5 Warmtewisselaars. 5.1 Typen warmtewisselaars

5

Warmtewisselaars

Warmtewisselaars zijn thermische apparaten waarin warmte wordt uitgewisseld tussen twee media. In dit hoofdstuk komen twee, al wat oudere methodes aan de orde om verschillende typen warmtewisselaars thermisch te analyseren. Deze technieken worden vervolgens gebruikt om voor een concreet probleem een warmtewisselaar te dimensioneren. De drijvende kracht bij de warmte uitwisseling tussen twee media is het temperatuurverschil. Het temperatuurverschil tussen twee media kan worden verkleind door een warmtewisselaar groter te maken, maar dit betekent ook een toename in gewicht en economische investering. In het complete ontwerp traject van een warmtewisselaar, moet de thermische karakteristiek altijd samen met het benodigde pompvermogen en materiaalgebruik worden gezien.

5.1

Typen warmtewisselaars

Warmte kan op drie manieren worden overgedragen tussen twee media: direkt, regeneratief en recuperatief. Bij direkte warmte-uitwisseling wordt het ene medium direkt door het andere medium geleid. Zo kan een gas bijvoorbeeld worden gekoeld door het door een vloeistof te laten stromen. Een ander voorbeeld van direkte warmte-uitwisseling is een koeltoren, waarin een vloeistofnevel van de bovenkant naar beneden valt en wordt gekoeld door een opwaartse luchtstroom. Voor andere toepassing wordt direkte warmte-uitwisseling (nog) niet veel toegepast. Bij een regeneratieve warmtewisselaar vindt het warmtetransport plaats via een tussenmedium waardoor beide media op verschillende tijdstippen stromen. Een bekend voorbeeld van een regenerator is een “packed” bed van keramische of metalen korrels waardoor periodiek twee gassen stromen. Figuur 5.1 geeft een voorbeeld van een eenvoudige tweeweg regenerator waarbij de gasstromen via een drieweg klep afwisselend door beide regeneratoren worden geleid. Door meer regeneratoren op verschillende temperatuurniveaus toe te passen kan de variatie in uitgangstemperaturen worden verminderd. heet gas uit

heet gas in

matrix

3-weg klep

koud gas in

heet gas uit

figuur 5.1

twee weg regenerator

procestechnische constructies 4B660

71

Met een regenerator kan een relatief goedkope warmtewisselaar worden gebouwd, wanneer geen hoge eisen aan de uitgangstemperatuur en de afmetingen worden gesteld. Doordat een regenerator van het packed bed type zeer eenvoudig kan zijn, worden er geen bijzondere eisen aan de materialen gesteld, waardoor het mogelijk is om uitvoeringen te maken die bestand zijn tegen hoge temperaturen of drukken. Het warmtewiel (figuur 5.2) is een voorbeeld van een regenerator waarbij wel een constante uitgangstemperatuur wordt verkregen. De regenerator-matrix roteert tussen de beide stromen en draagt zo continu warmte over van de ene tak naar de andere.

figuur 5.2

warmtewiel

In dit college staan recuperatieve warmtewisselaars centraal. Bij een recuperatieve warmtewisselaar worden de beide media altijd via een wand van elkaar gescheiden. De warmte wordt getransporteerd via een combinatie van convectieve warmtetransport mechanismen aan de vloeistof kant en geleiding door de wand. Om de warmte-uitwisseling te verbeteren kan het wandoppervlak worden vergroot door het toepassen van bijvoorbeeld vinnen. De eenvoudigste uitvoering van een recuperator is een pijp–in–pijp warmtewisselaar (figuur 5.3). Een pijp–in–pijp warmtewisselaar kan zowel in gelijk– als in tegenstroom worden bedreven. We zullen zien dat een tegenstroom schakeling altijd een hogere thermische prestatie levert dan een gelijkstroom configuratie.

ri figuur 5.3

ru

pijp-in-pijp warmtewisselaar

Een pijp–in–pijp warmtewisselaar wordt zelden toegepast omdat de warmteverliezen naar de omgeving via het buitenoppervlak groot zijn ten opzichte van het warmtewisselend oppervlak (de binnenpijp). Een variant op de pijp-in-pijp warmtewisselaar is de shell and tube warmtewisselaar (figuur 5.4) waarin het ene medium door de pijpen stroomt en het andere medium langs de pijpen tussen de omhulling.

72


figuur 5.4

shell en tube warmtewisselaar

De “shell” van een shell en tube warmtewisselaar is meestal gemaakt van gietijzer of een stalen pijp. Voor bijzondere omstandigheden kan echter een grote variëteit aan materialen worden gebruikt. De pijpen worden in positie gehouden door de gaten die in de pijpplaten aan de voor- en achterkant zijn geboord. Om enige sterkte over te houden kunnen de pijpen niet al te dicht op elkaar worden gezet. In de romp van de warmtewisselaars zijn meestal baffles geplaatst om de stroming te geleiden (figuur 5.5-5.7). Het doel is om de warmteoverdracht te verhogen, dit gaat echter ten koste van een hogere drukval over de warmtewisselaar. romp

baffle

pijpen

figuur 5.5

shell en tube warmtewisselaar met gesegmenteerde baffles romp

baffle

pijpen

figuur 5.6

shell en tube warmtewisselaar met “disk and doughnut” baffles


73

figuur 5.7

shell en tube warmtewisselaar met “orifice” baffles

Er zijn veel constructieve uitvoeringen bedacht om twee hoofdproblemen bij shell en tube warmtewisselaars te ondervangen: verschil in thermische expansie tussen de shell en de buizen en vervuiling. Om het eerste te ondervangen moeten de buizen ten opzichte van de romp kunnen bewegen. Om de warmtewisselaar te kunnen reinigen moet de warmtewisselaar eenvoudig geopend kunnen worden. In figuur 5.8 staat een basisuitvoering van een 1-2 warmtewisselaar. In figuur 5.9 is een U-bend warmtewisselaar geschetst, de rechter pijpplaat hoeft niet vast gemonteerd te worden, zodat de buizen kunnen schuiven in de shell. Als de warmtewisselaar ook nog eenvoudig geopend moet kunnen worden, kan een ”floating head” type uitkomst brengen (figuur 5.10).

figuur 5.8

1-2 warmtewisselaar

figuur 5.9

figuur 5.10

1-2 pull trhuogh, floating head warmtewisselaar.

1-2 U-bend warmtewisselaar

Een uitvoeringsvorm die veel wordt toegepast bij luchtverhitting of –koeling is geschetst in figuur 5.11. De vloeistof stroomt door de pijpen terwijl het gas loodrecht op de pijpen door een kast gaat, gedwongen, of door vrije convectie. De gasstroom wordt gemengd genoemd omdat de gasstroom vrij om de pijpenbundel heen kan stromen. De vloeistofstroom daarentegen wordt als ongemengd beschouwd omdat de vloeistof in één pijp niet kan mengen met een andere stroom tijdens het uitwisselingsproces. In een variant hierop (figuur 5.12) stroomt het gas niet vrij langs de pijpen maar tussen schotten. Deze uitvoeringsvorm wordt veel gebruikt in luchtverwarmingsapparatuur. In dit geval is ook de gasstroom ongemengd. Bij een ongemengde kruisstroom configuratie is er zowel een temperatuurprofiel parallel als loodrecht op de stroming (figuur 5.13). Als de stroming goed gemengd is zal het temperatuurprofiel in loodrechte richting nivelleren. Voor gas-gas warmtewisselaars kan eenvoudig een warmtewisselaar gebouwd worden door gevormde platen kruiselings te stapelen

gas stroom

gas stroom vloeistof stroom vloeistof stroom

figuur 5.11

74

gemengde-ongemengde gas-vloeistof kruisstroom warmtewisselaar

figuur 5.12

ongemengde gas-vloeistof warmtewisselaar


T, gas uit T, gas in gas 1

figuur 5.13

5.2

temperatuur profiel in een ongemengde kruisstroom warmtewisselaar

figuur 5.14

gas 2

gas-gas kruisstroom warmtewisselaar opgebouwd uit gevormde platen

Warmteoverdracht

Voor het analyseren van warmtewisselingstoestellen, worden enkele hoofdpunten uit het college warmteoverdracht kort herhaald, voor een uitgebreide behandeling wordt verwezen naar Bejan (1993). Warmte kan via (een combinatie van) de volgende mechanismen worden overgedragen: geleiding, convectie en straling. De eerste twee mechanismen spelen onveranderlijk een belangrijke rol in warmtewisselingstoestellen. Hoewel ook straling een grote invloed kan hebben, zeker bij hogere temperaturen, wordt daar in dit college geen aandacht aan geschonken.

