57

3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno

3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC – p.1/57

Abstrakt přednášky Abstrakt V te´to kapitole se sezna´mı´me se soustavami linea´rnıćh rovnic nad obecny´m teˇlesem K a naucˇı´me se je ˇresˇit. Vyuzˇijeme prˇi tom za´pis soustavy pomocı´ jiste´ matice. Strukturnı´ vlastnosti mnozˇiny vsˇech ˇresˇenı´ dane´ soustavy a jejich du˚sledky budeme studovat azˇ pozdeˇji, pote´, co se blı´zˇe sezna´mı´me se strukturou vektorovyćh prostoru˚.


Obsah přednášky

Obsah ´ RNIĆH ROVNIC 3 SOUSTAVY LINEA 4 3.1 Maticovy´ za´pis soustavy linea´rnıćh rovnic 3.2 Redukovany´ stupnˇovity´ tvar matice 16 3.3 Elementa´rnı´ ˇra´dkove´ a sloupcove´ operace 3.4 Gaussova eliminacˇnı´ metoda . . . 50


Maticový zápis I

3 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 3.1 Maticový zápis soustavy lineárních rovnic Za´kladnı´ pojem tohoto odstavce je pojem linea´rnı´ rovnice.


Maticový zápis II Linea´rnı´ rovnicı´ o n nezna´mych x1 , . . . , xn nad cˇı´selny´m teˇlesem K rozumı´me formuli tvaru a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b, kde a1 , a2 , . . . , an , b ∈ K, v promeˇnnyćh x1 , x 2 , . . . , x n .


Maticový zápis III Soustavou m linea´rnıćh rovnic o n nezna´myćh x1 , x2 , . . . , xn nad cˇı´selny´m teˇlesem K rozumı´me konjunkci formulı´ tvaru

a11x1 + a21 x2 + . . . + a1n xn = b1 ... ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bm.


Maticový zápis IV Zde aij , bi , pro 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, jsou skala´ry z teˇlesa K. Matici A = (aij ) ∈ K m×n nazy´va´me maticı´ soustavy, sloupcovy´ vektor b = (b1 , . . . , bm )T ∈ K m nazy´va´me jejı´ pravou stranou. Rozsˇ´ırˇenou maticı´ soustavy nazy´va´me blokovou matici (A | b) ∈ K m×(n+1) . Soustava sa nazy´va´ homogennı´, je-li b = 0; v opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ sa nazy´va´ nehomogennı´.


Maticový zápis V Uvedenou soustavu mu˚zˇeme strucˇneˇ a u´sporneˇ zapsat v maticove´m tvaru A · x = b, resp., pokud jde o homogennı´ soustavu, v tvaru A · x = 0. Rˇesˇenı´m soustavy A · x = b nazy´va´me takovy´ vektor x = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ K n , jehozˇ slozˇky vyhovujı´ kazˇde´ z rovnic te´to soustavy, t. j. platı´ A · x = b.


Maticový zápis VI Vyrˇesˇit soustavu znamena´ najı´t vsˇechna jejı´ ˇresˇenı´, t. j. popsat mnozˇinu vsˇech jejıćh ˇresˇenı´. Dveˇ soustavy A · x = b a B · x = c, kde A, B ∈ K m×n , b, c ∈ K m×1 , se nazy´vajı´ ekvivalentnı´, pokud majı´ stejnou mnozˇinu ˇresˇenı´, t. j. pokud pro vsˇechna x ∈ K n platı´ A · x = b pra´veˇ tehdy, kdyzˇ B · x = c.


Poznámka I

Pozna´mka (a) Podtrhneˇme, zˇe ˇresˇenı´m soustavy rozumı´me vzˇdy sloupcovy´ vektor x a ne jeho slozˇky. Tak naprˇ´ıklad soustava 2x + 3y = 12 3x − 2y = 5 nad teˇlesem R ma´ jedine´ ˇresˇenı´ nikoliv dveˇ ˇresˇenı´ x = 3, y = 2.

x y

!

