'\Ü'\llf A`ı'ı.'.lr'rr|Hrt_W'l, Mlsltolv, l. Sorozat, b`ányászar, _ı'_2([().ä'4) köz;-[_ 1
4füze;_ 47 _$5_
A IKR l(iI'ILÉS ALKALMAZÁS! LEHETÕSEGEI A BANYASZATI GYAKORLATBAN FÜST ANTAL-ZERGI ISTVÁN A lıııeúris becslési eljárások közül a bányászati gyakorlatban leginkább a krigelés ter |.„tt z~| A krigelés - mint matematikai eljárás - lehetővé teszi egy olyan becsült érték szá „ni zmıt _ amely a vizsgált paraméter tetszőleges helyen levő ismeretlen értékét leobban iz .ov-lııı A sıámításhoz felhasználjuk a környező minták adatait és a területre érvényes ...ezt t ıvzn nıııeia - vagy variogram függvényt. Ez a tetszőleges hely lehet pontméretű, de ı,t„zı z-uv lvjtési blokk is. Az első esetben pontkrigelésről, az utóbbiban blokk krigelésről 1-- z .--'-lıııık iln n paraméter mező stacionárius, vagyis a paraméter változását nulladfokú „rint ıı |zı lv, akkor egyszerű krigelést, instacionárius esetben pedig célszerűen univerzális L z ig.-lan ıılkiılıııazunk. Ezeken túlmenően megkülönböztetünk még cokrigelést, véletlen tzıot-tr--tt, ilısı._jııııktív krigelést stb. [2, 3, 4]. Jelen tanulmányunkban azonban csak az egy...nu ez ar univerzális krigelés használhatóságával foglalkozunk. l A ı egyszerű krigelés A 7 ı~gysı.ert'l krigelés esetében, mint említettük, a paraméter stacionaritását tételez.„ı. ı..ı i nm-k megkülönböztetettjellemzői a következők: it pııııııııéter várható értéke és szórásnégyzete a vizsgált területen állandó; .ı paı ınnétcr autókovariancia függvénye független a helytől és csupán az argumentııın sıélességélől függ.
t ı t..-„ az t-wtln~ıı ıı különböző helyeken mért z(x,);z(x2);. . . ;z(x,,) paraméter értéı- tz IM! ft tı~ısmleges helyre számítható Z* becsült érték a következő egyenletből adódik 1 t
t|
ra ıı`-nt ANlAl
___í___i__ DR.ZERGI ISTVÁN
r f 1 sz.. atm-ıııuk. z: - ami loıınllılıltıısıı.egyetemi adjunktus ` *H - ----«t-*mt i'-ı Itılnyaıııéréstani Tanszék it * 1-it-M-If Iıvvtıwıııvárııs * --
okl. bányamérnök, tanszéki mérnök NME Geodéziai és Bányaméréstani Tanszék 3515 Miskolc-Egyetemváros
H itt-Fıiıvfvli lW\'..'. m(lrr'lu.l'.1'.
47
Z' = E ai z(x,»), l
ahol az af súlytényezőket (Í = 1, 2, . . . , n) azzal a feltétellel számítjuk, hogy a becslési szórásnégyzet (OŠ) minimális legyen. Ha a paraméter várható értéke m, feltételezve, hogy
M(z*) = m , illetve
M12 Űz`Z(xz`)l = mr z' továbbá
2 HrM[2 (X01 = m 1
és
M12 (Xz-)l = m .
innen Eűfzl.
A Lagrange -féle multiplikátor módszer alkalmazásához a Lagrange-függvény tehat F= 03,, - 2Z2a,-ovxı. + 22 a,~a,o,-,- + 2;.t(2 ai-1). 1
1}'
1'
Az összefüggésben: 0,2. ovxı. O,-Í n
-
a szóban forgó V blokkra vonatkozó kovariancia érték négyzete, a v blokk és az x,- minták közötti kovariancia; az xi és xi minták közötti kovariancia; a Lagrange-féle multiplikátor.