5.2.1

Geleiding

In het college warmteoverdracht is op grond van de eerste hoofdwet afgeleid dat voor een willekeurige doorsnede in een vast lichaam met een warmtestroom in één dimensie moet gelden dat (figuur 5.15)

∂ λ ∂T + q = ρ c ∂T p ∂t ∂x ∂x

(5.1)

De eerste term staat voor de geleiding in longitudinale richting, de tweede term is een bronterm, bijvoorbeeld ohmse verhitting en de derde term staat voor de opslag van energie in het lichaam. λ is de warmtegeleidingscoëfficiënt, ρ de dichtheid en cp de soortelijke warmte. Naarmate de thermische capaciteit van het lichaam ρcp kleiner is, kan het lichaam sneller in temperatuur veranderen.

geïsoleerd T x=L x x=0

figuur 5.15

x+dx

q qx+dx

qx

schets van een vast lichaam met longitudinale warmtegeleiding

Als mag worden aangenomen dat de stofwaarden constant zijn, vereenvoudigt uitdrukking (5.1) tot

∂2T + q = 1 ∂T ∂x2 λ a ∂t

a = ρλc

p

(5.2)

a staat bekend als de warmtediffusiviteit met als eenheid m2 s-1. Hoewel we in dit college inderdaad steeds zullen aannemen dat de stofwaarden constant zijn, zij erop gewezen dat dit in zijn algemeenheid zeker niet opgaat. Zeker in het geval van gassen veranderen de stofwaarden sterk met de druk en de temperatuur. Dit kan echter ook gelden voor vaste stoffen. Ter illustratie zijn in de figuren 5.16 tot en met 5.19 de warmtecapaciteit en geleidingscoëfficiënt van lucht en RVS-316 weergegeven.


75

1200 B

0.08 B

B

heat capacity [Jkg-1K-1]

conductivity [Wm-1K-1]

0.1

B

B B

0.06

B B B

0.04

B B B

0.02

0

1150

1100

1050

1000 0

500 1000 temperature [K]

figuur 5.16

warmtegeleiding van lucht als functie van de temperatuur onder atmosferische condities

25

0

1500


1500

figuur 5.17 warmtecapaciteit van lucht als functie van de temperatuur onder atmosferische condities

700

B

specific heat [Jkg-1K-1]

conductivity [Wm-1K-1]

B B B

20 B B B

15 B B

10

B

650 B

600

B B B

550

B B

500

B

450

B

400 0


1500

figuur 5.18 warmtegeleiding van RVS-316 als functie van de temperatuur

0


1500

figuur 5.19 warmtegeleiding van RVS-316 als functie van de temperatuur

De functionele vorm van de uitdrukking voor de warmteoverdracht moet er zo uitzien dat de warmtestroom per eenheid van oppervlak q verdwijnt wanneer het medium een constante temperatuur heeft. De wet van Fourier wordt gevonden door aan te nemen dat de warmtestroom in de richting van, bijvoorbeeld, de x coördinaat proportioneel is met het lokale temperatuurverschil in de richting van x, q x =C(Tx - Tx+dx). Experimenteel is gevonden dat de factor C weer evenredig is met 1/∆x, oftewel C = λ/∆x. Als we de limiet ∆x → 0 nemen, volgt de wet van Fourier

qx = λ dT dx

(5.3)

Voor een isotroop (λ hetzelfde in elke richting) medium waarin de temperatuur in elke richting varieert kunnen we schrijven

qx = λ dT , qy = λ dT , qz = λ dT dx dy dz

(5.4)

dit zijn componenten van de vector vergelijking

q = λ∇T

76

(5.5)


Als er sprake is van twee aan elkaar grenzende wanden met een verschillende warmtegeleidingscoëfficiënt (figuur 5.20) geldt volgens de eerste hoofdwet dat de warmtestroom q per eenheid van oppervlak overal hetzelfde moet zijn, voor de eerste twee platen geldt bijvoorbeeld

Φ = A λ T1 – T2 = A λ T2 – T3 ⇔ Φ = A T – T3 da db da db 1 + λ λ

(5.6)

De reciproque term uit vergelijking (5.6) staat bekend als de warmtedoorgangscoëfficiënt k. De wijze waarop k wordt bepaald is analoog aan de wijze waarop een vervangingsweerstand in een electrisch circuit. Als de thermische weerstand van elke wand wordt gedefinieerd als R = L/λA, geldt voor de warmtedoorgangsweerstand

k=

1 = Rvervanging

n

Σ i=1

1 R1 + R2 +....+Rn

(5.7)

T d Q

1 2 3

figuur 5.20

Q R1

n

R2

R3

Rn

geleiding door een samengestelde wand

Binnen de procestechniek komt de wet van Fourier ook vaak voor in cilindercoördinaten, bijvoorbeeld in het geval van pijpisolatie. Neem bijvoorbeeld de cylinder van figuur 5.21 met een lengte L, binnenradius ri en buitenradius ru. De temperatuur aan de binnenwand is Ti en de temperatuur aan de buitenkant To. Er is geen warmtestroom in z-richting. ru

z

ri

θ

r

Ti

isotherm

qi Ti

figuur 5.21

qu Tu

Tu r

radiale geleiding door een wand

De totale warmtestroom is de oppervlakteïntegraal van de warmtestroom (per oppervlakte eenheid) aan de binnenwand

Φ = 2πriL qi

(5.8)

Volgens Fourier geldt voor de warmtestroom aan de binnenwand

qi = λ dT dr

(5.9) r = ri

De temperatuur distributie door het medium moet eerst worden bepaald. Analoog aan (5.2) kunnen we voor een stationaire situatie zonder brontermen schrijven


77

1 d r dT = 0 r dr dr

(5.10)

met als randvoorwaarden T=Ti op r=ri en T=T o op r=ro. Door (5.10) twee keer naar r te integreren volgt (5.11)

T r = C1ln r + C2 Invullen van de randvoorwaarden geeft

ln rr i T r = Ti – Ti – T0 ro ln r

(5.12)

of, na combineren met Fourier

Φ = 2πλr L Ti – To ln ro i

(5.13)

De thermische weerstand van een cylindervormige wand neemt toe met het logaritme van de radius

r ln ro i R= 2 λL

(5.14)

Indien de wand samengesteld is uit verscheidene componenten kan weer volgens uitdrukking (5.7) de vervangingsweerstand en de warmtedoorgangscoëfficiënt worden bepaald.

5.2.2

Convectie

Convectie is het warmteoverdrachtsmechanisme dat in gang wordt gezet door het stromen van een vloeistof of een gas. Het basisprobleem bij de analyse van convectie is het vaststellen van de relatie tussen de warmteoverdracht en het verschil in temperatuur van het medium en de wand (Tw-T∞). T∞ staat voor de bulktemperatuur van het medium, gedefinieerd als

T∞ =

Ad

ρvcpT dA d (5.15)

ρcpm

of in woorden: de integraal van de lokale snelheid u maal de temperatuur over een bepaalde dwarsdoorsnede gedeeld door de gemiddelde snelheid maal het oppervlak van de dwarsdoorsnede. In het vervolg van dit hoofdstuk zal de gemiddelde snelheid overigens met v worden aangeduid. Het aandeel van de convectieve warmteoverdracht wordt traditioneel aangegeven met de warmteoverdrachtscoëfficiënt α, gedefinieerd als

Φconv = α A w Tw – T∞

(5.16)

waarin Aw staat voor het warmtewisselend oppervlak. In het geval van vrije convectie stroomt het medium onder invloed van dichtheidsverschillen in het medium zelf. Uitgebreid experimenteel en theoretisch onderzoek heeft uitgewezen dat de warmteoverdrachtscoëfficiënt voor natuurlijke convectie redelijk kan worden uitgedrukt in empirische relaties. Hier hanteren we de experimentele relatie van Churchill-Chu:

Nu = αL = 0.68 + λ

0.67 Ra1/4 9/16 1 + 0.492 Pr

4/9

Ra = Gr⋅Pr =

gβ Tw – T∞ L3 < 109, 0 < Pr = νa < ∞ νa (5.17)

