A NEMEUKLIDESZI GEOMETRIA TÖRTÉNETE

ROBERTO BONOLA

A NEMEUKLIDESZI GEOMETRIA TÖRTÉNETE

Fordította és magyarázatokkal, jegyzetekkel kiegészítette dr. HACK FRIGYES, Ph.D. matematikatanár A fordítás az alábbi kiadás alapján készült Roberto Bonola: La geometria non-euclidea /Zanichelli, Bologna, 1906/ A fordítást szakmailag ellenőrizte Prof. Dr. Bezdek Károly, tanszékvezető egyetemi tanár

TARTALOM A szerző előszava A magyar kiadásról I. FEJEZET: AZ 5. POSZTULÁTUM BIZONYÍTÓI 1-5.§ A görög geométerek próbálkozásai 6. § Az arabok és az 5. posztulátum 7-10.§ A párhuzamosok a reneszánszban és XVII. században II. FEJEZET: A NEMEUKLIDESZI GEOMETRIA ELŐFUTÁRAI 11-17.§ Gerolamo Saccheri (1667-1733) 18-22.§ Johann Heinrich Lambert (1728-1777) 23-26.§ A XVIII. század végének francia geométerei 27-28.§ Adrien Marie Legendre (1752-1833) 29.§ Bolyai Farkas (1775-1856) 30.§ Friedrich Ludwig Wachter (1792-1817) III. FEJEZET: A NEMEUKLIDESZI GEOMETRIA MEGALAPOZÓI 31-34.§ Karl Friedrich Gauss (1777-1855) 35.§ Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859) 36-38.§ Franz Adolf Taurinus (1794-1874) IV. FEJEZET: A NEMEUKLIDESZI GEOMETRIA MEGALKOTÓI 39-45.§ Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij (1793-1856) 46-55.§ Bolyai János (1802-1860) 56-58.§ Az abszolút trigonometria 59.§ Az euklideszivel ekvivalens posztulátumok 60-65.§ A nemeuklideszi geometria elterjedése V. FEJEZET: A NEMEUKLIDESZI GEOMETRIA TOVÁBBFEJLESZTÉSE 66.§ Bevezetés Differenciál-geometriai megközelítés 67-69.§ A felületek geometriája 70-76.§ A Riemann-féle síkgeometria 77.§ A tér Riemann-féle geometriája 78.§ Helmholtz munkája és Lie vizsgálatai Projektív geometriai megalapozás 79-83.§ A metrikus és a projektív geometria kapcsolata 84-91.§ A Bolyai-Lobacsevszkij geometria sík-modelljei 92.§ A Riemann geometria térbeli modellje 93.§ A geometria megalapozása a transzformációk tulajdonságaival 94.§ Az euklideszi posztulátum bizonyíthatatlanságáról FÜGGELÉK A MAGYAR KIADÁSHOZ I. Eukleidész és előfutárai II. A XX. századi kutatások NÉVMUTATÓ

2

A SZERZŐ ELŐSZAVA A nemeuklideszi geometria kezdeteiről és fejlődéséről, a különböző tudományok történetikritikai elemzéséről szóló irodalom iránt tapasztalható érdeklődés késztettek, hogy kiegészítsem egy hat évvel korábbi tanulmányomnak - Sulla teoria delle parallele e sulle geometrie non-euclidee - első részét, mely az Enriques professzor szerkesztette Questioni riguardanti la geometria elementare c. antológiában jelent meg (Bologna, Zanichelli, 1900). Abban a cikkben -, melyet már a német fordításhoz is teljesen átírtam -, főként a geometriai rendszer felépítésére koncentráltam. Most ezzel ellentétben a párhuzamossági axióma vizsgálatának története és a Lobacsevszkij-Bolyai, valamint a Riemann geometria került a középpontba. Az I. fejezetben röviden átfutok az Elemek idevágó részén, az V. posztulátum legrégibb antik bírálatain rámutatva arra, hogy a görög, az arab és az európai reneszánsz geométerek hogyan akarták stabilizálni Eukleidész rendszerét. A II. fejezetben főleg Saccheri, Lambert és Legendre munkáján mutatom be, hogyan próbálták az antik ötleteket új elvekkel helyettesítve tökéletesíteni a geometriát a XIX. század kezdetéig. A III. és a IV. fejezetekben, áttekintve Gauss, Schweikart, Taurinus vizsgálatait, valamint Lobacsevszkij és Bolyai alkotó munkáját, kifejtem az első, Eukleidész 5. posztulátumától független geometriai rendszer elveit. Az V. fejezetben összefoglalom a nemeuklideszi geometriának további - Riemann és Helmholtz strukturális- és Cayley modell-vizsgálataira támaszkodó - fejlődését. A könyv egészében arra törekedtem, hogy a különböző probléma-felvetéseket történeti sorrendben közvetítsem. Ezért amikor ez a sorrend a téma egyszerű kifejtését megnehezítette, nem haboztam és ragaszkodtam a könyvben alkalmazott alapelv megtartásához.(1) Ez hát e könyv rövid ismertetése. Mielőtt e csekély munkámat az olvasó megtisztelő figyelmébe ajánlom, szívélyes köszönetemet kell kifejeznem nagyra becsült tanáromnak, Federico Enriques professzornak értékes tanácsaiért és a kritikai észrevételeiért, amelyekkel nagy segítségemre volt az anyag rendszerezésében; továbbá Corrado Segre professzornak, aki volt szíves a nemeuklideszi geometriáról a Torinói Egyetemen tartott, hat szemesztert átfogó előadásának kéziratát rendelkezésemre bocsátani; ugyancsak köszönet illeti barátomat, Giovanni Vailati professzort, aki értékes felvilágosításokkal látott el a görög geometria területéről és segített a bizonyítások pontosításában. Végül őszintén köszönöm, hogy kiadóm, Cesare Zanichelli, könyvemet sorozatába a tudományos munkák közé felvette. Pávia, 1906. március. Roberto Bonola

1

A szerző - a történeti ismertetéstől elválasztva - közöl még két tanulmányt. A NOTA I. a geometriai axiómarendszer és a statika kapcsolatát elemző, Genocchitól származó gondolatot ismerteti. A NOTA II. Clifford és Klein elméleti vizsgálatait mutatja be a párhuzamosokról, a felületekről és a felületi görbékről. A Kiadóval egyeztetve úgy gondoltam, hogy ezeknek, - a specialistákat érdeklő és a magyar kiadás megjelenésekor már más művekben is olvasható -, közlése nem célszerű. Pl. a statisztikai geometriáról teljesebb és modernebb leírást találhat az érdeklődő olvasó I.M. Jaglom: Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria (Gondolat,1985) munkájában, melyben az Einsten által is nagyra értékelt, s Bonola életében még nem publikus Minkowski-féle téridő geometriáról is szerezhet ismereteket. (H.F.) 3

A MAGYAR KIADÁSRÓL Bonola könyve egy dilemma története, de maga mű is történelmi ereklyének számít. Annak ellenére az, hogy tartalma, szerkezete ma is aktuális. Egy olyan korszak végén jelent meg, amelynek még nem múlt el a meglepődése a kolumbusz-tojás titkának megfejtése felett. Meg kell azonban vallani, hogy igazán azóta sem ébredtünk fel. Ha ugyanis megnézzük az európai és a belőle sarjadt kultúrák iskoláinak tananyagát, az itt leírtakból szinte semmit sem találunk benne. A XXI. század embere tehát még mindig úgy hagyja el az iskola padjait, hogy „csak” Eukleidész geometriáját ismeri. Olyan ez, mintha Galilei, Kepler munkája helyett „csak” Ptolemaiosz geocentrikus világképét ismertetnénk a felnövekvő nemzedékkel. Mintha Newton, Einstein felfedezéseiről, a világról szerzett legfrissebb ismeretekről hallgatnánk a katedrán. A XX. század középső harmadában még intenzív volt a magyar egyetemeken a geometria - a geometriák - oktatása. Ma azonban tanári diplomát lehet úgy szerezni, hogy birtokosa szinte „csak” azt tudja, amit majd tanítania kell. Ezért mondhatjuk, hogy a Bonola által „elmesélt” történet ma is aktuális. De nemcsak aktuális, hanem kanonikus is: mindent felölel, amit a matematikai térfogalom kialakításának, kialakulásának folyamatában a XIX. század végéig történtekről tudni lehet, tudni kell. Ami azután történt, azt a szerző már nem élhette meg, de tőle tudjuk, hogy mindennek Bolyai és Lobacsevszkij „forradalmi tette” volt a kezdete. A magyar változat ezen aktualitáson túlmenően is indokolt, kiadásának időzítését egészen pontosan meg tudjuk magyarázni: Bolyai János, az „ujj más világ” egyik megteremtője 1802ben, 200 éve született. Róla, munkájáról, a felfedezés körülményeiről, fogadtatásáról, el-, illetve el nem ismeréséről sokat írtak. A kommentárok természetesen kitértek mások tevékenységére, hogy Bolyai szerepét kölcsönhatásaiban mutathassák meg. Bonola munkája más. Ő az egész folyamatot tárja elénk, a „küzdelmet”, a titánok prométeuszi harcát az igazság tüzének megszerzéséért, de mint értő krónikás az ütközet leírása mellett az egyéni érdemeket is pontosan rögzíti. Hogy mennyire illik a szerzőre az értő krónikás jelző, az kiderül azokból az utalásokból, melyek saját munkáit jelölik meg forrásként. Ezen kívül ismerjük több olyan tanulmányát, mely a XIX. századvég olasz geometriai iskolájának értékes termése, s ezek többsége a nemeuklideszi geometria témakörébe tartozik. Felsorolásuk helyett egyetlen adalék: Roberto Bonola, a pádovai Scuola Normale tanára, mint a nemeuklideszi geometria nemzetközi hírű művelője, a kolozsvári m. kir. Tudományegyetem Matematikai és Természettudományi Karának felkérésére az 1902-es évkönyvben Johannis Bolyai in memoriam… címmel tanulmányt írt és ebben az Appendix addig megjelent fordításainak bibliográfiáját is közölte. Jelen könyvének értékét a nemzetközi fogadtatás, a fordítások megjelenése is mutatja: Első kiadás: 1906. - Bologna. Német fordítás: 1908. - Lipcse-Berlin. / 1919. - uo. (Liebmann átdolgozása) Angol fordítás: 1911. - Sydney / 1912. - Chicago / 1955. - New York. ------------A magyar olvasót az átültetés mellett néhány fordítói-kommentátori jegyzet beiktatásával szándékoztam segíteni. Ezeket - nem akarván a szerző számokkal jelzett lábjegyzeteit megzavarni - a fejezetek végén helyeztem el, jelzésükre betűket használva. (Néhány esetben indokolt volt eltérnem ettől.) Illett volna az idegen nyelvű utalásokat, hivatkozásokat

4

helyenként magyar nyelvű forrásokkal felcserélni, kiegészíteni. Ehelyett a könyv végén megadott munkákra hívom fel az érdeklődők figyelmét, olyanokra, melyek véleményem szerint a matematikai térfogalom kialakításához megadják a szükséges tájékoztatást. A kötet végére ugyancsak az érdeklődő olvasók eligazítása kedvéért került a Függelék két fejezete. Az elsőt azért gondolom hasznosnak, mert Bonola élt, élhetett azzal a feltételezéssel, hogy a kortársai tisztában vannak görög tudomány legfontosabb eredményeivel és Eukleidész munkáival, no meg magával Eukleidésszel, - ami a jelenkori hazai viszonyokra nem jellemző. A második részben a térfogalom matematikai elméletének a XX. századi kifejtéséről és az ősi probléma megnyugtató lezárásáról kap az olvasó rövid összefoglalást. Bizonyos pontokon a Szerző bizonytalan néhány, akkoriban „modern”, ma már - legalábbis a szakmabelieknek - mindennapos, triviális fogalom kérdésében. Ez azonban semmit nem von le a mű értékéből, sőt ez hozza közel a témát, annak minden részletét az érdeklődő laikushoz. Igaz, telis-tele van matematikával, annak is a „rázósabb” részével: főként a strébereket érdeklő geometriával. De hát a matek is „ehető”! Legfeljebb nem olyan könnyen emészthető, mint mondjuk a ... - de inkább ne mondjunk semmit. A világot megismerni akaró, önmagát értelmesnek tartó ember számára azonban az akadály kihívást és nem áttörhetetlen korlátot jelent. Nem könnyű tehát, mert nem banális az elbeszélt történet. Az igazi tudásra vágyó embernek azonban csak olyan dolgokkal szabad foglalkozni, amihez némi szellemi erőfeszítés is szükséges. ------------A köszönetnyilvánítások előtt meg kell osztanom az olvasóval egy személyes emléket. Bonola könyvét 50 évvel ezelőtt adta kezembe Kárteszi Ferenc professzor úr, amikor e téma iránti érdeklődésem feltámadt. Először a gimnáziumban szerzett latin tudásom alapján próbáltam a szöveget megérteni. Mivel ez csak módjával sikerült, a jobb hatásfok biztosítására beiratkoztam a szomszédos Olasz Kultúrintézet (Istituto Italiano di Cultura per Unghería) nyelvtanfolyamára. Az ott szerzett nyelvtudást igazán csak az olasz geometriai iskola termésének learatására használtam, a dalok, operák szövegének értése, kapiskálása csupán kellemes ráadás, ajándék volt. Sajnálom, hogy nem tudtam már korábban a köznek hasznára lenni ennek az igazán értékes tanulmánynak a közvetítésével. Ami késett, ezúttal sem múlt el. A fordítás elkészült, s most az Olvasó a kiadásra váró könyv előképét látja ebben az elektronikus változatban a Magyar Elektronikus Könyvtár gyűjteményében. Nem a kötelesség, de az igaz barátság szavaival köszönöm meg Bezdek Károly professzornak azt a segítséget, melyet a szöveg átnézésével nyújtott. Az olvasónak - diákoknak, tanároknak vagy a matematika bármilyen elkötelezett szerelmesének - kegyes jóindulatába ajánlom ezt a valóban hasznos, a világról alkotott képünket tökéletesítő olvasmányt. Budapesten, 2002. márciusában. Hack Frigyes

5

I. FEJEZET AZ 5. POSZTULÁTUM BIZONYÍTÓI A görög geométerek és a párhuzamosság 1.§ Eukleidész (kb. i.e. 330-275) az Elemek(2) (Στοιχεîα) I. Könyvében definiálja az egyenesek párhuzamosságát (I. 23. definíció) . Két egyenest párhuzamosnak nevez, ha azok egy síkban fekszenek és mindkét irányban meghosszabbítva nem metszik egymást.(a) E definíciót használva bizonyítja be, hogy két egyenes párhuzamos akkor, ha egy harmadik metszővel egyenlő váltószögeket alkot (I.27. tétel), de akkor is, ha a metszőnek ugyanazon az oldalán a megfelelő szögek egyenlők vagy a két belső szög összege két derékszög (I.28. tétel). Ennek a tételnek a megfordítását mondja ki az I. könyvben az 5. posztulátum: Ha egy egyenes úgy metsz két egyenest, hogy az egyik oldalán keletkező belső szögek összege kisebb két derékszögnél, akkor e két egyenes a metszőnek ezen oldalán meghosszabbítva metszi egymást.(b) A párhuzamosok euklideszi elmélete az első könyv néhány tételében válik teljessé: I.30. tétel: Ugyanazzal az egyenessel párhuzamosak egymással is párhuzamosak. I.31. tétel: Egy adott egyenessel egy külső ponton át (csak egy) párhuzamos húzható.(c) I.33. tétel: Két párhuzamos és egyenlő szakasz végeit összekötő szakaszok is párhuzamosok és egyenlők. Ebből az utóbbi tételből levezethető, hogy a párhuzamosok ekvidistáns - egyenközű vonalak.(d) A párhuzamosok euklideszi elméletének következményei közül a legismertebb a háromszögek szögeinek összegére vonatkozó tétel és a hasonló idomok tulajdonságai.(e) 2.§ Már Eukleidész első kommentátorainak feltűnt, hogy az 5. posztulátum nem magától értetődő, nem olyan, amit bizonyítás nélkül el lehetne fogadni, s ezért megkísérelték levezetni. Feltevésüket igazolandó próbálkoztak azzal is, hogy a párhuzamosok euklideszi definícióját más fogalmazásokkal - gyakran az ellenkezőjével - való helyettesítsék. Ám ezek az alternatív definíciók és axiómák nem vezettek ellentmondáshoz. Proklosz (i.sz. 410 - 485) a Megjegyzések Eukleidész első könyvéhez(3) c. munkájában értékes tudománytörténeti adalékkal szolgál ezekről az első próbálkozásokról. Például megemlíti Poszeidoniosz (i.e. I. sz.) javaslatát, hogy nevezzük párhuzamosnak a két egysíkú és egymástól egyenlő távolságban haladó egyenest. Ez a definíció és az euklideszi nincsenek ugyan ellentmondásban, de külön kell őket választani és ehhez Proklosz (177. old.) - utalva Geminusz 2

Az Eukleidész Elemek-re való utalásoknál J.L.Heiberg által szerkesztett kritikai kiadást használjuk (Lipcse, Teubner, 1883). [Bonola lábjegyzete.] - [Az átültetésben a Gondolat kiadónál 1983-ban Mayer Gyula fordításában megjelent magyar kiadás számozási koncepcióját alkalmazom. - H.F.]

3

A Proklosz hivatkozásoknál a G. Friedlein gondozásában megjelent: Procli Diadochi in primum Euclidis elementorum commentari (Lipcse, Teubner, 1873) - kiadásra hivatkozunk. 6

(i.e. I. sz.) egy munkájára -, megemlíti a hiperbolát és a konhoiszt. Ezek az asszimptotájukkal Eukleidész szerint párhuzamosak - sohasem metszik azt - de Poszeidoniosz felfogása szerint nem azok - közelednek hozzá. Proklosz megítélése szerint ez a Geminusz által kiemelt tény az egész geometriában a legnagyobb paradoxon (παραδοξóτατον). Mielőtt Eukleidész és Poszeidoniosz párhuzamosait összevetnénk, be kell látni, hogy ha két egysíkú egyenes nem találkozik, akkor egymástól való távolságuk állandó; vagy ami ugyanezt jelenti, hogy azoknak a pontoknak a mértani helye, melyek egy egyenestől egyenlő távolságra vannak szintén egyenes.(f) Ehhez a bizonyításhoz Eukleidész a saját definícióját használja (I.33. tétel). Proklosz a véleményének nyomatékosításához megjegyzi (364. old.), hogy a tétel egyik megfordítását - a háromszög két szögének összege mindig kisebb két derékszögnél Eukleidész bizonyítja (I. 17. tétel), ennek ellenére tartózkodik attól, hogy ezt az axiómákhoz sorolja. Lehetetlennek tartja ugyanis, hogy egy bebizonyítható tételnek az ellenkezője is bizonyítható legyen. Ugyanakkor rámutat, hogy az asszimptotikus egyenesek (elvi) lehetőségét nem célszerű elvetni, de a magától értetődő fogalmakat óvatosan kell kezelni (191-2. old.)

A

C

, α

α

F

, β β G

B

D

1. ábra Proklosz említi még (362-5. old.), hogy Ptolemaiosz(g) (i.sz. II. sz.) megkísérli a kérdést lezárni a következő érdekes gondolatsorral. Legyen AB, CD két párhuzamos egyenes és FG egy őket metsző harmadik (1. ábra). Legyenek α, β az FG-től balra és α´, β´ a jobbra lévő belső szögek. Ekkor az α+β és az α´+β´ összegek egyszerre lesznek nagyobbak, egyenlők vagy kisebbek két derékszögnél. Ha az egyik eset (pl. α+β >2R) igaz a belső szögekre, akkor ez minden párhuzamosnál így lesz. Esetünkben FB és GD párhuzamos, ugyanígy FA és GC is az.(h) Amennyiben α+β >2R, akkor α´+β´ >2R, tehát α+β + α´+β´ > 4R, ami nyilván lehetetlen. Ugyanígy látható be, hogy α+β nem lehet kisebb két derékszögnél. Ezért a harmadik lehetőség, az egyenlőség maradt: α+β = 2R. (Proklosz, 365. old.) Ebből az eredményből Eukleidész 5. posztulátuma könnyen adódik.

7

3.§ Proklosz - Ptolemaiosz okoskodásának bírálata után - más úton próbál maga is ugyanerre az eredményre jutni (371. old.). Bizonyítása a következő, általa magától értetődő feltételezésen alapszik:(i) Két metsző egyenes pontjai közötti távolság akármilyen nagy lehet, ha az egyeneseket kellően meghosszabbítjuk.(4) Ebből a feltételből vezeti le ezt a lemmát: Egy egyenes, mely két párhuzamos egyikét metszi, szükségképpen metszi a másikat is. A lemmára adott bizonyítása a következő: Legyen AB, CD két párhuzamos és EG az AB-t az F pontban metsző (2. ábra). E F

A

B G D

C 2. ábra

Az FG félegyenes egy változó pontjának a AB egyenestől való távolsága korlátlanul növekszik, midőn a pont az F-től minden határon túl távolodik. Mivel a két párhuzamos között a távolság véges, az EG egyenesnek találkoznia kell a CD egyenessel. Proklosz tehát bevezette és felhasználta azt a hipotézist, hogy a párhuzamosok közötti távolság véges marad; ebből a feltevésből a Eukleidész 5. posztulátumát le lehet vezetni . 4.§ Azt, hogy a görögök körében vitatéma volt Eukleidész 5. posztulátuma mutatja az a paradoxon, melyet ugyancsak Proklosz említ (369. old). Néhányan Prokloszhoz hasonlóan megpróbálták igazolni, hogy két egyenes, melyet egy harmadik metsz sohasem találkozik azon az oldalon, ahol a belső szögek összege kisebb két derékszögnél.

A

E

F

K

H

C G

L 3. ábra

Legyen AC egyenes az, amelyik metszi az AB és CD egyeneseket, és legyen E az AC felezőpontja.

4

E magától értetődő feltevés a helyességének igazolására Proklosz hivatkozik Arisztotelész De Coeli c. művére. A tétel szigorú bizonyítását a később idézett Saccherinél (13.§) találjuk meg. 8

Vegyünk fel az AC szelőnek azon az oldalán, ahol a belső szögek összege kisebb két derékszögnél az AB-n egy AF és a CD-n egy CG szakaszt, melyek AE-vel egyenlők. Az AB és a CD egyenesek nem találkozhatnak az AF és a CG szakaszokon belül, mivel egy háromszögben minden oldalnak kisebbnek kell lennie a másik kettő összegénél. Kössük össze az F és a G pontot és az előbbi eljárást ismételjük meg: legyen e szakasz középpontja H, mérjük fel az FG szakasz felével egyező FK és a GL szakaszokat az AB illetve a CD egyenesekre. Ezek nem találkozhatnak az F,K és a G,K pontok között. Mivel e művelet vég nélkül folytatható, következésképpen AB és CD sohasem találkoznak. A gondolatmenetben a hibát a végtelen helytelen értelmezése okozza, mivel az AF, FK,… szakaszok hossza nullához tarthat úgy is, hogy az összegük véges marad. Ennek a paradoxonnak a szerzője ugyanúgy az okoskodik, mint Zénon (i.e. 495-435), amikor bebizonyítja, hogy Akhilleusz nem érheti utol a teknősbékát, noha kétszer gyorsabban fut annál. Mint arra Proklosz - más formában ugyan, de - rámutat (369-70. old.), ez az okoskodás csak azt igazolja, hogy a találkozási pontot ezzel az eljárással nem lehet megtalálni (meghatározni: δριζειν), de nem bizonyítja, hogy az nem létezik. Proklosz később megjegyzi, hogy „mivel egy háromszögben két szög összege kisebb két derékszögnél (Elemek I. 17. tétel), léteznek olyan egyenes párok, melyek a szelőnek azon az oldalán találkoznak, ahol a belső szögek összege kisebb két derékszögnél. Eszerint ha valaki azt állítja, hogy sohasem találkoznak, ha egy tetszőleges mértékben kisebb a szögösszeg két derékszögnél, azt válaszolhatjuk, hogy van olyan nagyobb eltérés, amikor találkoznak.” „De ha létezik is bizonyos egyenes pároknak metszéspontja az őket metszőnek azon az oldalán, ahol a belső szögek összege kisebb két derékszögnél, még meg kell mutatni, hogy ez a helyzet áll fenn minden egyenes pár esetén. Ezért ha valaki megfigyeli, hogy egy bizonyos defektusnál (a két derékszögből való hiánynál) nem metszik egymást az egyenesek, akkor még metszhetik egymást minden ennél nagyobb defektusnál.” (371.old.) Ennek következménye, hogy a kérdésre, melyet Proklosz itt sugall, csak úgy lehet válaszolni, ha az AC tranzverzális (3. ábra) helyzetét rögzítjük, miközben az egyeneseket az A illetve B pontok körül forgatjuk, hogy a két belső szög összegének a két derékszögtől való eltérése változzon.(j) 5.§ Az 5. posztulátum további nagyon régi görög bizonyítási kísérletét reprodukálja az arab kommentátor Al-Narizi(5) (i.sz. IX.sz.), akinek munkáját Gherardo da Cremona(6) (XII.sz.) ültette át latinra. Az arab mű forrását a görög Aganisznak(7) tulajdonítják. E kommentár egy része foglalkozik a definíciókkal, posztulátumokkal és axiómákkal és sokat hivatkozik egy bizonyos Sambeliciusra, akit könnyen lehet azonosítani Simplicius-szal, Arisztotelész VI. században élt ismert kommentátorával. Ez a Simplicius írt egy Bevezetést Eukleidész Első Könyvéhez, amelyben Geminusz és Poszidoniusz gondolatához hasonlóan azt

5

R.O. Besthorn és J.L. Heiberg, „Codex Leidensis” 399. 1. Euclidis Elementa ex interpretáctione AlHadschdschadsch cum commentariis Al-Narizi, (Koppenhága, F.Hegel, 1893-97).

6

M. Curtze, „Anaritii in decem libros priores elementorum Euclidis Commentarii. ” Ex interpretatione Gherardi Cremonensis in Codice Cracovensi 569 servata, (Lipcse, Teubner, 1899).

7

Aganisszal kapcsolatban meg kell említeni, hogy Geminusszal azonosítja Curtze és Heiberg. Ennek mond ellent Tannery „Le philosophe Aganis est-il identique á Geminus?” - Bibliotheca Math. (3) II. p. 9-11[1901]. 9

fejti ki, hogy az 5. posztulátum nem magától értetődő és bemutatja Aganisznak - barátjának a bizonyítását. Ez a bizonyítás arra feltevésre támaszkodik, hogy léteznek egyenlőközű egyenesek. Ezeket nevezi Aganisz párhuzamosoknak, ahogy azt Poszidoniusz is tette. Ebből a feltevésből levezette, hogy - két párhuzamos között a kettőjük közös merőlegese a legrövidebb összekötő; - két egyenes, melyek merőlegesek egy harmadikra, egymással párhuzamosok; - ha két párhuzamost egy harmadik metsz, akkor ennek az egyik oldalán keletkező belső szögek összege két derékszög; - és megfordítva: ha a belső szögek kiegészítő szögek, akkor a két egyenes párhuzamos. A tételek olyan egyszerűen bizonyíthatók, hogy felesleges idézni Aganisz gondolatmenetét. Megjegyezvén, hogy az Elemek I.30. és I.33. tételei ezekből levezethetők, inkább azt mutatjuk meg, hogyan szerkeszti meg Aganisz két, nem egyenközű egyenes metszéspontját. Legyen AB, GD két egyenes, melyeket az EZ tranzverzális úgy metsz, hogy az AEZ és az EZD belső szögek összege kisebb két derékszögnél (4. ábra). Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy az AEZ szög derékszög. Vegyük fel a ZD egyenesen egy tetszőleges T pontot. Ebből a pontból húzzuk a TL merőlegest a ZE egyenesre. Jelöljük ki az EZ felezőpontját: P, majd a PZ szakaszét: M, majd az MZ szakaszét stb.… addig, menjünk, amíg az újabb felezőpont az LZ szakaszba nem esik. Tegyük fel, hogy ez a pont az M. Állítsuk az EZ-re az MN merőlegest, mely metszi a ZD egyenest egy N pontban. Végül mérjük fel ZD egyenesre a ZN szakaszt annyiszor, ahányszor a ZE szakaszra ZM felmérhető. Az így kapott pont: C. (A 4. ábra a ZC = 4⋅ZN esetet mutatja.) Az így kapott C pont lesz az AB és GD egyenesek metszéspontja. F

C A

D S

T

R

H

N E B

P

L

M

Z G

4. ábra

Látnunk kell azonban, hogy ez a bizonyítás feltételezi, hogy a ZD egyenesre egymásután felmért egyenlő ZN, NS,… szakaszoknak a ZE egyenesre való vetületei is egyenlők. Most ezzel a kérdéssel nem foglalkozunk, de később vissza kell térünk rá (l.: 6.§). Az általános gondolatmenet Aganisz ábrájából közvetlenül kiolvasható. Ki kell emelnünk azonban e szerkesztés jellemzőjét: hallgatólagosan felhasználja az arkhimédeszi axiómát, (k) ami szükséges ahhoz, hogy létezzen az LZ szakasznak az ismételt felosztásaként olyan MZ szakasz, mely kisebb az LZ -nél és amelynek többszöröse EZ. 10

Az arabok és a párhuzamossági posztulátum 6.§ Az arabok, akik a görögöket követve átvették a vezető szerepet a matematikai kutatásokban, szintén foglalkoztak az 5. posztulátummal. Néhányan kétkedés nélkül elfogadták tanítóik felfogását és a bizonyításait. Egyikük volt az az Al-Narizi (IX.sz.), akinek az I. Könyv definícióiról, posztulátumairól és axiómáiról szóló Simplicius „Elemek” című bevezetése nyomán irt - kommentárjait az imént már említettük. Mások a saját érveiket is hozzátették a kérdéshez. Például Naszíraddín(l) (1201-1274), miközben az 5. posztulátumra adott bizonyításában ugyanazokat a kritériumokat használja, mint Aganisz, előtérbe helyezve a háromszög szögeinek összegére vonatkozó tételt. Ez, valamint okfejtésének alapossága érdemel figyelmet.(8) A gondolatainak lényege a következő: Ha két egyenes r és s közül csak az első merőleges, a másik pedig nem merőleges a közös AB szelőre, akkor az s egyenesből az r egyenesre bocsátott merőleges kisebb az AB szakasznál ennek azon az oldalán, amelyiken s hegyesszöget zár be az AB szelővel és nagyobb AB-nél azon az oldalon, ahol s tompaszöget zár be AB-vel. Ebből közvetlen adódik, hogy ha AB és A´B´ egyenlők és merőlegesek BB´-re ennek ugyanazon az oldalán, akkor AA´ egyenese is merőleges mind AB, mind A´B´ egyenesekre. Végül pedig azt kapjuk, hogy AA´=BB´; tehát az AA´B´B idom egy olyan négyszög, melynek minden szöge derékszög és szemköztes oldalai egyenlők, azaz téglalap. Ebből Naszíraddín könnyen levezeti, hogy egy háromszög szögösszege két derékszög. A derékszögű háromszögre ez nyilvánvaló, mert ez egy téglalapnak a fele; más háromszög pedig mindig felbontható két derékszögű háromszögre. E bevezetés után röviden megmutathatjuk, hogy az arab geométerek hogyan próbálták bizonyítani az euklideszi posztulátumot (v. ö.: Aganisz). B O

5. ábra M D K

H

L'

O' C

8

M'

K'

H'

L

A

Euclidis elementorum libri XII studii Nassiredini (Róma, 1594). Ezt az arab nyelvű munkát 1657-ben és 1801-ben ismét kiadták, de más nyelvre nem fordították le. 11

Legyen AB, CD két egyenes közül az egyik tetszőleges, a másik viszont merőleges az AC egyenesre (5. ábra). Az AB-n jelöljük ki az AH szakaszt és a H pontból állítsuk a HH´ merőlegest AC-re. Ha a merőleges H´ talppontja C-be esik, vagy az A pontból nézve C-n túl, akkor az AB és CD egyeneseknek metszeniük kell egymást. Ha viszont H´ az A és C közé esik, akkor vegyünk fel egy AC-re egy AL=HH´ merőlegest. A fenti gondolatmenet következménye, hogy HL=AH´. Vegyünk fel az AH folytatásában egy HK=AH szakaszt. A K pontból bocsássuk a KK´ merőlegest AC-re. Mivel KK´ > HH´, felvehetünk az előbbin egy L´ pontot úgy, hogy K´L´=H´H és meghúzhatjuk az L´H szakaszt. A kapott K´H´HL´ és a H´ALH négyszögek téglalapok, ezért az L´,H,L pontok egy egyenesen vannak. Ebből következik, hogy az L´HK és AHL szögek megegyeznek, tehát az AHL és HL´K háromszögek egybevágóak. Ezért L´H=HL, valamint a derékszögű háromszögek tulajdonságaiból következően K´H´=H´A. A HK folytatásaként hasonlóan vegyünk fel egy MK=HK szakaszt és ennek M végpontjából húzzuk meg AC-re az MM´ merőlegest. Hasonló okoskodással, mint az imént kapjuk, hogy M´K´=K´H´=H´A. Ezt ismételve oda jutunk, hogy az AH´ szakasz valamilyen többszöröse nagyobb lesz mint AC (arkhimédeszi axióma). Például legyen (az ábrán) AO´=4⋅AH´ és ez legyen nagyobb mint AC. Ekkor az AB-n négyszer felmérve AH-t kapjuk az AO=4⋅AH szakaszt és O-ból merőlegeset húzva AC-re az O´ pontot. Az AOO´ derékszögű háromszög belsejébe eső CD egyenes, mely merőleges AO´ befogóra nem metszheti az OO´ befogót, tehát metszenie kell az AO átfogót.(m) Eszerint bizonyítást nyert, hogy két egyenesnek - AB, CD - metszenie kell egymást, ha egyikük merőleges az AC tranzverzálisukra és a másik nem merőleges erre. Más szavakkal: az euklideszi párhuzamossági posztulátum be van bizonyítva arra az esetre, amikor az egyik belső szög derékszög. Naszíraddín ezután - felhasználva a háromszögek szögösszegének tételét - az általános esetre is elvégzi a bizonyítást. Nem mutatjuk be gondolatmenetét, de később (15.§) egy ezzel egyenértékűt fogunk látni egy másik értekezésben.(9)

A párhuzamossági posztulátum a reneszánszban és a XVII. században 7.§ Az Elemeknek a XII. és XIII. századból származó első, arab nyelvű, majd később a XV. században és a XVI. század első felében a görög szövegre támaszkodó kiadásai kemény és kritikus megjegyzéseket tartalmaznak az 5. posztulátumról. Ugyanilyen kritikák tűnnek fel 1550 után a Proklosz féle kommentár elterjedésével.(10) A következőkben vázlatosan ismertetjük a legjelentősebb XVI. és XVII. századi kommentátorokat.

9

Naszíraddín bizonyítása az 5. posztulátumról teljes egészében megtalálható J.Wallis műveinek II. kötetében és G.Castillon egy cikkében, Mém. de l´Acad. roy. de Sciences et Belles-Lettres de Berlin XVIII. p. 175-183 (1788-89). További számos forrás közül főként G.S.Klügel (l.18.§ lábjegyzete), J.Hoffman: Kritik der Parallelentheorie (Jéna,1807) és V.Flauti: Nuova dimostrazione del postulato quinto (Nápoly,1818).

10

Proklosz Kommentár-ja eredeti görög szöveggel először Baselben (1533) jelent meg, később latin fordításban Barozzinál Pádovában (1560). 12

F. Commandino (1509-1575) az euklideszi párhuzamosok definícióját kiegészítette az egyenlő távolságú vonal koncepciójával anélkül, hogy ennek az ötletnek a következményeit átgondolta volna. Végül a Proklosz féle megfigyeléseket és bizonyításokat ismétli meg.(11) C.S. Clavio (1537-1612) Eukleidész művéről készített latin fordításában(12) ismerteti és bírálja Proklosz bizonyítását. Sőt ennél tovább is megy, amikor egy új bizonyítást mutat Eukleidész hipotézisére. Ez a következő tételre támaszkodik: Az egyenestől egyenlő távolságra haladó vonal maga is egyenes.; melyet megkísérel hasonló okoskodással igazolni. Gondolatmenete több ponton megegyezik Naszíraddín levezetésével. P.A. Cataldi (?-1626) az első modern matematikus, aki egy teljes munkát szentel a párhuzamosok elméletének.(13) Cataldi az egyenlőközű és a nem-egyenlőközű egyenesek koncepciójából indul, de az egyenlőközű egyenesek létezésének bizonyításához felhasználja a következő hipotézist: az egyenesek, melyek nem egyenlőközűek, az egyik irányban közelednek, a másikban pedig távolodnak (v. ö.: Naszíraddín).(14) G.A. Borelli (1608-1679) új axiómát konstruál, hogy igazolja a feltevését. Axiómája szerint „ha egy egyenes (szakasz), mely mindig abban a síkban marad, melyben egy másik egyenes fekszik és mozgás közben egyik vége mindig ezen az egyenesen van és merőleges rá, akkor mozgás közben (a másik vége) egyenest ír le”.(n) Ezt követően megmutatja, hogy két egyenes, melyek egy harmadikra merőlegesek, egymástól egyenlő távolságban haladnak és ennek következtében munkájában a párhuzamosokat, mint az egyenközű egyeneseket definiálja. A párhuzamosok elméletét ebből építi fel.(15) 8.§ Giordani Vitale (1633-1711) visszatért a Poszeidoniosz által előhozott egyenlőközű vonalakhoz és felismerte - miként Proklosz is -, hogy mennyire fontosak ahhoz, hogy az euklideszi párhuzamosok asszimptotikus voltának lehetőségét kizárjuk. Ennek előrebocsátása után - az egyenlőközű egyeneseket nevezvén párhuzamosoknak - megkísérli bebizonyítani, hogy egy egyenestől egyenlő távolságra fekvő pontok mértani helye szintén egyenes.(16) Bizonyítása gyakorlatilag a következő lemmára támaszkodik: Ha egy konkáv görbe két - A,C - pontját az AB szakasszal összekötjük és az AC ívnek végtelen sok pontjából merőlegest húzunk bármelyik egyenesre, akkor ezek a merőlegesek nem lehetnek egymással egyenlők Ebben a megfogalmazásban a „bármelyik egyenes” valójában nem a sík tetszőleges egyenese lehet, hanem csak olyan, amelyet a következőképpen konstruálunk (6. ábra). Az AC ív egy B pontjából húzzunk egy BD merőlegest a görbe AC húrjára. Ezután egy AG merőlegest állítunk ugyancsak a húrra. Végül mérjük fel e két merőlegesre az AG=DF szakaszokat. Ezek végpontjait összekötő GF egyenes lesz az, melyre Giordano hivatkozik, amelytől az AB ív pontjai különböző távolságra helyezkednek el. 11

Elementorum libri XV, (Pesaro,1572)

12

Euclidis elementorum libri XV, (Róma,1574).

13

Operetta delle linee rette equidistanti et non equidistanti, (Bologna,1603).

14

Cataldi további érveket fűz a kérdéshez egy későbbi munkájában: Aggiunta all´ operetta delle linee rette equidistanti et non equidistanti, (Bologna,1604).

15

Borelli: Euclides restitutus, (Pisa,1658).

16

Giordano Vitale: Euclides restituto overo gli antichi elementi geometrici ristaurati, e facilitati, Libri XV. (Róma,1680). 13

De amikor be akarja bizonyítani, hogy az egyenes távolságvonala ugyancsak egyenes, akkor az iménti lemmát egy olyan alakzatra alkalmazza, ahol az ABC ív és a GF egyenes között a feltétel nem teljesül. Ezért a következtetései, melyeket az egyenlő távolságú tulajdonságból levezet, nem állják meg a helyüket. Ebből a szempontból megítélve Giordano bizonyítása nem haladja meg az elődök által elért eredményeket. Azonban értekezése további részében egy figyelmet érdemlő elméletet találunk, mely a későbbi fejlődésre komoly hatással volt. Legyen ABCD négyszög, melyben az A,B szögek derékszögek és az AD, BC oldalak egyenlők (7. ábra). Továbbá legyen a DC oldal egy H pontjából húzott HK merőleges a négyszög szemközti AB oldalára. Giordano bebizonyítja: (i) a D,C szögek egyenlők; (ii) ha a HK szakasz egyenlő az ADvel, akkor a D és C szögek derékszögek és CD az AB távolságvonala.

D

H

C

A

K

B

Giordano ennek a tételnek a segítségével a távolságvonal 7. ábra kérdését visszavezeti arra, hogy létezik-e egyetlen H pont a DC egyenesen, melynek távolsága AB-től megegyezik az AD és BC szakaszokkal. Meg kell jegyeznünk, hogy ez egyike a legfontosabb eredményeknek a párhuzamosok korabeli elméletének körében.(17) 9.§ J.Wallis (1616-1703) elhagyja a távolságvonal gondolatát és ott folytatja, ahol a korábbi matematikusok, új bizonyítást ad az 5. posztulátumra a következő axióma felhasználásával: Minden síkidomhoz van hozzá hasonló, tetszőleges méretű idom. Röviden ismertetjük Wallis gondolatmenetét:(18) Legyen a,b két egyenes, melyeket a c szelő az A illetve B pontban metsz (8. ábra). Legyenek a c szelőnek ugyanazon az oldalán a belső szögek α,β, b' b c b b b α+β összege kisebb, mint két derékszög. melyeknek C1 Húzzuk meg A pontban azt a b´ egyenest, mely c-vel ugyanolyan szöget zár be, mint b. Nyilvánvaló, hogy ez a b´ egyenes α kiegészítő szögének belsejében fekszik. Mozogjon a b egyenes a BA szakasz mentén úgy, hogy cvel alkotott β szöge állandó maradjon. Mielőtt a mozgó β α β β β β c egyenes a végső b´ helyzetbe jut, metszenie kell az a B1 A B egyenest. Ekkor olyan AB1C1 háromszöget kapunk, 8. ábra melyben az A-nál illetve B1-nél levő szög α ill. β.

17

Bonola: Un teorema di Giordano Vitale de Bitono sulle rette eqguidistanti, Bollettino di Bibliografia e Strori delle Scienze Mat. (1905).

18

Wallis: De Postulato Quinto; et Definizione Quinta; Lib.6. Euclidis; disceptatio geometrica, az Opera Math. II. (Oxford, 1693). Ebben a kötetben Wallis két előadásának anyaga szerepel, melyet az Oxfordi Egyetemen tartott; az elsőt 1651-ben, a másodikat 1663-ban. Ezekben ismerteti Naszíraddín bizonyítási kísérleteit. Wallis bizonyítását tartalmazó részt Engel és Stäckel németre fordították és közölték Theorie der Parallellinien von Euclid bis auf Gauss c. munkájukban (p.21-36, Leipzif, Teubner, 1895). Erre később is hivatkozunk a Th. der P. rövidítés formájában. 14

Wallis axiómája szerint viszont mindig létezik és ezáltal megszerkeszthető az AB1C1 háromszöghöz hasonló ABC háromszög, melynek AB oldala felel meg az AB1 oldalnak. Ez viszont azt jelenti, hogy az a,b egyeneseknek az így kapott ABC háromszög C pontjában találkozniuk kell. És így tovább... Wallis megpróbálja igazolni az álláspontjának helyességét, s rámutat, hogy maga Eukleidész, amikor posztulálja az adott pont körüli adott sugarú kör létezését (I.3. posztulátum), tulajdonképpen kimondja a körök hasonlóságának elvét. De ami következtetés levonható ebből a véleményből - t. i., hogy az alakzatok hasonlósága a méretüktől független -, olyan hipotézis, ami nem sokkal nyilvánvalóbb, mint Eukleidész 5. posztulátuma. Hozzátesszük, hogy Wallis még a fentinél egyszerűbben is eljut az azonos szögekkel bíró háromszögek létezésének igazolásához, mindössze két ilyen különböző méretű háromszög létezésének feltételezéséből (l.: a 13.§ utolsó lábjegyzetét.) 10.§ Az idézett geométerek munkájának elemzése elegendő ahhoz, hogy lássuk a kérdés fejlődését a XVI-XVII. században, ezért felesleges a többiekének az említése. Néhány munka szerzője például: Oliver of Bury (1604), Luca Valerio (1613), H. Savile (1621), A. Tacquet (1654), A. Arnauld (1667).(19) Néhány szót kell azonban szólni arról, hogy az Elemek különböző kommentátorai hogyan helyezték el az euklideszi hipotézist a geometria rendszerében. Az Elemek latin kiadásában (1482), melyet Campanus (XIII.sz.) az arab nyelvű szöveg alapján készített, ez a hipotézis a posztulátumok között szerepel. Ugyanez mondható el a görög változatból készült latin fordításokra, melyek B. Zamberti (1505), Luca Paciuolo (1509), N. Tartaglia (1543), F. Commandino (1572) és G.A. Borelli (1658) gondozásában jelentek meg. Másrészt viszont az Elemek első nyomtatott görög kiadásában (Basel,1533) a párhuzamossági hipotézis az axiómák között (I.9. axióma) szerepel. Ennek nyomán helyezik az axiómák közé F. Candall (1556), C.S. Clavio (1574), Giordano Vitale (1680) és a leginkább ismert Gregory (1703) Eukleidész munkájának latin kiadásaiban is. Hogy helyesen értékeljük az eltérést a görög kéziratok és az idézett szerzők felfogása között, helyesebb ha elemezzük a „posztulátum” [αιτηµατα] és az „axióma” [αξιωµατα] szavak jelentését.(20) Azonban mindezek előtt meg kell említeni, hogy maga Eukleidész a szövegben az axiómákra mint „közös elképzelés”-re [κοιναι εννοιαι] hivatkozik. Proklosz három különböző metódust alkalmaz az axióma és a posztulátum szavak közötti különbség érzékeltetésére. Az első magyarázatában a probléma és a tétel közötti különbségre utal. A posztulátum olymódon különbözik az axiómától - mondja Proklosz -, mint ahogyan egy probléma különbözik egy tételtől. Eszerint a posztulátum kifejezetten állítja, hogy egy szerkesztés elvégezhető. A második magyarázat szerint a posztulátum egy geometriai témájú állítás, míg az axióma geometriai és aritmetikai tartalmú kijelentést fogalmaz meg. 19

Erről további adatok találhatók Riccardi: Saggio di una bibliografia euclidea. Mem. di Bologna, (5) L. p. 2734 (1890).

20

Erről többet találunk Proklosz idézett művének „Petita et axiomata” c. fejezetében. A Harmadik Matematikai Kongresszuson (Heidelberg, 1904) G. Vailati újból felhívta a hallgatóság figyelmét e görög szavak jelentésének eltéréseire. L.: Intorno al significato della distinzione tra gli assiomi ed i postulati nella geometria greca, Ver. des dritten Math. Kongresses, p. 575-581, (Lipcse, Teubner, 1905). 15

A harmadik fejtegetésben Proklosz, Arisztotelészre (i.e. 384-322) hivatkozik a két szó közötti különbség megmagyarázására. Az axióma és a posztulátum szavak Arisztotelésznél nem fordulnak elő tisztán matematikai értelemben. Nála egy axióma az, ami magától értetődik, vagyis azt jelenti, amit a szó kifejez; egy posztulátum eszerint az, ami nem axióma - az iménti értelemben - hanem olyan, amit elfogadunk bizonyítás nélkül. Tehát ez a szó axióma - amint Arisztotelész az egyik legvilágosabb példára hivatkozik: amikor egyenlőkből egyenlőket veszünk el a maradékok is egyenlők - olyan értelemben használatos Eukleidésznél, mint köztudott dolog; míg a posztulátum szó Arisztotelésznél ettől különbözőt jelent, ahogy az imént kifejtettük.(21) Akárhogyan is döntünk az egyik vagy másik értelmezés elfogadásáról, egy konkrét megállapítást vagy a posztulátumok vagy az axiómák közé, de el kell helyezni. Ha Proklosz első értelmezését fogadjuk el, akkor Eukleidész első három posztulátuma (két pont összekötése egyenessel, egyenes tetszőleges meghosszabbítása, kör rajzolása adott középponttal és sugárral) és csak ezek érdemlik ki ezt a besorolást. A 4. posztulátum (minden derékszög egyenlő) és az 5. posztulátum valójában az axiómák közé sorolandó.(22) Amennyiben viszont a második vagy a harmadik értelmezés mellett döntünk, akkor Eukleidész posztulátumát mindenképpen a posztulátumok közé kell helyeznünk. Ezek után a különböző kéziratokban alkalmazott kétféle besorolás eredete könnyen magyarázható. Nyomatékosítják ezek a magyarázatok a történelem során tapasztalt bizonytalanságot az Eukleidész I. könyvében szereplő posztulátumok, axiómák és definíciók jellemzésében. Szemben az utóbbi kettővel a posztulátumok okozták mindeddig a legtöbb kétséget. Tulajdonképpen az első három posztulátum elegendő lenne az egész rendszer felépítésére.(23) Felmerült az a nézet, hogy a 4. és 5. posztulátum nem is Eukleidésztől származik. Gyanítják, hogy Geminusz és Proklosz voltak a szerzők, és a későbbi geométerek az Elemek szigorú felépítésének megőrzésére bizonyítás nélkül megtartották azokat. Az egyik, ami megerősít bennünket ennek a nézetnek az elfogadásában az az I.29. tételnek a bizonyításában található rövid utalás az 5. posztulátumban megfogalmazott kijelentésre.(o) Valószínűleg ez tette szükségessé, hogy Eukleidész munkájának átdolgozói a párhuzamossági hipotézist átfogalmazzák, s átsorolják. 21

L.: Arisztotelész Analitica Posteriora, I. 10. 8.§. Idézzük azt a hírhedt részt, amelyben a filozófus a posztulátumról szól: Οσα µεν ουν δεικτα οντα λαµβανει αυτοζ µη δειξαζ, ταυτα εαν δοκουντα λαµβανη τω µανθανοντι υποτιθεται. Και εστιν ουξ απλωζ υποθεσιζ αλλα προζ εκεινον. Εαν δε η µηδεµιαζ ενουσηζ δοξηζ η και ενεντιαζ ενουσηζ λαµβανη, το αυτο αιτειται. Και τουτω διαϕερει υποθεσιζ και αιτηµα, εστι γαρ αιτηµα το υπενεντιον του µανθανοντοζ τη δοξη.

