A geometria professzora Strommer gyula ( )

A geometria professzora Strommer gyula (1920-1995)

e g y e t e m t ö rt é n e t i f ü z e t e k 1f e2015 e f

Egy geometria óra pillanatképei

e 2f

Köszöntjük az Olvasót! Az egyetemek szép hagyománya, hogy panteonjában elhelyezi egykori professzorainak szobrait, s egy-egy jeles fordulón emlékezik életútjuk állomásaira, az adott intézményben betöltött szerepükre. E szellemben emlékeztünk 2015. május 22-én Strommer Gyula professzor munkásságára, születésének 95. és halálának 20. évfordulója alkalmából. Az emlékező konferencia – amelyhez könyvtárunkban egy kiállítás is kapcsolódott -, nem csupán a múlt jeles pillanatait idézte fel. Úgy véljük, akkor élő az emlékezés, ha annak mának szóló üzenete van. Ez a konferencia ilyen volt. Bemutatta a nemzetközi elismertségű tudóst, de az egykori tanítványok tudományt művelő munkássága alapján a Geometria Tanszék oktatást, kutatást szolgáló eredményeit is. A konferencián elhangzott előadásokat adjuk közre e kiadványban, melyek megidézik a legendás professzort, de jól érzékeltetik mai oktatási feladatainkat és eredményeinket, mellyel a holnap mérnökeinek tudását alapozzuk és gazdagítjuk. Köszönet az előadóknak, s mindazoknak, akik hozzájárultak, hogy e kiadvány megjelenhessen, méltó emléket állítva karunk egykori dékánjának, tanszéket alapító professzorának. 2015 nyarán

Dr. Czigány Tibor, dékán

e 1f

Strommer Gyula 1920-1995 Évente megkoszorúzzuk Strommer Gyula szobrát annak az épületnek a bejáratánál, ahol haláláig élt és dolgozott. Ő példa mindannyiunk számára, hogyan lehet a legnehezebb időkben is értékalapú oktatást végezni és egyben a diákokat a jóra nevelni. Strommer Gyula 1920. május 8-án született Nagyenyeden. Ez a város Erdély szívében, Fehér megyében fekszik Gyulafehérvártól mintegy 30 km-re északra, a Maros jobb partján. A város, amelyben született, dicső múlttal rendelkezett, nagyhírű református kollégiumát Bethlen Gábor alapította 1622-ben. Ugyancsak ebből a városból indult ázsiai útjára Körösi Csoma Sándor is. A XX. századi történelem viharfelhőkkel terhes időszaka volt ez. Strommer születését követően alig két hónappal később a Trianonban aláírt békediktátum eredményeként szülővárosát is elcsatolták Magyarországtól. A szellemi gyökerek azonban egy életen át hatottak jellemére és értékrendjére. Egy ember életére a szülőföld és annak történelmi múltja meghatározóak, még akkor is, ha azt el kellett kényszerűségből hagyni. Ha ezek az értékek a családban és tágabb közösségében a haza- és a tisztességbe vetett hitre tanítanak, akkor azok egy életre a lélekbe vésődnek. Hamar elveszti édesapját, édesanyjával a fővárosba költöznek, elhagyják Erdélyt, mint megannyi sorstársuk. 1926-ban már a Budapesti VII. kerületi Mária Terézia téri Községi gyakorló elemi népiskolában kezdi meg tanulmányait. Tudás iránti vágya és kivételes szorgalma már korán megmutatkozik. Természettudományok iránti érdeklődése a reálgimnáziumi évek alatt mélyült el benne. Ezért is jelentkezett 1938-ban gépészmérnöki tanulmányok folytatására a Magyar Királyi József Nádor Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépész- és Vegyészmérnöki Karára. Kivételes tehetsége és széleskörű tudás megszerzése érdekében a műegyetemi tanulmányai mellett már másodéves korában párhuzamosan a Magyar Királyi Pázmány Péter Tudományegyetemen csillagászatot hallgatott. Első tudományos sikere is erre az időszakra esik, az általa „Transsylvania”-nak elnevezett és nemzetközileg is bejegyzett kisbolygó felfedezésével. Ez a névválasztás is a szülőföld iránti tiszteletét fejezte ki. Már a II. világháború dúl szerte Európában, amikor tanulmányainak kitűnő befejezése után 1942-ben a Műegyetem Ábrázoló Geometria Tanszékére kerül tanársegédnek. A szörnyű, embertelen világháború azonban őt is a frontra

e 2f

sodorta, orosz hadifogságba került, de onnan kiszabadulva ismét visszatér a Budapest ostroma alatt súlyosan megrongálódott Műegyetemre, ahol a tanársegédi munkáját folytatja. Életére visszatekintve, sorsa sokakkal osztozott a XX. század történelmének embert próbáló, zavaros eszmékkel terhes világával, amelyben otthonról hozott szilárd erkölcsi értékrendjével minden körülmények között is ember tudott maradni egy embertelen világban. Ez adott példát munkatársainak, diákjainak egyaránt. 1952-ben a Gépészmérnöki Karon szerveződő Ábrázoló Geometria Tanszék vezetője lett, amelyet – később Geometria Tanszék néven – 1986-ig vezetett, majd haláláig a tanszék professzor emeritusa. 1960-ban a matematikai tudományok kandidátusa, 1975-ben doktora. 1972‑ben nevezték ki egyetemi tanárnak és életünk itt kapcsolódik egymásba. Ugyanis ekkor kezdtem meg egyetemi tanulmányaimat a gépészmérnöki karon és hallgathattam Strommer professzor úr előadásait az Aud. Max-ban. Ma is látom magam előtt, ahogy ruganyos léptekkel járt fel-alá a katedrán enyhén előrehajló derékkel, hosszú nyakkendőjét lobogtatva. Szeretett magyarázni, de nem viselte el a lazaságot és az órára későn jövőket. Az őt jellemző precizitás és pontos munkabeosztás mellett érthető volt a felháborodása, saját példáján keresztüli nevelési szándéka. Strommer tudós tanáremberként tanítványainak és munkatársainak mindig rendelkezésre állt és őszinte örömmel támogatta tehetségek kibontakozását. Vizsgáztatásait is az jellemezte, hogy meg akart győződni a diákok térszemléletének fokáról, saját oktatási módszerének sikerességéről. Strommer Gyula az emberek iránt érzett felelősséggel vállalta el a szakszervezet vezetését. Ha nem is volt nagy a mozgástere, mindig megtalálta a módját annak, hogy a felmerülő problémákat orvosolja. Strommer Gyula a Gépészmérnöki Kar dékánja volt 1981-87 között – a borító fotóján a dékáni lánccal látható. Dékánságának idejére esett a Műegyetem távlati fejlesztési tervének kidolgozása. 1984-ben bevezetésre került az angol nyelvű mérnökképzés, ami az angolszász képzési struktúrát alakította a hazai viszonyokra, amely a mintegy 20 évvel későbbi kétciklusú képzés bevezetését hasznos tapasztalatokkal segítette. Strommer Gyula professzor élete és munkássága maradandó nyomot hagyott a Műegyetem történetében. Összesen 53 évet tanított egyetemünkön. Őrizzük meg szeretettel emlékét. Dr. Penninger Antal, decanus emeritus