A Lagrange-függvényt az af és ju ismeretlenek szerint parciálisan deriválva a következo mátrix egyenletet kapjuk
48
01
011
012
az
021
U22
an
Uni
Un:
Űnn
ll
1
1
1
Üın
vx, 0' vx,
vxn
-xi ıııııvıeıleııek az. egyenletből meghatrirozlıatók. Megjegyezzük, hogy
r-ıgvıı a lrnitlfıhan szereplő elemek a paraméter szórásnégyzetével egyeznek meg. A továbızi alvıııvk pedig a minták közötti távolság ismeretében a 'y(h) variogramból vagy a g(h) -zntzitoıvııı nıneia függvényből számíthatók. Például, ha az 1-es és 2-es pont távolsága h,-_., ah lıııl
__ 2
_
U12 " U _7(hı2)"H(l1ı2) -
tvıııııtııetesen az (n + 1)(n+l) elemű mátrix szimmetrikus, így 0122021;
0ı3=0sı;
;
Unı=Uın-
Ila poııtkrigelés végzünk, akkor a ovxı ,o,,,„a, . . . , own elemeket közvetlenül a vaıioıı ııııılıol vagy az autókovariancia függvényből nyeıjük. Blokk krigelésnél ezek meghatá „iz ann ıı két dimenzióban egy kettős, három dimenzióban egy hármas integrált kell megzztzlıııııııık, vagy szumınás formával közelítenünk. A mátrix egyenletben a mátrixok elemeit a kovarianciák helyett variogram értékek ti halva! tesíthetik. A számítás eredménye azonos marad. A knlönböző típusú variogramok közül üledékes lelőhelyeken leggyakrabban a szféııt in vın ıogrammal találkozhatunk. Emıek egyenlete: _ h h 3 7(h)-CLS;--0,5 Z +Co
0
7wy=C+Cf=ä
h>„,
Tw)=0
h=0.
A: ngyvııletel(ben:
a t '„
a hatástávolság, a nugget hatás,
Í '
U2 _' C0 .
Sı.l`érikus típusú variogramnál az autókovariancia függvény nem vehet fel negatív értelmi Mivel
sM)=02-T0). igy
8(h)>0
h
8(h)=0
h>a.
49
lilılnˇil a sajátosságból következik, hogy szférikus típusú variogramnál, izotróp kifejlődésű
paraméter esetében, ha az ismert minták közötti, valamint az ismert minták és a krigelendő hely közötti távolságok nagyobbak a hatástávolságnál, a krigelés végeredménye a krigelésbe bevont pontok paraméter értékeinek számtani átlagával egyenlő. Igy ennél a variogram-típusnál a krigelés hatástávolságon túli extrapolációra és interpolációra nem alkalmas. Hasonló módon az ismert pontok paraméter értékeinek számtani átlagát adja a krigelés akkor is, ha az ismert pontok a krigelendő helytől azonos, de ahatástávolságrıál kisebb távolságra valamely szabályos egyenlő oldalú sokszög csúcspontjában helyezkednek el. Természetesen ilyen esetekben, habár a krigelés azonos eredményt ad, a becslési szórásnégyzet állandóságáról már nem beszélhetünk. Ha a krigelésbe bevont ismert pontok egymástól mért távolsága egyeseknél nagyobb, másoknál kisebb, mint a hatástávolság, de a krigelendő hely minden ponttól a hatástávolságnál nagyobb távolságra van, akkor a súlytényezők mátrixa az inverz mátrix utolsó oszlopával egyezik meg. Természetesen, ha a variogram nem szférikus, tehát az autókovariancia függvény negatív értékeket is felvehet, az előbbi megállapítások nem igazak. A gyakorlatban a kovariancia-függvény a következő variogramoknál lehet negatív: Lineáris típus: 7(h) = A + Bh ,` hatványfüggvény típusú modell:
701) = Ah^ ; exponenciális modell: 7(h)= Co + C[l -exp[- %M; lyukhatás modellje:
Instacionárius paraméter mezők esetében általában a felsorolt variogram típusok fordulnak elő. Ilyenkor az egyszerű krigelés bizonyos mértékű extrapolációra is lehetőséget ad. Figyelembe kell vennünk azonban, hogy a becslési szórásnégyzet az extrapolációs távolság függvényében jelentősen növekszik, tehát a becslés egyre bizonytalanabb. 2. Az univerzális krigelés Ha a vizsgált paraméter nem stacionárius jellegű, akkor célszerűen univerzális krigelést alkalmazunk. Ez a megoldás teljesítve az egyszerű krigelés feltételeit, figyelembe veszi a paraméter változásának trendjét is [2, 3, 4]. 50
l'é|tl:'nıl másodfokú univerzális krigelésnél két dimenzióban a súlytényezőket a kövt~ıl„t~ıt“i ıııátrix egyenletből számítjuk: u,
OH
012
01,,
lx, yı
xf
yf
xıyı
-ı
gvx I
'H
Uzı
U22
02:1
1x2 .V2
-*Š
Pé
372.172
Uvxı
~„ ii..