22

Megjegyezzük, hogy az 5. posztulátum a következőképpen is megfogalmazható: Megszerkeszthető két egyenes metszéspontja, ha ezeket az egyeneseket egy harmadik úgy metsz, hogy ennek egyik oldalán a belső szögek összege kisebb két derékszögnél. Ílymódon a posztulátum az első háromhoz hasonlóan egy szerkesztés elvégzésének lehetőségét mondja ki. Bár ez a jellemző nem jut kifejezésre a következő megfogalmazásokban: Egy ponton keresztül csak egy párhuzamos húzható egy adott egyeneshez vagy: Ha két egyenes egy harmadikkal párhuzamos, akkor egymással is párhuzamosak - a mondatok ugyanazt jelentik. Eszerint a fenti megkülönböztetés tisztán formálisnak tekinthető. Feltűnhet azonban egy lényeges, bár formális különbség, amit nem szabad figyelmen kívül hagyni. Az 5. posztulátum megengedi, hogy a sík egy adott egyenesének és ugyanezen sík összes egyenesének - egy kivételével - a metszéspontját megszerkesszük. Ezzel szemben az első három posztulátum minden feltétel nélkül mondja ki a szerkeszthetőséget, s ez némi különbséget jelent e három fogalmazás és az 5. posztulátumé között. E megfontolás szerint Eukleidész párhuzamossági hipotézisét a posztulátumok és axiómák egy köztes osztályába kellene sorolnunk.

23

P. Tannery: Sur l´authenticité des axiomes d´Euclide, Bull. de Sc. Math. (2), VIII. p.162-175.(1884). 16

Gregory véleménye szerint az I.27. tétel után lenne a posztulátum helye, mivel annak megfordítását fogalmazza meg. Végezetül meg kell jegyeznünk, hogy miközben a kifejezések értelmezését akarjuk eldönteni, a modern matematikai szemlélet arra hajlik, hogy ne tegyen különbséget a posztulátumok és az axiómák között, amint azt a második és harmadik értelmezés is sugallja. Az általánosan elfogadott nézet az, hogy fogadjunk el hipotézisként olyan alapvető feltételeket, melyek a tapasztalatra támaszkodnak s mivel az adott definíciókból egyszerűen következnek felesleges őket bizonyítani.(p)

A fordító jegyzetei az I. fejezethez: a

A mai felfogásunk szerint ez az Eukleidészi fogalmazás elavult: az egyenesről Eukleidész sokszor mint véges vonal-darabról szól később is. Például a 2. posztulátumban meg is fogalmazza, hogy az egyenes vonal folytatólag meghosszabbítható legyen.

b

Bonola szövegezésében a korának megfelelően kijelentő mondat szerepel. Mayer magyar fordításában a posztulátumok (kikötések) ilyesféle felszólító mondatok: a geometriai objektumok, amikről beszélünk legyenek olyan tulajdonságúak, hogy …! Itt most arról van szó, hogy Eukleidész nem tudta (mert nem is lehet) igazolni az említett tételek megfordítását, ezért kellett a posztulátummal a logikai rendszert teljessé tenni.

c

Az I.31. tétel valójában feladatként tűzi ki a párhuzamos megszerkesztését.

d

Szokásos elnevezése még: távolságvonal. Az euklideszi geometria párhuzamosait tehát két tulajdonság: a nem-metszés (közös pont hiánya) és az állandó távolság jellemzi.

e

Ez utóbbi kevésbé ismert: arról van szó, hogy csak az euklideszi geometriában vannak hasonló idomok. Más rendszerekben, ahol a háromszögek szögösszege nem 2R, a szögösszeg az idom méreteitől függ, tehát a hasonlóság értelmét veszti. Ismert példa erre a gömb.

f

Pontosabban a mértani hely két egyenes az adott egyenes két oldalán. Itt ezek egyikéről van szó,

g

Ptolemaiosz Klaudiosz az i.sz.150 körül Alexandriában alkotó görög, az Almageszt csillagász- geográfusmatematikus szerzője.

h

Itt téved Ptolemaiosz: Bolyai és Lobacsevszkij szerint ugyanis a szelő két oldalán levő párhuzamos félegyeneseknek nem kell egy egyenesbe esni akkor, ha a párhuzamosság szöge < 2R.

i

Az axióma megfogalmazásában ismét tanúi lehetünk a „véges egyenes darab” felfogásának. Ma inkább így fogalmaznánk: két egysíkú metsző közé bármilyen hosszú szakaszt beilleszthetünk.

j

Ha jól megfigyeljük itt a Bolyai féle párhuzamossági szög fogalmának csírájával találkozunk.

k

Arkhimédeszi axiómának vagy posztulátumnak nevezik Eukleidész Elemek c. könyvében szereplő 4. definíció átfogalmazását: két mennyiséghez (a,b) mindig van olyan k egész, hogy k⋅a > b.

l

Teljes nevén Abu Dzsafar Muhammad ibn Muhammad Naszíraddín at-Túszi ismert perzsa csillagász, akinek Halagu mongol kán csillagvizsgálót építtetett Maraghaban. Sok trigonometriai összefüggés felfedezője.

m

Bonola itt nem mutat rá a bizonyítás téves pontjára, erre később kerít alkalmat (l.: 15.§).

n

Az eredeti szöveg egyenesről, ennek két végéről beszél. A fordítói beszúrás a már említett felfogásra utal.

o

Az idézett tétel arról szól, hogy két párhuzamosnak egy harmadikkal való metszésekor egyenlő váltószögek, ill. egymást kiegészítő szögek keletkeznek. A bizonyításban pedig egy mondat arra utal, hogy a két derékszögnél kisebb belső szögek irányában a két egyenes találkozik.

p

Azóta a tudomány nemcsak „hajlik” a különbségek negligálására, hanem végérvényesen elfogadott az a nézet, hogy definíció, posztulátum és axióma egy geometriai rendszer kiinduló hipotéziseinek megfogalmazásában egyenrangúak.

17

II. FEJEZET A NEMEUKLIDESZI GEOMETRIA ELŐFUTÁRAI Gerolamo Saccheri (1667-1733) 11.§ Gerolamo Saccheri a Milánóban (1733) megjelent művének - Euclides ab omni naevo vindicatus: sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universae Geometriae Principis (a) - legnagyobb részét az 5. posztulátum bizonyításának szenteli. Saccheri geometriai módszerének sajátsága már fiatalkori művében - Logica demonstrativa (Torinó, 1697) kimutatható. Ez lényegében annak az Eukleidész által is használt (IX.12.tétel)(b) bizonyítási módszernek az alkalmazása, melynek során feltesszük, hogy amit bizonyítani akarunk hamis és ebből arra a következtetésre jutunk, hogy igaz.(24) E módszert alkalmazva Saccheri elfogadja Eukleidész első huszonhárom feltételét és hozzáveszi az 5. posztulátum tagadását. Ebből vezet le néhány feltételezésre vonatkozóan olyan következtetéseket, melyek igazolják azok helyességét, azaz kikötésük, posztulálásuk jogosságát. Mielőtt Saccheri munkájának elemzésébe mélyednénk meg kell jegyeznünk, hogy Eukleidész az I.16. tétel bizonyításában (a háromszög külső szöge nagyobb, mint a szemközti belső szögek bármelyike) kimondatlanul felhasználja, hogy az egyenes végtelen, ami gyakorlatilag azon a feltételezésen alapszik, hogy mindig létezik olyan szakasz, mely egy adott szakasznak a kétszerese. E feltétel elhagyásának lehetőségéről később szólunk, most megjegyezzük, hogy Saccheri munkájában hallgatólagosan elfogadja ezt és a külső szögek tételét. Végezetül még utalunk arra, hogy a szerző ugyancsak kihasználja az arkhimédeszi posztulátumot és az egyenes folytonosságának hipotézisét,(25) amikor bizonyos feltételek helyességét kiterjeszti egy adott alakzatról minden azonos típusúra.(c) 12.§ A négyszög - mely Saccheri vizsgálatainak középpontjában áll - két derékszöget és ezek mellett két egyenlő oldalt tartalmaz; vagyis e négyszög két szemköztes oldala egyenlő és mindkettő merőleges a négyszög harmadik oldalára, az „alapra” (9. ábra).(d) E négyszög tulajdonságai következnek az egyszerűen bizonyítható 1. lemmából: Ha az ABCD négyszög A-nál és B-nél levő szögei derékszögek, továbbá az AD és BC oldalak egyenlőek, akkor a C-nél és a D-nél levő szögei is egyenlőek [Saccheri I. tételének speciális esete]; de ha az AD és BC oldalak különbözőek, akkor a C és D szögek sem egyenlők és közülük a nagyobb fekszik a kisebb oldalnál és megfordítva.

24

G. Vailati: Di un´ opera dimenticata del P. Gerolamo Saccheri, Rivista Filosofica (1903).

25

Ennek a feltételnek a Saccheri által használt intuitív alakja a következőképpen fogalmazható: egy szakasz, melynek hossza folytonosan változik a-tól és b-ig, eközben minden a és b közötti értéket felvesz. 18

Eukleidész feltételezése szerint az AD=BC esetén e négyszög C és D szögei derékszögek. Ha tehát feltételezzük, hogy mindketten tompa- vagy hegyesszögek lehetnek, implicite tagadjuk az 5. posztulátumot. Saccheri elemezte mindhárom lehetőséget, s így nevezte őket: A derékszögű hipotézis: C∠ = D∠ = R. (Az R a derékszöget - rectus - jelöli.) A tompaszögű hipotézis: C∠ = D∠ > R. A hegyesszögű hipotézis: C∠ = D∠ < R. Az első eredményei közül az egyik fontos megállapítás: Ha elfogadjuk a derékszögű, a tompaszögű vagy a hegyesszögű hipotézist, akkor a megfelelő esetben az AB=CD, az AB>CD illetve ABA∠, az I. lemmából következően AO>DO´. Ezért a teljes idomban AB>CD. D

A

O'

O

C

P

Q

M

N

D

C

H

K

B B

A 10. ábra

9. ábra

Hasonlóan kapható az ellenkező AB
19

E két egyenlőtlenség azonban ellentmond egymásnak, hiszen az ABCD négyszögben a feltételezésünk szerint teljesül a derékszögű hipotézis, ezért itt AB = CD. Tehát az AHK nem lehet hegyesszög; hasonló gondolatmenettel zárható ki az, hogy az AHK tompaszög, s ebből az következik, hogy az ABKH négyszögben szintén a derékszögű hipotézis teljesül. Vegyünk most föl az AD és a BC szakaszok meghosszabbításán egy-egy M ill. N pontot az AB alaptól egyenlő távolságra. Azt kell belátnunk, hogy ekkor is a derékszögű hipotézis fog érvényesülni az új, az ABNM négyszögben. Ha az AM szakasz egész számú többszöröse ADnek, akkor ez nyilvánvaló. Ha viszont nem ilyen az új négyszög oldala, akkor vegyük föl [az arkhimédeszi posztulátum alkalmazásával] azt az AP szakaszt, mely többszöröse AD-nek és nagyobb, mint AM. Hasonlóan kapjuk a négyszög szemköztes szárán a BQ szakaszt, mely BCnek többszöröse és nagyobb, mint BN. Az új, ABQP négyszögben az előző okoskodással kapjuk, hogy csak a derékszögű hipotézis teljesülhet, s majd ebből, hogy az ABNM-ben is ennek kell érvényesülnie. Végül megállapíthatjuk, hogy a kiinduló hipotézis érvényben marad a 10. ábrán látható négyszögek közül mindazokban, melynek alapja az AB oldalra merőleges. Megjegyzés: Saccherinek ezt a tételét gyakorlatilag már Giordano Vitale eredménye is tartalmazta (L.: 8.§.). A 7. ábra jelölésével ugyanis az AD = HK = CB feltétel ekvivalens azzal, hogy D∠ = H∠ = C∠ = derékszög. Eszerint a DC és az AB egyenesek távolsága állandó(26) és így a derékszögű hipotézis teljesül minden olyan két derékszöget és ezekhez csatlakozó egyenlő szárakat tartalmazó négyszögben, melynek alapja a DA szakasszal egyenlő. De minden méretű négyszögben ugyanaz a hipotézis teljesül, hiszen mint mondtuk, bármelyik oldalat tekinthetjük a négyszög alapjának. Ha a tompaszögű hipotézis igaz egyetlen négyszögben, akkor igaz minden négyszögben. [VI. tétel.] O'

D

C

H'

K'

H

K

A

O

B

11. ábra A bizonyításnál a szokásos ABCD négyszögre utalunk (11. ábra) és feltesszük, hogy a C-nél és a D-nél tompaszögek vannak. Az AD és a BC oldalakon felvesszük az AB alaptól egyenlő távolságra levő H és K pontokat. Elsősorban meg kell jegyeznünk, hogy a HK szakasz nem 26

Igaz, hogy Giordano a DC szakasz egy belső H pontjára igazolja állítását, de ugyanígy igazolható a DC meghosszabbításán felvett pontra is. L.: Bonola 8.§-hoz fűzött lábjegyzetét. 20

lehet merőleges a négyszög két szárára, AD-re és BC-re, mert akkor az ABKH négyszögben teljesülne a derékszögű hipotézis, s ennek következtében az eredeti négyszögben is - ami ellentmond a kiindulási feltételnek. Tegyük fel, hogy az AHK hegyesszög. Ekkor a hegyesszögű hipotézisből a HK >AB egyenlőtlenség következik. Ugyanakkor az ABDC négyszögben a tompaszögű hipotézis szerint AB > CD. A két egyenlőtlenségből HK > AB > CD következik. Mozgassuk folyamatosan a HK szakaszt a DC irányában úgy, hogy közben merőleges maradjon a négyszög OO´ középvonalára és végpontjai az AD illetve a BC egyeneseken maradjanak. Mivel a szakasz kezdeti hossza nagyobb, mint AB, a véghelyzetben viszont annál kisebb, van egy olyan közbenső szakasz, melyre H´K´ =AB. Az így kapott ABK´H´ négyszögben tehát a derékszögű hipotézis érvényes, mely tulajdonság az eredeti négyszögben is igaz kell legyen [III. tétel]. Ezért az induló feltétel, a tompaszögű hipotézis az ABCD négyszögben nem teljesülhetne. Az érvelés ugyanígy végezhető, ha az AH, BK szakaszok nagyobbak, mint AD. Eszerint ekkor is lehetetlen, hogy az AHK hegyesszög legyen, vagyis a tompaszögű hipotézis az ABCD négyszögből az ABKH négyszögre is öröklődik. H

K

M

A

N

B 12. ábra

Rátérhetünk a tétel bizonyítására tetszőleges alapú négyszögben. Például válasszuk alapnak a BK oldalt (12. ábra). Mivel a K∠ és a H∠ tompaszögek, a K pontban a BK-ra emelt merőleges metszi az AH oldalt egy M pontban és az itt keletkező szög AMK tompaszög (a háromszög külső szögének tétele értelmében). Az I. lemma következtében az ABKM négyszögben az AB >KM, ezért kijelölhetünk az AB oldalon egy BN = MK szakaszt. Ezáltal kaptunk egy olyan egyenlő szárú, az alapnál két derékszöget tartalmazó BKMN négyszöget, melyben MNB tompaszög, lévén ez az ANM háromszög egyik külső szöge. Ebből következik, hogy a tompaszögű hipotézis az új négyszögben is teljesül. Ezzel a tételt a tompaszögek esetére bebizonyítottuk. Ha a hegyesszögű hipotézis igaz egyetlen négyszögben, akkor igaz minden négyszögben. [VII. tétel.] Ez a tétel ugyanazzal az indirekt gondolatmenettel bizonyítható, mint az előbbi.

21

13.§ Az idézett tételek segítségével Saccheri a háromszögek szögösszegére vonatkozó fontos megállapításra jut: Aszerint, hogy a derékszögű, a tompaszögű vagy a hegyesszögű hipotézist fogadjuk el, a háromszögek belső szögeinek összege egyenlő, nagyobb vagy kisebb mint két derékszög.[IX. tétel] D

C

A

B 13. ábra

Legyen az ABC háromszög B-nél levő szöge derékszög (13. ábra). Egészítsük ki a háromszöget négyszöggé úgy, hogy egy AD =BC merőlegest állítunk az AB oldalra és megrajzoljuk a CD szakaszt. A derékszögű hipotézis esetén az ABC és az ADC háromszögek egybevágóak, tehát az ABC háromszögben a szögek összege: A∠ + B∠ + C∠ = 2R. A tompaszögű hipotézisből - amikor AB > DC - kapjuk, hogy ACB∠ >DAC∠ .(27) Ezért a háromszögben A∠ + B∠ + C∠ > 2R. A hegyesszögű hipotézist fogadva el az előbbi egyenlőtlenségek helyébe a következők lépnek: AB < DC amiből következik ACB∠
27

Ezt az egyenlőtlenséget Saccheri a VIII. tételben bizonyítja és lemmaként használja a IX. tétel bizonyításához. Maga a tétel Eukleidésznél is szerepel: I.25.tétel. 22

Ezt a tételt - melyet Saccheri ténylegesen nem mondott ki -, mintegy száz évvel később Legendre publikálta és elemezte az első és a harmadik hipotézis esetére. 14.§ A derékszögű-egyenlőszárú négyszögek (trapézek) imént megismert tételeit Saccheri, majd később más geométerek az arkhimédeszi és a folytonossági axióma felhasználásával (l.: az V. és VI. tétel) bizonyítják. M. Dehn(29) megmutatta, hogy a tételek függetlenek ezektől a hipotézisektől. A kérdést a következő elemi módszerrel is tisztázni lehet.(30) Az r egyenes rögzített a B és D pontjaiban (14. ábra) állítsunk egyenlő hosszúságú AB és DC merőlegeseket és kössük össze az A és C pontokat az s egyenessel. Az így kapott alakzat, melyben BAC∠ = DCA∠ , az érvelésünkben alapvető, ezért a továbbiakban erre hivatkozunk. Vegyük fel az s egyenesen két pontot: E és E´, melyek közül az előbbi A és C között van, a másik nem; s legyenek F illetve F´ az előbbiekből az r egyenesre húzott merőlegesek talppontjai. A következőket állítjuk: 1.) Ha EF = AB vagy E´F´ = AB, akkor a BAC∠ ,DCA∠ szögek derékszögek. 2.) Ha EF > AB vagy E´F´ < AB, akkor a BAC∠ ,DCA∠ szögek tompaszögek. 3.) Ha EF < AB vagy E´F´ > AB, akkor a BAC∠ ,DCA∠ szögek hegyesszögek. Az 1.) tételt bizonyítjuk (l.:14. ábra): Az EF=AB feltételből következnek a BAE∠ =FEA∠ és FEC∠ =DCE∠ relációk.(f) Ezekből már közvetlenül adódik az alapvető egyenlőség: BAC∠ = DCA∠ , és ez már elegendő annak megállapítására, hogy az egymást kiegészítő szögek - FEA∠ és FEC∠ - egymással és az előbbiekkel egyenlők, vagyis a mondott szögek derékszögek. I' E'

A

E

C

E'

s

A

C

E

s

I F'

B

F

D

r

F'

14. ábra

B

F

D

r

15. ábra

Ugyanez a gondolatmenet alkalmazható a vagylagos E´F´ = AB feltétel esetében is. Ezután a 2.) tétel bizonyítására térünk (l.:15. ábra):

28

Saccherinek egy másik tétele, mellyel most nem foglalkozunk azt mondja, hogy ha egyetlen négyszögben a szögek összege egyenlő, nagyobb vagy kisebb négy derékszögnél, akkor minden négyszögben ez áll fenn. Saccheri egy jegyzetében utal Wallis posztulátumára (V. ö. 9.§. lábjegyzet). Rámutat, hogy Wallis egyszerűen feltételezte két olyan háromszög létezését, melyeknek a szögei rendre megegyeznek, de az oldalak nem. Ebből következtetett egy olyan négyszög létezésére, melyben a szögösszeg négy derékszöggel egyenlő. Ebből a derékszögű hipotézis és az 5. posztulátum is következik.

29

L.: „Die Legendre´schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck” - Math. Ann. LIII. p. 405-439.

30

Bonola: „ I teoremi del Padre Gerolamo Saccheri sulla somma degli angoli di un triangolo e ricerche di M. Dehn.” Rend. Istituto Lombardo (2.), XXXXIII (1905). 23

Vegyük először az EF > AB feltételt. Vágjuk le az FE szakaszból az FI = AB szakaszt és kössük össze ennek I végpontját A-val és C-vel. A következő egyenlőségek adódnak: BAI∠ = FIA∠ és DCI∠ = FIC∠. A külső szögek tételének (Elemek: I.16.tétel) alkalmazásával ezekből azt kapjuk, hogy : FIA∠ + FIC∠ > FEA∠ + FEC∠ = 2R. De BAC∠ + DCA∠ > BAI∠ + DCI∠, s ezért BAC∠ + DCA∠ > FIA∠ + FIC∠ > 2R. Mivel a baloldalon álló szögek egyenlők, egyenként nagyobbak egy derékszögnél. [Ezt kellett igazolni.] Vegyük most a 2.) tétel alternatív feltételét: E´F´ < AB. Az I´ pontot ekkor az E´F´ meghosszabbításán jelöljük ki úgy, hogy F´I´ = AB legyen és kössük össze I´-t C-vel és A-val. A következő relációk most is érvényesek maradnak: F´I´A∠ = BAI´∠,

F´I´C∠ = DCI´∠;

I´AE´∠ > I´CE´∠,

F´I´A∠ < F´I´C∠ .

Ezeket az eredményeket felhasználva mindenekelőtt azt kapjuk, hogy BAI´∠ < DCI´∠. Amelyből az I´AE´∠ > I´CE´∠ megfelelő oldalait kivonva arra jutunk, hogy BAE´∠ = (BAI´∠ - I´AE´∠ ) < (DCI´∠ - I´CE´∠) = DCE´∠ = BAC∠ . Mivel azonban a BAE´∠ és a BAC∠ szögek kiegészítő szögek, a nagyobbik csak tompaszög lehet. [Ezt kellett igazolni.] Végül a 3. tételt kell bizonyítani, melyhez ugyanezt az utat választhatjuk.

E'

A

E

M

C

F'

B

F

N

D

s

r

16. ábra Ezeknek a tételeknek a megfordítása az indirekt bizonyítás segítségével könnyen igazolható. Például ha M és N az AC illetve BD szakaszok felezőpontjai (16. ábra), akkor az MN szakaszra - mely mind az AC, mind a BD egyenesekre merőleges - azt kapjuk, hogy: ha BAC∠ = DCA∠ =R, akkor MN = AB, ha BAC∠ = DCA∠ >R, akkor MN > AB, ha BAC∠ = DCA∠
24

Ebből könnyen megmutatható, hogy Ha BAC∠ = DCA∠ = R, akkor FEM∠ és F´E´M∠ is derékszög. Ha BAC∠ = DCA∠ > R, akkor FEM∠ és F´E´M∠ is tompaszög. Ha BAC∠ = DCA∠ < R, akkor FEM∠ és F´E´M∠ is hegyesszög. Az 1. esetben - mivel ekkor az r és az s egyenesek távolsága állandó -, a következő egyenlőségek állnak fenn: NMA∠ = FEM∠ = BAC∠ = F´E´M∠ = R. A 2. és a 3. eset bizonyítása indirekt módon történhet, s hasonló eredményre jutunk. P

R H

K

A

M

C

B

N

D

17. ábra Ezek után vegyük fel az MN szakaszon kívül, annak meghosszabbításán egy P pontot (17. ábra) és állítsunk egy PR merőlegest MN-re, egy RK merőlegest pedig BD-re. Ez utóbbi merőleges metszi AC-t egy H pontban. Az előző tétel értelmében beláthatók a következők: Ha a BAM∠ = R, akkor a KHM∠ és a KRP∠ mindketten derékszögek. Ha a BAM∠ > R, akkor a KHM∠ és a KRP∠ mindketten tompaszögek. Ha a BAM∠ < R, akkor a KHM∠ és a KRP∠ mindketten hegyesszögek. Hasonlóan láthatók be ezek az eredmények akkor is, ha P pont az M és N között van. Végeredményben láthatjuk, hogy e három tétel egybevág Saccheri eredményeivel, melyekre az egyenlőszárú derékszögű trapéz elemzésével jutott és ami ekvivalens a következővel, melyet az arkhimédeszi posztulátum felhasználása nélkül kaptunk: Ha a derékszögű, a tompaszögű vagy a hegyesszögű hipotézis egyetlen esetben igaz, akkor minden más esetben is az. Ha most áttérünk a négyszögekről a háromszögek megfelelő tételeire, akkor Saccheri már idézett bizonyítását (l.: 13.§.) használhatjuk, hiszen ez a kérdéses posztulátumtól független. Ezzel megkaptuk azt az eredményt, amelyet igazolni akartunk.(g) 15.§ Annak érdekében, hogy Saccheri munkájának lényegét tömören megmutassuk, a XI. és a XII. tételéből a következő 2. lemmát fogalmazzuk meg (18. ábra):

25

Legyen ABC egy olyan háromszög, melynek C-nél levő szöge derékszög. Jelölje H az AB átfogó felező pontját, és K annak a merőlegesnek a talppontját, melyet H-ból az AC befogóra bocsátunk. Ekkor azt kapjuk, hogy AK = KC, ha a derékszögű hipotézis teljesül; AK < KC, ha a tompaszögű hipotézis teljesül; AK > KC, ha a hegyesszögű hipotézis teljesül. Az állítás nyilvánvalóan igaz a derékszögű hipotézis teljesülésekor. B

H

L

A3 A1

A

K

C

A

A'1

18. ábra

A2

A'2 A'3 19. ábra

A tompaszögű hipotézis esetén a négyszögek szögeinek összege nagyobb, mint négy derékszög, s ennek következtében AHK∠ < HBC∠ . Állítsuk a H pontból a HL merőlegest a BC befogóra. Ezzel két olyan háromszöget - AHK és HBL - kaptunk, melyeknek egyenlő az átfogója és így a rajta fekvő megfelelő szögek egyenlőtlensége miatt azokkal szemköztes befogóik: AK < HL . Azonban a HKCL négyszögnek három derékszöge lévén, a negyedik - a H-nál lévő szöge - szükségképpen tompaszög. (A tompaszögű hipotézis áll fenn.) Ezért HL < KC és így AK A´1A´2 > A´2 A´3 > …, ha a hegyesszögű hipotézis teljesül. A bizonyítást feleslegessé teszi annak egyszerűsége. A lemmák felhasználásával Saccheri XI. és XII. tételét a következő tételben egyesítve igazolhatjuk: A derékszögű és a tompaszögű hipotézis esetén egy adott egyenesre merőleges egyenes és egy az adott egyenest hegyesszögben metsző egyenes egymást is metszik.

26

An D A1 A

A'1

B 20. ábra

A'n

Legyen az LP és az AD a két említett egyenes (20. ábra), melyek közül LP merőleges AP-re és a másik ezzel a DAP∠ hegyesszöget zár be. Miután felmérjük az AD, DF1 egyenlő szakaszokat megrajzoljuk a DB és az F1M1 merőlegeseket az AP egyenesre. A fenti 3. lemmából következően BM1 > AB, azaz AM1 > 2AB mindkét hipotézis esetén. Mérjük fel az AF1 meghosszabbítására a vele egyező F1F2 szakaszt és jelöljük ki az F2-ből az AP-re bocsátott merőleges M2 talppontját. Az előzőhöz hasonlóan kapjuk, hogy mindkét hipotézis fennállása mellett AM2 > 2AM1, és az előbbi egyenlőtlenséggel egybevetve AM2 > 22AB Ez az eljárás tetszés szerint ismételhető. Így eljutunk az AD egyenes Fn pontjához és az e pontból az AP egyenesre bocsátott merőleges Mn talppontjához és a megfelelő AMn szakaszhoz, melyek kielégítik a következő relációt: AMn > 2nAB . De ha az n-et elég nagyra választjuk, úgy hogy 2nAB > AP legyen,(31) akkor teljesül a következő egyenlőtlenség: AMn > AP . Ezért a P pont az AMnFn háromszög AMn oldalának belső pontja lesz. Mivel a PL merőleges nem metszheti a háromszög másik befogóját, metszi az átfogót.(32) - [Ezt kellett igazolni.] Ezután bebizonyíthatjuk Saccheri következő, XIII. tételét: Az 5. posztulátum igaz mind a derékszögű, mind a tompaszögű hipotézis esetén. Legyenek (21. ábra) az AB, CD egyenesek az AC egyenes metszői és tegyük fel, hogy BAC∠ + ACD∠ <2R.

31

Az arkhimédeszi posztulátum, abban a formában, ahogy itt alkalmazzuk, implicite tartalmazza az egyenes végtelenségének feltételét is.

32

Az az út, amit Saccheri követ gyakorlatilag megegyezik Nasszíraddin munkájával. Ugyan Nasszíraddin csak a derékszögű hipotézissel foglalkozik, és erre az esetre bizonyítja, hogy ekkor a háromszögek szögeinek összege két derékszöggel egyenlő. Saccheri ismerte és ezzel a tételével meghaladta az arab geométert. 27

C

D

A

H

B 21. ábra

Ekkor valamelyik a kettő közül hegyesszög. Tegyük fel, hogy az első, a BAC∠ a hegyes. Húzzuk a C pontból a CH merőlegest az AB-re. Az ACH háromszögben a feltételezett hipotézisekből következően a szögek összege: A∠ + C∠ + H∠ > 2R. De feltettük, hogy BAC∠ + ACD∠ <2R, ezért AHC∠ > HCD∠ . Ez utóbbi hegyesszög, mivel a H-nál lévő szög derékszög. Ebből és a XI.-XII. tételből következik, hogy az AB és a CD egyenesek metszik egymást.(33) Ez az eredmény juttatta Saccherit arra a következtetésre, hogy a tompaszögű hipotézis hamis [XIV. tétel]. Tulajdonképpen ebből a megállapításból mind Eukleidész 5. posztulátuma [XIII. tétel], mind a belőle levezethető megszokott tételek is következnek. A konklúzió tehát az, hogy a vizsgált derékszögű trapézben a szögek összege négy derékszög, vagyis a derékszögű hipotézis igaz.(34) 16.§ Ám Saccheri azt is be akarta bizonyítani, hogy az 5. posztulátum minden esetben igaz. Ezért nekifogott, hogy a hegyesszögű hipotézist megcáfolja. Kezdésként kimutatta, hogy ebben az esetben egy adott egyenesre állított merőleges egy pontjából húzható e merőlegessel hegyesszöget bezáró olyan egyenes, mely az adott egyenest nem metszi [XVII. tétel].

33

Ez a bizonyítás is megtalálható Nasszíraddin munkájában, s bizonyos, hogy Saccherit ez inspirálta a vizsgálataiban.

34

Már utaltunk arra a 11.§-ban, hogy Saccheri az indirekt bizonyítás különleges fajtáját alkalmazza. Lényegében abból a feltételezésből, hogy a tompaszögű hipotézis igaz jut el ahhoz a megállapításhoz, hogy a derékszögű hipotézis igaz. Ez a jellegzetes forma is szokott az indirekt bizonyításban szerepelni. [A fordító magyarázata: a gondolatsor nem cáfolja az induló feltételt, hanem egy attól különböző megállapításhoz jut. Ez azonban csak akkor helyes bizonyítás, ha e két feltétel kizárja egymást.] 28

B

A1

A

A2

B1

B

B2

a

D

A

C 22. ábra

b

23. ábra

Hogy egy ilyen egyenest megszerkesszünk, vegyünk egy olyan ABC háromszöget, melynek Cnél levő szöge derékszög (22. ábra). A B ponton át húzzuk meg a BD egyenest úgy, hogy az ABD szög legyen egyenlő a BAC szöggel.(h) A hegyesszögű hipotézis esetében viszont a CBD∠ hegyesszög és a CA és a BD egyenesek nem metszik egymást, holott a közös BC szelőjükre csak az egyik merőleges, a másik nem [Elemek I.27.]. A továbbiakban csak a hegyesszögű hipotézist vesszük figyelembe. Legyenek a, b komplanáris, de egymást nem metsző egyenesek (23. ábra). Az a egyenes A1 és A2 pontjaiból állítsuk b-re az A1B1 és A2B2 merőlegeseket. A négyszög két, A1-nél és A2-nél levő szögére a következők valamelyike teljesül: 1. egyik hegyesszög, másik derékszög; 2. mindkettő hegyesszög; 3. egyik hegyesszög, másik tompaszög. Az első esetben van az a, b egyeneseknek közös merőlegese. A második esetben az egyenes folytonosságának felhasználásával [Saccheri XXII. tétele] be tudjuk bizonyítanunk, hogy van ilyen merőleges. Ugyanis mozgassuk az A1B1 egyenest az A2B2-be úgy, hogy közben merőleges maradjon a b egyenesre. Mivel a kezdő állásban a négyszög belső szöge hegyesszög, a végállásban pedig a megfelelő külső szög tompaszög, kell lennie egy olyan közbenső helyzetnek amikor mindkét egyenesre merőleges az AB összekötő. Végül a harmadik esetben nincs ilyen közös merőlegese az a, b egyeneseknek, vagy ha mégis létezik, akkor az nem eshet a B1 és B2 pontok közé. Abból a feltételből, hogy léteznek komplanáris de egymást nem metsző egyenesek Saccheri levezeti hogy ezek az egyenesek fokozatosan közelednek egymáshoz [XXIII. tétel], továbbá, hogy a köztük levő távolság kisebb lesz akármilyen előre megadott távolságnál [XXV. tétel]. Más szavakkal: ha vannak a síkban egymást nem metsző és közös merőlegessel nem bíró egyenesek, akkor ezek asszimptotikusak.(35) 35

A

q p b

24. ábra

Ezzel az eredménnyel a görögök által felvetett (v. ö.: 2.§), az asszimptotikus egyenesek létezésének kérdésére igenlő válasz született. 29

Az asszimptotikus egyenesek létezését Saccheri a következő okoskodással bizonyította. Legyen adott az A pont és a rá nem illeszkedő b egyenes síkjában az A-ra illeszkedő sugársor. Ennek az elemeit két osztályba sorolhatjuk: (1.) a b egyenest metszők és (2.) azok, melyeknek van b-vel közös merőlegese alkotják ezen osztályokat. A folytonosság elve miatt van két egyenes az A-ra illeszkedő sugársorban: p,q (24. ábra), melyek ezt a két osztályt elválasztják. Maguk a p és a q egyenesek egyik osztályhoz sem tartoznak. Ezt bizonyítandó feltesszük indirekte, hogy p a nem metszőkhöz tartozik, s ebből jutunk ellentmondásra. Legyen PB a b és p feltételezett közös merőlegese. Bocsássuk b-re az AM merőlegest és vegyünk fel a b egyenesen egy B´ pontot úgy, hogy az MB´ szakasznak belső pontja legyen B. Állítsuk merőleges b-re: B´P˝ ; B´P´-re egy másikat: AP´. Az AP´ nem metszheti b-t, hiszen van közös merőlegesük (B´P´), ellenben metszi PB-t egy R pontban. Az ARB∠ tompaszög, mert kiegészítő szöge a BRP´∠ hegyesszögnek, s ezért az AR egyenes az MAP szögtartomány belsejében halad (azaz a b metszőinek osztályához tartozik). Azt kaptuk hát, hogy az AR egyenes egyrészt metszi b-t, másrészt közös merőlegesük van. Erre az ellentmondásra vezetett az a feltevés, hogy p-nek és b-nek van közös merőlegese, s ezzel igazoltuk, hogy p (hasonlóképpen q) asszimptotikusak a b egyenessel.(36) 17.§ És ezzel Saccheri olyan pontra érkezett, ahol döntenie kellett: vagy a logikát követi, vagy ragaszkodik Eukleidész 5. posztulátumának érvényességéhez. A hegyesszögű hipotézis cáfolatával próbálkozott - mondván, hogy az az egyenesek természetével ellentétes [XXXIII. tétel]. Mintegy 16 oldalon keresztül, 5 lemmára támaszkodva eddig jut okoskodásában: „Ha ez a feltétel teljesülne, akkor az AP´ és az MB egyeneseknek (25. ábra) a végtelenben lenne közös merőlegesük, ami ellentmond az egyenes természetének.” Saccherinek ezek az úgymond „bizonyításai” a végtelenbe vetítenek ki olyan tulajdonságokat, melyek egy véges alakzaton érvényesek. A

P P'

R

M

B

B'

p

b

25. ábra Saccheri - nem lévén megelégedve ezzel az eredménnyel - visszatért a távolságvonal koncepciójához. Mivel ezen a területen elődeihez képest semmi újat nem tudott megállapítani, szükségtelen munkájának ezt a részét felidézni.

36

Saccheri munkájában ezt a pontot megelőzően is sok értékes megállapítást találunk, melyek közül a következő megjegyzésre érdemes: Ha két egyenes mindig közeledik egymáshoz, miközben a köztük levő távolság mindig nagyobb marad egy előre adott tetszőleges távolságnál, akkor a hegyesszögű hipotézis nem teljesül. Vagyis az asszimptoták kizárását posztulálva az euklideszi párhuzamosok esetét kapjuk. 30

Bár Saccheri munkája nem érte el célját, az eredmény így is fontos: az addigi legnagyobb figyelmet szentelte az 5. posztulátumnak és bár nem jutott semmilyen ellentmondásra a hegyesszögű hipotézis elfogadása esetében, nem ismerte fel, hogy egy másik geometriai rendszer építhető fel ezzel a feltétellel, ami egyúttal azt is jelentené, hogy az 5. posztulátum bizonyítása lehetetlen.(37)

Johann Heinrich Lambert (1728-1777) 18.§ Hogy Saccheri munkája milyen hatással volt a XVIII. század geométereire, azt pontosan nem lehet meghatározni. Valószínű, hogy a svájci geométer, Lambert ismerte,(38) mert a „Theorie der Parallellinien” (1766) c. munkájában idézi G.S. Klügelnek (1739-1812) azt a dolgozatát,(39) melyben ez aprólékosan elemzi az olasz geométer munkáját. Lambert munkája - mely csak a szerző halála után, 1786-ban jelent meg J. Bernoulli és K.F. Hindenburg gondozásában(40) - három részre oszlik. Az első rész kritikai és filozófiai természetű, melyben az 5. posztulátum körüli kérdéseket két csoportra osztja: az elsőben azt vizsgálja, hogy a maradék feltételekkel lehet-e bizonyítani, a másodikban pedig azt, hogy milyen további feltételek szükségesek az igazolásához. A második részt azoknak a kísérleteknek szenteli, melyek az 5. posztulátumot visszavezetik, egyszerűbb, de ugyancsak igazolásra váró feltételekre. A harmadik, a legfontosabb rész, tartalmazza azokat a Saccheriéhez hasonló eredményeket, melyeket most röviden összefoglalunk. 19.§ Lambert négyszöge, melyet vizsgálataiban használt, három derékszöget tartalmaz(i) és a negyedik szögre vonatkoznak a Saccheriének megfelelő hipotézisek: a derékszögű, a tompaszögű és a hegyesszögű hipotézis. Az első, a derékszögű hipotézis könnyen elvezet Eukleidész rendszeréhez.

37

Saccheri munkái eléggé szétszóródtak, róluk két matematika-történeti munkában találunk adatokat: J.C. Heilbronner (Lipcse, 1742) és Montucla (Párizs, 1758). Később ezeket alaposan elemezte G.S. Klügel az idézett disszertációjában. Nagy részük feledésbe ment. Csupán E. Beltrami emlékezett meg róla 1889-ben: „Un precursore italiano di Legendre e di Lobatschewsky „ [Rend. Acc. Lincei, (4),V. p. 441-448], amivel ismét felhívta rá a geométerek figyelmét. Ezt követően jelent meg Saccheri munkája angolul (G.B. Halsted, Am. Math. Montly, 1, 1894-től), majd németül (Stäckel és Engel Th. der P., 1895) és olaszul (G.Boccardini, Milano, Hoepli, 1904).

38

Segre: „Congetture intorno alla influenza di Girolamo Saccheri sulla formazione della geometria non euclidea”, Atti Acc. Scienze di Torino, XXXVIII. [1903].

39

„Conatum praecipuorum yheoriam parallelarum demonstrandi recensio, quam publico examini submittent A.G Kaestner et auctor respondens G.S Klügel„; [Göttingen, 1763].

40

Magazin für reine und angewandte Math., 2 Stüch, p.137-164, 3 Stüch, p. 325-358, [1786]. - Lambert munkáját újból ismertette Stäckel és Engel az ő hasonló című munkájukban (p. 135-208), a szerzőre vonatkozó történeti adalékokkal kiegészítve. 31

B1

A1

B2

B3

A2

Bn

A3

An

b

a

26. ábra A tompaszögű hipotézis elvetéséhez Lambert egy olyan alakzatot konstruál (26. ábra), melyben két egyenes - a,b - merőleges az AB egyenesre. A b egyenesen felvett B, B1, B2, …, Bn sorozat pontjaiból merőlegeseket bocsát az a egyenesre: BA, B1A1, B2A2, …, BnAn és először bebizonyítja, hogy a merőleges összekötők hossza csökken, amint azok az AB-től távolodnak. Ezt követően kimutatja, hogy BA - BnAn > (BA - B1A1)⋅n . Mivel n akármilyen nagy lehet, az egyenlőtlenség jobboldalának értéke tetszés szerint növelhető,(41) miközben a baloldal a rögzített BA távolságnál mindig kisebb. Ez az ellentmondás teszi lehetővé, hogy a tompaszögű hipotézist elvessük. A hegyesszögű hipotézis tárgyalásához az iménti alakzatot (26. ábra) használja, és kimutatja, hogy a merőleges szakaszok hossza növekszik és ugyanakkor az egyes szakaszoknak az előzőtől való eltérése is növekszik. Noha ez a megállapítás nem vezet ellentmondáshoz, mégis - miként Saccheri is - folytatta a kutatást. Azt kapta, hogy ebben az esetben a háromszögek szögeinek összege kisebb, mint két derékszög, de - továbblépve Saccherin - azt is kimutatta, hogy egy poligonban a szögösszeg defektusa - az a különbség, mellyel a szögek összege a 2⋅(n - 2) derékszögnél kevesebb - arányos a poligon területével. Ez az eredmény könnyen levezethető, ha észrevesszük, hogy mind a terület, mind a szögösszeg defektusa a poligont alkotó részidomok megfelelő adatainak összegezésével adódik.(42) 20.§ Lambert egy másik említésre méltó felfedezése a geometriai mennyiségek abszolút mértékegységére vonatkozik. Ez konkrétan annyit jelent, hogy míg a közönséges geometriában a szakaszok mérése egy szabadon választott egységhez viszonyítva történik, addig a felfedezett, a hegyesszögű hipotézisre alapított rendszerben feltehetjük egy abszolút egység létezését. Mindenekelőtt meg kell magyaráznunk, mi a különbség az abszolút és a relatív között.

41

Arkhimédész posztulátuma itt is abban a formában kerül alkalmazásra, amely az egyenes végtelenségét is magába foglalja. (V. ö.: Saccherihez fűzött megjegyzéssel, 15.§.)

42

Illik megjegyeznünk, hogy Saccheri implicite ugyanerre következtetésre jutott, amikor a hegyesszögű hipotézist vizsgálva megállapította, hogy egy olyan négyszögben, mely több másikból van összetéve, a defektus az összetevők defektusának összege [XXV. tétel]. Azonban a defektusok és a területek arányának összevetéséig nem jutott el. 32

(43) --------------

A megszokott euklideszi geometria területén a hosszúság mérése relatív, hiszen a szakaszok hosszát egy önkényesen - és tegyük hozzá szabadon - választott szakaszhoz, mint egységhez viszonyítjuk. Ezzel szemben a szögek mérésénél van egy természetes egység: a teljes fordulat. Megtehetjük tehát, hogy a szögszárak elfordulásának mértékét ehhez viszonyítsuk. Itt is viszonyszám tehát a mérték, de az egység a priori adott. Ebben az esetben szoktuk a mértéket abszolútnak nevezni. Meg kell jegyezni, hogy a szögméréshez is választhatunk önkényesen egységet: fok, újfok, vonás és a radián. Nem szabad azonban a mértéket összekeverni a mérőszámmal. A szög esetében például a derékszögnek nem az o g v a lényeges tulajdonsága, hogy 90 (fok), vagy 100 (gon = újfok), vagy 1500 (vonás), netán 1.57… radián, hanem az, hogy egynegyed fordulat. Ez utóbbit a derékszög abszolút tulajdonságának, az előbbieket (az egységhez viszonyított) relatív tulajdonságának tekinthetjük. (H.F.) -------------- (44)

Térjünk vissza Lamberthez és a harmadik (hegyesszögű) hipotézis alapján talált új geometriájához. Megfigyelte, hogy minden szakasz megfeleltethető egy meghatározott szögnek, amelyet könnyen meg lehet szerkeszteni. Ezért az új, hipotetikus geometriában jogunk van a szakasz hosszúságát annak abszolút tulajdonságaként kezelni. Hogy megmutassuk miként lehet megtalálni bármelyik szakaszhoz a megfelelő szöget, s ezzel azt a hozzárendelt értéket, amellyel a hosszát jellemezzük, képzeljünk el egy olyan egyenlő oldalú háromszöget, melyet a szakasz fölé szerkeszthetünk. Minden szakaszhoz hozzárendelhetjük mértékként az így kapott háromszög szögeinek összegét. Ezzel kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítettünk a szakaszok és egy korlátos tartományba eső szögek között. Azonban ez - a szakasz hosszúságát jellemző - számérték nem tesz eleget a mértékeknél megkövetelt disztributív tulajdonságnak: ha ugyanis két szakaszt összefűzünk, akkor a nekik megfelelő szögek összege nem lesz az egyesítéssel kapott szakaszhoz rendelt szög. Ha azonban találunk egy megfelelő disztributív szögfüggvényt, akkor ennek az értékét - bár az eredetileg a szöghöz van rendelve - hozzárendelhetjük a szakaszhoz is. Ez az érték lehet a hosszúság abszolút mértéke, és az abszolút egység pedig az a szakasz, amelyhez a hozzárendelt érték éppen 1. Azonban ha az így alkalmazott szögfüggvény disztributív, akkor értékét bármilyen konstanssal megszorozva a szorzat szintén rendelkezni fog ezzel a tulajdonsággal, s ezért mértékként ez is használható. Megtehetjük inkább, hogy azt a szöget adjuk meg, amelyik a hosszegységhez tartozik: például választhatjuk a derékszög felét. A hosszegységnek az ekként, a megfelelő szög kijelölésével való megválasztása azonban csak akkor lehetséges, ha meg tudjuk oldani a következő feladatot: Szerkesztendő adott defektusú szabályos háromszög - a hegyesszögű hipotézisét feltételezve. Ugyanígy adódik a poligonok területének mérésére alkalmas abszolút területmérték: a szögek összegének defektusa. Hasonlóan definiálhatjuk a poliéderek térfogatának abszolút mértékét.

