A váltakozó áram. a váltakozó feszültség a váltakozó áram váltakozó áramú ellenállások soros és párhuzamos RLC-körök. A váltakozó feszültség

A váltakozó áram r α

i r

1.

a váltakozó feszültség a váltakozó áram váltakozó áramú ellenállások soros és párhuzamos RLC-körök

A váltakozó feszültség

A mozgási elektromágneses indukció kapcsán tapasztaltuk, hogy vezetıdarabot mágneses mezıben a mágneses indukció irányával nem párhuzamosan mozgatva (tehát úgy, hogy mozgatásának iránya messe az indukcióvonalakat), a mozgatás közben a vezetıdarab végei között feszültség keletkezik. Forgassunk most egy vezetıkeretet a mágneses mezıben! (a vezetıkeret nem más, mint két, egyik végüknél összekötött, azonos l hosszúságú vezetıdarab, másik végükre pedig egy feszültségmérı egy-egy kivezetését csatlakoztatjuk). Jelöljük a forgatott keret „sarkait” (a téglalap csúcsait) rendre A, B, C, Dvel! Az így megjelölt pontok által meghatározott DC és AB, l hosszúságú vezetıszakaszok forgómozgást végeznek a mágneses mezıben. Oldalról nézve a keretet, mozgásának egyes fázisaiban:

D

É l C

A

l

D

B

A,V

mérımőszer

1 A vezetıkeret síkja párhuzamos a mágneses indukció irányával. A DC és AB szakaszok sebességének iránya így merıleges a mágneses indukcióra (mivel körmozgásnál a sebesség iránya a mágneses mindig a körpálya érintıje az adott pontban). A mozgási indukció (B) elektromágneses indukció összefüggéseibıl számítható, DC és AB iránya v szakaszokra (egyenként) esı feszültség: A U = B · l · v, de mivel mozgásuk iránya ellentétes, így a szakaszok sarkai között lévı feszültség polaritása is az (ha pl. az A pontnál + sarka van az AB vezetıszakasznak, a D pontban – van a DC-nek). Mivel a DA szakasz a mágneses indukcióvonalak síkjában mozog, nem indukálódik benne feszültség, viszont segítségével a DC és AB vezetıszakaszok, mint áramforrások soros kapcsolásba kerülnek (hiszen DA mindig ellentétes pólusaikat köti össze), feszültségük összeadódik, a vezetıkeretre kapcsolt mőszeren mérhetı feszültség így Umax = 2 · B · l · v lesz. Maximális feszültségnek nevezhetjük az ekkor kapott feszültséget, mivel a keret forgása során csak ebben a helyzetben (és 180o-kal késıbb) merıleges a vezetıszakaszok mozgásának iránya a mágneses indukcióra. v D

a sebesség indukcióra merıleges összetevıje

2 A vezetıkeret AD szakasza α szöget zár be a mágneses

v α

D

indukcióvonalakra merıleges felülettel. A mozgási elektromágneses indukció összefüggései és az elıbbi, maximális feszültségő helyzetben kapott eredmények alapján ilyenkor a vezetıkeret kivezetésein mérhetı feszültség Upill = 2 · B · l · v · sinα, ahol v sinα az l hosszú vezetıszakaszok sebességének a mágneses indukcióra merıleges összetevıje. α-t fázisszögnek nevezzük.

A

v

3 A vezetıkeret síkjára merılegesek a mágneses indukcióvonalak, így v A

D

v

a DC és az AB szakaszok sebességének iránya párhuzamos a mágneses indukcióvonalakkal; az indukált feszültség zérus. (Ezt a helyzetet tekinthetjük α = 0o-os helyzetnek is, ekkor sinα = 0 U = 2 · B · l · v · sinα = 0)

nsoft plus! jegyzet © nsoft 2006. you gotta learn… and it’s high time to try easier!

Ez a jegyzet letölthetı:

nsoft plus! 2 – a váltakozó áram

2

4 A vezetıkeret síkja ismét párhuzamos az indukcióvonalakkal, akárcsak az 1-es helyzetben (ld. ottani ábra), de most az A pont van felül, és a D alul: az indukált feszültség nagysága megegyezik az ottanival, de elıjele azzal ellentétes, negatív (amennyiben az 1-es helyzetben volt pozitív).

A fenti összefüggések alapján vezetıkeret kivezetésein bármely helyzetben mérhetı feszültséget megadhatjuk Upill = 2 · B · l · v · sinα = Umax · sinα alakban is (mivel sin 90o = 1 és sin 0o = 0), ahol α az ún. fázisszög.

Körmozgás (ismétlés) A körmozgásnál használatos mennyiségeket felhasználjuk a váltakozó feszültség jellemzésére, de elnevezésük némileg különbözik:

∆ 2π = , ahol T a periódusidı (egy teljes körülfordulás ideje, ∆ t T o

(Szögsebesség) körfrekvencia, ω =

így a hozzá tartozó szögelfordulás 360 = 2π; most a feszültség változásának egy periódusa). Frekvencia, f =

1 1 , mértékegysége = Hz (hertz), a másodpercenkénti periódusok száma. T s

(Szögelfordulás) fázisszög, α = ω · t .

Az összefüggéseket felhasználva a pillanatnyi feszültség: Upill = Umax · sinα = Umax · sin(ω · t)

Upill = Umax · sin

Umax – a szinuszosan váltakozó feszültség maximális értéke T – a váltakozó feszültség periódusideje t – a zérusfeszültségő helyzet óta eltelt idı ω – a váltakozó feszültség körfrekvenciája

2π ⋅t T

Azokat az eszközöket, amelyek a mozgási elektromágneses indukció elvére épülve állítanak elı elektromos áramot, generátoroknak nevezzük. A generátor által elıállított váltakozó feszültség pillanatnyi értéke együtt változik a generátor forgórészének (a fenti példában a vezetıkeretnek) a szögelfordulásával. A forgórész szögelfordulását mindig a zérusfeszültségő helyzethez viszonyítva adjuk meg (ld. 3-as helyzet a példában), a szinuszos összefüggések csak ebben az esetben „mőködnek”. Azért, mert az α fázisszög nagysága megegyezik azzal a szöggel (merıleges szárú hegyesszögek), amelyet a vezetıkeret sebessége (v) bezár a mágneses indukcióval (B), így a sebesség indukcióra merıleges összetevıje v · sinα. Elvileg mérhetnénk máshonnan is a szögelfordulást, de akkor a pillanatnyi feszültség számítása is másképpen történne.

