1
A. Strategi Pemecahan Masalah Menebak dengan Cerdas dan Mengujinya (Intelligent Guessing and Testing)
Berikut ini disajikan beberapa masalah dan penyelesaiannya menggunakan metode menebak dengan cerdas dan mengujinya. Beberapa masalah dapat pula diselesaikan dengan strategi lain, misalnya aljabar. Akan tetapi akan kita lihat bahwa beberapa masalah jauh lebih mudah jika diiseelesaikan dengan metode menebak dengan cerdas dan mengujinya.
1. Sandi pergi ke peternakan kakeknya. Kakek Sandi beternak ayam dan kambing. Suatu pagi, Sandi berjalan-jalan mengitari kandang ternak dan dia mengetahui bahwa jumlah kepala hewan ternak adalah 26 dan jumlah kaki hewan ternak adalah 68. Ada berapa ekor ayam dan berapa ekor kambing yang dimiliki oleh kakek Sandi?
Penyelesaian: Untuk mempermudah kita dalam mendaftar tebakan, kita buat tabel sebagai berikut: No
Banyak Kambing
Banyak Ayam
Jumlah kepala ternak
Jumlah kaki ternak
Selanjunya dibuat tebakan banyaknya ayam dan kambing sedemikian rupa sehingga jumlah kepala ternak adalah 26 dan julah kaki ternak adalah 68. Dengan menggunakan βmenebak dengan cerdas dan mengujinyaβ, kita tidak asal dalam menebak. Kita perhatikan kondisi dari permasalahan. Yang pertama, diandaikan banyak ayam sama dengan banyak kambing, sehingga diperoleh: No
Banyak Kambing
Banyak Ayam
Jumlah kepala ternak
Jumlah kaki ternak
1.
13
13
26
(13x4)+(13x2) = 78 Terlalu banyak
Dengan tebakan pertama, ternyata jumlah kaki ternak terlalu banyak. Berdasarkan informasi itu, kita turunkan banyak hewan yang memiliki kaki lebih banyak, yaitu kambing, misalnya banyak kambing= 10 ekor dan ayam=16 ekor.
2
No
Banyak Kambing
Banyak Ayam
Jumlah kepala ternak
1.
13
13
26
2.
10
16
26
Jumlah kaki ternak (13x4)+(13x2) = 78 Terlalu banyak (10x4)+(16x2) = 72 Terlalu banyak
Sepertinya sudah semakin mendekati. Kita turunkan lagi banyaknya kambing. No
Banyak Kambing
Banyak Ayam
Jumlah kepala ternak
1.
13
13
26
2.
10
16
26
3.
8
18
26
Jumlah kaki ternak (13x4)+(13x2) = 78 Terlalu banyak (10x4)+(16x2) = 72 Terlalu banyak (8x4)+(18x2) = 68 Tepat.
Ternyata banyaknya kambing adalah 8 ekor dan banyaknya ayam adalah 18 ekor sehingga diperolah jumlah kepala ternak= 26 dan kaki ternak= 68.
Salah satu kunci dalam menyelesaikan permasalahan matematika menggunakan strategi βmenebak cerdas dan mengujinyaβ adalah kita memodifikasi tebakan selanjutnya berdasarkan hasil tebakan sebelumnya. Pada kasus ini, jika tebakan menghasilkan jawaban yang lebih tinggi dari kondisi yang diharapkan, maka kita turunkan banyak hewan yang memiliki kaki lebih banyak. Dan jika tebakan menghasilkan jawaban yang kurang dari kondisi yang diharapkan, maka kita naikkan banyak hewan yang memiliki kaki lebih banyak.
2. Sepotong kawat berukuran 52 cm dipotong menjadi dua bagian. Setiap bagian dibentuk menjadi sebuah persegi. Total luas dari kedua persegi tersebut adalah 97 cm2. Berapa selisih sisi persegi besar dengan persegi kecil?
