injektivitása miatt fennáll az

egyenlőség is. 



F βb,C (g) ◦ jG

q

=fq

8.9.6. Lemma. Ha G topologikus csoport, K ⊆ G kompakt halmaz és Ω ⊆ G olyan nyílt halmaz, hogy K ⊆ Ω, akkor létezik eG -nek olyan W környezete, hogy W K ⊆ Ω. Bizonyítás. Természetesen elég arra az esetre bizonyítani, amikor K 6= ∅. Az Ω halmaz nyíltsága és K ⊆ Ω miatt kiválasztható az eG környezeteinek olyan (Ws′ )s∈K rendszere, hogy minden s ∈ K esetén Ws′ s ⊆ Ω. A (Ws′)s∈K rendszerhez kiválaszthatjuk az eG környezeteinek olyan (Ws )s∈K rendszerét, hogy minden K ∋ s-re Ws Ws ⊆ Ws′ . S Ekkor K ⊆ (Ws s) és K kompaktsága miatt vehetünk olyan S ⊆ K véges halmazt,

hogy K ⊆ W :=

T

s∈S

s∈K S s∈S

(Ws s). Nyilvánvaló, hogy S 6= ∅, hiszen K 6= ∅, ezért képezhető a

Ws halmaz, amely szintén környezete eG -nek. Állítjuk, hogy W K ⊆ Ω.

Valóban, ha w ∈ W és k ∈ K, akkor létezik olyan s ∈ S, hogy k ∈ Ws s, tehát wk ∈ W Ws s ⊆ Ws Ws s ⊆ Ws′ s ⊆ Ω.  264

8.9.7. Lemma. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett. Ha f ∈ LC2 (G, β) kompakt tartójú függvény, akkor minden Ω ⊆ G nyílt halmazhoz, supp(f ) ⊆ Ω esetén létezik olyan A(G)-ben haladó (fn )n∈N sorozat, hogy minden N ∋ nre supp(fn ) ⊆ Ω és (fn )n∈N konvergál az f függvényhez a k · kβ,2 és a k · kβ,1 félnormák szerint is. (Megjegyzés. Az f -re vonatkozó hipotézis szerint f ∈ LC1 (G, β) is teljesül, mivel létezik olyan ϕ ∈ K (G; C), hogy supp(f ) ⊆ [ϕ = 1], és akkor f ∈ LC2 (G, β) és ϕ ∈ K (G; C) ⊆ LC2 (G, β) miatt f = f ϕ ∈ LC1 (G, β) (13.2.3.))

Bizonyítás. Vegyünk olyan U ⊆ G nyílt halmazt, hogy supp(f ) ⊆ U ⊆ U ⊆ Ω, és az előző lemma alkalmazásával válasszuk ki eG -nek olyan W0 kompakt környezetét, amelyre W0 U ⊆ Ω. A lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tétel alkalmazásával válasszunk olyan ϕ∗ ∈ K (G; R) függvényt, amelyre 0 ≤ ϕ∗ ≤ 1, W0 U ⊆ [ϕ∗ = 1] és supp(ϕ∗ ) ⊆ Ω. Ismét a lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tételt alkalmazva vegyünk egy ϕ ∈ K (G; R) függvényt, amelyre 0 ≤ ϕ ≤ 1, supp(f ) ⊆ [ϕ = 1] és supp(ϕ) ⊆ U. Legyen (ϕi )i∈I tetszőleges β-szerinti δ-rendszer (6.2.1.), és a W0 környezethez rögzítsünk olyan i0 ∈ I indexet, hogy minden i ∈ I esetén, ha i ≥ i0 , akkor supp(ϕi ) ⊆ W0 .

Legyen η ∈ R+ tetszőleges. Ekkor f ∈ LC2 (G, β) alapján vehetünk olyan ψ ∈ K (G; C) függvényt, hogy kf − ψkβ,2 < η. Világos, hogy f = f ϕ és |ϕ| ≤ 1, ezért Z

G

∗

|f − ψϕ|2 dβ =

Z

G

∗

|f ϕ − ψϕ|2 dβ =

Z

∗

G

|f − ψ|2 |ϕ|2 dβ ≤

Z

∗

G

|f − ψ|2 dβ

is teljesül, tehát kf − ψϕkβ,2 ≤ kf − ψkβ,2 < η.

Tudjuk, hogy a (ϕi )i∈I általánosított függvénysorozat rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy minden g ∈ K (G; C) függvényre (ϕi ∗ g)i∈I egyenletesen konvergál G-n a g β

függvényhez (6.2.5.). Ezt alkalmazva a g := ψϕ függvényre kapjuk, hogy létezik olyan iη ∈ I, hogy minden i ∈ I esetén, ha i ≥ iη , akkor 9ψϕ − ϕi ∗(ψϕ)9 < η. Ha β

i ∈ I olyan, hogy i ≥ iη , i0 , akkor g := ϕi ∗(ψϕ) ∈ A(G) függvényre teljesül az, hogy β

supp(g) ⊆ W0 U ⊆ [ϕ∗ = 1] ⊆ Ω, továbbá fennállnak az

kf − gkβ,2 ≤ kf − ψϕkβ,2 + kψϕ − gkβ,2 < η + ηkϕ∗ kβ,2 egyenlőtlenségek, hiszen |ψϕ − g| = |ψϕ − g|ϕ∗ ≤ ηϕ∗ .

Ez azt jelenti, hogy ha ε ∈ R+ esetén az η ∈ R+ számot úgy választjuk meg, hogy η (1 + kϕ∗ kβ,2) < ε, akkor az η-hoz választhatunk olyan g ∈ A(G) függvényt, hogy supp(g) ⊆ [ϕ∗ = 1] ⊆ Ω és kf − gkβ,2 < ε. Ebből következik, hogy létezik olyan A(G)ben haladó (fn )n∈N sorozat, amely a k · kβ,2 félnorma szerint konvergál f -hez és minden 265

N ∋ n-re supp(fn ) ⊆ [ϕ∗ = 1] ⊆ Ω. Ekkor minden n ∈ N esetén |f − fn | = |f − fn |ϕ∗ , így a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség alapján kf − fn kβ,1 = ≤

Z

G

∗

Z

∗

G

|f − fn | dβ =

1/2

Z

2

|f − fn | dβ

∗

Z

∗

G

|f − fn |ϕ∗ dβ ≤

1/2

ϕ2∗

dβ

G

= kf − fn kβ,2 kϕ∗ kβ,2 ,

ezért az (fn )n∈N sorozat k · kβ,1 szerint is konvergál f -hez.  8.9.8. Állítás. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G 2 b és F b felett. Ha f ∈ LC1 (G, β)∩LC2 (G, β), akkor Fβ,C (f ) ∈ LC2 (G, β) β,C (f ) ∈ LC (G, β), továbbá q q Fβ (f ) = (Fβ,C (f )) , q Fβ (f q ) = F β,C (f ) .

Bizonyítás. Nyilvánvalóan elég azt igazolni, hogy minden f ∈ LC1 (G, β) ∩ LC2 (G, β) b és F (f q ) = (F (f )) q teljesül, mert a konjugált Fourieresetén Fβ,C (f ) ∈ LC2 (G, β) β β,C transzformációra vonatkozó állítás erre könnyen visszavezethető.

(I) Először megmutatjuk, hogy ha f ∈ LC1 (G, β) ∩ LC2 (G, β) kompakt tartójú függvény, akkor teljesül az állítás.

Az előző lemma alapján vegyünk olyan A(G)-ben haladó (fn )n∈N sorozatot, amely konvergál az f függvényhez a k · kβ,2 és a k · kβ,1 félnormák szerint is. Ekkor az (fnq )n∈N b sorozat konvergál f q -hoz az L2C (G, β) Hilbert-térben, és az Fβ : L2C (G, β) → L2C (G, β) q q operátor folytonos (sőt unitér), ezért az (Fβ (fn ))n∈N sorozat konvergál Fβ (f )-hoz b Hilbert-térben. Az F operátor definíciója szerint minden N ∋ n-re az L2C (G, β) β q q Fβ (fn ) = (Fβ (fn )) . Ugyanakkor, az Fβ,C : LC1 (G, β) → K (G; C) operátor folytonos az LC1 (G, β) függvénytér feletti k · kβ,1 és az K (G; C) függvénytér feletti sup-norma szerint, ezért az (Fβ (fn ))n∈N függvénysorozat konvergál Fβ,C (f )-hez G-on egyenletesen. Ekkor |Fβ (f )|2 = n→∞ lim |Fβ (fn )|2 teljesül G-on pontonként, tehát a Fatou-lemma (12.2.4.) alapján Z

b G

∗

|Fβ,C (f )|

2

hiszen az kFβ (fn )k2βb,2

dβb

≤ lim inf

n∈N

n→∞

Z

b G

∗

|Fβ (fn )|2 dβb = lim inf kFβ (fn )k2βb,2 < ∞, n→∞

számsorozat konvergens. A 13.1.4. alapján ebből következik,

b és az is látható, hogy hogy Fβ,C (f ) ∈ LC2 (G, β),

kFβ,C (f )k2βb,2 ≤ lim kFβ (fn )k2βb,2 = lim kfn k2β,2 = kf k2β,2. n→∞

266

n→∞

Tehát csak azt kell igazolni, hogy lim kFβ (fn ) − Fβ,C (f )kβ,2 = 0 teljesül, hiszen ha így n→∞

b Hilbert-térben, van, akkor az (Fβ (fnq ))n∈N sorozat konvergál (Fβ,C (f )) -hoz az L2C (G, β) q q tehát Fβ (f ) = (Fβ,C (f )) . q

b (illetve Legyen n ∈ N rögzítve. Ekkor (·|·)βb,2 -vel (illetve (·|·)β,2-vel) jelölve az LC2 (G, β) LC2 (G, β)) függvénytér feletti skalárszorzást kapjuk, hogy

kFβ (fn ) − Fβ,C (f )k2βb,2 = kFβ (fn )k2βb,2 + kFβ,C (f )k2βb,2 − 2ℜ (Fβ (fn )|Fβ,C (f ))βb,2 (1)

= kfn k2β,2 + kFβ (f )k2βb,2 − 2ℜ

(2)

=

kfn k2β,2

ahol

+

kFβ (f )k2βb,2

− 2ℜ

Z

fn f dβ

G

Z

b G

Fβ (fn )Fβ,C (f ) dβb

(2)

=

= kfn k2β,2 + kFβ (f )k2βb,2 − 2ℜ (fn |f )β,2 ,

(1)

– az = egyenlőségnél felhasználtuk a 8.7.4. állításban szereplő egyenlőséget az fn ∈ A(G) függvényre, és (2)

– a = egyenlőségnél 8.8.2.-t alkalmaztuk, ami jogos, mert fn ∈ A(G) és f ∈ LC1 (G, β). Az (fn )n∈N sorozat konvergál f -hez az LC2 (G, β) függvénytérben az k · kβ,2 félnorma szerint, ezért lim kfn k2β,2 − 2ℜ (fn |f )β,2 = −kf k2β,2 , n→∞ amiből következik, hogy lim kFβ (fn ) − Fβ,C (f )k2β,2 = kFβ (f )k2βb,2 − kf k2β,2 ≤ 0,

n→∞

amivel (I)-t igazoltuk.

(II) Megmutatjuk, hogy ha f ∈ LC2 (G, β) és (ϕn )n∈N olyan sorozat K (G; R)-ben, hogy minden n ∈ N esetén 0 ≤ ϕn ≤ 1, valamint (ϕn )n∈N pontonként konvergál az azonosan 1 függvényhez az [f 6= 0] halmazon β-majdnem mindenütt (vagyis létezik olyan N ⊆ G β-nullahalmaz, hogy minden s ∈ [f 6= 0] \ N esetén lim ϕn (s) = 1), akkor n→∞ az (Fβ,C (f ϕn ))n∈N függvénysorozat konvergens LC2 (G, β)-ban a k · kβ,2 félnorma szerint és q Fβ (f q ) = lim (Fβ,C (f ϕn )) n→∞

teljesül az L2C (G, β) Hilbert-térben. (Megjegyezzük, hogy itt minden n ∈ N esetén f ϕn ∈ LC1 (G, β), mivel f ∈ LC2 (G, β) és ϕn ∈ K (G; R) ⊆ LC2 (G, β), így elegendő a 13.2.3. állításra hivatkozni.) 267

Minden N ∋ n-re f ϕn ∈ LC2 (G, β), mert f ∈ LC2 (G, β) és ϕn ∈ C b (G; R), tehát alkalmazhatjuk a 13.1.3. állítást. A hipotézis alapján az (f ϕn )n∈N függvénysorozat G-n β-majdnem mindenütt pontonként konvergál f -hez, és minden n ∈ N esetén |f ϕn | ≤ |f | Z ∗

és

|f |2 dβ < +∞, ezért a Lebesgue-tétel alapján az (f ϕn )n∈N függvénysorozat a k · kβ,2

G félnorma szerint is konvergál f -hez. Ebből következik, hogy Fβ (f q ) = lim Fβ ((f ϕn ) q ) n→∞

b Hilbert-térben. Minden n ∈ N esetén f ϕ ∈ L 1 (G, β) ∩ L 2 (G, β) teljesül az L2C (G, β) n C q C kompakt tartójú függvény, ezért az (I) alapján Fβ ((f ϕn ) q ) = (Fβ,C (f ϕn )) . Ebből kapjuk, hogy az (Fβ,C (f ϕn ))n∈N függvénysorozat konvergens LC2 (G, β)-ban a k · kβ,2 félnorma szerint és q q Fβ (f ) = lim (Fβ,C (f ϕn )) . n→∞

(III) Áttérünk az általános esetre, tehát csak annyit teszünk fel, hogy f ∈ LC1 (G, β) ∩ LC2 (G, β). A 13.3.5. alapján létezik a G kompakt részhalmazainak olyan (Kn )n∈N sorozata és olyan N ⊆ G halmaz, hogy minden N ∋ n-re Kn ⊆ Kn+1 , β ∗ (N) = 0 és [f 6= 0] ⊆ S

N ∪

n∈N

Kn . Szükség esetén áttérve a (Kn )n∈N halmazsorozatról az

n S

k=0

Kj

n∈N

halmazsorozatra, feltehetjük, hogy minden N ∋ n-re Kn ⊆ Kn+1 . Kiválaszthatunk olyan K (G; R)-ben haladó (ϕn )n∈N sorozatot, hogy minden N ∋ n-re 0 ≤ ϕn ≤ 1 és Kn ⊆ [ϕn = 1]. Ekkor a (ϕn )n∈N függvénysorozat az [f 6= 0] \ N halmazon pontonként konvergál 1-hez, ezért az (f ϕn )n∈N függvénysorozat β-majdnem mindenütt Z

konvergál f -hez és minden n ∈ N esetén |f ϕn | ≤ |f |, valamint

Z

G

∗

|f | dβ < +∞, ezért a Lebesgue-tétel alapján az 2

LC1 (G, β)

∗

G

|f | dβ < +∞ és

∩ LC2 (G, β)-ben haladó

(f ϕn )n∈N függvénysorozat a k · kβ,1 és a k · kβ,2 félnorma szerint is konvergál f -hez.

Az (f ϕn )n∈N függvénysorozat a k · kβ,1 félnorma szerint konvergál f -hez, következésképpen az (Fβ,C (f ϕn ))n∈N függvénysorozat egyenletesen konvergál G-on az Fβ,C (f ) függvényhez. Ez a konvergencia pontonkénti is G-on, tehát a Fatou-lemmát (12.2.4.) alkalmazva kapjuk, hogy Z

b G

∗

|Fβ (f )|

2

dβb

≤ lim inf n→∞

Z

b G

∗

b |Fβ (f ϕn )|2 dβ.

b A (II) alapján az (Fβ,C (f ϕn ))n∈N függvénysorozat LC2 (G, β)-ban halad és konvergens

a k · kβb,2 félnorma szerint, ezért az kFβ (f ϕn )k2βb,2 268

számsorozat konvergens. Ebből

n∈N

következik, hogy

Z

b G

∗

|Fβ (f )|2 dβb ≤ lim kFβ (f ϕn )k2βb,2 < +∞. n→∞

b A 13.1.4. alapján ebből kapjuk, hogy Fβ,C (f ) ∈ LC2 (G, β).

b olyan, hogy Az Fβ (f q ) = (Fβ,C (f )) egyenlőség bizonyításához legyen h ∈ LC2 (G, β) b Fβ (f q ) = h q . Elegendő azt igazolni, hogy h = Fβ,C (f ) a G halmazon β-majdnem mindenütt. A (II)-ből a gn := ϕn (n ∈ N) választással kapjuk, hogy az (Fβ,C (f ϕn ))n∈N függvénysorozat konvergens LC2 (G, β)-ban a k · kβ,2 félnorma szerint és q

Fβ (f ) = n→∞ lim (Fβ,C (f ϕn )) q

q

b Hilbert-térben. Tehát az (F (f ϕ )) teljesül az L2C (G, β) β,C n n∈N függvénysorozat konvergál h-hoz a k · kβb,2 félnorma szerint. A Riesz–Fischer-tételből következik, hogy létezik

b ennek a függvénysorozatnak olyan részsorozata, amely h-hoz β-majdnem mindenütt is konvergál G-on. De ez a függvénysorozat G-on egyenletesen konvergál Fβ,C (f )-hez, így minden részsorozata is egyenletesen, ezért pontonként is konvergál G-on Fβ,C (f )-hez. b Ebből következik, hogy h = Fβ,C (f ) a G-on β-majdnem mindenütt. 

8.9.9. Tétel. Legyen G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett. Legyen f : G → C olyan függvény, amelyhez léteznek olyan LC1 (G, β) ∩ LC2 (G, β)ban haladó (gi )i∈I és (hi )i∈I véges rendszerek, hogy f=

X i∈I

(gi ∗ hi ). β

b továbbá fennállnak az Ekkor f ∈ LC1 (G, β) és Fβ,C (f ), F β,C (f ) ∈ LC1 (G, β),

F βb,C (Fβ,C (f )) ◦ jG = f = Fβb,C (F β,C (f )) ◦ jG

egyenlőségek a G halmazon β-majdnem mindenütt.

Bizonyítás. Tudjuk, hogy LC1 (G, β)-beli függvények konvolúciója integrálható függvény (6.9.1.). Az LC1 (G, β) feletti Fourier-transzformáció linearitása és a konvolúció szerinti multiplikativitása (8.6.4.) alapján Fβ,C (f ) =

X i∈I

(Fβ,C (gi ) · Fβ,C (hi )) ,

F β,C (f ) =

X i∈I

F β,C (gi ) · F β,C (hi ) .

Legyen i ∈ I rögzítve. Mivel gi , hi ∈ LC1 (G, β) ∩ LC2 (G, β), az előző állítás szerint b A 13.2.3. a Fβ,C (gi ), F β,C (gi ), Fβ,C (hi ), F β,C (hi ) függvények elemei LC2 (G, β)-nak. állítást alkalmazva ebből kapjuk, hogy b Fβ,C (gi ) · Fβ,C (hi ), F β,C (gi ) · F β,C (hi ) ∈ LC1 (G, β).

269

b így a Fourier-féle inverziós tétel Ebből következik, hogy Fβ,C (f ), F β,C (f ) ∈ LC1 (G, β), alapján F βb,C (Fβ,C (f )) ◦ jG = f = Fβb,C (F β,C (f )) ◦ jG

teljesül a G-n β-majdnem mindenütt. 

8.9.10. Definíció. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor A(G) jelöli azon f : G → C függvények halmazát, amelyekhez létezik olyan G feletti β Haar-mérték, és léteznek olyan LC1 (G, β) ∩ LC2 (G, β)-ban haladó (gi )i∈I és (hi )i∈I véges rendszerek, hogy f=

X i∈I

(gi ∗ hi ). β

Világos, hogy ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor az imént bizonyított tétel alapján bármely G feletti β Haar-mértékre A(G) ⊆ A(G) ⊆ LC1 (G, β), b és fennállnak az és minden A(G) ∋ f -re Fβ,C (f ), F β,C (f ) ∈ LC1 (G, β),

F βb,C (Fβ,C (f )) ◦ jG = f = Fβb,C (F β,C (f )) ◦ jG

egyenlőségek a G halmazon β-majdnem mindenütt. Az is nyilvánvaló, hogy A(G) (ugyanúgy, mint A(G) is) független bármiféle G feletti Haar-mérték megválasztásától.

8.10.

Pontrjagin-féle dualitás-tétel*

8.10.1. Lemma. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett, akkor A(G) ⊆ Im(Fβ,C ). Bizonyítás. Elég azt igazolni, hogy ψ1 , ψ2 ∈ K (G; C) esetén létezik olyan f ∈ LC1 (G, β), amelyre ψ1 ∗ ψ2 = Fβ,C (f ). b β

2 b b Világos, hogy ψ1 , ψ2 ∈ LC1 (G, β)∩L C (G, β), ezért a 8.9.4. alapján az f1 := F β b(ψ1 )◦jG és q q 2 f2 := F βb(ψ2 )◦jG függvényekre f1 , f2 ∈ LC (G, β) és Fβ (f1 ) = ψ1 , valamint Fβ (f2q ) = ψ2q . Továbbá, a konjugált Fourier-transzformáció multiplikativitása miatt



f1 f2 := F βb(ψ1 ) ◦ jG









F βb(ψ2 ) ◦ jG =

= F βb(ψ1 )F βb(ψ2 ) ◦ jG = F βb(ψ1 ∗ ψ2 ) ◦ jG . 270

b β

Legyen f := F βb(ψ1 ∗ ψ2 ) ◦ jG . Mivel ψ1 ∗ ψ2 ∈ K (G; C), ismét a 8.9.4. alkalmab b β β 2 zásával kapjuk, hogy f ∈ LC (G, β) és Fβ (f q ) = (ψ1 ∗ ψ2 ) q . Továbbá, f = f1 f2 és

f1 , f2 ∈ Fβ,C (f )

LC2 (G, β) miatt f b és F (f ∈ LC2 (G, β) β

b β

LC1 (G, β)

∈ is teljesül (13.2.3.). Ezért a 8.9.8. szerint q ) = (Fβ,C (f )) . Ebből következik, hogy ψ1 ∗ ψ2 = Fβ,C (f )

q

b β

b β-majdnem

a G-on mindenütt. De az egyenlőség mindkét oldalán G-on folytonos b = G, ezért ψ ∗ ψ = F (f ) a G halmazon mindenütt.  függvény áll és supp(β) 2 β,C 1 b β

Figyeljük meg, hogy valamivel többet bizonyítottunk, annál amit állítottunk. Ugyanis azt mutattuk meg, hogy ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett, akkor minden ϕ ∈ A(G) függvényhez van olyan f ∈ LC1 (G, β) folytonos függvény, hogy ϕ = Fβ,C (f ).

8.10.2. Állítás. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett, akkor minden F ⊆ G zárt halmazhoz, és χ ∈ G \ F ponthoz létezik olyan f ∈ LC1 (G, β), amelyre (Fβ,C (f )) (χ) 6= 0 és F ⊆ [Fβ,C (f ) = 0]. Bizonyítás. (I) Először arra a speciális esetre bizonyítunk, amikor χ = e . Legyen W b

G

olyan környezete e -nak, hogy W W ⊆ G \ F , és legyen ψ ∈ K+ (G) olyan függvény, hogy b

G

ψ(e ) 6= 0 és supp(ψ) ⊆ W . A 8.10.1. szerint a ψ ∗ ψ ∈ A(G) függvényhez vehetünk b

G

b β

olyan f ∈ LC1 (G, β) függvényt, hogy Fβ,C (f ) = ψ ∗ ψ. Ekkor b β

supp(Fβ,C (f )) = supp(ψ ∗ ψ) ⊆ W W ⊆ G \ F, ezért F ⊆ [Fβ,C (f ) = 0]. Ugyanakkor, (Fβ,C (f )) (e ) = (ψ ∗ ψ)(e ) := b

G

b β

b

G

b β

Z

−1

ψ(χ)ψ(e χ) b

G

b G

b = G. teljesül, mert ψ 2 ≥ 0, ψ 2 6= 0 és supp(β)

b dβ(χ)

=

Z

b G

ψ 2 dβb > 0,

(II) Az általános esetet úgy vezetjük vissza (I)-re, hogy észrevesszük, hogy a χ ∈ G \ F kijelentés azzal ekvivalens, hogy e ∈ G \ (χF ), így a χF zárt halmazra alkalmazva (I)-t G b kapjuk olyan g ∈ LC1 (G, β) létezését, amelyre (Fβ,C (g)) (e ) 6= 0 és χF ⊆ [Fβ,C (g) = 0]. G b Ekkor f := χ.g ∈ LC1 (G, β), és a hipotézisek, valamint Fβ,C (g) ◦ γ (χ) = Fβ,C (χ.g) b

G

alapján nyilvánvaló, hogy (Fβ,C (f )) (χ) 6= 0 és F ⊆ [Fβ,C (f ) = 0].  271

8.10.3. Tétel. (Pontrjagin-féle dualitás-tétel) Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor a c c s 7→ (χ 7→ χ(s)) jG : G → G; c

c lokálisan kompakt csoportok között, hogy minden leképezés olyan izomorfizmus a G és G G feletti β Haar-mértékre jG (β) = β.

Bizonyítás. Azt már bebizonyítottuk, hogy a jG függvény homeomorfizmus G és az Im(jG )

c c topologikus altér között, tehát Im(jG ) lokálisan kompakt (így zárt) részcsoport G-ban (8.7.7.). c c c és c Indirekt, tegyük fel, hogy Im(j ) 6= G, Most megmutatjuk, hogy Im(jG ) = G. G

c c olyan, hogy τ ∈ / Im(jG ). Alkalmazva a 8.10.2. állítást a G kommutatív legyen τ ∈ G c

c zárt halmazra kapjuk, hogy létezik olyan lokálisan kompakt csoportra és az Im(jG ) ⊆ G b függvény, amelyre F f ∈ LC1 (G, β) b,C (f )(τ ) 6= 0, ugyanakkor Im(jG ) ⊆ [F βb,C (f ) = 0], β vagyis fennáll az F βb,C (f )◦jG = 0 egyenlőség. A második Fourier-féle felcserélési-formula szerint minden g ∈ LC1 (G, β) esetén Z

G



g · F βb,C (f ) ◦ jG



dβ =

Z

b G

F β,C (g) · f dβb

teljesül, és F βb,C (f ) ◦ jG = 0 miatt az egyenlőség bal oldalán 0 áll. Ebből következik, hogy a Z K (G; C) → C; ψ 7→ ψf dβb b G

leképezés olyan sup-normában folytonos lineáris funkcionál, amely az Im(F β ), supnormában sűrű altéren 0, ezért ez a 0 funkcionál. Azonban a 14.4.2. szerint Z

ezért

Z

b G

∗

b G

∗

|f | dβb =

sup b ψ∈K (G;C),

Z |ψ|≤1 b G

ψf

dβb ,

b |f | dβb = 0, következésképpen f = 0 a G-on β-majdnem mindenütt. Ekkor

viszont F βb,C (f ) = 0, ami ellentmond annak, hogy F βb,C (f )(τ ) 6= 0.

c c lokálisan Azt kell még igazolni, hogy jG (β) = β. A jG függvény izomorfizmus a G és G

c c felett, így létezik olyan c ∈ R+ kompakt csoportok között, ezért jG (β) Haar-mérték G

szám, hogy cjG (β) = β.

Ebből látható, hogy ha létezik akár csak egyetlen olyan 272

c c C) függvény, hogy j (β)(ϕ) = β(ϕ) 6= 0, akkor c = 1, következésképpen ϕ ∈ K (G; G

jG (β) = β.

b operátor unitér és az F : A Plancherel-tétel alapján az Fβ : L2C (G, β) → L2C (G, β) β c

b → L2 (G, c β) operátor is unitér, tehát L2C (G, β) C

c

c β) u := Fβb ◦ Fβ : L2C (G, β) → L2C (G,

is unitér operátor.

b ∩ L 2 (G, β) b és az Legyen f ∈ A(G) rögzítve. Tudjuk, hogy Fβ (f ) ∈ LC1 (G, β) C q Fβ definíciója szerint Fβ (f q ) = (Fβ (f )) . Most a 8.9.8. állítást alkalmazzuk a G kommutatív lokálisan kompakt csoportra, a βb Haar-mértékre és az Fβ (f ) függvényre. c

c β) és Azt kapjuk, hogy F βb,C (Fβ (f )) ∈ LC2 (G, 

q

Fβb ((Fβ (f )) q ) = F βb,C (Fβ (f ))

amiből azonnal kapjuk, hogy

,

 q u(f q ) = F βb,C (Fβ (f )) .

Az u operátor izometria, ezért ebből kapjuk az Z

G

|f |2 dβ =

Z

G

|F βb,C (Fβ (f )) |2 dβ

integrál-egyenlőséget. A Fourier-féle inverziós-tétel alapformája (8.7.6.) szerint 

ami azt jelenti, hogy Z

G

|f |2 dβ =

Z G



F βb,C (Fβ (f )) ◦ jG = f,

|f |2 ◦ jG−1 dβ =

Z

G

|f |2 d jG−1 (β) = c

Z

G

|f |2 dβ.

Természetesen van olyan f ∈ A(G), hogy f 6= 0, ezért c = 1 és jG (β) = β. 

8.10.4. Következmény. A G kommutatív lokálisan kompakt csoport pontosan akkor kompakt (illetve diszkrét), ha a G duális csoport diszkrét (illetve kompakt).

Bizonyítás. Azt láttuk, hogy ha a G kommutatív lokálisan kompakt csoport kompakt (illetve diszkrét), akkor G diszkrét (illetve kompakt) (8.2.4.). Ezt alkalmazva G helyett G-ra kapjuk, hogy ha a G kommutatív lokálisan kompakt csoport kompakt (illetve c c biduális diszkrét (illetve kompakt). A Pontrjagin-féle dualitás-tétel diszkrét), akkor a G c

c topologikus terek homeomorfak, ezért ekkor a G kommutatív szerint viszont a G és G lokálisan kompakt csoport is diszkrét (illetve kompakt). 

273

8.10.5. Következmény. Ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport és β Haar-mérték G felett, akkor −1 Fβ = Fβb. (Fβ )−1 = Fβb,

b ∩ L 2 (G, β) b Bizonyítás. Legyen f ∈ A(G) rögzítve. Tudjuk, hogy F β (f ) ∈ LC1 (G, β) C q q (8.7.4.), és az Fβ operátor definíciója szerint Fβ (f ) = F β (f ) . A G kommutatív lokálisan kompakt csoportra, a βb Haar-mértékre és az F β (f ) függvényre alkalmazva c

c β) és 8.9.8.-t kapjuk, hogy Fβb,C F β (f ) ∈ LC2 (G, 

Fβb Fβ (f ) = Fβb,C F β (f ) q

q

.

c c leképezés homeomorfizmus és A Pontrjagin-féle dualitás-tétel alapján a jG : G → G

jG (β) = β. Ezért



q



= Fβb,C F β (f ) ◦ jG A Fourier-féle inverziós-tétel alapformája szerint Fβb,C F β (f )

q

.

f = Fβb,C F β (f ) ◦ jG ,

tehát Fβb Fβ (f q ) = f q . Ez azt jelenti, hogy Fβb ◦ Fβ egyenlő az L2C (G, β) Hilbert-tér identikus operátorával A(G)-n, ami sűrű L2C (G, β)-ban, ezért Fβb ◦ Fβ = idL2C (G,β) .

Az Fβb és Fβ operátorok a Plancherel-tétel szerint unitérek, ezért ebből már következik az F−1 β = Fβ b egyenlőség. A másik egyenlőséget hasonló megfontolásokkal nyerjük. 

274

9. fejezet Radon-mérték faktorizációja lokálisan kompakt csoporton 9.1.

A faktorizáció értelmezése és alaptulajdonságai

9.1.1. Lemma. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H zárt részcsoport G-ben, θ Radon-mérték H felett, és F Banach-tér. Ha f : G → F olyan folytonos függvény, amelyre minden K ⊆ G kompakt halmaz esetén (KH) ∩ supp(f ) kompakt halmaz G-ben, akkor teljesülnek a következők. a) Minden s ∈ G esetén (f ◦ γG (s)) |H ∈ K (H; F ). b) Az

fθ : G → F ;

s 7→

Z

H

(f ◦ γG (s)) |H dθ

függvény folytonos. c) Fennáll az [fθ 6= 0] ⊆ supp(f )H tartalmazás.

d) Ha a θ Radon-mérték γH -invariáns, akkor minden (s, t) ∈ G×H párra fθ (st) = fθ (s). Bizonyítás. Értelmezzük a p : G × H → G; (s, t) 7→ st függvényt, tehát a pG szorzásfüggvény leszűkítését G × H-ra. Világos, hogy p folytonos a szorzattopológia szerint. Legyen s ∈ G és vegyük s-nek egy W kompakt környezetét. Ekkor [

s′ ∈W

−1

p (s′ , ·)hsupp(f )i =

[

s′ ∈W

{t ∈ H|s′ t ∈ supp(f )} = H ∩ (W −1 supp(f )),

és H ∩ (W −1 supp(f )) ⊆ H ∩ W −1 ((W H) ∩ supp(f )), mert t ∈ H ∩ (W −1 supp(f )) esetén t ∈ H és léteznek olyan w ∈ W , s′ ∈ supp(f ) elemek, amelyekre t = w −1 s′ , tehát s′ = wt ∈ (W H) ∩ supp(f ), amiből következik, hogy t = w −1 s′ ∈ H ∩ W −1 ((W H) ∩ supp(f )). A hipotézis alapján H ∩ W −1 ((W H) ∩ supp(f )) kompakt halmaz G-ben, tehát H-ban is, 275

ezért az

S

s′ ∈W

−1

p (s′ , ·)hsupp(f )i halmaz relatív kompakt H-ban. A paraméteres integrálok

folytonossági tételét alkalmazva az X := Z := G és Y := H választással kapjuk, hogy minden G ∋ s-re (f ◦ γG (s)) |H = f ◦ p(s, ·) ∈ K (H; F ) és a G → F;

s 7→

Z

f (p(s, t))dθ(t) =

Z

H

H

függvény folytonos. Ha s ∈ [fθ 6= 0], akkor fθ (s) =

Z

H

(f ◦ γG (s)) |H dθ =: fθ (s)

f (st)dθ(t) 6= 0, tehát van olyan t ∈ H, hogy

st ∈ [f 6= 0] ⊆ supp(f ), vagyis s ∈ supp(f )H.

Ha a θ Radon-mérték γH -invariáns és (s, t) ∈ G × H, akkor fθ (st) =

Z

H

(f ◦ γG (st)) |H dθ = =

Z

H

Z

H

(f ◦ γG (s)) |H ◦ γH (t) dθ =

(f ◦ γG (s)) |H dγH (t)(θ) = fθ (s). 

9.1.2. Jelölés. Ha G lokálisan kompakt csoport, H zárt részcsoport G-ben, βH baloldali Haar-mérték H felett, F Banach-tér, és f : G → F olyan folytonos függvény, amelyre minden K ⊆ G kompakt halmaz esetén (KH) ∩ supp(f ) kompakt halmaz G-ben, akkor az előző állításban értelmezett fβH : G → F ;

s 7→

Z

H

(f ◦ γ(s)) |H dβH

függvény faktorizáltját f ♭ jelöli, tehát f ♭ : G/H → F az a (szükségképpen folytonos) függvény, amelyre f ♭ ◦ πG/H = fβH teljesül, vagyis minden s ∈ G esetén ♭

f (πG/H (s)) =

Z

f (st) dβH (t).

H

Az f ♭ függvényt az f függvényorbitális átlagának nevezzük a βH baloldali Haar-mérték szerint. Az f ♭ orbitális átlagfüggvény függ a βH baloldali Haar-mértéktől: ha c > 0 valós szám, akkor a cβH baloldali Haar-mérték szerinti orbitális átlagfüggvény egyenlő cf ♭ -vel. A továbbiakban mindenütt rögzített H feletti baloldali Haar-mérték szerint képezzük az orbitális átlagfüggvényeket, ezért a nem egészen kifogástalan f ♭ jelölés nem vezethet félreértésre. 276

Megjegyezzük, hogy ha f ∈ K (G; F ), akkor minden K ⊆ G kompakt halmaz esetén (KH) ∩ supp(f ) kompakt halmaz G-ben, mert KH zárt és supp(f ) kompakt G-ben. Ezért f ∈ K (G; F ) esetén az f ♭ : G/H → F folytonos függvény jól értelmezett, és könnyen látható, hogy f ♭ ∈ K (G/H; F ), mert a Lemma c) pontja és a definíció szerint −1

πG/H h[f ♭ 6= 0]i = [fβH 6= 0] ⊆ supp(f )H, amiből következik, hogy −1

[f ♭ 6= 0] ⊆ πG/H hπG/H h[f ♭ 6= 0]ii ⊆ πG/H hsupp(f )Hi = πG/H hsupp(f )i, és itt a jobb oldalon kompakt halmaz áll G/H-ban, így supp(f ♭ ) ⊆ πG/H hsupp(f )i, vagyis supp(f ♭ ) kompakt részhalmaza G/H-nak. 9.1.3. Lemma. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H zárt részcsoport G-ben, és βH baloldali Haar-mérték H felett. a) Ha F Banach-tér K felett, g ∈ C (G/H; F ), és ϕ ∈ K (G; K), akkor (ϕ.(g ◦ πG/H ))♭ = ϕ♭ .g b) Ha F Banach-tér és f ∈ C (G; F ) olyan függvény, hogy minden K ⊆ G kompakt halmaz esetén (KH) ∩ supp(f ) kompakt halmaz G-ben, akkor minden s ∈ G és t ∈ H pontra (f ◦ δG (t))♭ = ∆H (t)f ♭ (f ◦ γG (s))♭ = f ♭ ◦ γG/H (s). c) Minden K ′ ⊆ G/H kompakt halmazhoz létezik olyan ϕ ∈ K+ (G), hogy K ′ ⊆ [ϕ♭ = 1]. Bizonyítás. a) Ha s ∈ G, akkor (ϕ.(g ◦ πG/H ))♭ (πG/H (s)) = =

Z

ϕ(st) dβH (t)

Z

ϕ(st)g(πG/H (st)) dβH (t) =

H

g(πG/H (s)) = ϕ♭ .g (πG/H (s)).

H

b) Ha s ∈ G és t ∈ H, akkor (f ◦δG (t)◦γG (s))|H = (f ◦γG (s))|H ◦δH (t), ezért a moduláris függvény definíciója szerint (f ◦ δG (t))♭ (πG/H (s)) =

Z

H

(f ◦ δG (t) ◦ γG (s))|H dβH = 277

Z

H

(f ◦ γG (s))|H ◦ δH (t) dβH =

=

Z

H

(f ◦ γG (s))|H dδH (t)(βH ) = = ∆H (t)

Z

H

Z

H

(f ◦ γG (s))|H d(∆H (t).βH ) =

(f ◦ γG (s))|H dβH = (∆H (t)f ♭ )(πG/H (s)),

tehát (f ◦ δG (t)) = ∆H (t)f ♭ . Ha s ∈ G, akkor minden G ∋ s′ -re ♭

(f ◦ γG (s))♭ (πG/H (s′ )) =

Z

H

(f ◦ γG (s) ◦ γG (s′ ))|H dβH =

Z

H

(f ◦ γG (ss′ ))|H dβH =

= f ♭ (πG/H (ss′ )) = (f ♭ ◦ γG/H (s))(πG/H (s′ )),

tehát (f ◦ γG (s))♭ = f ♭ ◦ γG/H (s).

c) Legyen K ′ ⊆ G/H kompakt halmaz. A πG/H : G → G/H kanonikus szürjekció folytonos nyílt leképezés a G és G/H lokálisan kompakt terek között, ezért létezik olyan K ⊆ G kompakt halmaz, hogy πG/H hKi = K ′ ([19, 27.6.7]). Legyen ϕ0 ∈ K+ (G) olyan, hogy K ⊆ [ϕ0 = 1]. Ekkor a ϕ♭0 ∈ K+ (G/H) függvény a K ′ halmaz Z minden pontjában 0-nál nagyobb értéket vesz föl, mert ha s ∈ K, akkor ϕ♭0 (πG/H (s)) =

ϕ0 (st) dβH (t) > 0,

H

hiszen a H → R; t 7→ ϕ0 (st) pozitív folytonos kompakt tartójú függvény az eH ban az 1 értéket veszi fel, vagyis nem azonosan nulla, és supp(βH ) = H. Tehát K ′ ⊆ [ϕ♭0 6= 0], így vehetünk olyan ψ0 ∈ K+ (G/H) függvényt, amelyre K ′ ⊆ [ψ0 = 1] és supp(ψ0 ) ⊆ [ϕ♭0 6= 0]. Értelmezzük a ψ : G/H → R;

ξ 7→

 ψ (ξ)   0

ϕ♭ (ξ)  0 

0

; ha ϕ♭0 (ξ) 6= 0, ; ha ϕ♭0 (ξ) = 0

függvényt. Ez folytonos G/H-n, mert a [ϕ♭0 6= 0] nyílt halmazon egyenlő a ψ0 /ϕ♭0 folytonos függvénnyel, és [ϕ♭0 = 0] ⊆ (G/H) \ supp(ψ0 ), tehát a [ϕ♭0 = 0] halmaz minden pontjának valamely környezetén (ti. a (G/H) \ supp(ψ0 ) halmazon) egyenlő az azonosan 0 függvénnyel. Továbbá fennáll a ϕ♭0 ψ = ψ0 egyenlőség. Ezért az a) alapján a ϕ := ϕ0 (ψ ◦ πG/H ) ∈ K+ (G) függvényre teljesül az, hogy ϕ♭ = ϕ♭0 ψ = ψ0 , tehát K ′ ⊆ [ψ0 = 1] = [ϕb = 1]. 

9.1.4. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H zárt részcsoport G-ben, βH baloldali Haar-mérték H felett, és F Banach-tér. Ekkor a K (G; F ) → K (G/H; F );

leképezés lineáris szürjekció. Továbbá, a

leképezés is szürjektív.

K+ (G) → K+ (G/H);

278

f 7→ f ♭ f 7→ f ♭

Bizonyítás. Legyen g ∈ K (G/H; F ) rögzített. A supp(g) ⊆ G/H kompakt halmazhoz az előző lemma c) pontja szerint létezik olyan ϕ ∈ K+ (G), hogy supp(g) ⊆ [ϕ♭ = 1]. Ekkor ϕ.(g ◦πG/H ) ∈ K (G; F ) olyan függvény, amelyre az előző lemma a) pontja alapján ♭

ϕ.(g ◦ πG/H ) = ϕ♭ g = g. Ezért a K (G; F ) → K (G/H; F ); f 7→ f ♭ leképezés szürjektív, és nyilvánvalóan lineáris. Ebből látható, hogy ha g ∈ K+ (G/H), akkor van olyan f ∈ K+ (G), hogy f ♭ = g, így a K+ (G) → K+ (G/H); f 7→ f ♭ leképezés szintén szürjektív.  9.1.5. Állítás. Ha G lokálisan kompakt csoport, H zárt részcsoport G-ben, és βH baloldali Haar-mérték H felett, akkor egyértelműen létezik olyan M (G/H; C) → M (G; C);

θ 7→ θ♯

lineáris operátor, amelyre minden θ ∈ M (G/H; C) és ϕ ∈ K (G; C) esetén θ♯ (ϕ) = θ(ϕ♭ ). Ez a lineáris operátor injektív. Bizonyítás. Jelölje u a K (G; C) → K (G/H; C); ϕ 7→ ϕ♭ lineáris operátort. Világos, hogy ha θ ∈ M (G/H; C) pozitív Radon-mérték, akkor θ ◦ u pozitív lineáris funkcionál K (G; C) felett, mert u pozitív függvényhez pozitív függvényt rendel. Tehát minden θ ∈ M (G/H; C) pozitív Radon-mértékre θ ◦ u pozitív Radon-mérték. Minden komplex Radon-mérték előáll pozitív Radon-mértékek komplex lineáris kombinációjaként, ezért minden θ ∈ M (G/H; C) komplex Radon-mértékre θ ◦ u komplex Radon-mérték G felett. A definíció szerint minden K (G; C) ∋ ϕ-re és M (G/H; C) ∋ θ-ra (θ ◦ u)(ϕ) = θ(ϕ♭ ), ezért a M (G/H; C) → M (G; C); θ 7→ θ ◦ u leképezés rendelkezik a megkövetelt tulajdonságokkal, és nyilvánvaló ennek egyértelműsége. Az u szürjektivitása folytán ez a M (G/H; C) → M (G; C) operátor injektív.  Megjegyezzük, hogy az előző állításban értelmezett M (G/H; C) → M (G; C);

θ 7→ θ♯

operátor függ a βH baloldali Haar-mértéktől: ha c > 0 valós szám, akkor a cβH baloldali Haar-mérték által meghatározott ♯ operátor az eredeti ♯ operátor c-szerese. A továbbiakban mindenütt rögzített H feletti baloldali Haar-mérték szerint képezzük a ♯ operációt, ezért a nem egészen kifogástalan θ♯ jelölés nem vezethet félreértésre. 9.1.6. Definíció. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H zárt részcsoport G-ben, és βH baloldali Haar-mérték H felett. Azt mondjuk, hogy a µ ∈ M (G; C) Radon-mérték faktorizálható βH szerint, ha létezik olyan θ ∈ M (G/H; C), amelyre θ♯ = µ; ekkor ezt az egyértelműen meghatározott θ Radon-mértéket a µ/βH szimbólummal jelöljük, és a µ Radon-mérték βH szerinti faktormértékének nevezzük. 279

9.2.

A faktorizálhatóság kritériumai

Láttuk, hogy ha G lokálisan kompakt csoport, H zárt részcsoport G-ben, βH baloldali Haar-mérték H felett, és a µ ∈ M (G; C) Radon-mérték faktorizálható βH szerint, akkor µ/βH ∈ M (G/H; C), és ezt a G/H feletti Radon-mértéket egyértelműen meghatározza az a feltétel, hogy minden ϕ ∈ K (G/H; C) esetén (µ/βH )(ϕ♭ ) = µ(ϕ). A következő állításban jellemzést adunk a faktorizálható Radon-mértékekre. 9.2.1. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H zárt részcsoport G-ben, βH baloldali Haar-mérték H felett és µ∈M (G; C). A következő állítások ekvivalensek. a) Létezik olyan θ ∈ M (G/H; C), amelyre θ♯ = µ, azaz µ faktorizálható βH szerint.

b) Minden t ∈ H esetén δG (t)(µ) = ∆H (t).µ. c) Minden ϕ, ψ ∈ K (G; C) esetén

µ ϕ · (ψ ♭ ◦ πG/H ) = µ ψ · (ϕ♭ ◦ πG/H ) . d) Minden ϕ ∈ K (G; C) esetén, ha ϕ♭ = 0, akkor µ(ϕ) = 0. Bizonyítás. a)⇒b) Legyen θ∈M (G/H; C) olyan, hogy θ♯ =µ. Ha t ∈ H és ϕ ∈ K (G; C), akkor (δG (t)(µ))(ϕ) = µ(ϕ ◦ δG (t)) = θ♯ (ϕ ◦ δG (t)) = θ((ϕ ◦ δG (t))♭ ) = = θ(∆H (t).ϕ♭ ) = ∆H (t)θ♯ (ϕ) = (∆H (t).µ)(ϕ),

tehát δG (t)(µ) = ∆H (t).µ. b)⇒c) Legyenek ϕ, ψ ∈ K (G; C) és rögzítettek. Alkalmazzuk az elemi Lebesgue–Fubinitételt a µ ⊗ βH szorzatmértékre és a G × H → C; G × H → C;

(s, t) 7→ ϕ(s)ψ(st),

(s, t) 7→ ∆H (t−1 )ϕ(st−1 )ψ(s)

kompakt tartójú folytonos függvényekre. Azt kapjuk, hogy ♭

µ ϕ·(ψ ◦ πG/H ) = =

Z

G

ϕ(s)

Z

ψ(st) dβH (t)

Z

ϕ(s)ψ ♭ (πG/H (s)) dµ(s) =

G

dµ(s) =

Z

H

H

280

Z

G

ϕ(s)ψ(st)dµ(s)

dβH (t) =

=

Z

Z

H

G

Z

=

Z

H

=

G

Z

Z

H

=

((ϕ ◦ δG (t)).ψ) ◦ δG (t−1 ) dµ

G

Z

(ϕ ◦ δG (t))ψ dδG (t−1 )(µ)

∆H (t )

Z

∆H (t−1 )

Z

Z

G

=

Z

Z

G

dβH (t) =

ψ(s) dµ(s) =

ϕ(st−1 )d(∆−1 H .βH )(t)

ψ(s) dµ(s) =

H

H

= =

ϕ(st−1 )ψ(s)dµ(s)

ϕ(st−1 )∆H (t−1 ) dβH (t) Z

Z

G

Z

dβH (t) =

H

G

=

Z

(ϕ ◦ δG (t)).ψ dµ

dβH (t) =

G

H

=

Z

G

H

=

dβH (t) =

(ϕ ◦ δG (t)).ψ d(∆H (t−1 ).µ) −1

dβH (t) =

Z

G

(ϕ ◦ γG (s) ◦ iH )d(iH (βH )) Z

H

(ϕ ◦ γG (s))|H dβH

ψ(s) dµ(s) =

ψ(s) dµ(s) =

ϕ♭ (πG/H (s))ψ(s) dµ(s) = µ ψ · (ϕ♭ ◦ πG/H ) .

c)⇒d) Ha ϕ ∈ K (G; C), akkor a πG/H hsupp(ϕ)i ⊆ G/H kompakt halmazhoz van olyan ψ ∈ K+ (G), hogy πG/H hsupp(ϕ)i ⊆ [ψ ♭ = 1], tehát ϕ(ψ ♭ ◦ πG/H ) = ϕ. Ezért ϕ♭ = 0 és c) teljesülése esetén µ(ϕ) = µ ϕ · (ψ ♭ ◦ πG/H ) = µ ψ · (ϕ♭ ◦ πG/H ) = 0. d)⇒a) Legyen ψ ∈ K (G/H; C) rögzített. Tudjuk, hogy létezik olyan ϕ ∈ K (G; C) függvény, amelyre ψ = ϕ♭ . Ha ϕ1 , ϕ2 ∈ K (G; C) mindketten olyanok, hogy ϕ♭1 = ψ = ϕ♭2 , akkor (ϕ1 − ϕ2 )♭ = 0, ezért a d) miatt µ(ϕ1 ) = µ(ϕ2 ). Ezért létezik egyetlen olyan θ : K (G/H; C) → C lineáris funkcionál, amelyre minden ψ ∈ K (G/H; C) esetén, ha ϕ ∈ K (G; C) olyan, hogy ψ = ϕ♭ , akkor θ(ψ) = µ(ϕ). Ekkor θ komplex Radon-mérték 281

G/H felett. Valóban, ha µ pozitív Radon-mérték, akkor θ pozitív lineáris funkcionál K (G/H; C) felett, hiszen minden ψ ∈ K+ (G/H) esetén van olyan ϕ ∈ K+ (G), hogy ψ = ϕ♭ , így θ(ψ) = µ(ϕ) ∈ R+ . Tehát, ha µ pozitív Radon-mérték G felett, akkor θ pozitív Radon-mérték G/H felett. Ha µ tetszőleges komplex Radon-mérték G felett, akkor µ előáll pozitív Radon-mértékek lineáris kombinációjaként, és akkor θ is előáll G/H feletti pozitív Radon-mértékek lineáris kombinációjaként, így θ komplex Radon-mérték G/H felett.  9.2.2. Következmény. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H zárt részcsoport G-ben, βH baloldali Haar-mérték H felett, és µ ∈ M (G; C). Ha µ faktorizálható βH szerint, akkor minden s ∈ G és ψ ∈ C (G/H; C) esetén a γG (s)µ és (ψ ◦ πG/H ).µ Radon-mértékek is faktorizálhatók βH szerint, és fennállnak a (γG (s)µ)/βH = γG/H (s)(µ/βH ), egyenlőségek.

((ψ ◦ πG/H ).µ)/βH = ψ.(µ/βH )

Bizonyítás. A µ Radon-mérték βH szerinti faktorizálhatósága miatt minden t ∈ H esetén δG (t)µ = ∆H (t).µ. Tehát, ha t ∈ H és s ∈ G, akkor δG (t)(γG (s)µ) = (δG (t) ◦ γG (s))µ = (γG (s) ◦ δG (t))µ = γG (s)(δG (t)µ) = = γG (s)(∆H (t).µ) = ∆H (t).(γG (s)µ), ami azt jelenti, hogy a γG (s)µ Radon-mérték is faktorizálható βH szerint. ϕ ∈ K (G; C) esetén

Ekkor

((γG (s)µ)/βH ) (ϕ♭ ) = (γG (s)µ)(ϕ) = µ(ϕ ◦ γG (s)) = (µ/βH ) (ϕ ◦ γG (s))♭ = = (µ/βH )(ϕ♭ ◦ γG/H (s)) = γG/H (s)(µ/βH ) (ϕ♭ ),

tehát (γG (s)µ)/βH = γG/H (s)(µ/βH ), hiszen a K (G; C) → K (G/H; C); ϕ 7→ ϕ♭ leképezés szürjektív. Ha t ∈ H és ψ ∈ C (G/H; C), akkor

δG (t) (ψ ◦ πG/H ).µ = (ψ ◦ πG/H ◦ δG (t−1 )).(δG (t)µ) = = (ψ ◦ πG/H ).(∆H (t).µ) = ∆H (t). (ψ ◦ πG/H ).µ ,

ahol felhasználtuk azt, hogy πG/H ◦ δG (t−1 ) = πG/H . Ez azt jelenti, hogy a (ψ ◦ πG/H ).µ Radon-mérték is faktorizálható βH szerint. Továbbá, ϕ ∈ K (G; C) esetén ((ψ ◦ πG/H ).µ)/βH (ϕ♭ ) = (ψ ◦ πG/H ).µ (ϕ) = µ((ψ ◦ πG/H )ϕ) = = (µ/βH ) ((ψ ◦ πG/H )ϕ)♭ = (µ/βH )(ψϕ♭ ) = (ψ.(µ/βH ))(ϕ♭ ),

tehát ((ψ ◦ πG/H ).µ)/βH = ψ.(µ/βH ), hiszen a K (G; C) → K (G/H; C); ϕ 7→ ϕ♭ leképezés szürjektív.  282

9.2.3. Következmény. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H zárt részcsoport G-ben, βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett, és h ∈ C (G; C). A h.βG Radon-mérték pontosan akkor faktorizálható βH szerint, ha minden s ∈ G és t ∈ H esetén ∆H (t) h(st) = h(s). ∆G (t) Bizonyítás. Ha t ∈ H, akkor a moduláris függvény definíciója szerint δG (t)(h.βG ) = (h ◦ δG (t−1 )).(δG (t)βG ) = (h ◦ δG (t−1 )).(∆G (t).βG ), ezért a h.βG Radon-mérték pontosan akkor faktorizálható βH szerint, ha minden t ∈ H esetén (h ◦ δG (t−1 )).(∆G (t).βG ) = ∆H (t).(h.βG ), vagy ami ugyanaz

(h ◦ δG (t−1 )).βG =

∆H (t) h.βG . ∆G (t)

De supp(βG ) = G és h folytonos, ezért ez a mérték-egyenlőség azzal ekvivalens, hogy ∆H (t) minden H ∋ t-re h ◦ δG (t−1 ) = h teljesül a G halmazon, ami egyenértékű a ∆G (t) h-ra megkövetelt függvény-egyenlőséggel. 

9.3.

Kompakt tartójú faktormértékek és Bruhat-féle keresztmetszet-függvény

9.3.1. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H zárt részcsoport G-ben, βH baloldali Haar-mérték H felett, és µ ∈ M (G; C). Ha µ faktorizálható βH szerint és létezik olyan K ⊆ G kompakt halmaz, amelyre supp(µ) ⊆ KH, akkor µ/βH kompakt tartójú Radon-mérték, továbbá minden ψ ∈ K (G/H; C) esetén, ha πG/H hKi ⊆ [ψ = 1], akkor ψ.(µ/βH ) = µ/βH . Bizonyítás. Legyen ψ ∈ K (G/H; C) olyan, hogy πG/H hKi ⊆ [ψ = 1]. Ekkor minden ϕ ∈ K (G; C) esetén (ψ.(µ/βH ))(ϕ♭ ) = (µ/βH )(ψϕ♭ ) = (µ/βH )

ϕ(ψ ◦ πG/H )

= µ(ϕ(ψ ◦ πG/H )) = µ(ϕ) = (µ/βH )(ϕ♭ ),

♭

=

hiszen ψ ◦ πG/H = 1 a KH halmazon és supp(µ) ⊆ KH. Ezért ψ.(µ/βH ) = µ/βH teljesül, és ebből már következik, hogy µ/βH kompakt tartójú, hiszen supp(µ/βH ) ⊆ supp(ψ).  283

9.3.2. Definíció. Ha G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és βH baloldali Haar-mérték H felett, akkor a (G, H, βH ) hármas Bruhat-féle keresztmetszetfüggvényének nevezünk minden olyan w : G → R+ folytonos függvényt, amelyre teljesülnek a következők. a) Minden s ∈ G esetén (sH) ∩ [w > 0] 6= ∅.

b) Minden K ⊆ G kompakt halmazra a (KH) ∩ supp(w) halmaz kompakt G-ben.

c) w ♭ = 1G/H , vagyis minden s ∈ G esetén Z

w(st) dβH (t) = 1.

H

9.3.3. Állítás. Ha G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és βH baloldali Haar-mérték H felett, akkor létezik a (G, H, βH ) hármasnak Bruhat-féle keresztmetszetfüggvénye. Bizonyítás. Tudjuk, hogy a πG/H : G → G/H kanonikus leképezés nyílt (2.5) és a G/H topologikus faktortér parakompakt (2.6.1.). Ezért a 3.3.1. állításból, a T := G és R := {(s, s′ ) ∈ G × G|s−1 s′ ∈ H} választással kapjuk, hogy létezik olyan w ′ : G → R+ folytonos függvény, amelyre teljesülnek a következők. a′ ) Minden ζ ∈ G/H esetén ζ ∩ [w ′ > 0] 6= ∅.

−1

b′ ) Minden L ⊆ G/H kompakt halmazra a πG/H hLi ∩ supp(w ′ ) halmaz kompakt G-ben.

Az a′ ) szerint minden G ∋ s-re (sH) ∩ [w ′ > 0] 6= ∅, hiszen sH ∈ G/H. Továbbá, a −1 b′ )-ből következik, hogy ha K ⊆ G kompakt halmaz, akkor a πG/H hπG/H hKii ∩ supp(w ′) halmaz kompakt G-ben, és ez a halmaz egyenlő (KH)∩supp(w ′ )-vel. Ez azt jelenti, hogy w ′ eleget a tesz a (G, H, βH ) hármas Bruhat-féle keresztmetszet-függvényeit meghatározó a) és b) feltételeknek, de a c)-nek nem szükségképpen tesz eleget. Azonban, az a) miatt Zminden G ∋ s-re a H → R; t 7→ w ′(st) függvény nem nulla eleme K+ (H)-nak, w ′ (st) dβH (t) > 0. A paraméteres integrálok folytonossági tételének második

ezért

H

következménye (4.5.3.) alapján a w0′

+

:G→R ;

s 7→

Z

w ′(st) dβH (t)

H

függvény folytonos, mert a Φ : G × H → R; 284

(s, t) → w ′ (st)

függvény folytonos és teljesül az, hogy ha s ∈ G és K az s-nek kompakt környezete G-ben, akkor prH h(K × H) ∩ [Φ 6= 0]i ⊆ H ∩ K −1 ((KH) ∩ supp(w ′)) és itt a jobb oldalon H-nak kompakt részhalmaza áll, hiszen egyenlő a H zárt halmaznak w′ egy G-beli kompakt halmazzal vett metszetével. Ezért w := ′ olyan folytonos G → R+ w0 függvény, amelyre a c) feltétel triviálisan teljesül, és amelyre a) és b) is igaz marad, mert supp(w) = supp(w ′ ). Tehát w a (G, H, βH ) hármasnak Bruhat-féle keresztmetszetfüggvénye.  9.3.4. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, βG baloldali Haar-mérték G felett és βH baloldali Haar-mérték H felett. Legyen w Bruhatféle keresztmetszet-függvénye a (G, H, βH ) hármasnak. Ha h ∈ C (G; C) olyan függvény, hogy minden s ∈ G és t ∈ H esetén h(st) =

∆H (t) h(s), ∆G (t)

és létezik olyan K ⊆ G kompakt halmaz, amelyre supp(h) ⊆ KH, akkor (h.βG )/βH kompakt tartójú Radon-mérték G/H felett, hw ∈ K (G; C) és Z

1G/H d ((h.βG )/βH ) = βG (hw).

G/H

Bizonyítás. A h-ra vonatkozó függvény-egyenlőség miatt a h.βG Radon-mérték faktorizálható βH szerint (9.2.3.), és a (h.βG )/βH faktormérték kompakt tartójú (4.3.7.). A h tartójára vonatkozó hipotázis alapján van olyan K ′ ⊆ G kompakt halmaz, hogy supp(h) ⊆ K ′ H, és az [19, 27.6.7.] szerint van olyan K ′′ ⊆ G kompakt halmaz, amelyre supp ((h.βG )/βH ) ⊆ πG/H hK ′′ i (sőt itt akár egyenlőséget is elérhetünk). Legyen K ⊆ G olyan kompakt halmaz, hogy K ′ ∪ K ′′ ⊆ K, továbbá a ϕ ∈ K (G; C) és ψ ∈ K (G/H; C) függvényeket válasszuk meg úgy, hogy (KH) ∩ supp(w) ⊆ [ϕ=1] és πG/H hKi ⊆ [ψ=1] teljesüljön. Világos, hogy supp(hw) ⊆ (KH) ∩ supp(w), ezért hw ∈ K (G; C). Továbbá: (1)

βG (hw) = βG (hwϕ) = (h.βG )(wϕ) = ((h.βG )/βH ) (wϕ)♭ = (2)

(3)

= (ψ. ((h.βG )/βH )) (wϕ)♭ = ((h.βG )/βH ) (wϕ)♭ ψ = ((h.βG )/βH )

wϕ ψ◦πG/H

♭

,

ahol (1)

– az = egyenlőségnél a faktormérték definícióját alkalmaztuk; (2)

– a = egyenlőségnél felhasználtuk azt, hogy supp ((h.βG )/βH ) ⊆ [ψ=1] következtében 285

ψ. ((h.βG )/βH ) = ((h.βG )/βH ); (3)

– a = egyenlőségnél a 9.1.3. lemma a) pontjában bizonyított összefüggésre hivatkoztunk. Legyen s ∈ K rögzítve. Ha t ∈ H olyan, hogy w(st) 6= 0, akkor st ∈ (KH) ∩ supp(w), tehát ϕ(st) = 1. Ebből látható, hogy minden t ∈ H esetén w(st)ϕ(st) = w(st), tehát wϕ ψ ◦ πG/H = ψ(πG/H (s))

Z

♭

(πG/H (s)) =

Z

w(st)ϕ(st)ψ(πG/H (st)) dβH (t) =

H

w(st)ϕ(st) dβH (t) = ψ(πG/H (s))

Z

w(st) dβH (t) =

H

H

= ψ(πG/H (s))w ♭ (πG/H (s)) = 1, hiszen πG/H hKi ⊆ [ψ=1] és w ♭ = 1G/H . Ez azt jelenti, hogy supp((h.βG )/βH ) ⊆ πG/H hKi ⊆ wϕ ψ ◦ πG/H

♭

= 1G/H ,

így a kompakt tartójú Radon-mértékek szerinti integrál értelmezése (4.4.10.) alapján βG (hw) = ((h.βG )/βH )

9.4.

wϕ ψ ◦ πG/H

♭

=

Z

1G/H d ((h.βG )/βH ) . 

G/H

Invariáns és relatív invariáns pozitív Radon-mértékek homogén téren

9.4.1. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H zárt részcsoport G-ben és βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett. Ekkor a következő állítások ekvivalensek. a) βG faktorizálható βH szerint. b) ∆H = ∆G a H halmazon. c) Létezik G/H felett nem nulla pozitív γG/H -invariáns Radon-mérték. Továbbá, ha a) teljesül, akkor a βG /βH faktormérték nem nulla pozitív és γG/H -invariáns, valamint minden G/H feletti nem nulla pozitív γG/H -invariáns Radon-mérték arányos βG /βH -val. Bizonyítás. Triviális, hogy βG = 1G .βG , ahol 1G jelöli a G feletti azonosan 1 függvényt, ezért βG pontosan akkor faktorizálható βH szerint, ha minden s ∈ G és t ∈ H esetén ∆H (t) 1G (s), azaz ∆H (t) = ∆G (t). Ez azt jelenti, hogy az a) és b) állítások 1G (st) = ∆G (t) 286

ekvivalensek. Ha a) teljesül, akkor minden s ∈ G esetén γG/H (s)(βG /βH ) = (γG (s)βG )/βH = βG /βH , tehát βG /βH nem nulla pozitív és γG/H -invariáns Radon-mérték G/H felett, így az a) állításból következik a c) állítás. Tegyük fel, hogy c) teljesül, és legyen µ nem nulla pozitív γG/H -invariáns Radon-mérték G/H felett. Ekkor µ♯ nem nulla pozitív Radon-mérték G felett, és minden G ∋ s-re ♯ γG (s)µ♯ = γG/H (s)µ = µ♯ , vagyis µ♯ baloldali Haar-mérték G felett. Ezért van olyan ♯ c ∈ R+ , hogy µ♯ = c.βG . Ekkor βG = (c−1 .µ) , tehát βG faktorizálható βH szerint és βG /βH = c−1 .µ, vagyis µ arányos βG /βH -val.  9.4.2. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H zárt részcsoport G-ben, és βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett. Ekkor a következő állítások ekvivalensek. a) Létezik olyan χ : G → R+ folytonos csoport-morfizmus, hogy χ.βG faktorizálható βH szerint. b) A ∆H /∆G :H→R+ leképezés kiterjeszthető G→R+ folytonos csoport-morfizmussá. c) Létezik G/H felett nem nulla pozitív relatív γG/H -invariáns Radon-mérték. Továbbá, ha χ : G → R+ olyan folytonos csoport-morfizmus, hogy χ.βG faktorizálható βH szerint, akkor a (χ.βG )/βH faktormérték nem nulla pozitív és relatív γG/H -invariáns. Megfordítva, ha µ nem nulla pozitív relatív γG/H -invariáns Radon-mérték G/H felett és χ a µ γG/H -multiplikátora, akkor µ és (χ.βG )/βH arányosak. Bizonyítás. Ha χ : G → R+ folytonos csoport-morfizmus, akkor a χ.βG Radon-mérték βH szerinti faktorizálhatósága ekvivalens azzal, hogy minden s ∈ G és t ∈ H esetén ∆H (t) χ(s) teljesül, ami χ(st) = χ(s)χ(t) miatt azzal ekvivalens, hogy χ(st) = ∆G (t) ∆H (t) . Ebből látható, hogy az a) és b) állítások ekvivalensek. minden H ∋ t-re χ(t) = ∆G (t) Tegyük fel, hogy a) teljesül, és legyen χ : G → R+ olyan folytonos csoport-morfizmus, hogy χ.βG faktorizálható βH szerint. Ekkor s ∈ G esetén γG (s)(χ.βG ) is faktorizálható βH szerint és γG/H (s) ((χ.βG )/βH ) = (γG (s)(χ.βG )) /βH = (χ ◦ γG (s−1 )).(γG (s)βG ) /βH = = χ(s)−1 .(χ.βG ) /βH = χ(s)−1 . ((χ.βG )/βH ) , tehát (χ.βG )/βH olyan pozitív nem nulla relatív γG/H -invariáns Radon-mérték G/H felett, amelynek a multiplikátora egyenlő χ-vel. Tehát az a) állításból következik a c) 287

állítás. Végül, tegyük fel, hogy µ nem nulla pozitív relatív γG/H -invariáns Radon-mérték G/H felett, és legyen χ a µ γG/H -multiplikátora. Ha s ∈ G, akkor γG (s)(χ−1 .µ♯ ) = (χ−1 ◦ γG (s−1 ))(γG (s)µ♯ ) = (χ(s)χ−1 ).(γG/H (s)µ)♯ = = (χ(s)χ−1 ).(χ(s)−1 .µ)♯ = χ−1 .µ♯ , vagyis χ−1 .µ♯ baloldali Haar-mérték G felett, így van olyan c ∈ R+ , hogy χ−1 .µ♯ = c.βG . Ekkor χ.βG = (c−1 .µ)♯ , vagyis χ.βG faktorizálható βH szerint, és µ = µ♯ /βH = c. ((χ.βG )/βH ), vagyis µ és (χ.βG )/βH arányosak. 

9.5.