=

3 2

!

a


Poznámka II Budeme pak ˇr´ıkat, zˇe soustava ma´ jedine´ ˇresˇenı´ x = 3, y = 2. (b) Vsˇimneˇme si, zˇe pocˇet rovnic soustavy a pocˇet nezna´myćh se nemusı´ rovnat. V obvykle´m prˇ´ıpadeˇ, kdyzˇ rovnic je stejny´ pocˇet jako nezna´myćh, ocˇeka´va´me, zˇe soustava bude mı´t jedine´ ˇresˇenı´. Pokud je rovnic meńeˇ nezˇ nezna´myćh, lzee ocˇeka´vat, zˇe soustava bude mı´ vıćero (prˇ´ıpadneˇ i nekonecˇneˇ mnoho) ˇresˇenı´.


Poznámka III Naopak, pokud je rovnic vıće nezˇ nezna´myćh, mu˚zˇe se sta´t, zˇe soustava nebude mı´t zˇa´dne´ ˇresˇenı´. Naproti tomu, zˇe tato ocˇeka´vanı´ vyjadrˇujı´ „prˇevla´dajıćı´ trend“, lehce lze najı´t prˇ´ıklady, kdy se nemusı´ splnit. Poznamenejme, zˇe homogennı´ soustava A · x = 0 ma´ (bez ohledu na pocˇet nezna´myćh a pocˇet rovnic) vzˇdy alesponˇ jedno ˇresˇenı´ – je jı´m nulovy´ vektor x = 0.


Poznámka IV Nenı´ du˚lezˇite´, jaky´mi znaky jsou oznacˇene´ nezna´me´ v soustaveˇ A · x = b. Na jejı´ ˇresˇenı´ nema´ vliv, zda si vektor nezna´myćh oznacˇı´me x = (x1 , . . . , xn )T nebo y = (y1 , . . . , yn )T nebo neˇjak jinak. To znamena´, zˇe cela´ informace o te´to soustaveˇ, potrˇebna´ pro nalezenı´ vsˇech jejich ˇresˇenı´, je obsazˇena´ v rozsˇ´ıˇrene´ matici soustavy (A | b), resp., pokud pu˚jde o homogennı´ soustavu, jen v matici soustavy A.


Poznámka V Proto i metoda ˇresˇenı´ soustav linea´rnıćh rovnic, se kterou se nynı´ sezna´mı´me, bude zalozˇena´ jen na u´praveˇ te´to matice. Rozsˇ´ıˇrenou matici (A | b) soustavy A · x = b budeme upravovat tak, abychom dostali neˇjakou jinou matici (B |c), ktera´ odpovı´da´ nove´ soustaveˇ B · x = c, prˇicˇemzˇ tato splnˇuje nasledujıćı´ dveˇ podmıńky:


Poznámka VI (a) Je ekvivalentnı´ s pu˚vodnı´ soustavou A · x = b, t. j. ma´ stejnou mnozˇinu ˇresˇenı´. (b) Vsˇechna jejı´ ˇresˇenı´ mu˚zˇeme prˇ´ımo vycˇı´st z jejı´ rozsˇ´ıˇrene´ matice (B | c). Pak ˇr´ıka´me, zˇe soustava B · x = c je vyrˇesˇena´.


Redukovaný tvar I

3.2 Redukovaný stupňovitý tvar matice ˇ ´ıka´me, zˇe prvek aij matice A ∈ K m×n je R vedoucı´ prvek i-te´ho ˇra´dku matice A, pokud aij 6= 0, a j = 1 nebo ail = 0 pro vsˇechny 1 ≤ l < j. Jinak ˇrecˇeno, vedoucı´ prvek nenulove´ho ˇra´dku je prvnı´ nenulovy´ prvek tohoto ˇra´dku. Nulovy´ ˇra´dek nema´ vedoucı´ prvek.