e3f

Dr. Kőrösi Mária, a Strommer Gyula Nemzetközi Alapítvány alapítója

Az ember, a tanár „Egy Strommer soha nem szegi meg az ígéretét” (Strommer Leó, levéltöredék szüleihez) Valahol a kezdetektől kell elindulni. A szülői házból, a körülményekből, a legszűkebb, a tágabb, az ország, a nemzetünk környezetéből és legbelül, az életekre kiható trianoni döntésekből. Az I. világháború sújtotta Európa, s benne mi magyarok, a mindennapi küzdésekkel birkózva csak sejthettük: újabb tragédia közeleg felénk. Hogy milyen és mekkora – melynek hatását máig is érezzük, azt legfeljebb csak azok a nagyhatalmak gonosz kiagyalói tudták, akik nem nézve, nem értve a magyar történelem és benne népének történelmi múltját, szenvedéseit és akaratát, gátlástalan szervezkedéssel készültek feldarabolni Magyarországot, Közép-Európa legnagyobb területi részét kitöltő történelmi és földrajzi territóriumát. A Strommer család Nagyszebenen éli tősgyökeres erdélyi magyarokként életét. A szigorú családi etikett megszabja Strommer Leó házasodási szándékának minden egyes lépését, amelyet a két fiatal – Strommer Gyula édesapja és édesanyja – egy fiatal gyógyszerész és egy árva, becsületes, tiszta erkölcsű, dolgos leány életüket egymáshoz kötve A családi album pillanatképei szerény körülmények között elindulva igyekszik megalapozni. A házasságból egy fiú gyermek születik, 1920. május 20‑án, Nagyenyeden, Alsó-Fehér megyében, románok által megszállt területen. Az apja 1922-ben – mint oly sok erdélyi, nem tette le a hűségesküt, amelyet a román hatalom a legaljasabb feltételekkel rendelt el. Ha leteszed ezt az esküt, maradhatsz immár román felségterületen, ha nem, el kell hagynod szülőfölded, vagy visszavonulsz hajdani lakhelyedre, vagy kis falvakba, de a román törvényeknek alárendelten. Minderről Strommer Gyula már egészen fiatal korában apai nagyapjától értesül, egész életében magában őrizve, nem feledve családja, s az ő életének további alakulását. Sorsok, és a jövő rendeztettek el.

e4f

Strommer Leó gyönyörűen rajzolt, festett. Mintegy érezvén, hogyha elhagyja szülőföldjét, oda soha többé vissza nem tér, festette és rajzolta Erdély gyönyörűséges hegyeit, tájait. Nagyenyed ligeteit, fáit, az építészek által megálmodott gyönyörű polgári épületeit, e tárgyi hírmondókat. Az édesapa rendkívüli tehetségéből nyilván bőven átadott gyermekének, aki maga is szeretett rajzolni, de az olvasás, a könyvek szeretete, s a klasszikus zene egész életének kísérőivé váltak. Istenem, a könyvek! Megható az a jegyzetfüzet, amelyben első önálló könyvtárának példányait rendszerezi, majd nyugdíjazásának szinte másnapján – de hisz már készült erre – önmaga könyvtára használatának úgymond utasításait írja meg kézírással 1988ban. De sokat is nézegette édesapja rajzait, s olvasta a hátrahagyott naplót, és leveleket. Idős korában egyre többször idézte fel így az általa gyerekként soha meg nem tapasztalt szülővárost, környezetét, a történteket. Mert a családnak el kellett hagynia Nagyenyedet és a család osztrák ágához költöztek Ausztriába, ahonnan alig két esztendő elmúltával Budapestre jöttek. Strommer Gyula születési évében, 1920-ban, Trianon miatti fájdalmában így írt Karinthy Frigyes „Levél” c. írásában, amelyet egészen apró, még írni – olvasni nem tudó kisfiához írt, és amelyet Strommer Leó is írhatott volna az ő kisfiához: „most ezen a furcsa nyáron, mely úgy hat rám, mint borzongató, kényelmetlen ébredés egy tarka és bolondos álom után, először válik tudatossá bennem, hogy egész életemben kerültem ezt a szót, íme erőlködöm, és nem tudom kimondani most sem. Megpróbálom kimondani, mi az, amit érzek, akkor nem kell kimondani, ugye? De nem mondtam ki ezt a szót soha. Most már nem is tudom kimondani, csak ennyit: fáj, ami nincs. Ha azt hallod majd: Kolozsvár, Erdély Kárpátok, fogod tudni, mire gondoltam…” Strommer Gyulának később imádott nagyapja folytatta e felsorolást: Brassó, Nagyenyed… s a többi elcsatolt nagy városaik, majd

e 5f

nevek: elsőnek mindjárt Bolyai Farkas, Bolyai János, Kőrösi Csoma Sándor. Strommer professzor édesapja korán meghalt (1923), így további neveltetéséről édesapja testvéröccse, Dr. Strommer György gondoskodott, aki 1937-ben bekövetkezett haláláig a Központi Statisztikai Hivatal alkalmazásában állt. Innentől kezdve hadiözvegy édesanyjára hárul neveltetése, iskoláztatása, aki nagyon nagy figyelmet szentelt a cseperedő fiának, és természetesen ott áll a háttérben a fiatal fiú érdeklődését oly finoman terelgető nagyapa. Strommer professzor már igen fiatalon megérti és felméri anyagi helyzetüket, s hogy a tandíjon valamicskét megtakaríthassanak, az első elemitől át a középiskolai tanulmányokon, végig az egyetemen, jeles, kitűnő eredményekkel végez. A fiatal Strommer Gyula úgymond férfi-modellje – a sok nőrokon mellett – természetesen nagyapja, aki nemcsak a magyar történelem tanítását, az édesapja szakmai tudását, szakmai műszereinek megőrzését bízta unokájára, de a fényképezés csodavilágába is bevezette. Van is olyan fényképészeti szakmai könyvgyűjteménye, hogy azt egy e témájú múzeum biztosan megirigyelhetné. És elkezdődött a tájak, az épületek, fényképezése, vendéghallgatói indexszel matematikát és csillagászatot hallgatott a tudományegyetemen, s számára természetes volt, hogy csillagászati megfigyeléseit is folytatta a Svábhegyi Csillagdában, ahol két évig lakott is. Felfedezett több kisbolygót is. Szakmai biztonságot, s megbecsülést azonban Romsauer Lajos professzor, még 1942-ben adott ajánlata jelentette – aki akkor a tanszék vezetője volt -, hogy mint kisegítő tanársegéd, mellette dolgozhat. Egyetemi tanulmányainak költségeit édesanyja szűkös jövedelméből fedezni nem tudták, így tanulmányai mellett már 1939-ben alkalmazást vállalt, előbb a Fűtőtechnikai Kft-nél, majd egy testvérpár által működtetett műszaki cégnél, majd a Csonka Gépgyárban, és végül ismét a testvérpárnál.

