A csigáról és annak működéséről Az alábbiakban az ismert egyszerű géppel: a csigával foglalkozunk egy kicsit. Úgy tűnik, az történt, hogy valamit magától értetődőnek vettünk, ami nem is az. Most erről lesz szó. Kezdjük egy szép ábrával – ld. 1. ábra, melynek forrása: [ 1 ]!
1. ábra Itt csigákból készített egyszerű gépek működésének lényegét tanulmányozhatjuk. Az ezzel kapcsolatos lényeges tudnivalók az alábbiak. 1.) A csiga csak az erő irányát változtatja meg, nagysága ugyanaz marad, a kötél mentén. 2.) Fz s Fl h, azaz munkavégzést nem takaríthatunk meg az egyszerű gépek használatával, mert a kisebb Fz erőkifejtésért cserébe hosszabb s úton mozdul el a húzóerő támadáspontja, az Fl teher h magasságba való felemelésekor. Minket itt az első kérdés foglalkoztat: Honnan tudhatjuk, hogy a csigán átvetett kötélben a húzóerő mindenhol ugyanaz? A gyors válasz: magunktól sehonnan. A Fizika éppen az ilyen kérdések megválaszolására szakosodott. Nézzük meg, mit mond nekünk erről! Az 1.) pont állításának igazolására forduljunk először a kísérletek felé! [ 2 ] szerint: ha úgy járunk el, hogy az 1. ábra első részábráján lévő bal oldali kampóhoz egy erőmérőt erősítünk, akkor a dinamométer a súly nagyságával egyező nagyságú erőt fog mutatni. Hozzáteszi, hogy „Ez az igazolás azt is mutatja, hogy állócsiga és fonál segítségével a nehézségi erő irányát az erő nagyságának megváltoztatása nélkül bármilyen irányba átvihetjük.” Nem feledkezhetünk meg a reális testek esetén fellépő ellenállásokról, melyek az előbb ismertetett ideális esettől való eltérést okozhatják. Az „ideális eset” itt azt jelenheti, hogy egy laboratóriumban van kellően hajlékony fonál, sima és finoman csapágyazott csiga.
2
Meglehet, épp ezen a ponton történt meg velünk az a csúfság, hogy azt gondolhattuk: ha kísérletileg bebizonyosodott, hogy az 1.) pont állítása igaz, akkor ezt innentől nem megkérdőjelezendő tényként kell, hogy kezeljük, azaz elfogadjuk. Most nézzük meg, hogyan lehetne az 1.) pont igazát elméletileg, azaz spekulatíve belátni! Ehhez [ 3 ] - nál is találunk útmutatást. Tekintsük az innen származó 2. ábrát!
2. ábra „ Az a.) ábrán feltüntetett r sugarú korongot C középpontjában síkbeli csuklóval kapcsoljuk valamely mozdulatlan szerkezethez… A korongon kötelet vetünk át, rendesen a korong kerületén végigmenő és erre a célra szolgáló vályúban, majd a kötél két szárára húzóerőt működtetünk. Lehet pl., hogy a bal oldali kötélszárra egy ismert Q súly van felfüggesztve. Kérdés: mekkora P erőt kell működtetnünk a másik szárra, ha a súlyt emelni akarjuk? Legyen a kötél és a csiga közt fellépő súrlódás olyan mértékű, hogy a kötél nem csúszik el a csigához képest. Ekkor a csiga és az ábrán megjelölt A és B pontok közt a csigához simuló kötéldarab egy merev testnek tekinthető, melyre a megjelölt ismert Q erő és az ismeretlen P erő hat, amint azt a b.) ábrarészen feltüntettük. Nyugalomban lesz a csiga, ha a rá ható erők egyensúlyban vannak. Figyelembe véve tehát a C csuklóerőt is, nyugalom esetén: Q, P,C 0. A C pontra vonatkozó nyomatéki egyenlet: r Q r P 0. Innen P Q. Súrlódásmentesnek képzelt csukló esetében ennél csak valamivel is nagyobb P erő már mozgásba hozza a csigát és a Q teher emelkedni fog. Csiga esetében tehát a teherrel legalább egyenlő nagyságú erőt kell kifejtenünk az emeléshez.” A fenti idézet mondandónk szempontjából kritikus részét vastag dőlt betűkkel emeltük ki. Most megmutatjuk, hogy van egy más feltevésekre alapozott érvelés is, mellyel szintén kiadódik a fenti P Q összefüggés. A most következő idézetet ismét [ 3 ] - ból vettük. Tekintsük a 3. ábrát!