Topologikusan kváziinvariáns pozitív Radon-mértékek homogén téren

9.5.1. Lemma. (Bruhat-lemma) Ha G lokálisan kompakt csoport és H zárt részcsoportja G-nek, akkor létezik olyan ρ : G → R+ folytonos függvény, hogy minden s ∈ G és t ∈ H esetén ∆H (t) ρ(st) = ρ(s). ∆G (t) Bizonyítás. A G és G/H topologikus terek lokális kompaktsága, a G/H topologikus faktortér parakompaktsága, valamint a πG/H kanonikus szürjekció nyíltsága miatt a H által meghatározott G feletti baloldali ekvivalencia-relációnak létezik Bruhat-féle keresztmetszet-függvénye (3. pont). Tehát vehetünk olyan w : G → R+ folytonos függvényt, amelyre a) minden s ∈ G esetén (sH) ∩ [w > 0] 6= ∅;

−1

b) minden K ′ ⊆ G/H kompakt halmaz esetén a π G/H hK ′ i ∩ supp(w) halmaz kompakt G-ben. Ha K ⊆ G kompakt halmaz, akkor πG/H hKi kompakt halmaz G/H-ban és KH ⊆

−1

π G/H hπG/H hKii, tehát a (KH) ∩ supp(w) halmaz kompakt G-ben. Legyen βH baloldali ∆H −1 Haar-mérték H felett. Ekkor a θ := .βH Radon-mértékre és a w függvényre ∆G elkészíthető a Z ∆H (t) −1 w(st) dβH (t) wθ : G → R; s 7→ ∆G (t) H

folytonos leképezés; jelölje ρ ezt a függvényt. Ha s ∈ G, akkor nyilvánvalóan a ∆H −1 . (w ◦ γG (s)) |H függvény nem azonosan 0 és pozitív, ezért ρ(s) > 0. Ha s ∈ G ∆G 288

és t ∈ H, akkor a βH balinvarianciája miatt ρ(st) =

Z

H

=

Z

∆H (t−1 (tt′ )) ∆G (t−1 (tt′ ))

H

=

∆H (t) ∆G (t)

∆H (t′ ) ∆G (t′ )

Z

H

∆H (t′ ) ∆G (t′ )

−1

w(stt′ ) dβH (t′ ) = −1

w(s(tt′ )) dβH (t′ ) =

−1

w(st′ ) dβH (t′ ) =

∆H (t) ρ(s), ∆G (t)

tehát a ρ függvény eleget tesz a követelményeknek.  9.5.2. Tétel. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H zárt részcsoport G-ben, és βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett. Legyen ρ : G → R+ olyan folytonos függvény, hogy minden s ∈ G és t ∈ H esetén ρ(st) =

∆H (t) ρ(s). ∆G (t)

Ekkor a ρ.βG Radon-mérték faktorizálható βH szerint, és a (ρ.βG )/βH faktormérték olyan nem nulla pozitív Radon-mérték G/H felett, amelyhez létezik olyan χ : G × (G/H) → R+ folytonos függvény, hogy minden G ∋ s-re γG/H (s) ((ρ.βG )/βH ) = χ(s−1 , ·). ((ρ.βG )/βH ) . (Tehát (ρ.βG )/βH olyan nem nulla pozitív topologikusan γG/H -kváziinvariáns Radon-mérték G/H felett, amelynek a χ multiplikátora folytonos a G×(G/H) feletti szorzattopológia szerint.) Bizonyítás. A ρ-ra vonatkozó függvény-egyenlőség miatt a ρ.βG Radon-mérték faktorizálható βH szerint. Világos, hogy a (ρ.βG )/βH faktormérték pozitív és nem nulla, mert ha ψ ∈ K+ (G/H) nem nulla függvény, akkor van olyan ϕ ∈ K+ (G) nem nulla függvény, hogy ψ = ϕ♭ , és ekkor ((ρ.βG )/βH ) (ψ) = (ρ.βG )(ϕ) = βG (ρϕ) > 0, hiszen ρϕ ∈ K+ (G) nem nulla függvény, supp(βG ) = G, és βG pozitív. Legyen s ∈ G rögzített. Ha s1 , s2 ∈ G és s−1 1 s2 ∈ H, akkor ρ(ss2 ) ρ(ss1 (s−1 1 s2 )) = = −1 ρ(s2 ) ρ(s1 (s1 s2 ))

!

∆H (s−1 1 s2 ) ρ(ss1 ) −1 ρ(ss1 ) ∆G (s1 s2 ) ! = , −1 ρ(s1 ) ∆H (s1 s2 ) ρ(s1 ) ∆G (s−1 1 s2 ) 289

ami azt jelenti, hogy a G → R+ ;

s′ 7→

ρ(ss′ ) ρ(s′ )

függvény faktorizálható a H által meghatározott G feletti baloldali ekvivalencia-reláció szerint. Ebből következik, hogy egyértelműen létezik olyan χ : G × (G/H) → R+ függvény, amelyre minden s, s′ ∈ G esetén χ(s, πG/H (s′ )) =

ρ(ss′ ) . ρ(s′ )

Az idG × πG/H : G × G → G × (G/H) leképezés nyílt szürjekció, és χ ◦ (idG × πG/H ) ρ(ss′ ) egyenlő a G × G → R+ ; (s, s′) 7→ függvénnyel, amely nyilvánvalóan folytonos. ρ(s′ ) Ezért a χ : G × (G/H) → R+ függvény is folytonos (2.5.3.). Legyen ismét s ∈ G rögzített. A γG (s)(ρ.βG ) Radon-mérték faktorizálható βH szerint és γG/H (s) ((ρ.βG )/βH ) = (γG (s)(ρ.βG )) /βH = (ρ ◦ γG (s−1 ).(γG (s)βG ) /βH = = (ρ ◦ γG (s−1 ).βG /βH = χ(s−1 , πG/H (·)).ρ.βG /βH =χ(s−1 , ·). ((ρ.βG )/βH ) ,

ami azt jelenti, hogy a χ függvény eleget tesz a követelményeknek. 

9.5.3. Következmény. Legyen γ folytonos topologikus ábrázolása a G lokálisan kompakt csoportnak az X lokálisan kompakt térben. Ha G σ-kompakt és γ tranzitív, akkor létezik X felett olyan µ nem nulla pozitív topologikusan γ-kváziinvariáns Radon-mérték, amelynek a multiplikátora folytonos a G × X topologikus szorzattéren. Bizonyítás. Legyen x ∈ X rögzített pont, és jelölje H az x pont γ szerinti stabilitáscsoportját, vagyis H := {s ∈ G|γ(s)x = x}. Jelölje továbbá f a G → X; s 7→ γ(s)x orbitális függvény kanonikus faktorizáltját, vagyis f : G/H → X az a bijekció, amelyre f ◦ πG/H egyenlő ezzel az orbitális függvénnyel. Az f függvény folytonos bijekció és összeköti a γG/H és γ ábrázolásokat. A G σ-kompaktságából és az X lokális kompaktságából következik, hogy f homeomorfizmus (2.6.3.). Az előző tétel alapján vehetünk olyan µ nem nulla pozitív Radon-mértéket G/H felett, amely topologikusan γG/H -kváziinvariáns és a χ : G×(G/H) → R+ multiplikátora folytonos a szorzattopológia szerint. Ekkor f (µ) (vagyis a µ Radon-mérték f homeomorfizmus általi képe) nem nulla pozitív Radon-mérték X felett, és s ∈ G esetén γ(s)(f (µ)) = (γ(s) ◦ f )(µ) = (f ◦ γG/H (s))(µ) = f (γG/H (s)(µ)) = = f (χ(s−1 , ·).µ) = χ(s−1 , ·) ◦ f −1 .f (µ), 290

ami azt mutatja, hogy a χf : G × X → R+ ;

(s, x) 7→ χ(s, f −1 (x))

függvény olyan folytonos leképezés, hogy minden G ∋ s-re fennáll a γ(s)(f (µ)) = χ(s−1 , ·).f (µ) egyenlőség. Tehát f (µ) olyan Radon-mérték X felett, amelynek a létezését állítottuk. 

291

10. fejezet Indukált unitér ábrázolások 10.1.

Indukált lineáris és indukált unitér ábrázolások értelmezése

10.1.1. Jelölés. Ha G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben, akkor H U jelöli azon f : G → F folytonos függvények halmazát, amelyekre teljesülnek a következők: – minden (s, t) ∈ G × H esetén f (st) =

∆H (t) ∆G (t)

1/2

U(t)−1 f (s);

– létezik olyan K ⊆ G kompakt halmaz, amelyre supp(f ) ⊆ KH. 10.1.2. Állítás. Ha G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben, akkor H U ⊆ C (G; F ) olyan lineáris altér, hogy minden s ∈ G és f ∈ H U esetén f ◦ γG (s−1 ) ∈ H U . Bizonyítás. Legyen f ∈ H U és s ∈ G. Ha (s′ , t′ ) ∈ G × H, akkor (f ◦ γG (s−1 ))(s′ t′ ) = f (s−1 s′ t′ ) = =

∆H (t′ ) ∆G (t′ )

∆H (t′ ) ∆G (t′ )

1/2

U(t′ )−1 f (s−1 s′ ) =

1/2

U(t′ )−1 (f ◦ γG (s−1 ))(s′ ).

Továbbá, ha K ⊆ G olyan kompakt halmaz, hogy supp(f ) ⊆ KH, akkor nyilvánvalóan supp(f ◦ γG (s−1 )) = s · supp(f ) ⊆ (sK)H, és sK ⊆ G kompakt halmaz, ezért f ◦ γG (s−1 ) ∈ H U .  292

Tehát, ha G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben, akkor H U invariáns altere a G csoport C (G; F ) függvénytérben megvalósuló baloldali reguláris ábrázolásának. 10.1.3. Definíció. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben. A G csoport U által indukált lineáris ábrázolásának nevezzük és V U -val jelöljük azt a G → GL(H U ) csoport-morfizmust, amelyre minden s ∈ G és f ∈ H U esetén V U (s)f := f ◦ γG (s−1 ). 10.1.4. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben. Ha βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett, akkor minden f, g ∈ H U esetén az (f |g)F : G → C; s 7→ (f (s)|g(s))F függvény folytonos, és az (f |g)F βG Radon-mérték faktorizálható βH szerint, valamint az ((f |g)F βG ) /βH faktormérték kompakt tartójú Radon-mérték G/H felett. Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy ha f, g ∈ H U , akkor (f |g)F : G → C folytonos függvény, továbbá (s, t) ∈ G × H esetén (f |g)F (st) = (f (st)|g(st)) = =

∆H (t) ∆G (t)

1/2

∆H (t) ∆G (t)

U(t)−1 f (s) =

1/2

U(t)−1 g(s)

=

∆H (t) (f |g)F (s), ∆G (t)

ezért az (f |g)F βG Radon-mérték faktorizálható βH szerint. Létezik továbbá olyan K ⊆ G kompakt halmaz, hogy supp(f |g)F ⊆ supp(f ) ∪ supp(g) ⊆ KH; ekkor supp ((f |g)F βG ) ⊆ KH, következésképpen az ((f |g)F βG )/βH Radon-mérték kompakt tartójú.  A következő állítás bizonyításában felhasználjuk azt, hogy ha T és S lokálisan kompakt terek, π : T → S homeomorfizmus és θ kompakt tartójú Radon-mérték T felett, akkor π(θ) kompakt tartójú Radon-mérték S felett, és minden F Banach-térre, valamint minden f : S → F folytonos függvényre Z

f dπ(θ) =

S

Z

T

(f ◦ π)dθ.

10.1.5. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben, és βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett. Ekkor a (·|·)βG,βH : H U × H U → C;

(f, g) 7→ 293

Z

G/H

1G/H d (((f |g)F βG ) /βH )

leképezés olyan skalárszorzás a H U komplex vektortér felett, hogy minden s ∈ G és f, g ∈ H U esetén (V U (s)f |V U (s)g)βG,βH = (f |g)βG,βH . Bizonyítás. Az nyilvánvaló, hogy az itt értelmezett (·|·)βG,βH : H U × H U → C leképezés pozitív, konjugált bilineáris funkcionál. A pozitív definitivitásának bizonyításához legyen f ∈H U olyan, hogy (f |f )βG ,βH =0. Ekkor ((f |f )F βG )/βH kompakt tartójú pozitív Radon-mérték G/H felett, és a definíció szerint 0 = (f |f )βG,βH =

Z

G/H

1G/H d (((f |f )F βG ) /βH ) = k((f |f )F βG )/βH k ,

tehát ((f |f )F βG )/βH =0. Ebből következik, hogy (f |f )F βG = (((f |f )F βG )/βH )♯ = 0, így G = supp(βG ) ⊆ [(f |f )F = 0], vagyis f = 0. Legyen most s ∈ G és f, g ∈ H U . A βG balinvarianciája miatt

(V U (s)f |V U (s)g)F βG = (f ◦ γG (s−1 )|g ◦ γG (s−1 ))βG = = (f |g)F ◦ γG (s−1 ) βG = γG (s) ((f |g)F βG ) .

Az (f |g)F βG Radon-mérték faktorizálható βH szerint, így γG (s) ((f |g)F βG ) is faktorizálható βH szerint, és (V U (s)f |V U (s)g)F βG /βH = (γG (s) ((f |g)F βG )) /βH = = γG/H (s) (((f |g)F βG ) /βH ) .

Ebből következik, hogy U

U

(V (s)f |V (s)g)βG,βH = =

Z

G/H

Z

1G/H d

G/H

1G/H dγG/H (s) (((f |g)F βG ) /βH ) = =

Z

G/H

vagyis a V U (s) : H

U

Z

G/H

(V U (s)f |V U (s)g)F βG /βH = 1G/H ◦ γG/H (s) d (((f |g)F βG ) /βH ) =

1G/H d (((f |g)F βG ) /βH ) = (f |g)βG,βH ,

→ H U operátor megtartja a (·|·)βG,βH skalárszorzást. 

10.1.6. Definíció. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben, és βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett. Ekkor a (·|·)βG,βH : H U × H U → C;

(f, g) 7→ 294

Z

G/H

1G/H d (((f |g)F βG ) /βH )

leképezést a (βG , βH ) Haar-mérték pár által meghatározott Mackey-féle skalárszorzásnak nevezzük, és a (H U , (·|·)βG,βH ) prehilbert-tér teljes burkát H U,βG ,βH jelöli. Továbbá, a (H U , (·|·)βG,βH ) prehilbert-térben megvalósuló V U indukált lineáris ábrázolás teljesítését V U,βG ,βH jelöli, és ezt az (U, βG , βH ) hármas által meghatározott indukált unitér ábrázolásnak nevezzük. Megjegyzés. (A Mackey-féle skalárszorzás kiszámításának elve) Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben. Legyen βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett. Minden K ⊆ G kompakt halmazra értelmezzük a H U (K) := {f ∈ H U | supp(f ) ⊆ KH} függvényhalmazt. Világos, hogy minden K ⊆ G kompakt halmazra H U (K) lineáris altere H U -nak, továbbá fennáll a HU =

[

H U (K)

K⊆G K kompakt

egyenlőség. Az is nyilvánvaló, hogy a (H U (K))K⊆G; K kompakt altér-rendszer a tartalmazás tekintetében felfelé irányított, így minden f, g ∈ H U esetén van olyan K ⊆ G kompakt halmaz, hogy f, g ∈ H U (K). Ha K ⊆ G kompakt halmaz és ϕ ∈ K (G; C) olyan, hogy πG/H hKi ⊆ [ϕ♭ = 1], akkor minden f, g ∈ H U (K) esetén (f |g)βG,βH =

Z

G

(f |g)F ϕ dβG

teljesül, ugyanis Z

G

(f |g)F ϕ dβG =

Z

G

ϕ d ((f |g)F βG ) =

Z

G/H

ϕ♭ d (((f |g)F βG )/βH ) = (f |g)βG,βH ,

hiszen supp (((f |g)F βG )/βH ) ⊆ πG/H hKi ⊆ [ϕ♭ = 1], így a folytonos függvények kompakt tartójú mértékek szerinti integráljának értelmezése alapján Z

G/H

1G/H d (((f |g)F βG ) /βH ) :=

Z

G/H

ϕ♭ d (((f |g)F βG )/βH ) .

A következő állításban is megfogalmazunk egy szabályt, amely lehetővé teszi a Mackey-féle skalárszorzás kiszámítását abban az esetben, ha rendelkezésünkre áll egy Bruhat-féle keresztmetszet-függvény (9.3.2.). 295

10.1.7. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben. Legyen βG (illetve βH ) baloldali Haarmérték G (illetve H) felett, és w a (G, H, βH ) hármasnak Bruhat-féle keresztmetszetfüggvénye. Ha f, g ∈ H U , akkor (f |g)F w ∈ K (G; C) és (f |g)βG,βH = βG ((f |g)F w) =

Z

(f (s)|g(s))F w(s) dβG (s).

G

Bizonyítás. Az állítás triviálisan következik a Mackey-féle skalárszorzás definíciójából és a 9.3.4. állításból, a h := (f |g)F választással. 

10.2.

Elemi példák indukált unitér ábrázolásokra

1) Legyen G lokálisan kompakt csoport, H := G, és U unitér ábrázolása G-nek az F Hilbert-térben. Ekkor G/H egy elemű halmaz és könnyen belátható a H U = {f ∈ C (G; F ) | (∀(s, t) ∈ G × G) f (st) = U(t−1 )f (s)} egyenlőség. Értelmezzük az u : H U → F;

f 7→ f (eG )

lineáris operátort. Világos, hogy u injektív, hiszen f ∈ H U esetén minden G ∋ t-re f (t) = U(t−1 )f (eG ). Könnyen látható, hogy Im(u) = {z ∈ F |U(·)z ∈ C (G; F )}, továbbá egyszerűen kiszámítható, hogy s ∈ G esetén U(s) ◦ u = u ◦ V U (s). Nyilvánvaló, hogy az Im(u) ⊆ F lineáris altér invariáns az U ábrázolásra nézve, mert s ∈ G és z ∈ Im(u) esetén U(·)(U(s)z) = (U(·)z) ◦ δG (s−1 ) folytonos függvény, vagyis U(s)z ∈ Im(u). Továbbá, az Im(u) ⊆ F lineáris altér zárt is, mert ha z ∈ F és (zn )n∈N olyan Im(u)ban haladó sorozat, amelyre z = lim zn , akkor U(·)z = lim U(·)zn , és az (U(·)zn )n∈N n→∞ n→∞ függvénysorozat egyenletesen konvergál a G halmazon az U(·)z függvényhez, mert minden N ∋ n-re sup kU(s)zn − U(s)zk = kzn − zk, tehát U(·)z : G → F folytonos függvény, s∈G

vagyis z ∈ Im(u). Legyen most βG baloldali Haar-mérték G felett, és vegyünk olyan ϕ ∈ K (G; C) függvényt, amelyre βG (ϕ) = 1. Ekkor a βG (= βH ) szerinti ϕ♭ függvény olyan, hogy Z ϕ♭ (πG/H (eG )) = ϕ(s) dβG (s) = βG (ϕ) = 1. G

Ezért f, g ∈ H U esetén

(f |g)βG,βG =

Z

G

(f |g)F ϕ dβG ,

296

ugyanakkor (f |g)F nem más, mint az (f (eG )|g(eG ))F értékű G → C konstansfüggvény, így (f |g)βG,βG = (f (eG )|g(eG ))F = (u(f )|u(g))F . Ez azt jelenti, hogy u unitér operátor a H U,βG ,βG és Im(u) Hilbert-terek között, vagyis a V U,βG ,βG és U|Im(u) unitér ábrázolások unitér ekvivalensek. Speciálisan, ha U folytonos unitér ábrázolása G-nek, akkor V U,βG,βG és U unitér ekvivalensek, hiszen ekkor Im(u) = F . 2) Legyen G lokálisan kompakt csoport, H := {eG } és U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben, vagyis U : {eG } → U(F ) az a függvény, amelyre U(eG ) = idF . Ekkor nyilvánvaló, hogy H U = K (G; F ). Legyen βG baloldali Haar-mérték G felett, és jelölje βH az eG pontba koncentrált egypontmértéket H felett. Legyenek f, g ∈ H U és K ⊆ G olyan kompakt halmaz, amelyre supp(f )∪supp(g) ⊆ K. Válasszunk olyan ϕ ∈ K (G; C) függvényt, amelyre πG/H hKi ⊆ [ϕ♭ = 1]. Ekkor s ∈ G esetén ϕ♭ (πG/H (s)) =

Z

ϕ(st) dβH (t) = ϕ(s),

H

tehát ϕ♭ ◦ πG/H = ϕ, így supp((f |g)F ) ⊆ supp(f ) ∪ supp(g) ⊆ K ⊆ [ϕ♭ ◦ πG/H = 1] = [ϕ = 1], vagyis (f |g)F ϕ = (f |g)F . Ugyanakkor (f |g)βG,βH =

Z

H

(f |g)F ϕ dβG =

Z

H

(f |g)F dβG = (f |g)βG .

Ez azt jelenti, hogy a V U,βG ,βH indukált unitér ábrázolás megegyezik a V γG ,βG ,F baloldali reguláris ábrázolással.

10.3.

Speciális elemek indukált unitér ábrázolás terében

10.3.1. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben. Ha βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett, akkor a V U,βG ,βH indukált unitér ábrázolás folytonos (még akkor is, ha U nem folytonos unitér árbázolása H-nak). Bizonyítás. A H U halmaz a definíció szerint sűrű a V U,βG ,βH ábrázolás terében, ezért az unitér ábrázolások folytonosságának jellemzése alapján elég azt igazolni, hogy minden f, g ∈ H U esetén a G → C; s 7→ (V U (s)f |g)βG,βH függvény folytonos az eG pontban. Legyenek tehát f, g ∈ H U rögzítettek, és vegyünk olyan K ⊆ G kompakt halmazt, amelyre supp(f )∪supp(g) ⊆ KH. Legyen W0 az eG -nek kompakt környezete, és vegyünk 297

olyan ϕ ∈ K+ (G) függvényt, amelyre πG/H hW0 Ki ⊆ [ϕ♭ = 1]. Világos, hogy s ∈ W0 esetén supp(V U (s)f ) = supp(f ◦ γG (s−1 )) ⊆ (W0 K)H és persze supp(g) ⊆ KH ⊆ (W0 K)H. A Mackey-féle skalárszorzat kiszámításának elve alapján minden s ∈ W0 esetén Z U (V (s)f |g)βG,βH = (f ◦ γG (s−1 )|g)F ϕ dβG . G

Rögzítsünk olyan ψ ∈ K+ (G) függvényt, amelyre W0−1 supp(ϕ) ⊆ [ψ = 1]. Legyen ε ∈ R+ tetszőleges. A folytonos kompakt tartójú függvények egyenletes folytonossága miatt a ψf ∈ K (G; F ) függvényhez és ε számhoz létezik eG -nek olyan W környezete, hogy W ⊆ W0 és minden s1 , s2 ∈ G esetén, ha s2 s−1 1 ∈ W , akkor k(ψf )(s1 ) − (ψf )(s2 )kF ≤ ε. ′ −1 ′ Ekkor minden (s, s ) ∈ W × G esetén kf (s s ) − f (s′ )kF ϕ(s′ ) ≤ εϕ(s′) teljesül, mert ha s′ ∈ supp(ϕ), akkor s−1 s′ ∈ W −1 supp(ϕ) ⊆ W0−1 supp(ϕ) ⊆ [ψ = 1], tehát ψ(s′ ) = ψ(s−1 s′ ) = 1, így kf (s−1 s′ ) − f (s′)kF = k(ψf )(s−1 s′ ) − (ψf )(s′ )kF ≤ ε, hiszen s′ (s−1 s′ )−1 = s ∈ W . Ebből következik, hogy ha s ∈ W , akkor |(V U (s)f |g)βG,βH − (f |g)βG,βH | = ≤ = Az

Z

G

Z

G

Z

G

Z G

(f ◦ γG (s−1 ) − f |g)F ϕ

kf ◦ γG (s−1 ) − f kF kgkF ϕ dβG =

kf (s−1 s′ ) − f (s′ )kF kg(s′ )kF ϕ(s′ ) dβG (s′ ) ≤ ε

Z

G

dβG

≤

kgkF ϕ dβG .

kgkF ϕ dβG szám ε-tól független, ezért a G → C; s 7→ (V U (s)f |g)βG,βH függvény

folytonos az eG pontban.  10.3.2. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U folytonos unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben. Legyen βH baloldali Haar-mérték H felett, ϕ ∈ K (G; C) és z ∈ F . Ekkor minden s ∈ G esetén a H → F;

t 7→

∆H (t) ∆G (t)

−1/2

ϕ(st).(U(t)z)

függvény folytonos, kompakt tartójú, és a ϕ ∗ z : G → F; βH

s 7→

Z

H

∆H (t) ∆G (t)

függvény eleme H U -nak. 298

−1/2

ϕ(st).(U(t)z) dβH (t)

Bizonyítás. Az U unitér ábrázolás folytonossága miatt U(·)z ∈ C (H; F ), továbbá ∆H −1/2 nyilvánvalóan s ∈ G esetén (ϕ ◦ γG (s))|H ∈ K (H; C), ezért az állításban ∆G értelmezett H → F függvény eleme K (H; F )-nek, így a ϕ ∗ z : G → F függvény jól βH

értelmezett.

Ha s ∈ G és t ∈ H, akkor a βH balinvarianciája, és az U, ∆H , ∆G függvények morfikussága folytán ϕ ∗ z (st) = βH

=

Z

H

=

∆H (t) ∆G (t) ∆H (t) ∆G (t)

1/2

∆H (t) ∆G (t)

−1/2

∆H (tt′ ) ∆G (tt′ )

U(t−1 )

−1/2

∆H (t′ ) ∆G (t′ )

H

1/2

Z

H

= Ha s ∈ G olyan, hogy

Z

ϕ(stt′ ).(U(t′ )z) dβH (t′ ) =

−1/2

ϕ(stt′ ).(U(t−1 )(U(tt′ )z)) dβH (t′ ) =

∆H (tt′ ) ∆G (tt′ )

∆H (t) ∆G (t)

−1/2

ϕ(stt′ ).(U(tt′ )z)) dβH (t′ ) =

1/2

U(t)−1 ϕ ∗ z (s). βH

ϕ ∗ z (s) 6= 0, akkor nyilvánvalóan létezik olyan t ∈ H, hogy βH

ϕ(st).(U(t)z) 6= 0, tehát st ∈ [ϕ 6= 0] ⊆ supp(ϕ), vagyis s ∈ supp(ϕ)H. A

supp(ϕ) halmaz kompakt G-ben, ezért supp(ϕ)H zárt, így supp ϕ ∗ z βH

⊆ supp(ϕ)H.

Tehát az előzőek alapján ϕ ∗ z ∈ H U pontosan akkor teljesül, ha ez a függvény βH

folytonos. A ϕ ∗ z függvény folytonosságának bizonyításához legyen s0 ∈ G rögzített, βH

−1 és vegyünk eG -nek egy W0 kompakt környezetét. Az s−1 0 W0 supp(ϕ) ⊆ G kompakt −1 halmazhoz legyen ψ ∈ K+ (G) olyan függvény, hogy s−1 0 W0 supp(ϕ) ⊆ [ψ = 1]. Legyen + ε ∈ R tetszőleges. A folytonos kompakt tartójú függvények egyenletes folytonossága alapján létezik eG -nek olyan W környezete, hogy W ⊆ W0 és minden G ∋ s1 , s2 -re, ha s1 s−1 2 ∈ W , akkor |ϕ(s1 ) − ϕ(s2 )| ≤ ε. Ekkor W s0 olyan környezete s0 -nak, hogy minden (s, s′ ) ∈ (W s0 ) × G esetén |ϕ(ss′ ) − ϕ(s0 s′ )| ≤ εψ(s′ ) teljesül, mert

−1 −1 – ha ss′ ∈ [ϕ 6= 0] vagy s0 s′ ∈ [ϕ 6= 0], akkor s′ ∈ s−1 supp(ϕ) ⊆ s−1 0 W 0 W0 supp(ϕ) ⊆ −1 ′ ′ −1 ′ ′ ′ [ψ = 1], és (ss )(s0 s ) = ss0 ∈ W , tehát |ϕ(ss ) − ϕ(s0 s )| ≤ ε = εψ(s );

– ha ss′ ∈ / [ϕ 6= 0] és s0 s′ ∈ / [ϕ 6= 0], akkor |ϕ(ss′ ) − ϕ(s0 s′ )| = 0 ≤ εψ(s′ ). 299

Ezért minden s ∈ W s0 és t ∈ H esetén |ϕ(st) − ϕ(s0 t)| ≤ εψ(t) is igaz, így





(s0 )

ϕ ∗ z (s) − ϕ ∗ z βH

βH

≤ = kzk

Z

H

∆H (t) ∆G (t)

Z

∆H (t) ∆G (t)

H

Z



H

=

−1/2

∆H (t) ∆G (t)

(ϕ(st) − ϕ(s0 t))(U(t)z)

−1/2

|ϕ(st) − ϕ(s0 t)|kU(t)zk dβH (t) =

−1/2

|ϕ(st)−ϕ(s0 t)| dβH (t) ≤ εkzk

Z

∆H (t) ∆G (t)

H



dβH (t)



≤

−1/2

ψ(t) dβH (t).

Z

∆H (t) −1/2 ψ(t) dβH (t) szám ε-tól független, ezért ez azt jelenti, ∆G (t) H hogy ϕ ∗ z az s0 pontban folytonos. 

Az itt szereplő βH

10.3.3. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U folytonos unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben. Ha βH baloldali Haar-mérték H felett, akkor a ϕ ∗ z (eG ) (ϕ ∈ K (G; C)) ∧ (z ∈ F ) βH

halmaz lineáris burka sűrű F -ben. Bizonyítás. Minden K (G; C) ∋ ϕ-re és F ∋ z-re a definíció szerint ϕ ∗ z (eG ) = βH

Z

∆H (t) ∆G (t)

−1/2

Z

∆H (t) ∆G (t)

−1/2

H

ϕ(t).(U(t)z) dβH (t),

tehát minden F ∋ z ′ -re ϕ ∗ z (eG ) z βH

′

=

H

= UβH

ϕ(t).(U(t)z|z ′ )F dβH (t) =

−1/2

∆H ∆G

!

ϕ|H z z

′

!

Ezt azt jelenti, hogy minden ϕ ∈ K (G; C) és z ∈ F esetén ϕ ∗ z (eG ) = UβH βH

300

∆H ∆G

−1/2

.

!

ϕ|H z,

következésképpen fennáll a ϕ ∗ z (eG ) (ϕ ∈ K (G; C)) ∧ (z ∈ F ) = βH

(

= UβH

∆H ∆G

!

−1/2

ϕ|H z (ϕ ∈ K (G; C)) ∧ (z ∈ F )

)

egyenlőség. Tudjuk, hogy az UβH : KβH (H; C) → L (F ) ábrázolás nemelfajult, tehát az {UβH (ψ)z (ψ ∈ K (H; C)) ∧ (z ∈ F )} halmaz lineáris burka sűrű F -ben. Ezért elég azt megmutatni, hogy a K (G; C) → K (H; C);

ϕ 7→

∆H ∆G

−1/2

ϕ|H

leképezés szürjektív, hiszen ha ez igaz, akkor (

UβH

∆H ∆G

−1/2

!

)

ϕ|H z (ϕ ∈ K (G; C)) ∧ (z ∈ F ) =

= {UβH (ψ)z (ψ ∈ K (H; C)) ∧ (z ∈ F )} .

Ha T lokálisan kompakt tér és S zárt halmaz T -ben, akkor a K (T ; C) → K (S; C);

ϕ 7→ ϕ|S

leképezés szürjektivitása a lokálisan kompakt terekre vonatkozó Tietze-tételből követke∆H −1/2 : H→R függvény zik ([19, 27.8.2.]). Ebből már adódik az állítás, mert a ∆G folytonos és sehol sem nulla (ti. szigorúan pozitív).  10.3.4. Következmény. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U folytonos unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben. Ekkor a H U → F;

f 7→ f (eG )

leképezés olyan lineáris operátor, amelynek értékkészlete sűrű F -ben. Bizonyítás. Ennek az operátornak az értékkészlete tartalmazza a ϕ ∗ z (eG ) (ϕ ∈ K (G; C)) ∧ (z ∈ F ) βH

halmaz lineáris burkát, amely az előző állás szerint sűrű F -ben.  301

10.4.

Az irreducibilitás tétele

10.4.1. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U1 (illetve U2 ( unitér ábrázolása H-nak az F1 (illetve F2 ) Hilbert-térben. Legyen βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett. Ha u ∈ C(U1 ; U2 ), akkor létezik egyetlen olyan Tu ∈ C(V U1 ,βG ,βH ; V U2 ,βG ,βH ), amelyre minden f ∈ H U1 esetén Tu (f ) = u ◦ f ∈ H U2 . Továbbá, a C(U1 ; U2 ) → C(V U1 ,βG ,βH ; V U2 ,βG ,βH );

u 7→ Tu

leképezés folytonos lineáris operátor, és ha az U1 unitér ábrázolás folytonos, akkor ez az operátor injektív. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy u ∈ C(U1 ; U2 ) és f ∈ H U1 . Nyilvánvaló, hogy ekkor u ◦ f ∈ C (G; F2 ) és (s, t) ∈ G × H esetén ∆H (t) ∆G (t)

(u ◦ f )(st) = u(f (st)) = u =

∆H (t) ∆G (t)

1/2

u ◦ U1 (t−1 ) f (s) = =

∆H (t) ∆G (t)

∆H (t) ∆G (t)

1/2

U1 (t)−1 f (s)

=

1/2

U2 (t−1 ) ◦ u f (s) =

1/2

U2 (t)−1 (u ◦ f )(s).

Ha K ⊆ G olyan kompakt halmaz, amelyre supp(f ) ⊆ KH, akkor supp(u ◦ f ) ⊆ supp(f ) miatt supp(u ◦ f ) ⊆ KH is teljesül. Ezért u ◦ f ∈ H U2 , és ha ϕ ∈ K+ (G) olyan, hogy πG/H hKi ⊆ [ϕ♭ = 1], akkor ku ◦

f k2βG ,βH

=

Z

G

ϕku ◦

f k2F dβG

≤ kuk

2

Z

G

ϕkf k2F dβG = kuk2kf k2βG ,βH .

Ez azt jelenti, hogy a H U1 → H U2 ; f 7→ u ◦ f leképezés olyan lineáris operátor, amely a (βG , βH ) Haar-mérték pár által generált Mackey-féle normák szerint folytonos, ezért ez az operátor egyértelműen kiterjeszthető H U1 ,βG ,βH → H U2 ,βG ,βH folytonos lineáris operátorrá. Ezzel a Tu ∈ L (H U1 ,βG,βH ; H U2 ,βG,βH ) operátor létezését és egyértelműségét igazoltuk.

Ha u ∈ C(U1 ; U2 ), akkor Tu ∈ C(V U1 ,βG ,βH ; V U2 ,βG ,βH ), mert ha f ∈ H U1 és s ∈ G, akkor Tu ◦ V U1 ,βG,βH (s) (f ) = u ◦ (f ◦ γG (s−1 )) = 302

= (u ◦ f ) ◦ γG (s−1 )= V U2 ,βG ,βH (s) ◦ Tu (f ), így minden G ∋ s-re Tu ◦ V U1 ,βG ,βH (s) = V U2 ,βG,βH (s) ◦ Tu , hiszen H ban a Mackey-norma szerint.

U1

sűrű H

U1 ,βG ,βH

-

Nyilvánvaló, hogy a C(U1 ; U2 ) → C(V U1 ,βG,βH ; V U2 ,βG ,βH );

u 7→ Tu

leképezés lineáris operátor. Ha u ∈ C(U1 ; U2 ) és Tu = 0, akkor minden f ∈ H U1 esetén u(f (eG )) = 0, tehát {f (eG )|f ∈ H U1 } ⊆ Ker(u). Továbbá, ha U1 folytonos, akkor itt a bal oldalon F1 -ben sűrű lineáris altér áll, ezért u = 0.  10.4.2. Tétel. (Az irreducibilitás tétele) Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U folytonos unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben. Ha βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett, és a V U,βG,βH indukált unitér ábrázolás irreducibilis, akkor U is irreducibilis. Bizonyítás. Ha V U,βG ,βH irreducibilis, akkor C(V U,βG,βH ; V U,βG,βH ) = C.idH U,βG ,βH , ezért az előző állításban bevezetett C(U; U) → C(V U,βG,βH ; V U,βG,βH );

u 7→ Tu

leképezés injektivitása folytán C(U; U) = C.idF , vagyis U irreducibilis.  Tehát, ha U folytonos unitér ábrázolása H-nak, akkor a V U,βG ,βH indukált unitér ábrázolás irreducibilitásának szükséges feltétele az U irreducibilitása; azonban ez nem elégséges feltétel. Vagyis, ha U irreducibilis folytonos unitér ábrázolása a H ⊆ G zárt részcsoportnak, és βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett, akkor a V U,βG ,βH indukált unitér ábrázolás nem feltétlenül irreducibilis. Ez világosan látszik a H := {eG } speciális esetben, amikor βH az eG pontba koncentrált egypontmérték H felett, és U a triviális unitér karaktere H-nak. Ekkor V U,βG,βH egyenlő a V γG ,βG ,C baloldali reguláris ábrázolással, amelyről korábban láttuk, hogy: – ha G kompakt, akkor a G minden irreducibilis folytonos unitér ábrázolását részábrázolásként tartalmazza (unitér ekvivalencia erejéig); – ha G kommutatív és G 6= {eG }, akkor nem egydimenziós,

tehát (az általános esetben) nem irreducibilis.

303

10.5.

Imprimitivitás-rendszerek és az indukálhatóság szükséges feltétele

Most azzal a kérdéssel foglalkozunk, hogy honnan ismerhető fel a G lokálisan kompakt csoport V folytonos unitér ábrázolásáról az, hogy létezik olyan H ⊆ G zárt részcsoport, és létezik H-nak olyan U folytonos unitér ábrázolása, valamint létezik olyan βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett, hogy V unitér ekvivalens a V U,βG ,βH indukált unitér ábrázolással. Másként fogalmazva: jellemzést akarunk adni az indukált unitér ábrázolásokra. Az első állításunk szükséges feltételt ad az indukálhatóságra. 10.5.1. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport és V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben. Ha H ⊆ G olyan zárt részcsoport, és U a H-nak olyan folytonos unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben, valamint βG (illetve βH ) olyan baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett, hogy V unitér ekvivalens a V U,βG,βH indukált unitér ábrázolással, akkor létezik olyan D ⊆ H sűrű V -invariáns lineáris altér, és létezik olyan w : D → F lineáris operátor, hogy Im(w) sűrű altere F -nek, és minden t ∈ H esetén ∆H (t) 1/2 U(t) ◦ w = w ◦ V (t)|D . ∆G (t) −1

Bizonyítás. Legyen u ∈ C(V ; V U,βG,βH ) unitér operátor, és D := u hH U i, ami sűrű altere H -nak. Értelmezzük a w : D → F ; ξ 7→ (u(ξ))(eG )

leképezést. A w leképezés lineáris és Im(w) = {f (eG )|f ∈ H U } sűrű altere F -nek. A H U altér V U,βG ,βH -invariáns és u összeköti a V és V U,βG ,βH ábrázolásokat, ezért a D lineáris altér V -invariáns. Ha t ∈ H és ξ ∈ D, akkor u(ξ) ∈ H U miatt w(V (t)ξ) = (u(V (t)ξ))(eG ) = (V U,βG ,βH (t)(u(ξ)))(eG ) = (V U (t)(u(ξ)))(eG ) = ∆H (t−1 ) =(u(ξ))(eG t )= ∆G (t−1 ) −1

1/2

U(t)((u(ξ))(eG ))=

∆H (t) ∆G (t)

−1/2

U(t)(w(ξ)),

tehát w-re teljesül a megkövetelt egyenlőség.  10.5.2. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben. Minden ψ ∈ C (G/H; C) és f ∈ H U esetén ψ ◦ πG/H f ∈ H U , és a P U (ψ) : H U → H U ; 304

f 7→ ψ ◦ πG/H f

leképezés lineáris operátor. Továbbá, a P U : C (G/H; C) → L(H U );

ψ 7→ P U (ψ)

leképezés olyan egységelem-tartó algebra-morfizmus a C (G/H; C) függvényalgebra és a H U → H U lineáris operátorok L(H U ) algebrája között, amelyre s ∈ G és ψ ∈ C (G/H; C) esetén teljesül a V U (s) ◦ P U (ψ) ◦ V U (s)−1 = P U (ψ ◦ γG/H (s)−1 ) (imprimitivitás-egyenlőség). Bizonyítás. Ha ψ ∈ C (G/H; C) és f ∈ H U , akkor s ∈ G és t ∈ H esetén ψ ◦ πG/H f (st) = ψ(πG/H (st))f (st) = ψ(πG/H (s))f (st) = = ψ(πG/H (s))

∆H (t) ∆G (t)

1/2

U(t)−1 f (s) =

∆H (t) ∆G (t)

1/2

U(t)−1

ψ ◦ πG/H f (s),

továbbá, ha K ⊆ G olyan kompakt halmaz, hogy supp(f ) ⊆ KH, akkor nyilvánvalóan supp ψ ◦ πG/H f ⊆ KH, így ψ ◦ πG/H f ∈ H U . Világos, hogy ψ ∈ C (G/H; C) esetén a P U (ψ) : H U → H U ; f 7→ ψ ◦ πG/H f leképezés lineáris operátor, és a P U : C (G/H; C) → L(H U ); ψ 7→ P U (ψ) leképezés egységelem-tartó algebra-morfizmus. Legyenek s ∈ G, ψ ∈ C (G/H; C) és f ∈ H U ; ekkor V U (s) ◦ P U (ψ) ◦ V U (s)−1 (f ) = V U (s) P U (ψ) V U (s−1 )f = V U (s) P U (ψ) (f ◦ γG (s)) = V U (s) = ψ ◦ πG/H ◦ γG (s−1 )

=

ψ ◦ πG/H (f ◦ γG (s)) =

(f ◦ γG (s)) ◦ γG (s−1 ) =

= ψ ◦ γG/H (s−1 ) ◦ πG/H f = P U (ψ ◦ γG/H (s−1 ))f

teljesül, mivel πG/H ◦ γG (s−1 ) = γG/H (s−1 ) ◦ πG/H . 

10.5.3. Definíció. Ha G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben, akkor a (V U , P U ) párt az U által indukált algebrai imprimitivitás-rendszernek nevezzük, ahol P U az előző állítás bizonyításában értelmezett C (G/H; C) → L(H U ) leképezés. Figyeljük meg, hogy a definíció feltételei mellett a (V U , P U ) algebrai imprimitivitásrendszer első komponense a V U : G → GL(H U ) csoport-morfizmus, és a második komponense a P U : C (G/H; C) → L(H U ) egységelem-tartó algebra-morfizmus, továbbá ezek között minden s ∈ G és ψ ∈ C (G/H; C) esetén fennáll a V U (s) ◦ P U (ψ) = P U (ψ ◦ γG/H (s−1 )) ◦ V U (s) összefüggés, ami egyfajta kommutációs reláció V U és P U között. 305

10.5.4. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben. Legyen βG (illetve βH ) baloldali Haarmérték G (illetve H) felett. Ha ψ ∈ C b (G/H; C) (vagyis a ψ : G/H → C folytonos függvény korlátos), akkor a P U (ψ) : H U → H U lineáris operátor folytonos a (·|·)βG,βH Mackey-féle skalárszorzás szerint. Továbbá, egyértelműen létezik olyan P U,βG,βH : C b (G/H; C) → L (H U,βG ,βH ) leképezés, amelyre teljesül az, hogy minden ψ ∈ C b (G/H; C) esetén P U,βG,βH (ψ) a P U (ψ) operátor Mackey-féle skalárszorzás szerint folytonos lineáris kiterjesztése H U ról H U,βG ,βH -ra. Az így meghatározott P U,βG,βH leképezés egységelem-tartó ábrázolása a C b (G/H; C) kommutatív C ∗ -algebrának a H U,βG ,βH Hilbert-térben, és minden s ∈ G, ψ ∈ C b (G/H; C) esetén fennáll a V U,βG,βH (s) ◦ P U,βG ,βH (ψ) ◦ V U,βG ,βH (s−1 ) = P U,βG ,βH (ψ ◦ γG/H (s−1 )) imprimitivitás-egyenlőség. A P U,βG,βH ábrázolás leszűkítése K (G/H; C)-re nemelfajult, vagyis az [ Im(P U,βG,βH (ψ)) ψ∈K (G/H;C)

halmaz lineáris burka sűrű a H U,βG ,βH Hilbert-térben. Bizonyítás. Legyen ψ ∈ C b (G/H; C) és f ∈ H U . Vegyünk olyan K ⊆ G kompakt halmazt, amelyre supp(f ) ⊆ KH, és legyen ϕ ∈ K+ (G) olyan, hogy πG/H hKi ⊆ [ϕ♭ = 1]. Ekkor supp(P U (ψ)f ) ⊆ KH, ezért kP U (ψ)f k2βG,βH =

Z

G

k ψ ◦ πG/H f k2F ϕ dβG ≤ 9ψ 92

Z

G

kf k2F ϕ dβG =

= 9ψ 92 kf k2βG,βH ,

amiből következik, hogy a P U (ψ) : H U → H U lineáris operátor folytonos a (·|·)βG,βH Mackey-féle skalárszorzás szerint, sőt az is látszik, hogy kP U (ψ)k ≤ 9ψ9, ahol 9 · 9 a sup-normát jelöli a C b (G/H; C) függvénytér felett. Ebből azonnal következik, hogy egyértelműen létezik olyan P U,βG,βH : C b (G/H; C) → L (H U,βG ,βH ) leképezés, amelyre teljesül az, hogy minden C b (G/H; C) ∋ ψ-re P U,βG,βH (ψ) a P U (ψ) operátor Mackey-féle skalárszorzás szerint folytonos lineáris kiterjesztése H U ról H U,βG ,βH -ra. Az egyenlőségek folytatásának elve alapján nyilvánvaló, hogy P U,βG,βH egységelem-tartó algebra-morfizmus. 306

Megmutatjuk, hogy P U,βG,βH involúció-tartó is, ezért ábrázolása a C b (G/H; C) C ∗ algebrának a H U,βG ,βH Hilbert-térben. Ehhez legyen ψ ∈ C b (G/H; C) és f, g ∈ H U . Vegyünk olyan K ⊆ G kompakt halmazt, hogy supp(f ) ∪ supp(g) ⊆ KH, és legyen ϕ ∈ K+ (G) olyan, hogy πG/H hKi ⊆ [ϕ♭ = 1]. Ekkor supp ψ ◦ πG/H f ∪ supp ψ ◦ πG/H g ⊆ KH is teljesül. Ezért U

P (ψ)f |g =

Z

G

βG ,βH

=

ψ ◦ πG/H f |g

ψ ◦ πG/H (f |g)F ϕ dβG =

Z

G

βG ,βH

=

Z

G

ψ ◦ πG/H f |g

F

ϕ dβG =

(f | ψ ◦ πG/H g)F ϕ dβG = f |P U (ψ)g

βG ,βH

,

amiből az egyenlőségek folytatásának elve és az adjungált operátor értelmezése alapján következik, hogy P U,βG ,βH (ψ)∗ = P U,βG,βH (ψ), vagyis P U,βG,βH involúció-tartó. Ha s ∈ G és ψ ∈ C b (G/H; C), akkor V U (s) ◦ P U (ψ) ◦ V U (s)−1 = P U (ψ ◦ γG/H (s)−1 ), vagyis a V U,βG ,βH és P U,βG,βH definíciói szerint fennáll a V U,βG,βH (s) ◦ P U,βG ,βH (ψ) ◦ V U,βG ,βH (s−1 ) = P U,βG ,βH (ψ ◦ γG/H (s−1 )) egyenlőség a H U ⊆ H U,βG,βH sűrű altéren, így az egyenlőségek folytatásának elve alapján ez a H U,βG ,βH téren mindenütt teljesül. Végül, ha f ∈H U , és K⊆G olyan kompakt halmaz, hogy supp(f ) ⊆ KH, és ϕ ∈ K+ (G) olyan függvény, hogy πG/H hKi ⊆ [ϕ♭ = 1], akkor ϕ♭ ∈ K+ (G/H), és a definíció szerint P U (ϕ♭ )f = ϕ♭ ◦ πG/H f = f . Ez azt jelenti, hogy [

ϕ∈K (G/H;C)

Im(P U,βG,βH (ψ)) ⊇ H U

teljesül, ezért a P U,βG,βH ábrázolás leszűkítése K (G/H; C)-re nemelfajult.  10.5.5. Definíció. Legyen G lokálisan kompakt csoport és γ folytonos topologikus ábrázolása G-nek az X lokálisan kompakt térben. A (V, P ) párt γ-imprimitivitásrendszernek nevezzük, ha V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben, P egységelem-tartó ábrázolása a C b (X; C) C ∗ -algebrának a H Hilbert-térben, és teljesül az, hogy minden s ∈ G és ψ ∈ C b (X; C) esetén V (s) ◦ P (ψ) ◦ V (s−1 ) = P (ψ ◦ γ(s−1 )) (imprimitivitás-egyenlőség). Azt mondjuk, hogy a (V, P ) γ-imprimitivitás-rendszer nemelfajult, ha a P leszűkítése K (X; C)-re nemelfajult ábrázolás. Ha G lokálisan 307

kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, U unitér ábrázolása H-nak, és βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett, akkor a (V U,βG,βH , P U,βG,βH ) párt az (U, βG , βH ) hármas által indukált imprimitivitás-rendszernek nevezzük, ahol P U,βG ,βH : C b (G/H; C) → L (H U,βG,βH ) az előző állításban értelmezett leképezés. 10.5.6. Állítás. (Az indukált projektorintegrálok folytonossága) Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett, és U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben. Ha ψ ∈ C b (G/H; C) és (ψn )n∈N olyan sorozat C b (G/H; C)-ben, amely lokálisan egyenletesen konvergál ψ-hez és egyenletesen korlátos, akkor P U,βG,βH (ψ) = lim P U,βG ,βH (ψn ) n→∞

teljesül pontonként a H U,βG ,βH Hilbert-téren. Bizonyítás. A P U,βG,βH : C b (G/H; C) → L (H U,βG ,βH ) leképezés *-algebra-morfizmus, tehát norma-nem-növelő, így sup kP U,βG,βH (ψn )kβG ,βH ≤ sup 9ψn 9 < +∞, n∈N

n∈N

mert a (ψn )n∈N sorozat egyenletesen korlátos. Ezért 6.4.5. alapján elég azt megmutatni, hogy minden f ∈ H U esetén P U,βG,βH (ψ)f = lim P U,βG ,βH (ψn )f n→∞

teljesül a (βG , βH ) pár által meghatározott Mackey-féle skalárszorzás szerint, vagyis lim k(ψn ◦ πG/H ).f − (ψ ◦ πG/H ).f kβG ,βH = 0.

n→∞

Legyen tehát f ∈ H U és vegyünk olyan K ⊆ G kompakt halmazt, amelyre supp(f ) ⊆ KH, valamint rögzítsünk olyan ϕ ∈ K+ (G) függvényt, hogy πG/H hKi ⊆ [ϕb = 1]. Ha n ∈ N, akkor supp (ψn − ψ) ◦ πG/H .f ⊆ supp(f ) ⊆ KH, ezért a Mackey-féle skalárszorzás kiszámításának ismert módja szerint k(ψn ◦ πG/H ).f − (ψ ◦ πG/H ).f k2βG ,βH = k((ψn − ψ) ◦ πG/H ).f k2βG,βH = =

Z

G

k((ψn − ψ) ◦

πG/H ).f k2F ϕ

dβG =

Z

G

308

(|ψn − ψ|2 ◦ πG/H ).kf k2F ϕ dβG ≤

≤

Z

G

ϕkf k2F dβG

9 ψn − ψ92π

G/H

hKi

= kf k2βG,βH 9 ψn − ψ92π

ahol felhasználtuk azt, hogy (|ψn − ψ|2 ◦ πG/H )kf k2F ≤ 9ψn − ψ 92π

G/H

G/H

hKi ,

2 hKi kf kF .

A (ψn )n∈N

függvénysorozat a πG/H hKi ⊆ G/H kompakt halmazon egyenletesen konvergál ψ-hez, ezért ebből az egyenlőtlenségből következik az állítás. 

10.5.7. Tétel. (Az indukálhatóság szükséges feltétele) Legyen G lokálisan kompakt csoport és V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben. Ha H ⊆ G zárt részcsoport, U unitér ábrázolása H-nak, valamint βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett, és V unitér ekvivalens a V U,βG ,βH indukált unitér ábrázolással, akkor létezik olyan P : C b (G/H; C) → L (H ) egységelem-tartó ábrázolás, hogy minden s ∈ G és ψ ∈ C b (G/H; C) esetén V (s) ◦ P (ψ) ◦ V (s)−1 = P (ψ ◦ γG/H (s−1 ))

teljesül, és a P leszűkítése K (G/H; C)-re nemelfajult ábrázolás (vagyis (V, P ) nemelfajult γG/H -imprimitivitás-rendszer). Bizonyítás. Legyen H ⊆ G olyan zárt részcsoport, és U olyan unitér ábrázolása Hnak, valamint βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett, hogy V unitér ekvivalens a V U,βG ,βH indukált unitér ábrázolással. Legyen u : H → H U,βG ,βH olyan unitér operátor, amely összeköti a V és V U,βG ,βH unitér ábrázolásokat. Ekkor a P : C b (G/H; C) → L (H );

ψ 7→ u−1 ◦ P U,βG,βH (ψ) ◦ u

leképezés nyilvánvalóan olyan egységelem-tartó ábrázolás, hogy minden s ∈ G és ψ ∈ C b (G/H; C) esetén V (s) ◦ P (ψ) ◦ V (s)−1 := = u−1 ◦ V U,βG ,βH (s) ◦ u ◦ u−1 ◦ P U,βG,βH (ψ) ◦ u ◦ u−1 ◦ V U,βG ,βH (s−1 ) ◦ u = = u−1 ◦ V U,βG ,βH (s) ◦ P U,βG,βH (ψ) ◦ V U,βG ,βH (s−1 ) ◦ u =

Továbbá

= u−1 ◦ P U,βG,βH (ψ ◦ γG/H (s−1 )) ◦ u =: P (ψ ◦ γG/H (s−1 )). [

Im(P (ψ)) =

ψ∈K (G/H;C)

[

ψ∈K (G/H;C)

= u−1 h

[

u−1 hIm(P U,βG,βH (ψ))i =

Im(P U,βG ,βH (ψ))i,

ψ∈K (G/H;C)

ezért a bal oldalon álló halmaz lineáris burka sűrű H -ban, mivel az u−1 : H U,βG ,βH → H lineáris operátor homeomorfizmus, és az [

Im(P U,βG,βH (ψ))

ψ∈K (G/H;C)

halmaz lineáris burka sűrű a H U,βG ,βH Hilbert-térben.  309

10.6.

Az indukálhatóság elégséges feltétele – Mackey-féle imprimitivitás-tétel

Be fogjuk bizonyítani, hogy az indukálhatóság imént megfogalmazott szükséges feltétele elégséges is, sőt még valamivel gyengébb feltétel is elégséges az indukálhatósághoz; ez a Mackey-féle imprimitivitás-tétel. Ennek bizonyításához két lemmára lesz szükségünk. 10.6.1. Lemma. (Sűrűségi lemma) Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben, és βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett. Tegyük fel, hogy M ⊆ H U olyan lineáris altér, amely minden s ∈ G és ψ ∈ K (G/H; C) esetén invariáns a V U (s) és P U (ψ) lineáris operátorokra nézve (vagyis V U (s)hMi ⊆ M és P U (ψ)hMi ⊆ M). Ha az {f (eG )|f ∈ M} halmaz sűrű F -ben, akkor M sűrű a H U,βG ,βH Hilbert-téren. Bizonyítás. Először a Bruhat-lemma (9.5.1.) alapján rögzítünk olyan ρ : G → R+ ∆H (t) folytonos függvényt, amelyre minden s ∈ G és t ∈ H esetén ρ(st) = ρ(s). Legyen ∆G (t) f ∈ H U rögzített függvény, és K ⊆ G olyan kompakt halmaz, hogy supp(f ) ⊆ KH. Jelöljön Ω tetszőleges olyan relatív kompakt nyílt halmazt G-ben, amelyre K ⊆ Ω. Ekkor πG/H hΩi szintén relatív kompakt nyílt halmaz G/H-ban, és πG/H hKi kompakt halmaz G/H-ban, valamint πG/H hKi ⊆ πG/H hΩi. Legyen ψ ∈ K+ (G/H) olyan függvény, amelyre πG/H hΩi ⊆ [ψ = 1] és vegyünk olyan ϕ ∈ K+ (G) függvényt, hogy ψ = ϕ♭ . Tehát az Ω halmazt és a ϕ, ψ függvényeket az f -től függően választottuk meg, míg a ρ függvény még f -től függetlenül is kijelölhető. Legyen most ε ∈ R+ tetszőleges. Megmutatjuk, hogy s ∈ G esetén van olyan g ∈ M, hogy kf (s) − g(s)kF < ε. Valóban, a hipotézis szerint a {g ′(eG )|g ′ ∈ M} halmaz sűrű az F Hilbert-térben, ezért van olyan g ′ ∈ M, hogy kf (s) − g ′ (eG )kF < ε; ekkor g := g ′ ◦ γG (s−1 ) ∈ M és g(s) = g ′ (eG ), tehát kf (s) − g(s)kF < ε. (Itt használtuk ki azt, hogy az M altér V U -invariáns.) Válasszunk ki olyan (fs )s∈G rendszert, hogy minden G ∋ s-re fs ∈ M és kf (s)−fs (s)kF < ε. Minden s ∈ G esetén legyen Ωs := Ω ∩ {s′ ∈ G|kf (s′) − fs (s′ )kF < ε}. Világos, hogy minden s ∈ K esetén Ωs nyílt környezete s-nek, így a K kompaktsága S miatt létezik olyan S ⊆ K véges halmaz, amelyre K ⊆ Ωs . Ekkor a πG/H hΩs i s∈S s∈S

halmazrendszer minden tagja nyílt részhalmaza G/H-nak és πG/H hKi ⊆

S

s∈S

πG/H hΩs i.

Legyen (ψs )s∈S egy πG/H hΩs i s∈S -nek alárendelt egységosztás, tehát minden S ∋ sre ψs ∈ K (G/H; R) olyan, hogy 0 ≤ ψs ≤ 1, supp(ψs ) ⊆ πG/H hΩs i, πG/H hKi ⊆ 310

"

X

s∈S

#

ψs = 1 és

X

s∈S

ψs ≤ 1 a G/H halmazon mindenütt. X

Tekintsük most a X

s∈S

s∈S

(ψs ◦ πG/H ).fs függvényt, ami eleme M-nek, mert egyenlő a

P U (ψs )fs függvénnyel, és minden S ∋ s-re fs ∈ M és P U (ψs )hMi ⊆ M, valamint M

lineáris altér H U -ban. (Itt használtuk ki azt, hogy az M altér P U -invariáns.) Igazolni fogjuk olyan C ∈ R+ létezését, amely csak f -től és ρ-tól függ, és teljesíti a



f

egyenlőtlenséget.

−

X

(ψs

s∈S



◦ πG/H ).fs

βG ,βH

≤ Cε

Először megmutatjuk, hogy minden s ∈ S és s′ ∈ G esetén ψs (πG/H (s′ ))kf (s′ ) − fs (s′ )kF ≤ εr ρ(s′ )ψs (πG/H (s′ )), 1 . Legyenek s ∈ S és s′ ∈ G rögzítettek. Ha πG/H (s′ ) ∈ / πG/H hΩs i, ′′ ρ(s ) s′′ ∈Ω akkor supp(ψs ) ⊆ πG/H hΩs i miatt az egyenlőtlenség mindkét oldalán 0 áll. Tegyük fel,

ahol r := sup

−1

hogy πG/H (s′ ) ∈ πG/H hΩs i, tehát s′ ∈ π G/H hπG/H hΩs ii = Ωs H. Legyenek s′′ ∈ Ωs és t ∈ H olyanok, hogy s′ = s′′ t. Ekkor

= =





kf (s′) − fs (s′ )kF = kf (s′′ t) − fs (s′′ t)kF = 1/2

∆H (t) ∆G (t)

∆H (t) ∆G (t)

′′

1/2

kf (s′′) − fs (s′′ )kF = =

1/2

∆H (t) U(t) f (s ) − ∆G (t) −1

ρ(s′ ) ρ(s′′ )

−1

U(t) fs (s

′′



)

=

F

ρ(s′′ t) ρ(s′′ )

1/2

kf (s′′ ) − fs (s′′ )kF =

1/2

kf (s′′ ) − fs (s′′ )kF .

De s′′ ∈ Ωs , ezért kf (s′′ ) − fs (s′′ )kF < ε, továbbá az r szám definíciója szerint 1/2 1 ≤ r, így kf (s′ ) − fs (s′ )kF ≤ εr ρ(s′ ), amit szorozva a ψs (πG/H (s′ )) ∈ R+ ρ(s′′ ) számmal kapjuk a bizonyítandó egyenlőtlenséget. Kihasználva azt, hogy

X

s∈S

X

s∈S

ψs ≤ 1 a G/H halmazon mindenütt, az előzőek alapján a

(ψs ◦ πG/H ).kf − fs kF ≤ εrρ1/2 311

X

s∈S

(ψs ◦ πG/H ) ≤ εrρ1/2

függvény-egyenlőtlenségre jutunk. Ugyanakkor πG/H hKi⊆ KH miatt

X

s∈S

"

s∈S

(ψs ◦ πG/H ).f = f , így fennállnak a



f

−

X

(ψs

s∈S

2

◦ πG/H ).fs

=

F

≤

összefüggések.

X

s∈S

X

(ψs

s∈S

X

◦ πG/H ).(f

(ψs ◦ πG/H ).kf − fs kF

!2

#

ψs = 1 , ezért supp(f ) ⊆

2

− fs )

F

≤

≤ ε2 r 2 ρ

Megmutatjuk, hogy *

πG/H supp f −

X

s∈S

(ψs ◦ πG/H ).fs

!+

⊆ πG/H hΩi ⊆ [ϕ♭ = 1].

Valóban, azt tudjuk, hogy supp(f ) ⊆ KH, ezért πG/H hsupp(f )i ⊆ πG/H hKHi = πG/H hKi ⊆ πG/H hΩi. −1

Ha s ∈ G, akkor [(ψs ◦ πG/H ).fs 6= 0] ⊆ π G/H hsupp(ψs )i, következésképpen πG/H hsupp((ψs ◦ πG/H ).fs )i ⊆ supp(ψs ) ⊆ πG/H hΩs i ⊆ πG/H hΩi. Ezért

*

πG/H supp f − *

⊆ πG/H supp(f ) ∪ amint azt állítottuk.

[

s∈S

X

s∈S

(ψs ◦ πG/H ).fs

!+

⊆ +

πG/H hsupp((ψs ◦ πG/H ).fs )i ⊆ πG/H hΩi,

A bizonyítás utolsó lépéseként hivatkozunk a Mackey-féle skalárszorzás kiszámításának ismert módszerére, amely szerint fennáll a



f

−

X

s∈S

(ψs

2

◦ πG/H ).fs

βG ,βH

=

Z

G



ϕ.

f

−

X

s∈S

(ψs

2

◦ πG/H ).fs

dβG

F

egyenlőség. Ide behelyettesítve az integrandusra származtatott egyenlőséget kapjuk, hogy



f

−

X

s∈S

(ψs

2

◦ πG/H ).fs

βG ,βH

312

≤ ε2 r 2 βG (ϕρ).

Tehát a C := r βG (ϕρ) ∈ R+ szám kizárólag f -től és ρ-tól függ, és



f

−

X

(ψs

s∈S



◦ πG/H ).fs

βG ,βH

≤ Cε.

Ez azt jelenti, hogy az f ∈ H U függvény approximálható M elemeivel a (βG , βH ) pár által generált Mackey-féle skalárszorzás szerint, vagyis M sűrű a H U,βG,βH Hilberttérben.  10.6.2. Lemma. Legyen G lokálisan kompakt csoport, V folytonos unitér ábrázolása Gnek a H Hilbert-térben, és H ⊆ G zárt részcsoport. Legyen P : K (G/H; C) → L (H ) olyan lineáris operátor, amely folytonos, ha K (G/H; C) felett a sup-normát és L (H ) felett az operátornormát vesszük normaként. Legyen βG (illetve βH ) baloldali Haarmérték G (illetve H) felett. Ha ξ, η∈H , akkor minden f ∈K (G × G; C) esetén a G → C;

s 7→ (P (f (·, s)♭)V (s)ξ|η)

függvény folytonos és kompakt tartójú, továbbá a θξ,η : K (G × G; C) → C;

f 7→

Z

(P (f (·, s)♭)V (s)ξ|η) dβG (s)

G

leképezés olyan Radon-mérték G × G felett, hogy minden ϕ, ψ ∈ K (G; C) esetén θξ,η (ϕ ⊗ ψ) = (P (ϕ♭ )VβG (ψ)ξ|η). Bizonyítás. Legyenek ξ, η ∈ H és f ∈ K (G × G; C). Jelölje továbbá h a G → C;

s 7→ (P (f (·, s)♭)V (s)ξ|η)

függvényt, amelynek a kompakt tartójúságát és folytonosságát kell igazolni. Rögzítsünk olyan K ⊆ G kompakt halmazt, amelyre supp(f ) ⊆ K × K, és legyen ϕ ∈ K+ (G) olyan függvény, hogy K ⊆ [ϕ = 1]. Ha s∈G \ K, akkor f (·, s) = 0, ezért h(s) := (P (f (·, s)♭)V (s)ξ|η) = 0, tehát [h 6= 0] ⊆ K, vagyis h kompakt tartójú.

A h függvény folytonosságának bizonyításához legyen s0 ∈ G rögzített és ε′ ∈ R+ tetszőleges. A paraméteres függvények folytonossági tétele (3. pont) alapján létezik s0 nak olyan W1 környezete, hogy minden s ∈ W1 és s′ ∈ K esetén |f (s′ , s) − f (s′ , s0 )| ≤ ε′ . Ekkor minden s ∈ W1 és s′ ∈ G esetén |f (s′, s)−f (s′ , s0 )| ≤ ε′ ϕ(s′ ), hiszen ha s′ ∈ G\K, akkor az egyenlőtlenség bal oldalán 0 áll, ugyanakkor, ha s′ ∈ K, akkor ϕ(s′ ) = 1. Ha s ∈ W1 , akkor minden G ∋ s′ -re |f (·, s)♭(πG/H (s′ )) − f (·, s0)♭ (πG/H (s′ ))| = 313

= ≤

Z

H

Z H

f (s′t, s) dβH (t) −

|f (s′ t, s) − f (s′ t, s0 )|dβH (t) ≤

Z

f (s′ t, s0 )

H

Z

dβH (t)

≤

ε′ ϕ(s′ t) dβH (t) = ε′ ϕ♭ (πG/H (s′ )).

H

Tehát minden s ∈ W1 esetén 9f (·, s)♭ − f (·, s0 )♭ 9G/H ≤ ε′ 9 ϕ♭ 9G/H , következésképpen kP (f (·, s)♭) − P (f (·, s0)♭ )k ≤ kP k · 9f (·, s)♭ − f (·, s0)♭ 9G/H ≤ kP kε′ 9 ϕ♭ 9G/H . A V unitér ábrázolás folytonossága miatt létezik s0 -nak olyan W2 környezete, hogy minden s ∈ W2 esetén kV (s)ξ − V (s0 )ξk ≤ ε′ . Ekkor W (ε′ ) := W1 ∩ W2 olyan környezete s0 -nak, hogy minden W (ε′) ∋ s-re |h(s) − h(s0 )| := |(P (f (·, s)♭)V (s)ξ|η) − (P (f (·, s0)♭ )V (s0 )ξ|η)| ≤ = kP (f (·, s)♭)(V (s)ξ) − P (f (·, s0)♭ )(V (s0 )ξ)kkηk ≤ = k(P (f (·, s)♭)−P (f (·, s0)♭ ))(V (s0 )ξ)kkηk+ +kP (f (·, s0)♭ )(V (s)ξ − V (s0 )ξ)kkηk+

+k(P (f (·, s)♭) − P (f (·, s0)♭ ))(V (s)ξ − V (s0 )ξ)kkηk ≤

≤ kP (f (·, s)♭) − P (f (·, s0)♭ kkξkkηk + kP (f (·, s0)♭ )kkV (s)ξ − V (s0 )ξkkηk+ +kP (f (·, s)♭) − P (f (·, s0)♭ )kkV (s)ξ − V (s0 )ξkkηk ≤

≤ kP kε′ 9 ϕ♭ 9G/H kξkkηk + kP (f (·, s0)♭ )kε′kηk + kP kε′ 9 ϕ♭ 9G/H ε′ |ηk = = ε′ kηk kP k 9 ϕ♭ 9G/H kξk + kP (f (·, s0)♭ )k + ε′kP k 9 ϕ♭ 9G/H .

Tehát, ha ε ∈ R+ tetszőleges, és az ε′ ∈ R+ számot úgy választjuk meg, hogy ε′ kηk kP k 9 ϕ♭ 9G/H kξk + kP (f (·, s0)♭ )k + ε′ kP k 9 ϕ♭ 9G/H < ε, akkor minden W (ε′ ) ∋ s-re |h(s) − h(s0 )| < ε, tehát h folytonos az s0 pontban.

Tehát ξ, η ∈ H esetén jól értelmezett a θξ,η : K (G × G; C) → C;

f 7→

Z

(P (f (·, s)♭)V (s)ξ|η) dβG (s)

G

leképezés, amely nyilvánvalóan lineáris funkcionál. (Világos, hogy az előzőek alapján itt nem valódi integrálról van szó.) Állítjuk, hogy ez Radon-mérték a G × G lokálisan 314

kompakt szorzattér felett. Ennek bizonyításához legyen L ⊆ G × G kompakt halmaz; ekkor olyan C ∈ R+ számot keresünk, amelyre minden f ∈ K (G × G; C) esetén, ha supp(f ) ⊆ L, akkor |θξ,η (f )| ≤ C 9 f 9G×G . Ehhez vegyünk olyan K ⊆ G kompakt halmazt, hogy L ⊆ K × K, és legyen ϕ ∈ K+ (G) olyan, hogy K ⊆ [ϕ = 1]. Legyen f ∈ K (G × G; C) olyan, hogy supp(f ) ⊆ L. Ha s1 , s2 ∈ G, akkor nyilvánvalóan |f (s1 , s2 )| ≤ 9f 9G×G ϕ(s1 )ϕ(s2 ), ezért bármely s, s′ ∈ G esetén ♭

′

|f (·, s) (πG/H (s ))| = ≤

Z

Z G

′

f (s t, s)

dβH (t)

≤

Z

G

|f (s′t, s)|dβH (t) ≤

9f 9G×G ϕ(s)ϕ(s′ t) dβH (t) = 9f 9G×G ϕ(s)ϕ♭ (πG/H (s′ )),

G

amiből következik, hogy 9f (·, s)♭ 9G/H ≤ 9f 9G×G ϕ(s) 9 ϕ♭ 9G/H . Ebből kapjuk, hogy minden G ∋ s-re |(P (f (·, s)♭)V (s)ξ|η)| ≤ kP k · 9f (·, s)♭ 9G/H kξkkηk ≤ következésképpen

≤ kP kkξkkηk 9 ϕ♭ 9G/H 9f 9G×G ϕ(s),

|θξ,η (f )| =

Z G

(P (f (·, s)♭)V (s)ξ|η)

dβG (s)

≤

≤ kP kkξkkηk 9 ϕ♭ 9G/H 9f 9G×G βG (ϕ).

