25/09/2013
Pertanyaan
Metode Statistika (STK211)
Jika
punya data mengenai daya
hidup dari baterai HP merk “XXX” Pertemuan III St ti tik D Statistika Dasar (B (Basic i Statistics) St ti ti )
• Dimana “lokasi” atau “pusat” dari data? Æ ukuran pemusatan • Seberapa besar variasi dari data Æ ukuran penyebaran
Ukuran Pemusatan
Modus (Mode)
• Modus (Mode): Nilai pengamatan yang paling sering muncul
• Merupakan nilai pengamatan yang paling sering muncul
• Median: Pengamatan yang ditengah-tengah dari data terurut
• Dalam satu gugus data dapat mengandung lebih dari satu modus
• Quartil: Nilai Nilai-nilai nilai yang membagi data terurut menjadi 4 bagian yang sama
• Dapat digunakan untuk semua jenis data, data tapi paling banyak digunakan untuk data kategorik atau data diskret dengan hanya sedikit nilai yang mungkin muncul
• Mean: merupakan pusat massa (centroid) sehingga simpangan kiri dan simpangan kanan sama besar
Modus
Median
Cara menghitung median contoh
• Pengamatan yang ditengah-tengah dari data terurut
Urutkan data dari terkecil sampai terbesar
• Nama lain dari percentil ke-50 • Nama lain dari kuartil 2 (Q2) • Digunakan untuk menggambarkan lokasi dari data numerik
Jika jumlah data ganjil, nilai median merupakan nilai di tengah Data I: 2
8
3
4
1
• Kekar terhadap adanya pencilan
Data terurut: 1
2
3
4
8
Median
1
25/09/2013
Cara menghitung median contoh Urutkan data dari terkecil sampai terbesar
Perhatikan data I dan data III Data I terurut: 1
2
Data terurut: 1
2
3
Data III terurut: 1 4
8
4
8
4
100
Median
Jika jumlah data genap, nilai median merupakan rataan dari dua nilai di tengah Data II: 2 8 3 4 1 8
3
2
3
8 Median
Median=(3+4)/2 = 3.5
Secara umum langkah teknis untuk menghitung median contoh ¾Urutkan data dari kecil ke besar ¾Cari posisi median (nmed=(n+1)/2) ¾Nilai median • Jika nmed bulat, maka Median=X(n+1)/2 • Jika Jik nmed pecahan, h maka k M Median=(X di (X(n)/2+ X(n)/2+1)/2 (rata-rata dua pengamatan yang berada sebelum dan setelah posisi median)
Langkah Teknis memperoleh Kuartil (Quartile) Metode Belah dua ¾ Urutkan data dari kecil ke besar ¾ Cari posisi kuartil • nQ2=(n+1)/2 • nQ1=(nQ2*+1)/2= nQ3, nQ2* posisi kuartil dua t terpangkas k (pecahan ( h dibuang) dib )
¾ Nilai kuartil 2 ditentukan sama seperti mencari nilai median. Kuartil 1 dan 3 prinsipnya sama seperti median tapi kuartil 1 dihitung dari kiri, sedangkan kuartil 3 dihitung dari kanan.
Kuartil •
Nilai-nilai yang membagi data terurut menjadi 4 bagian yang sama
•
Q0 (dibaca kuartil 0) merupakan nilai minimum dari data
•
Q1(dibaca kuartil 1) merupakan nilai yang membagi data 25% data di kiri dan 75% data di kanan
•
Q2 (dibaca kuartil 2) merupakan median, membagi data menjadi 50%
•
Q3 (dibaca kuartil 3) merupakan nilai yang membagi data 75% data di kiri dan 25% data di sebelah kanan
•
Q4 (dibaca kuartil 4) merupakan nilai maksimum dari data
•
Nilai Q1, Q2, dan Q3 kekar terhadap pencilan
Perhatikan ilustrasi data I • Posisi Q2 = nQ2 = (5+1) / 2 =3 • Posisi Q1 = Posisi Q3 = (3+1)/2 = 2
Data terurut: 1
2
3
4
8
Median Q1
Q3
2
25/09/2013
Perhatikan ilustrasi data II
