Co byste mˇ el/a zvl´ adnout po 4. t´ ydnu
Zde je uveden naprost´y z´aklad. Nejde ou ´pln´y v´yˇcet vˇsech dovednost´ı.
Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
Zvl´ adnut´ a l´ atka po 4. t´ ydnu
1/9
Slovn´ık z´ akladn´ıch pojm˚ u Mnoˇzina gener´ator˚ u line´arn´ıho prostoru, (uspoˇr´adan´a) b´aze line´arn´ıho prostoru, dimense line´arn´ıho prostoru, souˇradnice vektoru vzhledem k uspoˇr´adan´e b´azi. Spojen´ı dvou line´arn´ıch podprostor˚ u line´arn´ıho prostoru. Z´ akladn´ı fakta o dimensi 1 Pro kaˇ zd´e n ≥ 0 je dim(Fn ) = n. 1
2
2
Pro n = 0 je K0 = ∅ (jedin´a, tud´ıˇz i kanonick´a) uspoˇr´adan´a b´aze prostoru F0 = {~o }. Pro n ≥ 1 je seznam Kn = (e1 , . . . , en ) kanonick´a b´aze prostoru Fn . Zde ei m´a na i-t´e posici 1, vˇsude jinde 0.
Pˇr´ıklady line´arn´ıch prostor˚ u, kter´e nemaj´ı koneˇcnou dimensi: 1 2 3
Prostor R[x] vˇsech re´aln´ych polynom˚ u. Prostor C (R; R) vˇsech spojit´ych funkc´ı z R do R. Prostor R (s obvykl´ymi operacemi) nad tˇelesem Q.
Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
Zvl´ adnut´ a l´ atka po 4. t´ ydnu
2/9
D˚ uleˇ zit´ a pozn´ amka Dimense line´arn´ıho prostoru typicky z´avis´ı na volbˇe skal´ar˚ u. Napˇr´ıklad: 1
Prostor R nad tˇelesem R m´a dimensi 1.
2
Prostor R nad tˇelesem Q nem´a koneˇcnou dimensi.
Kdykoli nen´ı jasn´e nad jak´ym tˇelesem F o dan´em line´arn´ım prostoru L uvaˇzujeme, budeme poctivˇe ps´at line´arn´ı prostor L nad F.
Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
Zvl´ adnut´ a l´ atka po 4. t´ ydnu
3/9
B´ aze a dimense: poˇ cetn´ı pˇr´ıklady 1
Rozhodnˇete, zda seznamy B1 , B2 , line´arn´ıho prostoru R3 nad R, kde 1 B1 = ( 2 , 3 1 B2 = ( 2 , 3 1 B3 = ( 2 , 3
Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
B3 jsou (uspoˇr´adan´e) b´aze 3 2 , 1 3 2 ) 1 3 2 , 1
0 0 ) 1
4 4 ) 4
Zvl´ adnut´ a l´ atka po 4. t´ ydnu
4/9
B´ aze a dimense: poˇ cetn´ı pˇr´ıklady (pokraˇ c.) 2
Ch´apejte C (spolu s obvykl´ymi operacemi) jako line´arn´ı prostor nad tˇelesem R. Naleznˇete dvˇe r˚ uzn´e uspoˇr´adan´e b´aze B1 , B2 line´arn´ıho prostoru C nad R. Uspoˇr´adan´e b´aze B1 a B2 se nesm´ı liˇsit pouze poˇrad´ım sv´ych prvk˚ u. Porovnejte: 1 2
dim(Cn ), kde Cn je line´arn´ı prostor nad tˇelesem C. dim(Cn ), kde Cn je line´arn´ı prostor nad tˇelesem R.
3
Naleznˇete dvˇe r˚ uzn´e uspoˇr´adan´e b´aze B1 , B2 line´arn´ıho prostoru Q≤2 [x] = {p(x) ∈ Q[x] | deg(p(x)) ≤ 2} nad Q. Uspoˇr´adan´e b´aze B1 a B2 se nesm´ı liˇsit pouze poˇrad´ım sv´ych prvk˚ u.
4
Naleznˇete b´azi line´arn´ıho podprostoru span{2 + x, 1 + 2x} v prostoru C[x] nad C. At’ V a W jsou line´arn´ı podprostory prostoru R5 nad R, at’ dim(V ) = dim(W ) = 3. Co lze ˇr´ıci o dim(V ∨ W )? Co lze ˇr´ıci o dim(V ∩ W )?