Penyelesaian: a. Aljabar Sebagian besar siswa, teritama yang telah akrab dengan aljabar akan menyelesaikan permasalahan ini secara aljabar, sebagai berikut: Misal: x : sisi persegi besar y : sisi persegi kecil
3
Sehingga diperoleh bentuk aljabar: π₯ 2 + π¦ 2 = 97 β¦β¦β¦. persamaan 1 4π₯ + 4π¦ = 52 β¦β¦β¦. persamaan 2 Dari persamaan 2, diperoleh π¦ = 13 β π₯ β¦β¦β¦. persamaan 3
Selanjutnya, dengan mensubstitusikan persamaan 3 ke dalam pers. 1, diperoleh π₯ 2 + (13 β π₯)2 = 97 π₯ 2 + 169 β 26π₯ + π₯ 2 = 97 π₯ 2 + 13π₯ + 36 = 0 (π₯ β 9)(π₯ β 4) = 0 π₯ = 9 ππ‘ππ’ π₯ = 4 π¦ = 4 ππ‘ππ’ π¦ = 9
Menggunakan cara aljabar diperoleh bahwa panjang sisi persegi yang besar = 9 cm dan panjang sisi persegi yang kecil = 4 cm dengan selisih 5 cm. Bagaimana jika diselesaikan dengan strategi βmenebak dengan cerdas dan mengujinyaβ? Berikut langkah penyelesaiannya. b. Dengan strategi βmenebak dengan cerdas dan mengujinyaβ Untuk mempermudah mendaftar tebakan, kita gunakan tabel. No
Luas persegi
Luas persegi
Total luas
kecil
besar
kedua persegi
1.
Kita awali tebakan dengan meminimalkan luas persegi kecil, yaitu jika luas persegi kecil adalah 1 cm2. No
Luas persegi kecil
1.
1
2.
4
3.
9
4.
16
Luas persegi besar 96 (bukan kuadrat sempurna) 93 (bukan kuadrat sempurna) 88 (bukan kuadrat sempurna) 81 (kuadrat sempurna)
Total luas kedua persegi 97
97
97
97
4
Diperoleh luas persegi kecil = 16 cm2 dan luas persegi besar = 81 cm2, sehingga sisi kedua persegi, secara berurutan, 9 cm dan 4 cm, selisih 5.
3. Selesaikan system persamaan berikut untuk w, x, y dan z bilangan bulat! π€ + π₯ + π¦ + π§ = 10 π€ 2 + π₯ 2 + π¦ 2 + π§ 2 = 30 π€ 3 + π₯ 3 + π¦ 3 + π§ 3 = 100 π€π₯π¦π§ = 24
Penyelesaian: Siswa yang familiar dengan bentuk aljabar, akan memulai menyelesaikan dengan mennyubstitusikan persamaan ke dalam persamaan yan lain. Hal ini membutuhkan penguasaan aljabar yang baik, ketelitian dan memakan waktu. Bagaimana jika diselesaikan menggunakan strategi βmenebak dengan cerdas dan mengujinyaβ? Berikut ini langkah penyelesaiannya. Kita mulai dari π€π₯π¦π§ = 24. Hasil kali π€π₯π¦π§ adalah 24. Dengan demikian, perhatikan faktor dari 24. Pilih dari factor dari 24 (boleh berulang). Berikut tebakannya: ο§
1,1,4 dan 6, hasil kali 24 tetapi jumlahnya 12.
ο§
1,2,2,6; hasil kali 24, jumlah 11
ο§
1,2,3,4; hasil kali 24, jumlah 10 (benar). Selanjutnya kita cobakan 1,2,3,4 ke dalam dua persamaan yang lain. 12 + 22 + 32 + 42 = 30 (benar) 13 + 23 + 33 + 43 = 100 (benar)
Jadi solusinya adalah 1,2,3,4.
5
4. Jumlah dari lima suku berurutan pada barisan aritmatika adalah 30 dan jumlah dari kuadrat masing-masing suku tersebut adalah 220. Temukan suku terbesar!