0„ı 0„z 1 1
0„„ 1 X„ y„ xã .. 1 O O O 0
yã 0
X„y„ 0
0-. „ 1
ii.
x.
x,
x,,
0 0 0
0
0
O
if,
yi
yz
y,,
O 0 0
0
0
0
Í,
H1
xf
xi
xf,
0 0
0
0
0
0
É
in
yi
.vi
yf,
O O O
O
O
O
,T3
in
x,y, xoyo
0
0
0
Őr v
x„y„ 0 0
0
-
Y,
A 1 osszefüggésben az ismerteken kívül x,- és y,- az ismert minták koordinátái, x„ és . , zi het sıılt blokk súlypontjának koordinátái. A z mıivcrzális krigelésnél legfeljebb olyan polinomot alkalmazhatunk, amely a méz.-:zi pt ıııtokra tökéletesen illeszkedő felületet ír le. Például, ha a vizsgált területen hat ,.„„ıt»zı| vıigztink univerzális krigelést, akkor a polinom csak másodfokú lehet, hiszen hat ,v-zaıızı iı teljes illeszkedés feltétele mellett legfeljebb másodfokú trend számítható. Igy az -at -utat ııı. előbb felírt formát veszi fel. llvı-ıı esetekben a trendszámítás és az univerzális krigelés bármely pontra azonos zizzzlııııiııvl ntl.
A z ıııııverzális krigelés szükség esetén úgy is végrehajtható, hogy az eredeti adatokis z-gt ıwııı teljes illeszkedésű trendet számítunk, majd a mérési eredményeknek a trend: õı valo elteıeseiből variogramot vagy autókovariancia függvényt határozunk meg. Ezt kö...var-n z~,zy~m~ısı`i krigelést végzünk, és annak eredményeit a trendre szuperponáljuk. Az ti. „z nıvyniılns pontossága azonban a gyakorlatban a maradékok variogramjának meghatá:---z-šıl |ıııIilttsSllll,lll()l
t I'elılıı az egyszerű és az univerzális krigelésre Ha ııızıı ıınınl az egyszerű, mind az univerzális krigelést széles körben alkalıııa/zák. E „ir nnzz..-ıı ki igi-lt térképek készítésénél. Ennek szemléltetésére tekintsük meg a következö ri ı ál-al
Si
~ /Í-_&`~
___*
-~--*
"Í"
f 0,-
_____j`
-11
z
3
p
.\
W/2.Í ""r~ -- 1 - _*üt i
j
I
Ü1~l:g_,'\)
Lfíj
0
»
ea
\
i l
/ .. 2,. O
"3/ `
.
VR
//1/1/i/š\ Az I. ábrán egy bauxit-előfordulás SÍO2 tartalmát mutató felület részlete látható. Az izovonalas térképet hat fúrásban mért adatból hagyományos lineáris graduálással manuálisan szerkesztettük meg. A területre jellemző variogram-függvény képét a 2. ábra mutatja. A paraméter instacionárius jellegű - erre utal a variogram alakja is - így várhatóan az egyszerű krigelés nem ad kedvező eredményt. A 3. ábrán az egyszerű krigelés eredményeként kapott felületet látjuk. Szembetűnő, hogy az eredetihez tendenciájában hasonló felület szélső értékei kisebbek. A felület, a krigelés sajátosságaiból adódóan, a krigelésbe bevont pontokra teljesen illeszkedik. Ha a hat pontra egy lineáris trendet számítunk, a 4. ábrán látható felülethez jutunk, amelynél síkká egyenlítettük ki az eredeti felület undulációit. A területre elsőfokú univerzális krigelést alkalmazva az 5. ábrán megrajzolt felületet kapjuk. Az elsőfokú univerzális krigelésnél tulajdonképpen a 4. ábrán látható sik jellemzi a várható érték változását. Igy már az eredeti felületet az egyszerű krigelésnél jobban
52
1 Mb)
(zz)'
' “
`
„Delhi
._,. 2.55
.l'I
03427
'l
1.
r 1
1
ı
2
ı r r
3
~
i
4
ı
5
*"
/7 fm)
2. ábra
5-~-z-lıt teıképhez jutunk. Ez a felület a mérési helyeken ugyanúgy teljesen illeszkedő, unni itt ejıyszerű krigelésnél.
