SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN EKUIVALENSI LEITMANN DALAM KALKULUS VARIASI Linda H. Lokra ITS
29 Juli 2010
Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI 2010 1 / 20LEI
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Latar Belakang
Figure: Diagram Latar Belakang Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI 2010 2 / 20LEI
PENDAHULUAN
Permasalahan
PERMASALAHAN Bagaimana menentukan masalah syarat cukup dengan menggunakan pendekatan ekuivalensi Leitmann dalam kalkulus variasi. TUJUAN PENELITIAN Memperoleh syarat cukup dengan pendekatan ekuivalensi Leitmann dalam kalkulus variasi. BATASAN MASALAH Penyelesaian masalah optimasi dalam bentuk fixed end point. MANFAAT PENELITIAN a. Mengetahui masalah ekuivalensi Leitmann yang berhubungan dengan kalkulus variasi. b. Mendapatkan metode alternatif penyelesaian optimasi dengan pendekatan ekuivalensi Leitmann dalam kalkulus variasi. Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI 2010 3 / 20LEI
Kajian Pustaka Dan Dasar Teori
Transformasi Leitmann
Leitmann (2008), membahas tentang penggunaan metode langsung Leitmann untuk menyelesaikan syarat cukup pada kalkulus variasi klasik. Hasil yang diperoleh adalah dalam bentuk penyelesaian masalah syarat cukup dengan metode langsung Leitmann. Wagener (2009a), menunjukkan pendekatan ekuivalensi Leitmann untuk menyelesaikan masalah kalkulus variasi dan memperluasnya pada teori Weierstrass. Hasil yang diperoleh yaitu suatu ekuivalensi dalam bentuk sederhana pada saat transformasi koordinatnya dilengkapi dengan medan ektermal.
Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI 2010 4 / 20LEI
Kajian Pustaka Dan Dasar Teori
Transformasi Leitmann
Wagener (2009b), membahas tentang perluasan metode ekuivalensi Leitmann terhadap suatu kelas masalah titik konjuget. Kelas dikarakteristikan dengan syarat bahwa himpunan dari titik-titik yang tidak berbeda dari masalah yang dibenarkan membentuk suatu tingkatan yang terbatas. Berdasarkan hasil-hasil penelitian yang telah digambarkan diatas dan latar belakang yang telah disebutkan sebelumnya, maka dalam penelitian ini penulis mengambil judul syarat cukup masalah optimasi dengan menggunakan pendekatan ekuivalensi Leitmann dalam kalkulus variasi.
Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI 2010 5 / 20LEI
Kajian Pustaka Dan Dasar Teori
Kalkulus Variasi
Kalkulus Variasi
Kalkulus variasi digunakan untuk menentukan kurva-kurva yang menyebabkan suatu fungsi bernilai maksimum atau minimum. Beberapa permasalahan atau kasus yang biasanya dicari yaitu: a. Kondisi batas tetap (titik awal dan titik akhir) b. Kondisi batas bebas (free) c. Dengan konstrain (constrainet) Masalah yang paling sederhana yang dapat dicari pada kurva yang bergabung pada fixed end point dengan persamaan kurva yang meminimalkan fungsi tertentu yaitu mengambil fungsi minimum R t1 J(x) = to f (t, x, x)dt ˙
Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI 2010 6 / 20LEI
Kajian Pustaka Dan Dasar Teori
Medan Ekstremal
Medan Ekstremal
Semua kurva yang melingkupi kurva yang ekstremal disebut medan ekstremal. medan ekstremal merupakan kemiringan dan kemiringannya harus memenuhi persamaan Euler-Lagrange: d ∂f (t, x, x) ˙ ∂f (t, x, x) ˙ − =0 ∂x dt ∂ x˙ Solusi umum dari persamaan Euler-Lagrange untuk suatu fungsi yang diberikan bergantung pada dua parameter dari kurva tersebut.
Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI 2010 7 / 20LEI
METODA PENELITIAN
Tahapan Penelitian
Tahapan Penelitian
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai tahapan-tahapan yang akan dikerjakan dalam penyelesaian penelitian ini yaitu: a. Kajian Pustaka b. Hubungan syarat cukup kalkulus variasi klasik dengan pendekatan ekuivalensi Leitmann c. Studi kasus syarat cukup klasik dan studi kasus Leitmann
Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI 2010 8 / 20LEI
Hubungan Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik dengan HASIL DAN PEMBAHASAN Pendekatan Ekuivalensi Leitmann
Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik
Pada kalkulus variasi untuk mencari minimum dari suatu variabel untuk fungsi f (x) yaitu mencari titik balik minimum pada turunan kedua dengan melibatkan tanda dari variasional pertama yaitu V1 dan variasional kedua yaitu V2 , dimana variasional pertama mengarah pada kondisi kurva yang meminimalkan sebuah solusi untuk persamaan Euler-Lagrange dan variasional kedua mengarah pada V2 > 0 dimana V2 adalah koefisien dari ε2 dan untuk membuktikan bahwa ekstremal yang diperoleh adalah kurva yang meminimumkan maka J (x) > J (x ∗ ).
Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI 2010 9 / 20LEI
Hubungan Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik dengan HASIL DAN PEMBAHASAN Pendekatan Ekuivalensi Leitmann
Ekuivalensi Leitmann
Pengertian ekuivalensi leitmann menggeneralisasi pengertian dari masalah varasional ekuivalensi yang diperkenalkan oleh Caratheodory. Metode Leitmann mentransformasikan suatu masalah kalkulus variasi kedalam bentuk ekuivalen pada konteks meminimumkan suatu fungsi Zb J (x) =
L (t, x, x) ˙ dt. a
Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 10 / 20LEI
Hubungan Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik dengan HASIL DAN PEMBAHASAN Pendekatan Ekuivalensi Leitmann
Definisi Misalkan: n o A = x ∈ PC 1 ([a, b] , Rm ) |x (t) ∈ Rt untuksemua t ∈ (a, b) , x (a) = α , x (b) = β n o A∗ = y ∈ PC 1 ([a, b] , Rm ) |y (t) ∈ Rt ∗ untuksemua t ∈ (a, b) , y (a) = α∗ , y (b) = β ∗ dan Ξ (t, x) = (t, ξ (t, x)) ∗
dengan Fungsi J : A → R dan J : A∗ → R dimana Zb J (x) =
∗
Zb
L (t, x, x) ˙ dt dan J (y ) = a
L∗ (t, y , y˙ ) dt
a
adalah ekuivalensi Leitman jika ada fungsi S ∗ : O ∗ → R di C 1 sedemikian sehingga persamaan L (t, ξ, ξt + ξy y˙ ) = L∗ (t, y , y˙ ) + St ∗ (t, y ) + Sy ∗ (t, y ) y˙
Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 11 / 20LEI
Hubungan Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik dengan HASIL DAN PEMBAHASAN Pendekatan Ekuivalensi Leitmann
Teorema Jika J dan J ∗ adalah ekuivalensi Leitmann, maka minimum y¯ dari J ∗ mengakibatkan minimum untuk x¯ dari J dengan aturan x¯ (t) = ξ (t, y¯ (y )) Bukti Misalkan fungsi y¯ minimum J ∗ terhadap A∗ dan y = X −1 x, x¯ = X y¯ maka akan ditunjukkan x¯ minimum J terhadap A untuk setiap x ∈ A b
Z J(x)
Z
(L∗ (t, y , y˙ ) +
d ∗ S (t, y ))dt dt
L(t, x, x)dt ˙ =
=
J ∗ (y ) + S ∗ (t, y )ba
=
J ∗ (y ) + S ∗ (t(b), y (b)) − S ∗ (t(a), y (a))
=
J ∗ (y ) + S ∗ (b, β ∗ ) − S ∗ (a, α∗ )
≥
J ∗ (˜ y ) + S ∗ (b, β ∗ ) − S ∗ (a, α∗ ) Z b d (L∗ (t, y˜ , y˜˙ ) + S ∗ (t, y˜ ))dt dt a J(˜ x)
a
= =
Linda H. Lokra (ITS)
b
=
a
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 12 / 20LEI
Hubungan Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik dengan HASIL DAN PEMBAHASAN Pendekatan Ekuivalensi Leitmann
Jika diambil sembarang x maka J(x) ≥ J(˜ x ) untuk semua x ∈ A. Dari penjelasan diatas maka dapat disimpulkan bahwa: a. Pada syarat cukup kalkulus variasi klasik, jika ∆J ≥ 0 maka x ∗ (t) adalah kurva yang meminimumkan J(x). b. Pada pendekatan ekuivalensi Leitmann, jika J(y ) ≥ 0 maka y˜ adalah kurva yang meminimumkan J(˜ x) Dengan demikian maka J(x) ≥ J(x ∗ ) adalah sama dengan J(x) ≥ J(˜ x ).
Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 13 / 20LEI
HASIL DAN PEMBAHASAN
Royal Road Leitmann
Royal Road Leitmann
Pendekatan Leitmann menyederhanakan masalah variasi dengan mengambil transformasi ξ sebagai invers dari transformasi perbaikan yang ada pada medan ekstremal dari masalah meminimumkan, dengan persamaan Leitmann: L (t, ξ, ξt + ξy y˙ ) = St∗ + Sy∗ y˙ + l (t, y , y˙ ) y˙ 2
Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 14 / 20LEI
HASIL DAN PEMBAHASAN
Studi Kasus Kalkulus Variasi Klasik dengan Studi Kasus Leitmann
Langkah-langkah penyelesaian syarat cukup klasik dan metode ekuivalensi Leitmann Syarat cukup klasik: a. b. c. d.
Gunakan Euler-Lagrange (dapatkan x ∗ (t)) Masukkan syarat batas (dapatkan nilai c) Substitusikan nilai c ke x ∗ (t) Cari ∆J.
Metode Leitmann a. Gunakan Euler-Lagrange (dapatkan x ∗ (t)) b. Masukkan syarat batas (dapatkan nilai c) c. Substitusikan nilai c ke x ∗ (t) d. Tentukan nilai y (t) e. Transformasikan y (t) ke x ∗ (t) dan menentukan x˙ ∗ (t) f. Substitusikan x ∗ dan x˙ ∗ ke J(x) g. Gunakan rumus Leitmann h. Cari nilai J. Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 15 / 20LEI
HASIL DAN PEMBAHASAN
Studi Kasus Kalkulus Variasi Klasik dengan Studi Kasus Leitmann
Studi Kasus Syarat Cukup Klasik dengan Studi Kasus Leitmann Dari proses penyelesaian kedua studi kasus ini, menunjukkan bahwa proses penyelesaian studi kasus kalkulus variasi klasik lebih cepat dan sederhana jika dibandingkan dengan studi kasus Leitmann.
Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 16 / 20LEI
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Kesimpulan
1. Untuk mengetahui suatu kurva bernilai minimum dilihat dari nilai J (x) > J ∗ (x) untuk syarat cukup klasik dan J (x) > J(˜ x ) untuk ekuivalensi Leitmann. 2. Bentuk penyelesaian dari syarat cukup klasik lebih cepat dan sederhana jika dibandingkan dengan bentuk penyelesaian dari Leitmann. 3. Tidak semua bentuk soal dalam kalkulus variasi dapat diselesaikan dengan menggunakan syarat cukup klasik namun dapat diselesaikan dengan menggunakan metode ekuivalensi Leitmann.
Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 17 / 20LEI
KESIMPULAN DAN SARAN
Saran
Saran Akhir dari penulisan tesis ini disarankan, penyelesaian masalah optimasi dapat dikembangkan dalam bentuk free dan constrainet.
Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 18 / 20LEI
KESIMPULAN DAN SARAN
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR PUSTAKA
Dacorogna, B., (2004), Introduction To The Calculus Of Variation, Ecole Polytechnique Federale, Switzerland. Leitmann, S. (2008), “Fields Of Extremals and Sufficient Conditions For The Simplest Problem Of The Calculus Of Variation“, J Glob Optim, Vol 10,No 41-50 Pinch, E.R., (1993), Optimal Control and the Calculus of Variations, Oxford University Press, Oxford New York Tokyo. Wagener, F.O.O., (2009a), “On Conjugate Points and the Leitmann Equivalent Problem Approach”. Wagener, F.O.O., (2009b), “On the Leitmann Equivalent Problem Approach”, J Optim Theory Appl, Vol 10, No 142, hal. 229-242.
Linda H. Lokra (ITS)
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 19 / 20LEI
KESIMPULAN DAN SARAN
TERIMA
Linda H. Lokra (ITS)
DAFTAR PUSTAKA
KASIH
SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 20 / 20LEI