10. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Kombinatorika 1) V restauraci mají na jídelním lístku 3 druhy polévek, 7 možností výběru hlavního jídla, 4 druhy moučníku. K pití si lze objednat kávu, limonádu nebo džus. Kolika způsoby si může host vybrat oběd, za předpokladu, že bude jíst a) jen polévku a hlavní jídlo, b) polévku, hlavní jídlo a dále si objedná nápoj, c) polévku, hlavní jídlo moučník a nápoj. [a) 21, b) 63, c) 252] 2)Kolik různých přirozených čtyřciferných čísel s různými ciframi lze sestavit z cifer 1, 2, 3, 4, 5? Kolik z nich je dělitelných 5? Kolik z nich je lichých? [120,24,72] 3) Kolik různých přirozených pěticiferných čísel s různými ciframi lze sestavit z cifer 0, 2, 4, 6, 7, 8, 9? Kolik z nich je dělitelných 4? Kolik z nich je dělitelných 10? Kolik z nich je sudých? [2 160, 840, 360, 1 560] 4) Určete počet všech přirozených čísel větších než 300 a menších než 5 000, v jejichž zápisu se vyskytují cifry 2, 3, 4, 7, 8, a to každá nejvýše jednou. [120] 5) Ve třídě 1.A se vyučuje 11 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů? [332 640] 6) Zmenší-li se počet prvků o 27, zmenší se počet variací druhé třídy bez opakování vytvořených z těchto prvků desetkrát. Určete původní počet prvků. [40] 7) Kolika způsoby lze postavit do řady na poličku 10 různých knih českých a 5 různých knih anglických tak, že nejprve budou knihy české a vedle nich knihy anglické. [435 456 000] 8) Kraťte, určete podmínky pro n: a)
(n + 1)!
b)
n! (n − 4)! d) (n − 2)!
e)
(n + 1)! (n − 1)! (2n )! (2n − 1)!
c) f)
[a) n + 1, n ∈ Z , n ≥ 0, b) n 2 + n, n ∈ N , c) d)
(n − 100)! (n − 99)! (3n − 2)! (3n − 3)! 1 , n ∈ N , n ≥ 100, n − 99
1 , n ∈ N , n ≥ 4, e) 2n, n ∈ N , f) 3n − 2, n ∈ N ] n − 5n + 6 2
9) Upravte, určete podmínky pro n: a)
n 1 − (n − 3)! (n − 4)!
b) 2
n 2 − 16 n 2 + 5 3 + + (n + 4)! (n + 3)! (n + 2)!
c)
2 2n 2n + 4 − − n! (n + 1)! (n + 2 )!
d)
(n − 1)! +
n! 4(n + 1)!
e)
(n − 1)! .
n! 4(n + 1)!
f)
(n + 5)! − 2 (n + 4)! + (n + 3)! (n + 3)! (n + 2)! (n + 1)!
3n! 3n! 3 1 , n ∈ N , n ≥ 4, b) , n ∈ Z , n ≥ −1, pro n = −2 je výsledek 0, [a) (n − 3)! (n + 1)! 7n + 4 1 c) 0, n ∈ Z , n ≥ 0, d) , n ∈ N , e) , n ∈ N , f) 2, n ∈ Z , n ≥ −1 ] 2 2 12n + 12n 12n + 12n 10) Kolik kružnic určuje deset různých bodů v rovině, z nichž a) žádné čtyři neleží na kružnici, b) právě šest leží na kružnici?
[a) 120, b) 100]
11) Kolika způsoby lze rozdělit 12 hráčů na dvě šestičlenná družstva?
[924]
12) Kolika způsoby lze 4 dívky a 8 chlapců rozdělit na dvě šestičlenná volejbalová družstva tak, aby v každém družstvu byla 2 děvčata a 4 chlapci? [420] 13) V krabici je 10 výrobků, z nichž jsou právě tři vadné. Kolika způsoby lze vybrat 5 výrobků tak, aby a) žádný nebyl vadný, d) právě dva byly vadné, b) právě jeden byl vadný, e) nejvýše dva byly vadné, c) nejvýše jeden byl vadný, f) alespoň dva byly vadné? [a) 21, b) 105, c) 126, d) 105, e) 231, f) 126] 14) Z kolika prvků lze vytvořit 990 kombinací druhé třídy bez opakování?