3
3. ábra „ Az ábrán mozdíthatatlan, r sugarú korongot vagy hengert látunk, amelyen át van vetve egy elhanyagolható vastagságú, súlytalan, teljesen hajlékony kötél. A kötél egyik végére ismert S0 erő hat. Mekkora S1 erőt kell működtetnünk a kötél másik végére, ha azt kívánjuk, hogy a kötél ne csússzék el? Tegyük fel, hogy a henger és a kötél teljesen simák, tehát súrlódás nincs. Ekkor a henger a kötélre az érintkezés minden pontjában csak normális, vagyis sugárirányú elemi dN erőt fejt ki. Ezek rendszerét ( dN ) - nel jelöljük. A kötéldarab nyugalmi állapota miatt a reá ható erők egyensúlyban vannak. Így S0 ,S1 , dN 0. Az O középpontra felírható nyomatéki egyenletből:
S1 S0 . ”
(*)
Most hasonlítsuk össze a két eset feltételeit, melyek mindegyikénél azt kaptuk, hogy a korongra felfutó és az arról lefutó kötélágban egyforma nagyságú húzóerő ébred, azaz fennáll az 1.) pontbeli állítás; ezek: ~ a korong : csuklós ( elforgatható ) ←→ a korong mozdíthatatlan; ~ a kötél és a csiga közt : ( elegendően nagy ) súrlódás lép fel ←→ súrlódás nem lép fel. Úgy tűnik, hogy ezek egymás ellentétei, és mégis kijön ugyanaz a ( * ) eredmény. Minthogy ~ a korong és a csukló közti súrlódás jelensége: a csapsúrlódás, valamint ~ a korong és a kötél közti súrlódás: a kötélsúrlódás, így látjuk, hogy a csiga működési feltételeit jórészt e kétféle súrlódási jelenség megléte, ill. annak mértéke határozza meg. Ezek után már nem lepődik meg az ember, ha valaki úgy dönt, hogy a ( * ) eredményt kísérleti tapasztalati tényként könyveli el, ami számára ekkor már nem igényel különösebb magyarázatot. Persze, az Olvasó dönthet másként is; ekkor számára ajánlható a [ 3 ] - ban található további anyagrészek tanulmányozása is. Ezek után belátható, hogy a csiga működése nem igazán nyilvánvaló, valamint a gyakran tapasztalható „szokásos” elintézése nem magától értetődő. Most nézzünk néhány példát, hogy egy - egy konkrét feladatban hogyan oldják meg a fenti problémát: mi a csiga - kérdés szokásos elintézése!
4
1. Példa – [ 4 ]. 4. ábra A 4. ábrán vázolt szerkezet külső reakcióinak a meghatározásakor úgy veszik, hogy a csiga és a kötél a szerkezet része; ezek egy adott helyzetű G vektorú külső erőt működtetnek a szerkezetre. A belső reakciók – pl. a csapokban ébredő támasztóerők – meghatározása érdekében a szerkezetet majd részeire bontják – ld. 5. ábra!
Ekkor már fontos szerepet kap a csiga is, a mondott tulajdonságaival.
5. ábra
2. Példa – [ 5 ]. Ez az egyik kedvencünk – ld. a 6. ábrát is!
Az l hosszúságú, nem nyúló, hajlékony ACB fonál végeit fixen rögzítjük az A és B pontokban, melyek vízszintes és függőleges távolságai egymástól a és b. A fonálra a P terhet egy C csigával adjuk át, melynek súlyát és súrlódását elhanyagoljuk. 6. ábra
5
Határozzuk meg az α és β szögeket, a fonál - ágakban ébredő erők nagyságát, valamint a ξ távolságot, a rendszer egyensúlyi helyzetében! Adott: a, b, l; P. Keresett: α, β, T, T’, ξ. Megoldás Mivel az ideális csiga nem változtatja meg a fonálerő nagyságát, így
T ' T.
(1)
A vízszintes vetületi egyenlet:
X T cos 90
T ' cos 90 0.
(2)
Most ( 1 ) és ( 2 ) - vel, valamint a
cos 90 sin ,
cos 90 sin
összefüggésekkel:
T sin sin 0, ahonnan T > 0 miatt
.
(3)
A függőleges vetületi egyenlet:
Y P T cos T ' cos 0.