Redukovaný tvar II ˇ ekneme, zˇe matice A = (aij ) ∈ K m×n je R v redukovane´m stupnˇovite´m tvaru, pokud splnˇuje nasledujıćı´ cˇtyrˇi podmıńky: (a) Je-li ri (A) 6= 0 a rk (A) = 0, pak i < k; t. j. kazˇdy´ nenulovy´ ˇra´dek matice A lezˇ´ı nad kazˇdy´m jejı´m nulovy´m ˇra´dkem. (b) Jsou-li aij , akl vedoucı´ prvky i-te´ho resp. k-te´ho ˇra´dku a i < k, pak platı´ j < l; t. j. vedoucı´ prvek vysˇsˇ´ıho ˇra´dku lezˇ´ı vıće vlevo nezˇ vedoucı´ prvek nizˇsˇ´ıho ˇra´dku.


Redukovaný tvar III (c) Je-li aij vedoucı´ prvek i-te´ho ˇra´dku, pak aij = 1; t. j. vedoucı´ prvek kazˇde´ho nenulove´ho ˇra´dku je 1. (d) Je-li aij vedoucı´ prvek i-te´ho ˇra´dku, tak akj = 0 pro kazˇde´ k 6= i; t. j. v sloupci, v ktere´m sa nacha´zı´ vedoucı´ prvek neˇjake´ho ˇra´dku, jsou vsˇechny ostatnı´ prvky rovne´ 0.


Redukovaný tvar IV Pokud matice A splnˇuje pouze podmıńky (a), (b), ˇr´ıka´me, zˇe je v stupnˇovite´m tvaru. Pouzˇ´ıva´ se te´zˇ na´zev (redukovany´) schodovity´ tvar. Na´sledujıćı´ matice nejsou ve stupnˇovite´m tvaru 



0 2 1   1 0 0 0 0 0

    

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

    


Redukovaný tvar V

Matice jsou ve stupnˇovite´m tvaru, ale nejsou v redukovane´m stupnˇovite´m tvaru.     1 2 3 4 2 3 0 1 0 1 2 3       0 0 1 4 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1


Redukovaný tvar VI

Matice jsou v redukovane´m stupnˇovite´m tvaru.     1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 2 0       0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0


Redukovaný tvar VII Jednotkova´ a nulova´ matice jsou v redukovane´m stupnˇovite´m tvaru.

Prˇ´ıklad 







3 1 0 −2 0 0     (B | c) =  0 1 6 0 0  =  0  1 0 0 0 1 0

je matice v redukovane´m stupnˇovite´m tvaru nad R.


Redukovaný tvar VIII Tato matice odpovı´da´ soustaveˇ x1

− 2x3 x2 + 6x3 x4

=3 =0 =1

v nezna´myćh x1 , x2 , x3 , x4 , x5 . Tato soustava ma´ nekonecˇneˇ mnoho ˇresˇenı´.


Redukovaný tvar IX

Kazˇde´ volbeˇ parametru˚ s, t ∈ R zodpovı´da´ jedno ˇresˇenı´ x1 = 3 + 2s x2 = − 6s x3 = s x4 = 1 t. x5 =


Redukovaný tvar X Prˇeznacˇenı´ nezna´myćh za parametry x3 = s, x5 = t a jejich prˇesun na pravou stranu je natolik bezprostrˇednı´ u´prava, zˇe soustavu prˇ´ıslusˇnou k matici (B | c) mu˚zˇeme povazˇovat za vyrˇesˇenou. ˇ esˇenı´ lze napsat prˇ´ımo na za´kladeˇ matice R (B | c). Soustavu linea´rnıćh rovnic B · x = c nad teˇlesem K budeme nazy´vat vyrˇesˇenou soustavou, pokud jejı´ rozsˇ´ıˇrena´ matice (B | c) je v redukovane´m stupnˇovite´m tvaru.