Tehát az L kompakt halmazhoz a C := kP kkξkkηk 9 ϕ♭ 9G/H βG (ϕ) ∈ R+ szám olyan, hogy minden K (G × G; C) ∋ f -re, ha supp(f ) ⊆ L, akkor |θξ,η (f )| ≤ C 9 f 9G×G . Ezért θξ,η Radon-mérték G × G felett. Végül, ha ϕ, ψ ∈ K (G; C), akkor s ∈ G esetén (ϕ ⊗ ψ)(·, s)♭ = (ψ(s)ϕ)♭ = ψ(s)ϕ♭ , ezért θξ,η (ϕ ⊗ ψ) := =

Z

G

Z

G

(P ((ϕ ⊗ ψ)(·, s)♭ )V (s)ξ|η) dβG (s) =

ψ(s)(P (ϕ♭ )V (s)ξ|η) dβG (s) =

Z

ψ(s)(V (s)ξ|P (ϕ♭)∗ η) dβG (s) =:

G

=: VβG (ψ)ξ P (ϕ♭ )∗ η = P (ϕ♭ )VβG (ψ)ξ η , tehát a θξ,η Radon-mérték rendelkezik a megfogalmazott tulajdonsággal. 

315

10.6.3. Állítás. (Az indukálhatóság elégséges feltétele) Legyen G lokálisan kompakt csoport és V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben. Ha H ⊆ G olyan zárt részcsoport, amelyhez létezik olyan P : K (G/H; C) → L (H ) sup-normában folytonos nemelfajult ábrázolás, hogy minden s ∈ G és ψ ∈ K (G/H; C) esetén V (s) ◦ P (ψ) ◦ V (s−1 ) = P (ψ ◦ γG/H (s−1 )) teljesül, akkor létezik olyan U folytonos unitér ábrázolása H-nak, hogy minden G (illetve H) feletti βG (illetve βH ) baloldali Haar-mértékre V unitér ekvivalens a V U,βG ,βH indukált unitér ábrázolással. Bizonyítás. (I) A bizonyítás során a H Hilbert-tér skalárszorzását (illetve normáját) (·|·) (illetve k · k) fogja jelölni. Továbbá D-vel jelöljük a { P (ψ)VβG (ϕ)ξ | (ψ ∈ K (G/H; C)) ∧ (ϕ ∈ K (G; C)) ∧ (ξ ∈ H ) } halmaz lineáris burkát H -ban, ahol βG rögzített baloldali Haar-mérték G felett. A P multiplikativitása miatt minden ψ ∈ K (G/H; C) esetén P (ψ)hDi ⊆ D, továbbá D a H -nak V -invariáns altere, mert ha s ∈ G, ψ ∈ K (G/H; C), ϕ ∈ K (G; C) és ξ ∈ H , akkor a P -re és V -re megkövetelt imprimitivitás-egyenlőség szerint V (s) (P (ψ)VβG (ϕ)ξ) = P (ψ ◦ γG/H (s−1 )) VβG (ϕ ◦ γG (s−1 ))ξ ∈ D, ahol felhasználtuk azt, hogy V (s) ◦ VβG (ϕ) = VβG (ϕ ◦ γG (s−1 )). A D ⊆ H lineáris altér nem szükségképpen zárt. Megmutatjuk, hogy D sűrű a H Hilbert-térben. Legyen η ∈ D ⊥ tetszőleges. Ekkor ψ ∈ K (G/H; C) esetén minden K (G; C) ∋ ϕ-re és H ∋ ξ-re 0 = (P (ψ)VβG (ϕ)ξ|η) = (VβG (ϕ)ξ|P (ψ)∗η), tehát P (ψ)∗ η ortogonális a { VβG (ϕ)ξ | (ϕ ∈ K (G; C)) ∧ (ξ ∈ H ) } halmazra, amelynek lineáris burka sűrű H -ban, mert VβG nemelfajult ábrázolás. Ezért minden ψ ∈ K (G/H; C) esetén η ∈ Ker(P (ψ)∗ ) = (Im(P (ψ)))⊥ , ami azt jelenti, hogy S η ortogonális az Im(P (ψ)) halmazra, így η = 0, hiszen a feltevés alapján P is nemelfajult.

ψ∈K (G/H;C)

Megmutatjuk, hogy minden D ∋ ξ-hez van olyan ψ ∈ K (G/H; C), hogy P (ψ)ξ = ξ. Valóban, a D definíciója alapján létezik olyan (ψi )i∈I véges rendszer K (G/H; C)ben X és olyan (ϕi )i∈I rendszer K (G; C)-ben és olyan (ξi )i∈I rendszer H -ban, hogy S ξ= P (ψi )VβG (ϕi )ξi . Ekkor supp(ψi ) kompakt halmaz G/H-ban, tehát van olyan i∈I

i∈I

316

ψ ∈ K+ (G/H), hogy

S

i∈I

supp(ψi ) ⊆ [ψ=1]. Ekkor minden i ∈ I esetén ψψi = ψi , ezért

a P multiplikativitása folytán P (ψ)ξ =

X

P (ψ)P (ψi )VβG (ϕi )ξi =

i∈I

X

P (ψψi )VβG (ϕi )ξi =

i∈I

X

P (ψi )VβG (ϕi )ξi = ξ.

i∈I

(II) Ettől kezdve rögzítünk egy βH baloldali Haar-mértéket H felett. Minden H ∋ ξ, ηra a (P (·)ξ|η) : K (G/H; C) → C leképezés sup-normában folytonos lineáris funkcionál, tehát (korlátos) Radon-mérték G/H felett. Minden ξ, η ∈ H esetén legyen µξ,η := (P (·)ξ|η)♯, vagyis µξ,η az a G feletti Radon-mérték, amelyre minden ϕ ∈ K (G; C) függvény esetén µξ,η (ϕ) = (P (ϕ♭ )ξ|η) (ahol a ♭ és a ♯ operációkat a rögzített βH Radon-mértékre vonatkoztatjuk). Tehát, ha ξ, η ∈ H , akkor a G feletti µξ,η Radon-mérték faktorizálható βH szerint és µξ,η /βH = (P (·)ξ|η). A mértékfaktorizációra, az ábrázolásokra és a skalárszorzásokra vonatkozó ismeretek alapján könnyen igazolhatóak a H × H → M (G; C);

(ξ, η) 7→ µξ,η

leképezés következő tulajdonságai. a) Minden ξ1 , ξ2 , η ∈ H esetén µξ1 +ξ2 ,η = µξ1 ,η + µξ2 ,η . b) Minden ξ, η ∈ H és λ ∈ C esetén µλξ,η = λµξ,η . c) Minden ξ, η ∈ H esetén µξ,η = µη,ξ .

d) Minden ξ ∈ H esetén µξ,ξ pozitív Radon-mérték.

e) Minden ξ, η ∈ H és t ∈ H esetén δG (t)µξ,η = ∆H (t)µξ,η .

f) Minden ξ, η ∈ H és s ∈ G esetén µV (s)ξ,V (s)η = γG (s)µξ,η . g) Minden ξ1 , ξ2 ∈ H és ψ1 , ψ2 ∈ K (G/H; C) esetén

µP (ψ1 )ξ1 ,P (ψ2 )ξ2 = (ψ1 ◦ πG/H )(ψ2 ◦ πG/H ).µξ1 ,ξ2 . h) Minden ξ, η ∈ H és ψ ∈ K (G/H; C) esetén µP (ψ)ξ,η = (ψ ◦ πG/H ).µξ,η .

(III) Megmutatjuk, hogy minden ξ1 , ξ2 ∈ H és ϕ1 , ϕ2 ∈ K (G; C) esetén létezik egyetlen olyan h ∈ C (G; C), hogy µVβG (ϕ1 )ξ1 ,VβG (ϕ2 )ξ2 = h.βG . Ehhez rögzítsük a ξ1 , ξ2 ∈ H és ϕ1 , ϕ2 ∈ K (G; C) objektumokat, és az előző lemma alkalmazásával készítsük el a θξ1 ,ξ2 : K (G × G; C) → C;

f 7→

Z

G

317

(P (f (·, s)♭)V (s)ξ1 |ξ2) dβG (s)

Radon-mértéket G × G felett, valamint ennek felhasználásával értelmezzük a h : G → C;

s 7→

Z

−1 −1 ϕ1 (ss−1 1 s2 )ϕ2 (ss1 )∆G (s1 ) dθξ1 ,ξ2 (s1 , s2 )

G×G

függvényt. A h definíciójában szereplő integrandus eleme K (G × G; C)-nek, tehát itt semmiféle valódi integrálról nincs szó. Ha ϕ ∈ K (G; C), akkor µVβG (ϕ1 )ξ1 ,VβG (ϕ2 )ξ2 (ϕ) = (P (ϕ♭ )VβG (ϕ1 )ξ1 |VβG (ϕ2 )ξ2 ) =

Z

= (P (ϕ♭ )VβG (ϕ1 )ξ1 |V (s)ξ2 )ϕ2 (s) dβG (s)= G

=

(P (ϕ♭ ◦ γG/H (s))V (s−1 )VβG (ϕ1 )ξ1 |ξ2)ϕ2 (s) dβG (s) =

=

Z

(P (ϕ♭ ◦ γG/H (s))VβG (ϕ1 ◦ γG (s))ξ1|ξ2 )ϕ2 (s) dβG (s) =

G

Z

Z

G

G×G

=

Z

Z

1

G×G

=

G×G 2

=

Z

G×G 3

=

Z

Z

G

ϕ2 (s) dβG (s) =

1

ϕ(ss1 )ϕ1 (ss2 ) dθξ1 ,ξ2 (s1 , s2 )

ϕ2 (s) dβG (s) =

ϕ(ss1 )ϕ1 (ss2 )ϕ2 (s) dβG (s)

dθξ1 ,ξ2 (s1 , s2 ) =

G×G

= Z

(ϕ ◦ γG (s)) ⊗ (ϕ1 ◦ γG (s)) dθξ1 ,ξ2

Z

G

Z

G

(V (s−1 )P (ϕ♭ )VβG (ϕ1 )ξ1 |ξ2 )ϕ2 (s) dβG (s)=

Z

G

=

Z

Z

G

−1 ϕ(ss1 )ϕ1 ((ss1 )(s−1 1 s2 ))ϕ2 ((ss1 )s1 ) dβG (s)

2

dθξ1 ,ξ2 (s1 , s2 ) =

G

Z

−1 −1 ϕ(s)ϕ1 (ss−1 1 s2 )ϕ2 (ss1 )∆G (s1 ) dβG (s)

3

dθξ1 ,ξ2 (s1 , s2 ) =

G

−1 −1 ϕ1 (ss−1 1 s2 )ϕ2 (ss1 )∆G (s1 ) dθξ1 ,ξ2 (s1 , s2 )

ϕ(s)dβG (s)=

Z

h(s)ϕ(s) dβG (s),

G

G×G

ahol 1

– az = egyenlőségnél az elemi Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a G × (G × G) → C;

(s, (s1 , s2 )) 7→ ϕ(ss1 )ϕ1 (ss2 )ϕ2 (s) 318

kompakt tartójú folytonos függvényre és a βG ⊗ θξ1 ,ξ2 szorzatmértékre; 2

– az = egyenlőségnél felhasználtuk azt, hogy a βG balinvariánciája és a moduláris függvény definíciója alapján minden g ∈ K (G; C) és G ∋ s1 esetén Z

g(ss1) dβG (s) =

Z

g(s)∆G (s−1 1 ) dβG (s);

G

G 3

– az = egyenlőségnél ismét az elemi Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a G × (G × G) → C;

−1 −1 (s, (s1 , s2 )) 7→ ϕ(s)ϕ1 (ss−1 1 s2 )ϕ2 (ss1 )∆G (s1 )

kompakt tartójú folytonos függvényre és a βG ⊗ θξ1 ,ξ2 szorzatmértékre. 3

A = egyenlőség indoklásánál, az elemi Lebesgue–Fubini-tételből következik, hogy a G → C;

s 7→

Z

−1 −1 ϕ1 (ss−1 1 s2 )ϕ2 (ss1 )∆G (s1 ) dθξ1 ,ξ2 (s1 , s2 )

ϕ(s)

G×G

függvény kompakt tartójú és folytonos; ugyanakkor ez éppen a hϕ függvény. Tehát a h : G → C függvényre az elemi Lebesgue–Fubini-tételből kapjuk, hogy minden ϕ ∈ K (G; C) esetén hϕ folytonos függvény, amiből azonnal következik a h folytonossága, mert a G minden pontjának van olyan környezete, amelyhez létezik olyan ϕ ∈ K (G; C), hogy ϕ = 1 ezen a környezeten. Tehát a h függvény folytonos, és látjuk, hogy fennáll a µVβG (ϕ1 )ξ1 ,VβG (ϕ2 )ξ2 = h.βG egyenlőség. A h egyértelműsége abból következik, hogy supp(βG ) = G. (IV) Megmutatjuk, hogy minden ξ, η ∈ D esetén egyértelműen létezik olyan hξ,η ∈ C (G; C), amelyre µξ,η = hξ,η .βG . Valóban, ha ψ1 , ψ2 ∈ K (G/H; C), ϕ1 , ϕ2 ∈ K (G; C) és ξ1 , ξ2 ∈ H , akkor a (III) szerint van olyan h ∈ C (G; C), hogy µVβG (ϕ1 )ξ1 ,VβG (ϕ2 )ξ2 = h.µξ1 ,ξ2 , és akkor a g) alapján µP (ψ1 )VβG (ϕ1 )ξ1 ,P (ψ2 )VβG (ϕ2 )ξ2 = (ψ1 ◦ πG/H )(ψ2 ◦ πG/H )µVβG (ϕ1 )ξ1 ,VβG (ϕ2 )ξ2 = = (ψ1 ◦ πG/H )(ψ2 ◦ πG/H )h .µξ1 ,ξ2 , és természetesen (ψ1 ◦ πG/H )(ψ2 ◦ πG/H )h ∈ C (G; C). A H × H → M (G; C);

(ξ, η) 7→ µξ,η

leképezés a), b) és c) tulajdonságai (vagyis a konjugált bilinearitása) alapján ebből következik, hogy minden ξ, η ∈ D esetén létezik olyan hξ,η ∈ C (G; C), amelyre µξ,η = hξ,η .βG teljesül; továbbá supp(βG ) = G miatt a hξ,η függvény egyértelműen van meghatározva ezzel az egyenlőséggel. 319

A H ×H → M (G; C); (ξ, η) 7→ µξ,η leképezés tulajdonságait kifejező a)-h) állításokból, és a supp(βG ) = G egyenlőségből azonnal kapjuk, hogy az imént bevezetett D × D → M (G; C); (ξ, η) 7→ hξ,η leképezés rendelkezik a következő tulajdonságokkal. a′ ) Minden ξ1 , ξ2, η ∈ D esetén hξ1 +ξ2 ,η = hξ1 ,η + hξ2 ,η .

b′ ) Minden ξ, η ∈ D és λ ∈ C esetén hλξ,η = λhξ,η . c′ ) Minden ξ, η ∈ D esetén hξ,η = hη,ξ .

d′ ) Minden ξ ∈ D esetén hξ,ξ pozitív függvény.

∆H (t) hξ,η (s). ∆G (t) = hξ,η ◦ γG (s−1 ).

e′ ) Minden ξ, η ∈ D és (s, t) ∈ G × H esetén hξ,η (st) = f′ ) Minden ξ, η ∈ D és s ∈ G esetén hV (s)ξ,V (s)η

g′ ) Minden ξ1 , ξ2 ∈ D és ψ1 , ψ2 ∈ K (G/H; C) esetén

hP (ψ1 )ξ1 ,P (ψ2 )ξ2 = (ψ1 ◦ πG/H )(ψ2 ◦ πG/H ).hξ1 ,ξ2 . h′ ) Minden ξ, η ∈ D és ψ ∈ K (G/H; C) esetén hP (ψ)ξ,η = (ψ ◦ πG/H )hξ,η .

(V) Megmutatjuk, hogy minden ξ, η ∈ D esetén a G → C;

s 7→ hV (s)ξ,η (eG )

függvény folytonos. Ehhez elegendő azt igazolni, hogy ha ψ1 , ψ2 ∈ K (G/H; C), ϕ1 , ϕ2 ∈ K (G; C) és ξ1 , ξ2 ∈ H , akkor a g : G → C;

s 7→ hV (s)P (ψ1 )VβG (ϕ1 )ξ1 ,P (ψ2 )VβG (ϕ2 )ξ2 (eG )

függvény folytonos, hiszen minden ξ, η ∈ D esetén a G → C; s 7→ hV (s)ξ,η (eG ) függvény ilyen alakú függvények véges összege. A definíció és a (IV) eredményei szerint minden G ∋ s-re g(s) := hV (s)P (ψ1 )VβG (ϕ1 )ξ1 ,P (ψ2 )VβG (ϕ2 )ξ2 (eG ) = = hP (ψ1 ◦γG/H (s−1 ))VβG (ϕ1 ◦γG (s−1 ))ξ1 ,P (ψ2 )VβG (ϕ2 )ξ2 (eG ) = = (ψ1 ◦ γG/H (s−1 ))(πG/H (eG ))ψ2 (πG/H (eG ))hs (eG ) = = ψ1 (πG/H (s−1 ))ψ2 (πG/H (eG ))hs (eG ),

ahol hs ∈ C (G; C) az a függvény, amelyre µVβG (ϕ1 ◦γG (s−1 ))ξ1 ,VβG (ϕ2 )ξ2 = hs .βG . A (III) eredményei szerint hs (eG ) =

Z

G×G

−1 −1 (ϕ1 ◦ γG/H (s−1 ))(s−1 1 s2 )ϕ2 (s1 )∆G (s1 ) dθξ1 ,ξ2 (s1 , s2 ) =

320

=

Z

−1 −1 ϕ1 (s−1 s−1 1 s2 )ϕ2 (s1 )∆G (s1 ) dθξ1 ,ξ2 (s1 , s2 ).

G×G

Ezért a g folytonosságához elég azt igazolni, hogy a G → C; s 7→ hs (eG ) függvény folytonos. Ehhez a paraméteres integrálfüggvények folytonosságának tételét alkalmazzuk a következő szereposztásban: X := G, Y := Z := G × G, p : G × (G × G) → G × G;

−1 (s, (s1 , s2 )) 7→ (s−1 s−1 1 s2 , s1 ),

és f := ϕ1 ⊗ ϕ2 , valamint θ := (∆−1 ⊗ 1).θξ1 ,ξ2 ∈ M (G × G; C). Világos, hogy ekkor G minden G ∋ s-re Z f (p(s, (s1, s2 ))) dθ(s1 , s2 ), g(s) = G×G

tehát a g folytonosságához elég azt igazolni, hogy minden s0 ∈ G pontnak van olyan W

környezete, hogy az

S

s∈W

−1

p(s, ·)hsupp(ϕ1 ⊗ ϕ2 )i halmaz relatív kompakt G × G-ben. Ez

viszont így van, mert ha s0 ∈ G és W tetszőleges környezete s0 -nak, akkor a p definíciója, valamint supp(ϕ1 ⊗ ϕ2 ) ⊆ supp(ϕ1 ) × supp(ϕ2 ) alapján könnyen ellenőrizhető, hogy [

s∈W

−1

p(s, ·)hsupp(ϕ1 ⊗ ϕ2 )i ⊆ (supp(ϕ2 ))−1 × (supp(ϕ2 ))−1 W supp(ϕ1 ) ,

és ha W kompakt, akkor itt a jobb oldalon a G × G-nek kompakt részhalmaza áll. Tehát a g függvény folytonos. (VI) Értelmezzük most a (·|·)D : D × D → C;

(ξ, η) 7→ hξ,η (eG )

leképezést. Az a′ ), b′ ), c′ ) és d′ ) tulajdonságok alapján a (·|·)D függvény konjugáltbilineáris és pozitív, de általában nem pozitív definit, tehát lehetséges az, hogy ξ 6= 0, de hξ,ξ (eG ) = 0. Ekkor a k · kD : D → R+ ; ξ 7→ (ξ|ξ)

leképezés olyan félnorma D felett, amelyre teljesül a paralelogramma-egyenlőség. A D/Ker(k · kD ) faktortér a k · kD félnorma faktorizáltjával ellátva prehilbert-tér; jelölje F ennek a teljes burkát, valamint az F Hilbert-tér skalárszorzását (illetve normáját) jelölje (·|·)F (illetve k · kF ). Legyen továbbá minden D ∋ ξ-re ξ q a ξ vektor ekvivalenciaosztálya D/Ker(k · kD )-ben. Tehát a u : D → F;

ξ 7→ ξ q

leképezés olyan lineáris operátor, amely megtartja a (·|·)D és (·|·)F skalárszorzásokat, és Im(u) sűrű az F Hilbert-térben (mert egyenlő D/Ker(k · kD )-vel). 321

Ha t ∈ H, akkor ξ, η ∈ D esetén az f′ ) és e′ ) alapján (V (t)ξ|V (t)η)D := hV (t)ξ,V (t)η (eG ) = hξ,η ◦ γG (t−1 ) (eG ) = hξ,η (t−1 ) = ∆H (t−1 ) hξ,η (eG ) =: = ∆G (t−1 )

∆H (t) ∆G (t)

−1

(ξ|η)D ,

∆H (t) 1/2 ami azt jelenti, hogy a V (t)|D : D → D lineáris operátor megtartja a (·|·)D ∆G (t) skalárszorzást. Ebből következik, hogy minden t ∈ H esetén létezik egyetlen olyan U(t) : F → F izometria, amelyre teljesül az, hogy minden ξ ∈ D esetén ∆H (t) ∆G (t)

U(t)ξ q =

1/2

(V (t)ξ) q ,

vagyis fennáll az 1/2

∆H (t) ∆G (t)

U(t) ◦ u =

(u ◦ (V (t)|D )) .

összefüggés. Könnyen látható, hogy minden t, t′ ∈ H esetén U(tt′ ) = U(t) ◦ U(t′ ) és U(eH ) = idF . Ezért U unitér ábrázolása a H csoportnak az F Hilbert-térben. Megmutatjuk, hogy az U unitér ábrázolás folytonos. Ha ξ, η ∈ D, akkor minden t ∈ H esetén (U(t)ξ |η )F = q

q

∆H (t) ∆G (t) :=

1/2

((V (t)ξ) |η )F = q

q

∆H (t) ∆G (t)

1/2

(V (t)ξ|η)D :=

1/2

∆H (t) ∆G (t)

hV (t)ξ,η (eG ),

és (V)-ben igazoltuk, hogy a G → C; s 7→ hV (s)ξ,η (eG ) leképezés folytonos, ezért a H → C;

t 7→ (U(t)ξ q |η q )F

függvény folytonos. Az unitér ábrázolások folytonosságának jellemzése alapján az U unitér ábrázolás folytonos, mert a {ξ q |ξ ∈ D} halmaz sűrű F -ben.

(VII) Minden ξ ∈ D esetén értelmezzük az fξ : G → F ;

s 7→ V (s−1 )ξ

q

leképezést. Megmutatjuk, hogy ha ξ ∈ D, akkor fξ ∈ H U , továbbá minden s ∈ G és ψ ∈ K (G/H; C) esetén fξ ◦ γG (s−1 ) = fV (s)ξ és (ψ ◦ πG/H ).fξ = fP (ψ)ξ . 322

Világos, hogy s ∈ G és t ∈ H esetén −1

−1

fξ (st) = V (t )V (s )ξ

=

q

=

∆H (t) ∆G (t)

1/2

∆H (t) ∆G (t)

U(t−1 ) V (s−1 )ξ

q

=

1/2

U(t−1 )fξ (s),

vagyis az fξ függvényre teljesül a H U függvénytér elemeire megkövetelt egyenlőség. Az fξ függvény folytonosságának bizonyításához megjegyezzük, hogy a definíció szerint fξ = u ◦ (V (·)ξ) ◦ iG . Az iG : G → G inverzió folytonos a G topológiája szerint, és az u : D → F leképezés folytonos a Tk·kD és Tk·kF topológiák szerint. Ha s0 ∈ G rögzített, akkor minden G ∋ s-re a c′ ) és f′ ) alapján kV (s)ξ − V (s0 )ξk2D := hV (s)ξ−V (s0 )ξ,V (s)ξ−V (s0 )ξ (eG ) = = hV (s)ξ,V (s)ξ (eG ) − hV (s)ξ,V (s0 )ξ (eG ) − hV (s0 )ξ,V (s)ξ (eG ) + hV (s0 )ξ,V (s0 )ξ (eG ) = = hξ,ξ (s−1 ) − hV (s)ξ,V (s0 )ξ (eG ) − hV (s)ξ,V (s0 )ξ (eG ) + hξ,ξ (s−1 0 ).

Innen, a G → C; s 7→ hV (s)ξ,V (s0 )ξ (eG ) leképezés (V)-ben igazolt folytonossága alapján kapjuk, hogy a V (·)ξ : G → D függvény folytonos s0 -ban a G topológiája és Tk·kD szerint. Ha s ∈ G és ξ ∈ D, akkor minden G ∋ s1 -re fξ ◦γG (s−1 ) (s1 )=fξ (s−1 s1 ) = V ((s−1 s1 )−1 )ξ

q

= V (s−1 1 )(V (s)ξ)

q

= fV (s)ξ (s1 ),

tehát fξ ◦ γG (s−1 ) = fV (s)ξ .

Legyen ψ ∈ K (G/H; C) és ξ ∈ D. Ha s ∈ G és η ∈ D, akkor a h′ ) alapján fP (ψ)ξ (s)|η q

F

= (V (s−1 )P (ψ)ξ) q |η q

= P (ψ ◦ γG/H (s))V (s−1 )ξ|η

= (P (ψ ◦ γG/H (s))V (s−1 )ξ) q |η q

F

D

=

= hP (ψ◦γG/H (s))V (s−1 )ξ,η (eG ) =

= (ψ ◦ γG/H (s))(πG/H (eG ))hV (s−1 )ξ,η (eG ) = ψ(πG/H (s)) V (s−1 )ξ|η = ψ(πG/H (s)) (V (s−1 )ξ) q |η q

F

F

= ψ(πG/H (s)).fξ (s)|η q

F

D

=

.

Ebből következik, hogy s ∈ G esetén fP (ψ)ξ (s) = ψ(πG/H (s)).fξ (s), mert az {η q |η ∈ D} halmaz sűrű F -ben. Ezért (ψ ◦ πG/H ).fξ = fP (ψ)ξ .

Még azt kell igazolni, hogy van olyan K ⊆ G kompakt halmaz, amelyre supp(fξ ) ⊆ KH. Ehhez az (I) utolsó megjegyzése alapján veszünk olyan ψ ∈ K (G/H; C) függvényt, hogy P (ψ)ξ = ξ. A supp(ψ) ⊆ G/H kompakt halmazhoz legyen K ⊆ G olyan kompakt halmaz, hogy πG/H hKi = supp(ψ). Ekkor fξ = fP (ψ)ξ = (ψ ◦ πG/H ).fξ , tehát 323

−1

[fξ 6= 0] ⊆ πG/H hπG/H hKii = KH, tehát supp(fξ ) ⊆ KH, mivel KH zárt G-ben.

(VIII) A bizonyítás utolsó lépéseként megmutatjuk, hogy az (U, βG , βH ) hármas által indukált unitér ábrázolás unitér ekvivalens V -vel. Sőt, olyan w : H → H U,βG,βH unitér operátor létezését fogjuk igazolni, amelyre minden s ∈ G és ψ ∈ K (G/H; C) esetén V U,βG ,βH (s) ◦ w = w ◦ V (s), P U,βG ,βH (ψ) ◦ w = w ◦ P (ψ)

teljesül (amit úgy fejezünk ki, hogy w összeköti a (V, P ) és (V U,βG ,βH , P U,βG,βH ) imprimitivitás-rendszereket). Először megmutatjuk, hogy ξ ∈ D esetén kfξ kβG ,βH = kξk (ahol k · k a H Hilbert-tér normáját jelöli). Legyen ψ ∈ K (G/H; C) olyan függvény, hogy P (ψ)ξ = ξ, továbbá legyen K ⊆ G olyan kompakt halmaz, amelyre πG/H hKi = supp(ψ). Vegyünk olyan ϕ ∈ K (G; C) függvényt, hogy supp(ψ) ⊆ [ϕ♭ = 1]. Természetesen ekkor P (ϕ♭ )ξ = ξ, mert P multiplikatív, ϕ♭ ψ = ψ és P (ψ)ξ = ξ. Továbbá, az f′ ) alkalmazásával kapjuk, hogy Z Z 2 2 kfξ kβG ,βH = kfξ (s)kF ϕ(s) dβG (s) = kV (s−1 )ξk2D ϕ(s) dβG (s) = =

Z

G

hV (s−1 )ξ,V (s−1 )ξ (eG )ϕ(s) dβG (s)=

G

=

Z

G

Z

G

hξ,ξ (s)ϕ(s) dβG (s)=

G

Z

ϕ d(hξ,ξ .βG )=

G

ϕ dµξ,ξ = µξ,ξ (ϕ) = (P (ϕ♭ )ξ|ξ) = kξk2 .

Tekintsük most a D → H U ; ξ 7→ fξ leképezést, amely nyilvánvalóan lineáris és az előzőek szerint megtartja a (·|·)|D×D és (·|·)βG,βH skalárszorzásokat (ahol (·|·) a H Hilbert-tér skalárszorzása). Az (I)-ben láttuk, hogy a D altér sűrű H -ban, ezért egyértelműen létezik olyan w : H → H U,βG ,βH lineáris izometria, amelyre minden ξ ∈ D esetén w(ξ) = fξ . Ha s ∈ G, ψ ∈ K (G/H; C) és ξ ∈ D, akkor a (VII)-ben igazolt egyenlőségek alapján V U,βG ,βH (s) ◦ w (ξ) = V U (s)fξ = fξ ◦ γG (s−1 ) = w(V (s)ξ) = (w ◦ V (s))(ξ), P U,βG ,βH (ψ) ◦ w (ξ) = P U (ψ)fξ = (ψ ◦ πG/H ).fξ = fP (ψ)ξ = (w ◦ P (ψ))(ξ), így a D altér H -beli sűrűsége miatt w összeköti a (V, P ) és (V U,βG,βH , P U,βG,βH ) imprimitivitás-rendszereket. Azt kell még igazolni, hogy w unitér operátor. Ehhez elég azt belátni, hogy Im(w) sűrű altere H U,βG,βH -nak, hiszen w izometria és H teljes, így Im(w) zárt. Az előző egyenlőségek alapján whDi olyan lineáris altere H U -nak, amely minden s ∈ G és 324

ψ ∈ K (G/H; C) esetén invariáns a V U (s) és P U (ψ) operátorokra nézve. Ezért a sűrűségi lemmából következik, hogy whDi sűrű H U,βG ,βH -ban, ha az {f (eG )|f ∈ whDi} halmaz sűrű F -ben. A definíciók szerint {f (eG )|f ∈ whDi} = {fξ (eG )|ξ ∈ D} = {ξ q |ξ ∈ D}, és az F értelmezése alapján {ξ q |ξ ∈ D} sűrű az F Hilbert-térben.  10.6.4. Tétel. (Mackey-féle imprimitivitás-tétel) Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben. A következő állítások ekvivalensek. a) Létezik H-nak olyan U folytonos unitér ábrázolása és létezik olyan G (illetve H) feletti βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték, amelyre V unitér ekvivalens V U,βG ,βH -val. b) Létezik olyan P : C b (G/H; C) → L (H ) egységelem-tartó ábrázolás, amelyre minden s ∈ G és ψ ∈ C b (G/H; C) esetén V (s) ◦ P (ψ) ◦ V (s−1 ) = P (ψ ◦ γG/H (s−1 )) teljesül, és a P leszűkítése K (G/H; C)-re nemelfajult ábrázolás. c) Létezik olyan P : K (G/H; C) → L (H ) nemelfajult ábrázolás, hogy minden s ∈ G és ψ ∈ K (G/H; C) esetén V (s) ◦ P (ψ) ◦ V (s−1 ) = P (ψ ◦ γG/H (s−1 )). d) Létezik olyan P : K (G/H; C) → L (H ) sup-normában folytonos nemelfajult ábrázolás, hogy minden s ∈ G és ψ ∈ K (G/H; C) esetén V (s) ◦ P (ψ) ◦ V (s−1 ) = P (ψ ◦ γG/H (s−1 )). Bizonyítás. a)⇒b) A b) állítás az indukálhatóság szükséges feltétele. b)⇒c) Ha P olyan függvény, amelyre a b) feltételei teljesülnek, akkor a P leszűkítése K (G/H; C)-re olyan leképezés, amelyre teljesülnek a c) feltételei. c)⇒d) Ha P olyan függvény, amelyre a c) feltételei teljesülnek, akkor a P leszűkítése K (G/H; C)-re olyan leképezés, amelyre teljesülnek a d) feltételei, mert C ∗ -algebrák közötti *-algebra-morfizmus folytonos a C ∗ -normák szerint. d)⇒a) A d) állítás az indukálhatóság elégséges feltétele. 

10.7.

Az indukálás tranzitivitása

325

Megállapodunk abban, hogy ebben a pontban a következő jelölést alkalmazzuk: ha G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport és U unitér ábrázolása H-nak, akkor HGU := V U ,

VGU := V U ,

PGU := P U ,

és ha βG baloldali Haar-mérték G felett, valamint βH baloldali Haar-mérték H felett, akkor VGU,βG ,βH := V U,βG ,βH ,

HGU,βG,βH := H U,βG ,βH ,

U,βG ,βH := P U,βG,βH . PG/H

Tehát az összes eddig értelmezett, indukált unitér ábrázolásokkal kapcsolatos objektum esetében jelölni fogjuk azt a csoportot, illetve homogén teret, amelyhez az objektum tartozik. Habár szintaktikai szempontból ez a konvenció felesleges, szemantikai okból ehhez tartjuk magunkat. 10.7.1. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, L ⊆ G zárt részcsoport, H ⊆ L zárt részcsoport és U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben. a) Létezik egyetlen olyan W : HGU → F (G; HLU )

függvény, amelyre teljesül az, hogy minden f ∈ HGU , s ∈ G és τ ∈ L esetén ∆G (τ ) ∆L (τ )

((W f )(s))(τ ) =

1/2

f (sτ ).

Ez a W leképezés lineáris operátor. b) Ha f ∈ HGU , akkor minden s ∈ G és τ ∈ L esetén (W f )(sτ ) =

∆L (τ ) ∆G (τ )

1/2

VLU (τ )−1 ((W f )(s)).

c) Ha f ∈ HGU és K ⊆ G olyan kompakt halmaz, hogy supp(f ) ⊆ KH, akkor supp(W f ) ⊆ KL.

d) Ha βL baloldali Haar-mérték L felett és βH baloldali Haar-mérték H felett, akkor minden f ∈ HGU esetén a W f : G → HLU

függvény folytonos a HLU feletti, (·|·)βL,βH Mackey-féle skalárszorzás szerint, tehát W f ∈ V

U,βL ,βH

HG L

.

e) Ha βG baloldali Haar-mérték G felett, βL baloldali Haar-mérték L felett és βH baloldali V

U,βL ,βH

Haar-mérték H felett, akkor a W : HGU → HG L lineáris operátor olyan, hogy minden s ∈ G elemre U,βL ,βH V (s) ◦ W = W ◦ VGU (s). VG L 326

Bizonyítás. a) Azt kell igazolni, hogy rögzített f ∈ HGU és s ∈ G esetén a Φ : L → F;

∆G (τ ) ∆L (τ )

τ 7→

1/2

f (sτ )

függvény eleme HLU -nak. A Φ folytonossága következik a ∆G ∆L

1/2

: L → R+

függvény folytonosságából, a γG (s)|L : L → G függvény folytonosságából, az f : G → F függvény folytonosságából és abból, hogy 1/2

∆G ∆L

Φ :=

f ◦ (γG (s)|L ) .

Ha τ ∈ L és t ∈ H, akkor f ∈ HGU miatt Φ(τ t) :=

∆G (τ t) ∆L (τ t)

1/2

∆H (t) ∆L (t)

1/2

=

∆G (τ ) ∆L (τ )

1/2

∆G (τ ) ∆L (τ )

f (sτ t) =

∆G (t) ∆L (t)

1/2

U(t)−1 f (sτ ) =:

1/2

∆H (t) ∆G (t)

∆H (t) ∆L (t)

1/2

U(t)−1 f (sτ ) =

1/2

U(t)−1 Φ(τ ).

Továbbá, f ∈ HGU miatt vehetünk olyan K ⊆ G kompakt halmazt, hogy supp(f ) ⊆ KH. Legyen τ ∈ [Φ 6= 0] tetszőleges. Ekkor a definíció alapján sτ ∈ [f 6= 0] ⊆ KH, tehát τ ∈ (s−1 KH) ∩ L, így léteznek olyan k ∈ K és t ∈ H elemek, hogy τ = s−1 kt. Ekkor s−1 k = τ t−1 ∈ LH −1 ⊆ L és s−1 k ∈ s−1 K, tehát τ = (s−1 k)t ∈ ((s−1 K) ∩ L)H. Ez azt jelenti, hogy [Φ 6= 0] ⊆ ((s−1 K) ∩ L)H, és (s−1 K) ∩ L kompakt halmaz L-ben is. A W : HGU → F (G; HLU ); f 7→ W f leképezés linearitása nyilvánvaló.

b) Legyen f ∈ HGU , s ∈ G és τ ∈ L. Ekkor a VLU definíciója alapján minden L ∋ τ ′ -re 

VLU (τ ) :=

−1



((W f )(s)) (τ ′ ) = VLU (τ −1 )((W f )(s)) (τ ′ ) := ((W f )(s))(τ τ ′ ) :=

∆G (τ τ ′ ) ∆L (τ τ ′ )

1/2

∆G (τ ) ∆L (τ )

′

f (s(τ τ )) = =:

∆G (τ ) ∆L (τ )

1/2

∆G (τ ′ ) ∆L (τ ′ )

1/2

f ((sτ )τ ′ ) =:

1/2

((W f )(sτ ))(τ ′ ),

amiből következik, hogy (W f )(sτ ) =

∆L (τ ) ∆G (τ )

1/2

VLU (τ ) 327

−1

((W f )(s)).

c) Legyen f ∈ HGU és K ⊆ G olyan kompakt halmaz, hogy supp(f ) ⊆ KH. Ha s ∈ [W f 6= 0], akkor (W f )(s) 6= 0, tehát a (W f )(s) definíciója miatt van olyan τ ∈ L, hogy f (sτ ) 6= 0, így sτ ∈ [f 6= 0] ⊆ KH, következésképpen s ∈ KHτ −1 ⊆ KHL ⊆ KLL ⊆ KL. Ez azt jelenti, hogy [W f 6= 0] ⊆ KL, így a KL zártsága folytán supp(W f ) ⊆ KL.

d) Legyen βL baloldali Haar-mérték L felett, βH baloldali Haar-mérték H felett és f ∈ HGU . A W f : G → HLU függvény k · kβL ,βH normában való folytonosságának bizonyításához legyen K ⊆ G olyan kompakt halmaz, hogy supp(f ) ⊆ KH. Legyen s0 ∈ G rögzítve és N0 kompakt környezete s0 -nak G-ben. Az a) bizonyításában láttuk, hogy minden N0 ∋ s-re supp((W f )(s)) ⊆ (s−1 )K ∩ L)H ⊆ ((N0−1 K) ∩ L)H, ezért supp((W f )(s) − (W f )(s0)) ⊆ ((N0−1 K) ∩ L)H. Az (N0−1 K) ∩ L halmaz kompakt Lben, ezért van olyan ϕ ∈ K+ (L), hogy πL/H h(N0−1 K) ∩ Li ⊆ [ϕ♭ = 1] (9.1.3.). Tehát a Mackey-féle skalárszorzás kiszámításának elve (10.1) alapján minden N0 ∋ s-re

=

Z

L

k(W f )(s) − (W f )(s0 )k2βL,βH = ϕ(τ )k((W f )(s))(τ ) − ((W f )(s0))(τ )k2 dβL (τ ) :=

:=

Z

ϕ(τ )

L

∆G (τ ) kf (sτ ) − f (s0 τ )k2 dβL (τ ). ∆L (τ )

Tekintsük most a Ψ : G × L → R;

(s, τ ) 7→ ϕ(τ )

∆G (τ ) kf (sτ ) − f (s0 τ )k2 ∆L (τ )

függvényt, amely nyilvánvalóan folytonos és supp(Ψ) ⊆ G × supp(ϕ). A supp(ϕ) halmaz kompakt L-ben, így a paraméteres integrálok folytonosságának tétele (4.5.3.) alapján a G → R;

s 7→

Z

Ψ(s, τ ) dβL (τ )

L

függvény a G minden pontjában folytonos, így s0 -ban is folytonos, és természetesen az értéke s0 -ban egyenlő 0-val. EzértZ ε ∈ R+ esetén van olyan N környezete s0 -nak Gben, hogy minden s ∈ N esetén Ψ(s, τ ) dβL (τ ) < ε2 ; ekkor minden s ∈ N ∩ N0 L

esetén k(W f )(s) − (W f )(s0 )kβL,βH < ε teljesül, tehát W f az s0 -ban folytonos, a HLU függvénytér felett a k · kβL ,βH normát véve.

Figyelembe véve a b) és c) pontokban igazolt állításokat, ezzel azt is bebizonyítottuk, V

U,βL ,βH

hogy minden HGU ∋ f -re W f ∈ HG L

.

e) Legyen βG baloldali Haar-mérték G felett, βL baloldali Haar-mérték L felett és βH 328

baloldali Haar-mérték H felett. Ha f ∈ HGU , s, s′ ∈ G és τ ∈ L, akkor a definíciók alapján (W ◦ VGU (s))(f ) (s′ ) (τ ) = W (f ◦ γG (s−1 )) (s′ ) (τ ) := ∆G (τ ) ∆L (τ )

:=

1/2

=: (W f )(s−1s′ ) (τ ) = =:

V

U,βL ,βH

VG L

∆G (τ ) ∆L (τ )

f ◦ γG (s−1 ) (s′ τ ) =

1/2

f (s−1 s′ τ ) =:

(W f ) ◦ γG (s−1 ) (s′ ) (τ ) =:

(s)(W f ) (s′ ) (τ )=

V

U,βL ,βH

VG L

(s) ◦ W (f ) (s′ ) (τ )

teljesül, tehát minden G ∋ s-re fennáll a V

U,βL ,βH

VG L

(s) ◦ W = W ◦ VGU (s). 

10.7.2. Lemma. Ha G topologikus csoport és A, B ⊆ G kompakt halmazok, akkor az { s ∈ G | A ∩ (Bs) 6= ∅ } halmaz kompakt G-ben. Bizonyítás. Értelmezzük a Φ : G × G → G × G;

(t, s) 7→ (t, ts−1 )

leképezést. Ez nyilvánvalóan folytonos, mert az első komponens-függvénye a G × G első projekció-függvénye, ami folytonos, és a második komponens-függvénye a pG ◦ (idG × iG ) függvény, ami szintén folytonos. Továbbá, a Φ függvény bijekció is, és könnyen látható, hogy az inverze a Φ−1 : G × G → G × G; (t, s) 7→ (t, s−1 t) függvény. Az előzőekhez hasonlóan látható, hogy a Φ−1 függvény szintén folytonos, tehát Φ homeomorfizmus. Ugyanakkor A × B kompakt halmaz a G × G topologikus −1

szorzattérben, amiből következik, hogy a ΦhA × Bi halmaz kompakt G × G-ben, így a −1

pr2 h ΦhA × Bii halmaz kompakt G-ben, ahol pr2 a G × G második projekció-függvénye. Könnyen ellenőrizhető, hogy −1

{ s ∈ G | A ∩ (Bs) 6= ∅ } = pr2 h ΦhA × Bii, amivel az állítást igazoltuk. 

329

10.7.3. Tétel. (Az indukálás tranzitivitása) Legyen G lokálisan kompakt csoport, L ⊆ G zárt részcsoport, H ⊆ L zárt részcsoport és U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben. Legyen βG baloldali Haar-mérték G felett, βL baloldali Haar-mérték L V

U,βL ,βH

felett és βH baloldali Haar-mérték H felett. Ekkor a VGU,βG,βH és VG L unitér ábrázolások unitér ekvivalensek.

,βG ,βL

indukált

Bizonyítás. A bizonyítás során W fogja jelölni a 10.7.1. állítás a) pontjában bevezetett V

U,βL ,βH

HGU → HG L

lineáris operátort.

(I) Először megjegyezzük, hogy f ∈ HGU és ψ ∈ K (G/L; C) esetén ψ ◦ πG/L .f ∈ HGU . Valóban, ez a függvény folytonos G → F függvény, és minden G ∋ s-re és H ∋ t-re ψ ◦ πG/L .f (st) = ψ(πG/L (st))f (st) = ∆H (t) 1/2 ∆H (t) 1/2 −1 = ψ(πG/L (s)) U(t) f (s)= U(t)−1 ψ ◦ πG/L .f (s), ∆G (t) ∆G (t) mert t ∈ H ⊆ L, ezért πG/L (st) = πG/L (s). Továbbá, ha K ⊆ G olyan kompakt halmaz, hogy supp(f ) ⊆ KH, akkor supp ψ ◦ πG/L .f ⊆ supp(f ) ⊆ KH. Ez azt jelenti, hogy ψ ◦ πG/L .f ∈ HGU .

(II) Megmutatjuk, hogy minden ψ ∈ K (G/L; C) és f ∈ HGU esetén V

U,βL ,βH

L PG/L

(ψ)(W f ) = W

ψ ◦ πG/L .f .

Valóban, ha s ∈ G és τ ∈ L, akkor V

U,βL ,βH

L PG/L

:= ψ(πG/L (s))

(ψ)(W f ) (s) (τ ) := ψ(πG/L (s))(W f )(s) (τ ) := 1/2

∆G (τ ) ∆L (τ )

(1)

f (sτ ) =

=:

W

∆G (τ ) ∆L (τ )

ψ ◦ πG/L .f

1/2

ψ(πG/L (sτ ))f (sτ ) =:

(s) (τ ),

(1)

ahol a = egyenlőségnél felhasználtuk azt, hogy τ ∈ L miatt πG/L (s) = πG/L (sτ ). V

U,βL ,βH

(III) Most megmutatjuk, hogy a W : HGU → HG L

sűrű

U,βL ,βH

V HG L

lineáris operátor értékkészlete

-ben a (·|·)βG,βL Mackey-féle skalárszorzás szerint. A 10.7.1. állítás e) V

U,βL ,βH

pontja szerint az Im(W ) ⊆ HG L V

U,βL ,βH

lineáris altér VLU,βL,βH -invariáns és az előző be-

L -invariáns is, ezért a sűrűségi-lemma (10.6.1.) alkalmazásával kezdés alapján PG/L elegendő azt igazolni, hogy az

E := { (W f )(eG ) | f ∈

HGU }

:=

(

330

∆G ∆L

1/2

.f |L f ∈

HGU

)

⊆ HLU

V

U,βL ,βH

Hilbert-térben. Ehhez, ismét a sűrűségi lemma (10.6.1.)

halmaz sűrű az HG L

V

U,βL ,βH

alkalmazásával, elegendő azt igazolni, hogy az E ⊆ HG L U PG/L -invariáns és az

lineáris altér VLU -invariáns,

{ g(eL ) | g ∈ E } := { ((W f )(eG )) (eL ) | f ∈ HGU } halmaz sűrű az F Hilbert-térben. Az E altér VLU -invariáns, mert τ ∈ L és τ ′ ∈ L esetén minden HGU ∋ f -re VLU (τ )

∆G ∆L

.f |L ∆G (τ ) ∆L (τ )

= =

1/2

∆G ∆L

1/2

!!

−1/2

∆G (τ ) ∆L (τ )

.

1/2

∆G (τ −1 τ ′ ) ∆L (τ −1 τ ′ )

(τ ′ ) := ∆G (τ ′ ) ∆L (τ ′ )

f (τ −1 τ ′ ) =

1/2

f (τ −1 τ ′ ) =

−1/2

.(f ◦ γG (τ −1 ))

L

(τ ′ ) =

∆G (τ ) −1/2 .(f ◦ γG (τ −1 )) ∈ HGU . teljesül, és természetesen ∆L (τ ) U Az E altér PL/H -invariáns, mert ψ ∈ K (L/H; C) esetén minden HGU ∋ f -re és L ∋ τ -ra U PL/H (ψ)

∆G ∆L

=

∆G ∆L

1/2

.f |L

!!

1/2

(ψ ◦ πL/H ).(f |L ))

∆G (τ ) (τ ) := ψ(πL/H (τ )) ∆L (τ )

!

(τ ) =

∆G ∆L

1/2

f (τ ) =

1/2

ψ ◦ πG/H ).f |L )

!

(τ )

teljesül, és természetesen (ψ ◦ πG/H ).f ∈ HGU . (Itt felhasználtuk azt a nyilvánvaló tényt, hogy H ⊆ L miatt πG/H |L = πL/H .)

A {g(eL )|g ∈ E} halmaz a definíció szerint egyenlő az {f (eG )|f ∈ HGU } halmazzal, amelyről tudjuk, hogy sűrű F -ben (10.3.4.). V

U,βL ,βH

V

U,βL ,βH

Tehát a W : HGU → HG L lineáris operátor értékkészlete sűrű HG L (·|·)βG,βL Mackey-féle skalárszorzás szerint.

-ben a

(IV) Most bebizonyítjuk, hogy a W operátor izometria a HGU tér feletti k · kβG ,βH norma V

U,βL ,βH

és a HG L

tér feletti k · kβG ,βL norma szerint.

Ehhez legyen f ∈ HGU rögzítve és vegyünk egy K ⊆ G kompakt halmazt, amelyre supp(f ) ⊆ KH. 331

A πG/L hKi ⊆ G/L halmaz kompakt, ezért a 9.1.3. szerint vehetünk olyan ϕG ∈ K+ (G) függvényt, hogy πG/L hKi ⊆ [ϕ♭G = 1], ahol ϕ♭G jelöli azt a G/L → R+ függvényt, amelyre minden s ∈ G esetén Z ϕ♭G (πG/L (s)) = ϕG (sτ ) dβL (τ ). L

A supp(ϕG ) halmaz kompakt G-ben, ezért a ((supp(ϕL ))−1 K) ∩ L halmaz kompakt Lben, így a 9.1.3. szerint vehetünk olyan ϕL ∈ K+ (L) függvényt, hogy πL/H h (supp(ϕL ))−1 K ∩ Li ⊆ [ϕ♭L = 1], ahol ϕ♭L jelöli azt az L/H → R+ függvényt, amelyre minden τ ∈ L esetén ϕ♭L (πL/H (τ ))

=

Z

ϕL (τ t) dβH (t).

H

A 10.7.1. állítás c) pontja szerint supp(W f ) ⊆ KL, ezért πG/L hsupp(W f )i ⊆ πG/L hKLi = πG/L hKi ⊆ [ϕ♭G = 1], amiből következik, hogy kW f k2βG,βL =

Z

ϕG (s)k(W f )(s)k2βL,βH dβG (s).

G

Továbbá, minden s ∈ supp(ϕG ) esetén k(W f )(s)k2βG,βL =

Z

ϕL (τ )k ((W f )(s)) (τ )k2 dβL (τ )

L

teljesül, mert a 10.7.1. állítás a) pontja szerint supp((W f )(s)) ⊆ ((s−1 K) ∩ L))H ⊆ (supp(ϕL ))−1 K ∩ L, ezért πL/H hsupp((W f )(s))i ⊆ [ϕ♭G = 1], így elég a Mackey-féle skalárszorzat kiszámításának elvét (10.1) alkalmazni. Ez azt jelenti, hogy minden s ∈ G esetén ϕG (s)k(W f )(s)k2βL,βH

= ϕG (s)

Z

ϕL (τ )k ((W f )(s)) (τ )k2 dβL (τ ),

L

amiből a W operátor definíciójának felhasználásával következik, hogy kW f k2βG ,βL =

Z

G

ϕG (s)

Z

ϕL (τ )k ((W f )(s)) (τ )k2 dβL (τ )

L

332

dβG (s) =

=

Z

ϕG (s)

=

ϕL (τ )

L

G 2

Z

Z

L

∆G (τ ) kf (sτ )k2 dβL (τ ) ∆L (τ ) Z

∆G (τ ) ϕL (τ ) ∆L (τ )

ϕG (s)kf (sτ )k2 dβG (s)

(2)

dβG (s) =

dβL (τ ),

G

(2)

ahol a = egyenlőségnél az elemi Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a G × L → R;

(s, τ ) 7→ ϕG (s)ϕL (τ )

∆G (τ ) kf (sτ )k2 ∆L (τ )

kompakt tartójú folytonos függvényre és a βG ⊗ βL szorzatmértékre. A moduláris függvény definíciója szerint minden L ∋ τ -ra Z

ϕG (s)kf (sτ )k2 dβG (s) = ∆G (τ )−1

Z

ϕG (sτ −1 )kf (s)k2 dβG (s),

G

G

tehát kW f k2βG,βL (3)

=

Z

G

=

Z

Z

ϕL (τ )∆L (τ )

Z

ϕL (τ )ϕG (sτ −1 )∆L (τ )−1 dβL (τ )

−1

ϕG (sτ −1 )kf (s)k2 dβG (s)

(3)

dβL (τ ) =

G

L

L

kf (s)k2 dβG (s),

(3)

ahol a = egyenlőségnél az elemi Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a Ψ : G × L → R;

(s, τ ) 7→ ϕL (τ )ϕG (sτ −1 )∆L (τ )−1 kf (s)k2

kompakt tartójú folytonos függvényre és a βG ⊗βL szorzatmértékre. (Megjegyezzük, hogy a Ψ függvény azért kompakt tartójú, mert ha (s, τ )∈[Ψ6=0], akkor τ ∈ supp(ϕL ) és sτ −1 ∈ supp(ϕG ), tehát τ ∈ (supp(ϕG ))−1 s, következésképpen τ ∈ supp(ϕL ) ∩ ((supp(ϕG ))−1 s), ami azt jelenti, hogy [Ψ 6= 0] ⊆ {s ∈ G|supp(ϕL ) ∩ (supp(ϕG ))−1 s } × supp(ϕL ), és a tétel előtt álló lemma alapján {s ∈ G|supp(ϕL ) ∩ ((supp(ϕG ))−1 s)} kompakt halmaz G-ben.) Most vezessük be a ψ : G → R;

s 7→

Z

ϕL (τ )ϕG (sτ −1 )∆L (τ )−1 dβL (τ )

L

333

függvényt. Ekkor ψ ∈ K+ (G) olyan, hogy kW f k2βG,βL =

Z

ψ(s)kf (s)k2 dβG (s).

G

Megmutatjuk, hogy πG/H hsupp(f )i ⊆ [ψ ♭ = 1], ahol ψ ♭ jelöli azt a G/H → R függvényt amelyre minden s ∈ G esetén ♭

ψ (πG/H (s)) =

Z

ψ(st) dβH (t).

H

Ha ez így volna, akkor f ∈ HGU miatt fennállna az kf k2βG,βH

=

Z

G

ψ(s)kf (s)k2 dβG (s) = kW f k2βG,βL

egyenlőség, vagyis W izometria volna a k · kβG ,βH és k · kβG ,βL normák szerint.

A ψ függvény definíciója szerint minden G ∋ s-re és H ∋ t-re ψ(st) :=

Z

(4)

ϕL (τ )ϕG (stτ −1 )∆L (τ )−1 dβL (τ ) =

L (4)

=

Z

L

(5)

ϕL (τet)ϕG (sτe−1 )∆L (τet)−1 ∆L (t) dβL (τe) =

Z

ϕL (τ t)ϕG (sτ −1 )∆L (τ )−1 dβL (τ ),

L

(4)

ahol a = egyenlőségnél a βL szerinti integrálban végrehajtottuk a τ := τet helyettesítést, (5) és az = egyenlőségnél elvégeztük az egyszerűsítést, és az integrációs változót τe-ról visszacseréltük τ -ra. Tehát, ha s ∈ G, akkor Z

ψ(st) dβH (t) =

Z

H

H (6)

=

Z

Z

ϕL (τ t)ϕG (sτ −1 )∆L (τ )−1 dβL (τ )

L

ϕG (sτ −1 )∆L (τ )−1

L

=

Z

L

Z

ϕL (τ t) dβH (t)

dβL (τ ) =

H

ϕG (sτ −1 )∆L (τ )−1 (ϕ♭L ◦ πL/H )(τ ) dβL (τ ),

(6)

ahol a = egyenlőségnél az elemi Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk az Ξ : L × H → R;

(τ, t) 7→ ϕL (τ t)ϕG (sτ −1 )∆L (τ )−1 334

(6)

dβH (t) =

kompakt tartójú folytonos függvényre és a βL ⊗ βH szorzatmértékre. (Megjegyezzük, hogy a Ξ függvény azért kompakt tartójú, mert ha (τ, t) ∈ [Ξ 6= 0], akkor τ t ∈ supp(ϕL ) és sτ −1 ∈ supp(ϕG ), ezért (τ, t) ∈

(supp(ϕG )−1 s ∩ L ×

s−1 (supp(ϕG ))(supp(ϕL )) ∩ H ,

és itt a jobb oldalon L × H-ban kompakt halmaz áll.)

Ha s ∈ K és τ ∈ L olyanok, hogy sτ −1 ∈ supp(ϕL ), akkor τ ∈ (supp(ϕL ))−1 s ∩ L ⊆ (supp(ϕL ))−1 K ∩L,

tehát πL/H (τ ) ∈ πL/H h (supp(ϕL ))−1 K ∩ Li ⊆ [ϕ♭L = 1], vagyis ϕ♭L ◦ πL/H (τ ) = 1. Ezért minden K ∋ s-re ϕ(sτ −1 )∆L (τ )−1 ϕ♭L ◦ πL/H (τ ) = ϕ(sτ −1 )∆L (τ )−1 . Ebből következik, hogy minden s ∈ K esetén ψ ♭ (πG/H (s)) =

Z

ψ(st) dβH (t) =

(7)

=

(7)

ϕG (sτ −1 )∆L (τ −1 ) dβL (τ ) =

L

H

Z

Z

ϕG (sτ )∆L (τ )∆L (τ )−1 dβL (τ ) =

Z

(8)

ϕG (sτ ) dβL (τ ) = ϕ♭G ◦ πG/L (s) = 1,

L

L

(8)

(7)

ahol a = egyenlőségnél alkalmaztuk az iL (βL ) = ∆−1 L .βL formulát, és a = egyenlőségnél ♭ felhasználtuk azt, hogy πG/L hKi ⊆ [ϕG = 1]. Ebből kapjuk, hogy πG/H hsupp(f )i ⊆ πG/H hKHi = πG/H hKi ⊆ [ψ ♭ = 1], V

U,βL ,βH

tehát a W operátor izometria a HGU tér feletti k · kβG ,βH norma és a HG L k · kβG ,βL norma szerint. V

U,βL ,βH

(V) Végül igazoljuk, hogy a VGU,βG ,βH és VG L ekvivalensek. A (IV) alapján a

,βG ,βL

V

tér feletti

indukált unitér ábrázolások unitér

U,βL ,βH

W : HGU → HG L lineáris operátor egyértelműen kiterjeszthető V

U,βL ,βH

W : HGU,βG ,βH → HG L

,βG ,βL

folytonos lineáris operátorrá, és ez a kiterjesztés szintén izometria e Hilbert-terek között. V

U,βL ,βH

Ezért a W operátor értékkészlete zárt a HG L 335

,βG ,βL

Hilbert-térben, és tartalmazza

az Im(W ) alteret, így a (III) miatt sűrű is. Ezért W unitér operátor. A 10.7.1. állítás e) pontja alapján minden s ∈ G esetén V

U,βL ,βH

VG L

,βG ,βL

(s) ◦ W = W ◦ VGU,βG ,βH (s)

teljesül a HGU téren, amely sűrű a HGU,βG ,βH Hilbert-térben, ezért W összekötő operátor U,βL ,βH

V

a VGU,βG ,βH és VG L

10.8.

,βG ,βL

unitér ábrázolások között. 

Indukált unitér ábrázolások Hilbert-összege

10.8.1. Tétel. Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport és (Ui )i∈I a H unitér ábrázolásainak tetszőleges rendszere. Ha βG baloldali Haar-mérték G felett és b Ui ,βG ,βH ⊕

βH baloldali Haar-mérték H felett, akkor a V i∈I c V Ui ,βG ,βH Hilbert-összeggel. ekvivalens a ⊕ i∈I

indukált unitér ábrázolás unitér

Bizonyítás. Minden i ∈ I esetén legyen Fi az Ui ábrázolás tere, és k · ki az Fi normája. Minden (fi )i∈I ∈ ⊕ H Ui esetén értelmezzük a i∈I

⊕ fi : G → ⊕ Fi ;

i∈I

s 7→ (fi (s))i∈I

i∈I

függvényt. b Ui ⊕

Először megmutatjuk, hogy (fi )i∈I ∈ ⊕ H Ui esetén ⊕ fi ∈ H i∈I . i∈I

i∈I

Valóban, a

c F függvény folytonos, mert minden s, s′ ∈ G elemre ⊕ fi : G → ⊕ Fi ⊆ ⊕ i

i∈I

i∈I

i∈I





′

⊕ fi (s ) − ⊕ fi

i∈I

=

i∈I

X i∈I

2

(s)

kfi (s′ ) − fi (s)k2i =

2

=

(fi (s′ ) − fi (s))i∈I

= X

i∈I fi 6=0

kfi (s′ ) − fi (s)k2i ,

és az {i ∈ I|fi 6= 0} halmaz véges. Továbbá, ha s ∈ G és t ∈ H, akkor minden I ∋ i-re ∆H (t) 1/2 fi (st) = Ui (t)−1 fi (s) teljesül, ezért ∆G (t) ⊕ fi (st) := (fi (st))i∈I =

i∈I

∆H (t) ∆G (t)

336

1/2

Ui (t)−1 fi (s)

= i∈I

=

1/2

∆H (t) ∆G (t)

Ui (t)−1 fi (s)

i∈I

=:

1/2

∆H (t) ∆G (t)

c U (t−1 ) ⊕ f (s). ⊕ i i

i∈I

Most megmutatjuk, hogy a W : ⊕H

Ui

i∈I

b Ui ⊕

→ H i∈I ;

i∈I

(fi )i∈I 7→ ⊕ fi i∈I

lineáris operátor izometria, ha a ⊕ H Ui vektortér felett a komponens-terek Mackeyi∈I

b Ui ⊕

féle skalárszorzásának a direkt öszegét, és a H i∈I vektortér felett a Mackey-féle skalárszorzást vesszük. Ehhez legyen (fi )i∈I ∈ ⊕ H Ui rögzítve. Az {i ∈ I|fi 6= 0} i∈I

halmaz végessége miatt vehetünk olyan K ⊆ G kompakt halmazt, amelyre minden

i ∈ I esetén supp(fi ) ⊆ KH. Természetesen ekkor ⊕ fi 6= 0 = i∈I

is teljesül, és KH zárt, így supp ⊕ fi i∈I

S

i∈I

[fi 6= 0] ⊆ KH

⊆ KH. Tehát, ha ϕ ∈ K+ (G) olyan, hogy

πG/H hKi ⊆ [ϕ♭ = 1], akkor a Mackey-féles skalárszorzás kiszámításának elve (10.1) alapján írható, hogy

2



⊕ fi

i∈I

=

Z

G



ϕ(s)

=

⊕ fi

i∈I

XZ

2

(s)

dβG (s)

=

Z

ϕ(s)

X i∈I

G

ϕ(s)kfi (s)k2i dβG (s) =

X i∈I

i∈I G

kfi (s)k2i

!

dβG (s) =

kfi k2 .

Minden i ∈ I esetén H Ui sűrű a H Ui ,βG ,βH Hilbert-térben (definíció szerint), ezért c H Ui ,βG ,βH Hilbert-összegben. Tehát létezik egyetlen olyan ⊕ H Ui sűrű a ⊕ i∈I

i∈I

b Ui ,βg ,βH ⊕

c H Ui ,βG ,βH → H i∈I W :⊕ i∈I

lineáris izometria, amely W -nek kiterjesztése. Könnyen látható, hogy W összeköti a b Ui ,βG ,βH ⊕

c V Ui ,βG ,βH és V i∈I ⊕

i∈I

⊕ H Ui ∋ (fi )i∈I -re

unitér ábrázolásokat. Valóban, ha s ∈ G, akkor minden

i∈I

b Ui ,βG ,βH ⊕

V i∈I

=

!

b Ui ⊕

(s) ◦ W ((fi )i∈I ) = V i∈I (s) ⊕ fi = i∈I

⊕ fi ◦ γG (s−1 ) = ⊕ fi ◦ γG (s−1 ) =

i∈I

i∈I

337

=W tehát



V Ui (s)(fi )

i∈I

b Ui ,βG ,βH ⊕

V i∈I



c V Ui ,βG ,βH (s) ((f ) ) , = W◦ ⊕ i i∈I i∈I

c V Ui ,βG ,βH (s) (s) ◦ W = W ◦ ⊕ i∈I

b Ui ,βG ,βH ⊕

teljesül a ⊕ H Ui altéren, amely sűrű H i∈I i∈I

b Ui ,βG ,βH ⊕

V i∈I

-ben, ezért

c V Ui ,βG ,βH (s). (s) ◦ W = W ◦ ⊕ i∈I

Végül, igazoljuk azt, hogy W unitér operátor, vagyis Im(W ) sűrű lineáris altér b Ui ,βG ,βH ⊕

H i∈I

-ban. Ehhez elég belátni, hogy Im(W ) sűrű H

b Ui ⊕

i∈I

-ben. A sűrűségi lemma b Ui ⊕

(10.6.1.) alapján ehhez elég azt megmutatni, hogy Im(W ) olyan V i∈I -invariáns és b Ui ⊕

b Ui ⊕

P i∈I -invariáns lineáris altere H i∈I -nek, amelyre az F :=

⊕ fi (eG ) (fi )i∈I ∈ ⊕ H

Ui

i∈I

i∈I

c F -ben. Az F sűrűsége nyilvánvaló, mert halmaz sűrű ⊕ i i∈I

F = ⊕ {fi (eG )|fi ∈ H Ui }, i∈I

b Ui ⊕

és minden I ∋ i-re {fi (eG )|fi ∈ H Ui } sűrű Fi -ben. Az F halmaz egyszerre V i∈I b Ui ⊕

invariáns is és P i∈I -invariáns is, mert ha (fi )i∈I ∈ ⊕ H Ui és s ∈ G és ψ ∈ K (G/H; C), akkor

b Ui ⊕

i∈I

V i∈I (s) ⊕ fi := i∈I

⊕ fi ◦ γG (s−1 ) = ⊕ fi ◦ γG (s−1 ) ∈ Im(W ),

i∈I

i∈I

továbbá b Ui ⊕

P i∈I (ψ) ⊕ fi := (ψ ◦ πG/H ). ⊕ fi = ⊕ (ψ ◦ πG/H ).fi ∈ Im(W ). 

10.9.

i∈I

i∈I

i∈I

Az indukált unitér ábrázolások alternatív formája 338

Most leírjuk az indukált unitér ábrázolások (főként történeti szempontból érdekes) alternatív formáját. Először az indukált lineáris, utána az indukált unitér ábrázolások új alakját mutatjuk be. 10.9.1. Állítás. (Az indukált lineáris ábrázolások alternatív formája) Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben. Legyen j tetszőleges jobbinverze a πG/H : G → G/H kanonikus szürjekciónak, vagyis j : G/H → G olyan injekció, amelyre πG/H ◦ j = idG/H . Legyen ρ : G → R+ olyan folytonos függvény, amelyre minden s ∈ G és t ∈ H esetén ρ(st) = (∆H (t)/∆G (t))ρ(s). a) Minden s ∈ G és x ∈ G/H esetén j(πG/H (s))−1 s ∈ H, b) Minden f ∈ H minden G ∋ s-re

U

j(x)−1 sj(γG/H (s−1 )x) ∈ H.

esetén egyértelműen létezik olyan Ψf : G/H → F függvény, hogy Ψf (πG/H (s)) = ρ(s)−1/2 U(j(πG/H (s))−1 s)f (s).

Továbbá, a H U,j,ρ := {Ψf | f ∈ H U },

halmaz olyan lineáris altere a G/H → F függvények terének, amelyre a H U → H U,j,ρ;

f 7→ Ψf

leképezés lináris bijekció. Ha Ψ : G/H → F függvény, akkor Ψ ∈ H U,j,ρ ekvivalens azzal, hogy Ψ kompakt tartójú és a G → F;

s 7→ U(s−1 j(πG/H (s)))Ψ(πG/H (s))

függvény folytonos. Ha Ψ, Φ ∈ H U,j,ρ, akkor (Ψ|Φ)F ∈ K (G/H; C). Speciálisan, ha Ψ ∈ H U,j,ρ, akkor kΨkF ∈ K+ (G/H), azonban a H U,j,ρ függvénytér elemei általában nem folytonos függvények. c) Jelölje V U,j,ρ a G csoportnak azt a lineáris ábrázolását a H U,j,ρ függvénytérben, amelyet a H U → H U,j,ρ; f 7→ Ψf lineáris bijekció összeköt a V U indukált lineáris ábrázolással. Ha Ψ ∈ H U,j,ρ, akkor s ∈ G és x ∈ G/H esetén (V U,j,ρ(s)Ψ)(x) = χρ (s−1 , x)1/2 U(j(x)−1 sj(γG/H (s−1 )x))Ψ(γG/H (s−1 )x), ahol χρ : G × (G/H) → R+ az a folytonos függvény, amelyre s, s′ ∈ G esetén χρ (s, πG/H (s′ )) = 339

ρ(ss′ ) . ρ(s′ )

d) Ha U folytonos unitér ábrázolása H-nak és j : G/H → G folytonos jobbinverze πG/H nak, akkor H U,j,ρ = K (G/H; F ). Bizonyítás. Triviális.  10.9.2. Állítás. (Az indukált unitér ábrázolások alternatív formája) Legyen G lokálisan kompakt csoport, H ⊆ G zárt részcsoport, és U unitér ábrázolása H-nak az F Hilbert-térben. Legyen j tetszőleges jobbinverze a πG/H : G → G/H kanonikus szürjekciónak. Legyen ρ : G → R+ olyan folytonos függvény, amelyre minden s ∈ G és t ∈ H esetén ρ(st) = (∆H (t)/∆G (t))ρ(s), továbbá legyen βG (illetve βH ) baloldali Haar-mérték G (illetve H) felett. Jelölje µ a G/H feletti (ρ.βG )/βH faktormértéket, és legyen χρ : G × (G/H) → R+ az a folytonos függvény, amelyre s, s′ ∈ G esetén χρ (s, πG/H (s′ )) = ρ(ss′ )/ρ(s′ ). Tudjuk, hogy µ olyan nem nulla, pozitív, topologikusan γG/H -kváziinvariáns mérték G/H felett, amelynek χρ a multiplikátora, vagyis minden s ∈ G esetén γG/H (s)µ = χρ (s−1 , ·).µ. a) Jelölje ismét H

U,j,ρ

az előző állítás b) pontjában értelmezett függvényteret. Ekkor a

(·|·) : H

U,j,ρ

× H U,j,ρ → C;

(Φ, Ψ) 7→ µ((Φ|Ψ)F )

leképezés olyan skalárszorzás a H U,j,ρ komplex vektortér felett, amelyet minden s ∈ G esetén a V U,j,ρ(s) ∈ GL(H U,j,ρ) operátor megtart. Továbbá, az előző állítás b) pontjában értelmezett H U → H U,j,ρ; f 7→ Ψf lineáris bijekció skalárszorzás-tartó a H U feletti (·|·)βG,βH Mackey-féle skalárszorzás és a H U,j,ρ felett imént értelmezett (·|·) skalárszorzás szerint. b) Jelölje H U,j,ρ,βG,βH az a) pontban meghatározott (H U,j,ρ, (·|·)) prehilbert-tér teljes burkát, és jelölje V U,j,ρ,βG,βH a V U,j,ρ lineáris ábrázolás teljesítését. Ekkor létezik egyetlen olyan H U,βG ,βH → H U,j,ρ,βG,βH

unitér operátor, amely kiterjesztése a H U → H U,j,ρ; f 7→ Ψf lineáris bijekciónak és összeköti a V U,βG ,βH és V U,j,ρ,βG,βH unitér ábrázolásokat. c) Ha U folytonos unitér ábrázolása H-nak és j : G/H → G folytonos jobbinverze πG/H nak, akkor H U,j,ρ,βG,βH = L2F (G/H, µ). Bizonyítás. Triviális.  Tehát az előző állítás b) pontjában értelmezett V U,j,ρ,βG,βH unitér ábrázolás a Gnek olyan folytonos unitér ábrázolása, amely unitér ekvivalens a G csoport (U, βG , βH ) hármas által indukált unitér ábrázolásával.