v

B (a mágneses indukció iránya)

α’ vm

a zérusfeszültségő helyzet

α

α = α’, mert olyan hegyesszögek, melyeknek szárai páronként merılegesek. Ezért vm = sinα · v

Ha a zérusfeszültségő helyzettıl mérjük az α szögelfordulást, a körmozgás összefüggéseivel a pillanatnyi feszültség megadható Umax · sinω · t alakban, ahol ω · t a fázisszög. Ebbıl az összefüggésbıl látható, hogy a feszültség az idı szinuszos függvénye, mivel a fázisszög szinuszával egyenesen arányos, a fázisszög pedig az idıvel áll egyenes arányban. A feszültség az idı függvényében ábrázolva:

t t

U

U U

Umax

T 4

T 2

3T 4

T

5T 4

0

Umax

0

–Umax

0

Umax

T 2

T 4

T

3T 4

v

v

0

v

v

t

v

α

v

v

–Umax

0

v

v Umax–Umax

0

–Umax Umax

0

v Umax–Umax

0

Umax

V


nsoft plus! 2 jegyzet © nsoft 2006. you gotta learn… and it’s high time to try easier! phys_7D6B05_avaltako_V1


3

A váltakozó feszültség gyakorlati felhasználásakor a pillanatnyi értékek helyett inkább az átlagos jellemzık a fontosak. A hıhatás szempontjából vett átlagos értékeket effektív értékeknek nevezzük.

A váltakozó feszültségre jellemzı effektív feszültség (Ueff) annak az egyenfeszültségnek a nagysága, amely ugyanazon fogyasztón, ugyanannyi idı alatt ugyanannyi hıt fejleszt, mint az adott váltakozó feszültség. FE

F2

F1 Fontos tudni, hogy a váltakozó feszültségő volt- és ampermérıket úgy készítik, hogy azokról a rájuk esı ill. rajtuk áthaladó váltakozó feszültség ill. áram effektív értékét olvashatjuk le. A váltakozó feszültség ill. áram effektív értékét szinuszos váltakozó feszültségnél megkaphatjuk:

U I Ueff = max , Ieff = max 2 2

Magyarországon a hálózati feszültség effektív értéke Ueff = 230 V, frekvenciája f = 50 Hz, ebbıl periódusideje T = 0,02 s.

r

i r

α

r α

Umax – a szinuszosan váltakozó feszültség maximális értéke lmax – a szinuszosan váltakozó áramerısség maximális értéke

2. A váltakozó áram

i r

A váltakozó feszültséget fogyasztóra kapcsolva az adott feszültséggel megegyezı periódusidejő, idıben szinuszosan változó áramot kapunk. A váltakozó áramnak az egyenáramtól eltérıen nincsenek az oldatból anyagokat kikristályosító kémiai hatásai. Változó mágneses tere van, a váltakozó árammal átjárt vezetı vonzza a vastárgyakat, de más, mágneses térrel rendelkezı tárgyakra (állandó mágnes, áramjárta tekercs) nincs hatással, mivel azok „nem tudják követni” a mágneses pólusok igen gyors váltakozását (egy félperiódus alatt „helyet cserélnek” a mágneses pólusok). Élettani hatásait tekintve károsabb, mint az egyenáram. Vannak olyan elektromos eszközök, melyek mőködéséhez feltétlenül egyenáramra van szükség. Az ilyen eszközök üzemeltetése váltakozó áramról egyenirányítással oldható meg, ennek legegyszerőbb módja egy (vagy több) dióda (pn-félvezetı) áramkörbe kapcsolása, amely csak egy irányban, a nyitóirányban vezeti az áramot, így egyenáramot kapunk.

3. Ellenállások a váltakozó áramú áramkörben Ellenállás, Ohm törvénye (ismétlés) Egy vezetın átfolyó áram erıssége egyenesen arányos a vezetın esı feszültséggel (ez Ohm törvénye). Ebbıl következik, hogy a két mennyiség, U és I hányadosa állandó, mely a fogyasztó (vezetı) töltéshordozók haladását akadályozó hatására jellemzı (mivel akkor nagyobb, ha ugyanakkora feszültség mellett kisebb áramerısség jön létre, vagy ugyanakkora áramerısség létrehozásához nagyobb feszültség szükséges). Egyenáramú áramkörben a hányados neve ellenállás, jele R, mértékegységének jele Ω.

Váltakozó áramú áramkörben is igaz Ohm törvénye, az ellenállásokat az effektív feszültség és az effektív áramerısség hányadosával jellemezzük, melynek neve impedancia, jele Z.

Z=

Ueff Ieff

Ueff – a fogyasztóra esı effektív feszültség leff – a fogyasztón áthaladó effektív áramerısség

1) Ohmos ellenállás ellenállás Váltakozó áram esetén a töltéshordozók mozgásának iránya félperiódusonként változik, a fémes vezetı kristályrácsa azonban bármely irányban akadályozza a töltéshordozó e–-ok áramlását, a vezetı tehát váltakozó áramú áramkörben is hasonló ellenállással rendelkezik, mint egyenáramúban. A vezetı ellenállását váltakozó áramú áramkörben ohmos ellenállásnak nevezzük, és a vezetı adataiból számoljuk:

l R=ρ· A

ρ – vezetı anyagi minıségére jellemzı állandó l – a vezetı hossza A – a vezetı átmérıje




4

Általánosítva minden olyan, váltakozó áramköri fogyasztó ellenállását ohmos ellenállásnak nevezzük, amelynek váltakozó áramú áramkörben mért ellenállása ugyanakkora, mint U eff egyenáramú áramkörben. Tetszıleges ilyen fogyasztó ellenállása: R = , ahol Ueff a I eff fogyasztóra esı effektív feszültség, Ieff a fogyasztón áthaladó effektív áramerısség. Ohmos ellenálláson a feszültség és az áramerısség fázisban van, nincs közöttük fáziseltolódás.