(4)
Most ( 1 ), ( 3 ), ( 4 ) - gyel:
T
P . 2 cos
(5)
Felhasználva, hogy ( 3 ) - mal is:
l2 a 2 cos cos , l
(6)
innen
l2 a 2 arccos . l
(6/1)
Majd ( 5 ) és ( 6 ) - tal:
T
P l2 a 2 2 l
tehát ( 1 ) - gyel is:
l 2 l2 a 2
P,
6
T' T
l 2 l a 2
2
P.
(7)
Továbbá a 6. ábra szerint is:
AA ' l cos b 1 tg tg l sin b tg 2 2 2 1 b tg 1 b 1 b a 1 , l sin 1 l sin l sin 2 l cos 2 2 2 2 l a
tehát
a b . 1 2 2 2 l a
(8)
A ( 8 ) képletből kiolvasható, hogy b = 0 esetén a csiga középen van nyugalomban, valamint az is, hogy minél nagyobb b, annál közelebb van a csiga a bal oldali csuklóhoz. A 2. Példa megoldásához ld. még a [ 6 ] munkát is!
3. Példa – [ 7 ] Adott az m tömegű golyó, amit a 7. ábra szerinti elrendezésben függesztünk fel. Az állócsiga jobb oldali kötélága a függőlegessel α szöget zár be. Határozzuk meg a kötélerőket és a csiga csapján ébredő reakcióerőt ~ szerkesztéssel, ~ számítással! 7. ábra Megoldás a.) Szerkesztés Egy átmetszéssel bontsuk a szerkezetet két részre! Az eredményt a 8. ábra szemlélteti. Ennek alsó részén azt szemlélhetjük, hogy a G = mg súly és az S1 kötélerő kielégítik a két erő egyensúlyáról szóló axiómát, ha
S1 m g.
7
A 8. ábra felső részén a csiga, ill. a kötél egyensúlyát szemlélhetjük: a kötélerők adott hatásvonalúak, a csuklóerő hatásvonalának pedig adott egy pontja.
8. ábra
9. ábra
A 9. ábra bal oldali részén azt szemlélhetjük, hogy a három erő egyensúlyáról szóló tétel egyik állítása szerint a kötélre ható három ( eredő ) erő hatásvonalának egy pontban kell metsződnie; ez a pont a csiga középpontján kívül van, a csiga véges nagyságú sugara miatt. A jobb oldali ábrarészen pedig azt szemlélhetjük, hogy az egyensúly másik feltétele az erőkre folytonos nyílértelemmel rajzolt zárt vektorháromszög. Ennek szerkesztése: ~ a felvett erőmértéknek megfelelően felhordjuk az S1 = mg nagyságú függőleges szakaszt, és rárajzoljuk a súlyerő nyílértelmét; ~ az előbbi szakaszhoz képest α szöggel egyenest rajzolunk, annak alsó végpontján keresztül; ~ a súlyerő vektorának kezdőpontján keresztül egyenest rajzolunk, az S1,S2 metszéspontját a csiga középpontjával összekötő egyenessel párhuzamosan; ~ felhordjuk a folytonos nyílértelemnek megfelelő nyilakat; ~ a vektorábrán ( Krafteck ) kapott S2 és A eredményvektorokat visszarajzoljuk az elrendezési rajzra ( Lageplan ). Ezzel a szerkesztéses megoldást befejeztük. b.) Számítás A szerkesztésnél is alkalmazott átmetszés eredményét a 10. ábra szemlélteti. A számítás során meghatározandó négy ismeretlen: S1 , S2 , A , β .
8
10. ábra A függőleges kötélág, ill. a golyó egyensúlya – ld. a bal oldali ábrarészt! – :
F
y
S1 m g 0 S1 m g.
(1)
A jobb oldali ábrarész is kétféleképpen értelmezhető: a.) az ábra a kötél végein ható S1, S2 erő - vektorokat, valamint a kötélre a csiga - horony köríve mentén ható, itt nem ábrázolt megoszló erőrendszer A eredőjének összetevőkre bontását szemlélteti; b.) az ábra a csigára ható erőket szemlélteti, úgy, hogy az S1, S2 erő - vektorokat egy - egy r sugarú emelő - karral az A csuklóhoz mereven rögzítettnek képzeljük. A kötél által a csigára kifejtett, ív mentén megoszló erőrendszer itt sincs ábrázolva. Az egyensúlyi egyenletek az alábbiak. ~ Nyomatéki egyenlet az M csapágy - középpontra:
M
M
S2 r S1 r 0 S2 S1.