340

10.10.

Lokálisan kompakt féldirekt szorzatok indukált unitér ábrázolásai

10.10.1. Jelölés. Ha N ⊗ H féldirekt szorzat és UN unitér ábrázolása N-nek, akkor τ

H[UN ] := { h ∈ H | UN ◦ τh = UN }. 10.10.2. Állítás. Ha N ⊗ H féldirekt szorzatcsoport és UN unitér ábrázolása N-nek, τ

akkor H[UN ] részcsoportja H-nak.

Ha N ⊗ H topologikus féldirekt szorzat és UN τ

folytonos unitér ábrázolása N-nek az FUN Hilbert-térben, akkor H[UN ] zárt részcsoport H-ban. Bizonyítás. Világos, hogy τeH = idN miatt eH ∈ H[UN ], és h, h′ ∈ H[UN ] esetén τhh′ = τh ◦ τh′ miatt hh′ ∈ H[UN ]. Ha h ∈ H[UN ], akkor UN = UN ◦ τeH = UN ◦ τhh−1 = UN ◦ τh ◦ τh−1 = UN ◦ τh−1 , tehát h−1 ∈ H[UN ]. Ez azt jelenti, hogy H[UN ] részcsoportja H-nak.

A definíció alapján nyilvánvaló, hogy ha FUN az UN unitér ábrázolás tere, akkor H[UN ] =

\

n∈N

=

\

n∈N

\

z,z ′ ∈FUN

{ h ∈ H | UN (τh (n)) = UN (n) } =

{ h ∈ H | (UN (τh (n))z|z ′ ) = (UN (n)z|z ′ ) }

.

Tehát, ha N ⊗ H topologikus féldirekt szorzat, akkor a H × N → N; (h, n) 7→ τh (n) τ leképezés a H × N feletti szorzattopológia szerint folytonossága miatt minden n ∈ N esetén a H → N; h 7→ τh (n) parciális függvény is folytonos, és az UN unitér ábrázolás folytonosságából következik (sőt azzal ekvivalens (2.7.3.)), hogy z, z ′ ∈ FUN esetén az N → C; n 7→ (UN (n)z|z ′ ) függvény folytonos. Ezért n ∈ N és z, z ′ ∈ FUN esetén a { h ∈ H | (UN (τh (n))z|z ′ ) = (UN (n)z|z ′ ) } halmaz zárt H-ban, hiszen egyenlő a {(UN (n)z|z ′ )} ⊆ C (egy elemű) zárt halmaz H → N; h 7→ τh (n) folytonos függvény általi inverz képével. Ebből következik, hogy H[UN ] előáll zárt halmazok metszeteként, tehát zárt.  10.10.3. Definíció. Ha N ⊗ H féldirekt szorzat, UN unitér ábrázolása N-nek az FUN τ

Hilbert-térben, és U unitér ábrázolása H[UN ]-nek az F Hilbert-térben, akkor UN ⊚ U jelöli c F ) leképezést, amelyre minden (n, h) ∈ N × H esetén azt az N × H → U(FUN ⊗ c U(h). (UN ⊚ U)(n, h) := UN (n) ⊗

341

10.10.4. Állítás. a) Legyen N ⊗ H féldirekt szorzat, UN unitér ábrázolása N-nek az τ

FUN Hilbert-térben, és U unitér ábrázolása H[UN ]-nek az F Hilbert-térben. Ha τ ′ := τ |H[UN ] , akkor N ⊗ (H[UN ]) féldirekt szorzat, és ha U unitér ábrázolása H[UN ]-nek az τ′

c F HilbertF Hilbert-térben, akkor UN ⊚ U unitér ábrázolása N ⊗ (H[UN ])-nek az FUN ⊗ τ′

térben.

b) Legyen N ⊗ H topologikus féldirekt szorzat és UN folytonos unitér ábrázolása N-nek az τ

FUN Hilbert-térben. Ha τ ′ := τ |H[UN ] , akkor N ⊗ (H[UN ]) topologikus féldirekt szorzat, és τ′

ha U folytonos unitér ábrázolása H[UN ]-nek az F Hilbert-térben, akkor UN ⊚ U folytonos c F Hilbert-térben. unitér ábrázolása N ⊗ (H[UN ])-nek az FUN ⊗ τ′

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy a

c F ); VN : N → U(FUN ⊗

c F ); VH : H[UN ] → U(FUN ⊗

c id ; n 7→ UN (n) ⊗ F

c U(h) h 7→ idFUN ⊗

c F Hilbert-térben, amelyek felcserélhetők, leképezések olyan unitér ábrázolások az FUN ⊗ vagyis minden (n, h) ∈ N × H[UN ] esetén VH (h) ◦ VN (n) = VN (n) ◦ VN (h), ezért a 2.7.6. alapján elegendő azt igazolni, hogy minden (n, h) ∈ N × H[UN ] esetén

VH (h) ◦ VN (n) ◦ VH (h)−1 = VN (τh′ (n)).

Ez viszont h ∈ H[UN ] miatt nyilván igaz, mert az egyenlőség bal oldalán VN (n) áll és c id = U (n) ⊗ c id =: V (n). VN (τh′ (n)) := UN (τh′ (n)) ⊗ F N F N A b) állítás 2.7.5. nyilvánvaló következménye. 

Vigyázzunk arra, hogy az előző állítás feltételei mellett bevezetett UN ⊚ U unitér ábrázolás nem egyenlő a UN ⊗U Hilbert-féle tenzorszorzattal! Ebben az esetben a UN ⊗U Hilbert-féle tenzorszorzatnak nincs is értelme, mert UN és U nem ugyanannak a csoportnak unitér ábrázolásai. Az előző állítás fontos speciális esete az, amikor UN egy dimenziós unitér ábrázolása N-nek, vagyis UN azonosul az N egyik unitér karakterével. Ekkor F [UN ] = C vehető, és az F [UN ]⊗F Hilbert-tér azonosul F -fel, és minden (n, h) ∈ N × H[UN ] esetén írható.

(UN ⊚ U)(n, h) = UN (n) · U(h)

10.10.5. Állítás. Legyen N ⊗ H lokálisan kompakt féldirekt szorzat, H ′ ⊆ H zárt τ

részcsoport és τ ′ := τ |H ′ . Ekkor N ⊗ H ′ lokálisan kompakt féldirekt szorzat és τ′

∆N ⊗ H ′ τ′

∆N ⊗ H

= 1N ⊗

τ

342

∆H ′ ∆H

.

Bizonyítás. Csoport-morfizmus leszűkítése részcsoportra szintén csoport-morfizmus, és topologikus terek között ható folytonos függvény leszűkítése topologikus altérre szintén folytonos. Továbbá, lokálisan kompakt tér zárt topologikus altere szintén lokálisan kompakt. Ezekből az állításokból következik, hogy N ⊗ H ′ lokálisan kompakt féldirekt τ′

szorzat.

A lokálisan kompakt féldirekt szorzat modulus-függvényének értelmezése alapján (5.4.2.) nyilvánvaló, hogy χτ ′ = χτ |H ′ . Ezért 5.4.1. b) alkalmazásával írható, hogy ∆N ⊗ H = ∆N ⊗ χ−1 τ .∆H ,

∆N ⊗ H ′ = ∆N ⊗ χ−1 τ ′ .∆H ′ , τ′

τ

amiből következik az állítás.  10.10.6. Lemma. Legyen N ⊗ H lokálisan kompakt féldirekt szorzat, UN unitér ábráτ

zolása N-nek, U unitér ábrázolása H[UN ]-nek az F Hilbert-térben, és τ ′ := τ |H[UN ] . Ha b U N⊚ f ∈ HNU⊗ H , akkor minden (n, h) ∈ N × H esetén τ

f (n, h) = UN τh−1 (n−1 ) ⊗idF f (eN , h). Bizonyítás. Ha (n, h)∈N × H, akkor (τh−1 (n), eH ) ∈ N ⊗(H[UN ]), amiből következik, hogy minden

b U N⊚ f ∈HNU⊗ H

τ′

esetén

τ

f (n, h) = f ((eN , h)(τh−1 (n), eH )) = ∆N ⊗(H[UN ]) (τh−1 (n), eH ) =

τ′

∆N ⊗ H (τh−1 (n), eH )

1/2

UN ⊚ U (τh−1 (n), eH )−1 f (eN , h) =

τ

= 1N ⊗

∆H[UN ] ∆H

1/2

(τh−1 (n), eH ) UN (τh−1 (n)) ⊗U(eH )

−1

f (eN , h) =

= UN τh−1 (n−1 ) ⊗idF f (eN , h),

ahol felhasználtuk a 5.4.1. b) állításban igazolt formulát a moduláris függvényekre.  10.10.7. Következmény. Ha N ⊗ H lokálisan kompakt féldirekt szorzat, UN unitér τ

b U N⊚ esetén ábrázolása N-nek és U unitér ábrázolása H[UN ]-nek, akkor minden f ∈ HNU⊗ H τ

supp(f ) = N × supp(f ◦ jH ), ahol jH : H → N × H; h 7→ (eN , h) a kanonikus injekció. 343

10.10.8. Következmény. Ha N ⊗ H lokálisan kompakt féldirekt szorzat, UN unitér τ

b U N⊚ esetén ábrázolása N-nek és U unitér ábrázolása H[UN ]-nek, akkor minden f ∈ HNU⊗ H τ

f = 0 ⇔ f ◦ jH = 0,

ahol jH : H → N × H; h 7→ (eN , h) a kanonikus injekció. 10.10.9. Lemma. Legyenek F0 és F Hilbert-terek, S topologikus tér és U0 : S → U(F0 ) függvény. Ha az U0 leképezés az s0 ∈ S pontban folytonos az L (F0 ) operátortér feletti pontonkénti konvergencia topológiája szerint, akkor az S → U(F0 ⊗F );

s 7→ U0 (s)⊗idF

leképezés is folytonos az s0 pontban, az L (F0 ⊗F ) operátortér feletti pontonkénti konvergencia topológiája szerint. Bizonyítás. Azt kell igazolni, hogy minden t ∈ F0 ⊗F tenzorra az S 7→ F0 ⊗F ;

s 7→ (U0 (s)⊗idF )t

leképezés folytonos az s0 pontban. (I) Először legyenek ζ0 ∈ F0 és ζ ∈ F tetszőlegesek. Ekkor minden s ∈ S esetén k(U0 (s)⊗idF )(ζ0 ⊗ ζ) − (U0 (s0 )⊗idF )(ζ0 ⊗ ζ)k = = k (U0 (s)ζ0 − U0 (s0 )ζ0 ) ⊗ ζk = kU0 (s)ζ0 − U0 (s0 )ζ0 kkζk,

és itt az U0 -ra vonatkozó folytonossági feltétel alapján a jobb oldal 0-hoz tart, ha s tart s0 -hoz S-ben. Ebből következik, hogy minden t ∈ F0 ⊗ F felbontható tenzorra az S 7→ F0 ⊗F ;

s 7→ (U0 (s)⊗idF )t

leképezés folytonos az s0 pontban. (II) Legyen t ∈ F0 ⊗F tetszőleges, és vegyünk olyan F0 ⊗F -ban haladó (tn )n∈N sorozatot, amely t-hez konvergál az F0 ⊗F Hilbert-térben. Ekkor minden s ∈ S és n ∈ N esetén k(U0 (s)⊗idF )t − (U0 (s0 )⊗idF )tk ≤ k(U0 (s)⊗idF )t − (U0 (s)⊗idF )tn k+ +k(U0 (s)⊗idF )tn − (U0 (s0 )⊗idF )tn k + k(U0 (s0 )⊗idF )tn − (U0 (s0 )⊗idF )tk = = kt − tn k + k(U0 (s)⊗idF )tn − (U0 (s0 )⊗idF )tn k + ktn − tk,

ahol kihasználtuk azt, hogy U0 (s)⊗idF és U0 (s0 )⊗idF unitér operátorok. Ha ε ∈ R+ tetszőleges, akkor van olyan n ∈ N, hogy ktn − tk < ε/4, és ha az n ∈ N természetes 344

számot így rögzítjük, akkor a bizonyítás (I) része alapján van olyan környezete s0 -nak, amelynek minden s elemére ε k(U0 (s)⊗idF )tn − (U0 (s0 )⊗idF )tn k < . 2 Ekkor e környezet minden s elemére fennáll az k(U0 (s)⊗idF )t − (U0 (s0 )⊗idF )tk < ε egyenlőtlenség is, amit bizonyítani kellett.  10.10.10. Lemma. Legyen S topologikus tér, F Hilbert-tér, továbbá legyenek U : S → U(F ) és f : S → F függvények. Ha U folytonos az s0 ∈ S pontban az L (F ) operátortér feletti pontonkénti konvergencia topológiája szerint, és f folytonos az s0 ∈ S pontban, akkor az S → F ; s 7→ U(s)f (s) leképezés is folytonos az s0 ∈ S pontban.

Bizonyítás. Ha s ∈ S tetszőleges, akkor U(s) izometrikussága miatt kU(s)f (s) − U(s0 )f (s0 )k ≤ kU(s)f (s) − U(s)f (s0 )k + kU(s)f (s0 ) − U(s0 )f (s0 )k = = kf (s) − f (s0 )k + kU(s)f (s0 ) − U(s0 )f (s0 )k.

Ha ε ∈ R+ tetszőleges, akkor az f függvény s0 -beli folytonossága miatt van olyan W ′ környezete s0 -nak S-ben, hogy minden s ∈ W ′ esetén kf (s) − f (s0 )k < ε/2. Az Ura vonatkozó folytonossági feltétel szerint van olyan W ′′ környezete s0 -nak S-ben, hogy minden s ∈ W ′′ esetén kU(s)f (s0 ) − U(s0 )f (s0 )k < ε/2. Tehát W := W ′ ∩ W ′′ az s0 -nak olyan környezete S-ben, hogy minden s ∈ W esetén kU(s)f (s) − U(s0 )f (s0 )k < ε.  10.10.11. Tétel. (Lokálisan kompakt féldirekt szorzat indukált lineáris ábrázolása) Legyen N ⊗ H lokálisan kompakt féldirekt szorzat, UN folytonos unitér τ

ábrázolása N-nek az FUN Hilbert-térben és U folytonos unitér ábrázolása H[UN ]-nek az F Hilbert-térben. Jelölje jH : H → N × H; h → 7 (eN , h) a kanonikus injekciót, és legyen ′ τ := τ |H[UN ] . bU I UN ⊗

b U N⊚ esetén f ◦jH ∈ HH a) Minden f ∈ HNU⊗ H τ

teljesül, ahol IUN jelöli a H[UN ] csoport

FUN Hilbert-térben megvalósuló triviális unitér ábrázolását (tehát IUN ⊗U a H[UN ] csoport unitér ábrázolása az FUN ⊗F Hilbert-térben; ez az IUN triviális unitér és az U unitér ábrázolás Hilbert-féle tenzorszorzata). bU I UN ⊗

b U N⊚ → HH b) A W : HNU⊗ H τ

; f 7→ f ◦ jH leképezés lineáris izomorfizmus. 345

bU I UN ⊗

esetén legyen

c) Minden (n0 , h0 ) ∈ N × H és g ∈ HH

V (UN ,U ) (n0 , h0 )g : H → FUN ⊗F ;

h 7→ UN (τh−1 (n0 ))⊗idF g(h−1 0 h). bU I UN ⊗

bU IU ⊗

esetén V (UN ,U ) (n0 , h0 )g ∈ HH Ekkor minden (n0 , h0 ) ∈ N × H és g ∈ HH N a bU bU IU ⊗ IU ⊗ → HH N ; g 7→ V (UN ,U ) (n0 , h0 )g V (UN ,U ) (n0 , h0 ) : HH N

, és

leképezés lineáris bijekció, és a

bU I UN ⊗

V (UN ,U ) : N × H → GL(HH

);

(n0 , h0 ) 7→ V (UN ,U ) (n0 , h0 ) bU I UN ⊗

leképezés lineáris ábrázolása az N ⊗ H csoportnak a HH τ

bU I UN ⊗

b U N⊚ → HH d) A W : HNU⊗ H τ

vektortérben.

lineáris bijekció összeköti a VNUN⊗⊚bH U indukált lineáris τ

ábrázolást és a V (UN ,U ) lineáris ábrázolást, vagyis minden (n, h) ∈ N × H esetén V (UN ,U ) (n, h) ◦ W = W ◦ VNUN⊗⊚bH U (n, h). τ

bU I UN ⊗

b U N⊚ Bizonyítás. a) Legyen f ∈ HNU⊗ H ; megmutatjuk, hogy f ◦ jH ∈ HH τ

. Valóban,

ekkor f : N ⊗ H → FUN ⊗F folytonos függvény, ezért f ◦ jH : H → FUN ⊗F folytonos függvény.

τ

Továbbá, létezik olyan K ⊆ N × H kompakt halmaz, hogy supp(f ) ⊆

K · N ⊗(H[UN ]) . Legyenek KN ⊆ N és KH ⊆ H olyan kompakt halmazok, hogy τ′

K ⊆ KN × KH . Ekkor a 10.10.7. szerint

N × supp(f ◦ jH ) = supp(f ) ⊆ (KN × KH ) · N ⊗(H[UN ]) ⊆ N × (KH · H[UN ]), τ′

tehát KH olyan kompakt halmaz H-ban, hogy supp(f ◦jH ) ⊆ KH ·H[UN ]. Legyen h ∈ H b U N⊚ és (eN , h′ ) ∈ N × H[UN ] miatt és h′ ∈ H[UN ]. Ekkor f ∈ HNU⊗ H τ

(f ◦ jH )(hh′ ) = f (eN , hh′ ) = f ((eN , h)(eN , h′ )) =

∆N ⊗(H[UN ]) (eN , h′ ) =

1/2

τ′

(UN ⊚ U)(eN , h′ )

∆N ⊗ H (eN , h′ )

−1

f (eN , h) =

τ

=

∆H[UN ] 1N ⊗ ∆H

1/2 ′

UN (eN )⊗U(h′ )

(eN , h ) 346

−1

f (eN , h) =

=

∆H[UN ] (h′ ) ∆H (h′ )

=

∆H[UN ] (h′ ) ∆H (h′ )

1/2

idFUN ⊗U(h′ )−1 (f ◦ jH )(h) = 1/2

bU I UN ⊗

Ez azt jelenti, hogy f ◦ jH ∈ HH

IUN ⊗U (h′ )

−1

(f ◦ jH )(h).

.

b) A W leképezés nyilvánvalóan lineáris és a 10.10.8. alapján injektív. A W leképezés bU I UN ⊗

szürjektivitásának igazolásához legyen g ∈ HH f : N × H → FUN ⊗F ;

rögzített elem, és értelmezzük az

(n, h) 7→ UN τh−1 (n−1 ) ⊗idF g(h)

b U N⊚ és f megoldása az f ◦ jH = g függvényfüggvényt. Megmutatjuk, hogy f ∈ HNU⊗ H

egyenletnek, vagyis W f = g.

τ

Az f függvény folytonosságának bizonyításához először megjegyezzük, hogy a p : N × H → N; (n, h) 7→ τh (n) leképezés a topologikus féldirekt szorzatok definíciója szerint folytonos, ezért a p ◦ (iN × iH ) : N × H → N; (n, h) 7→ τh−1 (n−1 ) függvény is folytonos. Ugyanakkor, UN folytonos unitér ábrázolása az N topologikus csoportnak az FUN Hilbert-térben, ezért a 2.7.3. szerint UN folytonos az L (FUN ) operátortér feletti pontonkénti konvergencia topológiája szerint. Ebből látható, hogy az N × H → U(FUN );

(n, h) 7→ UN τh−1 (n−1 )

leképezés folytonos az N × H feletti szorzattopológia és az L (FUN ) operátortér feletti pontonkénti konvergencia topológiája szerint. Az 10.10.9. lemmából kapjuk, hogy az N × H → L (FUN ⊗F );

(n, h) 7→ UN τh−1 (n−1 ) ⊗idF

leképezés folytonos az N ×H feletti szorzattopológia és az L (FUN ⊗F ) operátortér feletti pontonkénti konvergencia topológiája szerint. Ekkor az 10.10.10. lemmából következik az f függvény folytonossága, ha az ott szereplő S topologikus tér helyére az N × H szorzatteret, az ottani F Hilbert-tér helyére FUN ⊗F -t, az ottani U függvény helyére az N × H → L (FUN ⊗F ); (n, h) 7→ UN τh−1 (n−1 ) ⊗idF függvényt, és az ottani f függvény helyére az N ×H → FUN ⊗F ; (n, h) → g(h) folytonos függvényt helyettesítjük. A g-hez vehetünk olyan K ⊆ H kompakt halmaz, hogy supp(g) ⊆ K · H[UN ]. Az f definíciója alapján világos, hogy [f 6= 0] = N × [g 6= 0], ezért supp(f ) = N × supp(g) ⊆ N × (K · H[UN ]) . 347

Tehát, ha (n, h) ∈ supp(f ), akkor h ∈ K ·H[UN ], így vehetünk olyan k ∈ K és h′ ∈ H[UN ] elemeket, hogy h = kh′ . Ekkor (n, h) = (n, kh′ ) = (eN , k)(τk−1 (n), h′ ) ∈ ({eN } × K) · (N × (H[UN ])) , tehát S := {eN } × K olyan kompakt halmaz N × H-ban, hogy supp(f ) ⊆ S · N ⊗(H[UN ]) . τ′

Legyenek (n, h) ∈ N × H és (n′ , h′ ) ∈ N × H[UN ] tetszőlegesek. Azt kell igazolni, hogy ∆N ⊗(H[UN ]) (n′ , h′ )

1/2

τ′

f ((n, h)(n′ , h′ )) =

∆N ⊗ H

(UN ⊚ U)(n′ , h′ )

(n′ , h′ )

−1

f (n, h).

τ

Ez viszont nyilvánvalóan látszik a következő egyenlőség-láncból: f ((n, h)(n′ , h′ )) = f (nτh (n′ ), hh′ ) := := UN τ(hh′ )−1 (nτh (n′ ))−1 ) ⊗idF g(hh′ ) = =

UN ◦ τ(h′ )−1

(1)

τh−1 ((nτh (n′ ))−1 ) ⊗idF g(hh′ ) =

(1)

= UN (n′ )−1 τh−1 (n−1 ) ⊗idF g(hh′ ) = (2)

UN (τh−1 (n−1 ))⊗idF g(hh′ ) =

= UN (n′ )−1 ⊗idF =

∆H[UN ] (h′ ) UN (n′ )−1 ⊗idF ∆H (h′ )

UN (τh−1 (n−1 ))⊗idF

=

∆H[UN ] (h′ ) UN (n′ )−1 ⊗idF ∆H (h′ )

idFUN ⊗U(h′ )−1

=:

∆H[UN ] (h′ ) ∆H (h′ ) = (4)

=

(3)

idFUN ⊗U(h′ )−1 g(h) =

UN (τh−1 (n−1 ))⊗idF g(h) =:

1/2

UN (n′ )−1 ⊗idF

∆H[UN ] (h′ ) ∆H (h′ )

1/2

∆N ⊗(H[UN ]) (n′ , h′ ) τ′

∆N ⊗ H

idFUN ⊗U(h′ )−1 f (n, h) =

(n′ , h′ )

(4)

UN (n′ )−1 ⊗U(h′ )−1 f (n, h) = 1/2

(UN ⊚ U)(n′ , h′ )

τ

ahol 348

−1

f (n, h),

(1)

– az = egyenlőségnél felhasználtuk azt, hogy h′ ∈ H[UN ], ezért a H[UN ] definíciója alapján UN ◦ τ(h′ )−1 = UN ; bU I UN ⊗

(2)

– az = egyenlőségnél kihasználtuk azt, hogy g ∈ HH miatt teljesül rá az g(hh′ ) =

, ezért h ∈ H és h′ ∈ H[UN ]

∆H[UN ] (h′ ) idFUN ⊗U(h′ )−1 g(h′ ) ∆H (h′ )

egyenlőség; (3)

– az = egyenlőségnél kihasználtuk azt, hogy UN (τh−1 (n−1 ))⊗idF ◦ idFUN ⊗U(h′ )−1 = idFUN ⊗U(h′ )−1 ◦ UN (τh−1 (n−1 ))⊗idF ; (4)

– az = egyenlőségnél felhasználtuk az ∆N ⊗(H[UN ]) τ′

∆N ⊗ H

∆H[UN ] ∆H

= 1N ⊗

τ

összefüggést (10.10.5.). b U N⊚ ) = eN , követkeés mivel h ∈ H esetén τh−1 (e−1 Ezzel igazoltuk azt, hogy f ∈ HNU⊗ H N τ

zésképpen:

))⊗idF g(h) = g(h). (W f )(h) := (f ◦ jH )(h) := f (eN , h) := UN (τh−1 (e−1 N Tehát a

bU I UN ⊗

b U N⊚ W : HNU⊗ H → HH τ

;

f 7→ f ◦ jH

lineáris operátor szürjektív is, így lineáris bijekció. bU I UN ⊗

c) és d) Legyenek (n0 , h0 ) ∈ N × H és g ∈ HH V (UN ,U ) (n0 , h0 )g : H → FUN ⊗F ;

rögzítettek, és tekintsük a

h 7→ UN (τh−1 (n0 ))⊗idF g(h−1 0 h) bU I UN ⊗

leképezést. Megmutatjuk, hogy ez a függvény HH

-nak eleme.

AV (n0 , h0 )g függvény folytonosságának bizonyításához először megjegyezzük, hogy a p : N × H → N; (n, h) 7→ τh (n) leképezés a topologikus féldirekt szorzatok definíciója szerint folytonos, ezért a p(n0 , ·) : H → N parciális függvény folytonos, tehát a p(n0 , ·) ◦ iH : H → N; h 7→ τh−1 (n0 ) függvény is folytonos. Ugyanakkor, UN folytonos unitér ábrázolása az N topologikus csoportnak az FUN Hilbert-térben, ezért a 2.7.3. (UN ,U )

349

szerint UN folytonos az L (FUN ) operátortér feletti pontonkénti konvergencia topológiája szerint. Ebből látható, hogy a H → U(FUN );

h 7→ UN (τh−1 (n0 ))

leképezés folytonos az L (FUN ) operátortér feletti pontonkénti konvergencia topológiája szerint. Az 10.10.9. lemmából kapjuk, hogy a H → U(FUN ⊗F );

h 7→ UN (τh−1 (n0 ))⊗idF

leképezés folytonos az L (FUN ⊗F ) operátortér feletti pontonkénti konvergencia topológiája szerint. Ezért a 10.10.10. lemma alapján a V (UN ,U ) (n0 , h0 )g függvény folytonos, ha ott az S topologikus tér helyére a H-t, az ottani F Hilbert-tér helyére FUN ⊗F -t, az ottani U függvény helyére az H → U(FUN ⊗F );

h 7→ UN (τh−1 (n0 ))⊗idF

függvényt, és az ottani f helyére a g ◦ γH (h−1 0 ) : H → FUN ⊗F folytonos függvényt helyettesítjük. bU IU ⊗

feltétel alapján létezik olyan K ⊆ H kompakt halmaz, hogy supp(g) ⊆ A g ∈ HH N K · H[UN ]; ekkor supp V (UN ,U ) (n0 , h0 )g = h0 supp(g) ⊆ (h0 K) · H[UN ] teljesül, és persze h0 K ⊆ H kompakt halmaz.

Legyenek h ∈ H és h′ ∈ H[UN ] tetszőlegesek. Azt kell igazolni, hogy: V (UN ,U ) (n0 , h0 )g (hh′ ) = =

∆H[UN ] (h′ ) ∆H (h′ )

1/2

IUN ⊗U (h′ )

−1

V (UN ,U ) (n0 , h0 )g (h).

Ez viszont nyilvánvalóan látszik a következő egyenlőség-láncból: ′ V (UN ,U ) (n0 , h0 )g (hh′ ) := UN (τ(hh′ )−1 (n0 ))⊗idF g(h−1 0 (hh )) =

=

(1)

′ UN ◦ τ(h′ )−1 (τh−1 (n0 )) ⊗idF g((h−1 0 h)h ) = 1/2

=

∆H[UN ] (h′ ) ∆H (h′ ) ∆H[UN ] (h′ ) ∆H (h′ )

1/2

=

(1)

−1

UN (τh−1 (n0 ))⊗idF

(IUN ⊗U)(h′ )

UN (τh−1 (n0 ))⊗idF

idFUN ⊗U(h′ )−1 g(h−1 0 h) =

350

g(h−1 0 h) = (2)

∆H[UN ] (h′ ) ∆H (h′ )

(2)

=

1/2

∆H[UN ] (h′ ) ∆H (h′ )

=:

idFUN ⊗U(h′ )−1

UN (τh−1 (n0 ))⊗idF g(h−1 0 h) =:

1/2

IUN ⊗U (h′ )

−1

V (UN ,U ) (n0 , h0 )g (h),

ahol (1)

– az = egyenlőségnél felhasználtuk azt, hogy h′ ∈ H[UN ], ezért a H[UN ] definíciója alapján UN ◦ τ(h′ )−1 = UN ; (2)

– az = egyenlőségnél kihasználtuk azt, hogy UN (τh−1 (n0 ))⊗idF ◦ idFUN ⊗U(h′ )−1 = idFUN ⊗U(h′ )−1 ◦ UN (τh−1 (n0 ))⊗idF . bU I UN ⊗

Ezzel igazoltuk azt, hogy minden (n0 , h0 ) ∈ N × H és g ∈ HH V

(UN ,U )

(n0 , h0 )g ∈

bU IU ⊗ HH N .

esetén

Világos, hogy (n0 , h0 ) ∈ N × H esetén az így értelmezhető bU I UN ⊗

V (UN ,U ) (n0 , h0 ) : HH

bU I UN ⊗

→ HH

;

g 7→ V (UN ,U ) (n0 , h0 )g

leképezés lineáris operátor. Ha igazolnánk azt, hogy fennáll a V (UN ,U ) (n0 , h0 ) = W ◦ VNUN⊗⊚bH U (n0 , h0 ) ◦ W −1 τ

egyenlőség is, akkor ebből egyszerre megkapnánk a c) állítás még hiányzó részét és bU IU ⊗

rögzített. A b) a d) állítást is. Legyen tehát (n0 , h0 ) ∈ N × H és g ∈ HH N −1 pont bizonyításában láttuk, hogy az f := W g függvényre teljesül az, hogy minden N × H ∋ (n, h)-ra f (n, h) = UN τh−1 (n−1 ) ⊗idF g(h). Ezért minden h ∈ H esetén teljesül a következő egyenlőség-lánc:

W ◦ VNUN⊗⊚bH U (n0 , h0 ) ◦ W −1 g (h) = W VNUN⊗⊚bH U (n0 , h0 )f

(h) :=

τ

τ

:= VNUN⊗⊚bH U (n0 , h0 )f (eN , h) := f ((n0 , h0 )−1 (eN , h)) = τ

= f (τh−1 (n0 )−1 , h−1 0 h) = UN τ(h−1 h)−1 0

0



τh−1 (n0 )−1 0

−1

⊗idF g(h−1 0 h) =

(UN ,U ) (n0 , h0 )g (h). = UN (τh−1 (n0 )) ⊗idF g(h−1 0 h) =: V

Ezzel a tételt bebizonyítottuk. 

351

10.10.12. Állítás. Legyen N ⊗ H lokálisan kompakt féldirekt szorzat, UN folytonos τ

unitér ábrázolása H-nak az FUN Hilbert-térben és U folytonos unitér ábrázolása H[UN ]nek az F Hilbert-térben. Ha jH : H → N × H; h 7→ (eN , h) a kanonikus injekció, akkor fennáll a bU I UN ⊗

V (UN ,U ) ◦ jH = VH

egyenlőség. bU I UN ⊗

Bizonyítás. Ha g ∈ HH

és h, h0 ∈ H, akkor a definíciók alapján

V (UN ,U ) (eN , h0 )g (h) := UN (τh−1 (eN )) ⊗idF g(h−1 0 h) = bU I UN ⊗

−1 = idFN ⊗idF g(h−1 0 h) = g(h0 h) =: VH

(h0 )g (h). 

10.10.13. Állítás. Legyen N ⊗ H lokálisan kompakt féldirekt szorzat és H ′ ⊆ H zárt τ

részcsoport, valamint τ ′ := τ |H ′ . Legyenek βN , βH és βH ′ baloldali Haar-mértékek rendre N, H és H ′ felett. Ha a w:H→R

függvény Bruhat-féle keresztmetszete a (H, H ′, βH ′ ) hármasnak és u ∈ K+ (N) olyan függvény, hogy βN (u) = 1, akkor az u ⊗ (χτ w) : N ⊗ H → R τ

függvény Bruhat-féle keresztmetszete az

N ⊗ H, N ⊗ H ′ , βN ⊗ (χ−1 τ βH ′ ) τ

τ′

hármasnak.

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy u ⊗ (χτ w) ∈ C (N ⊗ H; R+ ). τ

Legyen (n, h) ∈ N × H rögzített; megmutatjuk, hogy (n, h) · (N ⊗ H ′ ) ∩ [u ⊗ (χτ w) > 0] 6= ∅. τ′

e ∈ N, Valóban, βN balinvarianciája miatt βN (u ◦ γN (n)) = βN (u) = 1, ezért van olyan n ′ e ) > 0. A τh : N → N függvény szürjektív, ezért van olyan n ∈ N, hogy hogy u(nn e = τh (n′ ). Tehát n′ ∈ N olyan, hogy u(nτh (n′ )) > 0. Továbbá, a w Bruhat-féle n keresztmetszet-függvénye a (H, H ′ , βH ′ ) hármasnak, így (hH ′ ) ∩ [w > 0] 6= ∅, tehát van olyan h′ ∈ H ′, hogy w(hh′ ) > 0. Ekkor

(u ⊗ (χτ w))((n, h)(n′ , h′ )) = (u ⊗ (χτ w))(nτh (n′ ), hh′ ) = u(nτh (n′ ))χτ (hh′ )w(hh′ ) > 0, tehát (n, h)(n′ , h′ ) ∈ (n, h) · (N ⊗ H ′ ) ∩ [u ⊗ (χτ w) > 0]. τ′

352

Legyen K ⊆ N × H rögzített kompakt halmaz. Meg fogjuk mutatni, hogy ekkor K · (N ⊗ H ′ ) ∩ supp(u ⊗ (χτ w)) τ′

kompakt halmaz az N × H szorzattérben. Ehhez először vegyünk olyan KN ⊆ N és KH ⊆ H kompakt halmazokat, hogy K ⊆ KN × KH . Legyen K · (N ⊗ H ′) ∩ supp(u ⊗ (χτ w))

(n, h) ∈

τ′

tetszőleges. Ekkor supp(u ⊗ (χτ w)) ⊆ supp(u) × supp(w) miatt n ∈ supp(u) és h ∈ supp(w) is teljesül. Továbbá, létezik olyan (n′′ , h′′ ) ∈ K és (n′ , h′ ) ∈ N × H ′ , hogy (n, h) = (n′′ , h′′ )(n′ , h′ ) = (n′′ τh′′ (n′ ), h′′ h′ ). Ekkor h′′ ∈ KH , tehát h = h′′ h′ ∈ (KH H ′ ) ∩ supp(w). Tehát fennáll az (n, h) ∈ supp(u) × ((KH H ′ ) ∩ supp(w)) összefüggés. Ez azt jelenti, hogy K · (N ⊗ H ′ ) ∩ supp(u ⊗ (χτ w)) ⊆ supp(u) × ((KH H ′ ) ∩ supp(w)) , τ′

és itt a jobb oldalon N × H-ban kompakt halmaz áll, mert a w függvény Bruhat-féle keresztmetszete a (H, H ′, βH ′ ) hármasnak, tehát (KH H ′ ) ∩ supp(w) kompakt halmaz H-ban. Ugyanakkor, a bal oldalon zárt halmaz áll, így a bal oldali halmaz is kompakt N × H-ban. Végül, legyen (n, h) ∈ N × H rögzített. Ekkor Z

N ⊗ H′

′ ′ (u ⊗ (χτ w)) ((n, h)(n′ , h′ )) d βN ⊗ (χ−1 τ βH ′ ) (n , h ) =

τ′

Z

=

N ⊗ H′

u(nτh (n′ ))χτ (hh′ )w(hh′ )χτ (h′ )−1 d(βN ⊗ βH ′ )(n′ , h′ ) =

τ′

= χτ (h)

Z

Z

H′

= χτ (h)

Z

H′ (1)

=

Z

H′

Z

w(hh′ ) dβH ′ (h′ ) =

u(nτh (n′ )) dβN (n′ )

N

Z

N

u dβN

(u ◦ γN (n)) d (τh (βN )) ′

′

(2)

w(hh ) dβH ′ (h ) =

Z

H′

N

353

(1)

w(hh′ ) dβH ′ (h′ ) =

w(hh′ ) dβH ′ (h′ ) = 1,

(1)

ahol az = egyenlőségnél felhasználtuk, hogy a χτ definíciója szerint τh (βN ) = χτ (h)−1 βN (1)

és βN balinvariáns N felett, és a = egyenlőségnél figyelembe vettük azt, hogy βN (u) = 1 és a w függvény Bruhat-féle keresztmetszete a (H, H ′ , βH ′ ) hármasnak, ezért Z

w(hh′ ) dβH ′ (h′ ) = 1. 

H′

10.10.14. Tétel. (Lokálisan kompakt féldirekt szorzat indukált unitér ábrázolása) Legyen N ⊗ H lokálisan kompakt féldirekt szorzat, UN folytonos unitér ábrázolása τ

H-nak az FUN Hilbert-térben és U folytonos unitér ábrázolása H[UN ]-nek az F Hilberttérben. Legyen τ ′ := τ |Hχ , és legyenek βN , βH és βH[UN ] baloldali Haar-mértékek rendre N, H és H[UN ] felett. Jelölje V UN ⊚b

−1 U,βN ⊗(χ−1 τ βH ),βN ⊗(χτ ′ βH[UN ] )

−1 az N ⊗ H lokálisan kompakt csoport UN ⊚ U, βN ⊗(χ−1 τ βH ), βN ⊗(χτ ′ βH[UN ] ) hármas τ által indukált unitér ábrázolását.

a) Létezik egyetlen olyan −1 b U,βN ⊗(χ−1 UN ⊚ τ βH ),βN ⊗(χτ βH[UN ] )

W : HN ⊗ H τ

b U,βH ,βH[UN ] I UN ⊗

→ HH

b U N⊚ esetén unitér operátor, amelyre teljesül az, hogy minden f ∈ HNU⊗ H τ

W f = f ◦ jH ,

ahol jH : H → N × H; h 7→ (eN , h) a kanonikus injekció, és IUN jelöli a H[UN ] csoport FUN Hilbert-térben megvalósuló triviális unitér ábrázolását (tehát IUN ⊗U a H[UN ] csoport unitér ábrázolása az FUN ⊗F Hilbert-térben; ez az IUN triviális unitér és az U unitér ábrázolás Hilbert-féle tenzorszorzata). b) Minden (n, h) ∈ N × H esetén létezik egyetlen olyan b U,βH ,βH[UN ] I UN ⊗

V UN ,U,βH ,βH[UN ] (n, h) : HH

b U,βH ,βH[UN ] I UN ⊗

→ HH

bU I UN ⊗

unitér operátor, amely a 10.10.11.c)-ben értelmezett V (UN ,U ) (n, h):HH bU I UN ⊗

operátor kiterjesztése HH

b U,βH ,βH[UN ] I UN ⊗

-ról a HH

b U,βH ,βH[U IU ⊗

Hilbert-térre.

bU I UN ⊗

→HH

N c) A V UN ,U,βH ,βH[UN ] : N × H → U(HH N ); (n0 , h0 ) 7→ V UN ,U,βH ,βH[UN ] (n0 , h0 ) leképezés folytonos unitér ábrázolása az N ⊗ H lokálisan kompakt féldirekt szorzatnak a

b U,βH ,βH[UN ] IU ⊗ HH N

]

τ

Hilbert-térben. −1

d) A W operátor unitér összekötő operátor a V UN ⊚b U,βN ⊗(χτ unitér ábrázolás és a V UN ,U,βH ,βH[UN ] unitér ábrázolás között. 354

β ) βH ),βN ⊗(χ−1 τ ′ H[UN ]

indukált

Bizonyítás. Legyen w:H→R egy Bruhat-féle keresztmetszete a H, H[UN ], βH[UN ] hármasnak, és u ∈ K+ (N) olyan függvény, hogy βN (u) = 1. Ekkor 10.10.13. alapján az u ⊗ (χτ w) : N ⊗ H → R függvény Bruhat-féle keresztmetszete az τ

N ⊗ H, N ⊗(H[UN ]), βN ⊗ (χ−1 τ ′ βH[UN ] ) τ

τ′

hármasnak. a) Jelölje W a 10.10.11. tételben bevezetett lineáris bijekciót, tehát bU I UN ⊗

b U N⊚ W : HNU⊗ H → HH τ

;

f 7→ f ◦ jH .

−1 Először megmutatjuk, hogy W izometria a βN ⊗ (χ−1 τ βH ), βN ⊗ (χτ ′ βH[UN ] pár által

b U N⊚ feletti Mackey-norma és a βH , βH[UN ] pár által meghatározott meghatározott HNU⊗ H τ

bU IU ⊗ HH N

jelölve).

feletti Mackey-norma szerint (mindkét Mackey-normát a k · k szimbólummal

b U N⊚ Legyen tehát f ∈ HNU⊗ H . Ekkor a Mackey-norma kiszámítása Bruhat-féle módszerének τ

10.1.7. alkalmazásával nyerjük a következő egyenlőségeket: kf k2 = = (1)

=

Z

N ×H (2)

=

Z

N ×H

Z

N ×H

kf (n, h)k2 (u ⊗ (χτ w)) (n, h) d(βN ⊗ (χ−1 τ βH ))(n, h) = (1)

kf (n, h)k2 u(n)χτ (h)w(h)χτ (h)−1 d(βN ⊗ βH )(n, h) =

(2)

k UN τh−1 (n−1 ) ⊗idF (f ◦ jH )(h)k2 u(n)w(h) d(βN ⊗ βH )(n, h) = Z

N

u(n) dβN (n)

Z

H

k(f ◦ jH )(h)k2 w(h) dβH (h)

(3)

= kW f k2 ,

ahol b U N⊚ – az = egyenlőségnél felhasználtuk azt, hogy f ∈ HNU⊗ H miatt minden N ×H ∋ (n, h)τ ra f (n, h) = UN τh−1 (n−1 ) ⊗idF (f ◦ jH )(h); (1)

(2)

– a = egyenlőségnél alkalmaztuk az elemi Lebesgue–Fubini-tételt a βN ⊗ βH szorzatmértékre és az N × H → R; (n, h) 7→ u(n)k(f ◦ jH )(h)k2 w(h) 355

folytonos kompakt tartójú függvényre (ez a függvény u ⊗ ψ alakú, ahol a ψ : H → R;

h 7→ k(f ◦ jH )(h)k2 w(h) bU IU ⊗

miatt van olyan K ⊆ H kompakt függvény kompakt tartójú, mert f ◦ jH ∈ HH N halmaz, amelyre supp(f ◦ jH ) ⊆ K · H[UN ], továbbá (K · H[UN ]) ∩ supp(w) kompakt halmaz H-ban, mert w Bruhat-féle keresztmetszete a H, H[UN ], βH[UN ] hármasnak, valamint nyilvánvalóan supp(ψ) ⊆ supp(f ◦ jH ) ∩ supp(w) ⊆ (K · H[UN ]) ∩ supp(w) teljesül); (3)

– a = egyenlőségnél felhasználtuk, hogy βN (u) = 1, és ismét alkalmaztuk a Mackeynorma kiszámításának Bruhat-féle módszerét (10.1.7.). A folytonos lineáris operátorok kiterjesztési tétele alapján létezik egyetlen olyan −1 b U,βN ⊗(χ−1 UN ⊚ τ βH ),βN ⊗(χτ βH[UN ] )

W : HN ⊗ H τ

b U,βH ,βH[UN ] I UN ⊗

→ HH

b U N⊚ folytonos lineáris operátor, amely a W operátornak folytonos kiterjesztése a HNU⊗ H τ

vektortérről a

−1 b U,βN ⊗(χ−1 UN ⊚ τ βH ),βN ⊗(χτ βH[UN ] ) HN ⊗ H

Hilbert-térre, tehát amelyre minden

τ

b U N⊚ esetén W f = f ◦ jH . Az egyenlőségek folytatásának elve alapján a W f ∈ HNU⊗ H τ

operátor izometria a Mackey-normákkal ellátott

−1 b U,βN ⊗(χ−1 UN ⊚ τ βH ),βN ⊗(χτ βH[UN ] )

HN ⊗ H

b U,βH ,βH[UN ] I UN ⊗

és HH

τ

b U,βH ,βH[UN ] I UN ⊗

Hilbert-terek között. Ezért Im(W ) zárt lineáris altér a HH A 10.10.11. tétel b) pontja szerint lineáris altere a operátor.

b U,βH ,βH[UN ] IU ⊗ HH N

bU IU ⊗ HH N

Hilbert-térben.

= Im(W ) ⊆ Im(W ), tehát Im(W ) sűrű

Hilbert-térnek. Ezért W szürjektív is, tehát unitér

A W operátor egyértelműségét nyilvánvalóan biztosítja a folytonossága és az a feltétel, b U b U N⊚ N⊚ sűrű a W esetén W f = f ◦ jH teljesül, hiszen HNU⊗ hogy minden f ∈ HNU⊗ H H τ

τ

definíciós tartományában. Ezzel a)-t igazoltuk.

b) A 10.10.11. tétel d) pontja szerint, (n, h) ∈ N × H esetén a W ◦ V UN ⊚b

−1 U,βN ⊗(χ−1 τ βH ),βN ⊗(χτ ′ βH[UN ] )

356

(n, h) ◦ W −1

bU IU ⊗

unitér operátor leszűkítése HH N -ra egyenlő a 10.10.11. tétel c) pontjában értelmezett V (UN ,U ) (n, h) operátorral, tehát a V (UN ,U ) (n, h) kiterjeszthető unitér operátorként a b U,βH ,βH[U IU ⊗

]

N Hilbert-térre, és ez a kiterjesztés egyenlő az imént felírt unitér HH N operátorral, tehát

V UN ,U,βH ,βH[UN ] (n, h) = W ◦ V UN ⊚b

−1 U,βN ⊗(χ−1 τ βH ),βN ⊗(χτ ′ βH[UN ] )

(n, h) ◦ W −1 .

c) Ebből az egyenlőségből azonnal következik c), mert a W ◦ V UN ⊚b

−1 U,βN ⊗(χ−1 τ βH ),βN ⊗(χτ ′ βH[UN ] )

b U,βH ,βH[UN ] I UN ⊗

(·) ◦ W −1 : N ⊗ H → U(HH τ

)

leképezés folytonos unitér ábrázolása az N ⊗ H lokálisan kompakt féldirekt szorzatnak a

b U,βH ,βH[UN ] IU ⊗ HH N

τ

Hilbert-térben.

d) Az előző egyenlőség alapján d) is teljesül.  Tehát az előző tételben értelmezett V UN ,U,βH ,βH[UN ] unitér ábrázolás és a V UN ⊚b

−1 U,βN ⊗(χ−1 τ βH ),βN ⊗(χτ ′ βH[UN ] )

indukált unitér ábrázolás kanonikusan (vagyis kitüntetett módon) unitér ekvivalensek b U,βH ,βH[UN ] I UN ⊗

(W által). Azonban az előbbi ábrázolási tere, vagyis HH

jóval könnyebben

kezelhető, mint az utóbbié, vagyis a

Hilbert-tér.

−1 b U,βN ⊗(χ−1 UN ⊚ τ βH ),βN ⊗(χτ βH[UN ] ) HN ⊗ H τ

357

11. fejezet Mackey-féle reprezentációs tétel 11.1.

Lokálisan kompakt csoport belső topologikus ábrázolásai

11.1.1. Jelölés. Legyen G lokálisan kompakt csoport és N zárt kommutatív invariáns c esetén az N → U; n 7→ χ(s−1 ns) függvényt részcsoportja G-nek. Minden s ∈ G és χ ∈ N az s · χ szimbólummal jelöljük, vagyis s · χ := χ ◦ IntG (s−1 )|N . c esetén az {s ∈ G|s · χ = χ} halmazt G -vel jelöljük, vagyis Továbbá, χ ∈ N χ

Gχ := {s ∈ G | (∀n ∈ N) : χ(s−1 ns) = χ(n)}.

Legyen G lokálisan kompakt csoport és N zárt kommutatív invariáns részcsoportja G-nek. Ha s ∈ G, akkor az IntG (s−1 )|N : N → N függvény automorfizmusa az N c esetén s·χ ∈ N. c kommutatív lokálisan kompakt csoportnak, ezért minden s ∈ G és χ ∈ N c, akkor s · (s · χ) = (s s ) · χ és e · χ = χ. Ez azt jelenti, hogy a Ha s1 , s2 ∈ G és χ ∈ N 1 2 1 2 G c c halmazban. Ezt G → S(N ); s 7→ (χ 7→ s · χ) leképezés a G csoportnak ábrázolása az N c c az ábrázolást a G csoport N-beli belső ábrázolásának nevezzük. Világos, hogy χ ∈ N esetén Gχ a χ pont stabilitás-csoportja a belső ábrázolás szerint. 11.1.2. Állítás. Ha G lokálisan kompakt csoport és N zárt kommutatív invariáns részcsoport G-ben, akkor a c → N; c G×N

(s, χ) 7→ s · χ

c-ban folytonos topologikus ábrázolás. leképezés folytonos, vagyis a G belső ábrázolása N

358

Bizonyítás. Jelölje K az N kompakt részhalmazainak halmazát. Minden K ∈ K , c esetén legyen W (χ ) := {χ ∈ N|(∀ c ε ∈ R+ és χ0 ∈ N s ∈ K) : |χ(s) − χ0 (s)| < ε}. K,ε 0 c A kompakt konvergencia topológiájának értelmezése szerint nyilvánvaló, hogy χ0 ∈ N + c esetén a {WK,ε |(K ∈ K ) ∧ (ε ∈ R )} halmaz környezetbázisa χ0 -nak az N lokálisan c akkor minden kompakt térben. Ezért azt kell igazolni, hogy ha s0 ∈ G és χ0 ∈ N, ε ∈ R+ számhoz és minden K ∈ K halmazhoz létezik s0 -nak olyan W környezete Gben, valamint létezik olyan L ∈ K és δ ∈ R+ , hogy minden (s, χ) ∈ W ×WL,δ (χ0 ) esetén s · χ ∈ WK,ε (s0 .χ0 ). c K ∈ K és ε ∈ R+ rögzítettek, valamint Ennek bizonyításához legyenek s0 ∈ G, χ0 ∈ N, jelöljön W0 az s0 -nak egy kompakt környezetét G-ben. Ha s ∈ W0 és n ∈ K, akkor

|(s · χ)(n) − (s0 · χ0 )(n)| = |χ(s−1 ns) − χ0 (s−1 0 ns0 )| ≤

≤

≤ |χ(s−1 ns) − χ0 (s−1 ns)| + |χ0 (s−1 ns) − χ0 (s−1 0 ns0 )| ≤ sup

n′ ∈N ∩(W0−1 KW0 )

|χ(n′ ) − χ0 (n′ )| + |χ0 (s−1 ns) − χ0 (s−1 0 ns0 )|.

Itt N ∩ (W0−1 KW0 ) kompakt részhalmaza N-nek. Most a G × N → C;

(s, n) 7→ χ0 (s−1 ns)

folytonos függvényre alkalmazzuk a paraméteres függvények folytonosságának tételét (3.1.1.). Azt kapjuk, hogy minden δ ∈ R+ esetén létezik s0 -nak olyan Wδ környezete, hogy sup |χ0 (s−1 ns) − χ0 (s−1 0 ns0 )| < δ. (s,n)∈Wδ ×K

Ha tehát a δ ∈ R számhoz a Wδ környezetet így választjuk, akkor s ∈ W0 ∩Wδ és n ∈ K esetén |(s · χ)(n) − (s0 · χ0 )(n)| < sup |χ(n′ ) − χ0 (n′ )| + δ. +

n′ ∈N ∩(W0−1 KW0 )

Ez azt jelenti, hogy ha L := N ∩ (W0−1 KW0 ) és δ ∈]0, ε/2], akkor s ∈ W0 ∩ Wδ és χ ∈ WL,δ (χ0 ) esetén s · χ ∈ WK,ε(s0 .χ0 ). 

A következőkben fel fogjuk használni azt, hogy ha N megszámlálható bázisú c is megszámlálható bázisú lokálisan kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor N kompakt csoport (8.3.8.).

11.1.3. Lemma. Legyen γ ábrázolása a G csoportnak az X halmazban, és minden E ⊆ X halmazra legyen G · E := {γ(s)x|(s ∈ G) ∧ (x ∈ E)}. Ha D ⊆ X olyan halmaz, amely az X minden γ-pályáját éppen egy pontban metszi, akkor minden E ⊆ D halmazra és a D részhalmazainak bármely (En )n∈N sorozatára teljesülnek a G · (D \ E) = X \ (G · E), egyenlőségek. 359

G·

\

n∈N

En =

\

n∈N

(G · En )

Bizonyítás. (I) Először megmutatjuk, hogy G · (D \ E) ⊆ X \ (G · E). Az állítással ellentétben tegyük fel, hogy x ∈ G · (D \ E) és x ∈ G · E. Ekkor létezik olyan s, t ∈ G, y ∈ D \ E és z ∈ E, hogy x = γ(s)y = γ(t)z. Ekkor G · {y} ∩ G · {z} = 6 ∅ miatt G · {y} = G · {z}, tehát D ∩ (G · {y}) = D ∩ (G · {z}). A feltevés alapján ez a halmaz egy elemű. Ugyanakkor y ∈ D ∩ (G · {y}) és z ∈ D ∩ (G · {z}), ezért y = z, holott y ∈ D \ E és z ∈ E, ami lehetetlen. Ezért G · (D \ E) ⊆ X \ (G · E).

Megfordítva, legyen x ∈ X \ (G · E). Az X = G · D feltétel miatt van egyetlen olyan y ∈ D, hogy x ∈ G · {y}. Ekkor x ∈ / G · E miatt y ∈ / E, vagyis y ∈ D \ E, így x ∈ G · {y} ⊆ G · (D \ E). (II) Az nyilvánvaló, hogy G· legyen x ∈ (xn )n∈N ∈

T

Y n∈N

n∈N

(G · En ).

T

n∈N

En ⊆

T

n∈N

(G·En ). A fordított tartalmazás bizonyításához

Válasszunk ki olyan (sn )n∈N sorozatot G-ben és olyan

En rendszert, hogy minden N ∋ n-re x = γ(sn )xn . Legyenek m, n ∈ N

rögzítettek. Ekkor γ(sm )xm = γ(sn )xn , következésképpen G · {xm } = G · {xn }, tehát D ∩ (G · {xm }) = D ∩ (G · {xn }). Ezek a halmazok egy eleműek és xm ∈ D ∩ (G · {xm }), valamint xn ∈ D ∩ (G · {xn }). Ezért xm = xn , vagyis létezik olyan y ∈ X, hogy T minden N ∋ n-re y = xn ∈ En . Ekkor y ∈ En és bármely n ∈ N esetén x = γ(sn )y ∈ G ·

T

n∈N

n∈N

En . 

11.1.4. Állítás. Legyen G σ-kompakt lokálisan kompakt csoport és γ olyan folytonos topologikus ábrázolása G-nek az X megszámlálható bázisú lokálisan kompakt térben, hogy létezik olyan D ⊆ X σ-kompakt halmaz, amely az X minden γ-pályáját éppen egy pontban metszi. Ha H 6= {0} Hilbert-tér és p : B(X) → L (H ) olyan projektor-értékű σortoadditív függvény, hogy p(X) = idH és minden E ∈ B(X) γ-invariáns halmazra p(E) = 0 vagy p(E) = idH , akkor egyértelműen létezik olyan ω ⊆ X γ-pálya, amelyre p(ω) = idH . Bizonyítás. Minden s ∈ G és x ∈ X esetén az s · x := γ(s)x jelölést fogjuk alkalmazni, továbbá minden H ⊆ G és E ⊆ X halmazra H · E := {s · x|(s ∈ H) ∧ (x ∈ E)}.

Ha az ω ⊆ X halmaz γ-pálya, akkor ω σ-kompakt halmaz, mert x ∈ ω esetén ω egyenlő a G → X; s 7→ s·x folytonos függvény értékkészletével és a hipotézis szerint G σ-kompakt. Tehát, ha az ω halmaz γ-pálya, akkor ω Borel-halmaz és γ-invariáns, így p(ω) = 0 vagy p(ω) = idH . Az lehetetlen, hogy létezzenek olyan ω és ω ′ különböző γ-pályák, hogy p(ω) = idH = p(ω ′), hiszen ha így volna, akkor ω ∩ ω ′ = ∅, tehát a p additivitása folytán 2.idH = p(ω) + p(ω ′ ) = p(ω ∪ ω ′ ), így a 2.idH operátor szintén projektor volna L (H )-ban, tehát H = {0} teljesülne. Ezért legfeljebb egy olyan ω ⊆ X γ-pálya létezik, amelyre p(ω) = idH . Legyen most D ⊆ X olyan σ-kompakt halmaz, amely az X minden γ-pályáját éppen egy pontban metszi. Legyen (Ωn )n∈N az X nyílt részhalmazainak olyan sorozata, hogy 360

{Ωn |n ∈ N} topologikus bázisa X-nek. Nyilvánvaló, hogy ekkor minden x, x′ ∈ X ponthoz, x 6= x′ esetén létezik olyan n ∈ N, hogy x ∈ Ωn és x′ ∈ / Ωn , vagy x ∈ / Ωn és x′ ∈ Ωn . Ha n ∈ N, akkor D ∩ Ωn σ-kompakt, mert D σ-kompakt és Ωn Fσ -halmaz (hiszen X metrizálható és Ωn nyílt X-ben); ezért D ∩ Ωn Borel-halmaz. Tehát minden N ∋ n-re a G · (D ∩ Ωn ) halmaz γ-invariáns és σ-kompakt, vagyis Borel-halmaz. A hipotézis alapján ez azt jelenti, hogy minden n ∈ N esetén p(G · (D ∩ Ωn )) = 0 vagy p(G · (D ∩ Ωn )) = idH . Ugyanakkor n ∈ N esetén D \ Ωn = D ∩ (X \ Ωn ) szintén σ-kompakt halmaz, mert D σ-kompakt és X \ Ωn zárt X-ben. Legyen minden N ∋ n-re  D

∩ Ωn En :=  D \ Ωn

; ha p(G · (D ∩ Ωn )) = idH ; ha p(G · (D ∩ Ωn )) 6= idH .

Tehát (En )n∈N az X Borel- (sőt σ-kompakt) részhalmazainak sorozata. Megmutatjuk, hogy minden n ∈ N esetén p(G · En ) = idH . Valóban, ha n ∈ N és p(G · (D ∩Ωn )) = idH , akkor En := D ∩ Ωn , ezért p(G · En ) = idH . Ha viszont n ∈ N és p(G · (D ∩ Ωn )) 6= idH , akkor p(G · (D ∩ Ωn )) = 0, és az előző lemma szerint G · En = G · (D \ Ωn ) = G · (D \ (D ∩ Ωn )) = X \ (G · (D ∩ Ωn )) , tehát a p additivitása folytán p(G · En ) = p (X \ (G · (D ∩ Ωn ))) = p(X) − p(G · (D ∩ Ωn )) = idH . Minden N ∋ n-re En ⊆ D, így az előző lemma alapján G ·

p σ-ortoadditivitása miatt p G·

\

n∈N

!

En = p

\

n∈N

!

T

n∈N

En =

T

n∈N

(G · En ), tehát a

(G · En ) = inf p(G · En ) = idH n∈N

([19, 29.4.4.]). (Egyedül itt lényeges a p σ-ortoadditivitása.) Ebből következik, hogy T T En 6= ∅. Tegyük fel, hogy x, x′ ∈ En ; ekkor minden N ∋ n-re x, x′ ∈ En . n∈N

n∈N

Ha n ∈ N olyan, hogy p(G · (D ∩ Ωn )) = idH , akkor {x, x′ } ⊆ En := D ∩ Ωn , tehát {x, x′ } ⊆ Ωn . Ha n ∈ N olyan, hogy p(G·(D ∩Ωn )) 6= idH , akkor {x, x′ } ⊆ En := D \Ωn , T tehát {x, x′ } ⊆ X \ Ωn . Ebből azonnal következik, hogy x = x′ , vagyis En egy elemű halmaz. Ha x ∈ X az a pont, amelyre {x} =

γ-pálya, amelyre p(ω) = idH . 

T

n∈N

n∈N

En , akkor az ω := G · {x} halmaz olyan

11.1.5. Lemma. Legyen G lokálisan kompakt csoport, N zárt kommutatív invariáns c részcsoport G-ben, és jelölje γ a G belső ábrázolását N-ban. Ha βN Haar-mérték N felett, akkor minden s ∈ G és ϕ ∈ K (N; C) esetén F βN (ϕ) ◦ γ(s)−1 = (mod (IntG (s)|N ))−1 F βN ϕ ◦ IntG (s−1 )|N 361

.

c, akkor Bizonyítás. Ha s ∈ G, ϕ ∈ K (N; C) és χ ∈ N

F βN (ϕ) ◦ γ(s)

=

Z

N

−1

(χ) = F βN (ϕ) (s

(χ ◦ (IntG (s)|N )) ϕ dβN = =

Z

N

Z

χ. ϕ ◦ IntG (s−1 )|N −1

= (mod (IntG (s)|N ))

· χ) =

Z

N

(s−1 · χ)ϕ dβN =

χ. ϕ ◦ IntG (s−1 )|N

N

= (mod (IntG (s)|N ))

−1

Z

N −1

◦ (IntG (s)|N ) dβN =

d (IntG (s)|N ) (βN ) =

χ. ϕ ◦ IntG (s−1 )|N F βN ϕ ◦ IntG (s−1 )|N

dβN = (χ),

ahol felhasználtuk azt, hogy az automorfizmusok modulusának definíciója alapján (IntG (s)|N ) (βN ) = (mod (IntG (s)|N ))−1 .βN . 

11.2.

A Mackey-féle reprezentációs tétel bizonyítása

11.2.1. Tétel. (Mackey-féle reprezentációs tétel) Legyen G megszámlálható bázisú lokálisan kompakt csoport és N zárt kommutatív invariáns részcsoport G-ben. Jelölje γ c a G belső ábrázolását N-ban, és tegyük fel, hogy

c minden γ-pályája lokálisan kompakt halmaz; a) az N

c-nak olyan σ-kompakt részhalmaza, amely az N c minden γ-pályáját éppen egy b) létezik N pontban metszi.

c Ekkor a G minden V irreducibilis folytonos unitér ábrázolásához létezik olyan χ ∈ N és létezik a Gχ stabilitás-csoportnak olyan U irreducibilis folytonos unitér ábrázolása, hogy bármely G (illetve Gχ ) feletti βG (illetve βGχ ) baloldali Haar-mértékre V unitér ekvivalens a G csoport (U, βG , βGχ ) hármas által indukált unitér ábrázolásával és minden n ∈ N esetén U(n) = χ(n).idF , ahol F az U unitér ábrázolás tere.

Bizonyítás. Legyen V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben. A V |N : N → U(H ) függvény folytonos unitér ábrázolása az N kommutatív lokálisan kompakt csoportnak, amely még akkor sem szükségképpen irreducibilis ha V irreducibilis (de egyelőre nem tesszük fel V irreducibilitását). Legyen βN Haar-mérték N felett. A Stonec; C) → L (H ) tétel alapformája (8.3.1.) szerint egyértelműen létezik olyan P : K (N nemelfajult ábrázolás, amelyre (V |N )βN ⊆ P ◦ F βN , tehát ϕ ∈ K (N; C) és ξ, η ∈ H esetén Z

N

(V (n)ξ|η)ϕ(n) dβN (n) = (V |N )βN (ϕ)ξ η = P (F βN (ϕ))ξ η . 362

c C) esetén Most megmutatjuk, hogy minden s ∈ G és ψ ∈ K (N;

V (s) ◦ P (ψ) ◦ V (s)−1 = P (ψ ◦ γ(s)−1 ).

c; C) egy sup-normában sűrű alteréből való Adott s ∈ G esetén ezt elegendő a K (N ψ függvényekre igazolni. Tudjuk, hogy Im(F βN ) sup-normában sűrű *-részalgebra c; C)-ben, és K (N; C) sűrű *-részalgebra L1 (N, β )-ben, ezért F hK (N; C)i is K (N N βN C c; C)-ben. Ezért elég azt igazolni, hogy s ∈ G és sup-normában sűrű *-részalgebra K (N ϕ ∈ K (N; C) esetén

V (s) ◦ P (F βN (ϕ)) ◦ V (s)−1 = P

F βN (ϕ) ◦ γ(s)−1 ,

vagy ami ugyanaz: V (s) ◦ (V |N ) (ϕ) ◦ V (s)−1 = P

F βN (ϕ) ◦ γ(s)−1 .

Ez viszont igaz, mivel ξ, η ∈ H esetén V (s) ◦ (V |N )βN (ϕ) ◦ V (s)−1 ξ η = (V |N )βN (ϕ)(V (s−1 )ξ) V (s−1 )η =

=

Z

−1

−1

(V (n)V (s )ξ|V (s )η)ϕ(n) dβN (n) =

N

= =

Z

Z

Z

(V (sns−1 )ξ|η)ϕ(n) dβN (n) =

N

(V ((IntG (s)|N )(n))ξ|η)ϕ(n) dβN (n) =

N

(V (n)ξ|η) ϕ (IntG (s−1 )|N )(n) d ((IntG (s)|N )(βN )) (n) =

N

= (mod (IntG (s)|N ))−1 (V |N )βN ϕ ◦ (IntG (s−1 )|N ) ξ η =

= (mod (IntG (s)|N ))−1

P ◦ F βN

ϕ ◦ (IntG (s−1 )|N ) ξ η =(P (F βN (ϕ) ◦ γ(s)−1 )ξ|η),

ahol felhasználtuk az előző lemma eredményét.

c → L (H ) azt az egyértelMost a Stone-tételt (8.3.6.) alkalmazva, jelölje p : B0 (N) műen meghatározott nemelfajult projektor-értékű σ-ortoadditív függvényt, amely által c; C)-ről E (N c, B (N c))-re. Itt megjegenerált egyszerű integrál a P kiterjesztése K (N C 0 gyezzük, hogy a G megszámlálható bázisú, ezért N is megszámlálható bázisú kommutatív c szintén megszámlálható bázisú lokálisan kompakt tér. lokálisan kompakt csoport, így N c metrizálható és σ-kompakt ([19, 27.13.1.]), így az N c Baire- és Ebből következik, hogy N c c Borel-halmazai ugyanazok, ezért a továbbiakban B0 (N) helyett B(N )-t írunk. c; C) esetén Az előzőek alapján minden s ∈ G és ψ ∈ K (N

V (s) ◦

Z

b N

ψ dp

◦ V (s)−1 = 363

Z

b N

ψ ◦ γ(s)−1 dp.

c, B(N)) c ∋ ψMost megmutatjuk, hogy ez az egyenlőség minden G ∋ s-re és minden EC (N c Borel-halmazra és G ∋ s-re re is igaz. Ehhez elég azt igazolni, hogy minden E ⊆ N

V (s) ◦ p(E) ◦ V (s)−1 = p(γ(s)hEi).

c, B(N)) c Borel-lépcsősfüggValóban, ha ez az egyenlőség igaz, akkor minden ψ ∈ EC (N vényre teljesül a bizonyítandó egyenlőség, így a p által generált egyszerű integrál supnorma és operátornorma szerinti folytonossága, valamint az egyenlőségek folytatásának c, B(N)) c ∋ ψ-re is elve alapján kapjuk, hogy az egyenlőség minden G ∋ s-re és EC (N fennáll. Legyen tehát s ∈ G rögzítve, és értelmezzük az c) | V (s) ◦ p(E) ◦ V (s)−1 = p(γ(s)hEi) } As := { E ∈ B(N

c minden kompakt G részhalmaza eleme volna halmazt. Ha As σ-gyűrű volna és az N δ c neki, akkor As = B(N ) teljesülne; és ezt kell bizonyítani.