e6f

1942. szeptember 1-én került a Műszaki Egyetem Ábrázoló Geometria Tanszékére, mint kisegítő tanársegéd. Innen vonult be tényleges katonai szolgálatra 1943. október 1-én a 2. tábori tüzér-osztályhoz. 1944-ben részt vett a Keleti Kárpátokban lefolyt hadműveletekben, 1945 kora tavaszán Kislángnál orosz hadifogságba esett, ahonnan csodával határos módon, 1945-ben hazajutott. Budapesten 1945. szeptember 25-én szerelt le, mint tartalékos szakaszvezető. Így visszatérhetett a Műegyetem Ábrázoló Tanszékre. 1945-1947 között a Magyar Postánál volt állásban, e minőségben a Budapesti Központi, Vonalfelügyelet és Távkábel Erősítő állomás vezetője volt. Ettől az állástól 1949. május 1-én adjunktussá történő kinevezése miatt vált meg. 1947-ben megnősült, felesége Oltvay Aranka. Házasságukból nem született gyermek. 1951. május 15-én intézeti tanárrá nevezték ki és 1952-ben megbízást kapott a Gépészmérnöki Karon létesített Ábrázoló Geometria Tanszék megszervezésére és vezetésére. Egész figyelmével, lényével, az egyetemi, tanszéki feladatai felé fordul. S talán ekkor még maga sem tudja megfogalmazni a tengernyi munka súlya alatt, hogy igazi családja, de gyermeke is, az élete: az egyetem. Ez az időszak volt a tanszék és az ő életében az ún. hőskorszak. Ekkor 2400 hallgatója volt a Karnak, összesen 3 asszisztens, a gyakorlatokat vezető bejárókkal és felsőbb éves hallgatókkal (2 fő!) A heti óraszám ekkor 27-28 óra volt, és felszerelés semmi. Nagyon nehéz időszak volt ez, ahogy szokta volt mondani „baromi munkával, erőfeszítéssel” 1956-ra sikerült a tanszék felszereltségét, személyi ellátottságát és az oktatást megoldani. Ekkor szerződik tankönyv megírására, és előkészíti kandidátusi disszertációját. Kevesen tudják, hogy 1955-ben a Hadmérnöki Karon egy mérnöki igényeknek megfelelő, azt fejleszteni hivatott csillagászati oktatást akartak bevezetni. A már korábban felsorolt munkái mellett ezt is neki kellett volna megszervezni. Ám e szervezőmunka kellős közepén, amikor már tematikát készített, jelentős műszereket is beszerzett, leállították az egész folyamatot. A számára valaha oly kedves csillagászat, a csillagok, a kisbolygók fürkészése, ekkortól teljesen megszűnt.

e 7f

Soha többé nem foglalkozott csillagászattal, de érdeklődése természetesen nem szűnt meg, amit a csillagászattal kapcsolatos páratlan könyvgyűjteménye is jelez. A hátrahagyott és rendszerezett tanszéki dokumentáció, valamint egyetemi munkásságának, tudományos szervezetekhez, hazai és külföldi tudományos konferenciák aktív résztvevőjének, szakmai kapcsolatainak, szerteágazó levelezéseinek a semmi mással meg nem osztható/osztandó élete volt a garancia: AZ EGYETEM. 1953-54 között a Gépészmérnöki Kar Szakszervezeti Bizottságának elnöke, majd a Kar dékánhelyettese. (1953-ban a Felsőoktatás kiváló dolgozója kitüntető címet és 1954-ben Munka Érdemrendet kapott.) 1954-55-ben egy ideig a dékáni feladatokat is el kellett látnia. Ez egy igen tanulságos eset miatt történt. Az akkori Országos Testnevelési és Sportbizottság elnökhelyettese, Sebes Gusztáv fiát Gruber József – az akkori dékán – indokoltan négy félévre ki akarta zárni, amit nem fogadtak el és nem engedték. Erre Gruber professzor, mert karakán ember volt, lemondott, s ettől kezdve be sem tette a lábát a dékáni hivatalba. De a Gépészmérnöki Kar nem maradhatott dékán nélkül. Strommer professzor soha nem törekedett közszereplésre. Talán kevesen tudják, amikor 1956 decemberében egyhangúlag ismételten dékánhelyettessé választották volna, a Minisztérium azt nem hagyta jóvá, és az egyetemen pedig néhányan éreztették vele, hogy nincsenek igazán megelégedve a politikai hozzáállásával. Strommer professzor karizmatikus egyéniség, sőt jelenség volt!

e8f

Diákjai kitüntetett figyelemmel idézték „jelesebb mondásait”, miközben példaképpé is vált. Pethes Endre docens úr, Strommer professzor elmaradhatatlan, jeles munkatársa máig szívet-lelket melengető portréival, humoros rajzaival külön emléket állított a karizmatikus tanárnak, azaz a Tanárnak, az Embernek! A BME H épület II. emeletén, a hőskort őrző-védő szobája méltóságot adott az oda belépőnek. Ő válogatta, vette meg a berendezéseket, megfestette Bolyai arcképét, tapintattal rendezte be ezt az alkotó fogadó műhelyét. Az immár emeritus professzor, közeledve nyugdíjaztatására a legnagyobb tapintattal tanszéke minden munkatársára, egy igen kis, aprócska szobácskát rendezett be magának. „Az egyetem engem már így is az emberi élet legvégső határáig megtartott” – hangozatta olykor, „de útjába állni senkinek nem kívánok, s örvendek, hogy a kollégák sem veszik jelenlétemet ellenőrző kedvtelésemnek ... s mert egy igazán nagy könyvtár is a rendelkezésemre áll itt, így az otthon megkezdett néhány szakmai probléma megoldását itt folytathatom.” Ebben az időben legkedvesebb időtöltése könyveinek újbóli rendszerezése volt. Pszichikailag azonban nagyon nehezen tudta magát túltenni azon az érzésen, amit így fogalmazott meg, hogy „fölöslegessé váltam”. Kezdődő betegsége is egyre súlyosabbá vált, de minden időt felhasznált, hogy szakmai élete minden addigi rangos munkája fölé ún. szakmai korona kerüljön. Ennek érdekében éjszakákon át dolgozott. Életének szinte utolsó néhány hónapjában megtalálta a megoldást, s most már a kivitelezésen dolgozott, felvállalva ezen szakmai problémával való küzdését, az egyre súlyosbodó fizikai fájdalmaival. Megoldotta a 257 szög szerkesztését, matematikai levezetését, ami nagy boldogsággal töltötte el. A győző érzete még adott egy kevés időt számára, hogy ezt az örömét valóban a győztes örömével élje át, de a gyógyíthatatlan betegség őt magát győzte le.

e9f

Tanszéki munkatársak között 2001-ben Lelkes Péter, Strommer professzor egy korábbi hallgatója, évfolyamtalálkozóra írt versében írta: Csak várnak ránk csendben odaát, Mert a névsor egyre fogy, ki tudja még Ki volt Heller, Gillemot, Kokits Fűzy, Zana, Pethes valaha rég. Ismerte Jáki tanár urat, A Strommer teát szombat délután,

És a Bercsényi úti menzát, Hová vén kamaszként futott sután, Egy korszak végleg lezárult. Egy korosztály, egy évfolyam voltunk, Írjatok igaz szót, emlékeket, Hogy mérföldkő legyen a mi sorsunk…

Legyen emléke erőt adó további munkákban!

Köszönetet mondunk Dr. Kőrösi Máriának a családi fotók és tárgyi emlékek rendelkezésre bocsátásáért.

e 10 f

A „csapat” akikre mindig büszke volt

„Ifjú szívekben élek”

e 11 f

Dr. G. Horváth Ákos, a BME Geometria Tanszék vezetője

A BME Természettudományi Kar Matematikai Intézet Geometria Tanszéke 2015-ben A távoli múlt Kedves kollégám és barátom Vermes Imre A Budapesti Műszaki Egyetem Gépészmérnöki Kar Geometria Tanszékének története c. dolgozatát1 a következő mondattal kezdi: A jelenlegi Műegyetem kevés tanszéke van abban a kitüntető helyzetben, hogy nevében viselheti az egyetem jogelődjének, az 1782. évben a budai királyi egyetem keretében II. József okiratával a mérnökképzés céljaira megalapított Institutum Geometricum (pontos nevén Institutum GeometricoHidrotechnicum) titulusát. A geometria oktatásának több mint 200 éves öröksége arra kötelez, hogy én is szót ejtsek az egyetemi geometria oktatás történetéről és megemlítsem azon ikonikus alakokat, akik sorába Strommer Gyula professzor Úr oly természetességgel lépett be. Lapozgatva a történeti leírásokat a következő fordulópontok emelkednek ki a múlt ködéből: • 1782: II. József okiratával az Institutum Geometrico-Hidrotechnicum alapítása • 1846: Megalakul a Császári és királyi József-nádor Ipartanoda (elindul az ábrázoló geometria oktatása) • 1849: Az Ipartanoda és az Institutum Geometricum egyesül egy Politechnicum keretében (az Ábrázoló Geometria c. tárgy előadója Vész János Ármin). • 1867/68 tanév: A gépészmérnöki szakosztályon megalapítják az Ábrázoló Geometria Tanszéket (alapítja és irányítja haláláig Fölser István). • 1870: A Polytechnikumot Egyetemmé szervezik, 1871-től van az első két évfolyamon ábrázoló geometria oktatás. • 1889: Az Építészmérnöki szakosztályon megalapítják a Műegyetem második Ábrázoló Geometria Tanszékét (Tőtössy Béla vezetése és irányítása alatt). • 1905: Megszűnik az első Ábrázoló Tanszék, közel ötven éven keresztül a másik tanszék látja el az ábrázoló geometriai oktatást (előbb Romsauer Lajos majd Zigány Ferenc irányítása alatt). 1 http://www.math.bme.hu/~szirmai/tansztor.htm