Ila ar univerzális krigelést úgy hajtjuk végre, hogy a 4. ábrán látható s ctól való elté„-zetı hol ıniıııolt variogramból egyszeű krigelést végzünk, majd annak eredményét a síkra z „ipar poıııíljıık, a 6. ábrán látható felületet kapjuk. Elméletileg az 5. és 6. ábrán látható tztnlz-tinik meg kellene egyezni. Az eltérés oka, hogy a maradékok variogramjának meghaHtwııtıa eléggé bizonytalan. liıı ıı lnıt pontra másodfokú univerzális krigelést alkalmazunk, vagy közvetlenül egy „ntzznllok ıı trendfelületet számítunk, azonos eredményre jutunk (7. ábra). Ez a felület ---mlmıı. lmlnir a mérési helyeken ugyanúgy teljesen illeszkedő, mint E. korábbiak, jellegéta-zu alıeı az eredeti felülettől. A knloıılıtıző módon történt közelítés eredményét egy, a 4. mintavételi ponton át„nznn Ny K lninyú metszetben mutatja a 8. ábra. Az ábrán látható, hogy leginkább az el„ıtohn nıııveızıllis krigelés eredménye közelíti a felületet, ennél bizonyult legjobbnak az -ı uapulıtı to A másodfokú univerzális krigelés ugyanakkor olyan felületet eredménye„ıt ınwlv extrapolációra nem alkalmas. A lıelves közelítés érdekében tehát célszerübbnek látszik az univerzális krigelésnél nteloıaııııt pollnonı fokszámát úgy megválasztani, hogy az eredményül kapott felület a 5.1
\\wã
É A//íí; H/
O
/
GŠ / W(K/G xpM
//Öwv
Ă//J
V
//M (0
\ -L/
7
./< \\l 0 ..
2
\\W 70
12
1 Li
\
\ j
3” 1
16--
7. ábra
paraméter lokális és regionális változásának jellegét jól tükrözze. Ezt a célt, mint láttuk. a trendszámítás nem biztosítja, így az univerzális krigelés módszeréhez kell folyadmodnunk Várható tehát, hogy a krigelés a jövőben a gépi feldolgozás lehetőségeinek növekedésével a jelenleginél is nagyobb jelentőségre tesz szert.
Sir
A "_/__, oi
`\\_____\ ___ oíıj:plã,1jl*Ípl __ /*__ 1%
,'`\3Š'I\_%1h_W\ I_ıI“_l mı_o_ _ m_ wt*h_ `\WUNı`Ü\_ \S_
_ __!!
__` ,_
\_Ím_ _ñ`_n_“\mmt*
_ h__N_\ Í
&m\`*_ “t%Nhmmm mO_g§`_____*_ l"`' l ` l lšj
/ htH\_ btm`_Emmwq__I_ı,bI_š\@_|l\_ÜÉ*_
\_I §§wŠ< _D53_A Á Ššë w `mE,m_(tm_:Í_
N bmšëqäoãx _/
I
ill _m`m\_EŠ`aDägkbo_lä|_c_tıil _``___\`_f28\\QmNk___/'
\_§ l Al ıxı__/
___ _“Zht_ q|aI__Q_ú` u__ jmr_ ı_ÜDl_ m _'h_ N_lı_______~
___'` j`:-M";` "\_" , _ .
\ . \ 1 __
_
3%_mˇ
hãvt rI“_ t`Ümt_Q
__ ` I
Q
ıı
`l
Sl
ir
IRODALOM
I . AGTERBERG, F. P.: Geomathernatics. Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam, London, New York, 1974.
2. DAVID, M.: Geostatistical Ore Reserve Estimation. Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam, Oxford, New York, 1977. 3. JOURNEL, A. G.-HUIIBREGTS, ch. J .:Minin,g Geostatistics,Academic Press, London, New York,
San Francisco, 1978. 4. KAPOLYI, L.:Ásványi eredetű természeti erőforrások rendszer- és függvényszemlélete. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1981.
APPLICATION POSSIBILITIES OF KRIGE,S METHOD [N MINING PRACTICE
bv A. FÜST-I. ZERGI Summary The authors give a oomprehensive review of the mathematical bases of the simple and universal
kriging, along with a guide for its execution. A practical example illustrating the simple and universal kriging is provided, in which the relation between kriging and trend calculation is also analysed.
