3. Gyakorlat A soros RLC áramkör tanulmányozása 1. A gyakorlat célkitőzései Váltakozó áramú áramkörökben a tekercsek és kondenzátorok frekvenciafüggı reaktív ellenállással, ún. reaktanciával rendelkeznek. Sajátságos tulajdonságaik miatt ezen áramköri elemeken megjelenı kapocsfeszültségek nincsenek fázisban az áramkörben folyó árammal de az általuk létrehozott fáziskülönbségek állandók. Figyelembe véve a fentieket az áramkörben kialakuló áram és a forrásfeszültség közötti fázisviszonyok is függnek a frekvenciától. A gyakorlat céljai: - tanulmányozzuk a fázisviszonyokat rezisztív, induktív és kapacitív áramköri elemeken, meghatározzuk az általuk létrehozott fáziskülönbségeket. - széles frekvencia tartományban tanulmányozzuk az áramkörben kialakuló viszonyokat (áramerısség illetve kapocsfeszültségek) a váltakozó feszültségő áramforrás frekvenciájának függvényében. - a tekintett soros RLC áramkörben a forrásfeszültség frekvenciájának változtatásával elıállítunk induktív, rezisztív (rezonáns) illetve kapacitív jellegő áramkört. Felvesszük és tanulmányozzuk az áramgörbét a frekvencia függvényében. - kétsugaras oszcilloszkópon megjelenítjük a forrásfeszültség és az áramerısséggel fázisban lévı rezisztív áramköri elem kapocsfeszültségének pillanatnyi értékeit. - tanulmányozzuk a fent említett jellegek esetében a feszültségek egymáshoz viszonyított fázisait. 2. Elméleti bevezetı Tekintsük az 1. ábrán látható soros RLC áramkört, amely tartalmaz egy R ohmos ellenállást, egy L induktivitású és RL ellenállású valódi tekercset és egy C kapacitású (ideális) kondenzátort. Az áramkörbe beiktatunk egy áramforrást, amely U0 amplitúdóval és u = U 0 sin ω t pillanatnyi feszültséggel rendelkezik (a feszültség kezdıfázisát nullának tekintjük). Zárt áramkörben ilyen periodikusan változó áramforrás hatására létrejön a váltakozó áram, az ún. kényszerrezgés.
1. ábra. Soros RLC áramkör. Az áramkörben a tekercs úgy viselkedik, mint egy áramforrás, melynek önindukciós elektromotoros feszültsége az (1) összefüggéssel adott. Ahhoz, hogy az áramkörben az i
1
di dt di uL = L dt eöi = − L
erısségő áram folyjon az áramforrásnak le kell gyızni ezt az önindukciós elektromotoros erıt egy vele megegyezı nagyságú de ellentétes hatású feszültséggel (2). A kondenzátor szintén áramforrásként viselkedik, melynek feszültsége (3)-al adott. Az ohmos ellenálláson fellépı feszültségesések az (4) összefüggésekkel adhatók meg.
1. 2.
t
uC =
1 id t C ∫0
u R = iR
u RL = iRL
3. 4.
Kirchhoff huroktörvénye alapján írhatjuk, hogy:
u = u R + u L + u C = i( R + RL ) + L
di 1 t + id t d t C ∫0
5.
Ennek az egyenletnek a megoldása szinusz-függvény szerint változik de nem lesz feltétlenül fázisban a feszültséggel: i = I 0 sin(ω t − ϕ )
6.
ahol ω = 2πν a kényszerrezgés körfrekvenciája, ϕ a feszültség és az áramerısség közötti fáziskülönbség. Ha ϕ értéke pozitív a feszültség siet, ha negatív késik az áramerısséghez képest. Ha ϕ = 0 az áramkörben rezonancia van az áram és a feszültség között. A mérések során a feszültségek és az áramerısségek effektív értékeit mérjük meg, amelyeket az amplitúdók 2 -vel való osztásával kapjuk meg (jelölésük: U R , U L , U C ). Mivel a tekercsnek van saját ohmos ellenállása is, a sarkain mérhetı feszültség pillanatnyi- és effektív értékeit a következıképpen adhatjuk meg: u L = u LL + u RL
U L = U RL + U LL
7.