e 12 f

• 1949: A Villamosmérnöki Kar kiválik a Gépészmérnöki Kar B-tagozatából, a hallgatói létszám hihetetlenül felemelkedik, ezért a Gépészmérnöki Kar elhatározza egy saját szervezetében működő Ábrázoló Geometria Tanszék felállítását (újraindítását). Dr. Strommer Gyula egyetemi docenst kérik fel erre a feladatra, a Géprajz Tanszék tanszékcsoportjaként, mely az Oktatási Minisztérium 1952. augusztus 8-án kelt rendeletével önálló tanszékként, 1952. szeptember 1-én kezdi el működését. A Gépészmérnök Kar Ábrázoló Geometria Tanszék A tanszéki oktatószemélyzet: A tanszékvezető Strommer Gyula egyetemi docens, a beosztottak Pollini Rudolf, Korecz Lászlóné és Pethes Endre tanársegédek és megfelelő számú demonstrátor Strommer Gyula közvetlen irányítása alatt. 1953-ban a tanszék jelentősen bővül, rövidebb ideig dolgozik itt Németh Ferenc és Katona Kiss Ferenc. Ugyanakkor három Eötvös kollégistával bővül az állomány, akik hosszan kitartottak a tanszék mellett: Zana Istvánnal, Schopp Jánossal és Erdősi Józseffel. Ebben az évben csatlakozik Hável György is, akivel e sorok írója is dolgozott még együtt. 1956-ban bővül a tanszék Szenthe Jánossal, aki először 1956-1968-ig majd 1973-1990-ig tanít tanszékünkön. 1963-ban csatlakozik Vermes Imre, aki több mint 10 éven keresztül a tanszéki oktatói közösség Benjáminja. 1970-től dolgozik nálunk Reiman István, 1974-ben érkezik Nagyné Szilvási Márta és Molnár-Sáska Gábor, végül 1977-ben nyer felvételt Ledneczky Pál. Ahogy Vermes Imre megjegyzi: „A hetvenes években további oktatási igények születtek a tanszékkel szemben, amelyek az egyes tanszékek tanterveinek összehangolásából eredtek. Ennek következtében az 1973/74-es tanévtől kezdődően az Ábrázoló Geometria Tanszék oktatta a vektorszámítást és a reá épülő analitikus geometriai ismereteket is, továbbá az 1975/76-os tanévtől kezdődően a görbék és felületek differenciálgeometriája témaköröket is. Ez a profilbővülés minden tekintetben igen szerencsésnek mondható, mert a hallgatóságot egy tantárgyon belül lehetett megtanítani a geometriai feladatok szerkesztési és számolási megoldási módjaira. ... A hetvenes években alakult matematikus-mérnök szak geometriai tárgyait szintén az Ábrázoló Geometria Tanszék oktatta. A tanszék profil-bővülése tette indokolttá, hogy az egyetem rektorának előterjesztése alapján az Ábrázoló Geometria Tanszék nevét az Oktatási Minisztérium No.27009/1978.VII. számú 1979. január 9-én kelt rendeletével Geometria Tanszékre változtatták.”

e 13 f

A Geometria Tanszék Vermes Imre szavaival: „A névváltoztatást a tanszék tudományos megítélése is megerősítette. A Magyar Tudományos Akadémia abban az időben még időszakosan felülvizsgálta az osztályaihoz tartozó kutatóhelyeket, így a Geometria Tanszéket is. Az utolsó ilyen felülvizsgálat még Dr. Strommer Gyula tanszékvezetői megbízatásának idejére esett, és a felülvizsgálat megállapítása szerint a tanszék mindazon tudományos és oktatási feltételeknek magas színvonalon eleget tesz, amelyek egy tudományegyetemi geometria tanszéktől elvárhatók.” A tanszék 80-as években való fejlesztésének kettős célja volt, magas szintű korrekt oktatás mellett fenn kellett tartani, sőt erősíteni kellett a kutatási teljesítményeket. Olyan fiatal kollégákat kellett alkalmazni, akik a magas szintű oktatás mellett elhivatottságot éreztek a kutatási tevékenység irányában is. Strommer Professzor Úr ezt a követelményt felismerve olyan alapokat fektetett le, mely a tanszék fejlődését e téren évtizedekre meghatározta. A Geometria Tanszéket az 1985-1986-os tanév végéig vezette. Ez idő alatt és azt követően emeritus professzorként is folyamatosan érdeklődött és támogatta kollégái kutatási tevékenységét, azokhoz megfelelő önállóságot engedve. Nem a témákat, hanem a teljesítményeket értékelte, tudván, hogy a kutatási „fősodorhoz tartozó témák” megítélése milyen könnyen változhat az évszázadok múlásával. Ezen sorok szerzője (G. Horváth Ákos) 1984-ben frissen végzett matematikusként került a Gépészkari Geometria Tanszékre, úgy, hogy azelőtt soha nem tanult Ábrázoló Geometriát (mely a tanszék oktatási profiljának 80%-át adta) kutatási területe (OTDK dolgozatai és szakdolgozati témája egyaránt a rácsgeometria témaköréhez tartoztak) nem illeszkedett a tanszéken meglévő kutatási területek egyikéhez sem. Felajánlotta a lehetséges témákat és a megfelelő témavezetéseket, de semmilyen formában nem erőltette az ezekhez való csatlakozást. Természetesnek tekintette ugyanakkor, hogy biztosítsa a lehetőségét a szakmai szempontból fontos rendezvényeken való részvételhez, a föld alól is előteremtette a konferenciákhoz szükséges anyagi támogatásokat. A kollégái tudományos sikereinek jobban örült, mint a sajátjainak. Vezetési kvalitásait a Gépészkar sem tudta nélkülözni, két cikluson át (1980-1981 tanévtől az 1986-1987-es tanévig) volt a Gépészmérnöki Kar dékánja. Strommer professzor tanszékvezetésének utolsó fejlesztéseként Verhóczki László került a tanszékre 1985-ben. A Geometria tanszék életében Strommer professzor úr leköszönése a tanszékvezetésről nem hozott jelentős változást, a lefektetett kollegiális alapok oly