Langkah Teknis memperoleh Kuartil (Quartile)
• Posisi Q2 = nQ2 = (6+1) / 2 =3.5
Metode Interpolasi ¾ Urutkan data dari kecil ke besar ¾ Cari posisi kuartil
• Posisi Q1 = Posisi Q3 = (3+1)/2 = 2
Data terurut: 1
2
3
4
8
8
• nq1=(1/4)(n+1) • nq2=(2/4)(n+1) • nq3=(3/4)(n+1)
¾ Nilai kuartil dihitung sebagai berikut: • Xqi=Xa,i + hi (Xb,i-Xa,i) • Xa,i = pengamatan sebelum posisi kuartil ke-i, Xb,i = pengamatan setelah posisi kuartil ke-i dan hi adalah nilai pecahan dari posisi kuartil
Median Q1
Q3
Perhatikan ilustrasi data I
Perhatikan ilustrasi data II
• Posisi Q2 = nQ2 = (5+1) / 2 =3
• Posisi Q2 = nQ2 = (6+1) / 2 =3.5
• Posisi Q1 = ¼(5+1) = 1.5
• Posisi Q1 = ¼(6+1) = 1.75
• Posisi Q3 = ¾(5+1) = 4.5
Data terurut: 1
2
• Posisi Q3 = ¾(6+1) = 5.25
3
4
Data terurut: 1
8
2
Median
3
4
8
8
Median
Q1= 1 + 0.5(2-1) = 1.5
Q1= 1 + 0.75(2-1) = 1.75
Q3=4+ 0.5(8-4)=6
Statistik 5 serangkai
Q3=8+ 0.25(8-8)=8
Mean (rataan)
Q2
• Merupakan pusat massa (centroid)
Q1
Q3
Q0
Q4
• Jika menggambarkan populasi di tuliskan sebagai μ, huruf yunani “mu” • Jika menggambarkan contoh dituliskan sebagai x , disebut “xbar” xbar
Berdasarkan metode Interpolasi Data I
Data II
• Digunakan untuk tipe data numerik
3.5
3 1.5
6
1.75
6
1
8
1
8
• Tidak bisa digunakan untuk tipe data kategorik dan diskret • Sangat resisten terhadap pencilan
3
25/09/2013
Langkah Teknis memperoleh mean •
Perhatikan data I dan data III
Rata-rata (Mean)
Data I terurut: 1
2
3
4
8
4
100
N
¾ Populasi:
μ=
∑x i =1
i
N
1+ 2 + 3 + 4 + 8 = 3.6 5
x=
n
¾ Sampel:
x=
∑x i =1
n
Data I
Median
i
Data III terurut: 1
2
3
(merupakan data contoh): 2
8
3
4
1
x=
2 + 8 + 3 + 4 +1 x= = 3 .6 5
1 + 2 + 3 + 4 + 100 = 22 5
Median
Jangan dibulatkan!!!!
Kaitan antar bentuk sebaran dengan ukuran pemusatan
Ukuran Penyebaran •Menggambarkan suatu UKURAN KUANTITATIF tingkat penyebaran atau pengelompokan dari data •Keragaman biasanya didefinisikan dalam bentuk jarak : •Seberapa jauh jarak antar titik-titik tersebut satu sama lain •Seberapa jauh jarak antara titik-titik tersebut terhadap rataannya y •Bagaimana tingkat keterwakilan nilai tersebut terhadap kondisi data keseluruhan
Mean = Median = Mode
Jangkauan antar Kuartil (Interquartile Range)
Wilayah (Range) • Merupaka selisih dari nilai terbesar – nilai terkecil R=Xmax – Xmin • Hanya memperhitungkan nilai terkecil dan terbesar, sedangkan sebaran nilai antara dua nilai tersebut tidak diperhitungkan
•
Merupakan selisih antara kuartil 3 dengan kuartil 1 IQR = Q3 - Q1
•
Memperhitungkan sebaran antara nilai minimum dan nilai maksimum
•
Kekar terhadap adanya nilai-nilai yang ekstrim (pencilan)
• Resisten R i t tterhadap h d nilai il i yang ekstrim k ti
Data I terurut: 1 2 R = 8-1 = 7 Data III terurut: 1
3
4
Statistik 5 serangkai dari data I
Statistik 5 serangkai dari data III
(metode belah dua)
(metode belah dua)
8
3
3
2
R = 100-1 = 99
3
4
100
2
4
2
4
1
8
1
100
IQR = 4-2 = 2
IQR = 4-2 = 2
4
25/09/2013
Deviasi
Ragam Data 1
•
•
Ukuran penyebaran yang lebih kompleks adalah bagaimana data tersebut mengelompok di sekitar rataannya
Data
Deviasi merupakan selisih dari data terhadap rataannya.