43

A fordító ezen a ponton dilemma elé került. Azt kellett eldöntenie, hogy a Szerző nem teljesen idevágó magyarázatát közvetítse-e, ugyanis a feladatok fix és változó elemeiről és nem a geometriai elemzésben fontos szerepet játszó mértékről ír, s magyarázó példái is inadekvátak. Az idegen, de világosabb szöveg látszott helyesebbnek.

44

Innen kezdve ismét a Szerző eredeti szövege olvasható. 33

Az euklideszi térszemlélettől idegen az abszolút hosszegység feltételezése. Ha tehát Lamberttel együtt - tagadjuk a hosszúság abszolút mértékének létezését, elvetjük a hegyesszögű hipotézist. 21.§ Nem valószínű, hogy Lambert igazolni próbálta volna az 5. posztulátumot, mert jól látta annak nehézségeit. Munkáját a hegyesszögű hipotézis következményeinek kutatásával folytatta, de csupán addig jutott, hogy a kérdést más, ugyanolyan nehezen megválaszolható kérdésekké alakította. Néhány érdekes megállapítása található a Theorie der Parallellinien-ben, mint például a szférikus geometria(45) és a tompaszögű hipotézisen alapuló síkgeometria szoros hasonlatosságának, továbbá annak a felismerése, hogy a szférikus geometria független az 5. posztulátumtól. Figyelmet érdemel a hegyesszögű hipotézissel kapcsolatos megjegyzése: Arra következtetésre jutottam, hogy a hegyesszögű hipotézis a képzetes gömbön érvényes. Feltehető, hogy erre következtetésre az (A + B + C - π)⋅r2 formula elemzésével jutott. Ez adja meg ugyanis annak a gömbháromszögnek a területét,(j) amelynek a szögei A,B és C. Ha itt a gömb sugara helyébe az r − 1 képzetes sugarat helyettesítjük, akkor azt a formulát kapjuk, melyet Lambert a háromszögek területére vezetett le a hegyesszögű hipotézisből kiindulva:(46) r2⋅(π - A - B - C). 22.§ Lambert tehát a kérdést függőben hagyta, s noha kutatásait nem publikálta sejthető, hogy megsejtett valamit az új horizontból.(k) Meg kell azonban jegyeznünk, hogy a XVIII. század második felére általánossá kezdett válni az a felfogás, hogy vagy az euklideszi vagy azzal egyenértékű párhuzamossági posztulátumot bizonyítás nélkül el kellene fogadni. Németországban, a kérdéssel foglalkozó írásokban meglehetősen határozottan jelenik meg ez a meggyőződés. Felismerhető ez a párhuzamosok jól ismert kutatójának, A.G.Kästnernek és tanítványának, G.S. Klügelnek, a korábban idézett (l.: 18.§ lábjegyzete) értékes elemző munka szerzőjének írásaiban. Klügel ebben a munkában rámutat, hogy a megelőző bizonyítások nem vezettek célra és ezek „sugallják a nem-metsző egyenesek lehetőségének elfogadását”. [Möglich wäre es freilich, daß Gerade, die sich nicht schneiden, voneinander abweichen.] Hozzáteszi, hogy a „felbukkanó ellentmondások nem a precíz bizonyítások, sem az egyenes és a görbék definíciójának következményei, hanem a szemléletünk előítéletei”. [Daß so etwas widersinnig ist, wissen wir nicht infolge strenger Schlusse oder vermöge deutlicher Begriffe von der gereden und der krummen Linie, vielmehr durch die Erfahrung und durch das Urteil unserer Augen.] Saccheri és Lambert vizsgálatait ismerve oszthatjuk Klügel véleményét, de meg kell állapítanunk, hogy ők nem jutottak el arra a felismerésre, hogy az 5. posztulátumot lehetetlen bizonyítani. Az általuk megnyitott úton, vagy a számos további feltételből indulva egyikük sem jutott olyan ellentmondáshoz, mely a geometria alapját képező párhuzamossági elméletet megdönthetné.

45

Valóban a gömbön a négyszögek szögeinek összege nagyobb, mint négy derékszög stb.

46

L.: Engel és Stäckel: Th.der P. 146.old. 34

Ellenben ha valaki tovább ment volna ezen az úton, de azok nélkül az előítéletek nélkül, melyek Saccherit a téves következtetésekhez vezette, történelmi lépést tett volna meg, de nem az euklideszi posztulátum bizonyításával, hanem felfedezte volna a nemeuklideszi geometriát. Annak a lépésnek a megtételére, mely Saccheri és Lambert munkásságától Lobacsevszkij és Bolyai felismeréséig vezetett, azonban még több mint fél évszázadot kellett várni!

A XVIII. század végének francia geométerei 23.§ A párhuzamosság elméletének kritikai vizsgálata, mely Itáliában és Németországban mindig az érdeklődés központjában állt, a XVIII. sz. végén és a XIX. sz. elején Franciaországban is figyelemre méltó eredményekhez vezetett. D`Alembert [1717-1783], egyik geometriai tárgyú cikkében(47) megállapítja: „La definition et le proprieté de la ligne droite, ainsi que des lignes parallèles sont l`écueil et pour ainsi dire le scandale des éléments de Géométrie”.(l) Úgy vélte, hogy az egyenes tulajdonságainak egy jó definíciója minden nehézséget megszüntetne. Azt javasolta, hogy egy adott egyenessel párhuzamosnak azt az egyenest nevezzük, mely ugyanabban a síkban az adott egyenesnek ugyanazon az oldalán, attól egyenlő távolságra lévő két pontot köti össze. Ez a definíció lehetővé teszi a párhuzamos direkt szerkesztését. Természetesen erről a párhuzamosról még be kell bizonyítani, hogy távolságvonal, azaz minden pontja egyenlő távolságra van a másik egyenestől. D`Alembert ezt a tételt kortársai számára, mint egy kalandot kínálta fel. 24.§ De Morgan a paradoxonokról szóló könyvében(48) elbeszéli, hogy Lagrange [1763-1813] élete végén a párhuzamosokról készített egy értekezést. Be akarta nyújtani a Francia Akadémiához, de a kézirat átolvasását megszakítva felkiáltott: „Il faut que j`y songe encore!”(m) - és visszalépett a közléstől. Később Hoüel számolt be arról, hogy Lagrange egy Biot-val folytatott eszmecsere során megjegyezte: a szférikus geometria független a párhuzamossági posztulátumtól.(49) Ennek a közlésnek a megerősítésére hozzátehetjük még, hogy Lagrange különleges érdeklődést mutatott a szférikus geometria iránt(50) és ihletője, hacsak nem szerzője volt a „Sur les principies fondamentaux de la Mécanique” [1760-61] című(51) tanulmánynak, melyben D. Foncenex elemzi a mechanika egy hasonló függetlenségi kérdését, mikor kimutatja, hogy az erők eredőjének analitikus kifejezése független az euklideszi, vagy bármilyen vele ekvivalens párhuzamossági posztulátumtól.

47

L.: D`Alembert: „Mélanges de Litterature, d`Histoire et de Philosophie”, Tom.V. §XI. [1759] - továbbá „Enczclopedie Méthodique Mathématique”, t. II. p.519.: „Parallèles” c. tanulmányban, [1785].

48

A. de Morgan: „Budget of Paradoxes”, p.173. [London, 1872].

49

L.: Hoüel: „Essai critique sur les princioes fondamentaux de la géométrie élémentair”, p.84. lábjegyzetben [Paris, G.Villars,1883].

50

Miscellanea Taurinensia, t.II. p.299-322 [1760-61].

51

L.: Lagrange: Oeuvres, t.VII., p.331-363. 35

25.§ A hasonlóságot, mint alapvető kérdést már Wallis felvetette 1663-ban [l.: 9.§]. A XIX. sz. elején ismét feltűnt, mégpedig olyan neves geométerek révén, mint L.N.M. Carnot [17531823] és Laplace [1749-1827]. Carnot a „Géométrie de Position” [1803] egyik lábjegyzetében [a 481. oldalon] megjegyzi, hogy a párhuzamosság elmélete szorosan összefügg a hasonlóság kérdésével, melynek fontossága majdnem olyan magától értetődő, mint az egybevágóságé és ha ezt egyszer elfogadjuk, akkor szigorú eszközökkel tisztázni lehet az elméletet. Laplace [1824], megállapítja, hogy a Newton-féle törvény [t. i.: az általános gravitáció törvénye] az egyszerűségét, az általánosságát és a pontos természet-leíró voltát tekintve szigorúnak tekinthető, majd rámutat arra, hogy a legjellegzetesebb tulajdonsága az, hogy érvényes a testek minden méretére, a közöttük levő távolságtól és viszonylagos sebességüktől független, és amennyiben a dimenziókat arányosan csökkentjük az elképzelhető legkisebb mértékig, ugyanolyan pályát kapunk az égitestek mozgására, s a számítás eredménye nem tér el attól, amit a megfigyelésekből ismerünk. Ez a törvény - folytatja - független a világmindenség méretétől és egyszerűsége azt bizonyítja, hogy a természet engedi felfedezni, megismerni magát. Többször visszatér ehhez az kozmogóniai elvéhez és egy lábjegyzetben megjegyzi: „A geométereknek azok a kísérletei, melyekkel Eukleidész párhuzamossági axiómáját bizonyítani akarták mindeddig hasztalannak bizonyultak. Ezek szerint a térszemlélet olyan magától értetődő tulajdonságot tartalmaz, melyet a párhuzamosok tulajdonságainak szigorú vizsgálata nélkül nem lehet tisztázni. A korlátos tartományok, mint például egy kör belseje, nem tartalmaz semmi olyan viszonyt, mely függ a kiterjedésétől. Ellenkezőleg, ha csökkentjük a sugarát akár a szemmel már nem látható méretig, akkor ugyanolyan arányban csökken a kerülete és a beírt idomok oldala. Ez az arányosság azt sugallja nekem, hogy létezik egy, az Eukleidészénél lényegesen egyszerűbb axióma, mely az általános tömegvonzás eredményeinek figyelemre méltó következményeként kerül majd felismerésre.” (52) 26.§ Az imént említett geométerek mellett szólni kell még J.B. Fourier-ről [1768-183], aki Monge-zsal együtt vizsgálta az egyenes tulajdonságait.(53) Hogy miért került előtérbe ez a kérdés, arra vonatkozóan elég ha utalunk D`Alembert korábbi gondolatára (l.: 23.§), miszerint a párhuzamossági axióma bizonyítása kapcsolódik az egyenes definíciójához. Fourier, aki a két pont közötti távolságot alapfogalomnak tekintette, azt javasolta, hogy elsőként a gömböt (a felületet) kell definiálni; majd a síkot, mint a tér két pontjától egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét;(54) ezt követően az egyenest, mint a tér három pontjától egyenlő távolságra fekvő pontok mértani helyét. Ezt a módszert, a geometria alapjainak tisztázását, alkalmazták azok a későbbi geométerek - Bolyai F., Lobacsevszkij, de Tilly -, akik a párhuzamosok vizsgálatával foglalkoztak. Ebben az értelemben Fourier és Monge dolgozatai tekinthetők az első olyan dokumentumoknak, amelyek a nemeuklideszi geometriával foglalkoztak.(55)

52

L.É Laplace: Oeuvres, t. VI. Livre V.,Ch.V., p472.

53

L.É Séances de l`École normale: Débats, T.L.p. 28-33 [1795]. Ezt a tanulmány ismét közölte a Mathésis, T.IX. p. 139-141, [1883].

54

A síknak ez a mintegy száz évvel korábbi definíciója Leibnitztől származik. L.: Opuscules et fragments inédits, Couturat szerkesztésében, p. 554-555. [Párizs, Alcan, 1903].

55

Ehhez még hozzá kel tennünk, hogy későbbi jegyzetek, kutatások azt mutatják, hogy Fourier definíciója sem elegendő a párhuzamossági elmélet felépítéséhez az 5. posztulátum vagy azzal ekvivalens alapelv nélkül. 36

Adrien Marie Legendre [1752-1833] 27.§ Az geométerek korábban elhatárolták magukat attól, hogy rámutassanak a nehézségekre és kifejtsék véleményüket az 5. posztulátumról. Ezzel szemben Legendre megkísérelte, hogy elméletbe, rendszerbe foglalja ezeket. Vizsgálatai, melyek az Eléments de Géométrie [17941823] különböző kiadásaiban elszórtan találhatók egybegyűjtve is olvashatók a Refléxions sur différentes manières de démontrer la théorie des parallèles ou le théorème sur la somme des trois angles du triangle [Mém. Ac. Sc., XIII. Párizs, 1833] lapjain. A próbálkozásaiban az az érdekes, hogy Saccherihez hasonlóan a kérdést a háromszögek szögeinek összege irányából közelítette meg, s azt akarta bizonyítani, hogy ez az összeg két derékszöggel egyezik. Eredménye is az elődéhez hasonló, amikor kizárja a tompaszögű hipotézist, amikor a szögösszeg nagyobb két derékszögnél, - s megállapítja, hogy az összeg minden háromszögben vagy kisebb (hegyesszögű hipotézis) vagy egyenlő (derékszögű hipotézis) két derékszöggel. Bemutatjuk azt az egyszerű és elegáns bizonyítását, mellyel ehhez az eredményhez eljutott: Vegyünk föl egy egyenesen n darab egyenlő és egymáshoz csatlakozó szakaszt: A1A2, A2A3, A3A4, … , AnAn+1. [27. ábra] Az egyenesnek ugyanazon az oldalán szerkesszünk a szakaszok fölé egybevágó háromszögeket, melyeknek harmadik csúcsa B1, B2, B3, … Bn. Az így kapott B1B2, B2B3, B3B4, …, Bn-1Bn szakaszok egyenlők és a velük alkotott B1A2B2, B2A3B3,…Bn-1AnBn háromszögek egybevágók. Az ábrát egészítsük ki egy további, ezekkel egybevágó BnAn+1Bn+1 háromszöggel.

A1

B1

B2

B3

B4

β

β

β

β

B5

α

α

α

α

A2

A3

A4

A5

27. ábra Jelöljük az A1B1A2 háromszög B1-nél fekvő szögét β-val, és a hozzá csatlakozó háromszög A2nél fekvő szögét α-val. Azt állítjuk, hogy β ≤ α. Tegyük fel ugyanis ennek ellenkezőjét: β > α. Ekkor az A1B1 A2 és B1A2B2 háromszögekből, melyeknek két oldala megegyezik azt kapjuk, hogy A1 A2 > B1 B2. Másrészt, mivel az A1B1B2… B n+1An+1 töröttvonal hosszabb mint az A1An+1 szakasz, A1B1 + n⋅B1B2 + An+1Bn+1 > n⋅ A1A2, vagyis 2⋅⋅A1B1 > n⋅⋅(A1A2 - B1B2). Ám, ha n-et elegendően nagynak választjuk, akkor ez az egyenlőtlenség ellentmond az arkhimédeszi posztulátumnak. A β > α indirekt feltevés tehát nem igaz, ezért β ≤ α.

37

Ebből viszont már könnyen jutunk arra a következményre, hogy az A1B1 A2 háromszög szögeinek összege kisebb vagy egyenlő, mint két derékszög.(n) Erre a tételre, mint Legendre első szögtételére szokás hivatkozni. De meg kell jegyeznünk, hogy ez az elnevezés téves, hiszen ugyanezt Saccheri már egy évszázaddal korábban felfedezte, amikor bebizonyította, hogy a tompaszögű hipotézis hamis [l.: 14.§]. A következő, Legendre második szögtétele néven emlegetett összefüggést szintén Saccheri igazolta, mégpedig sokkal általánosabb formában [l.: 13.§]. A tétel így hangzik: Ha a háromszögek összege egyetlen háromszögben kisebb vagy egyenlő két derékszöggel, akkor minden háromszögben kisebb vagy egyenlő. Nem ismételjük meg a bizonyítást, mert az lényegét tekintve ugyanolyan, mint amit Saccherinél láttunk. Inkább azt mutatjuk meg, hogy Legendre hogyan próbálta meg azt belátni, hogy a háromszög szögeinek összege két derékszög. Tegyük fel ugyanis indirekt módon, hogy az ABC háromszögben [28. ábra] A∠ + B∠ + C∠ < 2R. Vegyünk fel az AB oldalon egy D pontot és kössük ezt össze az AC oldalon fekvő E ponttal úgy, hogy az ADE∠ = ABC∠. Mivel a feltevésünk (és a második szögtétel) szerint a háromszögek szögösszege mindig kisebb 2R-nél, a DBCE négyszögben a belső szögek összege kisebb lesz mint 4R. Ez viszont azzal jár, hogy a beírt háromszögnek az E-nél levő szöge egyre kisebb lesz, ha az AD szakaszt csökkentjük: vagy ami ugyanezt jelenti, hogy az AD szakasz hosszát az E-nél levő szög és a rögzített A∠, B∠ szögek egyértelműen meghatározzák. C E

A

D

B

28. ábra Ezt az eredményt Legendre abszurdumnak vélte, mondván, hogy a szakasz hosszát a hosszegység megválasztásával már rögzítettük, s ezt a választást semmi nem befolyásolhatja. Szerinte tehát az indirekt feltétel ellentmondáshoz vezetett, ezért az igaz, hogy A∠ + B∠ + C∠ = 2R, amiből Eukleidész 5. posztulátuma már könnyen levezethető. Legendre tehát tagadja, illetve nem ismeri fel a Lambert által meglátott abszolút hosszegység lehetőségét.(o) 28.§ Legendre egy másik vizsgálatában felhasználja a következő hipotézist:

38

Egy szögtartomány belsejében levő bármelyik ponton keresztül mindig húzható olyan egyenes, mely a szög mindkét szárát metszi.(56) Majd így folytatja: Legyen ABC egy olyan háromszög, melyben a szögek összege kisebb, mint két derékszög. A háromszög defektusát jelölje α = 2R - A∠ - B∠ - C∠. Tükrözzük az A csúcsot a háromszög BC oldalára. A tükörkép A´BC háromszög [29. ábra] defektusa szintén α. Az imént idézet hipotézis szerint az A´ ponton át húzhatunk az A∠ szárait B1 és C1 pontokban metsző egyenest. C1 A

C

A' K'

H

r' A

B 29. ábra

B1

K r

B' 30. ábra

B

Könnyen látható, hogy az AB1C1 háromszög defektusa annak a négy háromszög defektusának összege, melyekből össze van rakva. [V. ö.: Lambert vizsgálatával a 19.§-ban.] Eszerint ez a defektus 2α-nál nagyobb.(p) A procedúrát az így kapott nagy háromszögből indulva megismételhetjük, s a kapott háromszög defektusára alsó korlátként 4α-t kapunk. Az n-edik ismétlés eredményeképpen olyan háromszöget konstruálhatunk, melynél a defektus nagyobb lesz, mint 2n⋅α. Ámde az n akármilyen nagy lehet és ezzel a defektus meghaladhatja a két derékszöget [arkhimédeszi posztulátum], ami abszurdum. Ebből következik, hogy α = 0, és ezért A∠+B∠+C∠ = 2R. Ez a bizonyítás az arkhimédeszi posztulátumra támaszkodik. Most megmutatjuk, hogyan lehet elkerülni e posztulátum alkalmazását. [30. ábra.] Legyen ugyanis HK és AB közül előbbi merőleges, utóbbi viszont nem merőleges az AH egyenesre. Tükrözzük ezeket az AH egyenesre: AB´ illetve HK´. Legendre hipotézise szerint létezik egy olyan r egyenes, mely illeszkedik H-ra és metszi a BAB´ szög mindkét szárát. Amennyiben ez az egyenes nem azonos HK-val, akkor az r´ tükörképe sem esik ezzel egybe és természetesen metszi a BAB´ szög mindkét szárát. Következésképpen a kettőjük között fekvő, az AH-ra merőleges KK´ is metszi a szárakat. Vagyis a HAB hegyesszög egyik szárára merőleges egyenes metszi a másik szárat. Ebből az eredményből a párhuzamosok tulajdonságait alkalmazva a szögösszegre adódik, hogy A∠+B∠+C∠ = 2R. Legendre egy másik bizonyításában analitikus módszereket használ és a végtelen mennyiségek helytelen használatával követ el hibát.

56

J.F. Lorenz szintén alkalmazza ezt a feltevést hasonló szándékkal: Grundriß der reinen und angewandten Mathematik (Helmstedt, 1791). 39

Legendre úgy vélte, hogy kiterjedt vizsgálataival sok nehézséget hárított el a geometria megalapozásának útjából. Valójában nem sok új eredményt ért el és azokat is megtalálhatjuk az elődök munkáiban. Legfőbb érdem, hogy mondandóját világos és elegáns formában tudta közzétenni és ezzel igen sok olvasót szerzett, valamint nagymértékben növelte azoknak a figyelemre méltó problémáknak a számát, amelyeknek a megoldása ekkor már érlelődött.

Bolyai Farkas [1775 - 1856] 29.§ Ebben a szakaszban elérkeztünk a magyar geométer, Bolyai Farkas munkásságához. Érdeklődése a párhuzamosok elmélete iránt már diákéveiben, melyeket Göttingenben töltött [1796-99] felébredt. Valószínűleg Kästnernek és barátjának, a fiatal csillagászprofesszor K.F. Seyffernek [1762-1822] a tanácsára. Gaussnak, egykori göttingeni diáktársának 1804-ben küldte el egy dolgozatát - Theoria Parallelarum(57) - amelyben megkísérelte bizonyítani az egyenlőközű egyenesek létezését.(q) Gauss kimutatta, hogy a bizonyítás hibás. Bolyai ennek ellenére folytatta próbálkozásait, hogy a XI. axiómát (az 5. posztulátumot) más, többé kevésbé evidens elvekkel helyettesítse. Ezen az úton haladva kételkedni kezdett, hogy az euklideszi posztulátumot be lehet bizonyítani, sőt kezdett kialakulni benne az a felismerés, hogy a bizonyítás lehetetlen. Kijelentette, hogy a XI. axióma tagadásából levezetett eredmények nem mondhatnak ellent a geometria alapjainak, mivel a két egyenes metszésének törvénye, annak általános formájában egy új adatot képvisel, mely független az előzőktől.(58) Bolyai Farkas eközben kiadta a matematikai ismereteket összefoglaló tankönyvét Tentamen juventutem studiosam in elementa Matheseos [1832-33]; ebben közölte a XI. axiómára vonatkozó vizsgálatait, amelynek során minden új hipotézis bemutatásakor különös súlyt fektetett a precíz bizonyításra. Egy nevezetes helyettesítő posztulátuma a következő(59): A tér négy, nem egy síkban fekvő pontja egy gömböt határoz meg; vagy ugyanennek a síkbeli megfelelője: A sík három, nem kollineáris pontja egy körön fekszik.(r) Az euklideszi posztulátum ebből a következőképpen vezethető le [31. ábra]: Legyen AA´ és BB´ két egyenes, melyek közül egyik merőleges az AB egyenesre, másik hegyesszögben metszi.

57

A Theoria Parallelarum eredetileg latinul íródott, de német fordításban publikálta Engel és Stäckel a Math. Ann. IL. kötetében a 168-205. oldalakon (1897).

58

L.: Stäckel: Die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie durch J. Bolyai, Math. u. Naturw. Ber. aus Ungarn, XVII. (1901).

59

L.: Bolyai Farkas: Kurzer Grundriss eines Versuchs etc.; p.46. (Maros-Vásárhely, 1851). 40

M"

A

M

A'

B'

B

31. ábra M' Vegyünk föl az AB szakaszon egy M pontot és tükrözzük ezt mindkét másik egyenesre. Kaptunk így két pontot - M´ és M´´ -, melyek nem kollineárisak az M ponttal. Ez a három pont egy körön fekszik, s ezért az AA´ és BB´ egyeneseknek metszeniük kell egymást, t. i. a kör középpontjában. Abból, hogy az egyenest (AB-t) a rá merőleges (BB´) egy pontjából (A) egy hegyesszöget bezáró egyenes (AA´) metszi következik, hogy csak egy párhuzamos húzható ebből a pontból.

Friedrich Ludwig Wachter [1792-1817] 30.§ Amint kiderült, hogy az euklideszi posztulátum igaz volta attól függ, hogy három nem kollineáris ponton keresztül kör rajzolható, felmerült a gondolat, hogy a párhuzamosok minden vizsgálatát meg kell előzze a kör definiálása. Ebben az irányban tett egy kísérletet Wachter, aki Gauss tanítványa volt Göttingenben [1809], majd Danzigban a gimnáziumban kapott matematikatanári állást. Több próbálkozása is volt a posztulátum bizonyítására. Ő maga azt hitte, hogy sikerült célját elérni, s erről előbb Gausshoz írt levelében [1816. dec.], majd egy publikációban számolt be.(60) Ebben a dolgozatban azt próbálta bizonyítani, hogy a térben négy nem komplanáris pontra mindig illeszkedik egy gömb. Ehhez a következő posztulátumot használta: A térben tetszőleges négy pont egy felületet határoz meg [négypont-felület], és két ilyen felület egymást egy vonalban metszi, melyet három pont határoz meg. Nem sok értelme lenne Wachternek a tételének bizonyításban alkalmazott okfejtését követni, mert az említett röpiratban elfelejtette a szóban forgó felületet és a három pont által meghatározott vonalat definiálni. Bizonyításai csupán ötletekre korlátozódnak. Amiért mégis meg kell róla emlékeznünk az az 1816-os, Gausshoz írt levele, melyet az antieuklideszi geometriáról folytatott beszélgetésüket követően írt. Ebben a levélben Wachter megemlíti, hogy az a felület, amelyet a gömb sugarának minden határon túli növelésével kapunk, az euklideszi geometriában a síkkal azonos. Megjegyzi

60

Demonstratio axiomatis geometrici in Euclideis undecimi, (Danzig, 1817). 41

viszont, hogy amennyiben az 5. posztulátum nem lenne igaz, akkor az így kapott felületen ugyanaz a geometria érvényesülne, mint a közönséges síkon. Ez a tétel a legfontosabb eredmény, amely Saccheri hegyesszögű hipotézisé mellett, azzal egyenlő értékű. (61) [L.: Lobacsevszkij a 40.§-ban.] A fordító jegyzetei a II. fejezethez: a

„A minden folttól megtisztított Eukleidész, avagy az egyetemes geometria alapelveit megállapító kísérlet”

b

A hivatkozott tétel azt mondja ki, hogy ha egy a0=1 kezdetű mértani sorozat valamelyik későbbi elemének osztója egy prímszám, akkor osztója az a1 elemnek is. Az alkalmazott gondolatsor az ún. indirekt bizonyítás.

c

Az arkhimédeszi posztulátum Hilbert fogalmazásában így hangzik: Legyen A1 egy egyenes tetszőleges pontja annak A és B pontja között. Vegyük fel az A2, A3 , ... pontokat úgy, hogy A1 az A és A2 között, A2 az A1 és A3 között és így tovább … helyezkedjen el és legyenek az AA1, A1A2, A2A3,…szakaszok egyenlők. Ekkor mindig van ebben a pontsorozatban egy olyan An pont, hogy az egyenes B pontja A és An közé esik.

d

Az irodalomban gyakran nevezik Saccheri-féle „trapéznak” is.

e

Ezek is Saccheri-féle négyszögek (közös) OO´ alappal.

f

Az olvasó figyelmét bizonyára nem kerüli el, de talán hasznos kiemelni, hogy az AB és CD egyenlők.

g

Nemeuklideszi geometria történeti áttekintéséhez ez a bizonyítás nem teljesen illeszkedik.

h

Ezek tehát váltószögek és az Elemek I.27. tételében Eukleidész bizonyítja, hogy a megfelelő egyenesek párhuzamosak: CA || BD.

i

Két Lambert-féle négyszög alkotja a Saccheri-féle trapézt. Az irodalomban a „háromderékszög” elnevezés is használatos.

j

A zárójelben álló kifejezés a szférikus excesszus, az a többlet, amennyivel a háromszög szögeinek összege meghaladja a két derékszöget.

k

Kárteszi Ferenc Lambertről ezt írja: „… ő már kitárta a kaput, de nem mert belépni a nemeuklideszi geometria világába.” - Bolyai Appendix I. Rész, p. 16. (Akadémiai Kiadó, 1973).

l

Lényege röviden: a geometria alapjaiban tapasztalható botrányért az egyenes és a párhuzamosság definíciója tehető felelőssé.

m

„Ezen még gondolkodnom kell!”

n

Ti.: az A2 pontnál találkozó három szög összege egyenesszög, azaz 2R, mely tartalmazza az α szöget,a háromszögek szögösszege a másik kettőnek és β-nak az összege.

o

Általánosan elterjedt a tudománytörténészek körében az a vélemény, hogy Legendre eredményei visszalépést jelentenek a párhuzamosok elméletének kutatásában. Valóban, a legjelentősebb tételei, koncepciói már elődeinél megvoltak, sőt néhány esetben gyengébb állításokat tartalmaznak. S akkor még nem is szóltunk arról, hogy olyan előremutató megállapításokat, mint például Lambert sejtését a hosszúság abszolút mértékének létezéséről kifejezetten elutasít.

p

Csak ennyit mondhatunk, hiszen csupán két rész defektusát ismerjük pontosan. A másik két háromszögről csak annyit tudunk, hogy a defektusuk nem nulla.

q

Pontosabban fogalmazva azt próbálta igazolni, hogy az egyenes távolságvonala ugyancsak egyenes.

r

Ma inkább így használják: A sík három különböző pontja vagy egyenesen, vagy körön fekszik.

61

Wachterrel kapcsolatosan l. még: P.Stäckel: Friedrich Ludwig Wachter, ein Beitrag sur Geschichte der nichteuklidischen Geometrie. Math. Ann. LIV. p. 49-85. (1901). Ebben a tanulmányban Wachter levelezése és az említett dolgozat is olvasható. 42

III. FEJEZET A NEMEUKLIDESZI GEOMETRIA MEGALAPOZÓI(a) Karl Friedrich Gauss (1777-1855) 31.§ Két évezred hasztalan erőfeszítései és különösen az 5. posztulátummal kapcsolatos, a XVIII. század elejétől folyó kutatások sok geométert meggyőztek arról, hogy a párhuzamosok elméletét övezte probléma megoldhatatlan. A göttingeni iskola 1763 végétől hivatalosan is kijelentette, hogy az euklideszi hipotézist el kell vetni. Ezt a nézetet, melyet Klügel fejtett ki a Conatuum c. munkájában [l.: p.44.] osztotta és támogatta tanára, A.G. Kästner, a Göttingeni Egyetem professzora.(62) Nem kevésbé érdekelte a kort az a törekvés, mely az 5. posztulátum bizonyításának sikertelen kísérletei helyett egy olyan új geometriai rendszer keresésére irányult, mely a közönséges geometriához hasonló elvekre épül, általánosabb annál és mentes olyan ellentmondásoktól, mint amilyent az euklideszi posztulátum okozott. Mindazok a nehézségek, melyek az új rendszer elveinek megtalálása előtt álltak világosak előttünk, ha visszatekintünk az előző periódusra és főként a kanti filozófia előítéletére.(b) 32. § Gauss volt az első, aki meglátta az 5. posztulátumtól független geometria lehetőségét, de ez ötven éven keresztül a nagy matematikus elméjébe zárva maradt, s csak Lobacsevszkij [1829-30] és Bolyai János [1832] munkáinak megjelenése után került nyilvánosságra. A dokumentumok, amelyekből rekonstruálhatjuk Gaussnak a párhuzamosokkal kapcsolatos kutatásait egyrészt az 1799-1844 között Bolyai Farkashoz, Olbers-hez, Schumacher-hez, Gerling-hez, Taurinus-hoz és Bessel-hez írt levelei, másrészt néhány rövid cikke a Göt. gelehrten Anzeigen 1816-os és 1822-es évfolyamaiban, s végül a halála után előkerült feljegyzései 1831-es dátummal.(63) Összehasonlítva Gauss különböző időben keletkezett leveleit arra a következtetésre jutunk, hogy a témával 1792-ben kezdett foglalkozni. A következő nyomra a Bolyai Farkasnak írt levelében bukkanunk (1799. dec. 17.), melyben közli, hogy - miként korábban Saccheri és Lambert -, megkísérelte az 5. posztulátum igazolását indirekt úton, abból kiindulva, hogy hamis. „Ami engem illet már elég messze jutottam a munkámban, de az út, amelyet választottam nem vezetett a közösen keresett a célba,(64) ami úgy látszik neked jobban sikerült.”

62

L.: Stäckel és Engel: Th. der P., p. 139-142.

63

L.: Gauss Werke, Bd. VIII.p. 157-268.

64

Meg kell jegyezni, hogy Bolyai F. a kérdéssel már Göttingában foglalkozott és úgy vélte, hogy a nehezén már túljutott (V. ö.: 29. §). 43

„Az igaz, hogy néhány eredményt elértem, mely sokak szemében teljesen megnyugtató igazolást nyert, de szerintem semmit sem érnek. Például azt, hogy létezik olyan derékszögű háromszög, melynek területe bármilyen adott nagyságot meghalad, nem tudnám teljes szigorúsággal bebizonyítani.” „Sokan lennének, akik ezt axiómaként elfogadnák, de én nem. Lehetséges ugyanis, hogy a háromszög területe egy korlát alatt marad akkor is, ha a három pont, amivel megadjuk, egymástól minden határon túl távolodik.” Amikor 1804-ben válaszol Bolyai Farkasnak a Theoria parallelarum elolvasása után kifejezi reményét, hogy azok a nehézségek, melyek a kutatás útjába kerültek végül megoldódnak és sikerül továbblépni.(65) Mindezekből Stäckel és Engel, akik Gaussnak a levelezéséből az idevágó adatokat rendszerezték, arra a következtetésre jutnak, hogy a nagy geométer nem ismerte fel a nemeuklideszi geometria létezésének logikai lehetőségét és bár igen sok időt töltött ezzel a kérdéssel, nem tudott a hagyomány előítéleteitől megszabadulni. Vajon ismerte-e Gauss Saccheri és Lambert írásait? Milyen hatások érték e témában? Amint azt Segre a Congetture sorai között megemlíti [v.ö.: 18.§. lábjezet], Gauss és Bolyai Farkas, amikor Göttingenben együtt tanultak [1795-99], foglalkoztak a párhuzamosok elméletével. Ez azért valószínűsíthető, mert Kästner és Seyffer révén, - akik mindketten erősen érdekeltek voltak ebben a témában - tudomást szerezhettek mind az Euclides ab omni naevo vindicatus, mind a Theorie der Parallellinien megjelenéséről. Azonban olyan adatok, melyeknek alapján biztosan eldönthetnénk, hogy ezekkel egyetértettek vagy sem, nem állnak rendelkezésünkre. 33.§ Gauss kutatásainak ezt az első szakaszát 1813 után egy második követte. Erre az időszakra vonatkozóan több biztos adatunk van Gauss néhány megjelent írásából; valamint azokból a levelekből, melyek közül egyet Wachter írt Gausnak [1816], továbbiakat pedig Gauss küldött Gerlingnek [1819], Taurinusnak[1824], és Schumachernek [1831]. Ezek a dokumentumok azt mutatják, hogy Gauss, ebben a második periódusában - legyőzve kétségeit - folytatta törekvéseit egy új geometria megalapozására, melyet kezdetben antieuklideszi geometriának [v.ö.: 30.§], később asztrál-geometriának [Schweikart nyomán, v.ö.: 35.§], végül pedig [Schumacherhez írt levelében] nemeuklideszi geometriának nevez. Arra a meggyőződésre jutott, hogy a nemeuklideszi geometria nem tartalmaz ellentmondásokat, ámbár első látásra az eredmények paradoxonnak tűntek [Schumacherhez írt, 1831. július 12-én kelt levél szerint]. Ennek ellenére Gauss nem publikálta gondolatait, valószínűleg attól tartott, hogy félreértik. Félt a „das Geschrei der Böotier”-től,(c) ahogy a Besselhez 1829. jan. 27-én kelt levelében írja. Csupán néhány közeli barátjának tárt fel valamennyit a munkájából. Amikor a körülmények arra késztették, hogy a témáról Taurinusnak írjon [1824], arra kérte, hogy tartsa titokban mindazt, amit csak vele akart közölni. Azokban a jegyzetekben, amelyeket Gauss hátrahagyott található két rövid szinopszis a párhuzamosok elméletéről és egy tervezet, valószínűleg a nemeuklideszi geometria kifejtésére, mellyel kapcsolatosan a következőket írta Schumachernek [1831. május 17.]: „ Az elmúlt pár hétben néhány dolgot, melyek mintegy 40 éve foglalkoztatnak, leírtam a Feljegyzéseimben.

65

Az említett nehézségek az 5. posztulátum bizonyításában talált hibák voltak. 44

Ezeket sohasem publikáltam, noha két-három változatban már átgondoltam őket. Nem akarom azonban, hogy velem együtt semmisüljenek meg.” 34.§ Gauss a párhuzamosokat a következőképpen definiálja:(66) Ha az AM és BN komplanáris egyenesek, melyek egymást nem metszik, ellenben minden olyan egyenes metszi a BN egyenest, mely az A ponton áthalad az AM és BN egyenesek között, akkor AM-ről azt mondjuk, hogy párhuzamos BN-nel. Látható, hogy miben különbözik a párhuzamosoknak ez a definíciója az Eukleidész-féle definíciótól. Ha ugyanis az euklideszi posztulátumot elvetjük, akkor az A ponton át több olyan egyenes haladhat, mely nem metszi a BN egyenest, míg az antik definíció szerint csak az egyetlen párhuzamos ilyen tulajdonságú. A A' A

A'

M

B

B' C'

N

B

C

32. ábra

33. ábra

A Gauss-féle definícióban az A pont kitüntetettnek tűnik, de rá kell mutatni, hogy az AM párhuzamos volta független e pont helyzetétől. Gauss megmutatta, hogy ha A´ az AM egyenes tetszőleges pontja, akkor az A´M egyenes is párhuzamos BN-nel. A párhuzamos definíciójából nem következik magától értetődően, hogy a párhuzamosság kölcsönös, azaz, hogy BN is párhuzamos AM-mel. Erre Gauss egy elegáns bizonyítást ad. Végül még azt is kimutatja, hogy a párhuzamosság tranzitív, vagyis ha egy egyenessel két másik párhuzamos, akkor ezek egymással is párhuzamosok. Észrevehető, hogy Gauss a párhuzamosságot, mint irányított tulajdonságot definiálja. Definíciója szerint az A ponton átmenő egyenesek közül az AB-től jobbra haladó párhuzamost visszafelé meghosszabbítva nem biztos, hogy a balra haladó párhuzamost kapjuk. A kétirányú párhuzamosság az euklideszi posztulátum következménye. Ezért, amikor azt mondjuk, hogy két, ugyanazzal az egyenessel párhuzamos egyenes egymással is párhuzamos, akkor ezt csak az egyik irányban érvényes párhuzamosságra értjük. Végül Gauss bevezeti a párhuzamosok korrespondeáló pontjainak fogalmát. Azt mondja, hogy az AA´ és BB´ párhuzamosoknak [33. ábra] korrespondeáló pontjai A és B, ha az AB összekötővel annak ugyanazon az oldalán mindkét párhuzamos azonos belső szöget zár be.

66

Ebben a részben Gaussnak a párhuzamosokkal kapcsolatos gondolatait az Összegyűjtött Munkái ( Werke, VIII. p.202-9) alapján idézzük. 45

Bebizonyítja, hogy ha CC´ egy harmadik egyenes, mely az előző kettő mindegyikével párhuzamos és C a B pont megfelelője, akkor A és C szintén korrespondeáló pontok. Bár Gauss ezen a ponton megállt az ötlet kifejtésében, rá kell mutatnunk e fogalom fontosságára. Legyenek ugyanis az O pontra illeszkedő sugársor elemei AA´, BB´, CC´,… [34. ábra] akkor az O középpontú kört, mint e sugársor korrespondeáló pontjainak mértani helyét lehet definiálni. Ugyanígy adható meg egy mértani hely, ha a sugársort párhuzamos egyenesek alkotják. Az euklideszi geometriában ez a mértani hely egyenes; ám ha az euklideszi hipotézist elvetjük, akkor ez a mértani hely olyan vonal, melynek tulajdonságai inkább a köréhez, semmint az egyeneséhez hasonlítanak. E vonal három pontja tehát nem határoz meg sem egyenest, sem kört. Úgy lehet inkább értelmezni, mint egy kör határhelyzetét, mikor annak sugara minden határon túl növekszik.(d) A

A' B'

B

O

C'

34. ábra C Gauss nem folytatta a saját vizsgálatait, mert megismerte Bolyai János munkáját, s benne az abszolút geometriát. A megelőző és a későbbi levelezésében feltűnik a hosszúság abszolút egységének gondolata is [v.ö.: Lambert, Legendre] és a formulákban egy k konstans, amelyről megjegyzi, hogy ha ezt ismernénk, akkor a párhuzamosság minden problémáját meg tudnánk oldani [Gerlinghez írott levél]. Részletesebben ír erről 1831-ben [levél Schumacherhez], amikor megadja az r sugarú kör kerületét a következő formulával: r −   kr k π ke − e   

Ezzel a k konstanssal kapcsolatban megjegyzi, hogy ha egy új geometriai rendszert akarunk tapasztalati úton konstruálni, akkor fel kell készülnünk arra, hogy ennek az értéke minden mérhető értéket meghalad. A k = ∞ helyettesítéssel a képlet a kör kerületének ismert 2π⋅r képletébe megy át. Eszerint a Gauss-féle rendszer határátmenetként tartalmazza Eukleidész rendszerét.

46

Ferdinand Karl Schweikart [1780-1857] 35.§ A jogászprofesszor(e) Schweikart(67) 1807-ben - Gauss vizsgálataival egyidőben, de tőle függetlenül - tette közzé eredményeit „Die Theorie der Parallellinien, nebst Vorschage ihrer Verbannung aus der Geometrie” címmel. Ez a tanulmány, címével ellentétben nem a párhuzamosok elméletének az 5. posztulátumtól független tárgyalását adja, hanem a témának egy olyan feldolgozását, mely az ő különleges, a parallelogrammákra alapozott elméletére támaszkodik. Azonban egy későbbi dokumentumból kibontakoznak egy, az euklideszi hipotézistől független geometria körvonalai. Ugyanis 1818. decemberében átadott kollégájának Gerlingnek egy feljegyzést arra kérve, hogy mutassa meg Gaussnak és kérje ki véleményét az elképzeléséről: [Jegyzet] „Kétféle geometria létezik - egy szigorú értelemben vett geometria - az euklideszi; és egy asztrál-geometria [astralische Grössenlehre]. „Ez utóbbiban a háromszögeknek az a tulajdonsága, hogy a szögeik összege nem egyenlő két derékszöggel.” „Ebből kiindulva szigorúan bebizonyítható, hogy a) a háromszög szögeinek összege kisebb, mint két derékszög? b) ez az összeg annál kisebb, minél nagyobb a háromszög területe; c) egy derékszögű, egyenlőszárú háromszög magassága, miközben a szárakat növelve folyamatosan nagyobbítjuk, nem haladhat meg egy bizonyos szakaszt, melyet Constans-nak nevezek.” Tekintsük következő alakú négyszöget [35. ábra]:

35. ábra „Ha a Constans mondjuk a Föld sugara, akkor ez a négyszög végtelenül nagy lenne azokhoz a távolságokhoz képest, melyeket ma ismerünk. (Ilyen négyszöget kapunk, ha összekötünk két olyan égitestet, melyek egymástól 90o-os szögben eltérően látszanak és ez az összekötő egyenes érinti a Föld-felszint.)”

67

Tanulmányait Marburban végezte és 1796-98 között matematikai tanulmányokat folytatott azon az egyetemen, ahol J.K.F. Hauff, a párhuzamosokkal foglalkozó publikációk szerzője tanított (l.: Th.der P. p.243.). 47

„Az euklideszi geometria megfelel annak a feltételnek, hogy a Constans végtelen nagy. Csak ebben az esetben igaz, hogy a háromszögek szögeinek összege két derékszöggel egyenlő és ezt könnyen be lehet bizonyítani ebből a feltételből.”(68) Schweikart asztrál-geometriája és Gauss nemeuklideszi geometriája pontosan megfelel Saccheri és Lambert hegyesszögű hipotézisére épülő rendszernek. Sőt, ezek az eredmények közvetlenül is levezethetők Saccheri elméletéből, amint erre a körülményre Klügel a Conatuum-ban rámutat, és ugyancsak következnek Lambert háromszög-elméletéből. Miután Schweikart idézi e két szerzőt az 1807-ben kiadott munkájában, Lambert közvetlen és Saccheri közvetett hatása bizonyítható.(69) Gauss 1819. márciusában válaszolt Gerlingnek az asztrál-geometria tárgyában és gratulált Schweikartnak kijelentvén, hogy a feljegyzésben leírtakkal teljesen egyetért. Hozzátette, hogy ő maga addig jutott el az asztrál-geometria kidolgozásában, hogy bármilyen problémát meg tudna oldani, ha a Schweikart-féle Constans ismert lenne. Megadta például a háromszögek πCC területének felső határát a következő formulával:(70) 2 loghyp 1 + 2

[

(

)]

Schweikart végül nem publikálta kutatásait.

Franz Adolf Taurinus [1794-1874] 36.§ Azon túlmenően, hogy Schweikart maga foglalkozott a párhuzamosok elméletével, 1820ban rávette unokaöccsét, Taurinust, hogy a témának szentelje magát. Ezt azzal érte el, hogy felhívta figyelmét az asztrál-geometriára és Gaussnak az ezzel kapcsolatos elismerő véleményére. Taurinus csupán 1824-ben határozta el magát arra, hogy komolyan foglalkozzék a kérdéssel, de nem osztotta maradék nélkül nagybátyja nézeteit. Meg volt ugyanis győződve arról, hogy az 5. posztulátum igaz és e meggyőződése mellett mindvégig kitartott, remélve, hogy képes lesz bebizonyítani. Az első kísérleteivel kudarcot vallott, de Gauss és Schweikart befolyására ismét munkához látott. Az 1825-ben publikált műve - Theorie der Parallellinien - tartalmaz egy értekezést a nemeuklideszi geometriáról, a tompaszögű hipotézis cáfolatáról, valamint néhány olyan vizsgálatot, melyek Saccherinek és Lambertnek a hegyesszögű hipotézisből levezetett rendszeréhez hasonlatosak. Ezen az úton haladva újra felfedezte a Schweikart-féle Constanst, melyet ő Paraméternek nevezett. Elképzelhetetlennek tartotta, hogy a teret úgy fogjuk fel, mint amit különbözőképpen lehet meghatározni, s arra a meggyőződésre jutott, hogy a Paraméter végtelen. Úgy vélte, hogy a térszemléletével ellentmondásba jutott és ezért ismételten elvetette a hegyesszögű hipotézist, noha felismerte, hogy a kiindulás és a következtetés között nincs logikai ellentmondás.

68

L.: Gauss Munkái, VIII. p.180-181.

69

L.: Segre idézett munkáját: Congetture…, p.44.

70

Az a C konstans, mely ebben a képletben szerepel a Schweikart-féle Constans, mely a Gauss-féle k konstanssal, mely a kör kerületének képletében szerepel (l.: 34.§) a következő összefüggésben van:

k=

C . log(1 + 2 ) 48

A következő évben Taurinus publikálta „Geometriae prima elementa” [Köln, 1826] című munkáját, melyben újra rendszerezi az 1825-ös eredményeit. Ez a munka tartalmaz egy figyelemre méltó függeléket, melyben a szerző megmutatja, hogy a hegyesszögű hipotézisből milyen analitikus rendszer fejthető ki. A rendszer felépítése céljából Taurinus a gömbháromszögek következő összefüggéseiből indul ki:(f) cos

alapvető

a b c b c = cos cos + sin sin cosα k k k k k

Ha ebben a valós k sugár helyére a képzetes ki sugarat helyettesítjük, akkor a (1)

cosh

a b c b c = cosh cosh + sinh sinh cosα k k k k k

összefüggést kapjuk.(g) Ez Taurinus-féle logaritmiko-szférikus geometria [Logaritmisch-sphärischen Geometrie] alapképlete. Könnyű megmutatni, hogy ebben a geometriában a háromszögek szögeinek összege kisebb, mint két derékszög. Az egyszerűség kedvéért válasszunk egyenlő oldalú háromszöget, s helyettesítsünk (1)-be a = b = c oldalakat. A kapott egyenletet α-ra megoldva kapjuk: (*)

cos α =

cosh

a k

a 1 + cosh k

.