e 14 f

A tanszék 30 éves jubileumán készült fénykép: Elöl: Szenthe János, Strommer Gyula, Reiman István; középen: Hável György, Kovács Mónika, Vadas Istvánné, Csóti Mihályné, Korecz Lászlóné, Pethes Endre, Ledneczky Pál; felül: Vermes Imre, Molnár-Sáska Gábor. szilárdak, a kialakított oktatási profilok oly letisztultak és személyre szabottak voltak, hogy mégoly jelentős hatások sem tudták megingatni a barátságos légkört. Az 1986-1987-es tanévtől Reiman István2 vette át a tanszék vezetését. Reiman István több matematikus generációt nevelt fel, fiatal (még ELTE-s) oktató korától kezdve vezette a matematikai diákolimpiákra való felkészítést. A tanszék oktatási profilját egy új színfolttal gazdagította, először ő tartott matematikatörténeti előadásokat egyetemünkön, melyek népszerűsége mindig töretlen volt. 1988-ban lép be a tanszékre Prok István és Ifj. Böröczky Károly, aki csak 1 évig tanít egyetemünkön. 1990-ben Szenthe János átmegy az ELTE Geometria tanszékére, Molnár Emil pedig onnan átjön a Gépészmérnöki Kar Geometria tanszékére. Az 1991-1992-es tanév végén Reiman Istvánt Molnár Emil váltja a tanszékvezetői székben. Ugyancsak 1992-ben lép be Szirmai Jenő. Strommer professzor úr az általa annyira szeretett építőmérnök ábrázoló geometria tárgy utolsó elő2 http://hu.wikipedia.org/wiki/Reiman_István

e 15 f

adását az 1994-1995 tanév őszén tartja. Majd, ahogy korábban a Gépészkari előadást átadta Reiman Istvánnak (aki ezt Molnár Emilre hagyományozta); ezt az előadást átadja Vermes Imrének. Ezen időszak számos változást hozott, melyek közül a legmeghatározóbb az akkori Természet- és Társadalomtudományi Karon egy Matematikai Intézet szerveződése volt 1996-ban. Ennek keretében öt tanszék jött létre szakmai alapon szerveződve, névváltoztatásra csak a Geometria Tanszék esetében nem volt szükség. Bevezetik a kreditrendszert, szétválik két karra a TTTK, létrejön a Gazdaságés Társadalomtuidományi Kar és a Természettudományi Kar. Ezen utóbbihoz tartozik a Matematikai Intézeten keresztül a Geometria Tanszék. Később beindul a BSc-MSc rendszer, mely által keletkező nehézségeket itt most nem tárgyaljuk. A „minőségbiztosításra”, „hallgatói véleményezésre” épülő egyetemi mikrovilág szinte lehetetlenné teszi a jó oktatásra vonatkozó Strommer-i gondolat megvalósítását: „Nem elég korrekten tanítani; a tanítványokat bölcsen szeretni is kell, de ezt akkor ők lehetőleg ne nagyon vegyék észre.” Mindenesetre oktatói közösségünk megpróbálta a kialakult értékeket óvni, fenntartani és az utókorra hagyományozni. A személyi változásokra visszatérve, 1997-ben bővülünk Bölcskey Attilával, aki 2005-ig marad tanszékünk dolgozója. Megjelenik a matematikai-fizika, differenciáltopológia területek képviselete 2002ben, Szenes Andrással. Koós Krisztiánné Szilágyi Brigitta is ebben az évben csatlakozik hozzánk. 2003-ban Etesi Gábor felvételével a matematikai-fizika témakör erősödik. 2007-ben – 15 év elteltével, korhatár elérés okán – szükségessé vált a tanszékvezető váltás. G. Horváth Ákos (e sorok írója) vette át a BME TTK Matematikai Intézet Geometria Tanszékének az irányítását. 2008-ban vesszük fel Szabó Szilárdot, Lángi Zsoltot és Halmschlager Andreát. Béla Szilvia és Révész Szilárd György 2011-ben kerül hozzánk. 2013-ban Horváth Márton, 2014-ben Vrana Péter erősíti tanszékünket. A Geometria Tanszékre belépő oktató kollégák számbevétele után a krónikás szeretne megemlékezni azon kollégáiról, akikkel közösen még dolgozott, de ezt

e 16 f

a beszámolót sajnos már nem olvashatják. Szeretettel gondolok vissza Hável Gyuri (1929-2001) és Pethes Bandi (1922-2005) bátyám kemény, de igazságos számonkéréseire, Gyuri precizitására és Bandi bátyám mindenkit megnevettető természetes humorára. Feledhetetlen Vermes Imre (1940-2002) és Reiman István (1927-2012) mentoraim humános, a hallgató emberi szempontjait mindig figyelembe vevő oktatása, és az a sok őszinte beszélgetés, mely az igazi értékek felismerésére ösztönzött egy fiatal, kutató-oktatót. Soha nem fogom feledni Strommer professzor úr kedves megszólítását, mellyel ki is fejezte „kaporszakállú kedvenc fiának” azt, amit az amúgy is érzett, a törődő önzetlen szeretetét. A tanszék velük és általuk sokkal több volt, mint egyszerű munkahely. Egyetlen tanszék sem működhet megfelelően alkalmas nem oktató-kutató személyzet nélkül. Professzor úr hagyatéka az is, hogy e munkatársakat elővigyázatossággal és nagyon magas követelményrendszernek megfelelően kell választani. A mindenkori vezetés erre ügyelve járt el, így a tanszék munkáját segítő kollégákról csak a legnagyobb elismerés hangján lehet szólni. 1984-től rendre kollégáink voltak: Csóti Mihályné (kézbesítő), Kovács Mónika (tanszéki rajzoló), Vadas Istvánné Somogyvári Erzsébet (adminisztrátor), Izay Lászlóné (adminisztrátor), Hegedűsné Farkas Mária (adminisztrátor), Simon Rita (adminisztrátor). A Geometria Tanszék aktív személyi állománya 2015-ben: Tanszékvezető: G. Horváth Ákos tanszékvezető egyetemi docens (CSc, PhD) Egyetemi tanárok: Révész Szilárd György (DSc, habil.) Docensek: Etesi Gábor (PhD) Koós Krisztiánné Szilágyi Brigitta (PhD) Lángi Zsolt (PhD)

Prok István (PhD) Szirmai Jenő (PhD) Adjunktusok: Béla Szilvia (PhD) Horváth Márton (PhD) Vrana Péter (PhD) Tanársegédek: Halmschlager Andrea Adminisztrátor: Simon Rita

A tanszéki állomány munkáját segíti jelenleg 4 PhD hallgató (Csima Géza, Ivanics Péter, Kozma Robert Thijs és Schultz Benedek), nyugdíjas kollégáink (Molnár Emil, Nagyné Szilvási Márta) és rendszeres óraadóként volt kollégá­ink (Bölcskey Attila, Molnár-Sáska Gábor, Ledneczky Pál).