ANWENDUNGSMÖGLICHKEITEN DER KRIGE-METHODE IN DER BERGBAULICHEN PRAXIS von A. FÜST-I. ZERGI
Zusammenfassung In der Studie werden die mathematischen Grundlagen der einfachen und universellen Krigung zusammengefasst und mit Wegen für ihre Ausführung bekanntgemacht. Anhand eines praktischen, die einfache und universelle Krigung veranschaulichenden Beispiels wird also deren Verhältnis zur Trend-
berechnung analysiert.
B03M07lil-IOCTPI HPHMEHEHHH KPPIFEIIHPOBAHHH B HPAKTHKE l`0PHOI`0 HEIIA A.
S8
A NEHÉzıPARı MÜsZAKı EGYETEM
KÖZLEMENYE1
I. sorozat
-
EÁNYÁSZAT 32. KÖTET - 1-4. FÜZET
MISKOLC, 1984.
HU ISSN 0324--6620
SZERKESZTŐ BIZOTTSÁG:
ZAMBÓ JÁNOS felelős szerkesztő BOCSÁNCZY JÁNOS , CSOKÁS JÁNOS, SZILAS A. PÁL, TARJÁN IVÁN
Kiadja a Nehézipari Műszaki Egyetem
A kíadásért felelős:Dr. Romvárı' Pál rektorhelyettes NME Sokszorosító Üzeme Nyomdaszámz KSZ-84- 600 -NME
Miskolc-Egyetemváros, 1984. Engedély száma: MTTH-III.-3183I1976. Sajtó alá rendezte: Dr. Farkas József egyetemi tanár Technikai szeı'kesztők:Havas Gabriella, Márkus Lászlóné, Németh Zoltánné Megjelent az NME Közleményei Szerkesztőségének gondozásában Kézirat szedése: 1983. okt. 1 - 1984. jan. 15. Sokszorosítóba leadva: l984.jan. 6. Példányszám: 300 Készült IBM-7 2 composer szedéssel, rotaprint lemezről az MSZ 5601-59 és MSZ 5602~55 szabványok szerint, 18,5 ív terjedelemben A sokszorosításért felelős: Tóth Ottó mb. üzemvezető
TARTALOMJEGYZÉK
Balla László.` Bányászati rendszerek modellezése 2" -P típusú elsőfokú faktoriális kísérlettervezés módszerével . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sz. F. Jacun: A szabályozható hidrodinamikus tengelykapcsolóval meghajtott szállítószalagok indítási módjainak kiszámítása elektronikus számítógéppel . . . . . . . . . . Zergi István: Az ásványlelőhely paraméterek variogramjai és kovariancia fíiggvényei
. . .
Füst Antal - Zergı' István: A krigelés alkalmazási lehetőségei a bányászati gyakorlatban Kovács Ferenc: Az atom- és szénerőművek gazdaságosságának összehasonlításáról . . . . . Deák Endre: Forgácsolási paraméterek meghatározása maróhengernél . . . . . . . . . . . Füst Antal: Adalékok az instacionárius paramétermezők kutatási optimumának meghatározásához . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Juhász József: Termális gyógyvizek hasznosítása Észak-Magyarországon . . . . . . . . . . Némedr' Varga Zoltán: Diagenizálódott lejtőtörmelék és fosszilis talaj a komlói am bolandezitfekvőjéből Füst Antal - Zergı' István: Graduálás a variogram függvény alapján . . . . . . . . . . . . .
Bocsák Béla: Közvetlen vezérlésű nyomáshatároló dinamikus tulajdonságainak vizsgálata linearizált egyenletekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . Füst Antal - Zergi István: Egy tervezett fejtés várható paraméter-értékeinek becslése
_ .
Patvaros József: Műszaki fejlődési irányok a szénbányászatban . . . . . . . . . . . . . . . _
Bocsák Béla: Egyköteles aknaszállítógépek dinamikai folyamatainak számítása
féke-
zéskor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bodon Pál - Buócz Zoltán: Gázkitörések bányaszellőztetésre gyakorolt hatásának vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zsámbokı' László: A Selmeci Bányászati és Erdészeti Akadémia szerepe az Országos Magyar Bányászati és Kohászati Egyesület megalakulásában . . . . . . . . . . . . . _ .