(2)
Most ( 1 ) és ( 2 ) - vel:
S2 S1 m g.
(3)
~ Vízszintes vetületi egyenlet:
F
x
A x S2 sin 0 A x S2 sin .
(4)
Most ( 3 ) és ( 4 ) - gyel:
A x m g sin .
(5)
~ Függőleges vetületi egyenlet:
F
y
A y S1 S2 cos 0 A y S1 S2 cos .
(6)
Most ( 3 ) és ( 6 ) - tal:
A y m g 1 cos . A támaszerő nagysága Pitagorász tételével:
(7)
9
A A 2x A 2y ;
(8)
majd ( 5 ), ( 7 ), ( 8 ) - cal: 2 A m g sin m g 1 cos m g sin 2 1 2 cos cos 2 2
m g 2 1 cos , tehát
A m g 2 1 cos .
(9)
A támaszerőnek a függőlegessel bezárt szögére:
tg
Ax . Ay
( 10 )
Ezután ( 5 ), ( 7 ), ( 10 ) - zel:
tg
m g sin sin , m g 1 cos 1 cos
tehát
tg
sin . 1 cos
( 11 )
Most alkalmazzuk az alábbi trigonometriai összefüggéseket – [ 8 ] – :
1 2 1 cos 2 1 cos ; 2 2 sin tg . 2 1 cos
2 cos
( 12 ) ( 13 )
Továbbá ( 9 ) és ( 12 ) - vel:
A 2 m g cos . 2
( 14 )
Majd ( 11 ) és ( 13 ) - mal:
tg tg
, innen pedig 2
. 2
Ezzel a számításos megoldást befejeztük.
( 15 )
10
Megjegyzések:
M1. Amikor olyanokat találunk ki, hogy a csiga és a csigához simuló kötéldarab egy merev testnek tekinthető, az némiképp kimódolt, mesterkélt eljárásnak mondható. Akárhonnan is nézzük, ez a történet legalábbis elgondolkodtató; így talán érthető, hogy miért volt ez a kissé furcsa eszmefuttatás. M2. Említsük meg, hogy a virtuális munka elve – ld.: [ 2 ]! – szerint, a 2. ábra jelöléseivel az állócsiga esetében: P s Q s 0, (!) ahonnan rögtön
PQ
következik. Itt kihasználtuk a fonál nyújthatatlanságát is, vagyis, hogy a P erő támadáspontjának a P erő irányába eső δs elmozdulásánál a Q teher is δs - sel emelkedik. M3. Ha figyelembe vesszük, hogy
s r ,
( !! )
akkor ( ! ) és ( !! ) képletekkel a
P r Q r 0 P r Q r 0
( !!! )
nyomatéki egyensúlyt kifejező egyenlet adódik. Ez némileg gyógyír sebeinkre. M4. A ( 2 ) nyomatéki egyensúlyi egyenlet azért ilyen egyszerű alakú, mert ideális kötéllel és csigával dolgozunk, azaz feltételezzük ~ a kötél hajlékonyságát, vagyis, hogy a kötélágakban nem lép fel hajlítónyomaték; ~ a csiga csapjának súrlódásmentességét, vagyis, hogy nem lép fel a csapsúrlódás nyomatéka. Ezzel kapcsolatban ld. pl. [ 6 ] - ot! M5. A csigák, csigasorok – mint egyszerű gépek – hatásfokával, ill. veszteségtényezőjével kapcsolatban ld. pl.: [ 9 ] - et!
Irodalom:
[ 1 ] – http://hu.wikipedia.org/wiki/Fájl:Four_pulleys.svg [ 2 ] – Budó Ágoston ~ Pócza Jenő: Kísérleti fizika – I. kötet 6. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975.
11
[ 3 ] – Cholnoky Tibor: Mechanika – I. kötet: Statika Tankönyvkiadó, Budapest, 1969. [ 4 ] – http://fliiby.com/file/791931/cof1hdippc.html [ 5 ] – V. M: Starzhinskii: An Advanced Course of Theoretical Mechanics MIR Publishers, Moscow, 1982. [ 6 ] – Muttnyánszky Ádám: Statika 8. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1964. [7]– http://www.iofm.de/fileadmin/staff2/lehre/mechanik/SkriptMechanik1WS200910.pdf [ 8 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban [ 9 ] – Szerk. Boldizsár Tibor: Bányászati kézikönyv. I. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1956.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2010. február 8.