L is een krakteristieke lengtemaat van het systeem, betrokken op de lengte waarover de thermische grenslaag zich opbouwt. β is de thermische expansiecoëfficiënt β = 1/T∞. . De fysische betekenis van de verschillende dimensieloze groepen is terug te vinden in tabel 5.1 78


tabel 5.1

dimensieloze kentallen

αL λv

Biot Bi

verhouding tussen convectieve warmteoverdracht en geleiding

Brinkman Br

ηv2 λl Ts – T∞

verhouding tussen visceuze dissipatie en warmteoverdracht

Froude Fr

v2 gL

verhouding stationaire traagheidskrachten en zwaartekracht

Grashof Gr

gβ Ts–T∞ L3 ν2

verhouding natuurlijke convectie tot de visceuze krachten

Nusselt Nu

αL λl

dimensieloze representatie van de convectieve warmteoverdracht

Prandtl Pr

Cpη

verhouding warmtetransport en impulstransport

Peclet Pe

Pe = Re Pr

verhouding van convectief en geleidings warmtetransport in een stroming

Reynolds Re

ρvD η

λl

verhouding stationaire traagheidskrachten tot de visceuze krachten

Bij gedwongen convectie wordt de stroming extern op gang gebracht. Zoals in paragraaf 2.2 aan de orde is gekomen kan de stroming volledig analytisch worden beschreven voor een ontwikkelde laminaire stroming. Voor deze situatie is ook de warmteoverdrachtscoëfficiënt α analytisch te bepalen. In eerste instantie beperken we ons weer tot pijpstroming (figuur 5.22)

figuur 5.22

laminaire convectie in een pijp

Als eerste komen de warmtestromen als gevolg van geleiding aan de orde. In het geschetste volumeelement gaat een warmtestroom als gevolg van geleiding

dqλ,r = –λ2π r dx ∂T ∂r

(5.18)

en uit het element gaat


79

∂2T dx dqλ,r+dr = –λ2π r+dr dx ∂T + ∂r ∂r2

(5.19)

Door het mechanisme van convectie wordt overgedragen

dqc = 2π r dr ρ Cp u(r) ∂T ∂x dx

(5.20)

Uit een energiebalans volgt dan bij verwaarlozing van de 2e orde termen

∂2 T ∂T λ ∂T ∂r + r ∂r2 dx dr = r ρ Cp u ∂x dx dr

(5.21)

oftewel

ρ Cp ∂T 1 ∂ ∂T ur ∂r r ∂r = λ ∂x

(5.22)

Bij wijze van illustratie wordt vergelijking (5.22) opgelost voor de conditie dat er een constante warmtestroom per eenheid van oppervlak q aan de wand van de pijp heerst. Dan geldt

∂T = constant, ∂T = 0 op r=0, λ ∂T ∂x ∂r ∂r

r = rs

= q = constant op r=rs

(5.23)

De snelheidsverdeling in een laminaire buisstroming (Poiseuille) is in hoofdstuk 2 al afgeleid

ur =

r2 – rs2 dp 4η dx

(5.24)

Als de stofwaarden constant zijn, kan vergelijking (5.22) met de randvoorwaarden van (5.23) en het snelheidsprofiel (5.24) worden omgeschreven tot

r2 r ∂ r ∂T = 1 ∂T u 1– max a ∂x ∂r ∂r rs2

(5.25)

Na twee keer integreren naar r volgt

umax 2 r2 + T T r,x = 1a ∂T r 1– center ∂x 4 4rs2

(5.26)

Door gebruik te maken van de definitie van de bulktemperatuur (13) kan dit ook worden geschreven als

u rs2 ∂T T∞ – Tc = 7 max a ∂x 96

(5.27)

of in termen van de temperatuur in het midden van de stroming

u rs2 ∂T Ts – Tc = 3 max x ∂x 16

(5.28)

De gemiddelde warmteoverdrachtscoëfficiënt α kan worden geschreven als

α=

qc λ ∂T/∂r = Ts – Tb A w Ts – Tb

Aangezien in dit college verder alleen met gemiddelde warmteoverdrachtscoëfficiënten wordt gewerkt, wordt het streepje in het vervolg weggelaten. Invullen geeft vervolgens een uitdrukking voor de warmteoverdrachtscoëfficiënt α

= 24λ = 48λ ⇔ Nu = αD = 48 = 4.364 11rs 11D λ 11

(5.29)

In tabel 5.2 is een overzicht gegeven van Nusseltgetallen voor andere kanaalvormen en randvoorwaarden. 80


tabel 5.2

Nusseltgetallen voor volledig ontwikkelde laminaire stromingen

Geometrie (L/Dh > 100)

NuDh,H1

NuDh,H2

NuDh,H3

2b = 2a √3/2

3.111

1.892

2.470

2b = 2a 1

3.608

3.091

2.976

4.002

3.862

3.340

2b = 2a 2

4.123

3.017

3.391

2b

2b = 2a 8

6.490

2.904

5.597

2b

2b =∞ 2a

8.235

8.235

7.541

4.364

4.364

3.657

5.331

2.930

4.439

60° 2a 2b 2a 2b

2a 2b

2a

2a

2b 2a

2b = 1.1 2a

randvoorwaarden: H1 uniforme warmtestroom in stromingsrichting en uniforme wandtemperatuur in elke doorsnede H2 uniforme radiale en axiale warmtestroom H3 constante wandtemperatuur

In veel praktische gevallen moet echter rekening gehouden worden met de intree effecten in het gebied waar de laminaire stroming nog niet volledig ontwikkeld is, een bruikbare empirische relatie is bijvoorbeeld de vergelijking van Sieder-Tate

Nu =

αDe D Re Pr = 1.86 e L λ

1/3

, Re < 2300, 0.48 < Pr < 16700

(5.30)

De L in vergelijking (5.30) is een karakteristieke lengtemaat in de richting van de stroming, bijvoorbeeld de lengte van een pijp. Een gemene valkuil bij het hanteren van de uitdrukking van Sieder Tate is dat deze in tegenstelling tot de Nusseltgetallen uit tabel 2 niet is gedefinieerd op de hydraulische diameter, maar op een equivalente diameter De , gedefinieerd als

De =

4⋅doorstroomdoppervlak warmteoverdragendeomtrek

Dh =

4⋅doorstroomdoppervlak bevochtigde omtrek

(5.31)

Of de intree-effecten al dan niet van belang zijn, kan worden afgeschat met de volgende vergelijking voor de lengte van de intreezone, waar de stroming nog niet volledig is ontwikkeld (Bejan 1993)

L intree = 0.05 ReDh Dh


(5.32)

81

Als de intreelengte L intree klein is ten opzichte van de totale lengte L, kan net zo goed één van de waarden uit tabel 5.2 worden gehanteerd in plaats van Siedler-Tate. Ter illustratie is voor een buisstroming in figuur 5.23 het verschil aangegeven tussen de analytische waarde voor het Nusseltgetal en het resultaat van Sieder-Tate. 8 7 Re = 1000

6

Nu [-]

5 Re = 100

4

Re = 10

3 2 1 0 0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

D/L [-] figuur 5.23

Nusseltgetal voor laminaire convectie in een vierkant kanaal als functie van de diameter-lengte verhouding en het Reynoldsgetal

Om de relatieve waarde te benadrukken van relaties zoals die van Sieder-Tate, volgt hier een kort historisch overzicht. Siedler en Tate publiceerden hun relatie (28) in 1936. Deze was echter gebaseerd op een relatie van Pohlhausen uit 1921

Nu = 0.664

1 Re Dh 2

L

Pr1/3

Kennelijk vonden Siedler en Tate het toch aardiger om de derdemachts- in plaats van de tweedemachts wortel te trekken van ReD/L. Hausen was in 1959 toch niet helemaal tevreden met de Siedler-Tate vergelijking en hij publiceerde een alternatief

Nu = 3.65 +

0.8 0.19 Re Pr Dh/L 0.467 1 + 0.117 Re Pr Dh/L

Schlündler vond dit in 1972 wel erg ingewikkeld en liet in zien dat de volgende uitdrukking nauwelijks afwijkende resultaten oplevert

Nu = 3.663 + 1.613 Re Pr Dh/L

1 3

waarbij hij meteen de vroeger gehanteerde eindwaarde van Nu = 5.65 verving door de meer correcte waarde van 5.66. Siedler en Tate zijn overigens vooral bekend worden voor de correctie die ze invoerden voor de richting van de warmtestroom. Het temperatuurverschil tussen de stroming Tm en de wand Tw, heeft vooral via de viscositeit van het medium invloed op de warmteoverdracht. Siedler en Tate introduceerden een factor (ηm/ηw)0.14 waarmee de waarde van Nusselt volgens één van de bovenstaande relaties kan worden gecorrigeerd. In moderne literatuur is het gebruikelijk om deze relatie in het Prandtl getal uit te drukken. De meetresultaten waarop Siedler en Tate hun correctie baseerden, vertonen een grote spreiding. Hufschmidt en Burck (1968) hebben laten zien dat een correctie met (P r / Prw )0.11 zowel voor laminaire als turbulente stromingen een beter resultaat geeft.