Először megmutatjuk, hogy As halmazgyűrű. Valóban, ha E1 , E2 ∈ As , akkor a p additivitása folytán V (s) ◦ p(E1 ∪ E2 ) ◦ V (s)−1 = V (s) ◦ (p(E1 ) + p(E2 ) − p(E1 )p(E2 )) ◦ V (s)−1 = = V (s) ◦ p(E1 ) ◦ V (s)−1 + V (s) ◦ p(E2 ) ◦ V (s)−1 −

− V (s) ◦ p(E1 ) ◦ V (s)−1 ◦ V (s) ◦ p(E2 ) ◦ V (s)−1 = = p(γ(s)hE1 i) + p(γ(s)hE2 i) − p(γ(s)hE1 i) ◦ p(γ(s)hE2 i) = = p(γ(s)hE1 i ∪ γ(s)hE2 i) = p(γ(s)hE1 ∪ E2 i),

tehát E1 ∪ E2 ∈ As , továbbá

V (s) ◦ p(E1 \ E2 ) ◦ V (s)−1 = V (s) ◦ (p(E1 ) − p(E1 )p(E2 )) ◦ V (s)−1 = = V (s) ◦ p(E1 ) ◦ V (s)−1 − V (s) ◦ p(E1 ) ◦ V (s)−1 ◦ V (s) ◦ p(E2 ) ◦ V (s)−1 = = p(γ(s)hE1 i)−p(γ(s)hE1 i) ◦ p(γ(s)hE2 i) = p(γ(s)hE1 i \ γ(s)hE2 i) = p(γ(s)hE1 \ E2 i),

tehát E1 \ E2 ∈ As , vagyis As halmazgyűrű.

Legyen (En )n∈N diszjunkt sorozat As -ben. Ekkor (γ(s)hEn i)n∈N is diszjunkt sorozat c)-ban, és a p σ-ortoadditív, így B(N p γ(s)

*

[

n∈N

En

+!

=p

[

n∈N

!

γ(s)hEn i = sup p(γ(s)hEn i) = n∈N

= sup V (s) ◦ p(En ) ◦ V (s)−1 = V (s) ◦ sup p(En ) ◦ V (s)−1 = n∈N

n∈N

364

= V (s) ◦ p mert nyilvánvaló, hogy a

[

n∈N

!

En ◦ V (s)−1 ,

e 7→ V (s) ◦ e ◦ V (s)−1

P(L (H )) → P(L (H ));

leképezés rendezés-izomorfizmus, tehát sup-tartó. Ezért hogy As σ-gyűrű ([19, 30.1.4.]).

S

n∈N

En ∈ As , amiből következik,

c c-ban, Legyen K kompakt Gδ -halmaz N-ban (vagyis K tetszőleges kompakt halmaz N c metrizálhatósága folytán az N c minden zárt részhalmaza G -halmaz). hiszen az N δ c) -ban, hogy χ = inf ψ ; ekkor Legyen (ψn )n∈N olyan monoton fogyó sorozat K (N + n K n∈N

természetesen χγ(s)hKi = inf (ψn ◦ γ(s)−1 ) is igaz. A [19, 24.3.6.] szerint az L (H ) C ∗ n∈N

algebra ultraspektrális; legyen M ⊆ L (H )′ olyan lineáris altér, amelyre (SPI ) és (SPII ) c) → C korlátos és σ-additív halmazfüggvény, teljesül. Minden f ∈ M esetén f ◦ p : B(N tehát korlátos komplex mérték, továbbá V (s).f.V (s)−1 ∈ M, vagyis (V (s).f.V (s)−1 ) ◦ p is mérték. Ezért a Levi-tétel alapján minden M ∋ f -re f V (s)◦p(K)◦V (s)

= lim

n→∞

Z

b N

= lim f n→∞

ψn d

−1

= V (s).f.V (s)

V (s).f.V (s)

V (s) ◦

Z

−1

(p(K)) =

Z

V (s).f.V (s)−1 ◦p =

χK d

b N

◦ p = lim V (s).f.V (s)

−1

◦ V (s)−1

= lim f n→∞

= f (p(γ(s)hKi)).

Z

b N

Z

ψn dp

=

ψn ◦ γ(s)−1 dp

=

n→∞

ψn dp

b N

−1

b N

Az M halmaz szétválasztó L (H ) felett, ezért ebből V (s) ◦ p(K) ◦ V (s)−1 = p(γ(s)hKi) c); vagyis minden G ∋ s-re következik, vagyis K ∈ As . Ezzel igazoltuk, hogy As = B(N c B(N c)) ∋ ψ-re és EC (N, V (s) ◦

Z

b N

ψ dp

◦ V (s)−1 =

Z

b N

ψ ◦ γ(s)−1 dp.

c γ-invariáns Borel-halmaz, akkor minden G ∋ s-re V (s) ◦ p(E) ◦ V (s)−1 = Ha E ⊆ N p(γ(s)hEi) = p(E), vagyis p(E) ∈ C(V ; V ). Tehát, ha V irreducibilis (és ettől kezdve c γ-invariáns Borel-halmazra p(E) = 0 vagy ezt feltesszük), akkor akkor minden E ⊆ N c = 0 vagy p(N) c = id . Ha p(N c) = 0 volna, akkor p(E) = idH . Speciálisan, p(N) H

365

c Borel-halmazra p(E) = p(E ∩ N) c = p(E) ◦ p(N) c = 0 is teljesülne, így a minden E ⊆ N c C)-re nullábrázolás. Ez a leszűkítés p által generált egyszerű integrál leszűkítése K (N; viszont egyenlő P -vel, ami ellentmond annak, hogy P nemelfajult és H 6= {0}. Ebből c) = id . következik, hogy p(N H

Most a b) feltétel és az előző állítás alapján arra következtethetünk, hogy egyértelműen c γ-pálya, amelyre p(ω) = id . Világos, hogy B(ω) ⊆ B(N c), mert létezik olyan ω ⊆ N H c ω Borel-halmaz N-ban. Vezessük be a következő jelöléseket:

– pω a p leszűkítése B(ω)-ra, amely nyilvánvalóan olyan B(ω) → L (H ) σ-ortoadditív függvény, hogy pω (ω) = idH ; – Pω a pω által generált egyszerű integrál leszűkítése C b (ω; C)-re, tehát ZPω : C b (ω; C) →

L (H ) az az ábrázolás, amelyre minden ψ ∈ C b (ω; C) esetén Pω (ψ) =

ψ dpω ;

ω

– γω a γ ábrázolás ω által meghatározott részábrázolása, vagyis γω az a topologikus ábrázolása G-nek az ω lokálisan kompakt térben, amelyre minden s ∈ G esetén γω (s) := γ(s)|ω . Világos, hogy minden E ∈ B(ω) és s ∈ G esetén V (s) ◦ pω (E) ◦ V (s)−1 = pω (γω (s)hEi). Ebből azonnal következik, hogy minden ψ ∈ EC (ω, B(ω)) és s ∈ G esetén V (s) ◦

Z ω

ψ dpω

◦ V (s)

−1

=

Z ω

ψ ◦ γω (s)−1 dpω ,

így a pω által generált egyszerű integrál sup-norma és operátornorma szerinti folytonossága, valamint az egyenlőségek folytatásának elve alapján kapjuk, hogy ez az integrálegyenlőség minden G ∋ s-re és EC (ω, B(ω)) ∋ ψ-re igaz. Ebből következik, hogy minden s ∈ G és ψ ∈ C b (ω; C) esetén V (s) ◦ Pω (ψ) ◦ V (s)−1 = Pω (ψ ◦ γω (s)−1 ). Továbbá, a Pω ábrázolás K (ω; C)-re vett leszűkítése nemelfajult, mert létezik olyan (ψn )n∈N sorozat K (ω)+ -ban, amely monoton nőve tart az ω → R azonosan 1 függvényhez; ekkor a pω ortoadditivitása folytán a (Pω (ψn ))n∈N operátorsorozat pontonként konvergál a pω (ω) = idH operátorhoz. Legyen χ ∈ ω rögített, és vezessük be a következő jelöléseket:

– ρχ a G → ω; s 7→ s · χ orbitális függvény, és ρ˙ χ : G/Gχ → ω a ρχ kanonikus faktorizáltja, amely a 2.6.3. tétel szerint homeomorfizmus a G/Gχ topologikus faktortér és az ω lokálisan kompakt tér között; – (ρ˙ χ )∗ a C b (ω; C) → C b (G/Gχ ; C); ψ 7→ ψ ◦ ρ˙ χ leképezés, amely izometrikus *-izomorfizmus a C b (ω; C) és C b (G/Gχ ; C) C ∗ -algebrák között; 366

−1

– Pω,χ a Pω ◦ ((ρ˙ χ )∗ ) leképezés, amely a C b (G/Gχ ; C) *-algebrának egységelem-tartó ábrázolása a H Hilbert-térben, és Pω,χ leszűkítése K (G/Gχ ; C)-re nemelfajult; – pω,χ a B(G/Gχ ) → L (H ); E 7→ pω (ρ˙ χ hEi) leképezés, amely projektor-értékű σ-ortoadditív függvény. A (ρ˙ χ )∗ függvény bijektivitásából, a V és Pω között imént igazolt kommutációs összefüggésből, valamint a ρ˙ χ ◦ γG/Gχ (s) = γω (s) ◦ ρ˙ χ egyenlőségből kapjuk, hogy minden s ∈ G és ψ ∈ C b (G/Gχ ; C) esetén V (s) ◦ Pω,χ (ψ) ◦ V (s)−1 = Pω,χ (ψ ◦ γG/Gχ (s)−1 ). Tehát a Mackey-féle imprimitivitás-tétel alapján létezik Gχ -nek olyan U folytonos unitér ábrázolása, hogy ha βG (illetve βGχ ) baloldali Haar-mérték G (illetve Gχ ) felett, akkor a (V U,βG,βGχ , P U,βG,βGχ ) indukált imprimitivitás-rendszer unitér ekvivalens a (V, Pω,χ ) imprimitivitás-rendszerrel, vagyis létezik olyan u : H → H U,βG ,βGχ unitér operátor, hogy minden s ∈ G és ψ ∈ K (G/Gχ ; C) esetén V U,βG ,βGχ (s) = u ◦ V (s) ◦ u−1 , P U,βG ,βGχ (ψ) = u ◦ Pω,χ (ψ) ◦ u−1 .

A bizonyítás utolsó lépéseként megmutatjuk, hogy ha F jelöli az U ábrázolás terét, akkor minden N ∋ n-re U(n) = χ(n).idF .

Az u operátor értelmezése alapján u ∈ C(V ; V U,βG ,βGχ ), következésképpen 

u ∈ C(V |N ; V U,βG ,βGχ |N ) = C (V |N )βN ; V U,βG ,βGχ |N

βN



,

ahol βN tetszőleges Haar-mérték N felett. Ez azt jelenti, hogy ϕ ∈ K (N; C) esetén V U,βG ,βGχ |N

βN

(ϕ) = u ◦ (V |N )βN (ϕ) ◦ u−1 = u ◦ P (F βN (ϕ)) ◦ u−1 = = u◦

Z

F βN (ϕ) dp

b N

◦ u−1.

Ahhoz, hogy kihasználhassuk ezt az összefüggést, a V U,βG ,βGχ |N β (ϕ) operátorra N explicit formulát kell adni, ahol ϕ ∈ K (N; C) tetszőleges. Ehhez legyenek f, g ∈ H U , és vegyünk olyan K ⊆ G kompakt halmazt, amelyre supp(f )∪supp(g) ⊆ KGχ , valamint legyen ϕ0 ∈ K (G; C) olyan függvény, hogy πG/Gχ hKi ⊆ [ϕ♭0 = 1], ahol a K (G; C) → K (G/Gχ ; C); h 7→ h♭ operációt a rögzített βGχ Haar-mértékre vonatkoztatjuk. Ekkor n ∈ supp(ϕ) esetén supp(f ◦γG (n−1 )) = n·supp(f ) ⊆ (supp(ϕ)K)Gχ , ezért a Mackey-féle skalárszorzás kiszámításának ismert módja szerint 

V U,βG ,βGχ |N

βN

(ϕ)f g



βG ,βGχ

=

Z

N

V U,βG,βGχ |N (n)f g 367

βG ,βGχ

ϕ(n) dβN (n) =

Z

=

N

=

=

f ◦ γG (n−1 ) g

βG ,βGχ

ϕ(n) dβN (n) =

Z

(f (n−1 s)|g(s))F ϕ0 (s) dβG (s)

ϕ(n) dβN (n) =

N

Z

G

Z

Z

(f (n−1 s)|g(s))F ϕ(n) dβN (n)

ϕ0 (s) dβG (s) =

G

=

N

Z

Z

G

ϕ(n)f (n−1 s) dβN (n) g(s)

ϕ0 (s) dβG (s),

N

F

ahol az utolsó előtti egyenlőségnél az elemi Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a βG ⊗βN Radon-mértékre és a (s, n) 7→ (f (n−1 s)|g(s))F ϕ(n)ϕ0 (s)

G × N → C;

kompakt tartójú folytonos függvényre. Ezért ϕ ∗ f : G → F;

s 7→

βN

Z

ϕ(n)f (n−1 s) dβN (n)

N

olyan függvény, hogy 

V

U,βG ,βGχ

|N

βN

(ϕ)f g



=

βG ,βGχ

Z

ϕ ∗ f (s) g(s) βN

G

Ugyanakkor könnyen ellenőrizhető, hogy supp ϕ ∗ f βN

ϕ ∗ f ∈ H U , így

ϕ0 (s) dβG (s). F

⊆ (supp(ϕ)K)Gχ , valamint

βN

Z

G

ϕ ∗ f (s) g(s) βN

Ez adott ϕ és f esetén minden H

U

F

ϕ0 (s) dβG (s) = ϕ ∗ f g βN

∋ g-re igaz, ezért

V U,βG ,βGχ |N

βN

(ϕ)f = ϕ ∗ f. βN

Tehát eljutottunk odáig, hogy ϕ ∈ K (N; C) és f ∈ H ϕ ∗ f= βN

u◦

Z

b N

F βN (ϕ) dp 368

U

esetén

◦ u−1

(f ).

. βG ,βGχ

Most ennek az egyenlőségnek a jobb oldalát vizsgáljuk meg. Ehhez először megmutatjuk, hogy minden ψ ∈ C b (G/Gχ ; C) esetén P U,βG,βGχ (ψ) = u ◦ Pω,χ (ψ) ◦ u−1 (ezt eddig csak a ψ ∈ K (G/Gχ ; C) függvényekre tudjuk). A G/Gχ topologikus faktortér lokálisan kompakt és σ-kompakt, ezért létezik olyan (Kn )n∈N halmazsorozat, ◦

hogy minden N ∋ n-re Kn ⊆ G/Gχ kompakt halmaz, Kn ⊆ Kn+1 és G/Gχ =

S

n∈N

◦

Kn .

Válasszunk ki olyan (ψn )n∈N sorozatot K (G/Gχ )+ -ban, amelyre teljesül az, hogy minden n ∈ N esetén 0 ≤ ψn ≤ 1 és Kn ⊆ [ψn = 1]. Legyen ψ ∈ C b (G/Gχ ; C) rögzített függvény. Ekkor a (ψn ψ)n∈N függvénysorozat K (G/Gχ ; C)-ben halad, egyenletesen korlátos, és lokálisan egyenletesen konvergál ψ-hez, mert minden K ⊆ G/Gχ kompakt halmazhoz van olyan n0 ∈ N, hogy K ⊆ Kn0 , így minden n > n0 természetes számra ψn ψ = ψ a K halmazon. Az indukált projektorintegrálok folytonosságának tételéből következik, hogy P U,βG ,βGχ (ψ) = lim P U,βG,βGχ (ψn ψ) teljesül pontonként a n→∞

U,βG ,βGχ

Hilbert-téren. Ebből következik, hogy a (Pω,χ (ψn ψ))n∈N operátorsorozat ponH Ugyanakkor tonként konvergál az u−1 ◦ P U,βG ,βGχ (ψ) ◦ u operátorhoz a H Hilbert-téren. Z

a Pω,χ definíciója alapján minden N ∋ n-re Pω,χ (ψn ψ) =

ω

(ψn ψ) ◦ ρ˙ −1 dpω . χ

A

(ψn ψ) ◦ ρ˙ −1 χ n∈N függvénysorozat szintén egyenletesen korlátos és pontonként konvergál −1 a ψ ◦ ρ˙ χ függvényhez az ω halmazon (sőt lokálisan egyenletesen is konvergens az ω lokálisan kompakt téren, hiszen ρ˙ χ : G/Gχ → ω homeomorfizmus). A projektormérték szerinti egyszerű integrál folytonossági tétele ([19, 24.6.4.]) szerint Pω,χ (ψ) =

Z ω

ψ◦

ρ˙ −1 χ

dpω = lim

n→∞

Z ω

(ψn ψ) ◦ ρ˙ −1 χ dpω

a H Hilbert-téren pontonként. Ezért teljesül a Pω,χ (ψ) = u−1 ◦ P U,βG,βGχ (ψ) ◦ u egyenlőség is, amit bizonyítani akartunk. A pω definíciója és a projektormérték leszűkítése szerinti egyszerű integrálás tétele ([19, 30.4.1.]) alapján minden ϕ ∈ K (N; C) esetén Z

b N

F βN (ϕ) dp =

Z ω

F βN (ϕ) |ω dpω ,

c; C) ⊆ E (N, c B(N c)), és ω Borel-halmaz N-ban. c Ugyanakkor hiszen F βN (ϕ) ∈ K (N C tudjuk, hogy a ρ˙ χ : G/Gχ → ω függvény homeomorfizmus, tehát a pω,χ értelmezése

369

alapján minden ϕ ∈ K (N; C) esetén Z ω

F βN (ϕ) |ω dpω =

Z

G/Gχ

F βN (ϕ) ◦ ρ˙ χ dpω,χ .

Nyilvánvaló, hogy Pω,χ egyenlő a pω,χ által generált egyszerű integrál leszűkítésével C b (G/Gχ ; C)-re. Ebből azonnal következik, hogy a B(G/Gχ ) → L (H U,βG ,βGχ );

E 7→ u ◦ pω,χ ◦ u−1

projektor-értékű σ-ortoadditív függvény által generált egyszerű integrál leszűkítése C b (G/Gχ ; C)-re megegyezik a C b (G/Gχ ; C) → L (H U,βG ,βGχ );

ψ 7→ u ◦ Pω,χ (ψ) ◦ u−1

leképezéssel. Ez utóbbi operátor viszont egyenlő P U,βG,βGχ -vel, így ha ϕ ∈ K (N; C) és f ∈ H U , akkor ρ˙ χ ◦ πG/Gχ = ρχ alapján ϕ ∗ f=

u◦

βN

u◦

=

=

Z

G/Gχ

= P U,βG,βGχ

Z

G/Gχ

Z

F βN (ϕ) dp

b N

◦ u−1

F βN (ϕ) ◦ ρ˙ χ dpω,χ

◦ u−1

F βN (ϕ) ◦ ρ˙ χ d u ◦ pω,χ ◦ u−1

F βN (ϕ) ◦ ρ˙ χ f =

(f ) =

(f ) =

(f ) =

F βN (ϕ) ◦ ρ˙ χ ◦ πG/Gχ .f =

F βN (ϕ) ◦ ρχ .f.

(Vigyázzunk arra, hogy itt F βN (ϕ) ◦ ρχ : G/Gχ → C korlátos folytonos függvény, de nem szükségképpen végtelenben eltűnő!) Ebből azt kapjuk, hogy ϕ ∈ K (N; C) és f ∈ H U esetén Z

N

ϕ(n)f (n−1 ) dβN (n) = ϕ ∗ f (eG ) = F βN (ϕ) (χ).f (eG ). βN

Ha f ∈ H U , akkor minden n ∈ N ⊆ Gχ esetén −1

−1

f (n ) = f (eG n ) =

∆Gχ (n) ∆G (n) 370

−1/2

U(n)f (eG ).

Ezért minden ϕ ∈ K (N; C) és f ∈ H U esetén Z

ϕ(n)

N

∆Gχ (n) ∆G (n)

−1/2

U(n)f (eG ) dβN (n) = F βN (ϕ) (χ).f (eG ).

Az {f (eG )|f ∈ H U } halmaz sűrű lineáris altér F -ben, ezért az iménti egyenlőségből nyerjük, hogy minden ϕ ∈ K (N; C) és z ∈ F esetén Z

ϕ(n)

N

−1/2

∆Gχ (n) ∆G (n)

U(n)z dβN (n) = F βN (ϕ) (χ).z.

Végül, legyenek z0 ∈ F és n0 ∈ N rögzítettek; megmutatjuk, hogy U(n0 )z0 = χ(n0 ).z0 . Rögzítsünk olyan ϕ ∈ K (N; C) függvényt, amelyre F βN (ϕ) 6= 0. Az előző egyenlőséget felírva a ϕ ◦ γN (n−1 0 ) ∈ K (N; C) függvényre és a z0 vektorra, kapjuk, hogy Z

ϕ(n−1 0 n)

N

∆Gχ (n) ∆G (n)

−1/2

U(n)z0 dβN (n) = F βN (ϕ ◦ γN (n−1 0 )) (χ).z0 .

Kihasználva a βN Radon-mérték balinvarianciáját, kapjuk, hogy Z

ϕ(n−1 0 n)

N

=

∆Gχ (n0 ) ∆G (n0 ) =

∆Gχ (n) ∆G (n)

−1/2

U(n0 )

Z

ϕ(n)

N

∆Gχ (n0 ) ∆G (n0 )

−1/2

U(n)z0 dβN (n) = ∆Gχ (n) ∆G (n)

−1/2

U(n)z0 dβN (n) =

−1/2

U(n0 )

F βN (ϕ) (χ).z0 ,

továbbá F βN (ϕ ◦ γN (n−1 0 )) (χ) = χ(n0 ) F βN (ϕ) (χ). Tehát minden N ∋ n0 -ra és F ∋ z0 -ra ∆Gχ (n0 ) −1/2 U(n0 )z0 = χ(n0 ).z0 . ∆G (n0 ) Ebből azonnal következik, hogy ∆Gχ = ∆G az N részcsoporton és minden N ∋ n0 -ra és F ∋ z0 -ra U(n0 )z0 = χ(n0 ).z0 . 

Vegyük észre, hogy az U(n) = χ(n).idF (n ∈ N) feltétel nélkül a tétel triviálisan c (ez az N triviális unitér karaktere), igaz volna, vagyis tartalmatlan. Valóban, 1N ∈ N és G1N = G, tehát ha V tetszőleges folytonos unitér ábrázolása G-nek, akkor U := V olyan folytonos unitér ábrázolása a G1N stabilitás-csoportnak, hogy minden G feletti βG baloldali Haar-mértékre a V U,βG,βG indukált unitér ábrázolás unitér ekvivalens V -vel; 371

azonban ekkor F a V ábrázolás tere, és szó sincs arról, hogy minden n ∈ N esetén V (n) = U(n) = 1N (n).idF = idF teljesülne. Megjegyezzük, hogy a Mackey-féle reprezentációs tétel gyengébb feltételek mellett is igazolható. A tételben szereplő b) feltétel helyett elegendő azt megkövetelni, hogy c-nak, amely az N c létezzen olyan (nem feltétlenül σ-kompakt) Borel részhalmaza N minden γ-pályáját éppen egy pontban metszi. Ennek az általánosításnak komoly ára c Borel-halmaz, akkor G · E nem van. Itt az okozza a bonyodalmat, hogy ha E ⊆ N szükségképpen Borel-halmaz, tehát a tétel bizonyításában bevezetett p(G · E) szimbólum értelmetlen lehet. Azonban ekkor G · E Szuszlin-halmaz, így Choquet egyik tétele alapján univerzálisan kapacitív, tehát univerzálisan mérhető, vagyis ha a p projektormérték által generált egyszerű integrált alkalmas integrálelméleti módszerekkel kiterjesztjük az c → C korlátos univerzálisan mérhető függvények C ∗ -algebrájára, akkor az N Z

χG·E dp

b N

integrál már értelmes, és eléggé jó tulajdonságú ahhoz, hogy a bizonyítás érvényben maradjon, ha p(G · E) helyére ezt az integrált helyettesítjük. A pontos bizonyításhoz szükséges általános topológiai és topologikus integrálelméleti eszközök részletezése megtalálható az [7] és [9] könyvekben. Azonban fontos tudni, hogy a Mackey-féle reprezentációs tétel itt igazolt formája a gyakorlati alkalmazások túlnyomó többségében elégséges. Például ennek alkalmazásával kiszámítható a Poincaré-csoport univerzális fedőcsoportjának összes irreducibilis folytonos unitér ábrázolása. Most bemutatjuk a Mackey-féle reprezentációs tétel egyik legfontosabb speciális esetét. 11.2.2. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, N kommutatív zárt invariáns részcsoport G-ben, és H olyan zárt részcsoportja G-nek, amelyre N · H = G és N ∩ H = c esetén legyen H := {h ∈ H|h · χ = χ}, vagyis H = G ∩ H. {eG }. Minden χ ∈ N χ χ χ c Tegyük fel, hogy G megszámlálható bázisú, és a G csoport N-ban megvalósuló belső ábrázolására teljesülnek a Mackey-féle reprezentációs tételben megfogalmazott a) és b) feltételek. Ekkor a G minden V irreducibilis folytonos unitér ábrázolásához létezik olyan c és létezik a H lokálisan kompakt csoportnak olyan U irreducibilis folytonos unitér χ∈N χ ábrázolása egy F Hilbert-térben, hogy ha βG (illetve βχ ) baloldali Haar-mérték G (illetve N · Hχ ) felett, és U χ : N · Hχ → U(F ); nh 7→ χ(n).U(h), akkor a G csoport (U χ , βG , βχ ) hármas által indukált unitér ábrázolása unitér ekvivalens V -vel. c Bizonyítás. Triviálisan következik a Mackey-féle reprezentációs tételből, mert χ ∈ N esetén fennáll a Gχ = N · Hχ egyenlőség, továbbá, ha U ′ az N · Hχ csoportnak olyan

372

folytonos unitér ábrázolása az F Hilbert-térben, hogy minden N ∋ n-re U ′ (n) = χ(n).idF , akkor az U := U ′ |Hχ leszűkített függvény olyan folytonos unitér ábrázolása Hχ -nek, hogy U ′ = U χ és C(U ′ ; U ′ ) = C(U; U), vagyis U ′ pontosan akkor irreducibilis, ha U irreducibilis. 

373

II. rész Függelék: A topologikus integrálelmélet elemei

374

12. fejezet Pozitív Radon-mérték szerinti felső integrál 12.1.

Pozitív alulról félig folytonos függvény felső integrálja

Ha T lokálisan kompakt tér, akkor I+ (T ) jelöli a T → R+ alulról félig folytonos függvények halmazát ([19, 27.4.2.]), tehát I+ (T ) azon f : T → R+ függvények halmaza, amelyekre minden c ∈ R esetén az [f > c] halmaz nyílt T -ben. Ismeretes, hogy ha T lokálisan kompakt tér és f ∈ I+ (T ), akkor f=

sup

ϕ

ϕ∈K (T ;R) 0≤ϕ≤f

teljesül ([19, 27.9.1.]), és világos, hogy a {ϕ∈K (T ; R)|0≤ϕ≤f } függvényhalmaz nem üres és felfelé irányított. 12.1.1. Definíció. Legyen µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett. Minden f ∈ I+ (T ) esetén legyen Z q

és az

Z q

f dµ :=

sup

µ(ϕ),

ϕ∈K (T ;R) 0≤ϕ≤f

f dµ ∈ R+ elemet az f függvény µ szerinti felső integráljának nevezzük.

12.1.2. Állítás. Legyen µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett. a) Ha ϕ ∈ K+ (T ), akkor

Z q

f dµ = µ(ϕ). 375

b) Ha f, g ∈ I+ (T ) és f ≤ g, akkor

Z q

f dµ ≤

Z q

g dµ.

c) Ha f ∈ I+ (T ) és α ∈ R , akkor α.f ∈ I+ (T ) és +

Z q

(α.f ) dµ = α

d) Ha (fi )i∈I tetszőleges I+ (T )-ben haladó rendszer, akkor

X i∈I

Z q

X i∈I

!

fi dµ =

XZ q

Z q

f dµ.

fi ∈ I+ (T ) és

fi dµ.

i∈I

e) Ha (fi )i∈I olyan I+ (T )-ben haladó nem üres rendszer, amely felfelé irányított (vagyis minden i1 , i2 ∈ I esetén van olyan i ∈ I, hogy fi1 , fi2 ≤ fi ), akkor sup fi ∈ I+ (T ) és i∈I

Z q

sup fi dµ = sup i∈I

i∈I

Z q

fi dµ.

Bizonyítás. A µ monoton növése miatt a) és b) nyilvánvalóan igaz. A c) bizonyításához legyen f ∈ I+ (T ) és α ∈ R+ . Világos, hogy α.f = ezért α.f ∈ I+ (T ). Z

sup

(α.ϕ),

ϕ∈K (T ;R) 0≤ϕ≤f

Ha ϕ ∈ K (T ; R) és 0 ≤Z ϕ ≤ f , akkor α.ϕ ≤ α.f miatt 1 q (α.f ) dµ. Ebből következik, hogy (α.f ) dµ, vagyis µ(ϕ) ≤ αµ(ϕ) = µ(α.ϕ) ≤ Z q Z qα Z q Z q 1 f dµ ≤ (α.f ) dµ. Ez az egyenlőtlenség minden f dµ ≤ (α.f ) dµ, vagyis α α f ∈ I+ (T ) függvényre és α ∈ R+ számra igaz. Ha f ∈ I+ (T ) és α ∈ R+ , akkor ezt az 1 egyenlőtlenséget felírva f helyett az α.f függvényre és α helyett a ∈ R+ számra kapjuk, Z q Z qα Z q Z q Z 1 q 1 hogy f dµ. (α.f ) dµ ≤ α f dµ, vagyis (α.f ) dµ = (α.f ) dµ ≤ α α q

Most az e) állítást igazoljuk. Tudjuk, hogy alulról félig folytonos függvények bármely nem üres rendszerének a felső burkolója alulról félig folytonos ([19, 27.4.]). Legyen most (fi )i∈I olyan I+ (T )-ben haladó nem üres rendszer, amely felfelé irányított. A b) alapján a

Z q

sup fi dµ ≥ sup i∈I

i∈I

Z q

fi dµ egyenlőtlenség még akkor is igaz, ha az (fi )i∈I rendszer

nem felfelé irányított. Minden I ∋ i-re legyen Φi := {ϕ ∈ K (T ; R)|0 ≤ ϕ ≤ fi } S és Φ := Φi . Az (fi )i∈I rendszer felfelé irányítottsága miatt a Φ függvényhalmaz i∈I

is felfelé irányított. Valóban, ha ϕ1 , ϕ2 ∈ Φ, akkor léteznek olyan ii , i2 ∈ I, hogy ϕ1 ∈ Φi1 és ϕ2 ∈ Φi2 ; ekkor van olyan i ∈ I, hogy fi1 ≤ fi és fi2 ≤ fi , ezért a sup(ϕ1 , ϕ2 ) ∈ K (T ; R) függvény olyan, hogy 0 ≤ sup(ϕ1 , ϕ2 ) ≤ fi , így eleme Φi -nek, tehát Φ-nek is, és ϕ1 , ϕ2 ≤ sup(ϕ1 , ϕ2 ). 376

Legyen ψ ∈ K (T ; R) tetszőleges olyan függvény, amelyre 0 ≤ ψ ≤ sup fi . Ekkor i∈I

ψ = inf ψ, sup fi = sup (inf (ψ, fi )) = sup inf ψ, sup ϕ i∈I

i∈I

ϕ∈Φi

i∈I

!

!!

=

= sup sup (inf(ψ, ϕ)) = sup (inf(ψ, ϕ)) , ϕ∈Φi

i∈I

ϕ∈Φ

és természetesen az {inf(ψ, ϕ)|ϕ ∈ Φ} függvényhalmaz is felfelé irányított. Ezért a pozitív Radon-mértékek monoton folytonosságából következik, hogy !

µ(ψ) = sup µ (inf(ψ, ϕ)) = sup sup µ(inf(ψ, ϕ)) ≤ sup ϕ∈Φ

Ebből kapjuk, hogy

ϕ∈Φi

i∈I

Z q

sup fi dµ ≤ sup i∈I

i∈I

Z q

i∈I

Z q

fi dµ.

fi dµ.

Végül, a d) állítás bizonyításához legyen (fi )i∈I tetszőleges rendszer I+ (T )-ben. A X X X fi függvény definíciója alapján fi := sup fi , ahol P0 (I) az I véges i∈I

J∈P0 (I) i∈J

i∈I

részhalmazainak halmaza.

X

Világos, hogy a

fi

i∈J

!

függvényrendszer felfelé J∈P0 (I)

irányított, és mindegyik tagja eleme I+ (T )-nek, ezért az e) alapján Z q

X i∈I

!

fi dµ =

Z q

sup

X

!

fi dµ = sup

J∈P0 (I) i∈J

J∈P0 (I)

Z q

X

!

fi dµ.

i∈J

Ha igaz volna az, hogy minden J ∈ P0 (I) halmazra teljesül a Z q

X

!

XZ q

fi dµ =

i∈J

fi dµ egyenlőség, akkor a fentiekből következne, hogy

i∈J

Z q

X i∈I

!

fi dµ = sup J∈P0 (I)

Z q

X i∈J

!

fi dµ = sup

XZ q

fi dµ =:

J∈P0 (I) i∈J

XZ q

fi dµ.

i∈I

Ez azt mutatja, hogy a d) állítást elegendő véges I indexhalmazra bizonyítani. Legyen tehát (fi )i∈I tetszőleges véges rendszer I+ (T )-ben. X Ha (ϕi )i∈I olyan rendszer K (T ; R)-ben, hogy minden I ∋ i-re 0 ≤ ϕi ≤ fi , akkor ϕi ∈ K (T ; R) olyan, hogy i∈I

0≤

X i∈I

ϕi ≤

X

fi , tehát a µ additivitása miatt

i∈I

Ebből következik, hogy

X

µ(ϕi ) = µ

X

fi dµ.

i∈I

XZ q i∈I

fi dµ ≤

Z q

377

i∈I

X i∈I

!

!

ϕ ≤

Z q

X i∈I

!

fi dµ.

Megfordítva, legyen minden I ∋ i-re Φi :={ϕ ∈ K (T ; R)|0 ≤ ϕ ≤ fi } és Φ := Könnyen látható, hogy

X

fi =

X

sup

ϕi , és nyilvánvaló, hogy a

(ϕi )i∈I ∈Φ i∈I

i∈I

X

!

fi dµ =

i∈I

sup (ϕi )i∈I ∈Φ

=

Z q

X

sup

(ϕi )i∈I ∈Φ i∈I

amiből kapjuk, hogy

12.2.

Z q

X i∈I

X

!

ϕi dµ =

i∈I

µ(ϕi ) ≤

!

fi dµ ≤

ϕi

i∈I

rendszer felfelé irányított. Ezért az e)-ből és a)-ból következik, hogy Z q

X

sup (ϕi )i∈I ∈Φ

XZ q

µ

X i∈I

!

Y

Φi .

i∈I

(ϕi )i∈I ∈Φ

!

ϕi =

fi dµ,

i∈I

XZ q

fi dµ. 

i∈I

Pozitív függvény felső integrálja

A következő definíció előtt megjegyezzük, hogy ha T lokálisan kompakt tér, akkor a T → R+ azonosan +∞ függvény nyilvánvalóan alulról félig folytonos, ezért minden f ∈ F (T ; R+ ) esetén van olyan h ∈ I+ (T ), hogy f ≤ h. 12.2.1. Definíció. Legyen µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett. Minden f ∈ F (T ; R+ ) esetén legyen Z

és az

Z

∗

∗

f dµ :=

inf

h∈I+ (T ) f ≤h

Z q

h dµ,

f dµ ∈ R+ elemet az f függvény µ szerinti felső integráljának nevezzük.

12.2.2. Tétel. (Fatou-tétel) Legyen µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett. a) Ha f ∈ I+ (T ), akkor

Z

∗

f dµ =

Z q

b) Ha f, g ∈ F (T ; R+ ) és f ≤ g, akkor c) Ha f ∈ F (T ; R+ ) és α ∈ R , akkor +

tás).

f dµ. Z

Z

∗

∗

f dµ ≤

Z

∗

g dµ (monotonitás).

(α.f ) dµ = α

378

Z

∗

f dµ (pozitív homogeni-

d) Ha (fi )i∈I tetszőleges véges F (T ; R+ )-ben haladó rendszer, akkor Z

X

∗

i∈I

!

fi dµ ≤

XZ

∗

fi dµ

i∈I

(véges szubadditivitás). e) Ha (fn )n∈N olyan F (T ; R+ )-ben haladó sorozat, amely monoton növő, akkor Z

∗

sup fn dµ = sup n∈N

n∈N

Z

∗

fn dµ

(monoton σ-folytonosság). Bizonyítás. Az a) és b) állítások a definícióból azonnal következnek. A c) bizonyításához legyen f ∈Z F (T ; R+ ) és αZ ∈ R+ . Ha h ∈ IZ+ (T ) és f ≤ Zh, akkor Z ∗ q q q 1 ∗ h dµ, vagyis (α.h)dµ = α h dµ. (α.f )dµ ≤ (α.f )dµ ≤ α.f ≤ α.h, tehát α Z ∗ Z ∗ f dµ. Ez az egyenlőtlenség minden (α.f ) dµ ≤ α Ebből következik, hogy f ∈ F (T ; R+ ) és α ∈ R+ esetén érvényes. Ha f ∈ F (T ; R+ ) és α ∈ R+ , akkor felírva az iménti egyenlőtlenséget f helyett az α.f ∈ F (T ; R+ ) függvényre, és α helyett az Z ∗ Z ∗ Z 1 1 1 ∗ + f dµ = ∈ R számra kapjuk, hogy (α.f ) dµ ≤ (α.f )dµ, vagyis αZ α α Z ∗

α

f dµ ≤

∗

(α.f )dµ.

d) Elegendő azt megmutatni, hogy ha f, f ′ ∈ F (T ; R+ ), akkor Z

∗

(f + f ′ ) dµ ≤

Z

∗

f dµ +

Z

∗

f ′ dµ,

mertZ ebből az I indexhalmaz Z számossága szerinti teljes indukcióval következik a d) állítás. Ha

∗

∗

f dµ = +∞ vagy

ezért feltehető, hogy

Z

Z ∗

Z

∗

f dµ = inf ′

f dµ = inf

f ′ dµ = +∞, akkor a bizonyítandó egyenlőtlenség triviális,

∗

f dµ,

Z q

Z q

Z

∗

f ′ dµ < +∞. Ekkor nyilvánvalóan

h dµ (h ∈ I+ (T )) ∧ (f ≤ h) ∧ ′

′

′

′

h dµ (h ∈ I+ (T )) ∧ (f ≤ h ) ∧

Legyenek h, h′ ∈ I+ (T ) olyanok, hogy f ≤ h, f ′ ≤ h′ , és Z q

h′ dµ < +∞. Ekkor f + f ′ ≤ h + h′ ∈ I+ (T ), ezért Z

∗

(f + f ′ ) dµ ≤

Z q

(h + h′ ) dµ ≤ 379

Z q

Z q

h dµ < +∞

Z q

Z q

h dµ +

h′ dµ < +∞

, .

h dµ < +∞, valamint

Z q

h′ dµ.

Legyen most h ∈ I+ (T ) olyan függvény, hogy f ≤ h és

Z q

h dµ < +∞. Ekkor az

iménti egyenlőtlenséget alkalmazva kapjuk, hogy minden h ∈ I+ (T ) esetén, ha f ′ ≤ h′ Z ′

q

h′ dµ < +∞, akkor

és

Z

amiből következik, hogy függvényre, ha f ≤ h és

Z

∗

(f + f ′ ) dµ −

e) A

Z

∗

vetkezik. Z ∗

Z

∗

Z

∗

∗

Z q

n∈N

n∈N

(f + f ) dµ − ′

(f + f ) dµ −

Z q

Z q

h dµ ≤

h dµ ≤

h dµ < +∞, akkor

f ′ dµ ≤

sup fn dµ ≥ sup

′

Z

Z

∗

∗

Z

∗

Z

Z q ∗

h′ dµ,

f ′ dµ. Tehát minden h ∈ I+ (T ) ′

(f + f ) dµ −

Z

∗

′

f dµ ≤

f dµ is teljesül, amit bizonyítani kellett.

Z q

h dµ, így

fn dµ egyenlőtlenség a felső integrál monotonitásából kö-

Ebből látható, hogy elég arra az esetre bizonyítani, amikor minden N ∋ n-re Z ∗

fn dµ < +∞ (sőt még azt is feltehetnénk, hogy sup

fn dµ < +∞).

n∈N

Legyen (εn )n∈N tetszőleges R+ -ban haladó szigorúan monoton növő sorozat. A kiválasztási axiómával kombinált rekurzió tételét alkalmazva igazoljuk, hogy létezik olyan Z ∗

(hn )n∈N sorozat I+ (T )-ben, amelyre minden n ∈ N esetén fn ≤ hn ≤ hn+1 és

Z

∗

hn dµ <

fn dµ + εn .

A felső integrál definíciója, valamint h0 ∈ I+ (T ), hogy f0 ≤ h0 és

Z

∗

Z

h0 dµ <

∗

Z

f0 dµ < +∞ és ε0 > 0 miatt van olyan ∗

f0 dµ + ε0 .

Legyen n ∈ N+ és tegyük fel, hogy (hkZ)0≤k
esetén Z ∗ és

hk ≤ Zhk+1 . Olyan hn ∈ I+ (T ) függvényt keresünk, amelyre fn ≤ hn , hn−1 ≤ hn és ∗ fn dµ + εn . Legyen ε ∈ R+ tetszőleges. Ekkor a felső integrál definíciója hn dµ <

Z

∗

fn dµ < +∞ miatt létezik olyan h ∈ I+ (T ), hogy fn ≤ h és

Z

∗

h dµ <

Z

∗

f dµ+ε.

Ekkor inf(hn−1 , h) + sup(hn−1 , h) = hn−1 + h, és mind a négy itt szereplő függvény alulról félig folytonos. A felső integrál (teljesen) additív I+ (T )-n, ezért Z

∗

inf(hn−1 , h) dµ +

Z

∗

sup(hn−1 , h) dµ =

Z

∗

hn−1 dµ +

Z

∗

h dµ.

Az fn−1 ≤ hn−1 és fn−1 ≤ fn ≤ h egyenlőtlenségek alapján fn−1 ≤ Zinf(hn−1 , h), ezért Z ∗ ∗ fn−1 dµ + εn−1 hn−1 dµ < ebből és a felső integrál monotonitásából, valamint az 380

egyenlőtlenségből Z

∗

fn−1 dµ +

adódik, tehát

Z Z

sup(hn−1 , h) dµ <

Z

sup(hn−1 , h) dµ <

Z

∗

∗

Z

∗

fn−1 dµ + εn−1 +

∗

fn dµ + ε

∗

fn dµ + ε + εn−1 .

Ugyanakkor az sup(hn−1 , h) ∈ I+ (T ) függvény olyan, hogy hn−1 ≤ sup(hn−1 , h) és fn ≤ h ≤ sup(hn−1 , h). Ez azt jelenti, hogy ha ε < εn − εn−1 , akkor az ε-hoz imént megválasztott h függvényből konstruált n−1 , h) függvényre teljesül az, hogy Z Z hn := sup(h ∗

∗

hn ∈ I+ (T ), fn ≤ hn , hn−1 ≤ hn és

hn dµ<

fn dµ+εn . Ezzel bebizonyítottuk az

előírt tulajdonságú (hn )n∈N függvénysorozat létezését.

Legyen most ε ∈ R+ tetszőleges, és vegyünk olyan (εn )n∈N szigorúan monoton növő sorozatot R+ -ban, amelyre sup εn < ε. Az előzőek alapján vehetünk olyan (hn )n∈N n∈N

sorozatot, hogy minden n ∈ N esetén hn ∈ I+ (T ), fn ≤ hn ≤ hn+1 és Z

∗

Z

∗

hn dµ <

fn dµ + εn . Ekkor sup fn ≤ sup hn , tehát a felső integrál monotonitása, valamint az n∈N

n∈N

I+ (T )-n teljesülő monoton σ-folytonossága alapján kapjuk, hogy Z

∗

sup fn dµ ≤ n∈N

Z

≤ sup n∈N

∗

Z

∗

sup hn dµ = sup n∈N

n∈N

Z

fn dµ + εn ≤ sup n∈N

Ebből az ε tetszőlegessége miatt kapjuk, hogy Z

∗

sup fn dµ ≤ sup n∈N

n∈N

Z

Z

∗

hn dµ ≤

∗

fn dµ + ε.

∗

fn dµ. 

12.2.3. Következmény. (A megszámlálható konvexitás tétele) Ha µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett és (fk )k∈N tetszőleges F (T ; R+ )-ben haladó sorozat, akkor ! Z

∞ X

∗

k=0

fk dµ ≤

∞ Z X

∗

fk dµ.

k=0

Bizonyítás. A felső integrál monoton σ-folytonossága és véges szubadditivitása alapján Z

∗

∞ X

k=0

!

fk dµ := ≤ sup

Z

∗

sup n∈N

n Z X

n∈N k=0

n X

!

fk dµ = sup

k=0

∗

fk dµ =:

∞ Z X

k=0

381

n∈N

Z

∗

n X

k=0

∗

fk dµ. 

!

fk dµ ≤

12.2.4. Következmény. (Fatou-lemma) Ha µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett és (fn )n∈N tetszőleges F (T ; R+ )-ben haladó sorozat, akkor Z

Bizonyítás. Az



∗

n→∞

n→∞

Z

∗

fn dµ.

függvénysorozat monoton növő, ezért a felső integrál

inf fk

k∈N k≥n



lim inf fn dµ ≤ lim inf

n∈N

monoton σ-folytonossága és monotonitása miatt Z

∗





lim inf fn dµ := n→∞

≤ sup

inf

k∈N k≥n

n∈N

12.3.

Z

∗

sup n∈N

Z

inf fk

dµ = sup

k∈N k≥n

n∈N

∗

fk dµ

=: lim inf n→∞

Z

Z

∗

inf fk

k∈N k≥n

dµ ≤

∗

fn dµ. 

Speciális alakú pozitív Radon-mértékek szerinti felső integrál

12.3.1. Állítás. Legyenek T , S lokálisan kompakt terek, µ pozitív Radon-mérték T felett, g : T → R+ folytonos függvény és π : T → S folytonos valódi függvény. a) Ha f ∈ I+ (S), akkor g.(f ◦ π) ∈ I+ (T ) és Z

∗

T

g.(f ◦ π) dµ =

Z

∗

f d(π(g.µ)).

S

b) Ha f : S → R+ tetszőleges függvény, akkor Z

T

∗

g.(f ◦ π) dµ ≤

Z

∗

f d(π(g.µ)).

S

Bizonyítás. a) Legyen f ∈ I+ (S) rögzített. Tudjuk, hogy f = amiből következik, hogy g.(f ◦ π) =

sup ψ ([19, 27.9.1.]), ψ∈K+ (S) ψ≤f

sup (g.(ψ ◦ π)) .

ψ∈K+ (S) ψ≤f

A g függvény folytonos és pozitív, továbbá π folytonos valódi függvény, ezért ψ ∈ K+ (S) esetén g.(ψ ◦ π) ∈ K+ (T ). Tehát a g.(f ◦ π) : T → R+ függvény előáll 382

pozití folytonos (kompakt tartójú) függvények felső burkolójaként, ezért ez a függvény is alulról félig folytonos, azaz g.(f ◦ π) ∈ I+ (T ). Továbbá, a K+ (T )-ben haladó (g.(ψ ◦ π))ψ∈K+ (S); ψ≤f és a K+ (S)-ben haladó (ψ)ψ∈K+ (S); ψ≤f függvényrendszerek nyilvánvalóan felfelé irányítottak, ezért kétszer alkalmazva a 12.1.2. állítást kapjuk, hogy Z Z ∗

T

g.(f ◦ π) dµ =

sup µ(g.(ψ ◦ π)) =:

=

ψ∈K+ (S) ψ≤f

∗

sup

ψ∈K+ (S) T ψ≤f

(g.(ψ ◦ π)) dµ =

sup (π(g.µ))(ψ) = ψ∈K+ (S) ψ≤f

Z

∗

f d(π(g.µ)).

S

b) Legyen f : S → R+ rögzített függvény. Ha h ∈ I+ (S) olyan, hogy f ≤ h, akkor g.(f ◦ π) ≤ g.(h ◦ π), ezért a felső integrál monotonitása és az a) miatt Z

T

∗

g.(f ◦ π) dµ ≤

Z

T

∗

g.(h ◦ π) dµ =

Z

∗

h d(π(g.µ)).

S

Ebből következik, hogy Z

T

∗

g.(f ◦ π) dµ ≤

inf

Z

h∈I+ (S) f ≤h S

∗

h d(π(g.µ)) =:

Z

∗

f d(π(g.µ)),

S

amit bizonyítani kellett.  Vigyázzunk arra, hogy az előző állítás feltételei mellett előfordulhat, hogy az f : S → R+ függvényre Z Z ∗

0=

T

g.(f ◦ π) dµ <

∗

f d(π(g.µ)) = +∞.

S

12.3.2. Állítás. Legyen µ pozitív Radon-mérték az X, és ν pozitív Radon-mérték az Y lokálisan kompakt tér felett. a) Ha f ∈ I+ (X × Y ), akkor minden x ∈ X és y ∈ Y esetén f (x, ·) ∈ I+ (Y ) és f (·, y) ∈ I+ (X), továbbá, az X → R+ ;

x 7→

Y → R+ ;

y 7→

Z

∗

f (x, y) dν(y),

Y

Z

∗

f (x, y) dµ(x)

X

függvények alulról félig folytonosak, és fennállnak a Z

X×Y

∗

f (x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y) = 383

=

Z

∗

Z

Z

∗

f (x, y) dν(y)

dµ(x) =

∗

f (x, y) dµ(x)

dν(y)

X

Y

Y

X

Z

∗

egyenlőségek. b) Ha f : X × Y → R+ tetszőleges függvény, akkor fennállnak a Z

∗

∗

f (x, y) dν(y)

Y

X

Z

Z

∗

Y

Z

∗

f (x, y) dµ(x)

X

dµ(x) ≤

Z

X×Y

dν(y) ≤

Z

X×Y

∗

f (x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y),

∗

f (x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y)

egyenlőtlenségek. Bizonyítás. a) Legyen f ∈ I+ (X × Y ) és Φ := {ϕ ∈ K+ (X × Y )|0 ≤ ϕ ≤ f }. Tudjuk, hogy fennáll az f = sup ϕ ϕ∈Φ

egyenlőség ([19, 27.9.1.]). Ebből következik, hogy x ∈ X esetén f (x, ·) = sup ϕ(x, ·) ϕ∈Φ

is teljesül, és minden Φ ∋ ϕ-re ϕ(x, ·) ∈ K+ (Y ), így f (x, ·) ∈ I+ (Y ) is igaz, hiszen folytonos valós függvények felső burkolója alulról félig folytonos. Továbbá, ha x ∈ X, akkor a (ϕ(x, ·))ϕ∈Φ függvényrendszer felfelé irányított, mert ϕ1 , ϕ2 ∈ Φ esetén nyilvánvalóan ϕ := sup(ϕ1 , ϕ2 ) ∈ Φ, és ϕ1 (x, ·) ≤ ϕ(x, ·), ϕ2 (x, ·) ≤ ϕ(x, ·). Ezért a 12.1.2. alapján fennáll a Z

Y

∗

f (x, y) dν(y) = sup ν(ϕ(x, ·)) ϕ∈Φ

egyenlőség. Az elemi Lebesgue–Fubini-tétel alapján minden Φ ∋ ϕ-re az gϕ : X → R;

x 7→ ν(ϕ(x, ·))

függvény folytonos és kompakt tartójú, és a fentiek szerint az X → R+ ;

x 7→

Z

∗

f (x, y) dν(y)

Y

függvény előáll a (gϕ )ϕ∈Φ függvényrendszer felső burkolójaként, így ez a függvény alulról félig folytonos. Továbbá, a (gϕ )ϕ∈Φ függvényrendszer felfelé irányított, mert ϕ1 , ϕ2 ∈ Φ 384

esetén nyilvánvalóan ϕ := sup(ϕ1 , ϕ2 ) ∈ Φ, és a ν Radon-mérték pozitivitásából következő monotonitása alapján gϕ1 ≤ gϕ és gϕ2 ≤ gϕ . Ezért ismét a 12.1.2. alkalmazásával kapjuk, hogy Z

Z

∗

∗

f (x, y) dν(y)

ϕ∈Φ

Y

X

dµ(x) = sup µ(x 7→ ν(ϕ(x, ·))).

Az elemi Lebesgue–Fubini-tétel alapján minden Φ ∋ ϕ-re µ(x 7→ ν(ϕ(x, ·))) = (µ ⊗ ν)(ϕ), tehát az alulról félig folytonos függvények felső integráljának értelmezése és a fenti egyenlőségek szerint: Z

X×Y

∗

f (x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y) := sup(µ ⊗ ν)(ϕ) = ϕ∈Φ

Z

X

∗

Z

∗

f (x, y) dν(y) dµ(x).

Y

Teljesen hasonló érveléssel kapjuk, hogy y ∈ Y esetén f (·, y) ∈ I+ (X) és az Y → R+ ;

y 7→

Z

∗

f (x, y) dµ(x)

X

függvény alulról félig folytonos, és fennáll a Z

∗

X×Y

f (x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y) =

Z

Z

∗

∗

f (x, y) dµ(x)

dν(y)

X

Y

egyenlőség. b) Legyen f : X × Y → R+ tetszőleges függvény és h ∈ I+ (X × Y ) olyan, hogy f ≤ h. Ekkor minden x ∈ X esetén f (x, ·) ≤ h(x, ·), így a ν szerinti felső integrál monotonitása miatt Z ∗ Z ∗ h(x, y) dν(y). f (x, y) dν(y) ≤ Y

Y

A µ szerinti felső integrál monotonitása alapján ebből következik, hogy Z

Z

∗

∗

f (x, y) dν(y)

Y

X

dµ(x) ≤

Z

∗

Z

∗

h(x, y) dν(y)

dµ(x).

Y

X

Az a) állítást alkalmazva a h ∈ I+ (X × Y ) függvényre kapjuk, hogy Z

X

∗

Z

∗

h(x, y) dν(y)

dµ(x) =

Z

X×Y

Y

385

∗

h(x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y).

Ezért a fenti egyenlőtlenség és a felső integrál definíciója szerint: Z

X

Z

∗

∗

dµ(x) ≤

f (x, y) dν(y)

Y

=:

Z

∗

X×Y

Z

inf

∗

h∈I+ (X×Y ) X×Y f ≤h

h(x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y) =:

f (x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y).

Pontosan ugyanígy igazolható a Z

Z

∗

∗

dν(y) ≤

f (x, y) dµ(x)

X

Y

Z

∗

X×Y

f (x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y)

egyenlőtlenség is.  Vigyázzunk arra, hogy ha µ pozitív Radon-mérték az X, és ν pozitív Radon-mérték az Y lokálisan kompakt tér felett továbbá f : X × Y → R+ tetszőleges függvény, akkor a Z

Z

∗

Z

∗

f (x, y) dν(y)

dµ(x),

∗

f (x, y) dµ(x)

dν(y)

X

Y

Y

X

Z

∗

kettős felső integrálok olyan R+ -beli elemek, amelyek egymással való kapcsolatáról általánosan semmit nem lehet mondani, vagyis bármelyikük lehet szigorúan kisebb a másiknál, és egyenlőek is lehetnek. De még ha egyenlőség is van, akkor is előfordulhat, hogy a b)-ben felírt egyenlőtlenségek szigorúak, tehát lehetséges Z

X

∗

Z

∗

f (x, y) dν(y)

dµ(x) =

Z

Z

∗

<

Z

∗

X×Y

f (x, y) dµ(x)

dν(y) <

X

Y

Y

∗

f (x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y),

még úgy is, hogy az egyenlőtlenség bal oldalán 0 és a jobb oldalán +∞ áll. 12.3.3. Következmény. Legyen µ pozitív Radon-mérték az X, és ν pozitív Radonmérték az Y lokálisan kompakt tér felett. a) Ha f ∈ I+ (X) és g ∈ I+ (Y ), akkor az f ⊗ g : X × Y → R+ ;

(x, y) 7→ f (x)g(y)

függvény alulról félig folytonos az X × Y szorzattér felett, és Z

X

∗

f dµ

Z

Y

∗

g dν

=

Z

X×Y

386

∗

(f ⊗ g) d(µ ⊗ ν).

(A 0 · (+∞) := 0 és (+∞) · 0 := 0 konvencióval.)

b) Ha f : X → R+ és g : Y → R+ tetszőleges függvények, akkor Z

Z

∗

f dµ

teljesül, és ha a

∗

f dµ,

Z

∗

Z

∗

X×Y

(f ⊗ g) d(µ ⊗ ν)

pár nem egyenlő sem a (0, +∞), sem a (+∞, 0)

g dν

Y

X

párral, akkor fennáll az Z

≤

g dν

Y

X

Z

∗

Z

∗

f dµ

g dν

=

∗

X×Y

Y

X

Z

∗

(f ⊗ g) d(µ ⊗ ν)

egyenlőség is. Bizonyítás. a) Legyen f ∈ I+ (X) és Φ := {ϕ ∈ K+ (X)|0 ≤ ϕ ≤ f }, valamint g ∈ I+ (Y ) és Ψ := {ψ ∈ K+ (Y )|0 ≤ ψ ≤ g}. Tudjuk, hogy fennállnak az f = sup ϕ,

g = sup ψ

ϕ∈Φ

ψ∈Ψ

egyenlőségek ([19, 27.9.1.]). Ebből következik, hogy (x, y) ∈ X × Y esetén (f ⊗ g)(x, y) := f (x)g(y) =

sup

(ϕ(x)ψ(y)) =

ϕ∈Φ, ψ∈Ψ

sup (ϕ,ψ)∈Φ×Ψ

(ϕ ⊗ ψ)(x, y)

is teljesül, és minden Φ ∋ ϕ-re és Ψ ∋ ψ-re ϕ⊗ψ ∈ K+ (X ×Y ), így f ⊗g ∈ I+ (X ×Y ) is igaz, hiszen folytonos valós függvények felső burkolója alulról félig folytonos. Továbbá, a (ϕ ⊗ψ)(ϕ,ψ)∈Φ×Ψ függvényrendszer felfelé irányított, mert ϕ1 , ϕ2 ∈ Φ és ψ1 , ψ2 ∈ Ψ esetén nyilvánvalóan ϕ := sup(ϕ1 , ϕ2 ) ∈ Φ és ψ := sup(ψ1 , ψ2 ) ∈ Ψ, továbbá ϕ1 ⊗ ψ1 ≤ ϕ ⊗ ψ és ϕ2 ⊗ ψ2 ≤ ϕ ⊗ ψ. Ezért a 12.1.2. állítást háromszor alkalmazva kapjuk, hogy alapján fennállnak a Z ∗ (f ⊗ g) d(µ ⊗ ν) = sup (µ ⊗ ν)(ϕ ⊗ ψ)) = (ϕ,ψ)∈Φ×Ψ

X×Y

= sup µ(ϕ) ϕ∈Φ

!

!

Z

sup ν(ψ) = ψ∈Ψ

∗

f dµ

Z

∗

g dν

Y

X

egyenlőségek. b) Legyenek f : X → R+ és f : Y → R+ tetszőleges függvények. A 12.3.2. állítás b) pontja szerint Z

X

∗

Z

Y

∗

(f ⊗ g)(x, y) dν(y)

dµ(x) ≤ 387

Z

X×Y

∗

(f ⊗ g)(x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y).

Ha x ∈ X, akkor (f ⊗ g)(x, ·) = f (x).g(·), ezért a ν és µ szerinti felső integrálok pozitív homogenitása miatt: Z

Z

∗

Y

X

∗

(f ⊗ g)(x, y) dν(y)

dµ(x) =

∗

f (x)

Z

∗

f dµ

Z

∗

g(y) dν(y)

dµ(x) =

Y

X

Z

=

Z

∗

g dν

,

Y

X

amivel igazoltuk az Z

Z

∗

f dµ

∗

≤

g dν

Y

X

Z

∗

X×Y

(f ⊗ g) d(µ ⊗ ν)

egyenlőtlenséget. Tegyük fel, hogy a

Z

X

párral.

∗

f dµ,

Z

∗

pár nem egyenlő sem a (0, +∞), sem a (+∞, 0)

g dν

Y

Ha a felső integrálok valamelyike +∞, akkor a másik felső integrál szigorúan pozitív, ezért Z

Z

∗

f dµ

∗

g dν

= +∞,

Y

X

így az imént bizonyított egyenlőtlenségből azonnal következik az egyenlőség. Tehát feltehetjük, hogy mindkét felső integrál véges. Ha f ′ ∈ I+ (X) és g ′ ∈ I+ (Y ) olyanok, hogy f ≤ f ′ és g ≤ g ′, akkor f ⊗ g ≤ f ′ ⊗ g ′, tehát a felső integrál monotonitása és az a)-ban bizonyított egyenlőség alapján: Z

∗

X×Y

(f ⊗ g) d(µ ⊗ ν) ≤

Z

∗

X×Y

′

′

(f ⊗ g ) d(µ ⊗ ν) =

Z

∗

Z

′

f dµ

∗

g ′ dν

Y

X

amiből a felső integrál definíciója alapján kapjuk, hogy Z

X×Y

∗

(f ⊗ g) d(µ ⊗ ν) ≤

=:

inf

Z

∗

f ′ ∈I+ (X) f ≤f ′ X

Z

Z

∗

f dµ

Y

X

388

f ′ dµ

inf

g ′ ∈I+ (Y ) Y g≤g ′

∗

g dν

Z

.

∗

g ′ dν

=:

,

12.4.

Additivitás- és szubtraktivitás-formulák

Pozitív Radon-mérték által generált felső integrál általában még végesen sem additív. Azonban bizonyos pozitív függvényekre érvényes additivitás-formula; ilyen esetről van szó a következő állításban. 12.4.1. Állítás. Legyen µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett. Ha f : T → R+ tetszőleges függvény és g : T → R+ olyan alulról vagy felülről félig folytonos függvény, amelyre g ≤ f , akkor teljesül a Z

∗

additivitás-formula, tehát ha még Z

∗

Z

(f − g) dµ + Z

∗

Z

∗

g dµ =

∗

f dµ

g dµ < +∞ is igaz, akkor fennáll az Z

(f − g) dµ =

∗

Z

f dµ −

∗

g dµ

szubtraktivitás-formula. Bizonyítás. (I) Legyen g alulról félig folytonos. A felső integrál véges szubadditivitása miatt Z ∗ Z ∗ Z ∗ Z ∗ g dµ, (f − g) dµ + ((f − g) + g) dµ ≤ f dµ = tehát az állítás igaz, ha igazolni, hogy

Z

∗

f dµ = +∞. Ezért feltehető, hogy

Z

∗

Z

(f − g) dµ +

∗

g dµ ≤

Z

Z

∗

f dµ < +∞. Elég azt

∗

f dµ.

A felső integrál definíciója és monoton növése alapján ehhez elég azt belátni, hogy minden Z

h ∈ I+ (T ) esetén, ha f ≤ h és Z

∗

∗

h dµ < +∞, akkor

(f − g) dµ +

Z

∗

g dµ ≤

Legyen tehát h ∈ I+ (T ) olyan, hogy f ≤ h és

Z

∗

Z

∗

h dµ.

h dµ < +∞. Ha ϕ, ψ ∈ K (T ; R)

olyanok, hogy Z 0 ≤ ϕ ≤ g és 0 ≤ ψ ≤ h − ϕ, akkor ϕ + ψ ≤ h, ezért µ(ϕ) + µ(ψ) =

µ(ϕ + ψ) ≤

∗

h dµ, vagyis

µ(ψ) ≤

Z

∗

h dµ − µ(ϕ).

389

Tehát, ha ϕ ∈ K (T ; R) olyan, hogy 0 ≤ ϕ ≤ g, akkor ez az egyenlőtlenség minden olyan K (T ; R) ∋ ψ-re igaz, amelyre 0 ≤ ψ ≤ h − ϕ, tehát a h − ϕ függvény alulról félig folytonossága alapján Z

∗

(h − g) dµ ≤ Z

Z

∗

Z

∗

(h − ϕ) dµ =

sup ψ∈K (T ;R) 0≤ψ≤h−ϕ

µ(ψ) ≤

Z

∗

h dµ − µ(ϕ).

∗

h dµ − (h − g) dµ. Ez minden olyan K (T ; R) ∋ ϕ-re igaz, amelyre Tehát µ(ϕ) ≤ 0 ≤ ϕ ≤ g, tehát a g alulról félig folytonossága miatt Z

∗

g dµ =

sup ϕ∈K (T ;R) 0≤ϕ≤g

µ(ϕ) ≤

Z

∗

h dµ −

Z

∗

(h − g) dµ,

amit bizonyítani kellett. (II) Legyen g felülről félig folytonos és h ∈ I+ (T ) olyan, hogy f ≤ h. Ha m, n ∈ N és m ≤ n, akkor inf(h, n) − inf(g, m) : T → R+ olyan alulról félig folytonos függvény, hogy inf(h, n) − inf(g, m) ≤ inf(h, n), tehát az (I) állítást alkalmazva f helyett inf(h, n)-re és g helyett az inf(h, n) − inf(g, m) függvényre kapjuk, hogy Z

∗

(inf(h, n) − (inf(h, n) − inf(g, m)))dµ +

vagyis

Z

∗

inf(g, m) dµ +

Z

∗

Z

∗

(inf(h, n) − inf(g, m))dµ =

(inf(h, n) − inf(g, m))dµ =

Z

Z

∗

inf(h, n)dµ,

∗

inf(h, n)dµ.

Ebből a felső integrál monoton σ-folytonossága alapján következik, hogy minden m ∈ N esetén Z ∗ Z ∗ Z ∗ inf(g, m) dµ+ inf(g, m) dµ + (h − inf(g, m))dµ = + + sup n∈N

Z

Z

∗

∗

(sup(inf(h, n)) − inf(g, m))dµ = n∈N

(inf(h, n) − inf(g, m))dµ = sup n∈N

Z

Z

∗

inf(g, m) dµ +

Z

∗

inf(g, m)dµ+

∗

inf(h, n)dµ =

Ha m ∈ N, akkor f − g ≤ h − inf(g, m), ezért Z

∗

(f − g)dµ ≤

Z

Z

∗

h dµ.

∗

h dµ.

Ebből ismét a felső integrál monoton σ-folytonosságát alkalmazva Z

∗

g dµ +

Z

∗

(f − g)dµ = sup

m∈N

Z

∗

inf(g, m)dµ + 390

Z

∗

(f − g)dµ ≤

Z

∗

h dµ

adódik, amiből következik a bizonyítandó Z

∗

(f − g)dµ +

Z

∗

g dµ ≤

Z

∗

h dµ

egyenlőtlenség.  12.4.2. Következmény. Legyen µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett, és (fi )i∈I olyan rendszer, hogy minden I ∋ i-re fi : T → R+ felülről félig folytonos függvény. Ha az (fi )i∈I függvény-rendszer lefelé irányított (vagyis minden i1 , i2 ∈ I esetén Z ∗

van olyan i ∈ I, hogy fi ≤ fi1 , fi2 ), és létezik olyan i ∈ I, amelyre Z

∗

inf fi dµ = inf i∈I

Bizonyítás. Legyen i0 ∈ I olyan, hogy Z

függvényt, amelyre fi0 ≤ f és

∗

i∈I

Z

∗

Z

fi dµ < +∞, akkor

∗

fi dµ.

fi0 dµ < +∞, és vegyünk olyan f ∈ I+ (T )

f dµ < +∞. Legyen I0 := {i ∈ I|fi ≤ fi0 }, és

tekintsük az (f − fi )i∈I0 függvény-rendszert, amelynek minden tagja eleme I+ (T )-nek. Nyilvánvaló, hogy ez a függvény-rendszer felfelé irányított, ezért Z

∗

sup(f − fi ) dµ = sup i∈I0

i∈I0

Z

∗

(f − fi )dµ.

Ugyanakkor sup(f − fi ) = f − inf fi , és inf fi = inf fi , mert az (fi )i∈I függvény-rendszer i∈I0

i∈I0

lefelé iranyított.

Z

∗

i∈I0

i∈I

Továbbá, inf fi felülről félig folytonos függvény és i∈I

fi0 dµ < +∞, ezért a szubtraktivitás-formula alapján Z

∗

sup(f − fi )dµ = i∈I0

Z

∗

f − inf fi dµ = i∈I0

Z

∗

f dµ −

Ha i ∈ I0 , akkor fi : T → R+ felülről félig folytonos függvény és +∞, ezért a szubtraktivitás-formula alapján

Az R+ -ban haladó pen inf

i∈I0

Z

∗

Z

fi dµ = inf i∈I

Z

Z

∗

(f − fi )dµ =

∗

Z ∗

fi dµ ∗

Z

∗

f dµ −

Z

Z

Z

Z

∗

inf fi dµ ≤ i∈I

∗

inf fi dµ.

i∈I0 ∗

fi dµ ≤

Z

∗

fi0 dµ <

∗

fi dµ.

felsőintegrál-rendszer lefelé irányított, következésképi∈I

fi dµ. Ez azt jelenti, hogy

f dµ −

Z

∗

inf fi dµ =

i∈I0

391

Z

∗

sup(f − fi )dµ = i∈I0

= sup = Z

amiből

12.5.

∗

i∈I0 Z ∗

Z

∗

Z

(f − fi )dµ = sup

f dµ − inf

i∈I0

Z

i∈I0

∗

fi dµ =

Z

∗

f dµ −

∗

Z

∗

fi dµ =

f dµ− inf i∈I

Z

∗

fi dµ,

f dµ < +∞ alapján kapjuk a bizonyítandó egyenlőtlenséget. 

Halmaz külső mértéke

12.5.1. Definíció. Legyen µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett. Minden H ⊆ T halmazra Z ∗ µ∗ (H) := χH dµ,

és a µ∗ (H) ∈ R+ elemet a H halmaz µ szerinti külső mértékének nevezzük.

12.5.2. Állítás. Legyen µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett. a) Minden H ⊆ T relatív kompakt halmazra µ∗ (H) < +∞. b) Ha H, H ′ ⊆ T és H ⊆ H ′ , akkor µ∗ (H) ≤ µ∗ (H ′ ).

c) Ha (Hn )n∈N monoton növő sorozat P(T )-ben, akkor µ

[

∗

!

