5. Transformasi Integral dan Persamaan Integral 5.1. Transformasi Integral 5.2. Transformasi Laplace 5.3. Transformasi Fourier 5.4. Persamaan Integral
5.1. Transformasi Integral Di dalam Fisika Matematika kita sering menjumpai pasangan fungsi yang dihubungkan sbb: b
g (α ) = ∫ f (t ) K (α , t )dt a
Fungsi g(α) disebut transformasi (integral) dari f(t) dengan kernel K(α,t). Æ Mapping fungsi f(t) di ruang-t dari fungsi g(α) di ruang-α.
Mengapa kita butuh transformasi integral?? Karena dalam banyak kasus masalah lebih mudah diselesaikan dengan cara transformasi dan inversi. Kita membutuhkan representasi dalam ruang lain. Contoh di fisika: waktu Ù frekuensi ruang real Ù ruang momentum
susah Problem asal
Transformasi integral
Problem di ruang transformasi
relatif mudah
Solusi problem asal
Inverse transformasi
Solusi di ruang transformasi
Satu diantara transformasi yang terpenting Æ Fourier ∞ 1 iα t g (α ) = f ( t ) e dt ∫ 2π −∞ Ada tiga lainnya: Transformasi∞Laplace:
g (α ) = ∫ f (t )e −αt dt 0
Transformasi Hankel ( Fourier-Bessel) b
g (α ) = ∫ f (t )tJ n (αt )dt a
Transformasi Mellin b
g (α ) = ∫ f (t )t α −1dt a
5.2. Transformasi Laplace Transformasi Laplace f(s) atau L dari F(t) didefinisikan: a
∞
a →∞ 0
0
f ( s) = L{F (t )} = lim ∫ e − st F (t )dt = ∫ e − st F (t )dt Beberapa fungsi sederhana: 1) F(t) = 1, t >0 ∞
1 L{1} = ∫ e dt = s 0 − st
2) F(t) = ekt, t >0 ∞
1 L{e } = ∫ e e dt = , untuk s > k s−k 0 kt
− st
kt
3) Fungsi hiperbolik sinus dan kosinus Karena: cosh (kt) = ½ (ekt + e-kt) dan sinh (kt) = ½ (ekt - e-kt) Maka
1⎛ 1 1 ⎞ s L{cosh( kt )} = ⎜ + ⎟= 2 2 ⎝ s − k s + k ⎠ s − k2 dan
1⎛ 1 1 ⎞ k − L{sinh( kt )} = ⎜ ⎟= 2 2 ⎝ s − k s + k ⎠ s − k2
4) Fungsi sinus dan kosinus biasa dengan menggunakan: cos (kt) = cosh (ikt) dan sin (kt) = −i sinh (ikt) diperoleh:
dan
s L{cos( kt )} = 2 s + k2
k L{sin( kt )} = 2 s + k2 5) F(t) = tn ∞
n! L{t } = ∫ e t dt = s +1 s 0 t
− st n
Tabulasi: F(t)
f(s) 1 s
1
1 s−k
ekt cosh (kt)
s s2 − k 2
k
sinh (kt) cos (kt)
s2 − k 2
s s2 + k 2 k
sin (kt) tn
s2 + k 2
n! s n +1
Tabel lengkap dapat dilihat di Arfken
Contoh soal: 1. Carilah F(t) bila 2
k f (s) = 2 2 s( s + k ) Jawab: Fungsi f(s) dapat diuraikan menjadi:
A Bs + C f (s) = + 2 2 s (s + k ) dengan substitusi balik, diperoleh A = 1, B = -1, C = 0, sehingga:
1 s f (s) = − 2 2 s (s + k ) dengan demikian inverse f(s) menjadi: F(t) = 1 − cos (kt)
2. Carilah F(t) bila
s f (s) = 2 s − k2 Jawab: Fungsi f(s) dapat diuraikan menjadi:
As + B Cs + D f (s) = + s+k s−k As 2 − Aks + Bs − Bk + Cs 2 + Ds + Cks + Dk = s2 − k 2 dengan substitusi balik, diperoleh A =0, B = 1/2, C = 0, D=1/2 sehingg
Turunan Transformasi Laplace per-definisi: ∞
L{F ' (t )} = ∫ e 0
− st
dF dt dt
integrasi bagian: ∞
∞
L{F ' (t )} = e − st F (t ) + s ∫ e − st F (t ) dt 0
= sL{F(t)} – F(0)
0
kalau diteruskan L{F(2) (t)} = s2 L{F(t)} – sF(t) – F′(0) dan seterusnya: L{F(n) (t)} = sn L{F(t)} – sn-1F(t) – sn-1F′ (t) …– F(n-1)(0)
Contoh di Fisika: Kasus osilator harmonis:
A
F = – ky Æ
t=0, y =yo, y′=0
y′′ + ω2y = 0
Kalau pada persamaan diferensial kita lakukan tranformasi Laplace: L{ y′′} = – ω2 L{y} s2 L{y} – sy(0) – y′(0) = – ω2 L{y}
masukkan syarat batas, diperoleh:
s y0 L{ y} = 2 2 s +ω inverse transformasi ini menghasilkan: y = yo cos ωt (seperti yang diharapkan) Pertanyaan, apabila syarat batas diubah menjadi t=0, y =0, y′=vo apa yang terjadi? (Jawab: y = vo/ω sin ωt, buktikan!)