e 17 f

Oktatási tevékenység a Geometria Tanszéken napjainkban A következő diagram szemlélteti tanszékünk oktatási beágyazódását egyetemünkön. Mint látható, alapvetően négy kar matematika és geometria oktatását végezzük, remélhetőleg a karok megelégedésére. Volt anyakarunk, a Gépészmérnöki Kar adja továbbra is feladataink zömét. Az egységes alap matematika oktatást itt három szakirányon végezzük, energetikusokat, mechatronikusokat és terméktervezőket tanítunk. Emellett oktatjuk az Ábrázoló geometria tárgyat a teljes gépészkari hallgatóság számára. A terméktervező hallgatókat MSc szinten is mi tanítjuk matematikából. A Vegyészmérnöki és Biomérnöki karon a biomérnök hallgatók oktatásáért, a Gazdaság- és Társadalomtudományi Karon a menedzser hallgatók oktatásáért felelünk. Fontos feladatunk a geometriához köthető tárgyak tanítása saját matematikus hallgatóink számára a Természettudományi Karon. Az oktatási színvonalunk jellemzésére három dolgot emelnék ki: Prok István kollégánk a jelenlegi oktatási dékánhelyettes a karunkon, Szilágyi Brigitta kollégánk és V. Nagy Éva tanárnő a Differenciálegyenletek Tanszékről kezdeményezték és valósították meg az egységes műegyetemi tehetséggondozást matematikából, mellyel számos szép sikert ért el egyetemünk. A félévenként elvégzett hallgatói vélemények alapján összeállított 100 oktatót tartalmazó népszerűségi listán több oktatónk is rendszeresen megjelenik, ketten közülük Szirmai Jenő és Lángi Zsolt minden félévben felkerül, Szirmai Jenő ezt a versenyt több ízben meg is nyerte. Kutatási tevékenységünk Jelen pillanatban egyetlen oktató kollégánk nem rendelkezik csak PhD fokozattal. Azaz tanszékünkön mindenki kutat, aki oktat. A fő kutatási irányainkat és az azokat aktívan kutató kollégáinkat az alábbi felsorolás tartalmazza. • Differenciál-, integrál-, algebrai geometria, valamint klasszikus és kvantum geometriai problémák a Yang-Mills és általános relativitáselméletben: Etesi Gábor, Horváth Márton, Szabó Szilárd, Vrana Péter • Diszkrét, konvex és kombinatorikus geometria: G. Horváth Ákos, Lángi Zsolt, Prok István, Szirmai Jenő • Klasszikus nem-Eukleidészi geometriák, Minkowski és Finsler, valamint homogén geometriák, a funkcionálanalízis geometriai alkalmazásai: G. Horváth Ákos, Koós Krisztiánné Szilágyi Brigitta, Lángi Zsolt, Révész Szilárd György, Szirmai Jenő • Számítógépi geometria: Béla Szilvia, Prok István

e 18 f

Kutatásunk, ugyanúgy, mint oktatásunk, több lábon áll. Az eredményességéről egy olyan lista adhat felvilágosítást, melyben az elmúlt 10 évben megjelent cikkeink fogadó újságjait soroljuk fel, ez az említett témakörök vezető folyóiratait ugyanúgy tartalmazza, mint egyetemek és főiskolák periodikáit. Mottónk: Az emberi kultúra része a tudomány, a tudomány része a matematika, a matematika része a geometria, de a geometria áthatja az emberi kultúrát, annak minden részletében jelen van.

A derű pillanatai

A tanszéken

Egyetemi vezetők között

e 19 f

Ahol publikáltunk az elmúlt 10 évben: Acta Mathematica Hungarica, Aequationes Mathematicae, Beitraege zur Algebra und Geometrie, Communications in Mathematical Physics, Differential Geometry and Applications, European Journal of Combinatorics, Extracta Mathematicae, Geometriae Dedicata, Indagationes Mathematicae, Journal of Differential Geometry, JoJJournal of Geometry, Journal of Geometry and Physics, Journal of Mathematics and Physics, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, Journal of Topology, Kragujevac Journal of Mathematics, KoG, Inform. J. of Croatian Soc. Of Constructive Geometry and Computer Graphics, Lecture notes in Computer Science. Linear Algebra and its Applications, Linear and Multilinear Algebra, Matematikai lapok, Monatshefte für Mathematik, New Journal of Physics, Note di Matematica, Physical Letters  B, Physical Review A, Physical Review B, Physical Review D, Publicationes Mathematicae Debrecen, Reliable Computing Journal, Rendiconti dell‘Istituto di Mat. dell‘Univ. di Trieste, Studies of the University of Zilina, Symmetry: Culture and Sience. Irodalom: Végezetül szeretném felhívni a figyelmet a tanszékünkről készült, ez idáig megjelent vagy interneten elérhető forrásokra azok keletkezésének időrendbeli sorrendjében: 1. A Budapesti Műszaki Egyetem Gépészmérnöki Karának centenáriumi emlékkönyve 1871-1971. Budapest, 1971. 2. Strommer Gyula: Der Lehrstuhl für Darstellende Geometrie der Fakultt für Maschienenbau der Technischen Universitt zu Budapest. Per. Poly. Mech. Eng. 21/2 (1977) 65—80. 3. Vermes Imre: History of the Department of Geometry between Anniversaries 25 and 40. Per. Poly. Mech. Eng.. 36 /3-4 (1992) 165—170. 4. G. Horváth Ákos: Scientific activity of the staff of the department of Geometry 1977 to 1992. Per. Poly. Mech. Eng.. 36 /3-4 (1992) 171—179 5. Vermes Imre: A Budapesti Műszaki Egyetem Gépészmérnöki Kar Geometria Tanszékének története 1996. 6. G. Horváth Ákos, Molnár Emil: A brief history of the Department of Geometry between Anniversaries 40 and 50. Per. Poly. Mech. Eng.. 44/1 (2003) 7—14.

e 20 f

Strommer Gyula tudományos munkássága és hatása Dr. Molnár Emil egyetemi tanár BME Matematika Intézet, Geometria Tanszék Bevezetés. Ebben az ünnepi előadásban felidézzük Strommer professzor úr tudományos munkásságát, főleg 1974-ben írt akadémiai doktori értekezése: A párhuzamosok axiómájától független geometriai szerkesztések elméletéhez alapján. 1 E sorok írója éppen 1974-ben lett Strommer professzor tudományos aspiránsa a „tükrözés geometria” témájában korábbi mentora, Kárteszi Ferenc (1907-1989) professzor javaslatára. Bolyai János alakja és csodálatos felfedezése, az abszolút geometria vonzott engem akkor (és azóta is) a nemeuklideszi geometriák témájához, akkor még szinte „hályogkovács” módjára. Strommer professzor - mint a Bolyaiak földjének, Erdélynek szülöttje már régen művelte a témát, ismerte annak gazdag nemzetközi irodalmát. Azóta is követendő példának tartom tanítványaim felé, hogy nem kívánta meg tőlem az előzmények „kásahegyének” átrágását. Hagyta, hogy bátran nyúljak új témámhoz, a tükrözés-geometriára alapozandó általános „körgeometriához”. Pedig ebben már neki is voltak tervei, sőt lényeges felfedezései, mint ahogy az később kiderült. Kicsit szerénytelenül erről is szólni fogok, mert még nyitott kérdések is maradtak a témában az érdeklődő fiatalabb kollégák számára. Itt kevesebb képet idézek fel előadásomból, de mindenképpen ide kívánkozik az 1. dia, Salca Mária találó rajza a Műegyetem humoros újságjából, a Vicinális Dugóhúzóból. A nyakkendő „tart a ∞ végtelenbe”, ahol a párhuzamosok találkoznak (mint Gyula bátyánk előadásaiban). Pethes Endre (Bandi bácsi (19222005)) kollégánk mindig csak attól tartott, hogy ez a ∞ a „leveses tányér alját” jelenti. 1 További publikációi és életrajza a Strommer Gyula Nemzetközi Geometria Alapítvány honlapján jelenleg magyar nyelven megtalálhatók, http: //www.math.bme.hu/~szirmai/strommer. html