De a hiperbolikus függvényeket hatványsorukkal helyettesíthetjük: 2

(**)

4

1  a 1  a 1 +   +   +! 1 2!  k  4!  k  > cos α = 2 4 2 1  a 1  a 2 +   +   +! 2!  k  4!  k 

Eszerint tehát α < 60o , és a három szög összege kisebb, mint 180o . Ezenkívül az is következik a (*) egyenletből, hogy 1 , 2 amely szerint a (szabályos) háromszög oldalát minden határon túl csökkentve, a szögeinek határértéke 60o. A logaritmiko-szferikus geometriában tehát a háromszög szögeinek összege 180o-hoz tart, ha az oldalak hossza zérushoz közelít. lim(cos α ) = a →0

Viszont (**)-ban a k sugár növelésével a határérték lim(cos α) =

k →∞

1 , 2

vagyis k minden határon túli növelésével, α határértéke szintén 60o lesz. Ha tehát feltesszük, hogy a k konstans végtelen, akkor a szabályos háromszög szöge 60o , a háromszög szögeinek összege pedig 180o lesz, mint a „rendes geometriában”.

49

Még általánosabban mutatja a határátmenet lényegét, ha az (1) képletben a formális k = ∞ helyettesítést elvégezzük. Azt kapjuk ugyanis, hogy a 2 = b 2 + c2 − 2bc cosα , ami az euklideszi síkban jól ismert koszinusz tétel. Ez az eredmény gyakorlatilag megegyezik Gauss és Schweikart következtetéseivel. 37.§ A gömbháromszögtan másik fontos összefüggése a szögre vonatkozó koszinusz tétel: a cos α = − cosβ cos γ + sin β sin γ cos , k amiből formálisan - a trigonometrikus függvényt a megfelelő hiperbolikus függvénnyel kicserélve - kapjuk a logaritmiko-szférikus geometria másik alapképletét: cos α = − cosβ cos γ + sin β sin γ cosh

(2)

a k

Ebből az α = 0 és γ = 90o helyettesítéssel adódik, hogy cosh

(3)

a 1 = k sin β

Az adatoknak megfelelő háromszögben (36. ábra) van egy null-szög, amelyet a háromszög két végtelen hosszú oldala fog közre. Ezek párhuzamosak [asszimptotikusak]. Az a β szög, melyet egy végtelen oldal és az AC merőleges fog közre, (3) szerint az a szakasz függvénye: mondhatjuk végül is, hogy ez az a távolsághoz tartozó párhuzamossági szög (l.: Lobacsevszkij, 40.§). B β a

}

90o

A

C 36. ábra Ha β = 45o , akkor a megfelelő BC szakasz (3) alapján kiszámítható, megkaphatjuk a Schweikart-féle Constanst. Ezt C-vel jelölve írhatjuk: cosh

C = 2, k

amiből a Gauss-féle [34.§] k konstans is meghatározható: k=

(

C

log 1 + 2

)

.

Ezt a képletet, mely a két konstans kapcsolatát tartalmazza, Taurinus vezette le.

50

38.§ Taurinus sorban transzformálta a gömbháromszögtan képleteit, s a valós sugarat képzetessel felcserélve a logaritmiko-szferikus geometria számos fontos összefüggését vezette le. Például, hogy a háromszög területe arányos a szögek összegének defektusával [v. ö.: Lambert, 19.§]; és, hogy a háromszögek területének felső korlátja: π C2

[log(1 + 2 )]

2

[Gauss, 35.§];

vagy, hogy az r sugarú kör kerülete: 2πk sinh

r ; k

[Gauss, 34.§];

továbbá, hogy az r sugarú kör területe: r   2 πk 2  cosh − 1 ;  k  illetve, hogy az r sugarú gömb felszíne és térfogata: 4 πk 2 sinh 2

r k

r r r  " 2 πk 3  sinh ⋅ cosh −  .  k k k

Nem szükséges ennél több teret szentelni a különböző analitikus kifejtéseknek, mivel a részletezés sem mutatna be többet a módszerről. Azt azonban ki kell emelnünk, hogy Taurinus eredménye megerősíti Lambert meglátását a hegyesszögű hipotézisről [v.ö.: 21.§], hiszen a logaritmiko-szferikus geometria formulái a képzetes gömbháromszög alkotórészei közötti alapvető összefüggéseket írják le.(71) Ehhez még azt kell hozzáfűznünk, hogy Taurinus Lamberttel megegyezően felismerte, hogy a gömbi geometria megfelel a tompaszögű hipotézisnek, valamit azt, hogy a közönséges síkgeometria összekötő kapocs a gömbi és a logaritmiko-szférikus geometria között. Valóban, ha k konstans folyamatosan változva a valós értékek tartományából a tiszta képzetesbe megy át a végtelenen keresztül, akkor a gömbi geometriából a logaritmikoszférikus geometriába jutunk az euklideszi geometria érintésével.

71

Ezen a ponton meg kell jegyezni, hogy Lambert a párhuzamosok vizsgálatával egy időben foglalkozott a képzetes argumentumú trigonometrikus függvényekkel, amelyeknek a nemeuklideszi geometriával való kapcsolatára Taurinus derített fényt. Lehetséges, hogy Lambert rájött arra, hogy a gömbháromszögek képletei megőrzik realitásukat akkor is, ha a valós sugarat képzetessel felcseréli. Azt kell mondanunk, hogy Lambertnek a hegyesszögű hipotézisével kapcsolatos előrelátása [21.§] elegendő lett volna ahhoz, hogy az elmélet alapjául szolgáljon, de a benne rejlő lehetőséget nem vizsgálta meg. Nincs jogunk azonban azt gondolni, hogy valaha is összevetette volna trigonometriai és a párhuzamosok elméletére vonatkozó vizsgálatait. (V.ö.: Stäckel: Bemerkungen zu Lamberts Theorie der Parallellinien, Bibliotheca Math. 1899. évf. p. 107-110. ) 51

Mint azt már említettük, Taurinus kizárta annak a lehetőségét, hogy a logaritmiko-szférikus geometria a síkon is érvényes lehetne. Az elméleti lehetőség, melyet ez a geometriai rendszer felkínált, nem ragadta meg az érdeklődését. Felhívta a geométerek figyelmét a formuláira de minden konkrét értelmezést pusztán jóslatnak tekintett.(72)

A fordító jegyzetei a III. fejezethez: a

Az olasz címben szereplő fondatori - alapítót, kezdeményezőt jelent. A fejezetben ismertetett tudósok kutatásai azonban sem a hiperbolikus geometria (Lobacsevszkij), sem az abszolút geometria (Bolyai) teljes kiépítését nem érték el. Ezért bátorkodtam a fejezetcímben arra utalni, hogy ezek a geométerek bizonyos értelemben alapokat raktak le, de az épület nem az ő alkotásuk.

b

Kant itt idézett gondolata a térszemléletre vonatkozik és lényegében azt fogalmazza meg, hogy a térfogalom nem a tapasztalatból ered. Ennek a filozófiai elvnek a követői azt tartották, hogy az emberi gondolkodás az euklideszi tértől eltérő szerkezetű teret el sem tud képzelni.

c

Beocia az antik Görögország határvidéke, lakói amolyan „mucsaiak”, akik csak a pórias dolgokhoz értettek. Gauss ezeknek a „kiabálásától” félt.

d

Arról a vonalról - végtelen sugarú határkörről - van itt szó, melyet Bolyai János paraciklusnak, vagy Lvonalnak, Lobacsevszkij pedig horociklusnak nevez.

e

Harkovban tanított az egyetemen 1812-1816-ig, majd 1917-től Németország különböző egyetemein.

f

Az oldalra vonatkozó koszinusz tételről van itt szó, ahol a ,b ,c az oldalak hossza, k pedig a gömb sugara, mindegyik a hosszúság egységben (nem ívmértékben) kifejezve.

g

Ez BONOLA lábjegyzete, melyet terjedelme miatt voltam bátor ide áthelyezni.

Az olvasó kényelmére megadjuk a hiperbolikus függévények definícióját és főbb azonosságait:

(I)

 e x − e− x x x 3 x5 = + + +! sinh x = 2 1! 3! 5!  e x + e− x x2 x 4  = 1+ + +!  cosh x = 2 2! 4!  e x − e− x  tanh x = x  e + e− x

Megjegyezzük, hogy a ciklometrikus (trigonometrikus) függvényeknek a komplex analízist alkalmazó definíciója ehhez teljesen hasonló:

(II)

 eix − e − ix x x 3 x 5 = − + −! sin x = 2i 1! 3! 5!  eix + e −ix x2 x4  = 1− + −!  cos x = 2i 2! 4!  1 eix − e −ix  tan x = ⋅ ix  i e + e − ix

Ezekből olvasható ki a hiperbolikus és ciklometrikus függvények alábbi kapcsolata:

72

Schweikartnak és Taurinusnak a nemeuklideszi geometria felfedezésében játszott szerepének fontosságára Stäckel és Engel derítettek fényt a már idézett „Theorie der Parallellinien” egy teljes, nekik szentelt fejezetében [p.237-186], ahol idézik Taurinus írásainak legfontosabb részeit, Gaussal és Schweikarttal folytatott levelezését. L. még: Stäckel - „Franz Adolf Taurinus”, Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik, IX. p.397-427 (1899). 52

(III)

i sinh x = sin(ix )   cosh = cos(ix ) . i tanh x = tan(ix ) 

Ez utóbbi teszi lehetővé, hogy a goniometria alaptételeiből a hiperbolikus trigonometria megfelelő képleteit egyszerű helyettesítéssel megkapjuk:

(IV)

 cosh 2 x − sinh 2 x = 1   sinh( x ± y ) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y cosh( x ± y ) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y 

53

IV. FEJEZET A NEMEUKLIDESZI GEOMETRIA MEGALKOTÓI(a) Nyikoláj Ivanovics Lobacsevszkij (73) [1793-1856] 39.§ Lobacsevszkij Kazányban végezte matematikai tanulmányait annak a J.M.C. Bartels [1769-1836] professzornak a keze alatt, aki Gaussnak jó barátja és földije volt. 1813-ban megkapta a magiszteri(b) címet, később asszisztensi, majd tanári kinevezését. Mind matematikai, mind fizikai, mind csillagászati előadásokat tartott. Már 1815-ben foglalkozott a párhuzamosokkal és egy kéziratában, az 1815-17-es egyetemi előadási jegyzeteiben találkozunk az 5. posztulátum bizonyításának kísérletével és néhány Legendre-éhez hasonló próbálkozással. De csak 1823 után fogalmazta meg a képzelt geometria koncepcióját. Erre lehet következtetni a készülő elemi geometriai tankönyvének kéziratából, ahol leírja, hogy azért nem ismerjük az 5. posztulátum bizonyítását, mert azt nem is lehet bizonyítani.(c) 1823 és 1825 között Lobacsevszkij érdeklődése ismét egy, az euklideszi posztulátumtól független geometria felé fordult és ennek első gyümölcse az Exposition succincte de principes de la géométrie, avec une demonstration rigoureuse du théoréme des paralléles(d) címmel tartott felolvasása a Kazányi Egyetem fizika-matematika szekciójának 1826. február 12-i ülésén.e Ebben az előadásában, melynek kézirata nem maradt fenn, Lobacsevszkij ismertette egy olyan, az euklideszinél általánosabb geometria alapjait, amelyben egy egyeneshez egy külső ponton keresztül két párhuzamos húzható és amelyben a háromszögek szögeinek összege kisebb két derékszögnél [Saccheri és Lambert hegyesszögű hipotézise]. Később, 1829-30-ban publikált egy értekezést A geometria alapjairól,(74) mely az imént említett felolvasás rövid összefoglalását, valamint az új elméletnek az analízis területén való további alkalmazásait tartalmazza. Ezt követően folyamatosan jelentek meg munkái: A képzelt geometria(75) [1835]; A geometria új alapjai, a párhuzamosok teljes elméletével(76) [1835-38]; A képzelt geometria alkalmazása néhány integrál kiszámítására(77) [1836]; aztán francia átdolgozásban a Géométrie imaginaire(78) [1837]; és végül a munkásságát összefoglaló könyv

73

A Lobacsevszkijre vonatkozó történeti és kritikai észrevételek esetében mindig F. Engel könyvére hivatkozunk: Zwei geometrische Abhandlungen aus dem Russischen übersetzt mit Ammerkungen und mit einer Biographie der Verfassers.(Lipcse, Teubner, 1899).

74

A Казанский Вестник (Kazanszkij Vesztnyik) 1829-30. évfolyam. - Megtalálható még Lobacsevszkij Geometriai munkáinak összegyűjtött kiadásában: Kazány, 1883-86. I. p.1-67.

75

Ученые Записки Университета (Egyetemi Tudományos Közlemények), Kazány [1835]. - Geom.munk. I. p.71-120.

76

Egyetemi Tudományos Közlemények, Kazány [1835-38]. - Geom.munk. I. p. 219-486.

77

Egyetemi Tudományos Közlemények, Kazány (1836). - Geom.munk. I. p. 121-218.

78

Crelle-féle Journal, XVII. p. 295-320. (1837). - Geom.munk. II. p. 581-613. 54

a Geometrische Untersuchungen(79) [1840], melyet azért írt németül, hogy felhívja a matematikusok figyelmét eredményeire. Később, 1855-ben, halála előtt egy évvel, már vakon diktálta le geometriai rendszerének kifejtését, a Pángeometriát -, mely oroszul és franciául jelent meg(80). 40.§ A nemeuklideszi geometria, mely 1816-ban Gauss és Schweikart agyában megfogant, s melyet 1826-ban Taurinus, mint egy virtuális rendszert tanulmányozott, csupán az 1829-30-as évek beköszöntével vált a tudományos közélet kincsévé. Hogy a lehető legrövidebben megmutassuk azt a gondolatmenetet, amelyet Lobacsevszkij a képzelt geometria és a Pángeometria felépítésében követett, felvillantjuk az 1840-ben közreadott Párhuzamossági vizsgálatok … néhány részletét.(f) E

B

k

A

h

D

C

37. ábra Ebben Lobacsevszkij, miután előrebocsát néhány tételt, melyek a párhuzamosok elméletétől függetlenek, vizsgálat alá veszi az A tartójú sugársort [37. ábra] és egy hozzá nem tartozó BC egyenest. Ebben a sugársorban az AD jelöli azt, amelyik BC-re merőleges és az AE pedig azt, amelyik erre az AD-re merőleges. Ez az egyenes az euklideszi geometria szerint a sugársor egyetlen eleme, mely nem metszi a BC egyenest. Lobacsevszkij rendszerében több olyan sugár van, mely ugyancsak nem metszi BC-t. A nem-metszőket a metszőktől(g) két egyenes - h, k választja el, melyeknek szintén nincs közös pontja BC-vel [v. ö.: Saccheri, 16.§]. E két egyenes, melyeket a szerző párhuzamosoknak nevez, csak egy-egy irányban rendelkeznek a párhuzamosság tulajdonságával: a k egyenes balra, míg a h egyenes jobbra párhuzamos. Az a szög, amelyet az AD merőlegessel e két egyenes egyike bezár a párhuzamosság szöge, mely az AD szakasz hosszától függ. Lobacsevszkij a Π(a) szimbólumot használta az a távolsághoz tartozó párhuzamossági szög jelölésére. Az euklideszi geometriában a párhuzamossági szög konstans: Π(a) = 90o, Lobacsevszkij rendszerében Π(a) jól meghatározott függvénye az a távolságnak, és csupán határértékben, - amikor a minden határon túl csökken -, lesz 90o ; viszont zérussá válik, midőn a végtelenhez tart. A párhuzamosok definíciója után megmutatja, hogy a párhuzamosság: permanens,(h) reflexiv, tranzitív [v.ö.: Gauss, 34.§], továbbá, hogy a párhuzamosok asszimptotikusak. E tulajdonságok igazolását követi a háromszög szögeinek összegére vonatkozó vizsgálat, mely a Legendre és az őt megelőző Saccheri kutatásaiból ismert eredményekkel zárul. Nem kétséges, hogy Lobacsevszkij ezeket, különösen Legendre kutatásait ismerte.

79

Berlin (1840) - Geom.munk. II. p. 553-578. - Magyar kiadás: Akadémiai kiadó (1951).

80

Kazányban, az Egyetem alapításának 50. évfordulójára kiadott, a tanárok munkáiból összeállított jubileumi kiadványban, I. p. 279-340. (1856). - Geom. munk. II. p. 617-680. 55

A képzelt geometria legfontosabb része a trigonometrikus formulák levezetése. Ezekhez a szerző két, eddig nem ismert alakzatot definiál: a horociklust [végtelen sugarú kör; v.ö.: Gauss, 34.§] és a horoszférát [végtelen sugarú gömb],(i) melyeknek az euklideszi geometriában az egyenes, illetve a sík a megfelelője. A horoszférán, amelynek a geodetikus vonalai horociklusok, az euklideszivel azonos geometria érvényes, ahol a horociklusok töltik be az egyenes szerepét. Ez késztette Lobacsevszkijt a következő, figyelemre méltó következtetés megfogalmazására: „A horoszférán érvényes az euklideszi geometria [v. ö.: Wachter, 30.§] és különösen a közönséges trigonometria. Ezt a megállapítást és a koaxiális horociklusok [koncentrikus, végtelen sugarú körök] más tulajdonságait használja fel Lobacsevszkij arra, hogy levezesse az új síkgeometria és a gömbi geometria trigonometrikus képleteit. Ez utóbbiak megegyeznek az euklideszi geometria ismert formuláival, amennyiben a gömbháromszögek alkotórészeit derékszögekben mérjük. 41.§ Megjegyzésre méltó, ahogyan Lobacsevszkij ezeket az eredményeket kifejti. Ha az ABC háromszögnek a csúcsokkal szemközti megfelelő oldalait a, b, c jelöli és e szakaszokhoz tartozó párhuzamossági szögeket rendre Π(a), Π(b), Π(c), akkor a Lobacsevszkij alapképlete a következő alakot ölti: (4)

cos A ⋅ cos Π (b) ⋅ cos Π (c) +

sin Π (b) ⋅ sin Π (c) =1 sin Π (a )

Könnyű észrevenni, hogy ez Taurinus képletével [36.§, (1)] ekvivalens, egyik a másikból egyszerű átalakítással nyerhető. Hasonlóan kapható Lobacsevszkij formulájából a Taurinus (3)/[36.§] képletének megfelelő összefüggés, csupán az ott β-val jelölt szög helyére kell a Π(b) párhuzamossági szöget beírni. A két formularendszer közötti átmenethez a Lobacsevszkij által megadott, a párhuzamossági szög és a megfelelő távolság közötti kapcsolatot leíró képlet szolgál: tg

(5)

1

Π( x ) = a−x , 2

38. ábra

Ez ugyanazt fejezi ki, csak más formában, mint Taurinus (3) képlete. Ebben a képletben szerepelő a konstans azt az arányt képviseli, ami az egymástól egységnyi távolságban elhelyezkedő koaxiális horociklusok megfelelő ívhosszai között áll fenn(j) [38. ábra]. Mivel a hosszúság egysége tetszőleges lehet, megtehetjük, - miként Lobacsevszkij is -, hogy az a = e egységet választjuk, ahol e a természetes logaritmus alapját jelöli. Ha Lobacsevszkij ered-

56

ményeit Taurinus logaritmiko-szférikus geometriája, vagy Gauss nemeuklideszi geometriája felöl akarjuk megközelíteni, akkor válasszuk az a konstanst a következőképpen: i

a = ek . Ekkor az (5) formula így alakul: (5´)

tg

x − Π( x ) =e k 2

vagy átalakítás után: (6)

cosh

x 1 = . k sin Π(x )

Ezt az összefüggést használva közvetlen behelyettesítéssel kapjuk meg Taurinus (1) képletéből Lobacsevszkij (4) összefüggését. Kimondhatjuk tehát: Taurinus logaritmiko-szférikus geometriája azonos Lobacsevszkij képzelt geometriájával, azaz a Pángeometriával. 42.§ Felsorolunk néhány további említésre méltó eredményt, amelyekhez Lobacsevszkij eljutott: a) A - legfeljebb elsőrendben - infinitézimálisan kicsi háromszögeknél a trigonometrikus formulák a közönséges formába mennek át. b) Ha trigonometrikus formulákban szereplő a, b, c oldalak helyébe képzetes ia, ib, ic mennyiségeket írunk, akkor e formulák a gömbi trigonometria tételeit adják.(81) c) Ha a síkban és a térben a Descartes-féle koordinátákhoz hasonló koordinátákat alkalmazunk, akkor analitikus módszerrel a vonalak hossza, a felületek felszíne és a testek térfogata meghatározható. 43.§ Mi késztette Lobacsevszkijt arra, hogy a párhuzamosok elméletével foglalkozzon és felfedezze a képzelt geometriát? Már említettük, hogy Kazányban Bartels, Gauss barátja, volt a tanára. Ehhez most hozzátesszük, hogy Bartels közvetlen azelőtt, mielőtt katedrát kapott Kazányban [1807] két évet töltött el Gaussal Brunswickban és kinevezése után is levelezett vele. Ha csak futólag is említette a témát Lobacsevszkijnek, akkor az bizonyára hatással volt kutatásaira. Már láttuk, hogy Gauss 1807 előtt megpróbálta megoldani a párhuzamosok problémáját és említettük, hogy ebben az időszakban az erőfeszítései nem hoztak más eredményt, mint azt a reményt, hogy a kutatást akadályozó nehézségeket majd le fogja gyűrni. Ez volt az, amit Bartels Gausstól első kézből, friss élményként megtudhatott és ez inkább negatív motívumnak tekinthető. Gauss nézeteinek alakulását ismerve feltehetjük, hogy Bartels nem értesült a kutatásainak további alakulásáról, s valószínű, hogy Lobacsevszkij a geometriai rendszerét Gauss-tól függetlenül dolgozta ki.(82) Megemlíthetünk további hatásokat: például Saccheri és Lambert munkáit, melyeket az orosz geométer közvetlenül, vagy Krüger és Montucla munkáinak közvetítésével ismerhetett.(k) Nincs azonban a pontos indítékra vonatkozóan semmi 81

Ez az eredmény igazolja, hogy helyes a Taurinus által alkalmazott módszer, mely a logaritmiko-szférikus geometri megkonstruálásához vezetett.

82

V.ö.: Engel idézett műve, p. 75: második rész; Lobatschefskij Leben und Schriften, VI. p.373-383. 57

konkrét adatunk. Mindenesetre az elődök kudarcai, a saját hasztalan próbálkozásai [1815-17] nyomán, mint korábban Gauss, Lobacsevszkij is arra a következtetésre jutott, hogy a megoldást akadályozó nehézségek egészen más természetűek, mint eddig gondolták. Világosan fejezte ki ezeket a gondolatait a Geometria új alapjaiban, 1825-ben: „Az Eukleidész óta eltelt kétezer év kísérleteinek hiábavalósága meggyőzött arról, hogy az igazság, melyet bizonyítani akarunk, nem következik magukból az adatokból; megállapításához kísérleteket kellene végezni, például csillagászati megfigyeléseket, miként ezt tesszük más természeti törvények vizsgálatakor. Amikor megbizonyosodtam sejtéseim helyességéről és úgy véltem hiánytalanul megoldottam ezt a nehéz kérdést, 1826-ban egy tanulmányt írtam erről. [Exposition succinte des principes de la Géométrie].”(83) Lobacsevszkij szavaiból világosan kitűnik térszemléletének lényege, mely ellentétes Kantnak a számos kortárs által osztott nézetével. Kant filozófiája szerint ugyanis a tér szubjektív impresszió, minden megfigyelés előzetes feltételezéseken alapul. Lobacsevszkij az érzékelést és a tapasztalást helyezte előtérbe és ezzel a geometriát a kísérleti tudományok rangjára emelte.(84) 44.§ Végezetül meg kell mutatnunk hogyan foglalkozik a Pángeometria azzal a problémával, melyet az euklideszi posztulátum gerjesztett. Mint láttuk, ez a vizsgálat segítette hozzá Lobacsevszkijt, hogy Eukleidész 28 alapelvéből a párhuzamosok elméletét megalkossa. Ami a problémát illeti, Lobacsevszkij definíciója szerint a párhuzamosság reflexív és tranzitív tulajdonság. A párhuzamosok távolságának igazi lényegét azonban Lobacsevszkij később mutatja meg. Ez tartalmazza azt az új elemet, mely az euklideszi alapelvek megoldhatatlan örökségét túlhaladja. Ennek a kijelentésnek az igazsága következik magából a Pángeometriából, amelyben a párhuzamosok távolsága nem állandó, a párhuzamosok nem ekvidistáns vonalak, hanem asszimptotikusak. A Pángeometria - a 28 euklideszi alapelv és az 5. posztulátum tagadásából tiszta logikai úton levezetett - tudomány, melyben minden állítás logikusan következik az előzőekből, más szóval a rendszer ellentmondásmentes. Ennek igazolására, egyetértésben Lobacsevszkijjel, analitikus eszközöket kell alkalmaznunk. E javaslatát munkája végén így fogalmazza meg: „Amint az előzőekben megmutattuk, annak alapján, ahogyan a görbék hosszát, a testek felszínét és térfogatát kiszámítottuk kijelenthetjük, hogy a Pángeometria teljes geometriai rendszer. Egyetlen pillantás a háromszögek oldalai és szögei közötti összefüggést kifejező (4) egyenletre elegendő bizonyíték arra, hogy a Pángeometria tisztázza és általánosítja az analitikus módszer jogosultságát a geometriában. Újra kezdhetnénk a Pángeometria felépítését ebből az egyenletből kiindulva. Megkísérelhetnénk ezt az egyenletet egy másikkal helyettesíteni, mely megadja egy tetszőleges síkháromszög oldalainak és szögeinek összefüggését. Ám ekkor azt kellene megvizsgálni, hogy ez az egyenlet a geometria alapelveivel összhangban van-e. Az adott (4) egyenlet, melyet az alapelvekből vezettünk le azonban nem mondhat ellent azoknak; és amelyeket helyette kiindulásként választunk szükségképpen ellentmondóak, ha nem vezethetők le ebből. Eszerint egyenletünk -, mely független attól, hogy a háromszögek összege két derékszöggel egyenlő-e, vagy sem -, egy általánosabb geometriai rendszer(l) felépítésének alapja lehet.”

83

Engel idézett művében p.67.

84

L.: A. Vasziljev „Beszélgetés Lobacsevszkijről”, Kazány, (1893). 58

45.§ Hogy pontosabbat tudjunk meg annak a k konstansnak a természetéről, mely Lobacsevszkij formuláiban implicite, Taurinusnál explicite szerepel, speciálisan felvett háromszögekre kell alkalmaznunk az új trigonometria eredményeit. Erre Lobacsevszkij egy olyan derékszögű háromszöget használ (39. ábra), melyben a BC = a oldal a Földpálya átmérője, a háromszög A csúcsa egy állócsillag és a CBA∠ = R = 90o. Az ECB∠ szintén derékszög és az D E ECA∠ =2p a csillag parallaxisa(m). Az a távolsághoz tartozó párhuzamossági szög Π(a) = BCA∠. Felírhatjuk, A hogy π − 2p 2 ami az Elemek elrendezéséből következik. Az oldalakat 2-vel osztva és a tangensüket véve: Π(a ) > CBA∠ =

2r

a) π( C

a

tg

B

Π(a ) π  1 − tg p > tg − p = .   1 + tg p 2 4

De a 43.§ (5´) képlete szerint tg

39. ábra

a

ek <

a − Π(a ) = e k , s ezért 2

1 + tg p . 1 − tg p

Elegendően messze felvéve a csillagot feltehetjük, hogy p < π/4, s akkor azt kapjuk, hogy: a 1 + tg p 1 1   = log = 2 tg p + tg3 p + tg5 p+! .   k 1 − tg p 3 5 Másrészt a kétszeres szögek tangensének képlete és annak hatványsora szerint: tg 2 p =

(

)

2 tg p = 2 tg p + tg3 p + tg5 p+! . 2 − p 1 tg

Mindebből adódik végül, hogy a < tg 2 p . k Amennyiben Lobacsevszkijt követve a Szíriusz 1,24”-es parallaxisát helyettesítjük ebbe az egyenlőtlenségbe adódik, hogy a < 0,000 006 012 . k Eszerint k értéke a Földpálya méretéhez viszonyítva igen nagy, ám ha távolabbi csillagot választunk, melynek parallaxisa nagyon kicsi, mondjuk 0,1”, akkor azt találjuk, hogy több mint milliószor nagyobb a Földpálya átmérőjénél. Amennyiben a fizikai térben az euklideszi geometria lenne érvényben, akkor az 5. posztulátum következményeként a k végtelen lenne, s ekkor léteznének olyan csillagok, melyeknek a parallaxisa bármilyen kicsi lehetne. 59

Ez utóbbi lehetőséget nem tudjuk ellenőrizni, mert a csillagászati mérések pontossága korlátozott. Ezért Lobacsevszkijjel együtt azt kell vallanunk, hogy mivel a k konstans a megmérhető távolságokhoz képest igen nagy, Eukleidész hipotézise a gyakorlatban érvényes. Hasonló következtetésekre jutunk a háromszögek szögösszegének kérdését vizsgálva. A csillagászati mérések azt mutatják, hogy egy olyan háromszögben, melynek oldalai a csillagászati egységgel(n) összemérhetők, a defektus nem nagyobb, mint 0.0003”. Ha viszont csillagászati háromszög helyett olyant választunk, mely a Föld felszínén van és szögei közvetlenül lemérhetők, akkor - az elméletből következően, mivel eszerint a háromszögek defektusa a területükkel arányos - a megmérendő defektus a mérési hiba korlátai alatt marad. Ezért elfogadhatjuk, hogy a defektus a gyakorlatban nullának vehető, tehát ebből is arra a következtetésre jutunk, hogy az euklideszi geometria a tapasztalat szintjén érvényes.

Bolyai János [1802-1860] 46.§ A magyar Bolyai János, az osztrák hadsereg tisztje, Bolyai Farkas (l.: 29.§) fia osztozik Lobacsevszkijjel a nemeuklideszi geometria megalkotásában. Gyermekkora óta különös érdeklődést mutatott a matematika iránt, amelynek megismerésében apja volt az első tanítómestere. Az atyai leckék János figyelmét elég korán fordították az XI. axióma felé, annak bizonyításával kezdett foglalkozni, annak ellenére tette ezt, hogy Farkas kifejezetten ellenezte. Így vált a párhuzamosok elmélete az ifjú matematikus kedvenc foglalatosságává a bécsi hadmérnöki akadémián töltött tanulóévei alatt [1817-22]. Ebben az időben Jánost szoros baráti szálak fűzték Szász Károlyhoz [1798-1853] a két kiváló diák eszmecseréje termelt ki sok olyan ötletet, melyet később Bolyai A tér abszolút tudományában (az Appendixben) az új elmélet megalkotásához felhasznált.

C

M C

C

Úgy tűnik, hogy Szásznak tulajdonítható az az ötlet, hogy a párhuzamost egy pont körül forgatott szelők határhelyzeteként kell definiálni.(o) Az AM egyenesen [40. ábra] kívül fekvő B pont körül forgatott egyenesek közül az a BC párhuzamos az AM-mel, amelyik - Szász fogalmazása szerint - elpattan tőle. Bolyai ezt a párhuzamost asszimptotikus párhuzamosnak, vagy egyszerűbben asszimptotának nevezte [v. ö.: Saccheri]. A két jóbarát eszmecseréje közben felmerült az egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helye, mint fontos alakzat, továbbá a paraciklusnak nevezett végtelen sugarú kör [Lobacsevszkij horociklusa]. Már akkor felismerték, hogy ha sikerülne kimutatni, hogy a paraciklus egyenes, akkor ez a XI. axióma helyességét igazolná.

Szász 1821 elején elhagyta Bécset, elfogadva a Nagyenyeden felkínált tanári állását, Bolyai tehát magára 40. ábra maradt a kutatások folytatásával. Még 1820 végén rászánta magát, hogy megpróbálja bebizonyítani a XI. axiómát, de hasonló eredményre jutott, mint Saccheri és Lambert. Azt hitte célba ért - legalább is ez derül ki apjához írt leveleiből. B

A

60

Amikor észrevette a hibát bizonyításában a további vizsgálatok tekintetében döntő elhatározásra jutott: „Nem szabad a természetet megsérteni, sem nyugalmában megzavarni semmilyen zűrzavaros rögeszmével; ellenkezőleg, minden eszközzel meg kell őrizni magát a természetet ésszerűségében és természetességében azzal ami igaz és meg kell elégedni a legkevésbé zavaros értelmezésével.” Bolyai ettől kezdve rászánta magát, hogy a tér abszolút elméletét kidolgozza, követvén a görög klasszikusok módszerét, a dedukciót, miközben az 5. posztulátumnak sem az igaz, sem a hamis voltát nem vette figyelembe. 47.§ Legkorábban 1823-ban jutott el Bolyai a probléma lényegének megoldásához. Az ezt követő időben főképpen annak formába öntésével foglalkozott. Ekkor jutott el a párhuzamossági szög és a távolság összefüggését adó képlethez [v. ö.: Lobacsevszkij, 42.§]: e

−

a k

= tg

Π(a ) , 2

ahhoz a formulához, mely minden nemeuklideszi trigonometriának a kulcsa. Bolyai felfedezésének illusztrálására idézzük 1823. november 3-án Temesvárról apjához írt levelét:(p) „A feltételem már áll, mihelyt rendbe szedem el-készítem, ´s mód lessz, a´ parallelákról egy munkát adok ki; ebbe a´ pillanatba nints kitalálva, de az az út, mellyen mentem tsaknem bizonyosan ígérte a´ tzél elérését, ha az egyébaránt lehetséges: nints meg, de ollyan felséges dolgokat hoztam ki, hogy magam el-bámultam ´s örökös kár volna el-veszni; ha meg-látja Édes Apám meg-esmeri; most többet nem szollhatok, tsak annyit: hogy semmiből egy ujj, más világot teremtettem; mind az, valamit eddig küldöttem, tsak kártyaház a toronyhoz képest. Meg vagyok győződve, hogy nem sokkal fog kevesebb betsületemre szolgálni, mintha feltaláltam volna.” Bolyai Farkas megígérte, hogy a nemsokára megjelenő tankönyvében, a Tentamenben(q) helyet ad fia elméletének, hozzátette ehhez: „ ... ha valóban sikerült, akkor nyilvánosságra bocsátásával két okból is sietni kell, először is mert az eszméket könnyen más sajátíthatja el, ki aztán előbb adja ki, másodszor pedig abban is van valami igaz, hogy bizonyos dolgoknak mintegy megvan a maguk korszaka, a mikor különböző helyeken egy időben fedeztetnek fel, a mint tavaszkor az ibolyák mindenütt kikelnek; és mivel minden tudományos törekvés csak nagy háború, a melyre nem tudom, hogy mikor következik a béke, ezért siessünk mielőbb győzni, minthogy itt az elsőt illeti meg az elsőbbség.” Bolyai Farkas kétségei jóslatnak bizonyultak, tekintettel Gauss, Taurinus és Lobacsevszkij egykorú kutatásaira. Bolyai János készülő munkájának kivonatát 1825-ben elküldte J. Walter von Eckwertnek [1789-1857], aki tanára volt a katonai akadémián. A teljes kéziratot pedig 1829-ben juttatta el apja kezeihez. Farkas nem volt teljesen elégedett, különösen azt kifogásolta, hogy János képleteiben egy meghatározatlan konstans szerepel. Végül apa és fia egyezségre jutottak, hogy az új térelmélet a Tentamen első kötetében függelékben (Appendix) fog megjelenni.

61

Álljon itt Bolyai János művének(85) teljes címe:(r) APPENDIX. SCIENTIAM SPATII absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI. Euclidei (a priori haud unquam decidenda) independentem: adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica. Az Appendixet első alkalommal 1831-ben küldték el Gaussnak s, aki erre nem reagált. Lehetséges, hogy a küldeményt nem kapta meg. A második példányra, melyet 1832. januárjában indítottak útjára, március 6-án kelt levelében így válaszolt Bolyai Farkasnak: „Ha azzal kezdem, hogy nem tudom dicsérni [fiad] munkáját, bizonyára csodálkozol; de nem mondhatok mást; ha dicsérném, magamat dicsérném, mert a mű egész tartalma, az egyenes út, amelyen fiad haladt és maga az eredmény, amelyre eljutott majdnem teljesen megegyeznek azokkal a gondolataimmal, melyekkel 30-50 éve foglalkozom. Ez valóban meglep engem. Szándékom volt, hogy saját eredményeimből, melyekből különben mindeddig keveset vetettem papírra, életemben semmit sem publikálok. Az emberek többségének nincs tiszta elképzelése arról, ami mindezen múlik, csak keveseket ismerek, akik a velük közölteket érdeklődéssel fogadták. Erre csak az képes, aki nagyon élénken érzi, hogy mi az ami tulajdonképpen hiányzik, s ezzel a legtöbb ember nincs tisztában. Szándékomban állt azonban, hogy idővel mindent leírjak, hogy legalább ne pusztuljon el minden velem együtt. Nagyon meglepett, hogy most már e fáradságtól megkímélhetem magam, és nagyon örvendek, hogy éppen régi barátom fia, aki engem ilyen csodálatos módon megelőzött.” Bolyai Farkas közölte e levél tartalmát fiával, s hozzátette: „Gauss munkáddal kapcsolatos válasza bővelkedik hazánk és nemzetünk dicséretében.” Bolyai Jánosra Gauss levele ettől eltérő benyomást tett. Nem tudta és nem is akarta elhinni, hogy őelőtte más is, s bár tőle függetlenül, de eljutott volna a nemeuklideszi geometria felfedezéséig. Később még azt is feltételezte, hogy apja közölt valamit kutatásaiból Gaussal az Appendix megjelenése előtt és ez utóbbi most el akarja vitatni a felfedezés elsőbbségét. S bár később hagyta magát meggyőzni arról, hogy ez a feltevése alaptalan, a „matematika fejedelme” - vagy ahogy leveleiben említi a Colossus - iránti ellenszenvét soha többé nem tudta levetni. 48.§ Röviden összefoglaljuk Bolyai János munkájának legfontosabb eredményeit: A párhuzamosok definíciója és tulajdonságai függetlenek Eukleidész 5. posztulátumától. A végtelen sugarú (határ-) kör és gömb - paraciklus és paraszféra - bevezetése; annak megmutatása, hogy a határgömb felületi geometriája az euklideszi geometriával azonos. A gömb felületén érvényes trigonometria független Eukleidész posztulátumától. A trigonometriai formulák közvetlen igazolása, levezetése. A nemeuklideszi sík trigonometriája s ennek alkalmazása terület- és térfogatszámításban. Elemi módszerekkel megoldható problémák, pl. a kör négyszögesítése, az 5. posztulátum tagadása esetén.

85

A Magyar Tudományos Akadémia díszkiadásban adta ki Bolyai születésének 100 éves évfordulójára (1902). {Magyarul Kárteszi Ferenc gondozásában jelent meg 1952-ben, majd átdolgozva 1973-ban. Ez az eredeti kiadás facsimiléje mellett a fordítást és Kárteszi kommentárjait tartalmazza. - H.F.} 62

Noha Lobacsevszkij az ő képzelt geometriáját részletesebben kifejti, különösen az analitikai tartalmát tekintve, Bolyai mélyebbre hatol az euklideszi posztulátumtól független kérdésekben, nem is helyez arra különösebb hangsúlyt, hogy a posztulátum igaz-e, vagy sem. Míg Lobacsevszkij olyan geometriai rendszer kifejlesztésére törekszik, mely az 5. posztulátum tagadására épül, addig Bolyai azokat a problémákat és szerkesztéseket helyezi reflektorfénybe, amelyek függetlenek az 5. posztulátumtól. Azok a problémák, melyeket ő maga abszolút igaznak nevez, tartoznak az abszolút geometria tárgykörébe. E tudomány tételei között találhatjuk azokat, melyek mind Eukleidész mind Lobacsevszkij rendszerében igazak. Például a gömbháromszögtan tételei abszolút geometriai tételek. Bolyai János nem így építette fel „új világát”, hanem közvetlen igazolta azokat a tételeket, melyek függetlenül az euklideszi posztulátumtól abszolút igazak, 49.§ Álljon itt mutatóba Bolyainak egy abszolút tétele, melynek egyszerűsége és eleganciája csodálatra méltó: (s) -------------

Bármely egyenesvonalú háromszögben az oldalakkal egyenlő sugarú körök kerületei úgy aránylanak egymáshoz, mint a velük szemközti szögek szinuszai. [Appendix 25.§.] → → → → → Legyen ugyanis ABC∠ = R és AM ⊥ BAC , továbbá BN || AM és CP || AM (41. ábra). A A'

b' b

C'

c'

a

B'

N

C

c

B

a' M

41. ábra Így tehát a CAB sík merőleges az AMBN síkra, amelyre CB ⊥ BA miatt CB is merőleges, ezért a CPBN és AMBN síkok egymásra merőlegesek. Legyen továbbá a CP tengelyű paraszférán a BN és AM egyenesek döféspontja rendre D és E. Ez a paraszféra a (CP,BN), (CP,AM), (BN,AM) sávokat az e´=CD, d´=CE, c´=DE paraciklus-ívekben metszi. A bizonyított tétel (App.20.§) szerint a CDE∠ az NDC, NDE síkok alkotta lapszöggel - esetünkben ez derékszög - egyenlő. Hasonló indoklással CED∠ = CAB∠. A paraciklusok alkotta CED háromszögben az igazolt tétel szerint (App.21.§: a XI. axióma a paraszférán érvényes) d ′: e′ = 1 :sin DEC∠ = 1 :sin CAB∠ . Ugyancsak az idézett tétel szerint a paraszférán rajzolt körökre d ′: e′ = Od ′ : Oe′ (ahol a Οr az r sugarú kör kerületét jelöli) a bizonyított tétel (App.18.§: a sík a paraszférát körben metszi) alapján pedig

63

d ′: e ′ = OAC : OBC Ezért hát 1:sin CAB∠ = OAC : OBC , amiből következik az állítás helyessége bármely háromszögre. ------------- (*)

Bolyai tételét tetszőleges háromszögekre ilyen rövid formában írhatjuk: Oa : Ob : Oc = sin α : sin β : sin γ

(1)

Ha a geometriai rendszert kiválasztjuk, akkor a tétel speciális alakját kapjuk: 1. az euklideszi rendszerben, ahol a körkerület O r =2πr az (1)-ből kapjuk, hogy a : b : c = sin α : sin β : sin γ ;

(1´)

2. a nemeuklideszi rendszerben a körkerület képlete másképpen néz ki (l.: 34.§): r −   kr r k Or = π k  e − e  = 2 π k sinh , k  

hasonlóan (1)-be helyettesítve kapjuk, hogy (1´´)

a b c : sinh : sinh = sin α : sin β : sin γ . k k k

sinh

Az (1) tétel az abszolút geometria, az (1´) az euklideszi geometria, míg az (1´´) a Lobacsevszkij-féle képzelt geometria szinusz tétele. Az (1) tételből ugyanilyen levezetést alkalmazva kapja Bolyai az Appendix 26.§-ában a gömbháromszögekre vonatkozó tételt: Bármely gömbháromszögben az oldalak szinuszai úgy aránylanak egymáshoz, mint a velük szemközti szögek szinuszai. Ez a tétel teszi kiemelkedően fontossá Bolyai abszolút tételét.(t) E

D M

u

v

A

d

O

B

N

42. ábra 50.§ Az AN egyeneshez (42. ábra) egy rajta kívül levő D ponton át húzott párhuzamos szerkesztését adja meg az abszolút geometria rendszerében az Appendix 34.§-a. Rajzoljuk meg az AN egyenesre merőlegesen az AE illetve BD egyeneseket és az AE-re merőleges ED egyenest. Az ABDE (Lambert-féle) négyszög három derékszöget tartalmaz, ennek negyedik szöge EDB∠. vagy derékszög, vagy hegyesszög, s ezért az ED > AB. Az A pont körül rajzolt ED sugarú kör a BD szakaszt egy belső O pontjában metszi. Ebből már következik [App.27.§], hogy az AO egyenesnek a BD egyenessel bezárt szöge: AOB∠ egyenlő

64

a BD szakaszhoz tartozó párhuzamossági szöggel.(86) Ha tehát a D pontból az AM egyeneshez párhuzamost akarunk rajzolni, akkor a DM egyenest úgy kell meghúzni, hogy BDM∠ egyenlő legyen AOB∠ -gel. 51.§ Az abszolút geometria Bolyai által kidolgozott szerkesztései közül a legérdekesebb a kör négyszögesítése.(u) Anélkül, hogy szigorúan ragaszkodnánk Bolyai módszeréhez, megkíséreljük leírni ennek a szerkesztésnek a lényegét. Előtte szükséges megoldani az előző tétel (50.§) megfordítását, mely így szól: Szerkesztendő az a távolság, ha adott a hozzá tartozó párhuzamossági szög. A

K

}

A' L

C∞

O

B' B

H

43. ábra

Felhasználjuk, hogy a párhuzamossági axiómától függetlenül a háromszögek magasságvonalai egy ponton találkoznak. Vegyük fel az adott BAA´∠ hegyesszög AB szárán (43. ábra), mely mellett a fekszik egy B pontot úgy, hogy a BB´ egyenes, mely az AA´-val párhuzamos ugyancsak hegyesszöget zárjon be AB-vel: ABB´∠ < R. Az AA´, BB´ félegyenesek és az AB szakasz egy olyan háromszög oldalainak tekinthetők, melynek harmadik csúcsa C∞ , az AA´, BB´ párhuzamosok közös pontja.(v) Ebből a pontból a szemköztes AB oldalra állított merőleges átmegy az AH és BK magasságok közös O pontján. Ha ebből a pontból megrajzoljuk az AB-re merőleges OL egyenest, akkor ezzel megkaptuk azt az AL szakaszt, melyhez tartozó párhuzamossági szög Π(AL) = BAA´∠. Ha a szög BAA´∠ = 45o , akkor az AL szakasz a Schweikart-féle konstans (v. ö.: 35.§). Megjegyezzük, hogy az imént megoldott feladat a következőképpen is fogalmazható: Szerkesztendő olyan egyenes, mely egy adott hegyesszög egyik szárára merőleges, a másik szárával pedig párhuzamos.(87) 86

Röviden megmutatjuk, hogyan bizonyítja ezt a tételt Bolyai: Ha az AE körül forgatjuk a négyszöget, akkor a B, D pontok a O AB és O ED kerületű köröket írják le, de míg az első síkban, addig az utóbbi ennek a síknak a távolság-felületén fekszik. E felület az alapsíkjától d = BD távolságra levő pontok mértani helye. A két felület íveinek aránya csak közöttük levő d távolságtól függ. Ha Bolyai szinusz tételét az ADE, ADB derékszögű háromszögekre alkalmazzuk, azt kapjuk, hogy O AB : O ED = sin u : sin v . Ebből látszik, hogy a sin u : sin v hányados nem változik, ha az AE szakasz úgy változtatja a helyét, hogy közben AN-re merőleges és hossza d marad. Ha az AE szakasz talppontja az AN mentén a végtelenbe tart, akkor az u szög határértéke a Π(d) párhuzamossági szög, a v szögé pedig derékszög lesz. Eszerint O AB : O ED = sin Π(d) : 1. Másrészt az AOB derékszögű háromszögre alkalmazva az abszolút szinusz tételt: O AB : O AO = sin AOB∠ : 1, amiből látszik, hogy Π(d) = AOB∠.

87

Bolyai megoldása az Appendix 35.§-ban ennél bonyolultabb. 65

52.§ Most pedig megmutatjuk, hogyan használható fel ez a szerkesztés a következő feladat megoldására: Szerkesztendő annak a négyzetnek az oldala, melynek területe a maximális háromszög területével egyenlő. Mivel a háromszög területe a szögek összegének defektusával kifejezve: k 2 (π − A − B − C) , a maximális háromszög ∆ területe: ∆ = k 2π . Elsőként meghatározzuk annak a négyzetnek az ω szögét, melynek a területe ezzel megegyezik. Utalnunk arra (Lambert, 19.§), hogy a poligon területe, mint a háromszögeké is, a szögösszegük defektusával arányos. Ha ezt tudjuk, akkor felírhatjuk, hogy ∆ = k 2π = k 2 (2π − 4ω ) , amiből ω kifejezve:

ω=

π = 45o . 4 A

ω 45° 2 O

45° a

M

44. ábra Megszerkeszthetjük azt az OAM derékszögű háromszöget (44. ábra), mely a szóban forgó négyzet nyolcada. Az DM szakaszt a-val jelölve és a (2)/[37.§] képletet alkalmazva kapjuk: cosh

a 45o = cos :sin 45o , k 2

cosh

a 135o = sin :sin 45o . k 2

vagy ami ezzel azonos: (*)

Most megszerkeszthetjük az 51.§-ban megadott módon azokat a b´, c´ szakaszokat, melyekhez tartozó párhuzamossági szögek 135o/2 = 67o , illetve 45o .