•
Ukuran keragaman dari deviasi adalah rataan deviasi = ∑ (x - μ) / n Data 1
•
∑ (x - μ) / n ≈ 0
Rataan Data
Rataan
(X-μ) 1
-2.6
6.76
2
-1.6
2.56
3
-0.6
0.36
4
0.4
0.16
8
4.4
19.36
3.6
-2.6
2
-1.6
3
-0.6
4
0.4
8
4.4
3.6
0.000000000000000178
Untuk menghilangan +/maka deviasi dikuadratkan terlebih dahulu sebelum dirataratakan.
•
Ukuran semacam ini disebut ragam = ∑ (x μ)2 / n
•
∑ (x - μ)2 merupakan jumlah kuadrat dari deviasi disekitar rataannya
5.84
Deviasi 1
• (X-μ)2
Perhatikan permainan berikut • Ragam (Variance) N
Banu mengajak Anda main tebak-tebakan. Banu mempunyai tiga kaleng. Salah satu dari kaleng tersebut berisi bola. Yang manakah yang berisi bola?
∑(x −μ)
¾ Populasi
σ2 = i=1
¾ Contoh
s2 = i=1
2
i
N
n
Jika bola tersebut di dianggap sebagai b i rataan sampel maka ada sebanyak 3-1 = 2 kaleng yang ditebak bebas Æ db = n-1
∑(x −x)
2
i
n−1
Derajat bebas = db
Untuk menghitung ragam contoh maka perlu dihitung rataan contoh, maka data terakhir tergantung dari datadata sebelumnya. Hanya 1 yang tidak bebas, sedangkan n-1 data lainnya bebas variasinya N
Data 1
σ = 2
∑(x −μ)
n
2
i
i=1
N
29.2 = =5.84 5
s= 2
∑(x −x)
2
i
i=1
n−1
29.2 = =7.3 4
Jika kaleng I dan II Anda angkat namun tidak terdapat bola maka sudah pasti kaleng ke-3 yang berisi bola
Latihan : • Simpangan baku (standard deviation) ¾ Ragam merupakan ukuran jarak kuadrat, sehingga untuk mendapatkan jarak yang sebenarnya adalah dengan mengakarkan ragam Æ simpangan baku ¾ σ simpangan baku populasi dan s simpangan baku sampel
a. 3 9 7 4 10 3 b. 4 9 3 8 6 Tentukan nilai : Mean, Median, Q1, Q3, Ragam, Simpangan Baku, Range, dan IQR untuk kedua gugus data di atas
5
25/09/2013
Ilustrasi Data
Demo MINITAB
No
Sex
Tinggi
Berat
Agama
1
1
167
63
Islam
2
1
172
74
Islam
3
0
161
53
Kristen
4
0
157
47
Hindu
5
1
165
58
Islam
6
0
167
60
Islam
7
1
162
52
Budha
151
45
Katholik
9
0
158
54
Kristen
10
8
1
0
162
63
Islam
11
1
176
82
Islam
12
1
167
69
Islam
13
0
163
57
Kristen
14
0
158
60
Islam
15
1
164
58
Katholik
16
0
161
50
Islam
17
1
159
61
Kristen
18
1
163
65
Islam
19
1
165
62
Islam
20
0
169
59
Islam
21
1
173
70
Islam
Data pada ilustrasi data diolah menggunakan MINITAB
Diagram Kotak Garis (boxplot)
Descriptive Statistics: Tinggi, Berat Variable Tinggi Berat
N 21 21
Mean 163.81 60.10
Variable Ti Tinggi i Berat
Range 25 25.00 00 37.00
StDev 5.85 8.86
Variance 34.26 78.49
Minimum 151.00 45.00
Q1 160.00 53.50
Median 163.00 60.00
Q3 167.00 64.00
Maximum 176.00 82.00
IQR 7 7.00 00 10.50
Informasi yang diperoleh dari diagram kotak garis
Penyajian Dengan Box-plot(1) Boxplot of data 1
¾ Melihat ukuran penyebaran dan ukuran pemusatan data ¾ Melihat adanya data pencilan ¾ Sebagai alat pembandingan sebaran dua kelompok data atau lebih
Q1
Q2
Q3
Min
Max
Interquartli Range
40
45
50 data 1
55
60
6
25/09/2013
Cara membuat box plot
Ilustrasi (1)
Me •
Hitung Statistik lima serangkai
Q1
Q3
Q0
Q4
•
Hitung Pagar Dalam Atas (PAD1) : Q3 +1.5(Q3-Q1)
•
Hitung Pagar Dalam Atas (PAD2) : Q3 +3(Q3-Q1)
•
Hitung Pagar Dalam Bawah (PBD1): Q1-1.5(Q3-Q1)
•
Hitung Pagar Dalam Bawah (PBD)2: Q1-3(Q3-Q1)
•