ahol u LL a tekercs induktív volta miatt fellépı feszültségesés, míg u RL a tekercs ohmos ellenállásán fellépı feszültségesés. Természetesen ezek közül csak a tekercsen lévı teljes feszültségesést mérhetjük. A váltakozó áramkörök tárgyalását végezhetjük a vektormodell vagy a komplex tárgyalásmód segítségével. A felhasználandó összefüggések:
Z = ( R + RL ) 2 + ( X L − X C ) 2 , 1 ωL − ωC ϕ = arctg R + RL 2
- az áramkör impedanciája
- a fáziskülönbség,
2
Z L = RL + X L , ωL ϕ L = arctg RL ZC = X C ,
- a tekercs impedanciája - tekercs fáziskülönbség, - a kondenzátor impedanciája
X L = ω ⋅ L, 1 XC = , ω ⋅C
- a tekercs reaktanciája - a kondenzátor reaktanciája
2
8.
Megjegyzés: rezonancia esetén lehetséges az, hogy a reaktív elemeken nagyobb feszültség jelenjen meg, mint a tápfeszültség!
a. Az áramerısségek pillanatnyi értékei
feszültségek b. Induktív jellegő soros RLC áramkör vektor-diagrammja
és
2. ábra Az áramkörre használatos még a jósági tényezı, amely nem más, mint rezonancia esetén, a tekercsen (vagy kondenzátoron) megjelenı feszültségesés és a tápfeszültség (amely ebben az esetben megegyezik a passzív áramköri elemeken megjelenı feszültségeséssel) arányával:
Q=
UL0 U
≡
UC 0 U
=
L 1 ⋅ R + RL C
9.
Az I = U Z összefüggés tanulmányozásából meghatározható, hogy az áramerısségnek van egy maximuma, amikor X L = X C . Ekkor az áramkör a saját ω 0 = 1 LC (Thomsonképlet) saját körfrekvencián rezeg. Ebben az esetben rezonanciáról beszélünk.
3. A tanulmányozandó áramkörök.
3. ábra
4. ábra
3
4. A mérés menete és az adatfeldolgozás. Elıkészületek: A mérések elvégzéséhez szükséges áramköröket megtaláljuk összeállítva a laboratóriumban (3. és 4. ábrák). Ellenırizzék az áramköri elemek és a mérımőszerek bekötését (az áramköri elemek és az ampermérı sorosan, a voltmérık pedig párhuzamosan az áramköri elemek kapcsain). Figyelembe véve, hogy váltakozó feszültséggel dolgozunk, ellenırizzük és állítsuk be a mérımőszerek tartományait. 5.1. Az áramköri elemek által létrehozott fáziskülönbségek. Tekintsük a 3. ábrán látható áramkört. Állítsuk a K kapcsolót az 1, 2 majd 3-as állásokba rendre az R ellenállást, az L öninduktivitású tekercset, majd pedig a C kapacitású kondenzátort kapcsolva az áramkörbe. Mindhárom esetben a tápfeszültséget és a bekapcsolt áramköri elem kapocsfeszültségét visszük fel az oszcilloszkópra. Figyeljük meg, majd merjük meg az oszcilloszkóp segítségével a tekintett áramköri elemeken kialakuló fáziskülönbséget. Vonjunk le következtetéseket! 5.2. Az analóg mérımőszerek és az oszcilloszkóp által jelzett mennyiségek azonosítása. Fontos ismernünk, hogy váltakozó áramú áramkörökben a felhasznált mérımőszerek milyen mennyiségeket jeleznek ki. Ehhez állítsunk be ν = 1 kH frekvenciájú, U = 4 V feszültséget a tápforráson mérve azt egy analóg multiméteren. Ezek után figyeljük meg, hogy az oszcilloszkóp képernyıjén egy szinuszosan váltakozó jel jelenik meg, amely a feszültség pillanatnyi értékét ábrázolja. Létesítsünk kapcsolatot a multiméter által jelzett érték és a feszültség pillanatnyi értéke között. 