Om dezelfde reden dat er geen gesloten analytische oplossing voor de wrijvingscoëfficiënt in een turbulente stroming opgesteld kan worden, lukt dit ook niet voor het Nusselt getal. Ook hiervoor geldt dat er tal van empirische relaties zijn bedacht. In dit college wordt de relatie van Dittus-Bölter gehanteerd

αDe (5.33) = 0.023Re4/5Prn, Re> 10000 λ de factor n heeft een waarde van 0.4 als de vloeistof wordt verhit en een waarde van 0.3 als de vloeistof wordt gekoeld. Nu =

82


Met de empirische vergelijkingen van Siedler-Tate en Dittus-Bölter hebben we nog steeds een probleem wanneer de stroming zich in het transitiegebied 2300
globale waarden van de warmtedoorgangscoëfficiënt voor enkele processen [Wm-2K-1]

Q van\naar

stilstaand gas

stromend gas

α = 5-15

α = 10-100

stilstaande vloeistof

stromende vloeistof

kokende vloeistof

α = 50-1000

α = 500-3000

α = 1000-60000

gas

kamer/buiten

oververhitters

verbrandings

stoom ketel

(vrije convectie)

door glas

k= 3-30

kamer

k=10-40 + straling

k = 1-2

k= 10-40 +straling

gas

gas-gas

C.V. ketel

(stromend)

warmtewisselaar

k= 10-50

k= 10-30

vloeistof

verhittings olie

koel olie met

(vrije convectie)

bad

menger

k= 25-500

k= 500-1500

vloeistof (stromend)

C.V. radiator

gas koelers

verwarmings

water-water

koelkast

k= 5-15

k= 10-50

spiraal

warmtewisselaar

verdamper

k= 50-150

k= 900-2500

k= 300-1000

condenserende damp

stoom radiatoren

lucht verhitters

stoomslot

condensor

verdamper

k= 5-20

k= 10-50

k= 150-1000

k= 300-4000

k= 300-2000

5.3

Analyse van warmtewisselaars

Twee analyse methoden voor warmtewisselingstoestellen, op basis van het logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil en de effectiviteit, worden besproken die al sinds jaar en dag in de “engineering” worden gebruikt. Wiskundig is het enige verschil tussen beide methoden dat in het ene geval de vloeistofstromen en in het andere geval enkele temperaturen worden geëlimineerd.

5.3.1

Het logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

In een warmtewisselaar varieert de temperatuur van beide media over de lengte van de warmtewisselaar. In figuur 5.24 en 5.25 zijn een aantal mogelijke temperatuurprofielen voor een eenvoudige tegenstroom en gelijkstroom warmtewisselaar uitgezet. 5.26 geeft de situatie voor een condensor en 5.27 het temperatuurprofiel in een verdamper. Als we figuur 5.24 en figuur 5.25 met elkaar vergelijken, valt op dat bij een gelijkstroom warmtewisselaar de uitgangstemperatuur van de koude tak nooit boven de uitgangstemperatuur van de warme tak kan komen, terwijl dit bij een tegenstroom warmtewisselaar wel het geval kan zijn. Inderdaad zal blijken dat een tegenstroom configuratie in thermisch opzicht altijd de beste configuratie is.


83

Tw,in

∆T

∆Ta Tk,in

-dTw +dTk

Tw,uit

∆Tb Tk,uit

Tw,in ∆T Tk,uit a Ck < Cw

oppervlak

Tk,in

-dTw +dTk

Tw,in ∆T Tk,uit a k,uit

Ck = Cw

Ck =Cw dA

dTw dTk

Tw,uit ∆Tb Tk,in

dA

oppervlak

Tw,in

Tw,in

∆Ta Ck > Cw Tk,in

∆T dA

-dTw +dTk

Tw,uit

∆Tb Tk,uit

∆Ta Tk,uit

∆T Ck > Cw

oppervlak

temperatuurprofielen in een gelijkstroom warmtewisselaar

figuur 5.25

∆T

Tw,uit ∆Tb Tk,in

dA

temperatuurprofielen in een tegenstroom warmtewisselaar

Tw

Tk

dTw dTk

oppervlak

Tw,in

∆T

Tk,uit

Tw,uit Tk,in

Ck >> Cw

Ck << Cw

oppervlak

figuur 5.26

∆Tb Tk,in

∆T

Tw,uit ∆Tb T

oppervlak

figuur 5.24

dA

Tw,uit

oppervlak

Tw,in

∆T

dTw dTk

Ck >Cw dA

∆Ta

∆T

temperatuurprofiel in een verdamper

oppervlak

figuur 5.27

temperatuurprofiel in een condenser

In al deze gevallen kan de warmteoverdracht worden gevonden door de volgende uitdrukking te integreren over de lengte van de warmtewisselaar

dΦ = k dA w ∆T

(5.34)

waarin k staat voor de warmtedoorgangscoëfficiënt. In de meeste gevallen zal dit numeriek moeten gebeuren omdat zowel k als de stofeigenschappen veranderen over de lengte van de warmtewisselaar. Voor een eerste inschatting kan onder de volgende aannames een analytische oplossing worden gevonden: – de stofwaarden zijn constant – de (lokale) warmtedoorgangscoëfficiënt is constant over de lengte van de warmtewisselaar – veranderingen in de kinetische energie zijn verwaarloosbaar – geen warmteverliezen naar de omgeving Integratie van (5.34) levert dan

dΦ = – mwcp,wdTw = ± mkcp,kdTk = k dA Tw – Tk

(5.35)

waarin m staat voor de massastroom en cp voor de specifieke warmte. Het plus teken in de tweede term slaat op de gelijkstroom configuratie en het min teken geldt voor tegenstroom. De combinatie mcp wordt vaak aangeduid met de term capaciteitsstroom en het symbool C. Voor elke willekeurige doorsnede van de warmtewisselaar moet gelden

– Cw Tw – Tw,in = Ck Tk – Tk,in 84

(5.36) procestechnische constructies 4B660

oftewel

Tw – Tk = – 1 +

Ck C T + k T + Tw,in Cw k Cw k,in

(5.37)

Substitueren van (5.37) in (5.35) levert na wat verplaatsen

dTk - 1+

Ck

Tk +

Cw

Ck Cw

= Tk,in + Tw,in

k dA Ck

(5.38)

Integreren van (5.38) over de gehele lengte van een warmtewisselaar (van A=0 tot A=A w ) geeft na vereenvoudiging

1+ ln

Ck Cw

Tk,in - Tk,uit + Tw,in - Tk,in Tw,in - Tk,in

=-

1 1 + kA Ck Cw

(5.39)

Vergelijking (5.37) kan worden omgeschreven tot

Ck Cw

=-

Tw,uit - Tw,in

(5.40)

Tk,uit - Tk,in

om zo de capaciteitsstromen uit (5.39) te elimineren

ln

Tw,uit - Tw,in Tw,in - Tk,in

= Tw,uit - Tk,uit - Tw,in - Tk,in

kA Q

(5.41)

aangezien moet gelden dat

Φ = Ck Tk,uit - Tk,in = Cw Tw,in - Tw,uit

(5.42)

Met Tw-Tk = ∆T kan uitdrukking (5.41) in zijn meer gebruikelijke vorm worden geschreven

Φ = kA w

∆Ta - ∆Tb ln ∆Ta /∆Tb

= kA w ∆Tln

(5.43)

Als de subscripts a en b refereren aan de respectievelijke zijden van de warmtewisselaar geldt deze uitdrukking voor zowel tegen– als gelijkstroom. ∆Tln staat bekend als het logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil. Deze methode is prettig om te gebruiken wanneer de temperaturen aan beide inlaten en uitlaten van de warmtewisselaar bekend zijn. Eenvoudig valt te verifiëren dat deze uitdrukking zowel bij een gelijkstroom als een tegenstroom warmtewisselaar opgaat. Bij andere configuraties moet een correctie worden toegepast, in dat geval geldt

Φ =F kA w

∆Ta - ∆Tb ln ∆Ta /∆Tb

=F kA w ∆Tln

(5.44)

De gebruikelijke methode is om de correctiefactor grafisch te bepalen. In de navolgende figuren staan een aantal voorbeelden, ontleend aan Béjan (1993)


85

figuur 5.28

correctiefactor F voor een kruisstroom warmtewisselaar met twee ongemengde takken (Béjan 1993)

figuur 5.29 correctiefactor F voor een kruisstroom warmtewisselaar met een gemengde en een ongemengde tak (Béjan 1993)

86


figuur 5.30

correctiefactor F voor een kruisstroom warmtewisselaar met twee gemengde takken (Béjan 1993)

figuur 5.31

correctiefactor F voor een shell and tube warmtewisselaar met één shell passage en een dubbele tube passage (Béjan 1993)


87

figuur 5.32 correctiefactor F voor een shell and tube warmtewisselaar met een dubbele shell passage en een vier-dubelle tube passage (Béjan 1993)

5.3.2

effectiviteits methode

Wanneer we op zoek zijn naar de uitgangstemperaturen van de warmtewisselaar is het handiger om de capaciteitstromen niet te elimineren. Deze methode gaat uit van de effectiviteit van een warmtewisselaar, over het algemeen gedefinieerd als

