´ Uvod do infinitezim´aln´ıho poˇctu Petr Hasil Prv´ akoviny 2015
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
1 / 57
Obsah 1
´ Uvod Funkce Re´aln´a ˇc´ısla a posloupnosti Limita a spojitost funkce
2
Diferenci´aln´ı poˇcet Derivace Pˇr´ıklady
3
Integr´aln´ı poˇcet Neurˇcit´y a urˇcit´y integr´al Pˇr´ıklady
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
2 / 57
´ Uvod
Funkce
Definice 1 Necht’ A, B ⊆ R, f ⊆ A × B. Jestliˇze ke kaˇzd´emu prvku a ∈ A existuje pr´avˇe jeden prvek b ∈ B tak, ˇze [a, b] ∈ f , pak relaci f naz´yv´ame zobrazen´ı mnoˇziny A do mnoˇziny B (f : A → B). Mnoˇzina A se naz´yv´a definiˇcn´ı obor zobrazen´ı f , znaˇc´ıme D(f ) = Dom(f ). Mnoˇzinu H(f ) = Im(f ) = {b ∈ B : ∃x ∈ D(f ) : f (x) = b} naz´yv´ame obor hodnot zobrazen´ı f . Zobrazen´ı f naz´yv´ame re´aln´a funkce (re´aln´a funce re´aln´e promˇenn´e). P´ıˇseme y = f (x). x se naz´yv´a nez´avisle promˇenn´a (argument) funkce f . y se naz´yv´a z´avisle promˇenn´a funkce f . ˇ ıslo f (x0 ) ∈ R se naz´yv´a funkˇcn´ı hodnota funkce f v bodˇe x0 . C´
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
4 / 57
´ Uvod
Funkce
Pozn´amka Nen´ı-li definiˇcn´ı obor funkce zad´an, jedn´a se o mnoˇzinu vˇsech x ∈ R pro kter´a m´a dan´a funkce smysl. Pˇr´ıklad 1 Definiˇcn´ı obor funkce f (x) = Definiˇcn´ı obor funkce g (x) =
c Petr Hasil (MUNI)
1 x−1
√
je D(f ) = R \ {1}.
−x je D(g ) = (−∞, 0].
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
5 / 57
´ Uvod
Re´ aln´ aˇ c´ısla a posloupnosti
Definice 2 (Rozˇs´ıˇren´a mnoˇzina re´aln´ych ˇc´ısel) Rozˇs´ıˇrenou mnoˇzinou re´aln´ych ˇc´ısel R∗ rozum´ıme mnoˇzinu re´aln´ych ˇc´ısel R rozˇs´ıˇrenou o body −∞ a +∞, tj R∗ = R ∪ {−∞, +∞}. Body ±∞ naz´yv´ame nevlastn´ı body, zat´ımco body mnoˇziny R naz´yv´ame vlastn´ı body.
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
7 / 57
´ Uvod
Re´ aln´ aˇ c´ısla a posloupnosti
Definice 3 Posloupnost re´aln´ych ˇc´ısel je zobrazen´ı, jehoˇz definiˇcn´ım oborem je mnoˇzina N a oborem hodnot mnoˇzina R, tj. a : N → R, vˇetˇsinou m´ısto a(n) p´ıˇseme an . Pˇr´ıklad 2 1 1 1 n = {1, 2 , 3 , . . . } {an }∞ n=1 , an = ”vzorec pro an“ an = n sin(n π2 ) → {1, 0, −3, 0, 5, 0, −7, . . . }
an =
an = {1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, . . . }
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
8 / 57
´ Uvod
Re´ aln´ aˇ c´ısla a posloupnosti
Definice 4 (Limita posloupnosti) ˇ Rekneme, ˇze posloupnost an konverguje k ˇc´ıslu a ∈ R, p´ıˇseme limn→∞ an = a, jestliˇze ke ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N: pro ∀n ≥ n0 plat´ı |an − a| < ε, ˇ ˇze posloupnost an diverguje k +∞(−∞), tj. an ∈ (a − ε, a + ε). Rekneme, p´ıˇseme limn→∞ an = +∞(−∞), jestliˇze ke ∀A ∈ R ∃n0 ∈ N takov´e, ˇze pro ∀n ≥ n0 je an > A (an < A). Jestliˇze posloupnost nekonverguje ani nediverguje, ˇrekneme, ˇze osciluje.
