20LEI LEITMANN DALAM KALKULUS VARIASI

SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN EKUIVALENSI LEITMANN DALAM KALKULUS VARIASI Linda H. Lokra ITS

29 Juli 2010

Linda H. Lokra (ITS)

SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI 2010 1 / 20LEI

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Latar Belakang

Figure: Diagram Latar Belakang Linda H. Lokra (ITS)


PENDAHULUAN

Permasalahan

PERMASALAHAN Bagaimana menentukan masalah syarat cukup dengan menggunakan pendekatan ekuivalensi Leitmann dalam kalkulus variasi. TUJUAN PENELITIAN Memperoleh syarat cukup dengan pendekatan ekuivalensi Leitmann dalam kalkulus variasi. BATASAN MASALAH Penyelesaian masalah optimasi dalam bentuk fixed end point. MANFAAT PENELITIAN a. Mengetahui masalah ekuivalensi Leitmann yang berhubungan dengan kalkulus variasi. b. Mendapatkan metode alternatif penyelesaian optimasi dengan pendekatan ekuivalensi Leitmann dalam kalkulus variasi. Linda H. Lokra (ITS)


Kajian Pustaka Dan Dasar Teori

Transformasi Leitmann

Leitmann (2008), membahas tentang penggunaan metode langsung Leitmann untuk menyelesaikan syarat cukup pada kalkulus variasi klasik. Hasil yang diperoleh adalah dalam bentuk penyelesaian masalah syarat cukup dengan metode langsung Leitmann. Wagener (2009a), menunjukkan pendekatan ekuivalensi Leitmann untuk menyelesaikan masalah kalkulus variasi dan memperluasnya pada teori Weierstrass. Hasil yang diperoleh yaitu suatu ekuivalensi dalam bentuk sederhana pada saat transformasi koordinatnya dilengkapi dengan medan ektermal.




Transformasi Leitmann

Wagener (2009b), membahas tentang perluasan metode ekuivalensi Leitmann terhadap suatu kelas masalah titik konjuget. Kelas dikarakteristikan dengan syarat bahwa himpunan dari titik-titik yang tidak berbeda dari masalah yang dibenarkan membentuk suatu tingkatan yang terbatas. Berdasarkan hasil-hasil penelitian yang telah digambarkan diatas dan latar belakang yang telah disebutkan sebelumnya, maka dalam penelitian ini penulis mengambil judul syarat cukup masalah optimasi dengan menggunakan pendekatan ekuivalensi Leitmann dalam kalkulus variasi.




Kalkulus Variasi

Kalkulus Variasi

Kalkulus variasi digunakan untuk menentukan kurva-kurva yang menyebabkan suatu fungsi bernilai maksimum atau minimum. Beberapa permasalahan atau kasus yang biasanya dicari yaitu: a. Kondisi batas tetap (titik awal dan titik akhir) b. Kondisi batas bebas (free) c. Dengan konstrain (constrainet) Masalah yang paling sederhana yang dapat dicari pada kurva yang bergabung pada fixed end point dengan persamaan kurva yang meminimalkan fungsi tertentu yaitu mengambil fungsi minimum R t1 J(x) = to f (t, x, x)dt ˙




Medan Ekstremal

Medan Ekstremal

Semua kurva yang melingkupi kurva yang ekstremal disebut medan ekstremal. medan ekstremal merupakan kemiringan dan kemiringannya harus memenuhi persamaan Euler-Lagrange: d ∂f (t, x, x) ˙ ∂f (t, x, x) ˙ − =0 ∂x dt ∂ x˙ Solusi umum dari persamaan Euler-Lagrange untuk suatu fungsi yang diberikan bergantung pada dua parameter dari kurva tersebut.