ε=

Ck Tk,uit - Tk,in Cw Tw,in - Tw,uit overgedragenvermogen = = Cmin Tw,in - Tk,in maximaal over te dragen vermogen Cmin Tw,in - Tk,in

(5.45)

waarbij Cmin de kleinste waarde van Ck en Cw is. Dit houdt in dat

ε =

ε =

ε =

Cw Tw,in - Tw,uit

=

Cw Tw,in - Tk,in Ck Tk,uit - Tk,in Ck Tw,in - Tk,in

Tw,in - Tw,uit Tw,in - Tk,in

=

=

Tw,in - Tw,uit Tw,in - Tk,in Tk,uit - Tk,in Tw,in - Tk,in

Tk,uit - Tk,in Tw,in - Tk,in

als Cw < Ck

(5.46)

als Ck < Cw

(5.47)

als Cw = Ck

(5.48)

oftewel, de effectiviteit van een warmtewisselaar kan altijd uit drie temperatuurmetingen worden bepaald. Als de effectiviteit van een warmtewisselaar bekend is, kan de uitgewisselde hoeveelheid warmte worden berekend volgens

Φ = ε Cmin Tw,in – Tk,in

(5.49)

We zullen de methode illustreren door een uitdrukking af te leiden voor een eenvoudige gelijkstroom warmtewisselaar. Hiertoe substitueren we (5.45) in vergelijking (5.39)

ln 1 - ε

88

Cmin Cw

+

Cmin Ck

=-

1 1 + kA w Cw Ck

(5.50)


uitschrijven naar ε geeft

1 - exp 1 +

ε=

Cw kA w Ck

Cw

Cmin/Cw + Cmin/Ck

(5.51)

als Cw < Ck kan deze uitdrukking worden geschreven als

1 - exp - 1 +

ε=

Cw kA w Ck

Cw

1 + Ch/Ck

(5.52)

en als Cw > Ck

1 - exp - 1 +

ε=

Ck kA w Cw Cw

1 + Ck/Cw

(5.53)

zodat we voor beide situaties kunnen schrijven

1 - exp - 1 +

ε=

Cmin kA w Cmax Cmin

1 + Cmin/Cmax

(5.54)

op overeenkomstige wijze kan voor een tegenstroom configuratie worden afgeleid (teken in tweede term van uitdrukking 5.49 omdraaien) 1 - exp 1 –

ε= 1-

Cmin Cmax

Cmin –kA w Cmax Cmin

exp 1 –

Cmin -kA w

(5.55)

Cmax Cmin

In de figuren (5.32) tot en met (5.35) zijn voor enkele warmtewisselaar configuraties de effectiviteiten gegeven als functie van het “number of transfer units ” (NTU). De NTU is gedefinieerd als NTU = kAw Cmin

(5.55)

In Kays (1984) zijn een groot aantal van dit soort figuren verzameld.


89

kruis stroom, ongemengd

1-2 parallel/gelijkstroom

1

1

Cmin/Cmax = 0

0.8

0.8

0.5

effectiviteit [-]

effectiviteit [-]

Cmin/Cmax = 0

0.25 0.75

0.6

1

0.4 0.2 0

0

figuur 5.32

1

4 2 3 NTUmax = kA/Cmin

effectiviteit van een double pass shell en tube warmtewisselaar

0

tegenstroom

warme zijde (mc)h = Ch

warme zijde (mc)h = Ch

Cmin/Cmax = 0 0.25 0.5 0.75 1

0.2 1

Cmin/Cmax = 0

0.8

0.4


effectiviteit van een tegenstroom warmtewisselaar

5

koude zijde (mc)c = Cc

effectiviteit [-]

effectiviteit [-] 90


gelijkstroom

0.6

figuur 5.34

1

effectiviteit van een ongemengde kruisstroom warmtewisselaar

1

0

1

0.2

figuur 5.33

1

0

0.75

0.4

koude zijde (mc)c = Cc

0.8

0.5

0.6

0

5

0.25

5

0.25 0.5

0.75

1

0.6 0.4 0.2 0

figuur 5.35

0

1


5

effectiviteit van een tegenstroom warmtewisselaar


5.4

Berekenen van warmtewisselaars

In deze paragraaf wordt aan de hand van de effectiviteitsmethode geïllustreerd hoe deze gebruikt kan worden voor het doorrekenen van een pijp-in-pijp warmtewisselaar en een kruisstroom warmtewisselaar.

5.4.1

pijp in pijp warmtewisselaar

Stel dat we de pijp-in-pijp warmtewisselaar van figuur 5.36 willen doorrekenen. (m, r, Cp, T)2,in

ODu ODi

L

IDu IDi 2

(m, r, Cp, T)1,in

figuur 5.36

1

pijp in pijp tegenstroom warmtewisselaar

Als eerste wordt gezocht naar de warmtedoorgangscoëfficiënt k. Voor de binnenpijp (stroom 1) geldt dat IDi = Dh = De .

Re =

ρ v IDi αIDi η , Nu = λ

(5.56)

De snelheid v is gelijk aan v1 = m1⋅ρ1/A 1,d = 4m1⋅ρ1/πIDi2 . De Nusseltgetallen kunnen worden bepaald uit Siedler-Tate voor laminaire stroming of Dittus Bölter voor turbulente stroming. De drukval in de binnenpijp van de warmtewisselaars is eenvoudig uit te rekenen zoals is aangegeven in paragraaf 2.2.1 voor laminaire stroming en paragraaf 2.2.3 voor turbulente stroming. Voor de stroming door de annulus (tak 2) ligt het iets minder eenvoudig. Voor het doorstroomd oppervlak Ad2, de bevochtigde omtrek en de warmtewisselende omtrek gelden

A d,2 = π ODi2 – IDu2 , Pb = π ODi + IDu , Pw = π IDu 4

(5.57)

In dit geval zijn de Reynoldsgetallen ReDh en ReDe dus niet aan elkaar gelijk

Dh =

ρvD 4A d , Re = η h , Pb

(5.58)

Na het bepalen van de warmteoverdrachtscoëfficiënten α 1 voor de binnenpijp, kan de warmtedoorgangscoëfficiënt worden bepaald. Eigenlijk is voor het uitvoeren van de warmtetechnische berekening alleen het produkt van het warmtewisselend oppervlak A w en de warmtedoorgangscoëfficiënt k van belang. Deze volgt uit

kA w =

3

1

Σ Rn n=1

=

1 ln IDu/IDi 1 1 + + αIDiA IDi 2πλL αIDoA IDo

(5.59)

De volgende stap is om voor beide takken de capaciteitsstromen C1 en C2 te bepalen. Met vergelijking (5.52) kan dan de effectiviteit worden berekend. Een alternatief is om de effectiviteit grafisch via figuur (5.35) te bepalen. Met de definitie van de effectiviteit (5.44) zijn de uitgangstemperaturen dan te bepalen. procestechnische constructies 4B660

91

5.4.2

kruisstroom warmtewisselaar

De effectiviteitsmethode kan op dezelfde wijze op een kruisstroomconfiguratie worden toegepast. Neem als voorbeeld de warmtewisselaar van figuur 5.37. De warmtewisselaar bestaat uit n gerilde platen. De plaatafstand is h en de afstand tussen de rillen is b De platen hebben een afmeting van LxL. De dikte van de plaat en de rillen is d. L

L

h b

figuur 5.37

kruisstroomwarmtewisselaar opgebouwd uit platen met rillen.

Het berekenen van een kruisstroomwarmtewisselaar verloopt langs dezelfde lijnen als bij de pijp in pijp warmtewisselaar. Geometrisch is het echter iets lastiger. Het doorstroomd oppervlak van één kanaaltje Ad is b .h. Het aantal kanalen per plaat is nkanaal = L/(b+d). De helft van de platen komt ten goede van beide takken van de warmtewisselaar. De bulksnelheid in de kanalen wordt daarmee

v=

m ρ⋅ 12 n⋅nplaatA d

(5.60)

De hydraulische diameter van een kanaaltje is

Dh =

4A d = 4 bh Pb 2 b+h

(5.61)

Aangezien één tak van de warmtewisselaar bestaat uit een aantal parallel geschakelde kanalen is de totale drukval over de warmtewisselaar gelijk aan de drukval over één kanaal Er vindt geen warmteoverdracht door de rillen omdat twee naastliggende kanaaltjes vrijwel dezelfde temperatuur hebben. De kanalen wisselen alleen aan de onder en bovenzijde warmte uit

De =

4A d 4 bh = Pe 2b

(5.62)

Met Sieder-Tate of de Bölter-Dittus vergelijking kunnen weer de Nusseltgetallen en de warmteoverdrachtscoëfficiënten worden bepaald. Hiermee wordt een kleine fout gemaakt omdat de kanalen aan de bovenzijde en aan de onderzijde maar aan één kant warmte uitwisselen. De waarden van Nusselt zullen hier iets verschillen. De uitdrukking voor de warmtedoorgangscoëfficiënt is eenvoudig

k=

1 1 +d+ 1 α1 λ α2

(5.63)

De kanalen in de bulk van het warmtewisselaar blok wisselen aan de onder en de bovenzijde warmte uit en hebben een warmtewisselend oppervlak Aw,kanaal=2bL . Voor het warmtewisselend oppervlak kan de invloed van de bovenste en onderste kanaalrijen eenvoudig worden meegenomen door het totale warmtewisselend oppervlak te omschrijven als 92


A w,tot = n–1 nkanaalA w,kanaal ≈ 2n–1 L2

(5.64)

De overige stappen verlopen hetzelfde als in de vorige paragraaf is beschreven.