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
9 / 57
´ Uvod
Re´ aln´ aˇ c´ısla a posloupnosti
Definice 5 (Okol´ı bodu) Libovoln´y otevˇren´y interval I ∈ R obsahuj´ıc´ı bod x0 ∈ R naz´yv´ame okol´ı bodu x0 a znaˇc´ıme jej O(x0 ). Definice 6 (Okol´ı ±∞) Necht’ A ∈ R je libovoln´e. Interval (A, ∞), resp. (−∞, A), naz´yv´ame okol´ı +∞, resp. −∞.
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
10 / 57
´ Uvod
Re´ aln´ aˇ c´ısla a posloupnosti
Speci´aln´ı typy okol´ı bodu δ-okol´ı bodu x0 Oδ (x0 ) = (x0 − δ, x0 + δ). Prstencov´e (ryz´ı) δ-okol´ı bodu x0 Pδ (x0 ) = Oδ (x0 ) \ {x0 } = (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ).
Lev´e a prav´e δ-okol´ı bodu x0 Oδ− (x0 ) = (x0 − δ, x0 ],
Oδ+ (x0 ) = [x0 , x0 + δ).
Lev´e a prav´e prstencov´e δ-okol´ı bodu x0 Pδ− (x0 ) = (x0 − δ, x0 ), c Petr Hasil (MUNI)
Pδ+ (x0 ) = (x0 , x0 + δ).
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
11 / 57
´ Uvod
Re´ aln´ aˇ c´ısla a posloupnosti
Definice limity posloupnosti pomoc´ı okol´ı bodu lim an = a ∈ R∗ : ∀O(a) ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 : an ∈ O(a).
n→∞
Pˇr´ıklad 3 Limita posloupnosti an = (−1)n−1 neexistuje.
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
12 / 57
´ Uvod
Limita a spojitost funkce
Motivace: Pˇr´ıklad 4 f (x) =
x2 + x − 2 , x −1
1 6∈ D(f )
x2 + x − 2 (x + 2)(x − 1) = lim = lim (x + 2) = 3 x→1 x→1 x→1 x −1 x −1 lim
Pˇr´ıklad 5 ( x2 g (x) = 1
c Petr Hasil (MUNI)
x= 6 0 x =0
lim g (x) = 0
x→0
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
14 / 57
´ Uvod
Limita a spojitost funkce
Definice 7 (Limita) ˇ Rekneme, ˇze funkce f m´a v bodˇe x0 ∈ R limitu rovnu L ∈ R, jestliˇze ∀ε > 0 ∃δ > 0 takov´e, ˇze pro ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) r {x0 } plat´ı |f (x) − L| < ε. P´ıˇseme lim f (x) = L. x→x0
Definice 8 (Limita pomoc´ı okol´ı) ∀Oε (L) ∃Oδ (x0 ) : ∀x ∈ Pδ (x0 ) f (x) ∈ Oε (L). Pozn´amka Limita funkce nez´avis´ı na funkˇcn´ı hodnotˇe f (x0 ) (ta nemus´ı b´yt dokonce ani definov´ana).
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
15 / 57
´ Uvod
Limita a spojitost funkce
Nepˇresnˇe, ale ilustrativnˇe: “Je-li x bl´ızko x0 , pak je f (x) bl´ızko L.”
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
16 / 57
´ Uvod
Limita a spojitost funkce
Definice 9 (Limita, nevlastn´ı limita, limita v nevlastn´ım bodˇe) Necht’ x0 , L ∈ R∗ . Jestliˇze ke kaˇzd´emu O(L) existuje P(x0 ) takov´e, ˇze pro kaˇzd´e x ∈ P(x0 ) plat´ı f (x) ∈ O(L), pak ˇrekneme, ˇze limx→x0 f (x) = L. Pˇr´ıklad 6 Napˇr. pro x0 = −∞, L = ∞ m´ame lim f (x) = ∞, tj. x→−∞
∀A ∈ R ∃B ∈ R : ∀x < B je f (x) > A. Pˇr´ıklad 7 Limita limx→∞ sin x neexistuje.