Redukovaný tvar XI V prˇ´ıpadeˇ homogennı´ soustavy se stacˇı´ omezit pouze na matici B. Nynı´ uka´zˇeme, jak mu˚zˇeme k dane´ blokove´ matici (B | c) v redukovane´m stupnˇovite´m tvaru najı´t vsˇechna ˇresˇnı´ soustavy B · x = c. Nejprve si ujasnı´me, kdy je takova´to soustava rˇesˇitelna´, t. j. ma´ alesponˇ jedno ˇresˇenı´.


Redukovaný tvar XII Soustava B · x = c ma´ ˇresˇenı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ se v matici (B | c) nenacha´zı´ ˇra´dek tvaru (0, . . . , 0 | 1). | {z } n-kra´t

Takovy´ ˇra´dek odpovı´da´ rovnici 0 = 1, ktera´ ocˇividneˇ nema´ ˇresˇenı´. To, zˇe neprˇ´ıtomnost takove´hoto ˇra´dku je i postacˇujıćı´ podmıńkou ˇresˇitelnosti soustavy, vyply´va z na´sledujıćı´ho postupu, jak toto ˇresˇenı´ najı´t.


Redukovaný tvar XIII Pokud se v j-te´m sloupci matice B nenacha´zı´ vedoucı´ prvek zˇa´dne´ho ˇra´dku, tak si nezna´mou xj zvolı´me za parametr; pokud se v j-te´m sloupci nacha´dzı´ vedoucı´ prvek neˇjake´ho ˇra´dku, tak si vyja´drˇ´ıme nezna´mou xj pomocı´ parametru˚ tak, zˇe sloupce matice B prˇ´ıslusˇne´ teˇmto parametru˚m „prˇehodı´me s opacˇny´m znameńkem na druhou stranu“.


Redukovaný tvar XIV

Prˇ´ıklad.  1 0 0 2/3 −1/2 5   (B | c) =  0 1 0 3/4 0 2 x 0 0 1 −4 −2/5 −2 

je matice v redukovane´m stupnˇovite´m tvaru nad R. Vidı´me, zˇe se v nı´ nenacha´zı´ ˇra´dek tvaru (0, 0, 0, 0 | 1), tedy soustava B · x = c by meˇla mı´t ˇresˇenı´.


Redukovaný tvar XV Vedoucı´ prvky ˇra´dku˚ matice B sa nacha´zajı´ ve sloupcıćh 1, 2 a 3. Za parametry si tedy ˇ esˇenı´m soustavy je zvolı´me nezna´me´ x4 a x5 . R kazˇdy´ vektor (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T ∈ R tvaru x1 x2 x3 x4 x5

= 5− 23 s+ 12 t = 2− 34 s = −2+4s+ 25 t = s = t,


Redukovaný tvar XVI Parametry s, t ∈ R mohou naby´vat libovolne´ hodnoty. Zlomku˚ u parametru˚ se mu˚zˇeme zbavit. Je jedno, zda si parametricke´ promeˇnne´ zvolı´me ve tvaru x4 = s, x5 = t nebo ve tvaru x4 = 12s, x5 = 10t, kde s, t ∈ R. Prˇi takove´to volbeˇ parametru˚ dostaneme vsˇechna ˇresˇenı´ soustavy x1 = 5− 8s +5t x2 = 2 −9s x3 = −2+36s+ 4t ve tvaru bez zlomku˚. 12s x4 = 10t x5 =


ERO a ESO I

3.3 Elementární řádkové a sloupcové operace (ERO a ESO) Elementa´rnı´ rˇa´dkovou operacı´ (transformacı´), zkraćeneˇ ERO, na matici A ∈ K m×n rozumı´me I. Vy´meˇnu dvou ˇra´dku˚ matice A; II. Vyna´sobenı´ neˇktere´ho ˇra´dku matice A nenulovy´m skala´rem z cˇı´selne´ho teˇlesa K; III. Prˇicˇtenı´ skala´rnı´ho na´sobku neˇktere´ho ˇra´dku matice A k jejı´mu jine´mu ˇra´dku.