[45]
15) Zvětší-li se počet prvků o 4, zvětší se počet kombinací druhé třídy bez opakování vytvořených z těchto prvků o 30. Určete původní počet prvků. [6] 16) Řešte rovnice s neznámou n ∈ Z : a) 5.(n + 1)! = (n + 2 )!
n! = 4n (n − 2)! (n + 6)! − n. (n − 4)! = 5n + 80 e) (n + 4)! (n − 5)! c)
b) (n + 1)!−16.(n − 1)! = n!
10 − 17n 4 + =0 (n + 1)! (n − 1)! (2n + 1)! + (3n )! = (n + 1)! + 50 f) (2n )! (3n − 1)! 2n! [a) {3}, b) {4} , c) {5}, d) {2} , e) {5}, f) {11} ]
d)
17) Řešte rovnice s neznámou x ∈ R :
6
5
1 4
a) = 2 x + + 3 1 2 3
x x + 1
= 25 c) + 2 2
5
2 8 7
b) x 2 − x − : = 0 2 4 3 0
x x − 3
= 2x − 3 d) + 1 x − 4
x − 2 5 x − 1 x + 6 x + 4 = 0 − 2. = 4!+ x − f) 2 x − 4 2 x − 3 x + 4 x + 2 x x + 1 x x + 8 x x + 1 5 x + 1 4 x + 1 = 1 . − . − = 2 . + . h) 5 g) 0 x x − 1 x + 7 1 x + 1 3 x 3 x − 1 [a) {4}, b) {− 1;2}, c) {5}, d) {x ∈ N , x ≥ 4}, e) {5}, f) {0;5}, g) {5}, h) {5}] e)
18) Vypočítejte:
(
)
(
)
(
5
)
1 a) 1 + 2 b) 1 − 2. 3 c) x + x d) y − 2 y [a) 41 + 29 2 , b) 97 − 708.3 3 − 516.3 9 , c) x 4 + 4 x 3 x + 6 x 3 + 4 x 2 x + x 2 , 5 5 5 5 1 ] d) y 5 − y 3 + y − + − 3 2 2 4 y 16 y 32 y 5 5
6
3
4
19) Umocněte podle binomické i podle Moivreovy věty: a) (1 + i )
7
b)
(
2 −i 2
)
(
6
c) − 2 + 2i 3
)
5
[a) 8 − 8i, b) 64i, c) − 512 − 512i 3 ] 20) Vypočítejte pátý člen binomického rozvoje (1 + y ) . 10
[ 210 y 4 ]
9
2 21) Určete x ∈ R tak, aby pátý člen binomického rozvoje − x byl roven 2 016. [ x = 3 2 ] x 22) Který člen binomického rozvoje (5 − 2m ) obsahuje m 4 ? 7
[5. člen]
Pravděpodobnost 23) Z pěti úseček délek 2 cm, 3 cm, 5 cm, 7 cm a 11 cm náhodně vybereme 3. Jaká je
1 5
[ ]
pravděpodobnost, že z vybraných úseček lze sestrojit trojúhelník?
24) Určete pravděpodobnost výhry v I. pořadí ve Sportce. 25) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne a) šestka, b) sudé číslo, c) číslo větší než 1,
[0,000 000 072]
d) číslo 10?
1 1 5 [a) , b) , c) , d) 0] 6 2 6
26) Hodíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že a) na obou kostkách padne 6, b) na obou kostkách padne liché číslo, c) alespoň na jedné kostce padne liché číslo, d) bude součet bodů na kostkách 5, e) bude součet bodů na kostkách menší než 5? [a)
1 1 1 3 1 , b) , c) , d) , e) ] 6 36 4 4 9
27) a) Jaká je pravděpodobnost, že při třech hodech jednou mincí padne alespoň dvakrát líc? b) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi mincemi najednou padne alespoň na dvou mincích líc? [a)
1 1 , b) ] 2 2
28) Ze třídy, ve které je 14 chlapců a 17 dívek, byla vybrána náhodně skupina 5 studentů. Jaká je pravděpodobnost, že v ní byli a) 2 chlapci a 3 dívky, b) 3 chlapci a 2 dívky, c) 4 chlapci a 1 dívka? [a) 0,3642; b) 0,2913; c) 0,1002] 29) Jaká je pravděpodobnost, že se Jana a Tomáš narodili ve stejný měsíc?