Hn = sup µ∗ (Hn ).

n∈N

n∈N

d) Ha (Hn )n∈N tetszőleges sorozat P(T )-ben, akkor µ

[

∗

n∈N

!

Hn ≤

∞ X

µ∗ (Hn ).

n=0

Bizonyítás. a) Ha H ⊆ T relatív kompakt halmaz, akkor van olyan ϕ ∈ K (TZ; R), hogy Z χH ≤ ϕ, ezért a felső integrál monotonitása alapján µ∗ (H) :=

µ(ϕ) < +∞.

∗

χH dµ ≤

∗

ϕ dµ =

b) A felső integrál monotonitása alapján nyilvánvaló. c) Ha (Hn )n∈N monoton növő sorozat P(T )-ben, akkor χHn n∈N monoton növő sorozat S F (T ; R+ )-ban, és sup χHn egyenlő az Hn halmaz karakterisztikus függvényével, ezért n∈N

n∈N

az állítás nyilvánvalóan következik a felső integrál monoton σ-folytonosságából.

d) Ha (Hn )n∈N tetszőleges sorozat P(T )-ben és H :=

S

n∈N

Hn , akkor χH ≤

∞ X

χHn , ezért

n=0

a felső integrál monotonitása és megszámlálható konvexitás tétele alapján kapjuk, hogy µ

∗

[

n∈N

!

Hn :=

Z

∗

χH dµ≤

Z

∗

∞ X

n=0

!

χHn dµ≤ 392

∞ Z X

n=0

∗

χHn dµ=:

∞ X

n=0

µ∗ (Hn ). 

12.5.3. Állítás. Ha µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett, akkor minden H ⊆ T esetén µ∗ (H) = inf µ∗ (Ω), Ω⊆T nyílt H⊆Ω

amit úgy fejezünk ki, hogy a T minden részhalmaza kívülről µ∗ -reguláris. Bizonyítás. Elég arra az esetre bizonyítani, amikor µ∗ (H) < +∞. Legyen ε ∈]0, 1[ tetszőleges valós szám. A külső mérték és a felső integrál definíciója alapján létezik olyan f ∈ I+ (T ), hogy χH ≤ f és Z

∗

f dµ < µ∗ (H) + ε.

Ekkor az [1 − ε < f ] halmaz nyílt és H ⊆ [1 − ε < f ]. Ugyanakkor χ[1−ε
tehát

µ∗ ([1 − ε < f ]) ≤

Z

ezért inf

Ω⊆T nyílt H⊆Ω

∗

f dµ 1−ε

µ∗ (Ω) <

<

f , 1−ε

µ∗ (H) + ε , 1−ε

µ∗ (H) + ε . 1−ε

Ebből következik, hogy inf

Ω⊆T nyílt H⊆Ω

12.6.

µ∗ (H) + ε = µ∗ (H).  ε→0 1−ε

µ∗ (Ω) ≤ lim

Eltűnő függvények és nullahalmazok

12.6.1. Definíció. Legyen µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett. – Egy f : T → R+ függvényt µ-eltűnőnek nevezünk, ha Z

∗

f dµ = 0.

Ha F normált tér, akkor egy f : T → F függvényt µ-eltűnőnek nevezünk, ha Z

∗

kf k dµ = 0,

vagyis az kf k : T → R+ ; t 7→ kf (t)k függvény µ-eltűnő.

– Egy E ⊆ T halmazt µ-nullahalmaznak nevezünk, ha µ∗ (E) = 0, vagyis a χE : T → R függvény µ-eltűnő. 393

– Ha A (t) kijelentés, akkor azt mondjuk, hogy µ-majdnem minden t ∈ T pontra A (t) teljesül, vagy A (t) a T -n µ-majdnem mindenütt teljesül, ha a {t ∈ T |¬A (t)} halmaz µ-nullahalmaz. Különleges jelentősége van a majdnem mindenütt pontonként konvergens függvénysorozatoknak, ezért ezekről külön említést teszünk. Legyen µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett, S Hausdorff-tér, és (fn )n∈N olyan sorozat, amelynek minden tagja T → S függvény. Ekkor E ⊆ T esetén az "(fn )n∈N függvénysorozat µmajdnem mindenütt konvergens az E halmazon" állítás azt jelenti, hogy a {t ∈ E | "az (fn (t))n∈N sorozat nem konvergens az S Hausdorff-térben"} 



halmaz µ-nullahalmaz, vagyis µ∗ E \ Dom lim fn n→∞



= 0.

12.6.2. Állítás. Legyen µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett. a) Ha f, g : T → R+ függvények, f ≤ g, és a g függvény µ-eltűnő, akkor az f függvény is µ-eltűnő. b) Ha az f : T → R+ függvény µ-eltűnő, akkor minden c ∈ R+ esetén a c.f függvény is µ-eltűnő. c) Ha (fk )k∈N olyan függvénysorozat, hogy minden k ∈ N esetén fk : T → R+ µ-eltűnő

függvény, akkor a lim inf fk , lim sup fk , inf fk , sup fk és k→∞

k∈N

k→∞

k∈N

∞ X

fk függvények szintén µ-

k=0

eltűnőek. Ha (Ek )k∈N a T részhalmazainak olyan sorozata, hogy minden k ∈ N esetén S Ek µ-nullahalmaz, akkor Ek is µ-nullahalmaz. k∈N

d) Ha F := R+ vagy F normált tér, akkor egy f : T → F függvény pontosan akkor µ-eltűnő, ha µ-majdnem minden t ∈ T esetén f (t) = 0. e) Ha f : T → R+ olyan függvény, hogy

esetén f (t) < +∞.

Z

∗

f dµ < +∞, akkor µ-majdnem minden t ∈ T

Bizonyítás. Az a) és b) állítások nyilvánvalóan következnek a µ pozitív mérték által generált felső integrál monotonitásából és pozitív homogenitásából. c) Ha (fk )k∈N olyan függvénysorozat, hogy minden k ∈ N esetén fk : T → R+ függvény, akkor nyilvánvalóan 0 ≤ inf fk ≤ lim inf fk ≤ lim sup fk ≤ sup fk ≤ k∈N

k→∞

k→∞

k∈N

∞ X

fk ,

k=0

ezért az a) alapján elég azt igazolni, hogy ha minden k ∈ N esetén az fk függvény µ-

eltűnő, akkor a

∞ X

fk függvény is µ-eltűnő. Ez viszont a µ pozitív mérték által generált

k=0

394

felső integrál megszámlálható szubadditivitásából azonnal következik. Ha (Ek )k∈N a T részhalmazainak olyan sorozata, hogy minden k ∈ N esetén az Ek halmaz S µ-nullahalmaz, akkor az E := Ek halmazra χE = sup χEk teljesül, és az előzőek k∈N

k∈N

alapján a sup χEk függvény µ-eltűnő, így χE is µ-eltűnő, vagyis E µ-nullahalmaz. k∈N

d) Legyen F normált tér és f : T → F µ-eltűnő függvény. Minden ε ∈ R+ esetén χ{t∈T |kf (t)k>ε} ≤

kf k ε

nyilvánvalóan teljesül, ezért ha f µ-eltűnő, akkor a µ által generált felső integrál monoton növése és pozitív homogenitása miatt ∗

µ ({t ∈ T |kf (t)k > ε}) :=

Z

∗

χ{t∈T |kf (t)k>ε}

vagyis {t ∈ T |kf (t)k > ε} µ-nullahalmaz. zérussorozat, akkor {t ∈ T |f (t) 6= 0} =

[

k∈N

1 dµ ≤ ε

Z

∗

kf k dµ = 0,

Ha (εk )k∈N tetszőleges R+ -ban haladó

{t ∈ T |kf (t)k > εk },

tehát a c) alapján {t ∈ T |f (t) 6= 0} µ-nullahalmaz, vagyis µ-majdnem minden t ∈ T esetén f (t) = 0. Megfordítva, ha µ-majdnem minden t ∈ T esetén f (t) = 0, vagyis {t ∈ T |f (t) 6= 0} µ-nullahalmaz, akkor nyilvánvalóan kf k ≤ sup k.χ{t∈T |f (t)6=0} . k∈N

Így a µ által generált felső integrál monoton növése, monoton σ-folytonossága és pozitív homogenitása miatt Z

∗

kf k dµ ≤ sup k k∈N

Z

∗

χ{t∈T |f (t)6=0} dµ = sup (kµ∗ ({t ∈ T |f (t) 6= 0})) = 0, k∈N

vagyis f µ-eltűnő. Ha f : T → R+ függvény, akkor az előző állítások érvényben maradnak, ha mindenütt a kf k függvény helyére f -t írunk. e) Legyen f : T → R+ tetszőleges függvény. Ekkor minden k ∈ N+ esetén χ{t∈T |f (t)=+∞} ≤ 395

f , k

tehát a µ által generált felső integrál monoton növése és pozitív homogenitása miatt ∗

µ ({t ∈ T |f (t) = +∞}) := amiből következik, hogy

Z

∗

Z

∗

χ{t∈T |f (t)=+∞}

1 dµ ≤ k

Z

∗

f dµ,

f dµ < +∞ esetén µ∗ ({t ∈ T |f (t) = +∞}) = 0, vagyis

µ-majdnem minden t ∈ T pontra f (t) < +∞. 

12.6.3. Következmény. Ha µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett és f, g : T → R+ olyan függvények, hogy µ-majdnem minden t ∈ T esetén f (t) ≤ g(t) teljesül, akkor Z Z ∗

∗

f dµ ≤

g dµ.

Bizonyítás. Legyen h : T → R+ az a függvény, amely a {t ∈ T |f (t) > g(t)} halmazon a +∞ értéket veszi fel, és a {t ∈ T |f (t) ≤ g(t)} halmazon nulla. Ekkor {t ∈ T |h(t) 6= 0} = {t ∈ T |f (t) > g(t)}, tehát a feltevés alapján µ-majdnem minden t ∈ T esetén h(t) = 0, így a h függvény µ-eltűnő. Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy f ≤ g+h, így a µ által generált felső integrál monotonitása és szubadditivitása folytán Z

∗

f dµ ≤

Z

∗

(g + h) dµ ≤

Z

∗

g dµ +

Z

∗

h dµ =

Z

∗

g dµ. 

Ebből azonnal következik, hogy ha µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett és f, g : T → R+ olyan függvények, hogy µ-majdnem minden t ∈ T esetén f (t) = g(t), akkor Z Z ∗

∗

g dµ.

f dµ =

12.6.4. Következmény. Ha µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett és F normált tér K felett, akkor a µ-eltűnő T → F függvények halmaza olyan lineáris altere az F (T ; F ) függvénytérnek, hogy ha (fn )n∈N ebben az altérben haladó, T -n pontonként konvergens sorozat, akkor lim fn is eleme ennek az altérnek. n→∞

Bizonyítás. Egy f : T → F függvény pontosan akkor µ-eltűnő, ha az kf k : T → R+ függvény µ-eltűnő. Továbbá, f, g ∈ F (T ; F ) és c ∈ K esetén kc.f k = |c|kf k és kf + gk ≤ kf k + kgk, ezért az előzőek alapján a µ-eltűnő T → F függvények halmaza lineáris altere az F (T ; F ) függvénytérnek. Ha

(fn )n∈N ebben az altérben haladó, T -n



pontonként konvergens sorozat, akkor

lim fn

≤ sup kfn k, ezért, szintén az előző állítás n→∞ n∈N alapján, a lim fn pontonkénti limeszfüggvény µ-eltűnő.  n→∞

396

12.7.

Hölder- és Minkowski-egyenlőtlenség

12.7.1. Állítás. (Általános Hölder-egyenlőtlenség) Legyen T halmaz és I : F (T ; R+ ) → R+ olyan leképezés, amelyre teljesülnek a következők. – Minden f, g ∈ F (T ; R+ ) függvény esetén, ha f ≤ g, akkor I(f ) ≤ I(g) (monotonitás). – Minden f ∈ F (T ; R+ ) függvény és c ∈ R+ szám esetén I(cf ) = cI(f ) (pozitív homogenitás). – Minden f, g ∈ F (T ; R+ ) függvényre I(f + g) ≤ I(f ) + I(g) (szubadditivitás).

Legyenek α, β ∈ R+ olyan számok, hogy α+β = 1. Ha f, g ∈ F (T ; R+ ), és az (I(f ), I(g)) pár nem egyenlő sem a (0, +∞), sem a (+∞, 0) párral, akkor I(f α g β ) ≤ I(f )α I(g)β . Bizonyítás. Ha I(f ) = +∞ vagy I(g) = +∞, akkor I(f )α I(g)β = +∞, tehát az egyenlőtlenség triviálisan igaz; ezért feltesszük, hogy I(f ) és I(g) mindketten végesek. Először arra az esetre bizonyítunk, amikor I(f ) > 0 és I(g) > 0. Ekkor a számtani és mértani közép közötti általánosított egyenlőtlenség szerint α

f I(f )

g I(g)

β

α

g I(g)

f g +β , I(f ) I(g)

≤α

amiből az I tulajdonságai alapján I(f α g β ) =I I(f )α I(g)β

f I(f )

≤ αI

f + βI I(f )

β

!

g I(g)

≤I α

f g +β I(f ) I(g)

≤

=α+β =1

adódik, tehát I(f α g β ) ≤ I(f )α I(g)β .

Most tegyük fel, hogy I(f ) = 0. Tetszőleges ε ∈ R+ esetén, ismét a számtani és mértani közép közötti általánosított egyenlőtlenség alapján f ε

α

gβ ≤ α

f ε

+ βg,

amiből az I tulajdonságai szerint I(f α g β ) =I εα

f ε

α

gβ

≤I α

f ε 397

+ βg ≤ αI

f ε

+ βI(g) = βI(g)

adódik, tehát I(f α g β ) ≤ εα βI(g), így I(g) < +∞ és az ε ∈ R+ tetszőlegessége miatt I(f α g β ) = 0 ≤ I(f )αI(g)β .  Vigyázzunk arra, hogy ha az előző állítás feltételei mellett I(f ) = 0 és I(g) = +∞, vagy I(f ) = +∞ és I(g) = 0, akkor lehetséges az, hogy I(f α g β ) = +∞, de a 0 · (+∞) = 0 = (+∞) · 0 konvenció alapján I(f )α I(g)β = 0. 12.7.2. Állítás. (Általános Minkowski-egyenlőtlenség) Legyen T halmaz és I : F (T ; R+ ) → R+ olyan leképezés, amely monoton, pozitív homogén, és szubadditív. Ha p ≥ 1 valós szám, és f, g ∈ F (T ; R+ ), akkor I ((f + g)p )1/p ≤ I(f p )1/p + I(g p)1/p . Ha ezen felül az I függvényre teljesül az, hogy – minden F (T ; R+ )-ben haladó, monoton növő (fn )n∈N sorozatra I sup fn = sup I(fn ) n∈N

(monoton σ-folytonosság),

n∈N

akkor minden F (T ; R+ )-ben haladó (fk )k∈N sorozatra és p ≥ 1 valós számra I

∞ X

k=0

fk

!p !1/p

≤

∞ X

I(fkp )1/p .

k=0

Bizonyítás. Ha I(f p ) = +∞ vagy I(g p ) = +∞, akkor a bizonyítandó egyenlőtlenség nyilvánvalóan igaz, ezért feltehetjük, hogy I(f p ) < +∞ és I(g p ) < +∞. Továbbá, p = 1 esetén egyszerűen az I függvény szubadditivitásáról van szó, ezért feltehetjük, hogy p > 1. Azonkívül világos, hogy I ((f + g)p ) > 0 is feltehető, különben az állítás triviálisan igaz. Először megmutatjuk, hogy ekkor I ((f + g)p ) < +∞. Valóban, p > 1 miatt az R+ → R+ ;

x 7→ xp

függvény konvex, amiből következik, hogy 1 1 .f + .g 2 2

p

1 1 ≤ .f p + .g p , 2 2

vagyis (f + g)p ≤ 2p−1 .(f p + g p ). Ezért az I monoton növése, pozitív homogenitása és szubadditivitása miatt I ((f + g)p) ≤ 2p−1 I(f p ) + 2p−1 I(g p) < +∞. 398

Nyilvánvalóan teljesülnek a következő egyenlőségek (f + g)p = (f + g)p−1(f + g) = (f + g)p−1f + (f + g)p−1g = = ((f + g)p )1−(1/p) (f p )1/p + ((f + g)p)1−(1/p) (g p )1/p . Alkalmazva az általános Hölder-egyenlőtlenséget az α := 1 − 1/p és β := 1/p számokra, valamint az (f + g)p és f p , továbbá az (f + g)p és g p függvényekre, kihasználva az I monoton növését és szubadditivitását kapjuk, hogy I ((f + g)p ) ≤ I ((f + g)p )1−(1/p) I(f p )1/p + I ((f + g)p )1−(1/p) I(g p )1/p . Ezt az egyenlőtlenséget osztva az I ((f + g)p )1−(1/p) számmal, kapjuk a bizonyítandó egyenlőtlenséget. Tegyük most fel, hogy I még monoton σ-folytonos is, és legyen (fk )k∈N tetszőleges F (T ; R+ )-ben haladó sorozat. Az előzőek alapján minden n ∈ N esetén n X

I

fk

k=0

!p !1/p

n X

≤

I (fkp )

1/p

,

k=0

ezért az I monoton σ-folytonossága és monoton növése alapján I

∞ X

k=0

fk

!p !

≤ sup n∈N

=I

sup

n X

n∈N k=0 n X

I

(fkp )1/p

k=0

fk

!p

!p !

n X

= I sup n∈N

= sup

n X

fk

k=0

(fkp )1/p

I

n∈N k=0

!p !

!p

= sup I n∈N ∞ X

=

k=0

is igaz, amiből 1/p-edik hatványozással következik I

∞ X

k=0

fk

!p !1/p

≤

∞ X

I

n X

fk

k=0

(fkp )1/p

!p !

≤

!p

I(fkp )1/p . 

k=0

12.7.3. Következmény. Legyen µ pozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett. – Ha α, β ∈ R+ olyan számok, hogy α + β = 1, és f, g ∈ F (T ; R+ ) olyan függvények, hogy az Z Z ∗

∗

f dµ,

g dµ

pár nem egyenlő sem a (0, +∞), sem a (+∞, 0) párral, akkor Z

∗

α β

f g dµ ≤

Z

α

∗

f dµ 399

Z

β

∗

g dµ

.

(Hölder-egyenlőtlenség) – Ha p ≥ 1 valós szám, és f, g ∈ F (T ; R+ ), akkor Z

∗

(f + g)p dµ

1/p

≤

Z

∗

f p dµ

1/p

+

Z

∗

g p dµ

1/p

.

(Minkowski-egyenlőtlenség) – Ha p ≥ 1 valós szám, és (fk )k∈N F (T ; R+ )-ben haladó sorozat, akkor Z

∗

∞ X

k=0

fk

!p

dµ

!1/p

≤

Z ∞ X

∗

fkp dµ

1/p

.

k=0

Bizonyítás. Elegendő az általános Hölder- és Minkowski-egyenlőtlenséget alkalmazni, az I helyére a µ által generált felső integrált helyettesítve, amely a Fatou-tétel alapján monoton növő, pozitív homogén, szubadditív és monoton σ-folytonos. 

400

13. fejezet Pozitív Radon-mérték szerinti p LF (T, µ)-terek 13.1.

LFp(T, µ)-terek alaptulajdonságai

13.1.1. Definíció. Legyen T lokálisan kompakt tér és µ ∈ M+ (T ) . Ha F normált tér és p ≥ 1 valós szám, akkor LFp (T, µ) jelöli azon f : T → F függvények halmazát, amelyekre Z (∀ ε ∈ R+ )(∃ g ∈ K (T ; F )) :

∗

kf − gkp dµ < ε.

Az LFp (T, µ) függvényhalmaz elemeit T -n értelmezett, F -be érkező, µ szerint p-edik hatványon integrálható függvényeknek nevezzük. A definíció alapján nyilvánvaló, hogy K (T ; R) ⊗ F ⊆ K (T ; F ) ⊆ LFp (T, µ), q

és itt bármelyik tartalmazás lehet szigorú. 13.1.2. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér és µ ∈ M+ (T ) . Ha F normált tér és p ≥ 1 valós szám, akkor minden f : T → F függvény esetén a következő állítások ekvivalensek: (i) f ∈ LFp (T, µ).

Z

q

(ii) (∀ ε ∈ R+ )(∃ g ∈ K (T ; R) ⊗ F ) : q

∗

kf − gkp dµ < ε.

(iii) Létezik olyan K (T ; R) ⊗ F -ben haladó (fn )n∈N sorozat, amelyre lim n→∞

Z

∗

kf − fn kp dµ = 0.

401

(iv) Létezik olyan LFp (T, µ)-ben haladó (fn )n∈N sorozat, amelyre Z

lim

n→∞

(v) (∀ ε ∈ R )(∃ g ∈ +

LFp (T, µ))

:

Z

∗

∗

kf − fn kp dµ = 0.

kf − gkp dµ < ε.

Bizonyítás. (i)⇒(ii) Legyen ε ∈ R+ tetszőleges, és rögzítsünk olyan η ∈ R+ számot, amit majd az ε függvényében meg fogunk választani. Az (i) alapján vehetünk olyan g ′ ∈ K (T ; F ) függvényt, hogy Z

∗

kf − g ′ kp dµ < η.

Alkalmazva a lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tételt, a supp(g ′ ) ⊆ T kompakt halmazhoz választhatunk olyan ϕ ∈ K+ (T ) függvényt, hogy supp(g ′) ⊆ [ϕ = 1]. A lokálisan kompakt terekre vonatkozó approximációs-lemma (3.2.2.) alapján van olyan q g ∈ K (T ; R) ⊗ F , hogy 9g ′ − g9 < η és supp(g) ⊆ supp(g ′). Ekkor kg ′ − gk ≤ ηϕ, következésképpen: Z Z ∗

kg ′ − gkp dµ ≤ η p

∗

ϕp dµ = η p µ(ϕp ).

Ezért a Minkowski-egyenlőtlenség alapján: Z

∗

p

kf − gk dµ ≤

Z

∗

′ p

kf − g k dµ 

Z

1/p

+

< η 1/p + η (µ(ϕp ))1/p 

p

∗

′

kg − gk dµ

∗

p

<

.

Tehát, ha η olyan pozitív valós szám, hogy 0 < η 1/p + η (µ(ϕp ))1/p Z

1/p

p

p

< ε, akkor

kf − gkp dµ < ε.

+ (ii)⇒(iii) Ha (εn )n∈N tetszőleges q R -ben haladó zérussorozat, akkor a (ii) alapján kiválaszthatunk olyan K (T ; R) ⊗F -ben haladó (fn )n∈N sorozatot, amelyre minden n ∈ N Z

esetén

∗

kf − fn kp dµ < εn , ezért lim

n→∞

Z

∗

kf − fn kp dµ = 0.

(iii)⇒(iv) Nyilvánvaló, mert K (T ; R) ⊗ F ⊆ LFp (T, µ). q

(iv)⇒(v) Triviális.

402

(v)⇒(i) Legyen ε ∈ R+ tetszőleges, és rögzítsünk olyan η ∈ R+ számot, amit majd az ε függvényében meg fogunk választani. Az (v) alapján vehetünk olyan g ′ ∈ LFp (T, µ) függvényt, hogy Z ∗

kf − g ′ kp dµ < η.

A p-edik hatványon integrálható függvények definíciója szerint van olyan g ∈ K (T ; F ), hogy Z ∗ kg ′ − gkp dµ < η.

A Minkowski-egyenlőtlenség alapján: Z

∗

p

kf − gk dµ ≤

Z

∗

1/p

′ p

kf − g k dµ

+

Z

∗

′

p

1/p

kg − gk dµ

p

< 2p η.

Tehát, ha η olyan pozitív valós szám, hogy 0 < 2p η < ε, akkor Z

∗

kf − gkp dµ < ε

teljesül, ami azt jelenti, hogy f ∈ LFp (T, µ). 

13.1.3. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér és µ ∈ M+ (T ). Ha F normált tér K felett és p ≥ 1 valós szám, akkor:

a) f ∈ LFp (T, µ) és g ∈ C b (T ; K) esetén gf ∈ LFp (T, µ);

b) f ∈ LKp (T, µ) és g ∈ C b (T ; F ) esetén f g ∈ LFp (T, µ). p + Bizonyítás. a) Legyen Z ε ∈ R tetszőleges. Ekkor f ∈ LF (T, µ) miatt létezik olyan ∗

h ∈ K (T ; F ), hogy Z

∗

kf − hkp dµ < ε. Világos, hogy gh ∈ K (T ; F ) és p

Z

p

kgf − ghk dµ ≤ 9g 9

ami azt mutatja, hogy gf ∈ LFp (T, µ).

∗

kf − hkp dµ ≤ 9g 9p ε,

b) Legyen ε ∈ R+ tetszőleges. Ekkor f ∈ LKp (T, µ) miatt létezik olyan h ∈ K (T ; K), Z hogy

∗

|f − h|p dµ < ε. Világos, hogy hg ∈ K (T ; F ) és Z

∗

kf g − hgkp dµ ≤ 9g 9p

ami azt mutatja, hogy f g ∈ LFp (T, µ). 

Z

∗

|f − h|p dµ ≤ 9g 9p ε,

13.1.4. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ) és F normált tér. Ha p ≥ 1 valós szám, akkor minden f ∈ C (T ; F ) függvényre f∈

LFp (T, µ)

⇔

Z

403

∗

kf kp dµ < +∞.

Z

∗

Bizonyítás. Csak azt kell igazolni, hogy kf kp dµ < +∞ esetén f ∈ LFp (T, µ). Ehhez, a lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tétel alapján, vegyünk olyan (ϕK )K⊆T ; K kompakt rendszert K (T ; R)-ben, hogy minden K ⊆ T kompakt halmazra 0 ≤ ϕK ≤ 1 és K ⊆ [ϕK = 1]. Ekkor (ϕK kf kp )K⊆T ; K kompakt olyan rendszer K+ (T )-ben, hogy sup (ϕK kf kp ) = kf kp . K⊆T K kompakt

Ez a rendszer felfelé irányított, mert ha K, L ⊆ T kompakt halmazok, akkor az M := supp(ϕK ) ∪ supp(ϕL ) halmaz kompakt T -ben és ϕK , ϕL ≤ ϕM . Ezért a 12.1.2. szerint fennáll a Z ∗ kf kp dµ < +∞ sup µ(ϕK kf kp ) = K⊆T K kompakt

egyenlőség. Legyen ε ∈ R+ tetszőleges. A fenti összefüggések miatt vehetünk olyan K ⊆ T kompakt halmazt, hogy 0≤

Z

∗

kf kp dµ − µ(ϕK kf kp ) < ε.

Ekkor a szubtraktivitás-formula, valamint az  1/p p



1 − ϕK

≤ 1 − ϕK

függvényegyenlőtlenség és a felső integrál elemi tulajdonságai alapján írható, hogy Z

∗

1/p

kf − ϕK f kp dµ = =

Z

∗

kf kp dµ −

Z

Z

∗

∗



 1/p p

1 − ϕK

ϕK kf kp dµ =

1/p

kf kp dµ ≤

Z

∗

Z

∗

(1 − ϕK ) kf kp dµ =

kf kp dµ − µ(ϕK kf kp ) < ε,

ezért f ∈ LFp (T, µ), hiszen ϕK f ∈ K (T ; F ). 

13.1.5. Következmény. Ha T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ), F normált tér, és q ≥ 1 valós szám, akkor LFq (T, µ) ∩ C b (T ; F ) ⊆

\

LFp (T, µ).

p∈R p≥q

Bizonyítás. Legyen p ≥ q rögzített valós szám. Ha f : T → F korlátos függvény, akkor kf kp ≤ 9f 9p−q kf kq , ezért a µ szerinti felső integrál monoton növése és pozitív homogenitása miatt Z Z ∗

Ezért f ∈

LFq (T, µ)

kf kp dµ ≤ 9f 9p−q

∩ C (T ; F ) esetén b

állítás alapján f ∈ LFp (T, µ). 

Z

∗

∗

kf kq dµ.

kf kp dµ < +∞ és f folytonos, így az előző

404

13.1.6. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér és µ ∈ M+ (T ) . Ha F normált tér K felett és p ≥ 1 valós szám, akkor LFp (T, µ) K-lineáris altere a T → F függvények terének, és minden f ∈ LFp (T, µ) esetén Z

∗

kf kp dµ < +∞,

továbbá, a k · kµ,p :

LFp (T, µ)

→ R+ ;

Z

f 7→ kf kµ,p :=

leképezés félnorma az LFp (T, µ) függvénytér felett.

∗

1/p

kf kp dµ

Bizonyítás. Legyen először f ∈ K (T ; F ). Ekkor kf kp ∈ K+ (T ), ezért Z

∗

kf kp dµ = µ(kf kp ) < +∞.

Legyen f ∈ LFp (T, µ). Ekkor a definíció alapján vehetünk olyan g ∈ K (T ; F ) függvényt, hogy Z ∗

kf − gkp dµ < 1.

Ekkor kf kp ≤ (kgk + kf − gk)p, ezért a µ szerinti felső integrál monoton növése és a Minkowski-egyenlőtlenség alapján Z

≤

Z

∗

∗

1/p

p

1/p

kf kp dµ

kgk dµ

+

≤

Z

∗

hiszen az előző bekezdés szerint

Z

∗

1/p

p

kf − gk dµ

Z

∗

1/p

(kgk + kf − gk)p dµ <

Z

∗

≤

kgkp dµ

1/p

+ 1 < +∞,

kgkp dµ < +∞.

Ha f, g : T → F függvények, akkor kf + gkp ≤ (kf k + kgk)p, ezért a µ szerinti felső integrál monoton növése és a Minkowski-egyenlőtlenség szerint Z

∗

kf + gk dµ ≤

Z

∗

Z

1/p

p

p

kf k dµ

≤

∗

1/p

+

1/p

(kf k + kgk)p dµ Z

∗

kgkp dµ

≤

1/p

,

amiből következik, hogy f, g ∈ LFp (T, µ) esetén f + g ∈ LFp (T, µ) és kf + gkµ,p ≤ kf kµ,p + kgkµ,p. 405

Ha f : T → F függvény, akkor minden λ ∈ K esetén kλf kp = |λ|p kf kp , ezért a µ szerinti felső integrál pozitív homogenitása miatt Z

∗

kλf k dµ

= |λ|p

Z

∗

Z

1/p

p

=

∗

|λ|p kf kp dµ

1/p

kf kp dµ

= |λ|

Z

∗

1/p

=

kf kp dµ

1/p

,

amiből következik, hogy f ∈ LFp (T, µ) esetén λf ∈ LFp (T, µ) és kλf kµ,p = |λ|kf kµ,p. 

13.1.7. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér és µ ∈ M+ (T ), valamint F normált tér és p ≥ 1 valós szám. Ha f ∈ LFp (T, µ), akkor kf kµ,p = 0

⇔

µ-majdnem minden t ∈ T esetén f (t) = 0 teljesül,

és minden g : T → F függvényre, ha µ-majdnem minden t ∈ T esetén g(t) = f (t) teljesül, akkor g ∈ LFp (T, µ). Bizonyítás. Ha f ∈

LFp (T, µ)

és kf kµ,p = 0, akkor

Z

∗

kf kp dµ = 0, ezért a 12.6.2.

alapján µ-majdnem minden t ∈ T esetén kf (t)kp = 0, azaz f (t) = 0. Megfordítva, ha f ∈ LFp (T, µ) ésZ µ-majdnem minden t ∈ T esetén f (t) = 0, azaz kf (t)kp = 0, akkor a 12.6.2. alapján

∗

kf kp dµ = 0, így kf kµ,p = 0.

Legyen f ∈ LFp (T, µ) és g : T → F olyan függvény, hogy µ-majdnem minden t ∈ T p esetén g(t) Z = f (t). Ekkor µ-majdnem minden t ∈ T esetén kg − f k (t) = 0, így a 12.6.2. alapján

∗

kg − f kp dµ = 0. Legyen ε ∈ R+ tetszőleges, és vegyünk olyan h ∈ K (T ; F ) Z

∗

kf − hkp dµ < ε. Ekkor kg − hkp ≤ (kg − f k + kf − hk)p , így a µ függvényt, hogy szerinti felső integrál monoton növése és a Minkowski-egyenlőtlenség alapján

≤

Z

Z ∗

∗

kg − hkp dµ ≤ p

1/p

kg − f k dµ

+

Z

Z ∗

∗

(kg − f k + kf − hk)p dµ ≤ p

1/p

p

kf − hk dµ

teljesül, amiből következik, hogy g ∈ LFp (T, µ). 

=

Z

∗

kf − hkp dµ < ε

13.1.8. Jelölés. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ), és F normált tér. Ekkor minden f : T → F függvényre az f := { g ∈ F (T ; F ) | µ-majdnem minden t ∈ T esetén g(t) = f (t) teljesül } q

jelölést használjuk. Továbbá, minden p ≥ 1 valós számra:

LpF (T, µ) := { f | f ∈ LFp (T, µ) }. q

406

Megjegyezzük, hogy ez a jelölés mindaddig nem vezethet félreértésre, amíg csak egyetlen Radon-mértékről van szó. Ugyanazon lokálisan kompakt tér feletti, különböző Radon-mértékek szerint, adott f függvény esetén az f q függvényhalmazok lényegesen különbözhetnek, ezért ilyenkor más jelölést kell használni. Könnyen látható, hogy ha T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ), és F normált tér K felett, akkor az LpF (T, µ) halmazon létezik egyetlen olyan vektortér-struktúra, hogy minden f, g ∈ LFp (T, µ) és λ ∈ K esetén: f + g = (f + g) , q

q

λ.f = (λ.f ) .

q

q

q

Továbbá, létezik egyetlen olyan k · k norma LpF (T, µ) felett, amelyre teljesül az, hogy minden f ∈ LFp (T, µ) esetén kf k = kf kµ,p := q

Z

∗

kf kp dµ

1/p

.

A továbbiakban – a félreértés veszélye nélkül – ezt a normát is a k · kµ,p szimbólum fogja jelölni. Tehát az LpF (T, µ) objektumot normált térként fogjuk kezelni, és úgy hivatkozunk rá, mint az LFp (T, µ) félnormált térhez asszociált normált tér.

13.2.

Kapcsolatok az LFp (T, µ)-terek között

13.2.1. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ), F , G és H normált terek, és u : F × G → H folyonos R-bilineáris leképezés. Legyenek p, q, r ≥ 1 olyan valós 1 1 1 számok, amelyekre + = . Ha f ∈ LFp (T, µ) és g ∈ LGq (T, µ), akkor az p q r u(f, g) : T → H; t 7→ u(f (t), g(t)) függvényre u(f, g) ∈ LHr (T, µ) és ku(f, g)kµ,r ≤ kukkf kµ,pkgkµ,q . Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f ∈ LFp (T, µ) és g ∈ LGq (T, µ). Legyenek f ′ ∈ K (T ; F ) és g ′ ∈ K (T ; G) tetszőlegesek. Az u leképezés R-bilinearitása miatt nyilvánvaló, hogy u(f ′ , g ′) − u(f, g) = u(f ′ − f, g ′ − g) + u(f ′ − f, g) + u(f, g ′ − g), amiből az kuk szám definíciója szerint ku(f ′, g ′ ) − u(f, g)k ≤ kukkf ′ − f kkg ′ − gk + kukkf ′ − f kkgk + kukkf kkg ′ − gk 407

következik. Ezért a µ szerinti felső integrálra alkalmazva a Minkowski-egyenlőtlenséget, és felhasználva a felső integrál pozitív homogenitását kapjuk, hogy Z

∗

′

′

ku(f , g ) − u(f, g)k dµ Z

+kuk

∗

′

r

Z

1/r

r

≤ kuk 1/r

r

kf − f k kgk dµ

+ kuk

∗

kf ′ − f kr kg ′ − gkr dµ

Z

∗

1/r

+

1/r

kf kr kg ′ − gkr dµ

.

Most háromszor alkalmazzuk a Hölder-egyenlőtlenséget: Z

∗

′

r

′

r

kf − f k kg − gk dµ =

Z

Z

Z

≤ ∗

∗

′

∗

∗

r

kf k kg − gk dµ = Z

∗

Z

∗

Z

kf kp dµ

Z

∗

∗

Z

r/p

r/p

(kg ′ − gkq )

∗

r/p

(kgkq )r/q dµ ≤

kgkq dµ

r/q

, r/q

Z

∗

dµ ≤

,

(kf kp )r/p (kg ′ − gkq )

r/p

r/q

r/q

kg ′ − gkq dµ

(kf ′ − f kp )

kf ′ − f kp dµ

′

≤

(kf ′ − f kp )

kf − f k dµ

Z

r

∗

r/p

p

kf ′ − f kr kgkr dµ = ≤

Z

kg ′ − gkq dµ

dµ ≤

r/q

.

Mindhárom esetben jogos a Hölder-egyenlőtlenség alkalmazása, mert f, f ′ −f ∈ LFp (T, µ) és g, g ′ − g ∈ LGq (T, µ) miatt Z

Z

∗

∗

p

kf k dµ < +∞,

kf ′ − f kp dµ < +∞,

Ebből következik, hogy Z

∗

Z

Z

∗

∗

kgkq dµ < +∞, kg ′ − gkq dµ < +∞.

ku(f ′, g ′) − u(f, g)kr dµ

1/r

≤

≤ kukkf ′ − f kµ,p kg ′ − gkµ,q + kukkf ′ − f kµ,p kgkµ,q + kukkf kµ,pkg ′ − gkµ,q ,

Tehát, ha ε ∈ R+ tetszőleges és a δ ∈ R+ számot úgy választjuk meg, hogy kuk (δ 2 + δkgkµ,q + kf kµ,p δ) < ε teljesüljön, valamint az f ′ ∈ K (T ; F ) és g ′ ∈ K (T ; G) függvényeket úgy választjuk meg, hogy kf ′ − f kµ,p < δ és kg ′ − gkµ,q < δ teljesüljön, akkor az u(f ′ , g ′) ∈ K (T ; H) függvényre Z

∗

ku(f ′ , g ′) − u(f, g)kr dµ 408

1/r

< ε.

Ez azt jelenti, hogy u(f, g) ∈ LHr (T, µ).

Felhasználva az ku(f, g)k ≤ kukkf kkgk függvény-egyenlőtlenséget, ismét a Hölder-egyenlőtlenséget és a felső integrál pozitív homogenitását alkalmazva kapjuk, hogy ku(f, g)kµ,r = ≤ kuk ≤ kuk

Z

Z ∗

∗

∗

ku(f, g)kr

1/r

r

(kf kkgk) dµ

kf kp dµ

Z

r/p

1/r

= kuk Z

∗

Z

∗

1/r

dµ ≤

(kf kp )r/p (kgkq )r dµ

kgkq dµ

r/q

1/r

≤

1/r

= kukkf kµ,p kgkµ,q . 

13.2.2. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ) és F Hilbert-tér K felett, amelynek skalárszorzását (·|·)F jelöli. Ha f, g ∈ LF2 (T, µ), akkor az (f |g) : T → K;

függvény eleme LK1 (T, µ)-nek és

t 7→ (f (t)|g(t))F

k(f |g)kµ,1 ≤ kf kµ,2 kgkµ,2 .

Bizonyítás. Nyilvánvalóan következik az előző állításból a G := F , H := K, p := q := r := 2 és u := (·|·) szereposztással.  13.2.3. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér és µ ∈ M+ (T ). 1 1 1 a) Ha p, q, r ≥ 1 olyan valós számok, amelyekre + = , akkor f ∈ LKp (T, µ) és p q r g ∈ LKq (T, µ) esetén f g ∈ LKr (T, µ). b) Ha f, g ∈ LK2 (T, µ), akkor f g, f g ∈ LK1 (T, µ).

Bizonyítás. Az a) állítás következik a 13.2.1. állításból az F := G := H := K választással, ha u a K test szorzását jelöli. A b) állítás az előző következményből kapható, az F := K választással úgy, hogy u-nak először a K test szorzását, másodszor a K × K → K; (λ, σ) 7→ λσ leképezést vesszük. 

13.2.4. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ) és F normált tér. Ha p ≥ 1 valós szám és f ∈ LFp (T, µ) kompakt tartójú függvény, akkor f ∈ LF1 (T, µ). Speciálisan, ha T kompakt tér, akkor [

LFp (T, µ) = LF1 (T, µ).

p∈R p≥1

Bizonyítás. Ha ϕ ∈ K (T ; R) olyan függvény, hogy supp(f ) ⊆ [ϕ = 1], akkor f = ϕf . Ha p > 1 (és ez a nemtriviális eset), akkor egyértelműen létezik olyan q > 1 valós szám, 1 1 hogy + = 1, ezért f ∈ LFp (T, µ) és ϕ ∈ LRq (T, µ) miatt, az 13.2.1. állításból, az p q u : R × F → F ; (λ, z) 7→ λ.z választással kapjuk, hogy f = ϕf ∈ LF1 (T, µ).  409

13.3.

Az LFp(T, µ)-terek teljessége – Riesz–Fischer-tétel

13.3.1. Lemma. Legyen (M, d) félmetrikus tér és (xn )n∈N tetszőleges M-ben haladó, d szerinti Cauchy-sorozat. Ekkor minden R+ -ban haladó (εk )k∈N sorozathoz létezik (xn )n∈N nek olyan (x′k )k∈N részsorozata, amelyre minden k ∈ N esetén d(x′k , x′k+1 ) ≤ εk . Bizonyítás. Az R+ -ban haladó (εk )k∈N sorozathoz vehetünk olyan monoton fogyó, R+ ban haladó (ε′k )k∈N sorozatot, hogy minden N ∋ k-ra ε′k ≤ εk . Ehhez például megfelel minden k ∈ N esetén az ε′k := min εj választás. Az (xn )n∈N sorozat Cauchy-sorozat d 0≤j≤k

szerint, ezért minden n ∈ N számhoz létezik olyan N ∈ N, amelyre j, k ∈ N és j, k ≥ N esetén d(xj , xk ) < ε′n teljesül, továbbá, ha N ilyen, akkor minden N-nél nagyobb-egyenlő természetes szám is ilyen tulajdonságú. Ezért minden n ∈ N esetén ]n, → [∩{N ∈ N|(∀j ∈ N)(∀k ∈ N)(((j ≥ N) ∧ (k ≥ N)) ⇒ (d(xj , xk ) < ε′n ))}

nem üres halmaz; legyen g(n) ennek a halmaznak a legkisebb eleme. Jelölje σ1 a 0 kezdőpont és az imént bevezetett g : N → N függvény által meghatározott iterációs sorozatot. Tehát σ1 : N → N az a függvény, amelyre σ1 (0) := 0 és minden n ∈ N esetén σ1 (n + 1) := g(σ1 (n)), tehát g(σ1 (n)) ∈]σ1 (n), → [ miatt σ1 (n + 1) > σ1 (n), továbbá σ1 (n + 1) ∈ {N ∈ N|(∀j ∈ N)(∀k ∈ N)(((j ≥ N) ∧ (k ≥ N)) ⇒ (d(xj , xk ) < ε′σ1 (n) ))}, következésképpen d(xσ1 (n+1) , xσ1 (n+2) ) < ε′σ1 (n) . Legyen σ2 : N → N; n 7→ n + 1; ekkor (x′n )n∈N := x(σ1 ◦σ2 )(n) n∈N olyan részsorozata (xn )n∈N -nek, amelyre minden N ∋ n-re d(x′n , x′n+1 ) = d(xσ1 (n+1) , xσ1 (n+2) ) < ε′σ1 (n) ≤ ε′n ≤ εn , hiszen σ1 (n) ≥ n, és (ε′n )n∈N monoton fogyó sorozat.  13.3.2. Tétel. (Riesz–Fischer-tétel) Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ), továbbá F Banach-tér és p ≥ 1 valós szám. Tegyük fel, hogy (fn )n∈N olyan LFp (T, µ)-ben haladó sorozat, amely Cauchy-sorozat a k · kµ,p félnorma szerint. Ekkor létezik olyan f ∈ LFp (T, µ), és létezik olyan g : T → R+ függvény, és létezik olyan σ : N → N szigorúan monoton növő függvény, hogy teljesülnek a következők: a) Az (fn )n∈N függvénysorozat konvergál f -hez a k · kµ,p félnorma szerint.

b) Az (fσ(k) )k∈N függvénysorozat µ-majdnem mindenütt konvergál T -n f -hez. c) Minden k ∈ N esetén kfσ(k) k ≤ g a T halmazon mindenütt és

Z

Bizonyítás. Legyen (εk )k∈N olyan R+ -ban haladó sorozat, amelyre a

∗

g p dµ < +∞.

X

k∈N

εk sor konvergens

R-ben. Az (fn )n∈N sorozat Cauchy-sorozat a k · kµ,p félnorma szerint, ezért az előző lemma alapján van olyan σ : N → N szigorúan monoton növő függvény, amelyre minden k ∈ N esetén kfσ(k+1) − fσ(k) kµ,p ≤ εk . 410

Értelmezzük a következő T → R+ függvényt: g := kfσ(0) k +

∞ X

k=0

kfσ(k+1) − fσ(k) k.

Végül, vezessük be azt az f : T → F függvényt, amelyre t ∈ T esetén f (t) := fσ(0) (t) +

∞ X

k=0

ha a

X

fσ(k+1) (t) − fσ(k) (t) ,

fσ(k+1) (t)−fσ(k) (t) vektorsor konvergens F -ben, egyébként f (t):=0.

k∈N

Igazolni fogjuk, hogy az imént értelmezett σ, g és f függvények eleget tesznek a követelményeknek. A Minkowski-egyenlőtlenség és a megszámlálható konvexitás tételének általánosítását alkalmazva kapjuk, hogy Z

∗

1/p

p

≤

g dµ

≤

Z

∗

Z

∗

kfσ(0) k dµ

kfσ(0) kp dµ

= kfσ(0) kµ,p +

∞ X

k=0

Z

1/p

p

+

1/p

+

Z ∞ X

∗

k=0

∗

∞ X

k=0

kfσ(k+1) − fσ(k) k

kfσ(k+1) − fσ(k) kp dµ

kfσ(k+1) − fσ(k) kµ,p ≤ kfσ(0) kµ,p +

∞ X

!p

dµ

!1/p

≤

1/p

=

εk < +∞.

k=0

Ebből az is következik, hogy µ-majdnem minden t ∈ T esetén g(t) < +∞, vagyis az N := {t ∈ T |g(t) = +∞} halmaz µ-nullahalmaz. Ha t ∈ T \ N, akkor a X

k∈N

kfσ(k+1) (t) − fσ(k) (t)k

numerikus sor konvergens, vagyis a X

k∈N

fσ(k+1) (t) − fσ(k) (t)

vektorsor abszolút konvergens F -ben, tehát a F teljessége miatt konvergens is. Ez azt jelenti, hogy minden t ∈ T \ N esetén f (t) := fσ(0) (t)+

∞ X

k=0

fσ(k+1) (t) − fσ(k) (t) = fσ(0) (t)+n→∞ lim

n−1 X k=0

= fσ(0) (t) + lim fσ(n) (t) − fσ(0) (t) , n→∞

411

fσ(k+1) (t) − fσ(k) (t)

!

=

vagyis az (fσ(n) (t))n∈N sorozat konvergens F -ben, és a határértéke egyenlő f (t)-vel. Tehát az (fσ(n) )n∈N függvénysorozat a T halmazon µ-majdnem mindenütt pontonként konvergens, és f = lim fσ(n) a T halmazon µ-majdnem mindenütt. n→∞

Ha n ∈ N, akkor kfσ(n) k =



fσ(0)

+

X





fσ(k+1) − fσ(k)

k∈n

Ebből azonnal következik, hogy Z

∗

≤ kfσ(0) k +

X

k∈n

kfσ(k+1) − fσ(k) k ≤ g.

kf kp dµ < +∞,

hiszen minden t ∈ T \ N esetén kf (t)k =

∞ X

fσ(0) (t) +

k=0

≤ kfσ(0) (t)k +

∞ X

k=0

fσ(k+1) (t) − fσ(k) (t)





≤

kfσ(k+1) (t) − fσ(k) (t)k =: g(t),

vagyis µ-majdnem minden t ∈ T esetén kf (t)k ≤ g(t), így Z

∗

p

kf k dµ ≤

Z

∗

g p dµ < +∞.

Most megmutatjuk, hogy az (fσ(n) )n∈N függvénysorozat konvergál f -hez a k · kµ,p félnorma szerint, vagyis lim kf − fσ(n) kµ,p = 0. Valóban, ha t ∈ T \ N, akkor minden n→∞ n ∈ N esetén f (t) − fσ(n) (t) = = fσ(0) (t)+

∞ X

!

fσ(k+1) (t)−fσ(k) (t)

k=0

=

∞ X

k=n

−

fσ(0) (t)+

X

fσ(k+1) (t)−fσ(k) (t)

k∈n

fσ(k+1) (t) − fσ(k) (t) ,

következésképpen minden n ∈ N számra kf − fσ(n) k ≤

∞ X

k=n

kfσ(k+1) − fσ(k) k

teljesül a T halmazon µ-majdnem mindenütt, így kf − fσ(n) kµ,p ≤

∞ X

k=n

kfσ(k+1) − fσ(k) kµ,p ≤ 412

∞ X

k=n

εk .

=

Ugyanakkor a

X

εk sor konvergens R-ben, ezért lim

n→∞

k∈N

∞ X

εk = 0, így

k=n

lim kf − fσ(n) kµ,p = 0.

n→∞

Végül megmutatjuk, hogy az (fn )n∈N függvénysorozat konvergál f -hez a k · kµ,p félnorma szerint, vagyis lim kf − fn kµ,p = 0. Legyen ε ∈ R+ tetszőleges. Az előzőek alapján van n→∞ olyan N1 ∈ N, hogy minden n > N1 természetes számra kf −fσ(n) kµ,p < ε/2. Ugyanakkor (fn )n∈N Cauchy-sorozat a k · kµ,p félnorma szerint, ezért van olyan N2 ∈ N, hogy minden m, n > N2 természetes számra kfm − fn kµ,p < ε/2. Ha n ∈ N és n > max(N1 , N2 ), akkor σ(n) ≥ n > N2 miatt kfσ(n) − fn kµ,p < ε/2, valamint n > N1 miatt kf − fσ(n) kµ,p < ε/2, így kf − fn kµ,p ≤ kf − fσ(n) kµ,p + kfσ(n) − fn kµ,p < ε. 

13.3.3. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ), továbbáq F Banach-tér és p ≥ 1 valós szám. Ha f ∈ LFp (T, µ), akkor létezik olyan K (T ; R) ⊗ F ben haladó (fn )n∈N sorozat, és létezik olyan g : T → R+ függvény, hogy teljesülnek a következők. a) Az (fn )n∈N függvénysorozat konvergál f -hez a k · kµ,p félnorma szerint.

b) Az (fn )n∈N függvénysorozat µ-majdnem mindenütt konvergál T -n f -hez. c) Minden n ∈ N esetén kfn k ≤ g a T halmazon mindenütt és

Z

∗

g p dµ < +∞.

Bizonyítás. Az f ∈ LFp (T, µ) feltétel szerint létezik olyan K (T ; R) ⊗ F -ben haladó (fn′ )n∈N sorozat, hogy Z q

∗

lim n→∞

kf − fn′ kp dµ = 0

(13.1.2.). Ekkor az (fn′ )n∈N függvénysorozat konvergál f -hez a k · kµ,p félnorma szerint, így (fn′ )n∈N Cauchy-sorozat a k · kµ,p félnorma szerint. A Riesz–Fischer-tétel alapján létezik olyan f ′ ∈ LFp (T, µ), és létezik olyan g : T → R+ függvény, és létezik olyan σ : N → N szigorúan monoton növő függvény, hogy teljesülnek a következők: a) Az (fn′ )n∈N függvénysorozat konvergál f ′ -höz a k · kµ,p félnorma szerint.

′ b) Az (fσ(k) )k∈N függvénysorozat µ-majdnem mindenütt konvergál T -n f ′ -höz.

c) Minden k ∈ N esetén

′ kfσ(k) k

≤ g a T halmazon mindenütt és

Z

∗

g p dµ < +∞.

Ekkor az (fn′ )n∈N függvénysorozat konvergál f -hez is és f ′ -höz is a k · kµ,p félnorma szerint, ezért kf − f ′ kµ,p = 0. Ebből következik, hogy µ-majdnem minden t ∈ T ′ esetén f (t) = f ′ (t). Ugyanakkor, az (fσ(k) )k∈N függvénysorozat µ-majdnem mindenütt konvergál T -n f ′ -höz, ezért f -hez is µ-majdnem mindenütt konvergál T -n. Ez azt jelenti, ′ hogy az (fn )n∈N := fσ(n) függvénysorozat és a g függvény eleget tesz a tételben n∈N megkövetelt feltételeknek.  413

13.3.4. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ), továbbá F Banach-tér és p ≥ 1 valós szám. Ekkor az LFp (T, µ) függvénytér a k · kµ,p félnormával ellátva teljes félnormált tér. Az (LFp (T, µ), k · kµ,p ) teljes félnormált térhez asszociált LpF (T, µ) normált tér Banach-tér. Bizonyítás. A Riesz–Fischer-tétel alapján nyilvánvaló.  13.3.5. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ), továbbá F Banach-tér és p ≥ 1 valós szám. Ha f ∈ LFp (T, µ), akkor létezik olyan N ⊆ T µnullahalmaz és a T kompakt részhalmazainak olyan (Kn )n∈N sorozata, amelyre [f 6= 0] ⊆

N∪

S

n∈N

Kn .

Bizonyítás. A Riesz–Fischer-tétel alapján létezik olyan K (T ; F )-ben haladó (fn )n∈N sorozat, amely T -n µ-majdnem mindenütt konvergál f -hez, tehát van olyan N ⊆ T µ-nullahalmaz, hogy minden t ∈ T \ N esetén f (t) = lim fn (t). Ha minden n ∈ N n→∞ esetén Kn := supp(fn ), akkor (Kn )n∈N a T kompakt részhalmazainak olyan sorozata, hogy [f 6= 0] ⊆ N ∪

S

n∈N

Kn . 

13.3.6. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ), továbbá F Banach-tér és p ≥ 1 valós szám. Ha f ∈ LFp (T, µ), akkor létezik olyan N ⊆ T µnullahalmaz és F0 ⊆ F szeparábilis zárt lineáris altér, hogy f hT \ Ni ⊆ F0 . q

Bizonyítás. A 13.3.3. alapján van olyan K (T ; R) ⊗ F -ben haladó (fn )n∈N sorozat, amely T -n µ-majdnem mindenütt konvergál f -hez, tehát van olyan N ⊆ T µ-nullahalmaz, hogy minden t ∈ T \ N esetén f (t) = lim fn (t). Minden n ∈ N esetén az Im(fn ) halmaz által n→∞ S generált lineáris altér véges dimenziós, ezért szeparábilis, így az Im(fn ) halmaz által generált F0 zárt lineáris altér szeparábilis, és f hT \ Ni ⊆ F0 . 

13.4.

n∈N

Az LRp(T, µ)-terek tulajdonságai – Levi-tétel

Az alábbiakban többször felhasználjuk azt az elemi tényt, hogy ha p ≥ 1 valós szám és x, y ∈ R+ , akkor xp + y p ≤ (x + y)p . Valóban, ha x + y > 0 (és csak ez az eset érdekes), p p x x y y x y akkor ≤ ≤ , ∈ [0, 1], így p ≥ 1 miatt és , x+y x+y x+y x+y x+y x+y ezért elég összeadni ezeket az egyenlőtlenségeket, és a kapott összefüggést átrendezni. Ebből következik, hogy ha p ≥ 1 valós szám, a, b ∈ R és 0 ≤ a ≤ b, akkor (b−a)p ≤ bp −ap , hiszen ehhez elég az xp + y p ≤ (x + y)p egyenlőtlenségbe az x := a és y := b − a értékeket helyettesíteni. 414

13.4.1. Lemma. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ) és p ≥ 1 valós szám. Ha f, g ∈ LRp (T, µ) olyan függvények, hogy 0 ≤ f ≤ g a T halmazon µ-majdnem mindenütt, akkor kg − f kpµ,p ≤ kgkpµ,p − kf kpµ,p . Bizonyítás. (I) Először feltesszük, hogy f, g ∈ K (T ; R) és 0 ≤ f ≤ g a T halmazon mindenütt. Ekkor (g − f )p , f p , g p ∈ K+ (T ), és a µ szerinti felső integrál egyenlő µ-vel az K+ (T ) függvényhalmazon, továbbá µ additív, így a (g − f )p + f p ≤ ((g − f ) + f )p = g p függvény-egyenlőtlenséget alkalmazva kapjuk, hogy kg −

f kpµ,p

+

kf kpµ,p

Z

:=

p

∗

p

p

(g − f ) dµ +

= µ ((g − f ) + f ) =

Z

∗

Z

∗

p

f p dµ = µ ((g − f )p ) + µ (f p ) = p

((g − f ) + f ) dµ ≤

tehát kg − f kpµ,p ≤ kgkpµ,p − kf kpµ,p .

Z

∗

g p dµ =: kgkpµ,p,

(II) Tegyük fel, hogy f, g ∈ LRp (T, µ) és 0 ≤ f ≤ g a T halmazon µ-majdnem mindenütt. Legyenek (fn )n∈N és (gn )n∈N olyan sorozatok K (T ; R)-ben, hogy (fn )n∈N tart f -hez a k · kµ,p félnorma szerint, és (gn )n∈N tart g-hez a k · kµ,p félnorma szerint; ilyenek az LRp (T, µ)-terek definíciója alapján léteznek. Minden n ∈ N esetén legyen fen := inf(fn+ , gn+ ),

gen := sup(fn+ , gn+ ).

Világos, hogy minden n ∈ N esetén fen , gen ∈ K+ (T ) és 0 ≤ fen ≤ gen a T halmazon mindenütt, ezért az (I) alapján kgen − fen kpµ,p ≤ kgen kpµ,p − kfen kpµ,p .

Ugyanakkor minden N ∋ n-re a T halmazon µ-majdnem mindenütt fennállnak a következő függvény-egyenlőtlenségek |fen − f | := | inf(fn+ , gn+ ) − inf(f, g)| ≤ |fn+ − f | + |gn+ − g| = = |fn+ − f + | + |gn+ − g + | ≤ |fn − f | + |gn − g|,

amiből a Minkowski-egyenlőtlenség alapján következik, hogy kfe

n

≤

Z

∗

|fn − f |p dµ

− f kµ,p :=

1/p

+

Z

∗

Z

∗

|fen − f |p dµ

|gn − g|p dµ

1/p

≤

1/p

=: kfn − f kµ,p + kgn − gkµ,p

következésképpen az (fen )n∈N sorozat konvergál f -hez a k · kµ,p félnorma szerint. Hasonlóan kapjuk, hogy minden n ∈ N esetén |gen − g| ≤ |fn − f | + |gn − g| a T halmazon 415

µ-majdnem mindenütt, tehát ismét a Minkowski-egyenlőtlenség alapján kgen − gkµ,p ≤ kfn − f kµ,p + kgn − gkµ,p , így a (gen )n∈N sorozat konvergál g-hez a k · kµ,p félnorma szerint. Ebből adódik, hogy kg − f kpµ,p = lim kgen − fen kpµ,p ≤ lim kgen kpµ,p − lim kfen kpµ,p = kgkpµ,p − kf kpµ,p .  n→∞

n→∞

n→∞

13.4.2. Jelölés. Ha T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ) és p ≥ 1 valós szám, akkor LRp (T, µ) := { f ∈ F (T ; R) | | (∃g ∈ LRp (T, µ)) : f = g a T halmazon µ-majdnem mindenütt }. 13.4.3. Tétel. (Levi-tétel) Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ), p ≥ 1 valós szám, és (fn )n∈N olyan LRp (T, µ)-ban haladó sorozat, amelyre minden n ∈ N esetén 0 ≤ fn ≤ fn+1 a T halmazon µ-majdnem mindenütt. Ekkor sup fn ∈ LRp (T, µ) ⇔ sup kfn kµ,p < +∞. n∈N

n∈N

Ha sup fn ∈ LRp (T, µ) és f ∈ LRp (T, µ) olyan, hogy sup fn = f a T halmazon µ-majdnem n∈N

n∈N

mindenütt, akkor az (fn )n∈N függvénysorozat konvergál f -hez a k · kµ,p félnorma szerint.

Bizonyítás. Legyen g ∈ LRp (T, µ) olyan függvény, amelyre sup fn = g a T halmazon n∈N

µ-majdnem mindenütt. Ekkor minden n ∈ N esetén 0 ≤ fn ≤ g teljesül a T halmazon µmajdnem mindenütt, így |fn | = fn ≤ g = |g| is igaz a T halmazon µ-majdnem mindenütt. Ebből a µ szerinti felső integrál monotonitása alapján következik, hogy minden n ∈ N esetén Z Z kfn kµ,p =

∗

|fn |p dµ

1/p

≤

∗

|g|p dµ

1/p

= kgkµ,p ,

tehát

sup kfn kµ,p ≤ kgkµ,p < +∞. n∈N

Megfordítva, tegyük fel, hogy sup kfn kµ,p < +∞. A hipotézis szerint minden N ∋ n-re n∈N

|fn | = fn ≤ fn+1 = |fn+1 | teljesül a T halmazon µ-majdnem mindenütt, így a µ szerinti felső integrál monotonitása alapján kfn kµ,p ≤ kfn+1 kµ,p , vagyis az (kfn kµ,p )n∈N valós számsorozat monoton növő és felülről korlátos. Ebből következik, hogy az (kfn kµ,p )n∈N számsorozat konvergens, így a (kfn kpµ,p )n∈N sorozat is konvergens R-ben. Ugyanakkor a 13.4.1. lemma alapján minden N ∋ m, n-re, ha m ≤ n, akkor kfn − fm kpµ,p ≤ kfn kpµ,p − kfm kpµ,p , tehát ha m, n ∈ N tetszőlegesek, akkor kfn − fm kpµ,p ≤ |kfn kpµ,p − kfm kpµ,p |. 416

Az (kfn kpµ,p )n∈N sorozat Cauchy-sorozat R-ben, így az iménti egyenlőtlenségből kapjuk, hogy az (fn )n∈N függvénysorozat Cauchy-sorozat LRp (T, µ)-ban a k · kµ,p félnorma szerint. A Riesz–Fischer-tétel alapján vehetünk olyan f ∈ LRp (T, µ) függvényt és olyan σ : N → N szigorúan monoton növő leképezést, hogy az (fn )n∈N függvénysorozat konvergál f -hez a k · kµ,p félnorma szerint, és az (fσ(n) )n∈N függvénysorozat konvergál f -hez a T halmazon µ-majdnem mindenütt. Ugyanakkor az (fσ(n) )n∈N függvénysorozat a T halmazon µmajdnem mindenütt konvergál a sup fn felső burkolóhoz, így sup fn = f ∈ LRp (T, µ) n∈N

n∈N

a T halmazon µ-majdnem mindenütt, vagyis sup fn ∈ LRp (T, µ). Ha f ′ ∈ LRp (T, µ) n∈N

tetszőleges olyan függvény, amelyre sup fn = f ′ a T halmazon µ-majdnem mindenütt, n∈N

akkor f = f ′ a T halmazon µ-majdnem mindenütt, így az (fn )n∈N függvénysorozat konvergál f ′ -höz is a k · kµ,p félnorma szerint. 

13.4.4. Tétel. (Levi-tétel függvénysorokra) Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ), p ≥ 1 valós szám, és (fk )k∈N olyan LRp (T, µ)-ban haladó sorozat, amelyre minden k ∈ N esetén ! 0 ≤ fk a T halmazon µ-majdnem mindenütt. Vezessük be a ∞ X

k=0

fk := sup n∈N

n X

jelölést. Ekkor

fk

k=0

∞ X

k=0

fk ∈ LRp (T, µ) pontosan akkor teljesül, ha



X

n

sup fk

n∈N k=0

< +∞.

µ,p

Továbbá, ha f ∈ LRp (T, µ) olyan függvény, hogy mindenütt, akkor

X

fk függvénysor konvergens

k∈N

∞ X

fk = f a T k=0 LRp (T, µ)-ban a k

halmazon µ-majdnem · kµ,p félnorma szerint,

és az összege egyenlő f -fel. Bizonyítás. Elegendő a Levi-tételt alkalmazni a ban haladó

n X

k=0

fk

!

X

fk függvénysorra, vagyis az LRp (T, µ)-

k∈N

függvénysorozatra.  n∈N

13.4.5. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ), p ≥ 1 valós szám, és (fn )n∈N olyan LRp (T, µ)-ban haladó sorozat, amelyre minden n ∈ N esetén fn ≥ fn+1 ≥ 0 a T halmazon µ-majdnem mindenütt. Ekkor inf fn ∈ LRp (T, µ), és ha n∈N

f ∈ LRp (T, µ) olyan függvény, hogy inf fn = f a T halmazon µ-majdnem mindenütt, n∈N

akkor az (fn )n∈N függvénysorozat konvergál f -hez a k · kµ,p félnorma szerint.

Bizonyítás. Vegyük az (f0 − fn )n∈N függvénysorozatot, amely szintén LRp (T, µ)-ben halad, és minden N ∋ n-re 0 ≤ f0 − fn ≤ f0 − fn+1 teljesül a T halmazon µmajdnem mindenütt. Ezért erre a függvénysorozatra alkalmazható a Levi-tétel, tehát 417

sup(f0 − fn ) ∈ LRp (T, µ) pontosan akkor teljesül, ha sup kf0 − fn kµ,p < +∞. Minden n∈N

n∈N

n ∈ N esetén 0 ≤ f0 − fn ≤ f0 a T halmazon µ-majdnem mindenütt, tehát kf0 − fn kµ,p ≤ kf0 kµ,p . Ezért sup kf0 − fn kµ,p ≤ kf0 kµ,p < +∞, vagyis sup(f0 − fn ) ∈ LRp (T, µ). n∈N

n∈N

Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy sup(f0 −fn ) = f0 − inf fn , így ha g ∈ LRp (T, µ) olyan, hogy n∈N

n∈N

sup(f0 − fn ) = g a T halmazon µ-majdnem mindenütt, akkor inf fn = f0 − g ∈ LRp (T, µ) n∈N

n∈N

a T halmazon µ-majdnem mindenütt. Ez azt jelenti, hogy inf fn ∈ LRp (T, µ), továbbá n∈N

a Levi-tétel alapján az (f0 − fn )n∈N függvénysorozat konvergál a g függvényhez a k · kµ,p félnorma szerint, vagyis az (fn )n∈N függvénysorozat konvergál f0 −g-hez a k · kµ,p félnorma szerint. Ebből következik, hogy ha f ∈ LRp (T, µ) olyan függvény, hogy inf fn = f a T n∈N halmazon µ-majdnem mindenütt, akkor f0 −g = f a T halmazon µ-majdnem mindenütt, így az (fn )n∈N függvénysorozat konvergál f -hez is a k · kµ,p félnorma szerint. 

13.4.6. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ), p ≥ 1 valós szám, és (fi )i∈I olyan LRp (T, µ)-ban haladó rendszer, hogy I megszámlálható halmaz, és minden i ∈ I esetén fi ≥ 0 a T halmazon µ-majdnem mindenütt. Ekkor inf fi ∈ i∈I

LRp (T, µ).

Bizonyítás. Legyen σ : N → I szürjekció, és minden N ∋ n-re fen := inf fσ(k) . Ekkor 0≤k≤n

(fe

LRp (T, µ)-ban

olyan függvénysorozat, amely halad, és minden n ∈ N esetén e 0 ≤ n+1 ≤ fn a T halmazon µ-majdnem mindenütt. Mivel pedig nyilvánvalóan teljesül az inf fi = inf fen egyenlőség, így az előző állítás szerint inf fi ∈ LRp (T, µ).  n )n∈N

fe

i∈I

i∈I

n∈N

13.4.7. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ), p ≥ 1 valós szám, és (fi )i∈I olyan LRp (T, µ)-ban haladó rendszer, hogy I megszámlálható halmaz. Ekkor sup fi ∈ LRp (T, µ) pontosan akkor teljesül, ha létezik olyan g : T → R+ függvény, i∈I

amelyre

Z

∗

g p dµ < +∞,

és minden i ∈ I esetén fi ≤ g a T halmazon µ-majdnem mindenütt. Bizonyítás. Ha f ∈ LRp (T, µ) olyan, hogy sup fi = f a T halmazon µ-majdnem mindei∈I

nütt, akkor minden I ∋ i-re fi ≤ f ≤ |f | a T halmazon mindenütt és Z

Z

∗

|f |p dµ < +∞.

∗

Tegyük fel, hogy g : T → R+ olyan függvény, amelyre g p dµ < +∞, és minden i ∈ I esetén fi ≤ g a T halmazon µ-majdnem mindenütt. Legyen σ : N → I szürjekció, és minden N ∋ n-re fen := sup fσ(k) . Ekkor az (fen + fe0− )n∈N függvényk∈n

sorozat LRp (T, µ)-ban halad, és nyilvánvalóan monoton növő, valamint minden N ∋ n-re 418

fen + fe0− = fen + fe0+ − fe0 ≥ fe0+ ≥ 0 a T halmazon mindenütt. Továbbá, minden n ∈ N esetén 0 ≤ fen + fe0− ≤ g + fe0− , és a Minkowski-egyenlőtlenség alapján kfen + fe0− kµ,p = ≤

Z

Z

∗

∗

fen + fe0− 1/p

p

g dµ

+

p

1/p

≤

dµ

Z

∗

Z

∗

g + fe0−

1/p

(fe0− )p dµ

p

1/p

≤

dµ

< +∞,

következésképpen sup kfen + fe0− kµ,p < +∞. Ezért a Levi-tétel alapján sup(fen + fe0− ) ∈ n∈N

LRp (T, µ).

Ugyanakkor sup(fen + fe0− ) =

sup fi ∈ LRp (T, µ).  i∈I

13.5.

n∈N

sup fen

n∈N

+ fe0− =

n∈N

sup fi i∈I

+ fe0− , ezért

Lebesgue-tétel

13.5.1. Tétel. (Lebesgue-tétel) Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ), F Banach-tér, p ≥ 1 valós szám, és (fn )n∈N LFp (T, µ)-ban haladó sorozat. Ha f : T → F olyan függvény, hogy az (fn )n∈N függvénysorozat µ-majdnem mindenütt tart f -hez, és létezik olyan g : T → R+ függvény, Z amelyre minden n ∈ N esetén kfn k ≤ g a T ∗

halmazon µ-majdnem mindenütt és

g p dµ < +∞, akkor f ∈ LFp (T, µ) és az (fn )n∈N

függvénysorozat a k · kµ,p félnorma szerint is konvergál f -hez.