METODA PENELITIAN

Tahapan Penelitian

Tahapan Penelitian

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai tahapan-tahapan yang akan dikerjakan dalam penyelesaian penelitian ini yaitu: a. Kajian Pustaka b. Hubungan syarat cukup kalkulus variasi klasik dengan pendekatan ekuivalensi Leitmann c. Studi kasus syarat cukup klasik dan studi kasus Leitmann



Hubungan Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik dengan HASIL DAN PEMBAHASAN Pendekatan Ekuivalensi Leitmann

Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik

Pada kalkulus variasi untuk mencari minimum dari suatu variabel untuk fungsi f (x) yaitu mencari titik balik minimum pada turunan kedua dengan melibatkan tanda dari variasional pertama yaitu V1 dan variasional kedua yaitu V2 , dimana variasional pertama mengarah pada kondisi kurva yang meminimalkan sebuah solusi untuk persamaan Euler-Lagrange dan variasional kedua mengarah pada V2 > 0 dimana V2 adalah koefisien dari ε2 dan untuk membuktikan bahwa ekstremal yang diperoleh adalah kurva yang meminimumkan maka J (x) > J (x ∗ ).




Ekuivalensi Leitmann

Pengertian ekuivalensi leitmann menggeneralisasi pengertian dari masalah varasional ekuivalensi yang diperkenalkan oleh Caratheodory. Metode Leitmann mentransformasikan suatu masalah kalkulus variasi kedalam bentuk ekuivalen pada konteks meminimumkan suatu fungsi Zb J (x) =

L (t, x, x) ˙ dt. a


SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 10 / 20LEI


Definisi Misalkan: n o A = x ∈ PC 1 ([a, b] , Rm ) |x (t) ∈ Rt untuksemua t ∈ (a, b) , x (a) = α , x (b) = β n o A∗ = y ∈ PC 1 ([a, b] , Rm ) |y (t) ∈ Rt ∗ untuksemua t ∈ (a, b) , y (a) = α∗ , y (b) = β ∗ dan Ξ (t, x) = (t, ξ (t, x)) ∗

dengan Fungsi J : A → R dan J : A∗ → R dimana Zb J (x) =

∗

Zb

L (t, x, x) ˙ dt dan J (y ) = a

L∗ (t, y , y˙ ) dt

a

adalah ekuivalensi Leitman jika ada fungsi S ∗ : O ∗ → R di C 1 sedemikian sehingga persamaan L (t, ξ, ξt + ξy y˙ ) = L∗ (t, y , y˙ ) + St ∗ (t, y ) + Sy ∗ (t, y ) y˙




Teorema Jika J dan J ∗ adalah ekuivalensi Leitmann, maka minimum y¯ dari J ∗ mengakibatkan minimum untuk x¯ dari J dengan aturan x¯ (t) = ξ (t, y¯ (y )) Bukti Misalkan fungsi y¯ minimum J ∗ terhadap A∗ dan y = X −1 x, x¯ = X y¯ maka akan ditunjukkan x¯ minimum J terhadap A untuk setiap x ∈ A b

Z J(x)

Z

(L∗ (t, y , y˙ ) +

d ∗ S (t, y ))dt dt

L(t, x, x)dt ˙ =

=

J ∗ (y ) + S ∗ (t, y )ba

=

J ∗ (y ) + S ∗ (t(b), y (b)) − S ∗ (t(a), y (a))

=

J ∗ (y ) + S ∗ (b, β ∗ ) − S ∗ (a, α∗ )

≥

J ∗ (˜ y ) + S ∗ (b, β ∗ ) − S ∗ (a, α∗ ) Z b d (L∗ (t, y˜ , y˜˙ ) + S ∗ (t, y˜ ))dt dt a J(˜ x)

a

= =


b

=

a



Jika diambil sembarang x maka J(x) ≥ J(˜ x ) untuk semua x ∈ A. Dari penjelasan diatas maka dapat disimpulkan bahwa: a. Pada syarat cukup kalkulus variasi klasik, jika ∆J ≥ 0 maka x ∗ (t) adalah kurva yang meminimumkan J(x). b. Pada pendekatan ekuivalensi Leitmann, jika J(y ) ≥ 0 maka y˜ adalah kurva yang meminimumkan J(˜ x) Dengan demikian maka J(x) ≥ J(x ∗ ) adalah sama dengan J(x) ≥ J(˜ x ).