66

A 41.§ (6) képlete szerint:

cosh

x 1 = . k sin Π(x )

Ezt a (*) összefüggésbe helyettesítve és rendezve azt kapjuk, hogy cosh

a b′ c′ cosh = cosh . k k k

Végül ha megszerkesztjük azt a derékszögű háromszöget, melynek átfogója c´, egyik befogója b´, akkor a másik befogót a´-val jelölve a 38.§ (1)-es tételéből adódóan: cosh

a′ b′ c′ cosh = cosh . k k k

Az előző sorral összevetve látszik, hogy a´ = a. Ha tehát e szakaszt megszerkesztettük, megkaptuk a négyzetnek az oldalát, melynek területe a maximális háromszögével egyenlő. 53.§ Ahhoz, hogy megszerkesszük azt a kört, melynek területe ennek a négyszögnek a területével, vagyis ami ugyanezt jelenti, a maximális háromszög területével egyenlő, a háromszög területének a 38.§-ban adott képletét kell átalakítanunk.

∃ r = 2π k

2

r    cosh − 1 ,  k 

(Az r sugarú kör területének jelölésére, miként a kerület jelölésére is, Bolyai külön szimbólumot vezetett be:

∃r.)

A hiperbolikus függvények tulajdonságait és a k konstansnak a párhuzamossági szöggel való kapcsolatát felhasználva, és ezt a kör fél-sugarához tartozó párhuzamossági szögre alkalmazva az átalakítás után azt kapjuk, hogy a kör területe:

∃

4πk 2 r= 2 r . tg Π( 2 )

A'

D

B'

z

C

α B

A 45. ábra

67

Másrészt ha az AB szakasz (45. ábra) két végpontjához illeszkedő AA´, BB´ párhuzamosok AB-vel azonos belső szögeket alkotnak, akkor:  r A′ AB∠ = B ′BA∠ = Π   .  2 Húzzuk meg a BB´-re merőleges AC -t és az erre merőleges AD -t és vezessük be a következő jelöléseket: CAB∠ = α, DAA´∠ = z, ekkor felírhatjuk, hogy r  r   ctg Π( 2 ) ctg α + 1 . tg z = ctg Π − α   =   ctg α − ctg Π( r2 )  2

Az ABC háromszögre alkalmazva a trigonometriai képleteket, az utolsó tagból α-t kiküszöbölhetjük és az alábbi összefüggésre jutunk: tg z = amit a

2 , tg Π( 2r )

∃r körterület utolsó alakjába helyettesíthetünk: ∃r = π k

2

tg2 z .

Ez az összefüggés - melyet Bolyai az Appendix 43.§-ában ettől eltérő úton kapott meg -, azt jelenti, hogy minden körhöz hozzárendelhetünk egy meghatározott z szöget. Amennyiben ez a

∃

szög éppen 45o , akkor az ennek megfelelő kör területe: r = π·k2 , ami a maximális háromszög területével egyenlő, s ezzel együtt annak a négyzetnek a területével is, melyet az 52.§-ban megszerkesztettünk. Ha adott a z = A´AD∠ (45. ábra), akkor a megfelelő r sugár megszerkesztéséhez: az AD szárra merőlegest húzunk: AD; az AA´ félegyenessel párhuzamost húzunk: BB´, s erre merőlegest állítunk: AC; meghúzzuk az AA´ és BB´ félegyenesek által határol sáv középvonalát [felhasználva, hogy a szögfelezők egy ponton mennek át a végtelen távoli csúcsú háromszögben is]; erre a szögfelezőre merőleges AB -nek az AA´, BB´ közé eső szakasza a keresett r. 54.§ Ezek után az olyan poligon területe, mely egy adott kör π·k2tg2z területével egyenlő, mint azt Bolyai megjegyezte -, közvetlen kapcsolatban van tg2z számértékével. Ez a poligon akkor szerkeszthető meg, ha tg2z egész szám, vagy olyan racionális szám, melynek a nevezője tört egyszerűsítése után - 2m+1 alakú prím illetve ilyenek szorzata, Gaussnak a sokszögekre vonatkozó tétele szerinti érték [Appendix 43.§]. A körrel egyenlő területű négyzet szerkesztésének lehetősége juttatta Bolyait arra következtetésre, hogy: „habeturque aut Axioma XI. Euclidis verum, aut quadratura circuli geometrica; etsi hucusque indecisum manserit, quodnam ex his duobus revera locum habeat.”(w)

68

Mivel ez a probléma az ő korában [1831] eldönthetetlennek látszott, munkáját a következő szavakkal zárta: „Superesset denique, (ut res omni numero absolvatur), impossibilitatem (absque suppositione aliqua) decidendi, num Σ aut aliquod (et quodnam) S sit, demonstrare: quod tamen occasioni magis idoneae reservatur.”(x) Ám Bolyai János ilyen bizonyítást később soha nem publikált. 55.§ Bolyai János 1831 után folytatta vizsgálatait az új geometria területén és különösen a következő problémákkal foglalkozott: A gömbi és a nemeuklideszi trigonometria kapcsolata. Lehetséges-e igazolni, hogy az euklideszi axióma nem vezethető le a többi feltevésből? A tetraéder térfogatának meghatározása a nemeuklideszi geometriában. A három közül az elsőről el kell mondani, hogy Bolyai ugyanolyan analitikus formulákat kapott, mint Lobacsevszkij (l.: 41.§), de felfedezte azt is, hogy a nemeuklideszi geometriában háromféle uniformis - önmagában eltolható - felület létezik, melyeken rendre a nemeuklideszi trigonometria, a közönséges trigonometria illetve a gömbi trigonometria érvényesül. Az első típushoz a sík és a hiperszféra [a síktól egyenlő távolságra levő pontok mértani helye], a másodikba a paraszféra [Lobacsevszkij horoszférája, a végtelen sugarú gömb], a harmadikba pedig a gömb tartozik. A hiperszféra és a gömb közötti átmenetben a paraszféra képezi az átmenetet. Ezeket az átmeneteket analitikusan vizsgálhatjuk a megfelelő paraméterek valós, képzetes, esetlegesen infinitézimális értékeinek a változásával (v. ö.: Taurinus, 38.§). A második problémát, mely kapcsolatban van a XI. axióma (5. posztulátum) bizonyíthatatlanságával, nem sikerült megoldania, sem valamilyen egzakt véleményt kialakítania. Egy idő után - miként Lobacsevszkij is - arra következtetésre jutott, hogy valamelyik analitikus konstans megmérésével lehetne eldönteni, hogy az euklideszi vagy a nemeuklideszi feltevés a helyes. Végül a régi ötlethez fordulva megpróbált bizonyítást találni a XI. axiómára. Ennek érdekében alkalmazta a nemeuklideszi képleteket öt komplanáris pontra.(y) Ezek távolságának meghatározására szüksége volt a formulákra, de a levezetésbe hiba csúszott, s ezért Bolyai úgy vélte, hogy a nemeuklideszi geometria feltételei nem állják meg a helyüket, vagyis a XI. axióma abszolút igaz.(88) Noha észrevette tévedését, nem folytatta kutatásait ebben az irányban, mivel a hat vagy még több pont esetében a számítás túl bonyolult. A harmadik, a tetraéder térfogatának kiszámításának problémája, tisztán geometriai. Bolyai megoldását ismerteti Stäckel az imént idézett cikkében, s ugyanezzel a feladattal Lobacsevszkij is foglalkozott 1829 végén.(89) Erre a problémára Gauss hívta fel Bolyai figyelmét a 47.§-ban már idézett levelében.

88

Erről szól Bolyai cikke: „Beweis des bis nun auf der Erde immer noch zweifelhaft gewesenen, weltberühmten und, als gesammten Raum- und Bewegungslehre zum Grunde dienend, auch in der That allerhöchstwichtigsten 11. Eukid'schen Axioms. Von J. Bolyai von Bolya, k.k. Génie-Stabshauptmann in Pension.” L.: P. Stäckel - „Untersuchungen aus der Absoluten Geometrie aus Johann Bolyai's Naclass.” Math. u. Naturw. Berichte aus Ungarn, XXIII.p.280-307. [1902]. Az 55.§-ban foglaltak ez utóbbiból származnak.

89

L.: Engelnek a 39.§ lábjegyzetében idézett könyvében az 53. és következő oldalakon. 69

Végezetül hozzátesszük, hogy amikor Bolyai 1848-ban megismerte Lobacsevszkij könyvét, a Geometrische Untersuchungent, kritikai vizsgálat alá vette,(90) továbbá elhatározta, hogy egy nagyobb munkát ad ki - túlszárnyalva az orosz geométert -, melyben a geometriát megreformálja. Ezzel a gondolattal már az Appendix írásának idején foglalkozott, de végül e tervből sem valósult meg semmi.(91)

Az abszolút trigonometria 56.§ Noha az abszolút trigonometria képletei, mint határesetet magukba foglalják a háromszög oldalai és szögei közötti megszokott összefüggéseket (l.: 36.§), ezek nem képezik annak az elméletnek a részét, melyet Bolyai János abszolút geometriának nevezett. Ellenkezőleg, a képleteket nem lehet mindkét geometriai rendszerben alkalmazni hiszen ezek a hegyesszögű hipotézis érvényességét tételezik fel. A Bolyai által alkotott szinusz tételből, melyet a 49.§-ban láttunk, levezethetők a mindkét geometriában közvetlenül alkalmazható formulák. Az így kapott három tétel, melyek közül csak kettő független, alkothatja az abszolút trigonometria formuláinak első csoportját. A további trigonometriai tételekhez jutott el 1870-ben egy belga geométer, M. De Tilly az „Études de Mécanique Abstraite” c. munkájában.(92) De Tilly a formuláit, melyek derékszögű háromszögekre vonatkoznak, kinematikai megfontolásokból vezette le, s csupán azokat a feltételeket vette figyelembe, melyek függetlenek a háromszögek szögeinek összegétől. A Bolyai által bevezetett Ox függvény mellett egy újabbat definiált és látott el speciális jelöléssel: Ex. E függvény definíciója a következő: Ha r egy egyenes és l jelöli a tőle állandó x távolságra levő (az r egyik oldalán fekvő) pontok mértani helyét - távolságvonal, paraciklus -, akkor az l vonal egy rektifikálható ívdarabjának az r egyenesre (l alapvonalára) eső vetületének hossza az ív hosszával arányos és az arányossági tényező csupán az x távolságtól függ. A De Tilly által bevezetett Ex függvényérték ezt az arányossági tényezőt jelöli.

90

L.: Stäckel és Kürschák - „Johann Bolyai's Bemerkungen über N. Lobatschewskij's Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien.” Math. u. Naturw. Berichte aus Ungarn, XVIII. p.250-279 [1902].

91

L.: Stäckel - Johann Bolyai's Raumlehre, Math. u. Naturw. Berichte aus Ungarn, XIX [1903].

92

Mémoires couronnés et autres Mémoires, XXI. - Belga Királyi Akadémia (1870). L. még ugyanettől a szerzőtől: Essai sur les principes fondementaux de la géométrie et de la Mécanique, Mém. de la Soc. des Sc. de Bordeaux, III. (1878). 70

B

β

c a

C

α

90° b 46. ábra

A

A derékszögű háromszögre (46. ábra) érvényes trigonometriai összefüggések három csoportja: (1)

Oa = Oc ⋅ sin α   Ob = Oc ⋅ sin β

(2)

cos α = Ea ⋅ sin β  cos β = Eb ⋅ sin α

(3)

Ec = Ea ⋅ Eb

Az első csoportban Bolyai tétele áll a derékszögű háromszögekre vonatkoztatva. Az abszolút trigonometria minden formulája levezethető a tételek e három csoportjából kiindulva. Például a derékszögű háromszögekre ezekből azt kapjuk, hogy O 2a ⋅ (Ea + Eb ⋅ Ec) + O2b ⋅ (Eb + Ec ⋅ Ea ) = O2 c ⋅ (Ec + Ea ⋅ Eb) , amit Pithagorász tételének abszolút geometriai megfelelőjeként értelmezhetünk. 57.§ Nézzük meg, hogyan vezethetők le az euklideszi és a nemeuklideszi trigonometria képletei az előző § alapképleteiből. Euklideszi eset: Mivel ekkor a távolságvonal egyenes és ennek íveit-szakaszait az alapvonalra vetítve a vetületek ezekkel azonos hosszúságúak, minden x távolságra Ex = 1, továbbá a kör kerülete a sugarával arányos. Ezért az (1) csoport egyenletei az ismert alakot öltik: (1´)

a = c ⋅ sin α ;   b = c ⋅ sin β

ugyanakkor a (2)-ból adódik, hogy cos α = sin β , cos β = sin α vagy ami ebből következik, hogy a derékszögű háromszög két hegyesszögének összege:

71

α + β = 90o .

(2´)

Végül a (3) az 1 = 1⋅1 azonosságra vezet. Nemeuklideszi eset: Kombinálva az (1) és (2) tételt azt kapjuk, hogy (5)

O 2a O 2b = . E2 a - 1 E 2b - 1

Vagy, ha a (2) csoport 1. képletét derékszögű háromszögre alkalmazzuk, és ennek A csúcsát minden határon túl távolítjuk, miközben az α szög zérushoz tart: lim cos α = lim(Ea ⋅ sin β) . α→0

α→0

De Ea független az α szögtől, továbbá a háromszög β szöge határhelyzetben a párhuzamosság szögével, Π(a)-val egyezik meg. Eszerint: Ea =

1 . sin Π(a )

Ugyanígy kapjuk meg az Eb függvényértéket, s e kettőt (5)-be helyettesítve azt, hogy O 2a O 2b , = ctg 2 Π(a ) ctg 2 Π(b) amelyből gyökvonással adódik Oa Ob = . ctg Π(a ) ctg Π(b) Ebből aztán minden további nélkül adódnak a hiperbolikus trigonometria tételei: (1”)

ctg Π(a ) = ctg Π(c) ⋅ sin α ,  Π b = Π c ⋅ β ctg ctg sin ( ) ( ) 

(2”)

sin α = cosβ ⋅ sin Π(b) ,  sin β = cos α ⋅ sin Π(a )

(3”)

sin Π(c) = sin Π(a ) ⋅ sin Π(b) .

Ezeket az összefüggéseket találta és közölte a Geometria vizsgálatokban Lobacsevszkij. Amennyiben a Π(a), Π(b), Π(c) párhuzamossági szögeket nem akarjuk használni, a 41.§-ban már említett tg

x − Π(x ) =e k 2

összefüggés segítségével kiküszöbölhetjük azokat a formulákból és azok új alakját kapjuk:

(1”')

a c  sinh k = sinh k ⋅ sin α ,  b c  sinh = sinh ⋅ sin β k k 

72

(2”')

(3”')

a  cos α = sin β ⋅ cosh k ,  b cos β = sin α ⋅ cosh k  cosh

c a b = cosh ⋅ cosh . k k k

58.§ Az abszolút trigonometriával kapcsolatban egy nagyon fontos megfigyelést tehetünk: Ha a formulák elemeit, egy gömbháromszög alkotórészeinek tekintjük, akkor a szférikus trigonometria tételeit kapjuk. Az abszolút trigonometriának ez a tulajdonsága, mint azt már az 56.§-ban említettük, megfelel annak a ténynek, hogy olyan egyenletekből származnak, melyek a sík egy véges tartományára érvényesek, továbbá függetlenek a háromszög szögeinek összegétől és ezért a gömb felületén is érvényesek. Erről közvetlenül is meggyőződhetünk, ha megfigyeljük, hogy: 1o) a gömbi geometriában a kör kerülete csupán a gömbi sugár szinuszától függ, ezért az (1) formulák gömbháromszögre ezt az alakot veszik fel: sin a = sin c ⋅ sin α ;   sin b = sin c ⋅ sin β 2o) egy olyan gömbi kör, melynek felületi sugara π/2-b, egy vele koncentrikus gömbi főkör ekvidistáns vonala, lévén a főkörtől b (gömbi) távolságra levő pontok mértani helye. Ezért e két kör megfelelő ívhosszainak aránya: π  sin − b 2  Eb = = cos b , π sin 2 s ennek alapján a (2) és (3) összefüggésekből közvetlenül adódik, hogy cos α = sin β ⋅ cos a ,   cos c = cos a ⋅ cosb amelyek a szférikus trigonometria jól ismert képletei. Ebből következik az említett észrevétel: Az abszolút trigonometria tételei a gömb felületén is érvényesek.

73

Az euklideszivel egyenértékű posztulátumok 59.§ Mielőtt a téma elemi tárgyalását befejeznénk, fel kell hívnunk az olvasó figyelmét a geometria általános rendszerében az ekvivalens (egyenértékű) hipotézisek szerepére. A megvilágítást azzal kezdjük, hogy kifejtjük mit értünk ezen az ekvivalencián. Két posztulátum (axióma, alapelv, hipotézis) abszolút ekvivalens akkor, ha bármelyikükből levezethető a másik anélkül, hogy további feltételeket kellene alkalmazni. Például ebben az értelemben a következő két hipotézis abszolút ekvivalens: Két egyenes, mely ugyanazzal a harmadikkal párhuzamos, egymással is párhuzamos. Egy egyeneshez egy külső ponton át egyetlen párhuzamos húzható. Az ekvivalenciának ez a fajtája nem túl érdekes, mert ekkor a két hipotézis csupán ugyanannak az alapelvnek két különböző formában való kifejezése. Ezért meg kell néznünk, hogyan lehet általánosítani az ekvivalencia fogalmát. Tegyük föl, hogy egy deduktív elmélet néhány hipotézisből álló (axióma-) rendszerre épül. Jelölje ezt {A, B, C,…H}. Tegyük föl, hogy M és N két újabb hipotézis, mégpedig olyanok, hogy az {A, B, C,…H, M} rendszerből az N levezethető és ugyanakkor az {A, B, C,…H, N} rendszerből M is következik. Ezt a feltételt így jelölhetjük:

{A,B,C,! H,M} ⇒ N

és {A,B,C,! H,N} ⇒ M .

Ebben az esetben, általánosítva az ekvivalencia fogalmát, azt mondjuk, hogy az M és N hipotézisek ekvivalensek az {A, B, C,…H} alaprendszerhez viszonyítva: relatív ekvivalencia. Ki kell emelnünk az {A, B, C,…H} alaprendszer fontos szerepét ebben a definícióban. Ha ugyanis az alaprendszert megváltoztatjuk, például úgy, hogy az A hipotézist elhagyjuk, akkor nem biztos, hogy a következő két implikáció egyszerre teljesülni fog:

{B,C,! H,M} ⇒ N

és {B,C,! H,N} ⇒ M .

Ha ez történik, akkor az M és N hipotézisek nem ekvivalensek a {B, C,…H} rendszerhez viszonyítva. E bevezetés után nézzük meg, hogy a korábban említett hipotézisek és az euklideszi között mennyiben áll fenn az ekvivalencia. Tegyük föl, hogy a hipotézisek alaprendszeréhez tartozik a asszociativitás (A) és a disztributivitás (B), melyek a sík és az egyenes alaptulajdonságai; az egybevágósági (C) és az arkhimédeszi axióma (D). Ehhez az alaprendszerhez - melyet {A, B, C, D}-vel jelölhetünk -, viszonyítva ekvivalensek egymással és az euklideszi 5. posztulátummal a következő axiómák: a) Két párhuzamos közös szelője által a párhuzamosokkal bezárt belső szögek kiegészítő szögek [Ptolemaiosz]. b) Két párhuzamos egyenes közötti távolság állandó. c1) Ha egy egyenes két párhuzamos egyikét metszi, akkor a másikat is metszi [Proklosz]; vagy c2) Két egyenes, melyek egy harmadikkal párhuzamos, egymással is párhuzamos; vagy

74

c3) d) e) f)

Egy egyeneshez egy külső ponton át egyetlen párhuzamos húzható. Adott háromszöghöz hasonló, tetszőleges méretű háromszög szerkeszthető [Wallis]. Három nem kollineáris pont körön fekszik [Bolyai F.] Egy szögtartomány(z) bármely pontjára illeszkedik olyan egyenes, mely a szög mindkét szárát metszi [Lorenz]. Ezektől elkülöníthetjük a következő három párhuzamossági axiómát: α) Ha az s egyenes merőleges, az pedig r hegyesszöget zár be a közös AB szelőjükkel, akkor az s egyenesre állított merőlegeseknek az r-ig terjedő szakasza kisebb az ABnél ennek azon az oldalán, amelyiken az r hegyesszöget zár be vele [Naszíraddín]. β) Az egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helye egyenes. γ) A háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenlő [Saccheri].

A két csoportot azért kellett megkülönböztetni, mert az elsőbe tartozó a) - f) axiómák akkor is ekvivalensek egymással és az 5. posztulátummal, ha az alaprendszerből elhagyjuk az arkhimédeszi axiómát. Ellenben az α) - γ) axiómák az arkhimédeszi nélkül sem egymással, sem az euklideszi párhuzamossági hipotézissel nem ekvivalensek. Ez az eredmény, mely kiemeli az arkhimédeszi axióma fontosságát, megtalálható M. Dehn 1900-ban közzétett dolgozatában, melyet már idéztünk.(93) A tanulmányban a szerző bebizonyítja, hogy a γ) posztulátum nemcsak az euklideszi geometria rendszerében érvényes, hanem egy olyanban is meg, melyben sem az arkhimédeszi axióma, sem az 5. posztulátum nem teljesül. Ezt a nemarkhimédeszinemeuklideszi geometriát a Dehn szemi-euklideszi geometriának nevezte el.

A nemeuklideszi geometria elterjedése 60.§ Lobacsevszkij és Bolyai munkája nem kapta meg azt a fontosságához mérhető fogadtatást, melyet megérdemelt volna. Ezen nem csodálkozhatunk, hiszen a tudományok történetéből megtanultuk, hogy egy elszigetelt szakterület gyökeres módosításai nem változtatják meg hirtelen azt a meggyőződést és előítéleteket, amelyekre a kutatók és a tanárok hosszú idő óta tanaikat és azok előadását alapozzák. Esetünkben a nemeuklideszi geometria elfogadása több okból is váratott magára. Lobacsevszkij oroszul megjelent munkájának olvasása nem volt könnyű, a két kutató neve ismeretlen volt a világ tudományos köreiben és a kantiánus filozófia térelmélete a kortársak gondolkodásában dominált. Lobacsevszkij német és francia munkái segítettek eloszlatni a homályt, mely az első években elrejtette az új elméletet az érdeklődés elöl; emellett sok tudós állandó és fáradhatatlan munkájával járult hozzá a nemeuklideszi geometria elterjesztéséhez és diadalához. Különösen a következők érdeme elévülhetetlen: Németországban C.L Gerling [1788-1864], R. Baltzer [1818-1887] és F. Schimdt [1827-1901]; Francia- és Olaszországban pedig J. Hoüel [18231886], G. Battaglini [1826-1894], E. Beltrami [1835-1900] és A. Forti.

93

L.: 13.§-hoz fűzött utolsó lábjegyzet. 75

61.§ Gerling, aki 1816 végétől levelezett Gaussal a párhuzamosokról(94) és aki 1819-ben elküldte neki Schweikart dolgozatát az asztrál-geometriáról [v.ö.: 35.§], magától Gausstól hallotta [1832] - éspedig olyan szavakkal, melyek nem tudták felébreszteni benne az újdonság iránti érdeklődést -, hogy egy osztrák katonatisztnek, Bolyai Farkas fiának a kis írása, „eine kleine Schrift” került kezébe a nemeuklideszi geometriáról.(95) Azok a részletes jegyzetek, melyeket később [1844] Gausstól kapott Lobacsevszkij és Bolyai (96) munkáiról, arra ösztönözték Gerlinget, hogy megszerezze magának is a Geometrische Untersuchungen és az Appendix egy példányát és ezzel megmentse őket a feledéstől, amelybe már elmerülni látszottak. 62.§ Gauss és Schumacher 1860-63-ban publikált levelezése;(97) Lobacsevszkij és Bolyai munkájára való hivatkozások elszaporodása, Legendre próbálkozásainak ismertetése az elemi szintű monográfiákban, a párhuzamosok elméletének szigorú tárgyalása arra ösztönözte Baltzert, hogy tankönyvének(98) második kiadásában [1867] a párhuzamosok euklideszi definícióját az új térelméletnek megfelelővel helyettesítse: Lobacsevszkij nyomán az α + β + γ = 180o összefüggést adta meg, mely a mérések szerint az euklideszi háromszög jellemzője. Újításának alátámasztására nem mulasztotta el, hogy rövid utalást adjon egy más geometria lehetőségére, mely két párhuzamos feltételezésére épül és megemlítette a két felfedező nevét is. Ugyanakkor felhívta a nemeuklideszi geometriára Hoüel figyelmét - akinek az elemi geometria iránti érdeklődése közismert volt a tudományos körökben(99) -, s felkérte, hogy fordítsa franciára a Geometrische Untersuchungent és az Appendixet. 63.§ Lobacsevszkij brosúrájának francia változata 1866-ban jelent meg, egy időben Gauss és Schumacher levelezésének különlenyomatával.(100) Ekként Lobacsevszkij és Bolyai gondolatai Gauss nevével párosítva előtörhettek az ismeretlenségből és az ő helyeslő méltatása hatásosan növelte az új elmélet hitelét.

94

L.: Gauss - Összegyűjtött munkái, VIII. p.167-169.

95

L.: Gaussnak Gerlinghez írt levelét az Összegyűjtött munkái -ban (VIII. p. 220.), melyben az Appendix tartalmának ismertetése mellett ezt írja: „…ich alle meine eigegen Ideen und Resultate wiederfinde mit grösser Eleganz entwickelt” -{…amelyben valamennyi saját gondolatomat és eredményemet nagy eleganciával kifejtve megtaláltam…}, majd később a munka szerzőjéről: „ Ich halte diesen jungen Geometer v. Bolyai für ein Genie erster Grösse…” -{Ezt az ifjú geométert, Bolyait, elsőrangú lángésznek tartom.}

96

L.: Gauss Összegyűjtött m., VIII. p.234-238.

97

„Briefwechesel zwischen C.F. Gauss und H.C. Schumacher.”, II. p.268, 431; V. p. 246 [Altona, 1860-63]. Ugyancsak Gauss véleményéről: Sartorius v. Walterhausen - Gauss zum Gedächtniss, p. 80-81. [Lipcse, 1856].

98

Baltzer: Elemente der Mathematik, II. (5.kiadás) p. 12-14. [Lipcse, 1878].

99

Hoüel 1863 végén publikálta híres munkáját: Essai d' une exposition rationelle des principes fondamentaux de la Géométrie élémentaire. Archiv. d. Math. u. Phy., XL. [1863].

100

Mémoires de la Societé des Sciences Phy. et Naturelles de Bordeaux, IV. p. 88-120 [1866]. Szintén kiadásra került egy különlenyomat: „Études géométriques sur la théorie des parallèles par N.J. Lobatschewsky, Conseiller d' Etat de l'Empire de Russie et Professeur a l'Universitè de Kasan traduit de l’allemand par J. Hoüel, Suivis d’un Extrait de la correspondance de Gauss et de Schumacher. [Párizs, G. Villars, 1866]. 76

Az Appendix francia változata 1867-ben látott napvilágot,(101) melyhez az építész Fr. Schmidt(102) írt bevezetőt magának Hoüelnek, a fordítónak a felkérésére. A kiadáshoz csatolták Bolyai Farkasnak a Tentamen I. kötetében és a matematika elemeit összefoglaló könyvecskéjében(103) megjelent idevágó megjegyzéseit, kiegészítéseit. Schmidt összefoglalója ezzel egy időben [1867] megjelent az „Archiv. d. Math. u. Phy.” hasábjain és a következő évben A. Forti - aki már kiadott egy történeti-kritikai tanulmányt Lobacsevszkijről,(104) - tette ismertté az olaszok körében az immár hírnevet szerzett két magyar geométert.(105) Hoüelnek köszönhetjük Bolyai János kéziratainak gondozását és megőrzését. Ezeket, valamint az apa és fiú levelezését Bolyai Farkas végrendeletében Marosvásárhely Református Kollégiumára bízta, de Hoüel elérte B. Boncompagni herceg [1821-1894] közvetítésével, hogy a magyar kultuszminiszter, báró Eötvös József a hagyatékot Budapesten, a Magyar Tudományos Akadémia gyűjteményében helyeztette el(106) [1869]. Eközben Hoüel nem mulasztott el egyetlen alkalmat sem, hogy a nemeuklideszi geometria a teljes diadalát elérje. Elegendő idézni írásait: „Essai critique sur les principes fondemanteaux de la géométrie” ( 107) című könyvét, vagy cikkeit „Sur l´impossibilité de démontrer par une construction plane le postulatum d´ Euclide”,(108) „Notices sur la vie et les travaux de N.J. Lovbatschewsky”,(109) továbbá számtalan, nemeuklideszi geometriai vonatkozású cikk francia fordítását.(110) Ezek mutatják, hogy a nemeuklideszi geometria benne lelte meg francia apostolát.

101

Mém. Soc. Scienc. Phy. et Nat. de Bordeaux, V. p. 189-248. Ugyancsak kiadásra került egy kisebb füzet: La science absulute de l'espace, indépendante de la vetité ou fausseté de l´Axiôme XI d´Euclide (que l´on ne pourra jamais établir a priori); suivie de la quadrature géométrique du cercle, dans le cas de la fausseté de l´Axiôme XI, par Jean Bolyai, Capitaine au corps du génie dans l´armée autrichienne; Précédé d´une notice sur la vie et les travaux de W. et de J. Bolyai, par M.Fr. Schmidt. [Párizs, G. Villars, 1868].

102

L.: P. Stäckel: „Franz Schmidt„, Jahresbericht der Deutschen Math. XI. p. 141-146 [1902].

103

Bolyai Farkasnak ezt a rövid összefoglaló művét a címének első két szavával - Kurzer Grundriss - szokták említeni. Marosvásárhelyt jelent meg 1851-ben.

104

„Intorno alla geometria immaginaria o non euclidiana. Considerazioni strorico-critiche”; Rivista Bolognese di scienze lettere, arti e scuole, II. p. 171-181 [1867]. Különlenyomatként is napvilágot látott egy 16 oldalas füzetben [Bologna, Fava e Garagnani, 1867]. Ugyanez az anyag néhány kiegészítéssel és eltérő címmel - „Studii geometrici sulla teorica delle parallele di N.J. Lobatschewsky” - jelent meg a „La Provincia di Pisa” c. politikai napilap, III. évf. 25, 27, 29, 30 számaiban [1867] és majd ismételten külön füzetben az eredeti címmel [Pisa, Nistri, 1867].

105

„Intorno alla vita ed agli scritti di Wolfgang e Giovanni Bolyai di Bolya, matematici ungheresi”, Bollettino di Bibliografia e di Storia delle scienze Mat. e Fisiche, I. p. 277-299 [1869].

106

L.: Stäckel idézett cikkét Fr. Schmidt-ről.

107

Első kiadás: Párizs, G. Villard, 1867; második: 1883.

108

Giornale di Mathemaiche, VII. p. 84-89.; Nouvelles Annales, (2), IX. p. 93-96,

109

Bull. des Sciences Math., I. p.66-71, 324-28, 384-88 [1870].

110

Többek között fordított Battaglinitől, Beltramitól, Riemanntól és Helmholtztól. Ezeket később idézzük. 77

64.§ Ugyanilyen hűséges és aktív terjesztője volt az új geometriai gondolatoknak Olaszországban Giuseppe Battaglini és az általa alapított és szerkesztett „Giornale di Matematica”, amely 1867 után mondhatni hivatalos orgánuma lett a nemeuklideszi geometriának. Battaglini első munkája, a „Sulla geometria immaginaria di Lobatschewsky”(111), azért íródott, hogy rögzítse azokat az elveket, amelyek a párhuzamosság általános elméletének és Lobacsevszkij trigonometriájának alapjait képezik. A folyóiratnak ebben a számában, néhány lappal e tanulmány után szerepel a Pangeometria olasz fordításban;(112) és ezt követően ugyanitt az Appendix [1868]. A „Giornale di Matematica” hatodik évfolyamában, gyakorlatilag ezekkel egy időben tette közzé E. Beltrami „Saggio di interpretazione delle geometria non euclidea” című nevezetes tanulmányát, „…ami meglepő megvilágításba helyezte azt a vitát, mely kezdet kialakulni a geometria alapjait valamint Gauss és Lobacsevszkij gondolatait illetően”.(113) Tovább lapozva a „Giornale di Matematica” további köteteit sűrűn találkozunk a nemeuklideszi geometriával foglalkozó tanulmányokkal: Beltramitól két cikk [1872], melyek az említett „Saggio…” körüli vitával foglalkoznak; több írás Battaglini [1874-78] és d´Ovodio [1875-77] tollából, melyek az új geometriának a Cayley által felvetett, a projektív módszerből eredő kérdéseit tárgyalják; egy dolgozat Hoüeltől [1870] az euklideszi posztulátum bizonyíthatatlanságáról; további publikációk Cassani [1873-81], Günter [1876], de-Zolt [1877], Frattini [1878], Ricordi [1880] stb. kezéből. 65.§ Az említett geométerek bátor és kezdeményező munkája az eszmék elterjesztésében további publikációk megszületését eredményezte, melyek ebben az időben [1868-72] már azzal az igénnyel léptek fel, hogy az új geometriát általánosabb alapokra kell helyezni és a Gauss, Lobacsevszkij és Bolyai által alkalmazottaknál kevésbé elemi eszközökkel kell kidolgozni. Az V. fejezetben röviden meg fogjuk mutatni azokat az új módszereket és kutatásokat, melyek sok kiváló kortárs matematikus nevéhez fűződnek. Itt most csak annyit jegyzünk meg, hogy a párhuzamosok régi problémáját, melyek mintegy negyven évvel előbb, Legendre vizsgálatai nyomán kerültek előtérbe, most a geométerek és filozófusok új megvilágításba helyezték és ez vált a széleskörű kutatás középpontjává. Néhányan arra törekedtek, hogy a nemeuklideszi geometria megalkotóinak munkáját a matematikusok minél szélesebb körével ismertessék meg. Mások arra törekedtek, hogy az eredményeket, az új szemléletet felhasználva a matematika speciális ágazatait dolgozzák ki.(114)

111

Giornale di Mat, V. p. 217-231 [1867]. - Napoli, Rend. Acc. Science Fis. e Matem., VI. p. 157-173 [1867]. Francia fordításban Hoüel: Nouv. Annales, (2) VII. p 209-221, 265-277 [1868].

112

Ez különlenyomatban is megjelent: „Pangeometria o sunto di geometria fondato sopra una teoria generale e rigorosa delle parallele”, Nápoly, 1867; második kiadása 1874.

113

L.: L. Cremona: „Commemorazione di E. Beltrami„, Giornale di Mat., XXXVIII. p. 362 [1900].

114

V.ö. pl.: É. Picard „La Science Moderne et son état actuel”; Párizs, Flammarion, [1905]. 78

A fordító jegyzetei a IV. fejezethez: a

Bonola e fejezetnek ugyanazt a címet adta, mint az előzőnek, csupán a Seguito (folytatás) jelzővel különböztette meg attól, Az előbbi fejezet címéhez fűzött jegyzetemben már elmondtam a fordítás/ferdítés okát.

b

A magiszter tanulás mellett oktatási feladatokat is kapott: gyakorlatok, szemináriumok, labormunkák vezetését stb. Ma ilyen a doktorandusz, a közelmúltban az aspiráns.

c

Ezt a kéziratot 1823-ban Lobacsevszkij kiadás céljából elküldte Szentpétervárra, de a tankönyv nem jelent meg. Fusz akadémikust kérték fel bírálónak, aki a számára „meglepő következtetések” kijavítását javasolta. Lobacsevszkij erre nem volt hajlandó, de a kéziratot sem kérte vissza, sorsára hagyta. A Kazányi Egyetem irattárában 1899-ben véletlenül találták meg. (Ugyanarról a Fusz akadémikusról van szó, aki Gaussnak pétervári állást kínált fel 1801-ben.)

d

A geometria alapjainak rövid kifejtése, a párhuzamosok törvényének szigorú bizonyításával.

e

Más (orosz) források szerint a felolvasás dátuma nem február 12., hanem 11. (a pravoszláv naptár szerint) ami a gregorián naptárban 23. és nem 24. - V. ö.: Geometriai vizsgálatok 1945-ös kiadásának Bevezetése; magyarul Akadémiai Kiadó (1951), p.16.

f

A Geometriai vizsgálatok Lobacsevszkij legkisebb terjedelmű munkája a témáról, lényegében a többi munka rövid, egyszerű összefoglalása. Olyanoknak készült, akik nem a téma specialistái. Gauss és mindkét Bolyai nagyra értékelte egyszerű, közérthető stílusát.

g

Lobacsevszkij ezeket az egyeneseket találkozóknak [встечная], összetartóknak [сводная], illetve nemtalálkozóknak, széttartóknak [невстечная, несводная] nevezi.

h

A permanencia itt azt jelenti, hogy az A pontból húzott AF párhuzamos bármelyik G pontjához tartozó sugársor elemei közül ugyancsak az AF = GF a párhuzamos.

i

Szokták határkörnek¸ határvonalnak ill. határgömbnek, határfelületnek nevezni ezeket az alakzatokat.

j

Az ábrán a két távolságvonal két közös tengelye között elhelyezkedő ívek arányáról van szó.

k

Ezzel ellentétes V. F. Kagan véleménye: „A nemeuklideszi geometriának az ő idejében már nem csekély múltja volt, csakhogy Lobacsevszkij erről nem tudott. Saccheri, Lambert, Schweikart, Taurinus munkáit, azt lehet mondani, senki sem ismerte; … Volt azonban egy geométer, … akinek kutatásait nagy figyelemmel kísérték. Ez Legendre volt. … a Geometriai vizsgálatok is Legendre nevének említésével kezdődik.” - V. ö.: Geometriai vizsgálatok 1945-ös kiadásának Bevezetése; magyarul Akadémiai Kiadó (1951), p.26-27.

l

Talán észrevette az Olvasó, hogy Lobacsevszkijnek ez a - matematikai levezetéssel nem folytatott - gondolata az abszolút geometriáról szól. Hozzá kell azonban tennünk, hogy a Pángeometria Lobacsevszkij „hattyúdala”, s életműve a „kevésbé általános” hiperbolikus geometria felfedezését, kidolgozását tartalmazza.

m

A Naprendszeren kívüli égitestek parallaxisa a Földpálya látószöge az égitestről nézve. Lemérése földi megfigyeléssel történik: a csillag látszólagos helyzete változik a Föld mozgása következtében. A maximális elmozdulás szögtávolságát kell lemérni.

n

A Föld - Nap közepes távolság a csillagászati egység, értéke, kb. 150 millió km. A mérés pontosságára vonatkozó adat mára természetesen elavult, a diszkusszió azonban ekkor is érvényes.

o

Bonola nem emeli ki, de fontosnak tartom megemlíteni a különbséget Lobacsevszkij és Bolyai definíciója, szemlélete között: Lobacsevszkij a külső ponton átmenő egyenesek két osztályát - a metszőkét és a nemmetszőkét - elválasztó két egyenest nevezi párhuzamosnak. Bolyai az Appendixben a külső pontból induló félegyenesekről és ezek forgatásáról beszél, s az első nem metsző, az elpattanó nála a párhuzamos.

p

Bonola kissé szabad fordításának „visszafordítása” helyett a levél eredeti szövegét idézem.

q

Teljes címe: Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae. (Kísérlet a tanulóifjúság bevezetésére a tiszta matematika alapjaiba.)

r

FÜGGELÉK. A tér abszolút igaz tudományának a XI. Eukleidész-féle axióma (a priori soha el nem dönthető) téves vagy helyes voltától független bemutatása: csatoltan annak téves volta esetére a kör négyszögesítése.

79

s

Itt ismét a forrást, Bolyai bizonyítását láttam célszerűnek beiktatni, egyike az Appendix „könnyű” tételeinek. A beszúrás végét (*) jelöli.

t

A 26.§ végén, a bizonyítás után jegyzi meg Bolyai: Az ebből levezethető szférikus trigonometria ezáltal a XI. axiómától független megalapozást kapott.

u

Az euklideszi rendszerben körzővel-vonalzóval nem lehet megoldani a feladatot: szerkesztendő annak a négyzetnek az oldala, melynek területe az adott sugarú körével egyenlő. Egyike a klasszikus megoldhatatlan problémának a kocka megkettőzése, s a szögharmadolás mellett.

v

Bonola előzetes magyarázat nélkül használja az ideális pont fogalmát. A 79.§-ban lesz szó a projektív geometriáról, s az ideális térElemekről.

w

„Tehát vagy Eukleidész XI. axiómája igaz, vagy megoldható a kör négyszögesítése; bár eldöntetlen marad, hogy e kettő közül a valóságban melyik teljesül.”

x

„Hátra volna még a tárgy minden vonatkozásban való lezárása érdekében annak az igazolása, hogy minden feltevés nélkül nem lehet eldönteni, vajon az Σ (az euklideszi rendszer) vagy pedig valamelyik S (nemeuklideszi rendszer) - és melyik - teljesül: amelyet kedvezőbb alkalomra halasztunk.

y

Bonola nem említi, de tudjuk, hogy az égi mechanika klasszikus feladata, a többtest-probléma megoldása volt Bolyai célja.

z

Természetesen csak konvex szögtartományról lehet szó.

80

V. FEJEZET A NEMEUKLIDESZI GEOMETRIA TOVÁBBFEJLESZTÉSE --------66.§ Ahhoz, hogy beszámoljunk a nemeuklideszi geometriának a differenciálgeometria és a projektív geometria irányában történő fejlesztéséről, el kell hagynunk az elemi matematika területét és néhány dolgot el kell mondanunk a felsőbb matematikai ismeretekből, mint amilyen például a felületek geometriája, a transzformáció-csoportok, a tiszta projektív geometria és az ez alá rendelt metrikus geometria. Bár ezek nincsenek összefüggésben a könyv kitűzött céljával, röviden, a lényegre szorítkozva összefoglaljuk azokat az ismereteket, amelyek feltétlenül szükségesek ahhoz, hogy az olvasó az új kutatások lényegét és az alkalmazott formális eszközöket megértse, s bevezetést kapjon egy további geometriai rendszer, a Riemann-féle elliptikus geometria területére. Ezt a rendszert már Sacchieri és Lambert munkájának ismertetésekor, mint a tompaszögű hipotézis következményét előrevetítettük.(115)(a)

Differenciálgeometriai megközelítés A felületek geometriája 67.§ A következők megvilágítását megkönnyíti, ha új kiinduló pontból közelítünk: Meg fogjuk mutatni, hogy egy tetszőleges felületen miként tudunk egy olyan geometriai rendszert megalkotni, mely a sík geometriájához hasonló. A felület két pontja között általában húzhatunk egy olyan vonalat, melynek mentén az egyik pontból elindulva és a felületen maradva a legrövidebb úton juthatunk el a másik pontba. A felületnek az ilyen tulajdonságú vonalait geodetikus vonalaknak nevezzük. Például a gömb esetében - ha a két pont nincs egy átmérő két végpontjában - a két pontot összekötő legrövidebb út a gömb egy főkörének az íve.(b) Eszerint, ha a felületen a síkgeometriával rokon rendszert akarunk létesíteni, akkor természetes módon a geodetikus vonalakat kell az egyenesek megfelelőjének tekinteni. Ugyancsak magától értetődik, hogy a felület két alakzatáról akkor mondjuk, hogy (geodetikusan) egybevágóak, ha megfelelő pont párjaikat összekötő geodetikus ívek hossza rendre megegyezik.

115

E fejezetben érintett témákról bővebben: F. Klein Vorlesungen über die Nicht-Euklidische Geometrie (Göttingen, 1893) vagy L.Bianchi Lezioni sulla geometria differenziale (Pisa, 1903). 81

Szemléletesen úgy képzelhetjük el az egybevágóságnak ezt a definícióját, hogyha az alakzatokat hajlékony, de nem nyújtható anyagból készítjük el. Ekkor az egyik idomot a felületen csúsztatva a másikkal fedésbe tudjuk hozni - amennyiben e két alakzat geodetikusan egybevágó. Például legyen a vizsgált felület egy henger palástjának egy darabja.(c) A palástot torzítás nélkül lehet síkba teríteni, s ekkor azok a felületi idomok, melyek geodetikusan egybevágóak, a kiterítés után közönséges értelemben is egybevágóak lesznek, egymással fedésbe hozhatók. Akkor is ha a térben nem voltak egybevágóak, mert megfelelő oldalaik felületi hossza ugyan megegyezett, de más alakú térgörbén helyezkedtek el. Visszatérve a felületekhez, amelyeken a felületi geometriát be akarjuk vezetni, ki kell jelölni azt a - legtöbbször korlátos - tartományt (normál tartomány), amelyre a vizsgálatainkat korlátozzuk. Két felületen, melyek torzítás mentesen egymásba alakíthatók, ugyanaz a geometriai rendszer érvényesül. Például egy hengerfelületen, mely a sík egy korlátos tartományára teríthető, olyan geometria definiálható, mint a sík egy korlátos tartományában, t. i. a palást által lefedett tartományban. Ugyancsak azonos két ún. egymásba fejthető felület geometriai rendszere.(d) A gömbfelület viszont ennek az ellenkezőjére példa, hiszen sem az egész gömb, sem a legkisebb darabja nem fektethető síkba, s ezért a gömb geometriája nem egyezhet meg a sík geometriájával. Egy fontos analógia azonban felfedezhető a gömb és sík között: mindkettő olyan, hogy önmagában szabadon mozgatható, eltolható. Ezért a gömbön az egybevágósági axiómák megegyeznek a sík megfelelő axiómáival. Próbáljuk meg általánosítani ezt a példát. Ahhoz, hogy egy felület kiválasztott darabja a felületen mozgatható legyen úgy, mint ahogyan a síkon egy idom mozgatható, az kell, hogy legyen egy bizonyos szám - K-val fogjuk jelölni -, ami a teljes felület minden pontjában állandó és valamilyen módon jellemzi a felület görbeségét, a síktól való eltérését. Ezt a jellemzőt Gauss vezette be és felületi görbületnek nevezzük.(116) (e) Ha meg tudunk adni olyan felületeket, melyeknek a görbülete minden pontban azonos állandó görbületű felületek -, akkor három ilyent találunk: K = 0, K > 0, K < 0.

Ha K = 0, akkor a felület kifejthető, kiteríthető a síkba. Ha K > 0, akkor a felület egy olyan gömbre teríthető ki torzításmentesen, melynek sugara R = 1 K és ez az R sugarú gömb ennek a pozitív állandó görbületű felületnek az egyik képviselője és egyben modellje.

116

Emlékeztetőül elmondjuk, hogy a síkban egy görbe egy pontjában a görbület az adott ponthoz tartozó simulókör (oszkuláló kör) sugarának a reciproka. Hasonlóképpen lehet a felületi görbületet a simulógömbbel definiálni. 82

47. ábra

48. ábra

Az állandó K < 0, negatív görbületű felületre is van példa: a pszeudoszféra.(f) Ez egy forgásfelület, melyet akkor kapunk, ha a traktrix(117) nevű síkgörbét a megfelelő tengely körül forgatjuk. Ha a térbeli derékszögű koordináta-rendszerben az görbét az xz síkban helyezzük el, akkor egyenlete, melyben egy k paraméter is szerepel így írható: (1)

k + k 2 − x2 z = k ln − k 2 − x2 . x

A görbe Oz tengely körüli forgatásával kapott felület Gauss-féle görbülete K=−

1 k2

Erre a felületre ki lehet fejteni minden állandó -1/k2 görbületű felületet.