[0,0833]
30) V sérii 35 výrobků jsou 4 zmetky. Náhodně vybereme 5 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou 2 zmetky? [0,0831] 31) 40 studentů má být rozděleno na čtyři stejně početné skupiny. Mezi studenty jsou Adam a Eva. Jaká je pravděpodobnost, že budou oba zařazeni do stejné skupiny? [0,2308] 32) V bedně je 40 výrobků, z nichž právě 6 je vadných. Náhodně vybereme 5 výrobků. S jakou pravděpodobností a) budou mezi 5 vybranými výrobky právě 3 vadné, b) budou mezi 5 vybranými výrobky alespoň 2 vadné, c) bude mezi 5 vybranými výrobky nejvýše 1 vadný? [a) 0,017; b) 0,154; c) 0,8458] d) 33) 4 studenti a 6 studentek (mezi nimiž jsou Adam a Eva) mají ze svého středu vylosovat tříčlennou komisi. Jaká je pravděpodobnost, že Adam nebo Eva budou mezi vylosovanými? [
8 ] 15
34) Ve třídě je 30 žáků, z nichž 5 nemá vypracováno domácí cvičení.. V hodině budou vyvoláni k tabuli 4 žáci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude aspoň 1 žák bez domácího cvičení? [0,5384] 35) Z úplné hry 32 karet vytáhneme 3 karty. Jaká je pravděpodobnost, že budou všechny červené nebo všechny esa? [0,012]
36) Přerušení elektrického obvodu může nastat následkem poruchy členu a nebo následkem poruchy obou členů b1 , b2 . Poruchy členů a, b1 , b2 nechť jsou nezávislé jevy A, B1 , B2
s pravděpodobnostmi P ( A) = 0,03, P (B1 ) = 0,2, P (B2 ) = 0,2. Určete pravděpodobnost přerušení obvodu. [0,0688]
37) Na vysoké škole technické v 1. ročníku propadá v průměru 15 % studentů z matematiky, 10 % propadá z fyziky a 5 % z obou předmětů. Jsou jevy „student propadne z matematiky“ a „student propadne z fyziky“ nezávislé? [nejsou] 38) V kanceláři pracují dvě sekretářky. První přijde pozdě do práce s pravděpodobností 0,1, druhá s pravděpodobností 0,2. Jaká je pravděpodobnost, že a) obě přijdou včas, b) aspoň jedna přijde včas? [a) 0,72; b) 0,98] 39) Bylo sklizeno 6 000 jablek. Z nich 2 000 je příliš malých a 600 je mechanicky poškozených. Obě vady jsou na sobě nezávislé. Vypočtěte, jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybrané jablko a) má obě uvedené vady, b) nemá žádnou z uvedených vad, c) má právě jednu z uvedených vad.
[a)
11 1 3 , b) , c) ] 30 30 5
40) Ke zkoušce na vysoké škole dostali studenti seznam 30 otázek. Každý student si na začátku zkoušky vylosuje 3 otázky. Zkoušku úspěšně složí, jestliže správně odpoví na alespoň 2 z nich. Jaká je pravděpodobnost, že zkoušku úspěšně složí student, který se naučil odpovědi na právě 20 otázek? [0,749] Statistika 41) Při zjišťování počtu nezletilých dětí ve dvaceti domácnostech jsme dostali výsledky 0, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1. Uspořádejte údaje do tabulky rozdělení četností, vypočítejte relativní četnosti a vyjádřete je v procentech. [0 – 25 %, 1 – 40 %, 2 – 25 %, 3 – 10 %] 42) Ve třídě je 10 žáků s prospěchem od 1 do 1,5, 15 žáků s prospěchem od 1,5 do 2, 12 žáků s prospěchem od 2 do 2,5 a 5 žáků s prospěchem od 2,5 do 3. Sestavte tabulku intervalového rozdělení četností prospěchu žáků; četnosti intervalů prospěchu vyjádřete v procentech. [1,0-1,5 – 24 %, 1,5-2,0 – 36 %, 2,0-2,5 – 29 %, 2,5-3,0 – 12 %] 43) Kruhový diagram vyjadřuje v procentech volební preference pěti politických stran. Jsou-li volební preference strany A znázorněny kruhovou výsečí se středovým úhlem velikosti 72°, jaké jsou preference této strany v procentech? [20 %]
44) V tabulce je uvedeno rozdělení křesel v Poslanecké sněmovně ČR po volbách v roce 1998: ČSSD ODS KSČM KDU_ČSL US 74 63 24 20 19 Znázorněte kruhovým diagramem. (Určete středové úhly jednotlivých výsečí.) [133,2°;113,4°; 43,2°; 36,0°; 34,2°] 45) V první třídě nasbíral jeden žák průměrně 20 kg papíru, ve druhé třídě 30 kg a ve třetí 40 kg. Kolik kilogramů papíru sebral průměrně jeden žák za všechny tři třídy dohromady, jestliže ve druhé třídě byl stejný počet žáků jako v první třídě, ale ve třetí třídě byla polovina žáků ve srovnání s první i druhou třídou? [28 kg] 46) Aritmetický průměr tří čísel je 38,4. Je-li součet dvou z nich 77,4, jaké je třetí číslo?