e 21 f

1 A Bolyai kultusz és a geometria alapjai. Az első Magyar Matematika Kongresszuson (1950) Friedrich Bachmann (1909-1982), akkor már világhírű német geométer meghallgatta Strommer Gyula előadását és ezután rendszeresen meghívta konferenciákra. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff (1959, második bővített kiadás: 1973; A geometria megalapozása a tükrözésfogalom segítségével) könyve a magyar geométerekre (Kárteszi Ferenc, Szász Pál (1901-1978) és a fiatalabb generáció) is nagy hatást gyakorolt, később nekem is „bibliám” lett. A könyv lényeges újítása egy G. Thomsen (1932) dolgozatából származó ötleten alapult: Az egyenesre és a pontra vonatkozó tükrözés elemi tulajdonságai alapján, továbbá például, hogy a sík bármely egybevágósága legfeljebb három egyenestükrözés szorzata (egymásutánja), a síkgeometria alapvető tényei az egybevágóság-csoportban (algebrailag) is megfogalmazhatók. (Ez módszerében hasonlít R. Descartes koordináta-geometriájához.) Mindezt nagyon szépen ki is fejti a könyv, mindjárt az elején megjegyezve, hogy az egyenesek metszéséről szóló euklideszi párhuzamossági axiómát nem követeljük meg. A felépítés ettől független (Bolyai János kifejezésével: abszolút érvényű). Tehát például, a háromszög szögösszege nem feltétlenül 180°, mint a hagyományos euklideszi geometriában. Lehet kisebb, mint a BolyaiLobacsevszkij-féle hiperbolikus geometriában. De lehet nagyobb is, mint a gömbi geometriában, vagy - most inkább a belőle (a szemközti gömbi pontok logikai azonosításával) származtatott - elliptikus geometriában. 2 Az Értekezés. No, Strommer Gyula nem ezen a nyelvezeten, hanem David Hilbert, német klasszikus Grundlagen der Geometrie (első kiadása 1899) munkája alapján dolgozik, visszanyúlva az euklideszi vonalzós-körzős szerkesztésekhez, de a párhuzamossági axiómától függetlenül. Sőt a két szerkesztő eszközt korlátozottan használja. A Mohr-Mascheroni szerkesztések az euklideszi síkon csak a körzőt engedik meg (1672, illetve 1797). G. Mohr volt az „első dán Euklidesz” (Euclides Danicus). L. Mascheroni, olasz matematikus munkáját Napoleon is ismerte. Napoleon híres feladata - szerkesztendő adott három ponton áthaladó kör középpontja csupán körző alkalmazásával - a francia akadémia tagjait, így Laplace-t is „elbűvölte” a megoldással. Az a tétel, hogy bármely vonalzóval-körzővel véges sok lépésben megoldható feladat csak körzővel is megoldható az abszolút síkon - Strommer professzor jelentős eredménye az értekezés második részében. Sőt, adott (0 < r < R) korlátú

e 22 f

c körzőnyílást is megenged (r ≤ c ≤ R) - K. Yanagihara japán matematikus euklideszi eredményének (1931) általánosításaként. Mindezt nagyon szerényen Johann Hjelmslev, „a második dán Euklidesz” törekvései kifejtésének tekinti, ahogy értekezésének bevezetésében, a 2-3. diákon láthatjuk. Itt „veretes magyar nyelven”, a régiek stílusában összefoglalja eredményeit. Nála mindig jellegzetes a lábjegyzetek kezelése. Ott találjuk a téma történetét, motivációit. Szépen kiemeli Vermes Imre (1940-2002) kollégánk egyetemi doktori értekezésének eredményeit is.

2. dia Az értekezés első részében, a szükséges előzmények összefoglalásában is Hjelmslevre támaszkodik elsősorban. Az abszolút sík - nem-valódi (ideális) pontok, továbbá nem-valódi (ideális) egyenesek bevezetésével - projektív síkká bővíthető ki az úgy-nevezett félforgás fogalmának segítségével. Ezeket a fogalmakat a probléma „elemi jellegére” tekintettel - a korábbi magyar hagyományos törekvéseket is követve - csak korlátozottan használja, hogy bármely két egyenesnek „legyen ideális metszéspontja”. Ez hasonló az euklideszi geometriához, ahol az egymással párhuzamos egyenesekhez egy „közös (végtelen távoli) ideális pontot csatolunk”. A nem-valódi ideális egyenest azonban nem használja. A félforgások Hjelmslev-féle alaptételét (Merőlegesek tétele = Lotensatz) a 4. dián csupán érzékeltetjük. Strommer professzor, megint nagyon szerényen, ezt kiterjeszti ideális (nem-valódi) O kezdőpont körüli félforgásra, ahogy az 5-6. diákon szerepel. Az 5. dián láthatjuk a félforgás általánosítását. Először egy O valódi kezdőpont körüli adott forgásnál előbb egy tetszőleges A pont A2 képét vesszük, majd az AA2 szakasz A1 felezőpontját tekintjük. Az így kapott A → A1, majd hasonlóan B → B1, C →C1, … hozzárendelést nevezzük félforgásnak. Ez a leképezés már nem egybevágóság, de egy egyenesen lévő pontokhoz egy egyenesen lévő pontokat rendel (Hjelmslev alaptétele szerint, még további hasznos tulajdonságokkal). Ha az O-körüli forgást O-ra illeszkedő egyenestükrözések szorzataként (egymásutánjaként) tekintjük, akkor természetes lesz a kiterjesztés nem-valódi O kezdőpontra is (a Három tükrözés tételével). Ráadásul így bármely valódi ponthoz valódi pontot rendelünk, de nemvalódi pontnak is lehet valódi a képe.

e 23 f

Az első rész másik fontos témája a körre vonatkozó tükrözés (a körre vonatkozó inverzió) abszolút síkra történő kiterjesztése - ahogy a 7-8. diákon láthatjuk - azzal a céllal, hogy egyenesek és általánosított körök (úgy-nevezett ciklusok, mint a távolságvonal azaz hiperciklus, továbbá a “végtelen sugarú kör” azaz paraciklus, lásd később) körre való tükörképe is kör legyen. Ezzel az euklideszi esethez analóg tervet tudunk majd követni: Két pontjukkal megadott egyenesek metszéspontját, vagy egyenes és kör metszéspontját úgy szerkesztjük meg, hogy először megszerkesztjük egy körre való tükörképüket. Ezek körök lesznek, metszéspontjuk kijelölhető. Majd ezeket a kapott pontokat “visszatükrözzük” (így esetleg nem-valódi pontokat kapunk).2 Az abszolút síkon jól megtervezett feladatsorozat (összesen több mint 25 feladat, itt-ott bravúros megoldása) szükséges, melyek közül csak kettőt emelek ki a 9-10. diákon (szabad őket önállóan megoldani!!!). Az 1. feladatban “megkétszerezünk” egy adott AB szakaszt (2×AB = AC; vigyázat, a hagyományos módszer - 3 szabályos háromszög egymás mellé helyezésével - most nem jó!). A 2. feladatban az A és B pontjaival megadott egyenesre A-tól felvisszük az adott CD szakaszt (AN = CD!). Itt kiemeljük az u.n. Archimédesz-féle axióma szerepét: Adott AB > CD szakaszok esetén mindig van olyan n természetes szám, hogy n×CD > AB. Már a klas�szikusok rámutattak, hogyha ezt nem tesszük fel, akkor a hagyományos szerkesztések nem feltétlenül végezhetők el csupán körzővel.

3. dia 2 Az euklideszi geometria eljárása jól ismert Szőkefalvi Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete, Akadémiai Kiadó Budapest 1968, könyvének 54-55. oldaláról.

e 24 f

4. dia (Merőlegesek tétele = Lotensatz)

5. dia

e 25 f

6. dia

7-8. dia

e 26 f

9. dia

10. dia

e 27 f

Az értekezés harmadik részében a vonalzós szerkesztésekkel foglalkozik Strommer professzor, hasonló gondossággal. Itt különösen a klasszikus Poncelet-Steiner-szerkesztések abszolút síkra történő kiterjesztése a téma, amikor egy középpontjával együtt megrajzolt kör megadása után szeretnénk a hagyományos szerkesztéseket csupán vonalzóval elvégezni. Az abszolút síkon ez csak további adatokkal lehetséges, de erről a következő fejezetben szólunk, ahol - most már rövidebben - az értekezés utóéletét is érintjük. 3 Az Értekezés hatása. A 11. dián, további részletezés nélkül, mindjárt bemutatom Csorba Ferenc győri tanár kollégámmal írt cikkünk első oldalát a Matematikai Lapok 33/1-3 (1986) számából. A cikknek - persze, nagyon megtisztelő módon - Strommer professzor volt a bírálója.