49. ábra (K<0 felület)

117

A traktrix olyan síkgörbe, melynek minden pontjában az érintőnek a tengelyig terjedő szakasza (az ún. szubtangens) állandó. Ez az állandó szerepel az (1) képletben: k. - {Elnevezése - vontató görbe - utal a mechanikus létrehozására: ha a síkon egy tárgyat állandó hosszúságú kötélen vonszol az egyenesen haladó vontató, a vontatmány ilyen pályát ír le. Szokták kutyagörbének is nevezni. - H.F.} 83

68.§ Az állandó görbületű felületeken értelmezett geometriák és a sík egy megfelelően kiválasztott tartományában(g) érvényes geometriai tulajdonságok közötti analógiát akkor láthatjuk, ha a következő szótárt elemezzük, amelyből a megfeleltetések egyszerűen kiolvashatók: Felület-darab. Sík-tartomány Felületi pont. Pont. Geodetikus vonal. Egyenes. Geodetikus ív. Egyenes szakasz. A geodetikus vonal linearitása. Az egyenes pontjaira vonatkozó rendezési posztulátumok. Két pont által meghatározott geodetikus Két pont által meghatározott egyenes vonal. A geodetikus ívek és a szögek Egyenes szakaszok és szögek egyenlőségének alaptulajdonságai. egyenlőségének alaptulajdonságai. Ha két geodetikus háromszögben két oldal Ha két háromszögben két oldal és a és a közbezárt szög megegyezik, akkor közbezárt szög megegyezik, akkor a a többi alkotórész is megegyezik. többi alkotórész is megegyezik. Vagyis, ha egy olyan felületnek a geometriai tulajdonságait akarjuk vizsgálni, amelyen a rendszer független a párhuzamossági posztulátumtól, a síknak csak azokat a tulajdonságait használhatjuk fel, amelyek ennek egy véges tartományában érvényesek. Például le kell mondanunk az egyenes végtelenségéről, tetszőleges meghosszabbíthatóságáról. Ezért meg kell vizsgálnunk, hogy egy euklideszi síktartomány és egy állandó görbületű felületdarab összehasonlításánál milyen tulajdonságok feleltethetők meg egymásnak. Például ha a síkon azt találjuk, hogy egy háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenlő, akkor nem biztos, hogy a felületen is igaz lesz ez az összefüggés. Gauss bebizonyította, hogy egy felületen, - akár állandó, akár pontonként különböző rajta a K felületi görbület -, az

∫∫ Kdσ felületi integrálnak egy ABC háromszögre számított értéke a szögösszeg excesszusával egyenlő. Azaz

∫∫ Kdσ = A∠ + B∠ + C∠ − π

ABC

Alkalmazzuk ezt a tételt a háromféle állandó görbületű felületre: I. Eset: K = 0. Ekkor az integrál nyilván 0, amiből következik, hogy az excesszus is 0, tehát a szögek összege = π. A háromszög szögeinek összege a zérus állandó görbületű felületen két derékszöggel egyenlő. II. Eset: K =

1 > 0 . (Ilyenre példa egy k sugarú gömb.) Ekkor az integrál: k2 ∆

1

∫∫ Kdσ = k ∫∫ dσ = k 2

ABC

2

= A∠ + B∠ + C∠ − π

ABC

84

ahol ∆ a (geodetikus) háromszög területe. Ebből az egyenlőségből következik, hogy egyrészt

A∠+B∠+C∠ > π,

másrészt

2

∆ = k ⋅( A∠ + B∠ + C∠ - π).

Eszerint kimondhatjuk, hogy az állandó pozitív görbületű felületen a) a geodetikus háromszög szögeinek összege nagyobb két derékszögnél, b) a geodetikus háromszög területe a szögösszeg excesszusával arányos. III. Eset: K = −

1 < 0 . (Erre a pszeudoszféra a példa.) Ekkor az integrál: k2 ∆

1

∫∫ Kdσ = − k ∫∫ dσ = − k 2

ABC

2

= A∠ + B∠ + C∠ − π

ABC

A következtetéseink hasonlóak: egyrészt

A∠+B∠+C∠ < π,

másrészt

∆ = k2⋅( π - A∠ - B∠ - C∠ ).

Tehát az állandó negatív görbületű felületen a) a geodetikus háromszög szögeinek összege kisebb két derékszögnél, b) a geodetikus háromszög területe a szögösszeg defektusával arányos. Eredményeinket a következő táblázatban foglalhatjuk össze: Állandó görbületű felületek A felületi görbület

A felület modellje

A háromszög jellemzője

K=0

Sík

A∠+B∠+C∠ = π

K = 1/k2

Gömb (Szféra)

A∠+B∠+C∠ > π

Pszeudoszféra

A∠+B∠+C∠ < π

2

K = - 1/k

A zérus és a pozitív állandó görbületű felületek geometriája ismerős, hiszen ezek megegyeznek a sík, illetve a gömb geometriájával. A negatív állandó görbületű felületek tanulmányázását F. Minding [1806-1885] kezdeményezte, amikor a forgási felületek geometriáját vizsgálta.(118) Mindingnek a következő tétele melynek teljes bizonyítását D. Codazzi [1824-1873] adta meg - alapozta meg a felületek trigonometriájának vizsgálatát: Ha a gömbi trigonometria képleteiben a szögeket változatlanul hagyva az oldalakat megszorozzuk a képzetes egységgel ( i = − 1 ), akkor olyan egyenleteket kapunk, melyek a negatív állandó görbületű felületek geodetikus háromszögeire

118

Crelle-féle folyóirat, XIX. p. 323-327 (1839): „Wie sich entschneiden lässt, ob ywei gegebene krumme Flächen auf einander abwickelbar sin eoder nicht; nebst Bemerkungen über die Flächen von unveränderlichen Krümmugsmaasse.” - {Megállapítottuk, hogy két görbe felület egymásba fektethető vagy sem; aszerint, hogy azonos-e az állandó görbületük.} 85

érvényesek.(119) Ezek az összefüggések (pszeudoszférikus trigonometria) megegyeznek Taurinus (36.§: logaritmiko-szférikus trigonometrikus) és Bolyai-Lobacsevszkij (elképzelthiperbolikus trigonometria) képleteivel. 69.§ A megelőző paragrafusokból következik, hogy azok a tulajdonságok, amelyek a háromszög szögeinek összegével kapcsolatosak, összefüggésben vannak az állandó görbületű felület Gauss-féle görbületével, mégpedig A görbület

A Saccheri-féle hipotézis

K=0

derékszögű hipotézis

K>0

tompaszögű hipotézis

K<0

hegyesszögű hipotézis

Az első típus esetében az eredmény magától értetődő, ha arra utalunk, hogy ezek a felületek síkba fejthetők. A negatív görbületű felületek és a Bolyai-Lobecsevszkij geometria közötti analógia ugyancsak könnyen ellenőrizhető, ha összehasonlítjuk azokat a tételeket, képleteket, melyek a felület geodetikus vonalai, illetve a hiperbolikus sík egyenesei által alkotott háromszögek alkotórészei között fennállnak. Ezt az összehasonlítást végezte el E. Beltrami a „Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea” c. dolgozatában.(120) Eszerint az állandó negatív, vagy pozitív görbületű felületeken érvényes geometria alkalmas egy síktartomány olyan nemeuklideszi geometriájának az interpretálására, melyet akár a hegyesszögű, akár a tompaszögű hipotézisből kiindulva építünk fel. A különféle kétdimenziós felületeknek a felhasználását a geometriák interpretálására B. Riemann [1826-1866] vizsgálta és eredményét 1854-ben tette közzé nevezetes dolgozatában: „Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen”.(121) Ezek a gondolatok képezik a differenciálgeometriai kutatások alapját. Beltrami vizsgálatainál általánosabb Riemann-é, aki az állandó görbületű felületek tulajdonságainak vizsgálatával megmutatta, hogyan lehet a háromféle szög-hipotézisből logikailag tisztán levezetni a három geometriai rendszert.

119

Minding: Beträge zur Theorie der küzesten Linien auf krummen Flächen; Crelle, XX. p. 323-27 (1840). - D. Codazzi Intorno alle superficie le quali hanno costante il prodotto de´ due raggi di curvatura; Ann. di Scien. Mat. e Fis, VIII. p. 346-55 (1857).

120

Giornale di Mat. XX. p. 323-27 (1840). - Opere Mat., I. p. 374-405 (Milano, Hoepli, 1902).

121

Riemanns Werke, 1.kiadásban p. 254-96 (1876); 2. kiadásban p. 272-87 (1892). - Riemann 1845-ben egyetemi habilitációján tartott előadásában ( Habilitationschrift, Göttingen, 1854) hozta nyilvánosságra ezt a vizsgálatot, de a filozófiai fakultás nem csupán matematikusokból álló hallgatóságára való tekintettel nem tért ki minden szakmai részletre. Az analitikus elemzést abban a dolgozatban adta meg, melyet a francia Akadémia által kitűzött probléma megoldásaként nyújtott be (Riemanns Werke,1.kiadásban p. 384-391). Azok a filozófiai gondolatok, melyeket a Habilitationschrift tartalmaz az egyes tulajdonságok infinitézimális viselkedéséről szólnak. - V.ö.: Klein Riemann und seine Bedeutung in der Entwickelung der modernen Mathematik; Jahresb. d. Deutschen Math. Ver., IV. p.72-82 (1894). Maga a dolgozat csak 1867-ben került kiadásra (Gött. Abh., XIII.) a szerző halála után, R. Dedekind gondozásában. 86

Ez az eredmény, - a tompaszögű hipotézis vonatkozásában -, ellentétben áll Saccheri, Lambert és Legendre elméletével, akik kizárták a harmadik rendszer lehetőségét. Az ellentmondás azonban csak látszólagos és könnyedén kiküszöbölhető, s ekkor az eredmények nemcsak a korlátos síktartományra alkalmazhatók, azaz nemcsak az itt érvényesülő tulajdonságok, hanem az egész síkra érvényes tulajdonságok - mint például az egyenes végtelensége -, is figyelembe vehetők.

A Riemann-féle elméletre épülő síkgeometria alapjai 70.§ Ezek a kutatások vezetnek bennünket a geometriának egy sokkal általánosabb nézőpontból, az euklideszi posztulátum nélkül való megalapozásához: (h) a síknak egy korlátos tartományából indulunk ki: normál-tartomány ; elfogadjuk, posztuláljuk azokat az elemi tételeket, melyeket a normál-tartományban érvényesnek tapasztalunk; feltesszük, hogy a normál-tartomány tulajdonságai kiterjeszthetők a sík bármelyik pontjának környezetére ( nem az egész síkra). Az a geometria, melyet ezekből az alapelvekből kiindulva fejlesztünk ki a legáltalánosabb síkgeometria lesz, mely a közvetlen megfigyelésekre támaszkodva szigorú következtetéssel épül fel. Azokból az elvekből, melyeket a 69.§-ban fejtetünk ki világosan következik, hogy e geometriának a konkrét reprezentánsát az állandó görbületű felületeken találjuk meg. Az a megfeleltetés, amely differenciális nézőpontból, - a korlátos tartományok között és csak ekkor érvényes -, az integrális szempontból vizsgálva - tehát az egész sík és a teljes felület geometriája között -, már nem feltétlenül áll fenn. Tehát nem minden esetben állíthatjuk, hogy két, azonos állandó görbületű felületen ugyanaz a geometria érvényesül. Például egy körhenger palástjának Gauss-féle görbülete zérus, miként a síké is. A hengerpalást egy darabja megfeleltethető a sík egy korlátos tartományának (pl. a palást kiterítésével), de az egész palástot kifejtve az nem fedi le a teljes síkot. Ezért a hengerpalást egészén érvényes geometria nem felelhet meg a sík Eukleidész-féle geometriájának. Elég csupán arra gondolunk, hogy a hengerpaláston két csavarvonal (geodetikus görbék!) végtelen sok pontban metszi egymást, míg a sík geodetikus vonalainak, az egyeneseknek páronként legfeljebb egy közös pontjuk van. Hasonló eltérések fordulnak elő egy nemeuklideszi geometria és egy negatív görbületű felület geometriája között, amennyiben azt a fent említett posztulátumok alapján építjük fel. Ha megfigyelünk egy állandó görbületű felületre (pl. gömbre, vagy pszeudoszférára) kiterjesztett geometriát, általában azt tapasztaljuk, hogy azok a tulajdonságok, melyek egy normáltartományban két pont viszonylatában érvényesek, az egész felületre kiterjedően nem állnak fent. Ez tény, bár ez nem következik szükségképpen azokból a hipotézisekből, melyekre általában a metrikus nemeuklideszi geometriát építjük. Ellenkezőleg, ha azt vizsgáljuk, hogy logikailag lehetségesek-e olyan síkgeometriai rendszerek, melyek kielégítik az a), b), c) feltételeket, és amelyekben az egész síkon érvényesek az egybevágósági axiómák, továbbá két pont minden esetben meghatároz egy egyenest, akkor az euklideszi mellett két ilyen geometriai rendszert kapunk:

87

A Bolyai-Lobacsevszkij féle rendszer, a már ismert síkgeometria, melyben egy egyeneshez egy külső pontból két párhuzamos húzható. Egy új rendszer (Riemann rendszere), mely megfelel Saccheri tompaszögű hipotézisének, s amelyben nincsenek párhuzamos egyenesek. Ez utóbbiban az egyenes zárt vonal - korlátos hosszúsággal -, ami ellentétes azzal a felfogással, amely az egyenest nyílt, korlátlanul meghosszabbítható (végtelen) vonalnak tekinti. Ez az utóbbi feltevés szükséges például az Elemek I.16. tételének (a külső szögek tételének) és Saccheri néhány eredményének bizonyításához.(i) 71.§ Riemann volt az első, aki felismerte, hogy létezik olyan geometria, melyet a tompaszögű hipotézisből kiindulva építhetünk fel, s ő volt aki először cserélte fel az végtelen egyenes hipotézisét a sokkal általánosabb nem-korlátos egyenesével. Arra vonatkozóan, hogy mi a lényeges különbség az egyenes végtelen és korlátlan tulajdonsága közt, magának Riemannak a szavait idézzük: „Amikor a tér méreteinek határtalan növeléséről beszélünk, különbséget kell tennünk a korlátlan és a végtelen között: az előbbi a kiterjedéssel, az utóbbi a mérettel van kapcsolatban. Az, hogy a tér korlátlan kiterjedésű három dimenziós sokaság, csupán olyan hipotézis, melyet a külső világra vonatkozó koncepcióinkban alkalmazunk, ami arra szolgál, hogy a konkrét érzékelésünk területét minden pillanatban kiegészítsük és a keresett objektumok számára helyet létesítsünk, és ahol az ismert viszonyok mindig érvényesek. A tér korlátlanságának tulajdonsága ezáltal empirikus biztonságot ad, amit a végtelenségről már nem állíthatunk. Ellenkezőleg, ha feltesszük, hogy a testek függetlenek az elfoglalt helyüktől és ehhez csatoljuk az állandó görbület tulajdonságát, akkor a térnek szükségképpen végesnek kell lennie, feltéve, hogy ez a görbület mindenkor elég kis pozitív érték.”(122) Végül is az a posztulátum, mely az egyenes végtelen hosszúságát feltételezi, implicit módon már a korábbi geométerek munkájában is megtalálható, Riemann ezt a párhuzamosok vizsgálatával kapcsolatban elevenítette föl. Amit Riemann hozzátett, az a tér korlátos voltának elemzése volt. Ez a tulajdonság nincs ellentétben sem az egyenes végtelenségének (nyíltság), sem végességének (zártság) posztulálásával. A Riemann-féle rendszer logikai lehetőségének illusztrálására a térbeli sugárnyaláb(j) geometriája alkalmas. A következő „szótár” segítségével teremthetjük meg a sugárnyaláb és a Riemann-féle sík közötti megfeleltetést: sugárnyaláb

sík

egyenes

pont

(sík) sugársor

egyenes

szögtartomány

szakasz

lapszög

szögtartomány

triéder

háromszög

Példaként bemutatjuk néhány közismert összefüggés „fordítását”:

122

L.: Riemanns Werke, III. 2.§. 88

Egy triéder három lapszögének összege nagyobb két derékszögű lapszögnél. Minden sík, amelyik egy adott síkra merőleges egy egyenesre illeszkedik.

Egy háromszög szögeinek összege nagyobb két derékszögnél. Minden egyenes, mely egy adott egyenesre merőleges egy ponton megy keresztül. A sugárnyaláb tartójára (centrum) Egy egyeneshez hozzárendelhetjük a rá merőlegesek közös pontját. Ezzel illeszkedő síkhoz (sugársorhoz) rendelhetjük a rá merőleges síkok kölcsönösen egyértelmű közös egyenesét. Ezzel kölcsönösen megfeleltetést létesítettünk az egyértelmű megfeleltetést egyenesek és a pontok között. E létesítettünk a közös tartóra illeszkedő megfeleltetés neve: ortogonális síkok és egyenesek között. E polaritás. Fontos tulajdonsága, hogy megfeleltetés neve: ortogonális az egyenes pólusán átmennek polaritás. Fontos tulajdonsága, hogy mindazok az egyenesek, amelyek az egy sík polárisát tartalmazzák adott egyenes pontjainak polárisai. Ez a pont tehát egy sugársor mindazon síkok, amelyek az adott sík centrumra illeszkedő sugársorának centruma. polársíkjai. Ez az egyenes tehát egy síksor tengelye. Figyelemre méltó Dehn alábbi felfedezése a tompaszögű hipotézissel kapcsolatban: Megfigyelhetjük, hogy Saccheri [16.§], Lambert [19.§] és Legendre [27.§] a tompaszögű hipotézis cáfolatára adott bizonyításukban nem csupán az egyenes végtelenségét, hanem az arkhimédeszi posztulátumot is kihasználták. Megkérdezhetjük azonban, hogy ez utóbbi hipotézis valóban szükséges-e a bizonyításhoz? Sőt azt is kérdezhetnénk, hogy a két hipotézis, - az egyik, amelyik az egyenest nyílt vonalként kezeli és az, amelyik a háromszög szögeinek összegéről felteszi, hogy nagyobb, mint két derékszög - vajon összefér-e egymással, ha az arkhimédeszi posztulátumot figyelmen kívül hagyjuk. Dehn válaszol e kérdésre(123) azzal, hogy megmutat egy nem-arkhimédeszi geometriát, amelyben az egyenes nyílt vonal és a háromszög szögeinek összege nagyobb két derékszögnél. Eszerint Saccheri második hipotézise és a nyílt egyenes fogalma összefér egymással e nem-archimédeszi geometria keretében is. Ezt a geometriai rendszert maga Dehn Nicht-Legendre´che geometriának nevezte [i.m.: p. 121]. 73.§ Láttuk, hogy az állandó görbületű felületeken - legyen szó pozitív vagy negatív görbületről - általában nem valósítható meg sem a Lobacsevszkij-, sem a Rieman-féle sík egészének geometriája. Fennmarad a kérdés, hogy vajon valamilyen más felület segítségével lehetséges-e a reprezentáció? Erre a kérdésre a válasz a következő: Nem létezik olyan reguláris(124) analitikus felület, amelyen a Lobacsevszkij-Bolyai geometria teljes kiterjedésében érvényes lenne. [Hilbert tétele] (125)

123

Dehn Die Legendrischen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck, Math. Ann. LIII. (1900).

124

A regularitás azt jelenti, hogy a felületnek nincsenek szinguláris pontjai - {más szóval minden pontjában analitikus = akárhányszor differenciálható, H.F.} 89

Egy olyan felület, melyen a Riemann-féle sík geometriája érvényes, szükségképpen zárt. Végül Liebmann(126) tétele kimondja, hogy az egyetlen állandó pozitív görbületű, zárt analitikus felület a gömb. Azonban a gömb felületén, abban a normál-tartományban, amelyben a Riemann geometria érvényesül, két egyenes mindig két (átellenes) pontban metszi egymást. Ezért a közönséges (euklideszi) térben nincs olyan felület, melyen a teljes nemeuklideszi sík geometriája érvényes lenne. 74.§ Ezen a ponton meg kell jegyeznünk, hogy az állandó görbületű felületek közül a gömb tulajdonságai hasonlatosak leginkább a síkéhoz. Például a gömb is olyan felület, mely önmagában minden korlátozás nélkül mozgatható, miként a sík, s ezzel az egybevágósági kritériumok ugyanúgy érvényesek az egész gömbfelületen - s nem csupán egy zárt normáltartományban -, ami a gömböt teljes felületté teszi. Ez a tény sugallja, hogy a geometriai posztulátumokat olymódon fogalmazzuk meg, mely nem zárja ki egy olyan síknak a létezését, mely a gömb összes tulajdonságaival rendelkezik, beleértve az átellenes pont párok létezését is. Fel kell ezért tennünk a következő viszonyok teljesülését a síkon: a 70.§. b) és c) feltételek igazak bármely normál-tartományban. az egybevágósági posztulátumok érvényesek az egész síkon. Ekkor találhatunk egy-egy olyan síkot, melyen a Eukleidész-, a Bolyai-Lobacsevszkij- és a Rieman-féle (elliptikus) geometria érvényes, ahol két metsző egyenesnek egy közös pontja van és egy olyant, melyen egy második Riemann-féle geometria (szférikus) érvényes, amelyben az egyenesek mindig két pontban metszik egymást. 75.§ Nem tudjuk, hogy Riemann a komplett sík koncepciójának megfogalmazásakor vajon elliptikus vagy szférikus síkra gondolt, esetleg felismerte, hogy mindkettő lehetséges. Annak ellenére vannak kétségeink, hogy a differenciálgeometriáról szóló dolgozatában néhány szóval 125

Hilbert Über Flächen von konstanter Gaussscher Krümmung, Trans. Amer. Math. Soc. II. p. 86-99 (1901); Grunlagen der Geometrie, p.162-175 (Lipcse, Teubner,1903).

A kérdést, amire Hilbert tétele választ ad Beltrami fogalmazta meg, amikor a Lobacsevszkij-Bolyai féle nemeuklideszi geometria reprezentálásának lehetőségét kereste. Helmholtz 1870-ben tartott előadásában Über Ursprung und Bedeutung der geometrischen Axiome (Vortäge und Reden, II. Brunswick, 1844) tagadta, hogy létezik olyan pszeudoszféra, mely minden irányban korlátlanul kiterjeszthető. Ugyancsak foglalkozott a kérdéssel Genocchi Lettre á Mr. Quetelet sur diverses questions mathèmatiques, (Belgique Bull. 2. XXXVI. p. 181-98, 1873) és részletesebben Sur un Mémoire de D. Foncenex et sur les géométries non-euclidiennes, (Torino, Memorie 3. XXIX. p. 365-404, 1877) - és megmutatja, hogy nem elegendő az intuitív próbálkozás ahhoz, hogy találjunk olyan negatív görbületű felületet, mely a nemeuklideszi sík egészének modellje lehet. Bebizonyította, hogy minden konkrét modellen találunk szinguláris pontokat (l. 47. ábra: a pszeudoszféra élén). Hilbert tétele analitikus eszközökkel ad bizonyítást arra, hogy a teljes nemeuklideszi sík és a negatív görbületű felület közötti teljes megfeleltetés nem lehetséges. - További dolgozatok e témáról: G. Lütkemeyer Über den analytischen Character der Integrale von partiellen Differentialgleichungen, (Göttingen, 1902) vagy E. Holmgren Sur les surfaces à courbature constante négative, (Comptes Rendus, I. p- 840-843, 1902). 126

Eine neue Eigenschaft der Kugel, Gött. Nachr. p. 44-54 (1899). Ezt a tételt Hilbert is bizonyítja. (Grunlagen der Geometrie, p. 172-75). Megjegyezzük, hogy a pozitív állandó görbületű felületnek szükségképpen analitikusnak kell lennie. Erről l.: Lütkemeyer idézett dolgozatát (p. 163.) és Holmgren írását Über eine Klasse von partielle Differentialgleichungen der Zweiten Ordnung, Math. Ann. LVII. p. 407-20 (1903). 90

említést tesz a teljességről. Kutatásának folytatói - köztük Beltrami -, minden esetben a szférikus modellel foglalkoznak. Ez oda vezet, hogy a komplett Riemann-síkon, miként a gömbön is (az átellenes pont párok létezése miatt) a két pont által meghatározott egyenes posztulálásánál kivételekkel(127) kell számolni. Ez a szférikus sík az egyedüli modell, amely összhangban van a tompaszögű hipotézissel. Az elliptikus sík tulajdonságainak vizsgálatával Cayley [1821-1895] már 1859-ben foglalkozott, de a nemeuklideszi geometriával való kapcsolatra először csak 1871-ben mutatott rá Felix Klein [1849-1925],(k) s egyben tisztázta a kétféle Riemann-féle geometria közötti különbséget, s tőle származik az elliptikus geometriának a 71.§-ban ismertetett sugárnyaláb modellje is. Hogy a szférikus és az elliptikus geometria közötti különbséget világosan lássuk, fordítsuk figyelmünket a közönséges térben lehetséges kétféle - egyoldalú és kétoldalú - felületekre. Az utóbbiakra egyszerű példa a sík, vagy bármelyik másodrendű felület: gömb, ellipszoid, henger, kúp. De általában a korlátos kiterjedésű testek felülete is ilyen: egyszerűen meg lehet különböztetni a felület két oldalát.(l) B D A

C

B C

A D 50. ábra Az egyoldalú felületre egyszerű példát szolgáltat a Möbius-szalag, melynek modelljét a következőképpen készíthetjük el. Vegyünk egy keskeny szalagot, az ABCD téglalapot (50. ábra). Ha a szalag két végét úgy illesztjük egymáshoz, hogy C→A-ra, D→B-re kerüljön, akkor egy hengerpalástot kapunk. Ellenben ha összeillesztés előtt a CD élt 180o-kal középpontja körül elforgatjuk és a végeket C→B, D→A illesztéssel ragasztjuk össze, akkor olyan felület jön létre, melynek nem lehet a két oldalát megkülönböztetni. Ez a: Möbius szalag. Hogy a kétféle felület között a felület belső tulajdonságai segítségével tehessünk különbséget, a következőt kell tennünk: vegyünk fel egy pontot és egy pozitív forgásirányt a felületen. Mozgassuk a felületen a pontot úgy, hogy egy zárt pályát leírva a kiindulási pontba jusson vissza. Ha a felület kétoldalú, akkor a kezdő és véghelyzetben a pont körüli pozitív forgásirány mindig megegyezik. Ellenben az egyoldalú felületek esetében vannak olyan pályák, amelyeken a pontot mozgatva a forgás pozitív irányítása a kezdőpontban és a (vele megegyező) végpontban ellentétes. A Möbius-szalagnál ilyen pálya lehet a szalag középvonala.(m)

127

Beltrami Teoria fondamentale degli spazi di curvatura costante, Annali di Matem. (2), II. p. 354-355, (1868). 91

Visszatérve a kétféle Riemann-féle síkhoz, a közöttük levő különbséget most már így fogalmazhatjuk: a szférikus sík a kétoldalas felületek tulajdonságaival rendelkezik, míg az elliptikus sík az egyoldalas felületekével. Az elliptikus sík e tulajdonsága, miként a többi is, felfedezhető a sugárnyaláb modellen. Valóban, ha a nyaláb egy egyenesét egy tengely körül egy fél fordulattal elforgatjuk, akkor ugyanazt az egyenest kapjuk végeredményül - ám az egyenes körüli forgatások iránya felcserélődik. Az elliptikus sík egy másik tulajdonsága, hogy - ellentétben az euklideszi és más nemeuklideszi síkok egyeneseivel -, egy pont nem osztja két részre az egyenest. Ez másképpen kifejezve azt is jelenti, hogy bárhogyan adunk meg a felületen két pontot és egy egyenest, össze tudjuk kötni a két pontot a felületen haladó vonallal úgy, hogy az nem metszi az adott egyenest. Ezt egyébként a sugárnyaláb modell tulajdonságainak „lefordításával” könnyen beláthatjuk, felesleges tehát több szót vesztegetni rá.(n) 76.§ A szférikus síkot is modellezhetjük egy pontra illeszkedő félegyenesek nyalábjával.(o) A két reprezentáció közötti kapcsolatot ugyanolyan „szótár” segítségével tudjuk leírni, mint amilyent a 71.§-ban már megmutattunk. Itt a pont megfelelője a félegyenes, a sugár. Az egy pontra illeszkedő egyenesek és félegyenesek összehasonlításával a kétféle Riemanngeometria közötti különbség tisztázható. A centrumra illeszkedő egyenes két félegyenesnek felel meg. Az egyenesek minden alakzatának megfelel két szimmetrikusan elhelyezkedő, félegyenesekből álló alakzat, amelyeknek - ugyan bizonyos megszorításokkal, de - azonosak a méretes viszonyai. Ezért, ha két félegyenest, melyek egymás kiegészítői, egyetlen alkotóelemnek tekintünk, akkor az egyenesesekből álló sugárnyaláb és a félegyenes párokból álló nyaláb azonos. Ugyanez a kapcsolat fedezhető fel a két Riemann-féle sík között. Az elliptikus sík minden pontja megfelel a szférikus sík két „átellenes” pontjának; az előbbinek két egyenese, melyek ugyanazon a ponton mennek keresztül, megfelel az utóbbi két olyan egyenesének, melyeknek két közös pontja van; és így tovább… Az elliptikus sík, amennyiben a szférikus síkkal vetjük össze egy kettős síknak tekinthető. Az elliptikus és a szférikus sík tekintetében meg kell jegyeznünk, hogy mindkettőnek egy megfelelő zárt tartományában érvényesek az abszolút geometria 56.§-ban megadott trigonometrikus formulái. Ez abból a tényből következik - mint azt az 58.§-ban kifejtettük -, hogy az abszolút trigonometria a gömb szokásos geometriáját megtartja, s a két Riemann-féle sík normál-tartományának geometriája megegyezik a gömbi geometriával.

A tér Riemann-féle geometriája 77.§ A tér geometriájára visszatérve feltesszük, hogy a posztulátumok - bár hipotézisek -, egy korlátos tartományban közvetlen megfigyeléssel ellenőrizhetők. Feltesszük továbbá, hogy ezek a posztulátumok olyan pontokra vonatkoznak, melyeket három koordinátával tudunk megadni. Ebben az analitikus modellben minden vonalat három egyváltozós függvénnyel írhatunk le: x1 = f1( t ), x2 = f2 ( t ), x3 = f3 ( t ) , de még meg kell adnunk egy s(t) függvényt is, mely a görbe egy ívének hosszát fejezi ki.

92

Annak érdekében, hogy e mértékre érvényes legyen a disztributivitás, - azaz, hogy a részek mértékének összege megegyezzen az egész mértékével - két, egymáshoz végtelen közelségben lévő pont távolságával, a ds ívelem hosszával definiáljuk a függvényt. A két közeli pont koordinátáit így jelöljük: x1 , x2 , x3 x1 + dx1 , x 2 + dx2 , x3 + dx3 . Riemann abból az egyszerű általános hipotézisből indult ki, hogy az ívelem négyzete (ds2) a koordináták különbségének másodfokú kifejezésével adható meg (mely mindig pozitív): ds 2 = ∑ aij dxi dx j , s itt az aij együtthatók az (x1, x2, x3) helytől függenek. Ehhez csatolva az alakzatok mozgatásának elvét belátható, hogy az aij függvények függetlenek a koordináta-rendszer megválasztásától, s ekkor az ívelem négyzete a következő alakot ölti: ds 2 =

dx12 + dx22 + dx32 K 2 x1 + x22 + x32 1+ 4

(

)

A képletben szereplő K konstans a tér görbülete, melyet Riemann a kétdimenziós Gauss-féle görbület kiterjesztéseként vezetett be. Aszerint, hogy K nagyobb, egyenlő vagy kisebb mint nulla, adódik az állandó pozitív, zérus és negatív görbületű tér.(p) Végül ha feltesszük, hogy a mozgás elve az egész térre kiterjeszthető, valamint azt is posztuláljuk, hogy egy egyenest két pontja minden esetben meghatározza, akkor három formát és ezzel három geometriát, három lehetséges logikai rendszert kapunk, melyek a kiindulási feltételekkel nincsenek ellentmondásban. E geometriák közül az első, mely a pozitív görbületű térnek felel meg, melynek minden síkján a Riemann-féle síkgeometria érvényes, s maga tér minden irányban nyitott de véges. A második, a zérus görbületű térben az Euklideszi geometria, és a harmadikban, melyre a negatív görbület jellemző, a Bolyai-Lobacsevszkij geometria érvényes.

93

Helmholtz munkája és Lie vizsgálatai 78.§ Hermann Helmholtz [1821-1894] néhány matematikai és filozófiai írásában(128) is foglalkozott a geometria megalapozásának kérdésével. Ahelyett, hogy elfogadná az elemi távolság kifejezésére, mint a priori helyeset a ds 2 = ∑ aij dxi dx j , képletet, rámutatott, hogy az ebből levezetett formula, mely a Riemann-féle térgörbületet tartalmazza, az egyedül elfogadható, amennyiben az alakzatok mozgását a merev testek mozgásaként értelmezzük. A Riemann-Helmholtz-féle problémát alaposan tanulmányozta S. Lie [1842-1899]. Abból a felvetésből indult ki, - melyet Klein ismert fel Helmholz munkájában -, hogy két alakzat egybevágósága azt jelenti, hogy egyikük a másikba transzformálható a tér egy leképezésével; és ebben a leképezésben két alakzat egyezése attól függ, hogy e transzformációk csoportja az alakzatok milyen tulajdonságait hagyja változatlanul.(129) Ezen az úton a Riemann-Helmholtz féle problémát Lie a következőre redukálta: Definiálni kell a tér folytonos transzformációinak a csoportjait, melyek - egy zárt tartományban - megtartják a mozgás tulajdonságait.(q) Amikor ezeket a tulajdonságokat, - amelyek a vonalak és felületek mozgásának szabadságától függenek -, a megfelelő formulákkal fejezzük ki, a transzformációs csoportoknak három típusát kapjuk, amelyek a három geometriát: az Eukleidész, a Bolyai-Lobacsevszkij és a Riemann geometriát kapjuk.(130)

128

Über die thatsäschlichen Grundlagen der Geometrie, Heidelberg, Verhandl. d. natur.-med. Vereins, IV. p. 197-202 (1868); V. p. 31-32 (1869). - Wiss. Abhandlungen von H.Helmholtz, II. p. 610-617 (Lipcse, 1883)

Über die Thatsachen, die der Geometrie zum Grunde liegen, Gött. Nachr., XV. p. 193-221, Wiss. Abhandl., II. p. 618-639. The Axioms of Geometry, The Academy, I. p. 123-181 (1870). - Revue des cours scientifiques, VII. p. 498-501 (1870). Über die Axiome der Geometrie, Populäre wissenschaftliche Vortrage, 3. füzet p. 21-54 (Braunschweig, 1876). Über den Ursprung und Sinn Bedentung der geometrischen Sätze, Wissenschaftliche Abhandlungen von. H. Helmholtz, II. p. 640-660. 129

Klein Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, (Erlangen, 1872).

130

Lie Theorie der Transzformacionsgruppen, III. p. 437-543 (Lipcse, 1893). - Ugyanebben a tárgyban l. még: Poincaré memoárjában a Sur les hypothèses fundamentaux de la géométrie, Bull. de la Soc. Math. de France, XV. p. 203-216 (1877), amelyben megoldja mindhárom hipotézis mellett a problémát. 94

Projektív geometriai megalapozás A metrikus és a projektív geometria kapcsolata 79.§ Végezetül szólnunk kell a projektív geometriáról, mely érdekes kapcsolatban áll mindhárom geometriai rendszerrel. Mielőtt az előbbi gondolattal összefüggésben a kérdést ezen a módon is megvizsgálnánk, emlékeztetnünk kell arra, hogy a projektív geometria - legalábbis G.C. Staudt [1798-1867] megalapozásában -, a pontok, az egyenesek és a síkok közötti viszonyokat tisztán grafikus szempontból kezeli. Mind az egybevágóság, mind a mozgás, de még a mérés, a metrika kérdését is következetesen figyelmen kívül hagyja. Eszerint a projektív geometria eltekint bizonyos posztulátumoktól és ezáltal az általános alapfeltételeknek egy szűk körére építi fel a sík geometriai rendszerét, azokra, amelyek vetítés és metszés közben változatlanul hagyják az alakzatok [projektív] tulajdonságait. Amennyiben a projektív geometriát akarjuk megalapozni, akkor be kell vezetnünk ebben a rendszerben a metrikát, mint az alakzatok közötti viszony kifejezését. Az euklideszi síknál maradva vegyük szemügyre, hogy a párhuzamosságot és a merőlegességet milyen grafikus tulajdonságokkal tudjuk meghatározni. Ehhez be kell vezetnünk egyrészt a sík végtelen távoli egyenesét, másrészt az abszolút involució fogalmát, melyet az ideális egyenesen a sík merőleges egyenes párjai határoznak meg.(r) Ennek az involúciónak a kettős (fix) pontjai az ú. n. kör-pontok [Poncelet, 1822(131)]. Ezen fogalmak segítségével két egyenes párhuzamosságát a következő jellemzi: a metszéspontjuk a végtelen távoli egyenesen van. Az egyenesek merőlegessége pedig azt jelenti, hogy a két egyenes végtelen távoli pontja az abszolút inverzióban egymás konjugáltja, vagyis a kör-pontokat harmonikusan választják el [Chasles, 1850(132)]. További metrikus tulajdonságokat tudunk grafikusan értelmezni a szögek mérésével kapcsolatosan, mégpedig úgy, hogy az α, β, γ, … szögekre vonatkozó F (α,β, γ ,!) = 0 képletekben a szögeket az a, b, c,… kettősviszonyokkal kifejezett tagokat helyettesítjük:  ln a ln b ln c  F , , ,! = 0  2i 2i 2i  E kettősviszonyokat a szög két szárának ideális pontjai és az ideális egyenes kör-pontjai határozzák meg [Laguerre, 1853(133)]. Általánosságban meg lehet mutatni, hogy két alakzat egybevágósága grafikus jellemzők segítségével, az ideális egyenes és az abszolút involúció viszonylatában definiálható(134) és 131

Traité des propriétés projectives des figures, I. Nr.43. p. 48. (Párizs, g. Villars, 1865).

132

Traité de Géométrie supérieure, Nr. 660. p. 425. (Párizs, G. Villars, 1880).

133

Sur la theorie des foyers, Nouv. Ann.,XII. p. 57. - Oeuvres de Laguerre, II. p. 12-13. (Párizs, G. Villars, 1902). 95

mivel a metrikus viszonyokat az egybevágóság egyértelműen meghatározza, az ideális egyenes és az abszolút involúció bevezetésével az euklideszi metrikus geometria a projektív geometria alá rendelhető. A metrikus tulajdonságok tehát nem mint az alakzat saját grafikus tulajdonságai, hanem az alakzatnak az ideális egyenessel és az abszolút involúcióval való viszonyai jelennek meg. A metrikát meghatározó alakzatot röviden a sík abszolútumának nevezzük [Cayley]. Amit a sík metrikájáról elmondtunk kiterjeszthető a térre is. Ehhez a tér végtelen távoli síkját és ezen egy speciális korrelációt, az abszolút polaritást kell értelmeznünk. Ez utóbbi úgy jön létre, hogy a tér párhuzamos síkjaihoz hozzárendeljük a rájuk merőleges egyeneseket. Ez a hozzárendelés a tér végtelen távoli síkján indukál egy polaritást,(s) amely a megfelelő sík- és egyenes-nyaláb végtelen távoli elemeinek megfeleltetésével jön létre (l.: 71.§). Ennek az abszolút polaritásnak a bázisa egy képzetes kúpszelet. Könnyen belátható, hogy ez a kúpszelet tartalmazza a végtelen távoli sík minden egyenesének kör-pontjait, s ezek a képzetes pontok illeszkednek a tér minden gömbjére, tehát az összes gömb közös metszetét képezik. Ezért indokolt e ponthalmaznak a végtelen távoli kör nevet adni és ez képezi az alapot a tér metrikájának felépítéséhez. 80.§ Természetszerűen adódik a következő két kérdés: Lehetséges-e a nemeuklideszi hipotézisek mellett a projektív geometriát megalapozni? És ha igen, akkor lehet-e a metrikával az euklideszihez hasonló módon ebbe beágyazni a rendszert? Mindkét kérdésre igenlő a válasz. Ha a térben a Riemann-féle rendszer van érvényben, akkor a projektív geometria megalapozása semmiféle akadályba nem ütközik, hiszen minden grafikus tulajdonság közvetlen tapasztalattal ellenőrizhető, mihelyt az ideális térelemeket bevezettük. Amennyiben a Bolyai-Lobacsevszkij-féle rendszer érvényes, a projektív geometriát ugyancsak megalapozhatjuk, bár némi megfontolásra szükségünk lesz az improprius, vagyis az ideális pontok, egyenesek és síkok bevezetésénél. Az eljárás ugyanaz, mint amit az euklideszi tér végtelen távoli elemekkel való kibővítésénél követtünk. Az egy pontra illeszkedő egyenesek alkotta közönséges sugársortól meg kell azonban különböztetni két különleges sugár nyalábot. Ezek közül az egyiket egy adott egyenessel (az egyik irányban) párhuzamos egyenesek, míg a másikat egy adott síkra merőleges egyenesek alkotják. Az ideális pontokat e kétféle sugár nyaláb tartójaként kell definiálnunk. De ebben az esetben egy sík ideális pontjai nem tartoznak egyetlen (ideális) egyeneshez, mint az euklideszi geometriában, hanem egy olyan összefüggő tartományt alkotnak, melyet a sík közönséges pontjaitól egy kúpszelet választ el. Ez a kúpszelet a párhuzamosok ideális pontjainak a mértani helye.(t) A térben az ideális pontokat a közönséges pontoktól egy ideális másodrendű felület választja el, mely a párhuzamos egyenesek által meghatározott ideális pontok mértani helye. A projektív geometria érvényességét a nemeuklideszi rendszerben Klein(135) vizsgálatai igazolták. Ez teszi lehetővé, hogy az euklideszi esethez hasonlóan az abszolútum megadásával konstruáljuk meg a

134

V.ö.: Enriques Lezioni di Geometria proiettiva, p. 177-188 (Bologna, Zanichelli, 1904).

135

A projektív geometriának a párhuzamossági posztulátumtól való függetlenségét röviden érintette Felix Klein már az első dolgozatában Über die sogenante Nicht-Euklidische Geometrie, Math. Ann.,V. p. 573-625 (1871). - Részéletesebben tárgyalja a kérdést későbbi cikke: Math. Ann. VI. p. 112-145 (1873). 96

metrikát, az alakzatok kapcsolatát az ideális térelemekhez való viszonylatukban fogalmazva meg. A Bolyai-Lobacsevszkij síkban a sík abszolútuma a sík ideális kúpszelete, mely a közönséges és az ideális elemeket választja el. A Riemann síkban az alapvető metrikus elem egy képzetes kúpszelet, melyet a sík abszolút polaritása határoz meg (l.: 71.§). Egyik esetben éppúgy, mint a másikban az alakzatok metrikus tulajdonságait azok a grafikus tulajdonságok hordozzák, melyek nem változnak meg azoknak a projektív transzformációknak(136) a során, melyek az abszolútumot változatlanul hagyják. A nemeuklideszi síkon ezeket a projektív transzformációkat a ∞3 -féle mozgás jelenti. Az euklideszi síkon ∞4 -féle hasonlóság a megengedett, melyek között van ∞3 mozgás. A térben a metrikus alárendelést az ideális kúpszelet közvetítésével végeztük. Ez a BolyaiLobacsevszkij geometriában valós, a Riemann geometriában képzetes felület. Mindhárom esetben azokat a transzformációkat engedjük meg, melyekben a tér abszolútuma változatlan marad. Ekkor az alakzatok metrikus tulajdonságai invariánsak lesznek, hiszen az ideális kúpszelethez kapcsolódó grafikus tulajdonságaik megmaradnak. 81.§ Megvizsgáljuk hogyan lehet az abszolútum segítségével kifejteni a távolságok és a szögek mérésének elvét. Vegyünk a projektív síkban egy (x1, x2, x3) homogén koordináta-rendszert, melyben az egyenest lineáris egyenlet képviseli, a sík abszolútumát pedig egy homogén másodrendű forma: Ω xx = Σaij xi x j = 0 Az X(x1, x2, x3) és Y(y1, y2, y3) pontok távolságát - egy konstans faktortól eltekintve - annak az (XYMN) kettősviszonynak a logaritmusával definiáljuk, amelynek másik két eleme, M és N, az XY egyenesnek az abszolútummal alkotott két metszéspontja. Vezessük be a következő jelölést: Ω xy = Σaij xi y j amelynek segítségével az analitikus geometriából ismert képlet alkalmazásával a szóban forgó kettősviszonyt a következőképpen kapjuk:

( XYMN ) =

Ω xy + Ω 2xy − Ω xx Ω yy Ω xy − Ω 2xy − Ω xx Ω yy

,

amelyből a két pont Dxy távolságára adódik, hogy (1)

Ω xy + Ω 2xy − Ω xx Ω yy k Dxy = ⋅ ln . 2 Ω xy − Ω 2xy − Ω xx Ω yy

Ha ezt az arkusz és area függvények segítségével átalakítjuk, akkor a következő alakban írható a távolság:

136

A projektív transzformáció illeszkedés- és egyenestartó pont-pont megfeleltetést jelent. 97

(2)

Ω xy  D = ik ⋅ arccos xy  Ω xx Ω yy   Ω xy  Dxy = k ⋅ ar cosh  Ω xx Ω yy

(3)

 Ω xx Ω yy − Ω 2xy  Dxy = ik ⋅ arcsin Ω xx Ω yy   2 Ω xy − Ω xx Ω yy   Dxy = k ⋅ ar sinh Ω xx Ω yy 

A k konstans, mely ezekben a képletekben szerepel a tér Riemann-féle görbületével kapcsolatos, mégpedig: K =−

1 . k2

A szög projektív mértékének definiálása hasonlóképpen történik(u): Két egyenes szögét annak a kettősviszonynak a logaritmusával mérjük, amelynek két másik egyenese a sík abszolútumának a két egyenes közös pontjából húzott érintője. A sík abszolútumát, mint vonalkúpszeletet a következő egyenlet írja le: Ψuu = ∑ bij ui u j = 0 , amelynek bij együtthatói az {aij} mátrix megfelelő aldeterminánsai, (u1, u2, u3) pedig az abszolútum érintőinek vonalkoordinátái. Ha a teljes szög mértékét 2π-nek választjuk, akkor a multiplikatív konstans 1:2i. Az u(u1, u2, u3) és v(v1, v2, v3) vonalkoordinátákkal adott egyenesek hajlásszögének abszolút mértékét a következő képlettel definiálhatjuk: (1´)

2 1 Ψuv + Ψuv − Ψuu Ψvv (uv )∠ = ln 2i Ψuv − Ψuv2 − Ψuu Ψvv

(2´)

Ψuv   (uv )∠ = arccos Ψ Ψ uu vv ,  Ψuv 1 (uv )∠ = arcosh i Ψuu Ψvv 

(3´)

 Ψuu Ψvv − Ψuv2  (uv )∠ = arcsin Ψuu Ψvv  .  2 (uv )∠ = 1 arsinh Ψuv − Ψuu Ψvv  i Ψuu Ψvv 

,

Hasonló kifejezéseket kapunk a térben két pont távolságára és két sík szögére, ha az Ωxx = 0 és Ψuu = 0 egyenleteket - négy térbeli homogén koordinátával felírva - használjuk a tér abszolútumának megadására. 98

Amennyiben Ωxx = 0 valós másodrendű (de nem vonal-) felület, a képletek a BolyaiLobacsevszkij geometria formuláit, ha viszont képzetes másodrendű felület, akkor a Riemann geometriai formuláit szolgáltatják.(137) 82.§ Az imént kapott formulák természetesen speciális esetként az euklideszi geometria megszokott metrikáját adják. Például ha a síknál maradva derékszögű koordinátákat használunk, akkor az euklideszi sík abszolútumát a körpontok jelentik, melyet vonalkoordinátákkal a következő egyenlettel adhatunk meg: u12 + u22 = 0 . A (2´) formulában szereplő másodfokú alakok ebben az esetben a Ψvv = v12 + v22 ,

Ψuu = u12 + u22 ,

Ψuv = u1v1 + u2 v2

alakot veszik fel. Eszerint két egyenes hajlásszöge (uv )∠ = arccos

(u

u1v1 + u2 v2

2 1

+ u22 )(v12 + v22 )

,

vagyis cos( uv ) =

(u

u1v1 + u2 v2

2 1

)(

+ u22 v12 + v22

)

.