Bizonyítás. Rögzítsünk olyan g : T → R+ függvény, amelyre minden n ∈ N esetén Z kfn k ≤ g a T halmazon µ-majdnem mindenütt és

T |g(t) Z ∗

∗

g p dµ < +∞. Legyen A := {t ∈

= +∞} és minden n ∈ N esetén Bn := {t ∈ T |kfn (t)k ≤ g(t)}. A feltevés alapján

g p dµ < +∞, ezért µ-majdnem minden t ∈ T pontra g(t) < +∞, vagyis az A halmaz

µ-nullahalmaz. Ugyancsak a hipotézis alapján minden N ∋ n-re kfn k ≤ g a T halmazon µ-majdnem mindenütt, vagyis az Bn halmaz µ-nullahalmaz. Továbbá, µ-majdnem minden t ∈ T pontra f (t) = lim fn (t), tehát a C := {t ∈ T |f (t) 6= lim fn (t)} halmaz n→∞

n→∞

µ-nullahalmaz. Ezért az N := A ∪

S

n∈N

Bn ∪ C halmaz is µ-nullahalmaz, és minden

t ∈ T \ N esetén f (t) = lim fn (t), valamint minden N ∋ n-re kfn (t)k ≤ g(t) < +∞. n→∞

Minden n ∈ N esetén értelmezzük a gn :=

sup (j,k)∈N×N j,k>n

χT \N kfj − fk k

függvényt, amely mindenütt véges értéket vesz fel, mert j, k ∈ N, j, k > n és t ∈ T \ N esetén χT \N (t)kfj (t) − fk (t)k = kfj (t) − fk (t)k ≤ kfj (t)k + kfk (t)k ≤ 2g(t) < +∞, ezért 419

gn (t) ≤ 2g(t) < +∞; míg t ∈ N esetén gn (t) = 0.

Legyen n ∈ N rögzítve. Minden j, k ∈ N esetén kfj − fk k ∈ LRp (T, µ), ezért χT \N kfj − fk k ∈ LRp (T, µ) is teljesül, hiszen ezek a függvények µ-majdnem mindenütt egyenlőek. Az imént láttuk, hogy gn ≤ 2g, és természetesen

Z

∗

(2g)p dµ < +∞, így a

Levi-tételből következik, hogy gn ∈ LRp (T, µ), vagyis gn ∈ LRp (T, µ), mert gn értékei R-ben vannak. A definíció alapján nyilvánvaló, hogy az LRp (T, µ)-ban haladó (gn )n∈N függvénysorozat monoton fogyó, így ismét a Levi-tételből következik, hogy inf gn ∈ LRp (T, µ), valamint n∈N

a (gn )n∈N sorozat konvergál inf gn -hez a k · kµ,p félnorma szerint, így n∈N



inf gn

n∈N

µ,p

is teljesül.

= inf kgn kµ,p n∈N

Ha t ∈ T \ N, akkor az R+ -ban haladó (gn (t))n∈N számsorozat monoton fogyása és az F teljessége miatt fennállnak a következő ekvivalenciák: inf gn (t) = 0 ⇔ (∀ε ∈ R+ )(∃n ∈ N) : gn (t) < ε ⇔

n∈N

(∀ε ∈ R+ )(∃n ∈ N)(∀(j, k) ∈ N × N) : ((j > n) ∧ (k > n)) ⇒ kfj (t)−fk (t)k < ε ⇔ (fn (t))n∈N Cauchy-sorozat F -ben ⇔ (fn (t))n∈N konvergens sorozat F -ben.

Az N definíciója szerint minden t ∈ T \ N esetén az (fn (t))n∈N sorozat konvergens F ben, sőt lim fn (t) = f (t). Ebből következik, hogy inf gn = 0 a T halmazon µ-majdnem n→∞ n∈N mindenütt, ezért inf kgn kµ,p = 0. n∈N

Ugyanakkor n ∈ N, j, k ∈ N és j, k > n esetén kfj − fk k ≤ gn a T halmazon µ-majdnem mindenütt, így kfj − fk kµ,p ≤ kgn kµ,p . Ezért minden ε ∈ R+ esetén van olyan n ∈ N, hogy kgn kµ,p < ε, így minden j, k ∈ N számra, ha j, k > n, akkor kfj − fk kµ,p < ε. Ez éppen azt jelenti, hogy (fn )n∈N Cauchy-sorozat a k · kµ,p félnorma szerint.

A Riesz–Fischer-tétel alapján létezik olyan f ′ ∈ LFp (T, µ), hogy az (fn )n∈N függvénysorozat konvergál f ′ -höz a k · kµ,p félnorma szerint, és létezik olyan σ : N → N szigorúan monoton növő függvény, hogy µ-majdnem minden t ∈ T esetén f ′ (t) = lim fσ(n) (t). n→∞ Ugyanakkor µ-majdnem minden t ∈ T esetén f (t) = lim fσ(n) (t) teljesül, ezért f = f ′ a n→∞ T halmazon µ-majdnem mindenütt. Tehát f ∈ LFp (T, µ) és az (fn )n∈N függvénysorozat konvergál f -hez a k · kµ,p félnorma szerint.  13.5.2. Tétel. (Lebesgue-tétel függvénysorokra) Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ), F Banach-tér, p ≥ 1 valós szám, és (fk )k∈N egy LFp (T, µ)-ban haladó 420

sorozat. ∞ X

k=0

Ha f : T → F olyan függvény, amely µ-majdnem mindenütt egyenlő a

fk : T ֌ F összegfüggvénnyel, és létezik olyan g : T → R+ függvény, amelyre minden

n ∈ N esetén



X

n

fk

≤

k=0 X

f ∈ LFp (T, µ) és a

k∈N

g a T halmazon µ-majdnem mindenütt és

∗

g p dµ < +∞, akkor

fk függvénysor a k · kµ,p félnorma szerint is konvergál f -hez.

Bizonyítás. Elég a Lebesgue-tételt alkalmazni a szerint – megegyezik a

Z

n X

k=0

fk

!

X

fk függvénysorra, ami – definíció

k∈N

függvénysorozattal. 

n∈N

421

14. fejezet Integrál az LF1 (T, µ)-téren 14.1.

Az integrál értelmezése és alaptulajdonságai

14.1.1. Tétel. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ) és F Banach-tér K felett. Ekkor egyértelműen létezik olyan LF1 (T, µ) → F ;

f 7→

Z

f dµ

K-lineáris operátor, amelyre teljesülnek a következők: a) minden ϕ ∈ K (T ; K) függvényre és z ∈ F vektorra Z

q

(ϕ ⊗ z) dµ = µ(ϕ)z,

b) minden f ∈ LF1 (T, µ) függvényre

Z





f dµ

≤

Z

∗

kf k dµ.

Bizonyítás. Az a) és b) feltételek pontosan azt fejezik ki, hogy az LF1 (T, µ) → F ; q

f 7→

Z

f dµ

K-lineáris operátor a K (T ; K) ⊗ F altéren egyenlő a korábban bevezetett µ-szerinti integrállal (4.4.2.), és folytonos az LF1 (T, µ) tér feletti k · kµ,1 félnorma szerint. Tudjuk, q hogy az LF1 (T, µ) függvénytérben a K (T ; K) ⊗ F altér sűrű k · kµ,1 szerint (13.1.2.), és ezen az altéren a folytonos kompakt tartójú függvények tere feletti µ-szerinti integrál – a definíciója alapján – folytonos a k · kµ,1 félnorma szerint. Ezért a félnormált tér sűrű alterén értelmezett, Banach-térbe érkező, folytonos lineáris operátor egyértelmű folytonos kiterjeszthetőségének tétele alapján az állítás nyilvánvaló.  422

14.1.2. Definíció. Ha T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ) és F Banach-tér K felett, akkor az LF1 (T, µ) függvénytér feletti µ-integrálnak nevezzük azt az LF1 (T, µ) → F ;

f 7→

Z

f dµ

K-lineáris operátort, amelyre az előző állítás a) és b) feltétele teljesül. 14.1.3. Állítás. Ha T lokálisan kompakt tér és µ ∈ M+ (T ), akkor minden ϕ ∈ K (T ; C) függvényre Z ϕ dµ = µ(ϕ), továbbá f ∈ L+1 (T, µ) esetén

Z

f dµ =

Z

∗

f dµ.

Bizonyítás. Ha ϕ ∈ K (T ; C) és minden N ∋ n-re ϕn := ϕ, akkor nyilvánvalóan lim

n→∞

Z

∗

|ϕ − ϕn | dµ = 0,

ezért a µ-szerinti integrál definíciója alapján Z

ϕ dµ = lim µ(ϕn ) = µ(ϕ). n→∞

Tegyük fel, hogy f ∈ L+1 (T, µ). Legyen (ϕn )n∈N olyan K (T ; R)-ben haladó sorozat, amelyre Z ∗

lim

n→∞

|f − ϕn | dµ = 0.

+ + Ekkor f ≥ 0 miatt minden N ∋ n-re |f − ϕ+ n | = |f − ϕn | ≤ |f − ϕn |, tehát a felső integrál monotonitása miatt

lim

n→∞

Z

∗

|f − ϕ+ n | dµ = 0

is teljesül, vagyis (ϕ+ n )n∈N olyan K+ (T )-ben haladó sorozat, amely µ-integrálisan approximálja f -t. Ezért a µ-szerinti integrál definíciója alapján Z

f dµ = lim µ(ϕ+ n ). n→∞

+ Minden N ∋ n-re f ≤ ϕ+ n + |f − ϕn |, ezért a felső integrál monotonitása és szubadditivitása alapján Z ∗ Z ∗ Z ∗ |f − ϕ+ ϕ+ dµ + f dµ ≤ n | dµ. n

423

Ha n ∈ N, akkor ϕ+ n ∈ K+ (T ), tehát Z

∗

+ ϕ+ n dµ = µ(ϕn ),

így az előző egyenlőtlenségből n → ∞ esetén kapjuk, hogy Z

∗

f dµ ≤ lim µ(ϕ+ n) = n→∞

Z

f dµ.

+ Minden N ∋ n-re ϕ+ n ≤ f +|ϕn −f |, ezért a felső integrál monotonitása és szubadditivitása alapján Z Z Z

µ(ϕ+ n) =

∗

∗

∗

ϕ+ n dµ ≤

f dµ +

így n → ∞ esetén kapjuk, hogy Z

f dµ = lim µ(ϕ+ n) ≤ n→∞

Z

|ϕ+ n − f | dµ,

∗

f dµ. 

14.1.4. Következmény. Ha T lokálisan kompakt tér, F Banach-tér K felett, és µ ∈ M+ (T ), akkor minden f ∈ LF1 (T, µ) függvényre kf k ∈ L+1 (T, µ) és

Z



f

dµ

≤

Z

kf kdµ.

Bizonyítás. Azt tudjuk, hogy f ∈ LF1 (T, µ) esetén kf k ∈ L+1 (T, µ), és az integrál definíciója, valamint az előző állítás alapján

Z





f dµ

≤

Z

∗

kf k dµ =

Z

kf k dµ. 

Emlékeztetünk arra, hogy ha T lokálisan kompakt tér, akkor egy θ ∈ M (T ; C) Radonmértéket korlátosnak mondunk, ha θ sup-normában folytonos K (T ; C) felett, és a θ mérték-normája nem más, mint a funkcionálnormája (4.1.3.), vagyis a kθk :=

sup ψ∈K (T ;C) |ψ|≤1

|θ(ψ)|.

14.1.5. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ) és f ∈ C (T ; C) olyan függyény, hogy az f.µ komplex Radon-mérték korlátos. Ekkor f ∈ LC1 (T, µ) és kf.µk =

Z

továbbá minden g ∈ K (T ; C) esetén f.µ(g) =

∗

Z

|f | dµ,

gf dµ

teljesül, ahol f.µ az f.µ : K (T ; C) → C funkcionál sup-normában folytonos kiterjesztése K (T ; C)-re. 424

Bizonyítás. Először megmutatjuk, hogy fennáll az kf.µk =

Z

∗

|f | dµ

egyenlőség, amiből f.µ korlátossága, tehát kf.µk < +∞ miatt azonnal következik, hogy f ∈ LC1 (T, µ) (13.1.4.).

Legyen ψ ∈ K (T ; C) olyan, hogy |ψ| ≤ 1. Ekkor |(f.µ)(ψ)| := |µ(f ψ)| ≤ µ(|f ||ψ|) =

Z

∗

(|f ||ψ|)dµ ≤

Z

∗

|f | dµ.

Ebből következik, hogy kf.µk :=

sup ψ∈K (T ;C); |ψ|≤1

|(f.µ)(ψ)| ≤ Z

Z

∗

|f | dµ.

∗

|f | dµ. Az |f | : T → R+ függvény Megfordítva, legyen c ∈ R olyan, hogy c < folytonos, ezért alulról is félig folytonos, tehát a felső integrál definíciója szerint c<

Z

∗

|f | dµ =

sup

µ(ϕ),

ϕ∈K (T ;R); 0≤ϕ≤|f |

így létezik olyan ϕ ∈ K (T ; R), hogy 0 ≤ ϕ ≤ |f | és c < µ(ϕ). A lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tétel alapján a supp(ϕ) kompakt halmazhoz vehetünk olyan ϕ0 ∈ K (T ; R) függyvényt, hogy 0 ≤ ϕ0 ≤ 1 és supp(ϕ) ⊆ [ϕ0 = 1]. Ekkor |ϕ| = ϕ ≤ |ϕ0 f |, ezért a hányados-lemma alkalmazásával vehetünk olyan (ψn )n∈N sorozatot K (T ; C)-ben, hogy minden n ∈ N esetén |ψn | ≤ 1, és supp(ψn ) ⊆ [ϕ0 f 6= 0], és a (ψn ϕ0 f )n∈N függvénysorozat egyenletesen konvergál ϕ-hez T -n. Ekkor supp(ϕ0 ) olyan kompakt részhalmaza T -nek, hogy minden N ∋ n-re supp(ψn ) ⊆ supp(ϕ0 ), így a Radon-mértékek sorozatfolytonossága alapján c < µ(ϕ) = lim µ(ψn ϕ0 f ) = lim |µ(ψn ϕ0 f )| n→∞

n→∞

teljesül, hiszen µ(ϕ) ≥ 0. Ezért vehetünk olyan n ∈ N számot, amelyre c < |µ(ψn ϕ0 f )| =: |(f.µ)(ψn ϕ0 )| ≤ kf.µk. Ebből következik, hogy fennáll az Z

∗

kf k dµ ≤ kf.µk.

egyenlőtlenség is. Tehát f ∈ LC1 (T, µ), így minden g ∈ K (T ; C) függvényre gf ∈ LC1 (T, µ) is igaz, hiszen g folytonos és korlátos. Ezért jól értelmezett az u : K (T ; C) → C; 425

g 7→

Z

gf dµ

lineáris funkcionál. Ha g ∈ K (T ; C), akkor Z



gf dµ ≤

Z

∗

|g||f | dµ ≤ 9g 9

Z

∗

|f | dµ = 9g 9 ·kf.µk,

amiből következik, hogy az u : K (T ; C) → C funkcionál sup-normában folytonos. Ugyanakkor, minden g ∈ K (T ; C) esetén u(g) :=

Z

gf dµ = µ(gf ) =: (f.µ)(g),

ezért u és f.µ megegyeznek K (T ; C)-n, tehát u = f.µ, ami éppen azt jelenti, hogy minden g ∈ K (T ; C) esetén f.µ(g) = u(g) :=

Z

gf dµ. 

14.1.6. Állítás. Legyenek F , H Banach-terek, T lokálisan kompakt tér, és µ ∈ M+ (T ). Ha u : F → H folytonos R-lineáris operátor, akkor minden f ∈ LF1 (T, µ) függvényre u ◦ f ∈ LH1 (T, µ) és Z Z (u ◦ f ) dµ = u

f dµ . q

Bizonyítás. A 13.1.2. alapján vehetünk olyan K (T ; R) ⊗F -ben haladó (fn )n∈N sorozatot, amelyre Z ∗

lim

n→∞

kf − fn k dµ = 0. q

Ekkor (u ◦ fn )n∈N olyan K (T ; H)-ban (sőt K (T ; R) ⊗ H-ban) haladó sorozat, amelyre az u additivitása folytán minden n ∈ N esetén Z

∗

ku ◦ f − u ◦ fn k dµ ≤ kuk

ezért lim

n→∞

Z

∗

Z

∗

kf − fn k dµ,

ku ◦ f − u ◦ fn k dµ = 0.

Az integrálhatóság és az integrál definíciója alapján ebből következik, hogy u ◦ f ∈ LH1 (T, µ) és Z Z (u ◦ f ) dµ = lim (u ◦ fn ) dµ. n→∞

Ugyanakkor

Z

tehát az u folytonossága miatt u

Z

f dµ = lim

n→∞

Z

f dµ = lim u n→∞

426

fn dµ, Z

fn dµ .

Ebből látható, hogy ha minden n ∈ N esetén Z

(u ◦ fn ) dµ = u

Z

fn dµ

teljesülne, akkor fennállnának az Z

(u ◦ f ) dµ = lim

n→∞

Z

Z

(u ◦ fn ) dµ = lim u n→∞

fn dµ = u

Z

f dµ .

egyenlőségek, amivel az állítást bizonyítását befejeznénk. Ezért elegendő azt bizonyítani, hogy ϕ ∈ K (T ; R) és z ∈ F esetén Z

q

(u ◦ (ϕ ⊗ z)) dµ = u

Z

q

(ϕ ⊗ z) dµ .

q

q

Ez viszont nyilvánvalóan igaz, mert u ◦ (ϕ ⊗ z) = ϕ ⊗ u(z), tehát az u operátor Rhomogenitása és az integrálra vonatkozó algebrai feltétel alapján Z

q

(u ◦ (ϕ ⊗ z)) dµ =

Z

q

(ϕ ⊗ u(z)) dµ :=

:= µ(ϕ)u(z) = u(µ(ϕ)z) =: u

14.2.

Z

q

(ϕ ⊗ z) dµ . 

Az integrálható halmazok δ-gyűrűje

14.2.1. Definíció. Legyen T lokálisan kompakt tér és µ ∈ M+ (T ). Az E ⊆ T halmazt µ-integrálhatónak nevezzük, ha χE ∈ LR1 (T, µ), és ekkor a µ ˆ(E) :=

Z

χE dµ

számot az E halmaz µ szerinti mértékének nevezzük. A T halmaz µ-integrálható részhalmazainak halmazát R[µ] jelöli. 14.2.2. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér és µ ∈ M+ (T ).

a) R[µ] olyan δ-gyűrű T felett, amelynek a T minden µ-nullahalmaza eleme. b) Ha (Ei )i∈I olyan rendszer R[µ]-ban, amelyre I megszámlálható halmaz, akkor R[µ] pontosan akkor teljesül, ha µ∗

S

i∈I

Ei < +∞.

S

i∈I

Ei ∈

c) A R[µ] → R+ ; E 7→ µ ˆ(E) leképezés pozitív mérték, tehát pozitív σ-additív halmazfüggvény.

427

Bizonyítás. a) Ha (Ei )i∈I tetszőleges megszámlálható rendszer R[µ]-ban, akkor az T E := Ei halmazra χE = inf χEi teljesül, és minden i ∈ I esetén χEi ∈ LR1 (T, µ). i∈I

i∈I

Ezért a Levi-tételből következik, hogy χE ∈ LR1 (T, µ), azaz E ∈ R[µ]. Ez azt jelenti, hogy R[µ] zárt a megszámlálható metszet-képzésre nézve.

Ha E ∈ R, akkor χE ∈ ER (T, R) ⊆ LR1 (T, µ), tehát E ∈ R[µ]. Ez azt jelenti, hogy R ⊆ R[µ]. Ha E, E ′ ∈ R[µ], akkor χE\E ′ = χE − χE∩E ′ ∈ LR1 (T, µ), χE∪E ′ = χE + χE ′ − χE∩E ′ ∈ LR1 (T, µ),

hiszen χE , χE ′ ∈ LR1 (T, µ). Ezért R[µ] δ-gyűrű a T halmaz felett. Természetesen minden µ-nullahalmaz karakterisztikus függvénye µ-majdnem mindenütt nulla, így µintegrálható függvény. Ezért minden µ-nullahalmaz eleme R[µ]-nak. b) Legyen (Ei )i∈I megszámlálható rendszer R[µ]-ban. Ha E := χE ∈ LR1 (T, µ) ⊆ FR1 (T, µ), tehát µ∗ S

Megfordítva, tegyük fel, hogy µ∗

i∈I

S

i∈I

Ei :=

szerint

∗

∗

χE dµ < +∞.

Ei < +∞. A χEi

rendszer LR1 (T, µ)-ban halad, és az E := Z

Z

S

i∈I

S

i∈I

Ei ∈ R[µ], akkor

megszámlálható függvény-

i∈I

Ei halmazra χE = sup χEi . A hipotézis i∈I

χE dµ < +∞ és természetesen minden I ∋ i-re χEi ≤ χE a T halmazon

mindenütt. Ezért a Levi-tételből következik, hogy χE ∈ LR1 (T, µ), vagyis c) Értelmezzük a µ ˆ : R[µ] → R+ ;

E 7→

halmazfüggvényt.

Z

S

i∈I

Ei ∈ R[µ].

χE dµ

Ha E, E ′ ∈ R[µ] és E ∩ E ′ = ∅, akkor χE∪E ′ = χE + χE ′ , ezért az LR1 (T, µ) tér feletti integrál additivitása folytán µ ˆ(E ∪ E ′ ) = µ ˆ(E) + µ ˆ(E ′ ), vagyis µ ˆ additív halmazfüggvény. A µ ˆ halmazfüggvény σ-additivitásának bizonyításához legyen (Ek )k∈N olyan diszjunkt sorozat R[µ]-ban, amelyre E :=

S

k∈N

Ek ∈ R[µ]. Ekkor χE =

∞ X

k=0

χEk ∈ LR1 (T, µ) teljesül,

tehát a Levi-tétel függvénysorokra vonatkozó alakjából kapjuk, hogy a

k∈N

konvergens R-ben, továbbá µ ˆ(

[

k∈N

Ek ) :=

XZ

Z

χE dµ =

∞ Z X

k=0

428

χEk dµ =

∞ X

k=0

µ ˆ(Ek ).

χEk dµ sor

Ez azt jelenti, hogy a µ ˆ halmazfüggvény σ-additív. 

14.3.

Speciális Radon-mértékek szerinti integrál

14.3.1. Tétel. Legyenek T , S lokálisan kompakt terek, µ ∈ M+ (T ) és F Banach-tér. Ha g : T → R+ folytonos függvény és π : T → S olyan folytonos függvény, hogy minden −1 K ′ ⊆ S kompakt halmazra π hK ′ i ⊆ T kompakt halmaz, akkor minden f ∈ LF1 (S, π(g.µ)) függvényre g.(f ◦ π) ∈ LF1 (T, µ) és Z

f d(π(g.µ)) =

Z

T

S

g.(f ◦ π) dµ. q

Bizonyítás. A 13.3.3. alapján vehetünk olyan K (S; R) ⊗F -ben haladó (fn )n∈N sorozatot, amelyre Z ∗

lim n→∞

S

kfn − f k d(π(g.µ)) = 0.

Tudjuk, hogy minden n ∈ N esetén Z

T

∗

Z

g.(kfn − f k ◦ π) dµ ≤

∗

S

kfn − f k d(π(g.µ))

teljesül (12.3.1.), és természetesen g.(kfn − f k ◦ π) = kg.(fn ◦ π) − g.(f ◦ π)k ezért lim

n→∞

Z

T

∗

kg.(fn ◦ π) − g.(f ◦ π)k dµ = 0.

Ha ϕ ∈ K (T ; R) és z ∈ F , akkor q

q

q

g.((ϕ ⊗ z) ◦ π) = (g.(ϕ ◦ π)) ⊗ z ∈ K (T ; R) ⊗ F, q

így ϕ ◦ π ∈ K (T ; R). Ezért minden n ∈ N esetén g.(fn ◦ π) ∈ K (T ; R) ⊗ F , amiből következik, hogy g.(f ◦ π) ∈ LF1 (T, µ) és az integrál definíciója szerint Z

T

Ugyanakkor

Z

g.(f ◦ π) dµ = n→∞ lim

f d(π(g.µ)) = n→∞ lim

Z

g.(fn ◦ π) dµ.

Z

fn d(π(g.µ)).

T

S

S

Ebből látható, hogy ha minden n ∈ N esetén Z S

fn d(π(g.µ)) =

Z

T

429

g.(fn ◦ π) dµ

teljesülne, akkor fennállnának az Z

f d(π(g.µ)) = lim

n→∞

Z

fn d(π(g.µ)) = lim

n→∞

g.(fn ◦ π) dµ =

T

S

S

Z

Z

T

g.(f ◦ π) dµ

egyenlőségek, amivel az állítást bizonyítását befejeznénk. Ez azt jelenti, hogy elegendő bizonyítani azt, hogy ϕ ∈ K (S; R) és z ∈ F esetén Z S

q

(ϕ ⊗ z) d(π(g.µ)) =

Z

q

g.((ϕ ⊗ z) ◦ π) dµ.

T

Ez viszont nyilvánvalóan igaz, mert a π(g.µ) Radon-mérték definíciója és az integrálra vonatkozó algebrai feltétel alapján Z

T

q

g.((ϕ ⊗ z) ◦ π) dµ =

Z

T

q

((g.(ϕ ◦ π)) ⊗ z) dµ :=

:= µ(g.(ϕ ◦ π))z =: (π(g.µ))(ϕ)z =:

Z

S

q

(ϕ ⊗ z) d(π(g.µ)). 

14.3.2. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ) és F Banachtér. Ha g:T →R+ folytonos függvény, akkor minden f ∈ LF1 (T, g.µ) függvényre g.f ∈ LF1 (T, µ) és Z Z g.f dµ.

f d(g.µ) =

T

T

Bizonyítás. Az előző tételből következik az S := T és π := idT választással.  14.3.3. Következmény. Legyenek T , S lokálisan kompakt terek, µ ∈ M+ (T ) és F Banach-tér. Ha π : T → S olyan folytonos függvény, hogy minden K ′ ⊆ S kompakt −1 halmazra π hK ′ i ⊆ T kompakt halmaz, akkor minden f ∈ LF1 (S, π(µ)) függvényre f ◦ π ∈ LF1 (T, µ) és Z Z f d(π(µ)) =

S

T

(f ◦ π) dµ.

Bizonyítás. Az előző tételből következik, ha g a T → R+ azonosan 1 értékű konstansfüggvény.  Megjegyezzük, hogy ha T , S lokálisan kompakt terek, µ ∈ M+ (T ), F Banach-tér, g : T → R+ folytonos függvény, és π : T → S olyan folytonos függvény, hogy minden K ′ ⊆ S −1 1 kompakt halmazra π hK ′ i ⊆ T kompakt halmaz, Z akkor g.(f ◦ π) ∈ LF (T, µ) esetén lehetséges az, hogy f ∈ / LF1 (S, π(g.µ)), így az

Azonban könnyen igazolható a következő tétel. 430

f d(π(g.µ)) szimbólum értelmetlen.

S

14.3.4. Tétel. (A helyettesítéses integrálás tétele pozitív Radon-mértékekre) Legyenek T , S lokálisan kompakt terek, µ ∈ M+ (T ) és F Banach-tér. Ha g : T → R olyan folytonos függvény, amelynek minden értéke szigorúan pozitív valós szám, továbbá π : T → S homeomorfizmus, akkor minden f : S → F függvényre f ∈ LF1 (S, π(g.µ)) és g.(f ◦ π) ∈ LF1 (T, µ) esetén Z

g.(f ◦ π) ∈ LF1 (T, µ),

⇔

f d(π(g.µ)) =

Z

g.(f ◦ π) dµ.

T

S

Bizonyítás. Az előző tétel alapján elegendő azt igazolni, hogy a hipotézis teljesülése esetén g.(f ◦ π) ∈ LF1 (T, µ) maga után vonja, hogy f ∈ LF1 (S, π(g.µ)).

Legyen tehát g.(f ◦π) ∈ LF1 (T, µ) rögzített függvény. Nyilvánvaló, hogy µ = (1/g).(g.µ), tehát ekkor g.(f ◦ π) ∈ LF1 (T, (1/g).(g.µ)) teljesül, így az előző tétel első következményét alkalmazva µ helyett a g.µ pozitív Radon-mértékre és g helyett az 1/g pozitív folytonos függvényre kapjuk, hogy f ◦ π = (1/g).(g.(f ◦ π)) ∈ LF1 (T, g.µ). De nyilvánvaló, hogy g.µ = π −1 (π(g.µ)), így f ◦ π ∈ LF1 (T, π −1 (π(g.µ))) teljesül, tehát az előző tétel második következményét alkalmazva a T és S tereket felcserélve, valamint µ helyére a π(g.µ) pozitív Radon-mértéket és π helyére a π −1 : S → T folytonos valódi függvényt helyettesítve kapjuk, hogy f = (f ◦ π) ◦ π −1 ∈ LF1 (S, π(g.µ)).  14.3.5. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ) és F Banach-tér. Ha g : T → R+ olyan folytonos függvény, amelynek minden értéke szigorúan pozitív valós szám, akkor minden f : T → F függvényre f ∈ LF1 (T, g.µ) és g.f ∈ LF1 (T, µ) esetén

Z

g.f ∈ LF1 (T, µ),

⇔

f d(g.µ) =

Z

g.f dµ.

T

T

Bizonyítás. Az előző tételből következik az S := T és π := idT választással.  14.3.6. Következmény. Legyenek T , S lokálisan kompakt terek, µ ∈ M+ (T ) és F Banach-tér. Ha π : T → S homeomorfizmus, akkor minden f : S → F függvényre f ∈ LF1 (S, π(µ)) ⇔ f ◦ π ∈ LF1 (T, µ), és f ◦ π ∈ LF1 (T, µ) esetén

Z S

f d(π(µ)) =

Z

T

431

(f ◦ π) dµ.

Bizonyítás. Az előző tételből következik, ha g a T → R+ azonosan 1 értékű konstansfüggvény.  14.3.7. Állítás. Legyenek X és Y lokálisan kompakt terek, µ ∈ M+ (X), ν ∈ M+ (Y ), és f ∈ LC1 (X, µ), g ∈ LC1 (Y, ν). Ekkor az f ⊗ g : X × Y → C;

(x, y) 7→ f (x)g(y)

függvényre f ⊗ g ∈ LC1 (X × Y, µ ⊗ ν) és Z

X×Y

Z

(f ⊗ g) d(µ ⊗ ν) =

Z

f dµ

X

g dν

.

Y

Bizonyítás. Ha f ∈ K (X; C) és g ∈ K (X; C), akkor f ⊗ g ∈ K (X × Y ; C), és az elemi Lebesgue–Fubini-tétel (4.6.2.) alapján fennáll a bizonyítandó egyenlőség. Tegyük fel, hogy f ∈ LC1 (X, µ), g ∈ LC1 (Y, ν), és legyenek (fn )n∈N és (gn )n∈N olyan sorozatok, hogy minden n ∈ N esetén fn ∈ K (X; C), gn ∈ K (Y ; C) és lim n→∞

Z

X

lim n→∞

Z

Y

∗

|fn − f | dµ = 0,

∗

|gn − g| dν = 0.

Az integrál definíciója alapján ekkor Z

f dµ = lim µ(fn ),

Z

g dν = lim ν(gn ).

n→∞

X

n→∞

Y

Minden n ∈ N esetén, a felső integrál monotonitása, szubadditivitása és 12.3.3. alkalmazásával kapjuk, hogy Z ∗

X×Y

=

Z

∗

X×Y

≤

Z

X×Y

∗

|fn ⊗ gn − f ⊗ g| d(µ ⊗ ν) =

|(fn − f ) ⊗ (gn − g) + f ⊗ (gn − g) + (fn − f ) ⊗ g| d(µ ⊗ ν) ≤

(|fn − f | ⊗ |gn − g|) d(µ ⊗ ν) +

432

Z

X×Y

∗

(|f | ⊗ |gn − g|) d(µ ⊗ ν)+

+

Z

∗

X×Y

=

Z

X

∗

Z

|fn − f | dµ

∗

Y

+

(|fn − f | ⊗ |g|) d(µ ⊗ ν) =

|gn − g| dν

Z

∗

X

X×Y

Z

|fn − f | dµ

(f ⊗ g) d(µ ⊗ ν) = lim

= n→∞ lim

X

fn dµ

Z

∗

Y

Z

n→∞ X×Y

Z

∗

X

amiből következnek az Z

Z

+

gn dν

=

Y

Z

|f | dµ

|g| dν

Y

∗

|gn − g| dν

+

,

(fn ⊗ gn ) d(µ ⊗ ν) = Z

f dµ

X

Z

g dν

Y

egyenlőségek. 

14.4.

Du Bois-Reymond lemma

14.4.1. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ) és F normált tér. Ha f : T → F olyan függvény, amelyhez létezik olyan N ⊆ T µ-nullahalmaz és olyan F0 ⊆ F szeparábilis normált altér, amelyre f hT \ Ni ⊆ F0 , akkor a következő állítások ekvivalensek. (i) f = 0 a T halmazon µ-majdnem mindenütt. (ii) Minden u ∈ F ′ funkcionálra u ◦ f = 0 a T halmazon µ-majdnem mindenütt. Bizonyítás. (i)⇒(ii) Minden u ∈ F ′ esetén [u ◦ f 6= 0] ⊆ [f 6= 0].

(ii)⇒(i) Rögzítsünk olyan N ⊆ T µ-nullahalmazt és olyan F0 ⊆ F szeparábilis normált alteret, hogy f hT \ Ni ⊆ F0 . Ekkor vehetünk olyan (un )n∈N sorozatot (F0 )′ -ben, hogy minden F0 ∋ z-re kzk = sup |un (z)|. n∈N

A Hahn–Banach-tétel alapján kiválasztható olyan (uen )n∈N sorozat F ′ -ben, hogy minden N ∋ n-re un ⊆ uen . Ekkor minden t ∈ T \ N esetén kf (t)k = sup |uen (f (t))|, n∈N

amiből következik, hogy

[f 6= 0] \ N ⊆

[

n∈N

433

[uen ◦ f 6= 0],

és a (ii) szerint a jobb oldalon megszámlálható sok µ-nullahalmaz uniója áll, ami szintén µ-nullahalmaz. Ugyanakkor [f 6= 0] = ([f 6= 0] \ N) ∪ (N ∩ [f 6= 0]), ezért [f 6= 0] µ-nullahalmaz, így f = 0 a T halmazon µ-majdnem mindenütt.  14.4.2. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér és µ ∈ M+ (T ). Ha f ∈ LK1 (T, µ), akkor Z Z |f | dµ = sup ψf dµ . ψ∈K (T ;K) |ψ|≤1

Bizonyítás. (I) Először tegyük fel, hogy f ∈ K (T ; K). Ekkor µ = |µ| és a 4.2.9. miatt Z

|f | dµ = µ(|f |) = |µ|(|f |) =

sup ψ∈K (T ;K)|ψ|≤1

|µ(ψf )| =

sup ψ∈K (T ;K) |ψ|≤1

Z

ψf

dµ .

(II) Tegyük fel, hogy f ∈ LK1 (T, µ) és legyen ε ∈ R+ tetszőleges. Ekkor f ∈ LK1 (T, µ) alapján vehetünk olyan g ∈ K (T ; K) függvényt, amelyre Z

∗

|f − g| dµ < ε.

Világos, hogy |f | ≤ |f − g| + |g|, ezért a µ által generált felső integrál monotonitása és szubadditivitása, valamint a g-re alkalmazott (I) állítás miatt: Z

|f | dµ =

Z

∗

|f | dµ ≤

Z

∗

|f − g| dµ +

=ε+

sup ψ∈K (T ;K) |ψ|≤1

Z

Z

ψg

∗

|g| dµ < ε +

dµ .

Z

|g| dµ =

Ha ψ ∈ K (T ; K) és |ψ| ≤ 1, akkor a µ szerinti integrál linearitása miatt Z

≤

Z



Z

ψg dµ =

ψ(g − f ) dµ + Z



Z

|ψ||g − f | dµ + ψf dµ ≤

amiből következik, hogy

Z

Z



Z



Z



ψf dµ ≤ ψ(g − f ) dµ + ψf dµ ≤ ∗

|f | dµ ≤ 2ε +

Z

|g − f | dµ + sup ψ∈K (T ;K) |ψ|≤1

434

Z

ψf



Z



ψf dµ < ε + ψf dµ ,

dµ .

Mivel ε ∈ R+ tetszőleges, így

Z

|f | dµ ≤

sup ψ∈K (T ;K) |ψ|≤1

Z

ψf

dµ .

A fordított egyenlőtlenség nyilvánvalóan igaz.  14.4.3. Definíció. Ha T lokálisan kompakt tér és µ ∈ M+ (T ), akkor az N ⊆ T halmazt lokálisan µ-nullahalmaznak nevezzük, ha minden K ⊆ T kompakt halmazra K ∩ N µ-nullahalmaz. 14.4.4. Állítás. Ha T lokálisan kompakt tér és µ ∈ M+ (T ), akkor minden N ⊆ T halmazra a következő állítások ekvivalensek. (i) N µ-nullahalmaz. (ii) N lokálisan µ-nullahalmaz, és létezik olyan N ′ ⊆ T µ-nullahalmaz, és létezik a T

kompakt részhalmazainak olyan (Kn )n∈N sorozata, hogy N ⊆

S

n∈N

Kn ∪ N ′ .

Bizonyítás. (i)⇒(ii) Triviális. (ii)⇒(i) A feltevés szerint N =

S

n∈N

(Kn ∩ N) ∪ (N ′ ∩ N), és mivel N lokálisan µ-

nullahalmaz, így minden N ∋ n-re Kn ∩ N µ-nullahalmaz és persze N ′ ∩ N is µ-nullahalmaz, ezért (i) teljesül.  Az előző állításból következik, hogy ha T σ-kompakt lokálisan kompakt tér és µ ∈ M+ (T ), akkor T -nek egy részhalmaza pontosan akkor µ-nullahalmaz, ha lokálisan µ-nullahalmaz. Azonban létezik olyan lokálisan nullahalmaz, amelynek a külső mértéke +∞. 14.4.5. Tétel. (du Bois-Reymond-lemma) Legyen T lokálisan kompakt tér és Φ ⊆ K (T ; K) olyan halmaz, amelyre teljesül a következő tulajdonság.

(A) Minden ϕ ∈ K (T ; K) függvényhez van olyan Φ-ben haladó (ϕn )n∈N sorozat és olyan K ⊆ T kompakt halmaz, hogy (ϕn )n∈N egyenletesen konvergál ϕ-hez a T halmazon és minden n ∈ N esetén supp(ϕn ) ⊆ K.

Ha µ ∈ M+ (T ), F Banach-tér K felett és f : T → F olyan függvény, hogy minden ψ ∈ K (T ; K) esetén ψ.f ∈ LF1 (T, µ), akkor a következő állítások ekvivalensek. (i) Minden ϕ ∈ Φ függvényre:

Z

ϕf dµ = 0.

(ii) Minden ϕ ∈ K (T ; K) függvényre:

Z

ϕf dµ = 0.

(iii) Minden u ∈ F ′ funkcionálra [u ◦ f 6= 0] lokálisan µ-nullahalmaz. 435

Ha létezik olyan F0 ⊆ F szeparábilis lineáris altér és olyan N ⊆ T µ-nullahalmaz, hogy f hT \ Ni ⊆ F0 , továbbá létezik olyan N ′ ⊆ T µ-nullahalmaz és a T kompakt S

részhalmazainak olyan (Kn )n∈N sorozata, hogy [f 6= 0] ⊆

n∈N

állítások ekvivalensek a következővel.

Kn ∪ N ′ , akkor ezek az

(iv) f = 0 a T halmazon µ-majdnem mindenütt. Bizonyítás. (i)⇒(ii) Legyen ϕ ∈ K (T ; K) rögzítve és vegyünk olyan Φ-ben haladó (ϕn )n∈N sorozatot, amely egyenletesen konvergál ϕ-hez a T halmazon, és legyen K ⊆ T olyan kompakt halmaz, hogy minden minden n ∈ N esetén supp(ϕn ) ⊆ K. Vegyünk olyan ϕK ∈ K+ (T ) függvényt, amelyre K ⊆ [ϕK = 1]. Ekkor minden N ∋ n-re kϕn f − ϕf k ≤ 9ϕn − ϕ 9 ·kϕK f k, tehát

Z



ϕn f dµ −

Z

ϕf

dµ

=

Z



(ϕn f − ϕf )

dµ

≤ 9ϕn − ϕ 9

Z

∗

kϕK f k dµ,

és a hipotézis szerint ϕK f Z∈ LF1 (T, µ), tehát kϕK f k ∈ L+1 (T, µ), következésképpen Z Z ∗

kϕK f k dµ < +∞. Ezért

ϕf dµ = lim

ϕn f dµ = 0.

n→∞

(ii)⇒(iii) Legyen u ∈ F ′ és K ⊆ T kompakt halmaz. Azt kell megmutatni, hogy K ∩ [u ◦ f 6= 0] µ-nullahalmaz. Rögzítsünk olyan ϕK ∈ K (T ; K) függvényt, amelyre K ⊆ [ϕK 6= 0]. A hipotézis szerint ϕK f ∈ LF1 (T, µ), ezért u ◦ (ϕK f ) ∈ LK1 (T, µ). Ebből a 14.4.2. alapján kapjuk, hogy Z

|u ◦ (ϕK f )| dµ =

sup ψ∈K (T ;K) |ψ|≤1

Z



ψ(u ◦ (ϕK f )) dµ .

Minden ψ ∈ K (T ; K) esetén ψϕK f ∈ LF1 (T, µ), ezért a (ii) feltétel alapján Z

ψ(u ◦ (ϕK f )) dµ =

Ez azt jelenti, hogy

Z

Z

u ◦ (ψϕK f ) dµ = u

Z

ψϕK f dµ = 0.

|u ◦ (ϕK f )| dµ = 0, tehát u ◦ (ϕK f ) = 0 a T halmazon µ-majdnem

mindenütt. Mivel pedig K ∩ [u ◦ f 6= 0] ⊆ [u ◦ (ϕK f ) 6= 0], így ebből következik, hogy K ∩ [u ◦ f 6= 0] µ-nullahalmaz.

(iii)⇒(i) Legyen ϕ ∈ Φ és u ∈ F ′ . Ekkor [u ◦ (ϕf ) 6= 0] ⊆ supp(ϕ) ∩ [u ◦ f = 6 0], és a tartalmazás-reláció jobb oldalán a (iii) feltétel alapján µ-nullahalmaz áll, ezért u ◦ (ϕf ) = 0 a T halmazon µ-majdnem mindenütt. Tehát ϕ ∈ Φ és u ∈ F ′ esetén u

Z

ϕf dµ =

Z

u ◦ (ϕf ) dµ = 0,

így a Hahn–Banach-tételből következik, hogy 436

Z

ϕf dµ = 0.

Most tegyük fel, hogy F0 ⊆ F olyan szeparábilis lineáris altér, N, N ′ ⊆ T olyan µnullahalmazok, valamint (Kn )n∈N a T kompakt részhalmazainak olyan sorozata, hogy f hT \ Ni ⊆ F0 és [f 6= 0] ⊆

S

n∈N

Kn ∪ N ′ .

Tegyük fel, hogy (iii) teljesül. Ha u ∈ F ′ , akkor [u ◦ f 6= 0] ⊆ [f 6= 0] miatt alkalmazható az [u ◦ f 6= 0] halmazra a 14.4.4. állítás, tehát [u ◦ f 6= 0] µ-nullahalmaz. A 14.4.1. alapján ebből következik, hogy f = 0 a T halmazon µ-majdnem mindenütt. Tehát (iii)⇒(iv) teljesül. A (iv)⇒(iii) következtetés is igaz, mert ha f = 0 a T halmazon µ-majdnem mindenütt, akkor minden F ′ ∋ u-ra és K ⊆ T halmazra K ∩[u◦f 6= 0] ⊆ [f 6= 0] miatt K ∩[u◦f 6= 0] µ-nullahalmaz.  Tegyük fel, hogy T lokálisan kompakt tér és Φ ⊆ K (T ; K) olyan halmaz, amelyre teljesül a következő tulajdonság. (A′ ) Minden ϕ ∈ K (T ; K) függvényhez van olyan Φ-ben haladó (ϕn )n∈N sorozat és olyan K ⊆ T kompakt halmaz, hogy (ϕn )n∈N pontonként konvergál ϕ-hez a T halmazon, egyenletesen korlátos (vagyis sup 9ϕn 9 < +∞), és minden n ∈ N esetén supp(ϕn ) ⊆ K. n∈N

Nyilvánvaló, hogy (A)-ból következik (A′ ). A Lebesgue-tétel alkalmazásával könnyen igazolható, hogy még a gyengébb (A′ ) feltétel mellett is teljesül a tételben megfogalmazott (i), (ii) és (iii) állítások ekvivalenciája. Fontos speciális eset az, amikor T ⊆ Rn nyílt halmaz és Φ a T → K kompakt tartójú, végtelenszer differenciálható függvények tere. Ekkor (A) teljesül és T σ-kompakt lokálisan kompakt tér. Tehát, ha µ ∈ M+ (T ) és F szeparábilis Banach-tér, valamint f : T → F olyan függvény, hogy minden ψ ∈ K (T ; K) esetén ψ.f ∈ LF1 (T, µ), akkor az előző tételben megfogalmazott (i), (ii), (iii) és (iv) állítások ekvivalensek egymással. Ez a klasszikus du Bois-Reymond-lemma. A harmonikus analízisben a legfontosabb speciális eset az, amikor T helyére egy G kommutatív lokálisan kompakt csoport és Φ helyére A(G) kerül. Ekkor az (A) feltétel 8.4.2. alapján teljesül.

14.5.

Az integrál lokalizációja

14.5.1. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ) és (hi )i∈I olyan C b (T ; K)ban haladó általánosított sorozat, amely egyenletesen korlátos, és a T minden kompakt részhalmazán egyenletesen konvergál 1-hez. Ekkor minden K feletti F Banach-térre és minden f ∈ LF1 (T, µ) függvényre lim i, I

Z

hi f dµ = 437

Z

f dµ.

Bizonyítás. A (hi )i∈I általánosított sorozatra vonatkozó feltétetelek szerint M := sup 9hi 9 < +∞ és minden K ⊆ T kompakt halmazra lim 91 − hi 9K =0. i, I

i∈I

Legyen F Banach-tér K felett és f ∈ Azt fogjuk felhasználni, hogy minden g ∈ K (T ; F ) függvényre és I ∋ i-re teljesülnek a következők: LF1 (T, µ).

Z



f dµ −

Z



Z



Z



Z



hi f dµ

=

(1 − hi )f dµ

≤

(1 − hi )(f − g) dµ

+

(1 − hi )g dµ

≤ ≤

Z

∗

|1 − hi |kf − gk dµ +

≤ (1 + M)

Z

∗

Z

∗

|1 − hi |kgk dµ ≤

kf − gk dµ + 91 − hi 9supp(g)

Z

∗

kgk dµ.

Legyen ε ∈ R+ tetszőleges. Az f fügvény µ-integrálható, ezért van olyan g ∈ K (T ; F ), hogy Z ∗ ε kf − gk dµ < (1 + M) 2 Rögzítve ilyen g függvényt, a supp(g) ⊆ T kompakt halmazhoz van olyan i0 ∈ I, hogy minden i ∈ I, i ≥ i0 esetén 91 − hi 9supp(g) Ekkor i ∈ I és i ≥ i0 esetén

Z



f dµ −

Z

Z

∗

hi f

ε kgk dµ < . 2

dµ

< ε. 

14.5.2. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér és jelölje K(T ) a T kompakt részhalmazainak halmazát, amit a ⊆ relációval rendezünk. Legyen (ϕK )K∈K(T ) olyan K (T ; R)-ben haladó rendszer, hogy minden K ⊆ T kompakt halmazra 0 ≤ ϕK ≤ 1 és K ⊆ [ϕK = 1]. Ha µ ∈ M+ (T ) és F Banach-tér, akkor minden f ∈ LF1 (T, µ) függvényre lim

K, K(T )

Z

ϕK f dµ =

Z

f dµ.

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy a (ϕK )K∈K(T ) rendszerre teljesülnek az előző állítás feltételei.  14.5.3. Tétel. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ) és F Banach-tér. Legyen f : T → F függvény és C ⊆ F olyan nem üres zárt konvex halmaz, hogy Im(f ) ⊆ C. Ha ϕ ∈ K+ (T ) olyan függvény, hogy ϕf ∈ LF1 (T, µ), akkor Z

ϕf dµ ∈ µ(ϕ)C. 438

Bizonyítás. Természetesen feltehető, hogy C 6= F . Ekkor a Hahn–Banach-tételből következik, olyan F ′ -ben haladó nem üres (ui )i∈I rendszer és olyan R-ben haladó (ci )i∈I rendszer létezése, hogy \ C = [ℜ ◦ ui ≤ ci ] i∈I

([19, 4.7.2.]), ami azt jelenti, hogy minden z ∈ F esetén: z ∈ C pontosan akkor igaz, ha minden I ∋ i-re ℜ(ui (z)) ≤ ci .

Ha µ(ϕ) = 0, akkor µ-majdnem minden t ∈ T esetén ϕ(t) = 0, így [ϕf 6= 0] ⊆ [ϕ 6= 0] miatt az is igaz, hogy µ-majdnem minden t ∈ T esetén (ϕf )(t) = 0. Ezért ekkor Z ϕf dµ = 0 ∈ µ(ϕ)C, hiszen C 6= ∅.

Tegyük fel, hogy µ(ϕ) > 0. Ha i ∈ I, akkor (ℜ ◦ ui ) ◦ f ≤ ci , tehát (ℜ ◦ ui )

1 µ(ϕ)

Z

ϕf dµ =

1 következésképpen µ(ϕ)

Z

1 µ(ϕ)

Z

ϕ · ((ℜ ◦ ui ) ◦ f ) dµ ≤

1 µ(ϕ)

Z

ϕ · ci dµ = ci ,

ϕf dµ ∈ C. 

14.5.4. Tétel. (Az integrál lokalizációja) Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ) és F Banach-tér. Ha f ∈ LF1 (T, µ) és C ⊆ F olyan nem üres zárt konvex halmaz, és N ⊆ T olyan µ-nullahalmaz, hogy f hT \ Ni ⊆ C, akkor Z

f dµ ∈ R+ · C.

Bizonyítás. Jelölje K(T ) a T kompakt részhalmazainak halmazát, amit a ⊆ relációval rendezünk. A lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tétel alapján vehetünk olyan K (T ; R)-ben haladó (ϕK )K∈K(T ) rendszert, hogy minden K ⊆ T kompakt halmazra 0 ≤ ϕK ≤ 1 és K ⊆ [ϕK = 1]. Az f és a χT \N f függvények µ-majdnem mindenütt egyenlőek, ezért χT \N f ∈ LF1 (T, µ) és Z

f dµ =

Z

χT \N f dµ.

Ugyanakkor Im χT \N f ⊆ {0} ∪ C ⊆ R+ · C, és az R+ · C halmaz konvex és zárt. Ezért az előző tétel alapján minden K ⊆ T kompakt halmazra Z

ϕK χT \N f dµ ∈ µ(ϕK ) · R+ · C ⊆ R+ · C,

így a 14.5.2. állítást alkalmazva kapjuk, hogy Z

f dµ =

Z

χT \N f dµ = lim

K,K(T )

Z

439

ϕK χT \N f dµ ∈ R+ · C. 

14.5.5. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér, µ ∈ M+ (T ) és F Banach-tér. Ha f ∈ LF1 (T, µ) és F0 ⊆ F olyan zárt lineáris altér, és N ⊆ T olyan µ-nullahalmaz, hogy f hT \ Ni ⊆ F0 , akkor Z f dµ ∈ F0 .

Bizonyítás. Alkalmazhatjuk az előző tételt a C := F0 nem üres zárt konvex halmazra. 

14.6.

Lebesgue-tétel az LF1(T, µ) térre

A p = 1 esetben, a Levi-tétel feltételeinek teljesülése mellett, sup fn ∈ LR1 (T, µ) n∈N

pontosan akkor igaz, ha a

sup n∈N

Z

fn dµ < +∞,

hiszen minden n ∈ N esetén fn = |fn | teljesül a T halmazon µ-majdnem mindenütt, így kfn kµ,1 =

Z

∗

|fn | dµ =

Z

|fn | dµ =

Z

fn dµ.

Továbbá, ha sup fn ∈LR1 (T, µ) és f ∈LR1 (T, µ) olyan függvény, hogy sup fn = f a T n∈N

n∈N

halmazon µ-majdnem mindenütt, akkor Z

f dµ = lim

n→∞

Z

fn dµ,

hiszen az (fn )n∈N függvénysorozat konvergál f -hez is a k · kµ,1 félnorma szerint. Ezt az egyenlőséget a kevésbé pontos, de igen kifejező: Z

sup fn

dµ = lim

n→∞

n∈N

Z

fn dµ

alakban is szokták írni. A p = 1 esetben, a függvénysorokra vonatkozó Levi-tétel feltételeinek teljesülése mellett

∞ X

k=0

fk := sup n∈N

X

fk

k∈n

∈ LR1 (T, µ) pontosan akkor igaz, ha a XZ

fk dµ

k∈N

pozitív tagú sor konvergens R-ben, hiszen minden n ∈ N esetén

X

fk

k∈n

= µ,1

Z

∗

X

k∈n

fk

dµ =

Z

440

X

k∈n

fk

dµ =

XZ

k∈n

fk dµ.

Továbbá, ha f ∈

LR1 (T, µ)

mindenütt, akkor

olyan függvény, hogy

∞ X

fk = f a T halmazon µ-majdnem

k=0

Z

f dµ = lim

n→∞

XZ

fk dµ =

k∈n

∞ Z X

fk dµ.

k=0

Ezt az egyenlőséget a kevésbé pontos, de igen kifejező: Z

∞ X

fk

k=0

!

∞ Z X

dµ =

fk dµ

k=0

alakban is szokták írni. Ha p = 1, akkor a Lebesgue-tétel feltételeinek teljesülése esetén Z

f dµ = lim

n→∞

Z

fn dµ

is igaz, amit kevésbé pontosan a Z 

lim fn

n→∞



dµ = lim

n→∞

Z

fn dµ

alakban is írhatunk. Ha p = 1, akkor a függvénysorokra vonatkozó Lebesgue-tétel feltételeinek teljesülése esetén Z ∞ Z f dµ =

X

fk dµ

k=0

is igaz, amit kevésbé pontosan a Z

∞ X

k=0

fk

!

dµ =

∞ Z X

fk dµ

k=0

alakban is írhatunk.

14.7.

Szorzatmérték szerinti integrál – Lebesgue–Fubini-tétel

14.7.1. Tétel. (Lebesgue–Fubini-tétel) Legyenek X és Y lokálisan kompakt terek, valamint µ ∈ M+ (X) és ν ∈ M+ (Y ). Legyen F Banach-tér és f ∈ LF1 (X × Y, µ ⊗ ν).

441

a) µ-majdnem minden x ∈ X esetén f (x, ·) ∈ LF1 (Y, ν), és az  Z   

fs : X → F ;

x 7→   

ha f (x, ·) ∈ LF1 (Y, ν),

f (x, y) dν(y);

Y

0

egyébként

;

leképezés µ-integrálható, vagyis fs ∈ LF1 (X, µ) továbbá fennáll, hogy Z

f d(µ ⊗ ν) =

X×Y

Z

fs dµ.

X

b) ν-majdnem minden y ∈ Y esetén f (·, y) ∈ LF1 (X, µ), és az  Z   

fd : Y → F ;

y 7→   

ha f (·, y) ∈ LF1 (X, µ),

f (x, y) dµ(x);

X

0

egyébként

;

leképezés ν-integrálható, vagyis fd ∈ LF1 (Y, ν), továbbá fennáll, hogy Z

X×Y

f d(µ ⊗ ν) =

Z

fs dν.

Y

Bizonyítás. (I) Az állítást először arra az esetre bizonyítjuk, amikor teljesül az, hogy q f ∈ K (X × Y ; R) ⊗ F . Legyen tehát (ϕi )i∈I olyan véges rendszer K (X × Y ; R)-ben és (zi )i∈I olyan rendszer F -ben, hogy f=

X i∈I

q

ϕi ⊗ zi .

Ekkor minden x ∈ X esetén f (x, ·) = és minden y ∈ Y esetén f (·, y) =

X i∈I

X i∈I

q

q

ϕi (x, ·) ⊗ zi ∈ K (Y ; R) ⊗ F ⊆ LF1 (Y, ν),

ϕi (·, y) ⊗ zi ∈ K (X; R) ⊗ F ⊆ LF1 (X, µ). q

q

Továbbá, az integrál algebrai tulajdonságai szerint, minden x ∈ X esetén fs (x) :=

Z

f (x, y) dν(y) =

X i∈I

Y

442

ν(ϕi (x, ·))zi

és minden y ∈ Y esetén fd (y) :=

Z

f (x, y) dµ(x) =

X

µ(ϕi (·, y))zi .

i∈I

X

Az elemi Lebesgue–Fubini-tétel szerint minden i ∈ I esetén az X → R; x 7→ ν(ϕi (x, ·)) függvény eleme K (X; R)-nek, és az Y → R; y 7→ µ(ϕi (·, y)) függvény eleme K (Y ; R)nek, így az előző egyenlőségekből következik, hogy fs ∈ K (X; R) ⊗ F ⊆ LF1 (X, µ), q

fd ∈ K (Y ; R) ⊗ F ⊆ LF1 (Y, µ), q

továbbá, ismét az integrál algebrai tulajdonságai, valamint az elemi Lebesgue–Fubinitétel szerint fennállnak az Z

fs dµ =

Z

fd dν =

X

µ(x 7→ ν(ϕi (x, ·)))zi =

X

X

ν(y 7→ µ(ϕi (·, y)))zi =

X

i∈I

X

i∈I

X

i∈I

i∈I

(µ ⊗ ν)(ϕi )zi =

(µ ⊗ ν)(ϕi )zi =

Z

f d(µ ⊗ ν),

Z

f d(µ ⊗ ν),

X×Y

X×Y

egyenlőségek. (II) Legyen most f ∈ LF1 (X×Y, µ⊗ν) tetszőleges, q és a Riesz–Fischer-tétel alkalmazásával vegyünk olyan (fn )n∈N sorozatot K (X × Y ; R) ⊗ F -ben, valamint olyan g : X × Y → R+ függvényt, hogy az (fn )n∈N függvénysorozat konvergál f -hez a X Z× Y halmazon µ ⊗ ν-

majdnem mindenütt és a k · kµ⊗ν,1 félnorma szerint is, valamint

∗

X×Y

g d(µ ⊗ ν) < +∞

és minden N ∋ n-re kfn k ≤ g az X × Y halmazon mindenütt. Ekkor Z

∗

∗

g(x, y) dν(y)

Y

X

Z

Z

∗

Y

Z

∗

g(x, y) dµ(x)

X

is teljesül, ezért az As := {x ∈ X Ad := {y ∈ Y

dµ(x) ≤

dν(y) ≤ Z

Z

∗

X×Y

Z

X×Y

∗

g d(µ ⊗ ν) < +∞,

g d(µ ⊗ ν) < +∞,

∗

g(x, y) dν(y) = +∞}

Y

Z

∗

g(x, y) dµ(x) = +∞}

X

443

halmazok olyanok, hogy µ∗ (As ) = 0 és ν ∗ (Ad ) = 0. Továbbá, ha H jelöli azon (x, y) ∈ X × Y pontok halmazát, amelyekre az (fn (x, y))n∈N sorozat nem konvergál f (x, y)-höz F -ben, akkor a hipotézis szerint a H halmaz µ ⊗ ν-nullahalmaz, így a Bs := {x ∈ X ν ∗ (pr2 hH ∩ ({x} × Y )i) 6= 0} Bd := {y ∈ Y µ∗ (pr1 hH ∩ (T × {y})i) 6= 0}

halmazok olyanok, hogy µ∗ (Bs ) = 0 és ν ∗ (Bd ) = 0.

Ha x ∈ X \ (As ∪ Bs ), akkor a g(x, ·) : Y → R+ függvényre teljesül, és a

Z

∗

g(x, y) dν(y) < +∞

Y

pr2 hH ∩ ({x} × Y )i = {y ∈ Y | (x, y) ∈ H} =

= {y ∈ Y | (fn (x, y))n∈N nem konvergál f (x, y)-höz F -ben} q

halmaz ν-nullahalmaz, vagyis ekkor az K (Y ; R) ⊗ F -ben haladó (fn (x, ·))n∈N függvénysorozat ν-majdnem mindenütt konvergál az f (x, ·) parciális függvényhez. Ugyanakkor minden n ∈ N esetén kfn (x, ·)k ≤ g(x, ·) az Y halmazon mindenütt. Ezért a Lebesgue-tétel alapján kapjuk, hogy minden x ∈ X \(As ∪Bs ) pontra f (x, ·) ∈ LF1 (Y, ν), és az (fn (x, ·))n∈N függvénysorozat konvergál f (x, ·)-hoz a k · kν,1 félnorma szerint is, ezért Z

Z

f (x, y) dν(y) = lim

n→∞

fn (x, y) dν(y).

Y

Y

Teljesen hasonlóan kapjuk, hogy ha y ∈ Y \ (Ad ∪ Bd ), akkor f (·, y) ∈ LF1 (X, µ), és q az K (X; R) ⊗ F -ben haladó (fn (·, y))n∈N függvénysorozat konvergál f (·, y)-höz az X halmazon µ-majdnem mindenütt és a k · kµ,1 félnorma szerint is, ezért Z

f (x, y) dµ(x) = lim

n→∞

Z

fn (x, y) dµ(x).

X

X

Legyenek most minden n ∈ N esetén fs,n : X → F ;

x 7→

fd,n : Y → F ;

y 7→

Z

fn (x, y) dν(y),

Z

fn (x, y) dµ(x).

Y

X

q

Tudjuk, hogy az (fs,n )n∈N függvénysorozat minden tagja eleme q K (X; R) ⊗ F -nek, és az (fd,n )n∈N függvénysorozat minden tagja eleme K (Y ; R) ⊗ F -nek. Továbbá, az fs és fd függvények értelmezése és az iménti integrál-egyenlőségek alapján mondható, hogy (fs,n )n∈N pontonként tart fs -hez az X \(As ∪Bs ) halmazon, tehát µ-majdnem mindenütt, 444

valamint (fd,n )n∈N pontonként konvergál fd -hez az Y \ (Ad ∪ Bd ) halmazon, tehát νmajdnem mindenütt. Ugyanakkor minden x ∈ X és n ∈ N esetén

Z



Y

kfs,n (x)k =



dν(y)



≤



dµ(x)



≤

fn (x, y)

Z

∗

Y

kfn (x, y)k dν(y) ≤

Z

∗

g(x, y) dν(y).

Y

Hasonlóan; y ∈ Y és n ∈ N esetén kfd,n (y)k = Ugyanakkor

Z



X

fn (x, y)

Z

Z

∗

X

∗

kfn (x, y)k dµ(x) ≤

Z

∗

g(x, y) dµ(x).

X

∗

g(x, y) dν(y)

dµ(x) < +∞,

Y

X

Z

Z

Z

∗

∗

g(x, y) dµ(x)

dν(y) < +∞

X

Y

teljesül, ezért ismét a Lebesgue-tételt alkalmazva kapjuk, hogy fs ∈ LF1 (X, µ) és fd ∈ LF1 (Y.ν), továbbá az (fs,n )n∈N függvénysorozat konvergál fs -hez a k · kµ,1 félnorma szerint, és az (fd,n )n∈N függvénysorozat konvergál fd -hez a k · kν,1 félnorma szerint. Tehát Z

fs dµ = lim

n→∞

Z

fs,n dµ = lim

n→∞

Z

Z

fn (x, y) dν(y)

dµ(x),

fn (x, y) dµ(x)

dν(y).

X

X

X

Y

Z

Z

Z

Z

fd dν = lim

n→∞

fd,n dν = lim

n→∞

Y

Y

Y

X

De (I)-ben láttuk, hogy minden n ∈ N esetén Z

X

Z

fn (x, y) dν(y)

dµ(x) =

Z

X×Y

Y

=

Z

Y

Z

fn (x, y) dµ(x)

fn d(µ ⊗ ν) =

dν(y),

X

továbbá nyilvánvalóan fennáll az Z

X×Y

f d(µ ⊗ ν) = lim

Z

n→∞ X×Y

445

fn d(µ ⊗ ν)

egyenlőség is, mert az (fn )n∈N függvénysorozat konvergál f -hez a k · kµ⊗ν,1 félnorma szerint. Ezért Z Z Z f d(µ ⊗ ν) = fd dν.  fs dµ = Y

X×Y

X

Megjegyezzük, hogy a tételben bevezetett fs és fd függvények integráljait gyakran a kevésbé pontos dµ(x),

X

Z

f (x, y) dν(y)

X

Z

Y

Z

Z

Z

f (x, y) dµ(x)

dν(y)

Z

fs dµ =

fd dν =

Y

Y

X

szimbólumokkal jelöljük, és az f függvény kettős integráljainak nevezzük. Tehát, ha X és Y lokálisan kompakt terek, µ ∈ M+ (X) és ν ∈ M+ (Y ), valamint F Banach-tér, és f ∈ LF1 (X × Y, µ ⊗ ν), akkor azt mondhatjuk, hogy f -nek léteznek a kettős integráljai, és azt írhatjuk, hogy Z

X

Z

f (x, y) dν(y)

dµ(x) =

Z

Y

Y

=

Z

X×Y

Z

f (x, y) dµ(x)

dν(y) =

X

f (x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y).

Ebből az is látható, hogy ha f : X × Y → F olyan függvény, amelynek nem létezik valamelyik kettős integrálja, vagy létezik mindkét kettős integrálja, de azok nem egyenlőek, akkor f nem lehet integrálható a szorzatmérték szerint. Ugyanakkor előfordulhat az, hogy f -nek mindkét kettős integrálja létezik, és azok egyenlőek, de f nem integrálható a szorzatmérték szerint.

446

15. fejezet A korlátos Radon-mérték szerinti integrálás elemi elmélete 15.1.

A korlátos Radon-mérték szerinti integrál értelmezése

Emlékeztetünk arra, hogy ha T lokálisan kompakt tér, akkor egy θ ∈ M (T ; C) Radonmértéket korlátosnak nevezünk, ha θ sup-normában folytonos K (T ; C) felett, és a θ mérték-normája nem más, mint a funkcionálnormája, vagyis a kθk :=

sup ψ∈K (T ;C) |ψ|≤1

|θ(ψ)|.

15.1.1. Állítás. Ha θ korlátos Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett, akkor kθk =

sup ϕ∈K (T ;R) 0≤ϕ≤1

|θ|(ϕ),

és létezik olyan (ϕn )n∈N sorozat K (T ; R)-ben, hogy minden n ∈ N esetén 0 ≤ ϕn ≤ ϕn+1 ≤ 1 és kθk = sup |θ|(ϕn ). n∈N

Bizonyítás. Legyenek a :=

sup ψ∈K (T ;C) |ψ|≤1

|θ(ψ)|;

b :=

sup ϕ∈K (T ;R) 0≤ϕ≤1

447

|θ|(ϕ).

Ha ψ ∈ K (T ; C) és |ψ| ≤ 1, akkor |θ(ψ)| ≤ |θ|(|ψ|), és ϕ := |ψ| olyan függvény, hogy ϕ ∈ K (T ; R) és 0 ≤ ϕ ≤ 1; ezért a ≤ b. Ha ϕ ∈ K (T ; R) és 0 ≤ ϕ ≤ 1, akkor a 4.2.9. szerint |θ|(ϕ) = |θ|(|ϕ|) = sup |θ(ψϕ)|, ψ∈K (T ;C) |ψ|≤1

és ψ ∈ K (T ; C), |ψ| ≤ 1 esetén ψϕ ∈ K (T ; C) és |ψϕ| ≤ 1, így b ≤ a.

A kθk =

sup

ϕ∈K (T ;R) 0≤ϕ≤1

|θ|(ϕ) egyenlőségből következik, hogy, kiválaszthatunk olyan (ψn )n∈N

sorozatot K (T ; R)-ben, amelyre minden N ∋ n-re 0 ≤ ψn ≤ 1 és kθk = sup |θ|(ψn ). Legyen minden n ∈ N esetén ϕn :=

n∈N

∨ ψk ; ekkor a (ϕn )n∈N függvénysorozat szintén

0≤k≤n

K (T ; R)-ben halad, és minden N ∋ n-re 0 ≤ ϕn ≤ ϕn+1 ≤ 1, valamint ψn ≤ ϕn , így a |θ| Radon-mérték pozitivitása miatt |θ|(ψn ) ≤ |θ|(ϕn ) ≤ kθk, következésképpen kθk = sup |θ|(ϕn ).  n∈N

15.1.2. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér és θ ∈ M (T ; K) korlátos Radonmérték, valamint (ϕn )n∈N olyan K (T ; R)-ben haladó sorozat, hogy minden N ∋ nre 0 ≤ ϕn ≤ ϕn+1 ≤ 1 és kθk = sup |θ|(ϕn ). Ha F normált tér K felett, akkor n∈N

minden f : T → F korlátos folytonos függvényre az sorozat F -ben, és ha F Banach-tér, akkor a n→∞ lim

Z

Z

sorozat Cauchy-

ϕn f dθ

T

n∈N

ϕn f dθ vektor független a (ϕn )n∈N

T

függvénysorozat választásától.