2) Induktív ellenállás Kapcsoljunk egy izzót váltakozó áramú áramkörbe egy vasmag nélküli tekerccsel sorba kötve, majd ismételjük meg a kísérletet úgy, hogy vasmagot helyezünk a tekercsbe! Azt tapasztaljuk, hogy a vasmag behelyezése után az izzó érzékelhetıen gyengébben világít, pedig nem változtattuk meg sem az izzó, sem a vezetı tulajdonságait (hosszát, anyagi minıségét, vagy keresztmetszetét, amelyektıl az ohmos ellenállás függene). Arra következtethetünk, hogy az ellenállás látszólagos megnövekedése a vasmag ferromágneses tulajdonságának, ebbıl következve a tekercsben lejátszódó önindukciónak a következménye. Következtetésünket Lenz törvénye igazolja is, hiszen az áramjárta tekercs körül kialakuló mágneses mezı miatt létrejövı elektromos mezıben a feszültség olyan, hogy az általa indított áram iránya ellentétes a tekercsben folyó áram irányával (így akadályozza az indukáló folyamatot, mintegy ellenállásként mőködik, hiszen csökken a tekercsen átfolyó áram erıssége). A vasmag jelenléte miatt ez a hatás felerısödik (a mágneses fluxusváltozás igen nagy); ezért vált csak a vasmag behelyezése után az áramerısség csökkenése érzékelhetıvé.

A vasmagos tekercs – a benne lejátszódó önindukció hatására – váltakozó áramú áramkörben látszólag ellenállásként mőködik. A tekercs effektív áramerısséget csökkentı hatását az induktív ellenállással jellemezzük, és XL-el jelöljük.

FE

F1 Az induktív ellenállás egyenesen arányos az áramkörbe kapcsolt tekercs induktivitásával

(amelyben az önindukció lejátszódik) és a váltakozó áram körfrekvenciájával. L – a vasmagos tekercs induktivitása

XL = L · ω

ω – a szinuszosan váltakozó áram körfrekvenciája

2π 2π Mivel ω = = = 2π ⋅ f , ezért az induktív ellenállás megadható XL = 2π · f · L alakban is. 1 T A fenti összefüggésekbıl látható, hogy az induktív ellenállás függ az áram f

frekvenciájától.

Végezzük el a következı kísérleteket! Vegyünk két áramkört, az egyikben sorba kapcsolunk egy izzót és egy ohmos (változtatható) ellenállást, a másikban egy izzót és egy vasmagos tekercset! Mindkét áramkörben váltakozó feszültségő az áramforrás. Az izzókat úgy választjuk meg (olyan tulajdonságúak), hogy csak egy meghatározott Imax1 ill. Imax2 erısségő áram áthaladásakor világítanak, ennél gyengébb áram áthaladásakor nem. Ezekrıl az áramerısségekrıl annyit állítunk, hogy az egyes áramkörökben a szinuszosan váltakozó áram erısségének maximális értékei (nem feltétlenül egyenlık, hiszen az induktív ellenállás nagysága lehet eltérı az ohmos ellenállásétól). 1. izzó

~

Elsıre semmilyen jelentıs különbséget nem érzékelünk: mindkét izzó fel-felvillan (tegyük fel, hogy viszonylag nagyobb a periódusidı, és tudjuk érzékelni ezeket a villanásokat).

2. izzó

~

Kapcsoljuk most közös áramforrásra, két párhuzamos ágként az eddigi áramköröket! Azt tapasztaljuk, hogy a tekerccsel sorosan kapcsolt (az ábrán 2.) izzó késıbb villan fel, mint a változtatható ellenállással sorban lévı. Ez azt jelenti, hogy az izzón késıbb halad hát az az Imax2 áram, amelynek hatására az izzó világít. Tudjuk, hogy a párhuzamosan kötött ágakra ugyanaz a feszültség esik, és azt is, hogy az elsı ágban lévı izzón – mivel az ohmos ellenállásnak tekinthetı, és a változtatható ellenállás is az – a feszültség és az áramerısség fázisban van, az izzó felvillanása azt jelenti, hogy egy Umax1b feszültség esik az izzóra, és Imax1 áram halad át rajta. Ez a jegyzet letölthetı:


F2


5

Ha a feszültség maximális az egyik ágon, maximális kell, hogy legyen a másodikon is; az izzó mégsem villan fel, amely azt jelenti, hogy a rajta átfolyó áram erıssége még nem Imax2. Késıbb viszont, mikor az elsı izzó nem villan fel, tehát a feszültség biztosan nem maximális rajta, felvillan a második izzó, amely azt jelenti, hogy az ágában Imax2 erısségő áram folyik. Arra következtethetünk, hogy a vasmagos tekercset tartalmazó ágban az áram késik a tekercsen esı feszültséghez képest.

1. izzó

2. izzó

~

Tiszta induktív ellenálláson az áram negyed periódust késik a feszültséghez képest. Azt, hogy az áram késése negyedperiódusnyi, pontos mérések igazolják. Azért beszélünk késésrıl, mert a tekercsen elıbb jelentkezik a feszültség, és csak késıbb indul az áram. A zárt vasmagos tekercs általában nem tekinthetı tisztán induktív ellenállásnak.