[37,8]
47) Několik jablek má průměrnou hmotnost 180 g. Kdybychom k nim přidali jedno jablko o hmotnosti 210 g, zvětšila by se průměrná hmotnost jablek o 3 g. Jaký je počet jablek? [9 nebo 10] 48) Deset hráčů soutěžilo v hodu na koš. První hráč získal 11 bodů, druhý 8 bodů, třetí také 8 bodů, čtvrtý dosáhl aritmetického průměru počtu bodů prvních tří hráčů. Podobně pátý a každý další hráč získal počet bodů, který se rovná aritmetickému průměru počtu bodů všech hráčů, kteří házeli na koš před ním. Kolik bodů získal desátý hráč? [9 bodů] 49) Vojáci čtyř rot jednoho vojenského praporu byli testováni na fyzickou zdatnost. Každý obdržel známku od 1 (nejlepší) do 5 (nejhorší). Výsledky jsou uvedeny v tabulce: 1. rota 2. rota 3. rota 4. rota a) b) c) d)
1 4 4 5 4
2 3 4 5 3 13 5 2 6 10 4 5 9 3 3 3 7 11 4 4
Jaká byla průměrná známka v celém praporu? Počítejte s přesností na dvě desetinná místa. Která rota byla v průměru nejlepší a která nejhorší? Určete četnosti jednotlivých známek v celém praporu a sestrojte příslušný polygon četností. Určete relativní četnosti (v procentech) jednotlivých známek v celém praporu s přesností na dvě desetinná místa. [a) 2,86; b) nejlepší 3. rota, nejhorší 2. rota]
50) Výsledky srovnávací písemné práce z matematiky v sousedních maturitních třídách IV.A a IV.B gymnázia v městě N jsou zachyceny v tabulce: Známka 1 2 3 4 5 IV.A 6 11 8 2 3 IV.B 4 8 7 6 0 Vypočtěte průměrnou známku z A ve třídě IV.A, průměrnou známku z B ve třídě IV.B
i průměrnou známku z v obou třídách dohromady. Počítejte s přesností na dvě desetinná místa. [ z A = 2,50, z B = 2,60, z = 2,55 ] 51) Aritmetický průměr pěti Michalových známek z angličtiny je 3,2. Kolik jedniček by měl Michal ještě dostat, aby pak jeho průměrná známka byla lepší než 2,5? [aspoň 3] 52) Průměrná výška původně nominovaných členů školního basketbalového mužstva byla 183 cm. Poté, co byl do družstva zařazen nový hráč, který měří 199 cm, vzrostla průměrná výška v družstvu o 2 cm. Kolik členů má školní družstvo nyní? [8] 53) Ve třídě je 15 chlapců. Údaje o výšce chlapců udává následující tabulka: Výška (cm) 160-164 165-169 170-174 175-179 180-184 Počet žáků 2 5 4 3 1 Vypočítejte průměrnou výšku žáka, určete modus, medián. [170,66; modus 167 cm; medián 172 cm] 54) Pan Dvořák jel automobilem prvních 20 km rychlostí 80 km.h −1 , dalších 30 km rychlostí 90 km.h −1 . Vypočítejte průměrnou rychlost jeho jízdy. [85,7 km.h −1 ] 55) V testu při zkoušce dostalo 15 studentů známku 1, dalších 35 studentů dostalo známku 2, známku 3 dostalo 30 studentů, 15 studentů dostalo známku 4 a zbylých 5 studentů dostalo známku 5.Vypočítejte průměrnou známku z testu, modus, medián. Výsledky testu znázorněte graficky. [2,6; modus 2; medián 2,5] 56) Při kontrole hmotnosti sušenek bylo zkontrolováno 10 krabic se sušenkami a zjistili se následující hodnoty: 250 g, 247 g, 251 g, 249 g, 252 g, 248 g, 251 g, 250 g, 251 g, 248 g. Vypočítejte průměrnou hmotnost krabice sušenek, směrodatnou odchylku a variační koeficient. [249,7 g; 1,55 g; 0,62 %]