Identifikasi data. Jika data < PBD atau data > PAD maka data dikatakan outlier
•
Gambar kotak dengan batas Q1 dan Q3
•
Jika tidak ada pencilan : Tarik garis dari Q1 sampai data terkecil dan
• Statistik 5 serangkai dari data sbb: Me
48
Q1
Q3
43
55
Min
Max 40
59
• PDA = 55 + 1.5 (55 – 43) = 73 • PDB = 43 – 1.5 (55 - 43) = 25 • Tidak ada pencilan
•
tarik garis dari Q3 sampai data terbesar
•
Jika ada pencilan : Tarik garis Q1 dan atau Q3 sampai data sebelum pencilan
•
Pencilan digambarkan dengan asterik
Ilustrasi (4)
B o x p lo t o f d a ta 1
Stem-and-leaf of data 1 N = 23 Leaf Unit = 1.0
40
45
50 data 1
55
60
Sebaran data tidak simetrik, karena nilai median lebih dekat ke Q1 Æ miring ke kanan
9 (5) 9 7 1 1 1 1 1
4 4 5 5 6 6 7 7 8
Me
002233344 68899 02 556788
48
Q1
Q3
43
55
Min
Max
40
80
PDA = 55 + 1.5 (55 – 43) = 73 PDB = 43 – 1.5 (55 - 43) = 25 Pencilan : 80
0
Tidak ada pencilan
Contoh data: B o x pl o t o f da ta 1
40
50
60 data 1
70
Sebaran data tidak simetrik, karena nilai median lebih dekat ke Q1 Æ miring ke kanan Terdpat nilai pencilan (80)
80
Jawa Barat No. Kota/Kab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Pandenglang Lebak Bogor Sukabumi Cianjur Bandung Garut Tasikmalaya Ciamis Kuningan Cirebon Majalengka Sumedang Indramayu Subang Purwakarta K Karawang Bekasi Tangerang Serang Kota Bogor Kota Sukabumi Kota Bandung Kota Cirebon Rata-Rata: Jabar Jateng Minimum : Jabar Jateng Maksimum: Jabar Jateng
Jawa Tengah
Pert. Pend. 2.15 2.48 4.52 2.51 2.33 3.31 2.35 2.15 1.21 1.97 2.73 2.01 1.41 2.53 1.89 2.32 2 31 2.31 3.57 4.04 2.85 2.60 1.48 2.20 2.51
2.48 1.68 1.00 1.00 23.00 34.00
No. Kota/Kab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cilacap Banyumas Prubalingga Banjarnegara Kebumen Purworejo Wonosobo Magelang Boyolali Klaten Sukoharjo Wonogiri Karanganyar Sragen Grobogan Blora R b Rembang Pati Kudus Jepara Demak Semarang Temanggung Kendal Batang Pekalongan Pemalang Tegal Brebes Kota Magelang Kota Surakarta Kota Slatiga Kota Semarang Kota Pekalongan Kota Tegal
Pert. Pend. 1.28 1.78 1.42 1.49 1.09 0.62 1.64 1.31 1.08 1.19 2.10 0.51 2.07 1.85 1.52 1.27 2 08 2.08 1.62 2.03 1.87 1.38 0.46 1.83 0.83 1.70 1.80 1.79 2.67 2.09 1.25 1.39 2.30 5.21 1.95 2.44
7
25/09/2013
B o x p lo t o f p e r tu m b u h a n p e n d d v s p r o p K o ta S e m a r a n g
5
pertumbuhan pendd
Bo go r
4
T an g eran g
3
2
1
0 Ja w a B a r a t
Ja w a T e n g a h prop
Nomor Skor Aritmatika
Pertumbuhan penduduk di Jawa Barat relatif lebih tinggi dibandingkan dengan pertumbuhan penduduk di Jawa Tengah. Secara umum, tingkat keragaman pertumbuhan penduduk antar kabupaten, di Jawa Tengah sedikit lebih besar dibanding dengan Jawa Barat. Kab Bogor dan Tangerang merupakan daerah yang tingkat pertumbuhan pendudukya cukup tinggi. Di Jawa Tengah Kota Semarang yang pertumbuhan penduduknya paling tinggi.
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
14
8
19
17
15
13
11
8
0
0
1
0
5
3
4
2
0
2
Skor Aljabar
Nomor
3
11
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Skor Aritmatika
9
19
19
18
19
14
14
16
20
16
Skor Aljabar
2
5
7
9
7
0
4
1
9
4
8