Ezt az eredményt alkalmazva az u(u1, u2, u3) vonalkoordinátákkal adott egyenes iránykoszinuszai rendre: cos(ux ) =

u1 u +u 2 1

2 2

,cos(uy ) =

u2 u + u22 2 1

,

amit az előző képletbe helyettesítve megkapjuk az euklideszi geometriából jól ismert, a két egyenes hajlásszögét adó összefüggést: cos(uv ) = cos(ux ) cos(vx ) + cos(uy ) cos(vy ) . Az euklideszi sík X és Y pontjainak távolságát kifejező ismert összefüggést már nem ilyen egyszerű levezetni, mivel a sík abszolútuma ekkor a két körpontra degenerálódik. Ugyanis azok az M,N pontok, melyekben az XY egyenes metszi az abszolútumot, egybeesnek az egyenes egyetlen ideális pontjával. Ezért az (1)-ből formálisan azt kapnánk, hogy Dxy =

k k ln( M∞ N ∞ XY ) = ln 1 = 0 2 2

.

Úgy juthatunk el a megfelelő eredményhez, ha a (3) formulából indulunk és ennek a határesetét használjuk a távolság kifejezésére. Hogy célba érjünk tekintsük a következő (nem elfajult) abszolútum pont- és vonalkoordinátás egyenletét:

137

Teljes tárgyalása megtalálható Clebsch-Lindeman Vorlesungen über Geometrie, II. (Lipcse, 1891). 99

Ω xx = εx12 + εx22 + x32 = 0 Ψuu = u12 + u22 + εu32 = 0

.

Ennek felhasználásával az előző 81.§ (3) képletében szereplő arkusz függvény argumentuma ezt az alakot veszi fel: ε( x1 y2 − y1 x2 ) + (x1 y3 − y1 x3 ) + (x2 y3 − y 2 x3 ) 2

∆=

2

2

εx12 + εx22 + x32 ⋅ εy12 + εy22 + y32

Ezzel kifejezve a távolságot : Dxy = ik arcsin ε∆ . Ha ε infinitézimálisan kicsiny mennyiség, akkor az arkusz függvény hatványsorában a másodés magasabb fokú tagok eliminálhatók. Ha most a képletben levő k2 minden határon túl nő és ugyanakkor ε zérushoz tart úgy, hogy közben az ik ε kifejezés állandó és egységnyi marad, akkor határértékben a távolságra azt kapjuk, hogy ε(x1 y2 − y1 x2 ) + (x1 y3 − y1 x3 ) + (x 2 y3 − y2 x3 ) 2

Dxy =

2

εx12 + εx22 + x32 ⋅ εy12 + εy22 + y32

2

,

aminek az ε → 0 határátmenetnél az abszolútum vonalkoordinátás egyenletére

u12 + u22 = 0 adódik, mely egy elfajult kúpszelet egyenlete, melynek két komplex pontja van az u3 = 0 ideális egyenesen. A távolság az Xi =

xi y ,Yi = i x3 y3

inhomogén koordinátákra áttérve az ismert összefüggéssel adható meg: Dxy =

( X1 − X 2 )2 + (Y1 − Y2 )2 .

Fel kell hívnunk a figyelmet, hogy amikor a határátmenetet képeztük a k2 konstansról feltettük, hogy végtelen naggyá válik. Mivel ezzel a konstanssal kifejezve a tér Riemann-féle görbülete K=−

1 , k2

eredményünkből az is kiolvasható, hogy az euklideszi tér görbülete zérus.

100

83.§ A térelemek tulajdonságának egy kúpszelethez, illetve egy másodrendű felülethez való viszonyítása maga a projektív metrika, melyet Cayley(138) vizsgált a nemeuklideszi geometriától függetlenül, majd néhány évvel később Klein(139) fedezte fel a különböző geometriákkal való összefüggését. Kleintől származik a projektív metrika széles körben elterjedt nomenklaturája is. Ő nevezte hiperbolikus geometriának a Cayley által vizsgált rendszerek közül azt, amelyiknek az abszolútuma közönséges valós kúpszelet, elliptikus geometriának azt, melynek képzetes és végül parabolikusnak az előbbi kettő határesetét. Ennek nyomán használjuk ezeket a jelzőket a Bolyai-Lobacsevszkij, a Riemann (elliptikus) és az Eukleidész nevéhez kapcsolt geometriák megkülönböztetésére.

A Bolyai-Lobacsevszkij geometria sík-modelljei 84.§ A metrikus nemeuklideszi geometria projektív értelmezéséhez, melyről az imént már szóltunk, kapcsolódik a hiperbolikus geometria egy további érdekes modellje, melyet az euklideszi síkon hozhatunk létre. Hogy ehhez eljussunk, vegyünk fel a síkon egy nem elfajult valós kúpszeletet, például egy közönséges kört és használjuk a következő definíciókat: Sík

= a kör belső pontjainak tartománya.

Pont

= a kör belsejébe eső pont.

Egyenes = a kör húrja. Közvetlenül belátható, hogy az egyenesre vonatkozó posztulátumok, a szakaszokra és szögekre vonatkozó alaptulajdonságok érvényesek, ha azokat az iménti értelmezéssel definiált elemekre vonatkoztatjuk. Azonban ahhoz, hogy az adott elemek geometriáját teljesen kiépítsük, szükség van az adott posztulátumok mellett az egybevágóság értelmezésére is, melyet az euklideszi geometriában az itt következő definíció tartalmaz: Ha adottak a síkon az A és A´ pontok és a rájuk illeszkedő a és a´ egyenesek, akkor négy mód van arra, hogy az A pontot az A´-vel, s ugyanakkor az a egyenest az a´-vel fedésbe hozzuk. Részletesebben kifejtve: egy mód, ha az a-nak az A-ból induló egyik félegyenesét és az a egyenes által meghatározott egyik síktartományt hozzuk fedésbe az a´ és az A´ által meghatározott azonos elemekkel. A négy megfeleltetésből kettő a direkt egybevágóságot, másik kettő az inverz egybevágóságot hozza létre. Ezt a transzformációt a modellben szereplő elemekre: pontokra, egyenesekre és síkra is lefordíthatjuk: Legyen adott az (euklideszi) síkon egy kúpszelet (pl. kör) és rögzítsük ennek két belső A és A´ pontját és a rájuk illeszkedő a ill. a´ húrokat. Négy olyan projektív transzformációja van síknak, amely a kúpszeletet és egyben belső pontjainak halmazát önmagára képezi le úgy, hogy eközben az A-nak A´, a-nak pedig a´ lesz a képe. Ezek közül egyet kiválaszthatunk, ha megadjuk az a és az a´ húroknak egy-egy végpontját és a körnek e húrokkal határolt egy-egy

138

Cayley Sixth Memoir upon Quanties, Philosophical Transactions, CXLIX. p. 61-90 (1859); vagy Math. Papers of Cayley, II. p. 561-92.

139

F. Klein Über die sogenante Nicht-Euklidische Geometrie, Math. Ann., IV. 573-625 (1871). 101

tartományát, melyeket egymásba akarunk képezni. E négy transzformáció közül kettő a sík orientációját megtartó, kettő az orientációt megfordító projektív leképezések közé tartozik. 85.§ Bebizonyítjuk ezt az állításunkat. Az egyszerűség kedvéért két különböző τ és τ´ kúpszeletet használunk (51. ábra), de ezek elvben azonosak is lehetnek. P

P'

R M

T

a

A

R' N

M'

S

T'

a'

A'

N'

S'

51. ábra Jelölje az a húr végpontjait M,N az egyik kúpszeletben és a´ végeit M´,N´ a másikban. Legyen továbbá P az a húr egyenesének polárisa a τ kúpszelethez viszonyított polaritásban és hasonlóan értelmezzük P´-t, mint az a´ egyenesének polárisát. A τ kúpszeletet a PA egyenes két pontban metszi: R,S. A másik τ´ kúpszeletnél hasonló szerepe van a P´, A´, R´, S´ pontoknak. A síknak az a projektív transzformációja, mely τ kúpszeletet τ´-be, az a egyenest a´-be, A pontot A´-be képezi le a P pontot P´-be, az AP egyenest A´P´-be viszi. Ez a transzformáció megfeleltetést létesít a két kúpszelet pontjai között is, amelyben az M´, N´ pontok megfelelnek az M, N pontoknak, az R´, S´ pontok pedig az R, S pontoknak. E szakaszok belső pontjainak és ezzel a „félegyeneseknek” és a „félsíkoknak” a megfeleltetése is megvalósul. Megfordítva is érvényes a következtetésünk: ha adott két kúpszelet között az ilyen tulajdonságú megfeleltetés, akkor ahhoz mindig találunk a síknak, vagy a két kúpszelet két síkjának egy projektív transzformációját.(140) De tekintettel arra, hogy a τ kúpszelet négy pontjának, az MNRS négyesnek a τ´ kúpszelet négy pontját négyféleképpen feleltethetjük meg, nevezetesen: M´N´R´S´ N´M´R´S´ M´N´S´R´ N´M´R´S´ a lehetséges leképezések száma ennek megfelelően alakul.

140

A bizonyítást részletesen l.: Enriques Lezioni di geometria proiettiva, X. p. 251-253. 102

N P

R

P'

M' R' a'

a

A' A

N'

M S

S' 52. ábra

Ha viszont feltesszük, hogy a két kúpszelet megegyezik (52. ábra), akkor sem kell az okoskodásunkon változtatni. A lehetséges négy projektivitás között egy és csak egy olyan van, mely az AM szakaszt A´M´ szakaszba és a húrok kiválasztott szegmenseit egymásba viszi. Megemlítjük még, hogy a négy pont párral megadható projektivitások közül az  M N RS   M N RS    és    M ′N ′R ′S ′  N ′M ′S ′R ′ az orientációt megtartja, míg az  M N RS   M N RS     és   M ′N ′S ′R ′  N ′M ′R ′ S ′ az orientációt megváltoztatja. 86.§ Térjünk vissza a 84.§-ban definiált modellhez és egészítsük ki a „szótárunkat”: Sík

= a kör belső pontjainak tartománya.

Pont

= a kör belsejébe eső pont.

Egyenes

= a kör húrja.

Mozgás

= projektív transzformáció, mely a kört és belsejét önmagára képezi le.

Tükrözés

= a kör homológiája.(v)

Egybevágóság

= két alakzat egybevágó, ha e két transzformációval fedésbe hozhatók.

Ez a kiterjesztés minden további nélkül lehetővé teszi, hogy az elemi geometria minden tételét, mely az egyenesre, szögekre, egybevágóságra vonatkozik, lefordítsuk annak a rendszernek a „mondataira”, melyek a kör belsejében helyezkednek el. Ezt a rendszert {S} szimbólummal fogjuk jelölni. Ennek kapcsán megvizsgáljuk, hogy mit jelent két egyenes merőlegessége ebben az {S} rendszerben.

103

Vegyük észre mindenekelőtt, hogy amikor [az euklideszi síkban - H.F.] adottak a merőleges s és r egyenesek és a síkot az s egyenes körül elforgatjuk, akkor a rá merőleges r egyenes önmagával fedésbe kerül, mégpedig úgy, hogy a kettőjük metszéspontja által rajta létesített két félegyenes helyet cserél. Másrészről a tükrözés fenti definíciója szerint {S}-ben egy olyan homológiát kell létesítenünk, melynek tengelye az s húr és centruma e húr egyenesének a pólusa. Ennek a homológiának a fixegyenesei - az s tengely mellett - azok, amelyek a centrumra illeszkednek.(w) Eszerint az {S} rendszerben két egyenest akkor mondunk merőlegesnek, ha egymáshoz konjugáltak. Az {S} modellben könnyen ellenőrizhetjük, hogy a merőleges egyenesekre vonatkozó tételek mindegyike érvényben van. Például ha két konjugált húr metszéspontjából meghúzzuk a kör két (képzetes) érintőjét, akkor ezek a két merőleges húrt harmonikusan választják el (v.ö.: 79.§). 87.§ Vizsgáljuk meg, hogy a megszokott metrikát miként lehet átvinni a kör belsejében elhelyezkedő két pont távolságának definiálására. Vegyünk fel egy derékszögű (x,y) koordináta-rendszert, melynek origója a kör középpontja. Az euklideszi sík A(x,y) és B(x´,y´) pontjainak távolsága az ismert kifejezéssel adható meg: AB =

(x − x ′)2 + ( y − y ′)2 ,

ami nem invariáns abban a projektív transzformációban, mellyel az imént a mozgást definiáltuk. A távolságot olyan függvénnyel kell megadni, mely a két pont koordinátáinak függvénye és azon túl, hogy invariáns a mondott transzformációban, eleget kell tennie a disztributívitásnak, nevezetesen a d (AB ) = d (AC ) + d (CB ) összefüggésnek kell teljesülnie egy egyenesen fekvő A-C-B ponthármas esetén. Ha azt vesszük figyelembe, hogy a mozgásnak nevezett projektív transzformációk a tartomány határát (a körvonalat) és azt az (ABMN) kettősviszonyt hagyják változatlanul, ahol az M,N pontok az AB húr végpontjai, akkor a d(AB) távolságot egy olyan kifejezéssel kell definiálni, melyben az

( ABMN ) =

AM AN : BM BN

kettősviszony szerepel. Ahhoz viszont, hogy a kettősviszonyt tartalmazó távolság-képlet disztributív is legyen a logaritmusát(x) kell használni: d ( AB) =

k ln( ABMN ) . 2

Hasonlóan értelmezhetjük két egyenes hajlásszögének mérését. Ekkor azonban a képletben szereplő konstanst célszerű úgy választani, hogy a derékszög mértéke π/2 legyen. Ezt elérendő a logaritmust az 1/2i faktorral kell szorozni, azaz (ab)∠ =

1 ln (abmn ), 2i

ahol m és n a szögszárakhoz konjugált képzetes érintők és a négy egyenes kettősviszonyát az euklideszi síkon a következő kifejezés adja meg: 104

(abmn ) = sin( am) : sin( an ) . sin( bm) sin( bn )

88.§ Emlékezve arra, amit a metrikus geometriának a projektív geometria alá rendeléséről mondtunk (81.§), láthatjuk, hogy a távolság és a szög mérésére használt formulák megfelelnek a nemeuklideszi geometria metrikájának és ez azt jelenti, hogy az {S} rendszer a BolyaiLobacsevszkij sík egy konkrét reprezentációja. Azonban, hogy a dolgok mélyére nézzünk, meg kell vizsgálni az {S} rendszerben a párhuzamosság kérdését is. Legyen adott két különböző húr az alapkörben: r(u1, u2, u3) és r´(v1, v2, v3). A kör középpontjában elhelyezett koordináta-rendszerben az egységnyi sugarúnak választott kör pont- és vonalkoordinátás egyenlete: x2 + y2 − 1 = 0 u2 + v 2 − 1 = 0

,

melyeket homogén koordinátákra átírva kapjuk: x12 + x22 − x32 = 0 u12 + u22 − u32 = 0

.

A két egyenes szögét a 81.§ (3´) formulája alapján számíthatjuk: Ψuu = u12 + u22 − u32 Ψvv = v12 + v22 − v32 . Ψuv = u1v1 + u2 v2 − u3v3 Ebből a két egyenes szögének szinuszára a helyettesítés után adódik: sin( rr ′) =

(u1v2 − u2v1 )2 − (u2v3 − u3v2 )2 − (u3v1 − u1v3 )2

(u

2 1

+ u22 − u32 )(v12 + v22 − v32 )

.

Vegyük azonban figyelembe, hogy az r és r´ egyenesek egyenlete: x1u1 + x2u2 + x3u3 = 0 x1v1 + x2 v2 + x3v3 = 0 és ezek közös gyöke szolgáltatja a két egyenes metszéspontjának koordinátáit: x1 = u2 v3 − u3v2 x2 = u3v1 − u1v3 . x3 = u1v2 − u2 v1 Ezt a szög szinuszának képletébe helyettesítve kapjuk, hogy: (4)

sin( rr ′ ) =

(u

2 1

x32 − x22 − x12

)(

+ u22 − u32 v12 + v22 − v32

)

.

Ebből látható, hogy a két egyenes (húr) szöge akkor és csak akkor lesz zérus, ha a tört számlálójában álló kifejezés zérus. Az alapkör egyenletére nézve látható, hogy ez akkor következik be, ha az egyenesek az alapkörön metszik egymást. Ezért az {S} rendszerben 105

azokat az egyeneseket kell párhuzamosoknak nevezni, melyek az alapkörön metszik egymást, mert ekkor kapunk hajlásszögükre zérus mértéket. És mivel a kör egy belső pontjára két olyan húr illeszkedik, mely egy adott húr két határpontján megy keresztül, megállapíthattuk, hogy az {S} rendszerben a hiperbolikus geometria alaptörvényei érvényesek. y r'

M

M

r

a

O

x

O

N

54. ábra

53. ábra

89.§ Megkísérelhetjük, hogy az {S} rendszerben meghatározzuk azt az OMN∠ párhuzamossági szöget (54. ábra), melyet az y tengely az MN egyenessel zár be, ahol az N az x tengely határpontja. Ha az OM szakasz hosszát a jelöli, akkor az MN egyenes homogén vonalkoordinátái (a,1,-a), az OM egyenesé pedig (1,0,0) és a közös M pont homogén koordinátái pedig (0,a,1). Ezeket az előző §. (4) képletébe helyettesítve a keresett szög szinusza: sin (OMN∠ ) = 1 − a 2 . Másrészt a 81.§ (2) képlete szerint az O és az M pontok hagyományos távolságára: OM = k ⋅ arccos

1 1− a2

,

vagy invertálva cosh

OM 1 . = k 1 − a2

E két utóbbi eredményt összevetve látható, hogy a párhuzamossági szög és a megfelelő távolság közötti cosh

OM 1 = k sin( OMN∠ )

összefüggés megegyezik Taurinus, Lobacsevszkij és Bolyai formulájával ( 41.§). 90.§ Végezetül azt nézzük meg, hogyan lehet az {S} rendszerben a végtelen közeli pontok távolságát (ívelem, elemi elmozdulás) kifejezni, hogy összehasonlíthassuk a Beltrami által kapott eredményt (69.§) azzal, amit ez a modell ad a hiperbolikus geometriára.

106

Legyenek a közeli pontok (x,y) és (x+dx, y+dy). A távolságuk, ds, melynek meghatározásához a 81.§ (2) képletében szereplő mennyiségek: Ω xx = x 2 + y 2 − 1 Ω yy = (x + dx ) + ( y + dy ) − 1 . 2

2

Ω xy = x (x + dx ) + y( y + dy ) − 1 2

Mivel az ívelem nagyon kicsiny, a szinuszát magával az argumentummal helyettesíthetjük és az egyenlőség két oldalát négyzetre emelhetjük:

(dx + dy )(1 − x − y ) + (x ⋅ dx + y ⋅ dy ) (x + y − 1)((x + dx ) + ( y + dy ) − 1) 2

ds = k 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

.

Az infinitézimális mennyiségek másodrendűnél magasabb hatványait elhagyva írhatjuk, hogy ds = k 2

2

(dx

2

)(

)

+ dy 2 1 − x 2 − y 2 + (x ⋅ dx + y ⋅ dy )

(

2

1 − x 2 − y2

)

2

,

vagy rendezve

(1 − y )dx 2

(5)

ds = k 2

2

2

(

)

+ 2 xy ⋅ dx ⋅ dy + 1 − x 2 dy 2

(1 − x

2

−y

)

2 2

.

Emlékeztetünk arra, hogy Beltrami 1868-ban állandó negatív görbületű felületet használt a Bolyai-Lobacsevszkij geometria modellezésére. Ennek a felületnek a geometriáját tanulmányozva találta meg az alkalmasan választott (u,v) geodetikus koordináta-rendszerben a felületi görbék ívelem-négyzetének kifejezésére a következő képletet: (5)

ds 2 = k 2

(1 − v )du 2

2

+ 2uv ⋅ du ⋅ dv + (1 − u 2 )dv 2

(1 − u

2

− v2 )

2

,

ahol a k2 konstans a felület görbületének reciproka.(141) Beltrami a nevezetes dolgozatában (Saggio…, l.: 69.§), a vizsgált felület tulajdonságait összevetette a Bolyai-Lobacsevszkij geometria síkjának metrikájával a következő fogást alkalmazva: A felület egy (u,v) pontját egy segédsík (x,y) pontjának feleltette meg, olyan pontoknak, melyek az x2+y2-1=0 egységkör belsejébe esnek. A felület végtelen távoli pontjainak a körön fekvő pontok, a geodetikus vonalaknak a kör húrjai, a párhuzamos geodetikus vonalaknak az egymást a körön metsző húrok feleltek meg. Ezzel a megfeleltetéssel a {S} rendszerben kapott (5) formulával megegyezően lehet a ds2 ívelemnégyzetet kifejezni. Eszerint Beltraminak az állandó negatív görbületű felület síkon való ábrázolásával, az alapkör {S} rendszerében sikerült a 80.§ és 81.§-ban megadott Cayley-féle projektív metrikájú geometriák egyikét megvalósítani.

141

Beltrami Risoluzione del problema di riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodetiche vengano rappresentate da linee rette. Ann. di Mat. VII. p. 185-204 (1866) - valamint Opere Mat., I. p. 262-80 (Milano, Hoepli, 1902). 107

91.§ A hiperbolikus geometria síkon való ábrázolása lehetővé teszi a módszer kiterjesztését a térgeometriára. A Bolyai-Lobacsevszkij rendszernek megfelelő teret a közönséges térben a következő definíciók segítségével modellezhetjük: Tér = egy gömb belső pontjainak tartománya. Pont = a gömb belsejébe eső pont. Egyenes = a gömb húrja. Sík = a gömböt metsző síknak a gömb belsejébe eső pontjai. Mozgás = a gömböt és belsejét önmagára leképező projektív transzformáció. Ezzel a „szótárral” a hiperbolikus tér alakzatainak tulajdonságait, a térgeometria tételeit le tudjuk fordítani az euklideszi tér egy zárt tartományában, a gömb belsejében érvényes tulajdonságokra, tételekre.(142)

A Riemann-geometria térbeli modellje 92. § Amikor a Riemann-féle síkkal a 71.§-ban megismerkedtünk egy egyenes nyalábot használtunk az elliptikus sík modellezésére. Amikor ezt a nyalábot egy síkkal elmetsszük és egyúttal ezt az euklideszi síkot a végtelen távoli elemekkel kiegészítjük, a Riemann-féle sík egy megvalósítását kapjuk. Amennyiben az elliptikus teret akarjuk az euklideszi térben modellezni, nem kell mást tennünk, mint egy abszolút polaritást értelmezni (v. ö.: 79.§), miként a hiperbolikus tér modellezésénél tettük, csupán ebben az esetben ezt a korrelációt egy képzetes, nem elfajult kúpszelet segítségével kell definiálni. Ennél többet most nem is kell mondanunk, hiszen e modell semmi új problémát nem vet fel. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy ebben a modellben az euklideszi tér pontjai és az ideális pontok állnak kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésben a Riemann-féle elliptikus tér pontjaival.

A geometria magalapozása projektív tulajdonságokkal 93.§ Az előző szakaszokban tárgyaltak vezetnek bennünket olyan új elvekhez, melyeknek a segítségével a geometriát a grafikus tulajdonságokra alapozva lehet felépíteni, ahogy Riemann és Helmholtz tették, ahelyett, hogy az egybevágóságból és a leképezésekből indulnánk ki. Meg kell jegyeznünk, hogy amennyiben nem akarunk a komplanáris egyenesek metszéséről semmit feltételezni, akkor a kezdeti feltételeknek egy olyan rendszeréből kell kiindulnunk, melyeknek a teljesülését a tér egy korlátos tartományában ellenőrizni tudjuk és ezt követően kell a teret az ideális pontok, egyenesek és sík bevezetésével teljessé tennünk (l: 80.§).(143) 142

Beltrami nemcsak a hiperbolikus térgeometria, hanem különféle és magasabb dimenziójú állandó görbületű terek interpretációját is elvégezte dolgozatában: Teoria fondamentale degli spazi di curvatura costante, Annali di Matem. (2), II. p. 232-55 (1868) - Opere Mat., I. p. 406-29 (Milano, Hoepli, 1902).

143

Klein Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie, Math.Ann. (1871) - Pasch Vorlesungen über neuere Geometrie, (Lipcs, Teubner, 1882) - Schur Über die Einführung der sogenannten idealen Elemente in die projective Geometrie, Math. Ann. XXXIX. p. 113-124 (1891) - Bonola Sulla intriduzione degli elementi improprii in geometria proiettiva, Giornale di Matem. XXXVIII. p. 105-116 (1900). 108

A projektív geometriai kutatások előre haladtával sikerül a metrikát megalapozni és ezzel a kezdeti posztulátumokat kiegészíteni úgy, hogy ezzel mozgást és az egybevágóságot érintő tulajdonságok pontos értelmezést nyernek. Ehhez nincs szükség másra, mint egy meghatározott polaritás értelmezésére, melyek bázisa e transzformációk során fix marad. Bebizonyították, hogy ennek a polaritásnak a bázisa nem lehet más, mint valós másodrendű felület (nem vonalfelület), képzetes (valós együtthatójú) másodrendű felület, elfajult másodrendű felület. Ezáltal megkaptuk ugyanazt a háromféle geometriai rendszert, melyeket Riemann és Helmholtz találtak az elemi távolság diszkussziójával.(144) Az euklideszi posztulátum bizonyíthatatlanságáról 94.§ Ennek a történeti visszapillantásnak a végére érve néhány szót kell még ejtenünk Eukleidész párhuzamossági posztulátumának bizonyíthatatlanságáról. Az a számtalan bizonyítási kísérlet, mely nem hozta meg a kívánt sikert azt sugallta, hogy a bizonyítás lehetetlen. A geometriai érzékünk azt mutatja, hogy amennyiben egy állítás maga egyszerűnek látszik, akkor hasonló egyszerű eszközökkel be is bizonyítható. Ez a megfontolás azonban nem alkalmazható a bizonyíthatatlanság kérdésének eldöntésére. Félretéve Eukleidész posztulátumát, miként azt Gauss, Lobacsevszkij és Bolyai tették, meg tudunk alkotni egy olyan geometriai rendszert, melyben nincs belső ellentmondás. Ez azt mutatja, hogy a nemeuklideszi hipotézis elfogadása logikailag lehetséges, azaz Eukleidész 5. posztulátuma független a többi alapfeltevéstől és ezért lehetetlen bebizonyítani. Ám az a tény, hogy nem találkozunk ellentmondással nem elég a bizonyításhoz; meg kell bizonyosodni arról is, hogy a rendszer felépítésében tovább haladva sem fogunk ellentmondásba ütközni. Erről tökéletesen meggyőz bennünket a nemeuklideszi trigonometria formuláinak rendszere. Ha ugyanis az (x,y,z) rendezett számhármasokat tekintjük analitikus pontoknak, akkor az említett trigonometrikus formulák segítségével definiálni tudjuk két pont távolságát. Ezzel egy olyan analitikus rendszert hozunk létre, mely lehetővé teszi a nemeuklideszi geometria értelmezését, és egyúttal igazolja ennek logikai lehetőségét. Ebben az értelemben a Bolyai-Lobacsevszkij féle nemeuklideszi trigonometria formulái bizonyítják az euklideszi posztulátumnak [az egyenesekre, a síkra és az egybevágóságra vonatkozó] többitől való függetlenségét. A függetlenség geometriai bizonyítását is kereshetjük olymódon, hogy alapelveket választunk, melyekből kiindulhatunk. Ezeket az elképzeléseket használva, figyelmen kívül hagyva a külvilágból származó tapasztalatokat, biztosítjuk e rendszer a priori logikai lehetőségét, ugyanúgy, mint ahogyan az euklideszi geometria minden összefüggését a kiválasztott alapokra vezetjük vissza. De a hiperbolikus síkgeometriának az állandó negatív görbületű felületeken való modellezése egy bizonyos szempontból az euklideszi posztulátum bizonyíthatatlanságának első igazolásának tekinthető. Pontosabban fogalmazva: a kérdéses posztulátum a többi (megelőző)

144

E tétel teljes bizonyítása: Bonola Determinazione per via geometrica dei tre tipi de spazio; iperbolico, parabolico, elliptico. Rend. Circ. Mat. Palermo, XV. p. 56-65 (1901). 109

posztulátumok alapján nem bizonyítható, a sík egy korlátos tartományában érvényét veszti. Ugyanis minden ellentmondást, mely a többi posztulátumból származna, le tudunk „fordítani” az állandó negatív görbületű felület geometriájának ellentmondásaira. Mivel a hiperbolikus sík és az állandó negatív görbületű felület közötti kapcsolat csupán egy korlátos tartományra terjed ki, nem tudjuk az euklideszi posztulátumok érvényességét az egész síkra kiterjedően ellenőrizni. Annak érdekében, hogy ezt a bizonytalanságot megszüntessük az állandó negatív görbületű felület absztrakt változatára kell gondolnunk, mivel az euklideszi térben nem létezik olyan felület, mely a teljes hiperbolikus sík geometriáját hordozná (v. ö.: 73.§). Ezekkel a megfontolásokkal azonban az euklideszi posztulátum bizonyíthatatlanságát csak a síkgeometria keretében mutattuk meg. A térgeometriában ugyanezekkel az érvekkel élhetünk. Ugyanis a geometriának a Riemann-féle elvekre támaszkodó megalapozása lehetővé teszi, hogy a felületek geometriáját három dimenzióra kiterjesszük, s ezzel a posztulátum bizonyíthatatlanságának komplett igazolását nyerjük. Ez az igazolás a nemeuklideszi analitikus rendszer létezésén alapul. De láttunk egy másik analitikus módszert is, mely Helmholtz és Lie kutatásaira támaszkodik, bár ez utóbbit - az euklideszi tér transzformáció csoportjainak és az ezzel analóg nemeuklideszi mozgás-csoportoknak a felhasználását - egy újabb geometriai bizonyításnak is tekinthetjük. A legegyszerűbb és leginkább „geometrikus” a Cayley féle projektív metrika alkalmazása a párhuzamossági posztulátum bizonyíthatatlanságának a megmutatására. Ez a bizonyítás a hiperbolikus síknak a kör, illetve a térnek a gömb belső pontjaival való reprezentálására és a hagyományos metrikának az alkalmazására épül. A síkra vonatkozó gondolatokkal részletesen foglalkoztunk a 84-92.§-okban. A projektív metrikából közvetlen és könnyen következik a Riemann féle elliptikus hipotézis logikai lehetősége. Az elliptikus sík modellezésére az egyenes nyaláb tökéletesen elegendőnek bizonyult (v. ö.: 71.§). A fordító jegyzetei az V. fejezethez: a

A magyar olvasó ezekről Springer-Hungarica Matematika c. kötetében találhat eligazítást.

b

Természetesen az átellenes gömbi pontok esetében is főkörív az legrövidebb összekötő, de ekkor nem egyetlen legrövidebb útvonal van, s ez a gömb-sík analógiát megbontja.

c

A még egyszerűbb körhenger felületén háromféle geodetikus vonal van: alkotók (egyenesek), vezérvonalak (körök) és csavarvonalak. Az általánosabb henger esetében a vezérvonalak nem körök.

d

Azt mondjuk, hogy a két felület geometriája izometrikus.

e

A szerző lakonikus magyarázata bővebben kifejtve annyit mond, hogy a felület egy pontját rögzítve három másik pontját pedig erre zsugorítva a négy pont által meghatározott kör határhelyzete lesz a felületi pontban a felület simulóköre, vagy oszcilláló köre. - A felület görbületét másképpen is definiálják. E definíciók a ponton átmenő geodetikus vonalak görbületét használják. A legnagyobb és a legkisebb görbület középértéke szolgáltatja a közepes görbületet, ugyanezeknek a szorzata a Gauss féle szorzatgörbület.

f

A felület elnevezése magyarul: ál-gömb. A 21.§-ban volt szó Lambert képzetes gömbjéről, melynek sugara R⋅i, melynek négyzetének reciproka, pontosan egy állandó görbületű felület negatív görbületét adja.

g

A felületek és a sík párhuzamba állításánál azért szükséges a véges tartományokra korlátozódni, mert egyrészt e felületek reprezentánsai is lehetnek végesek (pl. a gömb); - másrészt a felületeknek lehetnek különleges (szinguláris) pontjai, amelyekben pl. a görbület nem definiálható. Ilyenre példa a kúp csúcsa.

110

A fordító jegyzetei az V. fejezethez: h

Bizonyára felesleges az Olvasót emlékeztetni arra, hogy az 5. posztulátum „nehezen emészthető” voltát éppen az okozza, hogy az állítólagos metszésnek a tapasztalati igazolása-cáfolata lehetetlen. Itt véges tartományban kell „megfigyeléseket végezni” és igazolni-cáfolni egy tulajdonság meglétét, egy tétel igazságát.

i

Emlékeztetőül Eukleidész I. könyvének P.2. posztulátuma: „Követeltessék meg, hogy a véges egyenes vonal egyenesben folytatólag meghosszabbítható legyen.” - Arra az ellentmondásos fogalmazásra vonatkozóan, hogy Eukleidész is, Bonola is a szövegezésben egyenes darabokat ír, de végtelen vonalakra gondol l. az 1.§hoz fűzött fordítói jegyzetet.

j

A tér egy pontjára illeszkedő egyenesek összessége alkotja ezt az alakzatot. A tér projektív geometriai szemlélete szerint ez az objektum a sík duálisa. A szövegben itt következő táblázat lényegében e dualításra utal. A „fordítások” táblázatában a baloldalon olyan síkokról van szó, melyek a sugárnyaláb tartójára illeszkednek: síknyaláb.

k

A halálozási évszám természetesen nem Bonolától származó információ.

l

Szokták a szemléletet azzal a megjegyzéssel is segíteni, hogy e felületek egyik oldaláról csak úgy tud egy hangya a másikra átmenni, ha a (véges felületdarab) élén átbukik, vagy ha átrágja magát a lapon. A szerző által mindjárt bemutatott ellenpélda, a Möbius-szalag nem ilyen.

m

A Bonola magyarázatához hozzá kell tenni, hogy a Möbius-szalagot végtelen vékonynak - két dimenziósnak kell tekinteni. Ha tehát a pontot a szalag középvonalán mozgatjuk, egy AC hosszúságú út megtétele után kiinduló helyzetébe fog visszatérni. A papírból készült modellen ez nem világos: a ceruza nyoma látszólag a „túloldalon” záródik. Ez lenne a felületen mozgó hangya útjának végpontja. A szemléletes magyarázat kissé precízebben úgy egészíthető ki, ha bevezetjük a felület orientációjának fogalmát, ami a pont körüli forgatások egyezményes előjelezésével történik. A sík orientációjánál azt szoktuk pozitív forgásnak nevezni, amely az óramutatók mozgásával ellentétes. Azonban egy így orientált sík másik oldala éppen ellenkezőleg orientált. Ezért kétoldalas felület a sík.

n

Talán nem veszi rossznéven az olvasó, ha mégis áldozunk néhány mondatot a modellre: Két egyenest kell kiválasztanunk a sugárnyaláb (kéve) elemei közül és egy síkot a közös pontra illeszkedők közül. Ezek felelnek meg az elliptikus sík két pontjának és egy egyenesének. A pontok összekötésének itt a modellben az egyik egyenes olyan mozgatása felel meg, melynek során a nyaláb centrumára illeszkedik a mozgó egyenes. Az már valóban triviális, hogy a mozgó egyenes a másikkal fedésbe hozható. (Nem irányított egyenesekről van szó, tehát mindegy, hogy az egyenesek melyik végükkel találkoznak.)

o

A geometria terminológiája kissé szerencsétlenül alakult: a félegyeneseket szokták sugárnak nevezni. Ehhez a fizikai analógiát az egy irányban terjedő fény szolgáltatja. Ugyanakkor a konkurrens egyenesek összességét síkban sugársornak, térben sugárnyalábnak nevezik. A kétféle Riemann-sík modellezése kedvéért szerencsésebb lenne az egyenesnyaláb - sugárnyaláb elnevezések használata, de ez sérti a konvenciót.

p

Nem szól a szerző arról, hogy elképzelhető változó, helyenként különböző görbületű tér is. Erre csak Einsten munkássága nyomán derült fény.

q

Félix Klein idézett munkája az erlangeni program. Ennek röviden a lényege: A geometriai rendszereket a transzformációk invariáns tulajdonságai szerint lehet/kell osztályozni. Az egybevágósági-, a hasonlósági-, az affin- és a projektív- transzformációk csoportjai a legismertebbek. Ezek invariánsai rendre a távolság, az arány, az osztóviszony illetve a kettősviszony.

r

A sík végtelen távoli (ideális) egyenese a sík összes egyenesének ideális pontját tartalmazó ponthalmaz, mértani hely. Az euklideszi síknak nincsenek ilyen pontjai (egyenese), de ha „csatoljuk” ezeket a pontokat, akkor az ún. „kibővített” (az ideális elemekkel bővített) síkot kapjuk, melynek geometriai rendszere a projektív síkéval izomorf. Ez utóbbinak minden pontja, egyenese egyenrangú. - Az egydimenziós projektív alakzatokon (pontsor, sugársor) definiált involúció olyan pont-pont megfeleltetés, melynek a periódusa 2. Eszerint kétszer alkalmazva az identitást eredményezi. Más szóval az involúció pont párokat - konjugált pontokat - határoz meg, melyek kölcsönösen egymás képei. Egy involúciónak (mint minden egydimenziós projektív transzformációnak) nulla, egy vagy két fixpontja lehet (a sajátértékeket szolgáltató másodfokú karakterisztikus Euler-egyenlet determinánsától függően). A merőleges egyenes párok ideális pontjával definiált abszolút involúciónak nincsenek valós fixpontjai. A karakterisztikus egyenlet konjugált komplex

111

gyök párja által meghatározott képzetes pontok az ún. ciklikus pontok, melyek minden kör egyenletét kielégítik. s

A síkban egy kúpszelet által generált polaritás speciális korreláció (pont-egyenes megfeleltetés). A polaritást analitikusan a konjugált pont párok fogalmával definiáljuk: az (x1, x2, x3) és (y1, y2, y3) homogén koordinátákkal adott pontok akkor konjugáltak, ha Σaijxi yj=0, ahol aij a generáló (bázis) kúpszelet egyenletének együtthatói. Egy pont konjugáltjai vagy az egész síkot lefedik, vagy egy egyenest (pólus) alkotnak.

t

Talán segít az „elképzelhetetlen elképzelésében” a következő modell: Vegyünk egy egyenest és a sík összes, vele „jobbra” párhuzamos egyenesét. Ezek az adott egyenes „jobboldali parallel-ideális” pontját határozzák meg. Az adott egyenest nem metszők ideális pontjai „ezen túl” találhatók. Ha most az egyenesünket egy pontja körül forgatjuk, akkor e jobboldali parallel-ideális pontja egy „ideális kört? (kúpszeletet)” ír le. Ezen „belül” vannak a sík közönséges pontjai, rajta a parallel-ideális pontok és „kívül” a nem-metsző ideális pontok.

u

A projektív geometria dualítási elvét ismerő olvasó számára ez triviális.

v

A homológia olyan projektív transzformáció, melynek van centruma és tengelye, s ezek nem illeszkednek. (A kibővített euklideszi síkon a centrum és/vagy a tengely ideális elem is lehet.)

w

Az olvasó emlékezetét frissítendő: a kör egy szelőjének pólusa a szelők végpontjaihoz tartozó érintők metszéspontja. A külső pont polárisa tehát a megfelelő érintési pontokat összekötő szelő. (Az analitikus definíció, mely minden pontra ill. egyenesre érvényes, egy korábbi jegyzetben szerepel.)

x

A logaritmikus kifejezés indoklásához elegendő felírni és ellenőrizni a kollineáris M-A-C-B-N pontokra, hogy (ACMN)×(CBMN)=(ABMN).

112

FÜGGELÉK (A MAGYAR KIADÁSHOZ) Eukleidész és előfutárai A nemeuklideszi geometriát tárgyaló szakkönyvek, tankönyvek és népszerű ismertetések természetüknél fogva részletezik Gauss, Bolyai, Lobacsevszkij, Riemann, Klein és mások munkáját. Ugyancsak természetes módon hallgatnak Eukleidészről, hiszen aki a nemeuklideszi gondolatokkal akar foglalkozni, az valamitől el akar fordulni, olyantól melyet már ismer. Bonola is ezt a koncepciót követi: feltételezi, hogy olvasói nagyon is jól ismerik azt a rendszert, amit „tagadni”, „cáfolni” szeretnének. Elég ha csak a könyv első néhány §-ára utalok, melyben a párhuzamosság tana ugyan szóba kerül, ám a többi axiómáról, posztulátumról nem történik említés. Csupán a XIX. századi fejlesztések - Riemann és Hilbert munkái - tárgyalásakor találkozunk a „maradék axiómák” fogalmával, részletezés nélkül. Ezért - is - merészkedtem Bonola különben igényes tanulmányát néhány adalékkal kiegészíteni.(145) A matematikus Amikor Eukleidész neve a művelődés történetében felmerül, szerepét legalább kétféleképpen kell értékelnünk. Mindenekelőtt ki kell zárnunk egy harmadik jellemzőt, nevezetesen nem kell értékelnünk Eukleidész tudományos tevékenységét. Ha azzal kezdem, hogy nem volt tudós sem a szó mai, sem ókori értelmében, akkor ez talán kissé keményen hangzik, de igaz. A tudomány történetének értékelői szerint(146) az ókori matematikában egyedül Arkhimédész volt az, akit tudományos eredményei - tételei, fogalomalkotásai - alapján Newtonnal és Gaussal összemérhetünk. Természetesen voltak tudósok, akik matematikai alkotással eredményesen foglalkoztak.(147) Voltak Eukleidész előtt és után egyaránt. Csupán felsorolni sem egyszerű őket: a milétoszi Thalész (i.e. VI.), az „első” akit ismerünk, a szamoszi Püthagorász (i.e. VI.), a khioszi Hippokratész (i.e. V.) és az abderai Démokritosz (i.e.V.) akiknek neve a mai tankönyvekben is szerepel egy-két elemi tétellel kapcsolatban az Eukleidész előtti korszakból. A hellenizmus későbbi tudósai közül is csak a legismertebbeket sorolom: Eudoxosz, Arisztarchosz, Arkhimédész, Eratosztenész, Nikomédész, Apollóniosz (mindannyian az i.e. IIIII. században). De a hanyatló hellén korszak (i.sz. I.-IV. sz.) tudósai is beírták nevüket a nagykönyvbe, de a tankönyvekbe is: Papposz, Ménelaosz, Héron, Diophantosz, Théon és lánya Hüpatia, aki az első - feljegyzett - nő a matematikusok között. Eukleidész matematikai produktumai közül a róla elnevezett algoritmusról is kiderült, hogy átvétel, mint ahogy átvétel az Elemek minden tétele, minden állítása, minden betűje. „Mi tehát az, ami az Elemeket a Biblia után a legtöbb kiadást megért könyvvé tette?” - fogalmazza meg mindannyiunk kérdését Sain Márton(148) történész-matematikus. A felelettel is egyet kell 145

A kiegészítésem kiterjed a Névmutatóra is, amelyet Bonola kortársainak életére vonatkozó adatokkal, valamint az általam idézettek adataival egészítettem ki. A fiatalon, mindössze 45 évesen elhunyt Szerző nem adta meg kortársainak életrajzi adatait. A nevezetesebbeknél ezt pótoltam.

146

Paul Strahern: Arkhimédész (Elektra Kiadóház, 2000).

147

B.L. van der Waerden Egy tudomány ébredése (Gondolat, 1977).

148

Sain Márton Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex, 1993) 113

értenünk: „a tárgyalás módszere.” Ez az első, talán legfontosabb az említett két szerep közül. Eukleidészt megelőzően mások is írtak tankönyvet, összefoglalót Elemek címmel. Eukleidész könyve a hasonló jellegű munkák közül az utolsó, amit ismerünk. Proklosz három korábbi szerzőt említ: Hippokratészt, Leónt és Theudioszt, de más forrásokban több név, köztük Feidiászé is felbukkan. Nagyon valószínű, hogy ezeket az könyveket a Platón által alapított Akadémián az oktatásban használták. Arisztotelész munkáiban találkozunk olyan kitételekkel, melyek geometriai tételek ismeretét feltételezik. Bizonyosra vehető, hogy ezek a tételek a hozzáférhető művekben előfordultak, ezért nem kellett részletesen ismertetnie. Hogy ezeket az Elemeket az utókor csak hírből ismeri az semmi mással, mint Eukleidész színrelépésével magyarázható. Ő a legnagyobb iskolamester, akit a matematika története ismer. Hogy Eukleidész elsősorban didaktikus és nem alkotó matematikus, az nem csupán a saját felfedezéseinek hiányából, hanem az Elemek egyenetlen stílusából is kiolvasható. A tárgyalt anyagot, de még a szöveg legfontosabb és legnehezebb részeit is más szerzőktől veszi át. Az egyes részek színvonala a forráséval magyarázható: ahol a forrás gyengébb, ott Eukleidész is az, ahol nívós, ott Eukleidész is remekel. Eukleidész a geometrián kívül más területekre is elmerészkedett, de ezek a művei egy napon sem említhetők az Elemekkel, főleg annak sikerével. (149) A fennmaradt művei: Dedomena, Optika, Katoptrika, Sectio canonis, Phainomena, Alakzatok felbontásáról. Ezek rendre algebrai, geometriai tételekkel, perspektívával, a tükrök képalkotásával, zeneelmélettel, szférikus csillagászattal foglalkoznak.(Az utolsó csak arabul maradt meg) Elvesztek, csak utalásokból ismertek a következő művek: Pszeudaria, Kónika, Topoi prosz epiphaneia, Poriszmata. A témák: logikai hibák a matematikában, a kúpszeletek, felületek és felületi görbék (mértani helyek), poriszmák (tételek és szerkesztések közötti megállapítások) gyűjteménye.

Az enciklopédista Eukleidész tehát valóban Platón korának egész elemi matematikáját feldolgozta tankönyv alakjában. Vele zárul az antik matematika egyik virágkora, de egyben vele kezdődik a következő, még ragyogóbb korszak: Arkhimédész, Eratosztenész és Apollóniosz kora. Hogy miből állt ez a Platón kori matematika, mi az, aminek a lényege - valóban csak keresztmetszete - található az Elemekben, az a matematikatörténeti művekben megtalálható. Ilyen műveket e kiegészítéshez fűzött lábjegyzeteimben és az irodalomjegyzékben említek. A gyors áttekintés azonban - itt és most - talán jobban segíti az olvasót az értékelésben. A történészek elemzései szerint az ember első geometriai fogalmai a paleolitban alakultak ki. Erre a következtetésre a barlangfalak rajzainak konstrukciója vezette a kutatókat. Ez az absztrakció a csiszolatlan kőkorszak néhány 100 000 éve alatt lassan fejlődött. A neolit korban (~10 000 évvel ezelőtt) jelent meg a tárgyak hossz-, terület-, térfogat-mérésének igénye, melyet a földművelés mellett a kereskedelem fejlődése is inspirált. Kialakultak a síkbeli és térbeli alakzatok fogalmai, képei (absztrakciói?); felismerték egyszerűbb tulajdonságaikat. A geometria mellett az aritmetika és a csillagászat kezdetei is erre az időszakra tehetők. A

149

Papposz szerint a perspektív háromszögek Desargues-tétele már Eukleidész Poriszmáiban is megvolt. 114

föníciaiaknál a kereskedelem az aritmetikát, Egyiptomban a földművelés a geometriát, Babilonban a csillagászatot hozta létre. A legfejlettebb babiloni és egyiptomi matematika írásos leletei a geometria gyakorlati szerepéről, alkalmazásáról tanúskodnak: különböző feladatokra részmegoldásokat találtak és rögzítették a „recepteket”. Eléggé közismert az a tény, hogy már a II. évezredben ismerték a Pithagorász-tétel speciális eseteit és ezt - csomózott köteleket használva - a derékszögek kijelöléséhez tudatosan alkalmazták. Ám semmi bizonyítás, csupán szabályok, számolásokra, szerkesztésekre vonatkozó előírások találhatók a papiruszokban (Rhind-papirusz, Akhimpapirusz). A görögök voltak azok, akik először fogalmazták meg a kérdést: hogyan lehet ezt igazolni? - és ezzel a kérdéssel kezdődik a matematika! Jól mutatja a kétféle, az afro-ázsai és az európai gondolkodás különbségét Platónnak a kifakadása: „Elrontják a geometriát, megrabolják méltóságától, mert arra kényszerítik, hogy testetlen, szellemi dolgok vizsgálatáról érzéki tárgyakra térjen át s ne csak az észre támaszkodjon, hanem testekre is, amelyeket rabszolga módra kétkezi munkával állítottak elő.” Ennek ellenére meg kell jegyeznünk, hogy a görögök Egyiptomot tartották a matematika szülőhazájának. Arisztotelész írja a Metafizikában (I. könyv 1. fejezet): „…ezért jött létre Egyiptomban a matematika tudománya; …” Hérodotosz, a nagy geográfus egyiptomi útjáról készített beszámolójában leírja, hogy amikor a Nílus a szántóföld egy részét elárasztja, az adó megállapítása miatt szükséges tudni, hogy mekkora terület veszett el. „Gondolom, ezért találták fel a földmérést, mely aztán Hellászba is eljutott.” Démokritosz pedig áradozva említi az egyiptomi zsinórfeszítők (harpedonaptoszok) precizitását, akik a földmérést, a geometriát művelték. Thalész járt Egyiptomban, s elsőként plántálta át Görögországba ezeket az ismereteket. Az elméleti bizonyítás problémája azonban nem a matematikában, hanem az eleai filozófiai iskolában merült fel már az i.e. V. század elején. Kezdetben a cáfolatot tekintették az igazság kiderítése egyedüli módszerének: csak az tekinthető helyes, igaz állításnak, amelynek ellenkezője ellentmondásra vezet. Később formálódott ki a bizonyításnak az induktív módja: induljunk ki olyan állításokból amelyeknek igaz volta kétségtelen, s vezessük le azokat az állításokat, melyek ezekből következnek. Ezzel bontakozott ki az a görög dialektika, mely Platón műveiben nyerte el végső formáját.(150) A filozófia és a matematika hamar, már az i.e. IV. században elérte csúcspontját. Az V. században azt a fejlődési folyamatot érhetjük tetten, amely ezt a csúcsot előkészíti. „Az ún. püthagoreusok voltak azok, akik a matematikára vetették magukat, s az elsők voltak, akik előbbre vitték ezt a tudományt, sőt annyira beleélték magukat, hogy ennek az elveit gondolták a létező dolgok elveinek is.” (Arisztotelész, Metafizika I.5.) A püthagoreusok négy mathématát (tudományágat) ismertek: arithmetika, harmonia, geometria, asztronómia. (A matematika szó is tőlük származik.) Az i.e. III. századig a görögök részben átvétellel, részben saját alkotásként már számos geometriai tény és bizonyítási mód birtokában voltak. Felmerült annak az igénye, hogy ezt az anyagot összegyűjtsék és logikai sorrendbe rendezzék. Ezt a feladatot számos görög szerző kísérelte megoldani, de mint említettem munkáik elpusztultak, elfelejtődtek Eukleidész után. „Az Elemek magas tudományos színvonala, a bizonyítások szigorúsága, világos, tiszta megfogalmazása ... megerősíteni látszik, hogy nemcsak az Elemek egyes tételei, hanem magának az egész műnek a felépítése is több megelőző kísérlet után érlelődött olyanná, amilyen formában ránk maradt.” - írja az Elemek magyar fordítója.