ERO a ESO II Matice A, B ∈ K m×n sa nazy´vajı´ rˇa´dkoveˇ ekvivalentnı´, oznacˇenı´ A ∼ B, pokud jednu z nich mu˚zˇeme upravit na druhou konecˇny´m pocˇtem elementa´rnıćh ˇra´dkovyćh operacı´. Analogicke´ pojmy – elementa´rnı´ sloupcove´ operace (ESO) a sloupcova´ ekvivalence matic, oznacˇenı´ A o B.


ERO a ESO III Vy´meˇnou i-te´ho a k-te´ho ˇra´dku v matici    r1 (A) r1 (A)    . .. ..    .     rk (A)  ri (A)        . .. . dostaneme matici A=   . .     ri (A)  rk (A)     .. ..    . .    rm (A) rm (A)



      .     


ERO a ESO IV Vyna´sobenı´m i-te´ho ˇra´dku matice A skala´rem c 6= 0 dostaneme matici   r1 (A)   . ..      cri (A)      .. . Vyna´sobenı´m i-te´ho ˇra´dku te´to  .    rk (A)  matice skala´rem c−1 6= 0 zı´s ka´me opeˇt matici A.  ..   .   rm (A)


ERO a ESO V Prˇicˇtenı´m c-na´sobku i-te´ho ˇra´dku matice A k jejı´mu k-te´mu ˇra´dku z nı´ dostaneme matici   r1 (A)   . ..       (A) r i     .. .  .    rk (A) + cri (A)    ..   .   rm (A)


ERO a ESO VI Vsˇimneˇme si, zˇe i-ty´ ˇra´dek prˇi te´to u´praveˇ zu˚sta´va´ nezmeˇneˇny´. Matici A z te´to matice zı´ska´me prˇicˇtenı´m (−c)-na´sobku jejı´ho i-te´ho ˇra´ddku k jejı´mu k-te´mu ˇra´dku. Poznamenejme, zˇe, v prˇ´ıpadeˇ vy´meˇny opeˇtovnou vy´meˇnou i-te´ho a k-te´ho ˇra´dku v matici vznikle´ vy´meˇnou i-te´ho a k-te´ho ˇra´dku, zı´skame zase matici A.


ERO a ESO VII Je-li A · x = b soustava s rozsˇ´ıˇrenou maticı´ (A | b) a blokova´ matica (A0 | b0 ) vznikne z (A | b) provedenı´m jedne´ (neza´lezˇ´ı ktere´) ERO, pak soustava A0 · x = b0 je ekvivalentnı´ s pu˚vodnı´ soustavou A · x = b.


ERO a ESO VIII

Elementa´rnı´ ˇra´dkove´ operace na matici (A | b) totizˇ odpovı´dajı´ postupne´ za´meˇneˇ porˇadı´ dvou rovnic soustavy, vyna´sobenı´m neˇktere´ rovnice nenulovy´m skala´rem a prˇicˇtenı´m neˇjake´ho na´sobku jedne´ rovnice k jine´ rovnici.


ERO a ESO IX Prˇesneˇji nahrazenı´m dvojice rovnic

ri(A) · x = bi, rk (A) · x = bk dvojicı´ rovnic

ri (A) · x = bi , (rk (A) + cri(A)) · x = bk + cbi.


ERO a ESO X Je-li A · x = b soustava s rozsˇ´ıˇrenou maticı´ 0 0 (A | b) a (A | b ) rozsˇ´ıˇrena´ matice nove´ ekvivalentnı´ soustavy A0 · x = b0 , mu˚zˇeme se od nove´ soustavy vhodnou ERO provedenou na jejı´ rozsˇ´ıˇrene´ matici opeˇt vra´tit k pu˚vodnı´ soustaveˇ A · x = b.


ERO a ESO XI

Tvrzenı´ 1 Necht’ K je teˇleso, A, B ∈ K m×n , m b, c ∈ K . Jsou-li blokove´ matice (A | b), (B | c) ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´, pak jsou i soustavy linea´rnıćh rovnic A · x = b, B · x = c ekvivalentnı´.