5.5

Thermodynamische analyse

Wanneer we een warmtewisselaar zuiver naar zijn thermische prestaties willen optimaliseren komen we uit bij een oneindig grote warmtewisselaar aangezien Q~A w . Als we daarnaast eisen dat de drukval minimaal is, komen we uit bij een warmtewisselaar met een oneindig grote dwarsdoorsnede en oneindig korte kanalen. Het ontwerp wordt daarom in grote mate bepaald door additionele eisen zoals begrensde afmetingen, begrensde prijs en procesomstandigheden. De tweede hoofdwet van de thermodynamica kan te hulp worden geroepen om het aantal mogelijkheden te beperken. Het achterliggende idee is dat minimalisering van de entropie generatie op component niveau ook de entropie generatie van het systeem verkleint. Elk warmteoverdrachtsproces vereist een temperatuurverschil. Wanneer warmte wordt getransporteerd van een hoge naar een lage temperatuur wordt er entropie geproduceerd. Figuur 5.38 laat een warm lichaam zien met temperatuur Tw dat een hoeveelheid warmte overdraagt aan een kouder medium met temperatuur Tk. Aangezien beide systemen niet direkt met elkaar communiceren bestaat er een derde systeem: het temperatuurverschil ∆T waar de warmtestroom Q onveranderd doorheen gaat. Tw

Tw Q

Q rev motor

Q Tk

figuur 5.38

Tw Q rem

Q-B

rev motor

B

Tk

B' rem

Q-B Tk

systeem met warmteoverdracht

Als de tweede hoofdwet op dit systeem wordt losgelaten volgt

T –T Sgen= Φ – Φ = Φ w k Tk Tw TwTk

(5.65)

Uit (5.65) volgt dat de entropiegeneratie altijd positief is. In figuur 5.39 is verder geïllustreerd dat warmteoverdracht thermodynamisch gezien gelijk staat aan een reversibele motor die werkt tussen beide temperatuurverschillen en zijn volledige output dissipeert in een rem. We beschouwen een warmtewisselaar passage met een doorsnede A d en een bevochtigde omtrek O Het doel van de passage is dat er een hoeveelheid warmte q' per eenheid van lengte wordt overgedragen aan een massastroom m . In stationaire toestand passeert de warmtestroom Φ' een temperatuurverschil ∆T tussen de temperatuur van de wand T+∆T en de bulk temperatuur van de stroming T. De stroming ondervindt een wrijving in de richting van de x-coördinaat zodat -dp/dx > 0.


93

Φ' T + ∆T

O m

A T p

∆x figuur 5.39

Als we kijken naar een thermodynamisch systeem met lengte dx geldt volgens de eerste hoofdwet dat de warmte toe– of afvoer gelijk moet zijn aan de verandering van de enthalpie

m dh = Φ’ dx

(5.66)

als h de enthalpie aangeeft. Volgens de tweede hoofdwet van de thermodynamica moet gelden

s’gen = m

Φ’ ds dx T + ∆T

(5.67)

s 'gen is de toename van de entropie per eenheid van tijd per eenheid van lengte. Met de definitie van de enthalpie Tds +dp/r kan voor s 'gen worden geschreven

Φ’∆T Φ’∆T m m dp dp ≅ + 2 + 2 ≥0 ρT dx ρ T dx T 1 + ∆T/T T

s’gen =

(5.68)

aangezien in de meeste gevallen geldt dat ∆T<
stromings entropie generatie warmte overdrachtsentropie generatie

φ=

(5.69)

Een aardigheid van vergelijking (5.68) is dat veel ontwerp-wijzigingen, zoals het vernauwen van de doortocht, een verandering met een tegengesteld teken in beide termen veroorzaakt. Dit betekent dat er een optimum bestaat. Om het probleem doorzichtelijker te maken herschrijven we (5.69) in termen van de frictiefactor ƒ, het stanton nummer (St), de massasnelheid (G), het Reynolds nummer (Re) en de hydraulische diameter (Dh )

f=

ρDh 2

2G

dp dx

(5.70)

St =

q’∆T p cpG

(5.71)

G=

m A

(5.72)

Re =

94

-

G Dh η

(5.73)


Dh =

4A O

(5.74)

Vergelijking (5.65) kan hiermee worden herschreven tot 2

S’gen =

3

q’ Dh 4T2mcpSt

+

2m ƒ

(5.75)

ρ2TDh

Als we ons beperken tot een ronde buis met een turbulente stroming, is er nog maar één graad van vrijheid over in het ontwerpproces aangezien A en O aan elkaar gerelateerd zijn via de diameter D. Vergelijking (5.72) wordt dan

S’gen =

3

q’2

πT2λNu

+

32m ƒ

(5.76)

π2ρ2TDh

aangezien geldt dat

Re =

4m π ηD

(5.77)

Nu =

αDh λ

(5.78)

en

Met behulp van twee redelijk betrouwbare correlaties voor turbulente stroming (VDI Wärmeatlas 1984)

Nu ≅ 0.023 Re0.8Pr0.4 (0.7104)

(5.79)

ƒ ≅ 0.046 Re-0.2Pr0.4 (104
(5.80)

kan een uitdrukking worden opgesteld voor de entropiegeneratie die alleen nog maar afhangt van Reynolds. Door dS’/d(Re) = 0 op te lossen vinden we de minimale entropiegeneratie voor

Reopt = 2.023 Pr-0.071A0.358

(5.81)

de parameter A staat vast wanneer q', m en het type vloeistof is gespecificeerd

A = mΦ’

ρ η

5/2

(5.82)

λT 1/2

In relatieve termen kan S'gen worden uitgedrukt als

s’gen s’gen,min

= 0.856

Re Reopt

-0.8

+ 0.144

Re Reopt

4.8

(5.83)

in figuur 5.40 is deze relatie grafisch uitgezet. Buiten het optimum stijgt de entropie generatie snel. Bij kleine Reynoldsgetallen wordt de entropie generatie gedomineerd door wrijvingseffecten. Bij hoge Reynoldsgetallen is de warmteoverdracht bepalend. In het optimum is de verhouding tussen beide entropie generatie mechanismen φ = 0.168, zodat in ieder geval één uitzondering op de vuistregel dat in de meeste gevallen moet gelden φ =1 is gevonden. Een andere belangrijke conclusie die we uit figuur 5.40 kunnen trekken is dat de relatie tussen entropie generatie en de ontwerp parameters niet-monotoon kan zijn. Dit houdt in dat het gevaarlijk is om van te voren, bijvoorbeeld op basis van vuistregels, te voorspellen hoe het systeem gedrag verandert wanneer een ontwerpparameter wordt veranderd.


95

1000

100 φ = 100

S'D S'D, min

10

φ = 10-6

φ = 10 φ=

10-3

φ=1

1 0.01

0.1

1

10

ReD ReD, opt

figuur 5.40

de relatieve entropie generatie voor gedwongen convectieve warmteoverdracht door een gladde pijp

5.5.1

Verhoging van de warmteoverdrachtscoëfficiënt

Een ander mooi voorbeeld van de competitie tussen entropiegeneratie via wrijving en warmteoverdracht vindt plaats in het veld van de compacte warmtewisselaars, waar het hoofddoel is om de warmteoverdracht van een op één of andere manier vervormd oppervlak te verhogen ten opzichte van een onvervormd oppervlak. Gelijk daarmee speelt echter dat het benodigd pompvermogen niet al te zeer omhoog mag gaan. Om hier een vinger achter te krijgen, vergelijken we een bestaande situatie met entropie generatie S’ en een situatie waarbij gepoogd is om het warmtewisselend oppervlak door een vervorming te gen o

vergroten S’

gen v

. Het verschil geven we aan met het entropie generatie getal

NS a = S’gen v / S’gen

0

(5.84)

Verbeteringstechnieken met een getal NS,v<1 zijn thermodynamisch gezien voordelig. Als de functie van de warmtewisselaar is gespecificeerd, dat wel zeggen wanneer m en q ' bekend zijn, kan het entropie verhogings getal expliciet worden geformuleerd