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
17 / 57
´ Uvod
Limita a spojitost funkce
Obr.: Nevlastn´ı limita
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
18 / 57
´ Uvod
Limita a spojitost funkce
Obr.: Limita v nevlastn´ım bodˇe
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
19 / 57
´ Uvod
Limita a spojitost funkce
Definice 10 (Jednostrann´a limita) Limitu zprava lim+ f (x) = L definujeme takto x→x0
∀O(L) ∃P + (x0 ) : ∀x ∈ P + (x0 ) je f (x) ∈ O(L). Limitu zleva definujeme analogicky. (x0 , x0 + δ) + P (x0 ) = (−∞, B) nem´a smysl
c Petr Hasil (MUNI)
x ∈R x = −∞ x =∞
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
20 / 57
´ Uvod
c Petr Hasil (MUNI)
Limita a spojitost funkce
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
21 / 57
´ Uvod
Limita a spojitost funkce
Nen´ı-li moˇzn´e ˇc´ıslo do funkce dosadit jinak neˇz “limitnˇe”, m˚ uˇzeme pˇredstavu o limitn´ım chov´an´ı funkce z´ıskat i empiricky a to dosazov´an´ım bl´ızk´ych ˇc´ısel. Pod´ıvejme se na chov´an´ı funkce sinx x pro x → 0+ . x
1
0, 1
0, 01
0, 001
0, 0001
sin x x
0, 841470985
0, 998334167
0, 999983333
0, 999999833
0, 999999998
Z tabulky vid´ıme, ˇze hodnoty se bl´ıˇz´ı jedniˇcce. A skuteˇcnˇe lim+ x→0
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
sin x x
Prv´ akoviny 2015
= 1.
22 / 57
´ Uvod
Limita a spojitost funkce
POZOR – nejde o nepr˚ ustˇrelnou metodu: x
1
0, 1
0, 01
0, 001
0, 0001
···
sin πx
0
0
0
0
0
···
Pˇritom lim+ sin πx neexistuje. x→0
(Zkuste dosazovat n´ahodn´a ˇc´ısla bl´ıˇz´ıc´ı se k nule zprava. . π = −0, 8660253055.) Napˇr. sin 0,003 c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
23 / 57
´ Uvod
Limita a spojitost funkce
Definice 11 (Spojitost v bodˇe) ˇ Rekneme, ˇze funkce f je spojit´a v bodˇe x0 ∈ D(f ), jestliˇze limx→x0 f (x) existuje a je rovna f (x0 ), tj. ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ Oδ (x0 ) plat´ı f (x) ∈ Oε (f (x0 )). ˇ Rekneme, ˇze funkce f je spojit´a v bodˇe x0 zprava (zleva), je-li ! lim f (x) = f (x0 )
x→x0+
c Petr Hasil (MUNI)
lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0−
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
24 / 57
´ Uvod
Limita a spojitost funkce
Definice 12 (Spojitost na intervalu) ˇ Rekneme, ˇze funkce f je spojit´a na otevˇren´em intervalu (a, b), je-li spojit´a v kaˇzd´em x ∈ (a, b). ˇ Rekneme, ˇze funkce f je spojit´a na uzavˇren´em intervalu [a, b], je-li spojit´a na otevˇren´em intervalu (a, b) a v bodech a (b) je spojit´a zprava (zleva).
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
25 / 57
´ Uvod
Limita a spojitost funkce
Pˇr´ıklad 8 ( 0 x ∈Q Dirichletova funkce χ(x) = nen´ı spojit´a v ˇz´adn´em bodˇe 1 x ∈I (limx→x0 χ(x) neexistuje – libovolnˇe mal´e okol´ı obsahuje 1 i 0). Pˇr´ıklad 9 Funkce f (x) = x · χ(x) je spojit´a v bodˇe x0 = 0 a nen´ı spojit´a v ˇz´adn´em jin´em bodˇe. χ(x) = 0 lim x x→0 |{z} |{z} →0 ohraniˇ cen´ a
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
26 / 57
´ Uvod
Limita a spojitost funkce
Pozn´amka Pˇredstava, ˇze funkce je spojit´a jestliˇze se nepˇretrhne“ plat´ı, ale je ” zav´adˇej´ıc´ı. Napˇr. funkce f (x) = x(x − 1)(x − 2)χ(x) je spojit´a v bodech 0, 1 a 2.