ERO a ESO XII Veˇta 2 Kazˇda´ matice nad cˇı´selny´m teˇlesem K je ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s neˇjakou (pra´veˇ jednou) maticı´ v redukovane´m stupnˇovite´m tvaru.

Pozna´mka. Uvedeny´ redukovany´ stupnˇovity´ tvar dane´ matice je jednoznacˇneˇ urcˇeny´.


ERO a ESO XIII Prˇ´ıklad 3 Je dana´ soustava − x4 = 1 2x1 +3x2 3x1 +2x2 +4x3 −2x4 = 0 x1 − x2 +4x3 − x4 = 2 trˇech rovnic o cˇtyrˇech nezna´myćh nad teˇlesem R.


ERO a ESO XIV Jejı´ rozsˇ´ıˇrena´ matice je   2 3 0 −1 1    3 2 4 −2 0  . 1 −1 4 −1 2

Prˇi jejı´ u´praveˇ na redukovany´ stupnˇovity´ tvar budeme vynecha´vat neˇktere´ mezikroky a zaznamena´me jen neˇktere´ vy´sledky vıćero provedenyćh ERO.


ERO a ESO XV Poslednı´ ˇra´dek matice da´me na prvnı´ mı´sto, potom jeho (−2)-na´sobek prˇicˇteme k pu˚vodnı´mu prvnı´mu ˇra´dku, ktery´ posuneme na druhe´ mı´sto, a (−3)-na´sobek pu˚vodnı´ho poslednı´ho ˇra´dku prˇicˇteme k pu˚vodnı´mu druhe´mu ˇra´dku, ktery´ posuneme na trˇetı´ mı´sto. Dostaneme tak matici   1 −1 4 −1 2    0 5 −8 1 −3  . 0 5 −8 1 −6


ERO a ESO XVI Prˇicˇtenı´m (−1)-na´sobku druhe´ho ˇra´dku k trˇetı´mu ˇra´dku dostaneme matici   1 −1 4 −1 2    0 5 −8 1 −3  . 0 0 0 0 −3

Z tohoto tvaru vidı´me, zˇe soustava odpovı´dajıćı´ poslednı´ matici nema´ ˇresˇenı´ – obsahuje totizˇ rovnici 0 = −3. Tedy ani pu˚vodnı´ soustava nema´ ˇresˇenı´.


ERO a ESO XVII Dokoncˇı´me u´pravu na redukovany´ stupnˇovity´ tvar, ktery´ dostaneme vyna´sobenı´m trˇetı´ho ˇra´dku skala´rem −1/3, prˇicˇtenı´m (−2)-na´sobku resp. 3-na´sobku tohoto nove´ho ˇra´dku k prvnı´mu resp. druhe´mu ˇra´dku a, konecˇneˇ, vyna´sobenı´m druhe´ho ˇra´dku skala´rem 1/5:   1 0 12/5 6/5 0    0 1 −8/5 1/5 0  . 0 0 0 0 1


ERO a ESO XVIII m×n

m

,b∈K a Tvrzenı´ 4 Necht’ A ∈ K m < n, t. j. soustavy A · x = 0, A · x = b obsahujı´ meńeˇ rovnic nezˇ nezna´myćh. Potom (a) homogennı´ soustava A · x = 0 ma´ s ˇresˇenı´m x0 = 0 alesponˇ jedno ˇresˇenı´ x 6= 0; (b) pokud existuje alesponˇ jedno ˇresˇenı´ soustavy A · x = b, pak ma´ tato soustava vıće nezˇ jedno ˇresˇenı´.


Gaussova EM I

3.4 Gaussova eliminační metoda Da´le uvedeme tzv. Gaussovu eliminacˇnı´ metodu ˇresˇenı´ soustav linea´rnıćh rovnic. Rozsˇ´ıˇrenou matici soustavy upravı´me jen na stupnˇovity´ (tedy ne nutneˇ redukovany´ stupnˇovity´) tvar.