φ NS,a = 1 Ns,∆T + o Ns,∆p 1+φo 1+φo

(5.85)

In deze uitdrukking geeft Ns,∆T de limiet aan van de entropie generatie door de warmteoverdracht en NS,∆P de entropie generatie door de wrijving. Aangetoond kan worden dat voor beide limieten geldt dat

Ns,∆T =

Ns,∆P =

StoDh,v StvDh o

fvDh,oA2o foDh vA2v

(5.86)

(5.87)

De geometrische parameters A w en Dh zijn aan elkaar gerelateerd doordat moet gelden dat m = constant, zodat

Rev

96

Av A = Rev o Dh a Dh o

(5.88)


De verhouding tussen entropie generatie door wrijving en warmtetransport wordt gedicteerd door de numerieke waarde van φo. φo is bekend doordat we uitgaan van een bestaand ontwerp. Deze manier is toegepast op een grote range van verbeteringstechnieken, van verhoging van de oppervlakte ruwheid tot het aanbrengen van een swirl in de stroming. Deze leiden echter allemaal tot vergelijkbare resultaten. Ter illustratie van de techniek, wordt hier een pijpstroming bekeken waarbij getracht wordt om via verruwing an het oppervlak een betere warmteoverdracht te bereiken. De hydraulische diameter wordt hierbij niet veranderd zodat NS,v kan worden geschreven als

Sto φ f Ns,v = 1 + o v 1+φo Stv 1+φo fo

(5.89)

Deze relatie is weergegeven in figuur 5.41 voor enkele waarden van φo en de relatieve ruwheid ε/D. Voor een vast Reynolds getal en een vaste ruwheid ε/D bestaat er een kritische waarde voor de verhouding tussen de entropie generatie door wrijving en –warmteoverdracht waarvoor geldt dat NS,v=1, oftewel: verhoging van de ruwheid heeft thermodynamisch gezien geen enkele zin. Als in een bepaald ontwerp de werkelijke waarde van f0 groter is dan de kritische waarde volgens figuur 42, heeft verhoging van de ruwheid thermodynamisch geen zin. Dit zal altijd het geval zijn, ondanks de hogere warmteoverdracht die plaatsvindt.

5.5.2

Entropie generatie bij warmtewisselaars

Voor een gebalanceerde tegenstroom warmtewisselaar waarvoor geldt dat de capaciteitsstromen in beide takken van de warmtewisselaar aan elkaar gelijk zijn, kan uit de vergelijkingen (5.48) en (5.54) worden afgeleid dat voor deze situatie geldt dat

ε=

Tk,uit - Tk,in Twi,n - Tk,in

=

Tw,in - Tw,uit Twi,n - Tk,in

=

kA w/C 1 + kA w/C

=

NTU 1 + NTU

(5.90)

Als we veronderstellen dat beide media beschreven kunnen worden als een ideaal gas, kunnen we de entropie generatie van de warmtewisselaar beschrijven als

Sgen = mcp

figuur 5.41

w

ln

p p Tw,uit T + mcp k ln k,uit – mR w ln pw,uit – mR k ln pk,uit Tw in Tk in w,in k,in

(5.91)

het entropie verhogings getal als functie van Reynolds voor een ruwe pijp (Bejan 1982)


97

figuur 5.42

de kritische verhouding f voor een ruwe pijp de feitelijke f o moet kleiner zijn dan de kritische f0 om een reductie in entropie generatie te bereiken (Bejan 1982)

Met behulp van (5.90) kunnen de massastromen worden geëlimineerd. Voor een “goede” warmtewisselaar (1-ε) << 1 vereenvoudigt (5.91) dan tot 2 Sgen Dp Dp T – Tk NS = mc = 1 – ε w + cR p + p T T w p p k

(5.92)

k

De entropie generatie is opgebouwd uit bijdragen als gevolg van de warmteoverdracht en de drukvallen in beide takken van de warmtewisselaar. In figuur 5.43 is deze relatie grafisch weergegeven in termen van de slankheid van een kanaal (L/Dh ), het Reynolds getal en de dimensieloze bulksnelheid g=G/(2ρP)1/2. De minimale entropie generatie is proportioneel met g. De koppeling met Reynolds is vrij zwak, zodat er gesteld kan worden dat de hoogte van de entropie generatie bepaald wordt door de bulksnelheid als de slankheid van het kanaal wordt geoptimaliseerd naar minimale entropie generatie. Vergroting van de warmtewisselaar (dat wil zeggen, meer kanalen) betekent altijd een verlaging van de bulksnelheid en is thermodynamisch altijd gunstig, wanneer tenminste de entropie verhoging door het toenemende materiaalgebruik wordt verwaarloosd. De entropie generatie door de wrijving is niet afhankelijk van de stromingsrichting als we veronderstellen dat de stofeigenschappen niet veranderen. We kunnen een vergelijking maken tussen de verschillende configuraties door alleen naar de eerste twee termen van uitdrukking (5.92) te kijken. log(NS)

NS,∆T < NS,∆P

NS,∆T > NS,∆P

g>

g = constant oppervlak

log(L/Dh) log (Re)

figuur 5.43

98

entropie generatie getal als functie van Reynolds, de kanaalslankheid en de bulksnelheid


Figuur 5.44 is geconstrueerd door de overeenkomstige relaties voor de effectiviteit in (5.92) te substitueren voor een tegenstroom, gelijkstroom en kruisstroom warmtewisselaar. Als het warmtewisselend oppervlak gelijk is aan nul gebeurt er niets en is er dus ook geen toename van de entropie. Zodra er sprake is van warmte-uitwisseling neemt de entropie generatie snel toe. Bij een oneindig goede tegenstroom warmtewisselaar (ε =1) blijft het temperatuurverschil tussen beide warmtestromen voor en na de warmtewisselaar hetzelfde: het ingaande warme medium heeft na de warmtewisselaar de temperatuur van het koude medium en omgekeerd. Ook in dat geval is de entropie generatie nul. 1.2 gelijkstroom

1

kruisstroom, één gemengde stroom

NS NS,max 0.8

kruisstroom, ongemengd

0.6 tegenstroom

0.4

0.2

2

figuur 5.44

4 6 NTU = kAw/C

8

10

entropie generatie voor verschillende stromingsconfiguraties als functie van het warmteoverdragend vermogen kAw/C

Om de invloed van een onbalans in de capaciteitsstromen te illustreren, kijken we naar een overigens perfecte warmtewisselaar, dat wil zeggen ∆p=0 en kAw/C=∞. De onbalans ω tussen beide takken van de warmtewisselaar wordt gedefinieerd als

ω=

mcp mcp

1 2

=

C1 >1 C2

(5.90)

De effectiviteit van een tegenstroom warmtewisselaar, zie uitdrukking (5.55), kan dan worden geschreven als

1 - exp 1 – ω–1

ε= 1 - ω exp –1

1–ω

kA w Cmin –1

(5.91)

kA w Cmin

wanneer C2 de kleinste capaciteitsstroom is. Analoog aan vergelijking (5.84) kan dan voor de entropie generatie worden geschreven

NS =

Sgen T = ln 2 T1 mcp

ω

1+

T1 –1 ω T2 1+ω

1+ω

(5.92)

In figuur 5.45 is deze relatie uitgezet. Als één van de twee stromen een zodanig grote capaciteitsstroom heeft dat de temperatuur in die tak niet veranderd, is de entropietoename maximaal. Dit is het geval bij een fase-overgang in een van de media. De tweede belangrijke conclusie is dat de entropie toename bij gelijkstroom altijd groter is dan bij tegenstroom, maar dat het belang van de configuratie afneemt naarmate de onbalans toeneemt.


99

NS,onbalans

0.2 gelijkstroom

0.15 0.1

tegenstroom

0.05 T1/T2 = 2 1

ω

10

figuur 5.45 de entropie toename als gevolg van een onbalans in capaciteitsstromen voor een gelijkstroom en een tegenstroom warmtewisselaar

In figuur 5.46 zijn de belangrijkste conclusies uit deze paragraaf nog een keer grafisch weergegeven. Aan de entropie toename door een onbalans in de stroming kan niets worden gedaan door de constructie van de warmtewisselaar. Als de onbalans klein is, moet voor een bepaalde maat van de warmtewisselaar worden gezocht naar het minimum in de entropietoename door wrijving en door de warmteoverdracht. Vergroten van de warmtewisselaar leidt altijd tot een afname in entropie generatie, maar leidt door het toegenomen materiaalgebruik ook tot een hogere investering. In feite zou de entropietoename door de produktie van het materiaal moeten worden afgezet tegen de entropie toename door het functioneren van de warmtewisselaar over zijn levensduur om een werkelijk minimum te vinden. In de meeste situaties is dit in het ontwerpstadium echter onmogelijk.