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
27 / 57
Diferenci´ aln´ı poˇ cet
Derivace
Definice 13 (Derivace funkce f v bodˇe) Necht’ x0 je vnitˇrn´ım bodem D(f ). Jestliˇze existuje limita lim
x→x0
f (x) − f (x0 ) x − x0
naz´yv´ame tuto limitu derivac´ı funkce f v bodˇe x0 , p´ıˇseme f 0 (x0 ). Pozn´amka Je-li limita limx→x0 vlastn´ı derivaci.
f (x)−f (x0 ) x−x0
∈ R ˇrekneme, ˇze funkce f m´a v bodˇe x0
(x0 ) Je-li limita limx→x0 f (x)−f = ±∞ ˇrekneme, ˇze funkce f m´a v bodˇe x−x0 x0 nevlastn´ı derivaci +∞ nebo −∞.
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
29 / 57
Diferenci´ aln´ı poˇ cet
Derivace
Definice 14 (Derivace funkce) M´a-li funkce f derivaci v kaˇzd´em bodˇe intervalu I ⊆ D(f ), pak se funkce x 7→ f 0 (x) naz´yv´a derivace funkce f a znaˇc´ı se f 0 . Definice 15 (Derivace zprava / zleva) f+0 (x0 ) = lim+ x→x0
f (x) − f (x0 ) , x − x0
f−0 (x0 ) = lim
x→x0−
f (x) − f (x0 ) x − x0
Pozn´amka Zaveden´ım h jako x = x0 + h z´ısk´ame f (x + h) − f (x) . h→0 h
f 0 (x0 ) = lim
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
30 / 57
Diferenci´ aln´ı poˇ cet
Derivace
Geometrick´y v´yznam derivace Seˇcna grafu funkce f proch´azej´ıc´ı body [x0 , f (x0 )] a [x0 + h, f (x0 + h)] m´a smˇernici f (x0 + h) − f (x0 ) tg ϕ = . h Jestliˇze se s bodem x0 + h bl´ıˇz´ıme k bodu x0 (tj. prov´ad´ıme limitn´ı pˇrechod h → 0), pˇrejde tato seˇcna v teˇcnu v bodˇe [x0 , f (x0 )]. Smˇernice teˇcny ke grafu funkce f v bodˇe x0 je tedy f (x0 + h) − f (x0 ) , h→0 h lim
coˇz je pˇresnˇe derivace funkce f v bodˇe x0 .
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
31 / 57
Diferenci´ aln´ı poˇ cet
c Petr Hasil (MUNI)
Derivace
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
32 / 57
Diferenci´ aln´ı poˇ cet
Derivace
Vˇeta 1 M´a-li funkce v bodˇe x0 derivaci (vlastn´ı), pak je v tomto bodˇe spojit´a. D˚ ukaz. f (x) − f (x0 ) = x − x0 f (x) − f (x0 ) lim (x − x0 ) · lim = 0. x→x0 x→x0 x − x0 | {z } | {z }
lim (f (x) − f (x0 )) = lim (x − x0 ) ·
x→x0
x→x0
0
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
ˇ c´ıslo∈R
Prv´ akoviny 2015
33 / 57
Diferenci´ aln´ı poˇ cet
Derivace
Pozn´amka Opaˇcn´e tvrzen´ı neplat´ı – ze spojitosti neplyne existence derivace. Napˇr. funkce f (x) = |x| je spojit´a na cel´em R, ale v x0 = 0 nem´a derivaci.