HASIL DAN PEMBAHASAN

Royal Road Leitmann

Royal Road Leitmann

Pendekatan Leitmann menyederhanakan masalah variasi dengan mengambil transformasi ξ sebagai invers dari transformasi perbaikan yang ada pada medan ekstremal dari masalah meminimumkan, dengan persamaan Leitmann: L (t, ξ, ξt + ξy y˙ ) = St∗ + Sy∗ y˙ + l (t, y , y˙ ) y˙ 2




Studi Kasus Kalkulus Variasi Klasik dengan Studi Kasus Leitmann

Langkah-langkah penyelesaian syarat cukup klasik dan metode ekuivalensi Leitmann Syarat cukup klasik: a. b. c. d.

Gunakan Euler-Lagrange (dapatkan x ∗ (t)) Masukkan syarat batas (dapatkan nilai c) Substitusikan nilai c ke x ∗ (t) Cari ∆J.

Metode Leitmann a. Gunakan Euler-Lagrange (dapatkan x ∗ (t)) b. Masukkan syarat batas (dapatkan nilai c) c. Substitusikan nilai c ke x ∗ (t) d. Tentukan nilai y (t) e. Transformasikan y (t) ke x ∗ (t) dan menentukan x˙ ∗ (t) f. Substitusikan x ∗ dan x˙ ∗ ke J(x) g. Gunakan rumus Leitmann h. Cari nilai J. Linda H. Lokra (ITS)



Studi Kasus Kalkulus Variasi Klasik dengan Studi Kasus Leitmann

Studi Kasus Syarat Cukup Klasik dengan Studi Kasus Leitmann Dari proses penyelesaian kedua studi kasus ini, menunjukkan bahwa proses penyelesaian studi kasus kalkulus variasi klasik lebih cepat dan sederhana jika dibandingkan dengan studi kasus Leitmann.



KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan

Kesimpulan

1. Untuk mengetahui suatu kurva bernilai minimum dilihat dari nilai J (x) > J ∗ (x) untuk syarat cukup klasik dan J (x) > J(˜ x ) untuk ekuivalensi Leitmann. 2. Bentuk penyelesaian dari syarat cukup klasik lebih cepat dan sederhana jika dibandingkan dengan bentuk penyelesaian dari Leitmann. 3. Tidak semua bentuk soal dalam kalkulus variasi dapat diselesaikan dengan menggunakan syarat cukup klasik namun dapat diselesaikan dengan menggunakan metode ekuivalensi Leitmann.




Saran

Saran Akhir dari penulisan tesis ini disarankan, penyelesaian masalah optimasi dapat dikembangkan dalam bentuk free dan constrainet.




DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR PUSTAKA

Dacorogna, B., (2004), Introduction To The Calculus Of Variation, Ecole Polytechnique Federale, Switzerland. Leitmann, S. (2008), “Fields Of Extremals and Sufficient Conditions For The Simplest Problem Of The Calculus Of Variation“, J Glob Optim, Vol 10,No 41-50 Pinch, E.R., (1993), Optimal Control and the Calculus of Variations, Oxford University Press, Oxford New York Tokyo. Wagener, F.O.O., (2009a), “On Conjugate Points and the Leitmann Equivalent Problem Approach”. Wagener, F.O.O., (2009b), “On the Leitmann Equivalent Problem Approach”, J Optim Theory Appl, Vol 10, No 142, hal. 229-242.




TERIMA


DAFTAR PUSTAKA

KASIH


20LEI LEITMANN DALAM KALKULUS VARIASI

Recommend Documents