U; I

Ábrázoljuk az induktív és ohmos ellenállásokon a feszültséget és az áramerısséget az idı függvényében! a feszültség és az áramerısség fázisban van Ohmos ellenállás

Umax1 Imax1

–Imax1 –Umax1

T

T 4

t

negyed periódusnyi késés

U; I Imax2

–Imax2 –Umax2

T

0

T 4

T 2

3T 4

T

U

0

Umax1

0

–Umax1

0

I

0

Imax1

0

–Imax1

0

3T 4

T

Induktív ellenállás

Umax2

T 4

t

t

t

0

T 4

T 2

U

0

Umax2

0

–Umax2

0

I

–Imax2

0

Imax2

0

–Imax2

A negyedperiódusnyi késést értelmezhetjük 90o-os késésként is (360o : 4 = 90o), hiszen ennyivel „korábbi” fázisban van az áram a feszültséghez képest. Ezt másképpen úgy mondjuk, hogy az induktív ellenálláson a fáziseltolódás szöge, φ = 90o. Ezért a pillanatnyi feszültség és áramerısség: a 90o-kal korábbi fázis

Upill = Umax · sinω · t, Ipill = Imax · sin(ω · t – 90o)

Fontos megérteni, hogy a gyakorlatban – mint az a fenti kísérletben is látható – inkább az ellenállásokon esı feszültség „sietésérıl”, mintsem az áram késésérıl van szó. Ezt könnyen beláthatjuk, ha belegondolunk, hogy a váltakozó áramú áramkörben – az egyenáramúhoz hasonlóan – sorosan kapcsolt ellenállások mindegyikén ugyanakkora erısségő áram halad át. Az ohmos ellenálláson (a tekerccsel sorba kötött izzón), ahol a feszültség és az áramerısség fázisban van, ugyanakkor halad át az adott ágban folyó Imax2 áramerısség, mikor a tekercsen, viszont tudjuk, hogy a tekercsen az áramnak késnie kell: ez csak úgy lehetséges, hogy a feszültség a tekercsen már negyed periódussal elırébb jár. Azt is fontos tudni, hogy – az egyenáramú áramkörhöz hasonlóan – az egyes, sorosan kapcsolt ellenállásokon esı feszültségek pillanatnyi értékei elıjelesen összegzıdnek (tehát az egyes ágakban a fogyasztókon esı pillanatnyi feszültségek elıjeles összege az elágazások csomópontjai közötti feszültséggel egyenlı), de a fáziseltolódás miatt nem igaz ez a feszültségek maximális értékeire (vagyis nem mondhatjuk azt a fenti példánál maradva, hogy ha összeadjuk az egyes ágakban a maximális feszültségek értékeit, végül az áramforrás maximális feszültségét kapjuk, hiszen gondoljunk bele, hogy a fáziseltolódás miatt a tekercsen Ez a jegyzet letölthetı:



6

máskor maximális a feszültség, mint az izzón. Ez azt jelenti, hogy abban a pillanatban, mikor az egyiken maximális feszültség esik, a másikon maximálistól eltérı, és ha ezeket a pillanatnyi értékeket összeadjuk, megkapjuk a csomópontok (az ág két vége) közötti feszültséget. Logikus, hogyha a pillanatnyi értékek helyett mindkettınek a maximális értékével számolnánk, eltérı értéket kapnánk). Mivel az effektív feszültség a maximális feszültséggel áll kapcsolatban, így az sem számítható ilyen módon. (A számítás helyes módját lásd az RL-körnél!)

3) Kapacitív ellenállás Kondenzátort és izzót sorosan, egyenfeszültségre kapcsolva az izzó nem világít. Ezt könnyen megérthetjük, hiszen az áramkörben a töltéshordozók áramlása addig tart, míg a kondenzátor fegyverzetei fel nem töltıdnek, a fegyverzetek között lévı szigetelıanyagon nem tudnak áthaladni a töltéshordozók, így a kondenzátor gyakorlatilag végtelen ellenállású. Váltakozó feszültségre kapcsolva azonban világít a kondenzátorral sorba kapcsolt izzó, és azt tapasztaljuk, hogy minél nagyobb kapacitású a vele sorosan kapcsolt kondenzátor (pl. forgókondenzátort alkalmazva), annál erısebben. A kondenzátor áramvezetıként viselkedik, a végtelen ellenállás látszólag lecsökken (természetesen nem arról van szó, hogy a fegyverzetek közötti szigetelıanyag kezdett el vezetni☺, a kondenzátor feltöltıdése és kisülése teszi lehetıvé a váltakozó áramot). Kétirányú folyamat megy végbe: a váltakozó áram elsı félperiódusában a kondenzátor feltöltıdik, majd, mikor az áram ellentétes irányba indul, a fegyverzeteit összekötı vezetéken (magán az áramkörön) keresztül kisül. A következı félperiódusban ellentétesen töltıdik fel, majd ismét kisül. Ez a folyamat akadályozza az áramkörben folyó váltakozó áramot, ezért a kondenzátor váltakozó áramú áramkörben ellenállásként mőködik. A kondenzátor ilyen áramcsökkentı hatását a kapacitív ellenállással jellemezzük, és XC-vel jelöljük. C – a kondenzátor kapacitása

1 XC = ω⋅C

ω – a szinuszosan váltakozó áram körfrekvenciája

2π 2π 1 = = 2π ⋅ f , ezért a kapacitív ellenállás megadható XC = alakban is. 1 T 2π ⋅ f ⋅ C f A kapacitív ellenálláson sincs fázisban a feszültség és az áramerısség, a fáziseltolódás szöge 90o, de az áram siet a feszültséghez képest. A kondenzátor lemezeit (fegyverzeteit) feltöltı áram folyik elıbb, utána jön létre a lemezek között a feszültség. Mivel ω =

1. izzó

Az izzók hasonlóak az induktív ellenállás vizsgálatánál alkalmazottakhoz. Az elsı izzón U és I fázisban van (ohmos ellenállás), így az izzó felvillanása azt jelzi, hogy Umax feszültség esik az ágra (ebbıl Umax1 az izzóra, Umax – Umax1 a változtatható ellenállásra), és IRmax áram folyik át az ágban lévı izzón és az ellenálláson. (IC + IRmax = Imax)

2. izzó

~ A második izzó elıbb villan fel, mint az elsı. Ez azt jelenti, – mivel párhuzamos kapcsolás esetén az egyes ágakra esı feszültségek megegyeznek – hogy az áramerısség a kondenzátort tartalmazó ágban „siet” a kondenzátoron esı feszültséghez képest (hiszen a feszültség mindkét ágon ugyanakkora, de mégis máskor villan fel az izzó).