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
34 / 57
Diferenci´ aln´ı poˇ cet
Derivace
Pozn´amka Bolzano a Weierstrass sestrojili funkci, kter´a je spojit´a v kaˇzd´em bodˇe, ale v ˇz´adn´em nem´a derivaci. fn (x) =
1 n
cos (n2 x),
gn (x) = f1 (x) + · · · + fn (x)
Pro n → ∞ je gn spojit´a ( hust´a, roztˇresen´a ˇc´ara“). ”
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
35 / 57
Diferenci´ aln´ı poˇ cet
g5 (x) =
c Petr Hasil (MUNI)
P5
Derivace
1 i=1 i
cos (i 2 x)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
36 / 57
Diferenci´ aln´ı poˇ cet
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad 10 Jak rychle kles´a voda ve v´alcov´e n´adrˇzi, jestliˇze vyt´ek´a rychlost´ı 3000 l/min?
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
38 / 57
Diferenci´ aln´ı poˇ cet
Pˇr´ıklady
Oznaˇcme r polomˇer n´adrˇze [m], h(t) v´yˇsku vody v n´adrˇzi [m], t ˇcas [min], V (t) objem vody v n´adrˇzi [m3 ]. V´ıme, ˇze V 0 (t) = −3000 l/min, tj. V 0 (t) = −3 m3 /min (objem se zmenˇsuje, jeho derivace je tedy z´aporn´a). Hled´ame h0 (t). Z rovnice pro objem v´alce V (t) = π r 2 h(t) urˇc´ıme derivov´an´ım podle t V 0 (t) = π r 2 h0 (t),
tj. h0 (t) =
−3 V 0 (t) = . π r2 π r2
Voda tedy kles´a (protoˇze je derivace objemu z´aporn´a) rychlost´ı 3/(π r 2 ) m/min. Pro mal´e r bude voda klesat rychle, pro velk´e r bude voda klesat pomalu. Napˇr. pro r = 10 cm, tj. r = 0.1 m, je h0 (t) = −300/π = −95 m/min, naproti tomu pro r = 10 m je h0 (t) = −3/(100 π) = −0.0095 m/min, tj. h0 (t) = −9.5 mm/min. c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
39 / 57
Diferenci´ aln´ı poˇ cet
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad 11 Horkovzduˇsn´y bal´on stoup´a kolmo vzh˚ uru. Je zachycen radarem, kter´y je 500 metr˚ u od m´ısta vzletu a kter´y v t´e chv´ıli ud´av´a elevaˇcn´ı u ´hel π4 , pˇriˇcemˇz u ´hel roste rychlost´ı 0.14 rad/min. Jak rychle v tomto okamˇziku bal´ on stoup´a?
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
40 / 57
Diferenci´ aln´ı poˇ cet
Pˇr´ıklady
Oznaˇcme t ˇcas [min], h(t) v´yˇska bal´ onu nad zem´ı [m], ϕ(t) vertik´aln´ı elevaˇcn´ı u ´hel radaru [rad]. Potom v´ıme, ˇze ϕ0 (t) = 0.14 rad/min, kdyˇz je π uhl´eho troj´ uheln´ıka vid´ıme, ˇze ϕ = 4 . Hled´ame h0 (t) pro ϕ = π4 . Z pravo´ tg ϕ(t) =
h(t) , 500
tj. h(t) = 500 tg ϕ(t).
Derivov´an´ım podle t urˇc´ıme h0 (t) = 500
1 cos2 ϕ(t)
ϕ0 (t),
tj. v uveden´em okamˇziku je h0 (t) = 500
1 cos2
π 4
(0.14) = 140 m/min.
V dan´em okamˇziku stoup´a bal´ on rychlost´ı 140 m/min. c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
41 / 57
Diferenci´ aln´ı poˇ cet
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad 12 Policejn´ı auto sleduje auto lupiˇc˚ u. Pˇrij´ıˇzd´ı k pravo´ uhl´e kˇriˇzovatce ze severu, pˇriˇcemˇz auto lupiˇc˚ u jiˇz uj´ıˇzd´ı od kˇriˇzovatky na v´ychod. Kdyˇz je policejn´ı auto 0.6 km od kˇriˇzovatky a auto lupiˇc˚ u 0.8 km od kˇriˇzovatky, ud´av´a radar v policejn´ım autˇe, ˇze se auto lupiˇc˚ u vzdaluje od jejich auta rychlost´ı 40 km/h. Policejn´ı auto jede v t´e chv´ıli rychlost´ı 120 km/h. Urˇcete rychlost auta lupiˇc˚ u v tomto okamˇziku.