5
Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
Zvl´ adnut´ a l´ atka po 4. t´ ydnu
5/9
B´ aze: teoretick´ e pˇr´ıklady At’ seznam B = (~b1 , . . . , ~bn ) tvoˇr´ı uspoˇr´adanou b´azi line´arn´ıho prostoru L nad F, n ≥ 1. At’ se seznam C liˇs´ı od seznamu B pouze poˇrad´ım sv´ych prvk˚ u. Dokaˇzte, ˇze C je uspoˇr´adan´a b´aze prostoru L. Dejte tomuto tvrzen´ı geometrickou interpretaci. Dokaˇzte, ˇze ˇz´adn´y seznam tvaru B = (~b1 , . . . , ~bn−1 ) nem˚ uˇze
1
2
tvoˇrit b´azi prostoru Fn nad F, kde n ≥ 2. At’ L je line´arn´ı prostor koneˇcn´e dimense nad F. Navrhnˇete algoritmy, ˇreˇs´ıc´ı n´asleduj´ıc´ı probl´emy:
3
1
2
a b
Pro line´arnˇe nez´avisl´y seznam S hled´ame uspoˇr´adanou b´azi B prostoru L tak, aby seznam S byl prefixem seznamu B.a Pro koneˇcnou mnoˇzinu G , kter´a generuje L, hled´ame uspoˇr´adanou b´azi B prostoru L tak, aby seznam B obsahoval pouze prvky mnoˇziny G .b
Tj. seznam S chceme rozˇs´ıˇrit na b´ azi B. Tj. z koneˇcn´e mnoˇziny gener´ ator˚ u G chceme vybrat b´ azi B. Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
Zvl´ adnut´ a l´ atka po 4. t´ ydnu
6/9
B´ aze: teoretick´ e pˇr´ıklady (pokraˇ c.) 4
Navrhnˇete algoritmus pro nalezen´ı (nˇejak´e) b´aze line´arn´ıho prostoru koneˇcn´e dimense.
Souˇradnice: poˇ cetn´ı pˇr´ıklady 1
Najdˇete souˇradnice vektoru
2 3
v prostoru R2 nad R
vzhledem k uspoˇr´adan´e b´azi 1
2
3
B=( C =( D=(
2 2 , ) 3 1 2 2 , ) 1 3 1 1 , ) 1 2
Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
Zvl´ adnut´ a l´ atka po 4. t´ ydnu
7/9
Souˇradnice: poˇ cetn´ı pˇr´ıklady (pokraˇ c.) V prostoru R≤3 [x] nad R naleznˇete souˇradnice polynomu p(x) = 6x 3 − 7x + 12 vzhledem k b´azi
2
1 2
B = (1, x, x 2 , x 3 ) C = (12, −7x, 15x 2 , 6x 3 )
Jak se zmˇen´ı souˇradnice v b´azi B pro polynom d 2 dx p(x) = 18x − 7? 3 At’ B = (~b1 , ~b2 , ~b3 ) je jak´akoli uspoˇ a b´aze prostoru R r´adan´ v1 nad R. Oznaˇcme coordB (~v ) = v2 . v3 Ukaˇzte, ˇze plat´ı: jestliˇze v1 6= 0, potom je seznam (~v , ~b2 , ~b3 ) opˇet uspoˇr´adan´a b´aze prostoru R3 . Dejte tomuto v´ysledkua geometrickou interpretaci.
3
a
V pln´e obecnosti se tomuto v´ysledku ˇr´ık´ a Exchange Lemma (tak´e: Steinitzova vˇeta o v´ymˇenˇe), viz dalˇs´ı stranu. Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
Zvl´ adnut´ a l´ atka po 4. t´ ydnu
8/9
Exchange Lemma (Steinitzova vˇ eta o v´ ymˇ enˇ e) Dokaˇzte n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı:a At’ B = (~b1 , . . . , ~bn ) je jak´akoli uspoˇr´adan´a b´aze line´arn´ıho prostoru L nad F, n ≥ 1. At’ ~v je libovoln´y vektor z L a at’ B[~v ↔ ~bi ] je seznam vektor˚ u, ~bi za vektor ~v . kter´y se od B liˇs´ı pouze v´ymˇenou vektoru v1 v2 D´ale oznaˇcme coordB (~v ) = . . .. vn Potom pro libovoln´e i = 1, . . . , n plat´ı: jestliˇze vi 6= 0, potom je seznam B[~v ↔ ~bi ] opˇet uspoˇr´adan´a b´aze prostoru L. a
Nev´ıte-li jak: projdˇete si podrobnˇe Lemma 3.2.10 skript.
Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
Zvl´ adnut´ a l´ atka po 4. t´ ydnu
9/9