Sifat-sifat lain fungsi Laplace 1.Substitusi f(s-a) = L{eatF(t)} (buktikan!) Sehingga: k L{e at sin kt} = (s − a) 2 + k 2 (s − a) L{e cos kt} = (s − a)2 + k 2 at
2. Translasi e-bs f(s) = L{F(t-b)} (buktikan!) 3. Turunan suatu transformasi Turunan ke-n: f(n)(s) = L{(-t)n F(t)} (buktikan!) 4. Integrasi suatu transformasi ∞ ⎧ F (t ) ⎫ ∫s f ( x ) dx = L ⎨⎩ t ⎬⎭
Contoh kasus: Osilator Teredam Kasus getaran harmonis teredam: mX " (t ) + bX ' (t ) + kX (t ) = 0
dengan m,k,b adalah konstan. Bila kita gunakan kondisi inisial X(0)=X0, X’(0)=0, maka persamaan transformasi menjadi: m[ s 2 x( s ) − sX 0 ] + b[ s x( s ) − X 0 ] + kx( s ) = 0 dan ms + b x( s ) = X 0 ms 2 + bs + k
Persamaan terakhir dapat diselesaikan dengan melengkapi kuadrat penyebut sbb: 2 ⎛ ⎞ k b k b b ⎛ ⎞ 2 ⎟ s + s + = ⎜s + ⎟ + ⎜⎜ − 2 ⎟ m m ⎝ 2m ⎠ ⎝ m 4m ⎠ 2
Apabila faktor redaman (damping) kecil, b2<4 km, suku terakhir adalah positif dan sebut sebagai ω12 s+b/m x( s ) = X 0 ( s + b / 2m) 2 + ω12 (b / 2mω1 )ω1 s + b / 2m + X0 = X0 2 2 ( s + b / 2m) + ω1 ( s + b / 2m) 2 + ω12
Kita gunakan
k L{e sin kt} = (s − a) 2 + k 2 (s − a) L{e at cos kt} = (s − a)2 + k 2 at
Didapat: X (t ) = X 0 e
−(b / 2 m )t
⎛ ⎞ b ⎜⎜ cos ω1t + sin ω1t ⎟⎟ 2mω1 ⎝ ⎠
ω0 − ( b / 2 m ) t = X0 e cos(ω1t − ϕ ) ω1
dengan
b tan ϕ = 2mω1 k ω = m 2 0
RLC Analog Ada keserupakan antara osilator harmonis teredam dengan rangkaian RLC Dari hukum Kirchchoff: R C I
dI q L + RI + = 0 dt C
Didiferensialkan: L
d 2I dI 1 L 2 +R + I =0 dt dt C
mX " (t ) + bX ' (t ) + kX (t ) = 0 Analog dengan problem mekanika.
5.3. Transformasi Fourier Secara Matematik transformasi Fourier dikembangkan dari deret Fourier. Secara detail dapat dilihat di Arfken. g (α ) =
1 2π
∞
∫
f (t )e iαt dt
−∞
Inversnya: f (t ) =
1 2π
∞
− iα t g ( α ) e dt ∫
−∞
Berbagai macam bentuk TF Pasangan transformasi Fourier H(f) =
∞
∞
−∞
−∞
i 2πft −i 2πft ⇔ h ( t ) = H ( f ) e df h ( t ) e dt ∫ ∫
∞
F (α ) = ∫ f ( x)e −∞
−iαx
1 ∞ iαx F ( α ) e dx dx ⇔ f ( x) = ∫ 2π − ∞
∞ 1 −ikx 1 ikx f ( x ) = g ( k ) e dk ∫ g (k ) = ∫ f ( x)e dx ⇔ 2π −∞ 2π −∞ ∞
Di Mekanika Kuantum: Paket gelombang, f(x), dengan gelombang dalam bilangan gelombang, g(k) 1 ∞ −ikx f ( x) = g ( k ) e dk ∫ 2π −∞
1 ∞ ikx f ( x ) e dx Ù g (k ) = ∫ 2π −∞
Lebih lengkap:
1 ∞ − ik ( x −ωt ) f ( x, t ) = g ( k ) e dk ∫ 2π − ∞ Jadi cukup banyak cara penulisan transformasi Fourier, pilih salah satu dan harus konsisten!
Sekarang kita lihat kenyataan bahwa pada umumnya hasil transformasi Fourier adalah fungsi kompleks. ∞
H ( f ) = ∫ h(t )e − 2πift dt −∞
Kompleks Maka: H(f)
= R(f) + i I(f) (real) (imaginer) iθ ( f ) | H ( f ) | e =
fase dengan | H ( f ) |= R 2 ( f ) + I 2 ( f )
⎡ I( f ) ⎤ ⎥ R ( f ) ⎣ ⎦
θ ( f ) = arctan ⎢
Topik-topik tersisa z z z
Teorema Konvolusi Representasi Momentum Persamaan Integral