Bizonyítás. Legyen f : T → F korlátos folytonos függvény. Megmutatjuk, hogy az Z

T

ϕn f dθ n∈N

vektorsorozat Cauchy-sorozat F -ben. Ehhez legyenek m, n ∈ N és

m ≤ n. Ekkor ϕm ≤ ϕn és a |θ| Radon-mérték pozitivitása miatt

Z



T

ϕn f dθ −

Z

ϕm f

T



dθ



=

Z



T

(ϕn − ϕm )f



dθ



≤

≤ |θ| (|ϕn − ϕm |kf k) ≤ 9f 9 ·|θ|(|ϕn − ϕm |) = 9f 9 (|θ|(ϕn ) − |θ|(ϕm )) ,

amiből következik, hogy minden N ∋ m, n-re

Z



T

ϕn f dθ −

Z

T

ϕm f



dθ



≤ 9f 9 · | |θ|(ϕn ) − |θ|(ϕm ) | . 448

Ugyanakkor a (|θ|(ϕn ))n∈N számsorozat konvergens, így Cauchy-sorozat R-ben, ezért Z

ebből következik, hogy az

vektorsorozat Cauchy-sorozat F -ben, így

ϕn f dθ

T

konvergens F -ben, ha F Banach-tér.

n∈N

Legyen most (ψn )n∈N szintén olyan K (T ; R)-ben haladó sorozat, hogy minden N ∋ n-re 0 ≤ ψn ≤ ψn+1 ≤ 1 és kθk = lim |θ|(ψn ). Az előzőekhez hasonló érvelés alapján kapjuk, n→∞ hogy minden N ∋ n-re

Z



T

Z



T

(ϕn ∨ ψn )f dθ −

(ϕn ∨ ψn )f dθ −

amiből kapjuk, hogy

≤

Z



T

Z

ϕn f

T

Z

ψn f

T

Z



T

(ϕn ∨ ψn )f dθ −

Z

T



dθ





dθ



≤ 9f 9 · (|θ|(ϕn ∨ ψn ) − |θ|(ϕn )) ,

≤ 9f 9 · (|θ|(ϕn ∨ ψn ) − |θ|(ψn )) ,

ϕn f dθ − ϕn f

Z

ψn f

T



Z

dθ

+

T



dθ



≤

(ϕn ∨ ψn )f dθ −

Z

T

≤ 9f 9 · (2|θ|(ϕn ∨ ψn ) − |θ|(ϕn ) − |θ|(ψn )) .

ψn f



dθ



≤

Ugyanakkor, (ϕn ∨ ψn )n∈N szintén olyan K (T ; R)-ben haladó sorozat, hogy minden N ∋ n-re 0 ≤ ϕn ∨ ψn ≤ ϕn+1 ∨ ψn+1 ≤ 1 és kθk = lim |θ|(ϕn ∨ ψn ), ezért n→∞

lim (2|θ|(ϕn ∨ ψn ) − |θ|(ϕn ) − |θ|(ψn )) = 0,

n→∞

ezért ha F Banach-tér, akkor lim

n→∞

Z

ϕn f dθ = lim

n→∞

Z

ψn f dθ. 

T

T

15.1.3. Lemma. Legyen θ korlátos Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett, és (ϕn )n∈N olyan K (T ; R)-ben haladó sorozat, hogy minden N ∋ n-re 0 ≤ ϕn ≤ ϕn+1 ≤ 1 és kθk = sup |θ|(ϕn ). Ekkor minden ψ ∈ K (T ; C) és n ∈ N esetén fennáll az n∈N

|θ(ψ) − θ(ϕn ψ)| ≤ 9ψ 9 ·(kθk − |θ|(ϕn )) egyenlőtlenség, így θ(ψ) = lim θ(ϕn ψ) is teljesül. n→∞

449

Bizonyítás. Legyen ψ ∈ K (T ; C) és |ψ| ≤ 1. Ekkor n ∈ N esetén 0 ≤ (1−ϕn )|ψ|+ϕn ≤ 1, így |θ|((1 − ϕn )|ψ|) + |θ|(ϕn ) = |θ|((1 − ϕn )|ψ| + ϕn ) ≤ kθk, következésképpen

|θ(ψ) − θ(ϕn ψ)| = |θ((1 − ϕn )ψ)| ≤ |θ|((1 − ϕn )|ψ|) ≤ kθk − |θ|(ϕn ). Ha ψ ∈ K (T ; C) és ψ 6= 0, akkor az előző egyenlőtlenséget felírva ψ helyett a ψ/ 9 ψ9 függvényre kapjuk, hogy |θ(ψ) − θ(ϕn ψ)| ≤ 9ψ 9 ·(kθk − |θ|(ϕn )). Ezért minden K (T ; C) ∋ ψ-re lim θ(ϕn ψ) = θ(ψ), ugyanis lim (kθk − |θ|(ϕn )) = 0.  n→∞

n→∞

15.1.4. Tétel. Legyen T lokálisan kompakt tér, θ ∈ M (T ; K) korlátos Radon-mérték és F Banach-tér K felett. Egyértelműen létezik olyan I : C b (T ; F ) → F leképezés, amelyre teljesül az, hogy minden K (T ; R)-ben haladó (ϕn )n∈N függvénysorozatra, ha minden N ∋ n-re 0 ≤ ϕn ≤ ϕn+1 ≤ 1 és kθk = sup |θ|(ϕn ), akkor minden n∈N

C b (T ; F ) ∋ f -re

I(f ) = lim

n→∞

Z

ϕn f dθ.

T

Ez az I : C b (T ; F ) → F leképezés olyan K-lineáris operátor, hogy minden f ∈ C b (T ; F ) esetén kI(f )k ≤ kθk · 9f 9, és ha f kompakt tartójú, akkor

I(f ) =

Z

f dθ.

T

Bizonyítás. Az előírt tulajdonságú I : C b (T ; F ) → F leképezés egyértelmű létezése az előző állításból következik. A definícióból és a K (T ; F ) feletti integrál K-linearitásából azonnal kapjuk, hogy I is K-lineáris operátor. Legyen f ∈ C b (T ; F ) és válasszunk egy K (T ; R)-ben haladó (ϕn )n∈N függvénysorozatot, amelyre minden n ∈ N esetén 0 ≤ ϕn ≤ ϕn+1 ≤ 1 és kθk = sup |θ|(ϕn ). A K (T ; F ) n∈N

feletti integrál topologikus alaptulajdonsága szerint minden N ∋ n-re

Z



T

ϕn f



dθ



≤ |θ|(ϕn kf k) ≤ 9f 9 ·|θ|(ϕn ) ≤ kθk · 9f 9, 450

következésképpen kI(f )k =

Z

lim

n→∞

T

ϕn f



dθ



=

Z

lim n→∞

T

ϕn f



dθ



≤ kθk · 9f 9 .

Annak bizonyításához, hogy minden f ∈ K (T ; F ) esetén I(f ) =

Z

f dθ, elegendő azt

T

igazolni, hogy az I operátor leszűkítése K (T ; F )-re eleget tesz a K (T ; F ) feletti θintegrált meghatározó (algebrai és topologikus) alaptulajdonságoknak. Legyen ψ ∈ K (T ; K) és z ∈ F . Vegyünk olyan K (T ; R)-ben haladó (ϕn )n∈N függvénysorozatot, hogy minden N ∋ n-re 0 ≤ ϕn ≤ ϕn+1 ≤ 1 és kθk = sup |θ|(ϕn ). Minden n∈N

n ∈ N esetén

Z

T

q

ϕn (ψ ⊗ z) dθ =

Z

T

q

((ϕn ψ) ⊗ z) dθ = θ(ϕn ψ)z,

és az I értelmezése szerint q

I(ψ ⊗ z) = n→∞ lim

Z

T

q

ϕn (ψ ⊗ z) dθ,

valamint a K (T ; F ) feletti θ-integrál algebrai alaptulajdonsága szerint Z

T

q

(ψ ⊗ z) dθ = θ(ψ)z. q

Az előző lemma alapján lim θ(ϕn ψ) = θ(ψ), így I(ψ ⊗ z) = θ(ψ)z, vagyis az I operátor n→∞ K (T ; F )-re vett leszűkítésére teljesül a θ-integrál algebrai alaptulajdonsága. A topológiai alaptulajdonság bizonyításához legyen f ∈ K (T ; F ) és vegyünk olyan K (T ; R)-ben haladó (ϕn )n∈N függvénysorozatot, hogy minden N ∋ n-re 0 ≤ ϕn ≤ ϕn+1 ≤ 1 és kθk = sup |θ|(ϕn ). Ekkor minden N ∋ n-re, 0 ≤ ϕn ≤ 1 és a K (T ; F ) feletti n∈N

θ-integrál topologikus alaptulajdonsága szerint

következésképpen kI(f )k =

Z



T

ϕn f

Z

lim

n→∞

T



dθ



ϕn f

≤ |θ|(ϕn kf k) ≤ |θ|(kf k),

dθ



=

Z

lim

n→∞

T

ϕn f



dθ



≤ |θ|(kf k).

Ez azt jelenti, hogy az I operátor K (T ; F )-re vett leszűkítésére teljesül a θ-integrál topologikus alaptulajdonsága is.  451

15.1.5. Definíció. Legyen T lokálisan kompakt tér, θ ∈ M (T ; K) korlátos Radonmérték, és F Banach-tér K felett. A C b (T ; F ) függvénytér feletti θ-integrálnak nevezzük azt a I : C b (T ; F ) → F

K-lineáris operátort, amelyre teljesül az, hogy minden K (T ; R)-ben haladó (ϕn )n∈N függvénysorozatra, ha minden N ∋ n-re 0 ≤ ϕn ≤ ϕn+1 ≤ 1 és kθk = sup |θ|(ϕn ), akkor

minden C b (T ; F ) ∋ f -re

n∈N

I(f ) = lim

n→∞

Z

ϕn f dθ.

T

Ha f ∈ C (T ; F ), akkor az I(f ) ∈ F vektort az b

is jelöljük.

Z

f dθ vagy

T

Z

f (t) dθ(t) szimbólummal

T

Megjegyezzük, hogy ha θ korlátos Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett, akkor Z kθk = 1T d|θ|, T

ahol 1T jelöli a T -n értelmezett, 1 értékű konstansfüggvényt. Valóban, ha (ϕn )n∈N olyan függvénysorozat K (T ; R)-ben, hogy minden N ∋ n-re 0 ≤ ϕn ≤ ϕn+1 ≤ 1 és kθk = sup |θ|(ϕn ), akkor n∈N

Z

T

1T d|θ| := lim

n→∞

Z

T

ϕn 1T d|θ| = sup |θ|(ϕn ) = kθk. n∈N

15.1.6. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér, θ ∈ M (T ; K) korlátos Radonmérték és F Banach-tér K felett. Ekkor a C b (T ; F ) feletti θ-integrál leszűkítése K (T ; F )re egyenlő a K (T ; F ) feletti θ-integrál egyértelműen meghatározott, sup-normában folytonos kiterjesztésével. Bizonyítás. Nyilvánvalóan következik abból, hogy a C b (T ; F ) feletti θ-integrál supnormában folytonos és a K (T ; F )-re vett leszűkítése egyenlő a K (T ; F ) feletti θintegrállal.  15.1.7. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér, θ ∈ M (T ; K) kompakt tartójú Radon-mérték és F Banach-tér K felett. Ekkor a C (T ; F ) feletti θ-integrál leszűkítése C b (T ; F )-re egyenlő a C b (T ; F ) feletti θ-integrállal. Bizonyítás. Legyen ϕ ∈ K (T ; R) olyan, hogy 0 ≤ ϕ ≤ 1 és supp(θ) ⊆ [ϕ = 1]. Ha ψ ∈ K (T ; C) és |ψ| ≤ 1, akkor supp(θ) ⊆ [ψ = ϕψ] miatt θ(ψ) = θ(ϕψ), ezért |θ(ψ)| = |θ(ϕψ)| ≤ |θ|(ϕ|ψ|) ≤ |θ|(ϕ), 452

így kθk ≤ |θ|(ϕ). Ugyanakkor, |θ|(ϕ) ≤ kθk nyilvánvaló, ezért |θ|(ϕ) = kθk. Tehát, ha minden N ∋ n-re ϕn := ϕ, akkor olyan (ϕn )n∈N függvénysorozat K (T ; R)-ben, hogy minden N ∋ n-re 0 ≤ ϕn ≤ ϕn+1 ≤ 1 és kθk = sup |θ|(ϕn ). Ebből következik, hogy ha I n∈N

jelöli a C (T ; F ) feletti θ-integrált és I ′ jelöli a C b (T ; F ) feletti θ-integrált, akkor minden C b (T ; F ) ∋ f -re I(f ) :=

Z

ϕf dθ = n→∞ lim

ϕn f dθ =: I ′ (f ). 

T

T

15.2.

Z

A korlátos Radon-mérték szerinti integrál alaptulajdonságai

15.2.1. Állítás. Ha θ korlátos Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett, akkor minden f ∈ C b (T ; C) esetén Z

f dθ =

T

Z

f dθ.

T

Bizonyítás. Legyen (ϕn )n∈N olyan függvénysorozat K (T ; R)-ben, hogy minden N ∋ n-re 0 ≤ ϕn ≤ ϕn+1 ≤ 1 és kθk = sup |θ|(ϕn ). A θ értelmezése alapján, f ∈ C b (T ; C) esetén n∈N

minden N ∋ n-re

Z

ϕn f dθ = θ(ϕn f ) = θ(ϕn f ) =

Z

ϕn f dθ,

T

T

így a C b (T ; C) feletti θ-integrál definícióját alkalmazva kapjuk, hogy Z

T

f dθ := lim

n→∞

Z

T

ϕn f dθ = lim

n→∞

Z

ϕn f dθ = lim

n→∞

Z

ϕn f dθ =:

T

T

Z

f dθ. 

T

15.2.2. Állítás. Legyenek T és S lokálisan kompakt terek, π : T → S tetszőleges folytonos függvény és g : T → C korlátos folytonos függvény. Ha θ korlátos Radonmérték T felett, akkor minden ψ ∈ K (S; C) esetén g.(ψ ◦ π) ∈ C b (T ; C), és a K (S; C) → C;

ψ 7→

Z

T

g.(ψ ◦ π) dθ

leképezés korlátos Radon-mérték S felett. Ha a π folytonos függvény valódi, akkor ez a Radon-mérték egyenlő π(g.θ)-val. Bizonyítás. Világos, hogy ψ ∈ K (S; C) esetén a g.(ψ ◦ π) : T → C függvény korlátos, ha g korlátos (még akkor is, ha π nem valódi függvény), ezért minden T feletti θ korlátos 453

Radon-mértékre az állításban értelmezett funkcionál jól értelmezett. Továbbá, ez a funkcionál a sup-normában folytonos, mert ha ψ ∈ K (S; C), akkor Z T

g.(ψ ◦ π)

dθ

≤ 9g.(ψ ◦ π) 9 ·kθk ≤ 9g 9 ·kθk · 9ψ 9 .

Ha π valódi folytonos függvény, akkor ez a funkcionál azért egyenlő π(g.θ)-val, mert a C b (T ; C) feletti θ-integrál kiterjesztése a K (T ; C) feletti θ-integrálnak (vagyis a θ Radon-mértéknek).  15.2.3. Definíció. Ha T és S lokálisan kompakt terek, π : T → S folytonos függvény és g : T → C korlátos folytonos függvény, akkor minden T feletti θ korlátos Radon-mértékre π(g.θ) jelöli a Z K (S; C) → C;

ψ 7→

T

g.(ψ ◦ π) dθ

S feletti korlátos Radon-mértéket. Ha T = S és π := idT , akkor a g.θ := idT (g.θ) jelölést alkalmazzuk, és g.θ-t a θ korlátos Radon-mérték g korlátos folytonos függvénnyel vett szorzatának nevezzük. Ha g := 1T , akkor a π(θ) := π(1T .θ) jelölést alkalmazzuk, és π(θ)-t a θ korlátos Radon-mérték π folytonos függvény általi képének nevezzük. Megjegyezzük, hogy ha θ korátos Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett, akkor bármely g : T → C folytonos függvényre korábban értelmeztük a g.θ Radonmértéket T felett, de ez nem feltétlenül korlátos Radon-mérték; viszont biztosan korlátos Radon-mérték, ha g korlátos függvény. 15.2.4. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér, θ ∈ M (T ; K) korlátos Radon-mérték és F , H Banach-terek K felett. Ha u : F → H folytonos K-lineáris operátor, akkor minden f ∈ C b (T ; F ) esetén u ◦ f ∈ C b (T ; H) és Z

T

(u ◦ f ) dθ = u

Z

f dθ

.

T

Bizonyítás. Az nyilvánvaló, hogy ha u : F → H folytonos K-lineáris operátor és fZ ∈ C b (T ; F ), akkor az u ◦ f : T → H függvény folytonos és korlátos, ezért az

T

(u ◦ f ) dθ ∈ H vektor jól értelmezett.

Legyen u ∈ L (F ; H) és f ∈ C b (T ; F ). Vegyünk olyan (ϕn )n∈N függvénysorozatot K (T ; R)-ben, hogy minden N ∋ n-re 0 ≤ ϕn ≤ ϕn+1 ≤ 1 és kθk = sup |θ|(ϕn ). Mivel n∈N

minden N ∋ n-re

u

Z

T

ϕn f dθ

=

Z

T

u ◦ (ϕn f ) dθ = 454

Z

T

ϕn (u ◦ f ) dθ,

az u folytonossága, és a C b (T ; F ), valamint C b (T ; H) feletti θ-integrálok definíciója szerint ebből következik, hogy u

Z

f dθ

= lim u n→∞

Z

ϕn f dθ

= lim

n→∞

T

T

T

Z

ϕn (u ◦ f ) dθ =:

Z

T

(u ◦ f ) dθ. 

15.2.5. Tétel. (Lebesgue–Fubini-tétel korlátos Radon-mértékekre) Legyenek X és Y lokálisan kompakt terek, µ ∈ M (X; K) és ν ∈ M (Y ; K) korlátos Radonmértékek, valamint F Banach-tér K felett és f ∈ C b (X × Y ; F ). Ekkor teljesülnek a következők. a) Minden x ∈ X esetén f (x, ·) ∈ C b (Y ; F ), továbbá az X → F;

x 7→

Z

f (x, y) dν(y)

Y

függvény korlátos és folytonos, valamint Z

X

Z

f (x, y) dν(y)

dµ(x) =

Z

X×Y

Y

f d(µ ⊗ ν).

b) Minden y ∈ Y esetén f (·, y) ∈ C b (X; F ), továbbá az Y → F;

y 7→

Z

f (x, y) dµ(x)

X

függvény korlátos és folytonos, valamint Z

Y

Z

f (x, y) dµ(x)

dν(y) =

Z

X×Y

X

f d(µ ⊗ ν).

Bizonyítás. A b) állítás bizonyítása az a) bizonyításának mintájára végezhető el, ezért elegendő az a) állítást igazolni. Rögzítsünk olyan (ϕn )n∈N függvénysorozatot K (X; R)-ben, hogy minden N ∋ n-re 0 ≤ ϕn ≤ ϕn+1 ≤ 1 és kµk = sup |µ|(ϕn ), továbbá vegyünk olyan (ψn )n∈N függvényn∈N

sorozatot K (Y ; R)-ben, hogy minden N ∋ n-re 0 ≤ ψn ≤ ψn+1 ≤ 1 és kνk = sup |ν|(ψn ). n∈N

Legyen f ∈ C b (X × Y ; F ) rögzített. Világos, hogy x ∈ X esetén f (x, ·) ∈ C b (Y ; F ), ezért bevezethetjük a következő függvényt: g : X → F;

x 7→

Z

Y

455

f (x, y) dν(y).

Legyen továbbá minden N ∋ n-re gn : X → F ;

x 7→

Z

ψn (y)f (x, y) dν(y).

Y

A korlátos Radon-mértékek szerinti integrál értelmezése alapján a (gn )n∈N függvénysorozat pontonként konvergál X-n a g függvényhez. Könnyen látható, hogy a (gn )n∈N függvénysorozat egyenletesen is konvergens X-en. Valóban, ha n ∈ N és x ∈ X, akkor kg(x) − gn (x)k = ≤

Z

Y

Z



Y

(1 − ψn (y))f (x, y)



dν(y)



≤

(1 − ψn (y))kf (x, y)k d|ν|(y) ≤ !

≤ sup kf (x, y)k (kνk − |ν|(ψn )) ≤ 9f 9 (kνk − |ν|(ψn )). y∈Y

Ebből következik, hogy sup kg(x) − gn (x)k ≤ 9f 9 (kνk − |ν|(ψn )),

x∈X

tehát a (gn )n∈N függvénysorozat egyenletesen konvergál g-hez X-n. A paraméteres integrálok folytonossági tétele alapján minden N ∋ n-re a gn függvény folytonos, így a g : X → F függvény is folytonos. A (gn )n∈N függvénysorozat egyenletes korlátos X-en, mert minden n ∈ N és x ∈ X esetén !

kgn (x)k ≤ sup(ψn (y)kf (x, y)k) kνk ≤ 9f 9 ·kνk. y∈Y

Ebből következik, hogy a g függvény is korlátos. A korlátos Radon-mértékek szerinti integrál sup-normában való folytonosságát alkalmazva kapjuk, hogy Z

g dµ = lim

n→∞

Z

gn dµ.

X

X

Azt kell még igazolni, hogy Z

X

g dµ =

Z

X×Y

456

f d(µ ⊗ ν).

Ehhez először megjegyezzük, hogy (ϕn ⊗ ψn )n∈N olyan K (X ×Y ; R)-ben haladó sorozat, hogy N ∋ n-re 0 ≤ ϕn ⊗ ψn ≤ ϕn+1 ⊗ ψn+1 ≤ 1 és sup |µ ⊗ ν|(ϕn ⊗ ψn ) = sup(|µ| ⊗ |ν|)(ϕn ⊗ ψn ) = n∈N

n∈N

= sup |µ|(ϕn )|ν|(ψn ) = kµkkνk = kµ ⊗ νk, n∈N

ezért

Z

X×Y

Z

f d(µ ⊗ ν) = lim

n→∞ X×Y

(ϕn ⊗ ψn )f d(µ ⊗ ν).

Az elemi Lebesgue–Fubini-tétel alapján minden n ∈ N esetén írható, hogy Z

X×Y

Z

(ϕn ⊗ ψn )f d(µ ⊗ ν) = =:

Z

ϕn (x)

X

Z

ψn (y)f (x, y) dν(y)

dµ(x) =:

Y

ϕn (x)gn (x) dµ(x).

X

Ha n ∈ N, akkor

≤

Z

X

Z



X

gn dµ −

Z

ϕn g n

X

kgn k(1 − ϕn ) d|µ| ≤ 9gn 9



dµ



Z

X

=

Z



X

gn (1 − ϕn )



dµ



≤

(1 − ϕn ) d|µ| = 9gn 9 (kµk − |µ|(ϕn)) ,

ezért a (gn )n∈N függvénysorozat egyenletes korlátosságából következik, hogy lim n→∞

Z

X

gn dµ −

Z

ϕn gn dµ

= 0.

X

Ebből kapjuk az Z

X×Y

f d(µ ⊗ ν) = lim

n→∞

Z

ϕn gn dµ = lim

n→∞

X

Z

X

egyenlőséget. 

457

gn dµ =

Z

X

g dµ

15.3.

A korlátos Radon-mérték szerinti integrál jellemzése

A következő tétel megvilágítja a korlátos Radon-mértékek szerinti integrálok egy nevezetes folytonossági tulajdonságát. 15.3.1. Tétel. Legyen T lokálisan kompakt tér, θ ∈ M (T ; K) korlátos Radon-mérték és F Banach-tér K felett. Legyen f ∈ C b (T ; F ) és (fi )i∈I olyan általánosított sorozat C b (T ; F )-ben, amely a T minden kompakt részhalmazán egyenletesen konvergál f -hez. Ha létezik olyan i0 ∈ I, hogy az {fi |(i ∈ I) ∧ (i ≥ i0 )} függvényhalmaz egyenletesen korlátos T felett, akkor Z Z f dθ = lim fi dθ. i, I

T

T

Bizonyítás. Legyen (ϕn )n∈N olyan függvénysorozat K (T ; R)-ben, hogy minden N ∋ n-re 0 ≤ ϕn ≤ ϕn+1 ≤ 1 és kθk = sup |θ|(ϕn ). Rögzítsünk továbbá olyan i0 ∈ I indexet, n∈N

amelyre

C :=

sup 9fi 9 < +∞.

i∈I, i≥i0

Legyen n ∈ N tetszőleges és i ∈ I olyan, hogy i ≥ i0 . Ekkor

≤

Z



T

f dθ −

Z

Z



T

ϕn f

T



Z

dθ

+

T

f dθ−

Z

fi

T

ϕn f dθ −

Z



dθ



ϕn fi

T

Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy

Z



T

ϕn f dθ −

Z

ϕn fi

T

valamint i ≥ i0 miatt

Z



T



dθ



=

ϕn fi dθ −

≤ 9fi 9

Z

T

Z

T

Z



T

fi

ϕn (f − fi )



dθ



≤

Z

T

≤



Z

dθ

+

T



dθ



ϕn fi dθ −

T

fi



dθ

.

≤ 9f − fi 9supp(ϕn ) ·kθk,

(1 − ϕn )kfi k d|θ| ≤

(1 − ϕn ) d|θ| ≤ C · (kθk − |θ|(ϕn )). 458

Z

Tehát n ∈ N és i ∈ I, i ≥ i0 esetén fennáll az

≤

Z



T

f dθ −

Z

T

Z



T

ϕn f

f dθ −



dθ

+ 9f

Z

fi

T



dθ



≤

− fi 9supp(ϕn ) ·kθk + C · (kθk − |θ|(ϕn ))

egyenlőtlenség. Legyen ε ∈ R+ tetszőleges. A korlátos Radon-mérték szerinti integrál értelmezése alapján van olyan N ∈ N, hogy minden N ∋ n-re, n > N esetén

Z



T

f dθ −

Z

ϕn f

T



dθ



ε < . 3

Ugyanakkor lim (kθk − |θ|(ϕn )) = 0, ezért van olyan N ′ ∈ N, hogy minden N ∋ n-re, n→∞ n > N ′ esetén ε C · (kθk − |θ|(ϕn )) < . 3 Rögzítsünk egy olyan n ∈ N számot, amelyre n > max(N, N ′ ). Ekkor az (fi )i∈I általánosított függvénysorozat egyenletesen konvergál f -hez a supp(ϕn ) kompakt halmazon, ezért van olyan i∗ ∈ I, hogy minden i ∈ I indexre, ha i ≥ i∗ , akkor ε 9f − fi 9supp(ϕn ) ·kθk < . 3

Az I előrendezett halmaz felfelé irányítottsága miatt vehetünk olyan iε ∈ I indexet, hogy iε ≥ i0 és iε ≥ i∗ . Ekkor minden i ∈ I indexre, ha i ≥ iε , akkor

Z



T

f dθ −

Z

fi

T

teljesül, és ezt kellett bizonyítani. 



dθ



<ε

Az előző tétel ekvivalens megfogalmazása a következő: ha T lokálisan kompakt tér, θ ∈ M (T ; K) korlátos Radon-mérték és F Banach-tér K felett, akkor a θ által generált C b (T ; F ) feletti integrál leszűkítése a C b (T ; F ) függvénytér minden korlátos részhalmazára folytonos a kompakt konvergencia ugyanezen részhalmazra vett leszűkítése szerint. A következő tétel jellemzést ad a korlátos Radon-mérték által generált integrálra az imént megfogalmazott folytonossági tulajdonság alkalmazásával. 15.3.2. Tétel. (Korlátos Radon-mérték által generált integrál jellemzése) Legyen T lokálisan kompakt tér, u : C b (T ; C) → C lineáris funkcionál, és jelölje θ az u 459

leszűkítését K (T ; C)-re. A következő állítások ekvivalensek. (i) θ korlátos Radon-mérték T felett és minden f ∈ C b (T ; C) esetén u(f ) =

Z

f dθ

T

teljesül, vagyis u egyenlő a θ által generált C b (T ; C) feletti integrállal. (ii) u folytonos a sup-normában, és az u leszűkítése a C b (T ; C) függvénytér minden sup-normában korlátos részhalmazára folytonos a kompakt konvergencia ugyanezen részhalmazra vett leszűkítése szerint. Továbbá, ha (i) vagy (ii) teljesül, akkor fennáll az kuk = kθk egyenlőség is. Bizonyítás. (i)⇒(ii) A θ korlátos Radon-mérték által generált C b (T ; C) feletti integrál folytonos a sup-normában, tehát az (i) alapján u folytonos a sup-normában, továbbá – az előző tétel szerint – a θ által generált C b (T ; C) feletti integrál – vagyis az u funkcionál – rendelkezik a (ii)-ben megfogalmazott második folytonossági tulajdonsággal is. (ii)⇒(i) Az u funkcionál folytonos a sup-normában, ezért θ is sup-normában folytonos K (T ; C) felett, vagyis θ korlátos Radon-mérték T felett. Ezért rögzíthetünk olyan (ϕn )n∈N függvénysorozatot K (T ; R)-ben, hogy minden N ∋ n-re 0 ≤ ϕn ≤ ϕn+1 ≤ 1 és kθk = sup |θ|(ϕn ). n∈N

Jelölje K(T ) a T kompakt részhalmazainak halmazát, és a lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tétel, valamint a kiválasztási axióma alkalmazásával vegyünk olyan (ϕK )K∈Co(K) rendszert, hogy minden K ∈ K(T ) esetén ϕK ∈ K (T ; R), 0 ≤ ϕK ≤ 1 és K ⊆ [ϕK = 1]. A továbbiakban a K(T ) halmazt ellátjuk a ⊆ relációval, tehát K(T )-t felfelé irányított rendezett halmaznak tekintjük. Legyen f ∈ C b (T ; C) tetszőleges. Ekkor az (ϕK f )K∈K(T ) függvényrendszer sup-normában korlátos. Továbbá, az (ϕK f )K∈K(T ) általánosított függvénysorozat a T minden kompakt részhalmazán egyenletesen konvergál f -hez, ugyanis K ∈ K(T ) esetén minden K(T ) ∋ Lre, ha K ⊆ L, akkor 9f − ϕL f 9K = 0 teljesül, hiszen K ⊆ [ϕL = 1] is igaz. Tehát a B := {f } ∪ {ϕK f | K ∈ K(T )} függvényhalmaz sup-normában korlátos C b (T ; C)-ben, és a B-ben haladó (ϕK f )K∈K(T ) általánosított sorozat konvergál f -hez a kompakt konvergencia topológiája szerint. Ezért a (ii)-ben megfogalmazott folytonossági tulajdonság alapján u(f ) = lim u(ϕK f ) =: lim θ(ϕK f ). K, K(T )

K, K(T )

Legyen f ∈ C b (T ; C). Ekkor minden N ∋ n-re f = (1 − ϕn )f + ϕn f , ezért f helyett az (1 − ϕn )f ∈ C b (T ; C) függvényre alkalmazva az imént igazolt határérték-formulát kapjuk, hogy |u(f ) − θ(ϕn f )| = |u((1 − ϕn )f )| = 460

= lim |u((1 − ϕn )ϕK f )| = lim |θ((1 − ϕn )ϕK f )|. K, K(T )

K, K(T )

Ugyanakkor K ∈ K(T ) esetén tudjuk, hogy |θ((1 − ϕn )ϕK f )| ≤ 9ϕK f 9 (kθk − |θ|(ϕn )) ≤ 9f 9 (kθk − |θ|(ϕn )), hiszen ϕK f ∈ K (T ; C) és |ϕK | ≤ 1. Ez azt jelenti, hogy minden n ∈ N esetén |u(f ) − θ(ϕn f )| ≤ 9f 9 (kθk − |θ|(ϕn )), következésképpen u(f ) = lim θ(ϕn f ) =: n→∞

Z

f dθ.

T

Ez azt jelenti, hogy u egyenlő a θ által generált C (T ; C) feletti integrállal. b

Végül, tegyük fel, hogy (ii) teljesül, és legyen ε ∈ R+ tetszőleges. A funkcionálnorma definíciója szerint van olyan f ∈ C b (T ; C), hogy 9f 9 ≤ 1 és kuk − ε < |u(f )| = lim |θ(ϕK f )|. K, K(T )

Ekkor van olyan K ∈ K(T ), hogy kuk − ε < |θ(ϕK f )| ≤ |θ|(|ϕK f |) ≤ |θ|(ϕK ) ≤ kθk, így kuk − ε < kθk. Ez azt jelenti, hogy kuk ≤ kθk, míg a fordított egyenlőtlenség a θ definíciója alapján nyilvánvaló.  Tehát egy korlátos Radon-mérték által generált integrál olyan sup-normában folytonos lineáris funkcionál-kiterjesztés a korlátos folytonos függvények terére, amelynek funkcionálnormája egyenlő a korlátos Radon-mérték mértéknormájával. A Hahn–Banachtételből tudjuk, hogy ilyennek léteznie kell, azonban általában sok ilyen kiterjesztése létezik a korlátos Radon-mértéknek. De a kiterjesztések között van egy kitüntetett: az amelyik rendelkezik az előző tétel (ii) pontjában megfogalmazott folytonossági tulajdonságokkal; ez éppen az adott korlátos mérték által generált integrál. 15.3.3. Következmény. Ha T , S lokálisan kompakt terek, θ ∈ M b (T ; C), g ∈ C b (T ; C) és π : T → S folytonos függvény, akkor π(g.θ) ∈ M b (S; C), és minden f ∈ C b (S; C) esetén Z Z f d(π(g.θ)) = (f ◦ π)g dθ. S

T

Bizonyítás. Az S feletti π(g.θ) Radon-mérték korlátosságát már igazoltuk (15.2.2.). Vezessük be az Z u : C b (S; C) → C, f 7→ (f ◦ π)g dθ T

461

leképezést. Ez nyilvánvalóan lineáris funkcionál, és folytonos is a C b (S; C) feletti supnorma szerint, mert ha f ∈ C b (S; C), akkor a θ szerinti integrál folytonossága miatt |u(f )| :=

Z

T

(f ◦ π)g dθ ≤ kθk · 9(f ◦ π)g9T ≤ kθk · 9f 9S · 9 g9T ,

ahol az első egyenlőtlenségnél felhasználtuk azt, hogy az előző tétel alapján a θ által generált integrál funkcionál-normája egyenlő a θ mértéknormájával. Legyen (fi )i∈I olyan C b (S; C)-ben haladó általánosított sorozat, amely egyenletesen korlátos és az S minden kompakt részhalmazán egyenletesen konvergál az f ∈ C b (S; C) függvényhez. Minden i ∈ I esetén 9(f ◦ π)g9T ≤ 9fi 9S · 9 g9T , ezért a C b (T ; C)-ben haladó ((fi ◦ π)g)i∈I általánosított sorozat is egyenletesen korlátos. Továbbá, ha K ⊆ T kompakt halmaz, akkor πhKi ⊆ S kompakt halmaz, és minden i ∈ I esetén 9(fi ◦ π)g − (f ◦ π)g9K ≤ 9fi − f 9πhKi 9g9K , ezért a ((fi ◦π)g)i∈I általánosított függvénysorozat egyenletesen konvergál a K halmazon. A θ által generált C b (T ; C) feletti integrál előző tétel (ii) pontjában megfogalmazott folytonossági tulajdonsága miatt lim i, I

Z

T

(fi ◦ π)g dθ =

Z

T

(f ◦ π)g dθ,

vagyis lim u(fi ) = u(f ). Az u funkcionál K (S; C)-re leszűkítése definíció szerint egyenlő i, I

π(g.θ)-val (15.2.3.), ezért az előző tétel alapján u megegyezik a π(g.θ) által generált C b (S; C)-feletti integrállal, ami éppen a bizonyítandó integrál-egyenlőséget jeleni. 

15.4.

Lokálisan kompakt csoport teljes mértékalgebrája

15.4.1. Definíció. Legyen G lokálisan kompakt csoport és jelölje M(G) a G feletti korlátos Radon-mértékek terét a mérték-normával ellátva (tehát M(G) komplex Banachtér). – Minden θ ∈ M(G) esetén legyen: θ∗ := iG (θ), ahol iG : G → G az inverzió-függvény (a θ∗ ∈ M(G) Radon-mértéket a θ adjungáltjának nevezzük). – Minden θ, θ′ ∈ M(G) esetén legyen: θ ∗ θ′ := pG (θ ⊗ θ′ ), 462

ahol pG : G × G → G a szorzás-függvény (a θ ∗ θ′ ∈ M(G) Radon-mértéket a θ és θ′ konvolúciójának nevezzük). Figyeljük meg, hogy ha G lokálisan kompakt csoport, akkor nem korlátos G feletti θ Radon-mértékre is értelmes a θ∗ := iG (θ) definíció (de ez a Radon-mérték pontosan akkor lesz korlátos, ha θ is korlátos), azonban csak korlátos Radon-mértékeknek értelmezhető a konvolúciója az iménti formulával, mert ha G nem kompakt, akkor a pG : G × G → G szorzás-függvény nem valódi függvény (azaz létezik olyan K ⊆ G kompakt halmaz, −1 amelyre pG hKi nem kompakt G × G-ben). Tehát, ha G lokálisan kompakt csoport és θ, θ′ ∈ M(G), akkor minden ϕ ∈ K (G; C) esetén Z ∗ θ (ϕ) = θ(ϕ ◦ iG ) = ϕ(s−1 ) dθ(s), G

és a korlátos Radon-mértékekre vonatkozó Lebesgue–Fubini-tétel (15.2.5.) alapján (θ ∗ θ′ )(ϕ) =

=

Z

G

Z

′

ϕ(ss ) dθ(s)

Z

G×G

′

ϕ(ss′ ) d(θ ⊗ θ′ )(s, s′) = ′

dθ (s ) =

Z

Z

G

G

ϕ(ss′ ) dθ′ (s′ )

dθ(s).

G

15.4.2. Tétel. Ha G lokálisan kompakt csoport, akkor az M(G) Banach-tér az θ 7→ θ∗

M(G) → M(G); egyváltozós művelettel és az M(G) × M(G) → M(G);

(θ, θ′ ) 7→ θ ∗ θ′

kétváltozós művelettel ellátva olyan egységelemes Banach-*-algebra, amelynek az L(G) mértékalgebra zárt *-részalgebrája, és amelyre a G → M(G);

s 7→ εs

leképezés injektív csoport-morfizmus a G csoport és az M(G) invertálható elemeinek csoportja között. Bizonyítás. (I) Először megmutatjuk, hogy a ∗ művelet asszociatív M(G) felett. Ehhez legyenek θ, θ′ , θ′′ ∈ M(G) valamint ϕ ∈ K (G; C) rögzítve. A konvolúció definícióját 463

és a korlátos Radon-mértékekre vonatkozó Lebesgue–Fubini-tételt (15.2.5.) alkalmazva kapjuk a következő egyenlőségeket: (θ ∗(θ′ ∗ θ′′ ))(ϕ) :=

Z

(1)

ϕ(st) d(θ ⊗ (θ′ ∗ θ′′ ))(s, t) =

G×G

Z

=

Z

G

G×G

Z

(2)

=

Z

G×G (3)

=

Z

G (4)

=

Z

G

=:

Z

G

Z

G

G

ϕ(st) d(θ′ ∗ θ′′ )(t)

dθ(s) :=

(2)

dθ(s) =

(3)

ϕ(s(s′ s′′ )) dθ(s) Z

G

G

Z

ϕ(s(s′ s′′ )) d(θ′ ⊗ θ′′ )(s′ , s′′ )

d(θ′ ⊗ θ′′ )(s′ , s′′ ) =

G

Z

Z

ϕ(s(s′ s′′ )) dθ(s)

dθ′ (s′ )

(4)

dθ′′ (s′′ ) =

G

Z

G×G

ϕ((ss′ )s′′ ) d(θ ⊗ θ′ )(s, s′) (5)

ϕ(ts′′ )d(θ ∗ θ′ )(t)

dθ′′ (s′′ ) =

Z

G×G

dθ′′ (s′′ ) =:

ϕ(ts′′ ) d((θ ∗ θ′ ) ⊗ θ′′ ))(t, s′′ ) =:

′

=: ((θ ∗ θ ) ∗ θ′′ )(ϕ),

ahol (1)

– az = egyenlőségnél a korlátos Radon-mértékekre vonatkozó Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a θ ⊗ (θ′ ∗ θ′′ ) szorzatmértékre és a G × G → C;

(s, t) 7→ ϕ(st)

korlátos folytonos függvényre; (2)

– a = egyenlőségnél a korlátos Radon-mértékekre vonatkozó Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a θ ⊗ (θ′ ⊗ θ′′ ) szorzatmértékre és a G × (G × G) → C;

(s, (s′ , s′′ )) 7→ ϕ(s(s′ s′′ ))

korlátos folytonos függvényre; (3)

– a = egyenlőségnél a korlátos Radon-mértékekre vonatkozó Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a θ′ ⊗ θ′′ szorzatmértékre és a G × G → C;

(s′ , s′′ ) 7→ 464

Z

G

ϕ(s(s′ s′′ ))dθ(s)

korlátos folytonos függvényre; (4)

– a = egyenlőségnél a korlátos Radon-mértékekre vonatkozó Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a θ ⊗ θ′ szorzatmértékre és a ((s, s′ ), s′′ ) 7→ ϕ((ss′ )s′′ )

G × G → C;

korlátos folytonos függvényre, és kihasználtuk a csoportművelet asszociativitását; (5)

– az = egyenlőségnél a korlátos Radon-mértékekre vonatkozó Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a (θ ∗ θ′ ) ⊗ θ′′ szorzatmértékre és a (t, s′′ ) 7→ ϕ(ts′′ )

G × G → C; korlátos folytonos függvényre.

Ebből már látható, hogy az M(G) vektortér a konvolúciós szorzással ellátva komplex algebra. (II) Nyilvánvaló, hogy az M(G) → M(G); θ 7→ θ∗ leképezés konjugált lineáris, és könnyen ellenőrizhető, hogy minden θ ∈ M(G) esetén θ∗∗ = θ. Vezessük be a

cG : G × G → G × G;

(s, t) 7→ (t, s)

felcserélés-függvényt, amely homeomorfizmusa G × G-nek, és nyilvánvalóan kielégíti az iG ◦ pG = pG ◦ (iG × iG ) ◦ cG algebrai egyenlőséget. Legyenek θ1 , θ2 ∈ M(G) rögzítve. Ha ϕ ∈ K (G; C), akkor ∗

(θ1 ∗ θ2 ) (ϕ) = (θ1 ∗ θ2 )(ϕ ◦ iG ) := (1)

=

Z

G×G

(2)

(ϕ ◦ iG ◦ pG ) d θ1 ⊗ θ2 = (3)

=

Z

=

G×G

G×G

(1)

(ϕ ◦ iG ◦ pG ) d(θ1 ⊗ θ2 ) =

(3)

(ϕ ◦ pG ◦ (iG × iG ) ◦ cG ) d(θ1 ⊗ θ2 ) = (4)

G×G (4)

Z

Z

(ϕ ◦ pG ) d ((iG × iG ) ◦ cG ) (θ1 ⊗ θ2 ) = Z

G×G

(ϕ ◦ pG ) d(θ2∗ ⊗ θ1∗ ) =: (θ2∗ ∗ θ1∗ )(ϕ),

ahol (1)

– az = egyenlőségnél a 15.2.1. állításban felírt egyenlőséget alkalmaztuk; (2)

– a = egyenlőségnél felhasználtuk a iG ◦ pG = pG ◦ (iG ×iG ) ◦ cG összefüggést, és a könnyen 465

belátható θ1 ⊗ θ2 = θ1 ⊗ θ2 relációt; (3)

– a = egyenlőségnél 15.3.3.-t alkalmaztuk, megfelelő szereposztással; (4)

– a = egyenlőségnél felhasználtunk a ((iG × iG ) ◦ cG ) (θ1 ⊗ θ2 ) = θ2∗ ⊗ θ1∗ összefüggést, amely a definíciók alapján könnyen ellenőrizhető. Ezzel megmutattuk, hogy (θ1 ∗ θ2 )∗ = θ2∗ ⊗ θ1∗ , így az M(G) → M(G); θ 7→ θ∗ leképezés involúció.  15.4.3. Definíció. Ha G lokálisan kompakt csoport, akkor az előző tételben értelmezett M(G) Banach-*-algebrát a G teljes mértékalgebrájának nevezzük.

466

Irodalomjegyzék [1] L. Beran, Orthomodular Lattices (algebraic approach), Reidel Pub. Co., Dordrecht, Holland, 1984. [2] S. K. Berberian, Baer *-rings, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1972. [3] M. Berger, Géometrie, CEDIC, Paris, 1977-1978. [4] G. Birkhoff, Lattice Theory, Providence, Rhode Island, 1967. [5] N. Bourbaki, Éléments de mathématique. Théorie des ensembles., Springer–Verlag, Berlin–Heidelberg, 2007. [6] N. Bourbaki, Éléments de mathématique. Algébre., Springer–Verlag, Berlin–Heidelberg, 2007. [7] N. Bourbaki, Éléments de mathématique. Topologie générale., Springer–Verlag, Berlin–Heidelberg, 2007. [8] N. Bourbaki, Éléments de mathématique. Espaces vectoriels topologiques, Springer– Verlag, Berlin–Heidelberg, 2007. [9] N. Bourbaki, Éléments de mathématique. Intégration, Springer–Verlag, Berlin– Heidelberg, 2007. [10] N. Bourbaki, Éléments de mathématique. Théories spectrales, Hermann, Paris, 1967. [11] O. Bratteli – D. W. Robinson, Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics, Vols. I-II, Springer–Verlag, New York–Heidelberg–Berlin, 1979. [12] J. Dixmier, Les C ∗ -algébres et leurs représentations, Gauthier-Villard Éditeur, Paris, 1964. [13] J. Dixmier, Les algébres d’opérateurs dans l’espace hilbertien (algébres de von Neumann), Gauthier-Villard Éditeur, Paris, 1969. [14] P. R. Halmos, Mértékelmélet, Gondolat, Budapest, 1984. 467

[15] A. . Helemskii, Banahovy i polinormirovannye algebry: obwa teori, predstavleni, gomologii, Nauka, Moskva, 1989. [16] E. Hewitt–K. A. Ross, Abstract Harmonic Analysis, Springer-Verlag, 1963-1970. [17] V. M. Kopytov, Rexetoqno upordoqennye gruppy, Nauka, Moskva, 1984. [18] A. A. Kirillov, Зlementy teorii predstavlenii, Nauka, Moskva, 1978. [19] J. Kristóf, Topologikus vektorterek és normált algebrák, elektronikus jegyzet, 2013. [20] F. Maeda – S. Maeda, The Theory of Symmetric Lattices, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1971. [21] A. Mallios, Topological Algebras. Selected Topics, North Holland Math. Studies, 124 (1986), Notas de matemática, 109., Amsterdam-New York-Oxford-Tokyo [22] P. A. Meyer, Probability and Potentials, Blaisdell Pub. Co., 1966. [23] M. A. Naimark, Teori predstavlenii grupp, Nauka, Moskva, 1976. [24] T. W. Palmer, Banach Alberas and The General Theory of *-Algebras, Vols. I-II, Cambridge Academic Press, 1994-2001. [25] G. K. Pedersen, C*-Algebras and their Automorphism Groups, Academic Press, London-New York-San Francisco, 1979. [26] L. S. Pontrgin, Nepreryvnye gruppy, Nauka, Moskva, 1973. [27] H. Rasiowa – R. Sikorski, The Mathematics of Metamathematics, Warszawa, 1963. [28] M. Reed – B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. I, Academic Press, Inc., New York–London-Tokyo, 1980. [29] C. E. Rickart, General Theory of Banach Algebras, Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1974. [30] W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Book Co., New York, 1973. [31] S. Sakai, C*-Algebras and W*-Algebras, Springer-Verlag, New York-HeidelbergBerlin, 1971. [32] T. A. Sarymsakov – X. A. Apov- Dж. Hadжiev – V. I. Qilin, Upordoqennye algebry, Taxkent, Fan UzSSR, 1983. [33] H. H. Schaefer, Topological Vector Spaces, MacMillan Co., New York, 1966. 468

[34] M. Takesaki, Theory of Operator Algebras, Vols I-II-III, Springer–Verlag, New York–Heidelberg–Berlin, 2001. [35] M. Valdivia – A Class of Bornological Barrelled Spaces which Are not Ultraboronological, Math. Ann., 194, 43-51 (1971)

469

JELÖLÉSEK

(Megjegyzés. Az alábbiakban *-gal jelölt hivatkozások a [19] jegyzet megfelelő pontjára vonatkoznak.)

Logikai jelölések

:= és =: ¬A A∨B A∧B A⇒B A⇔B (∃x ∈ E) : A (x) (∀x ∈ E) : A (x)

definiáló egyenlőség nem A, ahol A kijelentés A vagy B, ahol A és B kijelentések A és B, ahol A és B kijelentések A-ból következik B, ahol A és B kijelentések A és B ekvivalensek, ahol A és B kijelentések létezik olyan x eleme az E halmaznak, amelyre A (x) teljesül az E halmaz minden x elemére A (x) teljesül

Halmazelméleti jelölések

x∈E x∈ /E E⊆F E⊇F {x ∈ E|A (x)} ∅ {x, y} {x} (x, y) E∪F E∩F E\F

x eleme E-nek x nem eleme E-nek E részhalmaza F -nek E tartalmazza F -t az E azon x elemeinek halmaza, amelyekre A (x) üres halmaz az x és y halmazokból alkotott rendezetlen pár egyelemű halmaz az x és y halmazokból alkotott rendezett pár E és F uniója (egyesítése) E és F metszete (közös része) E és F különbsége 470

E×F P(E) vagy 2E Q Ei i∈I

Dom(f ) Im(f ) f :E→F f :E֌F E/R πE/R χE idT 1T pri f |E f0 f −1 f ◦g F (E; F ) vagy F E f hEi −1

f hEi S Ei

i∈I

∨ Ei

i∈I

T

i∈I

Ei

E és F Descartes-szorzata hatványhalmaz halmazrendszer Descartes-szorzata függvény értelmezési (vagy definíciós) tartománya függvény értékkészlete (vagy érkezési halmaza) f függvény, amelyre Dom(f ) = E és Im(f ) ⊆ F f függvény, amelyre Dom(f ) ⊆ E és Im(f ) ⊆ F faktorhalmaz az E → E/R kanonikus szürjekció halmaz karakterisztikus függvénye identikus függvény az 1 értékű konstansfüggvény i-edik projekció-függvény függvény leszűkítése függvény 0-val vett kiterjesztése függvény inverze függvények kompozíciója E-n értelmezett, F -be érkező függvények halmaza halmaz függvény által létesített képe halmaz függvény által létesített ősképe halmazrendszer uniója (egyesítése) halmazrendszer diszjunkt uniója (halmazösszege) halmazrendszer metszete (közös része)

× fi

függvényrendszer szorzata

sup xi

elemrendszer felső határa (szuprémuma)

inf xi

elemrendszer alsó határa (infimuma)

max xi

elemrendszer legnagyobb tagja (maximuma)

min xi

elemrendszer legkisebb tagja (minimuma)

sup fi

valós függvények rendszerének felső burkolója

inf fi

valós függvények rendszerének alsó burkolója

Card(E) N N+ ]x, y[ [x, y[ ]x, y]

halmaz számossága a természetes számok halmaza a nem nulla természetes számok halmaza nyílt intervallum balról zárt, jobbról nyílt intervallum jobbról zárt, balról nyílt intervallum

i∈I

i∈I

i∈I

i∈I

i∈I

i∈I

i∈I

471

[x, y] ]x, → [ [x, → [ ] ←, x[ ] ←, x]

zárt intervallum jobbról nem korlátozott nyílt intervallum jobbról nem korlátozott zárt intervallum balról nem korlátozott nyílt intervallum balról nem korlátozott zárt intervallum

Algebrai jelölések

x−1 −x dim(E) A+B A−B H.A P xi i∈I

P

i∈I

Mi

elem inverze multiplikatívan jelölt művelet szerint elem inverze additívan jelölt művelet szerint vektortér algebrai dimenziója halmazok komplexus-összege vektortérben halmazok komplexus-különbsége vektortérben halmazok komplexus-szorzata vektortérben véges rendszer összege altér-rendszer komplexus-összege

M ⊕N ⊕ Ei

lineáris alterek direkt összege vektortérben vektortér-rendszer direkt összege

⊗ ⊗ Ei

tenzorszorzás véges vektortér-rendszer tenzorszorzata

E/M E∗ Z Q R R+ R+ R R+ C U

lineáris faktortér vektortér algebrai duálisa az egész számok halmaza a racionális számok halmaza a valós számok halmaza a 0-nál nagyobb-egyenlő valós számok halmaza a 0-nál szigorúan nagyobb valós számok halmaza {−∞} ∪ R ∪ {+∞} R+ ∪ {+∞} a komplex számok halmaza az egységnyi abszolút értékű komplex számok halmaza az 1-nél kisebb-egyenlő abszolút értékű komplex számok halmaza a valós vagy komplex számok halmaza

i∈I

i∈I

D K

472

√

i ℜ(λ) ℑ(λ) λ |·| span(E) co(E) Ker(u) G(S)

1.1.

S(X) Sn H(X) Diff (M) Iso(M, g) GL(E) GL(n, K) SL(E) SL(n, K) GL(E) SL(E) O(E, g) SO(E, g) O(n, R) SO(n, R) U(n, C) SU(n, C) Aff(E) Sp(E) Cn Dn Qn Un

1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. 1.1.

C∗

6.5.

pG iG eG γG (s)

1.2. 1.2. 1.2. 1.2.

−1 komplex szám valós része komplex szám képzetes része komplex szám konjugáltja abszolútérték-függvény test felett halmaz lineáris burka halmaz konvex burka lineáris operátor magja egységelemes félcsoport invertálható elemeinek csoportja teljes permutációcsoport n-elemű halmaz permutációcsoportja homeomorfizmuscsoport diffeomorfizmuscsoport pszeudoriemann-sokaság izometria-csoportja vektortér lineáris csoportja mátrixcsoport vektortér speciális lineáris csoportja speciális mátrixcsoport vektortér teljes lineáris csoportja vektortér speciális lineáris csoportja euklidészi tér ortogonális csoportja euklidészi tér speciális ortogonális csoportja aritmetikai ortogonális csoport speciális aritmetikai ortogonális csoport aritmetikai unitér csoport speciális aritmetikai unitér csoport affin transzformációk csoportja vektortér szimplektikus csoportja n-ed rendű ciklikus csoport n-indexű diéder-csoport n-indexű kvaternió-csoport az n-edik komplex egységgyökök multiplikatív csoportja a nem nulla komplex számok multiplikatív csoportja csoport szorzás-függvénye csoport inverzió-függvénye csoport neutrális eleme balról szorzás operátora

473

δG (s) Aut(G) Int(G) IntG (s) γx Gγ,x γG/H N ⊗H

1.2. 1.2. 1.2. 1.2. 1.2.1 1.2.1 1.2. 1.2.

V VN ⊗ VH

1.2. prehilbert-térbeli ábrázolás teljesítése 1.2.10 unitér ábrázolások féldirekt szorzata

C(V1 ; V2 ) γ|H G SL(2, K) G◦ Tr

1.3.1. 1.3.1. 1.5.3. 1.6.3. 2.1. 7.5.

τ

τ

jobbról szorzás operátora automorfizmusok csoportja a belső automorfizmusok csoportja belső automorfizmus orbitális függvény stabilitás-csoport ábrázolás homogén térben féldirekt szorzatcsoport

összekötő operátorok tere ábrázolás megszorítása csoport algebrai duálisa speciális lineáris csoport csoport ellentettje operátornyom

Topológiai jelölések

25.1.* 25.1.*

az euklidészi topológia K felett nyílt euklidészi gömb K-ban zárt euklidészi gömb K-ban antidiszkrét topológia diszkrét topológia

25.1.* 25.1.* 25.1.* 5.2.1.* 5.2.3.* 5.2.3.* 25.3.2.*

topológia inverz képe altértopológia topológia képe környezetszűrő első megszámlálhatósági feltétel második megszámlálhatósági feltétel halmaz lezártja

Eq vagy Int(E) E vagy Fr(E) T ×T ′ × Ti

25.3.2.* 25.3.2.* 25.7.* 25.7.1.*

halmaz belseje halmaz határa két topológia szorzata topológia-rendszer szorzata

TI

25.7.1.* topológia hatványa

EK Br (x; K) B r (x; K) Tind Tdis −1

f [T ′ ] T |E f [T ] T (t) M1 M2 E vagy Cl(E) ◦

i∈I

474

∨ Ti

25.8.5.* topológia-rendszer öszege

C (T ; T ′ ) T0 T1 T2 lim f t lim xn n→∞ lim xi

25.4.1.* 26.1.1.* 26.1.1.* 26.1.1.* 26.2.3.* 26.3.2.* 26.3.2.*

Kolmogorov-tér Hausdorff-tér függvény határértéke sorozat határértéke általánosított sorozat határértéke

d(x, E) supp(f ) Br (x; d) B r (x; d) Td Tp df T(di )i∈I T(fi )i∈I lim fn n→∞ lim fi

26.4.* 26.7.1.* 26.8.1.* 26.8.1.* 26.8.3.* 26.8.1.* 26.8.* 26.8.5.* 26.8.5.* 28.1.2.* 28.1.2.*

pont távolsága halmaztól függvény tartója nyílt gömb félmetrika szerint zárt gömb félmetrika szerint félmetrika által generált topológia félnorma által generált topológia függvény által meghatározott félmetrika félmetrika-rendszer által generált topológia függvényrendszer által generált topológia függvénysorozat pontonkénti limeszfüggvénye általánosított függvénysorozat pontonkénti

F b (T ; M) d K(T ) B(T ) B0 (T ) K0 (T ) I+ (T )

28.1.4.* 28.1.4.* 10.2.* 30.1.1.* 30.1.1.* 10.2.* 27.4.2.*

limeszfüggvénye a korlátos függvények halmaza sup-metrika a kompakt halmazok halmaza a Borel-féle σ-algebra a Baire-féle σ-gyűrű relatív kompakt Baire-halmazok δ-gyűrűje pozitív alulról félig folytonos függvények halmaza

i∈I

i, I

i, I

folytonos függvények halmaza

Topologikus algebrai jelölések

k·k k · kp lpK l∞ K Exp

norma-függvény vektortér felett p-norma Kn felett p-edik hatványon abszolút szummálható numerikus sorozatok halmaza korlátos numerikus sorozatok halmaza komplex exponenciális függvény 475

P

n∈N ∞ P n=0

xn

sor

xn

sor összege

dk·k d|·| L (E; F ) B(E; F ) H (Ω; F ) E [f = c] [f = c] [f > c] [f ≥ c] [f < c] [f ≤ c] K (T ; F ) K (T ; F )

25.1.* 25.1.* 1.3.2.*. 5.3.1.* 7.9.1.* 1.9.3.* 26.4.* 26.4.* 26.4.* 26.4.* 26.4.* 26.4.* 3.9.* 28.2.4.*

C0∞ (Ω; F )

3.9.*

C ∞ (Ω; F ) W(V ) F b (T ; F ) FSb (T ; F ) W(S, V ) σ(E, F ) τ (E, F ) β(E, F ) u′ Eβ′ E ′′ 9 · 9E 9·9 9 Z · 9K,p

7.10.1.* 5.6.1.* 5.6.1.* 5.7.1.* 5.7.3.* 6.7.2.* 6.7.2.* 6.7.3.* 6.11.2.* 7.4.1.* 7.4.1.* 28.2.3.* 28.2.3.* 7.10.1.*

skalárszorzás prehilbert-térben halmaz ortogonális komplementere prehilbert-térben norma által meghatározott metrika abszolútérték által meghatározott metrika folytonos lineáris operátorok halmaza korlátos lineáris operátorok halmaza holomorf függvények halmaza topologikus vektortér szeparált teljes burka {x ∈ Dom(f )|f (x) = c} {x ∈ Dom(f )|f (x) 6= c} {x ∈ Dom(f )|f (x) > c} {x ∈ Dom(f )|f (x) ≥ c} {x ∈ Dom(f )|f (x) < c} {x ∈ Dom(f )|f (x) ≤ c} folytonos kompakt tartójú függvények vektortere végtelenben eltűnő folytonos kompakt tartójú függvények vektortere kompakt tartójú végtelenszer differenciálható függvények vektortere végtelenszer differenciálható függvények vektortere függvényhalmaz topologikusan korlátos függvények vektortere S-korlátos függvények vektortere függvényhalmaz gyenge topológia a Mackey-topológia erős topológia gyengén folytonos lineáris operátor duálisa erős duális biduális sup-norma az E halmazon sup-norma az alaphalmazon sup-norma p-edik deriváltig a K halmazon

f dµ

9.3.1.*

felső integrál

f dµ

9.3.1.*

felső integrál

(·|·) H⊥

∗

Z

∗

T

476

µ∗ (E) supp(µ) εt B(T, µ) B(T, m) M+1 (T ) b(µ) gr(f ) epigr(f ) subgr(f ) A(K) A(K, E ′ ) S(K)  Q∗ Ai i∈I

E (C) L (E) L (H ) B(E) C (E) ρ(a) fA ExpA k · kSt mSt (St(A), jSt ) Ca ϕA (a) Ca′ x± xα |x| (ei )i∈I |a| Φπ,ζ (·|·)f k · kf kf k∗ K(A) Kr (A)

9.5.1.* 10.1.2.* 10.2.* 9.6.2.* 30.2.2.* 10.3.* 10.3.3.* 10.4.1.* 10.4.1.* 10.4.1.* 11.2.5.* 12.1.1.* 12.1.1.* 12.5.1.* 14.1.*

halmaz külső mértéke Radon-mérték tartója egypontmérték mérhető halmazok halmaza mérhető halmazok halmaza a valószínűségi Radon-mértékek halmaza valószínűségi Radon-mérték baricentruma függvény grafikonja függvény epigráfja függvény szubgráfja valós folytonos affin függvények halmaza valós folytonos affin függvények halmaza folytonos konvex függvények halmaza Choquet-rendezés M+1 (K) felett normált algebrák szorzata

13.1.* 13.1.* 13.1.* 13.1.* 13.1.* 14.3.1.* 14.7.2.* 14.7.4.* 17.5.7.* 17.5.7.* 17.5.7.* 18.4.3.* 18.4.3.* 18.5.2.* 19.1.1.* 19.1.1.* 19.1.1.* 19.3.1.* 19.4.1.* 20.4.1.* 20.5.3.* 20.5.3.* 20.6.1.* 20.6.3.* 20.6.3.*

egészfüggvények algebrája folytonos lineáris operátorok algebrája Hilbert-tér folytonos lineáris operátorainak algebrája korlátos lineáris operátorok algebrája kompakt operátorok algebrája spektrálsugár egészfüggvény Banach-algebra felett Banach-algebra exponenciális függvénye legnagyobb C ∗ -félnorma legnagyobb C ∗ -félnorma magja standard fedő C ∗ -algebra normális elem folytonosfüggvény-számító operátora normális elem folytonos függvény által létesített képe normális elem folytonosfüggvény-számító operátora önadjungált elem pozitív/negatív része pozitív spektrumú elem α-adik hatványa önadjungált elem abszolút értéke approximatív egység elem abszolút értéke ábrázolás által meghatározott pozitív funkcionál pozitív funkcionál által meghatározott skalárszorzás pozitív funkcionál által meghatározott Hilbert-félnorma reguláris funkcionál *-normája a reguláris funkcionálok halmaza az ábrázolható funkcionálok halmaza 477

21.1.3.* 21.1.3.* 21.1.3.*

GNS-konstrukcióval meghatározott ábrázolás GNS-konstrukcióval meghatározott ábrázolás tere GNS-konstrukcióval meghatározott ábrázolás ciklikus vektora

21.7.2.*

ábrázolások Hilbert-integrálja

E(A) P (A) µ± EC (T, R) E+ (T, R) EC (T, R)

22.4.1.* 22.4.1.* 22.4.4.* 24.1.* 24.1.* 24.1.*

E+ (T, R)

24.1.*

M(T, R)

24.3.1.*

|θ|

24.3.2.*

M(T, m) G cH ⊕ i

30.2.2.* 2.7.7. 1.2.4.

állapotok halmaza tiszta állapotok halmaza valós Radon-mérték pozitív/negatív része a komplex lépcsősfüggvények halmaza a pozitív lépcsősfüggvények halmaza a komplex lépcsősfüggvényekkel egyenletesen approximálható függvények halmaza a pozitív lépcsősfüggvényekkel egyenletesen approximálható függvények halmaza a korlátos komplex mértékek által generált integrálok halmaza komplex mérték abszolút értéke (teljes variációja) mérhető halmazok σ-algebrája topologikus csoport topologikus duálisa Hilbert-terek Hilbert-összege

1.2.4.

unitér ábrázolások Hilbert-összege

πf Hf ζf Z

πf dµ(f )

K(A)

i∈I

cV ⊕ i

i∈I

cH ⊗ i

1.2.5.

Hilbert-terek tenzorszorzata

cV ⊗ i

1.2.5.

unitér ábrázolások tenzorszorzata

VC K+ (T )

1.2.5. 3.1.3.

ϕ ⊗ ϕ′ M (T ; C) M (T ; R) M (T ; K) M b (T ; C) µ± M+ (T ) g.θ π(θ) θ

3.2.2. 4.1.2. 4.1.2. 4.1.2. 4.1.3. 4.2.4. 4.1.2. 4.1.6. 4.1.7. 4.1.9.

konjugált unitér ábrázolás a pozitív folytonos kompakt tartójú függvények halmaza felbontható függvények a komplex Radon-mértékek vektortere a valós Radon-mértékek vektortere a valós/komplex Radon-mértékek vektortere a korlátos komplex Radon-mértékek vektortere valós Radon-mérték pozitív/negatív része a pozitív Radon-mértékek halmaza függvény és Radon-mérték szorzata Radon-mérték függvény által létesített képe Radon-mérték konjugáltja

i∈I i∈I

478

ℜ(θ) ℑ(θ) |θ| supp(θ) Z f dθ

Z

f dθ

4.1.9. 4.1.9. 4.2.7. 4.3.3.

Radon-mérték Radon-mérték Radon-mérték Radon-mérték

4.4.2.

folytonos kompakt tartójú függvény integrálja Radon-mérték szerint

4.4.8.

µ⊗ν θ|Ω K + (T )

4.6.2. 4.7.2. 3.1.3.

χ V γ,µ,F V γG ,β,C β ∆G modG (π) χτ βRn

5.1.7. 5.1.9. 5.1.9. 5.2.1. 5.3.2. 5.3.7. 5.4.2. 5.5.

ϕ∗ ϕ∗ψ

6.1.1. 6.1.1.

β

valós része képzetes része abszolút értéke tartója

k · kβ,1 Kβ (G, C) L1C (G, β) L(G)

6.1.2. 6.1.3. 6.1.3. 6.1.5.

Vβ Vβ K(G, Z β)

6.4.2. 6.4.2. 6.8.

SU(2, C) U TV (G)

7.1. 7.1.4. 7.3.1.

T(G)

7.3.1.

Vf dµ(f ) 6.8.1.

folytonos függvény integrálja kompakt tartójú Radon-mérték szerint Radon-mértékek tenzorszorzata Radon-mérték leszűkítése nyílt halmazra a nem nulla pozitív folytonos kompakt tartójú függvények halmaza pozitív Radon-mérték multiplikátora lokálisan kompakt csoport baloldali reguláris ábrázolása baloldali Haar-mérték lokálisan kompakt csoporton lokálisan kompakt csoport moduláris függvénye automorfizmus modulusa lokálisan kompakt féldirekt szorzat modulusa n-dimenziós Lebesgue-mérték által generált Radon-mérték folytonos kompakt tartójú függvény adjungáltja folytonos kompakt tartójú függvények konvolúciója lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája lokálisan kompakt csoport (absztrakt) mértékalgebrája lokálisan kompakt csoport mértékalgebrájának mértékelméleti realizációja unitér ábrázolás felemelése K (G; C)-re unitér ábrázolás felemelése L1C (G, β)-ra a mértékalgebra ábrázolható funkcionáljai unitér ábrázolások Hilbert-integrálja

K(G,β)

mátrixcsoport az U csoport topologikus duálisa unitér ábrázolás által meghatározott trigonometrikus polinomok kompakt csoport feletti trigonometrikus polinomok 479

m.V χV eV σβ Fβ Fβ A(G) βb Fβ,F F β,F Fβ Fβ A(G) f♭ θ# µ/βH w

7.4.3. 7.5.1. 7.6.1. 8.1. 8.2.2. 8.2.2. 8.4.1. 8.5.4. 8.6.2. 8.6.2. 8.9.3. 8.9.3. 8.9.10. 9.1.2. 9.1.6. 9.1.6. 9.3.2.

HU VU (·|·)βG,βH H U,βG ,βH V U,βG,βH ϕ∗z

10.1.1. 10.1.3. 10.1.6. 10.1.6. 10.1.6. 10.3.2.

β

(V U , P U ) (V, P ) P U,βG,βH H[UN ] UN ⊚ U V UN ,U V UN ,U,βH ,βH[UN ] s·χ Gχ LFp (T, µ) k · kµ,p

10.5.3. 10.5.5. 10.5.5. 10.10.1. 10.10.3. 10.10.11. 10.10.14. 11.11.1. 11.11.1. 13.1.1. 13.1.6.

fq

13.1.8.

LpF (T, µ) b µ(E)

13.1.8. 13.5.1.

unitér ábrázolás karaktere dim(V )χV azonosítás G és X(L1C (G, β)) között Fourier-transzformáció konjugált Fourier-transzformáció duális Haar-mérték Fourier-transzformáció LF1 (G, β) felett konjugált Fourier-transzformáció LF1 (G, β) felett Fourier-transzformáció az L2C (G, β)-téren konjugált Fourier-transzformáció az L2C (G, β)-téren függvény leszállítása G-ről G/H-ra (orbitális átlag) Radon-mérték felemelése G/H-ról G-re Radon-mérték faktorizációja a (G, H, βH ) hármas Bruhat-féle keresztmetszet-függvénye indukált lineáris ábrázolás tere indukált lineáris ábrázolás Mackey-féle skalárszorzás indukált unitér ábrázolás tere indukált unitér ábrázolás indukált algebrai imprimitivitás-rendszer γ-imprimitivitás-rendszer indukált projektorintegrál UN által meghatározott stabilitás-csoport féldirekt szorzat indukált unitér ábrázolása féldirekt szorzat indukált unitér ábrázolása féldirekt szorzat indukált unitér ábrázolása belső ábrázolás belső ábrázolás szerinti stabilitás-csoport p-edik hatványon integrálható függvények tere a µ pozitív Radon-mérték szerinti p-félnorma LFp (T, µ) felett majdnem mindenütt egyenlőség szerinti ekvivalencia-osztály integrálható halmaz mértéke 480

R[µ] Z

f dµ

13.5.1.

integrálható halmazok δ-gyűrűje

14.1.3.

integrál az LF1 (T, µ) téren

kθk Z

15.1.1.

korlátos Radon-mérték normája

15.1.5.

korlátos folytonos függvény integrálja

θ∗ θ ∗ θ′ M(G)

15.4.1. 15.4.1. 15.4.3.

korlátos Radon-mérték szerint korlátos Radon-mérték adjungáltja korlátos Radon-mértékek konvolúciója lokálisan kompakt csoport teljes mértékalgebrája

f dθ

481