Mivel a fáziseltolódás szöge mérések alapján, φ = 90o (negyed periódust siet az áram), a pillanatnyi feszültség és áramerısség a kondenzátoron,

Upill = Umax · sinω · t, Ipill = Imax · sin(ω · t + 90o) negyed periódusnyi sietés

U; I Kapacitív ellenállás

Umax Imax

–Imax –Umax

T 4

T

t

t

0

T 4

T 2

3T 4

T

U

0

Umax

0

–Umax

0

I

Imax

0

–Imax

0

Imax




7

Bármely váltakozó áramú ellenállás (az ohmos, az induktív és a kapacitív is) számítható a fenti összefüggéseken kívül a rá esı effektív feszültség és a rajta áthaladó effektív áramerısség hányadosaként.

U U U R = eff , XL = eff , XC = eff Ieff Ieff Ieff i α

r

4.

Ueff – az adott ellenállásra esı feszültség effektív értéke Ieff – az adott ellenálláson áthaladó áram erısségének effektív értéke

Váltakozó áramú ellenállások soros kapcsolása

Az eddigiekben megismertük a váltakozó áramú ellenállásokat, megtudtuk, hogyan határozhatjuk meg a tekercs, a kondenzátor áramcsökkentı hatásának nagyságát. Az egyenáramú áramkörben ha ellenállásokat sorosan kapcsolunk, az eredı ellenállás (vagyis az az 1 db ellenállás, amellyel a mi több, sorosan kapcsolt darabból álló rendszerünket hatásaiban helyettesíteni lehetne) egyenlı a részellenállások összegével, párhuzamos kapcsolásnál az eredı ellenállás reciproka egyenlı a részellenállások reciprokainak összegével. Lényeges különbség a váltakozó áramú ellenállások esetében azonban, hogy – az egyenáramú áramkörtıl eltérıen – az egyes sorosan kapcsolt ellenállásokon az áramerısség nincs fázisban (tudjuk, hogy a gyakorlatban a feszültség késik, ill. siet a közös áramerısséghez képest). Így a fáziseltolódás miatt csak az egyes pillanatnyi értékekkel számolhatnánk az eddigi módszerrel, a gyakorlati szempontból fontos effektív értékeket, és a vele kapcsolatban álló maximális feszültséget ill. áramerısséget más módon kell megközelíteni.

1) Soros RLRL-kör Soros RL-körrel már találkoztunk is: izzót (ohmos ellenállást) és tekercset (induktív ellenállást) kapcsoltunk sorba váltakozó feszültségő áramforrásra. Kiszámoltuk a tekercsen esı pillanatnyi feszültséget és a rajta áthaladó áram pillanatnyi erısségét. Próbáljuk most meghatározni azt az eredı Z értéket, amellyel ez a két, sorosan kapcsolt ellenállásból álló rendszer rendelkezik! Gondoljuk végig a fáziseltolódás következményeit!

UR; R

UL; XL

~

Tudjuk, hogy az áramkör impedanciája, Z (az az eredı érték, amelyet keresünk) az effektív feszültség és áramerısség hányadosa. Az effektív értékeket a maximális értékekbıl számítjuk. A maximális feszültségekrıl pedig tudjuk, hogy nincsenek fázisban: a tekercsen a feszültség siet a – mindkét ellenálláson áthaladó – közös áramerısséghez képest.

El kell vonatkoztatnunk attól a szokásos gondolatmenettıl, hogy a feszültségek értékeit elıjelesen összeadjuk, mert azok (maximális értékei) nem egy idıben „állnak fenn”. A fáziskésés látszólag olyan „tulajdonságot” ad a maximális feszültségeknek, amelyet egészen más módon, vektorokkal tudunk csak szemléltetni, az effektív- és maximális feszültségek vektorokként adódnak össze. Ha a feszültségeket mostantól vektorokként kezeljük, a fáziseltolódás miatt a feszültségvektorok iránya nem lesz „párhuzamos”, hiszen: Eddig csak olyan feszültségekkel számoltunk (egyenáramú ill. egyes váltóáramú áramkörökben, amelyekben nem volt fáziskésés), ahol U2 U1 megegyezı elıjelő feszültségek egymás töltéshordozókat elindító hatásait úgy erısítették, hogy a két feszültség számértékét (nagyságát) összeadhattuk; különbözı elıjelő feszültségek egymás töltéshordozókat elindító hatásait pedig úgy rontották, hogy nagyságukat kivonva az eredı feszültséget kaptuk (vagyis azt a hatást, amely a töltéshordozókat ténylegesen elindította). Ha ezeket a feszültségeket vektorokként ábrázoljuk, UE egy egyenesbe esı („párhuzamos” irányú) vektorokat kapunk. Ez hasonlóképpen igaz most is a feszültségek pillanatnyi nagyságaira, de ez az UE = U1 – U2 effektív értékek számításához kevés. Tudjuk azonban, hogy az induktív ellenálláson a feszültség negyed periódussal, 90o-kal elıbb jelentkezik, mint az ohmoson. Az egyes ellenállásokon mérhetı (tehát effektív) feszültségeket vektorokként ábrázolva: UL +90o A két vektor derékszöget, +90o-ot zár be, hiszen UL ennyivel elızi meg UR-t. Ha a közös áramerısséget (I) egy harmadik vektorként tüntetnénk fel az ábrán, annak iránya UR irányával megegyezı lenne, hiszen az ohmos UR ellenálláson fázisban van a feszültség és az áramerısség. Ieff nsoft plus! 2 jegyzet © nsoft 2006.


you gotta learn… and it’s high time to try easier! phys_7D6B05_avaltako_V1


8

A vektorokat összegezhetjük a paralelogramma-módszer szerint: UL

Az eredı effektív feszültség négyzete Pithagorasz tétele alapján,

U UL

φ

U2 = UR2 + UL2 Mivel UR és UL effektív értékek voltak, megadhatók az effektív áramerısség és az egyes ellenállások szorzataként; ill. mivel soros kapcsolásról van szó, az áthaladó áram erısségének effektív értéke mindenhol megegyezik:

UR A Z és R által bezárt φ szög egyenlı az U és UR által bezárttal, mert soros kapcsolás esetén az áthaladó áramerısség minden fogyasztón egyenlı, így U U Ieff = R = L R XL

(Ieff · Z)2 = (Ieff · R)2 + (Ieff · XL)2 Ieff2 · Z2 = Ieff2 · R2 + Ieff2 · XL2 = Ieff2 · (R2 + XL2)

Z=

R 2 + XL = 2

Ieff négyzetével egyszerősítve:

Ueff Ieff

XL – az induktív ellenállás R – az ohmos ellenállás

A fenti vektorábrán még egy dolgot érdemes megfigyelni, mégpedig, hogy a kapott U eredı feszültség egy új szöget zár be UR-rel, így az effektív áramerısséggel is. Az itt kapott szög – az eredeti, UL és UR között lévıhöz hasonlóan – a fáziseltolódás szöge, ennyivel fog az eredı feszültség sietni a közös áramerısséghez képest. Kiszámításához készítsünk egy új vektorábrát, amely már a Z-re kapott képletünkön alapszik: XL

Z XL

φ

R A trigonometrikus függvények alapján cosφ = . Z

Azért válasszuk a koszinuszt, mert összefüggésünk így változatlan marad a késıbbiekben az RC- és RLC-köröknél is (ld. ott).

Az ábráról látható, hogy bármilyen XL és R érték esetében 0o < φ < 90o Az eredı feszültség, U < UL + UR (mivel egy négyzet átlója mindig rövidebb, mint a két oldal összege).

R

2) Soros RCRC-kör Kapcsoljunk most sorba ohmos- és kapacitív ellenállást; egy izzót és egy kondenzátort, és próbáljuk meghatározni az eredı Z értéket!

UR; R

A fáziseltolódás következményei hasonlóak lesznek, mint az induktív ellenállás esetében, de itt a kondenzátoron esı feszültség késik a mindkét ellenálláson átfolyó közös áramerısséghez képest (elıbb folyik az áram, amely feltölti a kondenzátor lemezeit, utána jön létre köztük a feszültség). A fáziskésés szöge most is 90o, de a kapacitív ellenálláson esı feszültség késik:

UC; XC

~

Ieff

U2 = UR2 + UC2 UR

φ

UR –90o

UC

UC

UC

U

(Ieff · Z)2 = (Ieff · R)2 + (Ieff · XC)2 Ieff2 · Z2 = Ieff2 · R2 + Ieff2 · XC2 = Ieff2 · (R2 + XC2)

R cosφ =

R Z

φ XC

Mivel UR és UC effektív értékek voltak, megadhatók az effektív áramerısség és az egyes ellenállások szorzataként; ill. mivel ismét soros kapcsolásról van szó, az áthaladó áram erısségének effektív értéke mindenhol megegyezik:

Z=

XC

Z

R2 + XC = 2

Ueff Ieff

/:Ieff2

XC – a kapacitív ellenállás R – az ohmos ellenállás

3) Soros RLCRLC-kör (soros rezgőkör)

UR; R

UL; XL

UC; XC

~

Vizsgáljuk meg azt az esetet az eddigi szempontok szerint, mikor a váltakozó feszültségő áramforrásra egyszerre kapcsolunk sorba ohmos, induktív és kapacitív ellenállást! Tudjuk, hogy az induktív ellenálláson 90o-ot siet, a kapacitív ellenálláson 90o-ot késik a feszültség a közös áramerısséghez képest. Vektorábrán: Ez a jegyzet letölthetı:



Az ábráról leolvasható, – és be is látható – hogy UL és UC között 180o a fáziskülönbség, így egymás hatásait úgy rontják, hogy eredıjük számításakor elıjelesen összegezhetık (hiszen mikor az egyiken maximális a feszültség, a másikon is az, de ellentétes elıjellel).

UL UR UC

U2 = UR2 + (UC – UL)2

UR

UC – UL

φ

9

(Ieff · Z)2 = (Ieff · R)2 + (Ieff · XC – Ieff · XL)2

UC – UL

(Ieff · Z)2 = (Ieff · R)2 + (Ieff2 · XC2 – 2 Ieff · XC· Ieff · XL + Ieff2 · XL2)

U

(Ieff · Z)2 = (Ieff · R)2 + (Ieff2 · XC2 – 2 Ieff2 · XC · XL + Ieff2 · XL2) (Ieff · Z)2 = (Ieff · R)2 + Ieff2 · (XC2 – 2 · XC · XL + XL2) Ieff2 · Z2 = Ieff2 · R2 + Ieff2 · (XC – XL)2 = Ieff2 · (R2 + (XC – XL)2) R

XC – XL

φ

XC

XC – XL

Z=

Z

XL

cosφ =

R Z

XC – a kapacitív ellenállás XL – az induktív ellenállás R – az ohmos ellenállás Z – az impedancia

U R + ( X C − XL ) = eff Ieff 2

/:Ieff2

2

R 2 + (XL − XC )2

Természetes, hogy ha XL > XC, a képlet így módosul: Z =

A rezonanciafrekvencia Tegyük fel, hogy a kapacitív és az induktív ellenállásra ugyanakkora feszültség esik (ez a feszültségi rezonancia esete)! Ez azt jelenti, hogy ellenállásaik nagysága is megegyezik (mivel soros kapcsolásnál a feszültség az egyes ellenállások arányában esik a fogyasztókra). A fenti vektorábrát tekintve ez azt jelenti, hogy XL – XC = 0, vagyis Z = R. Nincs fáziseltolódás (cosφ = 1, φ = 0o), Z értéke ekkor a legkisebb, így az áramerısség, I a legnagyobb, és értéke csak az ohmos ellenállástól, R-tıl függ. Tudjuk, hogy az induktív és kapacitív ellenállások nagysága függ a váltakozó feszültség körfrekvenciájától (ω), így frekvenciájától is (f). Az induktív ellenállás egyenesen, a kapacitív fordítottan arányos a frekvenciával, így ha azt növeljük, az induktív ellenállás megnı, a kapacitív ellenállás lecsökken, már nem „egyenlítik ki” egymást, Z értéke megnı, az áramkörben folyó áram erıssége, I lecsökken. Ugyanez történik, ha f-t csökkentjük, csak ekkor a kapacitív ellenállás nı meg, és az induktív ellenállás csökken. Az áramerısséget a frekvencia függvényében ábrázolva:

Ieff

f1

fr

f2

f1

fr

f2

XC > XL

XC = XL

XC < XL

f

Z1

>

Z2

<

Z3

I1

<

I2

>

I3

rezonanciafrekvencia

Ohmos-, induktív és kapacitív ellenállás sorba kapcsolásánál rezonanciafrekvenciának nevezzük az ellenállások ágára esı feszültség frekvenciájának azon fr értékét, amelynél az induktív és kapacitív ellenállások értékeire igaz, hogy XL = XC. Ezen frekvencia értéke csak FE az ágban lévı tekercs induktivitásától és kondenzátor kapacitásától függ. F1

Kiszámítása: Mivel XL = XC

2π · fr · L =

1 2π ⋅ fr ⋅ C

2π · fr2 · L =

1 2π ⋅ C

fr 2 =

/ ·fr

fr =

1 2π ⋅ L ⋅ C

/ :2π · L

1

Thomson-képlet

4π ⋅ C ⋅ L 2



F2

nsoft plus! 2 – a váltakozó áram r α

10

i r

5.

Váltakozó áramú ellenállások párhuzamos kapcsolása

Az egyenfeszültségre párhuzamosan kapcsolt fogyasztók esetében megtanultuk, hogy az egyes párhuzamos ágakra esı feszültségek nagysága megegyezik az áramforrás feszültségével, és az egyes ágakban folyó áramok erısségének összege a fıágban folyó áram erısségét adja; továbbá tudjuk azt is, hogy a párhuzamos ágakban folyó áramok erıssége fordítottan arányos az adott ágban lévı ellenállások eredı értékének nagyságával (tehát minél nagyobb ellenállás van az ágban, annál kisebb áram folyik benne, hiszen a ugyanaz a feszültség, ami a többi ágra is esik, nagyobb ellenálláson kisebb áramot indít). Váltakozó feszültségre kapcsolva – a soros kapcsoláshoz hasonló módon – a párhuzamosan kapcsolt fogyasztókon esı feszültségekre mindig igaz, hogy egyenlıek, és az ágakban folyó pillanatnyi áramerısségek elıjeles összege a fıágban folyó áram erısségét adja. A fáziseltolódás miatt azonban ez nem teljesül az áramerısségek maximális értékeire, így a velük kapcsolatban álló effektív értékekre sem. A soros ellenállásokhoz képest a helyzet „megfordul”: most az egyes ágakban folyó áramerısség késik, ill. siet a közös feszültséghez viszonyítva. Az eredı effektív értékek számításának elve nem sokban tér el a soros kapcsolásnál megismerttıl, ezért részletesen csak a párhuzamos RLC-kört vizsgáljuk meg (a párhuzamos RL- és RC-körök értékeinek számítása ebbıl visszavezethetı).

1) Párhuzamos RLCRLC-kör (párhuzamos rezgőkör) Kapcsoljunk tehát váltakozó feszültségő áramforrásra párhuzamosan induktív, kapacitív és ohmos ellenállást! Tudjuk, hogy a feszültség minden ágon megegyezik (lévén azok közvetlenül az áramforrásra kapcsolva), vagyis ugyanakkor maximális a kondenzátoron, a tekercsen és az izzón. A fáziseltolódás miatt azonban a tekercsen késik az áram (az önindukció miatt), mégpedig negyedperiódusnyit, a kondenzátoron pedig ugyanennyit siet (elıbb töltıdnek fel a lemezek, utána jön létre köztük feszültség). A maximális áramerısségek, így az effektív értékek sem „adhatók össze”, nem lesznek egyenlıek a fıágban folyó áram maximális, ill. effektív erısségével. Azokat – a fáziseltolódás miatt – ismét vektorábrával számíthatjuk: Az ohmos ellenálláson fázisban van a feszültség és az áramerısség. Mikor itt maximális az áramerısség, a feszültség is az. Ehhez képest 90okal korábban maximális az áramerısség a kondenzátoron, 90o-kal késıbb a tekercsen. Párhuzamos RLC-körben az áramerısségek effektív értékei vektorokként adódnak össze:

UC; XC

UL; XL

UR; R

~

IC

I L – IC IL

Ueff

IR

IR

φ

I2 = IR2 + (IL – IC)2 IL – IC

I

Összeget tagonként hatványozni tilos! A teljes levezetés mintáját lásd a soros RLC-körnél!

Mivel párhuzamos kapcsolásnál a feszültség minden ágon ugyanakkora, ill. az egyes ellenállások számíthatók az effektív feszültség és áramerısség hányadosaként:

 U eff   Z Ueff2

·

A soros rezgıkörhöz hasonlóan levezethetı az az fr 1 1 rezonanciafrekvencia, amelyre teljesül, hogy = , XL XC ilyenkor Z = R, és nincs fáziseltolódás.

fr =

2

 U  =  eff   R

1 2π ⋅ L ⋅ C

1 Z

2

2

2

U U   +  eff – eff XC   XL

= Ueff ·

1 R

2

+ Ueff

2

you gotta learn… and it’s high time to try easier! phys_7D6B05_avaltako_V1

2

 1 1 ·  2 – 2 X XC  L

   

2

1 1  1 1    = + − Z R 2  XL X C 


nsoft plus! 2 jegyzet © nsoft 2006.

   

/ :Ueff2

2

nsoft plus! 2 – a váltakozó áram r α

11

i r

6.