11. dia: Steiner-féle szerkesztések a projektív metrikus síkon (Csorba Ferenc és Molnár Emil)

e 28 f

Itt sikerült a projektív kúpszeletek valós (t ∈ R ∩ ∞) paraméterezésén (x0; x1, x2) ~ (1; tt, t) alapuló számolással és aztán vonalzós szerkesztéssel - a Hilbert-féle végkalkulus szellemében - a Strommer-tételt tetszőleges szerkesztő ciklusra (körre, paraciklusra azaz horociklusra, továbbá hiperciklusra) átvinni. Persze, itt már az abszolút sík projektív beágyazását használtuk. Felvethető, hogyan lehet anélkül (minél “elemibben”) dolgozni? Ugyancsak a projektív beágyazás felhasználásával készült a 12. dián látható dolgozat (kandidátusi értekezésem eredménye, Strommer professzor témavezetésével). Hogyan értelmezhető az abszolút síkon a legáltalánosabb inverzió, mint bijektív ciklustartó leképezés?

12. dia

13. dia

e 29 f

14-15. dia

e 30f

Itt a Bachmann-féle tükrözésgeometria szellemében dolgoztam, mindent a tükrözések nyelvén fogalmazva. A 13. diához kapcsolódva csak a ciklus fogalmát említem. Az A (valódi vagy ideális) középponton áthaladó összes egyenesre tükrözünk egy A0 adott pontot. Ezek halmaza lesz a ciklus. Az a ábra mutatja, ha A valódi pont, a b ábrán A külső pont – a hiperbolikus sík H abszolút határalakzatára nézve – ennek a poláris egyenese lesz a hiperciklus (távolságvonal) alapja. Ha A határpont lenne (A ∈ H), akkor kapnánk a paraciklust (vagy horociklust, azaz végtelen sugarú kört, amit most nem ábrázoltunk). Végül is kiderül, hogy a síkból érdemes kilépnünk a térbe, hogy teljes leírást kaphassunk. Úgy, ahogy az euklideszi sík körgeometriai (konform) modelljét kapjuk a síkot érintő gömbre (sztereográfikusan) vetítve az érintésponttal szemközti centrumból. A vetületi sík aztán párhuzamos is lehet ezzel az érintő síkkal (14. dia). Az euklideszi síkbeli inverzió egy gömbi (pólusra-polársíkjára vonatkozó harmonikus projektív kollineáció) tükrözés sztereográfikus vetülete lesz. Ez viszonylag közismert, a 14. dián ábrázoltuk. A 15. dián bemutatjuk az elliptikus síkgeometria inverziójának esetét. A tétel szinte ugyanúgy szól, csak a gömb egy belső pontjából vetítünk annak polársíkjára. A 16. dia két változatban is mutatja a hiperbolikus sík inverziójának esetét. A jellemzés megint „ugyanúgy” szól, csak egy külső pontból vetítünk annak a gömböt metsző polársíkjára. A metszetkör a H abszolút határalakzat. Nem szóltunk a „finomságokról”. Például, hogy gömb helyett alkalmas (most elliptikus) térbeli „kvádrik” szerepelhet. A téma sík (d = 2) helyett tetszőleges d-dimenzióra is kiterjeszthető. Algebrailag, a projektív beágyazás koordináta-testjének kvadratikus osztályai játszanak szerepet.

16. dia

e 31 f

4 Kúpszeletek. Itt csak megemlítem egyetemi doktori értekezésemben a kúpszeletek tükrözésgeometriai tárgyalását, melyek kandidátusi dolgozatomban mellékeredményként kiadódtak. Például a hiperbolikus síkon 20-féle (nem-elfajuló) kúpszelet van, ezek duális párokba sorolhatók. A 17-18. diákon bemutatunk néhányat. Csima Géza doktoranduszunk, Szirmai Jenő kollégánk témavezetésével ezek izoptikus (állandó látószögű) görbéit mostanában írta le.

17-18. dia

e 32 f

19. dia

20-21. dia

e 33 f

22. dia

23. dia 5 Szabályos 17-szög és 257-szög szerkesztése. Epilógus. C. F. Gauss fiatalon fedezte fel – algebrai módszerrel, a kvadratikus testbővítések áttekintésével – hogy mely prímszám oldalú szabályos sokszögek szerkeszthetők euklideszi módon, körzővel és vonalzóval. Így a 24 + 1 = 17, 28 + 1 = 257 oldalú szabályos sokszögek szerkeszthetők. Szép (viszonylag egyszerű) geometriai szerkesztés megtalálása Strommer professzort is élénken foglalkoztatta. A 17 szög szerkesztésének tankönyvbe is illeszthető geometriai elemzését tartalmazza a 19-21 diákon látható cikke, amely persze finom részleteket jelez. De egységes a módszere, melyet a 257-szög szerkesztésének elemzésénél is követhetnénk (a 22-23. diákon). Ez a cikke – Prok István kollégánk gondozásában – sajnos, csak halála után jelenhetett meg. Még ott volt velünk a jubiláló Hans Vogler professzor 60. születésnapján Graz-ban. Ő vitt bennünket, Vermes Imre kollégámmal az autóján. A Műegyetemhez visszaérve szokatlanul fáradt volt, Vermes Imre még hazakísérte. Másnap a kórházban derült ki, hogy 26 egység volt a vércukor szintje. Sajnos, a kórházból már nem tért vissza. Gyula bátyánk versenyt futott az idővel, de végül is ő győzött.

Ezúton is megköszönöm Prok István és Szirmai Jenő kollégáknak a kézirat előállításához nyújtott segítségüket.

e 34 f

Egy kiállítás képei (BME OMIKK 2015. május-június)

e 35 f

Köszönetet mondunk Batalka Krisztinának a kiállítás megrendezéséért.

e 36 f

Szobor a H épület előtt

Tisztelő emlékezők Strommer professzor szobra előtt

e 37 f

A sorozat eddig megjelent füzetei: A Műegyetem kincsei (Pedroni Emma Anna) A Műegyetem olimpiai bajnokai (Hencsey Pál) A Műegyetem tanárainak József-napi serlegvacsorái (Osváth Zsolt) Muzsikáló mérnökök (Szebényiné Seres Katalin) Az energetika professzorai – Lévai András (Büki Gergely) Az energetika professzorai – Heller László (Németh József ) A hőerőgépek professzora – Brodszky Dezső (Gróf Gyula - Penninger Antal - Németh József - Pásztor Endre Meggyes Attila - Bereczky Ákos) A nemzetnevelő Imre Sándor (Benedek András - Horváth Márton - Németh József Sturcz Zoltán - Kövesi János) A geometria professzora – Strommer Gyula (Penninger Antal - Kőrösi Mária - Horváth Ákos - Molnár Emil)

Egyetemtörténeti füzetek Sorozatszerkesztő: Dallos Györgyi A kiadványt szerkesztette: Dr. Németh József, Dr. Penninger Antal Képek: Strommer Gyula Nemzetközi Alapítvány képarchívum, Philip János Design: Rumi Tamás Felelős kiadó: Dr. Czigány Tibor dékán Megjelent a 2015. évi Magyar Tudomány Ünnepe alkalmából

e 38 f