5.3. Az áramgörbe mérése fél-logaritmikus skálán. Tekintsük a 4. ábrán látható áramkört. A további mérések idején állandó értéken ( U = 4 V ) tartjuk a forrásfeszültséget, csak a frekvenciáját változtatjuk. Megfigyelés: állítsuk a generátor frekvenciáját 200 Hz -re majd 200 Hz-es lépésekkel növeljük azt 1 kHz -ig. Figyeljük meg az áram erısségének változását. Ezután váltsunk a kHes, majd a 10 kHz-es tartományra és ismételjük meg az elızı mozzanatokat 2 kHz illetve 20 kHz-es lépésekkel. Azt tapasztaljuk, hogy az áramerısség növekszik, elér egy maximális értéket majd csökken. Egyeztessük ezt a tendenciát az Ohm-törvénnyel az alábbiak szerint kiszámítható értékével és vonjunk le következtetéseket az áramkör jellegét illetıen (induktív, rezisztív (rezonancia) illetve kapacitív jelleg). U U I= = 2 2 Z R2 + (X − X ) L
C
A fenti lépéseket végezzük el még egyszer de most minden frekvencia értéknél olvassuk le az áramerısséget. A mérési adatok között szerepeljen a maximális áramerısség ( I 0 ) és a neki megfelelı frekvencia is (ν 0 ). A kapott értékeket foglaljuk táblázatba és ábrázoljuk grafikusan az I = I (ν ) függvényt (használjunk lineáris skálát az áram és logaritmikus skálát a frekvencia ábrázolására – fél-logaritmukus grafikon). 5.4. Az áramgörbe mérése a (ν 2 − ν 1 ) frekvenciasávban. Számítsuk ki a maximális áramerısség 2 -ed részét ( I 0 2 ) majd a rezonancia frekvenciánál alacsonyabb és magasabb frekvencia tartományban is keressük meg azt a frekvenciát, amelyre az áram erıssége lecsökken az I 0 2 értékre. Jelöljük ezeket ν 1 és ν 2 vel. Számítsuk ki a ν 2 − ν 1 frekvenciasáv értékét, majd osszuk fel egyenletesen úgy, hogy legalább 15 mérései pont legyen a két érték között. Állítsuk be ezeket a frekvenciákat és
4
mérjük le az áramerısségeket. Foglaljuk táblázatba az eredményeket és ábrázoljuk grafikusan az I = I (ν ) függvényt. 5.5. A tekercs induktivitásának meghatározása. A rezonancia frekvencián mérjük meg a tekercsen a kapocsfeszültséget és számítsuk ki Ohm-törvényébıl a reaktív ellenállását, majd pedig az öninduktivitását. Ismerve a tekercs adatait számítsuk ki az öninduktivitást az µ N2 S L= 0 l összefüggéssel és vessük össze azt a mérésekbıl származó eredménnyel.
6. Kérdések, amelyekre a diákoknak írásban kel válaszolni mielıtt megjelennek a gyakorlat elvégzéséhez. 1. Mekkora az ellenálláson mért kapocsfeszültség és az áramforrás által szolgáltatott feszültség közötti fáziskülönbség? 2. Mekkora a tekercsen mért kapocsfeszültség és az áramforrás által szolgáltatott feszültség közötti fáziskülönbség? Siet-e vagy késik a feszültség az áramhoz képest? 3. Mekkora a kondenzátoron mért kapocsfeszültség és az áramforrás által szolgáltatott feszültség közötti fáziskülönbség? Siet-e vagy késik a feszültség az áramhoz képest? 4. A tekercs reaktanicájának képlete? 5. A kondenzátor reaktanciájának képlete? 6. Mi az impedancia? 7. Mit jelent a soros RLC áramkörben a rezonancia jelensége? 8. Írják fel a váltakozó áram pillanatnyi értékét és adják meg a mennyiségek megnevezéseit és fizikai jelentéseit. 9. Mit jelent a váltakozó áram (és feszültség) effektív értéke? 10. Mi a fázis?
5