Gaussova EM II Z tohoto tvaru mu˚zˇeme snadno urcˇit, zda ma´ soustava neˇjake´ ˇresˇenı´ (prˇ´ıslusˇna´ matice nesmı´ obsahovat ˇra´dek tvaru (0, . . . , 0 | d), kde 0 6= d ∈ K). V tomto prˇ´ıpadeˇ mu˚zˇeme vsˇechna ˇresˇenı´ soustavy zı´skat volbou parametru˚ (opeˇt si za neˇ volı´me nezna´me´ xj takove´, zˇe v j-te´m sloupci se nevyskytuje vedoucı´ prvek zˇa´dne´ho ˇra´dku) a zpeˇtny´m dosazovańı´m, t. j. eliminacı´ nezna´myćh pomocı´ parametru˚.


Gaussova EM III Prˇ´ıklad 5 Prˇedpokla´dejme, zˇe rozsˇ´ıˇrenou matici neˇjake´ soustavy nad R jsme si pomocı´ ERO upravili na stupnˇovity´ tvar   0 2 3 0 −1 4 1    0 0 0 −2 5 4 0  . 0 0 0 0 3 1 4


Gaussova EM IV

Tato matice odpovı´da´ soustaveˇ 2x2 +3x3 −2x4

− x5 +4x6 = 1 +5x5 +4x6 = 0 3x5 + x6 = 4.

Za parametry si zvolı´me promeˇnne´ x1 , x3 a x6 .


Gaussova EM V Zpeˇtny´m dosazovańı´m postupneˇ dostaneme vsˇechna ˇresˇenı´ v parametricke´m tvaru x6 x5 x4 x3 x2 x1

= t = 13 (4 − x6 ) = 43 − 13 t 7 = 12 (5x5 + 4x6 ) = 10 − 3 6t = s = 12 (1 − 3x3 + x5 − 4x6 ) = = r,

7 6

− 32 s −

13 6t

kde r, s, t ∈ R.


Gaussova EM VI Prˇ´ıpadneˇ, po trochu „vhodneˇjsˇ´ı“ volbeˇ parametru˚, bude ˇresˇenı´ v tvaru x6 x5 x4 x3 x2 x1

= 6t, = 43 − 2t, = 10 3 − 7t, = 2s, = 76 − 3s + 13t, = r.


Gaussova EM VII Zpeˇtne´ dosazovańı´ mu˚zˇeme nahradit dalsˇ´ı u´pravou rozsˇ´ıˇrene´ matice soustavy pomocı´ ERO na redukovany´ stupnˇovity´ tvar. Stacˇı´ totizˇ vyna´sobit nenulove´ ˇra´dky prˇevraćeny´mi hodnotami jejich vedoucıćh prvku˚ a prˇicˇtenı´m vhodnyćh na´sobku˚ teˇchto ˇra´dku˚ vynulovat zby´vajıćı´ nenulove´ prvky ve sloupcıćh obsahujıćıćh vedoucı´ prvky jednotlivyćh ˇra´dku˚.


Gaussova EM VIII Gaussova eliminacˇna´ meto´da je uzˇitecˇna´ zejmeńa tehdy, pokud na´m nejde ani tak o explicitnı´ tvar ˇresˇenı´, ale spı´sˇe o samotnou ota´zku ˇresˇitelnosti soustavy, prˇ´ıpadneˇ o pocˇet parametru˚, ktere´ se v nich vyskytujı´. Toto vsˇe je mozˇne´ zjistit uzˇ na za´kladeˇ neˇjake´ matice ve stupnˇovite´m tvaru, ktera´ je ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s pu˚vodnı´ rozsˇ´ıˇrenou maticı´ soustavy. V tomto prˇ´ıpadeˇ si tedy mu˚zˇeme odpustit dalsˇ´ı u´pravu na redukovany´ stupnˇovity´ tvar i zpeˇtne´ dosazovańı´.


57

Recommend Documents