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
42 / 57
Diferenci´ aln´ı poˇ cet
Pˇr´ıklady
Oznaˇcme x(t) pozici auta lupiˇc˚ u (vodorovnˇe) [km], y (t) pozici policejn´ıho auta (svisle) [km], t ˇcas [h], s(t) vzduˇsnou vzd´alenost mezi auty [km]. Potom v´ıme, ˇze s 0 (t) = 40 km/h pro x = 0.8 km a y = 0.6 km a y 0 (t) = −120 km/h (policejn´ı auto se ke kˇriˇzovatce pˇribliˇzuje, proto je derivace jejich pozice y (t) z´aporn´a). Hled´ame x 0 (t) v t´emˇze okamˇziku. Z rovnice s 2 (t) = x 2 (t) + y 2 (t) obdrˇz´ıme derivov´an´ım podle t 2 s(t) s 0 (t) = 2 x(t) x 0 (t)+2 y (t) y 0 (t),
tj. x 0 (t) =
s(t) s 0 (t) − y (t) y 0 (t) . x(t)
Dosazen´ım u ´daj˚ u pro dan´y okamˇzik dostaneme p (0.6)2 + (0.8)2 · 40 − (0.6) (−120) 0 = 140 km/h. x (t) = 0.8 Auto lupiˇc˚ u uj´ıˇzd´ı v dan´em okamˇziku od kˇriˇzovatky rychlost´ı 140 km/h. c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
43 / 57
Integr´ aln´ı poˇ cet
Neurˇ cit´ y a urˇ cit´ y integr´ al
Definice 16 ˇ Rekneme, ˇze funkce F je na intervalu I primitivn´ı funkc´ı k funkci f , jestliˇze F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ I .
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
45 / 57
Integr´ aln´ı poˇ cet
Neurˇ cit´ y a urˇ cit´ y integr´ al
Vˇeta 2 Jsou-li funkce F a G primitivn´ı funkce k funkci f na intervalu I , pak existuje konstanta c ∈ R takov´a, ˇze G = F + c. D˚ ukaz. 0 F (x) = f (x), G 0 (x) = f (x) ⇒ (F (x) − G (x))0 = 0 na I ⇒ {z } | spojit´ a funkce
F (x) − G (x) = c ∈ R.
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
46 / 57
Integr´ aln´ı poˇ cet
Neurˇ cit´ y a urˇ cit´ y integr´ al
Definice 17 Mnoˇzina primitivn´ ıch funkc´ı k funkci f se naz´yv´a neurˇcit´y integr´al funkce f R a znaˇc´ı se f (x)dx.
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
47 / 57
Integr´ aln´ı poˇ cet
Neurˇ cit´ y a urˇ cit´ y integr´ al
Naˇs´ım c´ılem nyn´ı bude v´ypoˇcet plochy podgrafu dan´e (nez´aporn´e) funkce f .
Podgraf = [x, y ] ∈ R2 : x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f (x) .
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
48 / 57
Integr´ aln´ı poˇ cet
Neurˇ cit´ y a urˇ cit´ y integr´ al
Definice 18 Necht’ D = {x0 , x1 , . . . , xn } je dˇelen´ı intervalu [a, b] a ξi ∈ [xi−1 , xi ]. Pak K = {ξ1 , . . . , ξn } se naz´yv´a v´ybˇer reprezentant˚ u dˇelen´ı D a souˇcet n X
f (ξi )(xi − xi−1 ) =: S(D, f , K )
i=1
se naz´yv´a integr´aln´ı souˇcet funkce f pˇr´ısluˇsn´y dˇelen´ı D a v´ybˇeru reprezentant˚ u K.