Penyelesaian: a. Aljabar Pada umumnya, siswa yang telah familiar dengan aljabar akan menyelesaikannya sebagai berikut: Misal suku pertama adalah x dan selisih antar suku adalah d, maka π₯ + π₯ + π + π₯ + 2π + π₯ + 3π + π₯ + 4π = 10; dan π₯ 2 + (π₯ + π)2 + (π₯ + 2π)2 + (π₯ + 3π)2 + (π₯ + 4π)2 = 220
Selanjutnya kita menyelesaikan persamaan linier satu variable. Dengan cara substitusi, akan kita peroleh nilai untuk siku pertama dan akan mengarahkan kita pada nilai suku terbesar. Akan tetapi hali iini membutuhkan kemampuan yang bagus di bidang aljabar, ketelitian dan memakan waktu. Akan tetapi, anda bisa mencobanya.
b. Menebak dengan cerdas dan mengujinya Untuk menebak, perhatikan terlebih dahulu jumlah kelima suku yang berurutan tersebut, yaitu 30. Kita anggap, andaikan masing-masing suku nilainya sama, maka masing-masing suku adalah
ππ π
= π. Suku yang bernilai 6 adalah suku tengah. Karena, jika 6 merupakan nilai
untuk suku pertama, kedua, keempat atau kelima, maka jumalah kelima suku tersebut akan kurang atau lebih dari 30. Misal kelima suku tersebut adalah: ο§
Suku-suku dengan selisih 1, yaitu 4,5,6,7,8; maka 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30; dan 42 + 52 + 62 + 72 + 82 β 220 (tidak memenuhi)
ο§
Suku-suku dengan selisih 2, yaitu 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 22 + 42 + 62 + 82 + 102 = 220 (benar)
Jadi, suku terbesarnya yaitu 10.
6
5. Suatu tes terdiri dari 80 pertanyaan. Untuk setiap jawaban benar bernilai 4 dan unutk setap jawaban salah benilai (-2). Teguh menjawab semua pertanyaan dan memperoleh skor total 152. Berapa pertanyaan yang Teguh jawab dengan benar?
Penyelesaian: Untuk tebakan pertama, diasumsikan bahwa banyaknya soal yang Teguh jawab dengan benar sama dengan banyaknya soal yang ia jawab dengan salah,sehingga: No
Soal yang dijawab dengan benar
Soal yang dijawab dengan salah
Total skor
1.
40
40
(40x4)+(40x(-2)) = 72 (terlalu sedikit)
Karena total skor yang diperoleh kurang dari 152, maka kita harus membuat tebakan dengan meningkatkan banyaknya soal yang dijawab dengan benar (skor 4) dan mengurangi banyak soal yang dijawab dengan salah (skor (-2)). Dengan kata lain: β βπ + π Dapat kita tuliskan sebagai berikut: β βπ + π = π β¦β¦β¦.. (i)
Dari hasil tebakan pertama, skor total 72, dan dengan memperhatikan (i), kita peroleh ππ π
= ππ β¦.. (ii)
Berdasarkan hasil yang diperoleh pada (ii), kita menambah banyak soal yang dijawab dengan
benar dan mengurangi banyak soal yang dijawab dengan salah sebanyak 12. No
Soal yang dijawab dengan benar
Soal yang dijawab dengan salah
1.
40
40
2.
40+12=52
40-12=28
Total skor (40x4)+(40x(-2)) = 72 (terlalu sedikit) (52x4)+(28x(-2)) = 152 (benar)
Jadi, banyaknya soal yang Teguh jawab dengan benar adalah 52.
7
Daftar Rujukan: Anonymous. Guess and Check. www.teachervision.fen.com\math\problemsolving\48896.html?guess and check, (online) (diakses pada 15 Desember 2012). Anonymous. Problem Solving Strategies. www.nzmaths.co.nz_problem-solving strategies_parent_node=, (online) (diakses pada 15 Desember 2012). Posamentier, Alfred S dan Stephen Krulik. 1998. Problem Solving Strategies for Efficient and Elegant Solutions a Resource for the Mathematics Teacher. California:Corwin Press, Inc. Smart Guess and Check. www.myviplearning.com. (online) (diakses pada 15 Desember 2012).