NS,∆T

NS,∆P

NS,ω

verhouding tussen NS,∆T en NS,∆P

investeren in een grotere warmtewisselaar

figuur 5.46

probleem

100

overzicht van de entropie generatie in een warmtewisselaar

benzeen wordt gebruikt in een proces voor het maken van een landbouw gif. Een pijp in pijp warmtewisselaar moet zo worden gedimensioneerd dat het benzeen wordt opgewarmd van 24 °C naar 52 °C. De massastroom benzeen is 1.26 kg s-1. Voor het opwarmen is water beschikbaar op een temperatuur van 94 °C. Selecteer een geschikte warmtewisselaar en bepaal de noodzakelijke waterstroom. Stofwaarden benzeen: ρ = 869 kg m-3, Cp = 1780 J kg-1K -1, λ = 0.157 Wm-1K-1, η = 5.10-4 Pa s, Pr = 1.78


discussie

aannamen

nomenclatuur

grootheden

Voor een vloeistof-vloeistof warmtewisselaar zijn een pijp in pijp en een shell and tube warmtewisselaar geschikt. De benzeen stroom is klein genoeg voor een pijp in pijp warmtewisselaar (als we dit niet weten door ervaring, kunnen we eerst proberen om een pijp-in-pijp warmtewisselaar te maken. Als dit niet lukt, kan vervolgens een shell and tube warmtewisselaar worden gemaakt). We willen een thermodynamisch goede warmtewisselaar maken en gaan ervan uit dat deze in balans moet zijn. Op basis van de richtlijnen voor snelheden uit tabel 2.2 kan een schatting worden gemaakt voor het doorstroomde oppervlak. Om de warmteverliezen naar de omgeving zo klein mogelijk te houden, sturen we de warme vloeistof door de binnenpijp. – stationaire toestand – benzeen eigenschappen constant (zie boven) – water eigenschappen constant en geëvalueerd op (94+24)/2= 60°C w subscript geeft de warmere vloeistof aan k subscript geeft de koudere vloeistof aan h refereert aan de hydraulische diameter e refereert aan de equivalente diameter mw = te selecteren

Tw,in = 94 °C

ρw =985 kg m-3 λw = 0.651 Wm-1K-1 ηw = 5.7.10-4 Pa s

Cp w = 4181 J kg-1K-1 Pr w= 3.02

mk = 1.26 kg s-1

Tk,in = 24 °C

ρk = 869 kg m-3 λk = 0.157 Wm-1K-1 ηk = 5.10-4 Pa s

Tk,uit = 52 °C Cp k = 1780 J kg -1K-1 Pr k = 1.78

snelheden

vw = 1.4+2.8 = 2 , vk = 1.4+2.8 = 2 2 2

capaciteitsstromen

mkCpk = 1.26⋅1780 = 2242 WK –1

keuze: Cw = Ck mw =

doorstroomd opp.

Ck m = 2242 1.26 = 0.68 kg s –1 Cpw w 4181

A d,w = ρmv = 0.68 = 3.45⋅10 –4 m 2 985⋅2 A d,k = ρmv = 1.26 = 7.2⋅10 –4 m 2 869⋅2


101

pijp selectie

Nu gaan we op zoek naar twee buizen die in elkaar geschoven ongeveer de bovenstaande doorlaten hebben. Er is niets opgemerkt over drukken, dus we nemen aan dat we dunwandige buizen mogen gebruiken 4 Aw

IDi =

=

4⋅3.45⋅10 –4 = 0.021 m

Vanwege de goede warmtegeleiding kiezen we voor koperen buis. Uit tabel 2.6 selecteren we DN = 22 mm is. Voor de buitenbuis moet dan ongeveer gelden A d,w = π ODi2 – 0.022 2 = 7.2⋅10 –4 m 2 ↔ ODi= 0.048 m 4

doorstroomd opp.

We selecteren buis DN=42 mm, in gedachten houdend dat bij een warmtewisselaar de snelheid ook weer niet al te laag moet worden i.v.m. de warmteoverdracht. Nu moeten de doorstroomde oppervlakken en snelheden opnieuw worden uitgerekend DN = 22 mm, s = 1.1 mm, IDi = 19.8 mm, IDu = 22 mm A d,k = π IDi2 = π 0.0198 2 = 3.07⋅10 –4 m 2 4 4 DN = 42 mm, s = 1.4 mm, UDi = 39.2 mm, UDu = 42 mm A d,w = π UDi2 – IDu2 = π 0.0392 2 – 0.0220 2 = 8.26⋅10 4 m 2 4 4

snelheden

mk 1.26 = = 1.76 m s –1 ρkA d k 869⋅8.26⋅10 –4

vk =

Deze snelheid is wat aan de lage kant. Beter te laag echter dan te hoog vw =

hydraulische diameter

mw 0.68 = = 2.2 m s –1 ρ Ad 985⋅3.07⋅10 –4

Dh,w = IDi = 0.0198 m Dh,k = 4

equivalente diameter

De,w = IDi = 0.0198 m

De,k = 4

Reynolds getallen

warmtebalans

A d,k 4⋅1.66⋅10 –3 = = 0.0172 m π UDi+ IDu π 0.0392 + 0.022

–4 A d,k = 4⋅8.26⋅10 = 0.048 m π IDu π⋅0.022

Re k =

ρkvkDh,k 869⋅1.76⋅0.029 = 8.9⋅10 4 → turbulent ηk = 5⋅10 –4

Re w =

ρwvwDh,w 985⋅2.2⋅0.0198 = = 9.1⋅10 4 → turbulent ηw 4.7⋅10 –4

mwCpw Tw in – Tw uit = mkCpk Tk uit – Tk in Tw,uit =Tw,in –

discussie

effectiviteit

102

Ck Tk,uit – Tk,in 2242⋅ 52 – 24 = 94 – = 66 2242 Cw

Uit deze getallen blijkt dat we eigenlijk de stofwaarden niet op de goede temperatuur hebben bepaald. We besluiten echter om dit verschil te verwaarlozen. Nu de temperaturen bekend zijn, kan de noodzakelijke effectiviteit worden bepaald. De warmtedoorgangscoëfficiënt kan worden berekend, waarna het warmtewisselend oppervlak en dus de lengte van de warmtewisselaar vast ligt.

ε=

Tk,uit– Tk,in Tw,in– Tw,uit 52 – 24 = = = 0.4 Tw in– Tk in Tw in– Tk in 94 – 24


NTU

grafisch bepalen NTU = kA = 0.75 → kA = 0.75⋅C = 0.75⋅2242 = 1682 WK –1 Cmin

Nusselt

We gebruiken de relatie Dittus-Bölter, waarbij we aannemen dat de interpolatie overbodig is. 0.4 4 Nu k = 0.023⋅Re 4/5 k Pr k = 0.023⋅4.4⋅10

4/5

4 0.3 Nu w = 0.023⋅Re 4/5 w Pr w = 0.023⋅9.1⋅10

warmteoverdracht

1.78 0.4 = 303

4/5

3.02 0.3 = 297

Nu w =

αw De,w Nu wλw 297⋅0.651 ↔ α w= = = 9765 De w 0.0198 λw

Nu k =

αk De,k Nu kλk 303⋅0.157 ↔ α k= = = 991 De k λk 0.048

bepaal het warmtewisselend vermogen per eenheid van lengte kA = L

1 ln IDu/IDi 1 1 + + αkπIDi αwπIDu 2⋅π⋅λkoper

kA = L

1 ln 0.022/0.0198 1 1 + + 991π0.0198 2⋅π⋅399 9765π0.022

kA = 1 = 38.6 Wm –1K –1 L 1.62⋅10 –2 + 4.20⋅10 –5 + 9.65⋅10 3

Lengte wrijvingsfactoren drukval

We hadden een kA van 1682 WK-1 nodig , oftewel 1682/38.6 = 43 m warmtewisselaar. koperen leiding wordt met een extrusie achtig proces gemaakt: e=0.0005 Re≈1.105 in beide takken, grafisch bepalen, ƒ=0.019 ∆pw = fw L 1 ρ vw2 = 0.019 43 0.5 985⋅2.2 2 = 9.85⋅10 4 Pa Dh w 2 0.0198 ∆pk = fk L 1 ρk vk2 = 0.019 43 869⋅0.5⋅1.76 2 = 6.39⋅10 4 Pa Dh k 2 0.0172

Literatuur 1984

Kays, W.M. en A.L. London, Compact heat exchangers, McGraw-Hill, New York

1988

Bejan, A., Advanced engineering thermodynamics, Wiley, New York

1993

Bejan, A., Heat transfer, Wiley, New York


103

5 Warmtewisselaars. 5.1 Typen warmtewisselaars

Recommend Documents