150

Mayer Gyula: Előszó Euklidész Elemek magyar kiadásához (Gondolat, 1983). [Mayer kiáll az „EUKLIDÉSZ” írásmód mellett.] 115

Az Elemek Ez lényegében az Elemeknek az előzménye. Bonola azonban a nemeuklideszi geometria kialakulásának krónikása, annak a kutatásnak, mely az Elemek nyomán indult meg, tehát amelynek éppen az Elemek az előzménye. Ezért szükséges néhány szót erről is ejteni . A mű 13 fejezetből áll, de a kor szokásának és az írásművek kézi előállításában alkalmazott technikának megfelelően ezeket „könyveknek” nevezték. Köztük néhány nem kimondottan geometriai fogalmakkal, tételekkel foglalkozik (V., VII., VIII. és IX. könyvek). A későbbi kiadásokban közzétett, idegen szerzőktől származó XIV. és XV. könyv szellemében méltó az eredetihez, hasznos kiegészítője a tárgyalt anyagnak, a tankönyvnek. Röviden úgy mondhatjuk, hogy ez a mű az ókori matematika alapjait, az Elemeket tartalmazza: az elemi geometriát, az elemi aritmetikát, a racionális számok elméletének alapjait, az arányok elméletét. A geometriai rendszer kiépítésében az I. könyv és annak az elején közölt „premisszák” definíciók, posztulátumok és axiómák - játszanak szerepet. Ezeket, ha egyszerűsítve is, de fel kell sorolnom: A definíciókban Eukleidész elmondja mi a pont, a vonal, az egyenes, a felület, a sík, a szög, a kör stb. A kritikusok felhívták arra figyelmet, hogy ezek némelyike az egész műben sehol másutt nem fordul elő. A geometriai rendszer kialakításához a 23. definíciónak(151) van igazán köze. „Párhuzamosok azok az egyenesek, melyek ugyanabban a síkban fekszenek és mindkét irányban meghosszabbítva sehol sem találkoznak.” Az axiómáknak, melyek a posztulátumok után kaptak helyet a geometriai rendszer kiépítésére nincs különleges hatásuk. Például az első: amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők igaz állítás szakaszokra, szögekre, de igaz „puszta” számokra, sőt bármilyen mennyiségekre: tömegekre, súlyokra, erőkre, sebességekre stb. Hasonlóan értékelhetjük a többieket: ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk az összeg is egyenlő lesz; vagy az egész nagyobb a részénél;… Erre már Arisztotelész felhívta a figyelmet a Metrafizikában: „Minthogy a matematikus is használja az általános tételeket, csakhogy ezeket a maga szakjának megfelelően alkalmazza, az előfeltételükül szolgáló elveket is az első filozófia volna hivatva vizsgálni. Mert hogy ha egyenlőkből egyenlőt veszünk el, egyenlők maradnak, ez minden mennyiségre érvényes tétel; a matematika azonban szűkebb területre szorítja az érvényét és sajátos anyagának csak egy részére terjeszti ki vizsgálódását, pl. vonalakra, szögekre, számokra és más efféle mennyiségekre, s nem mint létezőkre, hanem mint egy, két, vagy három kiterjedésű kontinuumokra.” (152) A posztulátumok jelentik „a geometriát”, azt amitől Bolyai, Lobacsevszkij és Riemann rendszerét a nemeuklideszi jelzővel különböztetjük meg. Eukleidész a következő öt feltételt fogalmazta meg az előzőleg definiált pontok, egyenesek, körök és szögek viszonylatában.

151

Korábban szó volt arról, hogy a premisszák számozása kiadásonként változó. Az 1983-as magyar kiadás (Mayer) 23 definíciót, 5 posztulátumot és 9 axiómát sorol fel. A Brassai Sámuel fordításában 1865-ben megjelent kiadás 35 definíciót (Értelmezések), 6 posztulátumot (Kívánatok) és 9 axiómát (Közeszmék) sorol fel - és nem ugyanazt a 9 axiómát!.

152

Arisztotelész Metafizika, XI. 4. (Budapest, 1936 / Reprint: 1992). 116

1. 2. 3. 4. 5.

Minden pontból minden pontba egyenes húzható. A véges egyenes darab akármeddig hosszabbítható. Minden pont körül tetszőleges sugárral kör rajzolható. A derékszögek egyenlők. Ha két egyenest úgy metsz egy harmadik, hogy ennek egyik oldalán keletkező belső szögek összege kisebb két derékszögnél, akkor a két egyenes a metszőnek ezen az oldalán találkozik.

És ezen a ponton érhető tetten Eukleidész szerepének az a másik oldala, mely az egyszerű didaktikusén túlmutat: a párhuzamosok elméletének kifejtésével rögzítette azt a térszemléletet, melynek kultúrtörténeti szerepe csak Ptolemaiosz geocentrikus világképével mérhető össze. Ez a térszemlélet, melynek dogmája két évezreden át ivódott be a gondolkodók tudatába, végül Kant filozófiájában kristályosodott ki: „Eukleidész axiómái az emberi elme elválaszthatatlan tartozékai és ezért objektív érvényességűek a ‘valódi’ térre.” Ez a „kinyilatkoztatás” nagyon hasonló a Bellarmino bíborosnak Foscanini páterhez, Galilei barátjához írott levelében megfogalmazott aggodalomhoz:(153) „…ha azt állítjuk, hogy a Föld mozgásának feltételezésével a megfigyelt jelenségek jobban rendszerezhetők, akkor ez semmi veszéllyel nem jár. Ha azonban valaki azt kezdi állítani, hogy a Nap áll és a Föld forog, akkor ez árt a szent hitnek, minthogy ebből a szentírás helytelensége adódik.” Néhány megjegyzés erejéig vissza kell utalnom Babilon és Egyiptom tudományára. Ha le is szóljuk a matematikájuk, főleg a geometriájuk „gyakorlatiasságát”, azzal tisztában kell lennünk, hogy e gyakorlati tapasztalatgyűjtés nélkül nincs absztrakt görög geometria. A görögök csupán megtakarították a fáradságos kísérletezést, a méricskélést - beleültek a készbe, mint a bridzselők, akiknek a licit után már „csak” le kell játszani a partit. Persze azért ez sem semmi, de elődök nélkül a görögöknek kellett volna ezt a diót is feltörni. Az ókori geometria a földmérés gyakorlatán túlnőve is empirikus tudomány maradt, amelynek célja a minket körülvevő világ tanulmányozása volt. Arisztotelész, bár a tudományt értékeli, a tudásgyűjtést, a tapasztalatokat sem veti meg: „A cselekvés szempontjából tehát úgy látszik, hogy a tapasztalat nem különbözik a tudománytól; sőt azt látjuk, hogy akiknek tapasztalatuk van, sokkal inkább sikert aratnak, mint akiknek jó elméleti tudásuk van, de nincsen tapasztalatuk. Ennek az a magyarázata, hogy a tapasztalat az egyes esetekre vonatkozó tudás, a tudomány pedig az általánosra vonatkozik, - a cselekvésnek és a létrehozásnak pedig mindig az egyes esettel van dolga.” (Metafizika I.1). Amikor tehát Eukleidész - kortársaival egyetemben - az „euklideszi” párhuzamosság mellett dönt, a tapasztalati tér szerkezetének megítéléséről dönt; kiválasztja azt, amelyet korának műszereivel, a földmérők, a geométerek megfigyeléseivel el lehet fogadni. Ma már tudjuk, hogy a tapasztalati terünk nem ilyen, s azt is, hogy Bolyai János volt az, aki felvetette, hogy a newtoni tömegvonzást kellene az abszolút geometria formalizmusával újragondolni. Ma már azt is tudjuk, hogy Einstein általános relativitás elmélete és az erre alapuló kísérletek éppen azt igazolták, hogy terünk struktúrája nemeuklideszi.

153

Walter Holitscher A természettudományos világkép, (Gondolat, 1961). 117

Néhány történeti kiegészítés Egy nevezetes arab geométert nem említ a 6.§. felsorolása. Az Elemek lefordítása után először Abbász ibn Szaíd al-Dzsauhari vizsgálta a párhuzamosok tanát. Megfogalmazta a következő helyettesítő posztulátumot: ha két metszőnek egy harmadikkal való metszésekor a váltószögek egyenlőek, akkor ez lesz a helyzet a két egyenesnek bármely egyenessel való metszésekor. Észrevehető, hogy hasonló tulajdonságot posztulál, mint amit Saccheri és Lambert később bizonyítanak. Az Elemek kiadásainak felsorolásából (7.§ és 10.§) kimaradt egy érdekes adat. Egy angol utazó, névszerint Adelard of Bath, arab tanulmányokat folytatva bejárta Kis-Ázsiát, Egyiptomot és a Pirreneusi félszigetet. Álruhás spanyol moszlim diákként érkezett Cordovába 1120 körül. Szerzett egy mór másolatot és ezt latinra fordította. Hogy ennek a fordításnak mi lett a sorsa, kiadták-e vagy sem, azt nem sikerült kiderítenem. Az 1482-es első nyomtatott latin kiadás ugyancsak arab szöveg alapján készült, de a fordítóját ismerjük: Campanus (v.ö.: 10.§).

A XX. századi kutatások Bonola 1906-ban írt előszavából tudjuk, hogy a nemeuklideszi geometria történetét első ízben az 1900-ban megjelent gyűjtemény számára írta meg. Azt is tudjuk, hogy az 1911. őszén megjelent angol kiadást már nem érte meg, 1911. május 16-án meghalt. A XIX. századvég matematikatörténetét ismerők az V. fejezetet olvasván rájönnek, hogy néhány közlése elnagyolt, hiszen nagyon friss, talán nem is közvetlen forrásból származó eredményre támaszkodik.(154) Amit most az olvasónak felkínálok, az a történet folytatása, a geometriai térelmélet szintézise, mely részben a XIX. századvég eredményeinek felhasználására, részben a XX. századi koncepciók alkalmazására támaszkodik. A XIX. század elejére a geometria már nem csupán az euklideszi módszerekkel operált és számos ágra oszlott. E tudományágak az térre vonatkozó ismeretek elemzéséből és általánosításából nőttek ki, s felhasználták a matematika más területeinek módszereit, összefonódtak velük: analitikus geometria, differenciálgeometria, projektív geometria stb. A nemeuklideszi geometria - geometriák - megjelenésével felmerült a „nagytakarítás” szüksége, miként később a halmazelmélet antinómiái a matematika alapjainak felülvizsgálatát indították el: a geometriát, az aritmetikát, az analízist, … de az egész matematikát is új alapokra kellett helyezni. Az erlangeni program Az első tisztázást, rendcsinálást jelentette Félix Klein erlangeni programja, amelyről már olvashattunk. Most nem lesz haszontalan röviden kifejteni, kissé pontosítani az elhangzottakat. Klein gondolata a „transzformáció” fogalmán alapul. Mai szemléletünk szerint ez speciális esete a „függvény”, a „leképezés” kifejezésnek. A matematikát tanuló diák a leggyakrabban 154

Talán ez indokolja - de nem menti - a második, 1919-es német kiadás szerkesztőjének durva beavatkozását a mű tartalmi, szerkezeti felépítésébe. A magát társszerzőként feltüntető szerkesztő (Liebmann) az első három fejezetet hűségesen közli, ám a IV. fejezet szövegét harmadára csonkítja és beolvasztja a III. fejezetbe. Ugyanakkor két teljes idegen fejezetet, terjedelmében Bonola szövegével azonos méretben csatol a műhöz. A kiegészítések azonban nem történeti adalékokat, hanem egyes részkérdések tárgyalását tartalmazzák. 118

olyan függvényekkel találkozik, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is számokból áll. Vizsgálhatunk azonban olyan függvényeket, amelyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete is pontok bizonyos halmaza. A geometriában azokat a függvényeket, amelyeknek mind az értelmezési tartománya, mind az értékkészlete a teljes geometriai tér, transzformációknak, a tér önmagába való leképezéseinek nevezzük. A geometria - mint imént említettem - eredetileg empirikus tudomány, melynek célja a bennünket körülvevő világ tanulmányozása. A térről szerzett első tapasztalatok közé sorolható az, hogy a világ különböző fizikai objektumokkal, többek között merev testekkel van benépesítve és ezek mozognak. A helyváltoztatás megfelel egy geometriai transzformációnak: a testek bizonyos részei a tér egy helyét, egyes pontokat foglaltak el, majd a mozgás eredményeként mindegyik pont új helyre kerül. Ugyancsak a tapasztalat mondatja velünk, hogy e transzformáció során a távolság invariáns. Klein rámutatott arra, hogy az euklideszi geometriában tárgyalt összes fogalom invariáns a mozgásokra. Sőt az euklideszi geometria alapos vizsgálata azt mutatta, hogy a benne tárgyalt összes fogalom nemcsak az izometrikus, hanem a hasonlósági transzformációkra is invariáns. Ez utóbbi transzformációk nem távolságtartók, de minden irányban egyformán növelik vagy csökkentik az alakzatok méretét. A távolságtartó vagy egybevágósági transzformációkat az A´B´ = AB egyenlőség, a hasonlósági transzformációkat az általánosabb A´B´ = k⋅AB egyenlőség jellemzi, s az „általánosabb” jelző arra utal, hogy ez a transzformáció típus a k = 1 aránnyal jellemzett egybevágóságot speciális esetként tartalmazza. A következő általánosítást akkor kapjuk, ha megengedjük a távolságok különböző mértékű nagyítását, kicsinyítését. Ilyenek az affin transzformációk, melyek során a pontsorok linearitása mellett a pontjaik kölcsönös helyzete marad változatlan. Ez azzal jár, hogy az egyenes pontjainak és képeiknek viszonyát az AB:BC = A´B´:B´C´ arányok invarianciája jellemzi. Például a szakasz felezőpontjának képe szintén felezőpont lesz. A háromszög súlypontja öröklődik, bár az oldalak különböző mértékben változnak. Az általánosítás itt is azt jelenti, hogy ezzel a tulajdonsággal a szigorúbb kikötésekkel definiált hasonlósági transzformációk is rendelkeznek. A három pont osztóviszonyát így jelölik: (ABC) = AB:BC, s az affin transzformációkat szokás osztóviszony tartó leképezésekként aposztrofálni. Az affin transzformációk általánosításaként adódnak a projektív transzformációk, melyeknél a ponthármasok osztóviszonya sem öröklődik, ellenben az egyenes négy pontjának kölcsönös helyzetét jellemző (ABXY) = (ABX):(ABY) kettősviszony változatlan marad. Ezekre a kettősviszony tartó transzformációkra a perspektíva törvényeinek keresése már a reneszánszban ráirányította a figyelmet, de a projektív geometria rendszeres kidolgozása Ponceletre (1788-1867) várt.(155) Azt hiszem itt már felesleges felhívnom a figyelmet arra, hogy e transzformációk speciális esetét képezik az affin, a hasonlósági és az egybevágósági transzformációk. A további lépést azok a transzformációk jelentik, melyek az egyenes tartásról lemondva csupán a ponthalmazok kontinuitásának invarianciáját követelik meg. Ezek az ún. topológikus transzformációk. Egy ilyen transzformáció a rugalmas alakváltozás: egy alakzat éleit gumiszálakból készítjük el és a modellt e szálak elszakítás nélküli transzformációjának vetjük alá. Ekkor a pontok „szomszédossága” és a távoli pontok „összeköttetése”, a tartományok „összefüggősége” továbbra is öröklődik, de már semmiféle távolsággal kapcsolatos jellemző nem. Hasonló modellt kapunk, ha a síkidomokat rugalmas lemezből szabjuk ki és szakítás nélkül tetszőleges módon nyújtjuk - zsugorítjuk őket. 155

Traité des propriétés projectives des figures, (1822). 119

A kleini koncepció azonban ezeken a geometriákon kívül más rendszert is megenged, melyet más invarianciával rendelkező transzformációkkal adhatunk meg. Csak egy példát említek: a konformis leképezések olyanok, melyeknél az egy körön fekvő pontok képe is körön helyezkedik el: körtartó transzformációk. (Csupán kuriózumként említem, hogy ilyen leképezésekkel a gömb-sík transzformációk, a térképészeti vetületek körében is találkozunk.) Olvastuk Bonola szövegében azt is, hogy Kleinnek ez az rendszerezése Sophius Lie csoportelméleti kutatásainak eredményeire támaszkodik. Ennek - mai fogalmazásunk szerint az a lényege, hogy egy halmaz elemeire értelmezett műveletek lehetnek olyanok, hogy egymás után kettőnek az alkalmazása helyettesíthető egy harmadik ilyen művelettel. Például a sík pontjainak két eltolása egyetlen eltolással is végrehajtható. Megfordítva is igaz: egy elmozdulás felbontható két elmozdulás egymásutánjára. Szokás a műveletek egymásutánját a két komponens szorzatának nevezni. Ha most egy (euklideszi) sík egybevágósági transzformációit vizsgáljuk, akkor megállapíthatjuk, hogy egy adott transzformáció végrehajtásához legfeljebb egy eltolás, egy forgatás és egy tükrözés egymásutánját kell alkalmazni. Ezek közül bármelyik vagy bármelyik kettő elmaradhat, sőt az identitás - ∀P∈R3: P´ ≡ P - esetén mindhárom felesleges. Mindezen vázlatos leírás alapján úgy fogalmazhatunk, hogy az erlangeni program szerint minden geometria meghatároz egy transzformáció csoportot, s maga az adott geometria e csoport invariánsainak az elmélete.

A három metrika Klein nevéhez azonban ezen kívül még egy fontos rendszerezési elv kapcsolható. 1871-ben hívta fel a figyelmet arra, hogy az egyenesen három, lényegesen eltérő geometria - metrika létezik. Mivel ebben Cayley (1821-1895) korábbi kutatásaira támaszkodott, ezért Cayley-Klein geometriáknak nevezik ezeket. (A. ábra) !

A

O "

b !

B a

E A

a

r

"

B

B

b

A O #

A

#

x

b

B

X

B. ábra a

Y

y

A. ábra

Az euklideszi (vagy parabolikus) metrikához akkor jutunk, ha a szakaszok hosszát az egységhez (OE) viszonyított arányukkal mérjük: dp(AB) = AB:OE. Ez a távolság az egyenes eltolásával és egy pontja körüli tükrözésével szemben invariáns.

120

A Riemann-féle (vagy elliptikus) metrika a külső O pontból induló egyenesek szögével méri a szakaszt: de(AB) = AOB∠. E távolságokat megtartó transzformációk az O pont körüli forgatások (elliptikus eltolás) és a O-ra illeszkedő egyenesekre való tükrözések (elliptikus tükrözés). A Lobacsevszkij-féle (vagy hiperbolikus) metrika az X és Y alappontokkal alkotott kettősviszonyt használja: dh(AB) = k⋅ln(ABXY). A távolságtartó transzformációk: tükrözés az XY alappontok felezőpontjára (hiperbolikus tükrözés) és két ilyen transzformáció kompozíciója (hiperbolikus eltolás). A pontsor analógiájára definiálható a sugársorok metrikája, a szögmérés (B. ábra): Parabolikus metrika: δp(ab) = AB. (A csúcsot elkerülő egyenesen levő metszet.) Elliptikus metrika: δe(ab) = ab∠. (A „közönséges” szögmérték.) Hiperbolikus metrika: δh(ab) = k⋅ln(abxy). E háromféle metrika szögtartó transzformációit a pontsorok transzformációinak duálisaként definiálhatjuk: az eltolásnak itt a forgatás, a pontra tükrözésnek az egyenesre való tükrözés felel meg. A térben az egy egyenesre illeszkedő síkok veszi át a pontsor duálisának szerepét. A lapszögek metrikáját ugyanígy, a pontsoréból dualizálva kaphatjuk. A síkban lehetséges egybevágósági geometriák úgy adódnak, hogy választunk egy szakaszmetrikát és egy szög-metrikát. A térben ezekhez még a lapszögek kiválasztott metrikáját kell csatolnunk. A síkban tehát 3×3 = 9, a térben viszont 3×3×3 = 27 féle geometriai rendszert választhatunk. A következő táblázat mutatja a lehetséges síkgeometriákat: Elliptikus Szakaszok elliptikus Metrikája parabolikus hiperbolikus

Szögek metrikája parabolikus

Riemann (elliptikus) anti-euklideszi Eukleidész Galilei Lobacsevszkij anti-téridő

Hiperbolikus anti-hiperbolikus Téridő bi-hiperbolikus

Ezeknek a síkgeometriáknak a „létezését” modellek segítségével lehet igazolni (v. ö.: V. fejezet). Például emlékezzünk a Rieman-féle elliptikus geometria modelljére, ahol az euklideszi tér x2+ y2+ z2 = 1 egységgömbje szolgál a síkgeometriát hordozó felületként úgy, hogy a gömb átellenes pont párjai képviselik az elliptikus sík egy pontját. A téridőgeometriában kétféle egységgömböt értelmezhetünk: x2+ y2 - z2 = 1 illetve x2+ y2 - z2 = -1 egyenletekkel. Ezek az euklideszi térben egyköpenyű és kétköpenyű hiperboloidok. Ezeken a felületeken az átellenes pont párokat tekintve pontoknak és az O(0,0,0) középponton átmenő síkokkal alkotott metszésvonalakat (hiperbolák) egyeneseknek, az elsőn a bi-hiperbolikus, a másodikon a Bolyai-Lobacsevszkij-féle nemeuklideszi síkgeometria izometrikus modellje azonosítható. Nem ilyen könnyen mutatható be a 27 térgeometria rendszere. Itt röviden csak mutatóba annyit, hogy az euklideszi térgeometriát ebben az osztályozásban a parabolikus szakasz + az elliptikus szög + és az elliptikus lapszög metrika jellemzi. Az egyes rendszerek modellezésére a négydimenziós euklideszi tér altereit használhatjuk.(156)

156

Az érdeklődő olvasó bővebben olvashat erről Jaglom Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria c. könyvében (Gondolat,1985). 121

Az axiomatika A geometria Eukleidész felépítésében kétezer éven keresztül a rendszerezés, az axiomatizált tudomány mintaképe volt annak ellenére, hogy a kritikusok már igen korán rámutattak logikai hibáira. Példaként említhetjük ismét a derékszögek egyenlőségét kimondó 4. posztulátumot, melyet a többiekből le lehet vezetni, tehát felesleges. Ezzel szemben az arkhimédeszi axióma, bár Eukleidész bizonyításaiban kimondatlanul felhasználja -, hiányzik a rendszerből. A jelen könyv témájáról sem szabad elfelejtkeznünk: az 5. posztulátum „gyanúsan” kirí a többi közül viszonylag bonyolult fogalmazásával és ellenőrizhetetlenségével. Csak a XIX. században derült ki, hogy Eukleidész posztulátumait módosítani és kiegészíteni kell, ha azt akarjuk, hogy az egész elemi geometria levezethető legyen belőlük. A geometriai „nagytakarítás” egyik fontos pillérét ennek kijavítása, de általában a geometriát megalapozó axiómarendszernek a kialakítása jelentette. Az axiomatika a tudományos rendszerezés egyik sarkalatos módszere. Néha még filozófusok is megkísérelték érveléseiket axiómákból levezetett tételek formájában előadni: Spinoza (16321677) Ethica, more geometrico demonstrata (Etika, geometriai módszerekkel bizonyítva). A matematikai logika is az axiomatikus tendencia eredménye. Az axiómaként használt állítások kiválasztása nagymértékben önkényes, azonban célszerű kevés és egyszerű alapfeltevéseket elfogadnunk. Természetes követelmény a konzisztencia (ne lehessen két, egymásnak ellentmondó állítást levezetni), a teljesség (minden állítást le lehessen vezetni) és a függetlenség (egyik se legyen következménye a többinek). Az alkalmazások szempontjából pedig az is fontos, hogy a geometria fogalmai és axiómái jól megegyezzenek a „valódi” tárgyakra vonatkozó, fizikailag igazolható tulajdonságokkal. Mivel Eukleidész eredeti axiómarendszerét megreformálni kétezer év sem volt elég, komoly kutatásokra és az említett elvek tisztázására volt szükség. A teljes matematikai precizitásnak eleget tevő rendszereket csak a XIX. század végén sikerült megalkotni: Pasch (1882), Peano (1889, a természetes számok axiomatikája), Pieri (1899) és különösen Hilbert (1899, Grunlagen der Geometrie) voltak eredményesek. Ez utóbbi axiómarendszere a XX. század küszöbén korszakot záró és egyben korszakot nyitó alkotásnak tekinthető: a későbbi finomításoknak ez lett az etalonja. Axiómarendszerét érdemes összehasonlítani Eukleidész posztulátumaival, axiómáival: I. Illeszkedési axiómák I.1. Bármely egyenesre legalább két pont illeszkedik I.2. Bármely két ponthoz egy és csak egy egyenes illeszkedik. I.3. Bármely síkhoz legalább három nem kollineáris pont illeszkedik. I.4. Bármely három nem kollineáris pontra egy és csak egy sík illeszkedik. I.5. Ha egy egyenes két pontja egy síkra illeszkedik, akkor minden pontja a síkhoz tartozik. I.6. Ha két síknak van egy közös pontja, akkor legalább még egy pontjuk közös. I.7. Van legalább négy nem komplanáris pont. II. Rendezési axiómák II.1. Ha egy egyenes B pontja az egyenes A és C pontja között van, akkor A, B és C az egyenes három különböző pontja és B a C és A pontok között is van.

122

II.2. Bármely két ponthoz, A és C-hez van olyan pont az AC egyenesen, hogy C az A és B között van. II.3. Egy egyenes három pontja közül legfeljebb az egyik van a másik kettő között. II.4. Legyen ABC a sík három nem kollieáris pontja és a a sík egy olyan egyenese mely e három pont egyikét sem tartalmazza. Ha az a egyenes metszi az AB szakaszt egy pontban, akkor vagy az AC vagy a BC szakaszt is metszi. (Pasch axiómája.) III. Egybevágósági axiómák III.1. Ha A és B egy a egyenes két pontja és A´ az a´ egyenesnek egy pontja, akkor ezen az egyenesen az A´ pont által adott két félegyenes bármelyikén van olyan B´ pont, hogy az A´B´ szakasz egybevágó AB-vel. III.2. Ha két szakasz egybevágó egy harmadikkal, akkor egymással is: AB ≡ A´B´. III.3. Ha egy egyenesen az AB és a BC szakaszoknak nincs közös pontja, és ezen vagy egy másik egyenesen két hasonlóan közös pont nélküli A´B´ és B´C´ szakaszokra igaz, hogy AB ≡ A´B´ és BC ≡ B´C´, akkor AC ≡ A´C´ is teljesül. III.4. Ha ABC nem kollineáris pontok és A´B´ egy tetszőleges síknak két olyan pontja, hogy AB ≡ A´B´, akkor e síkban az A´B´ egyenes bármelyik oldalán van olyan C´ pont, hogy ABC ≡ A´B´C´. III.5. Ha két háromszögben teljesülnek az AB ≡ A´B´, AC ≡ A´C´ és BAC∠ ≡ B´A´C´∠ egybevágóságok, akkor teljesül az ABC∠ ≡ A´B´C´∠ egybevágóság is. IV. Párhuzamossági axióma IV. Legyen a tetszőleges egyenes és A egy rajta kívül fekvő pont: az A pont és az a egyenes által meghatározott síkban az A ponton átmenő egyenesek közül legfeljebb egy olyan van, mely nem metszi az a egyenest. (Eukleidész axiómája.) V. Folytonossági axiómák(157) V.1. Ha AB és CD két tetszőleges szakasz, akkor van olyan n szám, hogy a CD szakaszt az Aból B felé n-szer felmérve a B-n túljutunk: n⋅CD > AB. (Arkhimédész axiómája.) V.2. Az egyenes pontjai olyan halmazt alkotnak, mely az I., II., III. csoport összes lineáris axiómáinak és az arkhimédeszi axiómának érvénybe tartása mellett tovább nem bővíthető. (Teljességi axióma.) A javasolt összehasonlításhoz legyen szabad felhívnom az olvasó figyelmét az egybevágósági axiómák közül az utolsóra (III.5.), melynek megfelelőjét ez Elemekben a tételek között találjuk: I.4. tétel. Ott a feltételek ugyanezek, az állítás több. Pontosabban Eukleidész tétele így szól: Ha két háromszögben két oldal és a közbezárt szög megegyezik, akkor a harmadik oldaluk is megegyezik, és a háromszögek is egyenlők, és a többi szög is páronként egyenlő. Ezt a tételt a tankönyvek a háromszögek egybevágóságának egyik eseteként tálalják. Mint látható Eukleidész is kimondja: „a háromszögek egyenlők”, azaz mai szóhasználattal: egybevágóak. Ebből a hilberti axióma állítása már következne, azért van tehát szükség axiómaként történő megfogalmazására, mert ez az állítás a többiből nem vezethető le.

157

Hilber a Grundlagen első kiadásában csak az V.1. axiómát közölte, s csak később csatolta a „teljességi axiómát”. 123

A XX. sz. első évtizedében nagyon megélénkült a kutatás az axiómarendszerek további tökéletesítésére. Azt vizsgálták, hogy mely axiómák kellenek - nem kellenek, mit lehet gyengíteni, mit kell erősíteni stb.(158) A hiperbolikus geometria axiómarendszerének finomításában kitűnt Szász Pál(1901-1978)(159), az Eötvös Loránd Tudományegyetem professzora, akinek munkásságából különösen a hilberti IV. párhuzamossági axiómát helyettesítő két axiómája érdemel figyelmet: IV.1. Legyen P és Q a sík két különböző pontja és QY egy félegyenes a PQ egyenes egyik félsíkjában. Mindig van ebben a félsíkban olyan PX félegyenes, melynek a QY félegyenessel nincs közös pontja, de a QPX∠ szögtartományban levő minden PZ félegyenesnek van. IV.2. Van a síknak olyan e0 egyenese és arra nem illeszkedő P0 pontja, hogy a P0 ponthoz nem csak egy olyan egyenes illeszkedik, mely az e0 egyenest nem metszi. Az axiómák függetlenségére és ellentmondásmentességre vonatkozó vizsgálatokból született meg a bizonyításelmélet. Ennek egyik nevezetes eredménye Gödel (1931) tétele(160) : Egy axiómarendszerben mindig megadható olyan állítás, melynek igaz vagy hamis voltát eldönteni nem lehet. Ennek figyelembe vételével azt állapíthatjuk meg, hogy az axiómák megadásával definiált geometriai (logikai) rendszer a Gödel-tétel szerinti eldönthetetlen állítás alapján kétféleképpen bővíthető: az állítást vagy éppen annak tagadását axiómaként csatolva újabb típusú struktúrákat leíró axiómarendszert kapunk. Egyszerre kettőt, miként a párhuzamosok kétféle, euklideszi és hiperbolikus axiómájával az abszolút geometria (maradék) axiómarendszeréből. Az elmondottak szerint a geometria típusát kétféle aspektusból közelíthetjük meg: A Hilbert-féle axiomatikus szemlélet szerint a rendszereket az axiómák által meghatározott térstruktúra különbözteti meg. A Klein-féle erlangeni program szerint a geometriai rendszereket a transzformációk invariáns tulajdonságai alapján különböztetjük meg. Még annyit kell mindezekhez hozzátenni, hogy egy geometriai rendszert többféle, egymással ekvivalens axiómarendszerrel lehet megadni. A XX. század második felében leginkább a Hermann Weyl (1885-1955) Tér, idő, anyag című, 1918-ban kiadott tankönyvében leírt, igen egyszerű pont-vektor axiomatika használata terjedt el.(161) Ez többféle Cayley-Klein geometria és ezeken belül az egybevágósági, az affin és a projektív geometriák leírására alkalmas.

158

Hilbert Neue Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie (Math, Ann., LVII. 1903) és Hjelmslev Neue Begründung der ebenen Geometrie (Math, Ann., LXIV. 1910).

159

Unmittelbare Einführung Weierstracher homogenen Koordinaten in der hyperbolischen Ebene auf Grund der Hilbertischen Endenrechnung (Acta Math. Acad. Sci. Hung. IX. 1958).

160

Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Monatshefte für Math. Und Phys., XXXVIII. 1931).

161

Részletesen: Jaglom Galilei relativitási elve ..., (Gondolat, 1985) és Baziljev-Dunyicsev Geometria, (Tankönyvkiadó, 1985). 124

A fordító-kommentátor zárszava A függelék e második fejezetének címe ugyan a nemeuklideszi geometria XX. századi fejlődésének ismertetését ígérte, de gondolom nem okozok az olvasónak meglepetést, ha itt megállok. Nem árulok el titkot, ha azt mondom, hogy ez a tudományszak, éppúgy, mint minden másik, exponenciálisan fejlődött. Nemhogy egy ugyanilyen kötet, de sok hasonló sem lenne elég a teljes időszak feldolgozásához. Ezért csupán néhány kiegészítést fűzök az elmondottakhoz. Mivel Riemann vizsgálatairól Bonola részletesen ír, a kleini és a hilberti szemlélet kiegészítéseként elegendő megjegyeznem, hogy a geometriai rendszerek vizsgálatának más elveit fogalmazta meg Riemann. Alapelvei, melyet a geometria felépítésében alkalmaz: a)

megadjuk az Elemek halmazát,

b) ezeknek a koordinátáit, c)

a távolságelem kifejezését (azzal a feltétellel, hogy „kicsiben” a tér euklideszi).

Különösen a c) pont variálásával többféle geometriai rendszert konstruálhatunk, miként Riemann is megtette, s azóta sokan egészítették ki az eredményeket. A XX. első felében nagy lendületet vett kutatások egyrészt elmélyítették a geometriai struktúrák tanulmányozását, másrészt az említett szakosodást folytatták. Különösen a differenciálgeometria fejlődött és specializálódott. De nem hagyhatjuk említés nélkül azt az olasz geometriai iskolát sem, melynek e könyv szerzője is alapítója és aktív tagja volt. Ennek az olasz iskolának magyar vonatkozásait, sőt személyes kapcsolatait is fel kell idéznem. Itt szerezte geometriai ismereteit Kárteszi Ferenc (1907-1989), az Eötvös Loránd Tudományegyetem volt tanszékvezető tanára, akinek a Bevezetés a véges geometriákba című könyvéből az olvasó hasznos kiegészítéseket kaphat a geometria XX. századi fejlődéséből. Ugyanilyen patriotizmus sugallja, hogy Szász Pálnak a Bevezetés a Bolyai - Lobacsevszkij-féle geometriába című könyvét is, mint a hiperbolikus geometria tankönyvét az olvasó figyelmébe ajánljam. E partikuláris területek mellett különösen Coxeter A geometriák alapjai című munkája az, amelyből az általános elvek megismerhetők. Azt láttuk, hogy az euklideszi geometria fokozatosan elvesztette egyeduralkodó szerepét Lobacsevszkij, Bolyai és Gauss kutatásainak eredményképpen, de a semmiből teremtett ujj világ is erre a sorsra jutott Riemann és Klein klasszikus munkái nyomán. Azonban az euklideszi geometrián kívüli rendszerek létezéséről a szakembereken kívül szinte senkinek sincs tudomása. Annak ellenére van ez így, hogy egy másik tudomány, a fizika is lélegzetállító eredményeket produkált a tér tudományáról. Bár Einstein speciális (1905) és általános (1916) relativitás elmélete felbolygatta az egész (tudományos) világot, az emberi társadalom döntő többsége még mindig az euklideszi-ptolemaioszi térszemléletben él. Talán ez a könyv segít a homály oszlatásában. ----------------

125

Ajánlott kiegészítő irodalom a. Alapművek Euklidész Elemek (Gondolat, 1983) Bolyai János Appendix, a tér tudománya (Akadémiai Kiadó, 1973) Lobacsevszkij, N.I. Geometriai vizsgálatok …(Akadémiai Kiadó, 1951) Einstein, Albert A speciális és általános relativitás elmélete (Gondolat, 1963) Hilbert, D. Grundlagen der Geometrie (X. kiadás: Berlin, 1968) Aristoteles Metafizika (Hatágú síp alapítvány, 1992) b. Történeti művek Alexits György Bolyai János világa (Akadémiai Kiadó, 1977) Livanova, Anna Három sors (Gondolat, 1960) Sain Márton Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex, 1993) Courant - Robbins Mi a matematika? (Gondolat, 1966) Waerden, B.L. Egy tudomány ébredése (Gondolat, 1977) Dörrie, Heinrich A diadalmas matematika (Gondolat, 1965) Ribnyikov, K.A. A matematika története (Tankönyvkiadó, 1968) Juskevics, A.P. A középkori matematika története (Gondolat, 1982) Strathern, Paul Arkhimédész (Elektra Alkotóház, é.n.) Розенфельд, Б.А. История неевклидовой геометрии (Москва, 1976) c. Szakkönyvek Szász Pál Bevezetés a Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometriába (Akadémiai Kiadó, 1973) Kerékjártó Béla A geometria alapjairól (Akadémiai Kiadó, 19??) Coxeter, H.S.M. A geometriák alapjai (Műszaki Kiadó, 1973) Coxeter, H.S.M. Projektív geometria (Gondolat, 1986) Jaglom, I.M. Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria (Gondolat,1985) Szőkefalvi Nagy Gyula A geometriai szerkesztések elmélete (Akadémiai Kiadó, 1968) Kárteszi Ferenc Bevezetés a véges geometriákba (Akadémiai Kiadó, 1972) Papy Ismerkedés a topológiával (Műszaki Könyvkiadó, 1973)

126

NÉVMUTATÓ

A

E

Aganisz (VI. sz.), 10, 11 Alembert, J. le Rond d’ (1717-1783), 35, 36 Al-Narizi (IX. sz.), 9, 11 Apollóniosz, (260?-190?), 113, 114 Arisztarchosz, (310?-230?), 113 Arisztotelész, (384-322), 8, 9, 16, 114, 115, 116, 117 Arkhimédész, (287-212), 32, 113, 114, 123 Arnauld, A. (1612-1694), 15

Einstein, A. (1879-1955), 117, 125 Engel, F. (1861-1941), 14, 31, 34, 40, 43, 44, 52, 54, 57, 58 Enriques, F. (1871-1946), 3, 96, 102 Eratosztenész (276?-196?), 113, 114 Eudoxosz (400?-347?), 113 Eukleidész (330?-275?), 3, 6, 7, 8, 9, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 28, 30, 31, 36, 38, 42, 45, 46, 58, 60, 62, 63, 87, 90, 94, 101, 109, 113, 114, 115, 116, 117, 122, 123

B Baltzer, R. (1818-1887), 75, 76 Bartels, J. M. C. (1769-1836), 54, 57 Battaglini G. (1826-1894), 75, 78 Beltrami, E. (1835-1900), 31, 75, 78, 86, 90, 91, 106, 107, 108 Bernoulli, J. (1744-1807), 31 Bessel, F. W. (1784-1846), 43 Besthorn, R. O., 9 Bianchi, L. (1856-1928), 81 Biot J. B. (1774-1862), 35 Boccardini, G., 31 Bolyai F. (1775-1856), 40, 42, 43, 44, 46, 60, 61, 62, 68, 69, 70, 75, 76, 77, 90, 124 Bolyai J. (1802-1860), 3, 35, 36, 40, 42, 43, 46, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 75, 76, 77, 78, 86, 88, 89, 90, 93, 94, 96, 97, 99, 101, 105, 106, 107, 108, 109, 116, 117, 121, 124, 125 Boncompagni B. (1821-1894), 77 Bonola, R. (1874-1911), 6, 14, 20, 23, 108, 109, 118 Borelli, G. A. (1608-1679), 13, 15 Bury, O. di (XII. sz. eleje), 15

F Flauti, V. (1782-1863), 12 Foncenex, D. de (1734-1799), 35, 90 Forti, A. (1818-?), 75, 77 Fourier, J. B. (1768-1830), 36 Frattini, G. (1852-1929), 78 Friedlein, G., 6

G Gauss, K. F. (1777-1855), 3, 14, 40, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 50, 51, 52, 55, 56, 57, 61, 62, 69, 76, 78, 82, 83, 84, 86, 87, 93, 109, 125 Genocchi, A. (1817-1889), 90 Gerling, Ch. L. (1788-1864), 43, 75, 76 Gödel, K. (1906-1978), 124 Gregory, D. (1661-1710), 15, 17

H Halsted, G. B. (1853-1922), 31 Hauff, J. K. F. (1766-1846), 47 Heiberg J. L., 6, 9 Heilbronner J. C. (1706-1745), 31 Helmholtz H. (1821-1894), 3, 90, 94, 108, 109, 110 Héron (I. sz.), 113 Hilbert, D. (1862-1943), 42, 89, 90, 122, 124 Hindenburg, C. F. (1741-1808), 31 Hippokratész (i. e. 450 körül), 113 Holmgren, E. A., 90 Hoüel, J. (1823-1886), 35, 75, 76, 77, 78 Hüpatia, (370?-415), 113

C Carnot, L. N. M. (1753-1823), 36 Cassani, P. (1832-1905), 78 Castillon, G. (1708-1791), 12 Cataldi, P. A. (1548?-1626), 13 Cayley, A. (1821-1895), 3, 78, 91, 96, 101, 107, 110, 120, 124 Chasles, M. (1796-1880), 95 Clavio, C. (1537-1612), 13, 15 Codazzi, D. (1824-1873), 85, 86 Commandino, F. (1509-1575), 13, 15 Couturat, L. (1868-1914), 36 Cremona, Gh. da (XII. sz.), 9, 78 Cremona, L. (1830-1903), 9, 78 Curtze, M. (1837-1903), 9

K Kárteszi F. (1907–1989), 5, 42, 62, 125 Kästner, A. G. (1719-1800), 43, 44 Klein, C. F. (1849-1925), 81, 86, 91, 94, 96, 101, 108, 118, 119, 120, 124, 125 Klügel, G. S. (1739-1812), 12, 31, 34, 43, 48 Kürschák J. (1864-1933), 70

D Dedekind, J. W. R. (1831-1899), 86 Dehn, M. (1878-1952), 23, 75, 89 Démokritosz (460?-370?), 113, 115 Diophantosz (III. sz.), 113

111

L

R

Lagrange, J. L. (1736-1813), 35 Laguerre, E. N. (1834-1886), 95 Lambert, J. H. (1728-1777), 3, 31, 32, 34, 35, 38, 39, 42, 43, 44, 46, 48, 51, 54, 57, 60, 64, 66, 81, 87, 89, 118 Laplace, P. (1749-1827), 36 Legendre, A. M. (1752-1833), 3, 23, 31, 37, 38, 39, 40, 42, 46, 54, 55, 76, 78, 87, 89 Lie, M. S. (1842-1899), 94, 110, 120 Liebmann, H., 90, 118 Lobacsevszkij, N. I. (1793-1856), 3, 35, 36, 42, 43, 50, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 63, 64, 69, 70, 72, 75, 76, 78, 86, 88, 89, 90, 93, 94, 96, 97, 99, 101, 105, 106, 107, 108, 109, 116, 121, 125 Lorenz, J. F. (1738-1807), 39, 75 Luca, P. (1445?-1514), 15 Lütkemeyer, G., 90

Riccardi, P. (1828-1898), 15 Ricordi, E., 78 Riemann, G. F. B. (1826-1866), 3, 81, 86, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 108, 109, 110, 116, 121, 125

S Saccheri, G. G. (1667-1733), 3, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 34, 35, 38, 42, 43, 44, 48, 54, 55, 57, 60, 75, 86, 87, 88, 89, 118 Sartorius, v. Walterhausen, W. (1809-1876), 76 Savile, H. (1549-1622), 15 Schmidt, F. (1826-1901), 77 Schumacher, H. C. (1780-1850), 43, 76 Schur, F. H. (1856-1932), 108 Schweikart, F. K. (1780-1859), 3, 44, 47, 48, 50, 55, 65, 76 Segre, C. (1863-1924), 3, 31, 44, 48 Seyffer, F. K. (1762-1822), 44 Simplicius (VI. sz.), 9, 11 Stäckel P. (1862-1919), 14, 31, 34, 40, 42, 43, 44, 51, 52, 69, 70, 77 Staudt, C. G. (1798-1867), 95 Szász Károly (1798-1853), 60 Szász Pál (1901-1978), 124, 125

M Ménelaosz (I. -II. sz.), 113 Minding, F. (1806-1885), 85, 86 Monge, G. (1746-1818), 36 Montucla, J. É. (1725-1799), 31, 57 Morgan, A. de (1806-1871), 35 Möbius, A. F. (1790-1868), 91

N

T

Naszíraddín at-Tuszi (1201-1274), 11, 12, 13, 14, 75 Newton, I. (1642-1726), 36

Tannery, P. (1843-1904), 9, 16 Taurinus, F. A. (1794-1874), 3, 43, 48, 49, 50, 51, 52, 55, 56, 57, 61, 69, 86, 106 Thalész (624?-548?), 113, 115 Théon (IV. sz.), 113 Tilly, F. M. de, 36, 70

O Olbers, H. W. M. (1758-1840), 43

V

P

Vailati, G. (1863-1909), 3, 15, 18 Vasziljev A., 58 Vitale, Giordano (1633-1711), 13, 14, 15, 20

Papposz (VI. sz), 113, 114 Pasch, M. (1843-1930), 108, 122, 123 Peano, G. (1858-1932), 122 Picard, C. É. (1856-1941), 78 Pieri, M. (1860-1913), 122 Poincaré, H. (1854-1912), 94 Poncelet, J. V. (1788-1867), 95, 119 Poszeidoniosz (i. e. I. sz.), 6, 7, 13 Proklosz (410-485), 6, 7, 8, 9, 12, 13, 15, 16, 114 Ptolemaiosz (87-165), 7, 8, 74, 117 Püthagorász (i. e. VI. sz.), 113

W Wachter, F. L. (1792-1817), 41, 42, 44, 56 Wallis, J. (1616-1703), 12, 14, 15, 23, 36, 75 Weyl, H. K. H. (1885-1955), 124

Z Zamberti, B. (XVI. sz. eleje), 15 Zénon (495-435), 9 Zolt A. de, 78

112