A transzformátor

Természetesnek vesszük, hogy épületeinkben fénycsövek világítanak, áram által hajtott jármővek szállítanak minket, és otthonunkba is eljut a konnektorokon keresztül az elektromos áram, a mobiltelefonunk töltıjének egyik végét a telefonra, másik végét a hálózati áramforrásra csatlakoztatva a telefonunk akkumulátora feltöltıdik. Ennek az áramnak a létrejöttéhez forgómozgásra van szükség, amelyet a legkülönfélébb módokon állítunk elı, szén elégetésével, víz vagy szél által forgatott kerékkel, vagy éppen az atomhasadáskor felszabaduló energia által. Az elıállítás módja általában nem teszi lehetıvé (legalábbis elınyössé), hogy az erımőveket, melyekben a generátorok áramot termelnek, az emberek által lakott területek közelében építsék fel, így az ott termelt váltakozó áramot kell valahogy eljuttatni a fogyasztókhoz. Erre szolgálnak a távvezetékek. A váltakozó áramú ellenállások kapcsán megtanultuk, hogy a fémes vezetı váltakozó áramú áramkörben – az egyenáramúhoz hasonlóan – bizonyos ellenállásként viselkedik, amelynek nagysága a vezetı adataitól: hosszától, átmérıjétıl és anyagi minıségétıl függ. A vezetı ellenállása egyenesen arányos a hosszával, így az erımővektıl a lakott területekig tartó, több kilométer hosszú távvezetékek esetében már számottevı lehet (ha belegondolunk ez azt jelenti, hogy az átfolyó áram egy része hıenergiává alakul, „főti” a távvezetékeket, ez a távvezetékre kapcsolt és az arról levett áramok között veszteségként jelentkezik). Napjainkban – a nem megújuló energiaforrások kimerülésével – különösen fontossá kezd válni a veszteség minél jelentısebb lecsökkentése, a hatásfok növelése. Hogy ezt hogyan lehet elérni, ahhoz vizsgáljuk meg a távvezetékrendszer egy leegyszerősített modelljét!

Az elektromos teljesítmény (ismétlés) Az elektromos teljesítmény a fogyasztón végzett munka és a munkavégzés idejének hányadosaként számítható, az elektromos munka pedig a fogyasztón esı feszültség, az áthaladó áramerısség és az eltelt idı szorzata. Így az elektromos teljesítmény, P = U · I, melyet az Ohm-törvény felhasználásával (U = 2 I · R) szokás P = I · R alakban is megadni. Mértékegysége a watt, 1 W = 1 V · A

A cél tehát, hogy Pveszteség minél kisebb legyen!

fogyasztók távvezetékek erımő Pe

Rvezeték Pveszteség = I2R

PL

P L < Pe

Látható, hogy értéke egyenesen arányos a rajta áthaladó áram erısségének négyzetével és a vezetı ellenállásával. Ez utóbbit csak körülményesen tudnánk csökkenteni, hiszen a vezeték nem lehet rövidebb, nem készülhet aranyból, ezüstbıl (hiszen nem maradna sokáig az oszlopokon…), amelyekre kisebb ρ állandó lenne jellemzı. Keresztmetszetét ugyan megnövelhetnénk, de azzal a vezeték nehezebb is lenne, erısebb tartóoszlopokat kellene építeni, több anyagot felhasználni, egyszóval a költségek jelentısen megnınének.

Viszont Pveszteség egyenesen arányos az áramerısség négyzetével is. Ha tehát a vezetéken folyó áram erısségét pl. felére csökkentjük, akkor a teljesítményvesztéség a negyedrészére csökken. Viszont ahhoz, hogy a teljesítmény így is állandó maradjon, a feszültséget kell megnövelni. Ez a megnövelt feszültség azonban nagyobb veszélyt jelentene a fogyasztókra nézve. Úgy kell az áram (a villamos energia) szállítását megvalósítani, hogy az erımővekben a generátorok által létrehozott áram nagy feszültségen, kis áramerısségen szállítódjon a vezetékeken, majd a fogyasztói igényeknek megfelelıen a rendszer másik „végén” ismét kisebb feszültségő, nagyobb erısségő áramot kaphassunk. Ez válik lehetıvé a transzformátor alkalmazásával.

1) Felépítése és működése működése A transzformátor két tekercsbıl és egy közös, zárt, lemezelt vasmagból áll. Azt a tekercset, amelyre a fel/letranszformálni kívánt feszültséget kapcsolják (tehát amelyik az energiaforráshoz kapcsolódik) primer, amelyre a fogyasztót szekunder tekercsnek nevezzük. A két tekercs között a mágneses mezı létesít kapcsolatot, ugyanis a transzformátor a nyugalmi elektromágneses indukció elvén mőködik. A primer tekercsen áthaladó váltakozó áram miatt változó mágneses mezı jön létre a közös vasmagban, amelynek hatására a szekunder tekercsben feszültség indukálódik. Mérések igazolják, hogy a primer és szekunder tekercsen esı (tehát a primer tekercsre Ez a jegyzet letölthetı:



12

kapcsolt és a szekunder tekercsben a nyugalmi indukció hatására létrejövı) váltakozó feszültségek effektív értékének aránya megegyezik a tekercsek menetszámának arányával:

Uszekunder Nszekunder = Uprimer Nprimer A jó transzformátor gyakorlatilag teljesítményveszteség nélkül alakítja át a primer tekercsre kapcsolt feszültséget ugyanolyan frekvenciájú, de más effektív értékő váltakozó feszültséggé, hatásfoka 98%-os. (A 2%-os veszteség a tekercs ohmos ellenállásából (rézveszteség) és a létrejövı örvényáramokból (vasveszteség, mert ezt a vasmag lemezelésével lehet csökkenteni) származik). Így

Pp = Psz Up · Ip = Usz · Isz U primer U szekunder

=

I szekunder Iprimer

az elıbbi mérésekbıl származó összefüggést felhasználva:

N Iszekunder = primer Iprimer Nszekunder A primer és szekunder tekercsben folyó áramok erısségeinek effektív értéke fordítottan arányos a tekercsek menetszámával.

A transzformátor áramköri jele:

Nprimer

Nszekunder



A váltakozó áram. a váltakozó feszültség a váltakozó áram váltakozó áramú ellenállások soros és párhuzamos RLC-körök. A váltakozó feszültség

Recommend Documents