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
49 / 57
Integr´ aln´ı poˇ cet
Neurˇ cit´ y a urˇ cit´ y integr´ al
Vˇeta 3 Necht’ funkce f je integrovateln´a na intervalu [a, b] a Dn je libovoln´a nulov´a posloupnost dˇelen´ı tohoto intervalu. Pak pro kaˇzd´y v´ybˇer reprezentant˚ u Kn dˇelen´ı Dn plat´ı Z lim S(Dn , f , Kn ) =
n→∞
c Petr Hasil (MUNI)
b
f (x)dx. a
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
50 / 57
Integr´ aln´ı poˇ cet
Neurˇ cit´ y a urˇ cit´ y integr´ al
Vˇeta 4 (Newton˚ uv-Leibnitz˚ uv vzorec) Necht’ funkce f je integrovateln´a na intervalu [a, b], funkce F je spojit´a na [a, b] a na (a, b) je primitivn´ı funkc´ı k f , tj. F 0 = f na (a, b). Pak plat´ı Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a). a
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
51 / 57
Integr´ aln´ı poˇ cet
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad 13 5
x3 x dx = 3 −2
Z
c Petr Hasil (MUNI)
2
5 = −2
133 53 (−2)3 − = . 3 3 3
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
53 / 57
Integr´ aln´ı poˇ cet
Pˇr´ıklady
Objem a povrch pl´aˇstˇe rotaˇcn´ıho tˇelesa (rotace nez´aporn´e funkce f kolem osy x na intervalu [a, b]). Z b Z b q 02 f 2 (x)dx. P = 2π f (x) 1 + f (x)dx, V = π a
a
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
54 / 57
Integr´ aln´ı poˇ cet
Pˇr´ıklady
Vzorec pro objem rotaˇcn´ıho tˇelesa plyne pˇr´ımo z konstrukce integr´alu. Uvaˇzujme dˇelen´ı intervalu [a, b], v kaˇzd´em d´ılku zvol´ıme reprezentanta ξi . T´ım obdrˇz´ıme obd´eln´ık dan´y d´elkou d´ılku a funkˇcn´ı hodnotou v pˇr´ısluˇsn´em reprezentantu. Rotujeme-li tento obd´eln´ık kolem osy x, vytvoˇr´ı v´alec o polomˇeru f (ξi ) a v´yˇsce xi − xi−1 . Souˇcet vˇsech objem˚ u pˇrejde pro nulovou posloupnost dˇelen´ı v objem uvaˇzovan´eho rotaˇcn´ıho tˇelesa. V ≈
n X
2
2
Z
πf (ξi )(xi − xi−1 ) = S(D, πf , K ) −→ π
b
f 2 (x)dx = V
a
i=1
Podobnˇe lze odvodit vzorec pro povrch pl´aˇstˇe – nahrad´ıme-li kˇrivku za lomenou ˇc´aru, objekt snadno rozdˇel´ıme na sadu komol´ych kuˇzel˚ u. Souˇcet povrch˚ u pl´aˇstˇe tˇechto kuˇzel˚ u se pro nulov´e dˇelen´ı bl´ıˇz´ı k povrchu pl´aˇstˇe dan´eho tˇelesa.
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
55 / 57
Integr´ aln´ı poˇ cet
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad 14 Vypoˇctˇete povrch koule o polomˇeru R. Z P = 2 · 2π 0
c Petr Hasil (MUNI)
R
Z R p R 2 2 R −x √ dx = 4πR dx = 4πR 2 R2 − x2 0
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
56 / 57
Integr´ aln´ı poˇ cet
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad 15 Urˇcete objem tˇelesa vznikl´eho rotac´ı plochy omezen´e grafy funkc´ı f (x) = x 2 + 1 a g (x) = x + 3 kolem osy x.
Z
2 2
Z
2
f 2 (x)dx
g (x)dx − π
V =π −1 Z 2
=π −1 Z 2
=π
−1
(x + 3)2 − (x 2 + 1)2 dx 8 + 6x − x 2 − x 4 dx
−1
= ... =
117 π. 5
c Petr Hasil (MUNI)
´ Uvod do infinitezim´ aln´ıho poˇ ctu
Prv´ akoviny 2015
57 / 57
